Material MAT021

Universidad Tćnica Federico Santa Mar´
e ıa
Programa Preliminar para Ingenier´
ıa

Cuaderno de Estudio

Patricio Guzmń Melńdez
a e
Alumno de Ingenier´ Civil Matem´tica
ıa a

Pedro Montero Silva
Alumno de Licenciatura en Ciencias menciń Matem´tica
o a

Ivń Szńt´ Narea
a a o
Profesor del Departamento de Matem´tica
a

Marzo de 2009

e ıa
Departamento de Matem´tica
a
ıa ´
INDICE

´
Indice
1. Introducciń
o 3

2. Preliminares 4

3. L´gica Simb´lica y Teor´ de Conjuntos
o o ıa 6
3.1. L´gica Simb´lica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
o o 6
3.2. Teor´ de Conjuntos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
ıa 8

4. Funciones 10
4.1. Propiedades de Funciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
4.2. Estudio de Funciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
4.3. Problemas de Modelado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

5. Geometr´ Anal´
ıa ıtica 18
5.1. La Recta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
5.2. Cńicas . . . . . . . .
o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
5.2.1. Circunferencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
5.2.2. Par´bola . . .
a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
5.2.3. Elipse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
5.2.4. Hip´rbola . . .
e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
5.3. Lugares Geom´tricos .
e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

6. N´ meros Naturales
u 25
6.1. Inducciń . . . . . . . .
o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
6.2. Sumatorias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
6.3. Progresiones Aritm´ticas
e y Geom´tricas
e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
6.4. Teorema del Binomio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

7. N´ meros Reales
u 33
7.1. Axiomas de Cuerpo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
7.2. Axiomas de Orden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
7.3. Desigualdades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
7.4. Inecuaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
7.5. Polinomios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

8. Trigonometr´ ıa 42
8.1. Operatoria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
8.2. Identidades Trigonom´tricas
e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
8.3. Ecuaciones Trigonom´tricas
e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
8.4. Problemas con Enunciado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
8.5. Miscelńeo . . . . . . . . .
a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

9. N´ meros Complejos
u 51
9.1. Operatoria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
9.2. Funciones Complejas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
9.3. Miscelńeo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
a

10.L´
ımites y Continuidad 57
10.1. L´
ımites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
10.2. Continuidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
10.3. Miscelńeo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
a

1

e ıa
a
ıa ´
INDICE

11.La Derivada 63
11.1. Operatoria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
11.2. Diferenciabilidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
11.3. Miscelńeo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
a

12.Aplicaciones de la Derivada 76
12.1. Problemas de Razń de Cambio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
o
12.2. Problemas de Optimizaciń . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
o
12.3. Estudio de Funciones y Trazado de Curvas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80

2

e ıa
a
ıa

1. Introducciń
o
El Programa Preliminar para Ingenier´ es un programa que se imparte a los alumnos destacados de IV◦
ıa
Medio de la Regiń de Valpara´ que sienten inter´s en el ´rea de la Ingenier´ Ciencias y Tecnolog´ en
o ıso, e a ıa, ıa;
donde se les inicia en la vida y exigencia universitaria, cursando la asignatura de Matem´tica I (MAT-021) e In-
a
troducciń a la Ingenier´ (IWI-101); ambos cursos del primer semestre acad´mico de Ingenier´ y Ciencias en la
o ıa e ıa
e ıa.

Este Cuaderno de Estudio est´ destinado a las clases activas de Matem´tica I, que en la prćtica, es una de
a a a
las partes m´s importantes de la asignatura. Su prop´sito es orientar el aprendizaje a lo largo del curso apuntando a
a o
identificar los conceptos claves sobre los cuales se estructura cada unidad. Esto dar´ al estudiante una visiń global
a o
de las herramientas entregadas en la asignatura.

Este cuaderno est´ dividido en los temas que se verń a lo largo del curso, y el n´mero de actividades por temas
a a u
es variable dependiendo de la importancia del mismo.

La metodolog´ a seguir consiste en que el estudiante resuelva los problemas en clases prćticas en donde bajo
ıa a
la supervisiń del profesor y los ayudantes, el estudiante aplicar´ los conceptos y m´todos entregados en la clase
o a e
te´rica, y as´ podr´ resolver los diferentes tipos de problemas y aplicaciones.
o ı a

Esta metodolog´ ayudar´ al estudiante a seguir y a entender mejor los contenidos de la asignatura, pues de esta
ıa a
forma se concreta lo explicado en las clases te´ricas y adem´s se ejercita, consiguiendo afianzar los conocimientos.
o a
El hecho de que el estudiante encuentre dificultades en este cuaderno es un indicador de que no ha alcanzado el
nivel de aprendizaje esperado.

Se espera ir perfeccionando este cuaderno en todos los sentidos posibles: formato, ediciń del texto, redacciń y
o o
niveles de dificultad de los problemas, etc.

Este Cuaderno de Estudio, en su segunda versiń, no habr´ sido posible sin las valiosas recomendaciones
o ıa
y discusiones con el Departamento de Matem´tica de nuestra universidad. Adem´s, parte importante de las
a a
mejoras de esta versiń se deben a las cr´
o ıticas y comentarios de los alumnos del Programa Preliminar para Ingenier´
ıa
del aõ 2008.
n

Ayudantes del Departamento de Matem´tica:
a
Patricio Guzmń Melńdez
a e
Pedro Montero Silva

Profesor del Departamento de Matem´tica:
a
Ivń Szńt´ Narea
a a o

Marzo de 2009

3

e ıa
a
ıa 2 PRELIMINARES

2. Preliminares
1. A Constanza se le pregunta su edad y ella responde: ”Si se aãden 13 aõs al cu´druple de mi edad, se tendr´
n n a ıa
lo que falta para tener 98 aõs”. ¿Cu´l es la edad de Constanza?
n a

2. La edad de Ricardo, padre de Pablo, es el triple. La edad de Ricardo hace cuatro aõs era el doble de la edad
n
que tendr´ Pablo en siete aõs. ¿Cu´l es la suma de ambas edades?
a n a

3. De dos resistencias en paralelo que difieren en 33 Ω se sabe que la resistencia equivalente es de 22 Ω. Calcular
el valor de cada resistencia.

4. Patricio vende a Diego la tercera parte de un terreno, m´s el 45 % del resto; en total vende 5700 m2 . ¿Cuńto
a a
mide el terreno que le queda a Patricio?.

5. En un trińgulo rectńgulo los catetos son entre si como 15:35 y la hipotenusa mide 65 cm. Calcular el ´rea
a a a
del trińgulo.
a

6. El per´
ımetro de cierto rectńgulo es de 112 cm y su diagonal mide 40 cm. Calcular el ´rea del rectńgulo.
a a a

7. Si cada lado de un trińgulo isćeles disminuye en un 18 %, ¿en cuńto % disminuye su ´rea?.
a o a a

8. Un trazo AC ha sido dividido interiormente en el punto B de modo que AB : BC = 17 : 12. Sea M el punto
medio de BC. ¿Qu´ tanto % de AM mide BM ?.
e

9. Un cilindro tiene 15 cm de di´metro y 80 cm de altura. Encontrar el radio de un c´
a ırculo cuya ´rea sea igual
a
al 50 % de la superficie total del cilindro.

10. Suponga que el radio basal de un cono circular recto aumenta en un 15 %, mientras que su altura disminuye
en un 20 %. ¿En cuńto % var´ la superficie basal, total y el volumen del cono?.
a ıa

11. El ancho de un anillo circular mide 8 % m´s que el radio de la circunferencia interior. ¿Qu´ tanto % del ´rea
a e a
del anillo es el ´rea del c´
a ırculo interior si el di´metro del c´
a ırculo interior es de 70 cm?.

12. Suponga que el di´metro de un c´
a ırculo mide 30 % menos que el de otro c´
ırculo concńtrico. Expresar el ´rea
e a
del anillo en tanto % del ´rea del c´
a ırculo interior.

13. El volumen de cierto cono es igual a la mitad del volumen de una esfera de 18 cm de radio. Calcular el radio
basal del cono si su altura mide el 35 % del radio de la esfera.

14. Considere el rectńgulo cuya base y altura estń en la proporciń b : a = 27 : 21. Si la base ”b” aumenta
a a o
en 1 m y la altura ”a” en 3 m el rectńgulo se transforma en un cuadrado. ¿Cuńto mide la diagonal del
a a
rectńgulo?
a

15. Considere el s´lido formado por una semiesfera en la parte superior, un cilindro en el centro y un cono en la
o
parte inferior. El radio de la semiesfera, el cilindro y el cono es de x. La altura del cono es de x y del s´lido
o
es de 5x. Si el volumen del s´lido es de 256π, encuentre el valor de x.
o

16. Un auto y un tren se mueven juntos a lo largo de trayectorias paralelas a 25 m/s, con el auto adyacente a la
parte trasera del tren. Debido a una luz roja el auto adquiere una aceleraciń uniforme de -2,5 m/s2 (el auto
o
est´ desacelerando) y llega al reposo. Permanece en reposo durante 45 s y luego acelera hasta llegar a una
a
rapidez de 25 m/s.
¿A qu´ distancia de la parte posterior del tren se encuentra el auto cuando este alcanza la rapidez de 25 m/s,
e
suponiendo que la rapidez del tren permanece constante?.

4

e ıa
a
ıa

17. Un adolescente tiene un auto que acelera a 3 m/s2 y desacelera a 4 m/s2 . En un viaje a una tienda acelera
desde el reposo hasta los 12 m/s, maneja con rapidez constante durante 5 s y luego se detiene en una esquina.
Acelera despu´s hasta los 18 m/s, maneja con rapidez constante durante 20 s, desacelera durante 2 s, continua
e
durante 4 s a esta rapidez y luego se detiene al llegar a la tienda.

a) ¿Cuńto dura el recorrido y cuńta distancia recorre?
a a
b) Si usted camina a 1,5 m/s ¿cuńto tardar´ en llegar a la tienda?
a ıa

18. La l´
ınea de Watt’s S.A., productora de mermeladas requiere determinar el n´mero de m´quinas a utilizar
u a
durante los siguientes tres aõs para su producciń de mermelada de frambuesa.
n o

La demanda de mermelada de frambuesa para los siguientes tres aõs, en toneladas, es:
n

Aõ 1
n Aõ 2
n Aõ 3
n
30 50 40

En la siguiente tabla se pueden ver los ingredientes en la producciń de una tonelada de mermelada, y tambiń
o e
la velocidad de procesamiento de cada ingrediente en la m´guina que cuesta $15.000.000 que se desea comprar:
a

Ingredientes Pulpa de Frambuesa Agua Otros
Procesamiento 0,5 ton/hr 0,1 ton/hr 0,7 ton/hr

La m´quina es capaz de procesar 0,6 ton/hr. Por otro lado, las condiciones operacionales son: ocho horas por
a
turno, cinco d´ a la semana y cuatro semanas al mes. Se debe operar doce meses al aõ.
ıas n

Para los siguientes tres aõs determine el n´mero de m´quinas requeridas y el costo de adquirilas.
n u a

19. Forestal Minin S.A. es una empresa forestal que opera en la octava regiń. Esta requiere determinar el n´mero
o u
de m´quinas para un nuevo aserradero que permitir´ explotar un fundo forestal en la zona de Tehualco.
a a

El fundo cuenta con 1.100 hect´reas las cuales serń explotadas en los siguientes tres aõs segń el siguiente
a a n u
plan:

Aõ 1
n Aõ 2
n Aõ 3
n
Demanda (Hect´reas)
a 300 360 440

El rendimiento esperado por hect´rea es de 15 toneladas por madera procesada.
a

Las m´quinas existentes en el mercado tienen una capacidad de procesamiento de 0,7 ton/hr. Cada m´quina
a a
tiene un costo de $20.000.000 y requiere para su operaciń un operario capacitado por turno cuyo costo total
o
anual es de $3.000.000. Los costos operacionales asociados a insumos, energ´ y personal son proporcionales a
ıa
las toneladas de madera procesada y se han estimado en $1.500 por tonelada procesada.

Por otro lado, las condiciones operacionales del aserradero son: ocho horas por turno, cinco d´ a la semana
ıas
y cuatro semanas al mes. El aserradero deber´ operar los doce meses al aõ.
a n

Para los siguientes tres aõs determine:
n

a) N´mero de m´quinas requeridas
u a
b) Costo total considerando los gastos de inversiń y operaciń.
o o

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a
ıa 3 LOGICA SIMBOLICA Y TEOR´ DE CONJUNTOS
´ ´ IA

3. L´gica Simb´lica y Teor´ de Conjuntos
o o ıa

3.1. L´gica Simb´lica
o o

1. Demuestre, utilizando tablas de verdad y/o propiedades, las siguientes equivalencias.

a) (p ⇒ q) ⇔ (p ∨ q) b) (p ⇔ q) ⇔ [(p ⇒ q) ∧ (q ⇒ p)]

c) [p ∧ (p ∨ q)] ⇔ p d) [p ∨ (p ∧ q)] ⇔ p

e) [p ∧ (p ∨ q)] ⇔ (p ∧ q) f) [p ∨ (p ∧ q)] ⇔ (p ∨ q)

g) (p ⇒ q) ⇔ (q ⇒ p) h) (p ⇒ q) ⇔ [(p ∧ q) ⇒ F ]

i) [p ∧ q ⇒ r] ⇔ [(p ⇒ r) ∨ (q ⇒ r)] j) [p ⇒ (q ∧ r)] ⇔ [(p ⇒ q) ∧ (p ⇒ r)]

k) [p ⇒ (q ∨ r)] ⇔ [(p ⇒ q) ∨ (p ⇒ r)] l) [p ∨ q ⇒ r] ⇔ [(p ⇒ r) ∧ (q ⇒ r)]

2. Demuestre que las siguientes expresiones son tautolog´
ıas.

a) p ⇒ (p ∨ q) b) (p ⇒ q) ∧ (q ⇒ p)]

c) [(p ⇒ q) ∧ (q ⇒ r)] ⇒ (p ⇒ r) d) (p ⇒ q) ⇒ [(p ∨ r) ⇒ (q ∨ r)]

3. Simpliﬁque las siguientes expresiones.

a) [p ⇒ (q ∧ r)] ⇒ (p ⇒ q) b) (p ⇒ q) ⇒ [(p ∧ r) ⇒ (q ∧ r)]

c) [p ∨ (p ∧ q)] ⇔ p d) p ⇒ [q ⇒ (p ⇒ q)]

4. Sean p y q proposiciones l´gicas. Se deﬁne p × q por la siguiente tabla.
o

p q p×q
V V F
V F V
F V V
F F V

Demuestre que se cumple que:

a) p ≡ p × p.
b) p ∨ q ≡ (p × q) × (p × q).
c) p ∧ q ≡ (p × q) × (q × q).

