educativo

1. En el atardecer el cielo es radiante con
brillantes rojos, rosas y naranjas. Sin
embargo, no seriamos capaces de ver
este atardecer si no fuera por el hecho
de que otra persona viera
simultáneamente un cielo azul. ¿Qué
causa los hermosos colores de un
atardecer, y por qué el cielo debe estar
azul en otra parte para que nosotros lo
disfrutemos? (© w. A.
BanaszewskiA/isuals Unlimiled)
c a p í t u l o
Difracción y polarización
Líneas generales del capítulo
38.1 Introducción a la difracción 38.4 La rejilla de difracción
38.2 Difracción de rendijas estrechas 38.5 (Opcional) Difracción de rayos X
38.3 Resolución de abertura circular por cristales
y de una sola rendija 38.6 Polarización de ondas luminosas
1211

2. 1212 CAPÍTULO 38 Difracción y polarización
uando las ondas luminosas pasan por una pequeña abertura, se observa un pa-
C trón de interferencia en lugar de un punto definido de luz. Tal conducta in-
dica que la luz, una vez que ha pasado la abertura, se dispersa más allá de la
estrecha trayectoria definida por la abertura en las regiones donde se esperaría una
sombra si la luz viajara en líneas rectas. Otras ondas, como las sonoras y las que se
producen en el agua, también tienen esta propiedad de dispersarse cuando pasan a
través de aberturas <> de bordes afilados. Dicho fenómeno, conocido como difrac-
ción, sólo puede ser descrito con un modelo ondulatorio de la luz.
En el capítulo 34 aprendimos que las ondas electromagnéticas son transversales,
lo cual significa que los vectores de campos eléctrico y magnético son perpendicula-
a) res a la dirección de propagación de la onda. En este capítulo veremos que en cier-
tas condiciones las ondas transversales pueden polarizarse de diversas maneras.
INTRODUCCIÓN A LA DIFRACCIÓN
En la sección 37.2 aprendimos que cuando dos rendijas se iluminan por medio de
una fuente luminosa de una sola longitud de onda se forma un patrón de interfe-
rencia sobre la pantalla de observación. Si la luz viajara sólo en su dirección original
después de atravesar las rendijas, como se muestra en la figura 38.1a, las ondas no
se traslaparían y no se observaría un patrón de interferencia. En vez de eso, el prin-
cipio de Huygens requiere que las ondas se dispersen desde las rendijas, como se
muestra en la figura 38.Ib. En otras palabras, la luz se desvía de una trayectoria en
línea recta y entra a la región que de otra manera estaría sombreada. Como se se-
ñaló en la sección 35.1, tal divergencia de la luz a partir de su línea inicial de reco-
rrido se conoce como difracción.
Figura 38.1 a) Si las ondas lumino-
sas no se dispersaran después de pa-
En general, la difracción ocurre cuando las ondas pasan por pequeñas abertu-
sar por las rendijas, no ocurriría inter- ras, alrededor de obstáculos o por bordes afilados, como se observa en la figura 38.2.
ferencia, b) Las ondas luminosas de Cuando se coloca un objeto opaco entre una fuente puntual y una pantalla, no exis-
las dos rendijas se traslapan cuando ten fronteras definidas en la pantalla entre una región sombreada y una región ilu-
se dispersan, llenan las regiones som- minada. La región iluminada arriba de la sombra del objeto contiene franjas de luz
breadas esperadas con luz y producen
franjas de interferencia.
brillantes y oscuras alternándose. A este despliegue se le conoce como patrón de di-
fracción.
La figura 38.3 muestra un patrón de difracción asociado con la sombra de una
pequeña moneda. Hay un sitio brillante en el centro y franjas circulares se extien-
den hacia afuera desde el borde de la sombra. El sitio brillante central puede expli-
carse sólo por medio de la teoría ondulatoria de la luz, la cual predice interferencia
Pantalla
Fuente
Objeto opaco
Figura 38.2 La luz de una pequeña fuente pasa por el borde de un objeto opaco. Se podría esperar
que no apareciese luz en la pantalla debajo de la posición del borde del objeto. En realidad, la luz se
desvía en el borde superior del objeto y entra en esta región. Debido a estos efectos, un patrón de di-
fracción que consiste en franjas brillantes y oscuras aparece en la región arriba del extremo del objeto.

3. 38.1 Introducción a la difracción
Figura 38.3 Patrón de difracción creado por la iluminación de
una pequeña moneda, con la moneda colocada a la mitad de la
distancia enire la pantalla y la fuente de luz. (P.M. Rinard, Am. J.
Phys. 44:70, ¡976.)
constructiva en ese punto. De acuerdo con el punto de vista de la óptica geométri-
ca (en donde la luz se ve como rayos que viajan en línea recta) se esperaría que el
centro de la sombra sea oscuro, porque esa parte de la pantalla de observación está
completamente cubierta por la moneda.
Es interesante señalar un incidente histórico que ocurrió un poco después de
que el punto luminoso central fue observado por primera vez. Uno de los defenso-
res de la óptica geométrica, Simeón Poisson, argüía que si la teoría ondulatoria de
la luz de Augustin Fresnel fuera válida, entonces un punto brillante central debía
observarse en la sombra de un objeto circular iluminado por una fuente de luz pun-
tual. Para el asombro de Poisson, el punto fue observado por Dominique Arago po-
co tiempo después. Así, la predicción de Poisson reforzó la teoría ondulatoria en vez
de desaprobarla.
En el presente capítulo enfocaremos nuestra atención a la difracción de Fraun-
bofer, la cual ocurre, por ejemplo, cuando los rayos que pasan a tnwés de una ren-
dija angosta son casi paralelos entre sí. Esto se puede lograr experimental mente co-
locando la pantalla lejos de la abertura usada para crear la difracción, o usando un
lente convergente para enfocar los rayos una vez que éstos han atravesado la aber-
tura, como se indica en la figura 38.4a. Una franja oscura se observa a lo largo del
eje en B = O, con franjas alternantes oscuras y brillantes ocurriendo en cualquier la-
do de la franja brillante central. La figura 38.4b es una fotografía de un patrón de
difracción de Fraunhofer de una sola rendija.
Llegada
de ondas
Pantalla de observación
a) b)
Figura 38.4 a) Patrón de difracción de Fraunhofer de una sola rendija. El patrón se compone de
una franja brillante central flanqueada por máximos más débiles que se alternan con franjas oscuras.
(Advierta que el dibujo no está a escala.) b) Fotografía de un patrón de difracción de Fraunhofer de
una sola rendija. (De M. fagnet, M. Franron yj. C. Tfíifrr, Atlas de fenómenos ópticos, Berlín. Sftringer-Vfrlag, 1962,
fiata 18.)

