Electromagnetismo física 2 bachillerato http://www.fisicayquimica.com.es

1. [1]
FÍSICA 2º BACHILLERATO
BLOQUE TEMÁTICO: INTERACCIÓN ELECTROMAGNÉTICA
CAMPO ELÉCTRICO
1.- Introducción. Carga eléctrica.
2.- Fuerza entre cargas eléctricas. Ley de Coulomb.
3.- Campo eléctrico.
3.1.- Intensidad del campo eléctrico.
3.2.- Energía potencial eléctrica. Potencial eléctrico.
4.- Movimiento de cargas en el seno de un campo eléctrico.
1) Introducción. Carga eléctrica.
El electromagnetismo es una parte de las ramas más importantes de la Física. Se
dedica al estudio y unificación de los fenómenos eléctricos y magnéticos. Dentro del
electromagnetismo, la electrostática se dedica al estudio de las fuerzas que tienen lugar
entre cargas eléctricas cuando están en reposo.
① Propiedades básicas de las cargas eléctricas. Modelo de carga eléctrica.
Como sabemos, existen dos tipos de cargas eléctricas: positivas y negativas. Esta
denominación fue introducida por Benjamin Franklin (1706-1790) para establecer un
criterio de análisis de los fenómenos electrostáticos conocidos por entonces. Asi:
·Carga positiva: se asignó este tipo de carga al vidrio cuando era frotado con un
trozo de lana.
·Carga negativa: se asignó este tipo de carga al ámbar cuando era frotado con un
trozo de piel de gato.
Estas asignaciones fueron en un principio arbitrarias y de esta arbitrariedad ha
quedado, quizás, la asignación de cargas en las partículas subatómicas (hay que recordar
que ámbar en griego se dice elektron).
Además de la asignación de carga eléctrica a los cuerpos que se electrizan por
frotamiento, se estableció un modelo de carga eléctrica que permitiera interpretar los
fenómenos eléctricos:
·Las cargas del mismo signo se repelen y las cargas de signo cotrario se atraen.
·La carga se conserva. En la electrización no se crea carga, solamente se transmite
de unos cuerpos a otros, de forma que la carga total permanece constante.
③ Modelo de carga eléctrica y teoría atómica.
Una vez conocida la estructura del átomo, fue posible explicar el modelo de carga
eléctrica.

2. [2]
·Las carga positiva reside en el protón, partícula que se encuentra en el núcleo de
los átomos. Las carga negativa reside en el electrón, partícula que se encuentra en la
corteza de los átomos.
·Los cuerpos adquieren carga positiva porque sus átomos han perdido electrones,
que han pasado al cuerpo que ha quedado cargado negativamente. Por tanto, son los
electrones los que se transfieren entre cuerpos que se electrizan.
·En los cuerpos regulares cargados positiva o negativamente, la carga se distribuye
uniformemente por el cuerpo y siempre por su superficie. Esto es debido a que es en la
superficie donde las cargas pueden estar más separadas y por tanto, tener menos
repulsión. No obstante, esta distribución de carga es más fácil en los conductores que en
los aislantes.
·La cantidad de carga más pequeña es la del electrón. La cantidad de carga total de
un cuerpo corresponde al número de electrones que ha perdido o que ha ganado.
·Hasta hace relativamente poco tiempo se ha creído que la carga del electrón era la
menor carga posible. Las nuevas teorías sobre la constitución de las partículas atómicas en
quarks han postulan la existencia de cantidades de carga iguales a 1/3, 2/3 o 1/2 de veces
la carga del electrón.
④ Unidad de carga eléctrica.
La carga eléctrica, que se simboliza como q o Q, se mide en Culombios (C).
Un culombio se define “oficialmente” como la cantidad de carga eléctrica que fluye
a través de la sección de un conductor durante un segundo cuando la corriente es de un
amperio.
Fue Millikan quien midió por primera vez la carga del electrón en la segunda
década del siglo XX. El valor admitido hoy es:
Por tanto, se puede conocer la cantidad de electrones que ha perdido o ganado un cuerpo
cuya carga es de un culombio:
Donde N es el número de electrones y e la carga del electrón. Sustituyendo obtenemos:
luego, también podemos decir que un culombio es la cantidad de carga de un cuerpo que
ha perdido o ganado 6,24 trillones de electrones.
Un culombio es una cantidad de carga muy grande. En la mayoría de los problemas
se suelen utilizar submúltiplos de esta cantidad: miliculombios (mC), microculombios
(μC) nanoculombios (nC) o, incluso, picoculombios (pC).

3. [3]
2) Fuerza entre cargas eléctricas. Ley de Coulomb.
Uno de los primeros estudios cuantitativos serios sobre las fuerzas de atracción o
de repulsión existentes entre cargas eléctricas se debe a C.A. Coulomb en 1785. Estableció
que:
El valor de la fuerza con que se atraen o se repelen dos cargas puntuales
en reposo es directamente proporcional al producto de sus cargas e
inversamente proporcional al cuadrado de las distancia que las separa
En esta definición se habla de cargas puntuales. Quiere decir que los cuerpos
cargados tienen dimensiones despreciables en relación a la distancia que los separa y se
pueden considerar, por tanto, como puntos.
La expresión del módulo de la fuerza de atracción o repulsión eléctrica es:
Donde,
·F es la fuerza de atracción o repulsión eléctrica, en Newtons.
·Q y q son las cargas eléctricas, en culombiosc de los dos cuerpos cargados.
·r es la distancia, en metros, que separa los centros de los dos cuerpos cargados.
·K es una constante de proporcionalidad cuyas unidades son N·m2·C-2.
La constante de proporcionalidad, K, no es una constante universal. Depende del
medio en el que se encuentren inmersos los dos cuerpos cargados. En general podemos
escribir que
Donde ε es la constante dieléctrica del medio. En el vacío esta constante tiene un valor de
Utilizando este valor, el valor de la constante de proporcionalidad es de 9·109 N·m-2·C2. El
valor de K en el aire es prácticamente el mismo.
Las demás constantes dieléctricas se suelen expresar en función del valor de la
constante dieléctrica del vacio,
Donde εr es la constante dieléctrica relativa. Es evidente que la constante dieléctrica
relativa para el vacio tiene un valor de 1 (para el aire es 1,0006, para el agua a a 20º tiene
un valor de 80).
2.1.- Fuerza ejercida por un conjunto de cargas puntuales: principio de superposición.
La fuerza eléctrica es, como todas las fuerzas, una magnitud vectorial, por tanto:

4. [4]
Si una carga puntual se ve sometida simultáneamente a la acción de varias
cargas, la fuerza resultante será la suma vectorial de todas las fuerzas
ejercidas sobre dicha carga por las demás (principio de superposición).
Veamos un ejemplo concreto de aplicación: para el sistema de cargas de la figura,
determina la fuerza electrostática a la que se ve somitida la carga nº 2.
Normalmente es conveniente tomar como origen de
ejes cartesianos la carga que está sometida a la
fuerza resultante que deseamos calcular, pero en
este caso el sistema de coordenadas viene
impuesto.
Como cálculo previo la distancia entre q3 y q2
Procedemos ahora a dibujar las fuerzas a las que se
ve sometida q2: F1,2, que será una fuerza de
atracción y F3,2, que será una fuerza de repulsión
(ver figuras adjuntas).
Determinamos ahora los módulos de las fuerzas,
Como el ángulo α es º
sen
cos
Como vemos, no hemos tenido en cuenta los signos de las cargas pues hemos determinado
los módulos de las fuerzas. El signo de las cargas se tiene en cuenta ahora, al basarnos en
el dibujo y teniendo en cuenta los vectores unitarios cartesianos, cuando escribimos,
Aplicando el principio de superposición,

5. [5]
El módulo de esta fuerza es
Y su representación aproximada:
3) Campo eléctrico.
El concepto de campo ya fue establecido en el tema dedicado a la gravitación
universal, así como de las magnitudes que caracterizan un campo en física. Por este
motivo, en muchas ocasiones estos apuntes hacen referencia a dicho tema, centrándose en
las características que diferencian el campo eléctrico del gravitatorio.
Se dice que existe un campo eléctrico en una región del espacio si una carga
de prueba en reposo, colocada en un punto de esa región, experimenta una
fuerza eléctrica.
En la figura la carga q se encuentra en tres posiciones
diferentes respecto de la carga Q. Decimos que q se
encuentra inmersa en el campo eléctrico de Q ya que
experimenta una fuerza eléctrica de repulsión al ser Q
y q dos cargas positivas.
El campo eléctrico es conservativo. Como se vió en el
tema de gravitación universal, esto implica, entre
otras cosas que:
·) El trabajo necesario para mover la carga q a lo largo de una línea cerrada es cero.
·) El trabajo necesario para mover la carga q entre dos puntos del campo creado por Q no depende
del camino seguido sino de las posiciones de los puntos incial y final.
·) El campo conservativo eléctrico queda definido por dos magnitudes: la intensidad del campo
eléctrico y el potencial eléctrico.

6. [6]
3.1.- Intensidad del campo eléctrico.
① Definición.
Se define el vector campo eléctrico, , o intensidad de campo eléctrico en cualquier
punto como la fueza eléctrica, , que actúa sobre la unidad de carga positiva colocada en
ese punto.
Donde,
.) , es el vector intensidad de campo eléctrico creado por la
partícula cargada Q en un punto situado a una distancia r de
la misma. Su módulo se mide en N/C.
·) q, es la carga de prueba positiva colocada a una distancia
r de la carga Q.
·) K, es la constante electrostática.
·) r, es el punto del espacio donde se está determinando la intensidad de campo eléctrico.
En este punto se considera que hay una unidad de carga positiva.
·) , es un vector unitario. Su dirección es la línea de unión entre Q y el punto del campo
considerado y su sentido es desde Q hacia el exterior.
La fuerza eléctrica que se establece entre dos cargas queda expresada, en función
de la intensidad del campo eléctrico:
② Líneas de campo para cargas aisladas. Características de las líneas de campo.
A diferencia del campo gravitatorio donde el vector intensidad de campo siempre
va dirigido hacia el centro de la masa que crea en campo, en el campo eléctrico el sentido
de dicho vector depende del signo de la carga que crea el campo. En las figura siguiente se
representan las líneas de campo (también líneas de fuerza) de dos cargas eléctricas
aisladas, una positiva y otra negativa.

7. [7]
Características de las representaciones de intensidades de campos mediante líneas de
fuerza:
- Cada línea indica el camino que seguiría una carga de prueba positiva situada en un punto
de dicha línea.
- Cada línea representa la dirección y sentido de la intensidad de campo, no su valor.
- Normalmente, una mayor densidad de líneas de campo indica un valor mayor de la
intensidad de campo.
- En el caso del campo eléctrico las líneas son abiertas, salen siempre de las cargas positivas
y terminan en el infinito o en las cargas negativas.
- Las líneas se dibujan de manera que el número de ellas que salgan de una carga positiva o
entren en una carga negativa sea proporcional a dicha carga.
- Las líneas de campo no pueden cortarse una a otras, pues un punto de corte indicaría que
existen dos vectores intensidad de campo distintos en dicho punto.
- Si el campo es uniforme, las líneas de campo son rectas paralelas.
③ Intensidad de campo creado por un sistema de cargas puntuales. Principio de
superposición.
Si en una región del espacio tenemos más de un cuerpo cargado, es decir, más de
una carga, la intensidad del campo eléctrico en un punto de dicha región será la suma
vectorial de las intensidades de campo eléctrico individuales de cada carga en dicho punto.
El método de cálculo de la intensidad de campo eléctrico
creado por un sistema de cargas en un punto es utilizar
las componentes cartesianas, como se ha hecho en el
problema resuelto de la página 4.
④ Campos eléctricos en sistemas de dos cargas.
Si, aplicando el principio de superposición, determinamos los valores de la
intensidad del campo eléctrico en los diferentes puntos del espacio que rodea a dos cargas
y representamos las líneas de fuerza que definen dichos valores, obtenemos las formas de
los campos eléctricos que aparecen en las siguientes figuras.

8. [8]
⑤ Analogías y diferencias entre el campo eléctrico y el campo gravitatorio.