5. Sean p, q y r proposiciones tales que p es verdadera, q es verdadera y r es falsa. Hallar el valor de verdad de
[(p ⇒ q) ⇒ (p ∧ q)] ∧ (r ⇒ q)

6. Si p ∧ q ⇒ r es falsa, determinar el valor de verdad de
(p ∨ q) ⇔ (r ∨ p)

6

e ıa
a
ıa 3.1 L´gica Simb´lica
o o

7. Si la proposiciń p ⇒ q es falsa. Determine el valor de verdad de la proposiciń
o o
[p ∨ (q ∧ r)] ⇔ [(p ∨ r) ∧ q]

8. Encontrar el valor de verdad de la proposiciń:
o
[(p ∧ q) ∨ (p ∧ r)] ⇒ [q ∨ (p ⇒ r)]
sabiendo que p ⇒ (q ∨ r) es falsa.

9. Determinar el valor de verdad de las proposiciones p, q y r si se sabe que la proposiciń compuesta
o
{[(p ⇔ q) ⇔ (p ∨ r)] ∧ [p ⇒ (q ∧ r)]}
es verdadera.

10. Sean p, q, r y s proposiciones l´gicas. Se definen los conectivos
o y de la siguiente forma:
p q≡p⇒q

r s≡r∨s
Encuentre el valor de verdad de la siguiente proposiciń:
o
[p ∧ (p r)] ∨ [(p q) ∨ (s p)]

11. Para cada una de las siguientes definiciones obtenga su negaciń.
o

a) S ⊂ R es acotado si:
(∃M ∈ R+ )(∀x ∈ S)(|x| ≤ M ).
b) Una funciń f : I ⊆ R −→ R es inyectiva en I si:
o
(∀x, y ∈ I)(f (x) = f (y) ⇒ x = y).
c) Una funciń f : A −→ B es sobreyectiva si:
o
(∀y ∈ B)(∃x ∈ A)(y = f (x)).
d ) Una funciń f : R −→ R es continua en x0 ∈ R si:
o
(∀ > 0)(∃δ > 0)(∀x ∈ R)(|x − x0 | < δ ⇒ |f (x) − f (x0 )| < ).

12. Dadas las siguientes funciones proposicionales
p(x) : x2 + y ≤ xy

q(x) : x+y ≤1
a) Determine el valor de verdad de la proposiciń (∀x ∈ N)(∃y ∈ Z)(p(x, y) ⇒ q(x, y)).
o
b) Escriba la negaciń de la proposiciń anterior.
o o

13. Para x ∈ R considere las siguientes funciones proposicionales:
p(x) : x2 − 3x − 10 ≥ 0

q(x) : 3x + 1 ≥ 13

Determine todos los x ∈ R de modo que la proposiciń p(x) ∨ q(x) sea verdadera.
o

7

e ıa
a
ıa 3 LOGICA SIMBOLICA Y TEOR´ DE CONJUNTOS
´ ´ IA

3.2. Teor´ de Conjuntos
ıa

1. Sean A, B, C ⊆ U. Demuestre que:

a) (A ∩ B)c = Ac ∪ B c b) (A ∪ B)c = Ac ∩ B c

c) A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C) d) A − (B ∩ C) = (A − B) ∪ (A − C)

e) A ⊂ B ⇔ B c ⊂ Ac f) A⊂B ⇒ A∩B =A y A∪B =B

2. Sean A, B, C ⊆ U.Simpliﬁque utilizando propiedades.

a) [A ∩ (A ∩ B)c ] ∪ [B ∪ (B ∩ C c )]c ∪ B c

b) [A ∩ (A − B)] ∪ B

c) [(A ∩ B c ) ∩ (A − B c )]c ∪ Ac

3. Sean A, B, C ∈ U. Demuestre lo que:

a) A − B = A − (A ∩ B).
b) A ∩ B = ∅ ⇔ (A ∪ B) ∩ B c = A.
c) A ∩ C = ∅ ⇔ (A − B) − C = A − (B − C).
d) A ∩ B ∩ C = ∅ ⇔ [(A − B) − (B − C) − (C − A)] = A ∪ B ∪ C.

4. Considere los conjuntos:

a) A = {x ∈ R / 5 ≤ |x|} b) B = {x ∈ R / x2 + 6 = 7x}

c) C = {x ∈ R / − 7 ≤ x ≤ 3} d) D=∅

e) E=R

Determine: B ∩ C, A ∩ C, A ∪ B, B ∪ C, A ∪ E, B ∩ E, D − A y A − C.

5. Considere los conjuntos P = {x N / 2x2 − 3x + 1 = 0} y C = {x Z / x ≥ −3 ∧ x < 7}.
a) Determine expl´ ıcitamente los conjuntos P y C.
b) Calcule |P | + |C| y |P ∪ C|.

6. Dadas las siguientes funciones proposicionales

p(x) : 2x − 10 ≥ 20

q(x) : |x| < 40
a) Determine expl´
ıcitamente los conjuntos
A = {x ∈ R / p(x) ∧ q(x) es Verdadero }

B = {x ∈ R / p(x) ⇒ q(x) es Falso }
b) Encuentre A − B.

8

e ıa
a
ıa 3.2 Teor´ de Conjuntos
ıa

7. Sean A, B ⊂ U. Se define la diferencia sim´trica entre A y B como A B = {x / x ∈ A ∨ x ∈ B}. Observar
e
que el conjunto A B es el conjunto de los elementos que pertenecen a A o a B pero no a los dos.

Sean A, B, C ⊂ U. Demuestre las siguientes propiedades:

a) A B = (A − B) ∪ (B − A) b) A B = (A ∪ B) − (A ∩ B)
c) A ∩ (B C) = (A ∩ B) (A ∩ C) d) (A B) (B C) = A C
e) A B=C⇔A C=B

8. Sea A ⊂ U un conjunto. Se define el conjunto potencia de A, denotado por P(A), como el conjunto cuyos
ımbolos viene dado por P(A) = {B ⊂ U / B ⊂ A}.
elementos son todos los subconjuntos de A. Escrito en s´

Sean A, B ⊂ U. Entonces se cumple que:

a) P(A ∩ B) = P(A) ∩ P(B).
b) P(A) ∪ P(B) ⊂ P(A ∪ B).
c) P(A) = P(B) ⇔ A = B.

9. Se entender´ por |P | como el n´mero de elementos del conjunto P. Sean A y B conjuntos disjuntos, es decir,
a u
conjuntos que cumplen con A ∩ B = ∅, entonces se tendr´ que |A ∪ B| = |A| + |B|.
a

Sean A, B, C ⊂ U. Demuestre que:

a) Si A ∩ B = ∅ entonces |A ∪ B| = |A| + |B| − |A ∩ B|.
b) Si A ∩ B ∩ C = ∅ entonces |A ∪ B ∪ C| = |A| + |B| + |C| − |A ∩ B| − |A ∩ C| − |B ∩ C| + |A ∩ B ∩ C|.

