Construcción de grupos de homología de espacios CW de dimensión finita

1. Construcci´on de los Grupos de Homolog´ıa de
Complejos CW de Dimensi´on Finita
Jos´e Luis Farro Quesqu´en
2 de marzo de 2012
Jos´e Luis Farro Quesqu´en Construcci´on de los Grupos de Homolog´ıa de Complejos CW de D

2. Introducci´on
Parte del n´ucleo de la Topolog´ıa Algebraica es la homolog´ıa y
cohomolog´ıa. En el caso de la Homolog´ıa es una herramienta
algebra´ıca fundamental que puede entenderse como un modo de
obtener informaci´on sobre los espacios topol´ogicos. De esta manera
estamos pasando de la topologia al ´algebra. El trabajo se basara en
la construcci´on de los grupos de homolog´ıa ; asi mismo esta
orientado en la construcci´on del Grupo de Homolog´ıa del
complejo CW de Dimensi´on Finita, la cual es mucho m´as facil
de calcular que el grupo de Homolog´ıa de los Complejos
Simpliciales. Adem´as como una aplicaci´on calcularemos el grupo
de homolog´ıa del espacio proyectivo real n-dimensional
RPn = Sn/R, en cada nivel.
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3. Proposici´on 1
f : X1 X2 −→ Z es continua s´ı y s´olo si fk : Xk −→ Z son
funciones continuas , k = 1, 2.
Prueba
Sean f1 y f2 continuas y U abierto en Z, se observa que f−1
(U) es
abierto en X1 X2 s´ı y s´olo si f−1
(U) ∩ Xk es abierto en Xk para
k = 1, 2,. Ademas tenemos que las inclusiones i1 : X1 −→ X1 X2,
i2 : X2 −→ X1 X2 son continuas . De ahi tenemos
f−1
(U) ∩ Xk = i−1
k (f−1
(U)) = (f ◦ ik)−1
(U) = f−1
k (U).
la cual es abierto en Xk, por ser fk continua. El rec´ıproco es obvio.
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4. Proposici´on 2
Sea X = {x0} . un espacio topol´ogico , entonces
Hp(X) =
Z p = 0
0 p > 0
Prueba
Dado p existe un ´unico p−s´ımplice singular σp, la funci´on
constante, es decir,
σ : p −→ {x0}
a → σp(a) = x0
de aqu´ı tenemos que
Sp(X) = {bσp / b ∈ Z} ∼= Z
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5. La frontera de σp se calcula como
∂(σp) =
p
i=0
(−1)i
σp ◦ Fi
p
pero σp ◦ Fi
p es un (p − 1)−s´ımplice, por lo tanto σp ◦ Fi
p = σp−1.
Analizando la frontera de σp, para valores de p, se tiene
∂(σp) =



σp−1 p es par y mayor que 0
0 p es impar
0 p = 0
con esto, cuando p > 0 tenemos
Zp(X) = Bp(X) =
0 p es par
Sp(X) p es impar
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6. Con esto se tiene:
Hp(X) = 0, ∀p > 0
Ahora Z0(X) = S0(X) ∼= Z, mientras que B0(X) ∼= 0, pues
∂(bσ1) = b∂(σ1) = 0, por lo tanto, H0(X) = Z/0 ∼= Z
Hp(X) =
Z p = 0
0 p > 0
Proposici´on 3
Dado X un espacio no vac´ıo y arco conexo, entonces su grupo de
homolog´ıa H0(X) es isomorfo a Z.
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7. Definici´on 1
Un espacio topol´ogico de Hausdorff X admite una estructura de
Complejo Celular o Complejo CW si existe una secuencia
ascendente de subespacios cerrados.
X0
⊂ X1
⊂ · · · ⊂ Xn
que satisface las siguientes condiciones:
Para cada n-celula, existe una aplicacion continua
f : En −→ Xn y f(Sn−1) ⊂ Xn−1, llamada Aplicaci´on
Caracter´ıstica. La restrici´on de esta aplicaci´on a su frontera
(∼= Sn−1) es conocida como la Aplicaci´on Adjunci´on.
Dado una n-celula, su clausura esta contenida en la uni´on de
un numero finito de c´elulas (Clausura Finita).
Un conjunto A ⊂ X es cerrado si y solo si A ∩ ¯en es cerrado
en en, para cualquier n-c´elula (Topolog´ıa Debil).
