Semana 03 cinematica i en una dimension 2009 b

CINEMÁTICA I /MOVIMIENTO UNIDIMENSIONAL

CINEMÁTICA I
1. CONCEPTO
Es una parte de la Mecánica, que tiene por finalidad describir matemáticamente todos los
tipos posibles de movimiento mecánico sin relacionarlo con las causas que determinan cada
tipo concreto de movimiento. La cinemática estudia las propiedades geométricas del
movimiento, independientemente de las fuerzas aplicadas y de la masa de la partícula.

2. MOVIMIENTO
En general es una propiedad fundamental de la materia asociada a ella y que se manifiesta a
través de cambios, transformaciones y desarrollo. Los cuerpos macroscópicos poseen
internamente múltiples movimientos moleculares tales como: Movimiento Térmico,
Movimiento Biológico, Movimiento Electrónico, etc. Externamente los cuerpos
macroscópicos con el tiempo experimentan transformaciones, cambios en cantidad y calidad,
esta realidad objetiva es precisamente la materia en movimiento. El movimiento mecánico es
el movimiento más simple de la materia, es decir el cambio de posición. El movimiento
mecánico es el cambio de posición respecto de un sistema de referencia. De otro modo, el
movimiento mecánico es relativo.

3. MOVIMIENTO MECÁNICO
Es aquel cambio de posición que realiza o experimenta un cuerpo con respecto a un sistema
de referencia. La visual del observador se considera en el origen de coordenadas y que la tierra no
se mueve.

4. SISTEMA DE REFERENCIA
Es aquel lugar del espacio en donde en forma real o imaginaría se sitúa un observador para
analizar un fenómeno.
Sobre un cuerpo en el espacio se fija rigurosamente un sistema coordenado (cartesiano,
cilíndrico, polar, etc.), lugar en el cual se instala un reloj (sistema horario) y se ubica un
observador en forma real o imaginaria, quien estudiará el fenómeno (movimiento mecánico)
en el espacio y en el tiempo. A este conjunto se le denomina sistema de referencia.

Y (m) Y (m)

Trayectoria r1 d
r
r2
X (m)
0
0
Fig. 01. MOVIMIENTO MECÁNICO X (m)
Fig. 02. DESPLAZAMIENTO

WALTER PEREZ TERREL / WPEREZTERREL@GMAIL.COM
1

5. ELEMENTOS DEL MOVIMIENTO MECÁNICO

5.1) Móvil.- Es el cuerpo o partícula que realiza un movimiento mecánico o que puede moverse.

5.2) Trayectoria.- Es la línea recta o curva que describe el móvil al desplazarse. si la trayectoria es
curvilínea, el recorrido es mayor que la distancia. En cambio si la trayectoria es rectilínea, entonces
el recorrido es igual a la distancia.

5.3) Vector Posición ( r ) .- Es aquel vector utilizado por el observador con el fin de ubicar en el
espació y en el tiempo, al móvil. Este vector se traza desde la visual del observador (origen de
coordenadas) al móvil en un cierto instante.

5.4) Recorrido (e).- Es la medida de la longitud de la trayectoria entre dos puntos considerados.
Es una magnitud física escalar.

5.5) Desplazamiento ( d ) .- Es una magnitud física vectorial, que sirve para expresar el cambio de
posición efectivo entre dos puntos efectuado por un móvil. De la figura 02, adición de vectores:
r1 + d = r2 despejando el desplazamiento: d = r2 − r1
El desplazamiento se define como el cambio de posición: d = ∆r

5.6) Distancia (d).- Es el módulo del vector desplazamiento. Es la medida del segmento que une
el punto inicial con el punto final del movimiento.

5.7) Tiempo: Es una forma real de existencia de la materia, que se encuentra asociada a su
movimiento y espacio ocupado. El Tiempo en Mecánica sirve para medir la duración de un
fenómeno físico y su ubicación respectiva. El Tiempo para un evento físico definido previamente
se puede clasificar en:
- Intervalo de Tiempo ( t).- Denominado también tiempo transcurrido, es aquel que sirve para
medir la duración de un evento físico.
→
- Instante de Tiempo ( t→0).- Es aquel intervalo de tiempo pequeñísimo que nos permitirá
ubicar la tendencia de ocurrencia de un fenómeno físico y su ubicación principalmente en el
espacio.

6. MEDIDAS DEL MOVIMIENTO
El movimiento mecánico se puede expresar en función a la rapidez de cambio de posición en el
tiempo, a través de la velocidad y la aceleración, y también en función a la naturaleza de las
transformaciones y considerando la masa del
cuerpo el movimiento se mide en base al Y
concepto de ENERGÍA y cantidad de (m)
d
movimiento, que estudiaremos más adelante. r1
7. VELOCIDAD Vm
Es una magnitud física vectorial que nos r2
expresa el cambio de la posición en un
intervalo de tiempo.
0
X
8. VELOCIDAD MEDIA (Vm) Fig. 03 VELOCIDAD MEDIA (m)
Es aquella magnitud física vectorial que
2

expresa la rapidez de cambio de posición de un móvil, evaluada en un intervalo de tiempo. La
velocidad media Vm es colineal y del mismo sentido que el desplazamiento, es decir la velocidad
media tiene la misma dirección del desplazamiento.
La velocidad media se evalúa entre dos puntos de la trayectoria. Matemáticamente se expresa así:
∆r d
Vm = = La velocidad media es independiente de la trayectoria.
∆t ∆t
Para un movimiento unidimensional en el eje X se expresa así:

∆X X F − X 0
Vm = =
∆t ∆t
9. VELOCIDAD INSTANTÁNEA (V)
Es aquella magnitud física que expresa la rapidez probable de cambio de posición que tiende a
poseer o posee un móvil en un instante
de tiempo. Matemáticamente la X (m)
velocidad instantánea viene a ser el V = Tg θ V
límite de la velocidad media cuando el
intervalo de tiempo tiende a cero.
Se define como:
Tangente
Vinstantanea = lim Vm X (t)
∆t →0

Con el uso del cálculo diferencial, la
velocidad instantánea se expresa así: 0 θ t t (s)
dr
V= Se lee derivada de la Fig. 04. VELOCIDAD INSTANTÁNEA
dt
posición respecto del tiempo.
Para un movimiento unidimensional en el eje X.
dX
V= , se lee derivada de la posición en el eje X respecto del tiempo. Donde X es un
dt
polinomio cuya variable es el tiempo.

Unidades de la velocidad: cm/s; m/s; km/h

La velocidad instantánea se representa mediante un vector tangente a la curva.

EJEMPLO 01: La posición de un partícula en el eje X se define mediante la ley:
X (t ) = 4 + 5.t + 6.t 2 + 2.t 3 , donde t se mide en segundos y X en metros. Determine la velocidad de
la partícula en el instante t = 5 segundos.

Resolución
La velocidad se define como la derivada de la posición respecto del tiempo:
dx
V (t ) = = 0 + 5.t 0 + 6.2t1 + 2.3.t 2
dt
3

V (t ) = 5 + 12t1 + 6t 2
Cálculo de la rapidez para t = 5 s
V = 5 + 60 + 150 = 215 m/s
Cálculo de la velocidad para t = 5 s
V = 215 i (m/s)

EJEMPLO 02: La posición de un partícula en el eje X se define mediante la ley:
X (t ) = 4.t + 5.t 2 − 2.t 4 , donde t se mide en segundos y X en metros. Determine la velocidad de la
partícula en el instante t = 4 segundos.

Resolución
La velocidad se define como la derivada de la posición respecto del tiempo:
dx
V (t ) = = 4.1.t 0 + 5.2t 1 − 2.4.t 3
dt
V (t ) = 4 + 10.t1 − 8.t 3
Cálculo de la rapidez para t = 4 s
V = 4 + 10.41 − 8.43
V = 4 + 40 − 8.43 = −468
La velocidad media para t = 4 s
V = -458 i (m/s)

10. POSICIÓN DE UNA PARTÍCULA
La posición final de una partícula, es igual a la posición inicial más el desplazamiento. El
desplazamiento se define como el producto de la velocidad por el intervalo de tiempo.

rf = r0 + ∫ v .dt r f − r0 = ∫ v .dt ∆ r = ∫ v .dt d = ∫ v .dt
El desplazamiento que experimenta un punto material es igual al producto de la velocidad por el
intervalo de tiempo.