9. [9]
5 problemas resueltos.
El campo eléctrico entre las armaduras del condensador de la figura es de 4000 N/C ¿Cuánto vale la
carga de la esfera si su masa es de 3 mg?

10. [10]

11. [11]
Dos pequeñas bolitas, de 20 g cada una, están sujetas por hilos de 2,0 m de longitud suspendidas de un
punto común. Cuando ambas se cargan con la misma carga eléctrica, los hilos se separan hasta formar
un ángulo de 15º. Suponiendo que se encuentran en el vacío, próximas a la superficie de la Tierra:
a) Calcula la carga eléctrica comunicada a cada bolita.
b) Se duplica la carga eléctrica de la bolita de la derecha. Dibuja en un esquema las dos situaciones
(antes y después de duplicar la carga de una de las bolitas) e indica todas las fuerzas que actúan sobre
ambas bolitas en la nueva situación de equilibrio.
a) Las bolitas se separan por aparecer en ellas una fuerza de repulsión al tener la misma carga eléctrica.
Esta fuerza de repulsión mueve las bolitas hasta alcanzar una posición de equilibrio, es decir, hasta que
la resultante de todas las fuerzas que actúan sobre cada bolita sea nula. El esquema de fuerzas en esta
posición de equilibrio aparece en la figura adjunta.
La tensión de la cuerda puede descomponerse en sus
componentes,
sen
cos
En esta situación de equilibrio,
Ecuación que podemos resolver por ejes, de acuerdo con el
sistema de referencia elegido en la figura adjunta. Así, en el
eje y tenemos que,
cos
En el eje x tenemos,
sen

12. [12]
Si dividimos adecuadamente estas expresiones
sen
cos
tan tan
Por otra parte, la fuerza de repulsión electrostática acata la ley de Coulomb, es decir,
donde q es la carga de cada bolita y r es la distancia entre ambas. Para calcular esta distancia (ver figura
de la página anterior),
sen sen
Despejando y sustituyendo,
b) Si duplicamos la carga eléctrrica de la derecha el equema de fuerzas cambia de la siguiente manera:
En él se puede observar que las fuerzas que actúan sobre ambas bolitas no cambian en dirección y
sentido en la nueva situación de equilibrio. Además las fuerzas del eje y no cambian en módulo pues la
fuerza peso no ha cambiado y es compensada por Ty. Pero en el eje x, el módulo de la fuerza de
repulsión sí ha cambiado (aumentado) y, por tanto, Tx, también cambia. Por tanto la tensión de la
cuerda cambia y el ángulo de separación también. En esta nueva situación de equilibrio,
sen
cos
Dividiendo adecuadamente ambas expresiones,
tan
En esta expresión desconocemos el ángulo y la distancia.
Un cuerpo tiene una masa de 0,1 kg y está cargado con 10
-6
C. ¿A qué distancia por encima de él se debe
colocar otro cuerpo cargado con -10 ·10
-6
C para que el primero esté en equilibrio?
Las fuerzas que actúan sobre el cuerpo de 0,1 kg al situar encima de él
el otro cuerpo cargado se representan en la figura.
El valor de la fuerza peso es, .
La fuerza eléctrica entre los dos cuerpos cargados debe ser de
atracción, por tanto las cargas de ambos cuerpos son de distinto signo.
El módulo de esta fuerza eléctrica es,

13. [13]
La situación es de equilibrio, es decir,
De donde,
Una descripción simple del átomo de hidrógeno (modelo de Bohr) consiste en un único electrón girando
en una órbita circular alrededor de un núcleo que contiene un solo protón, bajo la acción de una fuerza
atractiva dada por la ley de Coulomb. Si el radio de la órbita es 5,28·10
-9
cm, calcula el número de
revoluciones que da el electrón en un segundo.
Datos: carga del electrón = 1,6·10
-19
C, masa del electrón en reposo = 9,11·10
-31
kg
En la figura adjunta se representa la situación del protón y el
electrón en el átomo de hidrógeno.
La fuerza eléctrica que se establece entre el protón y el
electrón viene dada por la ley de Coulomb,
donde q es la unidad fundamental de carga, la carga del
electrón, y que coincide en valor con la carga del protón. Esta
fuerza eléctrica es una fuerza central pues perpendicular a la
velocidad del electrón, por tanto, el movimiento del electron
se puede suponer circular uniforme donde
Despejando v y sustituyendo,
( )
Se trata de una velocidad pequeña comparable con la de la luz, por lo que la utilización de la masa del
electrón en reposo (sin tener en cuenta consideraciones relativistas) es correcta.
El periodo de revolución del electrón es (movimiento circular uniforme),
En número de revoluciones por segundo (frecuencia) que da un electrón en el átomo de hidrógeno es,
. . . . .

14. [14]
3.2.- Energía potencial eléctrica. Potencial eléctrico.
La fuerza eléctrica es una fuerza central y, al igual que ocurre con la fuerza
gravitatoria, es una fuerza conservativa. Las fuerzas conservativas permiten definir una
energía potencial, en este caso, eléctrica (Ep).
Para obtener la expresión de esta energía potencial procederemos como se hizo en
el caso de la energía potencial gravitatoria, es decir, determinaremos la expresión del
trabajo que realiza la fuerza eléctrica cuando una carga eléctrica cualquiera, q, se mueve
entre dos puntos A y B de un campo eléctrico qureado por una carga Q. La situación viene
representada en la siguiente figura.
Se puede observar que la carga que se mueve desde A hasta B lo hace por el camino APB.
Como la fuerza es conservativa, el camino tomado para ir desde A hasta B no influye en el
cálculo del trabajo realizado por la fuerza eléctrica. Además, se ha considerado que ambas
cargas Q y q son de signos opuestos.
cos
cos cos
Como rP = rB
( )
donde el término
representa la energía potencial de la carga q inmersa en el campo eléctrico de la carga Q a
una distancia r de la misma.
No es posible conocer la energía pontencial absoluta de una carga en un punto de
un campo eléctrico. Ahora bien, para dar un significado a esta energía potencial,
supongamos que el punto B se encuentra en el infinito. Entonces

15. [15]
( )
La energía potencial en un punto es el trabajo realizado por la fuerza
electrostática al trasladar una carga eléctrica q desde el punto al origen de
energía potencial que normalmente se toma en el infinito.
Valoración del signo del trabajo realizado por la fuerza eléctrica.
( )
-El acercamiento de dos cargas eléctricas del mismo signo no es un proceso
espontáneo. Si rB<rA, entonces
Ya que el producto Q·q es siempre positivo en este caso.
Se dice en este caso que es necesario, para acercar las dos cargas del mismo signo,
realizar un trabajo externo en contra del campo eléctrico. El valor de dicho trabajo
externo es precisamente , pero cambiado de signo. Se dice también en este caso
que el acercamiento de dos cargas del mismo signo conlleva un aumento de la
energía potencial.
-El acercamiento de dos cargas eléctricas de signo contrario es un proceso
espontáneo. Si rB<rA y el producto Q·q es negativo, entonces
Se dice en este caso que el acercamiento de las dos cargas de signo contrario
conlleva una disminución de la energía potencial.
Se puede seguir un razonamiento similar para el alejamiento de dos cargas del
mismo signo o de signos contrarios.
Es importante señalar, por tanto, que para una valoración correcta en un problema
dado del trabajo realizado por la fuerza eléctrica, es necesario sustituir el signo de la carga
en la expresión de la energía potencial.
Potencial eléctrico
A partir del razonamiento anterior, el concepto de potencial eléctrico surge cuando
la carga eléctrica q situada en un punto del campo eléctrico creado por la carga Q es la
unidad de carga eléctrica positiva. Así,

16. [16]
El valor del potencial (V) en un punto se define como la energía potencial
eléctrica que adquirirá la unidad de carga positiva situada en dicho punto.
Así, decimos que la carga Q dota a los puntos que se encuentran a su alrededor de
la propiedad de que cualquier otra carga situada en uno de esos puntos adquiere una
energía potencial eléctrica.
No es posible conocer el potencial eléctrico en un punto determinado. Así, la
expresión anterior representa el trabajo que realiza la fuerza electrostática cuando la
unidad de carga positiva se mueve desde el punto situado a una distancia r hasta el
infinito. Si la unidad de carga positiva (q = 1 C) se mueve entre dos puntos A y B, el trabajo
que realiza la fuerza electrostática será,
( )
( )
Si en lugar de ser la unidad de carga positiva la que se mueve en el campo es una carga q
cualqueira, el trabajo será,
( )
La unidad del potencial eléctrico es el voltio (V)
( )
( )
( )
La electrostática permite dar una definición de voltio diferente a la que da el
estudio de la corriente eléctrica. Así, decimos que en un punto de un campo eléctrico existe
un potencial de 1 voltio cuando una carga de 1 culombio situada en dicho punto tiene una
energía potencial de 1 julio.
Otras consideraciones a tener en cuenta.
① Si en una región del espacio existe más de una carga eléctrica la energía potencial de
una carga situada en un punto de dicha región será:
Donde Q1, Q2 … Qn son las cargas que crean el campo eléctrico, que se encuentran situadas
a distancias r1, r2, … rn del punto donde se está calculando la energía potencial. Este valor
representa el trabajo necesario para mover la carga q desde donde se encuentra hasta el
infinito en presencia de Q1, Q2 … Qn.
②Si en una región del espacio existe más de una carga eléctrica el potencial eléctrico en
un punto de dicha región será:

17. [17]
Donde Q1, Q2 … Qn son las cargas que crean el campo eléctrico, que se encuentran situadas
a distancias r1, r2, … rn del punto donde se está calculando el potencial. Este valor
representa el trabajo necesario para mover la unidad de carga positiva desde donde se
encuentra hasta el infinito en presencia de Q1, Q2 … Qn.
③ La representación del campo eléctrico a través del potencial se consigue uniendo los
puntos del espacio donde el valor del potencial eléctrico es idéntico. Todos estos puntos
forman una superficie llamada superficie equipotencial. Por ejemplo, para dos cargas
aisladas de signos opuestos (las superficies equipotenciales vienen representadas por los
círculos concéntricos),
Para dos cargas enfrentadas, iguales y del mismo signo (a) o para dos cargas iguales de
signos contrarios (b)
④ Relación entre campo y potencial. Atendiendo a la relación entre la derivada y la
integral, se puede ver que el módulo del campo eléctrico en la dirección del movimiento es
la derivada del potencial eléctrico respecto del desplazamiento, es decir,
-El campo eléctrico marca cómo varía el potencial eléctrico con la distancia. Por
este motivo se puede ver también como unidad de campo eléctrico el Voltio por metro
(V/m).
-El vector campo va siempre dirigido hacia puntos de potenciales decrecientes.
-Las líneas de fuerza son perpendiculares a las superficies de potencial.
⑤ El electrón-voltio. Hemos visto que una carga q que se mueve en el seno de un campo
eléctrico desde un punto A a otro punto B cumple que,

18. [18]
Si esta carga q es la del electrón (1,6·10-19 C), y la diferencia de potencial entre A y B es de
un voltio, la variación de energía potencial será (en valor absoluto),
Esta cantidad de energía recibe el nombre de electronvoltio (eV). Es una unidad de energía
muy pequeña, apropiada en el estudio del movimiento de partículas cargadas
fundamentales o iones.
3 problemas resueltos.
Se tienen tres cargas situadas cada una de ellas en los tres vértices de
un cuadrado de 8 m de lado, tal como indica la figura. Calcula el
trabajo necesario para trasladar la carga situada en el vértice A hasta
el punto B. Interpreta el signo del resultado obtenido.
El trabajo que realiza la fuerza electrostática cuando se lleva la
carga q1 desde el punto A hasta el punto B es, independientemente
del camino seguido,
Procederemos en primer lugar a calcular el potencial eléctrico del sistema formado por las cargas
q2 y q3 en el punto A. Este potencial será la suma de los potenciales creados en A por cada carga:
Potencial de q en A ( )
Potencial de q en A ( )
Potencial en A
Pasamos ahora a calcular el potencial eléctrico del sistema formado por las cargas q2 y q3 en el
punto B. Este potencial será la suma de los potenciales creados en B por cada carga:
Potencial de q en ( )
Potencial de q en ( )
Potencial en
La diferencia de potencial entre A y B será:
( )
El trabajo necesario para mover q1 desde A hasta B será,
El resultado muestra que una carga positiva como q1 no se mueve espontáneamente desde A hasta
B, es decir, no se mueve espontáneamente de menor a mayor potencial. Por tanto, para que q1 vaya
desde A hasta B es necesario realizar un trabajo externo debido a la aplicación de una fuerza
externa sobre q1. El trabajo externo será de 2,3·10-3 J.

