1. Asignatura :: OPTIMIZACIONOPTIMIZACION
Profesor : Carlos Correa Núñez: Carlos Correa Núñez
Semestre : Otoño 2015: Otoño 2015

2. Las filas o colas son frecuentes en
nuestra vida cotidiana:
 En un banco
 En un restaurante de comidas rápidas
 Al matricular en la universidad
 Los autos en un lavacar
Líneas de Espera

3. Los Componentes
Fila o Cola
Servicio

4. Sistemas de colas: modelo básico
Llegadas
Sistema de colas
Cola
Instalación
del
servicio
Disciplina
de la cola
Salidas

5. Estructura de una línea y un servidor
Llegadas
Sistema de colas
Cola Servidor
Salidas

6. Estructura de una línea y múltiples servidores
Llegadas
Sistema de colas
Cola
Servidor
Salidas
Servidor
Servidor
Salidas
Salidas

7. Estructura de varias líneas y múltiples servidores
Llegadas
Sistema de colas
Cola Servidor
Salidas
Servidor
Servidor
Salidas
Salidas
Cola
Cola

8. Estructura de una línea y servidores secuenciales
Llegadas
Sistema de colas
Cola
Servidor
Salidas
Cola
Servidor

9. Teoría de Colas
Introducción

10. Teoría de Colas
Introducción

11. Teoría de Colas
Problemas típicos

12. Teoría de Colas
Definición
La teoría de colas es una colección de modelos matemáticos
que describen sistemas de líneas de espera particulares.

13. Teoría de Colas
Conceptos básicos

14. Teoría de Colas
Costos asociados

15. Teoría de Colas
Objetivos

16. Teoría de Colas
Tipos de colas

17. Teoría de Colas
Tipos de colas

18. Supuestos del Modelo
Un sistema con una cola de espera y un
servidor:
 Llegadas entran al sistema de manera
aleatoria
 Las llegadas vienen de una población
infinita y llegan una a la vez
 No se permiten llegadas simultáneas
 Distribución de llegada: Poisson

19.  Las llegadas no pueden cambiar lugares en la
línea
 Las llegadas no pueden dejar la cola antes de
ser servidas
 Las llegadas no pueden cambiar lugares en la
línea
 Se supone que un solo servidor proporciona el
servicio que varía aleatoriamente
 No se permite que las unidades que salen del
sistema vuelvan a entrar de inmediato.
Supuestos del Modelo

20.  El tiempo que transcurre entre dos llegadas
sucesivas en el sistema de colas se llama
tiempo entre llegadas
 El tiempo entre llegadas tiende a ser muy
variable
 El número esperado de llegadas por unidad de
tiempo se llama tasa media de llegadas (λ)
Supuestos: las Llegadas

21. El tiempo esperado entre llegadas es 1/λ
Por ejemplo, si la tasa media de llegadas es λ =
20 clientes por hora
Entonces el tiempo esperado entre llegadas es
1/λ = 1/20 = 0.05 horas o 3 minutos
Supuestos: las Llegadas

22. Distribución de Poisson.
Su forma algebraica es:
Donde:
P(k) : probabilidad de k llegadas por unidad
de tiempo
λ : tasa media de llegadas
e = 2,7182818…
!
)(
k
e
kP
k λ
λ −
=
Supuestos: las Llegadas

23. El número de clientes en la cola es el número de
clientes que esperan el servicio
El número de clientes en el sistema es el
número de clientes que esperan en la cola más
el número de clientes que actualmente reciben el
servicio.
La capacidad de la cola es el número máximo
de clientes que pueden estar en la cola
Generalmente se supone que la cola es infinita
Aunque también la cola puede ser finita
Supuestos: la Cola

24. La disciplina de la cola se refiere al orden en
que se seleccionan los miembros de la cola para
comenzar el servicio
La más común es FIFO o PEPS: primero en
llegar, primero en recibir servicio
Según la situación también pueden darse otros
casos: selección aleatoria, prioridades, UEPS.
Supuestos: la Cola

25. El servicio puede ser brindado por un servidor o
por servidores múltiples
El tiempo de servicio varía de cliente a cliente
El tiempo esperado de servicio depende de la
tasa media de servicio (µ)
Supuestos: el Servicio

26. El tiempo esperado de servicio equivale a 1/µ
Por ejemplo, si la tasa media de servicio µ es
de 25 clientes por hora
Entonces el tiempo esperado de servicio es 1/µ
= 1/25 = 0.04 horas, o 2.4 minutos
Supuestos: el Servicio

27. Es necesario seleccionar una distribución de
probabilidad para los tiempos de servicio
Hay dos distribuciones que representarían puntos
extremos:
La distribución exponencial (σ=media)
Tiempos de servicio constantes (σ=0)
La distribución más utilizada es la exponencial
Supuestos: el Servicio

28. 1. Número esperado de clientes en la cola Lq
2. Número esperado de clientes en el sistema Ls
3. Tiempo esperado de espera en la cola Wq
4. Tiempo esperado de espera en el sistema Ws
Medidas de desempeño

29. Teoría de Colas
Distribución de probabilidad de llegadas

30. Teoría de Colas
Distribución de probabilidad del servicio

31. Tiempo Tiempo Tiempo del Tiempo de
Cliente llegada salida servidor espera
1 0.4 2.4 2 0
2 1.6 3.1 0.7 0.8
3 2.1 3.3 0.2 1
4 3.8 4.9 1.1 0
5 4.0 5.2 0.3 0.9
6 5.6 8.6 3 0

32. Teoría de Colas
Curiosidades

33. 1. Un servidor, tiempo de servicio exponencial (M/M/1)
2. Un servidor, tiempo de servicio general (M/G/1)
3. Servidores multiples, tiempo de servicio exponencial (M/M/s)
Nomenclatura
A / B / s
Distribución Distribución Numero de
De llegada de servicio Servidores
Modelos principales
Teoría de Colas

34. Datos conocidos
= Tasa de llegada del cliente
= tasa de servicio (1/µ = tiempo de servicio promedio)
s = numero de servidores
Se calcula
Lq = numero promedio de clientes en la linea o cola
Ls = numero promedio de clientes en el sistema
Wq = tiempo promedio de espera en la linea o cola
Ws = Tiempo promedio de espera (incluyendo tiempo de
servicio)
Pn = Probabilidad de tener n clientes en el sistema
ρ = Factor de utilización del sistema
El Modelo M/M/1
λ
µ

35. El Modelo M/M/1
μ ( μ - λ )

36. Formulas
Probabilidad que el sistema este vacío:
Probabilidad de N clientes en el sistema:
Numero promedio clientes en la línea:
P0 =1−
λ
µ
Pn = P0
λ
µ






n
Lq =
λ2
µ µ − λ( )
El Modelo M/M/1

37. a) Análisis de la Cola
Longitud Promedio
de la Cola
λ
Lq =
μ ( μ - λ )
2
Tiempo de Espera
Promedio en la Cola
Wq =
Lq
λ
En donde:
λ es la tasa promedio de llegadas por unidad de tiempo
μ es la tasa promedio de servicio de las llegadas por
unidad de tiempo
El Modelo M/M/1

38. b) Análisis del Sistema
Longitud Promedio
del Sistema
Ls =
λ
μ - λ
Tiempo de Espera
Promedio en el Sistema
Ws =
1
μ - λ
Regla general: la tasa de llegada debe ser menor
que la tasa de servicio
El Modelo M/M/1

39. Dada la tasa media de llegadas λ y la tasa
media de servicio µ, se define el factor de
utilización del sistema ρ.
Generalmente se requiere que ρ < 1
Su fórmula con un servidor es:
El Modelo M/M/1
Factor de utilización del sistema:

