Este documento presenta un resumen sobre el álgebra de Boole y la ley de Morgan. Introduce conceptos como variables, operaciones y tablas de verdad booleanas, así como compuertas lógicas como AND, OR y NOT. Explica las propiedades del álgebra de Boole y las leyes de Morgan, y cómo se pueden aplicar para simplificar circuitos lógicos. El objetivo es comprender los fundamentos teóricos del álgebra de Boole y su importancia en el diseño de sistemas digitales.

1. MATEMÁTICA 4 1-1
DOCENTE: ING. LUIS ROBERTO REYES
MARQUEZ
CICLO 02 – 2023
TEMA:
EL ALGEBRA DE BOOLE
PRESENTA:
WENDY VANESSA AGUILAR MARTINEZ
ERNESTO JOSE GOMEZ VIGIL
GLORIA ESTEFANY SANCHEZ BASILIA
GLENDA ESMERALDA SALAZAR ARANA
3 de noviembre de 2023

2. Índice
Introducción ..........................................................................................................................3
Objetivos ...............................................................................................................................4
Objetivo General...............................................................................................................4
Objetivos Específicos ......................................................................................................4
Definiciones, constantes y variables booleanas.............................................................5
Expresiones y operaciones Booleanas.........................................................................6
Reglas del Algebra de Boole ..........................................................................................7
Propiedades del Algebra de Boole................................................................................7
Compuertas lógicas.............................................................................................................9
Leyes Básicas del algebra de Boole...............................................................................12
Circuitos lógicos en forma algebraica.............................................................................13
Circuitos a partir de expresiones Booleanas.................................................................14
El Teorema de D´Morgan .................................................................................................18
Origen del teorema de Morgan....................................................................................18
Ejemplo primera ley .......................................................................................................19
Ejemplo segunda ley .....................................................................................................20
Demostración de las leyes de De Morgan .................................................................21
Aplicación del Teorema de Morgan.............................................................................22
Resolución de ejercicios modelos...................................................................................26
Conclusión ..........................................................................................................................29
Bibliografía..........................................................................................................................30

3. 3
Introducción
En el presente trabajo de investigación se indagará sobre el álgebra de Boole el
cuál es un método para simplificar los circuitos lógicos. Es una rama especial del
álgebra que se usa principalmente en electrónica digital. Al ser muy diferente al
álgebra matemática regular y sus métodos, se aplicarán ejemplos claros y concisos
para entender las definiciones.
Se presentará una visión general de los principios básicos del Álgebra de Boole,
incluyendo los operadores lógicos fundamentales como la conjunción (AND), la
disyunción (OR) y la negación (NOT). A medida que se profundiza en esta disciplina,
se explorará cómo estas operaciones se combinan para construir funciones lógicas
más complejas y cómo pueden representarse en forma de tablas de verdad y
expresiones algebraicas.
Además de su utilidad teórica, el Álgebra de Boole tiene aplicaciones prácticas
vitales en el diseño y la implementación de circuitos digitales. Se llevará a cabo en
la investigación en cómo las puertas lógicas, como las puertas AND, OR y NOT, se
construyen utilizando los principios del Álgebra de Boole y cómo estas puertas
pueden combinarse para formar circuitos más complejos.
Por tanto, se espera que se adquiera una sólida comprensión de los fundamentos
del Álgebra de Boole y su importancia en el mundo digital. Al descubrir los misterios
detrás de esta rama fascinante de las matemáticas, se estará mejor equipado para
enfrentar los desafíos y aprovechar las oportunidades que brinda la era de la
computación y la tecnología avanzada, para así saber aplicarla al ámbito profesional
y académico.

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Objetivos
Objetivo General
Comprender el Álgebra de Boole y la Ley de Morgan, analizando sus fundamentos
teóricos y explorando sus aplicaciones en el diseño y la resolución de problemas
lógicos.
Objetivos Específicos
• Analizar los conceptos fundamentales del Álgebra de Boole, incluyendo los
operadores lógicos básicos y las leyes que rigen su manipulación
algebraica.
• Investigar en detalle la Ley de Morgan y su importancia en la simplificación
de expresiones lógicas complejas.
• Explorar las aplicaciones prácticas de la Ley de Morgan en la simplificación
y optimización de circuitos lógicos, y su impacto en el diseño de sistemas
digitales eficientes y seguros.

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Definiciones, constantes y variables booleanas
Una variable booleana es una cantidad que puede, en determinadas ocasiones, ser
igual a 0 o a 1. Las variables booleanas se emplean con frecuencia para representar
niveles de voltaje en la entradas y salidas de un circuito.
Ejemplo:
El 0 y el 1 booleanos no representan números, sino que en su lugar representan
el estado de una variable o bien lo que se conoce como su “nivel lógico”.
El álgebra de Boole está formada por un conjunto de variables Booleanas,
x∈{0,1}. Es decir, variables que sólo pueden tomar dos valores: 0 ó1, abierto o
cerrado, encendido o apagado, etc.
Un literal “l” es una variable o su negada. Existen dos tipos: literales con signo
positivo cuando representan el valor ‘1’ de la variable (𝑙 = 𝑋), y con signo negativo
cuando representa el valor ‘0’ (𝑙 = 𝑋
̅).
Una cláusula (o término C) está formada por un conjunto de literales enlazados
mediante conectivas lógicas.
Una fórmula lógica ϕ está formada por conjuntos de cláusulas enlazadas mediante
conectivas lógicas. Matemáticamente, toda fórmula lógica ϕ de n variables puede
verse también como una función multivariable, estoes ϕ:{0,1}n→{0,1}.
En este texto emplearemos indistintamente los términos de función y fórmula.
Una interpretación de una fórmula lógica ϕ es el valor lógico de la fórmulacuando
se le asignan valores de verdad (TRUE / FALSE) a sus variables. En consecuencia,
existirán tantas interpretaciones como combinaciones de

6. 6
asignaciones posibles. Se dice que una fórmula lógica es satisfacible cuando existe
al menos una interpretación que la hace verdadera.
Las operaciones booleanas básicas en el álgebra de Boole son la negación, la
conjunción y la disyunción. La negación se representa por el símbolo "~" y se utiliza
para invertir el valor de una variable booleana. La conjunción se representa por el
símbolo "𝖠" y se utiliza para indicar que ambas variables booleanas tienen que ser
verdaderas para que la expresión completa sea verdadera. La disyunción se
representa por el símbolo "∨" y se utiliza para indicar que al menos una de las
variables booleanas tiene que ser verdadera para que la expresión completa sea
verdadera.
Expresiones y operaciones Booleanas
• Variable: Símbolo que representan magnitudes lógicas.(0 ó 1).Por ejemplo:A
• Complemento: Inverso de la variable. Se representa 𝐴
̅ ó 𝐴′.
• Literal: Es una variable o el complemento de una variable.
Suma booleana=OR Multiplicación booleana =AND

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Reglas del Algebra de Boole
Propiedades del Algebra de Boole
Propiedad conmutativa de la suma:
Propiedad conmutativa del producto:

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Asociativa de la suma:
Asociativa del producto:
Distributiva:

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Compuertas lógicas
Las Compuertas Lógicas son circuitos electrónicos conformados internamente por
transistores que se encuentran con arreglos especiales con los que otorgan señales
de voltaje como resultado o una salida de forma booleana, están obtenidos por
operaciones lógicas binarias (suma, multiplicación). También niegan, afirman,
incluyen o excluyen según sus propiedades lógicas; permiten la realización de
operaciones lógicas mediante la manipulación de señales eléctricas binarias (0 o 1).
Las compuertas lógicas se basan en el álgebra de Boole, que es una rama de las
matemáticas que estudia la manipulación de variables lógicas y las operaciones que
se pueden realizar con ellas. Estas compuertas se pueden aplicar en otras áreas de
la ciencia como mecánica, hidráulica o neumática.
Existen diferentes tipos de compuertas y algunas de estas son más complejas, con
la posibilidad de ser simuladas por compuertas más sencillas. Todas estas tienen
tablas de verdad que explican los comportamientos en los resultados que otorga,
dependiendo del valor booleano que tenga en cada una de sus entradas. Existen
varios tipos de compuertas lógicas, pero las más comunes son las compuertas AND,
OR y NOT. Cada una de estas compuertas tiene una tabla de verdad que describe
su comportamiento en función de las entradas que recibe y la salida que produce.
A continuación, vamos a analizar las diferentes operaciones lógicas una por una
comenzando por la más simple, con su tabla representación y formula:
1. Compuerta AND
La compuerta AND (Y) produce una salida de 1 solo si ambas entradas son 1, de lo
contrario, la salida es 0. Su tabla de verdad es la siguiente:

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2. Compuerta OR
La compuerta OR (O) produce una salida de 1 si al menos una de las entradas es
1, de lo contrario, la salida es 0. Su tabla de verdad es la siguiente:
3. Compuerta NOT
La compuerta NOT (NO) es univariante, es decir, tiene una sola entrada y produce
una salida que es la negación de la entrada. Si la entrada es 1, la salida es 0 y si la
entrada es 0, la salida es 1. Su tabla de verdad es la siguiente:
4. Compuerta NAND
También denominada AND negada, esta compuerta trabaja al contrario de unaAND
ya que al no tener entradas en 1 o solamente alguna de ellas, esta concedeun 1 en su
salida, pero si esta tiene todas sus entradas en 1 la salida se presenta con un 0.
5. Compuerta NOR
Así como vimos anteriormente, la compuerta OR también tiene su versión inversa.
Esta compuerta cuando tiene sus entradas en estado 0 su salida estará en 1, pero

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si alguna de sus entradas pasa a un estado 1 sin importar en qué posición, su salida
será un estado 0.
6. Compuerta XOR
También llamada OR exclusiva, esta actúa como una suma binaria de un digito cada
uno y el resultado de la suma seria la salida. Otra manera de verlo es que con
valores de entrada igual el estado de salida es 0 y con valores de entrada diferente,
la salida será 1.
7. Compuerta XNOR
Esta es todo lo contrario a la compuerta XOR, ya que cuando las entradas sean
iguales se presentará una salida en estado 1 y si son diferentes la salida será un
estado 0.

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Leyes Básicas del algebra de Boole
Las leyes básicas son útiles para la manipulación y simplificación de expresiones
booleanas.
• Ley de anulación
A*0= 0 Una variable A multiplicada por 0 es igual a 0
A+1= 1 Una variable A sumada con 1 es igual a 1
• Ley de identidad
A+0= A Una variable A sumada con 0 es igual a A
A*1= A Una variable A multiplicada por 1 es igual a A
• Ley de Idempotente
A+A= A Una variable A sumada consigo misma es igual
a A
A*A= A Una variable A multiplicada consigo misma es igual a A
𝐴 ∗ 𝐴̅ = 0 Una variable A multiplicada con 𝐴̅ es igual a 0
𝐴 + 𝐴̅ = 1 Una variable A sumada con 𝐴̅ es igual a 1
• Ley Conmutativa
A*B =
B*A
El orden de las variables no hace ninguna diferencia.
A+B =
B+A
El orden de las variables no hace ninguna diferencia.
• Ley de doble negación
𝐴̅ = 𝐴 Un complemento doble de una variable es siempre igual a la
variable.

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Circuitos lógicos en forma algebraica
El álgebra de Boole permite la comprensión y facilita el manejo de diferentes
dispositivos que manipulan señales eléctricas, tales como las compuertas y los
circuitos lógicos.
Un bloque lógico es una representación simbólica gráfica de una o más variables
de entrada a un operador lógico para obtener una señal de salida. En electrónica,
estos bloques lógicos son las compuertas.
Ejemplo de bloques lógicos
Cualquier circuito lógico, sin importar que tan complejo sea, puede describirse
completamente mediante las operaciones OR, AND Y NOT. Ejemplo de esto es el
siguiente circuito:
Ejemplos de los operadores
Este circuito tiene tres entradas A, B y C y una sola salida. La expresión parar la
salida de la compuerta AND se escribe A ∙ B. Esta salida AND se conecta como
entrada a la compuerta OR junto con C. La compuerta OR opera con sus entradas
de tal forma que su salida sea la suma de OR de las entradas. Así, podemos
expresar la salida OR como x= A ∙ B + C.
Ejemplos de salidas

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La expresión A ∙ B + C se puede interpretar de dos maneras:
1. A ∙ B se opera con OR con C.
2. A se opera con AND con el término B + C.
Para evitar estas confusiones, se entenderá que, si una expresión contiene las
operaciones AND y OR, las operaciones AND se efectúan primero, a menos que
haya paréntesis en la expresión, en cuyo caso, la operación dentro del paréntesis
se realizará primero.
• Circuitos con Inversor
Siempre que un Inversor se encuentra presente en un diagrama de circuitos lógicos,
su expresión de salida es simplemente igual a la expresión de entrada con una barra
sobre ella.
La salida del Inversor se alimenta a una compuerta OR junto con B, de modo que la
salida OR sea igual a A + B. Notemos que la barra sólo está encima de A, lo cual
indica que A se invierte primero y luego se hace la operación con OR con B. En el
segundo circuito vemos que la salida de la compuerta OR es igual a A + B y se
alimenta a través de un Inversor. La salida del Inversor es por consiguiente igual a
(A + B), ya que invierte la expresión de entrada completa.
Circuitos a partir de expresiones Booleanas
Para implementar circuitos a partir de expresiones booleanas, primero es necesario
entender los conceptos básicos de la lógica booleana y los circuitos lógicos.
La lógica booleana es un sistema algebraico que se utiliza para el análisis y diseño
de circuitos digitales. En la lógica booleana, las variables pueden tener solamente
dos valores posibles, generalmente llamados "verdadero" o "falso", representados
por los valores binarios 1 y 0, respectivamente.
Los circuitos lógicos son sistemas electrónicos que implementan operaciones
lógicas basadas en la booleana. Estos circuitos se construyen utilizando
componentes electrónicos como transistores, diodos, resistencias, capacitores,
entre otros.
Para implementar circuitos a partir de expresiones booleanas, se pueden seguir los
siguientes pasos:
1. Simplificar la expresión booleana: La simplificación de la expresión booleana
reduce el número de operaciones lógicas necesarias para implementar el
circuito. Existen varias técnicas de simplificación, como el álgebra booleana,
mapas de Karnaugh, etc.

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2. Identificar los componentes necesarios: Para implementar el circuito, se
deben identificar los componentes necesarios. Cada operación lógica se
puede implementar utilizando diferentes componentes electrónicos, por lo
que es importante elegir el componente correcto para cada operación.
3. Diseñar el circuito: Una vez identificados los componentes electrónicos
necesarios, se puede diseñar el circuito. Es importante seguir un esquema
claro y ordenado, utilizando símbolos estándar para cada componente.
4. Verificar el circuito: Una vez diseñado el circuito, se debe verificar que
funciona correctamente utilizando simuladores de circuitos o construyéndolo
físicamente y probándolo.
En resumen, para implementar circuitos a partir de expresiones booleanas, se debe
simplificar la expresión, identificar los componentes electrónicos necesarios, diseñar
el circuito y verificar su funcionamiento
Para corroborar lo anterior implementamos las expresiones booleanas,
tomando las siguientes proposiciones:
Si la operación de un circuito se define por medio de una expresión booleana, es
posible construir un diagrama de circuito lógico a partir de dicha expresión. Por
ejemplo, si se desea un circuito definido por la expresión x = A * B * C, a simple vista
se observa que el circuito adecuado que cumple con esta expresión es una
compuerta AND de tres entradas.
En otras palabras, la expresión anterior se puede interpretar como una función la
cual es derivada de tres variables A, B, C, esta expresión será verdadera, será 1 o
se cumplirá cuando las tres variables se cumplan o presenten el valor de 1, esto es;
1 = 1 * 1 * 1, hay que recordar que en el ámbito de la electrónica digital sólo se
tienen contemplados dos valores posibles para las señales los cuales son 1 y 0.
Esta expresión no será verdadera cuando alguna de las variables presente un
estado distinto al 1. Lo anterior se puede observar en una tabla de verdad que define
esta expresión tabla 1.

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Si se requiere cumplir la siguiente expresión: X = A + B’
En este caso se puede observar que la variable B presenta una señalización la cual
indica que está negada, esto significa que la expresión anterior será verdadera
cuando A = 1 y B = 0 el símbolo (+) indica que se trata de una operación OR.
Este caso requiere una explicación más detallada.
La compuerta OR es un circuito que representa a (+) en donde el resultado X tomará
el valor de a o B tal y como se muestra en la tabla 2.
Tabla 2
La expresión anterior también se podría mostrar como: 1 = 1 + 0’
El símbolo ‘ o negación indica que a la variable B hay que negarla o “invertirla” para
que se cumpla con la condición, una compuerta capaz de invertir la señal es
precisamente el inversor.
El razonamiento que se aplica en estos casos sencillos es posible aplicarlo también
a circuitos más complejos. El circuito derivado del razonamiento anterior se muestra
en la figura 1.
Figura 1: Ejemplo de circuito

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A continuación, se presentan dos tablas, donde se resumen las compuertas lógicas
más importantes.