11. VELOCIDAD RELATIVA
Es la velocidad del cuerpo A respecto de un observador ubicado en el cuerpo B que también se
mueve. La velocidad de A respecto de B, se define como la diferencia de las velocidades.
VA / B = VA − VB

VA VB

Móvil A d Móvil B
Fig. 05. VELOCIDAD RELATIVA

La velocidad relativa de A respecto de B, es el vector diferencia entre la velocidad de A
(minuendo) y la velocidad de B (sustraendo).

4

12. PRINCIPIO DE RELATIVIDAD DE GALILEO:
La velocidad de absoluta del móvil A, es igual a la velocidad del móvil B más la velocidad relativa
de A respecto de B.
VA = VB + VA / B

13. ACELERACIÓN RELATIVA
Es la aceleración del cuerpo A respecto de un observador ubicado en el cuerpo B que también se
mueve con aceleración constante. La aceleración de A respecto de B, se define como la diferencia
de las aceleraciones. a A / B = a A − aB

aA aB

Móvil A d Móvil B
Fig. 05. ACELERACIÓN RELATIVA

La aceleración relativa de A respecto de B, es el vector diferencia entre la aceleración de A
(minuendo) y la aceleración de B (sustraendo).

14. TEOREMA PLUS UNO.
La distancia de separación entre dos móviles que se mueven sobre una recta, tomara un valor
extremo (máximo o mínimo relativo) cuando sus velocidades se igualen.

DEMOSTRACIÓN
Sean x1 = x1 (t ) y x2 = x2 (t ) las leyes del movimiento de los móviles que se mueven
sobre el eje “x”. La distancia de separación entre estos será: x = x1 − x2
Esta distancia tomará un valor máximo o mínimo cuando su derivada respecto del tiempo, sea
dx d ( x1 − x2 )
cero: =0 entonces =0
dt dt
d x1 d x2
= finalmente podemos decir que: v1 = v2
dt dt

15. TEOREMA PLUS DOS.
La velocidad relativa entre dos móviles que se mueven sobre una misma recta tomará un valor
extremo (máximo o mínimo relativo) cuando sus aceleraciones se igualen.

DEMOSTRACIÓN
Sean v1 = v1 (t ) y v2 = v2 (t ) la velocidad de dos móviles que se mueven sobre el eje “x”.
La velocidad relativa entre estos será: vrel = v1 − v2
Esta velocidad relativa tomará un valor máximo o mínimo cuando su derivada respecto del tiempo,

5


d vrel d ( v1 − v2 )
sea nula: =0 entonces =0
dt dt
d v1 d v2
= finalmente podemos decir que: a1 = a2
dt dt

Fó r m u l a s d e d er i v a d a s i n me d i at a s
1. Derivada de una constante
X (t ) = k la derivada es X ′(t ) = k
2. Derivada de x
X (t ) = t la derivada es X ′(t ) = 1
3. Derivada de función afín
X (t ) = a.t + b la derivada es X ′(t ) = a
4. Derivada de una potencia

u = u (t )
X (t ) = u k la derivada es X ′(t ) = k .u k −1 .u ′
5. Derivada de una raíz cuadrada
u′
X (t ) = u la derivada es X ′(t ) =
2. u
6. Derivada de una raíz
u′
X (t ) = k u la derivada es
X ′(t ) =
k .k u k −1
7. Derivada de suma

u = u (t ) y v = v(t )
X (t ) = u ± v su derivada es X ′(t ) = u ′ ± v′
8. Derivada de una constante por una función

X (t ) = k .u la derivada es X ′(t ) = k .u′
9. Derivada de un producto

X (t ) = u . v su derivada es X ′(t ) = v.u ′ + u.v′

6

10. Derivada de constante partida por una función
k − k .v′
X (t ) = la derivada es X ′(t ) =
v v2
11. Derivada de un cociente

u v.u ′ − u.v′
X (t ) = X ′(t ) =
v la derivada es
v2
12. Derivada de la función exponencial
a es un número real.

X (t ) = a u la derivada es X ′(t ) = u ′.a u .Ln a
13. Derivada de la función exponencial de base e
e es un número real.

X (t ) = eu la derivada es X ′(t ) = u ′.eu

14. Derivada de un logaritmo

15. Derivada de un logaritmo neperiano

16. Derivada del seno

17. Derivada del coseno

18. CALCULO DE LA DERIVADA. OPERADOR DERIVADA.

A) Determinar la primera derivada de las siguientes funciones. Determinar la VELOCIDAD
para: t = 2 segundos.
t t
1. X (t ) = − 5.t 2. X (t ) = 6.t 3. X (t ) = 4 4. X (t ) = − 5. X (t ) =
3 2

7

t3 t2 t4
6. X (t ) = − 4.t 3 7. X (t ) = − 8. X (t ) = 3.t 2 9. X (t ) = 10. X (t ) =
3 2 4
t4
11. X (t ) = 4.t 4 12. X (t ) = 13. X (t ) = − 2.t 5 14. X (t ) = t 4 − 3.t 2 − 5.t
4
5
15. X (t ) = 2.t 4 + 3.t 2 − 5.t + 8 16. X (t ) = 2.t 3 − 5.t 2 − 5.t − 2 17. X (t ) = −
t
3 2
18. X (t ) = − 19. X (t ) = − 20. X (t ) = t 21. X (t ) = t + 3
t2 t3
22. X (t ) = t 2 + 3 23. X (t ) = t 2 + 3.t 24. X (t ) = t 2 + 3.t + 5 25. X (t ) = Sen(t )
26. X (t ) = − 5.Sen(t ) 27. X (t ) = − 4.Sen( 2.t ) 28. X (t ) = − 8.Sen(3.t )
29. X (t ) = − 8.Sen(3.t 2 ) 30. X (t ) = 8.Sen(3.t + 2) 31. X (t ) = 8.Sen(3.t 2 + 2)
32. X (t ) = 2.Sen(3.t 2 + 2.t ) 33. X (t ) = − 4.Sen(3.t 2 − 2.t + 5) 34. X (t ) = Sen( t )
35. X (t ) = Sen( t 2 + 2.t + 1) 36. X (t ) = Cos ( t 2 + 2.t + 1) 37. X (t ) = Cos ( t )
38. X (t ) = Cos (t ) 39. X (t ) = Cos (2.t ) 40. X (t ) = Cos (3.t 2 ) 41. X (t ) = Cos ( t )
42. X (t ) = Cos (3.t 2 + 2.t ) 43. X (t ) = t 4 + 3.t 2 44. X (t ) = t 5 45. X (t ) = t 6 + t 4
t6 t4 t6 t4 t6 t4
46. X (t ) = + 47. X (t ) = − 48. X (t ) = + 49. X (t ) = − t.Sen(t )
3 2 3 2 6 4
50. X (t ) = − t .Sen(t ) 51. X (t ) = − t .Sen( 2 t ) 52. X (t ) = t. Cos (t ) 53. X (t ) = 3 t. Cos ( 2t )
2 2

54. X (t ) = t. Cos (3 t ) 55. X (t ) = t 2 . Cos (t )

B) Determinar la segunda derivada de las siguientes funciones. Determinar la ACELERACIÓN para:
t = 3 segundos.

1. X (t ) = − 5.t 2 2. X (t ) = 4.t 3. X (t ) = − 4.t 3 4. X (t ) = 3.t 4 5. X (t ) = 4.t 5
6. X (t ) = t 3 − 3.t 2 − 5.t 7. X (t ) = 2.t 4 + 3.t 2 − 5.t + 8 8. X (t ) = 2.t 3 − 5.t 2 − 5.t − 2
5 3 2
9. X (t ) = − 10. X (t ) = − 2 11. X (t ) = − 3 12. X (t ) = Sen(t ) 12. X (t ) = − 5.Sen(t )
t t t
13. X (t ) = − 4.Sen( 2.t ) 14. X (t ) = − 8.Sen(3.t ) 15. X (t ) = 8.Sen(3.t + 2)
16. X (t ) = Sen( t ) 17. X (t ) = Cos (t ) 18. X (t ) = Cos (2.t ) 19. X (t ) = Cos (3.t 2 )
20. X (t ) = Cos ( t ) 21. X (t ) = t 22. X (t ) = t + 3

C) Determinar la tercera derivada de las siguientes funciones. Determinar la CELERIDAD
para: t = 1 segundo.

t2 t3 t4
1. X (t ) = 2. X (t ) = 3. X (t ) = 4. X (t ) = Sen(3.t ) 5. X (t ) = Sen( 4.t )
2 3 8
6. X (t ) = Sen(t + π ) 7. X (t ) = Sen( 2t + π ) 8. X (t ) = Sen(t + π ) 9. X (t ) = Sen( 2π .t + π )
2

10. X (t ) = Cos ( 2.t ) 11. X (t ) = Cos (3.t ) 12. X (t ) = Cos ( 4.t ) 13. X (t ) = Cos (t + π )

8

 π
14. X (t ) = Cos(2π .t ) 15. X (t ) = Cos (2π .t − π ) 16. X (t ) = Cos 2π .t + 
 2
 π
17. X (t ) = Cos 2π .t − 
 2

19. EJERCICIOS Y PROBLEMAS PROPUESTOS

Tema: MOVIMIENTO UNIDIMENSIONAL (Nivel Básico)
1. Un cuerpo tiene la siguiente ley del movimiento: X (t) = 3 + 4.t + t , donde t se mide en
2

segundos y X se mide en metros. Determine la distancia que recorre entre los instantes t = 2 s y t
= 5 s.

2. La posición de un partícula en el eje X se define mediante la ley: X (t ) = 4 + 5.t + 6.t 2 + 2.t 3 ,
donde t se mide en segundos y X en metros. Determine la velocidad de la partícula en el instante
t = 5 segundos.

3. Se conoce la ley del movimiento de una partícula que se mueve en el eje “x”.
X ( t ) = 3 t 2 − 12t + 5 , donde “t” se mide en segundos y “x” en metros.
a) Determine la velocidad en el instante t = 1 s.
b) Determine la velocidad en el instante t = 5 s.
c) ¿En qué instante la velocidad es nula?

X ( t ) = 5 t 2 − 24 t + 10 , donde “t” se mide en segundos y “x” en metros.

X ( t ) = t 3 − 18 t + 20 , donde “t” se mide en segundos y “x” en metros.

X ( t ) = t 3 − 6 t 2 + 10 , donde “t” se mide en segundos y “x” en metros.

X ( t ) = 3 t 2 − 12t + 5 , donde “t” se mide en segundos y “x” en metros. Determine la velocidad
media entre los instantes t = 1 s y t = 5 s.
X ( t ) = 5 t 2 − 24 t + 10 , donde “t” se mide en segundos y “x” en metros. Determine la velocidad
media entre los instantes t = 2 s y t = 5 s

9

X ( t ) = t 3 − 18 t + 20 , donde “t” se mide en segundos y “x” en metros. Determine la velocidad
media entre los instantes t = 3 s y t = 9 s

X ( t ) = t 3 − 6 t 2 + 10 , donde “t” se mide en segundos y “x” en metros. Determine la velocidad
media entre los instantes t = 3 s y t = 8 s.

X ( t ) = 2t 3 − 12t 2 + 5 , donde “t” se mide en segundos y “x” en metros.
a) Determine la aceleración en el instante t = 1 s.
b) Determine la aceleración en el instante t = 5 s.
c) ¿En qué instante la aceleración es nula?



c) Determine la aceleración media entre los instantes t = 4 s y t = 8 s.

X ( t ) = 2t 3 − 12t 2 + 5 , donde “t” se mide en segundos y “x” en metros.


X ( t ) = 20.Sen ( π.t + π ) , donde “t” se mide en segundos y “x” en metros.

10


 π.t 2 π 
X ( t ) = 10.Sen  −  , donde “t” se mide en segundos y “x” en metros. ¿En qué instante la
 8 2
velocidad es nula?

t3 t2
19. C o n o c i e n d o l a l e y d e l m o vi m i e n t o : X (t ) = − − 12. t + 10 , d o nd e “ X ” s e m i d e
3 2
e n m et r o s y t s e m i d e e n s eg u n d os . D e t e r m i n a r :
a ) D e t er m i n ar l a ve l o c i d a d e n c u a lq u i e r i n s t a n t e d e t i e m p o .
b ) ¿ E n q u é i n s t a nt e l a ve l o c i d a d e s n u l a ?
c ) ¿ E n q u é p o s i c i ó n s u ve l o c i d a d e s n u la ?
d ) ¿ C u á l e s s u r e c or r i d o y d e s p l a za m i e n t o e nt r e t = 0 s y t = 5 s ?
e ) ¿ C u á l e s s u ve l o c i d a d m e d i a e nt r e t = 1 s y t = 5 s ?
f ) ¿ C u á l e s s u a c e l er a c i ó n m ed i a e n t r e t = 2 s y t = 5 s ?
g ) D e t er m i n ar l a a ce l e r a c i ó n e n c u a lq u ie r i n s t a nt e d e t i e m po .
h ) ¿ C u á l e s s u ac e l e r a c i ó n e n t = 4 s ?
i ) ¿ E n q u é i n s t a nt e l a a c e l e r a c i ó n e s n ul a ?
j ) ¿ E n q u é p o s i c i ó n s u a c e l e r a c i ó n es nu l a ?

t 3 3. t 2
20. C o n o c i e n d o l a l e y d e l m o vi m i e n t o : X (t ) = − − 10. t + 10 , d o nd e “ X ” s e
3 2
m i d e e n m et r o s y t s e m i d e e n s eg u n d os . D et e r m i n a r :

t3 t2
21. C o n o c i e n d o l a l e y d e l m o vi m i e n t o : X (t ) = − − 6. t + 10 , d o nd e “ X ” s e m i d e
3 2

11


t 3 3. t 2
22. C o n o c i e n d o l a l e y d e l m o vi m i e n t o : X (t ) = − − 18. t + 10 , d o nd e “ X ” s e
3 2

t3
23. C o n o c i e n d o l a l e y d e l m o vi m i e n t o : X (t ) = − 3. t 2 − 16. t + 10 , d o nd e “ X ” s e m i d e
3

24. C o n o c i e n d o l a l e y d e l m o vi m i e n t o : X (t ) = t 3 − t 2 − t + 5 , d o nd e “ X ” s e m i d e e n
m e t r o s y t s e m i d e e n s eg u n d o s. D e t er m i n a r :
h ) ¿ C u á l e s s u ac e l e r a c i ó n e n t = 5 s ? i ) ¿ E n q u é i n s t a n t e l a a c e le r a c i ó n e s
nula?

t 3 5. t 2
25. C o n o c i e n d o l a l e y d e l m o vi m i e n t o : X (t ) = − + 6. t + 5 , d o nd e “ X ” s e m i d e
3 2
12

h ) ¿ C u á l e s s u ac e l e r a c i ó n e n t = 2,5 s ?

t 3 7. t 2
3 2
h ) ¿ C u á l e s s u ac e l e r a c i ó n e n t = 3,5 s ?

t 3 9. t 2
3 2

t 3 13. t 2
28. C o n o c i e n d o l a l e y d e l m o vi m i e n t o : X (t ) = − + 40. t + 5 , d o nd e “ X ” s e
3 2

13

29. i ) ¿ E n q u é i n s t a nt e l a a c e l e r a c i ó n e s n ul a ?

FUNDAMENTO TEÓRICO
I. La velocidad es la anti-derivada de la aceleración:
V (t ) = ∫ a ( t ). dt + C 1

II. La Posición en un eje de coordenadas es la anti-derivada de la velocidad.

X (t ) = ∫ V (t ).dt + C 2

III. Variación o cambio de la velocidad:
b
∆V = ∫ a (t ).dt
a

IV. Variación o cambio de la posición o desplazamiento:
b
∆X = ∫ V (t ).dt
a
Resolver cada caso:

∫ t.dt 2. ∫ t .dt 3. ∫ t ∫x ∫x ∫x
2 3 4 5 N
1. .dt 4. .dx 5. .dx 6. .dx
7. ∫ ( y + 3).dy 8. ∫ ( y − y + 3).dy ∫ (x + x 2 + 2 x + 5 dx ) ∫ (x + x 3 + x 2 + x − 1 .dx )
2 3 4
9. 10.

∫ (x )
4 4
+ x 3 + x − 2 .dx ∫ k .x .dx. k ∈ ℜ ∫ x.dx ∫ (x + 1)dx
5 N
11. 12. 13. 14.
2 2

∫ (x ) ∫ (t. ) ∫ (t. )
4 4 3 1 4

. + 1 dx ∫ t.dt ∫ (3t − 2)dt + 3t − 2 dt + 3t dt
2 2 2
15. 16. 17. 18. 19.
2 0 0 0 3

∫ (t. )
1
− 2 dt ∫ ∫ ∫ Sen(3t ).dt ∫
2
20. 21. Sen(t ).dt 22. Sen( 2t ).dt 23. 24. Sen( 4t ).dt
0

25. ∫ Sen(5t ).dt 26. ∫ Cos(t ).dt ∫
27. Cos ( 2t ).dt ∫
28. Cos (3t ).dt

29. ∫ Cos(4t ).dt ∫
30. Cos (5t ).dt

PROBLEMAS PROPUESTOS (NIVEL INTERMEDIO)

1. Una partícula se mueve en el eje X cuya aceleración varía con el tiempo con la siguiente ley:
a (t ) = (2t + 3) m.s −2 En el instante t = 2 s la velocidad es 20 i (m.s −1 ) . Determine la velocidad
en el instante t = 10 s
a (t ) = (2t − 3) m.s −2
En el instante t = 5 s la velocidad es 10 i ( m.s −1 ) . Determine la velocidad en el instante t = 8 s

FÍSICA I / Profesor: Lic. Walter PEREZ TERREL / www.didactika.com/997089931 Página 14

a (t ) = (2t − 5) m.s −2
En el instante t = 3 s la velocidad es 20 i (m.s −1 ) . Determine la velocidad en el instante
t = 10 s
a (t ) = (4t − 5) m.s −2
t = 10 s
a (t ) = (3.t 2 − 5) m.s −2
t = 10 s
a (t ) = (3.t 2 ) m.s −2
t = 10 s
a (t ) = (4t 3 ) m.s −2
t = 10 s
a (t ) = (−5) m.s −2
t = 10 s
a (t ) = (−10) m.s −2
t = 10 s
a (t ) = (−5) m.s −2
En el instante t = 5 s la velocidad es 10 i (m.s −1 ) . En el instante t = 0 s la posición es
10 i ( m) Determine la posición en el instante t = 10 s
a (t ) = (−10) m.s −2
a (t ) = (−5t ) m.s −2



a (t ) = (t − 5) m.s −2
a (t ) = (t + 5) m.s −2
En el instante t = 5 s la velocidad es 20 i (m.s −1 ) En el instante t = 0 s la posición es
a (t ) = (2.t + 1) m.s −2 En el instante t = 5 s la velocidad es 20 i (m.s −1 )
En el instante t = 0 s la posición es 10 i ( m)
Determine la posición en el instante t = 10 s
a (t ) = (t + 1) m.s −2
En el instante t = 5 s la velocidad es 20 i (m.s −1 )
a (t ) = (t + 1) m.s −2
Determine la posición en el instante t = 10 s }
a (t ) = (2t + 3) m.s −2
Determine la posición en el instante t = 10 s }
a (t ) = (2t ) m.s −2
En el instante t = 5 s la velocidad es − 20 i (m.s −1 )
a (t ) = (−2t ) m.s −2


a (t ) = (−10) m.s −2
a (t ) = (−20) m.s −2
a (t ) = (−10.t 2 ) m.s −2
a (t ) = (10) m.s −2
4
25. Determinar el cambio de la velocidad: ∆V = ∫ t.dt
2
4
26. Determinar el cambio de la velocidad: ∆V = ∫ ( t + 1) dt
2

∫ (t )
6
27. Determinar el cambio de la velocidad: ∆V = 2
− 2 dt
2

∫ (t )
4
28. Determinar el cambio de la velocidad: ∆V = 2
− 1 dt
3
4
29. Determinar el cambio de la velocidad: ∆V = ∫ (2t.)dt
0
3
30. Determinar el cambio de la velocidad: ∆V = ∫ (3t − 2)dt
0

∫ (3t )dt
3
31. Determinar el cambio de la velocidad: ∆V =
2

0
3
32. Determinar el cambio de la velocidad: ∆V = ∫ Sen(t )dt
0


3
33. Determinar el cambio de la velocidad: ∆V = Cos (t )dt ∫0
3
34. Determinar el desplazamiento: ∆X = ∫ ( 3t 2 − 2 ) dt
1
4
35. Determinar el desplazamiento: ∆X = ∫ (3t + 5)dt
2

∫ (3.t )
5
36. Determinar el desplazamiento: ∆X = + 10 dt
2

2

∫ (3.t )
6
37. Determinar el desplazamiento: ∆X = + 10 dt
2

2
9
38. Determinar el desplazamiento: ∆X = ∫ (2t − 2)dt
3
9

∫
39. Determinar el desplazamiento: ∆X = Sen(t )dt
3
8

∫
40. Determinar el desplazamiento: ∆X = Sen(2t )dt
3
9

∫
41. Determinar el desplazamiento: ∆X = Cos(t )dtos
3
8

∫
42. Determinar el desplazamiento: ∆X = Cos(2t )dt
3

PROBLEMAS PROPUESTOS

30. Una partícula que se mueve sobre el eje “x” tiene la aceleración variable según la ley:
a X = ( t + 8 ) ˆ donde “t” se mide en segundos y la aceleración en m.s-2. Para t = 0 la rapidez es
i
V y para t = 4 s la rapidez es 3V . Determinar la rapidez para t = 6 s

a X = ( 6 t + 2 ) ˆ donde “t” se mide en segundos y la aceleración en m.s-2. Inicia su movimiento
i
t = 0 , desde el reposo, en x = 5 m . Determinar la posición en el instante t = 2 s .

( )
32. Una partícula se mueve en el eje X con velocidad: vx = t 2 + 2t + 2 i m/s. Si el móvil inicia su
ˆ
movimiento en x = 6 m , determinar la posición en el instante t = 3 s .

( )
33. Una partícula se mueve en el eje X con velocidad: vx = 3 − 3t 2 i m/s. Determinar la longitud
ˆ
del recorrido en el intervalo t = 0 hasta t = 2 s .



( )
34. Una partícula se mueve en el eje X con velocidad: vx = 3t 2 − 12 i m/s. Determinar el
ˆ
desplazamiento en el intervalo t = 1 s hasta t = 3 s .

a ( t ) = 12.t − 36 , donde “t” se mide en segundos y “a” en m.s-2. Si en el instante t = 3 s, la
velocidad es nula; y en el instante t = 1,0 s, su posición es x = 3 m, determine la ley del
movimiento.

( )
36. Una partícula se mueve en el eje X con velocidad: vx = 3t 2 − 4 i m/s. Si e móvil inicia su
ˆ
movimiento en x = 5 m , determinar
1) el recorrido que experimenta en los primeros 2 segundos.
2) el desplazamiento que experimenta en los primeros 4 segundos.

37. Si la ley de movimiento de una partícula que se mueve sobre el eje “x” es:
X (t ) = 24.t − 9.t 2 + t 3
Determinar la longitud del recorrido en el intervalo t = 0 y t = 6 s

a ( t ) = 24.t − 8 , donde “t” se mide en segundos y “a” en m.s-2. Si en el instante t = 2 s, la
velocidad es +42 i (m/s); y en el instante t = 1,0 s, su posición es x = 15 m, determine la ley del
movimiento.

39. Una partícula se mueve sobre el eje “X”, cuya velocidad en función de la posición es:
V = 2 . X i (m/s). Determine la aceleración en función de la posición.
ˆ

( )
40. El movimiento de una partícula viene definido por la relación x = 2t 3 − 6t 2 + 15t − 6 i , donde
ˆ
“x” se expresa en metros y “t” en segundos. Determine:
1) la posición de la partícula en el instante en que la aceleración sea nula.
2) la velocidad de la partícula en el instante en que la aceleración sea nula.

41. Una partícula se mueve en el eje “x”, desde t = 0 , con la siguiente ley de movimiento:
t.( t − 3)
2

X = donde X se expresa en metros “t” en segundos. Determine en qué intervalos de
3
tiempo el movimiento es acelerado y en qué intervalos es desacelerado.

42. Sean: X 1 = −8t + 2t 2 y X 2 = 10t − t 2 las leyes de movimiento de dos móviles (1) y (2) que
partiendo del origen de coordenadas ( x = 0 ) se mueven en el eje X.
a) ¿Después de cuántos segundos se encuentran juntos por segunda vez?
b) ¿En qué posición se encuentran cada uno de los móviles cuando se detienen
instantáneamente?
c) Determine la distancia de máximo alejamiento entre los móviles.

43. Un móvil se mueve a lo largo del eje “x” d acuerdo a la ley: Vx = 2 + 2t + 3t 2 donde Vx se mide
en m/s y “t” en segundos. Sabiendo que cuando t = 0 la posición es x = 1m
a) Encontrar el valor de “x” cuando t = 2 s
b) Determine la aceleración cuando t = 3 s



( )
44. Una partícula se mueve en el eje X con velocidad: vx = t 2 − 1 i donde vx se mide en m/s y “t”
ˆ
en segundos. Determinar:
a) La aceleración cuando vx = 24 i m/s.
ˆ
b) El desplazamiento en el intervalo de t = 0 a t = 3 s
c) El recorrido en el intervalo de t = 0 a t = 3 s

45. Si “x” e “y” se miden en metros y “t” en segundos, entonces determinar las fórmulas
dimensionales de las expresiones:
dy d2y d2y
∫x ∫x
2 2
I. II. 2 III. 2 IV. .dx V. .dt
dt d x d t

46. Si “v” se mede en m/s, “a” se miden en m/s2 y “t” en segundos, entonces determinar las
fórmulas dimensionales de las expresiones:
dx d 2x d 2v
I.
dt
II. 2
d t
III.
d 2t
IV. ∫ v.dt V. ∫ a.dt VII. ∫∫ a.dt


PROBLEMAS PROPUESTOS (NIVEL avanzado)

1. Una partícula de mueve
rectilíneamente sobre el eje “X”, X (m)
donde la aceleración instantánea Para el problema 2
+6
está dada por ax = −4.x donde
“x” se mide en metros y ax en (A)
−2
m.s . Si el móvil parte del reposo
en la posición x = +3 m , +3
determinar la velocidad cuando
pasa por x = 0 .
t (s)
2. La grafica x − t muestra la ley de O 3 6 9 12
movimiento de los móviles A y B
que se mueven rectilíneamente (B)
sobre el eje “x”. Determinar la
-3
máxima distancia de separación
entre A y B, además en que
instante ocurre esto.
V (m/s)
3. La grafica v − t mostrada describe el movimiento de dos 2
móviles A y B que se mueven son el eje “x”. Si los dos (A)
móviles parten desde un mismo punto en t = 0 , hallar la
ventaja que le sacó el móvil A al móvil B hasta el instante
en que sus aceleraciones se hacen iguales. En la figura las
curvas son cuartos de circunferencias. (B)

4. La grafica muestra la manera como varía la velocidad t (s)
de un móvil, que se mueve rectilíneamente en función del O 2
tiempo transcurrido. Determinar el desplazamiento que Para el problema 3
experimenta el móvil hasta el instante en su aceleración es
numéricamente igual al tiempo transcurrido. El la figura la curva es un cuarto de circunferencia.

5. La figura muestra la grafica x − t de un móvil A que
parte del origen de coordenadas en el instante t = 0 , y V (m/s)
sigue la trayectoria rectilínea en el eje “x”. Si después de 2
5 segundos, otro móvil B comienza a moverse con M.R.U
sobre el eje “x”, determinar con qué velocidad mínima
debe desplazarse para alcanzar al móvil B.

6. Las leyes del movimiento de dos partículas A y B están
dadas por: x A = 5 + 2.t + 2t y xB = 6.t + t donde
2 2

“x” se mide en metros y “t” en segundos. Determinar el t (s)
mínimo valor que toma la distancia de separación entre O 2
los móviles A y B. Para el problema 4


7. Las leyes del movimiento de dos partículas A y B que se mueven en el eje “x” están dadas por:
π 
x A = 36.sen  t  y xB = 2.Sen ( π .t ) donde “x” se mide en metros y “t” en segundos.
3 
Determinar el instante en que, por primera vez, la
velocidad relativa entre A y B toma su máximo valor. Para el problema 5
X (m)
10
8. Las leyes del movimiento de dos partículas A y B
están dadas por: x A = t ( t − 2 ) y xB = ( t − 2 )
2 2

donde “x” se mide en metros y “t” en segundos.
Determinar el mínimo valor que toma la velocidad (A)
relativa entre los móviles A y B.

9. La aceleración de una partícula se define mediante la t (s)
relación a = k.t en (m/s2) y “t” en segundos. Si para
2
O (B)
5 10
t = 0 la velocidad es v = −32 ˆ (m/s), y para t = 4 s
i
la velocidad es v = +32 ˆ y la posición es x = 0 en
i
metros. Determinar:
a) La constante k.
b) La velocidad y posición en cualquier instante de tiempo.
c) El instante de tiempo en el cual la velocidad es nula.

( )
10. El punto material se desplaza con velocidad: vx = t − 3t + 2 ˆ en (m/s). Si para t = 0 la
2
i
posición es x = 0 ˆ (m). Calcular:
i
a) la posición en el instante en que la velocidad es nula.
b) el valor de la velocidad cuando la aceleración es nula.

11. Una partícula tiene un movimiento rectilíneo con aceleración: ax = ( 6k.t − 4 ) ˆ en (m/s2) y t
i
en segundos. Si para t = 0 la velocidad es v = −3 ˆ (m/s) y la posición es x = 0 en metros.
i
Determinar:
a) el valor de la constante k, si para t = 4 s la velocidad es v = +3 ˆ (m/s)
i
b) la velocidad cuando t = 5 s
c) el desplazamiento en los primeros 4 segundos.
d) ¿En qué instante pasa por x = 0 ?

81
12. Un punto material se desplaza en el eje x con velocidad: vx = − x + 81 . Si para t = 0
60
segundos la posición es x = 0 metros. Calcular:
a) la aceleración y la velocidad en cualquier instante.
c) el tiempo que demora en recorrer los primeros 60 metros.

(
13. Un punto material se desplaza en el eje x con aceleración ax = k.v
2
) ˆi en (m/s ) y t en
2

− −1
segundos donde k = 0 ,5 m . Si para t = 0 la velocidad es v0 = 2 ˆ (m/s) y la posición es
i



x = 0 en metros. Determinar la posición del punto material en función de la velocidad “v”.

(
14. Un punto material se desplaza en el eje x con aceleración ax = .20.x −
−2
) ˆi en (m/s ), si el
2

móvil parte de x0 = 2 metros y la velocidad inicial es v0 = 2 ˆ (m/s). Determina la posición de
i
la partícula y el valor del desplazamiento cuando se detiene.

15. El movimiento de una partícula esta expresado por la siguiente ley: x = t , y = ( t − 1) ,
2 2

z = 8.t donde x, y, z se expresan en metros “t” en segundos. Calcular;
a) el instante para el cual la velocidad es mínima
b) el valor de la velocidad mínima
c) el valor de la aceleración normal y tangencial para t = 0,5 s
d) el radio de curvatura para t = 0,5 s

BIBLIOGRAFÍA VIRTUAL Y FUENTES DE INFORMACIÓN:
http://grups.es/didactika/yahoo.com
http://grups.es/albert_einstein_koch/yahoo.com
www.didactika.com
Blog: DIDACTIKA.COM

M.R.U.
(MOVIMIENTO RECTILÍNEO UNIFORME)

1. CONCEPTO. El móvil describe una trayectoria rectilínea, avanzando distancias iguales en
intervalos de tiempos iguales. El cuerpo se mueve con velocidad constante (módulo y
dirección). El movimiento rectilíneo uniforme, es el movimiento más simple de la materia.

2. VELOCIDAD CONSTANTE
La particula se mueve con velocidad constante en módulo y direccion. Es decir la trayectoria es
rectilinea siempre.

3. CARACTERÍSTICAS DE LA VELOCIDAD EN EL M.R.U.
La velocidad instantánea es constante. La velocidad media es constante. La velocidad
instantánea es igual a la velocidad media.
La velocidad es una cantidad física vectorial, es decir tiene módulo y dirección.
La rapidez es el módulo de la velocidad.
d
Cálculo de la rapidez: V =
t
Cálculo de la distancia: d = V . t
d
Cálculo del tiempo transcurrido: t =
V


Unidades: d : metros ; t : segundos ; V : m/s

4. ECUACIÓN DEL MOVIMIENTO (M.R.U.)
La posición final de la partícula es igual a la adición de la posición inicial más el
desplazamiento.
x F = x0 + V . t
El signo positivo o negativo representan la dirección de la cantidad vectorial. De otro modo, se
reemplaza en la ecuación en signo de cada cantidad física vectorial.

x f : Posición final x 0 : Posición inicial
V : Velocidad t: tiempo transcurrido

5. EQUIVALENCIA
Un kilómetro equivale a mil metros. Una hora equivale a 3 600 segundos. Una hora equivale a
60 minutos. Un minuto equivale a 60 segundos. La rapidez 36 km/h equivale a 10 m/s.

6. SONIDO Y ECO
El eco es un fenómeno acústico. El sonido en una onda mecánica. El sonido necesita para
propagarse un medio diferente al vacío. En el aire se propaga con una rapidez promedio de 340
m/s. El eco se produce cuando el observador percibe el mismo sonido por segunda vez debido al
rebote de la onda sonora en algún obstáculo (montaña, cerro, pared, muro, etc.).
La rapidez del sonido en el aire seco a 0 ºC es de unos 330 m/s. La presencia de vapor de agua
en el aire incrementa ligeramente dicha rapidez. Un aumento de la temperatura del aire también
aumenta la rapidez del sonido. La rapidez del sonido en aire aumenta en 0,6 m/s por cada grado
centígrado. La rapidez del sonido en un material dado no depende de la densidad material, sino
de su elasticidad. El acero en un material elástico. Los átomos de un material elástico están
relativamente juntos. El sonido se propaga unas quince veces más a prisa en el acero que en el
aire, y unas cuatro veces más a prisa en agua que en el aire.
La ecuación muestra la variación de la rapidez del sonido en el aire debido al cambio de la
temperatura en grados Celsius.
m
V(T ) = ( 330 + 0 ,6.T ) ⇔ T > 0 0C
s
EJERCICIOS Y PROBLEMAS PROPUESTOS

1. Un auto que tiene M.R.U., se mueve en dirección a una montaña con rapidez constante de 20
m/s, en cierto instante el chofer toca la bocina y escucha el eco luego de 4 segundos. Si la
rapidez del sonido en el aire es 340 m/s, ¿A qué distancia de la montaña se encontrará el auto
cuando el chofer escucha el eco?

2. Un auto que tiene M.R.U., se mueve
alejándose de una montaña con rapidez
constante de 20 m/s, en cierto instante de
la montaña el chofer toca la bocina y L
escucha el eco luego de 4 segundos. Si la
rapidez del sonido en el aire es 340 m/s,
(1) (2)
¿A qué distancia de la montaña tocó la
bocina? Para el problema 07


3. Una persona ubicada entre dos montañas, en cierto instante emite un grito y percibe el primer
eco a los 3,0 segundos y a los 3,6 segundos correspondientes a la otra montaña. Sabiendo que la
rapidez del sonido en el aire es 340 m/s, determinar la distancia entre las montañas.

4. Dos relojes electrónicos están separados 1 020 metros, cuando dan la hora, uno de ellos se
adelanta 2,0 segundos. ¿A qué distancia del reloj adelantado una persona oirá a los dos relojes
dar la hora al mismo instante?

5. Un hombre dispara una bala en dirección horizontal con rapidez 170 m/s, contra un blanco y
escucha el impacto luego de 3 segundos. Si la rapidez del sonido en el aire es 340 m/s, ¿A qué
distancia del hombre se encuentra el blanco?

6. Dos personas A y B están separadas una
distancia X. En cierto instante la persona d d d
A dispara una bala horizontalmente con
rapidez de 170 m/s, en dirección del
blanco que se encuentra junto a la H
persona B. Sabiendo que B escucha el
disparo y 3,0 segundos después percibe
el impacto con el blanco. Si la rapidez
del sonido en el aire es 340 m/s,
Para el problema 08
determine el valor de X en metros.

7. Se tiene dos velas (1) y (2) de tamaños iguales, los cuales tienen una duración T1 = 4 horas y T2
= 3 horas emitiendo energía luminosa. Si las velas empiezan e emitir luz simultáneamente,
¿después de cuanto tiempo en tamaño de uno e de ellos es el doble que el otro?

8. Dos velas cuyas alturas H, en el momento inicial eran iguales, se encuentran a una distancia “d”
una de otra, la distancia entre cada una de las velas y la pared mas próxima es también “d”. ¿Con
qué rapidez se mueven las sombras de las velas por las paredes, si una vela se consume durante un
tiempo T1 y la otra durante T2?

M.R.U.V.
(MOVIMIENTO RECTILÍNEO UNIFORMEMENTE VARIADO)

1. CONCEPTO.
Es aquel movimiento donde el móvil describe una línea recta y además en intervalos de tiempo
iguales los cambios de velocidad son iguales y las distancias recorridas son diferentes. Tiene
aceleración constante. Los cambios de velocidad son iguales en tiempos iguales. La trayectoria
o camino de la partícula es una línea recta. El móvil recorre distancias diferentes en tiempos
iguales.

2. ACELERACIÓN LINEAL O TANGENCIAL.
La aceleración lineal mide la rapidez de cambio de la velocidad en módulo. En el M.R.U.V. la
aceleración lineal es constante, es decir no cambia la dirección ni el módulo de la aceleración.
dv
a=
dt

La aceleración es igual a la derivada de la velocidad respecto del tiempo.

d 2r
a=
dt 2
La aceleración es igual a la segunda derivada de la posición respecto del tiempo.

dv = a.dt
v f − v0 = ∫ a.dt
La velocidad final de la partícula, es igual a la velocidad inicial mas el producto de la
aceleración por el intervalo de tiempo:

v f = v0 + ∫ a.dt V (m/s)

VF
Pero en el M.R.U.V la aceleración es
constante: VMEDIA
v f = v0 + a ∫ dt
t V0
v f = v0 + a ∫ dt
0
t (s)
v f = v0 + a.t 0 t
VELOCIDAD MEDIA

Unidad de la aceleración en el S.I.: m/s² o m.s-2

∆V VF − V0
a= …. (1) a= …. (2) VF = V0 + a.t …. (3)
t t

3. VELOCIDAD MEDIA EN EL M.R.U.V.
Dado que la velocidad varía linealmente, la velocidad media es igual a la semisuma de las
velocidades inicial y final en cierto intervalo de tiempo.
La velocidad media, es una velocidad constante en intervalo de tiempo “t” donde el móvil
recorre una distancia “d”, cumpliéndose la siguiente ecuación:
(V0 + VF )
d = Vm .t …. (4) d= .t …. (5)
2
Reemplazando (3) en (5):
(V0 + VF ) (V + V0 + a.t )
d= .t ⇒ d = 0 .t
2 2
Obtenemos: d = V0 .t + 1 a.t 2 … (6)
2

2d
De (2): VF − V0 = a.t … (7) De (5): VF + V0 = …. (8)
t

Multiplicado miembro a miembro (7) y (8): VF − V0 = 2ad
2 2

Despejando tenemos que: VF = V0 + 2ad
2 2
…. (9)
De (3): VF = V0 − a.t … (10)


Reemplazando (10) en (5)

(V0 + VF ) (V − a.t + VF )
d= .t ⇒ d = F .t
2 2
Obtenemos: d = VF .t − 1 a.t 2
2

Cuando aumenta la velocidad Cuando disminuye la velocidad
Acelera Desacelera

1) d = V0 .t + 1 a.t 2
2 1) d = V0 .t − 1 a.t 2
2

2) d = VF .t − 1 a.t 2
2 2) d = VF .t + 1 a.t 2
2

3) VF = V0 + a.t 3) VF = V0 − a.t
4) V = V + 2a.d
F
2
0
2
4) VF2 = V02 − 2a.d
(V + VF ) (V + VF )
5) d = 0 .t 5) d = 0 .t
2 2

4. SIGNOS DE LA ACELERACIÓN
Si la velocidad aumenta en módulo decimos que el movimiento es acelerado, en cambio si la
velocidad disminuye en módulo decimos que el movimiento es desacelerado.
VF = V0 ± a.t
V0 : velocidad inicial VF : velocidad final
(+) : Movimiento acelerado (-) : Movimiento desacelerado

En el movimiento acelerado la aceleración y la velocidad tienen la misma dirección. En cambio
si el movimiento es desacelerado la aceleración tiene dirección opuesta (sentido opuesto) a la
velocidad.

5. NÚMEROS DE GALILEO GALILEI.
Analicemos el movimiento rectilíneo uniformemente acelerado, cuando tiene velocidad inicial
diferente de cero.

V0 = 0 a

t=0 t=1s t=2s t=3s

K 3K 5K

d = V0 .t + 1 a.t 2
2



Para. t = n d1 = V0 .n + 1 a.n 2
2

Para. t = n-1 d 2 = V0 .(n − 1) + 1 a.(n − 1) 2
2

Restando: d n = d1 − d 2
Obtenemos que: d n = V0 + 1 a.(2n − 1)
2

CASO PARTICULAR
Si la partícula inicia su movimiento desde el reposo, con M.R.U.V., entonces el móvil recorre
en cada segundo distancias directamente proporcionales a números los impares.
Cuando V0 = 0
d n = 1 a.(2n − 1) ⇒ d n = K .(2n − 1)
2 Donde el valor de K es la mitad del valor de la
a
aceleración. K =
2
6. DESPLAZAMIENTO EN EL ENÉSIMO SEGUNDO
Analicemos el caso, cuando el cuerpo acelera. El enésimo segundo está comprendido entre los
instantes t = n-1 y t = n. Entonces la distancia que recorre en el enésimo segundo se determina
restando, las distancias que recorre el móvil en los primeros n segundos y en los (n-1)
segundos.
d = V0 .t + 1 a.t 2
2

Para. t = n: d1 = V0 .n + 1 a.n 2
2

Para. t = n-1: d 2 = V0 .(n − 1) + 1 a.(n − 1) 2
2

Restando: d n = d1 − d 2
Obtenemos que: d n = V0 + 1 a.(2n − 1)
2

CASOS PARTICULARES
a) Cuando el cuerpo acelera desde el reposo (V0 = 0 ) , se cumple que: d n = 1 a.(2n − 1)
2
b) Cuando el cuerpo desacelera: d n = V0 − 1 a.(2n − 1)
2
* Si dn es positivo el cuerpo se aleja del punto de lanzamiento.
* Si dn es negativo el cuerpo se aleja del punto de lanzamiento en la dirección opuesta.
* Si dn es cero el cuerpo regresa al punto inicial.

7. POSICIÓN DE LA PARTÍCULA EN EL EJE X
Analizamos el movimiento de la partícula con aceleración constante, sobre el eje X, respecto de
un sistema de referencia.
Cambio de posición: d = X F − X 0 … (1)
La posición final: X F = X 0 + d … (2)

Para el M.R.U.V.: d = V0 .t + 1 a.t
2
2 … (3)
Reemplazando (3) en (2) tenemos:
X 0 .t 0 V0 .t1 a.t 2
X F = X 0 + V0 .t + a.t1
2
2
XF = + +
0! 1! 2!
8. MOVIMIENTO RECTILÍNEO CON ACELERACIÓN VARIABLE


Si el móvil tiene movimiento con aceleración que varía linealmente, entonces definimos una
nueva medida del movimiento, denominada CELERIDAD (c), que mide la rapidez de cambio
de aceleración en módulo.

∆a aF − a0 a (m/s2)
c= =
∆t t −0 af
Despejando tenemos que, la aceleración final es:

aF = a0 + c.t
a0 θ
La velocidad final es:
c.t 2
VF = V0 + a0 .t + t (s)
2 0
t
La posición final en el eje X es:
ACELERACIÓN vs. TIEMPO
2 3
a0 .t c.t
X F = X 0 + V0 .t + +
2 6
X 0 .t 0 V0 .t1 a.t 2 c.t 3
XF = + + +
0! 1! 2! 3!
aF − a0
En la gráfica la razón tangente nos da el valor de la celeridad: c = Tgθ =
t
Ahora podemos generalizar el movimiento rectilíneo:

X 0 .t 0 V0 .t 1 a.t 2 c.t 3 Z .t n
XF = + + + + ... +
0! 1! 2! 3! n!
Donde, Z es la última medida del movimiento de módulo constante.

PROBLEMAS PROPUESTOS DE M.R.U.V

1. Un móvil que parte del reposo se mueve en línea recta y desarrolla una velocidad cuya grafica es
mostrada en la figura. Calcular el que instante t de tiempo el móvil vuelve al punto de partida.
V (m/s)
VX (m/s)
10
10

8 t(s) 0 t (s)
5
0 12 15 18
6

-4

Para el problema 01
Para el problema 2


V (m/s)
V (m/s)
OFICIAL
120
2

100
1 AUTO

t(s)
0 t(s
3 6 )
Para el problema 03 0 2
Para el problema 04
0

2. Se muestra la variación de la velocidad de un móvil. Determine el módulo del desplazamiento
en los 10 primeros segundos.

3. En el instante t = 0, dos partículas parten de un
mismo punto y se mueven en línea recta en la VX (m/s)
misma dirección y sentido. Una de ellas se 10
mueve con velocidad constante y la otra con
aceleración constante. La figura muestra las
graficas de ambas velocidades. La distancia d, t (s)
en metros, que recorren y en tiempo empleado 0 5
“t” en segundos que tardan hasta que vuelven a 12 15 18
encontrarse, respectivamente son:
-4
Para el problema 05
4. Un patrullero está estacionado al lado de una
carretera rectilínea, frente a él pasa una mujer
en un auto deportivo a 100 m/s. Después de varios intentos de poner en marcha su motocicleta,
el Oficial arranca 2 segundos después con M.R.U.V con aceleración de modulo 10 m/s2 y su
rapidez máxima es 120 m/s. ¿después de cuántos segundos, desde que sale el oficial, alcanza al
auto?

5. Se muestra la variación de la velocidad de un móvil. Determine el modulo del desplazamiento en
los 18 primeros segundos.

6. La gráfica indica el a (m/s2)
comportamiento de la aceleración Para el problema 06
3
de un auto que se mueve a lo largo
del eje x, en función al tiempo. Si
en t = 0 se encuentra en – 20 î (m) t (s)
con una velocidad 3 î (m/s) ¿Cuál 0
será la posición (en m) del auto 2 4 6 8
cuando t = 8 s?

7. Un automóvil que parte del reposo -3
se mueve con M.R.U.V. con
aceleración de módulo constate de
1 m/s2, en dirección a una montaña. Al partir el chofer toca la bocina y cuando ha recorrido 32
metros escucha el eco. Determinar la distancia de separación inicial entre el auto y la montaña.
Rapidez del sonido en el aire 340 m/s.


8. Con una velocidad de 10 i m/s el chofer de un automóvil observa el semáforo cuando cambia la
luz de Verde a Rojo, reacciona después de 0,2 segundo y aplica los frenos generando una
desaceleración de –20 i m/s2. ¿Qué distancia recorrió el auto hasta detenerse desde el momento
que el chofer observo la luz roja?

