El álgebra booleana.Es un sistema matemático deductivo centrado en los valores cero y uno (falso yverdadero).Un operador b...
construyendo los circuitos electrónicos con que implementar funciones booleanas,el problema de determinar una expresión mí...
 Lógica Negativa.Aquí ocurre todo lo contrario, es decir, se representa al estado "1" con los nivelesmás bajos de tensión...
 Compuerta NOT.Se trata de un inversor, es decir, invierte el dato de entrada, por ejemplo; si ponessu entrada a 1 (nivel...
Estas serían básicamente las compuertas más sencillas.                Compuertas Lógicas Combinadas.Al agregar una compuer...
 Compuerta NOR-EX.Es simplemente la inversión de la compuerta OR-EX, los resultados se puedenapreciar en la tabla de verd...
Otra manera de presentar el modus ponens con el condicional es:Y aún otra manera es a través de la notación del cálculo de...
 Silogismo hipotético:En lógica se denomina silogismo hipotético a aquel tipo de silogismo o más bienregla de inferencia ...
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El álgebra booleana

  1. 1. El álgebra booleana.Es un sistema matemático deductivo centrado en los valores cero y uno (falso yverdadero).Un operador binario “ º “ definido en éste juego de valores acepta unpar de entradas y produce un solo valor booleano, por ejemplo, el operadorbooleano AND acepta dos entradas booleanas y produce una sola salidabooleana. Para cualquier sistema algebraico existen una serie de postuladosiníciales, de aquí se pueden deducir reglas adicionales, teoremas y otraspropiedades del sistema, el álgebra booleana a menudo emplea los siguientespostulados:Cerrado: El sistema booleano se considera cerrado con respecto a un operadorbinario si para cada par de valores booleanos se produce un solo resultadobooleano.Conmutativo: Se dice que un operador binario “ º “ es conmutativo si A º B = B º Apara todos los posibles valores de A y B.Asociativo: Se dice que un operador binario “ º “ es asociativo si (A º B) º C = A º(B º C) para todos los valores booleanos A, B, y C.Distributivo: Dos operadores binarios “ º “ y “ % “ son distributivos si A º (B % C) =(A º B) % (A º C) para todos los valores booleanos A, B, y C.Identidad: Un valor booleano I se dice que es un elemento de identidad conrespecto a un operador binario “ º “ si A º I = A.Inverso: Un valor booleano I es un elemento inverso con respecto a un operadorbooleano “ º “ si A º I = B, y B es diferente de A, es decir, B es el valor opuesto deA.Sus aplicaciones, van en aumento en muchas otras áreas. En el nivel delógica digital de una computadora, lo que comúnmente se llama hardware, y queestá formado por los componentes electrónicos de la máquina, se trabaja condiferencias de tensión, las cuales generan funciones que son calculadas por loscircuitos que forman el nivel. Éstas funciones, en la etapa de diseña del hardware,son interpretadas como funciones de boole. En el presente trabajo se intenta daruna definición de lo que es un álgebra de boole; se tratan las funciones booleanas,haciendo una correlación con las fórmulas proposicionales. Asimismo, se planteandos formas canónicas de las funciones booleanas, que son útiles para variospropósitos, tales como el de determinar si dos expresiones representan o no lamisma función. Pero para otros propósitos son a menudo engorrosas, por tenermás operaciones que las necesarias. Particularmente, cuando estamos
  2. 2. construyendo los circuitos electrónicos con que implementar funciones booleanas,el problema de determinar una expresión mínima para una función es a menudocrucial. No resultan de la misma eficiencia en dinero y tiempo, principalmente, dosfunciones las cuales calculan lo mismo pero donde una tiene menos variables y lohace en menor tiempo. Como solución a este problema, se plantea un método desimplificación, que hace uso de unos diagramas especiales llamados mapas odiagramas de Karnaugh, y el cual tiene la limitación de poder trabajaradecuadamente sólo con pocas variables. Se realizan estas presentaciones con elfin de demostrar la afinidad existente entre el álgebra de boole y la lógicaproposicional, y con el objeto de cimentar el procedimiento de simplificaciónpresentado en la lógica de proposiciones.Para cada función booleana es posible diseñar un circuito electrónico y viceversa,como las funciones booleanas solo requieren de los operadores AND, OR y NOTpodemos construir nuestros circuitos utilizando exclusivamente éstos operadoresutilizando las compuertas lógicas homónimas Un hecho interesante es que esposible implementar cualquier circuito electrónico utilizando una sola compuerta,ésta es la compuerta NAND Para probar que podemos construir cualquier funciónbooleana utilizando sólo compuertas NAND, necesitamos demostrar cómoconstruir un inversor (NOT), una compuerta AND y una compuerta OR a partir deuna compuerta NAND, ya que como se dijo, es posible implementar cualquierfunción booleana utilizando sólo los operadores booleanos AND, OR y NOT.La importancia, de utilizar el Algebra de boole como herramienta fundamentalpara la solución de expresiones lógicas proposicionales, el desarrollo de circuitoselectrónicos, entre otros. La importancia de los circuitos lógicos es que con ellosse construyen todo tipo de equipos digitales como son: equipos de control,computadoras, calculadoras y muchos otros. Es fundamental para la solución deexpresiones lógicas proposicionales, el desarrollo de circuitos electrónicos, entreotros. Compuertas lógicas.  Lógica Positiva.En esta notación al 1 lógico le corresponde el nivel más alto de tensión y al 0lógico el nivel más bajo, pero que ocurre cuando la señal no está bien definida.Entonces habrá que conocer cuáles son los límites para cada tipo de señal(conocido como tensión de histéresis), en este gráfico se puede ver con mayorclaridad cada estado lógico y su nivel de tensión.