Indicaciń: Para a) escriba los conjuntos A ∪ B y B como uniń de conjuntos disjuntos.
o o

10. Se realiz´ una encuesta a 160 Sansanos de primero aõ respecto a la lectura de libros de ciencias: Matem´tica
o n a
(M ), F´ısica (F ) y Qu´
ımica (Q), obteniendo los siguientes resultados: 65 leen M , 70 leen F , 73 leen Q, 30 leen
M y F , 109 leen F o Q, 106 leen M o Q, 105 leen M o F y finalmente 40 no leen (no porque no sepan leer,
sino porque no tienen inter´s).
e

Determine:

a) N´mero
u de Sansanos que leen los 3 libros.
b) N´mero
u de Sansanos que lee 1 solo libro.
c) N´mero
u de Sansanos que leen libros de Matem´tica o F´
a ısica, pero no ambas.
d) N´mero
u de Sansanos que leen libros de F´ ısica y Qu´
ımica.

11. Una encuesta realizada a 100 personas sobre sus deportes favoritos revel´ que 50 practican f´tbol, 79 prac-
o u
tican f´tbol o tenis, 68 practican f´tbol o handball, 68 practican tenis o handball, 35 practican handball, 45
u u
practican tenis y finalmente 6 personas practican los tres deportes.

Determine:

a) N´mero
u de personas que practican f´tbol.
u
b) N´mero
u de personas que practican f´tbol y tenis.
u
c) N´mero
u de personas que practican handball o tenis pero no f´tbol.
u
d) N´mero
u de personas que a lo menos practican tres de estos deportes
e) N´mero
u de personas que no practican tenis.

9

e ıa
a
ıa 4 FUNCIONES

4. Funciones

4.1. Propiedades de Funciones

1. Sea p > 0 e I = [−p, p]. Considere la funciń f : I ⊆ R −→ R. Obtenga la negaciń de las siguientes
o o
definiciones.

a) Una funciń f se dice par en I si:
o
(∀x ∈ I)(f (−x) = f (x)).

b) Una funciń f se dice impar en I si:
o
(∀x ∈ I)(f (−x) = −f (x)).

2. Considere la funciń f : I ⊆ R −→ R y A ⊆ I. Obtenga la negaciń de las siguientes definiciones.
o o

a) Una funciń f se dice creciente en A si:
o
(∀x, y ∈ A)(x ≤ y ⇒ f (x) ≤ f (y)).

b) Una funciń f se dice decreciente en A si:
o
(∀x, y ∈ A)(x ≥ y ⇒ f (x) ≥ f (y)).

3. Sea f : A −→ B, A0 ⊆ A y B0 ⊆ B . Demostrar las siguientes propiedades:

a) [f (A0 )]c = f (Ac ).
0

b) [f −1 (B0 )]c = f −1 (B0 ).
c

4. Sea f : A −→ B una funciń. Sean A0 ⊆ A y B0 ⊆ B. Demostrar las siguientes propiedades:
o

a) A0 ⊆ f −1 (f (A0 )) y que se da la igualdad si f es inyectiva.

b) f (f −1 (B0 )) ⊆ B0 y que se da la igualdad si f es sobreyectiva.

Recomendaciń: Para ilustrar estas propiedades considere las funciones f (x) = x2 y g(x) = x, y luego haga
o
los c´lculos para ambas funciones con los conjuntos A0 = [0, 1] y B0 = [−1, 1].
a

5. Sea f : A −→ B y B0 , B1 ⊂ B. Demostrar las siguientes propiedades:

a) B0 ⊆ B1 ⇒ f −1 (B0 ) ⊆ f −1 (B1 ).

b) f −1 (B0 ∪ B1 ) = f −1 (B0 ) ∪ f −1 (B1 ).

c) f −1 (B0 ∩ B1 ) = f −1 (B0 ) ∩ f −1 (B1 ).

d ) f −1 (B0 − B1 ) = f −1 (B0 ) − f −1 (B1 ).

Recomendaciń: Para ilustrar estas propiedades elija una funciń (como f (x) = x) y luego haga los c´lculos
o o a
con B0 y B1 elegidos adecuadamente.

10

e ıa
a
ıa 4.1 Propiedades de Funciones

6. Sea f : A −→ B y A0 , A1 ⊆ A. Demostrar las siguientes propiedades:

a) A0 ⊆ A1 ⇒ f (A0 ) ⊆ f (A1 ).

b) f (A0 ∪ A1 ) = f (A0 ) ∪ f (A1 ).

Recomendaciń: Para ilustrar estas propiedades elija una funciń (como f (x) = x) y luego haga los c´lculos
o o a
con A0 y A1 elegidos adecuadamente.

7. Sea f : A −→ B y A0 , A1 ⊆ A. Demostrar las siguientes propiedades:

a) f (A0 ∩ A1 ) ⊆ f (A0 ) ∩ f (A1 ). La igualdad se tiene si f es inyectiva.

b) f (A0 − A1 ) ⊆ f (A0 ) − f (A1 ). La igualdad se tiene si f es inyectiva.

Recomendaciń: Para ilustrar estas propiedades elija dos funciones, una inyectiva y otra no, y luego haga
o
todos los c´lculos con A0 y A1 elegidos adecuadamente.
a

8. Sean f y g funciones biyectivas. Demuestre que:

a) f ◦ g y g ◦ f son biyectivas.
b) (f ◦ g)−1 = g −1 ◦ f −1 .

9. Sea f : I ⊆ R −→ R. Muestre:

a) Si f es una funciń estrictamente creciente en I entonces la funciń es inyectiva.
o o
b) Si f es una funciń estrictamente decreciente en I entonces la funciń es inyectiva.
o o

11

e ıa
a
ıa 4 FUNCIONES

4.2. Estudio de Funciones

1. Para las siguientes funciones: grafique y determine si presenta algń tipo de paridad; determine su dominio
u
y recorrido; ¿es biyectiva la funciń? si no lo es, encuentre un intervalo maximal de modo que lo sea; y, si es
o
posible, determine su funciń inversa y luego graf´
o ıquela.
5x + 3
a) f (x) = −x2 + 3x + 10 b) g(x) = x2 + 4x + 5 c) h(x) =
x−4

4 x−2 4x − 2
d) f (x) = 2(x − 1) + e) g(x) = | | f) h(x) =
x−1 x+7 x+2

x
g) f (x) = h) g(x) = x 1 − x2 i) h(x) = 2− 2 − x2
|x| − 1
√
1 x x
j) f (x) = √ k) g(x) = √ l) h(x) = √
3 + x2 − 4 1+ x x+1−1

x2 + x + 1
m) f (x) = |x − 2| + 2 n) g(x) = |x2 − 8x + 7| − 2 o) h(x) =
x − 1 + |x|
 
 x|x| , |x| < 1  x−1 , x<1
p) f (x) = q) g(x) =
 √
x/|x| , |x| ≥ 1 x−1 , x≥1


2. Halle las composiciones f ◦ g y g ◦ f de las siguientes funciones, y luego indique sus dominios y recorridos.
√
a) f (x) = x2 g(x) = x.

b) f (x) = 1 − x g(x) = x − x2 .
  2
 3x + 4 , 0≤x≤2  x , 2≤x≤5
c) f (x) = g(x) =
x+1 , 2<x<4 4 , 5 < x < 12
 

 
 2x − 2 , −3≤x≤6  x , − 10 ≤ x ≤ 7
d ) f (x) = g(x) =
10 , 6 < x ≤ 10 x2 , 7 < x ≤ 15
 

3. Encuentre f ◦ f ◦ f de las siguientes funciones.
1 1 x
a) f (x) = b) f (x) = c) f (x) = √
x 1+x 1 + x2

4. Para cada problema encuentre la funciń y = f (x) que satisface la condiciń dada:
o o

a) f (x + 1) = x2 − 3x + 2.
1 1
b) f (x + ) = x2 + 2 con x = 0.
x x
1
c) f ( ) = x + 1 + x2 con x > 0.
x

12

e ıa
a
ıa 4.2 Estudio de Funciones

1 x
5. Sean f (x) = y g(x) = funciones. Sea
x2 +1 1+x
f (x + h) − (f ◦ g)(x + h)
P (h) = f (x+h)
(f · g)(x + h) − g(x+h)

a) Calcule A(h) en funciń de h y x.
o
b) Calcule A(1) y A(−1).

6. Sea U el conjunto universo. Considere la funciń que a un conjunto finito le asigna el n´mero de elementos.
o u

a) Escriba esta funciń en t´rminos de f : Conjunto de Entrada −→ Conjunto de Llegada
o e
b) ¿Es biyectiva esta funciń?
o

7. Considere la funciń que a un elemento de los n´meros reales le asigna su valor absoluto.
o u

a) Escriba esta funciń en t´rminos de f : Conjunto de Entrada −→ Conjunto de Llegada
o e
b) ¿Es biyectiva esta funciń?
o

8. Sea p > 0 y f : [0, p] ⊆ R −→ R una funciń. Se define:
o

a) La extensiń par de f como:
o

 f (x) , 0≤x≤p
Pf (x) =
f (−x) , − p ≤ x < 0


b) La extensiń impar de f como:
o

 f (x) , 0≤x≤p
If (x) =
−f (−x) , − p ≤ x < 0


Pruebe que la extensiń par de f es una funciń par, y que su extensiń impar es una funciń impar.
o o o o

9. Para a, b, c, d ∈ R considere la funciń definida por:
o
ax + b
f (x) =
cx + d
a) ¿Qu´ condiciones deben satisfacer los par´metros a, b, c, d ∈ R para que f tenga inversa?
e a
b) Halle el dominio de f −1 y determine una expresiń para ella.
o
c) Las funciones de esta forma reciben el nombre de Transformaciones de M¨bius. Pruebe que la com-
o
posiciń de transformaciones de M¨bius es una transformaciń de M¨bius.
o o o o

13

e ıa
a
ıa 4 FUNCIONES

ex − e−x
10. El Seno Hiperb´lico de x viene dado por sinh x =
o y el Coseno Hiperb´lico viene dado por
o
2
ex + e−x
cosh x = . Demuestre las siguientes propiedades:
2

a) cosh x > 0 ∀x ∈ R y sinh x ≥ 0 si y solo si x ≥ 0.
b) El seno hiperb´lico es una funciń impar y el coseno hiperb´lico es una funciń par.
o o o o
c) cosh x + sinh x = ex y cosh x − sinh x = e−x .
d ) cosh2 x − sinh2 x = 1.
e) sinh (x ± y) = sinh x cosh y ± cosh x sinh y.
f ) cosh (x ± y) = cosh x cosh y ± sinh x sinh y.
g) Sea n ∈ N, entonces (cosh x + sinh x)n = cosh nx + sinh nx.

11. Una funciń f se dice convexa en I ⊆ R si
o

f (λx + (1 − λ)y) ≤ λf (x) + (1 − λ)f (y) ∀x, y ∈ I ∀λ ∈ [0, 1]

f se dice cńcava si −f es convexa. Muestre que las siguientes funciones son convexas en R:
o

a) f (x) = x b) g(x) = |x| c) h(x) = |x|2

Adem´s muestre que las funciones lineales son convexas.
a

12. Sean f (x) = ax + b y g(x) = cx + d con a, c = 0. Muestre que f · g es convexa si a y c tienen el mismo signo,
y si tienen el signo contrario son cńcavas.
o

14

e ıa
a
ıa 4.3 Problemas de Modelado

4.3. Problemas de Modelado

1. Una hoja tiene un ´rea de impresiń de 25 cm2 rodeados por m´rgenes de 2 cm a cada lado y 4 cm en la
a o a
parte superior e inferior. Exprese el ´rea total de la hoja.
a

2. Encuentre el ´rea de un rectńgulo inscrito en la semielipse x2 + 4y 2 = 4 con y ≥ 0, si un lado debe estar
a a
sobre el eje x.

3. Encuentre la capacidad de una canaleta para aguas de lluvia construida en una plancha de latń de 6 m de
o
largo y 80 cm de ancho.

4. Se ha fabricado un envase de lata (un cilindro con tapas) con capacidad de 1 litro. Determine en funciń del
o
radio basal la cantidad de material utilizado en su fabricaciń.
o

5. Considere un cilindro recto con tapa cuyo radio basal mide R cm y su altura mide H cm. Determine el
volumen del cilindro en funciń de su radio sabiendo que su superficie lateral es de 15 cm2 .
o

6. Un rectńgulo con lados paralelos a los ejes coordenados tiene un v´rtice en el origen, uno en el eje x positivo,
a e
uno en el eje y positivo y su cuarto v´rtice en el primer cuadrante sobre la recta 2x + y = 100. ¿Cu´l es el
e a
a
´rea m´xima de dicho rectńgulo?
a a

7. Un hotel que cobra 80 d´lares diarios por habitaciń hace promociones a grupos que reserven entre 30 y 60
o o
habitaciones. Si se reservan entre 30 y 60 habitaciones el precio disminuye un d´lar por cada cuarto. En estas
o
condiciones ¿cuńtas habitaciones producen el ingreso m´ximo?
a a

8. Un nadador est´ en un punto A en la orilla de un estanque circular de centro O, de 200 m de di´metro. El
a a
nadador desea llegar a un punto B que est´ diametralmente opuesto a ´l. Para hacerlo, camina hasta el punto
a e
P de la orilla de modo que el ńgulo AOP = 60◦ , y despu´s nada en l´
a e ınea recta de P a B. El nadador camina
con una rapidez de ńgulo de 50 m/min y nada con una rapidez de 100 m/min. Determine la distancia
a
recorrida como funciń del tiempo.
o

9. Un empleado dispone de dos opciones para ocupar un puesto en una empresa de la uniń europea. En un
o
puesto le pagan 12, 5 euros en una hora m´s 0, 75 euros por unidad producida. En el otro puesto le pagan
a
9, 20 euros en una hora m´s 1, 30 euros por unidad producida.
a

a) Exprese los salarios en una hora en t´rminos de el n´mero de unidades producidas para cada una de las
e u
opciones.
b) ¿C´mo usar´ esta informaciń para seleccionar la opciń correcta si su objetivo fuera obtener el mayor
o ıa o o
sueldo por hora?

10. Considere un alambre de largo L. A una distancia x de uno de sus extremos, al alambre se le hace un corte
dejńdolo en dos partes. Con una parte se forma una circunferencia. A la otra parte, a un distancia y de uno
a
de sus extremos, se le hace un corte dejńdolo en dos partes. Con una parte de hace un trińgulo equil´tero
a a a
y con la otra un cuadrado.

a) Encuentre una f´rmula, A(x, y), que calcule la suma de las ´reas.
o a
b) Si y = x, determine el dominio y recorrido de la funciń A(x).
o
c) Grafique A(x).

15

e ıa
a
ıa 4 FUNCIONES

11. Considere la siguiente figura:

a) Encuentre el volumen, V (x), del s´lido en funciń de la altura x.
o o
b) Determine el dominio y recorrido de V (x).
c) Grafique V (x).


a) Encuentre el ´rea achurada, A(x), en funciń de la base x.
a o
b) Determine el dominio y recorrido de A(x).
c) Grafique A(x).


a) Encuentre el volumen del cono, V (x), en funciń de la altura x.
o
b) Determine el dominio y recorrido de V (x).
c) Grafique V (x).

16

e ıa
a
ıa 4.3 Problemas de Modelado

14. Para a, b > 0 considere la siguiente figura:

a) Encuentre el ´rea, A(x), del rectńgulo inscrito en el trińgulo en funciń de x.
a a a o
b) Grafique la funciń A(x) cuyo dominio es el intervalo [0, 2a]. ¿Cu´l es su recorrido?
o a
c) ¿Cu´l es el ´rea m´xima del rectńgulo inscrito?
a a a a

17

e ıa
a
ıa 5 GEOMETR´ ANAL´
IA ITICA

5. Geometr´ Anal´
ıa ıtica

5.1. La Recta

1. Hallar la ecuaciń de la recta que pasa por el punto A(1, 5) y tiene pendiente 2.
o

2. Hallar la ecuaciń de la recta cuya pendiente es −3 y cuya intercepciń con el eje Y es −2.
o o

3. Hallar la ecuaciń de la recta que pasa por los puntos C(4, 2) y B(−5, 7).
o

4. Los v´rtices de un cuadril´tero son A(0, 0), B(2, 4), C(6, 7) y D(8, 0). Hallar la ecuaciń de la recta de sus
e a o
lados.

5. Encontrar la recta que pasa por el punto A(7, 8) y es paralela a la recta que pasa por los puntos B(−2, 2) y
C(3, −4).

6. Hallar la ecuaciń de la recta cuya pendiente es −4 y que pasa por el punto de intersecciń de las rectas
o o
2x + y − 8 = 0 y 3x − 2y + 9 = 0.

7. Determine el valor de las constantes A y B de modo que los puntos (−3, 1) y (1, 6) pertenezcan a la recta
Ax − By + 4 = 0.

8. Halle el valor de la constante k para que la recta kx + (k − 1)y − 18 = 0 sea paralela a la recta 4x + 3y + 7 = 0.

9. Determine el valor de la constante k para que la recta k 2 x + (k + 1)y + 3 = 0 sea perpendicular a la recta
3x − 2y − 11 = 0.

10. Grafique que las rectas 2x − y − 1 = 0, x − 8y + 9 = 0, 2x − y − 8 = 0 y x − 8y + 3 = 0, y luego pruebe forman
un paralel´gramo.
o

11. Las coordenadas del punto P son (2,6), y la ecuaciń de la recta L es 4x + 3y = 12. Determinar la distancia
o
del punto P a la recta L siguiendo los siguientes pasos:

a) Halle la pendiente de L.
b) Halle la ecuaciń de la recta L que pasa por P y es perpendicular a L.
o
c) Determine las coordenadas del punto P que es el punto de intersecciń entre L y L .
o
d ) Calcule la distancia entre el punto P y P .

12. Hallar la distancia de la recta 4x − 5y + 10 = 0 al punto (2, −3).

13. Hallar la distancia comprendida entre las rectas paralelas 3x − 4y + 8 = 0 y 6x − 8y + 9 = 0.

18

e ıa
a
ıa 5.1 La Recta

14. Hallar la ecuaciń de la recta paralela a la recta 5x + 12y = 12 que es 4 unidades distante de ella. ¿Es unica
o ´
esta soluciń? Justifique geom´tricamente.
o e

15. Hallar la ecuaciń de la recta que pasa por el punto (3, 1) tal que la distancia, de esta recta, al punto (−1, 1)
√ o
es 2 2. ¿Es unica esta soluciń? Justifique geom´tricamente.
´ o e

16. Determine el ´rea del trińgulo cuyos v´rtices son los puntos A(1, 1), B(5, 4) y C(3, 7).
a a e

17. Considere el trińgulo cuyos v´rtices son C(−2, 1), L(4, 7) y G(6, −3).
a e

a) Hallar la ecuaciń de la recta de sus lados.
o
b) Determine el valor de sus alturas.
c) Determine su centro de gravedad.
d ) Encuentre su ´rea.
a
e) ¿Qu´ tipo de trińgulo es?
e a

18. Hallar el ´rea del trińgulo formado por los ejes coordenados y la recta cuya ecuaciń es 5x + 4y + 20 = 0.
a a o

19. Determinar el valor de la constante k para que la recta 4x + 5y + k = 0 forme con los ejes coordenados un
5
trińgulo rectńgulo de ´rea 2 unidades cuadradas.
a a a

20. El trińgulo ABC con v´rtice C = (3, 4) tiene un ´rea de 10 cm2 . Los otros dos v´rtices estń sobre la recta
a e a e a
L1 : x − 2y = 0. Si se sabe que L2 , que pasa por C y tiene pendiente m2 = −2, es una transversal de gravedad
del trińgulo ABC, determine los v´rtices A y B.
a e

21. Demuestre que el ´rea del trińgulo formado por el eje Y y las rectas y = m1 x + b1 e y = m2 x + b2 , con
a a
m1 = m2 , viene dada por:
1 (b2 − b1 )2
A=
2 |m2 − m1 |

19

e ıa
a
IA ITICA

5.2. Cńicas
o

5.2.1. Circunferencia

1. Determine la ecuaciń de las siguientes circunferencias:
o

a) Centro es el punto (2, −6) y su radio es 6.
b) El segmento de recta que une A(1, 1) y B(−8, 6) es un di´metro.
a
c) El centro est´ en el punto (4, 2) y la circunferencia pasa por el punto (−1, −1).
a
d ) La circunferencia es tangente a la recta 3x − 4y = 32 y el centro est´ en el punto (0, 7).
a

2. Hallar la ecuaciń de las siguientes circunferencias.
o

a) La circunferencia pasa por los puntos (0, 0), (3, 6) y (7, 0).
b) La circunferencia pasa por los puntos (2, −2), (−1, 4) y (4, 6).
c) La circunferencia pasa por los puntos (4, −1), (0, −7) y (−2, −3).

3. Halle la ecuaciń de la recta tangente a las siguientes circunferencia en los puntos dados.
o

a) x2 + y 2 − 2x − 6y − 3 = 0 P0 = (−1, 6)
2 2
b) x + y + 2x − 2y − 39 = 0 P0 = (4, 5)

4. Demostrar que las circunferencias C1 : x2 + y 2 − 3x − 6y + 10 = 0 y C2 : x2 + y 2 − 5 = 0 son tangentes. Hallar
la ecuaciń de la circunferencia tangente a C1 y C2 en su punto en comń y que pasa por el punto (7, 2).
o u
Adem´s compruebe que el centro de esta circunferencia est´ sobre la recta de los centros de C1 y C2 .
a a

5. Hallar la ecuaciń de la cirunferencia que para por el punto (−10, −2) y por las intersecciones de la circun-
o
ferencia x2 + y 2 + 2x − 2y − 32 = 0 y la recta x − y + 4 = 0.

6. Hallar los valores de a ∈ R de modo que la circunferencia de ecuaciń x2 + y 2 − 2ax + a2 − 1 = 0 y la recta
o
con interceptos en los puntos (0, 2) y (2, 0):

a) Se corten en un unico punto.
´
b) Se corten en dos puntos.
c) No se corten.