9. Un automóvil se mueve con velocidad de 30 i m/s, cuando cambia la luz de Verde a Roja de un
semáforo ubicado a 150 m de él. Si el tiempo de reacción del conductor es 0,5 segundo y el auto
desacelera con -5 i m/s2 tan pronto el conductor aplica los frenos. ¿A qué distancia del semáforo
se detiene?

10. Un móvil que tiene M.R.U.V. se mueve en el eje X, pasa por el punto A con velocidad 40 i
(m/s), pero 50 segundos después su velocidad es 60 i (m/s). Sabiendo que el móvil parte del
reposo en el punto P, ¿qué distancia recorre desde el punto de partida hasta el punto A?

11. Un cuerpo parte del reposo con M.R.U.V., si al transcurrir “t” segundos posee una rapidez “V”
y luego de recorrer 15 m en 3 s su rapidez es “4V”. Determinar “t”.

12. Un móvil parte del reposo con M.R.U.V, y avanza 54 m en los 6 primeros segundos. ¿Cuántos
metros avanza en los 4 segundos siguientes?

13. Un auto parte del reposo desde el punto P con M.R.U.V. y recorre entre los puntos A y B de su
trayectoria la distancia de 1 km durante 10 segundos, si al pasar por el punto B su rapidez es el
triple de la que tuvo en el punto A. Determine la distancia que recorre entre el punto de partida y
el punto A.

14. Un automóvil que tiene M.R.U.V, se mueve en el eje X con aceleración 2 i (m/s2), después de 5
segundos de pasar por un punto “P” posee una velocidad 20 i (m/s). ¿Qué velocidad tenía el
auto cuando le faltaban 9 m para llegar al punto P?

15. Un ciclista que tiene M.R.U.V. inicia su movimiento con velocidad 2 i (m/s), después de 2
segundos recorre 12 m. ¿Qué distancia recorre el ciclista en el tercer segundo?

16. Un ómnibus se encuentra detenido y hacia el corre un pasajero con una rapidez constante de 4
m/s. En el instante que se encuentra a 8 m del ómnibus, éste parte y se mueve con aceleración
constante cuyo valor es 2 m/s2. Determinar al cabo de qué tiempo la distancia de separación
entre el pasajero y el ómnibus es mínima.



CAÍDA LIBRE VERTICAL
1. CONCEPTO. Es aquel tipo de movimiento rectilíneo uniformemente variado (M.R.U.V.) cuya
trayectoria es una línea recta vertical y que se debe a la presencia del campo de gravedad. La
única fuerza que actúa sobre el cuerpo es su propio peso, ya que no considera la resistencia del
aire. Este tipo de movimiento se obtiene, cuando un cuerpo es lanzado hacia arriba, hacia abajo, o
simplemente es soltado. En las ecuaciones cinemáticas no se considera la masa ni la fuerza
resultante. La cinemática en general estudia as propiedades geométricas del movimiento.

2. CONSIDERACIONES DEL MOVIMIENTO DE CAÍDA LIBRE
* No se considera la resistencia del aire.
* La altura máxima alcanzada es suficientemente pequeña como parar despreciar la variación de
la aceleración de la gravedad.
* La velocidad máxima alcanzada por el cuerpo es suficientemente pequeña para despreciar la
resistencia del aire.
* La altura alcanzada es suficientemente pequeña para considerar un campo gravitatorio
homogéneo y uniforme.
m N
* El valor o módulo de la aceleración de la gravedad es: g = 9,8 2 = 9,8
s kg
dv
a =g=
dt
La aceleración es igual a la derivada de la velocidad respecto del tiempo:

d 2r
a=
dt 2
La aceleración es igual a la segunda derivada de la posición respecto del tiempo:

dv = g .dt

La velocidad final de la partícula, es igual a la velocidad inicial mas el producto de la
aceleración por el intervalo de tiempo:
v f = v0 + ∫ g.dt
Pero la aceleración de la gravedad es constante:
v f = v0 + g ∫ dt
v f = v0 + g.t
La altura es el desplazamiento de la partícula en el eje “Y” o eje vertical y se define como el
producto de la velocidad media por el intervalo de tiempo:
y f = y 0 + v .t + 1 g.t 2
2

y f − y 0 = v .t + 1 g.t 2
2

h = v .t + 1 g .t 2
2
El desplazamiento vertical o altura se define como el producto de la velocidad media por el
(v 0 + v f )
tiempo transcurrido: h = .t
2


3. ECUACIONES DEL MOVIMIENTO DE CAÍDA LIBRE VERTICAL
Analíticamente el movimiento de caída libre es un caso es especial del M.R.U.V., donde la
distancia se reemplaza por la altura y la aceleración lineal por la aceleración de la gravedad.

4. TIEMPO DE VUELO
Consideremos un cuerpo lanzado verticalmente hacia arriba. Cuando el cuerpo alcanza la altura
máxima su velocidad es nula.
De la ecuación:
VF = 0
VF = V0 − g .t
reemplazando los datos:
0 = V0 − g .T
Despejando: g
V0 T H
T=
g
V0 V0
Tempo de subida: tSUBIDA = =T
g
2.V0
Tiempo de vuelo: tVUELO = = 2T
g
TIEMPO DE VUELO Y ALTURA MÁXIMA

5. ALTURA MÁXIMA (H)
Un cuerpo que es lanzado verticalmente hacia arriba alcanza su altura máxima cuando su
velocidad final en el punto más alto es igual a cero.
Aplicando la ecuación: VF2 = V02 − 2 g .h
Reemplazando los datos: 0 = V02 − 2 g .H
V02
H=
2g

6. CAMBIO DE LA ACELERACIÓN DE LA GRAVEDAD
La intensidad de la gravedad no es el mismo para todos los lugares de la Tierra, depende de la
altura sobre el nivel del Mar y de la latitud.
El movimiento de caída libre plantea la misma aceleración para todos los cuerpos cualquiera
que sea su masa, a esta aceleración se le llama aceleración de la gravedad normal, cuyo valor es
m N
45° de latitud es: g = 9,8 2 = 9,8
s kg
* En los polos: g = 9,83 m/s² (Máxima)
* En el Ecuador: g = 9,78 m/s² (Mínima)

7. CAMPO GRAVITACIONAL
No sólo la Tierra atrae a los cuerpos, también el Sol, la Luna y todo astro. Se entiende por
“gravedad” a la región de espacio que rodea a un astro gracias al cual atrae a los cuerpos. Todos
los planetas (Tierra) y satélites (Luna) generan a su alrededor un campo de gravedad.
g Tierra
gLuna =
6

8. INTENSIDAD DEL CAMPO GRAVITATORIO
La aceleración de la gravedad “g” depende de la masa y el radio terrestre. Es decir la


aceleración de la gravedad depende de la forma que tiene el cuerpo creador del campo
gravitatorio.
MT
Donde: g = G 2
RT
G: Constante de gravitación universal.
G = 6,67.10-11 N.m2.kg-2
MT = masa de la tierra = 5,9.1024 kg
RT = radio de la tierra = 6 400 km

9. NÚMEROS DE GALILEO
Si abandonamos un cuerpo de cierta altura,
entonces la altura que recorre en cada V0 = 0 t=0s
segundo es directamente proporcional a los K
números impares.
t=1s
Primer segundo 1K = 5 m
Segundo segundo 3K = 15 m
Tercer segundo 5K = 25 m
Cuarto segundo 7K = 35 m 3K
Quinto segundo 9K = 45 m
Sexto segundo 11K = 55 m
Sétimo segundo 13K = 65 m
Octavo segundo 15K =75 m t=2s

h = V0 .t + 1 g .t 2
2
Para. t = n
h1 = V0 .n + 1 g .n 2
2

Para. t = n-1 g
h2 = V0 .(n − 1) + g .(n − 1)
1
2
2

Restando: 5K
hn = h1 − h2
Obtenemos que:
hn = V0 + 1 g .(2n − 1)
2

CASO PARTICULAR
Cuando V0 = 0
t=3s
hn = 1 g .(2n − 1)
2
hn = K .(2n − 1)
Donde el valor de K es la mitad del valor de
la aceleración.
g
K = =5
2
Considerando: g = 10 m/s2.
En el primer segundo recorre 5 metros.


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