19. [19]
Tres cargas eléctricas de 10
-6
C se encuentran situadas en los vértices de un cuadrado de 1 m de lado.
Calcula la energía potencial asociada al sistema.
La energía potencial asociada a un sistema se interpeta como el trabajo necesario para
traer las cargas que lo componen desde el infinito hasta la
posición final. En nuestro caso se trataría de determinar el
trabajo necesario para traer tres cargas positivas desde el
infinito hasta los tres vertices del cuadrado de la figura
adjunta.
Podemos suponer que esta figura se ha formado de la
siguiente manera:
-Primero traemos q1 desde el infinito hasta su posición actual.
El trabajo que realiza la fuerza electrostática será .
-En segundo lugar traemos q2 desde el infinto hasta su posición actual, en presencia de q1. El trabajo
que realiza la fuerza electrostática será .
-En tercer lugar traemos q3 desde el infinito hasta su posición actual, en presencia de q1 y q2. El
trabajo que realiza la fuerza electrostática será .
-El trabajo total de la fuerza electrostática será la suma de los trabajos anteriores.
Es claro que es cero pues para colocar la primera carga en su posición no hay que hacer
ningún aporte energético pues no existe ningún campo eléctrico que se oponga.
Cuando queremos colocar la segunda de las cargas eléctricas, la q1 ya ha establecido un
campo eléctrico y, por tanto, el punto B tiene un potencial cuyo valor es,
( )
El trabajo que realiza la fuerza electrostática será:
( ) ( )
Ahora queremos colocar la tercera de las cargas en C, pero q1 y q2 generan en dicho punto
un potencial
( ) ( )
El trabajo que realiza la fuerza electrostática será:
( )
El trabajo total que realiza la fuerza electrostática para formar la figura es
Según la definición de energía potencial asociada al sistema dada al principio, el valor de
dicha energía es
í
Y su valor representa la energía necesaria para formar el sistema de cargas de la figura.

20. [20]
¿Qué potencial existe en un punto de un campo eléctrico si el campo tuvo que efectuar un trabajo de
0,24 J para trasladar una carga de 8 μC desde ese punto hasta el infinito?
Según el enunciado el valor del trabajo dado, 0,24 J, corresponde al trabajo que realiza el
campo eléctrico, es decir, la fuerza electrostática cuando una carga positiva de μC se traslada
desde un punto demandado hasta el infinito.
Se trata de un trabajo positivo es decir de un proceso “espontáneo”. En general el trabajo
que realiza el campo electrostático cuando una carga se mueve entre dos puntos es,
En este caso concreto,
( ) ( )
Despejando,
4) Movimiento de cargas en el seno de un campo eléctrico.
Dentro de los diferentes tipos de situaciones que se suelen dar en los problemas
sobre campo eléctrico son habituales aquellos que tratan de analizar el tipo de
movimiento de una carga eléctrica cuando penetra en una región del espacio donde el
campo eléctrico es uniforme.
El sistema formado por dos láminas conductoras cargadas paralelas con cargas
opuestas a una distancia pequeña comparada con sus dimensiones se llama condensador
plano. Entre las placas del condensador se suele poner un material dieléctrico (aislante),
aunque en los diferentes problemas que nos podemos encontrar dicho espacio suele estar
ocupado por el vacío.
La conexión básica de un condensador y la representación de las líneas de campo
en su interior se representa en las siguientes figuras.

21. [21]
El campo eléctrico entre las placas de un condensador plano es uniforme. Se dice
que un campo eléctrico es uniforme cuando es constante en módulo dirección y sentido.
Cuando esto es así, las líneas de campo son rectas paralelas y las superficies
equipotenciales son superficies paralelas entre sí y perpendiculares a las líneas de campo.
Se debe recordar que, tal como se dijo al describir las características de las superficies
equipotenciales, el sentido del campo eléctrico es siempre hacia potenciales decrecientes,
es decir, en la figura anterior, V1>V2>V3.
La expresión de la diferencia de potencial entre dos puntos en el seno de un campo
eléctrico uniforme es
Donde E es el valor del campo eléctrico y d la
distancia entre las dos superficies
equipotenciales que contienen a los puntos A
y B.
Así, si se trata de mover una carga q
entre A y B en el seno de un campo eléctrico
uniforme, el trabajo que realiza el campo
viene dado por la expresión,
Este trabajo, como sabemos, es independiente
de la trayectoria seguida entre A y B. Como
ampliación, al final del tema se ofrece una
demostración de la expresión anterior.
Vamos a analizar anora el problema de una partícula cargada que penetra en un
campo eléctrico uniforme con una velocidad perpendicular al campo. Debemos describir el
tipo de trayectoria seguida por la partícula y explicar cómo cambia su energía. Las posibles
direcciones de entrada de la partícula respecto de la dirección del campo eléctrico son
infinitas. De todas ellas analizaremos lo que ocurre cuando la partícula penetra
perpendicularmente a la dirección del campo y cuando lo hace en la misma dirección. En
cualquier caso, en el momento en que la partícula penetra en la región del espacio con
campo eléctrico uniforme, se verá sometida a una fuerza de atracción o repulsión,
dependiendo del signo de la carga. La expresión de esta fuerza será,

22. [22]
Supongamos en primer lugar que la carga es positiva y que penetra de forma que el
vector velocidad y el vector campo eléctrico son perpendiculares. En este caso la fuerza
tiene la misma dirección y sentido que el campo eléctrico, como se ve en la figura
siguiente,
Si la carga es negativa la fuerza eléctrica y el campo tienen la misma dirección pero
sentidos opuestos, como en la figura siguiente,
Si aplicamos el principio fundamental de la dinámica
Donde m es la masa de la partícula cargada que entra en el campo eléctrico E, siendo q su
carga. Como se ve en las figuras anteriores, las partículas (positiva o negativa) se ven
sometidas a dos movimientos: uno a lo largo del eje X y otro a lo largo del eje Y. El
movimiento en el eje X es un movimiento rectilíneo uniforme y el movimiento en el eje Y
es rectilíneo uniformemente acelerado, siendo su aceleración la dada por la exprexión
anterior.

23. [23]
La composición de los dos movimientos hace que la partícula describa una
trayectoria parabólica, por lo que a este movimiento se le pueden aplicar las expresiones
correspondientes al llamado tiro horizontal en cinemática, tal como se ve en uno de los
problemas resueltos siguientes.
La otra situación mencionada, cuando la carga penetra de forma que el vector
velocidad y el vector campo eléctrico tienen la misma dirección, también es analizada en
los problemas resueltos siguientes.
Desde el punto de vista energético, como el campo eléctrico es conservativo la
energía mecánica permanecerá constante.
Por tanto, a medida que aumenta la velocidad de la partícula, aumentará su energía
cinética y disminuirá su energía potencial, y al contrario.
Tres problemas resueltos
Un campo uniforme vale 6000 N/C. Un protón (q = 1,6·10
-19
C; m = 1,67·10
-27
kg) se libera en la placa
positiva. ¿Cuánto tarda en llegar a la placa negativa y con qué velocidad lo hace? La separación entre
placas es 0,20 cm
En el momento en que el protón es liberado sufre una fuerza de
repulsión por parte de la placa positiva, fuerza que va en la misma
dirección y sentido que el campo eléctrico como se ve en la
siguiente figura adjunta. En esta situación el movimiento de la
carga positiva es rectilíneo uniformemente acelerado.
Según el 2º principio de la dinámica, la fuerza eléctríca que
actúa sobre la carga positiva es, en módulo,
Como se trata de un condensador plano
De donde,
Conocida la aceleración podemos establecer las ecuaciones del movimiento rectilíneo
uniformemente acelerado,
En nuestro caso, tomando el origen del sistema de referencia en la placa positiva, considerando que
el inicia el movimiento desde el reposo y sabiendo que la distancia entre placas es de 0,2 cm,

24. [24]
de donde
Entre las armaduras de un condensador plano de separación 2 cm existe una diferencia de potencial de
5000 V. Se sitúa una carga puntual positiva en reposo en un punto equidistante de las placas. Se pide:
a) El valor del campo eléctrico que existe en el interior del condensador.
b) Describe cómo se mueve la carga eléctrica y la velocidad al chocar con la placa.
a) El campo eléctrico en el interior de un condensador cumple con la expresión
b) Despreciando los efectos gravitatorios, la partícula se mueve con movimiento rectilíneo
uniformemente acelerado hacia la placa negativa. Suponiendo que la masa de la partícula cargada
es m, tenemos que la aceleración a la que está sometida la partícula es:
La velocidad que adquiere la partícula en un movimiento rectilíneo uniformemente
acelerado es
que para nuestro caso:

25. [25]
Si entre las armaduras del condensador del problema anterior lanzamos un electrón con una velocidad
vo perpendicular al campo eléctrico, halla la ecuación de la trayectoria.
La figura siguiente muestra la situación en el momento en que el electrón entra en el campo
eléctrico que hay entre las dos placas.
En el eje x de la figura la velocidad es constante (movimiento rectilíneo uniforme) y en el
eje y, la velocidad iniciales cero aunque va aumentando desde el momento en que el electrón
penetra en el campo, por tanto, es un movimiento rectilíneo uniformemente acelerado, siendo el
valor de la aceleración (segundo principio de la Dinámica),
donde m es la masa del electrón y Fe la fuerza eléctrica a la que se ve sometido, en módulo,
ahora e representa la carga del electrón y E el campo eléctrico entre las armaduras del condesador.
Si el sistema de referencia tiene su origen en el punto de entrada en la región del campo
eléctrico, la distancia recorrida en horizontal obedece la ecuación
donde vo es la velocidad horizontal a la que el electrón es lanzado dentro del campo. Por otra parte,
la distancia recorrida en vertical obecede la ecuación.
Donde el signo “-“ indica que se trata de distancia recorrida en vertical por debajo del origen del
sistema de referencia elegido.
Eliminando t en ambas expresiones obtenemos la ecuación de la trayectoria,
que es la ecuación de una parábola.

26. [26]
Ampliación. Diferencia de potencial entre dos puntos en el seno de un campo eléctrico
uniforme.

