Universidad: UNIVERSIDADE ESTADUAL PAULISTA Autor: JÚLIO DE MESQUITA FILHO Programa de pós-graduação em ennharia elétrica

1. UNIVERSIDADE ESTADUAL PAULISTA “JÚLIO DE MESQUITA FILHO”
Programa de pós-graduação em engenharia elétrica
AZUCENA MIREYA DUARTE ZELAYA
JOZUE VIERA FILHO
EDSON DONIZETE DE CARVALHO
Noviembre de 2014
CUANTIZACIÓN DE COEFICIENTES DE CANAL BASADOS
EN TEORÍA DE NÚMEROS ALGEBRAICOS

2. RESUMEN
1. Introducción
2. Sistemas de Comunicaciones
3. Revisión de Cuerpos Algébricos y Reticulados
4. Cuantizacion de Canal Basado en la Teoría de Números Algébricos
5. Concluciones

3. 1 INTRODUCCIÓN

4. 1 INTRODUCCIÓN

5. 2 SISTEMAS DE COMUNICACIONES
Un sistema de comunicaciones tiene como objetivo transmitir un
mensaje de un ponto a otro por medio de diferentes canales.
Figura 1 - Modelo básico de sistemas de comunicação.
Fonte de
informação
Destino de
informação
Receptor
Canal de
comunicação
Transmissor
Sistema de
comunicação

6. Los sistemas de comunicaciones, originalmente analógicos, evolucionaron
para modernos sistemas de comunicação digitales.
2 SISTEMAS DE COMUNICACIONES
Fonte de
informação
Destino de
informação
Decodificador
de Fonte
Codificador de
Canal
Codificador de
Fonte
Modulador
Canal
Demodulador
Decodificador
de Canal
Binary
Stream
Binary
Stream
Seqüência
de Símbolos
Figura 2 – Modelo de sistemas de
comunicação digital.

7. 2.3 CODIFICACION DE CANAL
Shannon demonstro que por medio de uma codificacion apropiada, los
errores introducidos por el canal con ruído pueden ser reduzidos a
cualquier nível deseado sin sacrificar la taza de transferencia de
informacion.

8. 3 REVICION DE CUERPOS ALGÉBRICOS Y
RETICULADOS
3.1 ANILLOS
El conjunto R es un anillo si las propiedades a seguir son verificadas:
– es un grupo abeliano.
– La multiplicación es asociativa.
– Para todos , vale la ley distributiva.
3.2 CUERPOS
Um cuerpo de números es un anillo conmutativo que tiene la unidad y que
todo elemento no nulo es invertible.
Ejemplo:
Los números enteros no forman un cuerpo sobre la multiplicación, pero si son
un anillo.

9. Notaciones:
Sea 𝐾 que esta contenido en 𝐿, 𝐾 ⊆ 𝐿, podemos decir que 𝐿 es una extensión
del cuerpo 𝐾. 𝐿 𝐾.
Llámese de grado de 𝐿 sobre 𝐾, denotado por 𝐿: 𝐾 .
Un cuerpo de extensión finita de ℚ es llamado un Cuerpo de Número.
3.2.1 CUERPOS DE NÚMEROS

10. Sea 𝐿 𝐾 y 𝛼 ∈ 𝐿.
𝑝 𝑥 ∈ 𝑄 𝑥 | 𝑝 𝛼 = 0
𝛼 es um número algébrico sobre ℚ.
El polinomio 𝑝 𝑥 es el polinomio minimo de 𝛼 sobre ℚ.
Si todos los elementos de 𝐿 son números algébricos sobre ℚ, entonces 𝐿 es
una extensión algébrica de ℚ, o equivalentemente: un Cuerpo de Números
Algébricos.
3.2.1 CUERPOS DE NÚMEROS

11. 𝐿 = ℚ 𝜃 para algún numero algébrico 𝜃 𝜖 𝐿, llamado elemento primitivo.
𝐿 es un ℚ espacio vectorial generado por 𝜃. El cuerpo 𝐿 tiene grado n sobre
ℚ, entonces 1, 𝜃, 𝜃2, … , 𝜃 𝑛−1 es uma base 𝐿;
𝑥 =
𝑖=𝟎
𝑛−1
𝑥𝑖 𝜃 𝑖 , 𝑥𝑖 𝜖 ℚ
El grado del polinomio minimo de 𝜃 es 𝑛.
3.3 MERGULHO E GRUPO GALOIS

12. 3.3.1 GRUPO GALOIS
1. Sea 𝐿 el cuerpo dado por 𝐿 = ℚ 𝜃
𝜃 = 𝑖
Polinomio mínimo y grado de la extensión ℚ 𝑖 ℚ es:
𝑝 𝑥 = 𝑥2 + 1, 𝑛 = 2
Base ℚ 𝑖 ℚ 𝑒𝑠 1, 𝑖
2. Sea 𝐿 el cuerpo dado por 𝐿 = ℚ 𝜔
𝜔 = − 1 2 + 𝑖 3 2
Polinomio mínimo y grado de la extensión ℚ 𝑤 ℚ
𝑝 𝑥 = 𝑥2
+ 𝑥 + 1, 𝑛 = 2
Base ℚ 𝜔 ℚ es 1, 𝜔
Ejemplo :

13. 3.4 CORPOS CICLOTÔMICOS
Sea 𝐿 um cuerpo de números. Se dira que 𝐿 es um cuerpo ciclotomico, si 𝐿
puede ser escrito en la forma ℚ θ , donde
para algún 𝑛 ≥ 3, esto es, 𝜁 𝑛 es la raiz n-esíma de la unidad.
La extensión de cuerpos es uma extensión de Galois con
y es isomorfo a el grupo de las unidades en ℤ = 𝑚ℤ y denotado por
U(ℤ/𝑚ℤ).

14. 3.4 CUERPOS CICLOTOMICOS
El mayor anillo em es llamado de anillo de enteros y es denotado por
.
Los elementos de son escritos como combinaciones lineales sobre
la base dada por
Donde denota la funcion de Euler.

15. 3.4 CUERPOS CICLOTOMICOS
Si L = Q(ζn) para algún n ≥ 3, entonces a extensión de cuerpos L=Q es
ciclico
La norma para todo , donde OL es el anillo de enteros de 𝐿,

16. Sea v1, … , v 𝑚 un conjunto de vectores l.i. en ℝ 𝑛 (tal que 𝑚 ≤ 𝑛). El conjunto
de puntos es llamado un Reticulado.
Λ = 𝑥 =
𝑖=1
𝑚
𝜆𝑖v𝑖 , 𝜆𝑖 ∈ ℤ
Paralelepípedo fundamental:
𝜃1v1 + ⋯ + 𝜃 𝑚v 𝑚, 0 ≤ 𝜃𝑖 < 1
3.5 RETICULADOS
Figura 3 - Reticulado Λ = ℤ2
3.5.1 DEFINICIONES FUNDAMENTALES

17. Matriz generadora:
𝑀 =
𝑣11 𝑣12
𝑣21 𝑣22
⋯ 𝑣1𝑛
… 𝑣2𝑛
⋯ …
𝑣1𝑛 𝑣2𝑛
⋯ …
… 𝑣 𝑛𝑛
Matriz de Gram:
𝐺 = 𝑀𝑀 𝑡
Los puntos del reticulado son formados por:
Λ = 𝑥 = 𝜆𝑀|𝜆 ∈ ℤ 𝑛
3.5.1 DEFINICIONES FUNDAMENTALES

18. Determinante del reticulado Λ:
𝑑𝑒𝑡 Λ = 𝑑𝑒𝑡 𝐺 = 𝑑𝑒𝑡 𝑀
2
Volumen del paralelepípedo fundamental:
𝑣𝑜𝑙 Λ = 𝑑𝑒𝑡 Λ
3.5.1 DEFINICIONES FUNDAMENTALES

19. Vectores base:
𝑒1 = 1,0 y 𝑒2 = 0,1
𝑀 =
1 0
0 1
El reticulado: ℤ2
Anillo:
ℤ 𝑖 = 𝑥 + 𝑖𝑦| 𝑥, 𝑦 ∈ ℤ
3.5.1 DEFINICIONES FUNDAMENTALES
Ejemplo:
Figura 3- Reticulado Λ = ℤ2

20. 3.5.2 PROPIEDADES GEOMÉTRICAS DE LOS
RETICULADOS
Empaque :
Esférico y Retucilado
El radio de empaque:
𝜌 =
𝑑 𝑚𝑖𝑛
2
𝑑 𝑚𝑖𝑛 = 𝑚𝑖𝑛 λ ; 𝜆 ∈ Λ, 𝜆 ≠ 0
𝜌
Figura 4 – Empacotamento reticulado.

