Resolución de problemas de campo gravitatorio

1. TEMA 3.- CAMPO GRAVITATORIO
PROBLEMA 1
Marte tiene dos satélites, llamados Fobos y Deimos, cuyas órbitas tienen radios de
9400 y 23000 km respectivamente. Fobos tarda 7,7 h en dar una vuelta alrededor
del planeta. Aplicando las leyes de Kepler, halla el periodo de Deimos.
𝑇𝐹𝑂𝐵𝑂𝑆
2
𝑅 𝐹𝑂𝐵𝑂𝑆
3 =
𝑇𝐷𝐸𝐼𝑀𝑂𝑆
2
𝑅 𝐷𝐸𝐼𝑀𝑂𝑆
3
(7,7 · 3600)2
(9,4 · 106)3
=
𝑇𝐷𝐸𝐼𝑀𝑂𝑆
2
(2,3 · 107)3
𝑻 𝑫𝑬𝑰𝑴𝑶𝑺 = 𝟐𝟗, 𝟓 𝒉

2. PROBLEMA 2
Calcula la masa de Júpiter sabiendo que uno de sus satélites tiene un periodo de
16,55 días y un radio orbital de 1,883·109 m.
𝑇2
=
4𝜋2
𝐺 · 𝑀𝐽
· 𝑅3
𝑴𝑱 =
4𝜋2
𝐺 · 𝑇2
· 𝑅3
=
4𝜋2
6,67 · 10−11 · (1429920)2
· (1,883 · 109
)3
= 𝟏, 𝟗𝟑 · 𝟏𝟎 𝟐𝟕
𝒌𝒈

3. PROBLEMA 3
El satélite Meteosat nos envía tres veces al día imágenes de Europa para la
confección de los mapas del tiempo. Calcula:
a) Su periodo de revolución.
b) El radio de la órbita que describe.
a)
T = 8 horas
b)
𝑇2
=
4𝜋2
𝐺 · 𝑀 𝑇
· 𝑅3
𝑹 = √
𝐺 · 𝑀 𝑇 · 𝑇2
4𝜋2
3
= √
6,67 · 10−11 · 5,98 · 1024 · (8 · 3600)2
4𝜋2
3
= 𝟐, 𝟎𝟑 · 𝟏𝟎 𝟕
𝒎

4. PROBLEMA 4
El satélite mayor de Saturno, Titán, describe una órbita de radio medio r = 1,222·106
km en un periodo de 15,945 días. Determina la masa del planeta Saturno y su
densidad.
DATO: RS = 58545 km.
𝑇2
=
4𝜋2
𝐺 · 𝑀𝑆
· 𝑅3
𝑴 𝑺 =
4𝜋2
· 𝑅3
𝐺 · 𝑇2
=
4𝜋2
· (1,222 · 109
)3
6,67 · 10−11 · (1377648)2
= 𝟓, 𝟔𝟗 · 𝟏𝟎 𝟐𝟔
𝒌𝒈
𝒅 𝑺 =
𝑀𝑆
4
3 · 𝜋 · 𝑅 𝑆
3
=
5,69 · 1026
4
3 · 𝜋 · (58545000)3
= 𝟔𝟕𝟔, 𝟗
𝒌𝒈
𝒎 𝟑

5. PROBLEMA 5
Tres esferas uniformes de masas 2, 4 y 6 kg se colocan en los vértices de un triángulo
en las coordenadas (0, 3) m, (0, 0) y (4, 0) m, respectivamente. Calcula la fuerza
gravitatoria resultante sobre la masa de 4 kg.
𝑭 𝟏,𝟐 = 𝐺 ·
𝑚1 · 𝑚2
𝑟1,2
2 = 6,67 · 10−11
·
4 · 2
32
= 𝟓, 𝟗𝟑 · 𝟏𝟎−𝟏𝟏
𝑵
𝑭 𝟏,𝟑 = 𝐺 ·
𝑚1 · 𝑚3
𝑟1,3
2 = 6,67 · 10−11
·
4 · 6
42
= 𝟏, 𝟎𝟎 · 𝟏𝟎−𝟏𝟎
𝑵
𝑭 𝟏
⃗⃗⃗⃗ = 𝟏, 𝟎𝟎 · 𝟏𝟎−𝟏𝟎
𝒊 + 𝟓, 𝟗𝟑 · 𝟏𝟎−𝟏𝟏
𝒋 𝑵
|𝑭 𝟏
⃗⃗⃗⃗ | = 𝟏, 𝟏𝟔 · 𝟏𝟎−𝟏𝟎
𝑵