27. [27]

28. [28]
Estos apuntes se finalizaron el 1 de marzo de 2011
en Villanueva del Arzobispo, Jaén (España).
Realizados por: Felipe Moreno Romero
fresenius1@gmail.com
http://www.escritoscientificos.es

29. [1]
FÍSICA 2º BACHILLERATO
BLOQUE TEMÁTICO: INTERACCIÓN ELECTROMAGNÉTICA
CAMPO MAGNÉTICO
1.- Magnetismo. Experiencias de Oërsted. Propiedades magnéticas de la materia.
2.- Campo magnético.
3.- Determinación del campo magnético.
3.1.- Campo magnético creado por una carga puntual en movimiento.
3.2.- Campo magnético creado por una corriente eléctrica infinita.
3.3.- Campo magnético creado por una corriente circular (espira).
3.4.- Campo magnético creado en el interior de un solenoide.
4.- Acción del campo magnético sobre cargas eléctricas en movimiento.
1) Magnetismo. Experiencias de Oërsted. Propiedades magnéticas de la materia.
El estudio de la electricidad no queda completo si no se trata el magnetismo.
Siempre que los electrones se mueven (corriente eléctrica) aparecen efectos magnéticos.
Veamos algunas ideas y conceptos inciales:
- El fenómeno del magnestismo es conocido desde hace más de 2000 años.
- La magnesia (periclasa) es un mineral que formaba parte de las piedras de Magnesia,
abundantes en las cercanía se la Magnesia de Tesalia (Grecia) y que por sus propiedades dieron
nombre al fenómeno del magnetismo.
- Los imanes naturales son aquellos que presentan el magnetismo de forma natural. Por
ejemplo la magnetita, una mezcla de óxidos de hierro.
- Imanes artificiales son aquellos cuyas propiedades magnéticas le son inducidas de forma
artificial. Generalmente son metales como el hierro, el cobalto o el níquel y sus aleaciones, las
sustancias que pueden ser imanes artificiales. La mayor parte de los imanes comerciales se fabrican
de ALNICO, aleaciones de aluminio, níquel y cobalto.
Ya sean naturales o artificiales, los imanes presentan las siguientes propiedades:
1) Todo imán presenta una máxima atracción en los extremos, llamados polos magnéticos.
2) Un imán tiene dos polos que se conocen como polo norte y polo sur. Esta denominación tiene
relación con la orientación de la brújula, un imán, respecto de los polos norte y sur geográficos en la
Tierra, otro imán.
3) Los polos de un imán no se pueden separar, por mucho que se divida un imán siempre tendrá
dos polos. Esta es una diferencia con las cargas eléctricas que sí se pueden separar.
4) Los polos del mismo nombre se repelen entre sí. Los polos de diferente nombre se atraen.
Ideas básicas sobre el desarrollo histórico del magnetismo.
Hans Cristian Oërsted (1777-1851). En 1820 dio un paso muy importante en el
conocimiento del magnetismo al comprobar que la aguja de una brújula se desviaba en las
proximidades de un hilo conductor por el que circulaba corriente eléctrica.

30. [2]
Antes de conectar la corriente
eléctrica la aguja imantada de la
brújula está orientada hacia el
polo del imán natural que es la
Tierra.
Al conectar el circuito eléctrico la
aguja se orienta
perpendicularmente al hilo, como
si existiera un campo magnético
más potente que el de la Tierra
que obliga a la aguja a orientarse
así.
La orientación de la aguja depende
del sentido de la corriente
eléctrica.
Por tanto, una corriente eléctrica produce el mismo efecto que un imán natural.
Este efecto es tanto más potente cuanto mayor es la intensidad de la corriente eléctrica.
Michael Faraday (1791-1867). Doce años más tarde, en 1832, observó el efecto
contrario al que observó Oërsted, es decir, al mover un imán en las cercanías de un
conductor por el que no circula corriente alguna (o bien , al mover el conductor en las
cercanías de un imán) se genera en este una corriente “inducida”.
André-Marie Ampère (1775-1836). Estableció los fundamentos del
electromagnetismo basándose en las experiencias de Oërsted. Se pueden resumir muy
básicamente de la siguiente manera:
- Entre dos cargas eléctricas inmóviles se establece una interacción eléctrica cuya
expresión viene dada por la ley de Coulomb.
- Entre varias cargas en movimiento se establecen dos interacciones, una eléctrica
(ley de Coulomb) y otra magnética. Se origina, por tanto, una interacción
electromagnética.
- Una carga en reposo no puede experimentar interacción electromagnética.
- Se dice que en un punto del espacio existe un campo magnético si una carga móvil
colocada en él experimenta una fuerza.
James Clerk Maxwell (1831-1879). En 1860 sintetizó la electricidad y el
magnetismo. Estableció que los campos eléctrico y magnético, actuando juntos, generan
un tipo de energía llamada energía de radiación. Estableció también que la luz no es más
que una onda electromagnética.
Explicación del magnetismo natural.
Un electrón en movimiento es el imán más pequeño que existe y también tiene su
polos norte y sur inseparables.

31. [3]
Un átomo, al tener electrones, es un diminuto imán llamado dipolo magnético.
Estos dipolos surgen debido al movimeinto orbital de los electrones y al movimiento de
rotación de los electrones mismos (spín).
Un material cualquiera está formado por átomos, luego está formado por infinidad
de dipolos magnéticos, cada uno con su polo norte y su polo sur. Por tanto, cualquier
material debería presentar características magnéticas. ¿Por qué no ocurre más que en
determinados materiales?
La mayor parte de los cuerpos tienen sus dipolos orientados al azar, de manera que
el campo magnético total de cuerpo se anula (figura a). En una sustancia magnética, ya sea
natural o artificial, sus dipolos están orientados en el mismo sentido, ofreciendo
globalmente un polo norte y y polo sur (figura b).
Figura a Figura b
Las sustancias se pueden clasificar según su comportamiento magnético en:
Sustancias paramagnéticas. Son atraídas débilmente por un imán y prácticamente no se
imantan. Por ejemplo, el aluminio. La orientación de los dipolos magnéticos en estas
sustancias es muy débil.
Sustancias diamagnéticas. Son repelidas débilmente por un imán. Esto es debido a que
algunos dipolos atómicos se orientan en sentido contrario al campo magnético exterior.
Por ejemplo, cobre, plata, plomo.
Sustancias ferromagnéticas. Son fuertemente atraídas por un imán y fácilmente
imantables. Se admite que estas sustancias constan de pequeñas regiones en las cuales
todos los dipolos magnéticos están orientados en la misma dirección (dominios
magnéticos). En un material ferromagnético no imantado los dominios están orientados al
azar, pero en presencia de un campo magnético externo la mayoría de los dominios se
alinean con ese campo (imantación).
En el hierro dulce o forjado los dominios se orientan con facilidad, pero pierden
rápidamente esa orientación si cesa el campo magnético exterior. En el acero los dipolos
se resisten más a cambiar su orientación, permaneciendo es esta posición largo tiempo
(imán permanente). Un simple golpe o un calentamiento excesivo puede provocar una
reorientación azar de los dipolos en un imán que, evidentemente, ha dejado de ser
permanente.
La Tierra es imán debido a su núcleo de hierro y níquel. Sin embargo su campo
magnético es débil, no suficiente como para orientar dipolos magnéticos ni dominios
magnéticos en todas las sustancias que hay en ella.

32. [4]
2) Campo magnético
① Definición
Todo imán (incluídas las cargas eléctricas en movimiento) está rodeado
por un espacio en el cual se ejercen los efectos magnéticos. Esta zona del
espacio se denomina campo magnético.
② Intensiad del campo magnético
El campo magnético viene determinado por el vector inducción magnética, , que
nos da la intensidad del campo magnético.
Para obtener una definición adecuada podemos repasar las definiciones de las
intensidades de campos vistos hasta ahora:
·) representa la intensidad del campo gravitatorio en un punto, es la fuerza
gravitatoria que se ejerce sobre la masa unidad colocada en dicho punto.
·) representa la intensidad del campo eléctrico en un punto, es la fuerza eléctrica
que se ejerce sobre la carga de prueba unidad colocada en ese punto. El signo de la
carga de prueba es positivo.
Por tanto:
·) representa la intensidad del campo magnético en un punto, es la fuerza
magnética que se ejerce sobre la carga de prueba unidad en movimiento en ese
punto. El signo de la carga de prueba es positivo.
③ El campo magnético no es conservativo. Consecuencias:
a- No existe un “potencial magnético”, análogo a los ya vistos, potencial eléctrico o
potencial gravitatorio.
b- Sí importa el camino seguido por la carga que se desplaza en el seno de un campo
magnético entre dos puntos cualesquiera del mismo.
c- El trabajo realizado por la fuerza magnética a lo largo de una línea cerrada no tiene por
qué ser cero. En definitiva, en el campo magnético no se puede hablar de una “energía
potencial magnética” ni se puede aplicar, por tanto, el teorema de la energía potencial para
calcular el trabajo que realiza la fuerza magnética.
d- Si hubiera que determinar el trabajo que realiza la fuerza magnética, hay que recurrir a
la expresión general del trabajo
e- No existe una única expresión para la inducción magnética, , como ocurría con la
intensidad del campo gravitatorio o el campo eléctrico . Por tanto,
para cada imán cada situación de cargas eléctricas en movimiento, se debe determinar la
expresión de la inducción magnética creada.

33. [5]
f- Las expresiones de la inducción magnética dependen fundamentalmente de
- La forma del conductor (o del imán)
- El medio en el que se encuentra inmerso. En este aspecto coincide con el campo
eléctrico.
- De la intensidad de corriente que circula por el conductor. En este caso hablamos
de campos magnéticos creados por corrientes eléctricas.
- De la posición del punto donde se va a calcular el campo magnético respecto del
imán o conductor que genera el campo. En este aspecto coincide con el campo eléctrico y
gravitatorio, aunque la forma en que depende de la posición no tiene por qué (y de hecho
no coincide frecuentemente) con la inversa del cuadrado de la distancia.
④ Unidad
El campo magnético, mejor inducción magnética, se mide en el S.I. en Teslas (T), en
honor a Nicola-Tesla (1857-1943) descubridor del motor de inducción, del motor
asincrónico de campo giratorio y de las corrientes polifásicas. Es el principal responsable
del modelo actual de producción y transporte de la corriente eléctrica.
Un tesla, 1 T, es una unidad muy grande. El campo magnético terrestre en la
superficie de la Tierra es de 5·10-5 T (aproximadamente). Los imanes convencionales de
laboratorio pueden alcanzar los 2,5 T.
La definición oficial de un Tesla se verá más adelante, al estudiar la acción del
campo magnético sobre cargas eléctricas en movimiento (punto 4).
Otra unidad muy utilizada para la inducción magnética es el gauss. Esta unidad no
es del S.I., por lo que requiere conocer su conversión a Teslas:
1 T = 104 gauss
⑤ Forma del campo magnético
Una forma de ver la dirección que tiene un campo magnético es mediante una
brújula, pues la dirección que toma la aguja es la dirección del mismo.
Al igual que los campos gravitatorio y eléctrico, el campo magnético es un campo
de fuerzas (vectorial) que se representa gráficamente mediante líneas de fuerza o líneas
de campo que reciben el nombre de líneas de inducción magnética.
Las líneas de inducción magnética cumplen las siguientes condiciones:
- Salen del polo norte y entran en el polo sur de un imán.
- Son cerradas, es decir, en un imán van desde el polo norte hacia el polo sur. Por
esto no se pueden separar ambos polos de un imán, pues si los polos magnéticos se
pudieran separar y aislar las líneas de campo seráin abiertas, empezarían o terminarían en
cada polo aislado, como ocurre en las cargas eléctricas.
Una experiencia clásica que permite ver el campo magnético creado por un imán
rectangular consiste en esparcir limaduras de hierro sobre un papel que a su vez se
encuentra sobre el imán. Las limaduras se distribuyen sobre el papel según las líneas de
campo magnetico tal como se ve en la siguientes figuras.

34. [6]
¿Cómo conseguir un campo magnético uniforme?
Para conseguir un campo magnético uniforme se pueden enfrentar dos imanes
planos por sus polos opuestos, la situación sería
También en un imán en U hay una zona donde es uniforme
Estas zonas de campo magnético uniforme son muy interesantes en este tema para
estudiar cómo se comportan las partículas cargadas en movimiento cuando penetran en
dichas zonas.
Campo magnético terrestre. Representación idealizada.

35. [7]
3) Determinación del campo magnético
Los campos magnéticos utilizado mayormente en la industria y en laboratorios son
los creados por corrientes eléctricas que circulan a través de una bobina. En cualquier
caso, para determinar la expresión de la inducción magnética que cualquier conductor
crea a su alrededor cuando pasa por el mismo una corriente eléctrica se utiliza la ley de
Biot y Savart.
Sea un hilo conductor cualquiera, situado en el vacío, por el que pasa una
intensidad de corriente I. Deseamos conocer la inducción magnética ) creada por una
pequeña longitud de hilo, , en un punto P del espacio.
La ley de Biot y Savart establece que la
expresión de la inducción magnética en el
punto P es
)
Donde,
→ es una constante de proporcionalidad
que depende del medio y que se denomina
permeabilidad magnética en el vacío. Su valor
es
Al igual que la permitividad eléctrica, la permeabilidad magnética en el aire es muy similar a la permeabilidad
en el vacío. Las sustancias ferromagnéticas tienen una permeabilidad mayor a , pudiendo adquirir valores
muy altos. Las sustancias paramagnéticas tienen una permeabilidad magnética cuyo valor es
aproximadamente igual a . Las sustancias diamagnéticas tienen una permeabilidad magnética inferior a .
El valor de la permeabilidad magnética de una sustancia se puede escribir,
donde es la permeabilidad magnética relativa.
I → es la intensidad de corriente que circula por el hilo (en amperios).
→ es un elemento conductor de longitud dl. Su dirección es el propio hilo y su sentido
es el de la intensidad de corriente1.
→ a este producto se le denomina “Elemento de corriente”
→ es un vector unitario cuya dirección y sentido viene expresado en la figura línea de
unión de con el punto P).
r → es la distancia del punto P, donde se quiere calcular el campo, al elemento de
corriente.
→ es la intensidad del campo magnético diferencial, inducción magnética diferencial,
creada por el elemento de corriente en el punto P. Su dirección y sentido viene
determinada por las características del producto vectorial .
1 Es importante hacer notar que el sentido de la intensidad de corriente es el contrario al de la corriente de
electrones que forman la corriente eléctrica. El sentido de la intensidad de corriente se eligió por convenio antes de
conocer la naturaleza de la corriente eléctrica, desde el polo positivo de una pila hasta el polo negativo.

36. [8]
Para determinar el valor de la inducción magnética total, creada por todo el
conductor en el punto P es necesario determinar todas las intensidades magnéticas
diferenciales, , de todos los elementos de corriente en que se divide el conductor y,
después sumarlas (integración). El problema puede ser muy complejo pues su solución
dependerá de la forma del conductor. En estos apuntes no se realizarán estas
determinaciones (excepto para una carga aislada), sino que directamente se aportarán las
soluciones que la ley de Biot y Savart da para los siguientes casos:
- Carga eléctrica aislada en movimiento
- Corriente eléctrica infinita
- Espira
- Solenoide
3.1.- Campo magnético creado por una carga puntual en movimiento.
Sea una carga eléctrica que se mueve con una velocidad en el vacío. El producto
de la carga, q, por esta velocidad hace el papel, en la ley de Biot y Savart, del elemento de
corriente. En efecto, si vemos las unidades de estos productos,
→ → → →
Por tanto, en este caso, podemos escribir la ley de Biot y
Savart de la siguiente forma,
)
Como vemos, no se ha está midiendo un campo magnético
diferencial, sólo el que crea una única carga.
El módulo de la inducción magnética es,
sen sen
La dirección de la inducción magnética es perpendicular al plano que forman y . Su
sentido es el de avance de un sacacorchos que gire desde hasta .
3.2.- Campo magnético creado por una corriente eléctrica infinita.
Si pudiéramos hacer un estudio experimental de la inducción magnética alrededor
de un hilo por el que pasa una corriente eléctrica (experimento de Oërsted),
observaríamos que:
- Si la intensidad de corriente aumenta, la inducción magnética aumenta de forma
proporcional, y viceversa.
- Si la distancia al hilo aumenta, la inducción magnética disminuye de forma
proporcional, y viceversa.
- Si se cambia el medio, el campo magnético cambia.

37. [9]
Podríamos concluir que la expresión que
establece la inducción magnética en un punto del espacio
cercano a un hilo por el que pasa una corriente eléctrica
debe tener en cuenta una relación directa con la
intensidad de corriente que circula por el hilo, y una
relación inversa con la distancia del punto considerado al
hilo. En efecto, el módulo de la inducción magnética que
crea una corriente eléctrica infinita es,
La dirección es perpendicular al hilo conductor y su
sentido se determina por la “regla de la mano derecha”,
que consiste en colocar el pulgar de la mano derecha en la
dirección de la intensidad de corriente, entonces la
dirección de la inducción magnética coincide con la
dirección que marcan el resto de dedos de la mano.
A la hora de representar el campo
magnético en el plano del papel, es conveniente
establecer una simbología para representar una
magnitud vectorial que es perpendicular al plano
que forma el papel. Así, el símbolo ʘ indica que el
sentido de la magnitud que se representa “sale del
papel hacia fuera”. El símbolo ⦻, o simplemente un
aspa, indica que que el sentido de la magnitud que
se representa “entra hacia dentro del papel”. Por ejemplo, el campo magnético del hilo
infinito que aparece en la figura anterior se puede representar

38. [10]
El ejemplo inverso viene representado en la siguiente figura,
Otros ejemplos de este tipo de representación

39. [11]
3.3.- Campo magnético creado por una corriente circular (espira).
Hay muchos dispositivos, como electroimanes, transformadores,…, en los que los
conductores están arrollados formando una bobina. Por ello es importante conocer el
campo magnético creado por uno de estos arrollamientos como paso previo al
conocimiento del campo magnético creado por el arrollamiento completo.
De forma genérica, una espira es un conductor que se cierra sobre sí mismo y por
el que circula una corriente uniforme. Centrándonos en una espira circular por la que
circula una corriente I, el campo magnético en su centro viene dado por la expresión,
En cuanto a la dirección y sentido del vector
inducción magnética en el centro de la espira (ver
figura):
- Dirección: perpendicular al plano de la
espira.
- Sentido: se aplica la regla del sacacorchos
(o del tornillo), es decir, el sentido del vector es el
de avance de un sacacorchos que gira según lo hace
la intensidad de corriente que circula por la espira.
Según el criterio adoptado a la hora de representar vectores perpendiculares al
plano del papel, si representamos la espira en tal plano el campo magnético en el centro de
la espira “entrará” o “saldrá” según sea el sentido de la corriente que circula por la espira.
3.4.- Campo magnético creado en el interior de un solenoide.
Un solenoide es cualquier dispositivo físico capaz de crear una zona de campo
magnético uniforme. Un ejemplo teórico es una bobina construida con un hilo conductor
arrollado, formando espiras. Por él se hace circular una corriente eléctrica

40. [12]
El campo magnético uniforme se crea en el interior del solenoide, su forma será:
El valor de la inducción magnética en el interior del solenoide viene dado por la
expresión,
siendo, N el número de espiras del solenoide y l la longitud del mismo.
Como vemos, la permeabilidad magnética del medio se
encuentra en el numerador. Dentro de los solenoides se introducen
sustancias de permeabilidad magnética alta (como hierro dulce), para
transformar las bobinas en potentes imanes. Si dentro del solenoide no
hay nada la permeabilidad magnética será la del aire que, como hemos dicho, es
aproximadamente igual a la permeabilidad magnética del vacío, .
Respecto a la dirección y sentido del vector :
- Dirección: eje del solenoide
- Sentido: regla de la mano derecha (ver figura), o del sacacorchos, es decir, el
sentido de avance de un sacacorchos que gire según lo hace la intensidad de corriente que
pasa por el solenoide.
En el exterior de un solenoide la forma del campo magnético es similar al creado
por un imán rectangular, tal como se puede ver en las figuras anteriores.

41. [13]
4) Acción del campo magnético sobre cargas eléctricas en movimiento.
Ya conocemos qué es la inducción magnética y las expresiones de algunos campos
magnéticos creados por algunos conductores (en algunas zonas concretas cercanas a
dichos conductores). Ahora vamos a analizar qué le ocurre a una carga (o varias) móvil
cuando penetra en una región donde existe un campo magnético. Concretamente vamos a
analizar los siguientes casos:
- Comportamiento de una carga móvil aislada inmersa en un campo magnético.
- Acción de un campo magnético sobre una corriente eléctrica lineal.
- Fuerzas entre corrientes paralelas. Definición de amperio.
4.1.- Comportamiento de una carga móvil aislada inmersa en un campo magnético.
① Sea q una carga positiva que se mueve en el seno de un campo magnético con una
velocidad . Por estar inmersa en dicho campo, y por estar moviéndose, esta carga
experimenta una fuerza magnética,
② Dado que se trata de una carga eléctrica, también es susceptible de experimentar una
fuerza eléctrica ) si, además, se encuentra inmersa en un campo eléctrico, . Por tanto,
la fuerza global sobre la carga sería:
Esta fuerza recibe en nombre de fuerza de Lorentz, es la fuerza ejercida por el campo
electromagnético sobre una carga eléctrica aislada en movimiento.
③ La expresión de la fuerza eléctrica ya ha sido analizada en el tema dedicado al campo
eléctrico,
④ Falta por conocer la expresión de la fuerza
magnética. Supongamos en primer lugar la
situación general de la figura adjunta. La carga q se
mueve con una velocidad cuyo vector, , forma un
ángulo α con el vector inducción magnética, . Las
direcciones y sentidos elegidos en la figura son
totalmente arbitrarios.
La expresión de la fuerza magnética es
)
por tanto, debemos hacer un producto vectorial de
los vectores velocidad e inducción magnética. El resultado de aplicar esta expresión es un
vector cuyas características son:
- Módulo, sen
- Dirección, perpendicular al plano que forman los vectores y .
- Sentido. El de avance de un sacacorchos que gire en el sentido → . También
se puede aplicar la regla de la mano izquierda, representada en la siguiente figura,

42. [14]
Por tanto, para el caso general representado en la figura anterior, el sentido de la fuerza
magnética será el positivo del eje z.
⑤ Consideraciones importantes sobre la fuerza magnética.
- La fuerza magnética es máxima cuando los vectores y son perpendiculares,
sen
esta expresión permite definir el Tesla como unidad de inducción magnética en el S.I. Si
despejamos la intensidad del campo magnético,
→
Un tesla es la inducción de un campo magnético que ejerce una fuerza de
un newton sobre una carga de un culombio cuando se mueve con una
velocidad de un metro por segundo en el interior del campo,
perpendicularmente a las líneas de inducción.
- El sentido de la fuerza magnética con la regla de la mano izquierda sólo es válida
para cargas positivas. Hay que tener en cuenta por tanto que si la carga que se mueve en el
campo magnético es negativa el sentido de la fuerza magnética es el contrario al que da la
regla de la mano izquierda.

43. [15]
4.2.- Acción de un campo magnético sobre una corriente eléctrica lineal.
Como sabemos, la corriente eléctrica es un conjunto de cargas eléctricas en
movimiento (electrones).
Desde el punto de vista magnético, una corriente eléctrica:
- Crea su propio campo magnético.
- Puede sufrir (las cargas que forman la corriente y, por tanto, el hilo conductor por
el que circulan) la fuerza de Lorentz si se introduce el conductor en el seno de un campo
magnético externo. Es este aspecto el que se va a analizar en este apartado.
Supongamos un hilo conductor (cobre) que se introduce en el seno de un campo
magnético uniforme. Por el hilo no circula corriente eléctrica alguna.
En esta situación se puede afirmar que el hilo
conductor no está sometido a ninguna fuerza
pues aunque los electrones de los átomos del
hilo están en movimiento, realmente este
movimiento es aleatorio y la fuerza magnética
global se anula.
Supongamos ahora que por el hilo circula una
corriente de intensidad I. En esta situación,
cada uno de los electrones que forma la
corriente eléctrica experimenta una fuerza
magnética con una dirección y sentido
concreto. Globalmente el hilo se ve sometido
a una fuerza que vamos a determinar.
Para un electrón que forma parte de la
corriente eléctrica la fuerza a que se ve
sometido es
)
donde e es la carga del electrón. Para todos los electrones que forman la corriente eléctrica
en un instante,
)
Como todos los electrones llevan la misma velocidad, tienen la misma carga y están
sometidos al mismo campo magnético, podremos poner
) )
donde N es el número de electrones que han están pasando en un instante t.
Vamos a desarrollar la expresión un poco más. La velocidad de los electrones en la
corriente eléctrica viene dada por

