1. Movimientos en el Plano Por el grupo 2: A.T N.E.Y L.P.G A.L

2. Vamos a hablar de: ·Las translaciones ·Los giros ·Las simetrías ·Los frisos ·Los mosaicos

4. TRASLACIÓN Una traslación de vector v es un movimiento directo en el plano que asocia a cada punto A un punto A' de forma que el vector AA’ es un vector de igual módulo dirección y sentido que v

5. Rotación Un giro o rotación de centro O y ángulo α es un movimiento que a cada punto A le hace corresponder A' de forma que OA = OA' y el ángulo AOA'= α. Se representa por g(O,α). El ángulo de giro es positivo si es en sentido contrario a las agujas del reloj y negativo si es en el mismo sentido. El ángulo de giro también se llama argumento.

6. Simetría central Una simetría central, de centro el punto O, es un movimiento del plano con el que a cada punto P del plano le hace corresponder otro punto P', siendo O el punto medio del segmento de extremos P y P'. Coordenadas mediante una simetría de centro O(0,0) : Un punto P' homólogo de un punto P(x,y) mediante una simetría central de centro O(0,0) tiene de coordenadas: Una simetría de centro O equivale a un giro de centro O y amplitud 180°.

7. Simetría Axial Igual ocurre con las figuras: a. Los segmentos CC’, BB’ y AA’ son perpendiculares a e. b. Los puntos C y C', B y B’, A y A’ equidistan del eje e. Dicho de otra forma el eje e es la mediatriz del segmento PP' Las simetrías axiales son isometrías porque conservan las distancias entre los puntos y sus homólogos. DEFINICIÓN: Dada una recta e se llama simetría axial de eje e al movimiento que transforma un punto A otro punto A’ verificando: Coordenadas de puntos mediante simetrías axiales Coordenadas de un punto simétrico al eje de ordenadas P(-x, y) x = -x' y = y' 1. El segmento AA' es perpendicular a e.2. Los puntos A y A' equidistan del eje e.3. Dicho de otra forma el eje e es la mediatriz del segmento AA'Al punto A’ se llama homólogo de A. Una simetría axial de eje “e” es una transformación, por tanto a todo punto P del plano le corresponde otro punto P' también del plano, de manera que el eje e sea la mediatriz del segmento AA'. Dos puntos A(x, y) y A'(x', y') simétricos respecto del eje de ordenadas tienen sus abscisas opuestas y sus ordenadas iguales. P(x, y)

8. Coordenadas de un punto simétrico al eje de abscisas Dos puntos A(x, y) y A'(x', y') simétricos respecto del eje de abscisas tienen sus abscisas iguales y sus ordenadas opuestas.P(x, y) La composición de dos simetrías de ejes perpendiculares e y e' es una simetría central respecto del punto de corte de los dos ejes de simetría. Eje de simetría P(x, -y) ---- x = x' y = -y' Composición de simetrías axiales Simetría de ejes paralelos La composición de dos simetrías ejes paralelos e y e' es una traslación, cuyo vector tiene: - La longitud del vector es el doble de la distancia entre los ejes. - La dirección del vector es perpendicular a los ejes. - El sentido es el que va de e a e'. Simetría de ejes perpendiculares El eje de simetría de una figura es la recta que divide a la figura en dos partes iguales, de modo que define una simetría axial entre una parte y otra.

9. EJEMPLOS DE SIMETRÍA

10. FRISOS En primer lugar sepamos lo que el Diccionario de la Real Academia de la Lengua Española dice que es un friso:” Faja más o menos ancha que suele pintarse en la parte inferior de las paredes, de diverso color que estas. También puede ser de seda, estera de junco, papel pintado, azulejos, mármol, etc”. Es pues, lo mismo que una cenefa. Si nos fijamos, a nuestro alrededor los frisos están presentes de forma decorativa en muchas cosas. A continuación vamos a ver cómo las matemáticas están detrás de los procesos de formación de los frisos ya que se obtienen a partir de la aplicación de movimientos en el plano a una determinada figura o agrupación de figuras. Hay cuatro tipos de movimientos en el plano que intervienen en los frisos: la traslación, el giro, la simetría axial y el deslizamiento (el deslizamiento es la composición de una simetría axial y de una traslación). Jaime, A. y Gutiérrez, A. (1996) dicen en su libro lo siguiente: “Se llama friso a un cubrimiento de la región del espacio limitada por dos rectas paralelas. Los frisos son cubrimientos de regiones de longitud infinita pero de anchura finita.” Y nos indican cuáles son los movimientos en el plano que pueden formar parte de un friso: “- Las traslaciones de vector paralelo a los bordes de la región. Los giros de 180º cuyo centro equidista de los bordes de la región” Las simetrías cuyo eje es la recta que equidista de los bordes de la región o es perpendicular a dicha recta. Las simetrías en deslizamiento cuyo eje es la recta que equidista de los bordes de la región.

11. Algoritmo de Rose-Stafford

12. FRISO DE LAS TRASLACIONES L1 El tipo L1 es el más simple, y se le suele llamar “friso de las traslaciones”, puesto que una determinada figura se traslada hacia la derecha varias veces, sin ninguna otra transformación FRISO DE LAS TRASLACIONES Y LAS ROTACIONES : L2 El segundo tipo, L2, es el “friso de las traslaciones y las rotaciones”. Para generar este tipo de friso partimos de una figura, que giramos 180º, y luego trasladamos hacia la derecha FRISO DE LAS TRASLACIONES Y LAS REFLEXIONES VERTICALES: L3 El tipo L3 es el “friso de las traslaciones y las reflexiones verticales”. Dibujamos una figura, y, a su derecha, trazamos un eje vertical, que utilizaremos como eje de simetría. Dibujamos la figura simétrica y trasladamos ambas figuras. Este friso se puede denominar “friso de simetría vertical”.

13. FRISO DE LOS GIROS Y EL DESLIZAMIENTO: L7 El séptimo tipo, L7, es el “friso de los giros y los deslizamientos”. Es una combinación de giro, deslizamiento y traslación; así surgen reflexiones verticales FRISO DE LAS TRASLACIONES Y LAS REFLEXIONES HORIZONTALES: L4 El tipo L4 es el “friso de las traslaciones y la reflexión horizontal”. Este friso, al igual que el anterior, se obtiene por simetría y traslación. En este caso el eje de simetría es horizontal. FRISO DE LAS TRASLACIONES, GIROS, REFLEXIONES Y DESLIZAMIENTOS: L5 El quinto tipo, L5, es el “friso de las traslaciones, las rotaciones y los giros”. Tenemos una figura, que giramos 180º, y trasladamos hacia la derecha. Ponemos simetría vertical, y obtenemos el friso. Es el friso más completo, y combina traslaciones, giros, reflexiones y deslizamientos. FRISO DE LAS TRASLACIONES Y EL DESPLAZAMIENTO: L6 El sexto tipo de friso, L6, corresponde al “friso de las traslaciones y el deslizamiento”. Al módulo mínimo se le somete a una simetría horizontal seguido de una traslación (deslizamiento) con lo que se consigue el módulo básico que luego se repite.

15. No pueden dejar huecos sin recubrir.Un mosaico se llama regular si está generado por un polígono regular Los únicos polígonos regulares que cubren el plano son el triángulo, el cuadrado y el hexágono

16. Un mosaico se llama semirregular si está compuesto por dos o más polígonos regulares.

17. Escher

18. Alhambra

19. Alhambra