6. PROBLEMA 6
El radio de la Tierra es aproximadamente de 6370 km. Si elevamos un objeto de 20
kg de masa a una altura de 160 km sobre la superficie de la Tierra, ¿cuánto pesa el
objeto a esta altura? Es decir, ¿a qué fuerza gravitatoria está sometido?
DATO: Masa de la Tierra: 5,98·1024 kg.
𝐹𝑔 = 𝐺 ·
𝑀 𝑇 · 𝑚
[𝑅 𝑇 + ℎ]2
𝑭 𝒈 = 6,67 · 10−11
·
5,98 · 1024
· 20
[6,37 · 106 + 1,6 · 105]2
= 𝟏𝟖𝟕, 𝟏 𝑵

7. PROBLEMA 7
Calcula la energía potencial asociada a un sistema formado por tres partículas m1 =
1,0 kg, m2 = 2,0 kg, m3 = 3,0 kg, situadas en los vértices de un triángulo rectángulo
en las coordenadas (0, 0), (0, 3) m y (4, 0) m, respectivamente.
𝑈 = −𝐺 · [
𝑚1 · 𝑚2
𝑟1,2
+
𝑚1 · 𝑚3
𝑟1,3
+
𝑚2 · 𝑚3
𝑟2,3
]
𝑼 = −6,67 · 10−11
· [
1 · 2
3
+
1 · 3
4
+
2 · 3
5
] = −𝟏, 𝟕𝟒 · 𝟏𝟎−𝟏𝟎
𝑱

8. PROBLEMA 8
Calcula el valor de la aceleración de la gravedad en la superficie de Mercurio, si el
radio de la Tierra es tres veces mayor que el de Mercurio, y la densidad de Mercurio
es 3/5 de la densidad media de la Tierra.
DATO: go = 9,8 m/s2.
𝑑 𝑇 =
𝑀 𝑇
4
3 · 𝜋 · 𝑅 𝑇
3
𝑔 𝑜 · 𝑅 𝑇
2
= 𝐺 · 𝑀 𝑇 = 𝐺 · 𝑑 𝑇 ·
4
3
· 𝜋 · 𝑅 𝑇
3
𝑔 𝑜 = 𝐺 · 𝑑 𝑇 ·
4
3
· 𝜋 · 𝑅 𝑇
𝑔 𝑀 = 𝐺 ·
𝑀
𝑅2
= 𝐺 ·
𝑑 ·
4
3
· 𝜋 · 𝑅3
𝑅2
= 𝐺 · 𝑑 ·
4
3
· 𝜋 · 𝑅
𝒈 𝑴 = 𝐺 ·
3
5
· 𝑑 𝑇 ·
4
3
· 𝜋 · (
𝑅 𝑇
3
) =
3
5
·
1
3
· 𝑔 𝑜 = 𝟏, 𝟗𝟔 𝒎/𝒔 𝟐

9. PROBLEMA 9
a) ¿Cuál será el valor de g a una altura igual al radio de la Tierra? (RT = 6370 km;
go = 9,8 m/s2)
b) ¿Cuál será el periodo de un satélite artificial de la Tierra en una órbita circular
a dicha altura?
a)
𝒈 = 𝐺 ·
𝑀 𝑇
(2 · 𝑅 𝑇)2
=
𝑔 𝑜 · 𝑅 𝑇
2
4 · 𝑅 𝑇
2 =
𝑔 𝑜
4
= 𝟐, 𝟒𝟓
𝒎
𝒔 𝟐
b)
𝑻 = √
4𝜋2 · (2 · 6,37 · 106)3
6,67 · 10−11 · 5,98 · 1024
= 𝟏𝟒𝟑𝟎𝟔 𝒔 = 𝟑, 𝟗𝟕 𝒉

10. PROBLEMA 10
La masa de Marte es igual a 0,107 veces la de la Tierra y su radio es 0,533 veces el
de la Tierra. ¿Cuál sería el periodo de un péndulo en Marte si en la Tierra es igual a
2,00 s?
𝑇 = 2𝜋 · √
𝑙
𝑔
; 𝒍 =
𝑇2
· 𝑔
4𝜋2
= 𝟎, 𝟗𝟗𝟑 𝒎
𝒈 𝑴 = 𝐺 ·
𝑀
𝑅2
= 𝐺 ·
0,107 · 𝑀 𝑇
(0,533 · 𝑅 𝑇)2
= 𝐺 ·
𝑀 𝑇
𝑅 𝑇
2 ·
0,107
0,5332
= 9,8 ·
0,107
0,5332
= 𝟑, 𝟔𝟗
𝒎
𝒔 𝟐
𝑻 = 2𝜋 · √
0,993
3,69
= 𝟑, 𝟐𝟔 𝒔

11. EJERCICIO 5 EvAU
Sobre la superficie de la Tierra y a nivel del mar se coloca un péndulo simple de
longitud L = 2 m y se obtiene experimentalmente un valor de la aceleración local de
la gravedad go = 9,81 m/s2. El experimento se realiza haciendo oscilar el péndulo en
régimen de pequeñas oscilaciones.
a) Calcule la constante de Gravitación Universal y el periodo del péndulo
cuando se encuentra oscilando a nivel del mar.
b) Repetimos el experimento en la cima de una montaña de 8 km de altura.
Calcule la aceleración local de la gravedad en ese punto, así como la longitud
que tendría que tener el péndulo para que su periodo fuese el mismo que el
que tiene a nivel del mar.
a)
𝑻 = 2𝜋 · √
𝑙
𝑔 𝑜
= 𝟐, 𝟖𝟑𝟕 𝒔
𝑔 𝑜 = 𝐺 ·
𝑀 𝑇
𝑅 𝑇
2
9,81 = 𝐺 ·
5,98 · 1024
(6,37 · 106)2
; 𝑮 = 𝟔, 𝟔𝟔 · 𝟏𝟎−𝟏𝟏
𝑵 · 𝒎 𝟐
𝒌𝒈 𝟐
b)
𝑔 = 𝐺 ·
𝑀 𝑇
(𝑅 𝑇 + ℎ)2
= 6,67 · 10−11
·
5,98 · 1024
(6,37 · 106)2
= 9,805
𝑚
𝑠2
𝑇 = 2𝜋 · √
𝐿′
𝑔
; 𝑇2
= 4𝜋2
·
𝐿′
𝑔
𝑳′
=
𝑔 · 𝑇2
4𝜋2
=
9,805 · 2,8372
4𝜋2
= 𝟏, 𝟗𝟗𝟗 𝒎

