Este documento presenta los principios y aplicaciones de las relaciones dinero-tiempo. Explica conceptos como valor presente, valor futuro, tasas de interés y series de flujos de efectivo uniformes y de gradiente (aritmético y geométrico). Proporciona fórmulas y ejemplos para calcular valores presentes, futuros, tasas de interés, número de períodos y valores de pagos para diferentes tipos de series.

1. UNIDAD II
Principios y aplicaciones de
las relaciones Dinero-Tiempo
EN ESTA UNIDAD
1. Cantidades de dinero como pagos únicos
2. Series uniformes de flujo de efectivo
Series de gradiente (crecimiento aritmético y
3.
geométrico)

2. Pagos únicos
Valor Presente, VP: O principal (P) de una suma de dinero es la cantidad al
inicio de cierto período de tiempo (no contiene los intereses de ese período
de tiempo).
Valor Futuro (VF o simplemente F): Es la cantidad acumulada al final de
cierto período de tiempo que incluye el principal más los intereses.
Período de tiempo……. F
P
Ejemplo. Cálculo del valor futuro dado que se conoce el valor presente.
F = P * (1 + i ) n
Notación simplificada: F = P*(F/P, i, n)
Si P = 1000, i = 10%, n = 5 años
F = P*(F/P, 10%, 5) = 1000*(1+0.10)5 = 1000*(1,61051) = $1610,51
F = $1610,51

3. Otras relaciones de importancia:
Cálculo del valor presente dado que se conoce el valor futuro.
F
P=
(1 + i ) n
Notación simplificada: P = F(P/F, i, n)
Cálculo del la tasa de interés dado que se conoce F, P, n.
1
F n
i =   −1
P
Cálculo del número de períodos dado que se conoce F, P, i.
ln( F / P )
n=
ln(1 + i )

4. Series uniformes
Series de pagos iguales y consecutivos durante una cierta cantidad de
períodos.
Relación de la serie uniforme de pagos con el valor presente.
 (1 + i) n − 1
P = A n 
 (1 + i) (i)  ; P = A (P/A, i%, n)
n: Número de pagos de la serie.
 (1 + i ) n (i ) 
A = P 
 (1 + i ) n − 1 ; A = P (A/P, i%, n)
Condiciones:
• El valor presente es conocido
• Se desconoce el valor de n pagos iguales llamados A.
• El primer pago se efectúa en período 1 y el último en el período n.
• Los Pagos no se interrumpen en el transcurso de los n períodos.

5. Las condiciones anteriores definen la serie de pagos como una anualidad
de pagos vencidos. Cambiar estas condiciones sería caer en las
anualidades anticipadas o diferidas.
1. Serie uniforme de pago. 2. Anualidad anticipada. 3. Anualidad Diferida.
Ej. Con período de gracia.
Período de A A A
AA A A A A A AAAAA A Gracia………
.
….…
….… ….… 0 1 2 3 4 5 n
0 1 2 3 4 5 n 0 1 2 3 4 5 n
P
P P

6. Relación entre el valor futuro y una serie uniforme de pagos.
 (1 + i) n − 1
F = A  ; F=A(F/A, i%, n)
 (i )  A A A A A
….…
A
 (i)  0 1 2 3 4 5 ….… n
A = F
 (1 + i) n − 1 ; A=F(A/F, i%, n)
 F
Condiciones:
• El primer pago de la serie se ubica en el primer período.
• El último pago de la serie se ubica en el “período n”.
• No hay interrupción en los pagos.
• El valor futuro queda ubicado en el período “n”.

7. Series de gradiente Aritmético
Tiene la característica de que a partir del segundo período y por n
períodos sucesivos presenta un incremento (o decrecimiento) de una
cantidad igual cada período, respecto a la cantidad que aparece en el
período A (periodo a partir del cuál empiezan los incrementos o
decrecimientos). La cantidad que se incrementa o disminuye en cada
período el flujo de efectivo se le llama gradiente y se denota con la
letra G.
1  (1 + i ) n − 1   1 
P = G  − n  n
 i  (i)   (1 + i )  ; P= G (P/G, i, n)
1  (1 + i ) n − 1 
F = G  − n
 i  (i ) ; F = G (F/G, i, n)

8. Condiciones para las ecuaciones de series de gradiente:
• El primer pago al período es cero.
• Los pagos sucesivos aumentan o disminuyen a una cantidad
constante denominada
“G”
• El último pago se ubica en el período “n”.
• No hay interrupción en los pagos sucesivos.

9. Ejercicios de gradiente.
a. Serie de gradiente positivo. Una persona se propuso ahorrar $150
cada año durante 6 años. Pero además también se planteó aumentar
en $50 el valor de cada depósito, a partir del 2do año. Es decir el 1er
año depositó 150, el 2do 200, 3ero 250, el cuarto 300 y así
sucesivamente hasta el años seis. Si la institución financiera le paga
una de interés de 8% capitalizable anualmente, ¿cuál es el valor
presente de todos los ahorros realizados?
b. Series de gradiente negativo. Se adquiere un préstamo bancario
(P), y se acuerda pagarlo en 10 mensualidades, empezando a pagar un
mes después de recibido. Según la modalidad de pago se cancelará
$900 en primer mes, y a partir de esta fecha los pagos disminuirán a
una razón constante de $50 por cada período, es decir el primer mes
se pagará 900, el segundo 850, el tercero 800 el cuarto 750 y así
sucesivamente hasta cancelar 10 mensualidades. Si la tasa de interés
cobrada es de 1% mensual, determine el valor del préstamo otorgado.

10. Relación entre series de gradiente y series uniformes de pago.
1 n 
A = G − n 
 i (1 + i ) − 1 ; A=G(A/G, i, n)
Series de gradiente Geométrico
Se debe realizar una investigación individual sobres este tema y
soportarla en el portafolio de evidencia. Se desea que busque:
a. Definiciones, características (forma gráfica) y usos de estas series.
b.Ecuaciones aplicables.
c. Ejemplos (dos).