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Unidad IV : GeometríaUnidad IV : Geometría
TRANSFORMACIONESTRANSFORMACIONES
ISOMÉTRICAS.ISOMÉTRICAS.
LOS EJE DE
COORDENADA
Plano cartesiano
• El plano cartesiano está formado
por dos rectas numéricas, una
horizontal y otra vertical que se
cortan en un punto. La recta
horizontal es llamada eje de las
abscisas o de las equis (x), y la
vertical, eje de las ordenadas o
de las yes, (y); el punto donde
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origen.
Localización de un punto en el
plano cartesiano
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A) B(-3,4)
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TRANSFORMACIONES
En una transformación isométrica:
1) No se altera la forma ni el tamaño de la
figura.
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ISOMÉTRICAS
Unidad de aprendizaje: Transformaciones Isométricas
Traslaciones
Rotaciones Reflexiones
Son traslaciones
Regulares y
semi-regulares.-
Se obtiene con
un vector (i,, j)
Se obtiene con
Un ángulo de giro
Se obtiene entorno
A un eje de
simetría y a un centro.
T. De ESCHERT. De ESCHERTransformaciones
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Teselaciones
Tipos de transformaciones isométricas
Ejemplos de transformaciones
isométricas en la naturaleza.-
Se puede considerar una simetría como
aquel movimiento que aplicado a una
figura geométrica, produce el efecto de un
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Axial (reflexión respecto de un eje)
Central (reflexión respecto de un punto)
O
Cada punto y su imagen o simétrico
equidistan del eje de simetría.
El trazo que une un punto con su simétrico
es perpendicular al eje de simetría.
A’
A
El centro de rotación es el punto medio del
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Una simetría central equivale a una rotación
en torno al centro de simetría en un ángulo de
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O
A’
A
En torno al eje X
El simétrico de
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En torno al eje Y
El simétrico de
P(a,b) es P’(-a,b)
En torno al origen
El simétrico de
P(a,b) es P’(-a,-b)
P
P’
•
•
•• PP’
•
P
•
P’
Se puede considerar una traslación como el
movimiento que se hace al deslizar una
figura, en línea recta, manteniendo su
forma y tamaño.
Al deslizar la figura todos los puntos
describen líneas rectas paralelas entre
sí.
En una traslación se distinguen tres
elementos:
Dirección (horizontal, vertical u oblicua).
Sentido (derecha, izquierda, arriba, abajo).
Magnitud del desplazamiento (distancia
entre la posición inicial y final de
cualquier punto)
En este caso se debe señalar las
coordenadas del vector de traslación.
Estas son un par ordenado de números
(x,y), donde x representa el
desplazamiento horizontal e y
representa el desplazamiento vertical.
En el par ordenado la primera componente
recibe el nombre de abscisa y la segunda
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•
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•
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•
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•
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Signo positivo: desplazamiento hacia la derecha.
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Signo positivo: desplazamiento hacia arriba.
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Una rotación es el movimiento que se
efectúa al girar una figura en torno a un
punto.
Este movimiento mantiene la forma y el
tamaño de la figura.
El punto de rotación (centro de rotación), punto en torno al cual se
efectúa la rotación.
La magnitud de rotación, que corresponde al ángulo, éste está
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El sentido de giro, positivo (antihorario), negativo (horario)
O
M
M’
N’
N
.
Rotación en 90º en torno al origen:
A
x
y
A
x
y
A’
A’
x’
y’
x’
y’
Entonces: x’ = -y y’ = x
Luego: A(x,y) => A’(-y,x)
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y’
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Entonces: x’ = -x y’ = -y
Luego: A(x,y) => A’(-x,-y)
Importante
Toda transformación isométrica,
mantiene la forma y tamaño de una
figura geométrica, por lo tanto el
perímetro y el área no sufren
variación.
A
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C
A’
B’
C’
A’’
B’’
C’’
A’’’
B’’’
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A’
B’
C’
A
B
C
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A
B
C
A’
B’
C’
A’’
B’’
C’’
A’’’
B’’’
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CON EL EJE Y
CON EL EJE X
CON RESPECTO A LA RECTA m
m
A
B
C
A’
B’
C’
A’’
B’’
C’’
HOMOTECIA DE FIGURAS
Teselaciones de Martin Cornelis ESCHER
• Hablar de Martin Cornelis Escher  el cual fue un
hombre dedicado al arte y que tenía el deseo de romper
las limitaciones que impone el plano, para poder mostrar
que un plano es capaz de ilusiones ópticas de gran
profundidad.
• En la mezquita de Córdoba están sus obras para hacer
aparecer en ellas dibujos matemáticos y por ello
tuvo muchas críticas y comprendió que su audiencia no
podía ser convencional, por lo que  dijo: “A pesar de que
no tengo ningun conocimiento ni enseñanza - de
matemáticas -, habitualmente me parece que tengo más
cosas en común con los matemáticos que con mis
compañeros artistas”.  
•  Si observamos  detalladamente alguna de sus obras
podemos descubrir su dominio de la geometría. 
• A Escher le maravillaba todo tipo de teselados,
regulares o irregulares, y especialmente lo que él llamó
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interactúan entre sí, y hasta a veces salen del plano.
Teselaciones de Escher
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extraordinarios! Que
operan en el venerable
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tienen un objetivo para
cada ojo, una imagen casi
idéntica para cada lente, y
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de apretar el plegado de
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37
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38
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"se deriva de MC Escher del
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hormigón pintada en el
edificio de la Oficina de
Gestión de los Recursos
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Bajos (1962). El diseño
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  • 1. Unidad IV : GeometríaUnidad IV : Geometría TRANSFORMACIONESTRANSFORMACIONES ISOMÉTRICAS.ISOMÉTRICAS.
  • 3. • El plano cartesiano está formado por dos rectas numéricas, una horizontal y otra vertical que se cortan en un punto. La recta horizontal es llamada eje de las abscisas o de las equis (x), y la vertical, eje de las ordenadas o de las yes, (y); el punto donde se cortan recibe el nombre de origen.
  • 4. Localización de un punto en el plano cartesiano • ubicación del punto (4,3) A) B(-3,4) B) C(1,1) C) D(-2,-4)
  • 5.
  • 6. TRANSFORMACIONES En una transformación isométrica: 1) No se altera la forma ni el tamaño de la figura. 2) Sólo cambia la posición (orientación o sentido de ésta). ISOMÉTRICAS
  • 7. Unidad de aprendizaje: Transformaciones Isométricas Traslaciones Rotaciones Reflexiones Son traslaciones Regulares y semi-regulares.- Se obtiene con un vector (i,, j) Se obtiene con Un ángulo de giro Se obtiene entorno A un eje de simetría y a un centro. T. De ESCHERT. De ESCHERTransformaciones Isométricas Teselaciones
  • 9.
  • 11. Se puede considerar una simetría como aquel movimiento que aplicado a una figura geométrica, produce el efecto de un espejo.
  • 12. Axial (reflexión respecto de un eje) Central (reflexión respecto de un punto) O
  • 13. Cada punto y su imagen o simétrico equidistan del eje de simetría. El trazo que une un punto con su simétrico es perpendicular al eje de simetría. A’ A
  • 14. El centro de rotación es el punto medio del trazo que une un punto con su simétrico. Una simetría central equivale a una rotación en torno al centro de simetría en un ángulo de 180º. O A’ A
  • 15. En torno al eje X El simétrico de P(a,b) es P’(a,-b) En torno al eje Y El simétrico de P(a,b) es P’(-a,b) En torno al origen El simétrico de P(a,b) es P’(-a,-b) P P’ • • •• PP’ • P • P’
  • 16. Se puede considerar una traslación como el movimiento que se hace al deslizar una figura, en línea recta, manteniendo su forma y tamaño.
  • 17. Al deslizar la figura todos los puntos describen líneas rectas paralelas entre sí.
  • 18. En una traslación se distinguen tres elementos: Dirección (horizontal, vertical u oblicua). Sentido (derecha, izquierda, arriba, abajo). Magnitud del desplazamiento (distancia entre la posición inicial y final de cualquier punto)
  • 19. En este caso se debe señalar las coordenadas del vector de traslación. Estas son un par ordenado de números (x,y), donde x representa el desplazamiento horizontal e y representa el desplazamiento vertical.
  • 20. En el par ordenado la primera componente recibe el nombre de abscisa y la segunda componente el nombre de ordenada.
  • 21. • A(4,6) • A’ (2,3) Traslación de A(4,6) a través del vector v(-2,-3) Traslación de B(-5,2) a través del vector v(4,4) • B(-5,2) • B’(-1,6) Traslación de C(-4,-2) a través del vector v(7,1) • C(-4,-2) • C’(3,-1)
  • 22. Signo positivo: desplazamiento hacia la derecha. Signo negativo: desplazamiento hacia la izquierda. Signo positivo: desplazamiento hacia arriba. Signo negativo: desplazamiento hacia abajo.
  • 23. Una rotación es el movimiento que se efectúa al girar una figura en torno a un punto. Este movimiento mantiene la forma y el tamaño de la figura.
  • 24. El punto de rotación (centro de rotación), punto en torno al cual se efectúa la rotación. La magnitud de rotación, que corresponde al ángulo, éste está determinado por un punto cualquiera de la figura, el centro de rotación (vértice del ángulo) y el punto correspondiente de la figura obtenida después de la rotación. El sentido de giro, positivo (antihorario), negativo (horario) O M M’ N’ N .
  • 25. Rotación en 90º en torno al origen: A x y A x y A’ A’ x’ y’ x’ y’ Entonces: x’ = -y y’ = x Luego: A(x,y) => A’(-y,x)
  • 26. Rotación en 180º en torno al origen: A x y A’ x’ y’ A x y A’ x’ y’ Entonces: x’ = -x y’ = -y Luego: A(x,y) => A’(-x,-y)
  • 27. Importante Toda transformación isométrica, mantiene la forma y tamaño de una figura geométrica, por lo tanto el perímetro y el área no sufren variación.
  • 28. A B C A’ B’ C’ A’’ B’’ C’’ A’’’ B’’’ C’’’ TRASLACIÓN DE FIGURAS 11 UNIDADES A LA DERECHA 5 UNIDADES ABAJO 8 UNIDADES A LA DERECHA Y 8 ABAJO
  • 32.
  • 33. Teselaciones de Martin Cornelis ESCHER • Hablar de Martin Cornelis Escher  el cual fue un hombre dedicado al arte y que tenía el deseo de romper las limitaciones que impone el plano, para poder mostrar que un plano es capaz de ilusiones ópticas de gran profundidad. • En la mezquita de Córdoba están sus obras para hacer aparecer en ellas dibujos matemáticos y por ello tuvo muchas críticas y comprendió que su audiencia no podía ser convencional, por lo que  dijo: “A pesar de que no tengo ningun conocimiento ni enseñanza - de matemáticas -, habitualmente me parece que tengo más cosas en común con los matemáticos que con mis compañeros artistas”.   •  Si observamos  detalladamente alguna de sus obras podemos descubrir su dominio de la geometría.  • A Escher le maravillaba todo tipo de teselados, regulares o irregulares, y especialmente lo que él llamó “metamorfosis”, donde las figuras cambian e interactúan entre sí, y hasta a veces salen del plano.
  • 34. Teselaciones de Escher • Realmente el trabajo, y las imágenes son extraordinarios! Que operan en el venerable principio de la stereopticon, estas cartas tienen un objetivo para cada ojo, una imagen casi idéntica para cada lente, y un agujero en el medio para dar cabida a la nariz. Usted ajustar el enfoque de apretar el plegado de las tarjetas.
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  • 39. Teselaciones de Escher y Aplicaciones • Transformador de Escher "se deriva de MC Escher del diseño de un pilar de hormigón pintada en el edificio de la Oficina de Gestión de los Recursos Hídricos en Haarlem, Países Bajos (1962). El diseño incorpora tres relacionados con el agua motivos (Simetría Nos 111, 112, 113) que flujo entre sí para crear una vertical de la metamorfosis "de vuelo de aves y peces" en "barco de vuelo y los peces" y, por último, en "barco y los peces".