4. 1214 CAPÍTULO 38 Difracción y polarización
DIFRACCIÓN DE RENDIJAS ESTRECHAS
Hasta ahora hemos supuesto que las rendijas son fuentes puntuales de luz. En la per-
senté sección abandonamos esta suposición y determinamos cómo el ancho finí»
de las rendijas es la base para comprender la difracción de Fraunhofer.
Podemos deducir algunos rasgos importantes de dicho fenómeno examinaix»
ondas provenientes de diversas partes de la rendija, como se muestra en la figura
38.5. De acuerdo con el principio de Huygens, cada parte de la rendija actúa con*
una fuente de ondas luminosas. Por tanto, la luz de una parte de la rendija puede
interferir con luz de otra parte, y la intensidad de luz resultante en una pantalla óe
observación depende de la dirección 0.
Para analizar el patrón de difracción es conveniente dividir la rendija en dos rm-
tades, como se indica en la figura 38.5. Tomando en cuenta que todas las ondas ev
tán en fase cuando dejan la rendija, considere los rayos 1 y 3. Conforme estos do*
rayos viajan hacia la pantalla de observación lejos hacia la derecha de la figura, el ra-
yo 1 viaja más lejos que el rayo 3 por una cantidad igual a la diferencia de trayecto-
ria (a/2) sen 6, donde a es el ancho de la rendija. De manera similar, la diferencia
de trayectoria entre los rayos 2 y 4 también es (a/2) sen 8. Si esta diferencia de tra-
yectoria es exactamente la mitad de una longitud de onda (lo que corresponde 2
una diferencia de fase de 180°), entonces las dos ondas se cancelan entre sí y se pro-
duce interferencia destructiva. Lo anterior es cierto, de hecho, para dos rayos cua-
lesquiera que se originan en puntos separados por la mitad del ancho de la rendija-
puesto que la diferencia de fase entre dos de dichos puntos es 180°. En consecuen-
£ sene cia, las ondas provenientes de la mitad superior de la rendija interfieren destructi-
vamente con ondas provenientes de la mitad inferior de la rendija cuando
Figura 38.5 Difracción de luz me- a A
diante una estrecha rendija de ancho — sen v = —
a. Cada parte de la rendija actúa co- 2 2
mo una fuente puntual de ondas lu-
minosas. La diferencia de trayectoria o cuando
entre los rayos 1 y 3 o entre los rayos
2 y 4 es (a/2) sen 6. (Note que esto
no está dibujado a escala.)
A
sen 6 = —
a
Si dividimos la rendija en cuatro partes iguales y usamos un razonamiento simi-
lar, encontramos que la pantalla de observación también está oscura cuando
sen 6 = —
a
De igual modo, podemos dividir las rendijas en seis partes iguales y mostrar que
la pantalla se oscurece cuando
3A
sen 6 = —
a
Por tanto, la condición general para interferencia destructiva es
Condición para interferencia (38.1)
destructiva
sen e = m- m = ±1,±2,±3,...
a
Esta ecuación proporciona los valores de 6 para los cuales el patrón de difracción
tiene intensidad luminosa cero —es decir, cuando se forma una franja oscura—. Sin
embargo, dicha ecuación no indica nada acerca de la variación de intensidad lumi-
nosa a lo largo de la pantalla. Las características generales de la distribución de in-

5. 38.2 Difracción de rendijas estrechas 1215
yI sen0=A/
O senO = O
Figura 38.6 Distribución de intensidad pa-
-y¡ senQ =-^ ra un patrón de difracción de Fraunhofer de
-yn sen B = -2 una sola rendija de ancho a. Las posiciones de
los dos mínimos de cada lado del máximo cen-
tral están etiquetadas. (Observe que el dibujo
Pantalla de observación no está a escala.)
•cnsidad se muestran en la figura 38.6. Se observa una ancha franja brillante central;
Banqueada por franjas brillantes mucho más débiles que se alternan con franjas os-
curas. Las diversas franjas oscuras ocurren en los valores de O que satisfacen la ecua-
ción 38.1. Cada pico de franja brillante se encuentra aproximadamente a la mitad
entre sus mínimos limitantes de las franjas oscuras. Advierta que la franja brillante
central es dos veces más ancha que los máximos secundarios.
Patrón de difracción que aparece en
una pantalla cuando la luz pasa por
una rendija vertical estrecha. El pa-
Pegunta sorpresa 38.1 trón consiste en una franja brillante
;Por qué, si la puerta de un cuarto adjunto está ligeramente entreabierta, se pueden escu- central ancha y una serie de luz me-
char los sonidos que se producen en el interior, pero no se puede ver lo que ocurre en él? nos intensa y al lado unas franjas del-
gadas brillantes.
EJEMPLO 38.1 ¿Dónde están las franjas oscuras?
Luz de 580 nm de longitud de onda incide sobre una rendi- Los signos positivo y negativo corresponden a las franjas os-
ja de 0.300 mm de ancho. La pantalla de observación está a curas en cualesquiera de los lados de la franja brillante cen-
2.00 m de la rendija. Encuentre las posiciones de las prime- tral. Por tanto, el ancho de la franja brillante central es igual
ras franjas oscuras y el ancho de la franja brillante central. a 21)1,1 = 7.74 x 10"s m = 7.74 mm. Observe que este valor es
mucho más grande que el ancho de la rendija. Sin embargo,
Solución Las dos franjas oscuras que flanquean a la franja a medida que el ancho de la rendija aumenta, el patrón de
brillante central corresponden a m= ±1 en la ecuación 38.1. difracción se estrecha, lo que corresponde a valores más pe-
Por tanto, encontramos que queños de 6. De hecho, para valores grandes de a, los diver-
sos máximos y mínimos están tan próximos que lo único que
A 5.80 x 10-7i se observa es una gran área brillante central, la cual se aseme-
sen O =±- = ± = ±1.93 x 10-3
a 0.300 x 10-3 ja a la imagen geométrica de la rendija. Dicho asunto es de
gran importancia en el diseño de lentes empleados en teles-
A partir del triángulo en la figura 38.6 advierta que tan 6 =
copios, microscopios y otros instrumentos ópticos.
yt/L. Ya que 9 es muy pequeña, podemos usar la aproxima-
ción sen 8 » tan 8, de manera que sen 6 » y}/L. Por con-
siguiente, las posiciones de los primeros mínimos medidos Ejercido Determine el ancho de la franja brillante de pri-
desde el eje central están dadas por mer orden (m= 1).
yt » /.sen 6 = ±L- = ±3.87x 10-3m Respuesta 3.87 mm.
a
Intensidad de un patrón de difracción de una sola rendija
Podemos emplear fasores para determinar la distribución de la intensidad lumino-
sa de un patrón de difracción de una sola rendija. Suponga una rendija dividida en
un gran número de pequeñas zonas, cada una de ancho &y, como se observa en la
Sgura 38.7. Cada zona actúa como una fuente de radiación coherente y cada una
contribuye con un campo eléctrico incrementa! de magnitud AE en algún punto P