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El Teorema de Morgan.
El teorema de Morgan es un conjunto de herramientas básicas en el ámbito de
la lógica proposicional y el álgebra de Boole. Su practicidad y su éxito se basan en
su capacidad para simplificar las llamadas expresiones booleanas, pero sobre todo
porque permiten cambiar el operador de conjunción al operador de disyunción y
viceversa. Estos dos constituyen lo que conocemos como operadores lógicos,
siendo ambos muy diferentes.
Origen del teorema de Morgan
Aunque en la actualidad se aplique en ámbitos
vanguardistas y tecnológicos, el teorema de Morgan se
remonta hasta la época de Aristóteles. Sus razonamientos
sobre la lógica le llevaron a establecer una serie de
premisas. Estas establecían la validez de una inferencia que
involucra dos proposiciones lógicamente equivalentes.
Sus estudios sirvieron de base, siglos después, para
que Augustus de Morgan estudiara sus propios aportes a la lógica proposicional
partiendo de los postulados de Georgo Boole. Así es como termina por formular lo
que hoy conocemos como las leyes de Morgan, que pasan a formarparte del
lenguaje inherente a la teoría que engloba la lógica. Esta compleja teoría resulta de
gran utilidad en el entorno tecnológico. Por tanto, tiene una importancia ligeramente
mayor en un ámbito concreto: el de los autómatas programables.
Hay 2 leyes que forman parte del teorema de Morgan:
• Primera ley de Morgan: sostiene que el complemento de un producto de “n”
variables será igual que la suma de
los complementos de “n” variables.
En otras palabras, el complemento
de dos o más variables a las que se
les aplica la operación AND es
equivalente a aplicar la operación
OR.

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X · Y = X + Y
Ejemplo primera ley
Suponiendo que tenemos la siguiente expresión:
A · B · C · D
Considerando A=1, B=0, C=1 y D=0.
Aplicando la primera ley de De Morgan:
A · B · C · D = A + B + C + D
Al sustituir los valores correspondientes de las letras obtenemos:
1 · 0 · 1 · 0 = 1 + 0 + 1 + 0
Al realizar la multiplicación del lado izquierdo de la ecuación obtenemos “0”
negado.
0 = 1 + 0 + 1 + 0
Aplicamos la negación o inverso y el resultado sería:
1 = 0 + 1 + 0 + 1
Ahora bien, al sumar los números lógicos tenemos que 1 + 1 = 1 por lo tanto:
1 = 1
Representación simbólica de la primera ley
Segunda ley de Morgan: sostiene que el complemento de una suma de “n”
variables será igual que el producto de los complementos de “n” variables. En
otras palabras, el complemento de dos o más variables a las que se les
aplica la operación OR es equivalente a aplicar la operación AND.
X + Y = X · Y

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Ejemplo segunda ley
Suponiendo que tenemos la siguiente expresión:
A + B + C + D
Considerando A=1, B=0, C=1 y D=0
Aplicando el segundo teorema de De Morgan:
A + B + C + D = A · B · C · D
Al sustituir los valores correspondientes de las letras obtenemos:
1 + 0 + 1 + 0 = 1 · 0 · 1 · 0
Al realizar la suma del lado izquierdo de la ecuación obtenemos “1” negado,
recordemos que 1 + 1 = 1.
1 = 1 · 0 · 1 · 0
Aplicamos la negación o inverso y el resultado sería:
0 = 0 · 1 · 0 · 1
Ahora bien, al multiplicar el lado derecho de la ecuación obtenemos:
0 = 0
Representación simbólica de la segunda ley

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Demostración de las leyes de Morgan
Las leyes de Morgan forman parte de las equivalencias lógicas y se pueden
demostrar a través de las tablas de verdad, que se usan para conocer el valor de
verdad (cierto o falso) de una proposición.
Puesto que la conjunción solo es verdadera cuando p y q son verdaderas, su tabla
de verdad es:
Por otra parte, en la disyunción, la proposición es verdadera si p y q son verdaderas
o si al menos una de ellas lo es, pero es falsa si ambas lo son:
Ahora bien, la negación transforma lo cierto en falso y viceversa. En tal caso, los
valores de verdad de ∼(p 𝖠 q) y ∼(p ∨ q) son lo contrario de los valores de verdad
de (p 𝖠 q) y (p ∨ q):

