Physthones 0 1

libro abierto / serie manuales Pablo M. Garc´ Corzo
ıa

Proyecto Physthones
Simulaciones F´
ısicas en Visual Python ¬¬¬¬ 0.1

Un libro libre de Alqua

physthones

531(07)

ALQ
Proyecto Physthones

† lomo para ediciones impresas

Dedicado
A todos los que se molestan en utilizar tizas de colores porque ayudan a ense˜ar
n

http://alqua.org/documents/physthones

Pablo M. Garc´ Corzo
ıa ozrocpablo@gmail.com http://alqua.org

Proyecto Physthones
versi´n 0.1
o
17 de octubre de 2008

alqua,madeincommunity

c
copyleft
Copyright (c) 2008 Pablo M. Garc´ Corzo.
ıa
Esta obra est´ bajo una licencia Reconocimiento - NoComercial - CompartirIgual 2.5 de Creative Com-
a
mons. Para ver una copia de esta licencia visite http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/2.5/es o
escriba una carta a Creative Commons, 171 Second Street, Suite 300, San Francisco, Califorina 94105,
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Serie manuales

Area f´
´ ısica computacional

CDU 531(07)

Editores
Pablo M. Garc´ Corzo
ıa ozrocpablo@gmail.com

Notas de producci´n
o

´
Plantilla latex-book-es-b.tex, v. 0.1 (C) Alvaro Tejero Cantero.
compuesto con software libre

´
Indice general

Portada I

Copyleft VI

´
Indice general VII

1. Objetivos y capacidades (A modo de pr´logo)o 1
1.1. Primeros pasos en la f´
ısica computacional . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.2. ¿Por qu´ Python? . . . . . . . . . . . . .
e . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.3. Visual Python . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.3.1. Instalaciń del sistema . . . . . . .
o . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

2. Toma de contacto: Python y Visual-Python 5
2.1. Python e IDLE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
2.2. Visual . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
2.2.1. Operando con vectores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
2.2.2. Listas y diccionarios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
2.2.3. L´gica . . . . . . . . . . . . . . .
o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
2.2.4. Bucles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
2.2.5. Rebota Mundo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

3. Modelos diferenciales 11
3.1. Tiro parab´lico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
o . . . . . . . . 11
3.1.1. F´ısica del tiro parab´lico . . . . . . . . . . . . . . .
o . . . . . . . . 11
3.1.2. Construcciń de una escena . . . . . . . . . . . . . .
o . . . . . . . . 12
3.1.3. Animaciń . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
o . . . . . . . . 13
3.1.4. Visualizaciń de las fuerzas de Coriolis . . . . . . . .
o . . . . . . . . 16
3.2. El pńdulo simple y la aproximaciń para ńgulos pequeõs
e o a n . . . . . . . . 19
3.2.1. La gracia del pńdulo . . . . . . . . . . . . . . . . .
e . . . . . . . . 19
3.2.2. El oscilador armńico . . . . . . . . . . . . . . . . .
o . . . . . . . . 19
3.2.3. ¿Es el pńdulo un oscilador armńico? . . . . . . . .
e o . . . . . . . . 20
3.2.4. Pńdulo simple y aproximaciń armńica . . . . . .
e o o . . . . . . . . 21
3.3. El pńdulo inercial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
e . . . . . . . . 23
3.3.1. Un simp´tico s´lido r´
a o ıgido en rotaciń . . . . . . . .
o . . . . . . . . 23
3.3.2. Construcciń de la simulaciń . . . . . . . . . . . . .
o o . . . . . . . . 27
3.4. Breve introducciń al caos . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
o . . . . . . . . 29
3.4.1. El atractor de Lorenz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

vii

´
INDICE GENERAL

3.4.2. Construcciń del m´dulo
o o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

4. Modelos determin´ ısticos y estoc´sticos
a 33
4.1. Simulaciń de un gas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
o . . . . 33
4.1.1. Precedentes hist´ricos: Teor´ de la gravitaciń de Le Sage
o ıa o . . . . 33
4.1.2. Teor´ cin´tica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
ıa e . . . . 34
4.1.3. Distribuciń de velocidades . . . . . . . . . . . . . . . . . .
o . . . . 36
4.1.4. Magnitud de las velocidades moleculares . . . . . . . . . . . . . . . 36
4.1.5. Magnitudes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
4.1.6. Choques el´sticos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
a . . . . 37
4.1.7. Reversibilidad e irreversibilidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
4.1.8. Conclusiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
4.2. Breve introducciń a los m´todos Montecarlo . . . . . . . . . . . .
o e . . . . 48
4.2.1. Simulaciń de crecimiento de dendritas . . . . . . . . . . .
o . . . . 49

5. Jugando con Visual Python 55
5.1. Visual Pong . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
5.2. Space Rebounder Racing . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

Bibliograf´
ıa 65

Historia 67

Creative Commons Deed 69

El proyecto libros abiertos de Alqua 71

Otros documentos libres 75

viii Proyecto Physthones - 0.1

1 Objetivos y capacidades (A modo de
pr´logo)
o
Este documento pretende ser una presentaciń que sirva de gu´ sobre la que construir
o ıa
un taller de simulaciones f´ısicas con Visual Python.
No debe entenderse, por tanto, como un tutorial de Visual Pythonni como un texto
de f´
ısica computacional.
El proyecto Physthones pretende transmitir un carćter transgresor e innovador y
a
parte de ello estar´ en el nuevo paradigma pedag´gico hacker que viene a ser una actua-
a o
lizaciń de la academia de Platń.
o o
El hacker no aprende asistiendo a clases magistrales para escuchar la lecciń, el hacker
o
decide modificar (hackear) un programa que otro hab´ escrito para adaptarlo a una
ıa
nueva necesidad y en el camino, a base de e-mails (con el propio autor u otros integrantes
de la comunidad, a menudo verdaderos expertos) y b´squedas en la red obtiene los
u
conocimientos necesarios.
Creemos que este modelo encaja a la perfecciń en la nueva ideolog´ que est´ tratando
o ıa a
de implantarse en nuestra universidad de menos clases presenciales y m´s trabajo por
a
parte del alumno. Por eso creemos importante resaltar que lo que queremos conseguir no
es tanto un curso sino un taller en el que haya lugar para la interactividad y el desarrollo
comunitario.

1.1. Primeros pasos en la f´
ısica computacional
La f´
ısica computacional se ha ido convirtiendo en una herramienta de trabajo indis-
pensable para cualquier f´ ısico ya sea experimental o te´rico.
o
La experiencia directa de los integrantes del proyecto nos dec´ que los alumnos (incluso
ıa
los ya licenciados) no tienen apenas capacidad para sacar provecho a las posibilidades
que les brinda un ordenador m´s all´ de el an´lisis estad´
a a a ıstico de datos experimentales
(conocimiento adquirido, todo sea dicho, de manera autodidacta por el alumno) y algunos
ejercicios meramente acad´micos y poco aplicables de c´lculo num´rico y programaciń.
e a e o
Consideramos importante reforzar, pues estos conocimientos en el curr´ ıculum de un f´
ı-
sico y si bien no pretendemos alcanzar este objetivo con el presente curso, s´ que podemos
ı
allanar los primeros pasos en ese camino.
No creemos que deba ser nuestro objetivo en este pequeõ curso dar una introducciń
n o
formal a la f´ısica computacional. Sin embargo, un ordenador no excesivamente moderno
permite obtener resultados suficientemente satisfactorios con los algoritmos m´s sencillos
a
con s´lo hacer suficientemente pequeõ el paso diferencial y por tanto no se hace necesario
o n

1

1 Objetivos y capacidades (A modo de pr´logo)
o

en esta primera aproximaciń el uso de tćnicas sofisticadas de c´lculo num´rico ni
o e a e
meternos en complicaciones innecesarias.
Una primera aproximaciń a la f´
o ısica computacional integrada en los primeros cursos
de f´
ısica puede permitir, por ejemplo, que el alumno vea la mecńica como algo m´s
a a
que un pequeõ conjunto de soluciones anal´
n ıticas m´s o menos acad´micas. Chabbay y
a e
Sherwood introducen estas ideas en su curso de f´ ısica general de primer aõ de carrera
n
obteniendo excelentes resultados y proponiendo la experiencia para una reforma del
curr´
ıculum de f´ısica en la universidad [3].

1.2. ¿Por qu´ Python?
e
Cuando hemos presentado este proyecto en alguna conversaciń como la elaboraciń
o o
de un conjunto de simulaciones f´ ısicas para la docencia, surge inevitablemente la compa-
raciń inmediata con los extendidos “fislets” en Java y suelen sugerir que quiz´ estemos
o a
reinventando la rueda.
Desde luego, hay muchos lenguajes y sistemas posibles para llevar a cabo este pro-
yecto, no s´lo los applets de Java promiscuamente distribuidos por internet, tambiń el
o e
menos conocido Box2D (ActonScript, Flash) o las opciones de visualizaciń que integran
o
cualquiera de los muchos paquetes num´ricos y algebraicos como Matlab, Mathematica,
e
Maple...
Por un lado, quer´ ıamos utilizar software libre (no en vano la idea surgi´ en en el Grupo
o
de Software Libre) y quer´ ıamos un sistema multiplataforma que pudiese utilizarse en
cualquier m´quina.
a
Otro de los requisitos que le ped´ ıamos al sistema era que fuese lo m´s sencillo posible,
a
pues quer´ ıamos romper esa “caja negra” en que se convierten a nuestros ojos los fislets
java que encontramos por la red. La gran mayor´ de los alumnos que llegan a los primeros
ıa
cursos de f´ ısica no han programado nada en su vida. Incluso en cursos superiores nos
encontramos con que un porcentaje demasiado grande no han ido m´s all´ de los ejercicios
a a
propuestos en el curso de introducciń al c´lculo num´rico (actualmente impartido con
o a e
Matlab en esta casa).
Por lo tanto el sistema deb´ ser lo m´s sencillo posible.
ıa a
Python nos ofrec´ esa sencillez y elegancia como lenguaje de iniciaciń[5] y adem´s
ıa o a
una gran cantidad de librer´ y una importante comunidad de usuarios y desarrolladores
ıas
que lo soportan.

1.3. Visual Python
La visualizaciń y creaciń de escenas din´micas tridimensionales (y no s´lo el plo-
o o a o
teando de funciones) pueden tener un gran valor didćtico en muchos aspectos de la f´
a ısica
b´sica como la din´mica del s´lido r´
a a o ıgido, la din´mica de fluidos o el electromagnetismo.
a
David Scherer crea desde la universidad Carnegie Mellon en el aõ 2000 un m´dulo de
n o
gr´ficos tridimensionales para Python extremadamente sencillo de usar llamado Visual.
a

2 Proyecto Physthones - 0.1

1.3 Visual Python

El programador no tiene que lidiar con la complicaciń de las capacidades gr´ficas. S´lo
o a o
debe describir los objetos en un lenguaje algebraico, natural para los f´
ısicos.
Con Visual Pythonno s´lo se trata de que se haga sencilla la generaciń de escenas
o o
tridimensionales en movimiento, sino que el lenguaje algebraico que utiliza mantiene la
coherencia con el utilizado en los cursos tradicionales, no suponiendo su inclusiń en un
o
curso de f´
ısica fundamental una extensiń sensible del temario sino un refuerzo positivo
o
en el manejo de estas herramientas.

1.3.1. Instalaciń del sistema
o
Desde la p´gina web del proyecto Visual Python(http://vpython.org) nos ofrecen unas
a
instrucciones concisas y claras para realizar una instalaciń de todo lo necesario para
o
windows, Linux y Mac con s´lo un par de clicks.
o
Adem´s, Visual Pythonest´ integrado en los repositorios de paquetes de la mayor´ de
a a ıa
las distribuciones Linux.

http://alqua.org/documents/physthones 3

1 Objetivos y capacidades (A modo de pr´logo)
o


2 Toma de contacto: Python y
Visual-Python

No pretendemos convertir esto en un tutorial de python, s´lo dar un breve paseo
o
explicado sobre c´mo trabajar en este sistema partiendo de cero.
o

2.1. Python e IDLE

Python es un lenguaje interpretado, por lo que nos brinda la posibilidad de trabajar
en sesiones interactivas utiliz´ndolo como una calculadora programable.
a
No obstante, lo c´modo normalmente ser´ escribir en archivos con cadenas de coman-
o a
dos (scripts) y pedir al sistema que los interprete todos de golpe.
Para programar necesitaremos, pues, el int´rprete de python y un editor de texto.
e
Como edito podr´ ıamos utilizar cualquiera capaz de leer y escribir en texto plano, como
el notepad de windows (no MSWord), emacs, vi, pico, scite... o IDLE, que es el que
viene incluido con la distribuci´n de python, est´ especialmente pensado para el tipo
o a
de tareas que vamos a realizar y nos ayudar´ en determinadas ocasiones. Por ejemplo,
a
cuando queramos ejecutar el archivo en el que estamos trabajando s´lo tendremos que
o
pulsar F5.
Cuando ejecutemos IDLE, tendremos una ventana con la consola interactiva de python
en la que podr´
ıamos hacer, por ejemplo, una cuenta simple.

Figura 2.1: Ventana interactiva de IDLE

5

2 Toma de contacto: Python y Visual-Python

2.2. Visual
En cuanto a Visual Python, serń un m´dulo que debemos cargar en python y nos
a o
permitir´ dibujar sobre la marcha escenas tridimensionales:
a
from v i s u a l import ∗
c a j a=box ( pos=v e c t o r ( 4 , 2 , 3 ) , s i z e = ( 8 . , 4 . , 6 . ) , c o l o r=c o l o r . r e d )
b o l a=s p h e r e ( pos=v e c t o r ( 4 , 7 , 3 ) , r a d i u s =2, c o l o r=c o l o r . g r e e n )

La primera l´ınea simplemente le dice a python que queremos utilizar las herramientas
de la clase visual (es decir, Visual Python). Lo normal y recomendable en python ser´ ıa
llamar a la librer´ simplemente con un import visual. Lo que hacemos al llamarlo con el
ıa
from es escribir simplemente box(...) en lugar de visual.box(...). Esto es peligroso hacerlo
por norma pues dos librer´ diferentes pueden tener funciones con nombres iguales y
ıas
causar problemas que del otro modo evitar´ ıamos. Sin embargo por comodidad en el tipo
de cosas que vamos a hacer utilizaremos este otro m´todo.
e

Figura 2.2: Nuestro “hola mundo” en python

Vemos que el lenguaje es bastante intuitivo. Definiremos las coordenadas con vectores
en los que la coordenada x es la horizontal, la y la vertical y la z la perpendicular a la
pantalla.
Una vez definido un objeto con unas ciertas propiedades, podemos cambiar ´stas sobre
e
la marcha o aãdir nuevas que no estuvieran definidas:
n
caja . s i z e =(8 ,0.1 ,8)
c a j a . pos =(0 , −1 ,0)
b o l a . pos = ( 0 , 3 , 0 )
b o l a . r a d i u s =1
b o l a . masa=1
b o l a . v e l=v e c t o r (0 , −1 ,0 )

Al definir la velocidad de la bola, hemos especificado que se trata de un vector. En
general esto es necesario en Visual Pythonpara poder operar. No es necesario en el caso
de las posiciones porque el sistema sabe ya que deben ser vectores, pero en los casos
restantes deberemos especificarlo.


2.2 Visual

2.2.1. Operando con vectores
Con vectores podemos hacer las operaciones b´sicas de suma, producto por un escalar,
a
producto escalar, producto vectorial, obtener la norma de un vector o su magnitud.
a = vector ( 1 . , 2 . , 3 . )
b = vector ( 4 . , 5 . , 6 . )
c=a+b
c =3.5∗ a
c=dot ( a , b )
c=c r o s s ( a , b )
c=norm ( a )
c=mag( a )
c=mag( a ) ∗∗2
c=a /1
c=a / 1 .

Para la exponencial se utiliza en doble asterisco (como en gnuplot).
Hay que tener cuidado con las divisiones entre enteros. Aunque python no es tipado
(no hay que deﬁnir expl´ıcitamente qu´ tipo de variable vamos a usar) s´ que diferencia
e ı
entre tipos y debemos tener cuidado con eso al operar.

2.2.2. Listas y diccionarios
Una cosa b´sica y tremendamente util en python son las listas y los diccionarios.
a ´
Una lista es una serie de cosas (variables, objetos, vectores, nuevas listas anidadas...)
ordenadas con un ´ındice que empieza en cero:
moons = [ Io , Europa , Ganymede , C a l l i s t o ]
print moons [ 1 ]

Un diccionario es una lista de pares asociados:
edad={ ’ M a r g a r i t a ’ : 12 , ’ Pedro ’ : 10 , ’ L u i s ’ : 15 }
print edad [ ’ Pedro ]

2.2.3. L´gica
o
Es una base important´
ısima de todo lenguaje de programaci´n. Supongamos que que-
o
remos hacer que una pelota rebote en el suelo:
s i l a coordenada y de l a p e l o t a e s menor que c e r o :
e n t o n c e s su v e l o c i d a d pasa a s e r p o s i t i v a
y su p o s i c i ´ n , c e r o .
o

Llevando esto a la realidad de python:



i f b o l a . pos . y < 0 :
b o l a . v e l ∗=−1
b o l a . pos . y=0

N´tese que no hay, como en otros lenguajes de programaciń, un cierre de la condiciń.
o o o
Python interpreta el indentado de la sintaxis como que todo lo que venga “metido hacia
la derecha” del if ser´ lo que deba leer s´lo si la condiciń se satisface.
a o o
Esto es una gran ventaja pedag´gica para aprender a programar con un orden ade-
o
cuado. El indentado estńdar en python es de 4 espacios.
a