6. 1216 CAPITULO 38 Difracción y polarización
Figura 38.7 Difracción de Fra
hofer mediante una sola rendija,
Pantalla
de observación
intensidad luminosa en el punto P
I
la resultante de todas las magnitudes
de campo eléctrico increméntales d r-
de las zonas de ancho Ay.
Experimento sorpresa sobre la pantalla. Obtenemos la magnitud del campo eléctrico total £en el punto P
Haga una V con sus dedos índice y al sumar las contribuciones de todas las zonas. La intensidad de luz en el punto Pe*
medio. Mantenga su mano muy cer- proporcional al cuadrado de la magnitud del campo eléctrico (véase la sección
ca de su ojo, de tal manera que esté 37.3).
viendo entre sus dos dedos hacia el Las magnitudes increméntales del campo eléctrico entre zonas adyacentes están
área brillante. Ahora junte sus dedos fuera de fase entre sí en una cantidad A|3, donde la diferencia de fase A|i se relacio-
hasta que sólo exista una muy delga-
da rendija entre ellos. Usted será ca- na con la diferencia de trayectoria A;y sen 9 entre zonas adyacentes mediante la ex-
paz de ver una serie de líneas parale- presión
las. Aunque las líneas parezcan estar
localizadas en el estrecho espacio en- 2-n-
tre sus dedos, lo que realmente está A/3 = — A)1 sen 6 (38.2)
viendo es un patrón de difracción A
que está sobre su retina.
Para encontrar la magnitud del campo eléctrico total sobre la pantalla a cual-
quier ángulo 9, sumamos las magnitudes increméntales A£ producidas por cada zo-
na. Para valores pequeños de 6 podemos suponer que todos los valores A£ son los
mismos. Es conveniente emplear diagramas de fasores para diversos ángulos, como
se muestra en la figura 38.8. Cuando 9 = O, todos los fasores se alinean como se pre-
senta en la figura 38.8a, debido a que todas las ondas de las diversas zonas están en
fase. En este caso el campo eléctrico total en el centro de la pantalla es £„ = A/A£,
donde N es el número de zonas. La magnitud resultante E¡{ a cierto ángulo peque-
ño 6 se observa en la figura 38.8b, donde cada fasor difiere en fase de uno adyacen-
te en una cantidad A/3. En este caso ER es el vector suma de las magnitudes incre-
c)
0=3*
b)
Figura 38.8 Diagrama de fasores para obtener los diversos máximos y mínimos de un patrón de di-
fracción de una sola rendija.

7. 33.2 Difracción de rendijas estrechas 1217
mentales y por tanto se da por la longitud de la cuerda. En consecuencia, ER < EQ.
La diferencia de fase total (3 entre las ondas de las partes superior e inferior de la
rendija es
2?r 2?r
(3 = JVA/3 = — N Aj>sen 9 = —asen 9 (38.3)
A A
donde a = N &y es el ancho de la rendija.
A medida que 0 aumenta, la cadena de fasores termina por formar la trayecto-
ria cerrada, que se presenta en la figura 38.8c. En este punto el vector suma es ce-
ro, así que EH=0 corresponde al primer mínimo sobre la pantalla. Observando que
0 = NA/3 = 2ir en tal situación, se ve a partir de la ecuación 38.3 que
277-
2?7 = — a sen B
sen 0 = —
Es decir, el primer mínimo en el patrón de difracción ocurre cuando sen Q = A/a;
lo cual concuerda con la ecuación 38.1.
A valores más grandes de B, la cadena espiral de fasores se estrecha. Por ejem-
plo, la figura 38.8d representa la situación correspondiente al segundo máximo, el
cual ocurre cuando fi = 360° + 180° = 540° (STT rad). El segundo mínimo (dos espi-
rales completos que no se muestran) corresponde a /3 = 720° (4jr rad), lo cual satis-
face la condición sen Q - 2A/O.
La magnitud ERe intensidad /totales del campo eléctrico en cualquier punto P
sobre la pantalla en la figura 38.7 puede obtenerse considerando el caso límite en
el cual A;y se vuelve infinitesimal (dy) y Nse aproxima a ». En este límite la cadena
de fasores en la figura 38.8 se convierte en la curva roja de la figura 38.9. La longi-
tud de arco de la curva es £„, ya que es la suma de las magnitudes cíe los fasores (que
es la magnitud de campo eléctrico total en el centro de la pantalla). De acuerdo con
esa misma figura, vemos que a cierto ángulo 6, la magnitud del campo eléctrico re- Figura 38.9 Diagrama de fasore
para un gran número de fuentes co
sultante sobre la pantalla E,¡, es igual a la longitud de la cuerda. Del triángulo que herentes. Advierta que todos los ex
contiene al ángulo /3/2, vemos que tremos de los fasores están sobre un
arco circular rojo de radio R. La mag
sen — = nitud de campo eléctrico resultante
2 R ER es igual a la longitud de la cuerda
donde R es el radio de curvatura. Pero la longitud del arco £0 es igual al producto
Rf3, donde /3 está en radianes. Combinando esta información con la expresión ante-
rior se obtiene
jS . l fi , ** 03/2)1
ER = 2/tsen — = 2 — sen — = £0 -
2 2 °
Ya que la intensidad luminosa resultante /en el punto P sobre la pantalla es propor-
cional al cuadrado de la magnitud ER, encontramos que
senJ/3/2)? Intensidad de un patrón de
! máx
(38.4) difracción de Fraunhofer
de una sola rendija
donde /máx es la intensidad en 0 = O (el máximo central). La sustitución de esta ex-
presión para /3 (ec. 38.3) en la ecuación 38.4 origina
sen (TTÍZ sen 0/A)
/ = /„
6/)