40. Probabilidad de que el
sistema esté vacío:
Tiempo de actividad
esperado en el sistema:
Probabilidad de tener n
unidades en el sistema:
Probabilidad de que la línea
exceda a n:
Po = 1 - λ
μ
1 - PoU =
Pn =
λ
μ
n
Po
P(n>L)= λ
μ
L+1
El Modelo M/M/1
Otras medidas de desempeño:

41. Un servicio de lavado de autos puede
atender un auto cada 5 minutos y la tasa
media de llegadas es de 9 autos por hora
Obtenga las medidas de desempeño de
acuerdo con el modelo M/M/1
Además la probabilidad de tener 0 clientes en el sistema, la
probabilidad de tener una cola de más de 3 clientes y la
probabilidad de esperar más de 30 min. en la cola y en el
sistema
El Modelo M/M/1
Ejercicio 1:

42. El Modelo M/M/1
Resultados:
Factor de utilización:

43. Suponga una estación de gasolina a la cual
llegan en promedio 45 clientes por hora
Se tiene capacidad para atender en promedio a
60 clientes por hora
Obtenga las medidas de desempeño de acuerdo
con el modelo M/M/1
El Modelo M/M/1
Ejercicio 2:

44. La tasa media de llegadas λ es 45 clientes por
hora
La tasa media de servicio µ es 60 clientes por
hora
El Modelo M/M/1
Ejercicio 2:
Datos conocidos
= 45 clientes por hora
= 60 clientes por hora
s = 1
λ
µ
Datos conocidos
= 45 clientes por hora
= 60 clientes por hora
s = 1
λ
µ
Datos conocidos
= 45
= 60
s = 1
λ
µ

45. clientesWL
clientesWL
hWW
hW
qq
ss
qs
q
25.2375.0
3475.0
min4066,0
1
1
3
1
min3005,0
=×==
=×==
==+=+=
==
λ
λ
µ
El Modelo M/M/1
Solución de Ejercicio 2 (en base a horas):

46. El Modelo M/M/1
Ejercicio 2 (en base a minutos):
La tasa media de llegadas λ es 45 clientes por
hora o bien, 45/60 = 0.75 clientes por minuto
La tasa media de servicio µ es 60 clientes por
hora o bien 60/60 = 1 cliente por minuto
= ¾ clientes por minuto
= 1 cliente por minuto
= 1 Servidor

47. El Modelo M/M/1
Solución de Ejercicio 2 (en base a minutos):
( )
clientesLq 25.2
75,011
75,0 2
=
−∗
=
( )
clientesLs 3
75,01
75,0 =
−
=
( ) ( )
min4
25,0
1
75,01
1
==
−
=sW
( )
min3
75,011
75,0
=
−∗
=qW

48. Con base en los datos del ejemplo
anterior, λ = 0.75, µ = 1
El factor de utilización del sistema si
se mantuviera un servidor es
ρ = λ/µ = 0.75/1 = 0.75 = 75%
Factor de utilización del sistema
Ejercicio 2:

49. A un supermercado llegan en promedio 80 clientes
por hora que son atendidos entre sus 5 cajas.
Cada caja puede atender en promedio a un cliente
cada 3 minutos
Obtenga las medidas de desempeño de acuerdo con
el modelo M/M/1
Además la probabilidad de tener 2 clientes en el
sistema, la probabilidad de tener una cola de más de 4
clientes y la probabilidad de esperar más de 10 min. en
la cola.
El Modelo M/M/1
Ejercicio 3:

50. Suponga un restaurant de comidas rápidas al
cual llegan en promedio 100 clientes por hora
Se tiene capacidad para atender en promedio a
150 clientes por hora
Se sabe que los clientes esperan en promedio 2
minutos en la cola
Calcule las medidas de desempeño del sistema
El Modelo M/M/1
Ejercicio 4: