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Propagación de ondas 01

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Universidad Sim´on Bol´ıvar
Temas de Propagaci´on de Ondas
Mario I. Caicedo
Departamento de F´ısica
Pl´acido J. Mora
Departamento de Ciencias de la Tierra
T´opicos en Propagaci´on de Ondas M. I. Caicedo; P. J. Mora 1
Copyright (c) 2004 M. I. Caicedo, P. J. Mora1
.
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1
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´Indice general
1. Introducci´on 12
1.1. Objetivo de estas Notas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.2. S´ısmica de Reflexi´on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.3. Ondas El´asticas, una Introducci´on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.4. Modelado de Ondas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1.5. Organizaci´on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2. ¿Qu´e es una onda? 22
2.1. Definici´on General del Problema de Propagaci´on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
2.2. Ondas en una Dimensi´on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
2.3. Ondas Longitudinales y Transversales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
2.4. Ondas Arm´onicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
2.5. Ondas en dos y tres dimensiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
2.5.1. Ondas Planas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
2.5.2. Ondas esf´ericas y objetos relacionados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
2
T´opicos en Propagaci´on de Ondas M. I. Caicedo; P. J. Mora 3
3. La Ecuacion de Ondas en 1+1 Dimensiones 36
3.1. Introducci´on a las EDP’s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
3.2. El m´etodo de las caracter´ısticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
3.3. Problema de Valores Iniciales y Soluci´on de Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
3.4. El problema de Cauchy en dominio k − ω . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
3.5. Reflexi´on entre dos medios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
3.6. Una aplicaci´on geof´ısica:
Sismogramas Sint´eticos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
4. La cuerda vibrante 55
4.1. La cuerda tensa y la ecuaci´on de ondas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
4.2. Consideraciones Energ´eticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
4.2.1. Flujo de Energ´ıa en Forma Diferencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
4.2.2. Energ´ıa potencial El´astica de la Cuerda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
4.2.3. Flujo de Energ´ıa en Forma Integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
4.2.4. La Ecuaci´on de Continuidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
4.3. La cuerda con extremos fijos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
4.3.1. Problemas de contorno y series de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
4.3.2. C´alculo de los coeficientes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
4.4. Ecuaci´on de ondas para la membrana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
5. Paquetes de Onda y Velocidad de Grupo en 1D 76
5.1. Motivaci´on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
T´opicos en Propagaci´on de Ondas M. I. Caicedo; P. J. Mora 4
5.2. Velocidad de Grupo:
su definici´on precisa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
5.3. Dispersi´on de un Paquete Gaussiano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
5.4. Dos ejemplos sencillos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
6. Rayos y Frentes de Onda 86
6.1. La Ecuaci´on Eikonal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
6.2. Definici´on matem´atica de los rayos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
6.3. Los rayos y el principio de Fermat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
7. C´alculo de Rayos 102
7.1. El Sistema de de Primer Orden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
7.2. Soluci´on num´erica de un Sistema de Primer Orden . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
7.2.1. M´etodo de Euler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
7.3. M´etodos de Runge-Kutta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
7.4. Trazado de Rayos con el El M´etodo de Shooting . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
7.4.1. Aplicaciones Pr´acticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110
8. Ondas Electromagn´eticas 112
8.1. Ecuaciones de Maxwell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112
8.2. Las ecuaciones de onda para los campos E y B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114
8.2.1. Ondas Arm´onicas Planas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
8.3. Polarizaci´on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121
8.4. Flujo de Energ´ıa y Vector de Poynting . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125
T´opicos en Propagaci´on de Ondas M. I. Caicedo; P. J. Mora 5
8.5. Vector de Poynting para ondas arm´onicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126
8.6. Complemento matem´atico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128
9. Elastodin´amica Linealizada 130
9.1. El vector u . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131
9.2. El tensor de Deformaci´on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133
9.3. El tensor de Esfuerzo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136
9.4. El tensor de Elasticidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139
9.5. Las Ecuaciones de Navier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145
9.6. La Ecuaci´on de Christoffel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147
9.7. Enfoque Alternativo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149
10.Propagaci´on en Medios Is´otropos 152
11.Propagaci´on en Medios Anis´otropos 160
11.1. ¿Qu´e es Anisotrop´ıa? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160
11.1.1. ¿Ha sido observada la anisotrop´ıa s´ısmica? . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164
11.1.2. El problema del NMO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165
11.2. Anisotrop´ıa en la Geof´ısica Contempor´anea . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168
11.3. Sistemas de Simetr´ıa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169
11.4. Medios con Simetr´ıa Hexagonal Vertical . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172
11.5. Medios con Simetr´ıa Hexagonal Horizontal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177
11.6. Birrefringencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180
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  • 2. T´opicos en Propagaci´on de Ondas M. I. Caicedo; P. J. Mora 1 Copyright (c) 2004 M. I. Caicedo, P. J. Mora1 . Permission is granted to copy, distribute and/or modify this document under the terms of the GNU Free Documentation License, Version 1.2 or any later version published by the Free Software Foundation; with no Invariant Sections, no Front- Cover Texts, and no Back-Cover Texts. 1 Estas notas pueden ser descargadas del sitio: http : //www.fis.usb.ve/ ∼ mcaicedo
  • 3. ´Indice general 1. Introducci´on 12 1.1. Objetivo de estas Notas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 1.2. S´ısmica de Reflexi´on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 1.3. Ondas El´asticas, una Introducci´on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 1.4. Modelado de Ondas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 1.5. Organizaci´on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 2. ¿Qu´e es una onda? 22 2.1. Definici´on General del Problema de Propagaci´on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 2.2. Ondas en una Dimensi´on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 2.3. Ondas Longitudinales y Transversales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 2.4. Ondas Arm´onicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 2.5. Ondas en dos y tres dimensiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 2.5.1. Ondas Planas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 2.5.2. Ondas esf´ericas y objetos relacionados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 2
  • 4. T´opicos en Propagaci´on de Ondas M. I. Caicedo; P. J. Mora 3 3. La Ecuacion de Ondas en 1+1 Dimensiones 36 3.1. Introducci´on a las EDP’s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 3.2. El m´etodo de las caracter´ısticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 3.3. Problema de Valores Iniciales y Soluci´on de Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 3.4. El problema de Cauchy en dominio k − ω . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 3.5. Reflexi´on entre dos medios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 3.6. Una aplicaci´on geof´ısica: Sismogramas Sint´eticos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 4. La cuerda vibrante 55 4.1. La cuerda tensa y la ecuaci´on de ondas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 4.2. Consideraciones Energ´eticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58 4.2.1. Flujo de Energ´ıa en Forma Diferencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58 4.2.2. Energ´ıa potencial El´astica de la Cuerda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60 4.2.3. Flujo de Energ´ıa en Forma Integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60 4.2.4. La Ecuaci´on de Continuidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63 4.3. La cuerda con extremos fijos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65 4.3.1. Problemas de contorno y series de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66 4.3.2. C´alculo de los coeficientes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70 4.4. Ecuaci´on de ondas para la membrana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73 5. Paquetes de Onda y Velocidad de Grupo en 1D 76 5.1. Motivaci´on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
  • 5. T´opicos en Propagaci´on de Ondas M. I. Caicedo; P. J. Mora 4 5.2. Velocidad de Grupo: su definici´on precisa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79 5.3. Dispersi´on de un Paquete Gaussiano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81 5.4. Dos ejemplos sencillos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84 6. Rayos y Frentes de Onda 86 6.1. La Ecuaci´on Eikonal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89 6.2. Definici´on matem´atica de los rayos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95 6.3. Los rayos y el principio de Fermat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98 7. C´alculo de Rayos 102 7.1. El Sistema de de Primer Orden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103 7.2. Soluci´on num´erica de un Sistema de Primer Orden . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105 7.2.1. M´etodo de Euler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105 7.3. M´etodos de Runge-Kutta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107 7.4. Trazado de Rayos con el El M´etodo de Shooting . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109 7.4.1. Aplicaciones Pr´acticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110 8. Ondas Electromagn´eticas 112 8.1. Ecuaciones de Maxwell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112 8.2. Las ecuaciones de onda para los campos E y B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114 8.2.1. Ondas Arm´onicas Planas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115 8.3. Polarizaci´on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121 8.4. Flujo de Energ´ıa y Vector de Poynting . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125
  • 6. T´opicos en Propagaci´on de Ondas M. I. Caicedo; P. J. Mora 5 8.5. Vector de Poynting para ondas arm´onicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126 8.6. Complemento matem´atico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128 9. Elastodin´amica Linealizada 130 9.1. El vector u . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131 9.2. El tensor de Deformaci´on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133 9.3. El tensor de Esfuerzo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136 9.4. El tensor de Elasticidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139 9.5. Las Ecuaciones de Navier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145 9.6. La Ecuaci´on de Christoffel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147 9.7. Enfoque Alternativo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149 10.Propagaci´on en Medios Is´otropos 152 11.Propagaci´on en Medios Anis´otropos 160 11.1. ¿Qu´e es Anisotrop´ıa? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160 11.1.1. ¿Ha sido observada la anisotrop´ıa s´ısmica? . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164 11.1.2. El problema del NMO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165 11.2. Anisotrop´ıa en la Geof´ısica Contempor´anea . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168 11.3. Sistemas de Simetr´ıa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169 11.4. Medios con Simetr´ıa Hexagonal Vertical . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172 11.5. Medios con Simetr´ıa Hexagonal Horizontal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177 11.6. Birrefringencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180
  • 7. T´opicos en Propagaci´on de Ondas M. I. Caicedo; P. J. Mora 6 12.Soluciones Num´ericas a la Ecuaci´on de Onda 185 12.1. Introducci´on a la Derivaci´on Discreta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188 12.2. EDP’s en D = 1 + 1 y An´alisis de Estabilidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189 12.2.1. An´alisis de Von Newman . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192 12.2.2. M´etodo de Lax . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193 12.2.3. Dispersi´on Num´erica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 196 12.3. Problemas en D = 2 + 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197 12.3.1. La Ecuaci´on de Ondas Escalar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197 12.3.2. Discretizaci´on del Laplaciano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197 12.3.3. Evoluci´on Temporal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 198 12.4. Esquemas Impl´ıcitos y Expl´ıcitos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202 12.5. Ecuaciones con Coeficientes Variables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202 Bibliograf´ıa 206 A. Par´ametros el´asticos de los medios is´otropos 209 B. Anisotrop´ıa Hexagonal de una pila de capas is´otropas 214 C. Elastodin´amica Simplificada 220 C.1. Las ecuaciones de Navier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 220 C.2. Descripci´on 3D y Notaci´on Matricial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 226 C.3. El ejemplo m´as sencillo: Medios Is´otropos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 228 D. Modelado de un Medio VTI 230
  • 8. T´opicos en Propagaci´on de Ondas M. I. Caicedo; P. J. Mora 7 D.1. Anisotropa Axisim´etrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 230 D.2. Propagaci´on P − Sv y Sh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231 D.3. Formulaci´on Num´erica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 234