2.2.4. Bucles
Serń la base del movimiento. Podemos decir que mientras se cumpla tal condiciń se
a o
repitan una serie de comandos. En el siguiente ejemplo vemos c´mo dada una velocidad
o
para una part´ıcula y un intervalo de tiempo peque˜ito (diferencial) podemos animar el
n
sistema. Es un esbozo de lo que se llama el m´todo de diferencias finitas.
e
t=0
dt =0.001
while t < 1 0 0 :
t=t+dt

b o l a . v e l=b o l a . a c e l ∗ dt
b o l a . pos=b o l a . v e l ∗ dt

Otra opciń interesante de los bucles es la de recorrer listas con, por ejemplo, cada
o
una de las part´
ıculas de un sistema.
t=0
dt =0.001
while t < 1 0 0 :
t=t+dt
f o r b o l a in l i s t a b o l a s :
b o l a . v e l=b o l a . a c e l ∗ dt
b o l a . pos=b o l a . v e l ∗ dt

2.2.5. Rebota Mundo
Con lo que hemos aprendido ya podemos construir escenas y animarlas. Veamos una
bola que cae por acciń de la gravedad y rebota en el suelo:
o
grav=v e c t o r (0 , −10 ,0)
b o l a=s p h e r e ( pos = ( 0 , 5 , 0 ) , r a d i u s =1, c o l o r=c o l o r . g r e e n )
s u e l o=box ( s i z e = ( 8 , 0 . 1 , 8 ) , pos =(0 , −1 ,0) , c o l o r=c o l o r . r e d )


2.2 Visual

b o l a . v e l=v e c t o r ( 0 , 0 , 0 )
dt =0.01
t=0
while t < 3 0 :
t+=dt
b o l a . v e l+=grav ∗ dt
b o l a . pos+=b o l a . v e l ∗ dt
i f b o l a . pos . y < 0 :
b o l a . v e l ∗=−1
b o l a . pos . y=0
rate (50)

El rate(50) deﬁne el n´mero de frames por segundo que deben visualizarse. Sin ´l,
u e
la animaci´n no ser´ observable. Jugando con este valor y el intervalo de tiempo dt
o ıa
podemos crear las animaciones en tiempo real.


3 Modelos diferenciales
En este cap´ ıtulo vamos a ver varios ejemplos de modelos diferenciales.
En la f´
ısica se utilizan constantemente modelos descritos a trav´s de ecuaciones dife-
e
renciales, la mayor´ de los cuales no tienen soluciones anal´
ıa ıticas.
Por norma general, en los primeros cursos de f´ ısica s´lo se estudian problemas con
o
soluciones anal´ ıticas sencillas dejando aquellos cuyas soluciones son m´s complejas para
a
cursos superiores.
De los problemas sin soluciones anal´ ıticas se puede hacer un estudio para obtener datos
importantes acerca de su comportamiento y se pueden obtener soluciones aproximadas.
A continuaciń vamos a ver el modo m´s sencillo de obtener una gran cantidad de
o a
informaciń de sistemas de ecuaciones diferenciales arbitrarios.
o

3.1. Tiro parab´lico
o
Vamos a construir un ejemplo muy simple que sirva para comenzar a entender el
lenguaje y la forma de implementar modelos diferenciales. Si bien las soluciones del
tiro parab´lico no debieran tener ya secretos para nosotros nos servir´ para entender el
o a
m´todo num´rico que vamos a utilizar.
e e

3.1.1. F´
ısica del tiro parab´lico
o
Vamos a tratar este problema con un an´lisis newtoniano lo m´s simple e intuitivo
a a
posible.
Tenemos un sistema de ecuaciones diferenciales tal que:

v= dx
x = x0 + vdt
dt → (3.1)
a= dv
dt = (0 , −g , 0) v = v0 + adt

Donde g es la aceleraciń de la gravedad (constante).
o
Partiendo de una posiciń inicial x0 y una velocidad inicial v0 , aplicaremos las ecua-
o
ciones utilizando un dt arbitrario lo m´s pequeõ posible. Con ello obtenemos la posiciń
a n o
y velocidad en el instante siguiente. Repetimos el procedimiento tomando como v0 y x0
los nuevos valores obteniendo entonces el siguiente paso, y as´ sucesivamente. Esta es la
ı
base del bucle que construiremos para la simulaciń.
o
Cuando dt → 0 la soluciń ser´ exacta.
o a

11


3.1.2. Construcciń de una escena
o
En las primeras l´ıneas debemos llamar a las librer´ de Python necesarias, en este
ıas
caso s´lo el m´dulo Visual que generar´ los gr´ficos tridimensionales.
o o a a
Despu´s generamos la ventana donde se visualizarń los gr´ficos llamńdola scene y
e a a a
le daremos como atributos un t´ ıtulo y le decimos que no queremos que haga autoscale.
El autoscale lo que hace es mover el zoom de la c´mara para que todos los objetos se
a
vean. Suele resultar bastante inc´modo y el botń central del ratń nos permitir´ hacer
o o o a
eso manualmente sobre la marcha.
s c e n e=d i s p l a y ( )
scene . t i t l e=’ Tiro p a r a b o l i c o ’
s c e n e . a u t o s c a l e =0

Ahora vamos a definir unos valores iniciales para el problema, que serń la posiciń y
a o
velocidad de la part´
ıcula en el instante inicial.
pos=v e c t o r ( −10 ,0 ,0 )
v e l=v e c t o r ( 1 0 , 1 0 , 0 )

A continuaciń, definimos los objetos que formarń parte de nuestra escena. B´sica-
o a a
mente necesitaremos el suelo, que definiremos como un paralelep´ ıpedo (box ) muy estre-
cho, el proyectil ser´ una esfera y dibujaremos un cilindro que haga las veces de ca˜ń
a no
(por motivos meramente est´ticos).
e
s u e l o=box ( pos =(0 , −1 ,0) , s i z e = ( 2 5 , 0 . 1 , 2 5 ) , c o l o r=c o l o r . r e d )
cannon=c y l i n d e r ( pos=pos0 , a x i s=norm ( v e l ) )
p r o y e c t i l=s p h e r e ( pos=(r0x , r0y , r 0 z ) , c o l o r=c o l o r . b l u e )

Veamos con un poco m´s de profundidad c´mo se definen los elementos que acabamos
a o
de mostrar:

box : Es un paralelep´
ıpedo recto centrado en pos. El ancho, alto y largo del paralelep´
ıpe-
do los definimos con size. Por defecto tiene un eje definido de manera vertical en el
sistema de referencia del objeto. Ese eje lo situaremos en el sistema de referencia
externo con axis y podemos modificarlo en el sistema de referencia del objeto con
up.

cylinder : Se trata de un cilindro circular al que definimos la posiciń del centro de su
o
base, su eje y su radio.

sphere : Simplemente necesitamos definir su posiciń y radio.
o

En este primer ejemplo hemos explicado un poco los objetos que se definen en Visual
Python, no obstante en ejemplos posteriores pasaremos por alto en general las descrip-
ciones de objetos, entendiendo que la sintaxis es suficientemente autoexplicativa y que
hay una excelente documentaciń del proyecto[6].
o


3.1 Tiro parab´lico
o

3.1.3. Animaciń
o
Ahora viene el momento en que animamos la escena. Hemos puesto un paso dt muy
pequeõ, cuanto m´s pequeõ m´s lenta (y m´s precisa) ser´ la simulaciń, de modo
n a n a a a o
que s´lo cuando t → 0 la soluciń coincidir´ exactamente con la trayectoria anal´
o o a ıtica.
grav =10
a c e l=v e c t o r (0 , − grav , 0 )
dt =0.001
while p r o y e c t i l . pos >= 0 :
v e l=v e l+a c e l ∗ dt
pos=pos+v e l ∗ dt
p r o y e c t i l . pos=pos
t=t+dt

El nćleo de la animaciń es un bucle while que viene a decir que mientras la coor-
u o
denada y del proyectil sea mayor o igual que 0 el sistema repita los pasos de dentro del
bucle.
Esos pasos consisten sencillamente en avanzar intervalos diferenciales y actualizar a
cada paso los valores de la posiciń, velocidad y aceleraciń dados por el sistema de
o o
ecuaciones diferenciales.
Segń lo hemos escrito, en un ordenador lento el movimiento se producir´ muy despacio
u a
y en un ordenador r´pido se producir´ deprisa. Para poder controlar el tiempo de manera
a a
realista debemos jugar con el n´mero de fotogramas por segundo y el intervalo diferencial.
u
Para eso se utiliza el comando rate. Si queremos, por ejemplo, 25 fotogramas por segundo
(aproximadamente los que ofrece una pantalla de televisiń) pondremos:
o
dt = 1 . / 2 5 .
...
while . . .
...
rate (25)

Elementos adicionales: Vectores y trayectoria
A continuaciń vamos a aãdir algunos elementos m´s a la escena, como la trayectoria
o n a
de la bola, el vector velocidad y sus componentes.
pos=v e c t o r ( −10 ,0 ,0 )
v e l=v e c t o r ( 1 0 , 1 0 , 0 )
grav =10
a c e l=v e c t o r (0 , − grav , 0 )



