matemáticas divertidas

1. TRIGONOMETRIA
CONTEMPORANEA

3. ÁNGULO TRIGONOMÉTRICO
SENTIDO DE GIRO ANTIHORARIO
• EL ÁNGULO
TRIGONOMÉTRICO
SE OBTIENE
θ)
<
POSITIVO
GIRANDO UN RAYO
ALREDEDOR DE SU
ORIGEN. B
SENTIDO DE GIRO HORARIO
)
<
O
A
OA : LADO INICIAL
α ) NEGATIVO
<
OB : LADO FINAL
O: VÉRTICE

4. SISTEMAS DE MEDICIÓN
ANGULAR
• SISTEMA SEXAGESIMAL (SISTEMA INGLÉS)
GRADO : 1 o MINUTO : 1 ' SEGUNDO : 1
"
EQUIVALENCIAS
1 = 60 1 = 60 1 = 3600
o ' ' " o "
1vuelta= 360
o

5. En el sistema sexagesimal los ángulos se pueden
expresar en grados ,minutos y segundos
A B ' C '' = A + B ' + C ''
o o
Los Para convertirB y C deben ser menores por 3600
números de grados a segundos se multiplica de 60
RELACIONES degrados a minutos se multiplica por 60 60
Para convertir DE CONVERSIÓN
Para convertir de
minutos a segundos se multiplica por
x 3600
<
x 60 x 60
< <
Para convertir de segundos a grados se divide entre 3600
<
<
<
GRADOS MINUTOS SEGUNDOS
<
<
<
: 60 < : 60 <
<
Para convertir de minutos a grados se divide entre 60
: 3600
Para convertir de segundos a minutos se divide entre 60

6. EJEMPLO : θ = 20 36 ' 45 ''
o
EXPRESAR θ EN GRADOS SEXAGESIMALES
θ = 20 + 36 + 45
o ' ''
36 o
45 o
3o 1o
θ = 20 +
o
+ = 20o + +
60 3600 5 80
Al número 36 se le divide entre 60 y
1649o 3600
Al número 45 se le divide entre
CONCLUSIÓN: θ=
80
RELACIÓN ENTRE LOS NÚMEROS DE GRADOS ,MINUTOS y
SEGUNDOS
NÚMERO DE GRADOS SEXAGESIMALES =S
NÚMERO DE MINUTOS SEXAGESIMALES (m)=60S
NÚMERO DE SEGUNDOS SEXAGESIMALES ( p ) = 3600S

7. EJEMPLO
Calcular la medida de un ángulo en el sistema sexagesimal ,
sabiendo que su número de minutos sexagesimales más el
doble de su número de grados sexagesimales es igual a 155.
SOLUCIÓN
Sea S = número de grados sexagesimales
Entonces el número de minutos sexagesimales = 60S
Dato : 60S + 2S = 155 62S = 155
155 5(31) 5
S= = S=
62 2(31) 2
5º 4º 60 '
El ángulo mide : = = 2º 30 '
2 2

8. ESTAN
ENTENDIENDO ?
NO REPITE POR
FAVOR

9. SISTEMAS DE MEDICIÓN
ANGULAR
• SISTEMA CENTESIMAL (SISTEMA FRANCÉS)
GRADO : 1
g
MINUTO : 1
m
SEGUNDO : 1
s
EQUIVALENCIAS
1 = 100 1 = 100 1 = 10000
g m m s g s
1vuelta= 400 g

10. En el sistema centesimal los ángulos se pueden
expresar en grados ,minutos y segundos
A B C = A +B
g m s g m
+C s
Los números B ygrados a segundosmenores de 10000
Para convertir de C deben ser se multiplica por 100
RELACIONES DE CONVERSIÓN por 100 100
Para convertir de de minutos a segundos se multiplica por
Para convertir grados a minutos se multiplica
x 10 000
<
x 100
Para convertir de segundos a grados se divide entre 10000
x 100
< <
<
<
<
GRADOS MINUTOS SEGUNDOS
<
<
<
: 100 < : 100 <
<
Para convertir de minutos a grados se divide entre 100
: 10 000
Para convertir de segundos a minutos se divide entre 100

11. RELACIÓN ENTRE LOS NÚMEROS DE GRADOS ,MINUTOS
y SEGUNDOS
SABES QUE : g SABES QUE :
9º = 10
NÚMERO DE GRADOS CENTESIMALES 200g g = C
SABEMOS QUE 180º = = 10
9º
9(1º ) = 10(1 ) 9(1º
g
NÚMERO DE MINUTOS CENTESIMALES = ( n ) g ) 100C
SIMPLIFICANDO SE OBTIENE) 10(1=
' 9º CENTESIMALES 10(10000 S ) 000C
= 109(3600'' ) = ( q ) = 10
g
NÚMERO DE SEGUNDOS 10(100m )
9(60 ) =
81 = 250
'' s
RELACIÓN ENTRE LOS50
27 = SISTEMAS SEXAGESIMAL Y
' m
CENTESIMAL
9 O = 10g 27' = 50m 81" = 250s
GRADOS MINUTOS SEGUNDOS
S C m n p q
= = =
9 10 27 50 81 250

12. SISTEMAS DE MEDICIÓN
ANGULAR
• SISTEMA RADIAL (SISTEMA CIRCULAR)
EN ESTE SISTEMA
LA UNIDAD DE
R
MEDIDA ES EL
RADIÁN.
UN RADIÁN ES LA
.
.
)1rad R
MEDIDA DEL R
ÁNGULO CENTRAL
QUE SUBTIENDE
EN CUALQUIER
CIRCUNFERENCIA 1vuelta = 2πrad
UN ARCO DE
LONGITUD IGUAL
1rad = 57o17' 45 ''
AL RADIO.

13. RELACIÓN ENTRE LOS TRES SISTEMAS
180 = 200 = πrad
0 g
ESTA RELACIÓN SE USA PARA CONVERTIR DE UN
SISTEMA A OTRO.
EJEMPLOS
EN CADA UNO DE LOS SIGUIENTES CASOS CONVERTIR A RADIANES
A)θ = 540
O  πrad  3π
SABES QUE EL ÁNGULO DE UNA
54  o ÷ =
rad
VUELTA MIDE : 360º = 400 g = 2 πrad
 180  10
B)φ = 125 g
SIMPLIFICANDO SE OBTIENE :
 πrad  5π
125  =
g
g ÷
rad
 200  8

14. EN CADA UNO DE LOS SIGUIENTES CASOS CONVERTIR AL SISTEMA
SEXAGESIMAL
2π 2(180 )
o
A) rad ........... = 120 o
3 3
B)70 ................. 70 
9 
g
o
g ÷ = 63
g o
 10 
EN CADA UNO DE LOS SIGUIENTES CASOS CONVERTIR AL SISTEMA
CENTESIMAL
3π 3(200 )
g
A) rad ........... =150 g
4 4
 10g 
B)27 ................ 27  o ÷ =30g
o o
 9 

15. FACTORES DE CONVERSIÓN
DE GRADOS SEXAGESIMALES πrad
A RADIANES 180o
DE GRADOS SEXAGESIMALES 10g
A CENTESIMALES 9 o
DE GRADOS CENTESIMALES πrad
A RADIANES
200g
DE GRADOS CENTESIMALES 9 o
A SEXAGESIMALES
10 g
DE RADIANES A GRADOS
SEXAGESIMALES
πrad = 180 o
DE RADIANES A GRADOS
CENTESIMALES πrad = 200 g

16. ESTAN
ENTENDIENDO ?
NO REPITE POR
FAVOR

17. FÓRMULA DE CONVERSIÓN
S C R
= =
180 200 π
S : NÚMERO DE GRADOS SEXAGESIMALES
C : NÚMERO DE GRADOS CENTESIMALES
R : NÚMERO DE RADIANES
EJEMPLO
CALCULAR EL NÚMERO DE RADIANES DE UN ÁNGULO ,SI SE CUMPLE:
8R
3S − 2C + = 37
π
SOLUCIÓN
EN ESTE TIPO DE PROBLEMA SE DEBE USAR LA FÓRMULA DE
CONVERSIÓN

18. S C R S = 180k
= = = K R = πk
180 200 π C = 200k
SE REEMPLAZA EN EL DATO DEL PROBLEMA
8( πk)
3(180k) − 2(200k) + = 37 ,SIMPLIFICANDO SE OBTIENE
π
148k = 37 1
k=
4
 1 π
FINALMENTE EL NÚMERO DE RADIANES ES : R = π  ÷=
4 4
NOTA : LA FÓRMULA DE CONVERSIÓN EN ALGUNOS CASOS
CONVIENE EXPRESARLA DE LA SIGUIENTE MANERA
S = 9k
S C 20R
= = C = 10k
9 10 π kπ
R =
20

19. OTRAS RELACIONES IMPORTANTES
π
* ÁNGULOS COMPLEMENTARIOS SUMAN : 90o ∨ 100g ∨rad
2
* ÁNGULOS SUPLEMENTARIOS SUMAN : 180 ∨ 200 ∨ πrad
O g
SISTEMA COMPLEMENTO SUPLEMENTO
SEXAGESIMAL S 90 - S 180 - S
CENTESIMAL C 100 - C 200 - C
π
RADIAL R −R π−R
2
* EQUIVALENCIAS USUALES:
π π π
rad = 60 o
rad = 45 o rad = 30o
3 4 6

20. EJERCICIOS
1. CALCULAR : π
45º + rad
E= 12
50g − 33º
SOLUCIÓN
Para resolver este ejercicio la idea es convertir cada uno
de los valores dados a un solo sistema ,elegimos el
SISTEMA SEXAGESIMAL
π 180º 9º
rad = = 15º ; 50 ( g ) = 45º
g
12 12 10
Reemplazamos en E
45º +15º 60º
E= = = 5
45º −33º 12º

21. 2. El número de grados sexagesimales de un ángulo más
el triple de su número de grados centesimales es 78,
calcular su número de radianes
SOLUCIÓN
Sea S = número de grados sexagesimales
C = número de grados centesimales
Sabes que : S C
= =K S = 9K y C = 10K
9 10
Dato : S + 3C = 78
9K + 3( 10K ) = 78 39K = 78 K=2
El número de radianes es :
kπ 2π π
R= R= =
20 20 10

22. 3. Determinar si es verdadero o falso
A ) πrad = 180
B ) El complemento de 30g es 70g
C ) 24º 2º
= g
36 g
3
D ) Los ángulos interiores de un triángulo
suman πrad
E) π = 180º
F) 1º > 1 g
G ) El número de grados sexagesimales de un ángulo es
igual al 90% de su número de grados centesimales

23. TRIGONOMETRIA
CONTEMPORANEA
rubalva@hotmail.com