  • 9. ´Indice de figuras 1.1. Comportamiento Ondulatorio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 2.1. Problema General de Propagaci´on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 2.2. La ecuaci´on de ondas c2 2 u − ∂2 t u = 0 predice la propagaci´on de pulsos como los que se observan en una cuerda (en este caso una onda transversal). Los pulsos viajan sin deformaci´on con velocidad c . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 2.3. Ondas longitudinales en un resorte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 3.1. Una forma de onda representada en los dominios de n´umero de onda (k) y de posici´on (x), obs´ervense los anchos de banda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 4.1. Cuerda el´astica ideal. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56 5.1. La dispersi´on del paquete gaussiano. Obs´ervese que el ancho espacial cambia con el tiempo mientras que el m´aximo viaja a velocidad constante . . . . . . . . . . . 83 6.1. Rayos de luz atravesando un prisma. Obs´ervense los rayos reflejados y refractados 87 6.2. Los frentes de onda para las soluciones planas monocrom´aticas . . . . . . . . . . . 88 8
  • 10. T´opicos en Propagaci´on de Ondas M. I. Caicedo; P. J. Mora 9 6.3. Luego de atravesar una ranura los frentes de onda plano se convierten en frentes (aproximadamente) cil´ındricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90 6.4. El efecto de las heterogeneidades. Una fuente puntual emite un frente de onda esf´erico (Σ) que luego de atravesar un material heterog´eneo se convierte en el nuevo frente de onda (Σ ) que carece simetr´ıa debido a la presencia de la heterogeneidad. 91 6.5. Frentes de Onda en un subsuelo formado por dos capas homog´eneas, los rayos son rectos y se desv´ıan en la interface obedeciendo a la ley de Snell . . . . . . . . . . . 96 6.6. En un subsuelo heterog´eneo los frentes de onda son superficies complicadas, y los rayos siguen trayectorias curvas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98 8.1. Campo electromagn´etico instant´aneo en el vac´ıo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120 8.2. Polarizaciones (1) Lineal, (2) Circular Dextr´ogira, (3) Circular Lev´ogira . . . . . . 124 9.1. Vector de desplazamientos infinitesimales u. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132 9.2. Deformaci´on Homog´enea. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135 9.3. Cizalla y rotaci´on. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135 9.4. Para definir el tensor de deformaci´on eij, un s´olido 3D es pensado como un ar- reglo discreto de part´ıculas. Las entradas diagonales del tensor eij describen los movimientos de la part´ıcula en las direcciones de los ejes cartesianos. . . . . . . . 137 9.5. Esfuerzo sobre elemento de superficie. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138 11.1. (a) Medio heterog´eneo 1D. (b) Medio anis´otropo 1D. . . . . . . . . . . . . . . . . 162 11.2. Esquema NMO b´asico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166
  • 11. T´opicos en Propagaci´on de Ondas M. I. Caicedo; P. J. Mora 10 11.3. La propagaci´on paralela al eje de simetr´ıa en un medio VTI est´a compuesta por los dos modos que se muestran: uno longitudinal denominado P2 y otro transverso (S2) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175 11.4. La propagaci´on perpendicular al eje de simetr´ıa en un medio VTI est´a compues- ta por los tres modos que se muestran: uno longitudinal denominado P y dos transversos (S1, S2) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178 11.5. Birrefringencia en un medio VTI y en un medio HTI . . . . . . . . . . . . . . . . 181 11.6. Birrefringencia en un medio fracturado. Vista de planta . . . . . . . . . . . . . . . 184 11.7. Trazas registradas en un experimento de modelaje f´ısico de un medio HTI (Tatham et al.,1987) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184 12.1. Soluci´on FTCS a la ecuaci´on de ondas unidireccional. La condici´on inicial es una forma de onda Gaussiana. La corrida consta de 100 iteraciones en tiempo. El algoritmo es inestable, lo que se refleja tanto en el crecimiento de la soluci´on como en la aparici´on de artefactos num´ericos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191 12.2. Otra corrida del esquema FTCS a la ecuaci´on de ondas unidireccional con la misma condici´on inicial utilizada en la figura 12.1. El n´umero de iteraciones en tiempo es 200. Resulta obvio que los efectos de la inestabilidad son catastr´oficos. . . . . . . . 192 12.3. Soluci´on con suavizado de Lax para una condici´on inicial gaussiana. El algoritmo es estable pero se observan claramente dos efectos indeseados: dispersi´on (en este caso ensanchamiento de la onda) y atenuaci´on (p´erdida de amplitud). . . . . . . . 194 12.4. Propagaci´on del campo de ondas escalar en un medio homog´eneo (condici´on inicial).200 12.5. El campo de ondas luego de 300 iteraciones en tiempo. . . . . . . . . . . . . . . . 201
  • 12. T´opicos en Propagaci´on de Ondas M. I. Caicedo; P. J. Mora 11 B.1. Pila de capas is´otropas con rigideces µ1 y µ2 alternadas . . . . . . . . . . . . . . . 219 B.2. Pila de capas is´otropas. Planos z-y y x-y . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 219 D.1. Campo de onda P − Sv evolucionando en tiempo, mostrando la interacci´on con una interfaz plana horizontal. Tomado de [20]. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 236 D.2. Campo de onda P − Sv evolucionando en tiempo, mostrando la interacci´on con una interfaz plana inclinada (buzante). Tomado de [20]. . . . . . . . . . . . . . . . 237
  • 13. Cap´ıtulo 1 Introducci´on Pocas cosas escapan en la naturaleza al comportamiento ondulatorio. Casi todo termina, en una escala o en otra, manifestando propiedades de onda. En un planeta donde existe atm´osfera, luz solar abundante, y predominan oc´eanos de agua l´ıquida, no resulta extra˜no que muchos animales hayan evolucionado aprovechando las propiedades de las ondas, en particular las ondas ac´usticas. Si Ud. es un cet´aceo marino, utilizara ondas ac´usticas de aproximadamente 400Hz para localizar a otros miembros de su grupo. Si Ud. es un murci´elago, utilizara ondas ac´usticas con frecuencias de aprox. 20KHz para localizar alguna v´ıctima apetecible y asi subsanar una necesidad prot´eica b´asica. Si Ud. es un homo sapiens tiene varias opciones. En particular, si Ud. es afecto a la geof´ısica, puede utilizar ondas ac´usticas de 10-100Hz para localizar recursos minerales en el subsuelo. La s´ısmica de reflexi´on utilizada por los geof´ısicos y la ecolocalizaci´on utilizada por el peque˜no murci´elago comparten un principio elemental com´un1 : las ondas que rebotan en un objeto y 1 Seamos justos: el murci´elago ejecuta adicionalmente un procesamiento neural de la se˜nal (y adem´as en tiempo 12
  • 14. T´opicos en Propagaci´on de Ondas M. I. Caicedo; P. J. Mora 13 regresan en forma de eco tienen informaci´on valiosa que es utilizable para (1) conocer ciertas caracter´ısticas del medio en que se propagan la ondas y (2) conocer caracter´ısticas inherentes al objeto mismo (posici´on, velocidad, etc). En la s´ısmica de reflexi´on b´asicamente se utiliza una fuente explosiva para excitar el subsuelo. La se˜nal generada viaja hacia abajo y genera reflexiones hacia arriba en cada interfaz que consigue durante el viaje. Estas reflexiones llegan a la superficie y son captadas por arreglos de detectores que son localizados adecuadamente alrededor del sitio de explosi´on. El procesamiento y posterior an´alisis de estas se˜nales suele producir una imagen muy parecida a la distribuci´on real de capas que hay en el subsuelo en ese lugar. Esto permite iniciar entonces un proceso extractivo para aprovechar los recursos (en particular petr´oleo) que estan encerrados bajo tierra. El fen´omeno ondulatorio, aparece asociado a un amplio espectro de teor´ıas f´ısicas, que incluyen no solo a la mec´anica de medios cont´ınuos [1] [2] [3] y a la electrodin´amica [4], sino tambi´en a la mec´anica cu´antica y a las teor´ıas modernas de gravitaci´on. Las ondas constituyen el elemento b´asico que nos provee de informaci´on a distancia, as´ı por ejemplo, y al nivel m´as elemental, la luz nos permite observar objetos mucho antes de que est´en al alcance del tacto; el sonido de varios rel´ampagos consecutivos nos permite estimar si una tormenta se acerca o se aleja de nosotros, finalmente, y a un nivel mucho m´as elaborado, las di- versas componentes del espectro electromagn´etico emitidas por los objetos celestes nos proveen de la informaci´on necesaria para entender algunos aspectos de la estructura del cosmos. Todos estos ejemplos tienen en com´un que la fuente de las ondas es natural. Sin embargo, con el paso del tiempo, los seres humanos hemos desarrollado tecnolog´ıas que nos permiten generar ondas real!) que dejar´ıa p´alido al mejor de los geof´ısicos..
  • 15. T´opicos en Propagaci´on de Ondas M. I. Caicedo; P. J. Mora 14 artificialmente para ponerlas a nuestro servicio. As´ı por ejemplo, nuestros sistemas de telecomu- nicaciones est´an basados en la transmisi´on y recepci´on de ondas electromagn´eticas, mientras que utilizamos ondas ac´usticas generadas artificialmente para observar el interior del cuerpo humano sin invadirlo traum´aticamente. Otra aplicaci´on importante de las ondas mec´anicas, el estudio del subsuelo para la b´usqueda de hidrocarburos [5], constituye el elemento general de inter´es de estas notas. Figura 1.1: Comportamiento Ondulatorio 1.1. Objetivo de estas Notas El objetivo general de estas notas consiste en introducir al lector a los conceptos y t´ecnicas matem´aticas adecuadas para la descripci´on de algunos de estos fen´omenos y de proveerle, tanto de cierta intuici´on sobre los mismos, como de algunas herramientas para estudiarlos prepar´andolo
  • 16. T´opicos en Propagaci´on de Ondas M. I. Caicedo; P. J. Mora 15 para leer literatura m´as avanzada. Las notas se centrar´an principalmente en el estudio de la propagaci´on de ondas mec´anicas (el´asticas). El objetivo espec´ıfico del material que se presenta consiste en aproximar al lector a las aplica- ciones relacionadas con la prospecci´on de hidrocarburos. En particular a la modelaci´on tanto cin- em´atica como din´amica de la propagaci´on de ondas el´asticas en medios de una gran generalidad, con miras a las aplicaciones espec´ıficas en los m´etodos s´ısmicos de exploraci´on multicomponente. 1.2. S´ısmica de Reflexi´on Con el nombre de s´ısmica de reflexi´on se conoce colectivamente a todo un conjunto de t´ecnicas de exploraci´on geof´ısica cuyo objetivo consiste en obtener una imagen del subsuelo a partir de la reflexi´on de ondas el´asticas generadas artificialmente en (o cerca) de la superficie de la tierra [6][7]. Luego de un procesamiento adecuado de los datos obtenidos la imagen es interpretada en t´erminos geol´ogicos que permiten ubicar posibles trampas (tanto estructurales como estratigr´aficas) de petr´oleo ´o gas . Idealmente el proceso de interpretaci´on se basa en la comparaci´on heur´ıstica entre la imagen producida por el procesamiento de los datos obtenidos en campo y una imagen producida sint´eticamente, es decir, a trav´es de una simulaci´on a partir de un modelo geol´ogico cuya representaci´on matem´atica es en t´erminos de la mec´anica de medios continuos. La imagen sint´etica debe calcularse como el resultado de la simulaci´on de la propagaci´on de ondas el´asticas a trav´es del modelo geol´ogico, y es all´ı donde surge la necesidad de poseer programas que permitan un modelado matem´atico lo m´as cercano posible a la realidad. De esta forma, un buen software de modelaci´on geof´ısica permite realizar mejores interpretaciones geol´ogicas, esto se refleja en la posibilidad de tener interpretaciones geol´ogicas cada vez m´as
  • 17. T´opicos en Propagaci´on de Ondas M. I. Caicedo; P. J. Mora 16 precisas de los resultados de las mediciones geof´ısicas. En el caso de la exploraci´on, esto permite una mejor identificaci´on de las zonas prospectivas, mientras que en la geof´ısica de detalle, t´ıpica de los campos en producci´on, la mejora conduce, casi con certeza, a un mejor aprovechamiento de los recursos del yacimiento. 1.3. Ondas El´asticas, una Introducci´on La mec´anica y la electrodin´amica de medios cont´ınuos estudian el comportamiento de la la materia sin considerar su granularidad (estrucutra at´omica). Esta aproximaci´on es v´alida siempre que las condiciones experimentales no alcancen los l´ımites en que los efectos cu´anticos hacen su aparici´on. M´as a´un, para la modelaci´on de fen´omenos ondulatorios la idea de granularidad puede ser bastante m´as macrosc´opica y depende cr´ıticamente de la relaci´on entre el espectro de longitudes de onda que se propagan y las dimensiones de los objetos explorados. La din´amica de un medio continuo est´a descrita por un conjunto de ecuaciones diferenciales no lineales en derivadas parciales denominadas ecuaciones de Navier, estas ecuaciones representan las ecuaciones de Newton para un cont´ınuo y describen el movimiento relativo de los puntos del medio provocado por los esfuerzos internos y las fuerzas de volumen aplicadas al mismo [1][2]. Desde el punto de vista matem´atico, las ecuaciones de Navier contienen demasiadas inc´ognitas lo que las hace insuficientes para describir al sistema, raz´on por la cual deben complementarse con alg´un conjunto de relaciones emp´ıricas entre los esfuerzos y el objeto cinem´atico que describe al movimiento relativo de los puntos del medio (relaciones constitutivas) y ciertamente por las ecuaciones que describen a la termodin´amica del sistema [2] [8]. En general y a´un cuando se disponga de un conjunto de relaciones constitutivas las ecuaciones de Navier suelen mantener
  • 18. T´opicos en Propagaci´on de Ondas M. I. Caicedo; P. J. Mora 17 su car´acter de no linealidad por lo que son extraordinariamente complicadas y en general es necesario recurrir a la b´usqueda de soluciones a trav´es de m´etodos num´ericos. En las aplicaciones a la geof´ısica de exploraci´on, y debido a que las deformaciones son peque˜nas, es posible utilizar un conjunto de relaciones constitutivas muy sencillas que consis- ten en describir a los esfuerzos como proporcionales a las deformaciones (Ley de Hooke), de esta forma el sistema de ecuaciones se linealiza y se hace factible estudiar anal´ıticamente algunos casos sencillos para obtener ideas generales acerca del comportamiento cualitativo de las soluciones. Al utilizar la ley de Hooke para un medio homog´eneo se hace evidente que las ecuaciones de Navier linealizadas poseen soluciones ondulatorias sin p´erdidas. Si adicionalmente el medio es isotr´opico, la teor´ıa predice la existencia de dos modos de propagaci´on independientes (ondas P, S) correspondientes a ondas longitudinales y transversales [8]. Otros aspectos cualitativos generales del comportamiento de las ondas el´asticas , reflexi´on y refracci´on en una interfase plana y conversi´on entre los modos y fen´omenos de multirrefringencia aparecen naturalmente en las soluciones exactas de las ecuaciones de Navier en los medios anis´otropos. Adicionalmente, el l´ımite de altas frecuencias del modelo, completamente an´alogo a la ´optica geom´etrica, puede ser estudiado por la ecuaci´on eikonal correspondiente. Los fen´omenos de p´erdida de energ´ıa no pueden ser descritos por la ley de Hooke y es necesario modificar las relaciones constitutivas para incorporarlos. En el caso de un medio viscoel´astico lineal, las relaciones constitutivas incluyen un t´ermino que involucra la derivada temporal del tensor de deformaciones.
  • 19. T´opicos en Propagaci´on de Ondas M. I. Caicedo; P. J. Mora 18 1.4. Modelado de Ondas En primera aproximaci´on la modelaci´on de fen´omenos ondulatorios consiste en definir lo que se denomina frentes de onda. Grosso modo, los frentes de onda representan las regiones del espacio a las cuales una onda llega simult´aneamente, as´ı por ejemplo, las ondas producidas por una piedra al caer en el agua de un estanque llegan simult´aneamente a c´ırculos cuyos radios son iguales al producto de la velocidad de las ondas superficiales por el tiempo transcurrido desde el momento en que la piedra cay´o al agua. De esta forma, si se quiere modelar un fen´omeno de propagaci´on entre una fuente y un receptor, sencillamente debe calcularse el tiempo de viaje y colocar alguna forma de onda en el receptor con el retardo calculado. De acuerdo a estas ideas, el c´alculo de tiempos de viaje es un primer elemento fundamental en la modelaci´on. Estos c´alculos se pueden llevar adelante en t´erminos de la aproximaci´on de la ´optica geom´etrica (denominada teor´ıa de rayos), en este enfoque, sencillamente se estiman las trayectorias de los rayos que unen fuentes y receptores (si las condiciones geom´etricas permiten su existencia) y se calcula el tiempo de viaje a lo largo de los rayos. Para el c´alculo de las trayectorias de los rayos es necesario resolver una ecuaci´on diferencial ordinaria de segundo orden que puede atacarse con cualquiera de los m´etodos num´ericos adecuados a este fin (t´ıpicamente el m´etodo de Runge-Kutta) [9]. El trazado de rayos constituye la herramienta fundamental de modelado de la mayor´ıa de los programas comerciales dedicados a construir sismogramas sint´eticos. Tambi´en puede atacarse el problema del c´alculo de tiempos de viaje en t´erminos de la ecuaci´on eikonal, esta es una ecuaci´on diferencial no lineal de primer orden en derivadas parciales que puede resolverse con m´etodos de diferencias finitas. En el caso bidimensional, existen algoritmos suma- mente r´apidos que permiten la resoluci´on del problema en medios heterog´eneos relativamente
  • 20. T´opicos en Propagaci´on de Ondas M. I. Caicedo; P. J. Mora 19 suaves [10]. Sea cual sea la t´ecnica que se utilice, la modelaci´on basada en el c´alculo de los tiempos de viaje no permite un c´alculo real de las amplitudes y mucho menos de los fen´omenos de dispersi´on que puedan ocurrir si el medio es complicado, de all´ı que al modelado basado en estos c´alculos se le denomine modelado cinem´atico. Si se quiere realizar una modelaci´on que incorpore la m´axima realidad f´ısica contenida en la mec´anica de medios cont´ınuos se hace necesario resolver directamente las ecuaciones de Navier, como ya hemos adelantado, estas son ecuaciones diferenciales en derivadas parciales de segun- do orden, desde el punto de vista de su clasificaci´on, son ecuaciones de tipo hiperb´olico que pueden atacarse directamente con t´ecnicas de diferencias finitas [9]. En la pr´actica este enfoque es enormemente costoso desde el punto de vista de computaci´on, y de hecho, puede constituir uno de los ejercicios de c´alculo num´erico de exigencias m´as intensivas que se conoce. 1.5. Organizaci´on Los contenidos presentados en este curso son fruto de las notas de clase que han utilizado los autores de manera total o parcial, en los siguientes cursos de la Univsersidad Sim´on Bol´ıvar: Propagaci´on en Medios Anis´otropos, T´opicos Avanzados en F´ısica I y II, Procesamiento S´ısmico Digital y F´ısica V. El libro est´a concebido como un curso para estudiantes de pregrado avanzados y para es- tudiantes de postgrado, aunque igualmente puede ser utilizado por personas que provienen de disciplinas distintas a la geof´ısica de exploraci´on pero quieren iniciar investigaci´on en propagaci´on de ondas con aplicaciones. El material es adaptable a diversos niveles. Para el lector no iniciado,
  • 21. T´opicos en Propagaci´on de Ondas M. I. Caicedo; P. J. Mora 20 recomendamos su lectura desde el primer cap´ıtulo, abordando cada tema de manera gradual. En cambio, los temas presentados del cap´ıtulo 5 en adelante suelen ser referencias recurrentes del lector avanzado. Algunos cap´ıtulos, contienen ejercicios, problemas y proyectos. La resoluci´on de los problemas deben considerarse como parte integral del curso. Nuestra metodolog´ıa consiste en dictar tres horas de clase semanales organizadas como sigue: dos horas de teor´ıa m´as una hora de pr´actica en que los estudiantes discuten la resoluci´on de los problemas. Este es un libro en construcci´on constante y din´amica, pensado para estar disponible de forma gratuita a los lectores interesados por los medios m´as accesibles, como Internet. Una descripci´on de la organizaci´on del curso es como sigue. El cap´ıtulo 2 contiene una intro- ducci´on al comportamiento de las ondas lineales cuyo nivel es adecuado para lectores con poca o ninguna familiaridad con el tema. El cap´ıtulo 3 contiene conceptos un poco m´as avanzados acerca de la ecuaci´on de ondas en una dimensi´on espacial y la estructura de sus soluciones generales, tema que se enfoca tanto en el dominio espacio temporal como en el dominio del n´umero de onda y la frecuencia. El cap´ıtulo concluye con dos secciones. La primera de ellas debe entenderse como un problema-ejemplo guiado y la ´ultima es una aplicaci´on directa a la geof´ısica de exploraci´on. En el cap´ıtulo 4 presentamos una discusi´on relativamente completa de un ejemplo f´ısico expl´ıcito: a saber, el de las vibraciones transversales de una cuerda. El objetivo principal de este cap´ıtulo consiste en introducir el tipo de ideas que al generalizarse a la elastodin´amica, llevan a la formulaci´on del problema de propagaci´on de ondas s´ısmicas y a cierta comprensi´on del problema de flujo de energ´ıa.
  • 22. T´opicos en Propagaci´on de Ondas M. I. Caicedo; P. J. Mora 21 La discusi´on del cap´ıtulo 5 se centra en el problema de la propagaci´on de paquetes de onda, lo que lleva naturalmente a introducir las ideas de velocidad de grupo y dispersi´on que aparecen usualmente en el ruido s´ısmico denominado ground roll. Los conceptos de rayos y frentes de onda son discutidos rigurosamente en el cap´ıtulo 6, en donde se muestra claramente que ambos conceptos est´an relacionados a trav´es de la ecuaci´on eikonal. Como prerequisito para la lectura efectiva de estas notas se asume que el lector est´a famil- iarizado con 1. Los fen´omenos de interferencia y difracci´on. 2. La ecuaci´on escalar de ondas homog´enea en 1,2 y 3 dimensiones ( 2 − 1 c2 ∂2 ∂t2 )Ψ(x, t) = 0 y sus soluciones en t´erminos de ondas planas. 3. Las t´ecnicas del An´alisis de Fourier. Nota Importante Las notas incluyen algunos proyectos de programaci´on, para llevarlos a cabo los autores recomendamos el uso del programa SCILAB1 . 1 SCILAB es un paquete de c´alculo num´erico muy similar a MATLAB, pero a diferencia de este, es de dis- tribuci´on gratuita lo que evita el problema de la pirateria. Existen versiones para MacIntosh, Windows 95, 98, 2000 y Solaris. El programa puede obtenerse libremente en la red en la direcci´on http://www-rocq.inria.fr/scilab, donde tambi´en se consiguen un gran n´umero de aplicaciones especiales colocadas por contribuyentes
  • 23. Cap´ıtulo 2 ¿Qu´e es una onda? El t´ıtulo de este cap´ıtulo coincide con una de las preguntas que queremos responder en este curso. En un cierto caso especial puede decirse que: Una onda es una se˜nal reconocible que puede ser transferida de un lugar a otro de un medio con una velocidad de propagaci´on reconocible. G. B. Whithman [11] Tambi´en podemos decir que una onda es una perturbaci´on que se propaga en el espacio y en el tiempo manteniendo ciertas caracter´ısticas discernibles. En esta forma decir las cosas hay una diferencia sustancial con el p´arrafo anterior: no estamos haciendo referencia a medio alguno, y esto es vital ya que en el caso de las ondas electromagn´eticas no hace falta ning´un medio para la propagaci´on ya que las ondas electromagn´eticas se propagan en el vacio. 22
  • 24. T´opicos en Propagaci´on de Ondas M. I. Caicedo; P. J. Mora 23 2.1. Definici´on General del Problema de Propagaci´on Como hab´ıamos mencionado en la introducci´on ,la descripci´on de los procesos ondulatorios en electrodin´amica, as´ı como su descripci´on en mec´anica de medios cont´ınuos, presenta adem´as de lsa particularidades propias de cada caso, abundantes y representativos elementos comunes. Queremos presentar a continuaci´on una descripci´on de los elementos esenciales que conforman el problema general de propagaci´on (fig.2.1). Dada una regi´on (s) del espacio donde ocurre la propagaci´on, que puede o no estar ocupado por un medio material cont´ınuo 1 , se define como objeto cinem´atico fundamental φ(r, t) a la can- tidad (escalar ´o vectorial) que describe matem´aticamente el comportamiento de una perturbaci´on que viaja en (s). La cantidad φ(r, t) constituye la funci´on inc´ognita en toda ecuaci´on de onda. La soluci´on φ(r, t) (∀ r y t > 0) describe pues expl´ıcitmente la cantidad que se propaga en forma de onda. La evoluci´on de φ(r, t) en el dominio espacio-temporal describe la propagaci´on de la perturbaci´on en la regi´on s. La especificaci´on anal´ıtica del comportamiento de φ(r, t) en t = 0 constituye las condiciones iniciales del problema, y son suficientes para iniciar la propagaci´on de la perturbaci´on. El proble- ma de propagaci´on para φ(r, t) puede pues resolverse completamente aunque solo estan presentes las condiciones iniciales como agente iniciador. Adicionalmente, una excitaci´on o fuente (f) puede forzar condiciones extra en t ≥ 0 adem´as de las impuestas por las C.I. La especificaci´on de las condiciones f´ısicas en el l´ımite geom´etrico (borde ´o frontera) de la regi´on s constituye las condicione de borde (c.b). 1 Hacemos la observaci´on dado que las ondas electromagn´eticas se propagan en el vac´ıo, que no es un medio material cont´ınuo.
  • 25. T´opicos en Propagaci´on de Ondas M. I. Caicedo; P. J. Mora 24 Figura 2.1: Problema General de Propagaci´on Hagamos algunas puntualizaciones importantes: Hemos mencionado que la regi´on s puede contener un medio material sobre el cual ocurre la propagaci´on. ´Este puede ser un medio ac´ustico (fluidos) ´o el´astico, con sus respectivas variantes dispersivas y/o disipativas (con p´erdidas). En cualquier caso, sus propiedades estan descritas por tensores en t´erminos de los par´ametros constitutivos del medio. En el dominio temporal, la excitaci´on o fuente puede ser aperi´odica (pulso o shot) o peri´odi- ca; en este ´ultimo caso, si adem´as la dependencia es arm´onica, la ecuaci´on de onda es resoluble por separaci´on de variables, dando a la parte temporal una soluci´on de la forma eiwt , y a la parte espacial una soluci´on via la ecuaci´on de Helmholtz. Llamamos objeto cinem´atico fundamental a la cantidad que aparece como funci´on inc´ognita en la ecuaci´on de onda. La soluci´on pues describe expl´ıcitmente la cantidad que se propaga en forma de onda. Como ejemplos, podemos citar la i-´esima componente del campo el´ectrico, que aparece como inc´ognita en la ecuaci´on de onda electromagn´etica y como tal se comporta de forma ondulatoria
  • 26. T´opicos en Propagaci´on de Ondas M. I. Caicedo; P. J. Mora 25 µ ∂2Ei ∂t2 = 2 Ei ´o tambien, en elastodin´amica, la cantidad ( × u) aparece en la ecuaci´on de onda-S, y es por tanto el objeto cinem´atico fundamental de dicha ecuaci´on ρ∂2( ×u) ∂t2 = λ 2 ( × u) La forma de la ecuaci´on a resolver, y por ende la naturaleza de sus soluciones, depende de los factores f´ısicos que se desee incorporar a la observaci´on. Hablamos entonces de ecuaci´on de onda libre, ecuaci´on de onda con fuentes, ecuaci´on de onda en coordendadas esf´ericas, ecuaci´on de onda en medio dispersivo, etc. Finalmente, un elemento esencial a tener en cuenta es el enfoque, (scope) ´o rango de obser- vaci´on del problema (O-), el cual dicta en buena medida las aproximaciones id´oneas a realizar en el an´alisis cuantitativo del mismo. Asi por ejemplo, una onda cuyo an´alisis cuantitativo predice como esf´erica, puede ser tratada como onda plana si el an´alisis se hace suficientemente lejos de la fuente. O una onda 3D puede ser resuelta en 1D o 2D si la f´ısica del problema permite una tal simplificaci´on. 2.2. Ondas en una Dimensi´on Para acercarnos un poco a la intuici´on2 consideremos un pulso que se propaga en una cuerda (esta es una onda mec´anica que se propaga en un medio). Durante su tr´ansito, el pulso transmite 2 Por cierto, que una buena manera de mejorar la intuici´on ondulatoria consiste en hacer experimentos con ondas jugando con un slinky.
  • 27. T´opicos en Propagaci´on de Ondas M. I. Caicedo; P. J. Mora 26 movimiento a todos los puntos de la cuerda. Adem´as, si hacemos un experimento con cierto cuida- do veremos que el pulso se propaga a lo largo de la cuerda con rapidez constante y practicamente sin deformaci´on. Tratemos de construir un modelo matem´atico para lo que estamos describiendo, coloquemos un eje de coordenadas (que llamaremos x) a lo largo de la cuerda, y pensemos en enviar un pulso de tal suerte que los puntos de la cuerda se mantengan siempre en el mismo plano (que ciertamente contendr´a al eje x). En estas condiciones podemos escoger el eje y para que el plano x − y coincida con el plano del movimiento de los puntos de la cuerda. Notemos que podemos utilizar la coordenada x para hacer referencia (etiquetar) a los puntos de la cuerda. En consecuencia la altura de un punto (P) de la cuerda ser´a una funci´on de xp (la posici´on del punto P) y del tiempo esto es3 yP (t) = u(xP , t). Consideremos ahora una funci´on real de una variable real (f(s)), cuyo grafo coincida con una imagen instant´anea del pulso (digamos en t = 0), en ese caso, conocimientos elementales de matem´aticas permiten afirmar que si el pulso viaja sin deformaci´on con una rapidez v a lo largo de la cuerda la funci´on u(x, t) tendr´a de la forma4 u(x, t) = f(x ± v t) (2.0) donde los signos + y − indican un movimiento del pulso a la izquierda o a la derecha respecti- 3 una forma de entender esto es atrav´es de un proceso de l´ımites, podemos imaginar un sistema de N osciladores acoplados cuyos movimientos est´an limitados al plano x − y, a cada oscilador podemos asignarle una etiqueta de manera que sus alturas en funci´on del tiempo ser´an y1(t), y2(t), . . . , yN−1(t), y yN (t), si mantenemos la longitud de la cadena de osciladores finita y hacemos que el n´umero de osciladores tienda a infinito las etiquetas deber´an ser sustituidas por el cont´ınuo de manera que la lista yk(t), k = 1, 2, . . . , N se sustituir´a naturalmente por u(x, t) 4 a este tipo de ondas se les denomina ondas viajeras
  • 28. T´opicos en Propagaci´on de Ondas M. I. Caicedo; P. J. Mora 27 vamente. Un efecto f´ısico notable -que no siempre ocurre- se puede observar con onditas producidas en la superficie de un charco tranquilo. Bajo ciertas condiciones cuando dos ondas se encuen- tran interact´uan produciendo una cresta m´as alta o anul´andose por completo, para luego seguir propag´andose tranquilamente con la misma forma que ten´ıan antes de interactuar. Este fen´omeno que no ocurre con todo tipo de ondas se denomina principio de superposici´on. En este curso nos limitaremos a estudiar en detalle las ondas que obedecen el principio de superposici´on y las de- nominaremos ondas lineales para diferenciarlas de otro tipo de ondas (las ondas de choque, por ejemplo) para las cuales el principio de superposici´on no se satisface. Volvamos a poner atenci´on a la onda viajera dada por la f´ormula (2.2). Supongamos que la segunda derivada ordinaria de f(s) es g(s), es decir, d2f(s) ds2 = g(s). En ese caso, las segundas derivadas parciales de u(x, t) est´an dadas por ∂2 u(x, t) ∂ x2 = g(x ± v t) (2.1) ∂2 u(x, t) ∂ t2 = v2 g(x ± v t) (2.2) de donde sigue que u(x, t) satisface la siguiente ecuaci´on diferencial en derivadas parciales de 20 orden5 ∂2 x u(x, t) − 1 v2 ∂2 t u(x, t) = 0 (2.2) Que denominaremos ecuaci´on de ondas unidimensional sin fuentes, y que ser´a el punto inicial de la modelaci´on de los fen´omenos ondulatorios. En este punto vamos a introducir algo de nomenclatura extra: el par´ametro v que aparece en la ecuaci´on de ondas se denomina velocidad de fase. 5 por simplicidad a veces usaremos la notaci´on ∂x = ∂ ∂ x , etc.
  • 29. T´opicos en Propagaci´on de Ondas M. I. Caicedo; P. J. Mora 28 Una de las virtudes b´asicas de la ecuaci´on de ondas es que es lineal, lo que permite asegurar que las ondas que satisfagan la ecuaci´on (2.2) satisfacen el principio de superposici´on. En efecto, supongamos que u1(x, t) y u2(x, t) sean soluciones de (2.2), y que α es un n´umero real entonces ∂2 x [u1(x, t) + α u2(x, t)] − 1 v2 ∂2 t [u1(x, t) + α u2(x, t)] = = ∂2 x u1(x, t) − 1 v2 ∂2 t u1(x, t) + α ∂2 x u2(x, t) − 1 v2 ∂2 t u(x, t) = 0 (2.2) en otras palabras, u(x, t) = u1(x, t) + α u2(x, t) es una soluci´on de la ecuaci´on de ondas, lo que corresponde sencillamente a la representaci´on matem´atica del principio de superposici´on. Una de las caracter´ısticas fundamentales de las ondas es que portan energ´ıa, momentum, y en algunos casos momentum angular. 2.3. Ondas Longitudinales y Transversales Existen diversas clasificaciones (todas incompletas) para las ondas. En una de ellas hablamos de ondas longitudinales y ondas transversales. En las ondas longitudinales la perturbacin es paralela a la direcci´on de propagaci´on. Tal es el caso por ejemplo de las ondas de presi´on en un fluido y de las ondas tipo P en un medio elstico. En las ondas transversales la perturbaci´on es ortogonal a la direcci´on de propagaci´on. Tal es el caso por ejemplo de las ondas electromagn´eticas y de las ondas S en un medio el´astico.
  • 30. T´opicos en Propagaci´on de Ondas M. I. Caicedo; P. J. Mora 29 Figura 2.2: La ecuaci´on de ondas c2 2 u−∂2 t u = 0 predice la propagaci´on de pulsos como los que se observan en una cuerda (en este caso una onda transversal). Los pulsos viajan sin deformaci´on con velocidad c
  • 31. T´opicos en Propagaci´on de Ondas M. I. Caicedo; P. J. Mora 30 Figura 2.3: Ondas longitudinales en un resorte 2.4. Ondas Arm´onicas Existen una clase de soluciones muy particulares a la ecuaci´on de ondas que se conocen colectivamente como ondas arm´onicas monocrom´aticas. Estas son soluciones de la ecuaci´on (2.2) que pueden expresarse en una de las siguientes formas: u(x, t) = A cos(k x − ω t + φ) (2.3) u(x, t) = A sen(k x − ω t + φ) (2.4) u(x, t) = e[A ei(k x−ω t) ] (2.5) u(x, t) = Im[A ei(k x−ω t) ] (2.6) donde A, k y ω son constantes reales, y A = A eiφ . Debido a la ecuaci´on de ondas, las constantes k y ω denominadas n´umero de onda y frecuencia angular respectivamente no son independientes, sino que est´an relacionados por la velocidad de fase a trav´es de la relaci´on de dispersi´on k2 = ω2 v (2.6) ´o ω = v k. Es facil observar que el n´umero de onda y la frecuencia angular son cantidades dimensionales cuyas dimensiones son de rec´ıproco de longitud y tiempo−1 respectivamente. La amplitud (A) es una cantidad cuya dimensionalidad depende del contexto; en el caso de las ondas
  • 32. T´opicos en Propagaci´on de Ondas M. I. Caicedo; P. J. Mora 31 de campo el´ectrico [A] = volt m , mientras que en el caso de las ondas transversales en una cuerda la amplitud tiene dimensiones de longitud. El n´umero de onda y la frecuencia angular tienen una interpretaci´on interesante, la cantidad λ ≡ 2π k (2.6) representa un per´ıodo espacial de las ondas arm´onicas como puede verse de la cadena de igual- dades cos[k(x + λ) ± ω t + φ] = cos(kx ± ω t + φ + 2π) = cos(kx ± ω t + φ) (2.6) es por esto que λ se denomina longitud de onda. La frecuencia angular define el per´ıodo temporal (T) de una onda arm´onica seg´un la identidad T ≡ 2π ω . Las ondas arm´onicas tienen una caracter´ıstica que las hace acreedoras a una atenci´on es- pecial, en efecto, de acuerdo al teorema de Fourier, cualquier soluci´on a la ecuaci´on de ondas unidimensional se puede expresar como superposici´on de ondas arm´onicas de distinta amplitud relativa. Puesto en forma matem´aticamente expl´ıcita: Teorema 1 Toda soluci´on de la ecuaci´on de ondas unidimensional puede escribirse como u(x, t) = ω A(ω) ei(k(ω)−ω t) (2.6) en donde, la suma es en las frecuencias, los n´umeros de onda asociados a cada frecuencia est´an dados por k(ω) = ω v y la notaci´on A(ω) pretende destacar que las amplitudes de las ondas arm´onicas cuya superposici´on permite sintetizar u(x, t) son diferentes (y dependen de u(x, t)).
  • 33. T´opicos en Propagaci´on de Ondas M. I. Caicedo; P. J. Mora 32 2.5. Ondas en dos y tres dimensiones Los fen´omenos ondulatorios lineales tambi´en pueden ocurrir en dos y tres dimensiones espa- ciales. Como ejemplo bidimensional por excelencia podemos mencionar las ondas que se producen en la superficie de un pozo, o las vibraciones del cuero de un tambor (ondas en membranas), mientras que en tres dimensiones podemos mencionar las ondas ac´usticas (el sonido no es otra cosa que la propagaci´on de ondas de presi´on en el aire). Los modelos matem´aticos que describen estos fen´omenos est´an basados en las soluciones de las ecuaciones de onda en dos y tres dimensiones (´o como decimos los f´ısicos en 2 + 1 y 2 + 1 dimensiones, a saber ∂2 x u(x, y; t) + ∂2 y u(x, y; t) − 1 v2 ∂2 t u(x, y; t) = 0 (2.6) para el caso 2 + 1, y ∂2 x u(x, y, z; t) + ∂2 y u(x, y, z; t) + ∂2 z u(x, y, z; t) − 1 v2 ∂2 t u(x, y, z; t) = 0 (2.6) para el caso 3 + 1. Definiendo el operador de Laplace 2 = ∂2 x + ∂2 y + . . . (2.6) es posible resumir las ecuaciones de onda en los casos d + 1 con solo poner 2 u(x; t) − 1 v2 u(x; t) = 0 (2.6) y especificando d = 1, 2 ´o 3.
  • 34. T´opicos en Propagaci´on de Ondas M. I. Caicedo; P. J. Mora 33 2.5.1. Ondas Planas De particular inter´es son las soluciones denominadas ondas planas. Estas se construyen como generalizaciones de las ondas viajeras unidimensionales y requieren de un vector unitario ˆn y de una funci´on real de variable real (f(s)) con segunda derivada cont´ınua. Es facil ver que con estos elementos, las funciones u(x; t) ≡ f(ˆn.x ± v t) (2.6) son ondas (es decir soluciones a las ecuaciones de onda en d = 1, 2 o 3) que se propagan paralela o antiparalelamente al vector ˆn seg´un sea el signo relativo que aparece en el argumento. Las soluciones se denominan planas porque en el caso tridimensional para cada instante de tiempo fijo (tomemos t0 como ejemplo), el lugar geom´etrico de los puntos de fase (i.e. argumento) constante son los planos ˆn.x = v t0 (2.6) Estos planos de fase constante se denominan frentes de onda y evidentemente son ortogonales a los vectores de propagaci´on ˆn. M´as a´un, es facil convencerse de que los frentes de onda viajan con velocidad ± vˆn. Es claro que la noci´on de ondas planas se puede generalizar a las ondas arm´onicas monocrom´aticas. Si tomamos la notaci´on de funciones complejas, podemos poner una onda arm´onica plana monocrom´atica como u(x, t) = A ei (k.x − ω t) (2.6) donde (como usted deber´a probar en los ejercicios) el vector de onda k est´a relacionado con la
  • 35. T´opicos en Propagaci´on de Ondas M. I. Caicedo; P. J. Mora 34 frecuencia angular por |k|2 = ω2 c2 (2.6) 2.5.2. Ondas esf´ericas y objetos relacionados Como usted debe haber aprendido en sus cursos de matem´aticas, cuando el operador de Laplace ´o laplaciano 2 act´ua sobre funciones, su acci´on tiene la siguiente forma en coordenadas cil´ındricas y esf´ericas 2 Ψ(ρ, φ, z) = 1 ρ ∂ρ(ρ∂ρΨ) + 1 ρ2 ∂2 φΨ + ∂2 z Ψ coordenadas cil´ındricas (2.6) y 2 Ψ = 1 r ∂2 r (rΨ) + 1 r2 senθ ∂θ(senθ ∂θΨ) + 1 r2 sen2θ ∂2 φΨ coordenadas esf´ericas. (2.6) Evidentemente esto lleva a las formas correspondientes para la ecuaci´on de ondas. Para el nivel matem´atico de este curso nos limitaremos al caso esf´ericamente sim´etrico, es decir a soluciones de la ecuaci´on de ondas que solo dependen de la distancia radial (r) y el tiempo. En ese caso, la ecuaci´on de ondas correspondiente se simplifica de manera notable reduci´endose a 1 r ∂2 r (r u(r, t)) − 1 v2 ∂2 t u(r, t) = 0 (2.6) que, como usted demostrar´a en la secci´on de problemas, tiene la soluci´on general u(r, t) = 1 r f1(r + vt) + 1 r f2(r − vt) (2.6) donde f1(s) y f2(s) son funciones reales de una variable real con segundas derivadas cont´ınuas y que carecen de cualquier otra caracter´ıstica especial.
  • 36. T´opicos en Propagaci´on de Ondas M. I. Caicedo; P. J. Mora 35 Es claro que en el caso de las ondas esf´ericas los frentes de onda son esf´ericas (lo que coincide con nuestra intuici´on asociada a la experiencia de ver las ondas que se producen al lanzar una piedra en un charco). Una vez m´as es posible encontrar el caso arm´onico monocorm´atico, que en notaci´on trigonom´etri- ca ser´a u(r, t) = A r cos(kr − ωt + φ), con k2 = ω2 v2 (2.6) Los temas que hemos mencionado en esta peque˜na rese˜na acerca de las ondas ser´an profundizados y complementados con otros a lo largo del curso.
