1. ´
Alvaro Hacar Gonz´lez
a
Fabio Revuelta Pe˜an
Israel Saeta P´rez
e
Pablo M. Garc´ Corzo
ıa
Enrique Maci´ Barber
a
Mec´nica lagrangiana
a
Teor´a y practica
ı ´
Un libro libre de Alqua
Versi´n 0.10.1, 2009
o
2.
3. http://alqua.org/libredoc/LAG
´
Alvaro Hacar Gonz´lez
a alvaro.hacar@googlemail.com http://alqua.org
Fabio Revuelta Pe˜an fabio.revuelta@upm.es http://alqua.org
Israel Saeta P´rez
e dukebody@gmail.com http://dukebody.com
Pablo M. Garc´ Corzo
ıa ozrocpablo@gmail.com http://alqua.org
Enrique Maci´ Barber
a macia@material.fis.ucm.es http://material.fis.ucm.es/
Mec´nica lagrangiana
a
versi´n 0.10.1
o
17/07/2009
alqua,madeincommunity
4. c
´
c 2009 Alvaro Hacar Gonz´lez, Fabio Revuelta Pe˜a, Israel Saeta P´rez, Pablo M. Garc´ Corzo
a n e ıa
y Enrique Maci´ Barber
a
Este documento est´ bajo una licencia Atribuci´n-No Comercial-CompartirIgual de Creative
a o
Commons. Para ver una copia de esta licencia escriba una carta a Creative Commons, 171 Second
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Las partes del documento que mencionen una licencia distinta se rigen por los t´rminos de aqu´lla.
e e
CDU 531.5
Area mec´nica cl´sica
a a
Editores
Israel Saeta P´rez
e dukebody@gmail.com
Notas de producci´n
o
alfeizar, v. 0.3 n ´
c del dise˜o Alvaro Tejero Cantero.
compuesto con software libre
8. ´
INDICE GENERAL
2.6. Funci´n de Rayleigh. Funci´n de disipaci´n. . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
o o o
2.7. Ecuaci´n de la energ´ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
o ıa
2.8. Resumen y formulario . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
3. Leyes de conservaci´no 59
3.1. Introducci´n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
o . . . . . . . 59
3.2. Coordenadas c´ ıclicas e integrales primeras . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
3.3. La integral de Jacobi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
3.4. El p´ndulo simple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
e . . . . . . . 67
3.5. La integral de acci´n y el Principio de Hamilton . . . . . . .
o . . . . . . . 70
3.6. Las simetr´ de la integral de acci´n: el teorema de Noether
ıas o . . . . . . . 71
3.7. El m´todo de los multiplicadores de Lagrange . . . . . . . . .
e . . . . . . . 75
4. Potenciales centrales 81
4.1. Problema de los dos cuerpos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
4.2. Elecci´n de coordenadas generalizadas
o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
4.3. Simetr´ del lagrangiano del sistema .
ıas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
4.3.1. Simetr´ respecto de ϕ . . . . .
ıa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
4.3.2. Simetr´ respecto de t . . . . .
ıa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
4.4. Potencial efectivo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
4.5. Ecuaci´n de las ´rbitas de Binet . . .
o o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
Bibliograf´
ıa 97
Historia y por hacer 99
Manifiesto de Alqua 101
El proyecto libros abiertos de Alqua 105
Otros documentos libres 110
viii Mec´nica lagrangiana 0.10.1
a
9. 1 Mec´nica Newtoniana
a
¿Absoluto, relacional o relativo?
¿Son el espacio y el tiempo entidades f´ ısicas en toda regla o s´lo relaciones entre
o
cuerpos materiales?
Newton comienza sus Principia afirmando con una rotundidad casi salvaje que el
espacio absoluto, por su propia naturaleza, se mantiene siempre inmutable. Lo establece,
pues, como «verdad de fe» que no justifica y apoy´ndose en ´l construye el concepto de
a e
movimiento absoluto como movimiento en relaci´n a ese espacio absoluto.
o
Absolute space in its own nature without relation to anything external,
remains always similar and inmovable.
Absolute motion is the translation of a body from one absolute place to
another.
A la hora de la verdad, cuando nos pongamos a medir la distancia entre dos masas,
por ejemplo, mediremos la distancia entre ellas. Cuando fijemos un sistema de referencia
deberemos referirlo a alguna entidad f´ısica palpable de alg´n modo. El espacio absoluto
u
no podemos sentirlo de ning´n modo. . . ¿O s´
u ı?
Este argumento es una forma simplificada de acercarnos al relacionismo esgrimido
por Leibniz en sus c´lebres discusiones[1] frente a Clarke (como portavoz de Newton).
e
Leibniz no quiso considerar el espacio absoluto como un ente f´ısico, el espacio solamente
tiene sentido como relaci´n entre dos cuerpos.
o
En cuanto al movimiento, Leibniz lo define como un movimiento cuya causa es in-
tr´
ınseca al propio cuerpo, en contraposici´n al movimiento relativo entre los cuerpos.
o
Lo que significa eso de causa intr´ ınseca al propio cuerpo no nos queda, de momento,
demasiado claro.
1.0.1. Concepto de inercia
El problema que reside bajo esta discusi´n no es tan abstracto y metaf´
o ısico como
puede parecer en un primer momento y en seguida vamos a ver cu´l es el inter´s que
a e
tiene para nuestro estudio.
Hacia el concepto de inercia
Los griegos (Arist´teles y los peripat´ticos) ten´ una din´mica muy rudimentaria[2]
o e ıan a
con ideas como que los objetos tienen su lugar natural (tanto m´s abajo cuanto m´s pe-
a a
sados y tanto m´s arriba cuanto m´s ligeros). Consideraban movimiento natural el que
a a
1
10. 1 Mec´nica Newtoniana
a
les llevaba en direcci´n a su posici´n natural y movimiento violento todo aquel que no
o o
cumpliese esta finalidad.
Sus observaciones experimentales eran muy poco precisas, tanto que pensaban que los
cuerpos pesados ca´ m´s aprisa que los ligeros.
ıan a
En cuanto a la inercia, consideraban que para mantener la velocidad constante de un
cuerpo, deb´ existir una fuerza continua que lo impulsase.
ıa
Este pensamiento no es descabellado en las primeras observaciones de un mundo en el
que el rozamiento con el aire frena el movimiento de los cuerpos.
El siguiente paso hacia lo que hoy conocemos por inercia fue de la mano del persa
Avicenna, nacido en el a˜o 980 en lo que hoy es Uzbekist´n.
n a
Figura 1.1: Arist´teles y Avicenna
o
Avicenna concluy´ en su mec´nica que el movimiento era el resultado de una incli-
o a
naci´n (mayl, proporcional a la masa y a la velocidad) transferida al proyectil por el
o
lanzador, y que el movimiento no cesar´ nunca en el vac´ El concepto de vac´ pre-
ıa ıo. ıo
ocup´ mucho a los fil´sofos arabes y persas, seguramente pensar en ello fue lo que les
o o ´
llev´ a darse cuenta de que la deceleraci´n constante de un cuerpo ten´ que ver con el
o o ıa
aire que lo rodea.
Desde sus teor´ (que eran ya bastante coherentes con las dos primeras leyes de
ıas
Newton) partir´ el franc´s Jean Buridan (1295) para desarrollar su teor´ del ´
ıa e ıa ımpetus.
No supo alejarse de los peripat´ticos en cuanto a las ideas de reposo y movimiento, para
e
eso deb´ llegar Galileo.
ıa
Principio de relatividad de Galileo
Galileo (1564) propone por primera vez que la tendencia natural de un cuerpo es la
de mantenerse inm´vil o con velocidad constante.
o
Seg´n lo describe en sus di´logos:
u a
Salviati: Pero, ¿con qu´ clase de movimiento? Continuamente acelerado,
e
como en el plano inclinado hacia abajo, ¿o crecientemente retardado,
como en el plano hacia arriba?
2 Mec´nica lagrangiana 0.10.1
a
11. 1.1 Concepto de masa puntual
Simplicio: No puedo ver causa alguna de aceleraci´n o desaceleraci´n, no
o o
habiendo pendiente hacia arriba o hacia abajo.
Salviati: Exactamente. Pero si no hay causa alguna para el retardo de la bola,
menos deber´ haberla para que alcance el estado de reposo; entonces,
ıa
¿hasta qu´ distancia continuar´ movi´ndose la bola?
e a e
Simplicio: Tanto como contin´e la superficie sin subir ni bajar.
u
Salviati: Entonces, si dicho espacio fuera ilimitado, ¿el movimiento en ´l ser´
e ıa
an´logamente ilimitado? Es decir, ¿perpetuo?
a
Simplicio: As´ me parece, si el cuerpo m´vil fuera de material duradero.
ı o
´
Esta es la base del principio de relatividad de Galileo.
En otro di´logo no menos importante, refuta la concepci´n aristot´lica de la ca´ de
a o e ıda
los cuerpos:
Simplicio: No puede haber duda de que un cuerpo que se mueve en un
medio unico tiene una velocidad fija determinada por la Naturaleza...
´
Salviati: Entonces, si tomamos dos cuerpos cuyas velocidades naturales sean
diferentes, es evidente que, al unirlos, el m´s r´pido ser´ retardado por
a a a
el m´s lento, y este algo acelerado por el otro. ¿No est´s de acuerdo con
a a
mi opini´n?
o
Simplicio: No hay dudas de que tienes raz´n.
o
Salviati: Pero si esto es cierto y si una piedra se mueve con una velocidad
de, digamos, ocho, mientras otra menor se mueve con una velocidad de
cuatro, cuando se unan, el sistema se mover´ con una velocidad inferior
a
a ocho; en cambio, cuando las dos piedras est´n juntas constituir´n una
e a
piedra mayor que aquella que antes se mov´ con velocidad ocho. Por lo
ıa
tanto, el cuerpo m´s pesado se mueve a menor velocidad que el liviano;
a
efecto contrario a tu hip´tesis...
o
1.1. Concepto de masa puntual
Descartes es quien introduce los sistemas de referencia para la geometr´ Paulati-
ıa.
namente la geometr´ se va introduciendo en la est´tica y en la din´mica con conceptos
ıa a a
como puntos sin dimensiones, curvas lineales, superficies sin grosor...
El concepto de punto material es tremendamente util como abstracci´n matem´tica
´ o a
aunque delicado f´ ısicamente. Un punto material es un lugar geom´trico sin dimensiones,
e
un punto matem´tico, al que asignamos una masa. Seg´n [3], un punto material es un
a u
“cuerpo cuyas dimensiones son despreciables con respecto a los otros cuerpos con los que
interacciona”.
El problema de los puntos materiales salta a la vista cuando aparecen fuerzas que
dependen de la geometr´ del cuerpo. Las fuerzas de inercia en la din´mica del s´lido
ıa a o
r´
ıgido o las fuerzas de rozamiento en el viscos´
ımetro de Stokes.
http://alqua.org/libredoc/LAG 3
12. 1 Mec´nica Newtoniana
a
Considerar el punto material como ente f´ ısico conlleva demasiadas dificultades. La
densidad de todo punto material, por peque˜a que fuese su masa, ser´ infinita. La
n ıa
fuerza gravitacional entre dos masas puntuales se disparar´ a infinito si ´stas llegasen a
ıa e
tocarse.
Inercialmente, podremos hablar de un punto material siempre y cuando sean despre-
ciables los efectos de rotaci´n sobre s´ mismo. Para que esto suceda, a cualquier nivel de
o ı
precisi´n, el punto material no puede tener estructura interna. En ese sentido podemos
o
considerar al electr´n como una de las mejores aproximaciones a punto material.
o
D’Alembert[4] decribe as´ el concepto de masa puntual:
ı
(...) mediante operaciones y abstracciones sucesivas de nuestro intelecto,
despojamos la materia de casi todas sus propiedades sensibles para no con-
siderar en cierto modo m´s que su fantasma;(...)
a
1.2. Leyes de Newton
Figura 1.2: Galileo, Descartes y Newton
Newton, define su primera ley (la ley de inercia) de la siguiente manera:
Lex I. Corpus omne perseverare in statu suo quiescendi vel movendi uni-
formiter in directium, nisi quatenus a viribus impressis cogitur statum suam
mutare.
Es decir, que todo cuerpo permanece en su estado de reposo o movimiento rectil´ ıneo
uniforme mientras no existan fuerzas externas que lo perturben (si no se ejerce ninguna
acci´n sobre ´l). En lenguaje matem´tico:
o e a
dx dy dz
= C1 ; = C2 ; = C3 ;con Ci = Cte (1.1)
dt dt dt
que podemos expresar en forma vectorial como:
d2 x ¨
=x=a≡0 (1.2)
dt 2
4 Mec´nica lagrangiana 0.10.1
a
13. 1.2 Leyes de Newton
Es interesante meditar la siguiente cuesti´n: la ausencia completa de fuerzas no puede
o
cumplirse estrictamente en un universo en el que existan fuerzas de largo alcance. No
obstante, puede tenerse una resultante nula si se dan las condiciones de simetr´ ade-
ıa
cuadas.
En su segunda ley, Newton utiliza el momento como cantidad conservada:
Lex II. Mutationem motus proportionalem esse vi motrici impressae, et
fieri secundum lineam rectam qua vis illa imprimitur.
Que, en t´rminos matem´ticos traducir´
e a ıamos como:
dmv
F = = ma ; p = mv (1.3)
dt
Considerando la masa como una cantidad invariante.
Finalmente, Newton enuncia la ley de acci´n y reacci´n:
o o
Lex III. Actioni contrariam semper et æqualem esse reactionem: sive corpo-
rum duorum actiones in se mutuo semper esse æquales et in partes contrarias
dirigi.
Siempre que dos cuerpos interaccionan, al fuerza F12 que el primer cuerpo ejerce sobre
el segudo es igual y opuesta a al fuerza F21 quee el segundo ejerce sobre el primero.
Consecuencias : La conservaci´n del momento lineal total de un sistema de part´
o ıcules
cuando sobre ´l no actuan fuerzas externas.
e
La validez de la Tercera Ley se halla sujeta a ciertas restricciones:
1. las fuerzas se ejercen por acci´n a distancia (esto es, la fuerza no es mediada por
o
un campo intermedio que posea momento y energ´ ıa).
2. la interacci´n se produce instant´neamente (ya que las fuerzas de acci´n y reacci´n
o a o o
deben medirse en el mismo instante).
Ejemplos en los que NO se cumple la Tercera Ley:
1. interacci´n entre part´
o ıculas cargadas en movimiento (la fuerza es mediada por
fotones del campo electromagn´tico)
e
2. colisiones at´micas (ya que la duraci´n de la colisi´n es grande en comparaci´n
o o o o
con el tiempo que tardan en reordenarse los electrones de modo que el potencial
electrost´tico se modifica gradualmente mientras dura la colisi´n).
a o
Einstein pone en entredicho algunos conceptos como la simultaneidad que debemos
analizar para saber d´nde nos metemos al trabajar en el marco de la mec´nica cl´sica[5].
o a a
http://alqua.org/libredoc/LAG 5
14. 1 Mec´nica Newtoniana
a
Simultaneidad e informaci´n
o
Supongamos dos observadores situados en dos puntos distintos a los que asociaremos
dos sistemas de referencia O y O1 . Del mismo modo que definimos dos sistemas de
referencia diferentes para las coordenadas espaciales y tendremos que transformar las
coordenadas de uno para expresarlas respecto del otro, deber´ıamos tener en cuenta que
cada uno tendr´ su referencia temporal, es decir, su reloj.
a
La cinem´tica cl´sica supondr´ dos hip´tesis:
a a a o
Ambos observadores deben saber qu´ hora marca el reloj del otro en todo momento.
e
Eso implica que debe existir un medio capaz de transmitir informaci´n de manera
o
instant´nea (a velocidad infinita).
a
Esa suposici´n garantiza que los observadores ser´n capaces de decidir la simul-
o a
taneidad de un suceso que uno mide cuando su reloj marcaba t y el otro cuando
el suyo marcaba t1 .