44. [16]
donde t es el tiempo que tardan los electrones en recorrer la longitud , que es el vector
longitud del hilo. Es un vector que tiene la misma dirección y sentido que la intensidad de
corriente y cuyo módulo es la longitud de hilo que está sometida a la acción del campo
eléctrico.
Por tanto,
) → )
ahora bien, por definición, la intensidad de corriente es la cantidad total de carga que pasa
por la sección de un conductor en la unidad de tiempo,
En definitiva,
)
expresión que se conoce como primera ley de Lapace y que permite estimar el valor de la
fuerza magnética a que se ve sometido un hilo de corriente en el seno de un campo
magnético.
- Módulo:
donde α es el ángulo que forma el hilo y el campo magnético.
- Dirección: perpendicular al plano que forma el hilo y el campo magnético.
- Sentido: regla de la mano izquierda
Hay que tener en cuenta que las cargas eléctricas que se mueven son electrones, que se
mueven en sentido contrario al asignado a la intensidad. Por tanto, el dedo corazón debe
indicar el sentido de la intensidad y no del movimiento de los electrones.
En el ejemplo representado en la página anterior, el sentido de la fuerza es

45. [17]
4.3.- Fuerzas entre corrientes paralelas. Definición de amperio.
Según estamos viendo,
-Una corriente eléctrica genera un campo magnético.
-Una corriente eléctrica, hilo conductor, inmerso en un campo magnético se ve
sometido a una fuerza magnética.
Es evidente que las dos cosas ocurren a la vez, por tanto, si acercamos dos hilos por
los que pasa corriente, ambos hilos generan su propio campo magnético y además ambos
hilos se ven afectados por la corriente eléctrica vecina ya que se suponen los
suficientemente próximos entre sí.
Supongamos la siguiente situación de partida: dos hilos paralelos e infinitos por los
que circulan sendas corrientes de intensidad Ia e Ib, en el mismo sentido. La distancia entre
los hilos es d.
Vamos a representar la dirección y sentido del campo magnético que genera la
corriente a en el punto donde se encuentra el hilo b (Ba) y viceversa.
Los módulos de estos campos son,
→
→

46. [18]
La fuerza a que se ve sometido el conductor a, por estar inmerso en el campo
magnético del conductor b, , , es
, → , sen
La fuerza a que ve sometido el conductor b, por estar inmerso en el campo
magnético del conductor a, , , es
, → , sen
Ambas fuerzas son iguales en módulo y dirección, pero de sentidos opuestos y aplicadas
sobre cuerpos diferentes (tercer principio de la Dinámica). La dirección y sentido de
dichas fuerzas viene representada a continuación (regla de la mano izquierda),
Por tanto, ambos conductores se atraen con una fuerza cuyo módulo es
Dado que estamos considerando los dos hilos paralelos como infinitos, es conveniente
cambiar la longitud de sitio y determinar la fuerza por unidad de longitud que se establece
entre los dos hilos,
Es claro que si las intensidades que circulan por los dos hilos tienen sentidos
opuestos, el módulo y dirección de las fuerzas no cambia, pero sí su sentido. En esta
situación los hilos se repelen,

47. [19]
El hecho de que dos conductores ejerzan fuerzas de atracción o de repulsión entre
ellos se ha tomado como criterio para definir la unidad de intensidad de corriente en el
S.I.:
Amperio: es la corriente que, circulando por dos conductores paralelos e
indefinidos, separados por una distancia de un metro en el vacío, produce
sobre cada uno una fuerza de 2·10-7 N por metro de longitud de conductor.
Efectivamente, si los hilos están en el vacío, Ia = Ib = 1 A, y d = 1 m,
Ampliación. Fuerzas sobre una espira rectangular plana en el seno de un campo
magnético. Fundamento del funcionamiento de un galvanómetro.
Consideramos inicialmente una espira rectangular de lados a y b recorrida por una intensidad de corriente I en
el sentido indicado por la figura, y sometida a la acción del campo magnético uniforme, . En esas condiciones
se originan fuerzas en cada lado de la espira cuyo módulo dirección y sentido vienen dados por la ley de
Laplace.

48. [20]

49. [21]
El galvanómetro es un aparato que se utiliza para medir
pequeñas corrientes eléctricas. En la figura 1 se muestran sus
componentes principales. Un imán permanente y un núcleo de
hierro dulce hacen que el campo magnético tenga una
inducción prácticamente constante (en la figura, por la forma
del imán, el campo magnético es uniforme y radial). Entre los
polos hay una bobina rectangular que puede girar sobre un eje
que pasa por su centro, y está unida a una aguja que señala
sobre una escala graduada. Cuando pasa una corriente por el
aparato, la bobina gira un ángulo proporcional a dicha
corriente, valor que la aguja marcará en la escala. Un resorte de
acero hace que la aguja vuelva a la posición cero cuando cesa la
corriente.
El galvanómetro puede servir para medir corrientes más
grandes si se conecta a una resistencia apropiada, llamada
resistencia de derivación (shunt) de forma que pase casi toda la corriente por ella (derivación de baja
resistencia). Por la bobina pasará una corriente determinada muy pequeña, suficiente para mover la aguja
sobre la escala. Con estas características el galvanómetro recibe el nombre de amperímetro (figura 2).

50. [22]

51. [23]
Problemas resueltos.
Un electrón, con una energía cinética de 6·10-16
J penetra en un campo magnético uniforme
de 4·10-3
T de forma que la dirección del campo es perpendicular a la dirección del
movimiento del electrón.
a) ¿A qué fuerza está sometido el electrón dentro del campo?
b) ¿Cuánto vale el radio de la trayectoria que describe?
a) La situación viene representada en la figura adjunta.
Cuando un electrón se mueve con una velocidad (a lo
largo del eje x) y penetra en una zona donde existe un
campo magnético uniforme y perpendicular a dicha
velocidad (representado en el eje z, en sentido negativo
de dicho eje –hacia dentro del papel-), experimenta una
fuerza magnética cuyo valor es
)
donde e es la carga del electrón. El módulo de esta
fuerza es
La dirección del vector fuerza es perpendicular al plano que forman el vector campo y el vector
velocidad (eje y). La regla de la mano izquierda permite determinar el sentido de la fuerza
magnética para una carga positiva, como se trata de una carga negativa el sentido de la fuerza
magnética será el contrario al que determine dicha regla, es decir, la fuerza va dirigida hacia valores
negativos del eje y (ver figura).
Para determinar el módulo de la fuerza necesitamos saber la velocidad del electrón, dato
que obtendremos a partir del valor de su energía cinética.
→
,
,
como vemos, ha sido necesario consultar el valor de la masa del electrón.
Por tanto,
, , ,
Para el sistema de referencia representado en la figura,
, )
b) La trayectoria de una partícula sobre la que se ejerce una fuerza y que se mueve con una
velocidad perpendicular a dicha fuerza, de manera que esta condición de perpendicularidad se
mantiene sólo en el instante inicial, será una parábola. Se trata de, por ejemplo, un tiro horizontal
en el caso de un campo gravitatorio, o de una partícula cargada que penetra en perpendicularmente
a un campo eléctrico uniforme.

52. [24]
Sin embargo, este no es el caso pues se trata de una partícula (el electrón) sobre el que se
ejerce una fuerza que en todo momento es perpendicular a la velocidad de la misma, es decir, es
una fuerza central. Por tanto, su trayectoria será una circunferencia.
Como en este caso la fuerza centrípeta es la fuerza magnética, podemos escribir las expresiones de
ambas fuerzas (en módulo)
despejando el radio de curvatura,
expresión que se puede generalizar para cualquier tipo de carga que penetre en un campo
magnético uniforme perpendicularmente a dicho campo,
Para el caso que nos ocupa,
, ,
,
Recordar también aquí que, al tratarse de un movimiento circular uniforme, se pueden utilizar las
conocidas expresiones de dicho movimiento.

53. [25]
Una partícula alfa sale perpendicularmente del plano del papel con una velocidad de 20000
km/s. En el instante en que la partícula sale del papel penetra en un campo magnético
uniforme de 2·10-2
T. La dirección del campo es el plano del papel, de izquierda a derecha y
horizontal. Encontrar la fuerza que actúa sobre la partícula y el radio de su trayectoria.
Datos: carga del electrón = 1,6·10-19
C, masa del protón = masa del neutrón = 1,67·10-27
kg.
Este problema es en su resolución idéntico al anterior, con la diferencia de que se trata de una carga
positiva y que las direcciones de la velocidad y del campo magnético vienen impuestas.
Una partícula alfa es un núcleo de helio, es decir, un átomo de helio que ha perdido sus dos
electrones,
í →
Por tanto, su carga y su masa serán,
, ,
, ,
Según las direcciones de la inducción magnética y de la
velocidad de la partícula, esta se ve sometida a una fuerza cuya
dirección y sentido viene mostrada en la figura adjunta, es decir,
,
La fuerza a que ve se sometida la partícula en el momento de
salir del papel es, según la ley de Lorentz,
)
El módulo de esta fuerza será,
, ,
Por tanto, para el sistema de referencia utilizado,
,
En cuanto al radio de curvatura de la trayectoria circular que sigue la partícula, su
expresión, deducida en el problema anterior es,
De donde
,
,
,
Como vemos, comparando con el radio de curvatura de un electrón (problema anterior), su valor ha
aumentado considerablemente, resultado, fundamentalmente, del aumento de la masa de la
partícula cargada que penetra en el campo.

54. [26]
Una varilla de 0,2 kg de masa y 0,3 m de longitud es recorrida por una corriente de 12 A. La
varilla se encuentra sobre un plano horizontal. Se aplica un campo magnético vertical de
intensidad creciente de manera que cuando este vale 0,02 T la varilla comienza a deslizar.
Determinar el coeficiente estático de rozamiento entre el suelo y la varilla.
a) Al encontrarse la varilla en el seno de un campo magnético y pasar por ella una corriente
eléctrica, la varilla se ve sometida a una fuerza magnética cuyo valor es (ley de Laplace),
)
El sentido la fuerza es (regla mano izquierda) perpendicular a la varilla hacia fuera del papel.
Podemos representar las fuerzas que se ejercen sobre la varilla, si la miramos como se indica
El valor del la inducción magnética va creciendo de manera que cuando vale 0,02 T la
fuerza magnética que genera sobre la varilla es tal que está a punto de empezar a deslizar. En esta
situación los módulos de las fuerzas cumplen con la condición
→
donde FR es la fuerza de rozamiento que, al estar la varilla aún parada, depende del coeficiente
estático de rozamiento,
→ sen
sen →
, ,
, ,
,

55. [27]
Por un alambre de cobre, situado en el ecuador terrestre y paralelamente a él, pasa una
corriente que lo mantiene flotando en el aire por la acción del campo magnético terrestre.
Determine la intensidad de corriente que es necesario que pase por dicho alambre.
Datos. Campo magnético terrestre, B = 0,00005 T; densidad lineal del conductor = 8 g/m.
Situación descrita en el problema
para que esto ocurra debemos hacer pasar una corriente por el hilo que, al estar inmerso en el
campo magnético terrestre, hace que sobre el hilo se ejerza una fuerza magnética que contrarreste
el peso del hilo. Como la dirección del campo magnético terrestre es de norte a sur, la dirección de
la intensidad de corriente y de la fuerza magnética deben ser las siguientes (regla de la mano
izquierda)
Donde el valor de la fuerza magnética viene dado por la ley de Laplace
)
En la situación de equilibrio, los módulos de las fuerzas peso y magnética son iguales,
→ sen
Despejando
Como un metro de hilo pesa 8 gramos,
,

56. [28]
Calcula la fuerza a que se verá sometido cada uno de los lados del triángulo de la figura.
Datos: I = 0,5 A; B = 0,2 T; ; ;
El campo magnético es uniforme y va dirigido de forma horizontal desde el polo norte al sur. Cada
uno de los tramos del triángulo se ve sometido a una fuerza magnética ya que por ellos está
pasando una corriente eléctrica y se encuentran inmersos en un campo magnético. La expresión
que permite calcular esta fuerza es la ley de Laplace,
)
Estableceremos primero un sistema de referencia (ver figura). En estas condiciones, , )
Tramo . La fuerza a que está sometido el hilo es,
en módulo,
sen , , , ,
Su dirección es perpendicular al plano que forman
el hilo y la inducción magnética, es decir, el eje z.
Su sentido es el positivo del eje z (regla de la mano
izquierda). Por tanto, para el sistema de referencia de la figura,
, )
Tramo .
sen
luego este hilo no se ve sometido a fuerza alguna ya que la intensidad de corriente tiene la misma
dirección que la inducción.
Tramo .
sen , , , sen
Debemos determinar el valor del ángulo. Para ello, si observamos la figura
adjunta,
sen
,
,
,
arcosen ,