21. Densidad de empaque:
Δ Λ =
𝑉𝑜𝑙 ℬ(𝜌)
𝑉𝑜𝑙 Λ
=
𝑉𝑜𝑙 ℬ(1) 𝜌 𝑛
𝑉𝑜𝑙 Λ
𝑉𝑜𝑙 ℬ(1) =
𝜋 𝑛 2
𝑛
2
!
, se 𝑛 é par
2 𝑛
𝜋 𝑛−1 2
𝑛 − 1 2 !
𝑛!
, se 𝑛 é impar
Densidad de centro:
δ Λ =
𝜌 𝑛
𝑉𝑜𝑙 Λ
3.5.2 PROPIEDADES GEOMÉTRICAS DE LOS
RETICULADOS
Figura 5 – Densidade empacotamento.

22. 3.5.2 PROPIEDADES GEOMÉTRICAS DE LOS
RETICULADOS
Region de Voronoi:
𝑉 𝑣 = 𝑥 ∈ 𝑉; 𝑥 − 𝑣 ≤ 𝑥 − 𝑢 , ∀ 𝑢 ∈ Λ

23. Sub-reticulado:
𝐵 una matriz 𝑛 × 𝑛 con entradas enteras
Λ′ = 𝑥 = 𝜆𝐵𝑀|𝜆 ∈ ℤ 𝑛
Recordando
- Λ de dimensão 𝑛 en ℝ 𝑛
- Λ estructura de anillo induzido por ℤ 𝑛
- Λ es un grupo aditivo abeliano
Concluyendo:
Λ Λ′
.
3.5.3 SUB-RETICULADO, RETICULADOS
EQUIVALENTES Y ANILLADOS
Grupo aditivo:
-La operacion binária ∗ es
associativa.
-Elemento neutro o identidade:
-Elemento inverso
Anillo:
- 𝑅, + es un grupo abeliano.
-La multiplicacion es asociativa.
-Para todos 𝑎, 𝑏, 𝑐 ∈ 𝑅, vale a ley
distributiva

24. Cardinalidad:
Λ Λ′ =
𝑣𝑜𝑙 Λ′
𝑣𝑜𝑙 Λ
=
𝑑𝑒𝑡 Λ′
𝑑𝑒𝑡 Λ
= 𝑑𝑒𝑡 𝐵
Reticulado escalonado
Λ′
= 𝑐 ∙ Λ
Reticulado anillado Λ1:
Λ1 ⊆ Λ
General
Λ 𝐿 ⊆ Λ 𝐿−1, ⊆ ⋯ , Λ1 ⊆ Λ
3.5.3 SUB-RETICULADO, RETICULADOS
EQUIVALENTES Y ANILLADOS
Figura 7 – Reticulado aninhado.

25. 3.5.4 TIPOS DE RETICULADOS
- Reticulados enteros ℤ 𝑛
ℤ 𝑛 = 𝑥1, … , 𝑥 𝑛 , 𝑥𝑖 ∈ ℤ
- Reticulados 𝔸 𝑛
𝔸 𝑛 = 𝑥0, 𝑥1, … , 𝑥 𝑛 ∈ ℤ 𝑛+1,
𝑖=0
𝑛
𝑥𝑖 = 0
Figura 8 – Reticulado ℤ2
.
Figura 9 – Reticulado 𝔸2.

26. 4 QUANTIZACION DE CANAL BASADO EN LA
TEORIA DE NÚMEROSALGÉBRICOS
4.1 ESTRATÉGIA COMPUTER-AND-FORDWARD
Fonte de
informação
Destino de
informação
Decodificador
de Fonte
Codificador de
Canal
Codificador de
Fonte
Modulador
Canal
Demodulador
Decodificador
de Canal
Binary
Stream
Binary
Stream
Seqüência
de Símbolos
Figura 11 – Diagrama de blocos sistema de comunicações.Figura 10- Sistema MIMO numa rede AWGN.
Codificador:
𝜀𝑙: 𝐺𝐹(𝑝) 𝑘
→ ℂ 𝑛
Canal:
𝐇 ∈ ℂ 𝑀×𝐿
Respuesta del canal:
y 𝑚 =
𝑙=1
𝐿
ℎ 𝑚𝑙x𝑙 + 𝑧 𝑚

27. 4.2 ESTRATÉGIA COMPUTE-AND-FORWARD BASADA
EN RETICULADOS SOBRE ℤ[𝜔]
Codigos reticulados son reticualdos obtenidos por las imagenes de los
cuerpos lineales definidos sobre un cuerpo finito em o , desde que
n sea par.
Sea Λ′ un sub-reticulado del reticulado complexo Λ.
Λf es un reticulado anillado de dimensión n sobre Z[ω] ; Λ, son anillados em s si
Λ ⊆ Λf .