Figura 3.1: Nuestro programa de tiro parab´lico en acci´n
o o

dt = 1 . / 5 0 .
t=0
p r o y e c t i l=s p h e r e ( pos=pos , c o l o r=c o l o r . blue , r a d i u s =0.5)
s u e l o=box ( pos =(0 , −1 ,0) , s i z e = ( 2 5 , 0 . 1 , 2 5 ) , c o l o r=c o l o r . r e d )
cannon=c y l i n d e r ( pos=pos , a x i s = ( 1 , 1 , 0 ) )
t r a y e c t o r i a=c u r v e ( c o l o r=c o l o r . w h i t e )
v e l o c i d a d t o t a l=arrow ( c o l o r=c o l o r . red , pos=p r o y e c t i l . pos , a x i s=
vel /3.)
v e l o c i d a d x=arrow ( c o l o r=c o l o r . green , pos=p r o y e c t i l . pos , a x i s =( v e l
. x/3. ,0 ,0) )
v e l o c i d a d y=arrow ( c o l o r=c o l o r . green , pos=p r o y e c t i l . pos , a x i s =(0 ,
vel . y /3. ,0) )
while pos . y >= 0 :
t r a y e c t o r i a . append ( pos )
v e l o c i d a d t o t a l . pos=pos
v e l o c i d a d x . pos=pos
v e l o c i d a d y . pos=pos
v e l o c i d a d t o t a l . a x i s=v e l / 3 .
v e l o c i d a d x . a x i s=v e c t o r ( v e l . x / 3 . , 0 , 0 )
v e l o c i d a d y . a x i s=v e c t o r ( 0 , v e l . y / 3 . , 0 )
t=t+dt
rate (50)


o

Gr´fica de energ´
a ıas
Ahora vamos a agregar una nueva ventana que nos muestre una gr´fica de con la
a
evoluciń de la energ´ cin´tica, potencial y total a lo largo del tiempo.
o ıa e
from v i s u a l . graph import ∗

s c e n e . background = ( 1 , 1 , 1 )

Veamos c´mo agregar la nueva ventana para la gr´fica
o a
graph1 = g d i s p l a y ( x=0, y=0, width =300 , h e i g h t =150 ,
t i t l e = ’E vs . t ’ , x t i t l e= ’ t ’ , y t i t l e= ’E ’ ,
f o r e g r o u n d=c o l o r . bla ck , background=c o l o r . w h i t e )

Ahora aãdiremos tres curvas en la ventana de gr´ficas:
n a
p o t e n c i a l = g c u r v e ( g d i s p l a y=graph1 , c o l o r=c o l o r . b l u e )
c i n e t i c a = g c u r v e ( g d i s p l a y=graph1 , c o l o r=c o l o r . r e d )
e t o t a l = g c u r v e ( g d i s p l a y=graph1 , c o l o r=c o l o r . g r e e n )

pos=v e c t o r ( −10 ,0 ,0 )
v e l=v e c t o r ( 1 0 , 1 0 , 0 )
grav =10
m=1
a c e l=v e c t o r (0 , − grav , 0 )
dt = 1 . / 5 0 .
t=0
p r o y e c t i l=s p h e r e ( pos=pos , c o l o r=c o l o r . blue , r a d i u s =0.5)
s u e l o=box ( pos =(0 , −1 ,0) , s i z e = ( 2 5 , 0 . 1 , 2 5 ) , c o l o r=c o l o r . y e l l o w )
cannon=c y l i n d e r ( pos=pos , a x i s = ( 1 , 1 , 0 ) )
t r a y e c t o r i a=c u r v e ( c o l o r=c o l o r . b l a c k )
v e l o c i d a d t o t a l=arrow ( c o l o r=c o l o r . red , pos=p r o y e c t i l . pos , a x i s=
vel /3.)
v e l o c i d a d x=arrow ( c o l o r=c o l o r . green , pos=p r o y e c t i l . pos , a x i s =( v e l
. x/3. ,0 ,0) )
v e l o c i d a d y=arrow ( c o l o r=c o l o r . green , pos=p r o y e c t i l . pos , a x i s =(0 ,
vel . y /3. ,0) )
while pos . y >= 0 :
t r a y e c t o r i a . append ( pos )



v e l o c i d a d t o t a l . pos=pos
v e l o c i d a d x . pos=pos
v e l o c i d a d y . pos=pos
v e l o c i d a d t o t a l . a x i s=v e l / 3 .
v e l o c i d a d x . a x i s=v e c t o r ( v e l . x / 3 . , 0 , 0 )
v e l o c i d a d y . a x i s=v e c t o r ( 0 , v e l . y / 3 . , 0 )

Y aãdimos fćilmente puntos a las gr´ficas
n a a
c i n e t i c a . p l o t ( pos=(t , 0 . 5 ∗m∗mag2 ( v e l ) ) )
p o t e n c i a l . p l o t ( pos=(t ,m∗ grav ∗ p r o y e c t i l . pos . y ) )
e t o t a l . p l o t ( pos=(t ,m∗ grav ∗ p r o y e c t i l . pos . y +0.5∗m∗mag2 ( v e l ) ) )
t=t+dt
rate (50)

Figura 3.2: Tiro parab´lico con gr´fica de energ´
o a ıas

3.1.4. Visualizaciń de las fuerzas de Coriolis
o
Con lo que sabemos y un poquito de imaginaciń es sencillo poner el sistema a rotar
o
y agregar efectos de coriolis, que vendrń descritos sencillamente como:
a

 −mω × (ω × r) → Centr´ ıfuga


F = −2mω × v → Coriolis (3.2)
−mω × r → Azimutal
˙


scene . t i t l e=’ C o r i o l i s ’
s c e n e . background = ( 1 , 1 , 1 )
# V e l o c i d a d de r o t a c i o n
omega =0.0


o

# I r a aumentandola en . . .
domega =0.00005
# Hasta una omega maxima de . . .
omegamax=0.05
# Nos sentamos en e l s i s t e m a de r e f e r e n c i a no i n e r c i a l ?
# 1 no
# −1 s i
i n e r c i a l =−1
chorros =[]
SRNI=frame ( )
box ( frame=SRNI , pos =(0 , −1 ,0) , s i z e = ( 2 5 , 0 . 1 , 2 5 ) , c o l o r=c o l o r .
yellow )
c y l i n d e r ( frame=SRNI , pos =( −10 ,0 ,0) , a x i s = ( 1 , 2 , 0 ) , r a d i u s =0.5)
c y l i n d e r ( frame=SRNI , pos = ( 1 0 , 0 , 0 ) , a x i s =( −1 ,2 ,0) , r a d i u s =0.5)
box ( frame=SRNI , pos =( −10 ,0 ,0) , s i z e = ( 2 , 2 , 2 ) , c o l o r=c o l o r . w h i t e )
box ( frame=SRNI , pos = ( 1 0 , 0 , 0 ) , s i z e = ( 2 , 2 , 2 ) , c o l o r=c o l o r . w h i t e )
l e y e n d a=l a b e l ( t e x t=”Omega=”+s t r ( omega ) , pos = ( 2 , 7 , 2 ) )
def d i s p a r a ( c h o r r o s ) :
b o l a 1=s p h e r e ( frame=SRNI , pos=v e c t o r ( −10 ,0 ,0 ) , c o l o r=c o l o r .
blue , r a d i u s =0.3)
b o l a 2=s p h e r e ( frame=SRNI , pos=v e c t o r ( 1 0 , 0 , 0 ) , c o l o r=c o l o r . blue
, r a d i u s =0.3)
c h o r r o s . append ( [ bola1 , v e c t o r ( 5 , 1 0 , 0 ) ] )
c h o r r o s . append ( [ bola2 , v e c t o r ( −5 ,1 0 ,0 ) ] )
return c h o r r o s
def r e c o l o c a ( i ) :
if i [ 1 ] . x > 0:
i [ 0 ] . pos=v e c t o r ( −10 ,0 ,0 )
i [1]= vector (5 ,10 ,0)
else :
i [ 0 ] . pos=v e c t o r ( 1 0 , 0 , 0 )
i [ 1 ] = v e c t o r ( −5 ,1 0 ,0 )
return i
c h o r r o s=d i s p a r a ( c h o r r o s )
grav =10
m=1
#a c e l=v e c t o r (0 , − grav , 0 )
dt = 1 . / 5 0 .
t=0
f r e c =0.1
Omega=v e c t o r ( 0 , omega , 0 )
dOmega=v e c t o r ( 0 , domega , 0 )
d e n t r o=1
while t r u e :



f o r i in c h o r r o s :
r=v e c t o r ( i [ 0 ] . pos . x , 0 , 0 )
a c e l=c r o s s (Omega , c r o s s (Omega , i [ 0 ] . pos ) ) +2∗ c r o s s (Omega , r
)+v e c t o r (0 , − grav , 0 )+c r o s s ( dOmega , r )
i [ 0 ] . pos+=i [ 1 ] ∗ dt
i [1]+= a c e l ∗ dt
i f i [ 0 ] . pos . y <= −5:
d e n t r o=0
i=r e c o l o c a ( i )
t=t+dt
i f t>=f r e c and d e n t r o == 1 :
t=0
c h o r r o s=d i s p a r a ( c h o r r o s )
i f i n e r c i a l == −1:
SRNI . r o t a t e ( a n g l e=omega∗ dt , a x i s = ( 0 , 1 , 0 ) )
rate (50)
i f omega < omegamax :
omega+=domega
Omega=v e c t o r ( 0 , omega , 0 )
l e y e n d a . t e x t= ’Omega= ’+s t r ( omega )


3.2 El pńdulo simple y la aproximaciń para ńgulos pequeõs
e o a n

3.2. El pńdulo simple y la aproximaciń para ńgulos
e o a
pequeõs
n
3.2.1. La gracia del pńdulo
e
Suele contarse que todo comenz´ con un aburrido Galileo oyendo misa en la catedral de
o
Pisa. Una l´mpara que hab´ sido empujada por un monaguillo al encenderla comenz´ a
a ıa o
describir unas oscilaciones que sin duda ten´ m´s inter´s para Galileo que las palabras
ıan a e
del sacerdote. Midi´ el per´
o ıodo de las oscilaciones de la l´mpara usando como reloj
a
los latidos de su corazń y qued´ fascinado al comprobar que aunque las oscilaciones
o o
descritas por la l´mpara eran cada vez menores, dicho per´
a ıodo se manten´ tozudamente
ıa
constante.
Al llegar a casa, amarr´ una piedra a una cuerda y la colg´ del techo para observar su
o o
movimiento. Lo hizo con diferentes cuerdas y piedras y su sorpresa no pudo ser mayor
al descubrir que tampoco importaba lo gorda que fuese la piedra, sino unicamente la
´
longitud de la cuerda.
Antes de abandonar definitivamente su carrera como m´dico, Galileo dej´ su legado en
e o
ese mundo con el “puls´metro”, que no era m´s que usar el pńdulo como regla de medida
o a e
para tomar el pulso a los pacientes. Invirti´ el proceso que comenzara en la catedral.
o
El pńdulo fue el sistema experimental que inspir´ las leyes de ca´ de los cuerpos
e o ıda
de Galileo, rompiendo por fin la idea aristot´lica de que una bola de hierro caer´ m´s
e ıa a
r´pido que una de madera. Hab´ nacido el nuevo paradigma, “la edad del pńdulo”.
a ıa e
Naturalmente, luego llegar´ los famosos (aunque supuestamente ficticios) experimen-
ıan
tos de Galileo arrojando pesos desde la torre de Pisa, aunque eso fue s´lo un segundo
o
plato, quiz´ m´s adornado y aplaudido, pero nada interesante comparado con la magni-
a a
ficencia de un pńdulo.
e
Observar lo que Galileo supuestamente mostr´ desde la torre de Pisa era muy compli-
o
cado. Las cosas ca´ demasiado r´pido por aquel entonces.
ıan a
Las ligaduras (las del pńdulo y las del plano inclinado) fueron las que permitieron a
e
Galileo hacer caer los cuerpos lo suficientemente despacio como para tomar medidas con
una “clepsidra”, estudiar su din´mica y predecir lo que suceder´ al arrojarlos desde la
a ıa
torre de Pisa.

3.2.2. El oscilador armńico
o
Una manera de definir un oscilador armńico es decir que se trata de un movimiento
o
con un tiempo caracter´
ıstico al que llamaremos per´
ıodo (T ) en el que el sistema vuelve
al estado de movimiento inicial:

x(t + T ) = x(t) (3.3)

Aplicando Lagrange sobre dicho sistema, y considerando para simplificar que el origen



de coordenadas coincide con el m´
ınimo de potencial (U (x = 0) = 0):

1
T (x) = mx2 ˙
2
1
U (x) = kx2
2 (3.4)
L=T −U
d ∂L ∂L
− =0
˙
dt ∂ q ∂q

donde estamos denotando x = dx
˙ dt
Obtenemos fćilmente la ecuaciń de movimiento:
a o

m¨ + kx = 0
x (3.5)
dx2
donde x =
¨ dt2
Llamando ω = 2π
T = k
m a la frecuencia, que es un par´metro inversamente propor-
a
cional al per´
ıodo,

x + w2 x = 0
¨ (3.6)
Las soluciones para este tipo de potencial son de tipo armńico, estń bien estudiadas
o a
y son sencillas de tratar:

x = Asin(ωt) 


o
´ una c. lineal: x(t) = Acos(ωt) + Bsin(ωt) (3.7)
x = Acos(ωt)


3.2.3. ¿Es el pńdulo un oscilador armńico?
e o
Un pńdulo es, sencillamente una masa pendiente de un hilo. Para estudiar su din´mica
e a
hemos de considerar el hilo como una ligadura que expresamos matem´ticamente como:
a

x = −L sin φ ˙
x = −Lφ cos φ
˙
→ ˙ sin φ (3.8)
y = −L cos φ y = Lφ
˙
A continuaciń procedemos a un an´lisis lagrangiano del sistema situando el origen
o a
de potenciales en el punto m´s bajo del pńdulo.
a e

1 1 ˙ 1 ˙
T = mx2 + y 2 = mL2 φ2 sin2 φ + cos2 φ = mL2 φ2
˙ ˙
2 2 2
U =mgh = mgL (1 − cos φ) (3.9)
1 ˙
L = mL2 φ2 − mgL (1 − cos φ)
2


3.2 El pńdulo simple y la aproximaciń para ńgulos pequeõs
e o a n

∂L ˙
=mL2 φ
˙
∂φ
d ¨
= mL2 φ
dt
∂L (3.10)
= − mgL sin φ
∂φ
d ∂L ∂L ¨
− = 0 →mL2 φ + mgL sin φ = 0
dt ˙
∂φ ∂φ

La ecuaciń diferencial que describe la din´mica del pńdulo simple es, pues:
o a e

¨
mL2 φ + mgL sin φ = 0 (3.11)

Que es bastante compleja comparada con la ecuaciń del oscilador armńico (a pesar
o o
de ser tan parecidas) ya que para resolverla se requieren funciones el´
ıpticas.
No obstante se puede hacer la llamada aproximaciń para oscilaciones pequeãs que
o n
consiste b´sicamente en aproximar el seno por el ńgulo sin φ ≈ φ.
a a
Con ello, es inmediato obtener resultados aplicando las soluciones conocidas del osci-
lador armńico.
o

¨
mL2 φ + mgLφ = 0 (3.12)
Sin embargo, no nos queda claro exactamente hasta qu´ punto es buena esta aproxi-
e
maciń (c´mo de pequeõs tienen que ser esos ńgulos) y, sobre todo, qu´ significa el
o o n a e
hecho de que la apliquemos. ¿C´mo se comporta el sistema en realidad y c´mo lo hace
o o
nuestra aproximaciń algebraica?
o
A veces, alumnos que hemos estudiado el pńdulo simple hasta la saciedad nos he-
e
mos quedado intrigados al hacernos esta pregunta que deber´ resultarnos tan obvia.
ıa
Construyamos una simulaciń sencilla que nos aclare las ideas.
o

3.2.4. Pńdulo simple y aproximaciń armńica
e o o
Vamos a construir una simulaciń, en principio, de un pńdulo simple.
o e
#! / u s r / b i n / python
s c e n e . t i t l e = ’ Pendulo s i m p l e ’

Queremos introducir un ńgulo inicial φ0 (en radianes) desde el que activar el pńdulo
a e
con una velocidad inicial nula.
p h i 0=p i ∗ 0 . 1



A continuaciń damos valores a los par´metros del sistema y definimos nuestro dt
o a
como paso
m=1.
g =10.
l =4.

dt = 1 . / 5 0 .

Queremos construir el pńdulo como un cilindro estrechito y una esfera en el extremo.
e
Para manejar varios objetos como uno s´lo m´s complejo es util utilizar los frames. Un
o a ´
frame har´ el papel de un sistema de referencia de modo que los objetos que defina-
a
mos como pertenecientes a ese frame utilizarń coordenadas propias a ese sistema de
a
referencia y se mover´ solidariamente con ´l.
ıan e
SR=frame ( )
masa=s p h e r e ( frame=SR , pos =(0. , − l , 0 . ) , r a d i u s =0.2 , c o l o r=c o l o r . b l u e
)
h i l o=c y l i n d e r ( frame=SR , a x i s=masa . pos , r a d i u s =0.05 , c o l o r=c o l o r .
blue )

A continuaciń, vamos a preparar nuestra coordenada φ en su posiciń inicial y su
o o
derivada respecto del tiempo ajustada a cero.
Colocaremos el sistema de referencia que contiene al pńdulo en su posiciń inicial
e o
girńdolo un ńgulo φ en torno a un eje perpendicular al plano de la pantalla:
a a
p h i=p h i 0
phip=0
SR . r o t a t e ( a x i s = ( 0 , 0 , 1 ) , a n g l e=p h i )

Finalmente queda plantear el bucle que anima la escena teniendo en cuenta que en
˙
cada paso diferencial lo que hacemos es rotar el sistema de referencia un ńgulo dφ = φdt
a
while 1 :
phipp=−(m∗ g∗ l ) ∗ s i n ( p h i )
phip=phip+phipp ∗ dt
p h i=p h i+phip ∗ dt
SR . r o t a t e ( a x i s = ( 0 , 0 , 1 ) , a n g l e=phip ∗ dt )
rate (50)

Si, sencillamente, sustituy´semos la l´
e ınea
phipp=−(m∗ g∗ l ) ∗ s i n ( p h i )

por
phipp=−(m∗ g∗ l ) ∗ p h i


3.3 El pńdulo inercial
e

Obtendr´ıamos la simulaciń del problema en aproximaciń para oscilaciones pequeãs.
o o n
Puede ser pedag´gico dibujar dos pńdulos de diferente color superpuestos con una
o e
de las soluciones cada uno para compararlos en tiempo real y ver cu´l es exactamente el
a
significado de hacer la aproximaciń para oscilaciones pequeãs.
o n

Figura 3.3: Comparaciń de un pńdulo simple con y sin aproximaciń para oscilaciones pequeãs
o e o n

3.3. El pńdulo inercial
e
En la mecńica del s´lido r´
a o ıgido, donde aparecen frecuentemente osciladores armńicos,
o
se une a la posibilidad de simular soluciones num´ricas, la capacidad de Visual Pythonde
e
visualizar escenas tridimensionales manejando por parte del usuario diferentes sistemas
de referencia.

3.3.1. Un simp´tico s´lido r´
a o ıgido en rotaciń
o
El montaje propuesto consta sencillamente de una plataforma horizontal que haremos
girar con una velocidad angular constante ω0 . Sobre ella se monta un soporte para
sostener un eje libre paralelo a la plataforma.
El s´lido r´
o ıgido ir´ insertado en dicho eje, que lo atravesar´ por su centro de masas de
a a
manera que ´ste punto sea un punto fijo de movimiento.
e

Grados de libertad y coordenadas generalizadas
Por el hecho de ser un s´lido r´
o ıgido en el espacio posee 6 grados de libertad, tres de
rotaciń y tres de traslaciń.
o o
El punto fijo le har´ perder sus tres grados de libertad de traslaciń y el eje que lo
a o
atraviesa dejar´ un unico grado de libertad de rotaciń al s´lido.
a ´ o o
Tras estas consideraciones, podemos expresar la velocidad angular ω0 en t´rminos de
e
un sistema de referencia no inercial ligado a la estructura como:

ω0 = ω0 (0 , cos φ , sin φ) (3.13)



Figura 3.4: Montaje experimental

Figura 3.5: Descomposici´n de la velocidad angular constante
o


e

Energ´
ıa
La energ´ cin´tica la expresamos de manera sencilla en forma tensorial como:
ıa e
1 ˆ
T = ω Iω
2
ω =ω0 + ω1
ω0 = ω0 (0 , cos φ , sin φ)
˙
ω1 = φ , 0 , 0
I1 0 0
 
ˆ
I =  0 I2 0  (3.14)
0 0 I3
I1 0 0 ˙
  
φ
1 ˙
T = φ , cos φ , sin φ  0 I2 0   cos φ 
2
0 0 I3 sin φ
1 ˙ ω2
= I1 φ2 + 0 I2 cos2 φ + I3 sin2 φ
2 2
La energ´ cin´tica presenta dos t´rminos, uno cuadr´tico con las velocidades y otro
ıa e e a
que no depende de variaciones temporales de las coordenadas:

1 ˙ ω2
T = I1 φ2 + 0 I2 cos2 φ + I3 sin2 φ = T2 + T0 (3.15)
2 2
T2 T0
Situar el centro de masas en un punto ﬁjo nos permite ﬁjar adecuadamente el origen
del potencial gravitatorio para que no aparezca en nuestras ecuaciones.
El lagrangiano, por tanto, s´lo tiene t´rminos de energ´ cin´tica:
o e ıa e
1 ˙ ω2
L = L2 + L0 = I1 φ2 + 0 I2 cos2 φ + I3 sin2 φ (3.16)
2 2

Ecuaciones de movimiento
Ataquemos ahora a la ecuaciones de movimiento:

d ∂L ∂L
0= −
dt ∂ φ˙ ∂φ
∂L ˙ ¨
∂t = ∂t I1 φ = I1 φ
∂φ˙
∂L (3.17)
= ω0 (I2 cos φ sin φ − I3 cos φ sin φ) =
2
∂φ
= ω0 (I2 − I3 ) (sin φ cos φ) =
2

2
ω0
= (I2 − I3 ) sin 2φ
2



Llegamos a una expresiń bastante elegante:
o
2
ω0
¨
I1 φ − (I2 − I3 ) sin 2φ = 0 (3.18)
2

El pńdulo inercial
e
Lo que nos llama la atenciń al ver la ecuaciń 3.18 es el enorme parecido que tiene con
o o
la ecuaciń del oscilador armńico. Adem´s, cuando nos ponemos a estudiar el potencial
o o a
y encontramos puntos de equilibrio estable lo primero que se nos ocurre es ponerlo a
oscilar.
Veamos si encontramos algo interesante.

Aproximaciń para oscilaciones pequeãs Podemos poner el sistema a describir osci-
o n
laciones tan pequeãs en torno a φ0 como para que podamos considerar sin 2φ ≈ 2φ.
n
La ecuaciń de movimiento se nos queda entonces como un oscilador armńico perfec-
o o
tamente reconocible:

¨
I1 φ −ω0 (I2 − I3 ) φ = 0
2
(3.19)
Mi Ki

El potencial generalizado del oscilador armńico viene dado por:
o

1 ω2
Ui = Ki φ2 = 0 (I2 − I3 ) φ2 (3.20)
2 2
Vemos que en el proceso de aproximaciń hemos perdido un t´rmino constante:
o e

2
ω2 φ2
U ≈− 0 I2 1− + I3 φ2 (3.21)
2 2

Figura 3.6: Aproximaciń por oscilador armńico. Comparaciń de potenciales.
o o o


e

Frecuencia caracter´ ıstica del oscilador Tener frente a nosotros un oscilador armńico
o
nos pide buscar la frecuencia normal del sistema:

ω0 (I2 − I3 )
2
ωc =
2
(3.22)
I1
Puede ser divertido jugar con los par´metros del problema de modo que se acople la
a
frecuencia caracter´ıstica del pńdulo inercial con la frecuencia que le metemos externa-
e
mente al sistema para dibujar figuras de Lissajous.
Si, por ejemplo, I2 − I3 = I1 estas frecuencias se igualar´ y mirando el sistema de
ıan
perfil ver´ıamos una hermosa elipse (una recta con el desfase adecuado).
El caso m´s simple al que se nos ocurre tratar de aplicar esto es a la barra delgada en
a
la que I3 ≈ 0 y I1 = I2 .

Figura 3.7: Figuras de Lissajous 1/1 y 1/2

Exactamente el mismo resultado ser´ el obtenido para cualquier figura plana que pu-
ıa
si´semos en el sistema utilizando un eje de rotaciń libre distinto de aquel cuyo momento
e o
de inercia es suma de los otros dos (I2 = I1 + I3 ).
Parece cosa de magia que obtener esas figuras de Lissajous dependa exclusivamente de
las proporciones geom´tricas del s´lido y no de la frecuencia que imponemos al sistema
e o
no inercial ni de la amplitud con que produzcamos las oscilaciones del pńdulo inercial.
e

3.3.2. Construcciń de la simulaciń
o o
A continuaciń vamos a construir una simulaciń computacional sin la necesidad de
o o
la aproximaciń para ńgulos pequeõs de modo que nos ofrezca soluciones un poco m´s
o a n a
cercanas a la realidad.
La unica complicaciń a la hora de llevar este montaje a Python estar´ en expresar
´ o a
correctamente las transformaciones de coordenadas y las relaciones que las ligan.
Empezaremos como siempre:
# −∗− c o d i n g : u t f −8 −∗−



s c e n e . t i t l e = ’ I n e r t i a l Pendulum ’

Defino las dimensiones del trompo:
l 1 =0.7
l 2 =5
l 3 =12.5

El coeficiente que relaciona las frecuencias para un paralelep´
ıpedo recto es:

wc = w0 (I2 − I3 )/I1
2 2
(3.23)

c o e f =(( l 3 ∗∗2− l 2 ∗ ∗ 2 ) / ( l 3 ∗∗2+ l 2 ∗ ∗ 2 ) ) ∗∗( −0.5)

dim=l 3 ∗3/4

El coeficiente dim solamente se usa para dar proporciones est´ticas a la representaciń.
e o
A continuaciń definimos la posiciń inicial (ńgulo)
o o a
p h i 0=2