20

e ıa
a
ıa 5.2 Cńicas
o

5.2.2. Par´bola
a

1. Escriba la definiciń de la Par´bola como un lugar geom´trico y luego deduzca su ecuaciń.
o a e o

2. Hallar la ecuaciń de las siguientes par´bolas.
o a

a) V´rtice en el origen y foco en el punto (3, 0).
e
b) V´rtice en el origen y que tiene como directriz la recta y − 5 = 0.
e
c) Foco en el punto (3, 4) y tiene como directriz la recta x − 1 = 0.
d ) V´rtice en el punto (2, 0) y foco en el origen.
e

3. En los siguientes ejercicios lleve la ecuaciń a su forma canńica y luego determine: coordenadas del v´rtice y
o o e
del foco, ecuaciones de la directriz y del eje, y la longitud del lado recto.

a) 4y 2 − 48x − 20y = 71
b) 9x2 + 24x + 72y + 16 = 0
c) y 2 + 4x = 7
d ) 4x2 + 48y + 12x = 159
e) y = ax2 + bx + c

4. Hallar la ecuaciń de la par´bola cuyo eje es paralelo al eje x y que pasa por los puntos (0, 0), (8, −4) y (3, 1).
o a

5. Determine la ecuaciń de la par´bola cuyo v´rtice est´ en el punto (4, −1), como eje la ecuaciń y + 1 = 0, y
o a e a o
que pasa por el punto (−3, 3).

6. Considere la ecuaciń de la par´bola y 2 = 4px. Demuestre que la ecuaciń de la recta tangente a una par´bola
o a o a
en el punto P0 (x0 , y0 ) es: y0 y = 2p(x + x0 ).

7. Determine la ecuaciń de la recta tangente y normal en el punto indicado de las siguientes par´bolas:
o a

a) y 2 − 4x = 0 P0 (1, 2)
2
b) y + 4x + 2y + 9 = 0 P0 (−6, 3)
2
c) x − 6x + 5y − 11 = 0 P0 (−2, 1)

21

e ıa
a
IA ITICA

5.2.3. Elipse

1. Escriba la definiciń de la Elipse como un lugar geom´trico y luego deduzca su ecuaciń.
o e o

2. En los siguientes ejercicios determine las coordenadas de los v´rtices y focos, la longitud de los ejes mayor y
e
menor, y finalmente grafique.

a) 9x2 + 4y 2 = 36
b) 4x2 + 9y 2 = 36
c) 16x2 + 25y 2 = 400
d ) x2 + 3y 2 = 6

3. Hallar la ecuaciń de la elipse cuyos v´rtices son los puntos (4, 0) y (−4, 0), y sus focos son los puntos (3, 0)
o e
y (−3, 0).

4. Una elipse tiene su centro en el origen y su eje mayor coincide con el eje x. Hallar su ecuaciń sabiendo que
√ √ o
pasa por los puntos ( 6, −1) y (2, 2).

√
5. Hallar la ecuaciń de la elipse que pasa por los puntos (1, 3), (−1, 4), (0, 3 −
o 3/2) y (−3, 3); y tiene sus ejes
paralelos a los ejes coordenados.

6. En cada uno de los siguiente ejercicios llevar la ecuaciń a su forma canńica y luego determinar: coordenadas
o o
de los v´rtices, focos y centro, longitudes de los ejes mayor y menor, y finalmente grafique.
e

a) x2 + 4y 2 − 6x + 16y + 21 = 0
b) 4x2 + 9y 2 + 32x − 18y + 37 = 0
c) x2 + 4y 2 − 10x − 40y + 109 = 0
d ) 9x2 + 4y 2 − 8y − 32 = 0

7. Considere la ecuaciń de la elipse b2 x2 + a2 x2 = a2 b2 . Demuestre que la ecuaciń de la recta tangente a una
o o
elipse en el punto P0 (x0 , y0 ) es: b2 x0 x + a2 y0 y = a2 b2 .

8. Determine la ecuaciń de la recta tangente y normal en el punto indicado de las siguientes elipses:
o

a) 2x2 + 3y 2 = 5 P0 (1, −1)
2 2
b) 6x + 2y = 14 P0 (1, 2)
2 2
c) 3x + y = 21 P0 (2, 3)

22

e ıa
a
ıa 5.2 Cńicas
o

5.2.4. Hip´rbola
e

1. Escriba la definiciń de la Hip´rbola como un lugar geom´trico y luego deduzca su ecuaciń.
o e e o

2. En los siguientes ejercicios determine las coordenadas de los focos, v´rtices y centro, longitudes del lado
e
transverso y conjugado, y finalmente grafique.

a) 9x2 − 4y 2 = 36
b) 4x2 − 9y 2 = 36
c) 16x2 − 25y 2 = 400
d ) x2 − 3y 2 = 6

3. Determine la ecuaciń de las siguientes hip´rbolas y luego graf´
o e ıquelas.

a) Focos en los puntos (−7, 3) y (−1, 3) y su longitud del lado transverso es de 4 unidades.

b) Los v´rtices de una hip´rbola vienen dados por los puntos (2, 0) y (−2, 0), y sus focos son los puntos
e e
(3, 0) y (−3, 0).

c) La hi´rpola pasa por el punto (3, −1), su origen est´ en el centro, su eje transverso est´ sobre el eje x y
e √ a a
la ecuaciń de una de sus as´
o ıtotas es 2x + 3 2y = 0.

d ) La hi´rpola pasa por el punto (2, 3), su origen est´ en el centro, su eje transverso est´ sobre el eje y y la
e √ a a
ıtotas es 2y − 7y = 0.
ecuaciń de una de sus as´
o

4. En cada uno de los siguiente ejercicios llevar la ecuaciń a su forma canńica y luego determinar: coordenadas
o o
de los v´rtices, focos y centro, longitudes de los ejes transverso y conjugado, ecuaciń de sus as´
e o ıntotas y
finalmente grafique.

a) x2 − 9y 2 − 4x + 36y − 41 = 0
b) x2 − 4y 2 − 2x + 1 = 0
c) 9x2 − 4y 2 + 54x + 16y + 29 = 0
d ) 3x2 − y 2 + 30x + 78 = 0

5. Considere la ecuaciń de la elipse b2 x2 − a2 x2 = a2 b2 . Demuestre que la ecuaciń de la recta tangente a una
o o
hip´rbola en el punto P0 (x0 , y0 ) es: b2 x0 x − a2 y0 y = a2 b2 .
e

6. Determine la ecuaciń de la recta tangente y normal en el punto indicado de las siguientes hip´rbolas:
o e

a) 3x2 − y 2 = 2 (1, 1)
2 2
b) x − 9y = 7 (4, −1)
2 2
c) x − y = 5 (3, 2)

23

e ıa
a
IA ITICA

5.3. Lugares Geom´tricos
e

1. Un punto se mueve de tal manera que su distancia a la recta x + y + 1 = 0 es siempre igual a su distancia al
punto (-2,-1). Hallar la ecuaciń de su lugar geom´trico.
o e

2. Hallar la ecuaciń del lugar geom´trico de un punto que se mueve de tal manera que su distancia de la recta
o e
x − 2 = 0 es siempre 3 unidades mayor que su distancia al punto (−1, −3).

3. Un punto se mueve de tal manera que su distancia del punto (2, −2) es siempre igual a un tercio de la distancia
del punto (4, 1). Hallar e identificar la ecuaciń del lugar geom´trico.
o e

4. Un punto se mueve de tal manera que el cuadrado de su distancia del punto (1, 2) es siempre igual al doble
de su distancia de la recta 3x + 4y − 1 = 0. Hallar e identificar la ecuaciń del lugar geom´trico.
o e

5. Hallar e identificar la ecuaciń del lugar geom´trico de un punto que se mueve de tal manera que su distancia
o e
de la recta x + 3 = 0 es siempre 2 unidades mayor que su distancia del punto (1, 1).

