1. &&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&
UNIVERSIDAD NACIONAL DEL CENTRO DEL
PERU
FACULTD DE PEDAGOGIA Y HUMANIDADES
UNIDAD DE POST GRADO
MAESTRÍA EN : EDUCACIÓN
MENCIÓN : EDUCACIÓN MATEMÁTICA
CATEDRA DE : SEMINARIO TALLER DE TESIS II
TEMA : TRABAJO DE INVESTIGACIÓN
MAESTRISTA : VÍCTOR ZENON MILLÁN PECHO
DOCENTE : MG. LUIS ERNESTO TAPIA LUJAN
SEMESTRE : II
HUANCAYO – PERÚ
2012
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2. UNIVERSIDAD NACIONAL DEL CENTRO DEL
PERU
FACULTAD DE EDUCACIÓN
ESCUELA POST GRADO
EFECTOS DEL ENFOQUE VECTORIAL EN EL
APRENDIZAJE DE LA GEOMETRIA ANALITICA
PLANA EN 5TO. DE SECUNDARIA.
INVESTIGACION EDUCATIVA PURA
TESIS
PARA OPTAR EL GRADO ACADÉMICO DE:
MAGÍSTER EN EDUCACIÓN
CON MENCIÓN EN:
EDUCACIÓN MATEMÁTICA
AUTOR
VÍCTOR ZENÓN MILLÁN PECHO
HUANCAYO - PERÚ
2012

3. ASESORES
MG. : MARTA CELINDA RIOS ZEA
Dr. : LUIS ERNESTO TAPIA LUJÁN

4. CAPITULO I
PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA EN ESTUDIO
1.1 DIAGNOSTICO DEL PROBLEMA
La educación en el Perú atraviesa por una grave crisis
económica, social, política, cultural y administrativa reflejándose entre
otros aspectos en la baja calidad de servicio educativo que brindan las
instituciones educativas públicas de los diversos niveles y modalidades.
Sin embrago al margen de la crisis la realidad socioeconómica
mundial y nacional, exigen a las instituciones educativas públicas, niveles
altos de calidad del servicio, sustentándose en la creatividad y
competitividad que deben ostentar los egresados de las instituciones
educativas.
El motivo que tuve para la elección de este tema es el hecho que, el
aprendizaje de la Geometría Analítica en los educandos de las diferentes
II.EE. estatales del nivel educativo de secundaria, tales como los
educandos de las II.EE “Politécnico Regional del Centro”” y “Virgen de
Fátima” de Huancayo es deficiente, escaso o simplemente no se enseña,
justificando tal afirmación en la encuesta aplicada a los profesores de
matemática del 5to. Grado de Educación Secundaria, por consiguiente el
nivel de aprendizaje es bajo por los diversos factores que intervienen en el
proceso de enseñanza-aprendizaje de la matemática razón por el que he
visto por conveniente abordar el cartel de capacidades y conocimientos y
la quinta unidad de aprendizaje de la programación curricular de
matemática del 5to. Grado de Educación Secundaria destinado al tema de

5. la geometría analítica, correspondiente al componente: Geometría y
medición.
En ese sentido quisiera que el planteamiento de este tema al alumno
tenga la mayor utilidad en el sentido de que puede ser perceptible, es así
que me dedicare a adecuar las nociones de la geometría analítica plana
para su mejor enseñanza, desarrollándola mediante la aplicación del
algebra vectorial, el cual permitirá que el educando del quinto grado de
educación secundaria cuente con la suficiente capacidad de análisis y
razonamiento lógico matemático bajo la intuición de ciertas características
y conexiones que presenta una determinada situación problemática con la
cuál, puede tener una concepción mas amplia de la matemática en
general.
1.2 FORMULACIÓN DEL PROBLEMA
El problema que motiva la presente investigación y los argumentos
antes mencionados se manifiesta al enseñar la Geometría Analítica en el
5to. Grado de Educación Secundaria de acuerdo a un mal enfoque que se
le da, pues el hecho de ubicar puntos en el plano cartesiano
relacionándolas con expresiones algebraicas lleva un mecanicismo en la
realización de operaciones matemáticas que resultan engorrosas y
dilatantes los cuales dejan de lado el desarrollo de la capacidad de
raciocinio lógico del educando dando como resultados deficiencias nocivas
para el desarrollo de una sólida formación lógico matemático.
El desarrollo bastante axiomático oculta a la perfección el
desarrollo de la estructura vectorial del espacio, por lo cual se presenta la
necesidad de replantear los contenidos de este tema de acuerdo a un
enfoque moderno y científico: La geometría analítica sobre las ideas
intuitivas que proporciona el algebra vectorial.

6. a) FORMULACIÓN DEL PROBLEMA GENERAL:
¿Cuáles son los efectos del enfoque vectorial en
el aprendizaje de la Geometría Analítica Plana?
b) FORMULACIÓN DE LOS PROBLEMAS
ESPECÍFICOS:
- ¿Cuál es el grado de capacidad de análisis y razonamiento
lógico matemático que un alumno del 5to. Grado de Educación
Secundaria pueda alcanzar con esta enseñanza?
- ¿Es factible que a través del aprendizaje de la geometría analítica
haciendo uso de técnicas vectoriales podamos promover un mejor
rendimiento escolar?
- ¿Es factible que mediante el enfoque vectorial en la enseñanza
de la geometría analítica plana podamos promover un mejor
aprendizaje?
1.3 FORMULACIÓN DE OBJETIVOS:
1.3.1 OBJETIVO GENERAL
-Determinar los efectos del enfoque vectorial en el aprendizaje de
la geometría analítica plana en el 5to. Grado de Educación
Secundaria – Huancayo.
1.3.2 OBJETIVOS ESPECÍFICOS
-Diseñar la efectividad del enfoque vectorial en el aprendizaje de la

7. geometría analítica plana en estudiantes del 5to. Grado de
Educación Secundaria – Huancayo.
-Aplicar el álgebra vectorial para promover el aprendizaje de la
geometría analítica plana en estudiantes del 5to. Secundaria–
Huancayo.
-Evaluar el grado de razonamiento lógico y analítico al enseñar los
vectores en el educando.
-Comparar los resultados que se obtienen del aprendizaje de la
geometría analítica en forma vectorial y cartesianamente.
-Diseñar el estilo de aprendizaje de la geometría analítica plana
mediante un enfoque vectorial en estudiantes del 5to. Grado de
Educación Secundaria – Huancayo.
1.4 IMPORTANCIA Y JUSTIFICACIÓN DEL ESTUDIO
A nivel de asignatura la finalidad de su desarrollo es la de
construir un recurso indispensable para la mejor comprensión y
transformación del mundo actual y para lograr una actitud adecuada a los
cambios que experimentan los conocimientos científicos y técnicos para
ponerse a la par con el estudio de la matemática en la actualidad.
La enseñanza de la geometría analítica mediante los vectores
permite estudiar la recta y las secciones cónicas en forma objetiva y
sencilla, cuya aplicación de estos conocimientos teóricos se hacen útiles
en la medición de la trayectoria de un proyectil, el movimiento de los
planetas, interpretar las graficas de ecuaciones, etc.
El contenido respecto a la enseñanza de la geometría analítica
hace su aparición en las programaciones curriculares de educación
secundaria hace poco tiempo y quisiera aprovechar esta introducción de
las matemáticas superiores para darle una aplicación moderna. Por ello
considero conveniente abordar el cartel de capacidades, conocimientos y
la quinta unidad de aprendizaje del programa curricular del 5to. Grado de

8. Educación Secundaria de las II.EE “Politécnico Regional del Centro”” y
“Virgen de Fátima” de la Provincia de Huancayo, destinado al tema de la
geometría analítica, correspondiente al componente: Geometría y
Medición. Intentare adecuar las nociones de la geometría analítica plana
para su mejor aprendizaje desarrollándola mediante la aplicación del
algebra vectorial, ya que:
“En la geometría analítica han resultado los espacios vectoriales
vectoriales como una simplificación no solo técnica y
denotación sino conceptual, ya que el calculo con vectores es
vectores es muy sencillo y se hace independiente de cualquier
sistema de coordenadas, por lo que se
adapta mejor a los problemas geométricos de la
geometría cartesiana” .
(1) RIOS, Sixto. “Algebra Lineal y Geometría Vectorial”,
Edic. Paraninfo, Madrid 1976.
Los vectores no solo constituyen una notación concisa y clara
para presentar las ecuaciones del modelo matemático de
las situaciones físicas y problemas geométricos, sino que,
además proporciona una ayuda inestimable en la formación
de imágenes mentales de los conceptos físicos y
geométricos.

9. CAPITULO II
MARCO TEORICO
2.1 ANTECEDENTES DE LA INVESTIGACIÓN
En la actualidad con regularidad encontramos un bajo
rendimiento académico en el área de matemática en los estudiantes del
nivel Secundario. Pues una serie de factores intervienen en el
rendimiento académico del área de matemática, como por ejemplo la
capacidad general para el aprendizaje, el bagaje de conocimientos, la
vocación, la autoestima y los hábitos de estudio.
La organización personal del alumno (Cómo estudiar, donde
estudiar, cuando estudiar, etc.), permite una buena calidad de
aprendizaje, esto quiere decir, un verdadero aprendizaje, el cual solo se
logrará mediante la comprensión de los conocimientos; para ello es
necesario que el estudiante tenga habilidades de estudio, es decir utilice
buenos métodos y técnicas de estudio. Así, un aprendizaje de calidad
propicia buenos estudiantes, por ende profesional de calidad y
competitivo.
Cabe señalar que el rendimiento académico también se encuentra
relacionada con la autoestima, ya que este factor permite la superación
personal, puesto que se encuentra ligada a todos las manifestaciones
humanas, la importancia de la autoestima radica en que de ser ésta
negativa, puede causar en el alumno, pérdida de confianza en sí mismo,
por lo tanto, conllevaría a un bajo rendimiento académico. Seguidamente

10. damos a conocer el proceso de investigación; mencionando por ultimo
nuestra hipótesis general: El programa experimental del aprendizaje de
la Geometría Analítica Plana mediante un enfoque vectorial, muestra su
efectividad al promover mejor aprendizaje en el alumno.
Las investigaciones que se realizaron en el campo de la
enseñanza aprendizaje de matemática son numerosas pero insuficientes,
la educación como ciencia activa y cambiante, debe adecuarse a acorde
al avance de la ciencia y la tecnología.
No existen muchos trabajos sobre la enseñanza de la geometría
analítica mediante un enfoque vectorial en base a textos asociados; sin
embargo se obtienen trabajos relacionados con el presente trabajo de
investigación. ´
2.1.1 A NIVEL NACIONAL:
 Monografía presentada por: MONTALVO G., Pablo y OSCANOA R.,
Florencia (UNCP., Facultad de P. y H., especialidad: Matemática –
Física, Huancayo 1981) “Los vectores en la Geometría y
trigonometría y su enseñanza aprendizaje en el III ciclo de EBR-
Huancayo, 1981”
OBJETIVOS:
Viendo la necesidad de desarrollar la educación al alcance de las
posibilidades de los educandos a fin de que tenga una visión amplia de los
vectores y para su mejor aplicación en la vida practica, nos permitimos
señalar los siguientes objetivos:
 Tener conocimiento y comprensión de los procesos, hechos y conceptos
de vectores en la matemática.
 Tener habilidad para calcular con precisión, seguridad y eficiencia en la
resolución de problemas y ejercicios.

11.  Emplear los conceptos y procesos vectoriales en la matemática para
descubrir nuevas generalizaciones y aplicaciones.
 Conocer y apreciar el papel que ocupa la matemática en la sociedad.
 Mostrar rasgos mentales, tales como creatividad, imaginación.
 Identificación y utilización raciona de los vectores.
 Tener base para estudios superiores en la física, geometría y
trigonometría.
 Formulación de nuevos ejercicios y problemas.
Los vectores desempeñan una función importante en la matemática y
por este mismo hecho, deben estar relacionados con ejemplos de la vida
práctica, es decir, aplicados en trabajos experimentales reales. Esto quiere
decir que el proceso enseñanza-aprendizaje dentro de la clase debe
llevarse a cabo con mucho sentido de realismo.
“En un seminario de organización de cooperación y desarrollo económico
(OCDE) realizado en Francia se encargo a un grupo de educadores y
matemáticos que hicieran recomendaciones a los países miembros sobre planes
de estudios reales y que sugieran posibles métodos de enseñanza, se sugirió
que en la enseñanza de la geometría se hiciera uso de los vectores”.
CONCLUSIONES:
 El estudio fundamental de los vectores es introducir conceptos básicos en
la enseñanza-aprendizaje de diversos temas de la matemática moderna,
física y otras ciencias a fines dado su gran importancia.
 El movimiento o desplazamiento de personas u objetos y el empleo de
materiales didácticos, determinan que los educandos elaboren sus propios
conceptos vectoriales y algunas propiedades aplicadas a su realidad.
 Consideramos que los métodos a emplearse en la enseñanza de los
vectores es de libre albedrio y capacidad de los profesores, quienes
adoptan en el mejor logro del aprendizaje de sus alumnos.
 La metodología vectorial es genérica y de fácil manejo en la enseñanza de
la geometría y la trigonometría.

12.  HUAYTAN S., Luis y VARGAS N., Manuel (I.S.P.”TP”, Chupaca,
Especialidad: Matemática 1993) “Efectos de la enseñanza de la
Geometría Analítica Plana mediante el algebra vectorial en el 5to.
Grado de Educación Secundaria”.
OBJETIVOS:
 Experimentar los efectos de la enseñanza-aprendizaje de la geometría
analítica plana mediante el algebra vectorial.
 Determinar si se logra elevar la efectividad del aprendizaje de la geometría
analítica plana en estudiantes del 5to. grado de educación secundaria
mediante la aplicación del algebra vectorial.
 Elaborar y aplicar el algebra vectorial para promover el aprendizaje de la
geometría analítica.
 Identificar el grado de razonamiento lógico y analítico al enseñar los
vectores en el educando.
 Comparar los resultados que se obtienen de la enseñanza de la geometría
analítica en forma vectorial y cartesianamente.
MÉTODOS:
Método general:
En el desarrollo del trabajo se ha utilizado el método científico, con sus
respetivos procedimientos.
Método especifico:
Se hace uso del método experimental.
A nivel de asignatura la finalidad de su desarrollo es la de constituir un
recurso indispensable para la mejor comprensión y transformación el mundo
actual y para lograr una actitud adecuada a los cambios que experimentan
los conocimientos científicos y técnicos para ponerse a la par con el estudio
de la matemática en la actualidad. La enseñanza de la geometría analítica

13. plana mediante los vectores permite estudiar la recta y las secciones cónicas
en forma objetiva y sencilla, cuya aplicación de estos conocimientos teóricos
se hacen útiles en la medición de la trayectoria de un proyectil, el movimiento
de los planetas, interpretar las graficas de ecuaciones, etc.
“En la geometría analítica han resultado los espacios vectoriales como una
simplificación no solo técnica y de notación sino conceptual, ya que el calculo
con vectores es muy sencillo y se hace independiente de cualquier sistema
de coordenadas, por lo que se adapta mejor a los problemas geométricos de
la geometría cartesiana”.
Los vectores proporcionan una ayuda inestimable en la formación de
imágenes mentales de los conceptos físicos y geométricos.
CONCLUSIONES:
 El aprovechamiento escolar en matemática de los alumnos del grupo
experimental se a incrementado en la aplicación de la enseñanza vectorial de
la geometría analítica, habiéndose observado ganancias entre la aplicación
del pre test y del post test.
 La aplicación de vectores en la geometría analítica cobra importancia en el
educando hacia el conocimiento de nuevos temas de la matemática y física.
 Las puntuaciones medias obtenidas en el post test demuestran una ganancia
significativa entre el grupo experimental y el de control reflejando en la razón
crítica; significado estadístico que prueba la efectividad de adaptación del
educando en el proceso de aprendizaje de los vectores en la geometría
analítica.
 Se registra zonas en las cuales los resultados son contradictorios debido a
que no se presenta en el alumno una concepción real de lo que es el vector.
 AGUILAR R., Ismael y SALAS C., Jorge (UNCP., Facultad de P. y H.,
especialidad: Matemática – Física, Huancayo 1975)

14. OBJETIVOS:
Para determinar el objetivo de nuestro trabajo y que este de acorde
con el plan presentado, es esencial exponer que un plan es una pieza de
trabajo creador, es una guía de acción para el futuro, una guía que
comprende, problemas y actividades.
 Lograr desarrollar capacidades generales, desarrollar cualidades de
veracidad, corrección, de cooperar con los compañeros o amigos, por
otra parte, el deseo de aprender a nuestro criterio, el éxito en el alcance
de los objetivos para la enseñanza de los vectores en la geometría
orientada a la educación secundaria.
 Mejorar la enseñanza, acelerar el aprendizaje, enriquecer el currículum,
poner un mayor énfasis en la instrucción independiente de los
estudiantes.
 Elección de nuevos procedimientos más simples y eficientes ayudara a
elevar la imagen del maestro.
CONCLUSIÓN:
 El inicio de la enseñanza de los vectores dentro de la geometría es practico,
para despertar el interés del educando, el estimulo que favorece su
progreso y aprovechar el valor formativo de esta materia.
LA TÉCNICA ESTADÍSTICA: Considerado con el fin de recopilar, organizar,
presentar, analizar e interpretar datos.
EL MÉTODO EXPERIMENTAL: Por que se va hacer uso de la aplicación del
experimento para la obtención de resultados.
2.1.2 A NIVEL INTERNACIONAL:
 MATA PEREZ, Filiberto( 2006), investigación realizada en el Instituto
Politécnico Nacional Centro de investigación en Ciencia Aplicada y
Tecnología Avanzada del IPN, (México, noviembre de 2006):

15. “Análisis sobre el Razonamiento en el aprendizaje de los conceptos de
la Geometría Analítica: el caso particular de las secciones cónicas
aplicando el modelo de Van Hiele”
OBJETIVO:
 Analizar el proceso de razonamiento-comprensión de los estudiantes en
el acto de aprendizaje de las secciones cónicas (circunferencia, parábola,
elipse e hipérbola).
MÉTODO:
 Con el propósito de responder a las preguntas de investigación planteadas
con anterioridad, ser coherentes con el objetivo y contar con elementos
sobre nuestro supuesto de investigación, se decidió seleccionar un método
no experimental.
Este tipo de métodos están clasificados por su dimensión temporal, número
de momentos o puntos de tiempo en los cuales se recolectan los datos.
Este método de investigación ha sido diseñado principalmente para
aquellos investigadores que desean analizar cambios a través del tiempo en
determinadas categorías, conceptos, sucesos, eventos, variables, contextos
o comunidades.
Este tipo de investigaciones recolectan datos a través del tiempo en
puntos o periodos, para hacer inferencias con respecto al cambio, sus
determinantes y consecuencias. Tales puntos o periodos por lo común se
especifican de antemano y se van determinando conforme avanza el
estudio en el enfoque cualitativo. Los diseños de este tipo de investigación
se dividen en tres tipos: diseños de tendencias, diseños de análisis
evolutivo de grupos y diseños de panel.
Van Hiele ha escrito en su tesis respecto a la instrucción del
estudiante lo siguiente:

16. “La maduración que lleva al estudiante a un nivel superior tiene lugar de
una forma especial. Se pueden revelar varias fases en ella (esta
maduración debe considerarse, por encima de todo, como un proceso de
aprendizaje y no como una maduración de tipo biológico). Por tanto, es
posible y deseable que el profesor ayude y acelere. El objetivo del arte de
enseñar es precisamente enfrentarse a la cuestión de saber cómo se pasa
a través de estas fases y cómo se puede ayudar al estudiante de forma
eficaz”.
CONCLUSIÓN:
 A manera de primer conclusión establecemos que a través de la aplicación
de las actividades dentro de los niveles de compresión-razonamiento
diseñadas en base a las fases de aprendizaje del modelo Van Hiele, los
estudiantes del nivel medio superior pueden llegar a reconocer las cónicas
en los términos en que se establece en la teoría, como se ha mostrado en
el análisis de las experiencias .
2.2 ANTECEDENTES HISTORICOS DE LOS VECTORES.
Escribir esta historia desde el punto de vista en que nos situamos,
seria, una tarea tan importante como difícil, y debemos contentarnos con
algunas indicaciones bastante concisas.
Así “la palabra vector se deriva del latín vehere-vectus, que significa
llevar, transportar”, el vector, si bien ya era utilizado en la composición de
fuerzas y velocidades por los trataristas en mecánica desde fines del siglo
XVII, no tuvo repercusión entre los matemáticos.
“El antecesor del vector es el cuaternion que es un
número complejo que puede expresarse como un conjunto y este conjunto