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8. Teorema 1
Dados dos espacios topol´ogicos compactos X e Y A ⊂ X un
subespacio cerrado y f : A −→ Y una aplicaci´on continua. Sea
h : X Y −→ W una aplicaci´on continua y sobreyectiva tal que
para todo w ∈ W, h−1(w) es un punto de X − A o bien un punto
y ∈ Y junto con f−1(y). Entonces el espacio W es homeomorfo a
X ∪f Y.
Construcci´on de la Esfera n-dimensional
Sea Y = {x0} un espacio con un solo punto y definamos la
aplicaci´on adjunci´on
f : Sn−1 −→ {x0}
x −→ f(x) = x0
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9. Osea todos los puntos de la esfera se van a identificar a un punto.
Analizamos la hip´otesis del Teorema 1 , formamos el siguiente
diagrama.
Bn {x0}
h //
p
Sn
Bn ∪f {x0}
k
;;wwwwwwwwwwwwwwwwwww
Donde resulta que Bn ∪f {x0} Sn
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10. Ahora veamos un ejemplo que muestra que el espacio proyectivo
RPn+1 se puede contruir adjuntandole una n-celula a RPn.
Construcci´on del Espacio Proyectivo Real n-dimensional
Sea Sn = x ∈ Rn+1 / x = 1 la esfera n−dimensional, sobre
la cual definimos una relaci´on de equivalencia dado por:
R : Sn × Sn −→ Sn
(u, v) −→ uRv ⇔ u = ±v
Esta relaci´on particiona de manera natural a la esfera en un
espacio cociente, el cual es llamado el Espacio Proyectivo Real
denotado por RPn = Sn/R.
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11. Afirmamos que este es un espacio compacto y de Hausdorff,
adem´as se observa que la proyecci´on can´onica
π : Sn+1 −→ Sn+1/R = RPn+1 es una aplicaci´on continua y
sobreyectiva.
Por otra parte, es claro que la inclusi´on i : Sn −→ Sn+1 definida
mediante i(x) = (x, 0) induce un homeomorfismo en la imagen
i∗ : RPn −→ RPn+1.
Ahora definimos la aplicaci´on
t : Bn+1 −→ Sn+1
x −→ t(x) = (x, 1 − x )
Veamos que la composici´on
Bn+1 t //
g=π◦t
33Sn+1 π // RPn+1
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12. es continua y sobreyectiva. Adem´as por la proposici´on 1,
h : Bn+1 RPn −→ RPn+1 es continua y sobreyectiva.
Aplicando el Teorema 1 se concluye Bn+1 RPn/R RPn+1.
Esto quiere decir, que RPn+1 se obtiene de RPn adjunt´andole una
(n + 1)−c´elula a trav´es de la proyecci´on π : Sn −→ RPn
(aplicaci´on adjunci´on). En consecuencia se muestra que la sucesi´on
P0
(R) ⊂ P1
(R) ⊂ P2
(R) ⊂ · · · ⊂ Pn+1
(R)
determina una estructura de complejo CW (n + 1)−dimensional en
Pn+1(R) con una ´unica celda de cada dimensi´on.
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13. Teorema 2
Sea X∗ un espacio obtenido adjuntando una colecci´on de
n−c´elulas {en
λ / λ ∈ ∧} a X. Entonces Hp(X∗, X) = 0 para todo
p = n. Para cada λ ∈ ∧, la aplicaci´on caracter´ıstica fλ induce un
monomorfismo de grupos de homolog´ıa relativa
fλ∗ : Hn(En, Sn−1) −→ Hn(X∗, X) y Hn(X∗, X) es la suma
directa de la imagen de subgrupos. As´ı Hn(X∗, X) es un grupo
abeliano libre con base en correspondencia 1 − 1 con el conjunto
de c´elulas {en
λ / λ ∈ ∧} .
Como se est´a trabajando con espacios de dimensi´on finita,
X = Xn, la cual es obtenido de Xn−1 adjuntandole una colecci´on
de n- c´elulas . Luego del teorema se tiene:
Hp(Xr
, Xr−1
) = r∈∧ Z para p = r
0 para p = n.
Donde ∧ representa el conjuntos de las r- celulas de X.
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14. Esto quiere decir que Hp(Xp, Xp−1) es grupo abeliano libre con
base en correspondencia 1 − 1 con las r−c´elulas de X, cuyo
elementos de ese grupo son combinaciones lineales de las
r−c´elulas de X.
Lema 1
Hp(Xn) = 0, para todo p n.
Definici´on 2
Sea X un complejo CW y Sp(X) = Hp(Xp
, Xp−1
) el p-esimo grupo de
Cadenas Celulares. Para p ≥ 0, definiremos un homomorfismo
dp : Sp(X) −→ Sp−1(X)
por la composici´on:
Sp(X) = Hp(Xp
, Xp−1
)
∗
−−→ Hp−1(Xp−1
)
Hp−1(j)
−−−−−→ Hp−1(Xp−1
, Xp−2
) = Sp−
donde Hp−1(j) es un homomorfismo inducido por la inclusi´on j y ∗
denota el homomorfismo conector o enlace.
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15. Lema 2
dp ◦ dp+1 = 0, para todo p.
Prueba
De (I) y (II) tenemos, Hp(i) ◦ ∗
= dp+1 y Hp−1(j) ◦ ∗
= dp.
Puesto que la sucesi´on vertical es un tramo de la sucesi´on del par
(Xp+1
, Xp
), se tiene ∗
◦ Hp(i) = 0. De esto se sigue, dp ◦ dp+1 = 0.
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16. Ahora ya podemos establecer la siguiente secuencia.
. . . // Sp+1(X)
dp+1
// Sp(X)
dp
// Sp−1(X)
dp−1
// Sp−2(X) // . . .
donde Im dp ⊂ ker dp−1. Esta sucesi´on es llamada Complejo de
Cadena Celular.
Del cual ya se puede definir el Grupo de Homolog´ıa del
Complejo CW.
HCW
p (X) = ker dp/ Im dp+1
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17. Proposi´on 4
[Homolog´ıa celular y singular son isomorfos]
HCW
p (X) ∼= Hp(X).
Definic´on 3
Sea f : Sn
−→ Sn
una aplicaci´on continua, definimos el Grado como el
entero deg(f) ∈ Z, satisfaciendo
Hn(f)([z]) = deg(f)[z]
para cualquier clase de homolog´ıa [z] ∈ Hn(Sn
) ∼= Z.
Proposici´on 5
Sea f : Sn → Sn la reflexi´on definida por
f(x1, . . . , xn+1) = (x1, . . . , xn, −xn+1)
Entonces deg(f) = −1
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18. Proposici´on 6
Sea f : Sn −→ Sn la aplicaci´on ant´ıpoda f(x) = −x, x ∈ Sn.
Entonces deg(f) = (−1)n+1. Esto es, el homomorfismo inducido
Hn(f) : Hn(Sn) −→ Hn(Sn) es la multiplicaci´on por (−1)n+1
Prueba
Se sabe que la aplicaci´on ant´ıpota es la composici´on de n + 1
reflexiones. Por lo que podemos definir fi : Sn −→ Sn como
fi(x1, . . . , xn, xn+1) = (x1, . . . , xi, . . . , xn+1) , donde
f(x) = (f1 ◦ f2 ◦ f3 ◦ · · · ◦ fn+1). Luego el homomorfismo inducido
en grupo de homolog´ıa es
Hn(f) = Hn(f1) ◦ Hn(f2) ◦ Hn(f3) ◦ · · · ◦ Hn(fn+1) = (−1)n+1
Esto quiere decir: deg(f) = (−1)n+1
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19. Definici´on 4
Una aplicaci´on continua f : X −→ Y entre complejos CW es
llamado Aplicaci´on Celular si f(Xn) ⊂ Y n, para todo n (Xn y
Y n denota n−esqueletos de X y Y )
Grupo de Homolog´ıa del Espacio Proyectivo Real RPn
Una estructura de complejo CW para Sn seria
e0
+ ∪ e0
− ∪ e1
+ ∪ e1
− ∪ · · · ∪ en
+ ∪ en
−.
Para n=2
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20. De esto se tiene que X = Sn posee estructura de Complejo CW.
