Se da una introducción a las completaciones formales de anillos y esquemas formales débiles.

1. Esquemas Formales D´ebiles
J. Rogelio P´erez Buend´ıa
Centro de Investigaci´on en Matem´aticas (CIMAT)
Seminario de estudio en cohomolog´ıa p-´adica de De Rham
11 de febrero de 2016

2. Completaci´on de un Anillo
A un anillo conmutativo con uno I ⊂ A un ideal.
Definici´on
La completaci´on de A respecto al ideal I es el anillo
ˆA := lim
←−
n 1
A/In
⊂
n 1
A/In
Tambi´en decimos que ˆA es la completaci´on I-´adica de A.
Tenemos un morfismo can´onico de anillos A → ˆA inducido por las
proyecciones A → A/In
.

3. Completaci´on de un Anillo
A un anillo conmutativo con uno I ⊂ A un ideal.
Definici´on
La completaci´on de A respecto al ideal I es el anillo
ˆA := lim
←−
n 1
A/In
⊂
n 1
A/In
Tambi´en decimos que ˆA es la completaci´on I-´adica de A.
Tenemos un morfismo can´onico de anillos A → ˆA inducido por las
proyecciones A → A/In
.
Similarmente si M es un A-m´odulo, entonces definimos la completaci´on
I-´adica de M como:
ˆM := lim
←−
M/In
M
con su estructura natural de ˆA-m´odulo.

4. Propiedades
Tenemos que ˆA/ˆIn
A/In
.

5. Propiedades
Tenemos que ˆA/ˆIn
A/In
.
Si M es de tipo finito, entonces ˆM M ⊗A
ˆA.

6. Propiedades
Tenemos que ˆA/ˆIn
A/In
.
Si M es de tipo finito, entonces ˆM M ⊗A
ˆA.
El funtor M → ˆM es exacto en la categor´ıa de A-m´odulos de tipo
finito.

7. Propiedades
Tenemos que ˆA/ˆIn
A/In
.
Si M es de tipo finito, entonces ˆM M ⊗A
ˆA.
El funtor M → ˆM es exacto en la categor´ıa de A-m´odulos de tipo
finito.
ˆA es un anillo noetheriano.

8. Completaci´on Formal
Sea X un esquema noetheriano y sea Y → X una inmersi´on cerrada
definida por la gavilla de ideales I.
Definici´on
La completaci´on formal de X respecto a Y es el espacio anillado:
ˆX := (ˆX, OˆX )
tal que:
ˆX = Y como espacio topol´ogico.
Decimos que el anillo A es completo respecto a la topolog´ıa I-´adica si
A ˆA. En particular ˆA es completo.

9. Completaci´on Formal
Sea X un esquema noetheriano y sea Y → X una inmersi´on cerrada
definida por la gavilla de ideales I.
Definici´on
La completaci´on formal de X respecto a Y es el espacio anillado:
ˆX := (ˆX, OˆX )
tal que:
ˆX = Y como espacio topol´ogico.
OˆX := lim
←−
OX /In
considerada como gavilla en Y .
Decimos que el anillo A es completo respecto a la topolog´ıa I-´adica si
A ˆA. En particular ˆA es completo.

10. El caso af´ın
Si X = Spec(A) es un esquema af´ın y si Y = Spec(A/I) es un
subesquema cerrado af´ın, entonces tenemos que:
Γ(OˆX , ˆX) = ˆA
es la completaci´on I-´adica de A.

11. El caso af´ın
Si X = Spec(A) es un esquema af´ın y si Y = Spec(A/I) es un
subesquema cerrado af´ın, entonces tenemos que:
Γ(OˆX , ˆX) = ˆA
es la completaci´on I-´adica de A.
ˆX es de hecho un espacio localmente anillado
Los anillos locales de ˆX no son completos en general.

12. Completaci´on de gavillas coherentes
Sea X un esquema y Y → X una inmersi´on cerrada determinada por la
gavilla de ideales I. Sea F una gavilla coherente en X.
Definici´on
La completaci´on de F respecto a Y es la gavilla en Y :
F := lim
←−
F/In
F
con su estructura natural de OˆX -m´odulo (y por lo tanto es una gavilla
coherente en ˆX).

13. La categor´ıa de esquemas formales noetherianos
Definici´on
Un Esquema Formal Noetheriano es un espacio localmente anillado
(X, OX) que tiene una cubierta abierta finita {Ui } de tal manera que para
cada i el par (Ui , OUi
) es isomorfo, como espacio localmente anillado, a
la completaci´on de un esquema Xi respecto a una inmersi´on cerrada Yi .