12. EJERCICIO 10 EvAU
Titania, satélite del planeta Urano, describe una órbita circular en torno al planeta.
Las aceleraciones de la gravedad en las superficies de Urano y de Titania son go =
8,69 m/s2 y gt = 0,37 m/s2, respectivamente. Un haz de luz emitido desde la
superficie de Urano tarda 1,366 s en llegar a la superficie de Titania. Determine:
a) El radio de la órbita de Titania alrededor de Urano (distancia entre los
centros de ambos cuerpos).
b) El tiempo que tarda Titania en dar una vuelta completa alrededor de Urano,
expresado en días terrestres.
DATOS: Masa de Urano, MU = 8,69·1025 kg; Masa de Titania, MT = 3,53·1021 kg.
a)
𝑔 𝑈 = 𝐺 ·
𝑀 𝑈
𝑅 𝑈
2 ; 𝑹 𝑼 = √𝐺 ·
𝑀 𝑈
𝑔 𝑈
= 𝟐, 𝟓𝟖𝟑 · 𝟏𝟎 𝟕
𝒎
𝑔 𝑇 = 𝐺 ·
𝑀 𝑇
𝑅 𝑇
2 ; 𝑹 𝑻 = √𝐺 ·
𝑀 𝑇
𝑔 𝑇
= 𝟕, 𝟖𝟓 · 𝟏𝟎 𝟓
𝒎
𝑹 = 𝑅 𝑈 + 𝑅 𝑇 + 𝑐 · 𝑡 = 𝑅 𝑈 + 𝑅 𝑇 + 4,098 · 108
= 𝟒, 𝟑𝟔𝟒 · 𝟏𝟎 𝟖
𝒎
b)
𝑇2
=
4𝜋2
𝐺 · 𝑀 𝑈
· 𝑅3
; 𝑻 = 𝟖, 𝟕 𝒅í𝒂𝒔 𝒕𝒆𝒓𝒓𝒆𝒔𝒕𝒓𝒆𝒔

13. EJERCICIO 14 EvAU
Sea un sistema doble formado por una estrella yun planeta. El planeta gira alrededor
de la estrella siguiendo una órbita circular con un periodo de 210 días y posee una
masa de 5·10-6 M, donde M es la masa de la estrella. Determine:
a) El radio de la órbita del planeta.
b) El vector campo gravitatorio total en un punto entre la estrella y el planeta
que dista 4,6·105 km del centro del planeta.
DATO: Masa de la estrella, M = 1,3·1030 kg.
a)
𝑇2
=
4𝜋2
𝐺 · 𝑀
· 𝑅3
; 𝑹 = √
𝐺 · 𝑀 · 𝑇2
4𝜋2
3
= 𝟖, 𝟗𝟖 · 𝟏𝟎 𝟏𝟎
𝒎
b)
𝑔 𝑇 = 𝑔 𝑚 − 𝑔 𝑀 = −𝐺 · [
𝑚
𝑟2
] + 𝐺 · [
𝑀
(𝑅 − 𝑟)2
]
𝒈 𝑻 = − 6,67 · 10−11
· [
6,5 · 1024
(4,6 · 108)2
] + 6,67 · 10−11
· [
1,3 · 1030
(8,98 · 1010 − 4,6 · 108)2
] = + 𝟖, 𝟖𝟏 · 𝟏𝟎−𝟑
𝒎
𝒔 𝟐

14. PROBLEMA 11
Se lanza un cuerpo verticalmente hacia arriba con una velocidad inicial de 50 m/s.
Si el rozamiento con el aire es despreciable calcula, utilizando el principio de
conservación de la energía mecánica, la altura máxima que alcanza. ¿Qué altura
máxima alcanzará en el caso de que haya rozamiento y se pierda para vencerlo el
20% de la energía de rozamiento?
a)
𝐸 𝑚𝑒𝑐 (𝑖𝑛𝑖𝑐𝑖𝑎𝑙) = 𝐸 𝑚𝑒𝑐 (𝑓𝑖𝑛𝑎𝑙)
1
2
· 𝑚 · 𝑣𝑜
2
+ 𝑚 · 𝑔 · ℎ 𝑜 =
1
2
· 𝑚 · 𝑣 𝐹
2
+ 𝑚 · 𝑔 · ℎ 𝐹
1
2
· 𝑚 · 502
= 𝑚 · 9,8 · ℎ 𝐹 ; 𝒉 𝑭 = 𝟏𝟐𝟕, 𝟓𝟓 𝒎
b)
0,8 ·
1
2
· 𝑚 · 𝑣𝑜
2
= 𝑚 · 𝑔 · ℎ 𝐹
0,8 ·
1
2
· 502
= 9,8 · ℎ 𝐹 ; 𝒉 𝑭 = 𝟏𝟎𝟐, 𝟎𝟒 𝒎

15. PROBLEMA 12
Desde una altura de 5,00 m se deja caer una masa de 10,0 kg sobre un muelle que se
comprime 20,0 cm. Calcula la constante recuperadora del muelle.
𝑚 · 𝑔 · ℎ =
1
2
· 𝑘 · (Δ𝑥)2
𝒌 =
2 · 𝑚 · 𝑔 · ℎ
(Δ𝑥)2
=
2 · 10,0 · 9,8 · 5,00
(0,200)2
= 𝟐, 𝟒𝟓 · 𝟏𝟎 𝟒
𝑵
𝒎

16. PROBLEMA 13
Suponiendo que la Luna gira en torno a la Tierra en una órbita de radio 3,84·105 km
con un periodo de 27,3 días, ¿cuál será el semieje mayor de la órbita de un satélite
en torno a la Tierra con un periodo de 3,0 h?
𝑣 =
2𝜋 · 𝑅
𝑇
𝒗 =
2𝜋 · (3,84 · 108)
(27,3 · 24 · 3600)
= 𝟏𝟎𝟐𝟐, 𝟗
𝒎
𝒔
𝑹 = 𝑣 · 𝑇 = 1022,9
𝑚
𝑠
· [3,0 ℎ · 3600
𝑠
ℎ
] = 𝟏, 𝟏𝟎𝟓 · 𝟏𝟎 𝟕
𝒎

17. PROBLEMA 14
Un proyectil de masa 10 kg se dispara verticalmente desde la superficie de la Tierra
con una velocidad de 3200 m/s.
a) ¿Cuál es la máxima energía potencial que adquiere?
b) ¿En qué posición se alcanza?
DATOS: go = 9,8 m/s2; RT = 6,37·106 m.
a)
𝑼 𝒎á𝒙 = 𝐸𝑐,𝑖𝑛𝑖𝑐𝑖𝑎𝑙 =
1
2
· 𝑚 · 𝑣2
=
1
2
· 10 · (3200)2
= 𝟓, 𝟏𝟐 · 𝟏𝟎 𝟕
𝑱
b)
5,12 · 107
= 6,67 · 10−11
·
𝑀 𝑇 · 10
𝑥
5,12 · 107
=
9,8 · (6,37 · 106
)2
· 10
𝑥
; 𝒙 = 𝟕𝟕𝟔𝟔𝟔𝟕𝟐𝟑 𝒎
𝒉 = 𝑥 − 𝑅 𝑇 = 𝟕, 𝟏𝟑 · 𝟏𝟎 𝟕
𝒎

18. PROBLEMA 15
Se coloca un satélite meteorológico de 1000 kg en órbita circular a 300 km sobre la
superficie terrestre. Determina:
a) La velocidad lineal, la aceleración radial y el periodo de la órbita.
b) El trabajo que se requiere para poner en órbita el satélite.
DATOS: go = 9,8 m/s2; RT = 6,37·106 m.
a)
𝐺 ·
𝑀 · 𝑚
(𝑅 𝑇 + ℎ)2
= 𝑚 ·
𝑣2
(𝑅 𝑇 + ℎ)
𝑔 𝑜 · 𝑅 𝑇
2
(𝑅 𝑇 + ℎ)
= 𝑣2
; 𝒗 = √
𝑔 𝑜 · 𝑅 𝑇
2
(𝑅 𝑇 + ℎ)
= 𝟕, 𝟕𝟐 · 𝟏𝟎 𝟑
𝒎
𝒔
𝒂 𝒄 =
𝑣2
(𝑅 𝑇 + ℎ)
=
(7,72 · 103
)2
(6,37 · 106 + 3 · 105)
= 𝟖, 𝟗𝟒
𝒎
𝒔 𝟐
𝑣 =
2𝜋 · (𝑅 𝑇 + ℎ)
𝑇
; 𝑻 =
2𝜋 · (𝑅 𝑇 + ℎ)
𝑣
= 𝟓𝟒𝟐𝟖, 𝟔 𝒔 = 𝟏, 𝟓𝟏 𝒉
b)
𝑊 = + Δ𝐸 = 𝐸 𝐹 − 𝐸 𝑂 = +
𝐺 · 𝑀 𝑇 · 𝑚
2
· [
1
𝑅 𝑇 + ℎ
−
1
𝑅 𝑇
]
𝑊 = +
𝑔 𝑜 · 𝑅 𝑇
2
· 𝑚
2
· [
1
𝑅 𝑇 + ℎ
−
1
𝑅 𝑇
]
𝑾 = +
9,8 · (6,37 · 106
)2
· 103
2
· [
1
6,37 · 106 + 3 · 105
−
1
6,37 · 106] = −𝟏, 𝟒 · 𝟏𝟎 𝟗
𝑱

19. PROBLEMA 16
Un satélite artificial de 200 kg gira en una órbita circular a una altura h sobre la
superficie de la Tierra. Sabiendo que a esa altura el valor de la aceleración de la
gravedad es la mitad del valor que tiene en la superficie terrestre, averigua:
a) La velocidad del satélite.
b) Su energía mecánica.
DATO: RT = 6,37·106 m.
𝑔 = 4,9
𝑚
𝑠2
= 𝐺 ·
𝑀 𝑇
(𝑅 𝑇 + ℎ )2
=
𝑔 𝑜 · 𝑅 𝑇
2
(𝑅 𝑇 + ℎ)2
𝑑 = 𝑅 𝑇 + ℎ = √
𝑔 𝑜 · 𝑅 𝑇
2
𝑔
= 9008540 𝑚
𝒉 = 𝑑 − 𝑅 𝑇 = 𝟐, 𝟔𝟒 · 𝟏𝟎 𝟔
𝒎
a)
𝐺 ·
𝑀 𝑇 · 𝑚
(𝑅 𝑇 + ℎ)2
= 𝑚 ·
𝑣2
(𝑅 𝑇 + ℎ)
𝑣2
=
𝑔 𝑜 · 𝑅 𝑇
2
(𝑅 𝑇 + ℎ)2
𝒗 = 𝟔𝟔𝟒𝟒
𝒎
𝒔

20. b)
𝐸 𝑚𝑒𝑐 = 𝐸𝑐 + 𝑈 =
1
2
· 𝑚 · 𝑣2
− 𝐺 ·
𝑀 𝑇 · 𝑚
(𝑅 𝑇 + ℎ)
𝑬 𝒎𝒆𝒄 =
1
2
· 200 · 66442
− 6,67 · 10−11
·
5,98 · 1024
· 200
9008540
= − 𝟒, 𝟒𝟒 · 𝟏𝟎 𝟗
𝑱

21. EJERCICIO 1 EvAU
Un satélite artificial de masa 200 kg se mueve alrededor de la Tierra en una órbita
elíptica definida por una distancia al perigeo (posición más próxima al centro de la
Tierra) de 7,02·106 m y una distancia al apogeo (posición más alejada al centro de la
Tierra) de 10,30·106 m. Si en el perigeo el módulo de la velocidad es 8,22·103 m/s.
a) ¿Cuál es el módulo de la velocidad en el apogeo?
b) Determine el módulo y la dirección del momento angular del satélite.
c) Determine la velocidad aerolar del satélite.
d) Determine la energía mecánica del satélite.
a)
𝐿 𝐴𝑃𝑂𝐺𝐸𝑂 = 𝐿 𝑃𝐸𝑅𝐼𝐺𝐸𝑂
𝑚 · 𝑣 𝐴 · 𝑟𝐴 = 𝑚 · 𝑣 𝑃 · 𝑟𝑃
𝒗 𝑨 =
𝑣 𝑃 · 𝑟𝑃
𝑟𝐴
=
8,22 · 103
· 7,02 · 106
10,30 · 106
= 𝟓, 𝟔𝟎 · 𝟏𝟎 𝟑
𝒎
𝒔
b)
𝑳 = 𝑚 · 𝑣 · 𝑟 = 200 · 8,22 · 103
· 7,02 · 106
= 𝟏, 𝟏𝟓 · 𝟏𝟎 𝟏𝟑
𝒌𝒈 · 𝒎 𝟐
𝒔
𝑳⃗⃗ = 𝟏, 𝟏𝟓 · 𝟏𝟎 𝟏𝟑
𝒌⃗⃗
𝒌𝒈 · 𝒎 𝟐
𝒔

22. c)
𝒗 𝒂 =
𝑑𝐴
𝑑𝑡
=
1
2
· |𝑟 𝑥 𝑣| = 𝟐, 𝟖𝟖 · 𝟏𝟎 𝟏𝟎
𝒎 𝟐
𝒔
d)
𝐸 𝑚𝑒𝑐 = 𝐸𝑐 + 𝑈 =
1
2
· 𝑚 · 𝑣2
− 𝐺 ·
𝑀 · 𝑚
𝑟
𝑬 𝒎𝒆𝒄 =
1
2
· 200 · (5,60 · 103
)2
− 6,67 · 10−11
·
5,98 · 1024
· 200
10,30 · 106
= −𝟒, 𝟔𝟏 · 𝟏𝟎 𝟗
𝑱

23. EJERCICIO 2 EvAU
Una nave espacial de 3000 kg de masa describe, en ausencia de rozamiento, una
órbita circular en torno a la Tierra a una distancia de 2,5·104 km de su superficie.
Calcule:
a) El período de revolución de la nave espacial alrededor de la Tierra.
b) Las energías cinética y potencial de la nave en dicha órbita.
a)
𝑇2
=
4𝜋2
𝐺 · 𝑀 𝑇
· 𝑅3
𝑻 = √
4𝜋2 · (3,137 · 107)3
6,67 · 10−11 · 5,98 · 1024
= 𝟓𝟓𝟐𝟕𝟔, 𝟐 𝒔 = 𝟏𝟓, 𝟑𝟓 𝒉
b)
𝒗 =
2𝜋 · 𝑅
𝑇
= 𝟑𝟓𝟔𝟔
𝒎
𝒔
𝑬 𝒄 =
1
2
· 𝑚 · 𝑣2
=
1
2
· 3 · 103
· (3566)2
= 𝟏, 𝟗𝟎𝟕 · 𝟏𝟎 𝟏𝟎
𝑱
𝑬 𝑷 = −𝐺 ·
𝑀 𝑇 · 𝑚
𝑟
= −6,67 · 10−11
·
5,98 · 1024
· 3 · 103
3,137 · 107
= −𝟑, 𝟖𝟏𝟒 · 𝟏𝟎 𝟏𝟎
𝑱

24. EJERCICIO 4 EvAU
Calcule:
a) La densidad media del planeta Mercurio, sabiendo que posee un radio de
2440 km y una intensidad de campo gravitatorio en su superficie de 3,7 N/kg.
b) La energía necesaria para enviar una nave espacial de 5000 kg de masa desde
la superficie del planeta a una órbita en la que el valor de la intensidad de
campo gravitatorio sea la cuarta parte de su valor en la superficie.
a)
𝑔 = 𝐺 ·
𝑀 𝑀
𝑟2
3,7 = 6,67 · 10−11
·
𝑀 𝑀
(2,44 · 106)2
; 𝑴 𝑴 = 𝟑, 𝟑𝟎 · 𝟏𝟎 𝟐𝟑
𝒌𝒈
𝒅 =
𝑀 𝑀
4
3 · 𝜋 · 𝑟3
=
3,30 · 1023
4
3 · 𝜋 · (2,44 · 106)3
= 𝟓𝟒𝟐𝟑
𝒌𝒈
𝒎 𝟑
b)
𝑔
4
= 𝐺 ·
𝑀 𝑀
𝑟2
3,7
4
= 6,67 · 10−11
·
3,30 · 1023
𝑟2
; 𝒓 = 𝟒, 𝟖𝟕𝟖 · 𝟏𝟎 𝟔
𝒎
𝑊 = Δ𝐸 = 𝐸 𝐹𝐼𝑁𝐴𝐿 − 𝐸𝐼𝑁𝐼𝐶𝐼𝐴𝐿 =
𝐺 · 𝑀 𝑀 · 𝑚
2
· [
1
𝑟𝑜
−
1
𝑟𝐹
]
𝑾 =
6,67 · 10−11
· 3,30 · 1023
· 5 · 103
2
· [
1
2,44 · 106
−
1
4,878 · 106] = +𝟏, 𝟏𝟑 · 𝟏𝟎 𝟏𝟎
𝑱