57. [29]
Por tanto,
, , , sen ,
La dirección de esta fuerza es perpendicular al plano que forman el hilo y la inducción magnética, es
decir, el eje z. Su sentido es el negativo del eje z (regla de la mano izquierda). Por tanto, para el
sistema de referencia de la figura,
, )
El triángulo girará
Dos espiras circulares de radio 2π metros se colocan en ángulo recto una respecto de la otra
con centro común. Una de ellas, situada en el plano xy, es recorrida por una corriente de 3 A.
La otra, recorrida por una corriente de 4 A, está situada en el palo yz. ¿Cuál es el valor del
campo magnético en el centro?
La situación viene representada en la figura adjunta. Los sentidos de las
intensidades son supuestos pues no se mencionan en el enunciado del
problema.
El módulo de la inducción magnética creada por una espira circular en
su centro y en el vacío viene dado por la siguiente expresión,
Empecemos por la espira del plano yz, recorrida por la intensidad I’ A,
Su dirección es perpendicular al plano de la espira y su sentido es
el de avance de un sacacorchos que gire como lo hace la
intensidad de corriente (véase figura), por tanto,
)
En cuanto a la espira del plano xy, recorrida por I = 3A,

58. [30]
En la figura anterior se puede ver la dirección y sentido de la inducción magnética. Por tanto,
)
Aplicando el principio de superposición, la inducción magnética en el centro de las dos
espiras será,
cuyo módulo es,
) )
Cuatro conductores paralelos largos transportan corrientes de
igual magnitud, 2 A, cuyos sentidos vienen indicados en la figura.
Calcular el campo magnético en el centro del cuadrado que
definen los cuatro conductores.
Cada hilo genera su propio campo magnético en el
centro del cuadrado. Las direcciones y sentidos de
dichos campos vienen reflejadas en la figura
adjunta. La dirección y sentido de cada uno de
estos campos se determina teniendo en cuenta que
las líneas de campo generadas por una corriente
rectilínea son circunferencias con centro en la
línea de corriente y colocadas en planos
perpendiculares a ella. El sentido de estas líneas es
el indicado por los dedos de la mano derecha
cuando se coge el conductor de modo que el dedo
pulgar señala el sentido de la corriente.
La mitad de la diagonal del cuadrado mide
, ,
,
Los módulos de los campos generados por cada hilo son iguales al ser las intensidades de
corriente que circulan por ellos iguales. Su valor se puede determinar a partir de la expresión
,
,
Si el sistema de referencia tiene como ejes x e y las propias diagonales del cuadrado,
podemos anotar las inducciones magnéticas en el centro del cuadrado como sigue,

59. [31]
,
,
La inducción total en el centro del cuadrado es,
, ,
Cuyo módulo es
,
Dos conductores rectilíneos y paralelos están separados entre sí una distancia de 15 cm.
Ambos están recorridos por una intensidad de corriente. Por el primero de ellos pasan 54000
culombios cada hora y por el segundo pasan 10 A. Determinar:
a) El valor de la fuerza que actúa por unidad de longitud sobre cada conductor.
b) El valor de la inducción magnética en cada uno de los dos puntos pertenecientes al plano
determinado por ambos conductores y equidistantes 20 cm del primero de ellos.
a) La intensidad de corriente que pasa por el primer hilo es
El enunciado no indica el sentido relativo de la corriente entre ambos
hilos. Se considerará que el sentido de la corriente es el mismo en los
hilos, como se muestra en la figura adjunta.
Las fuerzas que se establecen entre dos hilos infinitos son de atracción
si los sentidos de la corriente coinciden. Son de repulsión si los sentidos de la corriente son
contrarios (véase pág. 17 y siguientes). El módulo de dicha fuerza por
unidad de longitud es
,
b) Los dos puntos que están en el mismo plano que los hilos y que equidistan 20 cm del primer hilo
son los marcados en la figura siguiente
Punto 1.
El hilo 1 y el hilo 2, al llevar corriente, generan en P1 un campo magnético, respectivamente.
El campo total sobre P1 será, según el principio de superposición,

60. [32]
Los módulos son,
,
,
,
Teniendo en cuenta el sistema de referencia elegido, la dirección y sentido de la inducción
magnética creada por cada hilo es (regla de la mano derecha) la representada a continuación.
Por tanto,
, , )
Punto 2.
Operando de la misma manera,
Los módulos son,
,
,
Teniendo en cuenta el sistema de referencia elegido, la dirección y sentido de la inducción
magnética creada por cada hilo es (regla de la mano derecha) la representada a continuación.
Por tanto,
)

61. [33]
Un alambre recto y largo conduce una corriente I en el sentido +x, mientras que un segundo
conductor transporta una corriente I/2 según el sentido +y. ¿En qué puntos la inducción
magnética resultante es nula?
La situación de partida viene representada en la figura
adjunta.
Cada hilo genera un campo magnético. El módulo del
campo generado por el hilo del eje x depende de forma
directa de la intensidad que circula por dicho hilo y de
forma inversa de la distancia en línea recta
perpendicular a dicho hilo, es decir, depende de la
distancia medida sobre el eje y:
De la misma manera, el campo generado por el hilo del eje y depende de la distancia en línea recta
perpendicular a dicho hilo, es decir, depende de la distancia medida sobre el eje x:
Ambos campos se pueden anular en aquellos puntos
donde sus sentidos sean opuestos. Si observamos dichos
sentidos (regla de la mano derecha), esto solo puede
ocurrir en el primer y tercer cuadrante. En esos lugares,
puede haber puntos donde
→
Aquellos puntos que verifican la ecuación de la recta y = 2x son los buscados.

62. [34]
Un electrón se mueve en una región sin ningún campo de fuerzas, con una velocidad de
100.000.000 m/s, en la dirección y sentido indicados en la figura, y llega a un punto, P, en el
que entra en una región con un campo magnético perpendicular al papel y hacia dentro,
¿Qué intensidad ha de tener el campo magnético para que el electrón vuelva a la primera
región por un punto, Q, situado a 30 cm de P? ¿A qué lado del punto P está situado Q?
El razonamiento en este problema es idéntico al problema de la página 24. Se anotarán
aquí directamente las ecuaciones y sus resultados.
Fuerza que se ejerce sobre el electrón al penetrar en el campo magnético, , donde e
es la carga del electrón. El módulo de esta fuerza es
Su dirección es vertical sobre el papel y su sentido hacia abajo. Esta fuerza obliga al electrón a
describir una trayectoria circular dentro del campo magnético. En módulo
despejando el radio de curvatura,
Para el caso que nos ocupa, para que el electrón
salga a 30 cm sobre la vertical del punto de
entrada debe recorrer media circunferencia de
radio 15 cm. En esta situación,
,
, ,
,
Tal como se indica en la figura, el electrón describe una semicircunferencia en el sentido
horario saliendo del campo por debajo del punto P.

63. [35]
Un electrón se mueve a 20000 km/s. Penetra en un condensador plano que tiene 1000 V de
diferencia de potencial ente sus placas y una distancia entre las mimas de 1 cm. La dirección
de entrada del electrón en el condensador es perpendicular a las líneas de campo eléctrico.
¿Cómo hay que colocar un imán para que la trayectoria del electrón siga recta? ¿Cuál es la
inducción magnética de dicho imán?
Analicemos primero el movimiento del electrón entre las
placas del condensador. La situación descrita en el
problema viene representada en la figura adjunta, en la
que también se ha establecido un sistema de referencia.
Cuando el electrón penetra entre las placas del
condensador, se ve sometido a una fuerza eléctrica
debido a que entre dichas placas hay un campo eléctrico
(representado en la figura). El electrón es atraído hacia la
placa positiva y, en esta situación, describirá una
trayectoria parabólica hasta que impacte con la placa. El módulo de la fuerza eléctrica es
donde e es la carga del electrón, , la diferencia de potencial entre las placas y d la distancia entre
las mismas.
Para que el electrón siga recto es necesario compensar la
fuerza eléctrica con otra fuerza, en este caso magnética,
resultado de colocar adecuadamente un imán. Es claro
que la fuerza magnética que sufra el electrón, por la
acción del campo magnético del imán, debe de ir dirigida
en sentido opuesto a la fuerza eléctrica y tener el mismo
valor en módulo.
La expresión de la fuerza magnética es
)
y su módulo
sen
Para que la dirección y sentido de la fuerza magnética sea la de la figura, el campo magnético debe
tener la dirección del eje x en su sentido positivo α º). Esto es así porque el vector está
dirigido según el producto vectorial de por y su sentido está determinado por la carga de la
partícula. En este caso, al tratarse de un electrón, el sentido de la fuerza es el contrario al
correspondiente a dicho producto vectorial. Por tanto,
→

64. [36]
Para el sistema de referencia elegido
)
Estos apuntes se finalizaron el 29 de marzo de 2011
en Villanueva del Arzobispo, Jaén (España).
Realizados por: Felipe Moreno Romero
fresenius1@gmail.com
http://www.escritoscientificos.es

65. [1]
FÍSICA 2º BACHILLERATO
BLOQUE TEMÁTICO: INTERACCIÓN ELECTROMAGNÉTICA
INDUCCIÓN ELECTROMAGNÉTICA
1.- Concepto de flujo magnético.
2.- Inducción magnética. Experiencias de Henry y Faraday.
3.- Leyes de la inducción magnética.
3.1.- Ley de Lenz.
3.2.- Ley de Faraday.
4.- Aplicaciones.
4.1.- Producción de corriente alterna.
4.2.- Transformadores de corriente.
1) Concepto de flujo magnético.
Sea S una superficie unidad que es perpendicular a las líneas
de un campo de fuerzas cualquiera (campo gravitatorio, eléctrico o
magnético).
① Definición de partida.
Se llama flujo (ϕ) del campo a través de la superficie S, al
producto de la intensidad del campo por el área de la superficie perpendicular al campo.
Para el campo magnético, según la definición general, el flujo magnético será:
② Unidades.
La definición de partida anterior permite definir la unidad de flujo magnético. En el
S.I. se llama weber (Wb).
El resultado de despejar la unidad de inducción magnética en la expresión anterior
permite obtener una forma alternativa de expresar el tesla como unidad de intensidad de
campo magnético:
③ Ampliación de la definición de flujo magnético.
El flujo de un campo de fuerzas
nos da una idea del número de líneas
de fuerza que atraviesan la unidad de
superficie. Si la unidad de superficie
elegida no es perpendicular a las líneas
de fuerza, el flujo es función del ángulo
que forma dicha superficie con las

66. [2]
líneas de fuerza. Para conocer el valor del flujo en este caso, debemos ampliar su
definición.
Definiremos un vector superficie, , de la siguiente manera:
- Módulo: el valor de la superficie en m2.
- Dirección: perpendicular a la superficie.
- Sentido: si la superficie es cerrada (superficie que
encierra un volumen), hacia fuera de dicha superficie; si la
superficie es plana, aquel sentido que forme un ángulo
menor con el vector campo.
Una vez definido este vector, el flujo que atraviesa
una superficie cualquiera se define como el producto escalar
de los vectores superficie e inducción magnética,
cos
donde α es el ángulo que forma el vector intensidad de campo ) y el vector superficie
( ).
El producto S cos α se denomina superficie efectiva para el flujo.
2.- Inducción magnética. Experiencias de Henry y Faraday.
① Se sabe que:
- Un campo magnético constante genera una fuerza magnética sobre una corriente
eléctrica. Si no hay corriente eléctrica no hay fuerza magnética. Si la corriente eléctrica
pasa a través de un hilo recto la expresión de la fuerza magnética viene dada por la ley de
Laplace.
- Una corriente eléctrica pasando a través de un conductor genera un campo
magnético. Las expresiones de este campo magnético para los alrededores de un hilo
infinito, el centro de una espira circular o en el eje central de un solenoide son,
respectivamente,
Se puede observar en estas expresiones que el campo magnético en un punto determinado
alrededor del hilo, en el centro de la espira circular o en el eje central del solenoide, se
mantiene constante si la intensidad de corriente que pasa por los conductores es
constante.
② Situación de partida en este tema: un conductor por el que en un principio no circula
corriente alguna y que se verá inmerso en el seno de un campo magnético variable.
Cuando ocurre esto, por el conductor pasa una corriente que denominaremos inducida.

