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Ingeniería Económica
Dr. Leonardo Gabriel Hernández Landa
OBJETIVOS
 La ingeniería económica permite hacer un análisis y
evaluación de proyectos utilizando herramientas
financieras y a través de este estudio el alumno será
capaz de aprender técnicas que le permitan evaluar
proyectos de inversión y financiamiento en el desarrollo
de su profesión como Ingeniero Industrial Administrador.
Ingeniería económica
Ingeniería Económica
 La necesidad de la ingeniería económica se encuentra
motivada principalmente por el trabajo que llevan a cabo
los ingenieros al analizar, sintetizar y obtener
conclusiones en proyectos de cualquier envergadura. En
otras palabras, la ingeniería económica es un punto
medular en la toma de decisiones.
 Fundamentalmente la ingeniería económica implica
formular, estimar y evaluar los resultados económicos
cuando existan alternativas disponibles para llevar a cabo
un propósito definido. Otra forma de definir la ingeniería
económica consiste en describirla como un conjunto de
técnicas matemáticas que simplifican las comparaciones
económicas.
Antecedentes del interés
 Los registros revelan su existencia en Babilonia, en el año
2000 a.C. En su forma más primitiva, el interés se pagaba
en compensación por usar granos y otros bienes que se
prestaban.
 La historia también revela que la idea del interés estaba
tan arraigada, que ya en el año 575 a.C. existía una firma
de banqueros internacionales, que tenía su casa matriz en
Babilonia.
Interés
 El interés es la manifestación del valor del dinero en el
tiempo. Desde una perspectiva de cálculo, el interés es la
diferencia entre una cantidad final de dinero y la cantidad
original.
𝐼𝑛𝑡𝑒𝑟é𝑠 = 𝑐𝑎𝑛𝑡𝑖𝑑𝑎𝑑 𝑞𝑢𝑒 𝑠𝑒 𝑑𝑒𝑏𝑒 𝑎ℎ𝑜𝑟𝑎 – 𝑐𝑎𝑛𝑡𝑖𝑑𝑎𝑑 𝑜𝑟𝑖𝑔𝑖𝑛𝑎𝑙
Tasa de interés
 Cuando el interés pagado con respecto a una unidad de tiempo
específica se expresa como porcentaje de la suma original
(principal), el resultado recibe el nombre de tasa de interés.
𝑻𝒂𝒔𝒂 𝒅𝒆 𝒊𝒏𝒕𝒆𝒓é𝒔 (%) =
𝒊𝒏𝒕𝒆𝒓é𝒔 𝒂𝒄𝒖𝒎𝒖𝒍𝒂𝒅𝒐 𝒆𝒏 𝒆𝒍 𝒕𝒊𝒆𝒎𝒑𝒐
𝑴𝒐𝒏𝒕𝒐 𝒐𝒓𝒊𝒈𝒊𝒏𝒂𝒍
× 𝟏𝟎𝟎%
La unidad de tiempo de la tasa recibe el nombre de
periodo de interés.
Ejemplo
 Un empleado solicita un préstamo de $10,000 el 1 de
mayo y debe pagar un total de $10,700 exactamente un
año después. Determine el interés y la tasa de interés
pagada.
 Solución
El interés pagado.
𝐼𝑛𝑡𝑒𝑟é𝑠 = $10 700 – $10,000 = $700
La tasa de interés pagada durante un año.
𝑇𝑎𝑠𝑎 𝑑𝑒 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑟é𝑠 = $700/$10,000 × 100% = 7% 𝑎𝑛𝑢𝑎𝑙
Interés simple
 Se dice que el interés y la tasa correspondiente son
simples si el interés total que se obtiene o se cobra es
una proporción lineal de la cantidad inicial del préstamo,
la tasa de interés y el número de periodos de interés por
los que se hizo el préstamo. Siento I el interés tenemos
que:
𝐼 = 𝑃 ∗ 𝑛 ∗ 𝑖
 P cantidad principal que se da u obtiene en préstamo,
 n número de periodos de interés (por ejemplo, años)
 i tasa de interés por periodo.
Ejemplo:
 Si se prestan $1,000 durante tres años, a una tasa
de interés simple del 10% anual, el interés que se
obtiene sería de
 𝑖 = 10% = 0.10
 n= 3
 𝑃 = 1,000
𝐼 = 1000 ∗ 3 ∗ 0.1 = 300
Ejemplo
 Pacific Telephone Credit Union otorgó un préstamo a un
miembro del personal de ingeniería para que éste
adquiriera un avión a escala dirigido por un radio
controlador. El préstamo asciende a $1 000 por tres años
con un interés simple de 5% anual. ¿Cuánto debe pagar el
ingeniero al final de los tres años? Tabule los resultados.
Ejercicio 1 (Lab)
 Si las utilidades por cada acción de Ford Motor Company
se incrementaron de 22 a 29 centavos en el trimestre
entre abril y junio en comparación con el trimestre
anterior, ¿cuál fue la tasa de incremento en las utilidades
de dicho trimestre?
Ejercicio 2 (Lab)
 Una compañía que ofrece una gran variedad de servicios
recibió un préstamo de $2 millones para adquirir equipo
nuevo y pagó el monto principal del crédito más $275 000
de intereses después de un año. ¿Cuál fue la tasa de
interés del préstamo?
Ejercicio 3 (Lab)
 Cierta empresa de ingeniería que diseña construcciones
terminó el proyecto de un ducto por el que obtuvo una
utilidad de $2.3 millones en un año. Si la cantidad de
dinero que invirtió la compañía fue de $6 millones, ¿cuál
fue la tasa de rendimiento de la inversión?
Ejercicio 4 (Lab)
 Una compañía química que comienza a operar se fijó la
meta de obtener una tasa de rendimiento de al menos 35%
anual sobre su inversión. Si la empresa adquirió $50
millones como capital de riesgo, ¿cuánto debe percibir en
el primer año?
Interés compuesto
 En el caso del interés compuesto, el interés generado durante
cada periodo de interés se calcula sobre el principal más el
monto total del interés acumulado en todos los periodos
anteriores. Así, el interés compuesto es un interés sobre el
interés. También refleja el efecto del valor del dinero en el
tiempo sobre el interés. El interés para un periodo ahora se
calcula de la siguiente manera:
 Interés = (principal + todos los intereses acumulados)(tasa de
interés)
Ejemplo
 Un ingeniero solicita a la cooperativa de crédito de la
empresa un préstamo de $1 000 con un interés anual
compuesto de 5%. Calcule el adeudo total después de tres
años. Elabore una gráfica y compare los resultados de este
ejemplo y del anterior.
Ejemplo
 El efecto de la composición del interés se observa en la
tabla siguiente, para un préstamo de $1,000 durante tres
periodos, a una tasa de interés del 10% compuesto cada
periodo.
Ingeniería económica 1
Notación
 i tasa de interés efectivo por periodo de interés;
 n número de periodos de capitalización;
 P monto de dinero a valor presente; valor equivalente de uno o
varios flujos de efectivo en un punto de referencia del tiempo,
llamado presente;
 F monto de dinero a valor futuro; valor equivalente de uno o
varios flujos de efectivo en un punto de referencia del tiempo,
llamado futuro;
 A flujos de efectivo al final de periodo (o valores equivalentes de
fin de periodo) en una serie uniforme para un número específico
de periodos, desde el final del primer periodo hasta el último.
Diagrama de flujo
 El diagrama de flujo de efectivo emplea varias
convenciones
 1. La línea horizontal es una escala de tiempo,
con el avance del tiempo de izquierda a derecha.
 2. Las flechas significan flujos de efectivo y se
colocan al final del periodo. Si fuera necesario
hacer una distinción, las flechas que apuntan
hacia abajo representan egresos (flujos de
efectivo negativos o salidas de efectivo) y las
flechas hacia arriba representan ingresos (flujos
de efectivo positivos o entradas de efectivo).
 3. Un diagrama de flujo de efectivo depende del
punto de vista.
Ejercicio 5 (Lab)
 Dibuje un diagrama del flujo de efectivo para un préstamo
de $10,500 con una tasa de interés del 12% anual durante
un periodo de seis años.
 ¿Qué cantidad de interés simple se pagará en una sola
exhibición al final del sexto año?
Recordando…
 El efecto de la composición del interés se observa en la
tabla siguiente, para un préstamo de $1,000 durante tres
periodos, a una tasa de interés del 10% compuesto cada
periodo.
Obtención de formula
que rige la IE
Formula interés compuesto
 O bien si se tiene una tasa de interés constante
podemos obtener el valor futuro acumulado (F)
con la formula
𝐹 = 𝑃 1 + 𝑖 𝑛
Aplicando al ejemplo sería
𝐹 = 1000 1.1 3 = 1331
Ejemplo
 Suponga que solicita prestados $8,000 en este momento, y
promete pagar el principal más los intereses que se
acumulen dentro de cuatro años a un i 10% anual.