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Y hay que comprobar que se obtienen estos resultados al llevar a cabo las tablas
de verdad respectivas de (∼ p ˅ ∼ q) y (∼ p ˄ ∼ q):
Y en efecto, al comparar las respectivas tablas de verdad, se observa que las leyes
de De Morgan se cumplen.
Aplicación del Teorema de Morgan
El Teorema de Morgan permite transformar funciones producto en funciones suma
y viceversa. Su principal aplicación práctica es realizar circuitos digitales utilizando
un solo tipo de compuerta. También es muy utilizado en el álgebra booleana para
obtener el complemento de una expresión o una función, además para simplificar
expresiones y funciones booleanas. El teorema de Morgan es una herramienta muy
útil para desarrollar circuitos digitales, que nos permite obtener la función de una
compuerta lógica con la combinación de otras compuertas lógicas, por ejemplo, se
puede realizar la función de la compuerta NAND con una compuerta OR y dos

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compuertas inversoras, y se puede obtener la función de una compuerta NOR con
una compuerta AND y dos compuertas inversoras.
Ejemplo de aplicación práctica
En este ejemplo se va a obtener la función de una compuerta NAND de tres entradas
a partir de la combinación de una compuerta OR de tres entradas y tres compuertas
inversoras, o la combinación de tres compuertas OR de dos entradas y tres
compuertas inversoras.
Compuerta NAND
Combinación de la compuerta OR y los tres inversores

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En este ejemplo se va a obtener la función de una compuerta NOR de tres entradas
a partir de la combinación de una compuerta AND de tres entradas y tres
compuertas inversoras, o la combinación de tres compuertas AND de dos entradas
y tres compuertas inversoras.
Compuerta NOR
Combinación de la compuerta AND y los tres inversores
El teorema de MORGAN sirve para transformar funciones que se suman en
funciones que se multiplican o viceversa

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La aplicación de este teorema es fundamental porque permite reemplazar una
compuerta OR por una AND o realizar un circuito lógico utilizando solamente
compuertas NAND.
Ahora se representa la función original con compuertas combinadas
A continuación, se representa la función obtenida después de aplicar el teorema de
MORGAN

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Resolución de ejercicios modelos

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Conclusión
El algebra de Boole permite que los circuitos digitales se puedan reducir de una
manera tal que su funcionamiento o contenido de información sea el mismo
permitiendo la creación de sistemas digitales más rápido y sencillo. El conocer los
diferentes de compuertas, sus teoremas y propiedades permite el cálculo,
minimización y expresión grafica del circuito digital y como este funciona. Es
necesario el buen dominio de este proceso matemático ya que es muy fácil el poder
confundirse sobre todo al representarlo gráficamente e incluso en la tabla de la
verdad.
Un bloque lógico es una representación simbólica gráfica de una o más variables
de entrada a un operador lógico para obtener una señal de salida. En electrónica,
estos bloques lógicos son las compuertas. El Teorema de Morgan permite entender
cómo los circuitos lógicos y las expresiones que resultan de las tablas de verdad
ayudan a realizar un buen procedimiento en las distintas áreas laborales.
Además, se ha observado cómo el Álgebra de Boole se aplica en la vida cotidiana,
desde el diseño de circuitos integrados y el desarrollo de algoritmos hasta la
seguridad de la información. El conocimiento de esta disciplina es esencial para el
avance de la tecnología y la innovación en la sociedad moderna. El estudio del
Álgebra ha llevado a comprender que la lógica binaria subyace en gran parte de los
sistemas digitales que se utilizan en la vida diaria. Su impacto en la electrónica y la
informática es innegable, y su influencia continúa expandiéndose a medida que la
tecnología avanza.
En conclusión, se brinda una poderosa herramienta para comprender y manipular
la lógica y los sistemas binarios. Al adentrarse en esta disciplina, se ha adquirido
habilidades analíticas y resolutivas que permiten enfrentar problemas complejos de
manera eficiente. Su estudio y aplicación siguen siendo vitales en la era digital en
la que vivimos y continuarán siendo una base fundamental para futuros avances
tecnológicos.

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Bibliografía
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Automatización Industrial.
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