Del mismo modo que sucede con el tiempo, suceder´ con el espacio. Aunque cada
a
uno mida la posici´n espacial de un suceso seg´n su sistema de coordenadas, son
o u
capaces de saber si el conjunto de coordenadas dado por el otro se refiere al mismo
punto conociendo la posici´n de uno de ellos respecto al otro.
o
Estas dos hip´tesis que pod´ parecer naturales a ojos de Galileo o de Newton se
o ıan
rompen en la mec´nica relativista. Desde el momento en que Einstein decide que nada
a
puede viajar m´s r´pido que la luz, la posibilidad de que ambos observadores sepan
a a
exactamente la hora que marca el reloj del otro desaparecer´.
a
Leibniz o Mach parec´ intuir que algo fallaba y aunque no supieron dar respuesta
ıan
a sus dudas, tuvieron la valent´ de plantearlas allanando el camino para la llegada de
ıa
Einstein.
1.3. Sistemas de referencia no inerciales
Dejando de lado las discusiones filos´ficas, lo que debemos tener claro al estudiar
o
mec´nica cl´sica es que hay sistemas de referencia inerciales y otros no inerciales, y que
a a
en estos segundos aparecer´n fuerzas que debemos tratar con cuidado.
a
Seg´n L. Lange (1885), un sistema de referencia inercial es un:
u
Sistema de referencia en el que una part´
ıcula libre se mueve uniformemente
En relaci´n a estos sistemas, el principio de relatividad de Galileo (expuesto en 1.0.1)
o
afirma que las leyes de la mec´nica son las mismas en dos sistemas de referencia que
a
mantengan constante su velocidad relativa.
1.3.1. La gravitaci´n de Newton y el principio de relatividad de Galileo
o
Veamos a continuaci´n c´mo se entiende esto de la invarianza de las leyes de la natu-
o o
raleza con la gravitaci´n Newtoniana.
o
6 Mec´nica lagrangiana 0.10.1
a
15. 1.3 Sistemas de referencia no inerciales
Pongamos los ejes, sin p´rdida de generalidad, de manera que el eje y apunte en la
e
direcci´n del movimiento relativo entre los sistemas de referencia. Supongamos tambi´n
o e
que en el instante inicial coinciden los or´
ıgenes de ambos sistemas de referencia.
x =x
r = r − vt
y = y − vt (1.4)
t =t
z =z
Si introducimos la ley de ravitaci´n universal:
o
Mm Mm
F = −G r = −G
ˆ (r2 − r1 ) (1.5)
r 2
|r2 − r1 |3
donde ri = ri + vt → r2 − r1 = (r1 + vt) − (r2 + vt)
que al introducirlo en la ley de gravitaci´n:
o
Mm Mm
F = −G r = −G
ˆ r2 − r1 (1.6)
r 2
|r2 − r1 |3
1.3.2. Esferas de Newton
Adem´s de su famoso cubo, en los di´logos epistolares con Leibniz, Clarke propone
a a
un experimento mental consistente en dos esferas unidas por una cuerda y puesto todo
el conjunto en rotaci´n respecto a un eje de simetr´ perpendicular a la cuerda.
o ıa
Figura 1.3: Experimento mental de las esferas de Newton
La velocidad de una de las esferas ser´:
a
˙
Ω= 0, 0, θ
˙ ˙
→ x = Ω × r = rθ (− sin θ , cos θ , 0) (1.7)
r = r (cos θ , sin θ , 0)
Y la aceleraci´n, por tanto:
o
d ˙ ˙ ˙ ˙
x=
¨ rθ (− sin θ , cos θ , 0) = rθ −θ cos θ , −θ sin θ , 0 =
dt
˙ ˙
= rθ2 (− cos θ , − sin θ , 0) = −rθ2 ur (1.8)
http://alqua.org/libredoc/LAG 7
16. 1 Mec´nica Newtoniana
a
Encontramos, en definitiva, que un movimiento de rotaci´n a velocidad angular con-
o
stante se convierte en una aceleraci´n centr´
o ıpeta. Esa aceleraci´n hace que no se cumplan
o
las transformaciones de Galileo.
A su vez, la aceleraci´n se convertir´ por Newton en una fuerza:
o a
Fc = ˙
ma = mx = −mrθ2 ur
¨ (1.9)
El doble de esa fuerza (por simetr´ con las dos esferas) ser´ la tensi´n que soporta la
ıa a o
cuerda. Esa tensi´n es medible y su existencia nos da una informaci´n objetiva de que
o o
el sistema de referencia no es inercial.
Con esa fuerza objeta Newton la indiscernibilidad de los sistemas en rotaci´n.
o
1.3.3. Teorema de Coriolis
Supongamos que tenemos dos sistemas de referencia, uno inercial y otro no inercial y
queremos pasar de uno a otro. El movimiento del sistema de referencia no inercial ser´
a
de rotaci´n en torno a un eje fijo:
o
Figura 1.4: Posici´n de un punto respecto a sistema de referencia inercial y no inercial.
o
dA dA
= +ω×A (1.10)
dt dt
SDRI SDRNI
m · ani = ¨
F − m R + 2ω × vni + ω × (ω × r) + ω × r
˙ (1.11)
donde:
¨
R
→ Arrastre
˙ Azimutal
ω×r → (1.12)
ω × (ω × r)
→ Centr´
ıfuga
2ω × vni Coriolis
→
8 Mec´nica lagrangiana 0.10.1
a
17. 1.3 Sistemas de referencia no inerciales
Figura 1.5: Movimiento sobre la superficie terrestre
1.3.4. Movimiento sobre la superficie terrestre
Seg´n el sistema de referencia elegido (representado en la figura 1.5) la velocidad
u
angula ω tendr´ como componentes ω = ω0 (0 , cos λ , sin λ). En cuanto al vector normal
a
al sentido de giro, n = (0 , − sin λ , − cos λ).
ˆ
Por otro lado, la componente de arrastre:
¨ v2
R0 = aτ τ + an n = n = ω0 ρˆ
ˆ ˆ ˆ 2
n (1.13)
ρ
Ahora planteamos para cada componente la ecuaci´n (1.11):
o
m¨ = Fx − m 2ω0 (z cos λ − y sin λ) −ω0 x
x ˙ ˙ 2
=
= Fx − 2mω0 (z cos λ − y sin λ)
˙ ˙
m¨ = Fy − m 2ω0 x sin λ −Rω0 sin λ cos λ +ω0 z sin λ cos λ − y sin2 λ
y ˙ 2 2
=
= Fy − m −Rω0 sin λ cos λ + 2ω0 x sin λ
2
˙
m¨ = Fz − m Rω0 cos2 λ −2ω0 x cos λ −ω0 z cos2 λ − y sin λ cos λ
z 2
˙ 2
=
= Fz − m Rω0 cos2 λ − 2ω0 x cos λ
2
˙ (1.14)
En la expresi´n anterior hemos se˜alado los t´rminos que iban con ω0 porque dada la
o n e 2
velocidad angular de nuestro planeta (ω0 ≈ 10−5 s−1 ) podr´
ıamos pensar en despreciarlos
sin demasiados problemas. Sin embargo, los casos en que va con R, que es bastante
grande, s´ que debemos tenerlos en cuenta (Rω0 ≈ 0.034ms−2 ).
ı 2
1.3.5. P´ndulo de Foucault
e
Leon Foucault realiz´ en 1851 la primera demostraci´n din´mica de la rotaci´n ter-
o o a o
restre en el observatorio de Par´ El 26 de marzo se realiz´ una espectacular demostraci´n
ıs. o o
p´blica en el pante´n de Par´
u o ıs.
http://alqua.org/libredoc/LAG 9
18. 1 Mec´nica Newtoniana
a
Figura 1.6: P´ndulo de Foucault en el pante´n de Par´
e o ıs
El p´ndulo colgado de la c´pula del pante´n de Par´ med´ 67 metros de largo, ten´
e u o ıs ıa ıa
como masa una bala de ca˜´n de 26 kilos y su per´
no ıodo de oscilaci´n era de unos 16
o
segundos.
El p´ndulo iba trazando una l´
e ınea en el suelo de arena unos dos mil´ımetros a la derecha
en cada oscilaci´n, demostrando que la tierra giraba.
o
Las fuerzas que act´an sobre el p´ndulo son las resultantes de que la tierra es un
u e
sistema de referencia no inercial.
Planteando las ecuaciones de Newton:
m¨ = Fx − 2mω0 (z cos θ − y sin θ)
˙ ˙ Fx = −T x
x ml
m¨ = Fy − 2mω0 x sin θ
y ˙ → Fy = −T y
ml (1.15)
m¨ = Fz − mg + 2mω0 x cos θ
z ˙ Fz = ml (l − z) → z ≈ Cte
T
T
= g0 − 2ω0 x cos θ
˙ (1.16)
m
x = − g x + 2ω0 y sin θ + 2ω0 xx cos θ
¨ ˙ ˙
l l (1.17)
y = − g y + 2ω0 x sin θ + 2ω0 y x cos θ
¨ l ˙ l ˙
g
haciendo Ω = l y α = ω0 sin θ:
x = −Ω2 x + 2αy
¨ ˙
(1.18)
y = −Ω
¨ 2 y − 2αx
˙
Que se puede resolver utilizando complejos[6]:
i¨ + y = −Ω2 (ix + y) + 2αi (ix + y)
x ¨ ˙ ˙ (1.19)
10 Mec´nica lagrangiana 0.10.1
a
19. 1.3 Sistemas de referencia no inerciales
1.3.6. Mundoanillo (Ringworld)
Una esfera de Dyson es una mega-estructura artificial imaginada por Freeman Dyson
consistente en una corteza esf´rica con centro en una estrella y radio del orden de una
e
unidad astron´mica. Dyson las propuso como hip´tesis para recoger toda la energ´
o o ıa
de una estrella y servir tambi´n de terreno habitable para suprimir los problemas de
e
superpoblaci´n de una especie como la humana.
o
Uno de los problemas fundamentales de esta estructura ser´ la necesidad de generar
ıa
una gravedad artificial para mantener a los pobladores en pie en el interior de la esfera.
Larry Niven en su novela Mundoanillo [7] imagina una simplificaci´n de una esfera
o
de Dyson convirti´ndola en un anillo de radio 153Gm (1.02 unidades astron´micas), y
e o
1.60Gm de ancho. El anillo rotar´ con una velocidad angular de 7.98 · 10−6 s−1 de modo
ıa
que las fuerzas centr´
ıpetas har´ el trabajo de la gravedad (principio de equivalencia
ıan
de Einstein) manteniendo una atm´sfera entre dos muros exteriores de unos 1600km de
o
altura.
Figura 1.7: Mundoanillo
Las dimensiones del anillo son tan monstruosas que para los anill´ ıcolas ser´ mucho
ıa
m´s complicado darse cuenta de que viven en un anillo en rotaci´n de lo que le fue a
a o
nuestra especie hacerlo con respecto a una superficie esf´rica con una curvatura mucho
e
mayor.
Seguramente se podr´ construir un p´ndulo de Foucault o alg´n an´logo que diese a
ıa e u a
los anill´
ıcolas una evidencia de que viven en un anillo en rotaci´n.
o
Veamos un poco c´mo se comportar´ los t´rminos de la ecuaci´n (1.11) en este
o ıan e o
sistema:
Arrastre: Si consideramos que la estrella en torno a la que gira Mundoanillo no se mueve,
no existir´n t´rminos de arrastre.
a e
Azimutal: Si la velocidad de giro y el eje son constantes, este t´rmino se anular´ tambi´n.
e a e
ıfugo: Este t´rmino apuntar´ siempre “hacia abajo” para los anill´
Centr´ e a ıcolas. Les pro-
porcionar´ “su fuerza de gravedad”.
a
Coriolis: Tender´ a hacer girar todo movimiento en la misma direcci´n de giro del
a o
Mundoanillo pero en sentido contrario.
http://alqua.org/libredoc/LAG 11
20. 1 Mec´nica Newtoniana
a
Las fuerzas de Coriolis son las que rigen en la tierra el sentido de giro de los huracanes.
En el Mundoanillo los huracanes ser´ remolinos horizontales con su eje paralelo al eje
ıan
de giro del Mundoanillo.
Figura 1.8: Fuerzas de coriolis en Mundoanillo
1.3.7. Aro con bola deslizante (estudio newtoniano)
Supongamos un aro am´sico circular con una bola ensartada (imaginemos una cuenta
a
de collar) que puede deslizarse libremente y sin rozamiento a lo largo del aro. Pongamos
ahora el aro a girar en torno a un eje vertical con velocidad ω y describamos el sistema
mediante dos coordenadas θ y φ tangente y perpendicular al aro respectivamente.
La fuerzas involucradas en este sistema ser´n:
a
F = mg (ˆr cos θ − eθ sin θ) +
e ˆ ˆ
Fr e r + Fφ eφ
ˆ (1.20)
Peso Ligaduras Coriolis
Las fuerzas de ligadura vendr´n descritas como:
a
˙
R2 θ 2
Fr = −mg cos θ −m − mRω 2 sin2 θ (1.21)
R
Peso
Centr´ıfuga
Y el t´rmino de Coriolis:
e
˙
Fφ = −2mωRθ cos θ (1.22)
Con todo, la ecuaci´n de movimiento ser´:
o a
¨ g
θ = − sin θ + ω 2 sin θ cos θ (1.23)
R
12 Mec´nica lagrangiana 0.10.1
a
21. 1.4 Energ´
ıa
Figura 1.9: Aro con bola deslizante
1.4. Energ´
ıa
1.4.1. Teor´ del potencial
ıa
Newton en 1687 plantea en su ley de gravitaci´n universal que todo cuerpo con masa
o
ejerce una atracci´n sobre otro cuerpo con masa de forma instant´nea e independiente-
o a
mente de la distancia que los separe.
Esta fuerza es proporcional a las masas de los cuerpos e inversamente al cuadrado
de la distancia que los separa Siendo su direcci´n y sentido de car´cter atractivo entre
o a
ambos cuerpos.
Mm Mm
F = −G 2
r → Fx = −G
ˆ xˆ
i (1.24)
r (x 2 + y 2 + z 2 )3/2
Esta teor´ implica una suposici´n algo delicada que es la de “acci´n a distancia”. El
ıa o o
sol tira de la tierra con una cierta fuerza pero no tiene una cuerda ni nada parecido con
que sujetarla.
El concepto matem´tico de campo nace de la mano de Leonard Euler cuando se
a
trata de llevar a la hidrodin´mica las ecuaciones de Newton. Un campo se define en este
a
contexto como una cierta regi´n del espacio en la que cada punto est´ caracterizado
o a
por una cierta magnitud (o magnitudes) dependiente de sus coordenadas espaciales y
temporales.
A Lagrange en 1777 se le ocurre una idea feliz para pasar de hacer complejas cuentas
http://alqua.org/libredoc/LAG 13
22. 1 Mec´nica Newtoniana
a
vectoriales a c´lculos anal´
a ıticos escalares m´s sencillos de la siguiente manera:
a
x ∂ 1
Fx = −GM m = −GM m − +C (1.25)
(x2 + y 2 + z 2 )
3
2 ∂x x2 + y2 + z2
∂ 1 −3
− 2 + y2 + z2
+C = x x2 + y 2 + z 2 2
(1.26)
∂x x
Generalizando:
∂ −1 ∂V
Fxi = −GM m x2 + y 2 + z 2 2
+C ≡ −m (1.27)
∂xi ∂xi
donde
GM
V (x, y, z) = − + C → F = −m ·V (1.28)
r
Pero el paso trascendente hacia la teor´ de potencial tendr´ que esperar a que en
ıa ıa
1782 Laplace derivase por segunda vez.
Laplace concede al potencial el rango de sustancia o propiedad que se expande por el
espacio haciendo que ´ste adquiera unas determinadas propiedades.
e
La funci´n V comienza a llamarse funci´n potencial en 1828 de boca de Green y
o o
posteriormente por Gauss.
−1
V (x, y, z) =γ x2 + y 2 + z 2 2 + C
∂V −3
= − γx x2 + y 2 + z 2 2
∂x
∂2V −3 3 −5
= − γ x2 + y 2 + z 2 2 + γx x2 + y 2 + z 2 2
2x
∂x 2 2
−3 −5
= − γ x2 + y 2 + z 2 2
+ 3γx2 x2 + y 2 + z 2 2
=
= − γr−3 + 3γx2 r−5
∂2V
= − γr−3 + 3γy 2 r−5
∂y 2
∂2V
= − γr−3 + 3γz 2 r−5
∂z 2
∂2V
2
V = ∆V = = − 3γr−3 + 3γ x2 + y 2 + z 2 r−5 ≡ 0
∂x2i
r2 (1.29)
Con lo que, finalmente, tenemos la primera ecuaci´n del Campo:
o
∂2V
∆V = 2
V = =0 (1.30)
∂x2
i
14 Mec´nica lagrangiana 0.10.1
a
23. 1.4 Energ´
ıa
Campo y energ´
ıa
Es f´cil pasar de hablar en t´rminos matem´ticos abstractos a hablar de f´
a e a ısica plante-
ando el trabajo de una fuerza por unidad de desplazamiento:
∂V
∂x
∂V
F = −m V →F dr = −m V dr = −m (dx , dy , dz ) =
∂y
∂V
∂z
∂V ∂V ∂V
= −m dx + dy + dz = −mdV (1.31)
∂x ∂y ∂z
Con todo, el trabajo realizado por el campo sobe la part´
ıcula a lo largo de un de-
splazamiento diferencial:
W = F dr = −mdV (1.32)
A lo largo de un cierto camino:
B B
WAB = F dr = −m dV = −m (VB − VA ) = − (UB − UA ) (1.33)
A A
donde U (x, y, z) = mV (x, y, z) es la energ´ potencial de una masa m en un campo V .
ıa
El resultado s´lo depende de los extremos y no del camino recorrido, lo que implica
o
que el campo es conservativo.
Bajo esa premisa, al integrar a un camino cerrado siempre obtendremos un trabajo
nulo, a trav´s del teorema de Stokes:
e
F dr = × F nds =
ˆ × V nds ≡ 0
ˆ (1.34)
C S S
circulaci´n
o f lujo
Con lo que, para identificar un campo conservativo:
×F =0 (1.35)
Cerca de la superficie terrestre
Un potencial conservativo particular es el potencial gravitatorio en la superficie de la
tierra.
Pongamos ahora a un se˜or en lo alto de la torre de Pisa y pid´mosle que deje caer
n a
una piedra. La piedra tendr´ una cierta energ´ potencial proporcional a su masa, a la
ıa ıa
altura de la torre y a una cierta constante:
U = mgh (1.36)
http://alqua.org/libredoc/LAG 15
24. 1 Mec´nica Newtoniana
a
Esa energ´ variar´ con el tiempo a medida que la piedra caiga, es decir:
ıa a
dU ˙
= mg h (1.37)
dt
Galileo ya nos dijo que las cosas caen con una cierta aceleraci´n constante g, con lo
o
a a ˙
que sabemos que la velocidad con que caer´ ser´ h = −gt y la posici´n en cada instante
o
de tiempo (si en t = 0 la soltamos) h = h0 − 1 gt2 , de donde:
2
dU
= −mg 2 t (1.38)
dt
Veamos a continuaci´n lo que sucede con la energ´ cin´tica
o ıa e
1 ˙ 1 dT
T = mh2 = mg 2 t2 → = mg 2 t (1.39)
2 2 dt
que “casualmente” es la misma cantidad (cambiada de signo) que encontramos al derivar
la energ´ potencial.
ıa
Esto es generalizable a trayectorias m´s complicadas que una ca´ libre.
a ıda
Imaginemos, por ejemplo, algo complicado de verdad, una monta˜a rusa.
n
Figura 1.10: Trayectoria complicada
La monta˜a rusa tiene como energ´ de activaci´n una cadena que eleva los vagones
n ıa o
hasta un punto, concretamente hasta el punto m´s elevado de la estructura. Eso implica
a
el m´ximo de energ´ potencial. De all´ parte el movimiento con una velocidad inicial
a ıa ı
aproximadamente nula.
A medida que cae va adquiriendo velocidad y por tanto energ´ cin´tica al mismo
ıa e
ritmo que pierde altura y por tanto energ´ potencial. Al ascender posteriormente una
ıa
pendiente sucede lo contrario hasta el punto de que si llegase a la misma altura a la que
empez´ el viaje habr´ perdido toda su velocidad y (de estar en un punto de pendiente
o a
distinta de cero) comenzar´ un camino de vuelta.
a
No obstante, es tambi´n intuitivo que si la velocidad de activaci´n es distinta de cero
e o
(exceso de energ´ podr´ ascender en un determinado momento algo m´s de la altura a
ıa) a a
la que parti´.
o
Este esquema intuitivo es muy aplicable a campos unidimensionales gen´ricos. Po-
e
dremos ver el perfil de un potencial como si fuese la v´ de la monta˜a rusa.
ıa n
16 Mec´nica lagrangiana 0.10.1
a
25. 1.4 Energ´
ıa
1.4.2. Estudio de potenciales unidimensionales
Figura 1.11: Exceso de energ´ en la activaci´n y puntos de equilibrio
ıa o
Ante cualquier potencial conservativo (tratemos por simplicidad potenciales unidi-
mensionales) podremos sacar algunas conclusiones estudiando detalles sencillos de su
topolog´ıa.
La informaci´n m´s inmediata de calcular para un potencial U (x) son los puntos
o a
cr´
ıticos, es decir, m´ximos, m´
a ınimos y puntos de inflexi´n.
o
d2 U
dx 2
<0 → M´ximo
a → Equilibrio inestable
dU
d2 U
U (x) → =0→ dx 2
= 0 → Punto de inflexi´n → Equilibrio inestable
o
dx d2 U
>0 → M´ınimo → Equilibrio estable
dx 2
(1.40)
El significado f´ısico de estabilidad es bien intuitivo. Una cierta part´ıcula est´ en reposo
a
sobre un punto de equilibrio y si nada sucede ah´ seguir´. Si de pronto aparece una
ı a
perturbaci´n que aleje a la part´
o ıcula una distancia infinitesimal del punto de equilibrio y
´sta regresa a su anterior posici´n autom´ticamente el punto ser´ de equilibrio estable.
e o a a
En cualquier otro caso el equilibrio ser´ inestable.
a
La gracia de esto es que cerca de los puntos de equilibrio estable, una peque˜a energ´
n ıa
producir´ oscilaciones en torno a ese punto de equilibrio.
a
Si aproximamos por Taylor la funci´n del potencial (sea cual sea) en torno a un punto
o
de equilibrio estable:
1
U (x) = U (x0 ) + U (x0 ) (x − x0 ) + U (x0 ) (x − x0 )2 + . . . (1.41)
2
y tomamos los dos primeros t´rminos del desarrollo obtenemos un potencial arm´nico
e o
que sabemos tratar muy bien:
1
U (x) ≈ U (x0 ) + U (x0 ) (x − x0 )2 (1.42)
2
Cte
El per´
ıodo de oscilaci´n de un potencial arm´nico es T = 2π
o o m
U (x0 ) y ser´ en general
a
una aproximaci´n muy razonable para oscilaciones suficientemente peque˜as.
o n
http://alqua.org/libredoc/LAG 17
26. 1 Mec´nica Newtoniana
a
En caso de tener que estudiar el potencial anarm´nico:
o
1 2
E0 = mx2 + U (x) → x = ±
˙ ˙ (E0 − U (x)) (1.43)
2 m
1
T = ±2 dx (1.44)
2
m (E0 − U (x))
1.5. Sistemas disipativos
Estudiemos ahora c´mo afrontar los sistemas disipativos, es decir, los sistemas en los
o
que el m´vil se va poco a poco frenando hasta llegar al estado de reposo.
o
Llamaremos fuerzas disipativas a aquellas que merman progresivamente la energ´ ıa
cin´tica del sistema sin convertir ´sta en alg´n otro tipo de energ´ potencial reutilizable.
e e u ıa
Vamos a considerar, por tanto, fuerzas que act´an exclusivamente en la direcci´n de
u o
movimiento del sistema y en oposici´n de sentidos. Fuerzas cuya magnitud dependa
o
exclusivamente de la velocidad del sistema y hasta orden 2, es decir:
F (v) = a0 + a1 v + a2 v 2 (1.45)
donde
Coulomb:
a0 = −µN = −µmg . . . (1.46)
Ser´n los rozamientos que conocemos de cursos anteriores, con un coeficiente de
a
rozamiento µ que depende de los materiales en contacto (µ ≈ 0.6 para acero-acero
o µ ≈ 0.04 para tefl´n-tefl´n).
o o
En la ecuaci´n din´mica funcionar´ como:
o a a
dv v2
m = −µmg → v − v0 = −µgt → x = x0 + 0 (1.47)
dt 2µg
Stokes:
˜
a1 = −6π Rη (1.48)
´
Esta la veremos m´s en profundidad cuando estudiemos el viscos´
a ımetro de Stokes.
η es el coeficiente de viscosidad del l´
ıquido en que ir´ inmersa la part´
ıa ˜
ıcula, y R
tiene que ver con las proporciones de la part´ ıcula respecto a las condiciones de
contorno y tambi´n con las proporciones entre fuerzas viscosas e inerciales.
e
Como adelanto, el viscos´
ımetro de Stokes ser´ un cilindro con un cierto fluido por
a
el que hacemos caer part´ıculas (que pueden ser esferas de alg´n material o gotas
u
de alg´n otro l´
u ıquido).
18 Mec´nica lagrangiana 0.10.1
a
27. 1.5 Sistemas disipativos
En el viscos´
ımetro de Stokes, la fuerza de rozamiento viene dada por la expresi´n:
o
3
Fr = 6πrη 1 + R v (1.49)
16
Donde R es el n´mero de Reynolds (del orden de 10−5 para el viscos´
u ımetro de
gotas o de 10− 2 para el de bolas).
Introduci´ndolo en la ecuaci´n din´mica:
e o a
dv ˜ dv a1 −t
m = −6Rπηv → = − dt → v = v0 e τ (1.50)
dt v m
Si nos fijamos en esta expresi´n es sorprendente que con este tipo de rozamiento,
o
la velocidad s´lo llegar´ a 0 a tiempo infinito.
o ıa
−t
x = x0 + v0 τ 1 − e τ → l´ → x∞ = x0 + v0 τ
ım (1.51)
t→∞
Sin embargo, el espacio recorrido en un tiempo infinito es finito1 .
Newton:
a2 = −β = πSρ (1.52)
Este t´rmino aparece, por ejemplo, en la din´mica de los meteoritos que entran en
e a
la atm´sfera, para los que el coeficiente π es aproximadamente 1, S es la superficie
o
del meteorito y ρ la densidad de la atm´sfera.
o
Tambi´n aparece en la hidr´ulica de los canales abiertos bajo el nombre de el
e a
n´mero de Froude, que relaciona las fuerzas de inercia con las gravitacionales como
u
v2
β 2 = gl , donde vf es una velocidad caracter´
f
ıstica del sistema, l una longitud
caracter´
ıstica y g la aceleraci´n de la gravedad.
o
En la ecuaci´n din´mica funcionar´ como:
o a a
dv v0 m v0 β
m = −βv 2 → v = → x = x0 + log 1 + t (1.53)
dt 1 + vm t
0β β m
1.5.1. Proyectil de Tartaglia
Niccol` Fontana Tartaglia (1500-1557) es conocido por resolver la ecuaci´n general de
o o
un polinomio de tercer grado.
Adem´s de eso, fue la primera persona en aplicar las matem´ticas a problemas de
a a
artiller´ y sus trabajos fueron validados medio siglo despu´s por las leyes de ca´ de
ıa e ıda
los cuerpos de Galileo.
Tartaglia propone el modelo parab´lico para la trayectoria de las balas de ca˜´n,
o no
postulando que el ´ngulo ´ptimo para obtener el mayor alcance es de 45 grados.
a o
1
ver “Aquiles y la tortuga” en http://es.wikipedia.org/wiki/Paradojas de Zen´n
o
http://alqua.org/libredoc/LAG 19
28. 1 Mec´nica Newtoniana
a
Figura 1.12: Proyectil de Tartaglia
Para el modelo de Tartaglia, el movimiento de la bala de ca˜´n ser´ perpetuo en el
no ıa
eje horizontal y s´lo se detendr´ al tocar con el suelo.
o ıa
Galileo supo ver que la fricci´n era la que frenaba el proyectil alej´ndolo de su trayec-
o a
toria parab´lica del mismo modo que suced´ con sus planos inclinados. Lleg´ a imaginar
o ıa o
un camino sin rozamiento alrededor de la tierra a lo largo del cual una part´ ıcula viajase
indefinidamente. Sin embargo, vio problemas con el movimiento perpetuo de rotaci´n de o
la tierra y la fricci´n que deber´ hacerla detenerse.
o ıa
Newton llev´ esta idea conjugada con la trayectoria parab´lica de Tartaglia a su cl´
o o ımax
en un c´lebre dibujo en el que un proyectil es disparado desde lo alto de una monta˜a
e n
cada vez con m´s fuerza hasta dar la vuelta a la tierra describiendo una ´rbita alrededor
a o
de la misma.
Figura 1.13: Dibujo de Isaac Newton. Principia, VII, libro III, p551.
Volviendo al proyectil de Tartaglia, analicemos su din´mica considerando que las
a
20 Mec´nica lagrangiana 0.10.1
a
29. 1.5 Sistemas disipativos
fuerzas de rozamiento involucradas son cuadr´ticas con la velocidad, es decir, Fr = −βv 2 :
a
x = x0 + x0x β
m
β log 1 + m t
cos(A−( βg
)t) (1.54)
y = y0 + m
log m
β cos A
β 2
donde A = tan−1 mg v0y
http://alqua.org/libredoc/LAG 21
31. 2 Fundamentos de la mec´nica lagrangiana
a
2.1. Grados de libertad, ligaduras y coordenadas generalizadas
2.1.1. Concepto de ligadura
Se denominan ligaduras a las condiciones que restringen el movimiento de un sistema
y expresan la acci´n de ciertas fuerzas de ligadura. Las ligaduras pueden ser de dos tipos:
o
Ligaduras estructurales o de construcci´n del sistema: Son las ligaduras que
o
est´n determinadas por la forma en que est´ construido el sistema. Sus restricciones
a a
se refieren a que los materiales del sistema resultan indeformables o inextensibles.
Unos ejemplos son:
Ejemplo 2.1. Veamos la din´mica de un sistema formado por una varilla en la que
a
est´ ensartada una cuenta que se mueve libremente por ella. La propia construcci´n
a o
del sistema hace que no sea posible que la cuenta se mueva en las direcciones X y
Z, sino s´lo en la direcci´n Y.
o o
Ejemplo 2.2. Estudiemos ahora el movimiento de una part´ ıcula sobre una super-
ficie semicircular. La unica trayectoria que puede seguirla part´
´ ıcula es la de deslizar
por la superficie.
23
32. 2 Fundamentos de la mec´nica lagrangiana
a
Ejemplo 2.3. Un ejemplo m´s visual puede ser nuestro propio brazo. Aunque el
a
movimiento del conjunto puede cubrir casi todo el espacio gracias a las articula-
ciones, si nos fijamos en cada una de las partes del brazo, ´stas s´lo pueden realizar
e o
una serie de movimientos. Esto es debido a que cada hueso es indeformable y, por
tanto, tienen una determinada estructura que les impide ciertos movimientos.
Ligaduras por el modo de activaci´n: Condiciones que de-
o
terminan la evoluci´n del sistema y que dependen de la forma
o
en que ponemos en funcionamiento el mismo. Es decir, pode-
mos encontrarnos con distintos problemas seg´n la forma en
u
que activemos el conjunto.
Ejemplo 2.4. Estudiemos el p´ndulo simple. Como podemos ver la
e
din´mica del p´ndulo y su evoluci´n depende de si las condiciones ini-
a e o
ciales hacen que el p´ndulo se mueva s´lo en el plano ZY, recorriendo
e o
arcos de circunferencia (p´ndulo simple), o que, sin embargo, el sistema se mueva hacien-
e
do circunferencias completas en el plano XY. N´tese que al mismo tiempo que estamos
o
imponiendo una ligadura por activaci´n estas introduciendo otra ligadura estructural
o
que nos indica que el punto de suspensi´n del p´ndulo es fijo (p´ndulo c´nico).
o e e o
Ejemplo 2.5. Ahora veamos lo que ocurre con el p´ndulo el´stico.
e a
En el dibujo se puede observar que dependiendo de las condiciones
iniciales el p´ndulo puede comportarse como un p´ndulo simple, si la
e e
elongaci´n inicial es nula, como un oscilador en una dimensi´n, si la activaci´n es s´lo
o o o o
en el eje z, o como un oscilador tridimensional al tener la posibilidad de oscilar y girar
en las tres dimensiones.
24 Mec´nica lagrangiana 0.10.1
a
33. 2.1 Grados de libertad, ligaduras y coordenadas generalizadas
Ejemplo 2.6. Recordemos lo que aprendimos en el tema dedicado
al an´lisis de los potenciales. Si suponemos que nos encontramos en
a
un punto de equilibrio inestable inicialmente, el modo de activaci´no
condicionar´ la evoluci´n del sistema. Por ejemplo, ese punto inestable podr´ ser la cima
a o ıa
de una monta˜a que tiene a los lados dos valles. La forma en que tiremos una piedra
n
determinar´ si esta cae a uno u otro valle.
a
Antes de continuar debemos distinguir entre dos conceptos que nos ser´n de mucha
a
utilidad, estos son:
Fuerzas de ligadura: Son las fuerzas responsables de las restricciones del sistema.
No aparecen directamente en la formulaci´n lagrangiana, aunque est´n de forma
o a
impl´ıcita en ella y pueden calcularse mediante m´todos anal´
e ıticos (v´ase obtenci´n
e o
de las fuerzas de ligadura a partir del m´todo de los multiplicadores de Lagrange
e
en el Tema 3). En general estas fuerzas, al depender de la posici´n y la velocidad,
o
podemos expresarlas entonces como una funci´n f = f {ri , ri , t} = 0
o ˙
Ejemplo 2.7. (v´ase ejemplo 2.1) En este caso f = f {ri }. Si por alg´n mo-
e u
tivo la cuenta sufriese alguna fuerza en una direcci´n que no fuese la del eje Y
o
aparecer´ una fuerza normal que la mantendr´ en la varilla, debido a que esta es
ıa ıa
indeformable.
http://alqua.org/libredoc/LAG 25
34. 2 Fundamentos de la mec´nica lagrangiana
a
Ejemplo 2.8. (v´ase ejemplo 2.2) La fuerza de ligadura hace que la part´
e ıcula se
mantenga siguiendo la superficie de la semicircunferencia, ya que es indeformable.
N´tese que la fuerza normal a la misma es variable ya que depende de la posici´n
o o
de la part´
ıcula y de su velocidad f = f {ri , ri , t} = 0.
˙
Ejemplo 2.9. (v´ase ejemplo 2.4) De nuevo en este caso la fuerza de ligadura
e
depende tanto de posiciones y como de las velocidades, es por consiguiente f =
f {ri , ri , t} = 0. Que la cuerda sea inextensible provoca que se cree una tensi´n en
˙ o
la cuerda seg´n el movimiento de oscilaci´n.
u o
Ecuaciones de ligadura: Describen los efectos de las fuerzas de ligadura, es decir,
sus implicaciones sobre la din´mica del sistema al que se aplique una determinada
a
fuerza. Ve´moslo en los ejemplos anteriores.
a
Ejemplo 2.10. (de nuevo ejemplos 2.1 y 2.7) La aplicaci´n de la fuerza de ligadura
o
hace que para definir la posici´n de la part´
o ıcula tengamos la ecuaci´n de ligadura
o
x = z = 0.
Ejemplo 2.11. (similar a 2.2 y 2.8) La imposibilidad de deformar la superficie
semicircular hace que la ecuaci´n de ligadura sea, en cartesianas, x2 + y 2 = cte =
o
R2 , y en polares, ρ = R = cte.
26 Mec´nica lagrangiana 0.10.1
a
35. 2.1 Grados de libertad, ligaduras y coordenadas generalizadas
Ejemplo 2.12. (como en los casos 2.4 y 2.9) El equilibrio entre la tensi´n, lao
componente del peso y la componente normal de la aceleraci´n en cada punto hace
o
que la ecuaci´n de ligadura sea r = l = cte. En este caso puede comprobarse que
o
el modo de activaci´n influye notablemente en las ligaduras, ya que si el p´ndulo
o e
se activa de forma que s´lo oscile en el plano del papel entonces aparece una nueva
o
restricci´n tal que x = 0 es tambi´n una ecuaci´n de ligadura.
o e o
Ejercicio 2.1. Determ´ınese las ligaduras estructurales y alguna de las posibles
ligaduras por activaci´n de los siguientes sistemas:
o
1. Plano inclinado de ´ngulo α.
a
2. Movimiento de un pist´n en un cilindro.
o
3. Movimiento de una cuenta a lo largo de un anillo circular que gira
alrededor de uno de los di´metros.
a
2.1.2. Clasificaci´n de las ligaduras atendiendo a las ecuaciones de ligadura
o
Las ligaduras pueden clasificarse en dos tipos:
Unilaterales: Aquellas en las que las relaciones entre las variables se expresan
con desigualdades. Su forma m´s general se puede caracterizar por f = f {ri , ri , t}.
a ˙
Estas ligaduras se caracterizan porque su evoluci´n puede dividirse en dos etapas:
o
• fase activada, en la que f = 0.
• fase desactivada, en la que f > 0 .
Veamos estas diferencias con m´s ejemplos:
a
Ejemplo 2.13. En el ejemplo 2.11 vimos que la ecuaci´n de ligadura era ρ = cte, si bien
o
esta restricci´n no se aplica indefinidamente ya que llega un momento en que la fuerza
o
centr´
ıfuga hace que la part´ıcula se despegue de la superficie. Analicemos esta fuerza:
mv 2 ˙
flig = 0 → flig = mg cos θ − = mg cos θ − mRθ2 (2.1)
R
peso
f.centr´ uga
if
durante la fase activa.
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36. 2 Fundamentos de la mec´nica lagrangiana
a
Por otro lado, suponiendo que la part´ ıcula parta del reposo desde el punto A y uti-
lizando el principio de conservaci´n de la energ´
o ıa:
1 ˙
mgR = mgR cos θ + mR2 θ2 (2.2)
2
˙
Si ahora despejamos R2 θ2 de (2.2) y lo ustituimos en (2.1) podemos entonces obtener la
fuerza de ligadura flig = mg (3 cos θ − 2). (De nuevo hay que hacer notar que ´sta es la
e
fuerza de ligadura, no la ecuaci´n de ligadura). De modo que:
o
2
flig = 0 ⇔ cos θ0 = ⇒ θ0 48◦
3
Es decir, la fase activada act´a hasta que el ´ngulo llega a θ0
u a 48◦ , donde comienza
la fase desactivada.
Ejemplo 2.14. Supongamos ahora un caso de un objeto de masa m que se encuentra en
reposo relativo sobre un disco que gira en el plano horizontal con velocidad ω variable,
tal como se ilustra en la figura. El objeto sufrir´ una aceleraci´n centr´
a o ıfuga seg´n su
u
distancia ρ al eje y la velocidad ω. Dado que el objeto est´ en reposo en el sdr no inercial
a
dicha aceleraci´n centr´
o ıfuga, dada por ω × ω × rho , se ve contrarrestada por la fuerza
de rozamiento entre el objeto y el plano FR = µN . Tenemos por tanto que la ecuaci´n o
de ligadura es ρ = R = cte durante la fase activa, es decir, mientras el rozamiento
contrarreste la fuerza centr´ ıfuga.
Si analizamos el movimiento, tenemos:
flig = 0 → flig = −µmg + mω 2 R
componente del peso f. centr´ uga
if
µg
Entonces la fase activa dura hasta que la velocidad angular es: ω = R . Si, la
velocidad angular entonces subiera de ese valor el rozamiento no ser´ suficiente para
ıa
frenar al objeto y ´ste deslizar´ hacia el exterior del disco.
e ıa
28 Mec´nica lagrangiana 0.10.1
a
37. 2.1 Grados de libertad, ligaduras y coordenadas generalizadas
Ejemplo 2.15. Como otro ejemplo veamos lo que ocurre cuando un objeto de masa m
gira en el plano vertical atado mediante una cuerda de longitud L a un eje. Supongamos
que adem´s la cuerda como todo material tiene una determinada resistencia a la tensi´n,
a o
por ejemplo T. Es decir, si la tensi´n superase ese valor la cuerda se romper´ y el objeto
o ıa
saldr´ lanzado. El movimiento queda restringido de nuevo a que el objeto se mantenga
ıa
a una distancia determinada del eje (siempre que la velocidad sea suficiente). De nuevo
la ecuaci´n de ligadura es de nuevo ρ = cte durante la fase activa, como en los casos
o
anteriores.
Entonces la ligadura permanecer´ en una fase activa mientras T > F√ ⇔ T > mv .
a cent L
Es f´cil comprobar que el movimiento circular vertical se mantiene si 2 gL < v < T L .
a m
Para velocidades menores el objeto no llegar´ a culminar su movimiento mientras que
a
para velocidades mayores se romper´ la cuerda.
a
Bilaterales: Las ecuaciones de ligaduras se expresan como una igualdad. Corre-
sponden a la fase activada de la ligadura unilateral. Podemos dividir las ligaduras
bilaterales en tres tipos:
• Cinem´ticas: f = f {ri , ri , t}. Ligaduras dependientes de la posici´n y ve-
a ˙ o
locidad de la part´ıcula y del tiempo.
• Geom´tricas: f = f {ri , t}. Ligaduras que no dependen de la velocidad pero
e
s´ de las osiciones y del tiempo.
ı
• Estacionarias: f = f {ri }. Ligaduras que s´lo dependen de las posiciones de
o
las part´ıculas.
Analicemos las diferencias entre estas ligaduras con m´s casos pr´cticos:
a a
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38. 2 Fundamentos de la mec´nica lagrangiana
a
Ejemplo 2.16. Clasifiquemos las ligaduras de una polea de cuya cuerda penden dos
masas m1 y m2 Sabemos que la cuerda es inextensible, por lo que la ecuaci´n de ligadura
o
es l = cte . Si analizamos esta expresi´n vemos que es una relaci´n independiente del
o o
tiempo y de la velocidad. Por tanto se trata de una ligadura estacionaria.
Ejemplo 2.17. Estudiemos el mecanismo biela-manivela de la figura del que se conoce
la velocidad angular de BC alrededor de B. Por el teorema del coseno: L2 = R2 +
x2 − 2Rx cos θ que se trata de una ecuaci´n de 2o grado en x. Si resolvemos x =
o
L 2
R cos θ + R − sin2 θ y despejando para obtener una f = 0 tenemos la ecuaci´n
o
de ligadura es
2
L
x − R cos θ + − sin2 θ = 0
R
Veamos que se trata de una funci´n f {ri } = f {x, θ} = 0. Estas expresiones no de-
o
penden de la velocidad ni del tiempo, se trata por tanto de una ligadura estacionaria
(geom´trica).
e
Podemos sin embargo transformar esta ligadura geom´trica en una cinem´tica derivan-
e a
do respecto del tiempo:
˙ cos θ
x + Rθ sin θ · 1 +
˙ =0
L 2
R − sin θ
2
que es una ecuaci´n de ligadura cinem´tica.
o a
A este tipo de ligaduras se las denominan ligaduras cinematicas integrables
´
(obtenidas por derivaci´n de una ligadura geom´trica). As´ pues, las ligaduras geom´tri-
o e ı e
cas imponen restricciones sobre las posiciones y tambi´n sobre las velocidades por medio
e
30 Mec´nica lagrangiana 0.10.1
a
39. 2.1 Grados de libertad, ligaduras y coordenadas generalizadas
de la ligadura cinem´tica integrable asociada. Un ejemplo ilustrativo de esta situaci´n
a o
puede verse en el disco de Maxwell . Para que una ligadura cinem´tica f {ri , ri , t} sea
a ˙
cinem´tica integrable se debe cumplir que
a
df
if · vi + sea una diferencial exacta.
dt
N´tese que lo importante de este problema es la f´
o ısica que est´ encerrada en ´l. El
a e
sistema transforma un movimiento rectil´ ıneo (movimiento de la biela) en uno circular
(movimiento de la manivela), o viceversa. La relevancia de esta idea en la historia del
hombre ha sido enorme, ya que este mecanismo form´ parte de la revoluci´n industrial
o o
y hoy est´ presente en todo nuestro entorno en los pistones de todo tipo de motores.
a
Ejemplo 2.18. (v´ase el diagrama de los Ejemplos 2.1 y 2.2) Analicemos ahora la
e
din´mica de una part´
a ıcula sometida a una oscilaci´n forzada ensartada en un alam-
o
bre horizontal. Supongamos que esa oscilaci´n forzosa es de forma sinusoidal. Entonces
o
adem´s de las ligaduras que obligan a que la part´
a ıcula se mueva sobre el alambre
(x = z = 0) aparece una nueva ligadura de la forma y = A · sin ωt . Despejando es-
ta expresi´n tenemos la ecuaci´n de ligadura y − A · sin ωt = 0 Vemos que ´sta es una
o o e
funci´n de f {ri , t} = f {y, t} = 0 y por tanto se trata de una ligadura geom´trica no
o e
estacionaria (cinem´tica). Puede comprobarse que se puede transformar en una ligadura
a
cinem´tica integrable de forma an´loga al ejemplo anterior, adoptando en este caso la
a a
forma y − Aω cos ωt.
˙
2.1.3. Clasificaci´n de los sistemas mec´nicos (atendiendo al tipo de
o a
ligadura)
Tomando en cuenta las consideraciones hechas en los apartados anteriores para clasi-
ficar las ligaduras, podemos diferenciar los sistemas en dos grupos:
Sistemas hol´nomos: Un sistema se dice hol´nomo cuando todas sus ligaduras
o o
son geom´tricas o cinem´ticas integrables. A su vez, existen dos tipos de sistemas
e a
hol´nomos:
o
• Sistemas hol´nomos escler´nomos: Aquellos en las que todas sus lig-
o o
aduras son estacionarias (ligaduras indendientes del tiempo).
• Sistemas hol´nomos re´nomos: En los que alguna de sus ligaduras de-
o o
pende expl´
ıcitamente del tiempo.
Sistemas no hol´nomos: Un sistema es no hol´nomo cuando alguna de sus
o o
ligaduras es cinem´tica no integrable.
a
Ejemplo 2.19. Clasifiquemos ahora los casos vistos hasta ahora:
P´ndulo simple: La condici´n que determina que la cuerda sea inextensible es
e o
independiente del tiempo, se trata por tanto de un sistema hol´nomo escler´nomo.
o o
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