1. ESCUELA DE INGENIERIAS Y ADMINISTRACION
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BASICAS
Introducción al Cálculo Diferencial
PRIMER SEMESTRE 2015
Taller 5
PROFESORA
Yolvi Adriana Córdoba Buitrago
ESPECIALISTA EN EDUCACION MATEMATICA
INECUACIONES LINEALES
Resolver una inecuación significa hallar los valores que deben tomar las incógnitas para que se
cumpla la desigualdad.
Ejemplos: Resolver
a) 3 x – 2 < 1
Despejando
3x – 2 < 1
3 x < 1 + 2
3 x < 3
x < 3 : 3
x < 1
Aplicando propiedades
3 x – 2 < 1
3 x – 2 + 2 < 1 + 2
3
1
3 x <
3
1
3
x < 1
3x – 2 < 1
2
1+x
> 4
x + y ≥ 24
-2x + 1 ≤ x – 3
3x – 2 = 1
2
1+x
= 4
x + y = 24
-2x + 1 = x – 3
Ecuaciones Inecuaciones
Igualdades ( = ) Desigualdades ( < , ≤ ; > , ≥ )
De primer grado

2. Solución: S = ( - ∞ , 1 )
Representación gráfica:
b) 4
2
1
>
+x
Despejando
2
1+x
> 4
x + 1 > 4 . 2
x + 1 > 8
x > 8 - 1
x > 7
Aplicando propiedades
2
1+x
> 4
2
1+x
. 2 > 4 . 2
x + 1 > 8
x + 1 + (- 1) > 8 + (- 1)
x > 7
Solución: S = ( 7 , + ∞ )
Representación gráfica:
c) x + y ≥ 24
Es una ecuación lineal con dos incógnitas que se verifica para infinitas parejas de números. Por
ejemplo:
x = 0 ; y = 24
x = 2 ; y = 23
x = -3 ; y = 30
x =
2
1
;
y = ....
x = .... y = 2
x = 1 ; y = 10
¿ verifican la ecuación ?
d) -2 x + 1 ≤ x – 3
Despejando Aplicando propiedades

3. - 2 x + 1 ≤ x - 3
- 2 x - x ≤ - 3 - 1
- 3 x ≤ - 4
x ≥ - 4 : (- 3)
x ≥
3
4
-2 x + 1 ≤ x - 3
-2 x + 1 + (-x ) ≤ x - 3 + (- x )
[-2 x + (-x ) ] + 1 ≤ [ x + (- x ) ] - 3
-3 x + [ 1 + (-1 ) ] ≤ - 3 + (-1 )
-3 x ≤ - 4
-
3
1
. (-3) x ≥ -
3
1
.(-4)
x ≥
3
4
Solución: S = [ 3
4
, + ∞ )
Representación gráfica:
Las inecuaciones permiten resolver problemas. Veamos el siguiente ejemplo.
Ejemplo: Una furgoneta pesa 875 kg. La diferencia entre el peso
de la furgoneta vacía y el peso de la carga que lleve no debe ser
inferior que 415 kg. Si hay que cargar cuatro cajones iguales,
¿cuánto puede pesar, como máximo, cada uno de ellos para poder
llevarlos en esa furgoneta?.
En primer lugar, traducimos el enunciado al lenguaje simbólico,
llamamos x al peso de cada cajón y planteamos la siguiente
inecuación:
Peso de la furgoneta - peso de 4 cajones no es menor que 415 kg
875 - 4 . x ≥ 415
Una forma de resolver la inecuación es seguir los siguientes pasos:
 Restamos 875 a ambos miembros de la desigualdad - 4 . x ≥ 415 - 875
 Hacemos el cálculo en el segundo miembro - 4 . x ≥ - 460
 Para despejar x , multiplicamos a ambos miembros por -
4
1
(Cuidado: como multiplicamos por un número negativo,
debemos cambiar el sentido de la desigualdad) x ≤ ( )460
4
1
−⋅





−
 Hacemos el cálculo x ≤ 115

4. Esto significa que el peso de cada cajón no podrá superar los 115 kg. Además, como se trata
de un peso, x > 0.
Entonces, la solución está formada por todos los números reales pertenecientes al intervalo
(0 , 115]. Graficamos la solución en la recta real:
EJERCICIOS DE APLICACIÓN
Ejercicio 1 : Resolver las siguientes inecuaciones y representar el conjunto solución en la recta
real:
a) 2 x - 3 < 4 - 2 x
b) 5 + 3 x ≤ 4 - x
c) 4 - 2 t > t - 5
d) x + 8 ≤ 3 x + 1
e) 2 . 