14. La categor´ıa de esquemas formales noetherianos
Definici´on
Un Esquema Formal Noetheriano es un espacio localmente anillado
(X, OX) que tiene una cubierta abierta finita {Ui } de tal manera que para
cada i el par (Ui , OUi
) es isomorfo, como espacio localmente anillado, a
la completaci´on de un esquema Xi respecto a una inmersi´on cerrada Yi .
Un Morfismo de esquemas formales noetherianos es un morfismo de
espacios localmente anillados.

15. La categor´ıa de esquemas formales noetherianos
Definici´on
Un Esquema Formal Noetheriano es un espacio localmente anillado
(X, OX) que tiene una cubierta abierta finita {Ui } de tal manera que para
cada i el par (Ui , OUi
) es isomorfo, como espacio localmente anillado, a
la completaci´on de un esquema Xi respecto a una inmersi´on cerrada Yi .
Un Morfismo de esquemas formales noetherianos es un morfismo de
espacios localmente anillados.
Una gavilla F es coherente si existe una cubierta como la descrita en el
primer p´arrafo, {Ui } con Ui
ˆXi tal que para cada i F|i es isomorfa a una
gavilla coherente Fi de ˆXi .

16. Ejemplos triviales
Si Y es un subesquema cerrado del esquema noetheriano X,
entonces ˆX es un esquema formal (Esquemas formal algebraizable).
Si tomamos Y = X entonces ˆX = X as´ı que la categor´ıa de
esquemas formales noetherianos contiene a la categor´ıa de esquemas
noetherianos.

17. Esquema formal af´ın
Definici´on
Un esquema formal (noetheriano) es af´ın si se obtiene como la
completaci´on de un esquema af´ın noetheriano respecto a un subesquema
cerrado.
X = Spec(A), Y = V(I), X = ˆX.
Si M es un A-m´odulo finitamente generado, entonces definimos la gavilla
M∆
en X como la completaci´on de la gavilla coherente ˜M en X. Esta es
obviamente una gavilla coherente en X.

18. Notaci´on
Sea R un anillo (local) noetheriano con ideal (maximal) m.
Para a ∈ R definimos el orden de a respecto a m, denotado por ordm(a)
como el entero n tal que a ∈ mn
pero a /∈ mn+1
.
En particular ordm(a) = 0 ⇐⇒ a ∈ R×
para R local.

19. Completaci´on d´ebil
Definici´on
Una R-´algebra A†
es D´ebilmente completa si se cumple que:
A†
es Hausdorff respecto a la topolog´ıa m-´adica. Es decir si
∩mn
= (0).

20. Completaci´on d´ebil
Definici´on
Una R-´algebra A†
es D´ebilmente completa si se cumple que:
A†
es Hausdorff respecto a la topolog´ıa m-´adica. Es decir si
∩mn
= (0).
Si f = |i| 0 ai Xi
∈ R[[X]] es una serie de potencias con
coeficientes en R tal que para alguna constante c y para toda
n-tupla i:
c[ordm(ai )] > |i|
es decir si f est´a en la completaci´on m-´adica de R[X]; entonces para
toda n-tupla a ∈ A†n
se tiene que f (a) ∈ A†
.

21. Completaci´on d´ebil
Definici´on
La completaci´on d´ebil de una R-´algebra A, es el ´algebra d´ebilmente
completa m´as peque˜na A†
⊂ ˆA tal que contiene a A.
Es decir, que satisface la propiedad universal:

22. D´ebilmente completa finitamente generada
Definici´on
Una ´algebra A†
d´ebilmente completa es llamada (dcfg) d´ebil completa
finitamente generada si existe una colecci´on finita de elementos
a1, a2, . . . , ak ∈ A†
tal que para todo a ∈ A†
existe una serie de potencias
f en n-variables tal que:
a = f (a1, . . . , an)
Claramente la completaci´on d´ebil de una ´algebra R finitamente generada
es una dcfg ´algebra.

23. Esquema formal d´ebil af´ın
Definici´on
un esquema formal d´ebil af´ın es un espacio (X, OX) localmente
anillado tal que para alguna dcfg R-´algebra A†
el espacio topol´ogico
asociado es:
X = Spec(A†
/mA†
)

24. Esquema formal d´ebil af´ın
Definici´on
un esquema formal d´ebil af´ın es un espacio (X, OX) localmente
anillado tal que para alguna dcfg R-´algebra A†
el espacio topol´ogico
asociado es:
X = Spec(A†
/mA†
)
y la gavilla estructural OX est´a descrita en sus abiertos b´asicos
principales (en t´erminos de la B-gavilla): Para [f ] ∈ A†
/mA†
denotamos por Xf el abierto principal b´asico correspondiente.
Entonces:
Γ(Xf , OX) := (A†
f )†
la completaci´on d´ebil de la localizaci´on A†
f para cualquier
representante f de [f ] en A†
.

25. Esquema formal d´ebil
Definici´on
Un (pre)esquema formal d´ebil es un espacio localmente anillado
(X, OX) que es localmente isomorfo a esquemas formales d´ebiles afines.