8. 1218 CAPÍTULO 38 Difracción y polarización
Figura 38.10 a) Una gráfica de
¡': " . - : • ' . • - • ' " f.i*W •';•"' i ¡ '-'Dr i ••!"..' >:¿; : ; 3 ! ; ''«,,
la intensidad luminosa / yereus 0 2
para un patrón de difracción de
Fraunhofer de una sola rendija, bt
Fotografía de un patrón de difrac-
ción de Fraunhofer de una sola ren-
dija. {De M. Cagneí, M. Francon y J. C
Thierr, Atlas de fenómenos ópticos, Btrtí*.
Sfmngfr-Verlag, 1962, piafa 18.)
A partir de este resultado vemos que los mínimos ocurren cuando
•jra sen 6
~~Á = m-rr
o
Condición para mínimos sen 0 = m- m = ±l,±2, + 3,...
de intensidad a
esto concuerda con la ecuación 38.1.
La figura 38.10a representa una gráfica de la ecuación 38.5, y la figura 38.10b
es una fotografía de un patrón de difracción de Fraunhofer de una sola rendija. Ob-
serve que la mayor parte de la intensidad luminosa se concentra en la franja brillan-
te central.
EJEMPLO 38.2 Intensidades relativas de los máximos
Encuentre la relación de las intensidades de los máximos se-
cundarios y la intensidad del máximo central para un patrón sen (5-7T/2) 1
= 0.016
de difracción de Fraunhofer de una sola rendija. 57T/2 25772/4
Solución Para una buena aproximación, los máximos se- Lo cual significa que el primer máximo secundario (el adya-
cundarios se encuentran a la mitad entre los puntos cero. De cente al máximo central) tiene una intensidad de 4.5% del
acuerdo con la figura 38.10a, vemos que esto corresponde a máximo central, y el siguiente máximo secundario tiene una
valores /3/2 de STT/S, 57T/2, 7ir/2, . . . Sustituyendo estos va- intensidad de 1.6% de la correspondiente al máximo central.
lores en la ecuación 38.4 obtenemos para las primeras dos re-
laciones Ejercido Determine la intensidad, respecto al máximo cen-
/! senOjr/2)] 2 1
45
*máx 37T/2 J 9.V4 Respuesta 0.008 3.
Intensidad de patrones de difracción de doble rendija
Cuando hay más de una rendija presente, se debe considerar no sólo la difracción
debida a las rendijas individuales, sino también la interferencia de las ondas que vie-
nen desde las diferentes rendijas. Quizá usted observó que la línea curva disconti-
nua de la figura 37.13, que indica una disminución en la intensidad de los máximos

9. 35.2 Difracción de rendijas estrechas
de interferencia como O, aumenta. Tal disminución se debe a ta difracción. Para de-
terminar los efectos de la interferencia y de la difracción simplemente combinamos
la ecuación 37.12 y la ecuación 38.5:
'máx ( misen O ) sen (Trasen 0/A)
A J sen 0/A
(38.6)
Aunque esta fórmula parece complicada, sólo representa el patrón de difracción (el
factor entre corchetes) actuando como una "envoltura" para un patrón de interfe-
rencia de doble rendija (el factor coseno cuadrado), como se muestra en la figura
38.11.
La ecuación 37.2 indica las condiciones para la interferencia máxima cuando
d sen 8 = m, donde d es la distancia entre las dos rendijas. La ecuación 38.1 espe-
cifica que el primer mínimo de difracción ocurre cuando a sen 8 = A, donde a es el
ancho de la rendija. Dividiendo la ecuación 37.2 entre la ecuación 38.1 (con m = 1)
es posible determinar qué máximo de interferencia coincide con el primer mínimo
de difracción:
dsen 9 mA
asen 0
d
— =m (38.7)
a
En la figura 38.11, d/a = 18 ¿í.m/3.0 /xm = 6. Así, el sexto máximo de interferen-
cia (si se cuenta al máximo central como m - 0) está alineado con el primer míni-
mo de difracción y no se puede ver.
Envolvente
de difracción
"0/2
Figura 38.11 Efectos combinados de difracción e interferencia. Éste es el patrón que se produce
cuando ondas luminosas de 650 nm pasan por dos rendijas de 3.0 fim que están separadas 18 ¿¿m. Ob-
serve cómo el patrón de difracción actúa como una "envolvente" y controla la intensidad de los máxi-
mos de interferencia regularmente espaciados. (Fotografía cortesía de Central Sdentific Company)

10. CAPÍTULO 38 Difracción y polarización
Pregunta sorpresa 38.2
Usando la figura 38.11 como punto inicial, haga un bosquejo del patrón de difracción e in-
terferencia combinado para ondas luminosas de 650 nm que pegan sobre dos rendijas de
3.0 /j,m localizadas a 9.0 /xm de separación.
RESOLUCIÓN DE ABERTURA CIRCULAR
Y DE UNA SOLA RENDIJA
La capacidad de los sistemas ópticos para distinguir entre objetos muy próximos e*
limitada debido a la naturaleza ondulatoria de la luz. Para entender esta dificultad
considere la figura 38.12, la cual muestra dos fuentes de luz alejadas de una rendija
estrecha de ancho «. Las fuentes pueden considerarse como dos fuentes puntuales
no coherentes S, y S2. Por ejemplo, podrían ser dos estrellas distantes. Si no hay di-
fracción, dos puntos (o imágenes) brillantes distintos se verían sobre la pantalla de
observación. Sin embargo, debido a la difracción, cada fuente se proyecta como una
región central brillante flanqueada por franjas débiles brillantes y oscuras. Lo que
se observa sobre la pantalla es la suma de dos patrones de difracción, uno de S, y el
otro de S.,.
Si las dos fuentes están separadas lo suficiente para evitar que se traslapen sus
máximos centrales, como en la figura 38.12a, sus imágenes pueden distinguirse y se
dice que están resueltas. Sin embargo, si las fuentes están demasiado juntas, como se
muestra en la figura 38.12b, los dos máximos centrales se traslapan y las imágenes
no están resueltas. Para decidir cuándo dos imágenes están resueltas a menudo se
emplea el siguiente criterio:
Cuando el máximo central de una imagen cae sobre el primer mínimo de otra
imagen, se dice que las imágenes están resueltas. Esta condición límite de resolu-
ción se conoce como criterio de Rayleigh.
La figura 38.13 ilustra los patrones de difracción de tres situaciones. Cuando los
objetos están muy alejados, sus imágenes están bien resueltas (Fig. 38.13a). Las imá-
Rendija Pantalla de observación Rendija Pantalla de observación
a) b)
Figura 38.12 Dos fuentes puntuales alejadas de una rendija estrecha producen cada una un patrón
de difracción, a) El ángulo subtendido por las fuentes en la rendija es bastante grande para que se dis-
tingan los patrones de difracción, b) El ángulo subtendido por las fuentes es tan pequeño que sus pa-
trones de difracción se traslapan y las imágenes no se resuelven bien. {Advierta que los ángulos están
considerablemente exagerados. El dibujo no está a escala.)

11. 38.3 Resolución de abertura circular y de una sola rendija 1221
a) h)
igura 38.13 Los patrones de difracción de dos fuentes puntuales (curvas continuas) y el patrón re-
ultante (curvas discontinuas) para diferentes separaciones angulares de las fuentes. En cada caso la
urva discontinua es la suma de las dos curvas continuas, a) las fuentes están bastante separadas, y los
airones se resuelven bien, b) Las fuentes eslán muy cercanas entre sí, de manera que la separación
ngular apenas satisface el criterio de Rayleígh, y los patrones se resuelven exactamente, c) Las fuen-
cs están tan cercanas que los patrones no se resuelven. (Dt M. Cagnet, M. Fmwon J. C. Thitrr, Atlas de fc-
lómenos ópticos, Berlín, Springer-Veríag, 1962, placa 16.)
Tenes se resuelven exactamente cuando la separación angular de los objetos satisfa-
:e el criterio de Rayleigh (véase la figura 38.13b). Por último, cuando los objetos es-
lán tan cercanos entre sí, las imágenes no se resuelven (véase la figura 38.13c).
De acuerdo con el criterio de Rayleigh, podemos determinar la separación an-
gular mínima 0míll, subtendida por las fuentes en la rendija para la cual sus imáge-
nes apenas se resuelven. La ecuación 38.1 indica que el primer mínimo en un pa-
rrón de difracción de una sola rendija ocurre a un ángulo para el cual
sen 0 = ~
a
donde a es el ancho de la rendija. De acuerdo con el criterio de Rayleigh, esta ex-
presión proporciona la separación angular más pequeña para la cual se resuelven las
dos imágenes como A « a en muchas situaciones, sen 8 es pequeño y podemos em-
plear la aproximación sen 6=0. Por tanto, el ángulo de resolución límite para una
rendija de ancho a es
(38.8)
Figura 38.14 El patrón de difrac-
ción de una abertura circular está
donde 6m(n se expresa en radianes. Por tanto, el ángulo subtendido por las dos fuen- compuesto por un disco brillante cen-
tes en la rendija debe ser mayor que /a si las imágenes van a estar resueltas. tral rodeado por anillos concéntricos
brillantes y oscuros. (De Ai. Cagnet,
Muchos sistemas ópticos emplean aberturas circulares en lugar de rendijas. El Af. Francon y J. C. Thierr, Atlas de fenóme-
patrón de difracción de una abertura circular, ilustrado en la figura 38.14, consta de nos ópticos, Berlín, Sftringer-Vrríag, 1962, pla-
un disco brillante circular central rodeado por anillos brillantes y oscuros progresi- ca 34.)

12. 1222 CAPÍTULO 38 Difracción y polarización
vamente más tenues. Los análisis muestran que el ángulo de resolución límite de la
abertura circular es
Ángulo de resolución límite para ÍU=1.22- (38.9
una abertura circular
donde D es el diámetro de la abertura. Advierta que la ecuación 38.9 es similar a la
ecuación 38.8 excepto por el factor de 1.22, el cual surge de un complejo análisb
matemático de la difracción a partir de una abertura circular.
EJEMPLO 38 Límite de resolución de un microscopio
Se emplea luz de 589 nm para ver un objeto bajo un micros- el espectro visible. La luz violeta (400 nm) nos proporciona
copio. Si la abertura del objetivo tiene un diámetro de 0.900 un ángulo de resolución limitante de
cm, a) ¿cuál es el ángulo de resolución límite?
400 x !Q-9m
emin = 1.2 0.900 x l(T 2 m
= 5.42 x
Solución a) Usando la ecuación 38.9 se encuentra que el án-
gulo de resolución límite es
c) Suponga que el espacio entre el objeto y el objetivo es-
tá lleno de agua ( n = 1.33). ¿Qué efecto tendría esto en la ca-
589 x 10-9m pacidad de resolución cuando se usa luz de 589 nm?
m = 1.22Í = 7.98x10'5 rad
0 x
Solución Se encuentra que la longitud de onda en el agua
Lo cual significa que dos puntos cualesquiera sobre el objeto es de 589 nm de luz usando la ecuación 35.7:
que subtiendan un ángulo menor que esto en el objetivo no
pueden distinguirse en la imagen. 589 nm
i •' 11 i = 443 nm
1.33
b) Si fuera posible emplear luz visible de cualquier longi-
tud de onda, ¿cuál sería el límite de resolución máximo de es- El ángulo de resolución limitante en esta longitud de onda es
te microscopio? ahora más pequeño que el que se calculó en el inciso a:
443 x
Solución Para obtener el ángulo limitante más pequeño te- mín *•*- = 6.00x10'5 rad
nemos que usar la longitud de onda más corta disponible en 0.900 x 10"2m
EJEMPLO 38 Resolución de un telescopio
El telescopio Hale en Monte Palomar tiene un diámetro de ajusta por borrosidad atmosférica. Tal límite de visión suele
200 pulg. ¿Cuál es el ángulo de resolución limitante para lu? ser cercano a 1 s de arco y nunca es más pequeño que apro-
de 600 nm? ximadamente 0.1 s de arco. Se trata de una de las razones pa-
ra la superioridad de las fotografías del telescopio espacial
Solución Puesto que D = 200 pulg = 5.08 m y A = 6.00 x Hubble, el cual contempla objetos en el espacio desde una po-
10~7 m, la ecuación 38.9 produce sición orbital por encima de la atmósfera.
6 min- 1.22- -1.
8 - 1 22 - 1 6 - 00 * 10 " 7 ™
Ejercido El gran radiotelescopio en Arecibo, Puerto Rico,
tiene un diámetro de 305 m y está diseñado para detectar on-
= 1 .44 x 10-7 rad = 0.03 s de arco das de radio de 0.75 m. Calcule el ángulo de resolución mí-
nimo para este telescopio y compare su respuesta con el va-
Dos estrellas cualesquiera que subtiendan un ángulo mayor o lor correspondiente al telescopio Hale.
igual que dicho valor están resueltas (suponiendo condicio-
.
nes atmosféricas ideales).
El telescopio Hale nunca puede alcanzar su límite de di- Respuesta 3.0 x 10~s rad (10 min de arco), más de 10 000
fracción porque su ángulo de resolución limitante siempre se veces más grande (es decir, peor) que el mínimo del Hale.
EJEMPLO 38. Resolución del ojo
Calcule el ángulo de resolución limitante para el ojo huma- Solución Se elige una longitud de onda de 500 nm, cerca
no, suponiendo que su resolución está limitada sólo por di- del centro del espectro visible. Aunque el diámetro de la pu-
fracción. pila varia de persona a persona, calculamos un diámetro de

13. 38.3 Resolución de abertura circular y de una sola rendija 1223
2 mm. Se usa la ecuación 38.9 lomando A = 500 nm y D = 2
mm:
A (S.OOxlO-'m
0mfn = 1.22— = 1.22
D 2xlO- 3 m
= 3 x lO^rad = 1 min de arco
Podemos usar el resultado para calcular la distancia de se-
paración mínima d entre las dos fuentes puntuales que el ojo
puede distinguir si hay una distancia L desde el observador
(véase la figura 38.15). Como Bmín es pequeña, vemos que Figura 38.15 Dos fuentes puntuales separadas por una distancia d
cuando se observan por medio del ojo.
Seil VAtfn —' Vmín —" ~"~
Ejercido Suponga que la pupila está dilatada hasta un diá-
metro de 5.0 mm y que está mirando hacia dos fuentes pun-
tuales a 3.0 m. ¿A qué distancia deben estar las fuentes para
Por ejemplo, si las fuentes puntuales están a 25 cm del ojo (el
que el ojo las pueda definir?
punto cercano), entonces
d = (25 cm)(3 x l<r* rad) = 8 x 10's cm Respuesta 0.037 cm.
Que es aproximadamente igual al espesor de un cabello hu-
mano.
APLICACIÓN Diseño de un altavoz
Las tres vías de un sistema de altavoz mostrado en la figura
38.16 contienen un woofer, una bocina de rango medio y una
tweeter. El pequeño diámetro del tweeter es para frecuencias
altas, y el gran diámetro del woofer es para frecuencias bajas.
La bocina de rango medio de diámetro intermedio se usa
para la banda de frecuencias arriba de la frecuencia alta de
corte del woofer y abajo de la frecuencia baja de corte del
tweeter. El circuito conocido como malla de paso incluye fil-
tros de paso bajo, de medio rango y de paso alto que envían
la señal eléctrica al altavoz apropiado. El tamaño de la aber-
tura efectiva de un altavoz es aproximadamente su diámetro.
Puesto que las longitudes de onda de las ondas sonoras son
comparables con los tamaños típicos de los altavoces, los efec-
tos de difracción determinan el patrón de radiación angular.
Será más efectivo un altavoz que radie sonido sobre un am-
plio rango de ángulos de tal manera que el oyente no tenga
que pararse en un punto particular en el cuarto para escuchar
la máxima intensidad del sonido. Con base en el patrón de
radiación angular investigaremos el rango de frecuencias para
el cual a 6 pulg (0.15 m) la bocina de medio rango sea la más
útil.
La rapidez del sonido en el aire es de 344 m/s, y para una
abertura circular los efectos de difracción serán importantes
cuando A = 1.22D, donde D es el diámetro de la bocina. Por
tanto, se esperaría que la bocina radiara de manera no uni-
forme para todas las frecuencias arriba de
344 m/s
= 1900Hz
1.22(0.15 m) figura 38.16 Un sistema de altavoz de audio para reproducción
de sonido con alta fidelidad. El tweeter está en la parte superior, la
Suponga que nuestros diseños especifican que la bocina de bocina de medio rango está en el medio, y el woofer está en la parte
medio rango opera entre 500 Hz (la frecuencia superior de inferior, (¡ntemational Stock Photography)

14. 1224 CAPÍTULO 38 Difracción y polarización
corte para el woofer) y 2 000 Hz. Mediciones de la dispersión do de 500 Hz es bastante uniforme. El rango angular es
del sonido radiado a una gran distancia adecuada desde el al- cientemente grande, lo que nos permite decir que este
tavoz proporcionan los perfiles angulares de intensidad de so- voz de rango medio satisface el criterio del diseño. La int
nido que se muestran en la figura 38.17. Al examinar estas sidad de un sonido de 2 000 Hz disminuye a cerca de la
gráficas se observa que el patrón de dispersión para el soni- de su valor máximo casi 30° de la línea central.
1 ••:< - , • "1 . i- .
, ' '"*• -, i ~,í • .
*— 1 ~ -i. •• .-
-'• ->.:i; :
¡i^-. :•+£-,..:,-- .-}•'•'..- •-,•;•-. i. .,'- '-i:
a) 500 Hz 0.5 •i .
g (grados)
-50 0 50
•Y..', - . •• M : -, " ¡i;, '.-.>! • .,-
b) 2000Hz
-50
Figura 38.17 Dispersión angular de intensidad del sonido /para un altavoz de ran-
go medio en a) 500 Hz y b) 2 000 Hz.
LA REJILLA DE DIFRACCIÓN
La rejilla de difracción, un dispositivo útil para analizar fuentes luminosas, se com-
pone de un gran número de rendijas paralelas igualmente espaciadas. Una rejilla de
transmisión puede hacerse cortando líneas paralelas sobre una placa de vidrio con
una máquina de rayado de precisión. Los espacios entre las líneas son transparentes
a la luz y, en consecuencia, actúan como rendijas individuales. Una rejilla de reflexión
puede hacerse cortando líneas paralelas en la superficie de un material que refleja.
La reflexión de la luz de los espacios entre las líneas es especular, y la reflexión de
las líneas cortadas en el material es difusa. Por consiguiente, los espacios entre las lí-
neas que actúan como fuentes paralelas de luz reflejada, se parecen a las rendijas en
una rejilla de transmisión. Las rejillas que tienen muchas líneas demasiado juntas
pueden tener espaciamientos de rendija muy pequeños. Por ejemplo, una rendija
rayada con 5 000 líneas/cm tiene un espaciamiento de rendija d= (1/5 000) cm =
2.00 x 10-4 cm.

15. 38.4 La rejilla de difracción 1225
Pantalla de -2 -l
observación
8= dsend
Figura 38.18 Vista lateral de una rejilla de difracción. La separación de rendijas es d, y la diferen-
cia de trayectoria entre rendijas adyacentes es dsen 6.
2A
d
sen 6
Una sección de una rejilla de difracción se ilustra en la figura 38.18. Una onda
plana incide desde la izquierda, normal al plano de la rejilla. Un lente convergente
junta los rayos en el punto P. El patrón observado sobre la pantalla es el resultado Figura 38.19 Intensidad versus
de los efectos combinados de interferencia y difracción. Cada rendija produce di- sen 8 para una rejilla de difracción.
Se muestran los máximos de orden
fracción, y los rayos difractados interfieren entre sí para producir el patrón final. cero, primero y segundo.
Las ondas de todas las rendijas están en fase cuando dejan las rendijas. Sin em-
bargo, para alguna dirección arbitraria 0 medida desde la horizontal, las ondas de-
ben recorrer diferentes longitudes de trayectoria antes de llegar al punto P. Obser-
re en la figura 38.18 que la diferencia de trayectoria 5 entre rayos de dos rendijas
adyacentes cualesquiera es igual a d sen 0. Si tal diferencia de trayectoria es igual a
una longitud de onda o a algún múltiplo entero de una longitud de onda, entonces
las ondas provenientes de todas las rendijas están en fase en el punto Py se observa
una franja brillante. Por consiguiente, la condición para máximos en el patrón de
interferencia en el ángulo 0 es
^^^^^m Condición para el máximo de
dsen0=mA m=0,1,2,3,... (38.10) interferencia en una rejilla
La expresión anterior puede emplearse para calcular la longitud de onda a par-
tir del conocimiento del espaciamiento de la rejilla y del ángulo 0. Si la radiación in-
cidente contiene varias longitudes de onda, el máximo de orden m-ésimo para cada
longitud de onda ocurre a un ángulo específico. Todas las longitudes de onda se ven
en 0 = 0 , lo que corresponde a m = O, el máximo de orden cero. El máximo de pri-
mer orden (m= 1) se observa en un ángulo que satisface la relación sen 9= /d; el
máximo de segundo orden (m = 2) se observa en un ángulo 0 más grande, y así su-
cesivamente.
La distribución de intensidades para una rejilla de difracción obtenida emplean-
do una fuente monocromática se muestra en la figura 38.19. Advierta la nitidez del
máximo principal y la amplitud de las áreas oscuras. Lo anterior contrasta con la am-
plitud característica de franjas brillantes del patrón de interferencia de doble rendi-
ja (véase la figura 37.6). Ya que los máximos principales son definidos, éstos tienen
mucho más brillo que los máximos de interferencia de las dos rendijas. La razón de

16. 1226 CAPITULO 38 Difracción y polarización
a)
Figura 38.20 a) Suma de dos
onda para dos rendijas, b) Suma de da
frentes de onda de diez rendijas. La
resultante es mucho más intensa en H i
b) so b que en el inciso a.
Experimento sorpresa ello se ilustra en la figura 38.20, en la que la combinación de frentes de onda mii
üples para una rejilla de diez rendijas se compara con los frentes de onda para •
Párese a un par de metros de un fo-
co. Enfrente de la luz, sostenga un sistema de dos rendijas. Las rejillas reales tienen miles de veces más rendijas y.
disco compacto aproximadamente a tanto, los máximos son aún más intensos.
10 cm de su ojo e inclínelo hasta Un dibujo esquemático de un aparato sencillo utilizado para medir ángulos
que la reflexión del foco se localice un patrón de difracción se presenta en la figura 38.21. Se trata de un espectróme-
en el hoyo del centro del disco. Us-
tro de rejilla de difracción. La luz que se analiza pasa a través de una rendija, y ••'
ted verá al espectro radiando hacia
afuera del centro con luz violeta en haz de luz colimado incide sobre la rejilla. La luz difractada sale de la rejilla en ar>-
el interior y luz roja en el exterior. gulos que satisfacen la ecuación 38.10, y con un telescopio se observa la imagen dt
Ahora aleje el disco hasta que la la rendija. La longitud de onda puede determinarse midiendo los ángulos preciso»
banda violeta esté en el extremo ex- a los cuales las imágenes de la rendija aparecen para los diversos órdenes.
terior. Mida con cuidado la distancia
desde su ojo al centro del disco y
también determine el radio del dis-
co. Con esta información encuentre
el ángulo 8 para el máximo de pri-
mer orden de la luz violeta. Ahora
use la ecuación 38.10 para determi-
nar el espaciamiento entre los surcos
del disco. El estándar de la industria
es 1.6 ¿¿m. ¿Qué tan cerca está us-
ted?
Rejilla
Figura 38.21 Diagrama de un espectrómetro de rejilla de difracción. El haz colimado incidente so-
bre la rejilla se difracta en los diversos órdenes a los ángulos 8 que satisfacen la ecuación d sen 8 = mÁ,
donde m = 0 , 1, 2,...

17. 38.4 La rejilla de difracción 1227
EJEMPLO CONCEPTUAL 38.6 El disco compacto es una rejilla de difracción
La figura 38.22 se muestra que la luz reflejada en la super-
* de un disco compacto tiene una apariencia multicolor,
colores y sus intensidades dependen de la orientación del
en relación con el ojo y la fuente luminosa. Explique
funciona.
La superficie de un disco compacto tiene una pis-
lalada (con canales adyacentes que tienen una separa-
del orden de 1 ¿un). Así, la superficie actúa como una
de reflexión. La luz reflejada desde las regiones entre
surcos muy próximos entre sí interfiere constructiva-
sólo en ciertas direcciones que dependen de la longi-
de onda y de la dirección de la luz incidente. Cualquier
in del disco sirve como una rejilla de difracción para luz
enviando diferentes colores en diferentes direcciones,
distintos colores que se ven cuando se observa una sec- Figura 38.22 Un disco compacto observado bajo luz blanca. Los
del disco cambian cuando la fuente luminosa, el disco o colores que se advierten en la luz reflejada y sus intensidades depen-
jrvador se mueven para variar los ángulos de inciden- den de la orientación del disco en relación con el ojo y la fuente lu-
o difracción. minosa. (Kristen Brochmann /Fundamental Photographs)
~:=*PLO 38.7 Los órdenes de una rejilla de difracción
LEZ monocromática de un láser de helio-neón (A = 632.8 nm)
oóe en dirección normal sobre una rejilla de difracción Q,= 22.31°
condene 6 000 líneas por centímetro. Encuentre los án-
Para el máximo de segundo orden (m = 2) encontramos
a los cuales pueden observarse los máximos de prime-
tegundo y tercer órdenes.
„„
ion Primero debemos calcular la separación de rendi- 1 667 nm
cual es igual al inverso del número de líneas por centí-
02 - 49.39°
m = 1.667 x lO-'cm = 1667 nm Para m = 3 encontramos que sen 0S = 1.139. Puesto que
d=
6000 sen O no puede ser mayor que la unidad, lo cual no represen-
ta una solución realista. En consecuencia, sólo se observan en
el máximo de primer orden (m= 1) obtenemos esta situación los máximos de cero, primero y segundo órde-
A 632.8 nm nes.
sen e - = = 0.3796
d 1667 nm
•tencia de resolución de la rejilla de difracción
*üa de difracción es más útil para medir con exactitud las longitudes de onda.
l^al que el prisma, la rejilla de difracción puede emplearse para dispersar un es-
••*> en sus componentes de longitud de onda. De los dos dispositivos, la rejilla
ear ser más precisa si uno desea disünguir dos longitudes de onda muy cercanas,
i A, y A 2 son dos longitudes de onda casi iguales, de modo que una rejilla de
>n apenas puede distinguirlas, la potencia de resolución fíde la rejilla se de-
wno
R= (38.11) Potencia de resolución
AQ — Ai AA
A = (A] + A 2 )/2 y AA = A;, - A,. Así, una rejilla con una alta potencia de reso-
puede distinguir pequeñas diferencias en la longitud de onda. Además, si N

18. 1228 CAPÍTULO 38 Difracción y polarización
líneas de la rejilla se iluminan, puede mostrarse que la potencia de resolución en la
difracción de orden m-ésimo es
Potencia de resolución de una
rejilla * = M» (38.12)
Por consiguiente, la potencia de resolución aumenta conforme aumenta el número
de orden y con el número creciente de rendijas iluminadas.
Observe que para m= O, R= O, lo cual significa que todas las longitudes de on-
da son indistinguibles en el máximo de orden cero. Sin embargo, considere el pa-
trón de difracción de segundo orden (m = 2) de una rejilla que tiene 5 000 línea*
iluminadas por la fuente de luz. La potencia de resolución de una rejilla de este ti-
po en el segundo orden es R = 5 000 x 2 = 10 000. Por consiguiente, para una lon-
gitud de onda media de, por ejemplo, 600 nm, la mínima separación de longitud de
onda entre dos líneas espectrales que se pueden resolver es AA = /R = 6.00 x 10~:
nm. Para el máximo principal de tercer orden, R= 15 000 y AA = 4.00 X 10""2 nm, y
así sucesivamente.
Una de las aplicaciones más interesantes de la difracción es la holografía, la cual
se usa para crear las imágenes tridimensionales que se encuentran prácticamente en
cualquier parte, desde las tarjetas de crédito hasta los timbres postales. La produc-
ción de las películas de difracción especiales se analiza en el capítulo 42 de la ver-
sión ampliada de este libro.
EJEMPLO 38.8 Resolución de las líneas espectrales del sodio
Cuando un elemento resalta a una temperatura muy alta, los b) Para resolver estas líneas en el espectro de segundo or-
átomos emiten radiación que tiene longitudes de onda discre- den, ¿cuántas líneas de la rejilla deben iluminarse?
tas. El conjunto de longitudes de onda para un elemento da-
do se llama espectro atómico. Dos componentes intensos eu el Solución A partir de la ecuación 38.12 y los resultados del
espectro atómico del sodio tienen longitudes de onda de inciso a, encontramos que
589.00 nm y 589.59 nm. a) ¿Cuál debe ser la potencia de re-
solución de una rejilla para distinguir dichas longitudes de iv = — = — = 500 líneas
onda? m 2
Solución
A 589.30 nm 589.30
R =— = = = 999
AA 589.59 nm - 589.00 nm 0.59
Sección opcional
38.5^ DIFRACCIÓN DE RAYOS X POR CRISTALES
En principio, la longitud de onda de cualquier onda electromagnética puede deter-
minarse si se dispone de una rejilla con el espaciamiento apropiado (del orden de
A). Los rayos X, descubiertos por Wilhelm Roentgen (1845-1923) en 1895, son on-
das electromagnéticas de longitud de onda muy corta (del orden de 0.1 nm). Como
se puede ver, sería imposible construir una rejilla que tuviera un espaciamiento tan
pequeño por el proceso detallado descrito al inicio de la sección 38.4. Sin embargo.
se sabe que el espaciamiento atómico en un sólido es de casi 0.1 nm. En 1913 Max
von Laue (1879-1960) sugirió que la disposición regular de átomos en un cristal po-
dría actuar como una rejilla de difracción tridimensional para los rayos X. Experi-
mentos posteriores confirmaron esta predicción. Los patrones de difracción que se
observan son complicados debido a la naturaleza tridimensional del cristal. A pesar

19. 38.5 Difracción de rayos X por cristales 1229
de eso la difracción de rayos X ha probado ser una invaluable técnica para dilucidar
las estructuras cristalinas y comprender la estructura de la materia.1
La figura 38.23 es un arreglo experimental para observar la difracción de rayos
X de un cristal. Un haz colimado de rayos X incide sobre un cristal. Los haces di-
fractados son muy intensos en ciertas direcciones, lo que corresponde a interferen-
cia constructiva de ondas reflejadas en capas de átomos en el cristal. Los haces di- Tubo
de rayos X
fractados pueden detectarse por medio de película fotográfica formando un arreglo
Colimador Película
de puntos conocidos como patrón de Laue. La estructura cristalina se puede deducir fotografíe;
analizando las posiciones e intensidades de los diversos puntos en el patrón.
La disposición de átomos en un cristal de cloruro de sodio (NaCl) se muestra Figura 38.23 Diagrama esquemáti-
en la figura 38.24. Cada celda unitaria (la geometría del sólido que se repite a tra- co de la técnica empleada para obser-
vés del cristal) es un cubo con una longitud de arista a. Un examen detenido de la var la difracción de rayos X por me-
dio de un cristal. El arreglo de puntos
estructura de NaCl muestra que los iones se ubican en planos discretos (las áreas formados sobre la película se denomi-
sombreadas en la figura 38.24). Suponga ahora un haz de rayos X incidente que for- na patrón de Laue.
ma un ángulo 6 con uno de los planos, como se muestra en la figura 38.25. El haz
puede reflejarse tanto desde el plano superior como desde el inferior. Sin embargo,
el haz reflejado desde el plano inferior viaja más lejos que el reflejado en el supe-
rior. La diferencia de recorrido efectivo entre los dos haces es 2dsen 6. Los dos ha-
ces se refuerzan uno con otro (interferencia constructiva) cuando tal diferencia de
trayectoria es igual a un múltiplo entero de A. Esto mismo es cierto para la reflexión
de la familia completa de planos paralelos. Así, la condición para la interferencia
constructiva (máximo en el haz reflejado) es
2ásen B= m= 1, 2, 3, (38.13) Ley de Bragg
Esta condición se conoce como ley de Bragg, en honor de W. L. Bragg (1890-1971),
quien dedujo esta relación. Si la longitud de onda y el ángulo de difracción se mi-
den, se utiliza la ecuación 38.13 para calcular el espaciamiento entre los planos ató-
micos.
Pregunta sorpresa 38.3
Cuando usted recibe rayos X en su pecho en un hospital, los rayos pasan a través de una
serie de costillas paralelas en su pecho. ¿Las costillas actúan como una rejilla de difracción
de rayos X?
Rayo de
luz incidente
Figura 38.24 Estructura cristalina
del cloruro de sodio (NaCl). Las esfe-
Plano superior ras azules representan los iones Cl" y
las esferas rojas representan los iones
Na*. La longitud de la arista del cubo
Plano inferior
es a = 0.562 737 nm.
dsenO
Figura 38.25 Una descripción bidimensional de la reflexión de un haz de rayos X a partir de dos
planos cristalinos paralelos separados por una distancia d. El haz reflejado desde el plano inferior via-
ja más lejos que el reflejado desde el plano superior en una distancia igual a 2d sen 0.
Para mayores detalles sobre este tema véase Sir Lawrence Bragg, "X-Ray Crystallography", Sci. Am.,
219:58-70, 1968.