67. [3]
La inducción electromagnética es el proceso mediante el cual se genera
una corriente eléctrica en un circuito como resultado de la variación de
un campo magnético.
③ Experiencias de Faraday.
Faraday estaba convencido de que un campo magnético es capaz de producir una
corriente eléctrica. Descubrió que esto era posible cuando dejó de trabajar con campos
magnéticos constantes. En 1832, después de una década de intentos infructuosos, lo
consiguió.
Las experiencias se verán aquí modificadas convenientemente, con fines
didácticos. Así, por ejemplo, para simplificar se estudia lo que le ocurre a una sola espira
en un circuito eléctrico, pero las conclusiones obtenidas serían las mismas si en lugar de
una sola espira se tratara de un solenoide.
Experiencia 1
Sea una espira por la que en un principio no pasa corriente alguna. En el circuito de
la espira montamos un galvanómetro (un instrumento que permite saber si está pasando
corriente por el circuito de la espira y, además, el sentido de dicha corriente).
Podemos distinguir cuatro casos:
1) Si acercamos el polo norte de un imán
comprobamos que el galvanómetro marca paso de
una corriente.
2) Cuando el imán se aleja por un polo sur la
corriente de inducción tiene el mismo sentido que en
el caso anterior.
3) Si acercamos el polo sur se observa una corriente
en la espira de sentido contrario a los dos casos
anteriores.
4) Si alejamos el polo norte, el sentido de la
corriente en la espira es la misma que en el caso 3.
La corriente únicamente existe en la espira
en los momentos que se acerca o se aleja el imán.
Nunca cuando el imán está inmóvil, cualquiera que
sea su proximidad a la espira.
Estas corrientes reciben el nombre de “corrientes inducidas”; el imán o
electroimán es el “sistema inductor” y la espira es el “circuito inducido”.
Los cuatro casos anteriores también ocurren si el imán se mantiene inmóvil y es la
espira la que se acerca o aleja (movimiento relativo).

68. [4]
Experiencia 2
Supongamos ahora dos espiras colocadas paralelamente y muy próximas una de
otra. La espira 1 está alimentada por un generador de corriente y provista de un
interruptor.
Se observa que cuando abrimos o cerramos el circuito de la espira 1 se producen
corrientes en la espira 2.
④ Experiencia de Henry
Casi simultáneamente (1831) y de manera independiente, J. Henry descubría que
si un conductor de longitud l se mueve perpendicularmente a un campo magnético, se
origina una diferencia de potencial en los extremos del conductor. Esta diferencia de
potencial origina una corriente si el alambre forma parte de un circuito cerrado.
Obsérvese la figura adjunta. Un hilo conductor se
introduce en el seno de un campo magnético
uniforme. Se observa que:
1) Si el conductor se mueve hacia dentro o hacia
fuera del papel, tal como se presenta en la figura
adjunta, el galvanómetro registra paso de corriente
eléctrica.
2) Si el conductor puesto en horizontal respecto a
como se presenta en la figura, se mueve de abajo
hacia arriba, el galvanómetro G registra paso de
corriente eléctrica.
3) Si el conductor se mueve, tal como se ve en la figura, desde el polo norte hacia el polo
sur (o viceversa) el galvanómetro no registra paso de corriente eléctrica.

69. [5]
El sentido de la corriente inducida es variable, por ejemplo, si el conductor se
mueve hacia arriba, la corriente circula en un sentido. Si el conductor se mueve hacia
abajo, la corriente circula en sentido contrario al anterior.
La corriente inducida aparece mientras el conductor se está moviendo. Si el
conductor se para la corriente cesa.
⑤ Interpretación de las experiencias de Faraday.
La interpretación se hará en términos de flujo magnético.
Idea principal: la causa de las corrientes inducidas es la variación del flujo
magnético que atraviesa el plano del inducido (conductor donde se genera la corriente
inducida).
Como la expresión del flujo magnético es
cos
el flujo magnético puede variar por las siguientes razones (aisladas o conjuntas)
- Variación de la inducción magnética.
- Variación de la superficie.
- Variación de la orientación de los vectores .
1) Variación de la inducción magnética ( ). En las experiencia nº 1 de Faraday varía la
inducción magnética al acercarse o alejarse el imán o la espira del inducido. Por tanto, si
varía el campo magnético, varía el flujo magnético y hay corriente inducida.
Si el imán se para, vuelve a ser constante, el flujo no varía y no hay paso de corriente.
Por tanto, en esta experiencia porque está cambiando la inducción
magnética.

70. [6]
Si este razonamiento es cierto, entonces si pudiéramos variar los otros parámetros
de los que depende el flujo magnético, también se generarían corrientes inducidas, como
se verá a continuación.
2) Variación de la superficie de la espira.
Supongamos la situación de partida de la primera experiencia de Faraday: tenemos
una espira enfrentada a un imán, pero el imán lo dejamos inmóvil. Si pudiéramos deformar
la espira, se observará que el galvanómetro registra paso de corriente eléctrica mientras la
deformación se está produciendo.
3) Variación de la orientación relativa de
Si la espira gira en presencia de un imán fijo, varía en todo momento la orientación del
vector superficie con relación al campo magnético. Por tanto, varía el flujo y se produce
corriente inducida. El paso de corriente cesa cuando el giro de la espira cesa.
⑥ El micrófono.
Las ondas sonoras hacen vibrar el diafragma el cual hace
que se mueva solidariamente la bobina asociada que está
inmersa en un campo magnético. El movimiento del
conductor en el seno de un campo magnético genera una
fuerza electromotriz pequeña (aprox. 10-3 V) que
posteriormente es amplificada.
Explicación de la experiencia nº 2 de Faraday.
La corriente que pasa por el circuito nº 1 es constante y ambos
circuitos no se mueven. En esta situación se crea un campo
magnético debido a la corriente que pasa por el circuito nº 1,
pero esta inducción magnética es constante y no hay variación
de flujo. Por tanto, no hay corriente inducida mientras esté
circulando corriente por el circuito nº 1.

71. [7]
El paso de corriente eléctrica por el
circuito nº 2, cuando se conecta o
desconecta el circuito inductor, se
explica de la siguiente manera: al
conectar el circuito nº 1 la intensidad
de corriente que se origina no se
alcanza de forma instantánea sino que
se adquiere el valor de intensidad de
una forma rápida desde I = 0. Durante
este tiempo (décimas o centésimas de segundo) la intensidad de corriente es variable.
Como la inducción magnética depende de forma directa de la intensidad de corriente,
durante este tiempo la inducción es variable y, en consecuencia el flujo también. De la
misma manera, al desconectar el circuito nº 1 la intensidad de corriente no desaparece
instantáneamente sino que decrece hasta I = 0 durante un tiempo. En este intervalo de
tiempo el campo magnético vuelve a ser variable, se produce una corriente inducida por la
variación del flujo magnético.
⑥ Interpretación de la experiencia de Henry.
El fenómeno de inducción en el hilo conductor se puede considerar como una
consecuencia de la ley de Lorentz.
Supongamos de partida un hilo conductor de
longitud l colocado perpendicularmente a las líneas
de inducción magnética en un campo uniforme. En
esta situación no hay una diferencia de potencial
entre los extremos del hilo (no habría paso de
corriente si el hilo formara parte de un circuito
eléctrico) ya que al no moverse el conductor la
velocidad en la expresión de la ley de Lorentz se
hace cero.
No quiere decir esto que las cargas eléctricas (los electrones que forman parte de los átomos) en el conductor
no se estén moviendo. Lo están haciendo pero de una forma aleatoria de manera que el resultado global de la
fuerza que sufre el hilo es cero.
Si el hilo se mueve en el sentido perpendicular al campo, por ejemplo, hacia la izquierda en
la figura, cada una de las cargas negativas representadas tiene una componente de
velocidad hacia dicho sentido y, por tanto, sufre una fuerza magnética que va dirigida
hacia abajo (regla de la mano izquierda teniendo en cuenta que se trata de electrones).
Los electrones que sufren esta fuerza son los más externos en las capas externas de los átomos del metal. Los
núcleos atómicos y los electrones más internos también sufren esta fuerza, pero los núcleos están firmemente
anclados a la red cristalina del metal y los electrones más internos están muy ligados a dichos núcleos.
En el conductor se genera una zona de concentración de carga negativa y una zona
de concentración de carga positiva, es decir, una diferencia de potencial. Cuando ocurre
esto los electrones del extremo se ven sometidos ahora también a una fuerza eléctrica que
tiende a llevarlos a su posición original.

72. [8]
La situación de separación de cargas
eléctricas se mantiene hasta que la fuerza
magnética global se iguala con la fuerza
eléctrica global.
En este momento se alcanza un equilibrio y se
ha creado una diferencia de potencial de
manera que se cumple que,
La situación es similar a la de un condensador cargado, es decir, podemos poner que la
diferencia de potencial entre los extremos del hilo es
por tanto,
Ahora bien, si el hilo forma parte de un circuito eléctrico, tal como se ha visto en la
experiencia de Henry, esta diferencia de potencial se traducirá en una corriente eléctrica
generada en el circuito.
Si se invierte el sentido del movimiento del hilo conductor también se invertirá la
polaridad en el hilo, conclusión lógica de la aplicación de la regla de la mano izquierda.
En el caso de que el conductor se mueva de manera que el sentido de su
movimiento forme un ángulo α con el vector inducción magnética, la diferencia de
potencial generada entre los extremos del hilo será:
sen
así, si se mueve en la misma dirección que la inducción magnética el ángulo será cero
(mismo sentido) o 180º (sentido opuesto) y, por tanto, no habrá paso de corriente.
3.- Leyes de la inducción magnética.
Una vez analizado cómo se producen las corrientes inducidas, el objetivo es
caracterizar dichas corrientes. Dicha caracterización se consigue a través de dos leyes:
- Ley de Lenz. Permite conocer el sentido de la corriente inducida.
- Ley de Faraday. Permite conocer la fuerza electromotriz de la corriente inducida.
3.1.- Ley de Lenz.
H. Lenz (1804-1865) descubrió esta ley en 1833-34 siendo profesor de física de la
Universidad de San Petersburgo.
Una corriente se induce en un sentido tal que los efectos que genera
tienden a oponerse al cambio de flujo que origina

73. [9]
Por tanto, si en un problema determinado se genera una corriente inducida por un
aumento del flujo, el sentido de dicha corriente será tal que sus efectos magnéticos se
opondrán a dicho aumento (y viceversa). Veamos alguna aplicación de la ley de Lenz a
casos concretos.
Sea un hilo largo e infinito por el que pasa una corriente cuya intensidad aumenta
con el tiempo. Si al lado de dicho hilo se encuentra una espira cuadrada ¿cuál será el
sentido de la corriente inducida en la espira?
El sentido del campo magnético generado por el
hilo en la zona donde se encuentra la espira viene
representado en la figura adjunta (véase tema
anterior para conocer los detalles de cómo se
determina dicho campo). Su valor es
Este valor es variable porque la intensidad de
corriente es variable. Concretamente, al ir
aumentando I con el tiempo la inducción magnética
que genera el hilo también va creciendo con el tiempo y, por tanto, el flujo magnético
aumenta con el tiempo. La consecuencia de este aumento del flujo magnético es la
inducción de una corriente en la espira que a su vez genera un campo magnético inducido.
Según la ley de Lenz, la corriente inducida es tal que sus efectos magnéticos se
oponen al aumento del flujo, es decir, a que el campo inductor aumente. Por tanto, la
espira debe generar un campo magnético inducido (Binducido) tal que su sentido sea
contrario al que ya existe. Para que esto ocurra el sentido de la corriente inducida viene
representado en la siguiente figura.
Por tanto, el campo magnético resultante en el centro de la espira será:
cuyo módulo es