26. Teoremas de Meredith
Si R es un anillo de valuaci´on discreta completo y si (X, OX) es el
esquema formal d´ebil asociado a una ´algebra A†
d´ebilmente
completa finitamente generada (dcfg), entonces:
Se tiene una equivalencia entre las categor´ıas:
{Gavillas coherentes de OX-m´odulos} ⇐⇒ A†
-m´odulos f.g.

27. Teoremas de Meredith
Si (X, OX ) es un esquema (ordinario) de R-´algebras propio sobre R
con completaci´on d´ebil (X, OX) y si F es una gavilla coherente de
OX -m´odulos con completaci´on d´ebil F, entonces el mapeo natural:
Hi
(X, F) −→ Hi
(X, F)
es biyectivo.

28. Teoremas de Meredith
Si R es un dominio de valuaci´on discreta completo y si (X, OX ) es un
R-esquema proyectivo con completaci´on formal d´ebil (X, OX) entonces el
funtor“Completaci´on d´ebil”es una equivalencia entre la categor´ıa:
{OX -m´odulos coherentes} ⇐⇒ { OX-m´odulos coherentes }

29. Teoremas de Meredith
Si R es un dominio de valuaci´on discreta completo y si (X, OX ) es un
R-esquema proyectivo con completaci´on formal d´ebil (X, OX) entonces el
funtor“Completaci´on d´ebil”es una equivalencia entre la categor´ıa:
{OX -m´odulos coherentes} ⇐⇒ { OX-m´odulos coherentes }
Referencia: Meredith, D. (1971). Weak formal schemes. Nagoya Math J.

30. Notaci´on y Convenci´on
Sea R un anillo conmutativo con uno, y sea I ⊂ R un ideal.
Denotamos por Rs : −R/Is
para s 1. En particular R1 = R/I.

31. Notaci´on y Convenci´on
Sea R un anillo conmutativo con uno, y sea I ⊂ R un ideal.
Denotamos por Rs : −R/Is
para s 1. En particular R1 = R/I.
Llamaremos simplemente ´algebra †-´adica a un ´algebra A†
d´ebilmente
completa.

32. Notaci´on y Convenci´on
Sea R un anillo conmutativo con uno, y sea I ⊂ R un ideal.
Denotamos por Rs : −R/Is
para s 1. En particular R1 = R/I.
Llamaremos simplemente ´algebra †-´adica a un ´algebra A†
d´ebilmente
completa.
A un esquema formalmente d´ebil (X, OX ) lo llamaremos
simplemente esquema †-´adico y lo denotaremos por X†
.

33. Notaci´on y Convenci´on
Sea R un anillo conmutativo con uno, y sea I ⊂ R un ideal.
Denotamos por Rs : −R/Is
para s 1. En particular R1 = R/I.
Llamaremos simplemente ´algebra †-´adica a un ´algebra A†
d´ebilmente
completa.
A un esquema formalmente d´ebil (X, OX ) lo llamaremos
simplemente esquema †-´adico y lo denotaremos por X†
.
Dado un esquema †-´adico X†
= (X, OX), definimos su reducci´on
(m´odulo el ideal m ⊂ R) como el esquema:
(X, OX/m)
en d´onde OX/m := OX ⊗R R/m. Decimos que X†
es un
levantamiento de su reducci´on.

34. Notaci´on y Convenci´on
Sea R un anillo conmutativo con uno, y sea I ⊂ R un ideal.
Denotamos por Rs : −R/Is
para s 1. En particular R1 = R/I.
Llamaremos simplemente ´algebra †-´adica a un ´algebra A†
d´ebilmente
completa.
A un esquema formalmente d´ebil (X, OX ) lo llamaremos
simplemente esquema †-´adico y lo denotaremos por X†
.
Dado un esquema †-´adico X†
= (X, OX), definimos su reducci´on
(m´odulo el ideal m ⊂ R) como el esquema:
(X, OX/m)
en d´onde OX/m := OX ⊗R R/m. Decimos que X†
es un
levantamiento de su reducci´on.
Si X†
es un esquema †-´adico, entonces denotaremos a su gavilla
estructural por OX† .

35. Criterios de Afinidad
Teorema
Un esquema †-´adico X†
es af´ın si, y s´olo si su reducci´on (esquema sobre
R1 := R/m) es af´ın.

36. Criterios de Afinidad
Teorema
Un esquema †-´adico X†
es af´ın si, y s´olo si su reducci´on (esquema sobre
R1 := R/m) es af´ın.
Corolario
El espacio localmente anillado inducido sobre un abierto af´ın por un
esquema †-´adico, es un esquema †-´adico af´ın.
levantamiento

37. ...Continuar´a
Siguiente semana: Criterios de afinidad y esquemas †-´adicos lisos.