Tema 5 (inecuaciones)

Colegio Diocesano “Asunción de Nuestra Señora” – Ávila Tema 5
Departamento de Matemáticas Matemáticas B1
Los coches de motor diésel utilizan un combustible más barato que la gasolina. La desventaja
que tienen estos coches con relación a los de gasolina es que su coste inicial es algo superior. Por
eso, a la hora de comprar un coche es importante estudiar con atención el uso que se va a hacer de
él, ya que lo que se está ahorrando al llenar el depósito de combustible puede que no compense el
mayor coste inicial.
Para tratar matemáticamente esta situación es necesario manejar expresiones que reflejen:
“Coste total del vehículo diésel ≤ Coste total del vehículo de gasolina”.
En esta unidad veremos cómo se puede obtener información de expresiones que se escriben
como desigualdades.

1.- Inecuaciones.
Una inecuación es una desigualdad entre letras y números relacionados por las operaciones
aritméticas.
Las letras se llaman incógnitas.
Ejemplos:
2 8x   2 5x  2
1 3x  
3 5 1 2
2 2 7
x x
 
Observación:
Las soluciones de una inecuación son los valores que pueden tomar las incógnitas tales que al
sustituirlos en la inecuación hacen que la desigualdad sea cierta.
Las inecuaciones pueden tener 0, 1, 2, 3, ..... o infinitas soluciones. Lo normal es que tengan
infinitas soluciones, y estas soluciones vendrán determinadas por uno o varios intervalos.
Ejemplos:
a) 2
1 0x   
b) 2
0x  
c) 2
1 0x   
d) 2
3 0x   
e) 2
1 0x   
2.- Resolución de inecuaciones de primer grado. Reglas.
Dos inecuaciones se dice que son equivalentes cuando tienen las mismas soluciones
Para resolver una inecuación se transforma en otra más sencilla que tenga las mismas
soluciones.
Las reglas que permiten pasar de una inecuación a otra equivalente son las mismas que
relacionan las desigualdades con la suma y el producto, ya vistas en el tema 1.
Si a los dos miembros de una inecuación se les suma o resta un mismo número o una misma
expresión algebraica, se obtiene otra inecuación equivalente a la dada.
Ejemplo:
Resolver las inecuaciones:
a) 3 1 2 5x x  
3 2 5 1x x  
(44 , )x x  
la inecuación es cierta para todos los números reales mayores que 4.
b) 2 1 3x x  
2 3 1x x  
( ,2 2]x x  
la inecuación es cierta para todos los números reales menores o iguales que 2.

Si a los dos miembros de una inecuación se les multiplica o divide por un mismo número, se
obtiene otra inecuación:
 equivalente a la dada si el número es mayor que cero (número positivo).
 equivalente a la dada, cambiando el sentido, si el número es menor que cero (número
negativo).
Ejemplo:
Resolver las siguientes inecuaciones:
a)
2( 1)7 14 28
7 2( 1) 14 28
14 14 14 14
1
2
2 7
x x xx x
xx x x

       

   
7 2 2 14 28 9 2 14 28 9 14 28 2x x x x x x x              
30
5 30 6
5
x x x

        

(6, )x 
b)
3(3 1) 2(53 1 2)3 1 5 2
2 3 6 6
5 2
2 3
x xx xx x   
       
 
 


3(3 1) 2(5 2) 9 3 10 4 9 10 4 3x x x x x x                  
1x    [ 1, )x  
Observación:
Para resolver inecuaciones son válidos los mismos pasos que para resolver ecuaciones:
 suprimir paréntesis.
 quitar denominadores.
 pasar sumandos de un miembro a otro (está sumando, pasa restando; está restando,
pasa sumando).
 pasar factores o denominadores de un miembro a otro (está multiplicando, pasa
dividiendo; está dividiendo, pasa multiplicando).
La única diferencia es que, cuando la incógnita está multiplicada o dividida por un número
negativo:
3 12x 
se invierte el sentido de la desigualdad:
12
4
3
x x   

Observación:
Es recomendable pasar los sumandos con “x” al lado de la desigualdad que de coeficiente
positivo para así no tener que cambiar el orden de la desigualdad.
Ejercicios: 1, 2
3.- Inecuaciones de segundo grado.
Una inecuación de segundo grado es de la forma 2
0ax bx c   ( , , )   , con 0a  ,
una vez simplificada y ordenada la desigualdad.
Para resolver una inecuación de segundo grado procederemos de la siguiente forma,
utilizando un ejemplo como muestra.

Ejemplo 1:
a) 2
6 8 0x x    expresión 
una vez simplificada y ordenada la inecuación la transformamos a ecuación:
2
6 8 0x x  
resolvemos la ecuación de segundo grado:
46 36 32 6 2
22 2
x
x
x
  
   

expresamos en la recta real los valores que anulan la expresión :
2 4
tenemos que calcular el signo que tiene la expresión  en cada uno de los intervalos creados. Para
ello tomamos un valor cualquiera de cada uno de los intervalos y lo sustituimos en la expresión :
 
 
 
2
2
2
,2 0 0 6·0 8 8 0
2,4 3 3 6·3 8 9 18 8 1 0
4, 5 5 6·5 8 25 30 8 3 0
x
x
x
       

           

           
colocamos el signo de la expresión en cada uno de los intervalos:
+ – +
2 4
Para poner la solución nos fijamos que signo tiene que tener la expresión ; en nuestro caso la
expresión  es positiva 0 , por lo tanto:
( ,2) (4, )x   
b) 2
2 4 6 0x x  
2 2
2 4 6 0 2 3 0x x x x      
32 4 12 2 4
12 2
x
x
x
  
   
 
+ – +
–1 3
 
 
 
2
2
2
, 1 2 2·( 2) 4·( 2) 6 8 8 6 10 0
1,3 0 2·0 4·0 6 6 0
3, 4 2·4 4·4 6 32 16 6 10 0
x
x
x
              

         

           
[ 1,3]x 

c) 2 2
4 4 3 2 44 4 ( 3) 2 4x x x x x x x x x x x           
2 2
4 4 0 3 4 0x x x x x         
2 2
3 4 0 3 4 0x x x x       
43 9 16 3 5
12 2
x
x
x
  
   
 
– + –
–1 4
 
 
 
2
2
2
, 1 2 ( 2) 3·( 2) 4 4 6 4 6 0
1,4 0 0 3·0 4 4 0
4, 5 5 3·5 4 25 15 4 6 0
x
x
x
                 

         

              
( , 1) (4, )x    
c) también podemos hacerlo de la siguiente forma:
2 2
4 4 3 2 44 4 ( 3) 2 4x x x x x x x x x x x           
2 2 2
0 4 4 0 3 4 3 4 0x x x x x x x            
2
3 4 0x x  
43 9 16 3 5
12 2
x
x
x
  
   
 
+ – +
–1 4
 
 
 
2
2
2
, 1 2 ( 2) 3·( 2) 4 4 6 4 6 0
1,4 0 0 3·0 4 4 0
4, 5 5 3·5 4 25 15 4 6 0
x
x
x
              

         

           
( , 1) (4, )x    
Observación:
Si es posible, poner los sumandos de la inecuación de segundo grado al lado de la
desigualdad en el cual el coeficiente de “ 2
x ” sea positivo.

Ejemplo 2:
a) 2
2 3 0x x  
2
2 3 0x x  
2 4 12 2 8
2 2
x
     
  +
 
  2
, 0 0 2·0 3 3 0x        
x
b) 2
1 0x x  
2
1 0x x  
1 1 4 1 3
2 2
x
     
  +
 
  2
, 0 0 0 1 1 0x        
x , No tiene solución
Ejercicios: 3, 4, 5
4.- Inecuaciones de grado superior a 2.
El mismo proceso seguido en las inecuaciones de 2º grado es válido para resolver estas
inecuaciones.
Ejemplo:
a) 3 2
6 0x x x  
3 2 2
2
0
6 0 ( 6) 0
6 0
x
x x x x x x
x x

        
  
31 1 24 1 5
22 2
x
x
x
  
   
 
– + – +
–2 0 3

 
 
 
 
3 2
3 2
3 2
3 2
, 2 3 ( 3) ( 3) 6·( 3) 27 9 18 18 0
2,0 1 ( 1) ( 1) 6·( 1) 1 1 6 4 0
0,3 1 1 1 6·1 1 1 6 6 0
3, 4 4 4 6·4 64 16 24 24 0
x
x
x
x
                 

                

           

           
( , 2) (0,3)x   
b) ( 1)( 2) 0x x x  
0
( 1)( 2) 0 1 0 1
2 0 2
x
x x x x x
x x


       
     
– + – +
–2 0 1
 
 
 
 
, 2 3 3·( 3 1)·( 3 2) 3·( 4)·( 1) 12 0
2,0 1 1·( 1 1)·( 1 2) 1·( 2)·1 2 0
1 1 1 1 1 1 5 5
0,1 · 1 · 2 · · 0
2 2 2 2 2 2 2 8
1, 2 2·(2 1)·(2 2) 2·1·4 8 0
x
x
x
x
                 

               

    
           
    
         
[ 2,0] [1, )x   
Ejercicio: 6
5.- Resolución de inecuaciones fraccionarias.
 Una sola fracción:
Ejemplo 1:
a)
2
0
4
x
x



igualamos numerador y denominador a cero:
2 0 2
4 0 4
x x
x x
   
   
expresamos en la recta real los valores que anulan al numerador y al denominador; y a partir de aquí
el proceso es semejante a las de 2º grado.

+ – +
2 4
 
 
 
0 2 2 1
,2 0 0
0 4 4 2
3 2 1
2,4 3 1 0
3 4 1
5 2 3
4, 5 3 0
5 4 1
x
x
x
 
       

 
       
  
 
        
( ,2) (4, )x   
b)
2 8
0
3 9
x
x



2 8 0 2 8 4
3 9 0 3 9 3
x x x
x x x
     
       
+ – +
–3 4
 
 
 
2·( 4) 8 8 8 16 16
, 3 4 0
3·( 4) 9 12 9 3 3
2·0 8 8
3,4 0 0
3·0 9 9
2·5 8 10 8 2 1
4, 5 0
3·5 9 15 9 24 12
x
x
x
    
               
 
      
 
 
        
  
[ 3,4]x 
Observación: CUIDADO
Para los valores de “x” que anulan al denominador hay que poner intervalo abierto ya que el
denominador de una fracción nunca puede ser cero. (OJO)
c)
( 1)( 2)
0
4
x x
x
 


1 0 1
( 1)( 2) 0
2 0 2
x x
x x
x x
    
    
   
4 0 4x x   
– + – +
–1 2 4

 
 
 
 
( 2 1)·( 2 2) ( 1)·( 4) 4 2
, 1 2 0
2 4 6 6 3
(0 1)·(0 2) 1·( 2) 2 1
1,2 0 0
0 4 4 4 2
(3 1)·(3 2) 4·1
2,4 3 4 0
3 4 1
(5 1)·(5 2) 6·3
4, 5 18 0
5 4 1
x
x
x
x
       
             

           
  

        
 
 
      
 
( , 1] [2,4)x   
Ejercicios: 7, 8
 Varias fracciones:
Ejemplo 2:
a)
1 1
1 1
x x
x x
 

 
Pasamos todos los sumandos al mismo lado de la desigualdad y realizamos las operaciones
oportunas (m. c. m.) hasta conseguir una sola fracción:
( 1)( 1) ( 1)( 1)1 1
0 0
1 1 ( 1)( 1) ( 1)( 1)
x x x xx x
x x x x x x
    
     
     
2 2
( 2 1) ( 2 1) 4
0 0
( 1)( 1) ( 1)( 1)
x x x x x
x x x x
     
   
   
y a partir de aquí el proceso es semejante a las del apartado anterior:
4 0 0x x   
1 0 1
( 1)( 1) 0
1 0 1
x x
x x
x x
    
    
   
+ – + –
–1 0 1
 
 
4·( 2) 8 8
, 1 2 0
( 2 1)·( 2 1) ( 1)·( 3) 3
1
4·
1 2 2 821,0 0
1 3 31 12 3
·1 · 1
2 2 42 2
x
x
  
              


 
         
      
     
    

 
 
1
4·
1 2 2 820,1 0
3 1 31 12 3
·1 · 1
2 2 42 2
4·2 8 8
1, 2 0
(2 1)·(2 1) 3·1 3
x
x

  
                 
    
   
         
( 1,0) (1, )x   
b)
22 2
( 2)(3 4) 32
0 0
3 3 4 3(3 4)
2
3 3 4
x x xx x
x x
x x
x
  
   
 





2 2
3 4 6 8 3 2 8
0 0
3(3 4) 3(3 4)
x x x x x
x x
    
   
 
2 8 0 2 8 4
4
3(3 4) 0 3 4 0 3 4
3
x x x
x x x x
     
        
+ – +
4
3
4
 
 
 
 
2·0 84 0 8 8 2
, 0 0
3 3· 3·0 4 3·(0 4) 12 3
2·2 84 4 8 4 4 2
,4 2 0
3 3· 3·2 4 3·(6 4) 3·2 6 3
2·5 8 10 8 2 2
4, 5 0
3· 3·5 4 3·(15 4) 3·11 33
x
x
x
   
         
    
      
         
   
 
        
  
4
,4
3
x
 
  
Ejercicio: 9

6.- Problemas.
Problema:
Una empresa automovilística fabrica el mismo modelo con dos motorizaciones similares: el
TGi con motor de gasolina y el TDi con motor diésel. El coche de gasolina cuesta 26.000 € y el
diésel 32.000 €. Los gastos de mantenimiento son iguales en ambos modelos.
Suponiendo que el kilómetro del coche de gasolina tiene un precio medio de 10 céntimos y el
del coche de gasóleo 5 céntimos, se pide a partir de qué kilómetros es rentable la compra del
modelo diésel.
Parte fija
Precio del coche
Parte variable
Coste por kilómetro
Precio total del
coche
Coche gasolina 26.000 € 0’1 € 26000 0'1x
Coche diésel 32.000 € 0’05 € 32000 0'05x
x número de kilómetros recorridos
“más rentable la compra del modelo diésel” significa que el precio del diésel es menor que
el precio del de gasolina:
32000 0'05 26000 0'1 32000 26000 0'1 0'05x x x x       
6000
6000 0'05 120.000
0'05
x x x      
Es más rentable el coche diésel si recorre más de 120.000 kilómetros.
Ejercicios: 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19

EJERCICIOS
1.- Resuelve las siguientes inecuaciones:
a) 6 3 4 7x x   b) 3 1 2 4x x    c) 2 9 3 5x x  
d) 2
( 1) 3 1x x x x    e) ( 2)( 3) ( 1)( 5)x x x x    
f) 2( 3) 3( 1) 2( 2)x x x    
a) 5
3 2 6
x x x
   b)
2 4 2 5
3 12
x x 
 c)
1
2
2 7
x x
x

  
d)
3 3 4 8
3
5 2 4
x x x
x
 
   e)
2 1 8 10
0
3 8 45
x x x 
   f)
2 3 1
3
4 2
x x 
 
3.- Resuelve las siguientes inecuaciones de segundo grado:
a) 2
5 6 0x x   b) 2
7 3 0x x  c) 2
2 16 24 0x x  
a) ( 3) 2 4 4x x x x    b) 2 2 2
( 1) ( 2) 3 7 1x x x x      
c) 2 2
( ) ( 1)( 2) 4x x x x x      d) 2
(2 3) 1x  
a) 62 2
 xx b) 0322
 xx c) 82 2
x
6.- Resolver las siguientes inecuaciones:
a) 0)3()2()1(  xxx b) 012872 234
 xxxx
a)
3 6
0
1
x
x



b) 0
1
x
x


c) 2
(2 3)(2 1)
0
4 1
x x
x
 


8.- Resolver las siguientes inecuaciones:
a) 0
5
254 23



x
xxx
b) 0
23
7
2



xx
x
c)
( 3)
0
( 1) ( 2)
x x
x x


 
9.- Resolver estas inecuaciones:
a)
433
2 2



x
xx
b)
1
2
2
3x 
 c)
2
1
3
1
1
x
x x
 

d)
423
4 2



x
xx
10.- Una empresa de alquiler de coches cobra 30 euros fijos más 25 céntimos por kilómetro
recorrido. Otra empresa de la competencia no tiene canon fijo, pero cobra 45 céntimos por
kilómetro recorrido. ¿A partir de cuántos kilómetros es más económica la primera?.
11.- Una fábrica paga a cada agente comercial 1 euro por artículo vendido más una cantidad fija de
1.000 euros. Otra fábrica de la competencia paga 150 céntimos por artículo y 400 euros fijos.
¿Cuántos artículos debe vender un agente comercial de la competencia para ganar más dinero
que el primero?.

12.- Una empresa de informática cobra por elaborar un programa de ordenador 1.000 euros más
120 euros por hora de programación. Otra empresa de la competencia cobra siempre 10.000
euros cualquiera que sea el número de horas de programación. ¿En qué condiciones conviene
elegir una u otra empresa?.
13.- Un vendedor tiene un contrato con una editorial por el cual percibe 360 euros de sueldo fijo
más 130 euros por enciclopedia que venda. De otra editorial recibe otra oferta por la que le
ofrecen 160 euros por enciclopedia que venda. Analiza la conveniencia de cada una de las
ofertas según el número de enciclopedias que venda.
14.- Halla los valores de m para los que las raíces de la ecuación 2
6 0x x m   sean las dos
reales y distintas.
15.- Halla la condición que tienen que verificar los coeficientes de la ecuación:
2
8 ( 1) 7 0x m x m    
para que tenga las dos raíces reales y distintas.
16.- Prueba que las funciones de segundo grado 2
( )f x m x m x m   , 0m  toman siempre
valores positivos.
17.- Halla los valores de m para que la ecuación 2
2( 2) ( 10) 0mx m x m     tenga dos raíces
reales distintas.
18.- Halla los valores de m para que la ecuación 2
8 ( 1) 7 0x m x m     no tenga raíces reales.
19.- Halla la condición que tienen que verificar los coeficientes de la parábola
16)1( 2
 xxmy para que su gráfica no corte en ningún punto al eje de abscisas.

CUESTIONES
1.- Representa gráficamente las soluciones de la inecuación 3x  . Todos los números que no
verifican esta inecuación verifican otra. ¿Cuál es?.
2.- Si se multiplica a los dos miembros de una inecuación por un número negativo, ¿se puede
afirmar que la inecuación resultante es equivalente a la primera?. Si la respuesta es negativa,
indica lo que hay que hacer.
3.- ¿Son equivalentes las siguientes inecuaciones?:
a) 2
( 1) 0x x   b) 1 0x  
4.- Razona las siguientes preguntas:
a) ¿Qué números verifican la inecuación 0 · 0x  ?.
b) ¿Y la inecuación 0 · 2x   ?.
5.- La inecuación 2
4 8x x , ¿es equivalente a 4 8x  ?. Razona la respuesta y resuelve las dos
inecuaciones para comprobar tu afirmación.
6.- En la siguiente figura se dan tres rectas. Ordénalas de menor a mayor según los valores de y
para los distintos valores de x. ¿Son iguales para algún valor?.
7.- La inecuación
2
2
5 6
0
1
x x
x
 


, ¿es equivalente a 2
5 6 0x x   ?. ¿Por qué?.
8.- La inecuación 4
1 0x   , ¿es equivalente a 2
1 0x   ?. ¿Por qué?.

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