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REPASO
Transformaciones isométricas.
Miss Yanira Castro Lizana
Transformaciones Isométricas
Las transformaciones isométricas son movimientos
que solo producen cambios de posición, manteniendo
su forma y tamaño.
Son 3:
Traslación
Rotación
Simetría
Traslación
Movimiento que desliza o mueve una figura,
reproduciendo su diseño y manteniendo su forma,
tamaño y posición.
Una traslación mantiene sus lados de igual
medida y paralelos a los de la figura de origen.
Elementos de una traslación
Dirección: Puede ser vertical, horizontal u oblicua.
Sentido: Puede ser norte, sur, este, oeste, izquierda,
derecha, arriba, abajo, etc.
Magnitud: Distancia que existe entre la posición
inicial y final de cualquier punto de la figura que se
desplaza.
En la figura, F se traslada 5 cm. en dirección horizontal hacia la derecha y 3 cm. en
dirección vertical hacia abajo, dando origen a la figura F’. En este caso, solo se ha
especificado la traslación del punto B a B’, pero TODOS los puntos de la figura F han
experimentado la misma transformación:
Traslación en ejes de coordenadas
En la figura, el triángulo ABC, situado en un sistema
coordenado, experimenta una traslación oblicua, generando
vértices homólogos A’, B’ y C’.
Vector de traslación
En la figura siguiente, los puntos A’, B’ y C’ son producto del trasladado
de los respectivos puntos de la figura F.
Observamos que la coordenada de A
es (3, 7) y que la de A’, su imagen,
es (8, 4). Entonces, concluimos que
el punto A se desplazó 5 unidades
hacia la derecha y 3 unidades hacia
abajo.
Es posible verificar que ocurre lo
mismo con B y C, con respecto a B’
y C’ y, en general, con todos los
puntos de la figura F.
Se dice, entonces, que el vector de
traslación de la figura F es (5, -3),
también señalado como 5i – 3j, que
indica que cada punto de la figura
original F se desplaza 5 unidades a
la derecha (por el signo positivo) y 3
unidades hacia abajo ( por el signo
negativo).
En general, un vector de traslación se denota por (x, y) = xi + yj
Rotaciones
Una rotación es un movimiento de giro de una figura
en torno a un punto, denominado centro de
rotación.
Una rotación transforma la figura original,
manteniendo su forma y tamaño pero cambiando su
posición.
La figura B se ha obtenido a partir de una
rotación en el plano de la figura A.
Esta rotación corresponde a giros sucesivos en 90° con centro
en la punta del ala del ave, tal como lo muestran las figuras
siguientes
Elementos de una rotación
Magnitud del giro: Medida del ángulo determinado por
un punto cualquiera de la figura original, el punto de
rotación como vértice y el punto correspondiente en la
transformación obtenida.
Sentido de giro: Puede ser a la derecha, negativa u
horario (en sentido de las manecillas del reloj), o a la
izquierda, positiva o antihorario (en sentido contrario a las
manecillas del reloj).
Rotación en ejes de coordenadas
Como ya sostuvimos, una rotación o giro es una
isometría en que todos los puntos giran en un ángulo
constante con respecto a un punto fijo.
 El punto fijo se denomina centro de rotación y la
cantidad de giro se denomina ángulo de rotación.
O sea, todos los puntos de la figura son rotados a
través de círculos concéntricos respecto de un origen
O y describen los mismos arcos (en medida angular)
de estos círculos.
Giro positivo: Existe un giro positivo cuando se realiza en sentido contrario al
movimiento de los punteros del reloj. También se denomina sentido antihorario.
Giro negativo: Se realiza en el mismo sentido de los punteros del reloj.
También se denomina sentido horario.
Una rotación considera:
•Un centro de rotación (P) que es un punto del plano elegido en forma
convencional.
•Medida del ángulo (α) es el giro en que se efectuará la rotación.
•Sentido de la rotación, que puede ser positivo o negativo.
En la figura, el triángulo F, con vértices ABC,
será girado en 90º en sentido antihoraio,
con centro en el origen O,
Volúmenes a partir de rotación de figura planas
Supongamos, para iniciar, que un rectángulo ABCD, con lados paralelos al eje de coordenadas,
realiza un giro de 360º con eje en su lado AD. En estas condiciones, genera un cilindro de radio AB y
altura AD.
El volumen V del cilindro
obtenido es V = π  r2
 h
siendo el radio r = AB y la
altura h = AD.
De modo similar, un triángulo rectángulo ABC puede generar un
cono cuando gira en torno de uno de sus catetos AC.
El volumen V del cono obtenido es V = 1/3  π  r2
 h,
Simetrías
Un eje de simetría es una recta que divide una figura
en 2 partes congruentes, siendo una la imagen
especular de la otra.
De ese modo, si pudiera doblarse la figura por el eje
de simetría, ambas partes coincidirían perfectamente.
simetría vertical
simetría
horizontal
simetría en letras del alfabeto
Ningún eje de
simetría
1 eje de simetría
vertical
1 eje de simetría
horizontal
1 eje de simetría vertical
y otro horizontal
Simetría con respecto a un eje (simetría axial).
 Movimiento que conserva la forma y el tamaño de la figura, pero cambia su
posición.
 Dos puntos simétricos, tienen igual distancia al eje de simetría, el segmento
que une ambos puntos es perpendicular al mismo eje.
Simetría con respecto a un punto (simetría puntual).
Para hallar la simetría con respecto a un punto se debe
prolongar, en igual distancia, la recta que une un punto de
la figura con el punto de simetría.
Sea el punto O, el punto de simetría, entonces
Simetría con respecto a ejes de coordenadas
Las simetrías con ejes de coordenadas, como
referencia, serán horizontales con respecto al eje
X y verticales con respecto al eje Y
Si el eje de simetría de un punto P(x, y), es el eje
X, tendrá siempre como punto simétrico a (x, -y).
Si el eje de simetría de un punto P(x, y), es el eje
Y, tendrá siempre como punto simétrico a (-x, y).
Ejemplo
La figura, ABCD es simétrica con respecto al eje Y con la figura A’B’C’D’.
La figura, ABCD es simétrica con respecto al eje X con la
Simetrías sucesivas
Dos simetrías sucesivas con respecto a ejes paralelos son equivalentes
a un movimiento de traslación
Dos simetrías sucesivas con respecto a ejes perpendiculares son equivalentes a
una simetría con respecto al punto de intersección de los ejes de simetría.
Teselaciones (Embaldosados)
Se conoce con el nombre de teselación a una configuración
geométrica obtenida por el acoplamiento de una figura o pieza de
base, que se repite invariablemente hasta cubrir completamente un
plano.
•Las teselaciones han sido utilizadas en todo el mundo
desde los tiempos más antiguos para recubrir suelos y paredes,
e igualmente, como motivos decorativos de muebles,
alfombras, tapices, vestuario, tal como lo muestran las figuras siguientes:
Teselaciones a partir de figuras simples
 Triángulos
 Cuadrados
 Hexágonos
El embaldosado con Transformaciones Isométricas
La simple observación y análisis de embaldosados nos permite comprobar que estos
se construyen sobre la base
de transformaciones isométricas, como en los siguientes ejemplos:

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  • 2. Transformaciones Isométricas Las transformaciones isométricas son movimientos que solo producen cambios de posición, manteniendo su forma y tamaño. Son 3: Traslación Rotación Simetría
  • 3. Traslación Movimiento que desliza o mueve una figura, reproduciendo su diseño y manteniendo su forma, tamaño y posición. Una traslación mantiene sus lados de igual medida y paralelos a los de la figura de origen.
  • 4. Elementos de una traslación Dirección: Puede ser vertical, horizontal u oblicua. Sentido: Puede ser norte, sur, este, oeste, izquierda, derecha, arriba, abajo, etc. Magnitud: Distancia que existe entre la posición inicial y final de cualquier punto de la figura que se desplaza.
  • 5. En la figura, F se traslada 5 cm. en dirección horizontal hacia la derecha y 3 cm. en dirección vertical hacia abajo, dando origen a la figura F’. En este caso, solo se ha especificado la traslación del punto B a B’, pero TODOS los puntos de la figura F han experimentado la misma transformación:
  • 6. Traslación en ejes de coordenadas En la figura, el triángulo ABC, situado en un sistema coordenado, experimenta una traslación oblicua, generando vértices homólogos A’, B’ y C’.
  • 7. Vector de traslación En la figura siguiente, los puntos A’, B’ y C’ son producto del trasladado de los respectivos puntos de la figura F. Observamos que la coordenada de A es (3, 7) y que la de A’, su imagen, es (8, 4). Entonces, concluimos que el punto A se desplazó 5 unidades hacia la derecha y 3 unidades hacia abajo. Es posible verificar que ocurre lo mismo con B y C, con respecto a B’ y C’ y, en general, con todos los puntos de la figura F. Se dice, entonces, que el vector de traslación de la figura F es (5, -3), también señalado como 5i – 3j, que indica que cada punto de la figura original F se desplaza 5 unidades a la derecha (por el signo positivo) y 3 unidades hacia abajo ( por el signo negativo). En general, un vector de traslación se denota por (x, y) = xi + yj
  • 8. Rotaciones Una rotación es un movimiento de giro de una figura en torno a un punto, denominado centro de rotación. Una rotación transforma la figura original, manteniendo su forma y tamaño pero cambiando su posición.
  • 9. La figura B se ha obtenido a partir de una rotación en el plano de la figura A.
  • 10. Esta rotación corresponde a giros sucesivos en 90° con centro en la punta del ala del ave, tal como lo muestran las figuras siguientes
  • 11. Elementos de una rotación Magnitud del giro: Medida del ángulo determinado por un punto cualquiera de la figura original, el punto de rotación como vértice y el punto correspondiente en la transformación obtenida. Sentido de giro: Puede ser a la derecha, negativa u horario (en sentido de las manecillas del reloj), o a la izquierda, positiva o antihorario (en sentido contrario a las manecillas del reloj).
  • 12. Rotación en ejes de coordenadas Como ya sostuvimos, una rotación o giro es una isometría en que todos los puntos giran en un ángulo constante con respecto a un punto fijo.  El punto fijo se denomina centro de rotación y la cantidad de giro se denomina ángulo de rotación. O sea, todos los puntos de la figura son rotados a través de círculos concéntricos respecto de un origen O y describen los mismos arcos (en medida angular) de estos círculos.
  • 13. Giro positivo: Existe un giro positivo cuando se realiza en sentido contrario al movimiento de los punteros del reloj. También se denomina sentido antihorario. Giro negativo: Se realiza en el mismo sentido de los punteros del reloj. También se denomina sentido horario.
  • 14. Una rotación considera: •Un centro de rotación (P) que es un punto del plano elegido en forma convencional. •Medida del ángulo (α) es el giro en que se efectuará la rotación. •Sentido de la rotación, que puede ser positivo o negativo. En la figura, el triángulo F, con vértices ABC, será girado en 90º en sentido antihoraio, con centro en el origen O,
  • 15. Volúmenes a partir de rotación de figura planas Supongamos, para iniciar, que un rectángulo ABCD, con lados paralelos al eje de coordenadas, realiza un giro de 360º con eje en su lado AD. En estas condiciones, genera un cilindro de radio AB y altura AD. El volumen V del cilindro obtenido es V = π  r2  h siendo el radio r = AB y la altura h = AD.
  • 16.
  • 17.
  • 18.
  • 19. De modo similar, un triángulo rectángulo ABC puede generar un cono cuando gira en torno de uno de sus catetos AC. El volumen V del cono obtenido es V = 1/3  π  r2  h,
  • 20. Simetrías Un eje de simetría es una recta que divide una figura en 2 partes congruentes, siendo una la imagen especular de la otra. De ese modo, si pudiera doblarse la figura por el eje de simetría, ambas partes coincidirían perfectamente.
  • 21. simetría vertical simetría horizontal simetría en letras del alfabeto Ningún eje de simetría 1 eje de simetría vertical 1 eje de simetría horizontal 1 eje de simetría vertical y otro horizontal
  • 22. Simetría con respecto a un eje (simetría axial).  Movimiento que conserva la forma y el tamaño de la figura, pero cambia su posición.  Dos puntos simétricos, tienen igual distancia al eje de simetría, el segmento que une ambos puntos es perpendicular al mismo eje.
  • 23. Simetría con respecto a un punto (simetría puntual). Para hallar la simetría con respecto a un punto se debe prolongar, en igual distancia, la recta que une un punto de la figura con el punto de simetría. Sea el punto O, el punto de simetría, entonces
  • 24. Simetría con respecto a ejes de coordenadas Las simetrías con ejes de coordenadas, como referencia, serán horizontales con respecto al eje X y verticales con respecto al eje Y Si el eje de simetría de un punto P(x, y), es el eje X, tendrá siempre como punto simétrico a (x, -y). Si el eje de simetría de un punto P(x, y), es el eje Y, tendrá siempre como punto simétrico a (-x, y).
  • 25. Ejemplo La figura, ABCD es simétrica con respecto al eje Y con la figura A’B’C’D’. La figura, ABCD es simétrica con respecto al eje X con la
  • 26. Simetrías sucesivas Dos simetrías sucesivas con respecto a ejes paralelos son equivalentes a un movimiento de traslación
  • 27. Dos simetrías sucesivas con respecto a ejes perpendiculares son equivalentes a una simetría con respecto al punto de intersección de los ejes de simetría.
  • 28. Teselaciones (Embaldosados) Se conoce con el nombre de teselación a una configuración geométrica obtenida por el acoplamiento de una figura o pieza de base, que se repite invariablemente hasta cubrir completamente un plano. •Las teselaciones han sido utilizadas en todo el mundo desde los tiempos más antiguos para recubrir suelos y paredes, e igualmente, como motivos decorativos de muebles, alfombras, tapices, vestuario, tal como lo muestran las figuras siguientes:
  • 29. Teselaciones a partir de figuras simples  Triángulos  Cuadrados  Hexágonos
  • 30. El embaldosado con Transformaciones Isométricas La simple observación y análisis de embaldosados nos permite comprobar que estos se construyen sobre la base de transformaciones isométricas, como en los siguientes ejemplos: