Algebra

1. Circuitos combinacionales
Un circuito combinacional es un sistema que contiene operaciones booleanas
básicas (AND, OR, NOT), algunas entradas y un juego de salidas, como cada
salida corresponde a una función lógica individual, un circuito combinacional a
menudo implementa varias funciones booleanas diferentes, es muy importante
recordar éste echo, cada salida representa una función booleana diferente.
Un ejemplo común de un circuito combinacional es el decodificador de siete
segmentos, se trata de un circuito que acepta cuatro entradas y determina cuál de
los siete segmentos se deben iluminar para representar la respectiva entrada, de
acuerdo con lo dicho en el párrafo anterior, se deben implementar siete funciones
de salida diferentes, una para cada segmento. Las cuatro entradas para cada una
de éstas funciones booleanas son los cuatro bits de un número binario en el rango
de 0 a 9. Sea D el bit de alto orden de éste número y A el bit de bajo orden, cada
función lógica debe producir un uno (para el segmento encendido) para una
entrada dada si tal segmento en particular debe ser iluminado, por ejemplo, el
segmento e debe iluminarse para los valores 0000, 0010, 0110 y 1000.
En la siguiente tabla se puede ver qué segmentos deben iluminarse de acuerdo al
valor de entrada, tenga en cuenta que sólo se están representando valores en el
rango de 0 a 9, los decodificadores para las pantallas de siete segmentos
comerciales tienen capacidad para desplegar valores adicionales que
corresponden a las letras A a la F para representaciones hexadecimales, sin
embargo la mecánica para iluminar los respectivos segmentos es similar a la aquí
representada para los valores numéricos.

2. 0 abc d ef
1 bc
2 ab d e g
3 abc d g
4 bc f g
5 a c d f g
6 c d ef g
7 abc
8 abc d ef g
9 abc f g
Los circuitos combinacionales son la base de muchos componentes en un sistema
de cómputo básico, se puede construir circuitos para sumar, restar, comparar,
multiplicar, dividir y muchas otras aplicaciones más.
Circuitos Secuenciales
Un problema con la lógica secuencial es su falta de "memoria". En teoría, todas
las funciones de salida en un circuito combinacional dependen delestado actual de
los valores de entrada, cualquier cambio en los valores de entrada se refleja
(después de un intervalo de tiempo llamado retardo de propagación) en las
salidas. Desafortunadamente las computadoras requieren de la habilidad para
"recordar" el resultado de cálculos pasados. Éste es eldominio de la lógica
secuencial. Una celda de memoria es un circuito electrónico que recuerda un valor
de entrada después que dicho valor ha desaparecido. La unidad de memoria más
básica es el flip-flop Set/Reset. Aunque recordar un bit sencillo es importante, la
mayoría de los sistemas de cómputo requieren recordar un grupo de bits, ésto se
logra combinando varios flip-flop en paralelo, una conexión de éste tipo recibe el
nombre deregistro. A partir de aquí es posible implementar diferentes circuitos
como registros de corrimiento y contadores, éstos últimos también los conocemos
como circuitos de reloj. Con los elementos mencionados es posible construir
un microprocesador completo.

3. Álgebra de Bouleana aplicada en la informatica
Se dice que una variable tiene valor booleano cuando, en general, la variable
contiene un 0 lógico o un 1 lógico. Esto, en la mayoría de los lenguajes de
programación, se traduce en false (falso) o true (verdadero), respectivamente.
Una variable puede no ser de tipo booleano, y guardar valores que, en principio,
no son booleanos; ya que, globalmente, los compiladores trabajan con esos otros
valores, numéricos normalmente aunque también algunos permiten cambios
desde, incluso, caracteres, finalizando en valor booleano.
El valor booleano de negación suele ser representado como false, aunque también
permite y equivale al valor natural, entero y decimal (exacto) 0, así como la cadena
"false", e incluso la cadena "0".
En cambio, el resto de valores apuntan al valor booleano de afirmación,
representado normalmente como true, ya que, por definición, el valor 1 se tiene
cuando no es 0. Cualquier número distinto de cero se comporta como un 1 lógico,
y lo mismo sucede con casi cualquier cadena (menos la "false", en caso de ser
ésta la correspondiente al 0 lógico).
Compuertas Lógicas Positiva
En esta notación al 1 lógico le corresponde el nivel más alto de tensión y al 0
lógico elnivel más bajo, pero que ocurre cuando la señal no está bien definida.
Entonces habráque conocer cuáles son los límites para cada tipo de señal
(conocido como tensión dehistéresis), en este gráfico se puede ver con mayor
claridad cada estado lógico y su nivelde tensión.Lógica NegativaAquí ocurre todo
lo contrario, es decir, se representa al estado "1" con los niveles másbajos de
tensión y al "0" con los niveles más altos.Por lo general se suele trabajar con
lógica positiva, la forma más sencilla de representarestos estados es como se
puede ver en el siguiente gráfico.El nacimiento de la lógica está relacionado con el
nacimiento intelectual del hombre. Yaque a partir de la directa y constante relación
entre hombre Ángel Rodríguez 24.201.349 InformáticaAlgebra de Boole ligada a
la Cotidianidad:Toda operación que se realiza en un sistema digital, ya sea un
computador, un teléfonomóvil, un reloj o una calculadora utiliza las operaciones
definidas por el álgebra deBoole para realizar sus funciones. Unas veces estas
funciones vendrán implementadaspor software y otras por hardware. Tengamos
en cuenta que el álgebra de boole seextiende a partir de la lógica para definir
todas las operaciones aritméticas como la sumao la multiplicación. – naturaleza,
el ser humano se ve en la necesidad de comprender, entender y analizar
adecuadamente los hechos quesuceden a su alrededor.

4. Aplicación de la algebra Bouleana en la matemática
En matemática se emplea la notación empleada hasta ahora ({0,1}, + , ) siendo la
forma más usual y la más cómoda de representar.
Por ejemplo las leyes de De Morgan se representan así:
Cuando el álgebra de Boole se emplea en electrónica, suele emplearse la misma
denominación que para las puerta lógica AND (Y), OR (O) y NOT (NO),
ampliándose en ocasiones con X-OR (O exclusiva) y su negadas NAND (NO Y),
NOR (NO O) y X-NOR (equivalencia). las variables pueden representarse con
letras mayúsculas o minúsculas, y pueden tomar los valores {0, 1}
Empleando esta notación las leyes de De Morgan se representan:
En su aplicación a la lógica se emplea la notación y las variables pueden
tomar los valores {F, V}, falso o verdadero, equivalentes a {0, 1}
Con la notación lógica las leyes de De Morgan serían así:
En el formato de Teoría de conjuntos el Álgebra de Boole toma el
aspecto:
En esta notación las leyes de De Morgan serían así:
Desde el punto de vista practico existe una forma simplificada de representar
expresiones booleanas. Se emplean apóstrofos (') para indicar la negación, la
operación suma (+) se representa de la forma normal en álgebra, y para el
producto no se emplea ningún signo, las variables se representan, normalmente
con una letra mayúscula, la sucesión de dos variables indica el producto entre
ellas, no una variable nombrada con dos letras.

5. La representación de las leyes de De Morgan con este sistema quedaría así, con
letra minúsculas para las variables:
y así, empleando letras mayúsculas para representar las variables:
Todas estas formas de representación son correctas, se utilizan de hecho, y
pueden verse al consultar bibliografía. La utilización de una u otra notación no
modifica el álgebra de Boole, solo su aspecto, y depende de la rama de las
matemáticas o la tecnología en la que se esté utilizando para emplear una u otra
notación.
Los Teoremas Básicos del álgebra Booleana
TEOREMA 1
Ley Distributiva
A (B+C) = AB+AC
A B C B+C AB AC AB+AC A (B+C)
0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 1 1 0 0 0 0
0 1 0 1 0 0 0 0
0 1 1 1 0 0 0 0
1 0 0 0 0 0 0 0
1 0 1 1 0 1 1 1
1 1 0 1 1 0 1 1
1 1 1 1 1 1 1 1

6. TEOREMA 2
A+A = A
AA = A
A A A+A
0 0 0
1 1 1
A A AA
0 0 0
1 1 1
TEOREMA 3
Redundancia
A+AB = A
A B AB X
0 0 0 0
0 1 0 0
1 0 0 1
1 1 1 1
A (A+B) = A
A B A+B X
0 0 0 0
0 1 1 0

7. 1 0 1 0
1 1 1 1
TEOREMA 4
0+A = A
Equivalente a una compuerta OR con una de sus terminales conectada a tierra
A B=0 X
0 0 0
1 0 1
1A = A
Equivalente a una compuerta AND con una de sus terminales conectada a 1
A B=1 X
0 1 0
1 1 1
1+A = 1
A B=1 X
0 1 1
1 1 1
0A = 0
A B=0 X
0 0 0
1 0 0