  • 37. Cap´ıtulo 3 La Ecuacion de Ondas en 1+1 Dimensiones En este cap´ıtulo vamos a abordar algunos conceptos b´asicos relacionados con la propagaci´on de ondas en una dimensi´on. Antes de entrar de lleno en el tema debemos insistir, en que como se dijo en la introducci´on, el comportamiento ondulatorio es sumamente universal. Mientras ciertas condiciones f´ısicas se satisfagan, la propagaci´on de un pulso de presi´on en una columna de gas contenida en un tubo, las vibraciones de una cuerda en un instrumento como el viol´ın o el piano, las transmisi´on de un impulso de torsi´on en una barra larga, la propagaci´on de se˜nales de voltaje en una l´ınea de transmisi´on son ejemplos de fen´omenos que -despreciando las p´erdidas de energ´ıa- son descritos adecuadamente por la ecuaci´on de ondas unidimensional sin fuentes o ecuaci´on de ondas libre: ∂2 φ(x, t) ∂2x − 1 c2 ∂2 φ(x, t) ∂2t = 0 (3.0) 36
  • 38. T´opicos en Propagaci´on de Ondas M. I. Caicedo; P. J. Mora 37 En esta ecuaci´on, la inc´ognita es la funci´on φ(x, t) que representa la perturbaci´on1 y c es una constante2 que, como veremos en la primera secci´on de este cap´ıtulo, representa la velocidad con que las ondas (pulsos) se propagan a trav´es del sistema. 3.1. Introducci´on a las EDP’s Evidentemente, la variable independiente en la ecuaci´on (3) es una funci´on de dos variables que aparece en t´erminos de sus derivadas parciales. Las ecuaciones diferenciales de este tipo se denominan ecuaciones diferenciales en derivadas parciales o EDP’s. El objetivo de esta secci´on consiste en introducir muy brevemente un cierto conjunto de EDP’s denominadas EDP’s de 2o orden. El inter´es en las EDCP’s de segundo orden consiste en que las ecuaciones de este tipo aparecen generalmente ligadas a problemas de la f´ısica matem´atica que describen la distribuci´on espacial ´o espacio temporal de alguna variable. Como ejemplos t´ıpicos podemos mencionar la ecuaci´on para la propagaci´on del calor, la ecuaci´on de Laplace y ciertamente, la ecuaci´on de ondas, todos fen´omenos de evidente inter´es para la geof´ısica. Definici´on 1 Una EDP de 2o orden en 2 dimensiones es una ecuaci´on diferencial de la forma: A(x, y) ∂2 u ∂x2 + 2B(x, y) ∂2 u ∂x∂y + C(x, y) ∂2 u ∂y2 = = f(x, y; u(x, y), ∂u(x, y) ∂x , ∂u(x, y) ∂y ) (3.0) 1 presi´on, amplitud de un movimiento transversal, ´angulo de torsi´on o voltaje en nuestros ejemplos 2 la naturaleza de c est´a asociada directamente con ciertas propiedades intr´ınsecas del sistema que estemos estudiando
  • 39. T´opicos en Propagaci´on de Ondas M. I. Caicedo; P. J. Mora 38 generalmente estas ecuaciones se plantean en alguna regi´on finita (´o infinita) del plano x − y sobre cuyo borde se establecen condiciones de frontera para la funci´on u(x, y). Si la funci´on f es lineal con respecto a u y sus derivadas3 el problema se denomina lineal, en caso contrario cuasi-lineal. Las EDP’s de 2o orden se clasifican en tres tipos asociados a los tres problemas b´asicos de la f´ısica matem´atica cl´asica. La clasificaci´on es de acuerdo al signo del discriminante ∆ = B2 − AC y la presentamos en el cuadro (3.1). Tipo de Ecuaci´on ∆ Prototipo Ejemplo Fisico Hiperb´olico > 0 ∂2u ∂2x − ∂2u ∂2y = 0 Ecuacion de Ondas Parab´olico = 0 ∂2u ∂2x − ∂u ∂y = 0 Ecuacion del Calor El´ıptico < 0 ∂2u ∂2x + ∂2u ∂2y = 0 Ecuacion de Laplace ] Cuadro 3.1: Clasificaci´on de las Ecuaciones de la F´ısica Matem´atica Cl´asica. Cabe destacar que los tres tipos de ecuaciones a que hemos hecho referencia aparecen en problemas de geof´ısica. Las ecuaciones el´ıpticas (ecuaciones de Laplace y Poisson) describen los campos gravitatorio y magn´etico terrestres, y tambi´en tienen aplicaci´on en los m´etodos geoel´ectri- cos de corfriente cont´ınua. Las ecuaciones parab´olicas permiten describir el flujo de calor en el interior de la tierra. Y las ecuaciones de tipo hiperb´olico aparecen en los problemas de sismolog´ıa, exploraci´on s´ısmica y electromagn´etica por campos variables. El inter´es de esta clasificaci´on est´a relacionado con las propiedades generales de las solu- ciones de las ecuaciones y con el tipo de problemas de borde que pueden plantearse para cada 3 f = f0(x, y) + D(x, y)u(x, y) + F(x, y)∂u(x,y) ∂x + G(x, y)∂u(x,y) ∂y
  • 40. T´opicos en Propagaci´on de Ondas M. I. Caicedo; P. J. Mora 39 ecuaci´on ambos problemas de gran importancia que escapan del alcance de estas notas. Al lector interesado en estos detalles se le recomienda consultar las referencias [12] y [13] que seguramente encontrar´a de enorme utilidad. 3.2. El m´etodo de las caracter´ısticas En el caso m´as general posible en que los coeficientes A, B y C de la ecuaci´on (3.0) no son constantes, la clasificaci´on de la ecuaci´on puede variar de una region a otra del plano. En esta secci´on nos restringiremos al caso sencillo en que A, B y C sean constantes, asumiremos adem´as que la ecuaci´on es homog´enea (f = 0), con lo que el problema que nos ocupa es: A ∂2 u ∂x2 + 2B ∂2 u ∂x∂y + C ∂2 u ∂y2 = 0 (3.0) Queremos tratar de decir algunas cosas acerca de las propiedades de las soluciones de la ecuaci´on (3.2), con este fin tomaremos el siguiente ansatz4 u(x, y) = f(p) con: p = ax + by (3.0) en donde a y b son constantes. Sustituyendo nuestra “soluci´on”en (3.2) queda (ejercicio) (Aa2 + 2Bab + Cb2 )f (p) = 0 (3.0) donde: f (p) = d2f dp2 . Es evidente que la soluci´on no trivial m´as general posible a la ecuaci´on (3.2) se obtiene anulando la expresi´on bilineal en a y b, esto es, cuando a y b satisfacen la condici´on Aa2 + 2Bab + Cb2 = 0 (3.0) 4 obs´ervese que ∂u ∂x = af (p), ∂2 u ∂x2 = a2 f (p), ∂u ∂y = bf (p), ∂2 u ∂y2 = b2 f (p), y ∂2 u ∂x∂y abf (p)
  • 41. T´opicos en Propagaci´on de Ondas M. I. Caicedo; P. J. Mora 40 cuya soluci´on es b/a = [−B ± √ B2 − AC] C = λ1, λ2 (3.0) si la ecuaci´on que estamos estudiando es de tipo hiperb´olico se obtienen dos raices reales que llevan a dos rectas (denominadas “caracter´ısticas de la ecuaci´on”) p1 = x + λ1y y p2 = x + λ2y (3.0) de esta manera, hemos obtenido dos soluciones f1(x + λ1y) y f2(x + λ2y) (3.0) ahora bi´en, la ecuaci´on (3.2) es lineal lo que obliga a superponer las dos soluciones reci´en obtenidas para demostrar que la forma de la soluci´on m´as general posible de una ecuaci´on hiperb´olica a coeficientes constantes es u(x, y) = f1(p1) + f2(p2) = f1(x + λ1y) + f2(x + λ2y) (3.0) Evidentemente la ecuaci´on de ondas (3) es hiperb´olica y los valores de los coeficientes en este caso son: A = 1 B = 0 C = − 1 c2 (3.0) en consecuencia, al utilizar la f´ormula (3.2) hemos probado que la forma general de la soluci´on de la ecuaci´on de ondas es la siguiente u(x, t) = f1(x + ct) + f2(x − ct) (3.0) la interpretaci´on f´ısica de la f´ormula (3.2) es sencilla (pero fundamental). Si pensamos que las variables x y t representan posici´on y tiempo, resulta facil darse cuenta de que la soluci´on (3.2)
  • 42. T´opicos en Propagaci´on de Ondas M. I. Caicedo; P. J. Mora 41 a la ecuaci´on unidimensional de ondas representa la superposici´on de dos pulsos de amplitud (de formas f1 y f2) que viajan sin deformaci´on en los dos sentidos espaciales (±x) con velocidad c (ejercicio: medite acerca de esta afirmaci´on, si es posible utilice alg´un recurso de computaci´on para hacer una animaci´on). Hay una forma -quiz´a m´as intuitiva- de llegar al resultado (3.2) y que proviene de la simple observaci´on de que el operador de D’Alembert: ∂2 x − 1 c2 ∂2 t (3.0) se puede factorizar en la forma5 ∂2 x − 1 c2 ∂2 t = ∂+∂−con: ∂± = 1 2 (∂x ± 1 c ∂t) (3.0) de esta manera la ecuaci´on de ondas se reescribe en la forma ∂+∂−u = 0 (3.0) cuya soluci´on m´as general es evidentemente de la forma (3.2). 3.3. Problema de Valores Iniciales y Soluci´on de Cauchy En la secci´on (3.1) comentamos que las soluciones a las PDE’s deben satisfacer alg´un tipo de condici´on en la regi´on en que se han definido. Para la ecuaci´on de ondas el problema t´ıpico es el problema de condiciones iniciales, en esta secci´on mostraremos la soluci´on de D’Alembert al problema de Cauchy (problema de condiciones iniciales) para la ecuaci´on de ondas libre en 1 dimension. El problema que nos interesa es el siguiente: 5 que corresponde al cambio de variables: x± = x ± ct
  • 43. T´opicos en Propagaci´on de Ondas M. I. Caicedo; P. J. Mora 42 Definici´on 2 El Problema de Cauchy para la ecuaci´on de ondas consiste en encontrar la soluci´on a la ecuaci´on ( ∂2 ∂x2 − 1 c2 ∂2 ∂t2 )u(x, t) = 0 (3.0) sometida a las siguientes condiciones iniciales: u(x, 0) = φ(x) (3.0) ∂u(x, 0) ∂t = Ψ(x) (3.0) Para tener una imagen f´ısica del problema imaginemos las vibraciones transversales de una cuerda. En ese caso, y para cada punto x a lo largo de la cuerda, la funci´on u(x, t) representa la amplitud instant´anea del movimiento de la cuerda en ese punto, mientras que la derivada parcial ∂tu(x, t) representa la velocidad transversal del punto de la cuerda que est´a localizado en la coordenada x. De esta forma, las condiciones iniciales φ y Ψ representan la forma inicial y la velocidad transversal6 de cada punto a lo largo de la cuerda. Para resolver el problema de Cauchy, recordemos que la f´ormula (3.2) representa la soluci´on m´as general posible de la ecuaci´on de ondas en 1 dimensi´on, ahora bien, el problema de valores iniciales requiere para su soluci´on la imposici´on de las condiciones iniciales (2) y (2). Utilizando la f´ormula (3.2) para evaluar las condiciones iniciales se obtiene φ(x) = u(x, 0) = f1(x + 0) + f2(x − 0) (3.0) ψ(x) = ∂u(x, 0) ∂t = cf1(x + 0) − cf2(x − 0) (3.0) 6 que no debemos confundir con la velocidad de propagaci´on c
  • 44. T´opicos en Propagaci´on de Ondas M. I. Caicedo; P. J. Mora 43 la ´ultima de estas dos condiciones puede integrarse y resulta f1(x) − f2(x) = 1 c x x0 ψ(q)dq + K (3.0) las ecuaciones (3.3) y (3.3) constituyen el siguiente sistema de ecuaciones que permite determinar la funciones f1 y f2 f1(x) + f2(x) = φ(x) (3.0) f1(x) − f2(x) = 1 c x x0 ψ(s)ds + K (3.0) Las soluciones de este sistema de ecuaciones se encuentran de manera elemental, y podemos escribir -luego de evaluar en las variables apropiadas- f1(x + ct) = 1 2 φ(x + ct) + 1 2c x+ct x0 ψ(s)ds + K 2 (3.0) f2(x − ct) = 1 2 φ(x − ct) − 1 2c x−ct x0 ψ(s)ds − K 2 (3.0) sumando f1 y f2 resulta u(x, t) = 1 2 φ(x + ct) + 1 2 φ(x − ct) + 1 2c [ x+ct x0 ψ(s)ds − x−ct x0 ψ(s)ds] (3.0) de donde, en definitiva, se obtiene la soluci´on de D’Alembert al problema de Cauchy para la ecuaci´on de ondas u(x, t) = 1 2 φ(x + ct) + 1 2 φ(x − ct) + 1 2c x+ct x−ct Ψ(s)ds (3.0) Para interpretar adecuadamente los t´erminos que aparecen en la soluci´on de D’Alembert es conveniente pensar en el problema de oscilaciones transversales en una cuerda larga, de esta forma, resulta evidente que los dos primeros sumandos corresponden a un par de ondas viajeras
  • 45. T´opicos en Propagaci´on de Ondas M. I. Caicedo; P. J. Mora 44 (una a la izquierda y otra a la derecha) cuya amplitud es 1/2 de la forma inicial de la onda, mientras que el t´ermino integral corresponde al efecto que en la onda total tiene la velocidad transversal inicial de los puntos de la cuerda. Problema 1 ¿Cu´ales ser´an las condiciones iniciales que garantizan que una forma de onda dada f(x) se propague solamente hacia la derecha? 3.4. El problema de Cauchy en dominio k − ω En esta ´ultima secci´on queremos retomar el estudio de la soluci´on del problema de Cauchy, esta vez, en t´erminos de t´ecnicas de transformaci´on de Fourier7 (TDF) Comenzaremos por tomar la TDF de la ecuaci´on de ondas sin fuentes ( ∂2 ∂x2 − 1 c2 ∂2 ∂t2 )ψ(x, t) = 0 (3.0) para obtener el siguiente problema equivalente en la representaci´on frecuencia-n´umero de onda ´o dominio k − ω [k2 − ( ω c )2 ]ψ(k, ω) = 0 (3.0) ´o (k − ω c )(k + ω c )ψ = 0 (3.0) 7 Nuestras convenciones para las transformadas de Fourier directa e inversa son las siguientes: Ψ(k, w) = 1 2π ∞ −∞ ∞ −∞ ψ(x, t)e−i(kx−wt) dxdt y ψ(x, t) = 1 2π ∞ −∞ ∞ −∞ Ψ(k, w)ei(kx−wt) dkdw
  • 46. T´opicos en Propagaci´on de Ondas M. I. Caicedo; P. J. Mora 45 La ecuaci´on (3.4) debe entenderse como una ecuaci´on distribucional, debido a lo cual, su soluci´on m´as general es de la forma ψ(k, ω) = A+(k)δ(k + ω c ) + A−(k)δ(k − ω c ) (3.0) de este resultado se deduce la forma m´as general posible para las soluciones de la ecuaci´on (3.4) ψ(x, t) = 1 2π ∞ −∞ [A+(k)δ(k + ω c ) + A−(k)δ(k − ω c )]ei(kx−ωt) dkdω (3.0) podemos integrar esta expresi´on en ω para obtener ψ(x, t) = 1 2π ∞ −∞ [A+(k)ei[kx+ckt] + A−(k)ei[kx−ckt] dk (3.0) evidentemente esta f´ormula se puede interpretar como la superposici´on de ondas viajeras que se propagan en las direcciones ±x. Para simplificar la notaci´on reescribiremos la f´ormula anterior en la siguiente forma m´as compacta8 ψ(x, t) = 1 2π ∞ −∞ A(k)ei[kx−ω(k)t] dk (3.0) En general la soluci´on que hemos encontrado es una funci´on de valores complejos, sin embargo estamos interesados en problemas de propagaci´on de ondas f´ısicas as´ı que solo deseamos soluciones a la ecuaci´on de ondas que tomen valores reales (u(x, t)), estas soluciones pueden describirse en t´erminos de la soluci´on general ψ(x, t) seg´un u(x, t) = 1 2 (ψ(x, t) + ψ∗ (x, t)), (3.0) 8 una f´ormula similar ser´a utilizada en el cap´ıtulo 5 para describir ondas que se propagan en medios en los que la relaci´on de dispersi´on ω = ω(k) no es trivial
  • 47. T´opicos en Propagaci´on de Ondas M. I. Caicedo; P. J. Mora 46 esto es, u(x, t) = 1 2 { 1 2π ∞ −∞ A(k)ei[kx−ω(k)t] dk + ∞ −∞ A∗ (k)e−i[kx−ω(k)t] dk} = 1 2 { 1 2π ∞ −∞ [A(k)ei[kx−ω(k)t] + A∗ (k)e−i[kx−ω(k)t] ]dk} (3.0) En este punto es conveniente introducir la siguiente notaci´on f s = 1 √ 2π ∞ −∞ f(s)ds (3.0) que nos permitir´a no solo trabajar en forma m´as compacta, sino manteniendo una clara visi´on de la estructura general del an´alisis que estamos realizando. En t´erminos de la nueva notaci´on la f´ormula (3.0) para la soluciones reales de la ecuaci´on de ondas adopta la forma u(x, t) = 1 2 √ 2π A(k)ei(kx−ωt) + A∗ (k)e−i(kx−ωt) k (3.0) Ahora utilizaremos esta forma de u(x, t) para evaluar las condiciones iniciales (2) y (2). Comen- zaremos por evaluar la f´ormula (3.4) en t = 0 para obtener u(x, 0) = 1 2 √ 2π Aeikx + A∗ e−ikx k (3.0) por otra parte, la evaluaci´on de la velocidad inicial requiere de una expresi´on para ∂ ∂t u(x, t) que se puede encontrar usando t´ecnicas est´andar9 , el resultado de evaluar la velocidad en t = 0 es el siguiente ∂ ∂t u(x, 0) = −i 2 Aweikx − A∗ we−ikx k (3.1) 9 ∂ ∂t ψ(x, t) = 1 2 { 1 2π dk[A(k)(−iω(k))ei(kx−ωt) + A∗ (k)(iω(k))e−i(kx−ωt) ]} (3.1)
  • 48. T´opicos en Propagaci´on de Ondas M. I. Caicedo; P. J. Mora 47 El uso de estas t´ecnicas nos ha llevado a poder construir el siguiente sistema de ecuaciones para la amplitud de Fourier A(k) φ(x) = 1 2 A(k)eikx + A∗ (k)e−ikx k (3.1) Ψ = −i 2 A(k)ω(k)eikx − A∗ (k)ω(k)e−ikx k (3.1) Para resolver este sistema comencemos por multiplicar ambos lados de las ecuaciones (3.4) y (3.4) por el kernel 1 √ 2π e−iqx integrando en x obtenemos φ(x)e−iqx x = 1 2 A(k)eix(k−q) + A∗ (k)e−ix(k+q) k,x (3.2) V (x)e−iqx x = −i 2 A(k)w(k)eix(k−q) − A∗ (k)w(k)e−ix(k+q) k,x (3.3) igualdades que al utilizar la relaci´on de completitud 2πδ(x − x ) = +∞ −∞ dξei(x−x ) ξ (3.3) implican Φ(q) = 1 2 A(k)δ(k − q) + A∗ (k)δ(k + q) k (3.3) un resultado an´alogo para V nos permite escribir el siguiente sistema de ecuaciones algebr´aicas Φ(q) = 1 2 [A(q) + A∗ (−q)] (3.4) V (q) = −i 2 [A(q)ω(q) − A∗ (−q)ω(−q)] (3.5)
  • 49. T´opicos en Propagaci´on de Ondas M. I. Caicedo; P. J. Mora 48 que a menos e un detalle permite el calculo de la amplitud A(k), el detalle se puede resolver observando que los m´ınimos requisitos f´ısicos de propagaci´on en uno u otro sentido obligan a la condici´on de simetr´ıa: ω(q)=ω(-q), lo que convierte a la ´ultima de las dos ecuaciones del sistema en V (q) = −i 2 ω(q)[A(q) − A∗ (−q)] (3.5) El c´alculo de A(k) ahora es trivial, resultando que la amplitud de Fourier de la onda est´a dada por A(q) = Φ(q) + i V (q) ω(q) (3.5) Es instructivo detenerse a examinar el significado de la amplitud (3.4), en primer lugar resulta claro que si la velocidad inicial (∂tu(x, 0)) es nula, la amplitud A(k) contiene la informaci´on acerca de la forma inicial de la onda (que permanecera constante durante la propagaci´on). Por otra parte, si la velocidad inicial no es nula el factor i ω en la expresi´on para la A(k) debe entenderse como un filtro integrador que corresponde al t´ermino x+ct x−ct Ψ(ξ)dξ en la f´ormula (3.3). Como hemos visto, la argumentaci´on que nos ha llevado a la expresi´on (3.4) para la am- plitud de Fourier de una onda que se propaga en una dimensi´on ha sido totalmente riguroso. El argumento intuitivo est´andar para la construcci´on de la amplitud A(k) consiste en construir soluciones arm´onicas monocrom´aticas a la ecuaci´on de ondas, esto es, en proponer soluciones de la forma eikx−ωt
  • 50. T´opicos en Propagaci´on de Ondas M. I. Caicedo; P. J. Mora 49 que luego de sustituirse en la ecuaci´on de ondas llevan a las relaciones de dispersi´on k2 = ω2 /c2 ; finalmente se recurre a la linealidad de la ecuaci´on de ondas para obtener la soluci´on general (3.0) por superposici´on de modos arm´onicos y a partir de ese punto el argumento es id´entico al que se ha presentado ac´a. Figura 3.1: Una forma de onda representada en los dominios de n´umero de onda (k) y de posici´on (x), obs´ervense los anchos de banda Para concluir el cap´ıtulo queremos insistir de nuevo en el significado f´ısico de la amplitud A(k), si la forma inicial de la onda u(x, 0) es una onda arm´onica monocrom´atica con n´umero de
  • 51. T´opicos en Propagaci´on de Ondas M. I. Caicedo; P. J. Mora 50 onda k0 y si la velocidad inicial es nula, resulta evidente que la amplitud tendr´a la forma A(k) = (2π)1/2 δ(k − k0) lo que lleva a que la onda viajera tenga la forma u(x, t) ∼ cos (kox − iωt + φ0). Si por otra parte forma inicial de u(x, t) que se propagar´a posteriormente sin deformaci´on ocupa una regi´on espacial finita de longitud aproximada ∆x entonces la amplitud A(k) tendr´a un ancho de banda limitado ∆k centrado alrededor de un numero de onda ko. 3.5. Reflexi´on entre dos medios Habiendo estudiado el problema m´as elemental posible de propagaci´on de ondas (la propa- gaci´on unidimensional en un medio homog´eneo) es conveniente complicar un poco las cosas descri- biendo alg´un fen´omeno m´as complejo. Con este fin, consideraremos las oscilaciones transversales de dos cuerdas tensas unidas firmemente en un punto. Comencemos por decir que la propagaci´on de un pulso transversal en una cuerda de densidad de masa uiforme µ sometida a una tensi´on constante T est´a descrita por la ecuaci´on (ejercicio10 ) ∂2 xu − T µ ∂2 t u = 0 (3.5) de acuerdo a esto, si dos cuerdas de diferentes densidades se unen firmemente en x = 0, los pulsos en ambas cuerdas estar´an descritos por ecuaciones del mismo tipo pero cambiando la densidad seg´un la regi´on que se est´e describiendo. Adicionalmente, la continuidad del sistema y de la tensi´on en el punto de contacto obligar´an a imponer las condiciones de borde (ejercicio: 10 AYUDA: para probar esto basta con utilizar la 2a leyes de Newton y la aproximaci´on de peque˜nas oscilaciones
  • 52. T´opicos en Propagaci´on de Ondas M. I. Caicedo; P. J. Mora 51 ¿por qu´e?, explique) l´ım x→0− u(x, t) = l´ım x→0+ u(x, t) (3.6) l´ım x→0− ∂xu(x, t) = l´ım x→0+ ∂xu(x, t) (3.7) nuestro objetivo consiste en inquirir acerca del problema de reflexi´on y transmisi´on en la interfaz. Para simplificar el an´alisis supondremos que ambas cuerdas son semiinfinitas, y consideraremos adicionalmente la incidencia de una onda arm´onica plana monocrom´atica que viene de x = −∞ (es decir: ψI(x, t) = AIei(kx−ωt) ). Es claro que un buen anzats para la soluci´on ψ(x, t) es el siguiente ψ(x, t) =    AIei(kx−ωt) + ARei(kx+ωt) x < 0 AT ei(kx−ωt) x > 0 (3.7) donde AI, AR y AT son las amplitudes incidente, reflejada y transmitida. Al expresar AR y AT en t´erminos de AI se obtiene (ejercicio) AR = z2 − z1 z1 + z2 AI y, (3.8) AT = 2z2 z1 + z2 AI (3.9) donde las cantidades zi -denominadas impedancias ac´usticas-, solo dependen de T y µi (ejercicio: encuentre una expresi´on para las cantidades z1 y z2 en t´erminos de las densidades y la tensi´on ). Si definimos los coeficientes de reflexi´on y transmisi´on como R = AR/AI y T = 1 − R se obtiene (ejercicio) R = z2 − z1 z1 + z2 y, (3.10) T = 2z1 z1 + z2 (3.11)
  • 53. T´opicos en Propagaci´on de Ondas M. I. Caicedo; P. J. Mora 52 Estas dos cantidades contienen toda la informaci´on f´ısica de inter´es para el fen´omeno de reflexi´on y transmisi´on que estamos estudiando. En efecto, las f´ormulas AR = RAI y AT = TAI nos mues- tran que las formas amplitudes de onda reflejada y transmitida corresponden a un reescalamiento de la amplitud incidente. La onda transmitida siempre tiene el mismo signo que la onda incidente. Por otra parte, el signo relativo (´o diferencia de fase) entre las amplitudes reflejada e incidente depende fuertemente de las caracter´ısticas ac´usticas de ambos medios. En el l´ımite en que ambas impedancias ac´usticas son muy parecidas casi no hay onda reflejada. 3.6. Una aplicaci´on geof´ısica: Sismogramas Sint´eticos Los resultados de este cap´ıtulo encuentran aplicaci´on inmediata en exploraci´on s´ısmica11 . Si consideramos un modelo geol´ogico constituido por estratos horizontales homog´eneos y on- das que inciden perpendicularmente a las interfaces entre dichos estratos (incidencia normal) es posible dar una descripci´on muy simplificada de las ondas reflejadas por las interfaces (reflec- tores s´ısmicos) en t´erminos de coeficientes de reflexi´on y transmisi´on. En efecto, de acuerdo a nuestro modelo simplificado, cada capa es homog´enea y la propagaci´on de ondas es vertical (uni- dimensional), en consecuencia, en cada capa las ondas ac´usticas deben obedecer a la ecuaci´on 11 En la s´ısmica de reflexi´on de ondas P la tierra se modela como un medio ac´ustico de manera que las cantidades f´ısicas de inter´es son la velocidad de propagaci´on de las ondas P (v) y la densidad de las rocas (ρ) y las impedancias ac´usticas se calculan como: z = ρ × v
  • 54. T´opicos en Propagaci´on de Ondas M. I. Caicedo; P. J. Mora 53 ∂2 z u − ∂2 t u c2 i = 0, donde ci es la velocidad de propagaci´on en cada capa y z la profundidad. De acuerdo al modelo que estamos utilizando, en cada capa las ondas se propagan sin defor- maci´on, y en cada interface generan una onda reflejada primaria (ψ (i) R ) y una onda transmitida ψi T cuyas amplitudes se calculan como el producto de la amplitud incidente por el coeficiente de reflexi´on o transmisi´on correspondiente. Desde el punto de vista pr´actico los coeficientes de transmisi´on son muy cercanos a 1, de manera que si se desprecian las p´erdidas por transmisi´on, las amplitudes primarias reflejadas en la i-´esima capa se estiman por la f´ormula: ψ (i) R ≈ RiψS, con: R = zi+1 − zi zi + zi+1 (3.11) donde ψS es la forma de onda introducida en la superficie. De acuerdo con esto, en un modelo de N interfaces excitado en la superficie es ψS(t), las se˜nales reflejadas normalmente por las interfaces son detectadas en los ge´ofonos como: ψR(t) = N i=1 R(i) ψS(t − Ti) (3.11) donde Ti es el retardo asociado al tiempo de viaje de ida y vuelta entre la superficie y cada reflector. De esta manera, si construimos la distribuci´on auxiliar (denominada serie de reflectivi- dades): R(t) = N i=1 R(i) δ(t − Ti) (3.11) podemos reescribir ψR(t) = R(t) ∗ ψS(t) (3.11) y esto es lo que se conoce como modelo convolucional de la traza s´ısmica.
  • 55. T´opicos en Propagaci´on de Ondas M. I. Caicedo; P. J. Mora 54 En el caso de una zona de inter´es en que los reflectores sean bastante horizontales, la siguiente modificaci´on de la f´ormula (3.6) ψR(t) = R(t) ∗ ψS(t) + n(t) (3.11) donde n(t) es una funci´on que pretende simular el ruido en la se˜nal (ruido aleatorio) permite llevar a cabo un modelado sencillo relativamente realista de las trazas que se obtendr´ıan con s´ısmica de superficie. Esta secci´on dista bastante de ser solamente un ejercicio te´orico, en la t´ecnicaa interpretativa de amarre a los datos de pozo, la serie de reflectividades que aparece en la f´ormula (3.6) se con- struye con datos de registros de pozo (t´ıpicamente datos de densidad y s´onicos) y los sismogramas sint´eticos se comparan con la s´ısmica de superficie.
  • 56. Cap´ıtulo 4 La cuerda vibrante 4.1. La cuerda tensa y la ecuaci´on de ondas En este cap´ıtulo vamos a deducir que la descripci´on din´amica de las oscilaciones transversales de una cuerda est´a dada efectivamente por la ecuaci´on de ondas unidimensional. Comencemos por considerar la din´amica de un peque˜no trozo de cuerda cuyos extremos est´an en los puntos x − dx 2 y x + dx 2 . En ausencia de gravedad y considerando que las oscilaciones son solo en la direcci´on y (de manera que la velocidad del trocito de cuerda es simplemente ∂t u(x, t), podemos escribir la ecuaci´on de movimiento para la cuerda (segunda ley de Newton) como T(x − dx 2 ) + T(x + dx 2 ) = µ∂2 t u(x, t) (4.0) donde T(x − dx 2 ) y T(x + dx 2 ) son las fuerzas que act´uan en cada extremo de la cuerda. 55
  • 57. T´opicos en Propagaci´on de Ondas M. I. Caicedo; P. J. Mora 56 Figura 4.1: Cuerda el´astica ideal. La forma escalar de esta ecuaci´on vectorial es el sistema de ecuaciones Tx(x − dx 2 ) + Tx(x + dx 2 ) = 0 (4.1) Ty(x − dx 2 ) + Ty(x + dx 2 ) = µ ∂2 t u(x, t) (4.2) donde Tx y Ty son las componentes horizontal y vertical de la tensi´on. Ahora bien, llamemos α(x) al ´angulo que forman la cuerda y el eje x en el punto x, as´ı que Tx = |T| cosα(x) and Ty = |T(x) senα(x) La primera hip´otesis que haremos ser´a considerar que la cuerda no ejerce resistencia a la flexi´on. Como consecuencia de esta hip´otesis, las tensiones son tangentes a la cuerda en cada punto, de acuerdo a esto tanα(x) = ∂x u(x, t). La segunda hip´otesis consistir´a en considerar un r´egiman de oscilaciones peque˜nas (esto es, que la amplitud de la oscilaci´on en cualquier instante y punto de la cuerda -u(x, t)- satisface la condici´on u(x, t) << L donde L es la longitud de la cuerda. De acuerdo a las hip´otesis que estamos haciendo, los ´angulos tambi´en son chicos, y por lo
  • 58. T´opicos en Propagaci´on de Ondas M. I. Caicedo; P. J. Mora 57 tanto cosα(x) ≈ 1, y senα(x) = senα(x + dx) ≈ tanα(x) = ∂xu(x, t). De ac´a sigue que |T(x + dx 2 )| − |T|(x − dx 2 ) ≈ 0 (4.3) lo que implica (en esta aproximaci´on) que la magnitud de la tensi´on es constante (|T(x)| = T), por otra parte, Ty(x − dx 2 ) + Ty(x + dx 2 ) = T ∂xu(x + dx 2 ) − ∂xu(x − dx 2 ) , (4.4) ahora bien, ∂xu(x + dx 2 ) − Tx(x − dx 2 ) = (∂xu(x, t) + ∂2 xu(x, t) dx 2 + . . . ) − −(∂xu(x, t) + ∂2 xu(x, t) −dx 2 + . . . ) (4.4) y de all´ı sigue que T ∂xu(x + dx 2 ) − Tx(x − dx 2 ) ≈ T∂2 xu(x, t) dx (4.5) Sustituyendo este resultado en la ecuaci´on para la aceleraci´on vertical del elemento de cuerda resulta ∂2 x u(x, t) − µ T ∂2 t u(x, t) = 0 (4.5) que no es otra cosa que la ecuaci´on de ondas unidimensional con velocidad de fase v = √ Tµ
  • 59. T´opicos en Propagaci´on de Ondas M. I. Caicedo; P. J. Mora 58 4.2. Consideraciones Energ´eticas 4.2.1. Flujo de Energ´ıa en Forma Diferencial Consideremos la tasa de cambio en la energ´ıa cin´etica de un peque˜no trozo de cuerda cuyos extremos est´an identificados por las coordenadas x y x + dx dK dt = dW dt , (4.5) donde dW dt es la potencia1 que desarrollan las fuerzas que act´uan sobre el peque˜no trozo de cuerda, es decir dW dt = (T(x + dx) + T(x)).v. (4.5) Como ya hemos discutido, la velocidad instant´anea (v) con que se desplaza el trozo de cuerda cuando a trav´es de este viaja una onda transversal (cuyo movimiento es solo en la direcci´on del vector ˆy = ˆ) est´a dada por v = ∂tu(x, t) ˆj. Sustituyendo de vuelta en la igualdad (4.2.1) queda dW dt = [Ty(x + dx) + Ty(x)] ∂tu(x, t). (4.5) Ahora bien, la componente vertical de la tensi´on no es otra cosa que Ty(x) = T∂xu(x, t) de manera que2 , dW dt = T[∂xu(x + dx) − ∂xu(x, t)]∂tu(x, t) = T∂2 xu(x, t)∂tu(x, t)dx + O(dx2 ), (4.5) 1 recuerde que la potencia instant´anea desarrollada por una fuerza (F) que act´ua sobre una part´ıcula que en un cierto instante t se mueve con velocidad v es P(t) = F.v 2 es necesario que insistamos en notar que el producto T∂xu(x, t) ∂tu(x, t) es la potencia desarrollada por la tensi´on que act´ua en el punto x
  • 60. T´opicos en Propagaci´on de Ondas M. I. Caicedo; P. J. Mora 59 as´ı, que en resumen, y despreciando los infinit´esimos de orden superior al primero, la rata de cambio de la energ´ıa cin´etica del peque˜no trozo de cuerda se puede poner como dK dt = T∂2 xu(x, t)∂tu(x, t) dx. (4.5) Por otra parte, la expresi´on ∂2 xu(x, t)∂tu(x, t) que aparece en el miembro derecho de esta ´ultima igualdad puede reescribirse como3 ∂2 xu(x, t)∂tu(x, t) = ∂x [∂xu(x, t)∂tu(x, t)] − ∂xu(x, t)∂2 xtu(x, t), (4.5) adicionalmente, es facil darse cuenta de que ∂xu(x, t)∂2 xtu(x, t) = ∂t[ 1 2 (∂xu(x, t)2 ] (4.5) de manera que ∂2 xu(x, t)∂tu(x, t) = ∂x [∂xu(x, t)∂tu(x, t)] − ∂t[ 1 2 (∂xu(x, t)2 ] (4.5) reinsertando este resultado en la identidad (4.2.1), y utilizando el hecho de que T =constante obtenemos el siguiente resultado parcial dK dt = ∂x [T∂xu(x, t)∂tu(x, t)] − ∂t[ T 2 (∂xu(x, t)2 ] dx. (4.5) Observando que la energ´ıa cin´etica del trozo de cuerda est´a dada por K = µ 2 (∂tu(x, t))2 dx (4.5) es posible reescribir la igualdad (4.2.1) en la forma ∂t µ 2 (∂tu(x, t))2 + T 2 (∂xu(x, t)2 dx = ∂x [T∂xu(x, t)∂tu(x, t)] dx. (4.5) 3 observe que esto no es m´as que el truco para hacer una integraci´on “por partes”: v du = d(vu) − dv u
  • 61. T´opicos en Propagaci´on de Ondas M. I. Caicedo; P. J. Mora 60 es decir: ∂t µ 2 (∂tu(x, t))2 + T 2 (∂xu(x, t)2 = ∂x [T∂xu(x, t)∂tu(x, t)] . (4.5) 4.2.2. Energ´ıa potencial El´astica de la Cuerda En este punto debemos detenernos a pensar en el significado de la cantidad T 2 (∂xu(x, t)2 que aparece en el lado izquierdo de la igualdad (4.2.1). Para ello consideremos la cuerda en reposo, en cuyo caso la longitud del trozo que estamos considerando es dl = dx. Durante el movimiento de la cuerda la longitud del mismo trozo de cuerda resulta ser: dl = dx2 + dy2 = 1 + ( dy dx )2 dx (4.5) pero, el cociente diferencial dy dx no es otra cosa que ∂xu de manera que dl = 1 + (∂xu)2 dx ≈ 1 + 1 2 (∂xu)2 dx (4.5) de acuerdo a esto, la longitud del elemento de cuerda cambia en la cantidad ds = dl − dx = 1 2 (∂xu)2 dx. El producto de la tensi´on T por esta cantidad, no es otra cosa que el trabajo realizado para cambiar la longitud de la cuerda, es decir, la energ´ıa potencial el´astica. 4.2.3. Flujo de Energ´ıa en Forma Integral Si pensamos ahora en un trozo de cuerda cuyos extremos est´en indexados por las coordenadas x1 y x2 (x1 < x2), podemos integrar en dx para obtener dE(x1, x2; t) dt = x2 x1 dx ∂x[∂xu ∂tu] (4.5)
  • 62. T´opicos en Propagaci´on de Ondas M. I. Caicedo; P. J. Mora 61 donde hemos definido la tasa de cambio en la energ´ıa de la cuerda (la potencia) como: dE(x1, x2; t) dt ≡ x2 x1 dx ∂t 1 2 µ (∂tu)2 + 1 2 T (∂xu)2 ) (4.5) podemos integrar esta expresi´on en el tiempo (entre un instante arbitrario y el instante t) para obtener la energ´ıa de la cuerda al instante t4 E(x1, x2; t) = x2 x1 dx 1 2 µ (∂tu)2 + 1 2 T (∂xu)2 ) (4.5) si observamos la dimensionalidad de los objetos que aparecen en esta igualdad resulta evidente que las cantidades uc ≡ 1 2 µ (∂tu)2 (4.6) ue ≡ 1 2 T (∂xu)2 (4.7) tienen unidades de energ´ıa por unidad de longitud ( energia longitud ) de manera que son densidades de energ´ıa. Lo que nos permite reescribir la energ´ıa en la siguiente forma5 E(x1, x2; t) = x2 x1 dx (uc + ue) (4.7) Ac´a resulta claro que cada trozo de cuerda “almacena”energ´ıa en forma de energ´ıa cin´etica y potencial Volviendo nuestra atenci´on a la expresi´on (4.2.3 para la tasa de cambio de la energ´ıa alma- cenada en la cuerda, podemos integrar el extremo derecho para obtener dE(x1, x2; t) dt = T∂xu(x2, t)∂tu(x2, t) − T∂xu(x1, t)∂tu(x1, t) (4.7) 4 Ac´a aparece una constante aditiva que no tomamos en cuenta porque corresponde a la escogencia libre de un valor de base para la energ´ıa potencial el´astica 5 que compararemos m´as adelante con un resultado an´alogo para el campo electromagn´etico
  • 63. T´opicos en Propagaci´on de Ondas M. I. Caicedo; P. J. Mora 62 El significado de esta ecuaci´on deber´ıa ser claro: Teorema 2 La tasa de cambio en la energ´ıa almacenada en un trozo de cuerda es igual a la potencia que se entrega en los extremos del trozo de cuerda. En este punto, y para prepararnos para cuando discutamos la teor´ıa electromagn´etica defi- namos el vector S(x, t) ≡ − T∂xu(x, t)∂tu(x, t)ˆi (4.7) y los vectores que definen las normales exteriores a los l´ımites x1 y x2 de la regi´on de inter´es: ˆn1 = −ˆı y ˆn2 = ˆi. En t´erminos de estos vectores, podemos reexpresar la f´ormula (4.2.3) como dE(x1, x2; t) dt = −(S(x2, t).ˆn2 + S(x1, t). ˆn1) (4.7) Ac´a bien vale la pena que nos entretengamos en un par de ejemplos expl´ıcito. Ejemplo 1 Consideremos una onda que viaja hacia la derecha u(x, t) = f(x − vt), y calculemos el vector S en este caso. Es claro que si f (x) = g(x) S(x, t) = vT g(x − vt) g(x − vt)ˆı (4.7) la forma de la dependencia espacio temporal de S, nos indica que S se comporta como una onda viajera que se propaga con la velocidad de fase v. Es claro que a´un tenemos una pregunta b´asica, ¿qu´e es S?. Para contestar esta pregunta seamos a´un m´as expl´ıcitos.