28. 4.3 CONSTRUCCION DE RETICULADOS ANILLADOS
SOBRE ℤ[𝜔] PARA APROXIMACIÓN DE CANAL
Tunali demostro la existencia de códigos reticulados anillados sobre Z[ω],
con el modelo de canal "virtual“ donde cada receptor analisa los puntos del
reticulado dados por la combinación sobre Z[ω] como
Equivalente a

29. De esta manera es equivalente aplicar U en el vector receptor:
4.3 CONSTRUCCION DE RETICULADOS ANILLADOS
SOBRE ℤ[𝜔] PARA APROXIMACIÓN DE CANAL

30. Considerando ideales em Z[ζ ] da formaa ℑkZ[ζ ] obtidos como potencia del
ideal y sus correspondientes matrices generadoras Mk dos reticulados
complejos ΛZ[ζ ] asociados
La matriz H puede ser aproximada por
4.3 CONSTRUCCIÓN DE RETICULADOS ANILLADOS
SOBRE ℤ[𝜔] PARA APROXIMACIÓN DE CANAL

31. Observe
4.3 CONSTRUCCION DE RETICULADOS ANILLADOS
SOBRE ℤ 𝜔 PARA APROXIMACIÓN DE CANAL

32. Si uk =μk genera o ideal μkZ[ζ ], entonces la matriz es la matriz
generadora del reticulado obtenido de las imagenes canónico de ℑ em Cn,
y comparando las posiciones del reticulado sobre Z[ω]n es igual a k.
Para k = 1 se tiene:
4.3 CONSTRUCCIÓN DE RETICULADOS ANILLADOS
SOBRE ℤ 𝜔 PARA APROXIMACIÓN DE CANAL

33. Tal que:
Los coeficientes del canal son aproximados a la matriz diagonal M′μ , con
elementos de mii, que son dados por:
Con grado
Satisfaciendo
4.3 CONSTRUCCIÓN DE RETICULADOS ANILLADOS
SOBRE ℤ[𝜔] PARA APROXIMACIÓN DE CANAL

34. 4.3.1 CONSTRUCCIÓN DE LA CADENA DE
RETICULADOS SOBRE ℤ[𝜔]
Usar las Herramientas algébricas de los cuerpos ciclotomicos Q(ζ9:2s)
A partir de los reticulados ΛZ[ζ9:2 isomórfos a los reticulados sobre Z[ω]N
Obtener la cadena de reticulados anillados sobre Z[ω]
Observación 4.1.
Sea la sequencia de anillos enteros ideales Z[ζ9:2s dados por ℑr = μrZ[ζ9:2s
], donde ℑ es un ideal totalmente ramificado en la extensión de cuerpos
Q(ζ9:2s)=Q(ω) y ℑ es generado por el elemento μ = 1−ζ9:2s

35. Por medio de las imágenes canonicas de los elementos em , una sequencia
de reticulados complejos 2s dados por cuya bases sobre y
matriz generadora son dados por:
4.3.1 CONSTRUCCION DE LA CADENA DE
RETICULADOS SOBRE ℤ[𝜔]

36. Shannon define la cantidad de información que contiene un mensaje como
una relación logarítmica de probabilidad de cada uno de los símbolos que
contiene el mensaje.
Las ventajas de la representación de las palabras-código en la teoría algébrica
de cuerpos son las propiedades que permiten el desempeño simple y
eficiente de códigos.
Los reticulados, poseen propiedades geométricas que son adaptadas a las
constelaciones de las señales modulados
5 CONCLUSIONES

37. 5 CONCLUSIONES
Se busca encontrar com reticulados con mayor densidad para la area de Veronoi.
El ruído muda de forma benéfica para realizar cuantizacion de los mensajes a transmitir, por
medio de sistemas lineales. Asociando con los reticulados por la Construção A.
Los códigos reticulados anillados Z[ω] mejoran la cuantizacion dado que con ellos se
obtiene una particion doble de la cadena infinita de reticulados.
Sera definidos los coeficientes de la cadena de los reticulado aninhado calculando los
coeficientes del canal de 𝐇 por medio de la propueta desarrollada para luego hacer la
copacion de SNR.

38. GRACIAS!