Ademas el Espacio Proyectivo Real RPn se obtiene identificando
en Sn los puntos ant´ıpodas. Esto es, RPn ∼= Sn/xR−x
Se observa que RP0 = {∗} es un punto. Luego por la proposici´on
2 y 4 tenemos:
Hcw
p (RP0
) =
Z, p = 0
0, p 0
Se sabe que π : Sn −→ Sn/R = Pn(R) es una aplicaci´on
continua y sobre. Adem´as Sn es arcoconexo, entonces RPn es
conexo por caminos y por la proposici´on 3 y 4 tenemos
HCW
0 (RPn) = Z, para n 0. Luego se sabe que
RPr
= RPr−1
∪π er
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21. Esto es, RPr se obtiene de la adjuncion una r−c´elula er en cada
dimension, por el Teorema 2 tenemos
Dp(X) = Hp(RPr
, RPr−1
) =
0, p = r
Z, p = r
, donde X = RPn
Ahora se sabe que la esfera n−dimensional Sn, se obtiene de
adjuntar dos c´elulas er
+, er
−., por el Teorema 2 se tiene:
Dp(X) = Hp(Sr
, Sr−1
) =
0, p = r
Z Z, p = r
, donde X = Sn
El operador frontera de Sn esta definido:
dr+1 : Dr+1(Sn
) −→ Dr(Sn
)
dr+1(αr+1) = αr + (−1)r+1
Hr( ¯f)(αr)
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22. Donde
Hr(f) : Hr(Sr
, Sr−1
) −→ Hr(Sr
, Sr−1
)
es un isomorfismo y el conjunto {αr, Hr( ¯f)(αr)} es una base de
Hr(Sr
, Sr−1
).
Adem´as se sabe que π es aplicaci´on celular, la cual induce una aplicaci´on
entre pares
π : (Sr
, Sr−1
) −→ (RPr
, RPr−1
)
Esto a su vez induce un homomorfismo a nivel de grupos
Hr(π) : Hr(Sr
, Sr−1
) −→ Hr(RPr
, RPr−1
)
Como la restricci´on π : (Er
+, Sr−1
) −→ (RPr
, RPr−1
) es un
homeomorfismo, entonces Hr(π) : Hr(Er
+, Sr−1
) −→ Hr(RPr
, RPr−1
)
es un isomorfismo. Con esto podemos definir Hr(π)(αr) = αr, la cual es
una base para Hr(RPn
, RPr−1
)
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23. Ahora consideremos un diagrama conmutativo, obtenido del
homomorfismo entre complejos de cadenas celulares de π
π∗ : D∗(Sn
) −→ D∗(RPn
)
donde D∗(Sn
) = {Dr(Sn
), dr} ; D∗(RPn
) = {Dr(RPn
), dr}
Z Z Z Z Z Z Z
0 · · · // Dr+1(Sn
)
dr+1
//
Hr+1(π)
Dr(Sn
)
dr
//
Hr(π)
Dr−1(Sn
)
dr−1
//
Hr−1(π)
· · ·
d1
// D
H0(π
0 · · · // Dr+1(RPn
)
dr+1
// Dr(RPn
)
dr
// Dr−1(RPn
)
dr−1
// · · ·
d1
// D0
Z Z Z
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24. Sea αr+1 ∈ Dr+1(RPn
)
dr+1(αr+1) = dr+1(Hr+1(π)(αr+1))
= (dr+1 ◦ Hr+1(π))(αr+1)
= (Hr(π) ◦ dr+1)(αr+1)
= Hr(π)(dr+1(αr+1))
= Hr(π)(αr + (−1)r+1
Hr(f)(αr))
Como Hr(π) ◦ Hr(f) = Hr(π), para r ≥ 0, se tiene
dr+1(αr+1) = [1 + (−1)r+1
]αr
De esto resulta:
dr+1(αr+1) =
2αr, r es impar
0, r es par
(*)
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25. Se sabe que: Dr(RPn
) = Hr(RPr
, RPr−1
) = Z y el complejo de cadena
celular
0 · · · // Dr+1(RPn
) // · · ·
d4
// D3(RPn
)
d3
// D2(RPn
)
d2
// D1(R
queda expresado como
0 · · · // Z // · · ·
0 // Z
2 // Z
0 // Z
2 // Z
0 // 0
Luego el Grupo de Homolog´ıa de complejo cw RPn
es
HCW
r (RPn
) =



Z para r = 0 y r = n impar
Z/(2Z) para r par, 0 r n
0, para r 0 ´o r n
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26. GRACIAS
Jos´e Luis Farro Quesqu´en Construcci´on de los Grupos de Homolog´ıa de Complejos CW de D