Para definir el sistema vamos a utilizar dos sistemas de referencia no inerciales (a parte
del inercial predefinido por el sistema). Uno de ellos soportar´ la plataforma giratoria y
a
el otro (ligado a ´ste) girar´ con el trompo. Montaremos toda la parafernalia sobre ellos.
e a
# S i st em a de r e f e r e n c i a en r o t a c i o n
SRR=frame ( pos = ( 0 , 0 , 0 ) )
# S i st em a de r e f e r e n c i a d e l trompo
SRP=frame ( frame=SRR)

# Ejes y soporte
e j e s=c u r v e ( pos =[( dim ∗ 3 / 4 , 0 , 0 ) , ( 0 , 0 , 0 ) , ( 0 , dim ∗ 3 / 4 , 0 ) , ( 0 , 0 , 0 )
, ( 0 , 0 , dim ∗ 3 / 4 ) ] , c o l o r=c o l o r . b l u e )
S o p o r t e 1=box ( frame=SRR, pos =[0,−dim , 0 ] , s i z e =[dim , 0 . 5 , dim ] , c o l o r
=c o l o r . g r e e n )
S o p o r t e 2=box ( frame=SRR, pos =[dim/2,−dim / 2 , 0 ] , s i z e = [ 0 . 5 , dim
, 0 . 5 ] , c o l o r=c o l o r . g r e e n )
S o p o r t e 3=box ( frame=SRR, pos=[−dim/2,−dim / 2 , 0 ] , s i z e = [ 0 . 5 , dim
, 0 . 5 ] , c o l o r=c o l o r . g r e e n )
Eje=c y l i n d e r ( frame=SRR, pos=[−dim / 2 , 0 , ] , a x i s =[dim , 0 , 0 ] , r a d i u s
=0.2 , c o l o r=c o l o r . g r e e n )

# De fi n o dos b o l a s como marcadores ( no t i e n e n s e n t i d o f i s i c o )
b o l a 1=s p h e r e ( frame=SRP, pos =[0 , l 3 / 2 , 0 ] )


3.4 Breve introducciń al caos
o

b o l a 2=s p h e r e ( frame=SRP, pos =[0,− l 3 / 2 , 0 ] )
b o l a 1 . r a d i u s =0.5
b o l a 1 . c o l o r=c o l o r . r e d
b o l a 2 . r a d i u s =0.5
b o l a 2 . c o l o r=c o l o r . b l u e

# El trompo :
top=box ( frame=SRP, pos = ( 0 , 0 , 0 ) , s i z e =( l 2 , l 3 , l 1 ) , a x i s =(0 ,0 , l 3 ) ,
c o l o r=c o l o r . b l u e )

Las bolas las hemos puesto sobre los extremos del trompo s´lo como marcadores para
o
seguir la trayectoria.
Ahora terminaremos de preparar el sistema en las condiciones iniciales para empezar
a moverlo:
omega=1.
dt =0.02
p h i=p i /2− p h i 0
phip =0.
phipp=omega ∗ ∗ 2 . ∗ c o e f ∗ s i n ( 2 . ∗ p h i ) / 2 .
SRP . r o t a t e ( frame=SRR, a x i s =( −1 ,0 ,0) , a n g l e=p h i )

Figura 3.8: Simulaciń del pńdulo inercial
o e

3.4. Breve introducciń al caos
o
En los aõs 60, Edward Lorenz trabajaba en un modelo de predicciń del tiempo en
n o
el MIT. Hab´ construido un sistema de doce ecuaciones que ligaban los efectos de la
ıa
temperatura, presiń, velocidad del viento... en la din´mica atmosf´rica.
o a e



Mediante simulaciń num´rica por computador estudiaba c´mo evolucionaba el siste-
o e o
ma a partir de unas condiciones iniciales tratando de encontrar pautas y repeticiones.
En cierta ocasiń introdujo unos valores iniciales que ya hab´ utilizado antes pero
o ıa
redondeados a un menor n´mero de cifras decimales. Esperaba encontrar un resultado
u
muy similar al obtenido con esos valores sin redondear pero no fue as´ı.
El sistema de ecuaciones de Lorenz era completamente determinista, es decir que
no hab´ azar de por medio. De unos ciertos valores iniciales deb´ necesariamente
ıa ıan
obtenerse siempre las mismas soluciones. Sin embargo una m´ ınima variaciń produc´
o ıa
cambios catastr´ficos a largo plazo.
o
Al efecto que tienen esos pequeõs cambios de las condiciones iniciales en las condi-
n
ciones finales se lo denomin´ dependencia sensitiva de las condiciones iniciales o m´s
o a
vulgarmente conocido como efecto mariposa por la siguiente reflexiń de Lorenz para
o
explicarlo.
Imaginemos que un meteor´logo fuese capaz de calcular con infinita precisiń el estado
o o
de la atm´sfera en un instante determinado pero olvidase tener en cuenta el aleteo de
o
una mariposa. Ese aleteo podr´ inducir al cabo de un cierto tiempo un huracń en el
ıa a
otro extremo del planeta.

3.4.1. El atractor de Lorenz
Si bien hemos dicho que el modelo de Lorenz era de doce ecuaciones, cuando comenz´ o
a estudiar este nuevo campo de la f´ısica y la matem´tica abandonando las predicciones
a
meteorol´gicas lo redujo a tres ecuaciones no lineales con tres variables.
o

dx dy dz
= S (y − x) ; = x (b − z) − y ; = xy − rz (3.24)
dt dt dt
Aunque el modelo de Lorenz no tiene un an´logo inmediato en la realidad, suele
a
asemejarse al movimiento cil´
ındrico de un gas o l´
ıquido caliente.

3.4.2. Construcciń del m´dulo
o o
Queremos construir un m´dulo que nos muestre las peculiaridades del atractor de
o
Lorenz, para ello pondremos un paquete de part´ıculas muy juntas en un momento deter-
minado en unas condiciones iniciales muy similares y veremos c´mo evoluciona el sistema
o
hasta convertirse en un caos total.
# −∗− c o d i n g : u t f −8 −∗−

from random import ∗

s c e n e . t i t l e = ’ A t r a c t o r de Lorenz ’


3.4 Breve introducciń al caos
o

scene . range =(100 ,100 ,100)

Aunque utilicemos el paquete random, que sirve para obtener n´meros aleatorios, s´lo lo
u o
usaremos a la hora de fijar las condiciones iniciales para no generar siempre los mismos
resultados.
Con scene.range definimos el tamaõ de la escena.
n
Los siguientes valores de r, S y b dan soluciones ca´ticas.
o
r =28.
S=10.
b=8./3.

Como queremos mostrar unas cuantas part´ ıculas las meteremos en una lista. Crearemos
asimismo una lista para guardar velocidades, trayectorias y posiciones:
tray =[]
bola =[]
vel =[]
pos = [ ]

Decidimos que queremos 5 part´
ıculas, y situamos la primera en el punto pos0 (aleatorio).
p a r t s =5.
pos0=v e c t o r ( r a n d i n t ( −10 ,10) , r a n d i n t ( −10 ,10) , r a n d i n t ( −10 ,10) )
def empieza ( ) :
i =0
while i < p a r t s :
t r a y . append ( c u r v e ( c o l o r =( i / p a r t s ,1− i / p a r t s , 0 ) ) )
b o l a . append ( s p h e r e ( c o l o r =( i / p a r t s ,1− i / p a r t s , 0 ) ) )
v e l . append ( v e c t o r ( 0 , 0 , 0 ) )
pos . append ( v e c t o r ( pos0 . x , pos0 . y , pos0 . z +0.01∗ i ) )
b o l a [ i ] . pos=pos [ i ]
i+=1

Con este primer bucle (la funciń empieza) simplemente generaremos cada una de las
o
part´
ıculas en sus posiciones iniciales (todas muy juntitas).
t=0
f p s =25
dt = 1 . / ( 3 . ∗ f p s )

Ajustamos los par´metros temporales para la animaciń y empezamos a mover las par-
a o
t´
ıculas.
empieza ( )
while 1 :
i =0



while i < p a r t s :
v e l [ i ] . x=−S∗ pos [ i ] . x+S∗ pos [ i ] . y
v e l [ i ] . y=−pos [ i ] . x∗ pos [ i ] . z+r ∗ pos [ i ] . x−pos [ i ] . y
v e l [ i ] . z=pos [ i ] . x∗ pos [ i ] . y−b∗ pos [ i ] . z
pos [ i ] . x=pos [ i ] . x+v e l [ i ] . x∗ dt
pos [ i ] . y=pos [ i ] . y+v e l [ i ] . y∗ dt
pos [ i ] . z=pos [ i ] . z+v e l [ i ] . z ∗ dt
b o l a [ i ] . pos=pos [ i ]
t r a y [ i ] . append ( pos [ i ] )
i+=1

Este bucle recorre todas las part´
ıculas en cada paso del bucle principal.
t+=dt
rate ( fps )