25. EJERCICIO 7 EvAU
Un planeta esférico tiene una densidad uniforme d = 1,33 g/cm3 y un radio de 71500
km. Determine:
a) El valor de la aceleración de la gravedad en su superficie.
b) La velocidad de un satélite que orbita alrededor del planeta en una órbita
circular con un periodo de 73 horas.
𝑑 =
𝑀
4
3 · 𝜋 · 𝑅3
𝑑 =
𝑀
4
3 · 𝜋 · (7,15 · 107)3
; 𝑴 = 𝟐, 𝟎𝟑𝟔 · 𝟏𝟎 𝟐𝟕
𝒌𝒈
a)
𝒈 = 𝐺 ·
𝑀
𝑅2
= 6,67 · 10−11
·
2,036 · 1027
(7,15 · 107)2
= 𝟐𝟔, 𝟓𝟔
𝒎
𝒔 𝟐
b)
𝒗 =
2𝜋 · (𝑅 + ℎ)
𝑇
= 𝟏𝟒𝟖𝟎𝟖
𝒎
𝒔
𝑇2
=
4𝜋2
𝐺·𝑀
· (𝑅 + ℎ)3
; (𝑹 + 𝒉) = 𝟔𝟏𝟗𝟑𝟒𝟑𝟒𝟐𝟒, 𝟐 𝒎

26. EJERCICIO 13 EvAU
Considérese una masa M = 50 kg situada en el origen de coordenadas. Bajo la acción
del campo gravitatorio creado por dicha masa, determine:
a) El trabajo requerido para mover una masa m1 = 2 kg desde P1 = (0, 0, 0) m a
P2 = (3, 4, 0) m.
b) La energía cinética de una partícula de masa m2 = 3 kg que, partiendo del
reposo, se mueve desde el punto P3 = (9/2, 6, 0) m al punto P2.
a)
𝑊 = 𝐸 𝐹𝐼𝑁𝐴𝐿 − 𝐸𝐼𝑁𝐼𝐶𝐼𝐴𝐿 =
𝐺 · 𝑀 · 𝑚1
2
· [
1
𝑟𝑖
−
1
𝑟𝑓
]
𝑾 =
6,67 · 10−11
· 50 · 2
2
· [
1
1
−
1
5
] = 𝟐, 𝟔𝟔 · 𝟏𝟎−𝟗
𝑱
b)
𝐸𝑐,𝑖𝑛𝑖𝑐𝑖𝑎𝑙 + 𝑈𝑖𝑛𝑖𝑐𝑖𝑎𝑙 = 𝐸𝑐,𝑓𝑖𝑛𝑎𝑙 + 𝑈𝑓𝑖𝑛𝑎𝑙
𝐸𝑐,𝑓𝑖𝑛𝑎𝑙 = 𝑈𝑖𝑛𝑖𝑐𝑖𝑎𝑙 − 𝑈𝑓𝑖𝑛𝑎𝑙 = −𝐺 · [
𝑀 · 𝑚2
𝑟3
+
𝑚1 · 𝑚2
𝑟3
] + 𝐺 · [
𝑀 · 𝑚2
𝑟2
+
𝑚1 · 𝑚2
𝑟2
]
𝑬 𝒄,𝒇𝒊𝒏𝒂𝒍 = −6,67 · 10−11
· [
50 · 3
7,5
+
2 · 3
2,5
] + 6,67 · 10−11
· [
50 · 5
5
] = 𝟏, 𝟖𝟒 · 𝟏𝟎−𝟗
𝑱