6. Haller e identificar la ecuaciń del lugar geom´trico del centro de una circunferencia que es siempre tangente
o e
a la recta y = 1 y a la circunferencia x2 + y 2 = 9.

7. Hallar e identificar la ecuaciń del lugar geom´trico de un punto que se mueve de tal manera que su distancia
o e
de la recta y + 8 = 0 es siempre igual al doble de su distancia del punto (0, −2).

8. Hallar e identificar la ecuaciń del lugar geom´trico de un punto que se mueve tal manera que su distancia al
o e
punto (6, 0) es siempre igual al doble de su distancia a la recta 2x − 3 = 0.

24

e ıa
a
ıa

6. N´ meros Naturales
u

6.1. Inducciń
o

1. Demuestre que el producto de 3 naturales consecutivos es siempre divisible por 6.

2. Demuestre utilizando inducciń que ∀n ∈ N se cumple que:
o
1
1 + 4 + 7 + . . . + (3n − 2) = n(3n − 1)
2

o
1 2
13 + 23 + 33 + . . . + n3 = n (n + 1)2
4

o
1
12 + 32 + 52 + . . . + (2n − 1)2 = n(4n2 − 1)
3

o
5 + (4n − 1)5n+1
1 · (5) + 2 · (5)2 + 3 · (5)3 + . . . + n · (5)n =
16

6. Demuestre utilizando inducciń que ∀n ∈ N se tiene que:
o
1 1 1 n(n + 3)
+ + ... + =
1·2·3 2·3·4 n(n + 1)(n + 2) 4(n + 1)(n + 2)

7. Demuestre utilizando inducciń que ∀n ∈ N se cumple que [n(n + 1)]2 es divisible por 4.
o

8. Demuestre utilizando inducciń que ∀n ∈ N se cumple que (xn − y n ) es divisible por (x − y).
o

9. Demuestre utilizando inducciń que ∀n ∈ N mayor que 2 y par se tiene que (2n − 1) es divisible por 3.
o

10. Demuestre utilizando inducciń que ∀n ∈ N se cumple que 4n3 + 8n es divisible por 12.
o

11. Demuestre utilizando inducciń que ∀n ∈ N se cumple que 8n3 + 10n es divisible por 6.
o

12. Demuestre utilizando inducciń que ∀n ∈ N se cumple que 32n − 1 es divisible por 8.
o

13. Demuestre utilizando inducciń que ∀n ∈ N se cumple que 32n+1 + 2n+2 es divisible por 7.
o

25

e ıa
a
ıa 6 ´
NUMEROS NATURALES

14. Demuestre utilizando inducciń que ∀n ∈ N se cumple que 22n+1 − 9n2 + 3n − 2 es divisible por 54.
o

15. Demuestre que la desigualdad n2 ≥ 6n + 5 es verdadera a partir de cierto n0 ∈ N; encuentre dicho n0 .

16. Demuestre que la desigualdad 5n > n2 + 25 es verdadera a partir de cierto n0 ∈ N; encuentre dicho n0 .

17. Demuestre utilizando inducciń que ∀n ∈ N se cumple que n2 + n + 2 es un n´mero par.
o u

18. Calcule la suma 3 + 9 + 33 + ... + (22n−1 + 1) y demuestre que ∀n ∈ N la suma de los t´rminos es siempre
e
divisible por 3.

19. Sea {un }n∈N una sucesiń definida por recurrencia tal que u1 = 0 y un+1 = (1+x)un −nx en donde x ∈ R{0}.
o
1
Probar que un = [1 + nx − (1 + x)n ] ∀n ∈ N.
x

20. Demuestre utilizando inducciń que ∀k ∈ N se cumple que:
o
1 1 1 k+1
+ ... + + =
1·2 k · (k + 1) (k + 1) · (k + 2) k+2

o
n
k+j−1 n+j
=
j j+1
k=1

22. Considere que una funciń f : R → R tiene la propiedad f (xy) = f (x) + f (y). Demostrar por inducciń que
o o
f (an ) = nf (a) ∀n ∈ N.

1 1 1 1 √
23. Demuestre que para todo n´mero natural mayor o igual que 2 se cumple √ + √ + √ + · · · + √ > n
u
1 2 3 n

n 1 1 1
24. Demuestre que para todo n´mero natural n vale la siguiente desigualdad
u < 1 + + + ··· + n ≤ n.
2 2 3 2 −1

25. Sea {un }n∈N la sucesiń de Fibonacci. Es decir u1 = 1, u2 = 1 y un+1 = un + un−1 para n = 2, 3, . . .
o
n
a) Calcule uk .
k=1
b) Demuestre que un+2 · un = u2 + (−1)n+1 .
n+1

o
n
(−1)k nk 1
=
(k + 2)(k + 3) (n + 2)(n + 3)
k=0

26

e ıa
a
ıa 6.2 Sumatorias

6.2. Sumatorias

1. Calcule las siguientes sumatorias.
n n n n
a) k b) k2 c) k3 d) k4
k=1 k=1 k=1 k=1

n
2. Calcular f (k) si:
k=1
3
a) f (k) = 2k−1 + 8k 3 − 6k 2 b) f (k) = k 3 + k
2

3. Si para k = 1, . . . , 200 se tiene que ak viene dado por

 1 k
 (3) , k = 1, . . . , 99
ak =
(k + 1)2 , k = 100, . . . , 200


200
calcule ak
k=1

n
2k − 1
4. Calcule usando la identidad:
k(k + 2)2
k=1

n
3 1 1 3 2n + 3
= −
2 k(k + 2)2 4 2 (n + 1)(n + 2)
k=1

Ayuda: 2k − 1 = 2k − 1 + k 2 + 2k + 5 − k 2 − 2k − 5

n n n
k 1
a) b) 2 + 2k
c) kak , a = 1
(k + 1)! k
k=1 k=1 k=1

n n n+1
k · 2k
d) e) k · (k!) f) (k + 1)(−3)k
(k + 2)!
k=1 k=1 k=1

n+1 k n n
k+2 1 k4 + k2 + 1 1
g) h) i) √ √
k(k + 1) 2 k4 + k k(k + 1)( k + 1 + k)
k=1 k=1 k=1

n n n
n (−1)k k+2 n (−1)k
j) k) l)
k k+1 k(k + 1)2k k (k + 1)(k + 2)
k=1 k=1 k=0

27

e ıa
a
ıa 6 ´
NUMEROS NATURALES

n 2 n n
n 1 1
a) b) 1+ 2 + c) (k 2 + 1)k!
k k (k + 1)2
k=0 k=1 k=1

n n m
2k 1 1
d) 4 + k2 + 1
e) f) log (1 + )
k k(k + 1) k
k=1 k=1 k=n

n n n
2k + 1 n
g) (−1)k (n − k)!(n + k)! h) i) (a + bk)
k 2 (k + 1)2 k
k=0 k=1 k=1

n
n 2
j) k
k
k=1

n
1
7. Sea x = xk . Demuestre que ∀n ∈ N vale la siguiente identidad:
n
k=1

n n
((xi − x)2 + xi (x − 1)) = x2 − nx
i
i=1 i=1

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