¿Cuánto pagará al final del cuarto año?
Ejercicio 6(Lab.)
 Un ingeniero industrial recibió un bono de $12 000 que
desea invertir ahora. Quiere calcular el valor equivalente
después de 24 años, cuando planea usar todo el dinero
resultante como enganche o pago inicial de una casa de
vacaciones en una isla. Suponga una tasa de retorno de 8%
anual para cada uno de los 24 años. a) Determine la
cantidad que puede pagar inicialmente, usando tanto la
notación estándar como la fórmula de factor.
Ejercicio 7 (Lab)
 La empresa fabricante de carros Renault firmó un contrato
de $75 millones con ABB de Zurich, Suiza, para
automatizar las líneas de montaje del chasis, los talleres
de ensamblado de la carrocería y los sistemas de control
de línea. Si ABB recibirá el pago dentro de dos años
(cuando los sistemas queden listos), ¿cuál es el valor
actual del contrato con un interés de 18% anual?
Ejercicio 8 (Lab)
 Hewlett-Packard realizó un estudio que indica que $50 000
en la reducción de mantenimiento este año (es decir, año
cero), en una línea de procesamiento, fue el resultado del
mejoramiento de la tecnología de fabricación de circuitos
integrados (CI), con base en diseños que cambian
rápidamente.
 a) Si Hewlett-Packard considera que este tipo de ahorro
vale un 20% anual, encuentre el valor equivalente de este
resultado después de 5 años.
 b) Si el ahorro de $50 000 en mantenimiento ocurre ahora,
calcule su valor equivalente 3 años antes con un interés
de 20% anual.
Ejercicio 9 (Lab.)
Encuentre F en la gráfica dada una i=12%
Ejercicio 10 (Lab)
 Encuéntrese P en la gráfica , si la i = 5%.
Ejercicio 11 (Lab.)
Encuentre F en la gráfica dada una i=8%
Ejercicio 12 (Lab)
 Encuéntrese P en la gráfica , si la i = 10%.
Ejercicio 13 (Lab)
 2. Encuentre P en la gráfica, si la i = 7%.
Ejercicio 14 (Lab.)
 Cuánto interés deberá pagarse cada año sobre un
préstamo de $2,000, si la tasa de interés es del 10% anual,
y si la mitad del principal se pagará en una sola exhibición
al final del año cuatro y la otra mitad se cubrirá en un
solo pago al final del octavo año? ¿Cuánto se pagará de
interés durante el periodo de ocho años?
Ejercicio 15 (Lab.)
 En México se anunciaba hace muchos años: "Invierta en
Bonos del Ahorro Nacional, que duplican su valor a los 10
años". ¿Cuál era la tasa de interés anual que pagaban los
BAN?
Ejercicio 16 (Lab.)
 ¿En cuantos periodo de tiempo se triplicará una inversión
a una tasa de interés del 9%?
Ejemplo
 Una persona desea hacer un deposito inicial en un fondo
de inversión, para que cada fin de año reciba $1000
durante los siguientes 5 años. ¿Cuanto debería depositar
esta persona en total si se tiene una tasa de rendimiento
de i=10%?
Series uniformes
Ingeniería económica 1
Ejercicio 17, 18 y 19 (Lab.)
1. ¿Cuánto dinero debería destinarse para pagar ahora por $600
garantizados cada año durante 9 años, comenzando el próximo año, a
una tasa de rendimiento de 16% anual?
2. Se vende un aparato eléctrico a crédito y bajo las siguientes
condiciones: cubrir seis mensualidades iguales de $2215.170005 cada
una, que se empezarán a pagar un mes después de hacer la compra.
El interés que se cobra es de 3% mensual ¿Cuál es el precio de
contado?
3. Suponga que usted hace 15 depósitos anuales de $1,000 cada uno en
una cuenta bancaria que paga el 5% de interés por año. El primer
depósito se hará dentro de un año a partir de hoy. ¿Cuánto dinero
podrá retirar de su cuenta inmediatamente después del pago número
15?
Ejercicio 21, 22 y 23(Lab.)
4. Formasa Plastics tiene grandes plantas de fabricación en Texas y Hong Kong.
Su presidente quiere saber el valor futuro equivalente de una inversión de
capital de $1 millón cada año durante 8 años, empezando un año a partir de
ahora. El capital de Formasa gana a una tasa del 14% anual.
5. Si el día de hoy a cierta máquina se le ordena una reparación mayor, su
producción se incrementaría un 20%, que se traduciría en un flujo de efectivo
adicional de $20,000 al final de cada año durante cinco años. Si 𝑖 = 15%
anual, ¿cuánto es razonable invertir para arreglar la máquina en cuestión?
6. Una estudiante emprendedora planea tener un ahorro personal por un total
de $1,000,000 cuando se retire a los 65 años de edad. Ahora tiene 20 años. Si
la tasa de interés anual en promedio será de 7% durante los próximos 45 años
para su cuenta de ahorro, ¿qué cantidad igual debe ahorrar al final de cada
año para cumplir su objetivo?
Ejercicio 24 (Lab.)
 Un aparato eléctrico que tiene un precio de contado de
$12000 se compra a crédito bajo las siguientes
condiciones: interés mensual de 3%, pago de seis
mensualidades iguales, cubriendo la primera mensualidad
al final del quinto mes después de hacer la compra, por lo
que la última mensualidad se paga al final del décimo
mes. Calcular el valor de cada una de las seis
mensualidades.
Ejercicio 25 (Lab.)
 Se depositan $1000 cada mes durante los meses 1 al 6, en
un banco que paga un interés de 2% mensual. Si no se
retira dinero, ¿cuánto se acumulará en el banco al final
del noveno mes?
Ejercicio 26(Lab)
 Una persona realiza seis depósitos de $1 000 en un banco
que paga un interés de 2% mensual. Hace 3 depósitos al
final de los meses 1,2 Y 3, pero suspende los pagos en los
meses 4, 5 Y 6, Y efectúa los últimos tres depósitos al
final de los meses 7,8 Y 9. Si no se retira dinero, ¿cuánto
se acumulará en el banco al momento de hacer el último
depósito al final del noveno mes?
Ejercicio 27 (lab)
 Encuentre A en la gráfica con una i = 8%.
Ejercicio 28 (Lab)
 Encuentre A en la gráfica con una i=9%
Ejercicio 29 (Lab)
 De los flujos de efectivo que aparecen en la gráfica, calcular el valor de P con
un interés de 10% por periodo.
Ejercicio 30 (Lab)
 Encuéntrese F en la gráfica, donde i = 5%.
Ejercicio 31 (lab)
 Calcule B del siguiente diagrama de flujo, si i = 8%
Ejercicio 32 (Lab)
 Una empresa productora de válvulas de control de plástico
tiene un fondo de $500 000 para reemplazo de equipo. Si
la compañía gasta $75 000 por año en equipo nuevo,
¿cuántos años tomará reducir el fondo a menos de $75 000
con una tasa de interés de 10% anual?
Serie Gradiente (P/G y A/G)
Ejemplo
 Una compañía de ropa deportiva ha iniciado un programa
para registrar su logo. Espera obtener ingresos de $80 000
por derechos el próximo año por la venta de su logo. Se
espera que los ingresos por derechos se incrementen de
manera uniforme hasta un nivel de $200 000 en 9 años.
Determine el gradiente aritmético y construya el diagrama
de flujo de efectivo.
Respuesta
Calcule el valor presente equivalente con i=10%
Gradiente aritmético
 Un gradiente aritmético es una serie de flujos de efectivo
que aumenta o disminuye en una cantidad constante. Es
decir, el flujo de efectivo, ya sea ingreso o desembolso,
cambia por la misma cantidad aritmética cada periodo. La
cantidad del aumento o de la disminución es el gradiente.
Desarrollo de P/G
𝑃 = 𝐺(𝑃/𝐹, 𝑖, 2) + 2𝐺(𝑃/𝐹, 𝑖, 3) + 𝐺(𝑃/𝐹, 𝑖, 4) + ⋯
+[(𝑛 − 2)𝐺](𝑃/𝐹, 𝑖, 𝑛 − 1) + [(𝑛 − 1)𝐺](𝑃/𝐹, 𝑖, 𝑛)
𝑃 = 𝐺
1
1 − 𝑖 2
+
2
1 − 𝑖 3
+
3
1 − 𝑖 4
+ ⋯ +
𝑛 − 2
1 − 𝑖 𝑛−1
+
𝑛 − 1
1 − 𝑖 𝑛
𝑃 1 + 𝑖 = 𝐺
1
1 − 𝑖 1
+
2
1 − 𝑖 2
+
3
1 − 𝑖 3
+ ⋯ +
𝑛 − 2
1 − 𝑖 𝑛−2
+
𝑛 − 1
1 − 𝑖 𝑛
𝑖𝑃 = 𝐺
1
1 − 𝑖 1
+
1
1 − 𝑖 2
+ ⋯ +
1
1 − 𝑖 𝑛−1
+
1
1 − 𝑖 𝑛
− 𝐺
𝑛
1 − 𝑖 𝑛
Desarrollo de P/G
𝑖𝑃 = 𝐺
1
1 − 𝑖 1
+
1
1 − 𝑖 2
+ ⋯ +
1
1 − 𝑖 𝑛−1
+
1
1 − 𝑖 𝑛
− 𝐺
𝑛
1 − 𝑖 𝑛
𝑃 =
𝐺
𝑖
1 + 𝑖 𝑛 − 1
𝑖 1 + 𝑖 𝑛
−
𝑛
1 + 𝑖 𝑛
(𝑃/𝐺, 𝑖, 𝑛) =
1 + 𝑖 𝑛 − 𝑖𝑛 − 1
𝑖2 1 + 𝑖 𝑛
Serie anual A/G
 La serie anual uniforme equivalente (valor A) de un gradiente aritmético G se
calcula multiplicando el valor presente de la ecuación A/P.
𝐴 = 𝐺(𝑃/𝐺, 𝑖, 𝑛)(𝐴/𝑃, 𝑖, 𝑛)
𝐴 = (𝐴/𝐺, 𝑖, 𝑛)
𝐴 =
𝐺
𝑖
1 + 𝑖 𝑛 − 1
𝑖 1 + 𝑖 𝑛 −
𝑛
1 + 𝑖 𝑛
𝑖 1 + 𝑖 𝑛
1 + 𝑖 𝑛 − 1
𝐴 = 𝐺
1
𝑖
−
𝑛
1 + 𝑖 𝑛 − 1
Ejemplo
 Tres condados adyacentes en Florida acordaron emplear
recursos fiscales ya destinados para remodelar los puentes
mantenidos por el condado. En una junta reciente, los
ingenieros de los condados estimaron que, al final del
próximo año, se depositará un total de $500 000 en una
cuenta para la reparación de los viejos puentes de
seguridad dudosa que se encuentran en los tres condados.
Además, estiman que los depósitos aumentarán en $100
000 por año durante 9 años a partir de ese momento, y
luego cesarán. Determine las cantidades equivalentes de
a) valor presente y de b) serie anual, si los fondos del
condado ganan intereses a una tasa del 5% anual.
Ejercicios 33 (Lab.)
 Una persona depositó $100 en un banco al final del primer
mes, y los depósitos sucesivos se incrementaron en $50
cada uno, es decir, en el segundo mes depositó $150, en el
tercer mes depositó $200, etc. Si el banco paga a sus
ahorradores un interés de 2% mensual, ¿cuánto habrá
acumulado esta persona en el banco al momento de hacer
el sexto depósito?
Ejercicios 34(Lab.)
 Calcule P en el siguiente diagrama utilizando exclusivamente fórmulas
de gradiente y para una i = 10% por periodo.
Ejercicios 35(Lab.)
 Una persona pide $3 000 prestados y acuerda finiquitados
en 4 pagos. El segundo pago será mayor que el primero
por $200; el tercero será mayor que el segundo por $200 y
el cuarto será mayor que el tercero también por $200. Si
la i = 10%, ¿cuál es el valor del primer pago?
Ejercicios 36(Lab.)
 Los ingenieros del SeaWorld, una división de Busch
Gardens, Inc., desarrollaron una innovación en un deporte
acuático existente para hacerlo más excitante. La
modificación cuesta sólo $8 000 y se espera que dure 6
años. Se espera que el costo de mantenimiento sea de $1
700 el primer año, y que aumente 11% anual en lo
sucesivo. Determine el valor presente equivalente de la
modificación y del costo de mantenimiento. La tasa de
interés es de 8% anual.
Gradiente geométrico
Ejercicio 37 (Lab.)
 Una ingeniera industrial que planea su jubilación
depositará 10% de su salario cada año en un fondo
accionario de alta tecnología. Si este año su
salario es de $180 000 (es decir, al final del año 1)
y espera que se incremente 4% cada año, ¿cuál
será el valor presente del fondo después de 15
años si rinde 7% anual?
FACTORES PARA SERIES
GRADIENTE GEOMÉTRICO
 El flujo de efectivo, tales como los
costos de operación, los costos de
construcción y los ingresos, suelen
aumentar o disminuir de un periodo a
otro mediante un porcentaje constante.
Esta tasa de cambio uniforme define una
serie gradiente geométrico de flujos de
efectivo. Añadimos un nuevo termino:
 𝑔 = tasa de cambio constante, en forma
decimal, mediante la cual las cantidades
aumentan o disminuyen de un periodo al
siguiente
 La relación para determinar el valor presente total 𝑃𝑔 para toda la serie de
flujo de efectivo se calcula como:
𝑃𝑔 =
𝐴1
1 + 𝑖 1
+
𝐴1(1 + 𝑔)
1 + 𝑖 2
+
𝐴1 1 + 𝑔 2
1 + 𝑖 3
+ ⋯ +
𝐴1 1 + 𝑔 𝑛−1
1 + 𝑖 𝑛
𝑃𝑔 = 𝐴1
1
1 + 𝑖 1 +
(1 + 𝑔)
1 + 𝑖 2 +
1 + 𝑔 2
1 + 𝑖 3 + ⋯ +
1 + 𝑔 𝑛−1
1 + 𝑖 𝑛
1 + 𝑔
1 + 𝑖
𝑃𝑔 = 𝐴1
(1 + 𝑔)
1 + 𝑖 2 +
1 + 𝑔 2
1 + 𝑖 3 + ⋯ +
1 + 𝑔 𝑛
1 + 𝑖 𝑛+1
𝑃𝑔
1 + 𝑔
1 + 𝑖
− 1 = 𝐴1
1 + 𝑔 𝑛
1 + 𝑖 𝑛+1
−
1
1 + 𝑖 1
𝑃𝑔 = 𝐴1
1 −
1 + 𝑔
1 + 𝑖
𝑛
𝑖 − 𝑔
Ejercicios 38 (Lab.)
 Considere la secuencia geométrica de flujos de efectivo de final de periodo
de la figura, y determine los valores equivalentes de P. La tasa de incremento
es del 20% por año después del primer año, y la tasa de interés es del 25%
anual.
Ejercicio 39 (Lab)
 Los ingenieros del SeaWorld, una división de Busch
Gardens, Inc., desarrollaron una innovación en un deporte
acuático existente para hacerlo más excitante. La
modificación cuesta sólo $8 000 y se espera que dure 6
años con un valor de salvamento de $1 300 para el
mecanismo solenoide. Se espera que el costo de
mantenimiento sea de $1 700 el primer año, y que
aumente 11% anual en lo sucesivo. Determine el valor
presente equivalente de la modificación y del costo de
mantenimiento. La tasa de interés es de 8% anual.
Tasas de interés
nominales y efectivas
Tasas de interés
 Hasta el momento hemos considerado los periodos
independientes con un valor constante generalmente
anual. En un alto porcentaje de los proyectos evaluados
en la práctica por ingenieros profesionales, la tasa de
interés compuesto se calcula con mayor frecuencia para
periodos diferentes a un año; los periodos semestrales,
trimestrales y mensuales son frecuentes.
Tasas de interés menores a un año
 en nuestras vidas personales, muchos de nuestros
movimientos financieros —préstamos de todo tipo
(hipotecas para vivienda, tarjetas de crédito,
automóviles, muebles), cuentas de cheques y de ahorro,
inversiones, planes de acciones, etcétera—, poseen tasas
de interés compuesto para periodos menores de un año.
Importancia tasas de interés nominal y
efectiva
 analizaremos las tasas de interés nominal y efectiva.
 Comprender y emplear correctamente las tasas de interés
efectivas es importante para la práctica de la ingeniería y
de las finanzas personales
 Los proyectos de ingeniería, se financian a través de
deuda y de capital propio.
 Los intereses por préstamos, hipotecas, bonos y acciones
se basan en tasas de interés compuesto para periodos más
frecuentes que un año.
Tasa de interés nominal
 La tasa de interés nominal, 𝑟, es una tasa de interés que
no considera la capitalización de intereses. Por definición,
𝑟 = 𝑡𝑎𝑠𝑎 𝑑𝑒 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑟𝑒𝑠 𝑝𝑜𝑟 𝑝𝑒𝑟𝑖𝑜𝑑𝑜 × 𝑁ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑝𝑒𝑟𝑖𝑜𝑑𝑜𝑠
 Una tasa nominal r puede fijarse para cualquier periodo: 1
año, 6 meses, 1 trimestre, 1 mes, 1 semana, 1 día,
etcétera.
ejemplo
 Por ejemplo, la tasa nominal de r = 1.5% mensual es la misma que cada una
de las siguientes tasas:
Periodo Ecuación Resultado
Dos años 1.5% × 24 𝑚𝑒𝑠𝑒𝑠 36%
Anual 1.5% × 12 𝑚𝑒𝑠𝑒𝑠 18%
Semestral 1.5% × 6 𝑚𝑒𝑠𝑒𝑠 9%
Trimestral 1.5% × 3 𝑚𝑒𝑠𝑒𝑠 4.5%
Mensual 1.5% × 1 𝑚𝑒𝑠𝑒𝑠 1.5%
Semanal 1.5% × 0.231 𝑚𝑒𝑠𝑒𝑠 0.346%
Ejercicio 40 (lab)
 Si una institución financiera ofrece un préstamo con una
tasa de interés semestral del 15%, Cuál es la tasa de
interés nominal:
1. Anual
2. A 5 Años
3. Bimestral
Tasa de interés efectiva
 La tasa de interés efectiva es la tasa real aplicable a un
periodo de tiempo establecido. La tasa de interés efectiva
toma en cuenta la acumulación del interés durante el
periodo de la tasa nominal correspondiente. Por lo
general, se expresa como tasa anual efectiva 𝑖 𝑎, pero se
puede utilizar cualquier periodo como base.
Frecuencia de capitalización
 4% anual, compuesto mensualmente
 12% anual, compuesto trimestralmente
 9% anual, compuesto diariamente
 3% cuatrimestral, compuesto mensualmente
 6% semestral, compuesto semanalmente
 3% trimestral, compuesto diariamente
Ejemplo
 Jacki obtuvo una nueva tarjeta de crédito con un banco
nacional (MBNA), con una tasa establecida de 18% anual y
un periodo de composición mensual. Para un saldo de
$1,000 al principio del año, calcule la tasa anual efectiva
y el adeudo total al banco MBNA después de un año,
tomando en cuenta el hecho de que no se efectúa ningún
pago durante el año.
TASAS DE INTERÉS EFECTIVAS ANUALES
 𝑟 = tasa de interés nominal anual
 𝑚 = número de periodos de capitalización o composición
por año
 𝑖 = tasa de interés efectiva por periodo de composición
(PC) = 𝑟/𝑚
 𝑖 𝑎 = tasa de interés efectiva anual
Formula
 Como en el caso del interés compuesto, una tasa de
interés efectiva en cualquier punto del año incluye
(capitaliza) la tasa de interés de todos los periodos de
composición previos del año.
 Por lo tanto, la deducción de una fórmula para la tasa de
interés efectiva es semejante a la lógica que se sigue para
establecer la relación del valor futuro 𝐹 = 𝑃 1 + 𝑖 𝑛
.
 Entonces 𝐹 = 𝑃 1 + 𝑖 𝑎
𝑛 seria el valor después de un
año.
 Si en un año tenemos 𝑚 periodos de composición.
Diagrama
Interés efectivo anual
 Entonces
𝑃 1 − 𝑖 𝑎 = 𝑃 1 + 𝑖 𝑚
1 + 𝑖 𝑎 = 1 + 𝑖 𝑚
𝑖 𝑎 = 1 + 𝑖 𝑚 − 1
 Así, la ecuación sirve para calcular la tasa de interés
anual efectiva para cualquier número de periodos de
composición cuando 𝑖 es la tasa para un periodo de
composición.
Exposiciones por equipos
 El equipo preparará y expondrá el tema que le sea
asignado:
 Tema principal
 Desarrollo
 Ejemplos
 Ejemplo de aplicación
 Tiempo: 40 minutos
Evaluación exposición
Concepto Valor
Presentación 20
Contenido 20
Desarrollo 30
Ejemplos 10
Caso práctico 20
TOTAL 100
Temas de exposición
Equipo Tema Libro
1 Contabilidad y su relación con la ingeniería
económica
DeDegarmo
2 Elementos conceptuales y preparación de un
proyecto
Evaluación de proyectos- Gabriel Baca
3 Estudio de Mercado Evaluación de proyectos- Gabriel Baca
4 Estudio Técnico Evaluación de proyectos- Gabriel Baca
5 Estudio Económico Evaluación de proyectos- Gabriel Baca
6 Depreciación DeDegarmo, Tarquin
7 Impuestos DeDegarmo, Tarquin
8 Efectos de la Inflación DeDegarmo, Tarquin
9 Financiamientos DeDegarmo, Tarquin
Tabla de tasas de interés
Ejercicio 41 (lab)
 Una persona pide un préstamo de $10000 a un banco, por el que le
cobran un interés de 24% anual. Asimismo, se establece que el capital
deberá ser pagado al final de un año. Determinar la cantidad de
dinero que acumula en el banco si:
 a) El interés se paga una sola vez a fin de año.
 b) El interés de 24% anual se paga en dos partes
 c) El interés de 24% anual se cubre en cuatro partes iguales
Ejercicio 42 (lab)
 Una persona deposita $10000 en un banco que paga un
interés de 12% anual. Desea hacer cinco retiros iguales al
final de los años 1 al 5. Determine el valor de cada uno de
los cinco retiros iguales, de forma que con el último retiro
se agote totalmente el depósito, si
 A)el interés se capitaliza semestralmente.
 B)El interés se capitaliza mensualmente
Ejercicio 43 (lab)
 Se pide un préstamo de $2500 a un banco que cobra un
interés de 9% anual capitalizado mensualmente. El
préstamo deberá cubrirse en cinco pagos anuales iguales
cada fin de año, que iniciarán un año después de recibir el
préstamo. Calcule lo siguiente:
 a) ¿A cuánto ascienden los pagos anuales?
 b) ¿A cuánto ascienden estos pagos si la capitalización es
semestral?
Ejercicio 44 (lab)
 El banco A paga un interés de 8% anual capitalizado
semestralmente. El banco B paga 7.9% anual capitalizado
mensualmente, y el banco C paga una tasa de 7.8% anual
capitalizada diariamente. Si usted tiene $500 para
invertir, ¿qué banco elegiría si el periodo de depósito es
de al menos un año?
Ejercicio 45 EXAMEN (10 min)
 Una persona depositó $5000 en la institución A, que paga
un interés de 10% capitalizado anualmente. También
depositó $5000 en la institución B que paga 10% anual
capitalizado mensualmente. a) ¿Cuánto dejó de ganar en
el primer caso si el dinero permaneció en ambas
instituciones por tres años? b) ¿Si dejó el dinero por 3.5
años?
 R=a) $85.90; b) $430
Ejercicio 46 EXAMEN (10 min)
 En México existe la llamada Lotería Nacional, juego que
consiste en que si se gana el premio mayor, por cada
unidad monetaria que se apueste se recibirán 10000 a
cambio. Una persona jugó $10 por semana durante
muchos años y nunca obtuvo el premio mayor. Si se
considera una tasa de interés de 18% anual capitalizada
mensualmente, ¿cuánto tiempo sería necesario para que,
si hubiera ahorrado todo ese dinero a la tasa mencionada
en vez de jugar, la ganancia acumulada fuera igual a la
del premio mayor?
 R=20 años, 5 meses, 1 semana
Ejercicio 47 EXAMEN (10 min)
 Se depositan $12222 en un banco que paga un interés de
15% anual capitalizado cada mes. Si se estima que será
necesario retirar $1 800 cada tres meses, ¿cuántos retiros
de $1800 se podrán hacer hasta extinguir totalmente el
depósito?
 R=8
Ejercicio 48 EXAMEN (20 min)
 Del siguiente diagrama de flujo y con interés de 4% por periodo,
determínese el valor de X:
R=109
Ejercicio 48 EXAMEN (20 min)
 Se depositan $4000 en un banco que paga un interés de
18% anual capitalizado quincenalmente. El dinero
permanece un año depositado, sin que se hagan retiros de
capital ni intereses. A partir de la primera quincena del
segundo año, que es la quincena 25 a partir del día en que
se realizó el depósito inicial, se desean realizar nueve
retiros iguales cada dos meses, hasta extinguir totalmente
el depósito. ¿A cuánto ascienden cada uno de estos nueve
retiros iguales?
 RESPUESTA $60l.96.
Ejercicio 49 EXAMEN (20 min)
 Calcule el valor futuro en el año 10, con i = 10% anual, para el flujo de
efectivo que se muestra a continuación.
Bibliografía
 Urbina, B., & Urbina, G. G. B. (2003). Fundamentos de
ingeniería económica. Mac Graw Hill.
 Sullivan, W. G., Wicks, E. M., & Luxhoj, J. T.
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(1991). Ingeniería económica (No. 658.15/B64eE).
McGraw-Hill.
 Urbina, B. (2001). Gabriel. Evaluación de proyectos. Mac
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Ingeniería económica 1

  • 1. Ingeniería Económica Dr. Leonardo Gabriel Hernández Landa
  • 2. OBJETIVOS  La ingeniería económica permite hacer un análisis y evaluación de proyectos utilizando herramientas financieras y a través de este estudio el alumno será capaz de aprender técnicas que le permitan evaluar proyectos de inversión y financiamiento en el desarrollo de su profesión como Ingeniero Industrial Administrador.
  • 4. Ingeniería Económica  La necesidad de la ingeniería económica se encuentra motivada principalmente por el trabajo que llevan a cabo los ingenieros al analizar, sintetizar y obtener conclusiones en proyectos de cualquier envergadura. En otras palabras, la ingeniería económica es un punto medular en la toma de decisiones.
  • 5.  Fundamentalmente la ingeniería económica implica formular, estimar y evaluar los resultados económicos cuando existan alternativas disponibles para llevar a cabo un propósito definido. Otra forma de definir la ingeniería económica consiste en describirla como un conjunto de técnicas matemáticas que simplifican las comparaciones económicas.
  • 6. Antecedentes del interés  Los registros revelan su existencia en Babilonia, en el año 2000 a.C. En su forma más primitiva, el interés se pagaba en compensación por usar granos y otros bienes que se prestaban.  La historia también revela que la idea del interés estaba tan arraigada, que ya en el año 575 a.C. existía una firma de banqueros internacionales, que tenía su casa matriz en Babilonia.
  • 7. Interés  El interés es la manifestación del valor del dinero en el tiempo. Desde una perspectiva de cálculo, el interés es la diferencia entre una cantidad final de dinero y la cantidad original. 𝐼𝑛𝑡𝑒𝑟é𝑠 = 𝑐𝑎𝑛𝑡𝑖𝑑𝑎𝑑 𝑞𝑢𝑒 𝑠𝑒 𝑑𝑒𝑏𝑒 𝑎ℎ𝑜𝑟𝑎 – 𝑐𝑎𝑛𝑡𝑖𝑑𝑎𝑑 𝑜𝑟𝑖𝑔𝑖𝑛𝑎𝑙
  • 8. Tasa de interés  Cuando el interés pagado con respecto a una unidad de tiempo específica se expresa como porcentaje de la suma original (principal), el resultado recibe el nombre de tasa de interés. 𝑻𝒂𝒔𝒂 𝒅𝒆 𝒊𝒏𝒕𝒆𝒓é𝒔 (%) = 𝒊𝒏𝒕𝒆𝒓é𝒔 𝒂𝒄𝒖𝒎𝒖𝒍𝒂𝒅𝒐 𝒆𝒏 𝒆𝒍 𝒕𝒊𝒆𝒎𝒑𝒐 𝑴𝒐𝒏𝒕𝒐 𝒐𝒓𝒊𝒈𝒊𝒏𝒂𝒍 × 𝟏𝟎𝟎% La unidad de tiempo de la tasa recibe el nombre de periodo de interés.
  • 9. Ejemplo  Un empleado solicita un préstamo de $10,000 el 1 de mayo y debe pagar un total de $10,700 exactamente un año después. Determine el interés y la tasa de interés pagada.  Solución El interés pagado. 𝐼𝑛𝑡𝑒𝑟é𝑠 = $10 700 – $10,000 = $700 La tasa de interés pagada durante un año. 𝑇𝑎𝑠𝑎 𝑑𝑒 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑟é𝑠 = $700/$10,000 × 100% = 7% 𝑎𝑛𝑢𝑎𝑙
  • 10. Interés simple  Se dice que el interés y la tasa correspondiente son simples si el interés total que se obtiene o se cobra es una proporción lineal de la cantidad inicial del préstamo, la tasa de interés y el número de periodos de interés por los que se hizo el préstamo. Siento I el interés tenemos que: 𝐼 = 𝑃 ∗ 𝑛 ∗ 𝑖  P cantidad principal que se da u obtiene en préstamo,  n número de periodos de interés (por ejemplo, años)  i tasa de interés por periodo.
  • 11. Ejemplo:  Si se prestan $1,000 durante tres años, a una tasa de interés simple del 10% anual, el interés que se obtiene sería de  𝑖 = 10% = 0.10  n= 3  𝑃 = 1,000 𝐼 = 1000 ∗ 3 ∗ 0.1 = 300
  • 12. Ejemplo  Pacific Telephone Credit Union otorgó un préstamo a un miembro del personal de ingeniería para que éste adquiriera un avión a escala dirigido por un radio controlador. El préstamo asciende a $1 000 por tres años con un interés simple de 5% anual. ¿Cuánto debe pagar el ingeniero al final de los tres años? Tabule los resultados.
  • 13. Ejercicio 1 (Lab)  Si las utilidades por cada acción de Ford Motor Company se incrementaron de 22 a 29 centavos en el trimestre entre abril y junio en comparación con el trimestre anterior, ¿cuál fue la tasa de incremento en las utilidades de dicho trimestre?
  • 14. Ejercicio 2 (Lab)  Una compañía que ofrece una gran variedad de servicios recibió un préstamo de $2 millones para adquirir equipo nuevo y pagó el monto principal del crédito más $275 000 de intereses después de un año. ¿Cuál fue la tasa de interés del préstamo?
  • 15. Ejercicio 3 (Lab)  Cierta empresa de ingeniería que diseña construcciones terminó el proyecto de un ducto por el que obtuvo una utilidad de $2.3 millones en un año. Si la cantidad de dinero que invirtió la compañía fue de $6 millones, ¿cuál fue la tasa de rendimiento de la inversión?
  • 16. Ejercicio 4 (Lab)  Una compañía química que comienza a operar se fijó la meta de obtener una tasa de rendimiento de al menos 35% anual sobre su inversión. Si la empresa adquirió $50 millones como capital de riesgo, ¿cuánto debe percibir en el primer año?
  • 17. Interés compuesto  En el caso del interés compuesto, el interés generado durante cada periodo de interés se calcula sobre el principal más el monto total del interés acumulado en todos los periodos anteriores. Así, el interés compuesto es un interés sobre el interés. También refleja el efecto del valor del dinero en el tiempo sobre el interés. El interés para un periodo ahora se calcula de la siguiente manera:  Interés = (principal + todos los intereses acumulados)(tasa de interés)
  • 18. Ejemplo  Un ingeniero solicita a la cooperativa de crédito de la empresa un préstamo de $1 000 con un interés anual compuesto de 5%. Calcule el adeudo total después de tres años. Elabore una gráfica y compare los resultados de este ejemplo y del anterior.
  • 19. Ejemplo  El efecto de la composición del interés se observa en la tabla siguiente, para un préstamo de $1,000 durante tres periodos, a una tasa de interés del 10% compuesto cada periodo.
  • 21. Notación  i tasa de interés efectivo por periodo de interés;  n número de periodos de capitalización;  P monto de dinero a valor presente; valor equivalente de uno o varios flujos de efectivo en un punto de referencia del tiempo, llamado presente;  F monto de dinero a valor futuro; valor equivalente de uno o varios flujos de efectivo en un punto de referencia del tiempo, llamado futuro;  A flujos de efectivo al final de periodo (o valores equivalentes de fin de periodo) en una serie uniforme para un número específico de periodos, desde el final del primer periodo hasta el último.
  • 22. Diagrama de flujo  El diagrama de flujo de efectivo emplea varias convenciones  1. La línea horizontal es una escala de tiempo, con el avance del tiempo de izquierda a derecha.  2. Las flechas significan flujos de efectivo y se colocan al final del periodo. Si fuera necesario hacer una distinción, las flechas que apuntan hacia abajo representan egresos (flujos de efectivo negativos o salidas de efectivo) y las flechas hacia arriba representan ingresos (flujos de efectivo positivos o entradas de efectivo).  3. Un diagrama de flujo de efectivo depende del punto de vista.
  • 23. Ejercicio 5 (Lab)  Dibuje un diagrama del flujo de efectivo para un préstamo de $10,500 con una tasa de interés del 12% anual durante un periodo de seis años.  ¿Qué cantidad de interés simple se pagará en una sola exhibición al final del sexto año?
  • 24. Recordando…  El efecto de la composición del interés se observa en la tabla siguiente, para un préstamo de $1,000 durante tres periodos, a una tasa de interés del 10% compuesto cada periodo.
  • 26. Formula interés compuesto  O bien si se tiene una tasa de interés constante podemos obtener el valor futuro acumulado (F) con la formula 𝐹 = 𝑃 1 + 𝑖 𝑛 Aplicando al ejemplo sería 𝐹 = 1000 1.1 3 = 1331
  • 27. Ejemplo  Suponga que solicita prestados $8,000 en este momento, y promete pagar el principal más los intereses que se acumulen dentro de cuatro años a un i 10% anual. ¿Cuánto pagará al final del cuarto año?
  • 28. Ejercicio 6(Lab.)  Un ingeniero industrial recibió un bono de $12 000 que desea invertir ahora. Quiere calcular el valor equivalente después de 24 años, cuando planea usar todo el dinero resultante como enganche o pago inicial de una casa de vacaciones en una isla. Suponga una tasa de retorno de 8% anual para cada uno de los 24 años. a) Determine la cantidad que puede pagar inicialmente, usando tanto la notación estándar como la fórmula de factor.
  • 29. Ejercicio 7 (Lab)  La empresa fabricante de carros Renault firmó un contrato de $75 millones con ABB de Zurich, Suiza, para automatizar las líneas de montaje del chasis, los talleres de ensamblado de la carrocería y los sistemas de control de línea. Si ABB recibirá el pago dentro de dos años (cuando los sistemas queden listos), ¿cuál es el valor actual del contrato con un interés de 18% anual?
  • 30. Ejercicio 8 (Lab)  Hewlett-Packard realizó un estudio que indica que $50 000 en la reducción de mantenimiento este año (es decir, año cero), en una línea de procesamiento, fue el resultado del mejoramiento de la tecnología de fabricación de circuitos integrados (CI), con base en diseños que cambian rápidamente.  a) Si Hewlett-Packard considera que este tipo de ahorro vale un 20% anual, encuentre el valor equivalente de este resultado después de 5 años.  b) Si el ahorro de $50 000 en mantenimiento ocurre ahora, calcule su valor equivalente 3 años antes con un interés de 20% anual.
  • 31. Ejercicio 9 (Lab.) Encuentre F en la gráfica dada una i=12%
  • 32. Ejercicio 10 (Lab)  Encuéntrese P en la gráfica , si la i = 5%.
  • 33. Ejercicio 11 (Lab.) Encuentre F en la gráfica dada una i=8%
  • 34. Ejercicio 12 (Lab)  Encuéntrese P en la gráfica , si la i = 10%.
  • 35. Ejercicio 13 (Lab)  2. Encuentre P en la gráfica, si la i = 7%.
  • 36. Ejercicio 14 (Lab.)  Cuánto interés deberá pagarse cada año sobre un préstamo de $2,000, si la tasa de interés es del 10% anual, y si la mitad del principal se pagará en una sola exhibición al final del año cuatro y la otra mitad se cubrirá en un solo pago al final del octavo año? ¿Cuánto se pagará de interés durante el periodo de ocho años?
  • 37. Ejercicio 15 (Lab.)  En México se anunciaba hace muchos años: "Invierta en Bonos del Ahorro Nacional, que duplican su valor a los 10 años". ¿Cuál era la tasa de interés anual que pagaban los BAN?
  • 38. Ejercicio 16 (Lab.)  ¿En cuantos periodo de tiempo se triplicará una inversión a una tasa de interés del 9%?
  • 39. Ejemplo  Una persona desea hacer un deposito inicial en un fondo de inversión, para que cada fin de año reciba $1000 durante los siguientes 5 años. ¿Cuanto debería depositar esta persona en total si se tiene una tasa de rendimiento de i=10%?
  • 42. Ejercicio 17, 18 y 19 (Lab.) 1. ¿Cuánto dinero debería destinarse para pagar ahora por $600 garantizados cada año durante 9 años, comenzando el próximo año, a una tasa de rendimiento de 16% anual? 2. Se vende un aparato eléctrico a crédito y bajo las siguientes condiciones: cubrir seis mensualidades iguales de $2215.170005 cada una, que se empezarán a pagar un mes después de hacer la compra. El interés que se cobra es de 3% mensual ¿Cuál es el precio de contado? 3. Suponga que usted hace 15 depósitos anuales de $1,000 cada uno en una cuenta bancaria que paga el 5% de interés por año. El primer depósito se hará dentro de un año a partir de hoy. ¿Cuánto dinero podrá retirar de su cuenta inmediatamente después del pago número 15?
  • 43. Ejercicio 21, 22 y 23(Lab.) 4. Formasa Plastics tiene grandes plantas de fabricación en Texas y Hong Kong. Su presidente quiere saber el valor futuro equivalente de una inversión de capital de $1 millón cada año durante 8 años, empezando un año a partir de ahora. El capital de Formasa gana a una tasa del 14% anual. 5. Si el día de hoy a cierta máquina se le ordena una reparación mayor, su producción se incrementaría un 20%, que se traduciría en un flujo de efectivo adicional de $20,000 al final de cada año durante cinco años. Si 𝑖 = 15% anual, ¿cuánto es razonable invertir para arreglar la máquina en cuestión? 6. Una estudiante emprendedora planea tener un ahorro personal por un total de $1,000,000 cuando se retire a los 65 años de edad. Ahora tiene 20 años. Si la tasa de interés anual en promedio será de 7% durante los próximos 45 años para su cuenta de ahorro, ¿qué cantidad igual debe ahorrar al final de cada año para cumplir su objetivo?
  • 44. Ejercicio 24 (Lab.)  Un aparato eléctrico que tiene un precio de contado de $12000 se compra a crédito bajo las siguientes condiciones: interés mensual de 3%, pago de seis mensualidades iguales, cubriendo la primera mensualidad al final del quinto mes después de hacer la compra, por lo que la última mensualidad se paga al final del décimo mes. Calcular el valor de cada una de las seis mensualidades.
  • 45. Ejercicio 25 (Lab.)  Se depositan $1000 cada mes durante los meses 1 al 6, en un banco que paga un interés de 2% mensual. Si no se retira dinero, ¿cuánto se acumulará en el banco al final del noveno mes?
  • 46. Ejercicio 26(Lab)  Una persona realiza seis depósitos de $1 000 en un banco que paga un interés de 2% mensual. Hace 3 depósitos al final de los meses 1,2 Y 3, pero suspende los pagos en los meses 4, 5 Y 6, Y efectúa los últimos tres depósitos al final de los meses 7,8 Y 9. Si no se retira dinero, ¿cuánto se acumulará en el banco al momento de hacer el último depósito al final del noveno mes?
  • 47. Ejercicio 27 (lab)  Encuentre A en la gráfica con una i = 8%.
  • 48. Ejercicio 28 (Lab)  Encuentre A en la gráfica con una i=9%
  • 49. Ejercicio 29 (Lab)  De los flujos de efectivo que aparecen en la gráfica, calcular el valor de P con un interés de 10% por periodo.
  • 50. Ejercicio 30 (Lab)  Encuéntrese F en la gráfica, donde i = 5%.
  • 51. Ejercicio 31 (lab)  Calcule B del siguiente diagrama de flujo, si i = 8%
  • 52. Ejercicio 32 (Lab)  Una empresa productora de válvulas de control de plástico tiene un fondo de $500 000 para reemplazo de equipo. Si la compañía gasta $75 000 por año en equipo nuevo, ¿cuántos años tomará reducir el fondo a menos de $75 000 con una tasa de interés de 10% anual?
  • 54. Ejemplo  Una compañía de ropa deportiva ha iniciado un programa para registrar su logo. Espera obtener ingresos de $80 000 por derechos el próximo año por la venta de su logo. Se espera que los ingresos por derechos se incrementen de manera uniforme hasta un nivel de $200 000 en 9 años. Determine el gradiente aritmético y construya el diagrama de flujo de efectivo.
  • 55. Respuesta Calcule el valor presente equivalente con i=10%
  • 56. Gradiente aritmético  Un gradiente aritmético es una serie de flujos de efectivo que aumenta o disminuye en una cantidad constante. Es decir, el flujo de efectivo, ya sea ingreso o desembolso, cambia por la misma cantidad aritmética cada periodo. La cantidad del aumento o de la disminución es el gradiente.
  • 57. Desarrollo de P/G 𝑃 = 𝐺(𝑃/𝐹, 𝑖, 2) + 2𝐺(𝑃/𝐹, 𝑖, 3) + 𝐺(𝑃/𝐹, 𝑖, 4) + ⋯ +[(𝑛 − 2)𝐺](𝑃/𝐹, 𝑖, 𝑛 − 1) + [(𝑛 − 1)𝐺](𝑃/𝐹, 𝑖, 𝑛) 𝑃 = 𝐺 1 1 − 𝑖 2 + 2 1 − 𝑖 3 + 3 1 − 𝑖 4 + ⋯ + 𝑛 − 2 1 − 𝑖 𝑛−1 + 𝑛 − 1 1 − 𝑖 𝑛 𝑃 1 + 𝑖 = 𝐺 1 1 − 𝑖 1 + 2 1 − 𝑖 2 + 3 1 − 𝑖 3 + ⋯ + 𝑛 − 2 1 − 𝑖 𝑛−2 + 𝑛 − 1 1 − 𝑖 𝑛 𝑖𝑃 = 𝐺 1 1 − 𝑖 1 + 1 1 − 𝑖 2 + ⋯ + 1 1 − 𝑖 𝑛−1 + 1 1 − 𝑖 𝑛 − 𝐺 𝑛 1 − 𝑖 𝑛
  • 58. Desarrollo de P/G 𝑖𝑃 = 𝐺 1 1 − 𝑖 1 + 1 1 − 𝑖 2 + ⋯ + 1 1 − 𝑖 𝑛−1 + 1 1 − 𝑖 𝑛 − 𝐺 𝑛 1 − 𝑖 𝑛 𝑃 = 𝐺 𝑖 1 + 𝑖 𝑛 − 1 𝑖 1 + 𝑖 𝑛 − 𝑛 1 + 𝑖 𝑛 (𝑃/𝐺, 𝑖, 𝑛) = 1 + 𝑖 𝑛 − 𝑖𝑛 − 1 𝑖2 1 + 𝑖 𝑛
  • 59. Serie anual A/G  La serie anual uniforme equivalente (valor A) de un gradiente aritmético G se calcula multiplicando el valor presente de la ecuación A/P. 𝐴 = 𝐺(𝑃/𝐺, 𝑖, 𝑛)(𝐴/𝑃, 𝑖, 𝑛) 𝐴 = (𝐴/𝐺, 𝑖, 𝑛) 𝐴 = 𝐺 𝑖 1 + 𝑖 𝑛 − 1 𝑖 1 + 𝑖 𝑛 − 𝑛 1 + 𝑖 𝑛 𝑖 1 + 𝑖 𝑛 1 + 𝑖 𝑛 − 1 𝐴 = 𝐺 1 𝑖 − 𝑛 1 + 𝑖 𝑛 − 1
  • 60. Ejemplo  Tres condados adyacentes en Florida acordaron emplear recursos fiscales ya destinados para remodelar los puentes mantenidos por el condado. En una junta reciente, los ingenieros de los condados estimaron que, al final del próximo año, se depositará un total de $500 000 en una cuenta para la reparación de los viejos puentes de seguridad dudosa que se encuentran en los tres condados. Además, estiman que los depósitos aumentarán en $100 000 por año durante 9 años a partir de ese momento, y luego cesarán. Determine las cantidades equivalentes de a) valor presente y de b) serie anual, si los fondos del condado ganan intereses a una tasa del 5% anual.
  • 61. Ejercicios 33 (Lab.)  Una persona depositó $100 en un banco al final del primer mes, y los depósitos sucesivos se incrementaron en $50 cada uno, es decir, en el segundo mes depositó $150, en el tercer mes depositó $200, etc. Si el banco paga a sus ahorradores un interés de 2% mensual, ¿cuánto habrá acumulado esta persona en el banco al momento de hacer el sexto depósito?
  • 62. Ejercicios 34(Lab.)  Calcule P en el siguiente diagrama utilizando exclusivamente fórmulas de gradiente y para una i = 10% por periodo.
  • 63. Ejercicios 35(Lab.)  Una persona pide $3 000 prestados y acuerda finiquitados en 4 pagos. El segundo pago será mayor que el primero por $200; el tercero será mayor que el segundo por $200 y el cuarto será mayor que el tercero también por $200. Si la i = 10%, ¿cuál es el valor del primer pago?
  • 64. Ejercicios 36(Lab.)  Los ingenieros del SeaWorld, una división de Busch Gardens, Inc., desarrollaron una innovación en un deporte acuático existente para hacerlo más excitante. La modificación cuesta sólo $8 000 y se espera que dure 6 años. Se espera que el costo de mantenimiento sea de $1 700 el primer año, y que aumente 11% anual en lo sucesivo. Determine el valor presente equivalente de la modificación y del costo de mantenimiento. La tasa de interés es de 8% anual.
  • 66. Ejercicio 37 (Lab.)  Una ingeniera industrial que planea su jubilación depositará 10% de su salario cada año en un fondo accionario de alta tecnología. Si este año su salario es de $180 000 (es decir, al final del año 1) y espera que se incremente 4% cada año, ¿cuál será el valor presente del fondo después de 15 años si rinde 7% anual?
  • 67. FACTORES PARA SERIES GRADIENTE GEOMÉTRICO  El flujo de efectivo, tales como los costos de operación, los costos de construcción y los ingresos, suelen aumentar o disminuir de un periodo a otro mediante un porcentaje constante. Esta tasa de cambio uniforme define una serie gradiente geométrico de flujos de efectivo. Añadimos un nuevo termino:  𝑔 = tasa de cambio constante, en forma decimal, mediante la cual las cantidades aumentan o disminuyen de un periodo al siguiente
  • 68.  La relación para determinar el valor presente total 𝑃𝑔 para toda la serie de flujo de efectivo se calcula como: 𝑃𝑔 = 𝐴1 1 + 𝑖 1 + 𝐴1(1 + 𝑔) 1 + 𝑖 2 + 𝐴1 1 + 𝑔 2 1 + 𝑖 3 + ⋯ + 𝐴1 1 + 𝑔 𝑛−1 1 + 𝑖 𝑛 𝑃𝑔 = 𝐴1 1 1 + 𝑖 1 + (1 + 𝑔) 1 + 𝑖 2 + 1 + 𝑔 2 1 + 𝑖 3 + ⋯ + 1 + 𝑔 𝑛−1 1 + 𝑖 𝑛 1 + 𝑔 1 + 𝑖 𝑃𝑔 = 𝐴1 (1 + 𝑔) 1 + 𝑖 2 + 1 + 𝑔 2 1 + 𝑖 3 + ⋯ + 1 + 𝑔 𝑛 1 + 𝑖 𝑛+1 𝑃𝑔 1 + 𝑔 1 + 𝑖 − 1 = 𝐴1 1 + 𝑔 𝑛 1 + 𝑖 𝑛+1 − 1 1 + 𝑖 1 𝑃𝑔 = 𝐴1 1 − 1 + 𝑔 1 + 𝑖 𝑛 𝑖 − 𝑔
  • 69. Ejercicios 38 (Lab.)  Considere la secuencia geométrica de flujos de efectivo de final de periodo de la figura, y determine los valores equivalentes de P. La tasa de incremento es del 20% por año después del primer año, y la tasa de interés es del 25% anual.
  • 70. Ejercicio 39 (Lab)  Los ingenieros del SeaWorld, una división de Busch Gardens, Inc., desarrollaron una innovación en un deporte acuático existente para hacerlo más excitante. La modificación cuesta sólo $8 000 y se espera que dure 6 años con un valor de salvamento de $1 300 para el mecanismo solenoide. Se espera que el costo de mantenimiento sea de $1 700 el primer año, y que aumente 11% anual en lo sucesivo. Determine el valor presente equivalente de la modificación y del costo de mantenimiento. La tasa de interés es de 8% anual.
  • 72. Tasas de interés  Hasta el momento hemos considerado los periodos independientes con un valor constante generalmente anual. En un alto porcentaje de los proyectos evaluados en la práctica por ingenieros profesionales, la tasa de interés compuesto se calcula con mayor frecuencia para periodos diferentes a un año; los periodos semestrales, trimestrales y mensuales son frecuentes.
  • 73. Tasas de interés menores a un año  en nuestras vidas personales, muchos de nuestros movimientos financieros —préstamos de todo tipo (hipotecas para vivienda, tarjetas de crédito, automóviles, muebles), cuentas de cheques y de ahorro, inversiones, planes de acciones, etcétera—, poseen tasas de interés compuesto para periodos menores de un año.
  • 74. Importancia tasas de interés nominal y efectiva  analizaremos las tasas de interés nominal y efectiva.  Comprender y emplear correctamente las tasas de interés efectivas es importante para la práctica de la ingeniería y de las finanzas personales  Los proyectos de ingeniería, se financian a través de deuda y de capital propio.  Los intereses por préstamos, hipotecas, bonos y acciones se basan en tasas de interés compuesto para periodos más frecuentes que un año.
  • 75. Tasa de interés nominal  La tasa de interés nominal, 𝑟, es una tasa de interés que no considera la capitalización de intereses. Por definición, 𝑟 = 𝑡𝑎𝑠𝑎 𝑑𝑒 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑟𝑒𝑠 𝑝𝑜𝑟 𝑝𝑒𝑟𝑖𝑜𝑑𝑜 × 𝑁ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑝𝑒𝑟𝑖𝑜𝑑𝑜𝑠  Una tasa nominal r puede fijarse para cualquier periodo: 1 año, 6 meses, 1 trimestre, 1 mes, 1 semana, 1 día, etcétera.
