1. Act. 13: Dimensionamiento del
Sistema de control de centrales
telefónicas.
Judith Vivar Mesa

2. Contenido:
• Introducción.
• Modelos de tráfico para los sistemas de
control de centrales telefónicas. Erlang C
Bibliografía: Monografía “Modelos de tráfico”
(en Teleportal)

3. Objetivos:
• Saber aplicar el modelo de Erlang C a
sistemas de control sencillos, para
calcular parámetros de calidad.
• Diseñar el número de facilidades, en los
sistemas de control, a partir de los
parámetros de calidad.

4. Modelos de tráfico para sist. de
control.
• El sistema de conmutación de una red telefónica es
un sistema de llamadas perdidas. Sin embargo, los
dispositivos de control se diseñan bajo otro principio
que permite mayor eficiencia en el manejo de las
llamadas.
• En un sistema de control por programa almacenado,
el procesador central realiza varias tareas
diferentes. Estas esperan en una cola hasta que el
procesador haya completado las tareas previas.
• Consecuentemente, estos sistemas son
dimensionados con determinado criterio de demora.

5. Sistemas con colas
• Ocurren cuando la demanda real de un
servicio es superior a la capacidad que
existe para dar dicho servicio.

6. Teoría de Colas
Fundamentos teóricos
La teoría de colas brinda herramientas matemáticas para
analizar el comportamiento promedio de las variables
principales que caracterizan los sistemas de servicio.
Las expresiones matemáticas que modelan el
comportamiento del sistema de servicio son mas
complejos en la medida en que aumenta la complejidad del
propio sistema. Incluso para sistemas muy complejos no
pueden deducirse dichas expresiones.
Partiendo de estos modelos se pueden comparar
alternativas de comportamiento del sistema de servicio
bajo diferentes variantes de los valores de los parámetros
del sistema.

7. Teoría de Colas
Estructura básica del modelo de colas
Mecanismo Clientes
Fuente Clientes
Cola Servidos
de Servicio
• Fuente de entrada (población potencial)
• Cola (infinita o finita)
• Disciplina de la cola
• Mecanismo de servicio

8. Características de Calidad de los
Sistemas de Servicio
Las características de calidad por las que se puede medir
el comportamiento de un sistema de servicio pueden ser:
• El tiempo promedio que espera el cliente para recibir
servicio.
• El tiempo total promedio que permanece el cliente en el
sistema.
• La probabilidad que tiene un cliente de esperar para
recibir servicio.
• El porciento de ocupación de las estaciones de servicio.
• El costo total promedio por unidad de tiempo que
requiere el sistema para su funcionamiento.

9. Características de Calidad de los
Sistemas de Servicio
Usualmente las variables controlables en un sistema de
servicio son:
• La cantidad de estaciones de servicio
• La velocidad con que son atendidos los clientes
• La disciplina con que se brinda el servicio a los clientes
• La frecuencia y forma en que arriban los clientes ( en
algunas ocasiones)
Las alternativas de solución pueden ser generadas a partir
de combinaciones de los valores de las variables antes
mencionadas.

10. Notación:

11. Erlang C.
• Erlang C permite determinar la
probabilidad de demora cuando un tráfico
“A” es ofrecido a un sistema de colas con
“N” servidores.

13. Modelo de Erlang C (M/M/N):
Erlang C es aplicable a los sistemas que
cumplen:
• Tráfico aleatorio puro
• Equilibrio estadístico
• Accesibilidad completa
• Las llamadas que encuentran congestión
entran a una cola y son almacenados allí
hasta que un servidor esté libre.

14. Suposiciones de que parte
Erlang
• Las tres primeras suposiciones son
comunes a la teoría de los sistemas con
pérdidas.
• Sin embargo, la segunda suposición
implica que A ≤ N . Si A ≥ N , las
llamadas entran al sistema más rápido de
lo que salen.
El resultado será, que la longitud de la cola puede
incrementarse continuamente hasta el infinito.

15. Equilibrio estadístico:
Considere un δt tan pequeño que solo pueda ocurrir
un evento:
•Arribo de una llamada con probabilidad P(a).
•Terminación de una llamada con probabilidad P(e).
•Nada ocurre, con probabilidad 1- P(a)- P(e).

16. Equilibrio estadístico:
• El tráfico ofrecido (A) expresado en
Erlangs, nos da el número promedio de
llamadas que arriban durante el tiempo de
retención de una llamada.
El número promedio de arribos en δt es:
Aδt /h y representa la probabilidad
P(a), de que una llamada se inicie en δt.
Donde “h” es el tiempo promedio de servicio

17. Cuando x ≥ N
• Cuando todos los servers estén
ocupados, sólo N llamadas que están
siendo servidas pueden terminarse (en
lugar de x llamadas como en los sistemas
con pérdidas). Por tanto: h= tiempo de servicio
promedio por llamada
P( e ) = N ∂t h

18. De esta manera, P(x) estará dado por las ecuaciones (I)
y (II), donde P(0) estará dado por la ecuación (III). Esta
es la segunda distribución de Erlang, también conocida
como distribución de Erlang C.
A x
x<N
P( x ) = P( 0)
Distribución x!
de Erlang C N x
N  A
.
P( x ) =   P( 0) x≥N
N! N
−1
 N⋅A N
A 
N −1 x
P( 0) =  +∑ 
 N !( N − A) x =0 x! 

19. La probabilidad de demora es la probabilidad
de que hayan N o más llamadas en el sistema
AN N
PD = P( x ≥ N ) PD = P( 0 ) = E2, N ( A)
N! N − A
Probabilidad de demoras, para un sistema con N
servers y un tráfico ofrecido de A Erlangs.
Proporción de llamadas que tienen que esperar
Esta es la fórmula de demora de Erlang.
Erlang C

20. Tablas de demoras
• Han sido publicadas tablas de la probabilidad
de demora, para N servers y tráfico A.
• Sin embargo es posible calcular la
probabilidad de demora para sistemas con
demoras partiendo de la probabilidad de
pérdidas definida para sistemas con
pérdidas, como sigue:
N
E2 , N ≈ E1, N ( A) Si E1, N es muy pequeño
N−A
Han sido publicadas además tablas con los
valores de las probabilidades de que las demoras
excedan un valor dado.

22. La probabilidad
de demora se
aproxima a 1.0 a
medida que A se
aproxima a N.
Cuando A>N,
entonces la
longitud de la
cola crece
indefinidamente.

23. Fórmula de Little:
Sea:
• X : Número de llamadas promedio en el
sistema.
• λ: Razón de llamadas promedio que arriban al
sistema
• T: tiempo promedio, en el sistema, por llamada
X= λ * T

24. Algunos resultados útiles
1. Número medio de llamadas en el
sistema:
• Cuando hay demora en el sistema:
A
x' = +N
N−A
• Promediado sobre todo el tiempo:
A
x= PD + A
N−A

25. Algunos resultados útiles
2. Longitud promedio de la cola:
– Cuando hay demora en el sistema:
A
q' = x' − N =
N−A
– Promediado sobre todo el tiempo
A
q = q 'PD = PD
N−A

26. Algunos resultados útiles
3. Tiempo de demora promedio (FIFO)
– Cuando hay demora:
donde h es el
T ' = h ( N − A) tiempo promedio
de servicio.
– Promediado sobre todo el tiempo
T = PD ⋅ T '
= PD ⋅ h ( N − A)

27. Algunos resultados útiles
• Distribución de las demoras (disciplina de la
cola FIFO). Los tiempos de retención tienen
una distribución de probabilidad exponencial
negativa, llamemos a las demoras TD :
– Cuando hay demora: −t
P(TD ≥ t ) = e T′
– Promediado sobre todo el tiempo
−t
P (TD ≥ t ) = E2, N ( A)e T′

28. Sistemas con un solo servidor
M/M/1
• Cuando existe un solo servidor, la
probabilidad de que esté ocupado
es simplemente su ocupación, A,
y esta es la probabilidad de
demora, P(1)=A.
•Y ( )
P 0 = 1− A

29. Sistemas con un solo servidor
x ' = 1 (1 − A)
x = A (1 − A)
q ' = A (1 − A )
P ( x ) = A x (1 − A )
T ' = h (1 − A)
T = A ⋅ h (1 − A)
P( x ≥ z ) = A z

30. Capacidad de cola finita
• Un sistema práctico no puede contener
una cola infinita. Esto significa que cuando
la cola esté llena las llamadas que arriben
se perderán.

31. Capacidad de cola finita
• Sin embargo, si la probabilidad de pérdida
es pequeña, hay un error despreciable en
calcular esta probabilidad de pérdida,
primero asumiendo que la capacidad de la
cola es infinita y entonces calculando .
P( x ≥ Q + N )

32. Capacidad de cola finita
N Q+ N
N  A N
P( x ≥ Q + N ) =   P( 0)
N! N N−A
Q
 A
P( x ≥ Q + N ) =   PD
N
De esta manera puede ser calculada la capacidad de
la cola Q, necesaria para obtener una probabilidad
de pérdida baja.

33. Ejercicio:
• Un sistema de comunicaciones es organizado con dos
procesadores especializados, uno de los cuales procesa
las funciones asociadas con un grupo de usuarios y el
otro procesa las funciones del otro grupo. Cada uno
tiene su propia cola. La razón de arribo de peticiones de
procesamiento es la misma para los dos procesadores
(140/second). Los arribos siguen una distribución de
Poisson. El tiempo de servicio es el mismo para los dos
procesadores (same power) y siguen una ley
exponencial con valor medio de 6 ms.
a) Calcule la probabilidad de que una petición tenga que esperar.
¿Cuál es el tiempo promedio de espera?
b) El responsable del sistema decide hacer una variación en el
funcionamiento de sistema. Ahora el sistema tendrá dos
procesadores de propósitos generales: El procesamiento será
realizado por uno u otro procesador, el que se encuentre libre.
Los dos procesadores comparten una cola común ¿Qué se
gana con esta modificación?

34. Inciso a)
• Tenemos dos colas M/M/1:
PD = A
A=140 tareas/s x 6.10-3 s =0.84
T = A ⋅ h (1 − A)
T = 0.84 ⋅ 6ms (1 − 0.84 ) = 31.5ms

35. Inciso b)
• Tenemos una cola M/M/2. Ahora la
frecuencia de arribo es el doble, 280/s
A = 1.68
−1
 2 ⋅1.68 2

P( 0) =  + 1 + 1.68 = 0.088
 2( 2 − 1.68) 
2
A 2
PD = P( 0 ) = 0.76
2! 2 − 1.68

36. Inciso b)
T = PD ⋅ T ' = 14mS
T ' = h ( N − A) = 18mS
Con la nueva organización se reduce el tiempo
de espera promedio de 31,5 mS a 14 mS

37. Tarea:

38. Ejercicio 1
Una PBX tiene tres operadores para manipular el
arribo de llamadas. Se reciben 400 llamadas durante
la hora activa. Las llamadas de entrada entran a una
cola y son encaminadas con el orden en que
llegaron. El tiempo promedio que le toma al operador
encaminar la llamada es 18 segundos. El arribo de
llamadas sigue una distribución de Poisson y el
tiempo de servicio del operador sigue una
distribución exponencial negativa.
1. ¿Qué porcentaje de llamadas tienen que esperar
por que un operador responda?
2. ¿Cuál es la demora promedio, para todas las
llamadas y para aquellas que encuentran demora?
3. ¿Qué porciento de llamadas son demoradas por
más de 30 segundos?

39. Ejercicio 2
Un centro de conmutación de mensajes envía
mensajes a un circuito de salida a una razón de 480
caracteres por segundo. El número promedio de
caracteres por mensaje es 24 y la longitud del
mensaje tiene una distribución exponencial
negativa. La entrada de mensajes es un proceso de
Poisson y estos son servidos en el mismo orden en
que llegan.
¿Cuántos mensajes pueden ser manipulados por
segundo si la demora promedio (promediada para
todos los mensajes) no excede 0.5 segundos?