  3. 3.  Lógica Negativa.Aquí ocurre todo lo contrario, es decir, se representa al estado "1" con los nivelesmás bajos de tensión y al "0" con los niveles más altos.Por lo general se suele trabajar con lógica positiva, la forma más sencilla derepresentar estos estados es como se puede ver en el siguiente gráfico.  Compuertas Lógicas.Las compuertas lógicas son dispositivos que operan con aquellos estados lógicosmencionados en lo anterior y funcionan igual que una calculadora, de un ladoingresas los datos, ésta realiza una operación, y finalmente, te muestra elresultado.Cada una de las compuertas lógicas se las representa mediante un Símbolo, y laoperación que realiza (Operación lógica) se corresponde con una tabla, llamadaTabla de Verdad, veamos la primera.
  4. 4.  Compuerta NOT.Se trata de un inversor, es decir, invierte el dato de entrada, por ejemplo; si ponessu entrada a 1 (nivel alto) obtendrás en su salida un 0 (o nivel bajo), y viceversa.Esta compuerta dispone de una sola entrada. Su operación lógica es s igual a ainvertida.  Compuerta AND.Una compuerta AND tiene dos entradas como mínimo y su operación lógica es unproducto entre ambas, no es un producto aritmético, aunque en este casocoincidan.  Compuerta OR.Al igual que la anterior posee dos entradas como mínimo y la operación lógica,será una suma entre ambas... Bueno, todo va bien hasta que 1 + 1 = 1, el tema esque se trata de una compuerta O Inclusiva es como a y/o b*Es decir, basta queuna de ellas sea 1 para que su salida sea también 1*  Compuerta OR-EX o XOR.Es OR Exclusiva en este caso con dos entradas (puede tener más) y lo que harácon ellas será una suma lógica entre a por b invertida y a invertida por b.*Al serO Exclusiva su salida será 1 si una y sólo una de sus entradas es 1*
  5. 5. Estas serían básicamente las compuertas más sencillas. Compuertas Lógicas Combinadas.Al agregar una compuerta NOT a cada una de las compuertas anteriores losresultados de sus respectivas tablas de verdad se invierten, y dan origen a tresnuevas compuertas llamadas NAND, NOR y NOR-EX. Veamos ahora como son ycuál es el símbolo que las representa.  Compuerta NAND.Responde a la inversión del producto lógico de sus entradas, en su representaciónsimbólica se reemplaza la compuerta NOT por un círculo a la salida de lacompuerta AND.  Compuerta NOR.El resultado que se obtiene a la salida de esta compuerta resulta de la inversiónde la operación lógica o inclusiva es como un no a y/o b. Igual que antes, soloagregas un círculo a la compuerta OR y ya tienes una NOR.
  6. 6.  Compuerta NOR-EX.Es simplemente la inversión de la compuerta OR-EX, los resultados se puedenapreciar en la tabla de verdad, que bien podrías compararla con la anterior y notarla diferencia, el símbolo que la representa lo tienes en el siguiente gráfico. Inferencia lógica.La inferencia lógica es un mecanismo de derivación sintáctica que a partir de unconjunto dado de fórmulas permite derivar nuevas fórmulas, utilizandooperaciones que se denominan reglas de inferencia.  Modus ponendo ponens:En lógica, modus ponendo ponens es una regla de inferencia que tiene lasiguiente forma: Si A, entonces B A Por lo tanto, BPor ejemplo, un razonamiento que sigue la forma del modus ponens podría ser: Si está soleado, entonces es de día. Está soleado. Por lo tanto, es de día.Otro ejemplo sería Si Javier tiene rabia, es una nube. Javier tiene rabia. Por lo tanto, Javier es una nube.
  7. 7. Otra manera de presentar el modus ponens con el condicional es:Y aún otra manera es a través de la notación del cálculo de secuentes: Concondicional:  Modus ponendo tollens:En lógica, el modus ponendo tollens es una forma válida de argumento que dice: O bien A, o bien B A Por lo tanto, no BPor ejemplo, un razonamiento que sigue la forma del modus ponendo tollenspodría ser: O bien es de día, o bien es de noche. Es de día. Por lo tanto, no es de noche.Otra manera de presentar el modus ponendo tollens es:Y aún otra manera es a través de la notación del cálculo de secuentes:
  8. 8.  Silogismo hipotético:En lógica se denomina silogismo hipotético a aquel tipo de silogismo o más bienregla de inferencia que en su expresión plantea un caso hipotético, por lo cualpuede tener términos válidos o no. En la lógica proposicional un silogismohipotético puede expresar una regla de inferencia, mientras que en la historia de lalógica los silogismos hipotéticos han sido una antelación de la teoría de lasconsecuencias.En lógica proposicional: El silogismo hipotético es un argumento válido si siguela siguiente forma argumental. P → Q. Q → R. Entonces (ergo), P → R.Con operadores lógicos, esto se expresa:Donde representa la aserción lógica.En otro términos, en este tipo de argumentos si A implica a B, y B implica a C,transitivamente el primero (A) implica al tercero (C). Un ejemplo de silogismocategórico es el siguiente: Si no me despierto, no puedo ir a la fiesta. Si no voy a la fiesta, no me divertiré. Entonces, si no me despierto no me divertiré.

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