  • 76. ejemplo  Por ejemplo, la tasa nominal de r = 1.5% mensual es la misma que cada una de las siguientes tasas: Periodo Ecuación Resultado Dos años 1.5% × 24 𝑚𝑒𝑠𝑒𝑠 36% Anual 1.5% × 12 𝑚𝑒𝑠𝑒𝑠 18% Semestral 1.5% × 6 𝑚𝑒𝑠𝑒𝑠 9% Trimestral 1.5% × 3 𝑚𝑒𝑠𝑒𝑠 4.5% Mensual 1.5% × 1 𝑚𝑒𝑠𝑒𝑠 1.5% Semanal 1.5% × 0.231 𝑚𝑒𝑠𝑒𝑠 0.346%
  • 77. Ejercicio 40 (lab)  Si una institución financiera ofrece un préstamo con una tasa de interés semestral del 15%, Cuál es la tasa de interés nominal: 1. Anual 2. A 5 Años 3. Bimestral
  • 78. Tasa de interés efectiva  La tasa de interés efectiva es la tasa real aplicable a un periodo de tiempo establecido. La tasa de interés efectiva toma en cuenta la acumulación del interés durante el periodo de la tasa nominal correspondiente. Por lo general, se expresa como tasa anual efectiva 𝑖 𝑎, pero se puede utilizar cualquier periodo como base.
  • 79. Frecuencia de capitalización  4% anual, compuesto mensualmente  12% anual, compuesto trimestralmente  9% anual, compuesto diariamente  3% cuatrimestral, compuesto mensualmente  6% semestral, compuesto semanalmente  3% trimestral, compuesto diariamente
  • 80. Ejemplo  Jacki obtuvo una nueva tarjeta de crédito con un banco nacional (MBNA), con una tasa establecida de 18% anual y un periodo de composición mensual. Para un saldo de $1,000 al principio del año, calcule la tasa anual efectiva y el adeudo total al banco MBNA después de un año, tomando en cuenta el hecho de que no se efectúa ningún pago durante el año.
  • 81. TASAS DE INTERÉS EFECTIVAS ANUALES  𝑟 = tasa de interés nominal anual  𝑚 = número de periodos de capitalización o composición por año  𝑖 = tasa de interés efectiva por periodo de composición (PC) = 𝑟/𝑚  𝑖 𝑎 = tasa de interés efectiva anual
  • 82. Formula  Como en el caso del interés compuesto, una tasa de interés efectiva en cualquier punto del año incluye (capitaliza) la tasa de interés de todos los periodos de composición previos del año.  Por lo tanto, la deducción de una fórmula para la tasa de interés efectiva es semejante a la lógica que se sigue para establecer la relación del valor futuro 𝐹 = 𝑃 1 + 𝑖 𝑛 .  Entonces 𝐹 = 𝑃 1 + 𝑖 𝑎 𝑛 seria el valor después de un año.  Si en un año tenemos 𝑚 periodos de composición.
  • 84. Interés efectivo anual  Entonces 𝑃 1 − 𝑖 𝑎 = 𝑃 1 + 𝑖 𝑚 1 + 𝑖 𝑎 = 1 + 𝑖 𝑚 𝑖 𝑎 = 1 + 𝑖 𝑚 − 1  Así, la ecuación sirve para calcular la tasa de interés anual efectiva para cualquier número de periodos de composición cuando 𝑖 es la tasa para un periodo de composición.
  • 85. Exposiciones por equipos  El equipo preparará y expondrá el tema que le sea asignado:  Tema principal  Desarrollo  Ejemplos  Ejemplo de aplicación  Tiempo: 40 minutos
  • 86. Evaluación exposición Concepto Valor Presentación 20 Contenido 20 Desarrollo 30 Ejemplos 10 Caso práctico 20 TOTAL 100
  • 87. Temas de exposición Equipo Tema Libro 1 Contabilidad y su relación con la ingeniería económica DeDegarmo 2 Elementos conceptuales y preparación de un proyecto Evaluación de proyectos- Gabriel Baca 3 Estudio de Mercado Evaluación de proyectos- Gabriel Baca 4 Estudio Técnico Evaluación de proyectos- Gabriel Baca 5 Estudio Económico Evaluación de proyectos- Gabriel Baca 6 Depreciación DeDegarmo, Tarquin 7 Impuestos DeDegarmo, Tarquin 8 Efectos de la Inflación DeDegarmo, Tarquin 9 Financiamientos DeDegarmo, Tarquin
  • 88. Tabla de tasas de interés
  • 89. Ejercicio 41 (lab)  Una persona pide un préstamo de $10000 a un banco, por el que le cobran un interés de 24% anual. Asimismo, se establece que el capital deberá ser pagado al final de un año. Determinar la cantidad de dinero que acumula en el banco si:  a) El interés se paga una sola vez a fin de año.  b) El interés de 24% anual se paga en dos partes  c) El interés de 24% anual se cubre en cuatro partes iguales
  • 90. Ejercicio 42 (lab)  Una persona deposita $10000 en un banco que paga un interés de 12% anual. Desea hacer cinco retiros iguales al final de los años 1 al 5. Determine el valor de cada uno de los cinco retiros iguales, de forma que con el último retiro se agote totalmente el depósito, si  A)el interés se capitaliza semestralmente.  B)El interés se capitaliza mensualmente
  • 91. Ejercicio 43 (lab)  Se pide un préstamo de $2500 a un banco que cobra un interés de 9% anual capitalizado mensualmente. El préstamo deberá cubrirse en cinco pagos anuales iguales cada fin de año, que iniciarán un año después de recibir el préstamo. Calcule lo siguiente:  a) ¿A cuánto ascienden los pagos anuales?  b) ¿A cuánto ascienden estos pagos si la capitalización es semestral?
  • 92. Ejercicio 44 (lab)  El banco A paga un interés de 8% anual capitalizado semestralmente. El banco B paga 7.9% anual capitalizado mensualmente, y el banco C paga una tasa de 7.8% anual capitalizada diariamente. Si usted tiene $500 para invertir, ¿qué banco elegiría si el periodo de depósito es de al menos un año?
  • 93. Ejercicio 45 EXAMEN (10 min)  Una persona depositó $5000 en la institución A, que paga un interés de 10% capitalizado anualmente. También depositó $5000 en la institución B que paga 10% anual capitalizado mensualmente. a) ¿Cuánto dejó de ganar en el primer caso si el dinero permaneció en ambas instituciones por tres años? b) ¿Si dejó el dinero por 3.5 años?  R=a) $85.90; b) $430
  • 94. Ejercicio 46 EXAMEN (10 min)  En México existe la llamada Lotería Nacional, juego que consiste en que si se gana el premio mayor, por cada unidad monetaria que se apueste se recibirán 10000 a cambio. Una persona jugó $10 por semana durante muchos años y nunca obtuvo el premio mayor. Si se considera una tasa de interés de 18% anual capitalizada mensualmente, ¿cuánto tiempo sería necesario para que, si hubiera ahorrado todo ese dinero a la tasa mencionada en vez de jugar, la ganancia acumulada fuera igual a la del premio mayor?  R=20 años, 5 meses, 1 semana
  • 95. Ejercicio 47 EXAMEN (10 min)  Se depositan $12222 en un banco que paga un interés de 15% anual capitalizado cada mes. Si se estima que será necesario retirar $1 800 cada tres meses, ¿cuántos retiros de $1800 se podrán hacer hasta extinguir totalmente el depósito?  R=8
  • 96. Ejercicio 48 EXAMEN (20 min)  Del siguiente diagrama de flujo y con interés de 4% por periodo, determínese el valor de X: R=109
  • 97. Ejercicio 48 EXAMEN (20 min)  Se depositan $4000 en un banco que paga un interés de 18% anual capitalizado quincenalmente. El dinero permanece un año depositado, sin que se hagan retiros de capital ni intereses. A partir de la primera quincena del segundo año, que es la quincena 25 a partir del día en que se realizó el depósito inicial, se desean realizar nueve retiros iguales cada dos meses, hasta extinguir totalmente el depósito. ¿A cuánto ascienden cada uno de estos nueve retiros iguales?  RESPUESTA $60l.96.
  • 98. Ejercicio 49 EXAMEN (20 min)  Calcule el valor futuro en el año 10, con i = 10% anual, para el flujo de efectivo que se muestra a continuación.
  • 99. Bibliografía  Urbina, B., & Urbina, G. G. B. (2003). Fundamentos de ingeniería económica. Mac Graw Hill.  Sullivan, W. G., Wicks, E. M., & Luxhoj, J. T. (2004). Ingeniería económica de DeGarmo. Pearson Educación.  Blank, L. T., Tarquin, A. J., & Martínez, D. (1991). Ingeniería económica (No. 658.15/B64eE). McGraw-Hill.  Urbina, B. (2001). Gabriel. Evaluación de proyectos. Mac Graw Hill, 4ta Edición, México DF, 14-56.

Notas del editor

  1. $1,150
  2. 31.81%
  3. 13.75%
  4. 38.33%
  5. 460721.9 + 291321.78 = 752,043.69
  6. a) $7,026,072.25 b) $909,908.50
  7. 440.854
  8. Ra) $85.90; b) $430