  • 64. T´opicos en Propagaci´on de Ondas M. I. Caicedo; P. J. Mora 63 Ejemplo 2 Consideremos una onda arm´onica monocrom´atica, u(x, t) = A cos(kx − ω t). En este caso, el vector S est´a dado por S = A2 k(−ω) T cos2 (kx − ω t) (−ˆı) = A2 v T cos2 (kx − ω t)ˆı (4.7) y el promedio de S en un per´ıodo temporal (calT = 2π ω completo es < S >= 1 T t+T t dt A2 v T cos2 (kx − ω t)ˆı = v T 2 A2 ˆi (4.7) Estos ejemplos nos ense˜na dos cosas, la onda porta energ´ıa hacia la derecha, m´as a´un, el vector S no es otra cosa que una medida de la potencia instant´anea que la onda entrega en cada punto de la cuerda. En el caso particular del segundo ejemplo, la potencia media que la onda entrega en un punto arbitrario de la cuerda (< S(x, t) >) es proporcional al cuadrado de la amplitud, esto es caracter´ıstico de las ondas lineales e induce la introducci´on de una cantidad denominada intensidad, que en el caso de las ondas que se propagan en el espacio es la potencia instant´anea que la onda deposita en un ´area unitaria ortogonal al vector que describe la propagaci´on de la energ´ıa. 4.2.4. La Ecuaci´on de Continuidad Resumiendo haste este ac´a, hemos aprendido que la ecuaci´on para el flujo de energ´ıa en un punto de la cuerda puede ponerse en la forma ∂t ρ(x, t) + ∂x Sx(x, t) = 0 (4.7)
  • 65. T´opicos en Propagaci´on de Ondas M. I. Caicedo; P. J. Mora 64 en donde la densidad de energ´ıa ρ est´a dada por ρ(x, t) = uc(x, t) + ue(x, t) (4.7) Es importante que en este momento desviemos completamente nuestra atenci´on y pensemos en otro problema f´ısico. Consideremos un objeto de volumen V que pretendemos cargar el´ectri- camente con una corriente I, ciertamente, la relaci´on entre la carga del objeto y la corriente es dQ dt = I, (4.7) ahora bien, la carga total del objeto es evidentemente: Q = V dv ρ (4.7) donde ρ es la densidad volum´etrica con que la carga el´ectrica se distribuye en el objeto, mientras que la corriente que penetra al objeto es I = − S J.ˆn ds donde J es el vector de densidad de corriente el´ectrica por unidad de ´area, y S la superficie cerrada que define al objeto. De estamanera, la igualdad (4.2.4) que representa nada m´as y nada menos que la ley de conservaci´on de la carga puede reexpresarse en la forma V dv ∂tρ + S J.ˆn ds = 0 (4.7) usando el teoremade la divergencia, esta igualdad puede escribirse como V dv [∂tρ + .J] = 0 (4.7) que por ser una identidad v´alida para cualquier volumen implica a su vez que -expresando .J en forma desarrollada ∂tρ + ∂xJx + ∂yJy + ∂zJz = 0 (4.7)
  • 66. T´opicos en Propagaci´on de Ondas M. I. Caicedo; P. J. Mora 65 que es entonces la forma diferencial de la ley de conservaci´on de la carga para una distribuci´on cont´ınuade carga el´ectrica que es transportada por el vector J. Las ecuaciones del tipo ∂tφ + .V = 0 (4.7) en donde φ es la densidad volum´etrica asociada a alguna cantidad f´ısica y V un vector que transporta dicha cantidad se conocen como ecuaciones de continuidad y expresan la conservaci´on de la cantidad f´ısica. As´ı, por ejemplo, un fluido de densidad ρ que es transportado a velocidad v tiene un vector de densidad de corriente dado sencillamente por J = ρv (note que las unidades de J son gr/(cm2 × seg)), de manera que la conservaci´on de la cantidad de fluido se expresa en forma diferencial como ∂tρ + .(ρv) = 0 (4.7) Esta disgresi´on nos muestra claramente, que la igualdad (4.2.4 con que empezamos esta secci´on no es otra cosa que la ley de conservaci´on de la energ´ıa expresada como una ecuaci´on de continuidad para la densidad de energ´ıa en la cuerda y el vector S de transporte de potencia. 4.3. La cuerda con extremos fijos En esta secci´on queremos discutir las oscilaciones transversales de una cuerda tensa cuyos extremos localizados en x = 0 y x = L est´an fijos, esto es, que los valores de u(x, t) deben satisfacer las condiciones de frontera u(0, t) = 0 (4.8) u(L, t) = 0 (4.9)
  • 67. T´opicos en Propagaci´on de Ondas M. I. Caicedo; P. J. Mora 66 La soluci´on de D’Alambert es particularmente adecuada para problemas en que la longitud del intervalo es muy larga y el movimiento de la cuerda hacia los extremos es nulo. Para resolver el problema particular que nos interesa en esta secci´on la soluci´on de D’Alambert presenta ciertos inconvenientes t´ecnicos y resulta mejor buscar la soluci´on del problema de valores inciales. 4.3.1. Problemas de contorno y series de Fourier Para resolver el problema de la cuerda vibrante con extremos fijos (y otros parecidos) se utiliza una t´ecnica conocida como separaci´on de variables, que consiste en proponer el siguiente anzats6 para resolver la ecuaci´on de ondas unidimensional. u(x, t) = X(x)T(t), (4.9) al sustituir esta funci´on en la ecuaci´on de ondas se obtiene X T − 1 v2 X ¨T = 0 (4.9) donde ahora las derivadas no son parciales sino ordinarias ( = d dx , ˙= d dx ), la ecuaci´on (4.3.1) se puede reescribir en la forma X T = 1 v2 X ¨T (4.9) y ac´a es que podemos hacer la observaci´on que sustenta el m´etodo: ‘!cada uno de los lados de esta ecuaci´on tiene que ser constante!, en consecuencia, el anzats de separaci´on de variables convierte el problema de resoluci´on de la ecuaci´on de ondas unidimensional en el de resolver dos ecuaciones 6 una soluci´on de este tipo es denominada soluci´on en variables separadas
  • 68. T´opicos en Propagaci´on de Ondas M. I. Caicedo; P. J. Mora 67 ordinarias dependientes de un par´ametro real denominado constante de separaci´on como sigue: X X = κ2 (4.10) 1 v2 ¨T T = κ2 (4.11) Para el caso que nos ocupa hay tres posibilidades: κ2 = 0, κ2 > 0 y κ2 < 0 En el primer caso κ = 0 la ecuaci´on para X es la siguiente X = 0, (4.11) con soluci´on X(x) = Ax + B, al evaluar las condiciones de borde obtenemos X(0) = A0 + B = 0, y (4.12) X(L) = AL + B = 0 (4.13) que es un sistema lineal que solo posee la soluci´on trivial (A = 0, B = 0). El segundo caso: κ2 > 0 tambi´en lleva (ejercicio) a X(x) = 0 Finalmente, el caso κ2 < 0 lleva a un an´alisis m´as interesante, que comienza por observar la ecuaci´on diferencial para X X = −κ2 X = 0 (4.13) cuya soluci´on general es bien conocida X(x) = Asen(κx) + Bcos(κx) (4.13) Al evaluar las condiciones de frontera obtenemos de nuevo un sistema lineal para los coeficiente, en este caso:    0 1 sen(κL) cos(κL)       A B    =    0 0    , (4.13)
  • 69. T´opicos en Propagaci´on de Ondas M. I. Caicedo; P. J. Mora 68 que en notaci´on compacta reescribimos como: MA = 0 (4.13) donde M =    0 1 sen(κL) cos(κL)    y A =    A B    (4.13) La existencia de soluciones no triviales para el sistema (4.3.1) est´a definida por la no inversibil- idad de la matriz M, que a su vez est´a dada por la nulidad de su determinante, al estudiar esta condici´on obtenemos det(M) = 0 ⇐⇒ sen(κL) = 0 (4.13) esta condici´on implica las siguientes condiciones para el valor de κ (existencia de un n´umero infinito de autovalores) κ × L = nπ, n = 1, 2, . . . (4.13) o equivalentemente κ = nπ L , n = 1, 2, . . . (4.13) al reinsertar esto en el problema lineal queda    0 1 0 cos(nπ)       A B    =    0 0    (4.13) que implica: B = 0 y A arbitrario. De manera que las soluciones espaciales (autofunciones) compatibles con las condiciones de frontera tienen la forma Xn(x) = Asen( nπx L ) (4.13)
  • 70. T´opicos en Propagaci´on de Ondas M. I. Caicedo; P. J. Mora 69 Para construir la parte temporal (T(t)) asociada a cada soluci´on espacial factible, debemos recordar que T obedece la ecuaci´on general: 1 v2 ¨T T = −κ2 , de manera que para cada autofunci´on espacial, la funci´on temporal correspondiente estar´a dada por la soluci´on general de 1 v2 ¨T T = − n2 π2 L2 (4.13) donde debemos destacar la dependencia en el autovalor, al reescribir esta ecuaci´on en la forma ¨T = n2 π2 v2 L2 T (4.13) y definiendo ω2 = n2π2v2 L2 resulta ¨T = −ω2 nT (4.13) de donde sigue que Tn(t) = ansen(ωnt) + bncos(ωnt) (4.13) de esta manera, al multiplicar por la soluci´on espacial correspondiente obtenemos un(x, t) = [asen(ωnt) + bcos(ωnt)]sen( nπx L ) (4.13) Ahora bien, debemos notar que para cada n un(x, t) es una soluci´on de la ecuaci´on de ondas que sartisface las condiciones de frontera, sin embargo, como la ecuaci´on es lineal, la super- posici´on de soluciones tambi´en es soluci´on, de manera que -por ejemplo-, la funci´on: u(x, t) = un1 (x, t) + un2 (x, t) es soluci´on de la ecuaci´on de ondas. Este razonamiento puede extenderse a la superposici´on de un n´umero arbitrario de soluciones de manera que, la soluci´on m´as general de la ecuaci´on de ondas compatible con las condiciones
  • 71. T´opicos en Propagaci´on de Ondas M. I. Caicedo; P. J. Mora 70 de frontera que hemos dado estar´a dada por la siguiente superposici´on infinita de soluciones: u(x, t) = ∞ n=1 [an sen(ωnt) + bn cos(ωnt)]sen( nπx L ) (4.14) ω = v nπ L (4.15) Donde evidentemente, a´un tenemos un n´umero infinito de constantes arbitrarias que se de- terminan a partir de las condiciones iniciales: u(x, 0) = φ(x) y ∂tu(x, 0) = ψ(x). Antes de abocarnos al c´alculo de las constantes es importante que destaquemos que inicial- mente busc´abamos una soluci´on en variables separadas y que hemos encontrado una soluci´on general que obviamente no posee esta estructura pero (y esto es notable) que est´a expresada como superposici´on de soluciones separadas. M´as aun, es posible demostrar que (bajo ciertas condiciones), la serie as es convergente y que cualquier soluci´on de la ecuaci´on de ondas puede ser aproximada por una serie del tipo (4.14) tanto como se quiera. 4.3.2. C´alculo de los coeficientes En la secci´on anterior hab´ıamos encontrado una expresi´on para la soluci´on general del prob- lema que describe las oscilaciones transversales de una cuerda con sus extremos fijos en x = 0 y x = L, a saber: u(x, t) = ∞ n=1 [ansen(ωnt) + bncos(ωnt)] sen( nπx L ) (4.15) y hab´ıamos comentado acerca de la necesidad de utilizar las condiciones iniciales para evaluar los coeficientes, labor a que nos vamos as dedicar a continuaci´on. Al evaluar las condiciones iniciales: u(x, 0) = φ(x) y ∂t u(x, 0) = ψ(x) se obtiene:
  • 72. T´opicos en Propagaci´on de Ondas M. I. Caicedo; P. J. Mora 71 u(x, o) = ∞ n=1 [ansen(ωn0) + bncos(ωn0)] sen( nπx L ) = u(x) (4.16) ∂t u(x, o) = ∞ n=1 [anωncos(ωn0) − bnωnsen(ωn0)] sen( nπx L ) = v(x) (4.17) esto es: φ(x) = ∞ n=1 bn sen( nπx L ) (4.18) ψ(x) = ∞ n=1 anωn sen( nπx L ) (4.19) Dicho en pocas palabras: los coeficientes an y ωn bn son los coeficientes de los desarrollos en serie de Fourier unidimensional de las funciones φ(x) y ψ(x). Ahora bi´en, cabe preguntarse ¿c´omo se calculan los coeficientes?. Para contestar esta pregunta concentr´emonos en calcular los coeficientes de la primera de estas series (4.18). para ello comencemos por multiplicar ambos lados de la igualdad por sen(pπx L ) luego de lo cual vamos a integrar entre 0 y L para obtener: L 0 sen( pπx L ) φ(x)dx = ∞ n=1 bn L 0 sen( pπx L )sen( nπx L )dx (4.19) donde “abusivamnete”hemos invertido el orden de la suma y la integraci´on. Ahora bien, el siguiente resultado (ejercicio) L 0 sen( pπx L )sen( nπx L )dx ==    L 2 si n = p 0 si = p (4.19)
  • 73. T´opicos en Propagaci´on de Ondas M. I. Caicedo; P. J. Mora 72 Que puede reescribirse como L 0 sen( pπx L )sen( nπx L )dx = L 2 δnp (4.19) donde δmn =    1 si n = p 0 si n = p (4.19) permite demostrar sin ning´un problema que bp = 2 L L 0 sen( pπx L )u(x)dx (4.19) an´alogamente: ap = 2 ωpL L 0 sen( pπx L )u(x)dx (4.19) De esta manera, hemos calculado los coeficientes de la representaci´on en serie de la soluci´on al problema que nos interesaba. Probablemente, uno de los comentarios m´as importante que podemos hacer en este momento sea el siguiente: Los coeficientes de una serie de Fourier son ´unicos. Esto significa que si de alguna manera -diferente a calcular- somos capaces de encontrar los coeficientes, ya no har´a falta nada m´as por hacer. A este respecto vale la pena comentar un ejemplo sencillo. Supongamos que las condiciones iniciales para un problema son φ(x) = 1 2 sen( 2π x L ) (4.20) ψ(x) = v 3 sen( 3π x L ) (4.21)