2
1
-x > 3 x
f)
3
1
4
2 −
≤
+ aa
g) 3 x - 12 ≤
4
6-5 x
h) 3 . ( 4 - x ) > 18 x + 5
i)
6
-5
23
xxx
>+
j)
6
1
-
3
5
4-
4
xx
≥−
k) 2-
2
14
4
8
-
3
25 +
>
−− xxx
l) 02-
7
1
2
<+
+
+ x
xx
m) ( ) 0
4
7
2
1
-.43-
3
1
-2 >





++





xx
n) x - 2 > 0
Ejercicio 2 : Indicar si la siguiente resolución es V o F justificando la respuesta:
x
3
< 2

5. x
3
x < 2 x
3 < 2 x
2
1
3 <
2
1
2 x
2
3
< x
Ejercicio 3: ¿Cuáles son los números cuyo triplo excede a su duplo en más de 20?.
Ejercicio 4: ¿Cuál es el menor número entero múltiplo de 4, que satisface la siguiente inecuación:
x + 2 < 3 x + 1 ?.
Ejercicio 5: Si el lado de un cuadrado es mayor o igual que 7. ¿Qué se puede decir de su perímetro
p ?.
Ejercicio 6: El perímetro de un cuadrado no supera el perímetro del rectángulo de la figura. ¿Qué
se puede asegurar acerca de la superficie S del cuadrado ?.
Ejercicio 7: Un padre y su hijo se llevan 22 años. Determinar en qué período de sus vidas, la edad
del padre excede en más de 6 años al doble de la edad del hijo.
Ejercicio 8: Un coche se desplaza por una carretera a una velocidad comprendida entre 100 Km/h
y 150 Km/h. ¿Entre qué valores oscila la distancia del coche al punto de partida al cabo de 3 horas?.
Ejercicio 9: Una fábrica paga a sus viajantes $10 por artículo vendido más una cantidad fija de
$500.Otra fábrica de la competencia paga $15 por artículo y $300 fijas. ¿Cuántos artículos debe
vender el viajante de la competencia para ganar más dinero que el primero?.
Ejercicio 10 : Sean A = {x/x ∈ R ∧ x + 1 < 4 } y B = (- ∞ ,
2
3
] ∪ [3 , + ∞) . Determinar
A ∩ B
Ejercicio 11 : Determinar:
{x / x ∈ R ∧ 2 x - 4 > 0 } ∩ {x / x ∈ R ∧ 3 - x ≥ 0 }
Inecuaciones de segundo grado
1ºIgualamos el polinomio del primer miembro a
cero y obtenemos las raíces de la ecuación de
segundo grado.

6. 2º Representamos estos valores en la recta real.
Tomamos un punto de cada intervalo y evaluamos
el signo en cada intervalo:
3º La solución está compuesta por los intervalos (o
el intervalo) que tengan el mismo signo que el
polinomio.
Si el discriminante es igual a cero:
Cuando no tiene raíces reales, le damos al
polinomio cualquier valor si:
El signo obtenido coincide con el de la
desigualdad, la solución es .
El signo obtenido no coincide con el de la
desigualdad, no tiene solución.
Solución
x2
+ 2x +1 ≥ 0 (x + 1)2
≥ 0
x2
+ 2x +1 > 0 (x + 1)2
> 0
x2
+ 2x +1 ≤ 0 (x + 1)2
≤ 0 x = − 1
x2
+ 2x +1 < 0 (x + 1)2
< 0

7. Inecuaciones racionales
Se resuelven de un modo similar a las de segundo
grado, pero hay que tener presente que el
denominador no puede ser cero.
1º Hallamos las raíces del numerador y del
denominador.
2º Representamos estos valores en la recta
real, teniendo en cuenta que las raíces del
denominador, independientemente del signo
de la desigualdad, tienen que ser abiertas.
3ºTomamos un punto de cada intervalo y
evaluamos el signo en cada intervalo:
4ºLa solución está compuesta por los
intervalos (o el intervalo) que tengan el mismo
signo que la fracción polinómica.

8. III. Determino la solución de las siguientes
inecuaciones
1) ( ) 56x144x3
2
+≤+
2) ( ) ( ) ( ) ( ) 10x34x375x1x2 +−+−≤+−
3) ( ) x344x53x4 2
−−≥
4) 030x17x2
≥+−
5) ( ) 09x12x4 2
≤+−
6) 049x14x2
≥++
7) 016x24x9 2
≤++
8) x4x2
≤
9) 3x2
≥
10) 05x2x3 2
≥+−
11) 04x9x7 2
≤+−
12) ( )( ) ( ) 05x3x4x2
≥+−+
13) 0x27x12x 23
≤++
14) 045x9x5x 23
≥+−−
15) 27x3
≤
16) x8x4
≥
17) 0x8x 23
≤−
18) 09x10x 24
≥+−
19) 0x81x 25
≤−
20) ( ) ( )( ) 0x4x1x2x 22
≥−+−
28x27x10 2
≤+
21)
9x24x16 2
−≤
22)
07x7x2 2
≤+−
23)
050x15x2
≥+−
24)
016x8x2
≥+−
25)
05x4x3 2
≥++
26)
081x4
≤−
27)
0x27x 25
≥−

9. 28)
0x24x4x6x 234
≤+−−
29)
0252x36x49x 24
≤−−−
30)
x76x3
≤+
31)
081x4
≥−
32)
( ) ( ) 04x1xx 22
≥−+
33)
( ) ( ) ( ) 01x2xx3
2
≤−+−
IV Resuelvo las siguientes inecuaciones
1.
1
5
2
3
+
≤
− xx
2. 1
2
3
≥
−
+
x
x
3.
2
47
1
85
+
−
≤
−
−
x
x
x
x
4. 34 ≥−x
5. 392 ≤−x
6. 0734 <+− x
7.
74
15
12
3
+
−
≤
−
+
x
x
x
x
8.
7
47
12
85
+
−
≤
−
+
x
x
x
x
9.
1
1
2
1
2
3
+
<
−
−
+ xxx
10. 71 −≤− xx
11. 0
6
5
4
3
≤
+
+
− xx
12. .
158
3
20
4
23
2
222
+−
<
−−
−
++ xxx
x
xxx
13. .
158
3
20
4
12
5
222
+−
<
−−
+
++ xxx xxx
14. . 0
1
1
1
1
>
−
+
+
+
−
x
x
x
x
15. . 61275 +−≥+− mx
16. . 1134 ++>− xx
17. . 142
+≤+ xx
18. . 221 ++≥+ xx
19. . 162
+<− xxx
20. . 5
3
6
3 ≤
+
++
x
x
21. . 4
214
48
7
20
2
−≥
−+
−
−
+
−
xx
x
x
x
22. .
1
1
1
3
2
−
≤
+ xx
23. . 0
1
1
1
5
2
≤
−
+
− xx
v. Determinar el valor o los valores de x que
satisfacen las siguientes expresiones:
1) 2x - 3= 5
2) 2x + 8= -7
3) 4x+2= 6
4) 3 +2x≥ 0
5) 5x -2≤ 3
6) 2 –3x< 2
7) 7.5 –12X- X + 3 < 0
8) 5x -6 ≥ 4X + 9
9) 11 –4X- X + 2 = 0
10) 4x -3 < 2X +5
11) 5 –2X> X + 3
12) 15 – 6X≤ 2X + 7
13) 3 – 5X= 2X + 9
14) 9 – 5X≥ 3X + 7
15) 9X – 5≥ 6
APLICACIONES DE LAS DESIGUALDADES