tablas de verdad y compuertas logicas

1. Matemáticas discretas
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UNIDAD 4
ALGEBRA BOOLEANA
El álgebra booleana es un sistema matemático deductivo centrado en los valores cero y uno
(falso y verdadero). Es una herramienta fundamental para el análisis y diseño de circuitos digitales. Se
utiliza para representar proposiciones lógicas en forma algebraica mediante los operadores binarios "•"
y “+”, aceptando entradas binarias y produciendo un solo valor booleano. Fue desarrollado por George
Boole.
Esta álgebra es un conjunto de reglas matemáticas, similares en algunos aspectos al álgebra
convencional, pero que tienen la virtud de corresponder al comportamiento de circuitos basados en
dispositivos de conmutación (interruptores, relevadores, transistores, etc).
4.1 TEOREMAS Y POSTULADOS
Existen una serie de postulados que definen el álgebra booleana, y éstos se presentan en forma
de teoremas, de los cuales expresamos los siguientes:
POSTULADOS DEL ÁLGEBRA DE BOOLE
Postulado 1. Definición. El álgebra booleana es un sistema algebraico definido en un conjunto B, el
cual contiene dos o más elementos y entre los cuales se definen dos operaciones denominadas "suma u
operación OR" ( + ) y "producto o multiplicación u operación AND" ().
Postulado 2. Existencia de Neutros. Existen en B el elemento neutro de la suma, denominado O y el
neutro de la multiplicación, denominado 1, tales que para cualquier elemento x de s:
(a) x + O = x (b) x  1 = x
Postulado 3. Conmutatividad. Para cada x, y en B:
(a) x+y = y+x (b) x  y =y  x
Postulado 4. Asociatividad. Para cada x, y, z en B:
(a) x + (y + z) = (x + y) + z (b) x  (y  z) = (x  y)  z
Postulado 5. Distributividad. Para cada x, y, z en B:
(a) x+(y  z)=(x+y)  (x+z) (b) x  (y+z)=(x  y)+(x  z)
Postulado 6. Existencia de Complementos. Para cada x en B existe un elemento único denotado x
(también denotado x’), llamado complemento de x tal que
(a) x+x’ = 1 (b) x  x’ = O
TEOREMAS DEL ÁLGEBRA BOOLEANA
1.- Idempotencia
x + x = x x ∙ x = x
2.- Identidad de los elementos 0 y 1
x + 1 = 1 x ∙ 0 = 0
3.- Absorción
x + (x ∙ y) = x x ∙ (x + y) = x
4.- Complemento de 0 y 1
0’ = 1 1’ = 0

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5.- Involución (doble negación)
(x’)’ = x
6.- Leyes de Morgan
(x + y)’ = x’ ∙ y’ (x ∙ y)’ = x’ + y’
La manera de demostrar los teoremas anteriores se puede basar en ideas intuitivas producto de
la familiaridad con algún álgebra booleana en particular, (en diagramas de Venn, o bien, en circuitos
con switches o en tablas de verdad) con la única condición de que se respete al pie de la letra los 6
postulados fundamentales. Antes de presentar los teoremas es conveniente mencionar el principio que
se deriva directamente de la manera en que fueron presentados los seis postulados fundamentales, es
decir, cada postulado tiene dos incisos los cuales son duales uno del otro.
Principio de Dualidad. Si una expresión booleana es verdadera, su expresión dual también lo es.
Expresiones duales. se dicen que son duales dos expresiones, si una se puede obtener de la otra
cambiando las operaciones ( + ) por () y viceversa y cambiando los O's por 1 's y viceversa.
TABLA DE TEOREMAS DE DUALIDAD DEL ÁLGEBRA BOOLEANA
Núm Teorema Dual
1 0A = 0 1 + A = 1
2 1A = A 0 + A = A
3 AA = A A + A = A
4 AA’ = 0 A + A’ = 1
5 AB = BA A + B = B + A
6 ABC = A(BC) A+B+C = A+(B+C)
7 (ABC)’ = A’+B’+C’ (A+B+C)’ = A’B’C’
8 AB+AC = A(B+C) (A+B)(A+C) = A+BC
9 AB+AB’ = A (A+B)(A+B’) = A
10 A+AB = A A(A+B) = A
11 A+A’B = A+B A(A’+B) = AB
12 CA+CA’B = CA+CB (C+A)(C+A’+B) = (C+A)(C+B)
13 AB+A’C+BC=AB+A’C (A+B)(A’+C)(B+C)=(A+B)(A’+C)
4.2 OPTIMIZACIÓN DE EXPRESIONES BOOLEANAS.
El conjunto de reglas que relaciona las entradas con la salida se representa mediante una función
lógica, cuyas variables representan las señales de entrada del circuito digital. La función lógica se
describe mediante una expresión algebraica, en la cual los operadores del álgebra booleana relacionan
las variables intervinientes.
Así, la función lógica representa la relación entrada-salida del circuito digital. En el otro
sentido, también puede decirse que el circuito digital es la implementación física del conjunto de reglas
descrito por la función lógica.
El funcionamiento del circuito digital consiste en generar, a partir de las señales de entrada, las
señales de salida cuyos valores cumplan las relaciones planteadas como objetivo del circuito.

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Debido a que las señales de entrada y de salida de los circuitos digitales son señales que sólo
pueden presentar dos valores distintos, se les denomina en forma general señales lógicas y por
extensión, los circuitos digitales se conocen también como circuitos lógicos.
Cuando una función se incrementa con compuertas lógicas, cada literal en la función denota una
entrada a una compuerta.
1. Cada literal denota la entrada a una compuerta.
2. Cada termino se implanta con una compuerta.
Compuertas lógicas
Una compuerta lógica básica es aquella que implementa una operación booleana básica. Se
designan con los mismos nombres de la operación que implementan y se identifican mediante símbolos
especiales.
La compuerta AND
La compuerta AND es un circuito con dos o más entradas
que opera de tal forma que la salida es igual al producto
lógico de las entradas.
La compuerta OR
La compuerta OR es un circuito que tiene dos o más
entradas y cuya salida es igual a la suma lógica de las
entradas.
La compuerta NOT
La compuerta NOT es un circuito que tiene una sola entrada y cuya
salida se obtiene realizando el complemento al valor de entrada. La
salida de la compuerta es siempre el opuesto de la entrada, por ello, es
muy común el uso del término INVERSOR para referirse a esta compuerta.
La compuerta NAND
La compuerta NAND es un circuito que tiene dos o más entradas y su salida es igual al
complemento del producto lógico de las entradas. Opera en forma equivalente a una compuerta AND
seguida de un INVERSOR.

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La compuerta NOR
La compuerta NOR es un circuito que tiene dos o más entradas y su salida es igual al
complemento de la suma lógica de las entradas. Opera en forma equivalente a una compuerta OR
seguida de un INVERSOR.
Relación entre tablas de verdad y expresiones booleanas
Las tablas de verdad y las expresiones booleanas son formas de representar una función lógica.
Se puede encontrar la tabla de verdad de una función lógica a partir de la expresión booleana de dicha
función lógica. Para ello se debe evaluar la expresión booleana para cada una de las combinaciones
posibles de valores de entrada.
Una tabla de verdad describe el valor de una función para cada una de las combinaciones
posibles de valores lógicos de las variables.
Cada fila de la tabla, contiene la combinación de valores lógicos de las variables de la función y
el correspondiente valor de la función para esa combinación. Es decir, que la tabla de verdad muestra
explícitamente todos los casos posibles de entrada y sus respectivos resultados (salida).
En forma similar, dada la tabla de verdad de una función lógica, se puede encontrar la expresión
booleana correspondiente.
El Álgebra Booleana utiliza variables y operadores para obtener expresiones lógicas que
representan un circuito combinacional. Luego describe una serie de teoremas que utilizaremos para
manipular las expresiones lógicas.
Si la función está definida para todas las combinaciones se llama completa, si no, se denomina
incompleta. Para 4 variables:

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2.- A partir de la siguiente expresión Booleana se nos pide
Que obtengamos su diagrama lógico equivalente

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Ejemplo
El circuito lógico de la Figura recibe en sus terminales de entrada las señales A, B y C. En la
terminal de salida S se encuentra conectado un diodo led que se enciende cuando la salida S del circuito
se pone en valor ALTO y permanece apagado siempre que la salida S esté en BAJO. Encuentre la
función lógica correspondiente.

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FORMAS CANÓNICAS.
Se llama término canónico de una función lógica a todo producto de sumas (Maxitérminos) o
suma de productos (minitérminos) en los cuales aparecen todas las variables en su forma directa o
complementada.
La expresión algebraica en suma de productos o productos de sumas en la que no todos los
términos son canónicos recibe el nombre de normalizada o forma NO canónica.
EXPRESIÓN CANÓNICA DISYUNTIVA
Se define expresión algebraica disyuntiva a la expresión de la función como suma de términos
producto. Se dice que la función se encuentra expresada en forma normal disyuntiva o como suma de
productos.
Expresión algebraica disyuntiva: f (A, B, C) = AB + ABC
Se verifican las siguientes propiedades:
 Dada la lista completa de miniterminos de n variables, asignando arbitrariamente valores 1 o 0 a
cada variable, se verifica que un único minitermino tomará el valor 1.
 La fórmula compuesta por los 2n miniterminos tomará el valor 1.
 La fórmula canónica disyuntiva o de miniterminos es única.
 Toda función puede expresarse como suma de miniterminos. Por ejemplo dada la fórmula
disyuntiva se puede pasar a la fórmula canónica disyuntiva aplicando los
postulados y propiedades del algebra de Boole.
FORMA CANÓNICA DE LA SUMA DE PRODUCTOS
La metodología empleada en la transformación de una suma de productos a su forma canónica se
basa en la regla 6, que establece que una variable sumada con su complemento es siempre igual a 1;
A + A' = 1. Los pasos son los siguientes:
o Los términos producto que no contengan la(s) variable(s) del dominio, multiplicarlos por un
término formado por dicha variable más el complemento de la misma (regla 6).
o Repetir el paso 1 para todos los términos de la expresión que no contengan todas las variables (o
sus complementos) del dominio. Resolver los términos intervenidos.
Ejemplo
Convertir la expresión booleana ABC' + BC + A' a su forma canónica.
 El dominio de la expresión es el conjunto de variables A, B y C. Se observa la falta de formato
estándar para el segundo y tercer término producto. Sobre ellos se aplicará el procedimiento,
para luego volver a agrupar toda la expresión:
Término BC
BC = BC ·(A+A') = ABC + A'BC
Término A’
A' = A'(C+C') = A'C+A'C'; la expresión aún no tiene el formato canónico, entonces
multiplicamos cada término por (B+B') A'C(B+B') +A'C'(B+B') = A'BC + A'B'C + A'BC' + A'B'C'
ABC' + BC + A' = ABC + A'BC + A'BC + A'B'C + A'BC' + A'B'C‘

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EXPRESIÓN CANÓNICA CONJUNTIVA
Se define expresión algebraica conjuntiva a la expresión de la función como producto de
términos suma. Se dice que la función se encuentra expresada en forma normal conjuntiva o como
producto de sumas.
A la expresión algebraica conjuntiva escrita mediante maxterminos se le denomina fórmula
canónica conjuntiva.
Expresión algebraica conjuntiva: f (A,B,C) = (A + B + C)(A + B)
Se verifican las siguientes propiedades:
 Dada la lista completa de maxiterminos de n variables, asignando arbitrariamente 1 o 0 a cada
variable, se verifica que un único maxitermino tomará el valor 0.
 La fórmula compuesta por los 2n maxiterminos tomará el valor 0.
 La fórmula canónica conjuntiva o de maxitermino es única.
 Toda función puede expresarse como producto de maxiterminos. Por ejemplo dada la fórmula
disyuntiva se puede pasar a la fórmula canónica conjuntiva aplicando los
postulados y propiedades del algebra de Boole.
FORMA CANÓNICA DEL PRODUCTO DE SUMAS
La metodología empleada en la transformación de un producto de sumas a su forma canónica
se basa en la regla 8, que establece que una variable multiplicada por su complemento es siempre igual
a 0; AA' = 0. Los pasos son los siguientes:
o Los términos suma que no contengan la(s) variable(s) del dominio, sumarlos un término
formado por dicha variable y su complemento según regla 8.
o Aplicar la regla 12: A + BC = (A+B)(A+C)
o Repetir el paso 1 para todos los términos de la expresión que no contengan todas las variables (o
sus complementos) del dominio.
Ejemplo
Convertir la expresión booleana (A+B’+C)(B’+C+D’)(A+B’+C+D’) a su forma canónica.
Término A+B’+C
A+B’+C = A+B’+C+DD’ = (A+B’+C+D)(A+B’+C+D’)
Término B’+C+D’
B’+C+D’ = B’+C+D’+AA’ = (A+ B’+C+D’)(A’+ B’+C+D’)
(A+B’+C)(B’+C+D’)(A+B’+C+D’) =
= (A+B’+C+D)(A+B’+C+D’) (A+ B’+C+D’)(A’+ B’+C+D’) (A+B’+ C+D’)