14. Homología
Persistente
Rolando
Espinoza
Introducción
Complejos
Simpliciales
Homología
Simplicial
Homología
Persistente
Experimentación
Conclusiones
Realización Geométrica
Si K es un complejo simplicial geométrico en Rm, este
determina un complejo simplicial abstracto tomando los
vértices de K como conjunto de vértices del complejo
abstracto.
Recíprocamente, si K es un complejo simplicial abstracto,
este determina un complejo simplicial geométrico de la
siguiente manera:
Si n es la dimensión de K, elegimos un conjunto de
puntos (uno por cada vértice de K en posición general
en Rm, con m ≥ 2n + 1, y definimos por cada simplex
abstracto de K el simplex geométrico que se obtiene
tomando la cápsula convexa de los puntos correspon-
dientes al simplex.
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28. Homología
Persistente
Rolando
Espinoza
Introducción
Complejos
Simpliciales
Homología
Simplicial
Homología
Persistente
Experimentación
Conclusiones
Complejo Witness
Complejo desarrollado por Vin de Silva y Gunnar
Carlsson. Tiene una construcción más elaborada,
enfocada en reducir la complejidad computacional al
calcular la homología persistente.
De una muestra puntual A de un espacio métrico,
tomamos una submuestra L ⊆ A y construimos el
complejo sobre L en lugar de A.
Dado un k-simplex σ con vértices L y unos puntos
w ∈ W, decimos que w es un α-testigo (witness) de σ si
los vértices de σ estan dentro todos dentro dk(w) + α de
w, donde dk(w) es la distancia de w a sus k + 1-ésimos
vecinos más cercanos en L. Luego se hace una
expansión de Vietoris–Rips.
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29. Homología
Persistente
Rolando
Espinoza
Introducción
Complejos
Simpliciales
Homología
Simplicial
Homología
Persistente
Experimentación
Conclusiones
Complejo Inducido por Grafo
El complejo inducido por grafo, desarrollado por Dey,
Fan y Wang, también utiliza la idea del submuestreo y
es más útil para capturar la topología e incluso
geometría de una variedad.
La ventaja sobre el complejo Witness es que este
complejo no es necesariamente un subcomplejo del
complejo de Delaunay y por lo tanto contiene más
simpliciales que ayudan en la inferencia de la topología.
Dado el grafo vecindad de una nube de puntos P
equipado con una métrica, podemos construir su
complejo inducido por un grafo en una submuestra
Q ⊆ P armando un simplejo de un conjunto de vértices
V ⊆ Q si un conjunto de puntos en P, cada uno siendo
el más cercano a un vértice de V , forman un clique (todo
par de puntos en P estan conectados por una arista).
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