Figura 3.9: Evoluci´n del atractor de Lorenz
o


4 Modelos determin´
ısticos y estoc´sticos
a
Los modelos estoc´sticos son aquellos que estń afectados por ruido, es decir, en los
a a
que interviene el azar. El primer modelo de este tipo en la f´ısica fue propuesto en 1908
por Langevin para describir el movimiento Browniano.
En el caso del atractor de Lorenz part´ ıamos de algo impepinablemente mecanicista,
unas condiciones iniciales infinitamente bien determinadas ofrec´ resultados infinita-
ıan
mente idńticos. Sin embargo, una m´
e ınima indeterminaciń en esas condiciones iniciales
o
introduc´ resultados aparentemente ca´ticos en las soluciones.
ıa o
En los dos casos que vamos a ver a continuaciń podr´ decirse que suceder´ lo contra-
o ıa a
rio. Introduciremos caos en el sistema y ´ste tender´ en cierto modo a auto-organizarse
e a
matem´gicamente. En el primer caso ser´ un caos un tanto falso al inicio salvo por las
a a
condiciones iniciales, pero en el siguiente ejemplo un movimiento puramente aleatorio
generar´ algo que tiene un cierto y misterioso orden.
a

4.1. Simulaciń de un gas
o
Por norma general suelen estudiarse en los primeros cursos de f´ ısica la mecńica y la
a
termodin´mica como si se tratase de dos ramas de la f´
a ısica totalmente disconexas que
apenas parecen pertenecer a una misma disciplina. Sin embargo, la f´ ısica estad´
ıstica llega
a enlazarlas de un modo bastante elegante y convincente, pero se trata de un desarrollo
relativamente complejo que precisa de conocimientos de cursos bastante avanzados.
Con el ejemplo que vamos a ver, pretendemos poder explicar algunos conceptos de la
termodin´mica desde la naturaleza at´mica de la materia, enlazńdolos con la mecńica
a o a a
m´s b´sica de los primeros cursos de f´
a a ısica.
Para ello veremos un breve desarrollo de lo necesario de f´
ısica estad´ıstica comparńdolo
a
con un desarrollo computacional de los mismos conceptos.

4.1.1. Precedentes hist´ricos: Teor´ de la gravitaciń de Le Sage
o ıa o
Nicolas Fatio propone en 1960 una simp´tica teor´ cin´tica de la gravitaciń.
a ıa e o
Le Sage continá su trabajo y da nombre al modelo. Segń su teor´ existen unas
u u ıa,
ciertas particulillas en contante movimiento y velocidades aleatorias que empujan los
cuerpos. La masa de los cuerpos determina su densidad (vista ´sta como si los cuerpos
e
fuesen de carćter esponjoso) y hace que m´s o menos corp´sculos puedan atravesarlos.
a a u
Se trata de un intento de explicar las leyes de Newton de atracciń universal con s´lo
o o
una concepciń atomista de la materia que logra explicar la ley inversa del cuadrado
o
pero recurre a feos argumentos “infinitos” para explicar la dependencia con la masa.

33

a

Figura 4.1: Los corp´sculos son apantallados en una direcciń y se descompensan los momentos
u o
transferidos por colisiones.

No obstante, esta teor´ una vez falseada, inspirar´ la teor´ cin´tica de la termodi-
ıa ıa ıa e
n´mica que s´ funcion´.
a ı o

4.1.2. Teor´ cin´tica
ıa e
La teor´ cin´tica de los gases explica el comportamiento macrosc´pico de estos a
ıa e o
partir de sus propiedades microsc´picas.
o

Hip´tesis cinem´ticas
o a
Para poder aplicar esta teor´ deben cumplirse una serie de hip´tesis en nuestro sis-
ıa o
tema:
El sistema ha de ser lo suficientemente grande para considerarlo homogńeo. Cada
e
part´ıcula se visualiza como una esfera maciza en movimiento. Las part´ıculas son
suficientemente pequeãs comparadas con las distancias intermoleculares.
n

Se supone que no existen fuerzas intermoleculares salvo en el instante de la colisiń.
o

Las molćulas se desplazan libremente chocando el´sticamente entre s´
e a ı.
Veamos a continuaciń cu´les ser´ los primeros pasos a la hora de simular este
o a ıan
modelo:

Construyamos una caja c´bica de lado 8 con cuidado de que las dimensiones de
u
las esferas y las paredes se respeten:
thk = 0 . 3
side = 4.0
s 2 = 2∗ s i d e + thk
s 3 = 2∗ s i d e − thk
wallR = box ( pos=v e c t o r ( s i d e , 0 , 0 ) , l e n g t h=thk , h e i g h t=s2 ,
width=s3 , c o l o r = c o l o r . g r e e n )


4.1 Simulaciń de un gas
o

wallL = box ( pos=v e c t o r (− s i d e , 0 , 0 ) , l e n g t h=thk , h e i g h t=s2 ,
wallB = box ( pos=v e c t o r ( 0 , −s i d e , 0 ) , l e n g t h=s3 , h e i g h t=thk ,
b a l l=s p h e r e ( r a d i u s =0.5)

Las esferas se moverń de manera rectil´
a ınea mientras nada las haga cambiar de
opiniń:
o
b a l l . pos = b a l l . pos + b a l l . v e l o c i t y ∗ t i m e s t e p

Se producirń choques el´sticos con las paredes
a a
if ball . x > 4:
b a l l . v e l o c i t y . x = −b a l l . v e l o c i t y . x
b a l l . x=2∗4− b a l l . x

En los choques entre part´
ıculas se producir´ un intercambio de momentos:
a
d i s t a n c e=mag( b a l l l i s t [ i ] . pos− b a l l l i s t [ j ] . pos )
i f d i s t a n c e < 2∗ b a l l r a d i u s :
d i r e c t i o n=norm ( b a l l l i s t [ j ] . pos− b a l l l i s t [ i ] . pos )
v i=dot ( b a l l l i s t [ i ] . v e l o c i t y , d i r e c t i o n )
v j=dot ( b a l l l i s t [ j ] . v e l o c i t y , d i r e c t i o n )
exchange=vj−v i
b a l l l i s t [ i ] . v e l o c i t y= b a l l l i s t [ i ] . v e l o c i t y + exchange ∗
direction
b a l l l i s t [ j ] . v e l o c i t y= b a l l l i s t [ j ] . v e l o c i t y − exchange ∗
direction
o v e r l a p =2∗ b a l l r a d i u s −d i s t a n c e
b a l l l i s t [ i ] . pos= b a l l l i s t [ i ] . pos − o v e r l a p ∗ d i r e c t i o n
b a l l l i s t [ j ] . pos= b a l l l i s t [ j ] . pos + o v e r l a p ∗ d i r e c t i o n

En el sistema habr´ dos magnitudes trascendentales:
a
Frecuencia de colisiń: Frecuencia con que se producen colisiones en el sistema.
o
ncol
ν=
t·N
Recorrido libre medio: Longitud media recorrida por una molćula entre colisiones.
e
vm
λ=
ν
Durante una simulaciń, son valores que podemos calcular trivialmente mientras que
o
en la realidad no son estimables por m´todos directos.
e


a

4.1.3. Distribuciń de velocidades
o
Si consideramos el medio is´tropo, la distribuciń de velocidades ha de serlo tambiń.
o o e
Para visualizar esto, colocamos todos los vectores velocidad asociados a cada molćula
e
en un mismo punto O.
v e l o c i d a d=arrow ( pos = ( 9 , 2 , 0 ) , s h a f t w i d t h =0.1)
v e l o c i d a d . a x i s=b a l l . v e l o c i t y

Donde los vectores velocidad cortan a una esfera de radio R centrada en O, los llama-
remos puntos figurativos. Su distribuciń debe ser uniforme:
o
N N dN N
n= = = → dN = dS
S 4πR 2 dS 4πR2
En polares:
N
dS = RdθR sin θdφ → dN = sin θdθdφ
4π
dN es el n´mero de molćulas con velocidad entre θ y θ + dθ y entre φ y φ + dφ. Lo
u e
llamaremos d θ,φ
2N

4.1.4. Magnitud de las velocidades moleculares
Separando por rangos de velocidad, obtendremos esferas concńtricas de puntos figu-
e
rativos.
Llamemos dNv a las molćulas con velocidades comprendidas entre v y v + dv.
e
Finamente, podemos clasificar las molćulas como molćulas d3 Nφ,θ,v :
e e
dNv dnv
d3 Nφ,θ,v = sin θdθdφ → d3 nφ,θ,v = sin θdθdφ
4π 4π

4.1.5. Magnitudes
Presiń: choques contra una pared
o
La presiń es efecto de los choques de las molćulas del gas contra una pared.
o e
Consideremos un elemento de pared dS

Vamos a contabilizar las molćulas que chocan contra la pared en funciń de sus
e o
velocidades, es decir de qu´ tipo sean (v, φ, theta).
e

Para que una molćula de tipo θ, φ, v choque con dS en un intervalo de tiempo dτ ,
e
debe encontrarse justo antes de ese intervalo en un cilindro oblicuo de generatriz
L = vdτ inclinado segń los ńgulos φθ.
u a

Las molćulas que son de ese tipo:
e
dnv
d3 nθ,φ,v = sin θdθdφ
4π


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