17. a su vez estaba formado por dos partes, una parte real y una parte
imaginaria y que solo indican una dirección”.
William Hamilton.
“La palabra vector, viene del latín vector, vectoris y este a su de veho,
verbo que significa el que acarrea, el que conduce, el que transporta”. En
geometría se usa para definir una magnitud”.
Diccionario etimológico.
Entendemos que Rene Descartes (1596 – 1650), al
descubrir el sistema de coordenadas había dado un paso para su
representación geométrica, aunque el ignoraba de los vectores; pero a fines
del siglo XVIII y el siglo XIX denominado la edad de oro de la matemática
debido a las innovaciones vertiginosas registradas, surgen, pues nuevas
figuras que dieron un transcendental avance en la matemática.
Fue así que Federico Gauss (1775-1855) considera la
suma de vectores en forma implícita, mientras que Billavitis “desarrolla en
la geometría elemental con el nombre de “Método de equipolentes” un
conjunto de operaciones con magnitudes dirigidas que equivale al calculo
vectorial de hoy.
Posteriormente, el matemático y astrónomo Sir William R.
Hamillton (1815-1885). “El Padre del Algebra Moderna”, llamado así por
que contribuyo y enriqueció el algebra. Este estudioso elabora, pues, un
algebra de números complejos basado en los pares ordenados de ternas y
cuaternas, este ultimo o conmutativo.
Al mismo tiempo, Mobius da una versión del “Calculo
Baricentro” adoptado a las necesidades de la Geometría proyectiva,
mientras que Arthur Cayley desarrollaba sus estudios de vectores en varias
dimensiones hasta n = 8; por su parte el matemático alemán Hermann G.

18. Grassmann (1809-1877) prolongo el estudio de los números complejos a la
n-adas ordenadas de números reales generalizando así los estudios de
Hamilton para luego quedar en el olvido. Grassmann construyo un basto
edificio algebraico - geométrico basándose en una construcción geométrica
o “intrínseco” del espacio vectorial de “n dimensiones”. Pero son sobre todo
la multiplicación exterior de los vectores e interior de los “multivectores” los
que les proporcionan las herramientas por medio de los cuales trata
fácilmente los problemas del algebra lineal propiamente dicha, en primer
lugar y luego lo relacionados con la estructura euclidiana es decir, con la
ortogonalidad de vectores.
Mientras que por un lado los vectores y sus sucesores los
tensores, con el auxilio de los recursos del análisis matemático, encuentran
importantes aplicaciones en diversos campos de la física.
En este sentido cabe señalar las obras del ingles Hamilton
y de Grassmann.
“Hamilton fue un sabio múltiple que destaco en la
astronomía, física y matemática se ocupo de los vectores y nombre de
estos es invención suya, fue el creador del calculo vectorial”. (2)
Aunque el estudio matemático de los vectores tardo
mucho en hacerse formalmente, en la actualidad tiene un gran interés,
sobre todo a partir de los estudios de David Hilbert (1862-1943) y Stefan
Banach (1892-1945), que hicieron uso de la teoría de espacios vectoriales,
aplicándolas a las técnicas de análisis matemático.
Peano, uno de los creadores del Método Axiomático y fue
uno de los primeros matemáticos en apreciar todo el valor de las obras de
Grassmann, dio ya en 1888, la definición axiomática de los espacios
vectoriales sobre el cuerpo de los reales y con una notación completamente
moderna, la de las aplicaciones lineales de un espacio vectorial en otro.

19. Recién en 1947 se aplicaron en la Teoría de la Relatividad
donde se dieron cuenta de la significación e importancia de los vectores,
siendo el norteamericano Josiahw Gibbs (1829-1903) y el inglés Oliver
Heaviside (1885-1925) quienes impulsaron y crearon el análisis vectorial.
Es así como el estudio de los vectores ha ido
evolucionando y enriqueciendo su estudio, ya que se hace más profundo
cuando se trata de espacios vectoriales en “n” dimensiones y la estructura
vectorial.
(2) BALBINI J. “Historia de las ideas modernas en matemática”.
Editorial Dtpto. De asuntos cientif. Unión Panamericana-Bs. As. 1967.
Pp. 73.
2.2.1 OBJETIVOS Y FINES DE LA ENSEÑANZA DE LOS
VECTORES
a) OBJETIVOS:
Para determinar el objetivo de nuestro trabajo y que este
acorde con el plan presentado es esencial exponer, que se
constituye esta una pieza de trabajo creador, es una guía de acción
para el futuro, una guía que comprende, problemas de actividades.
Es conveniente entonces comprender lo que en el
planteamiento puede ayudar a cualquier maestro, a la orientación
de los alumnos, ya sea el de menor rendimiento o el mas destacado
en la clase, las aptitudes e intereses especiales.
Teniendo estas pautas como precedentes para nuestra labor
podemos enfocar que, nuestra aspiración es lograr desarrollar

20. capacidades generales, desarrollar cualidades de veracidad,
corrección, de cooperar con los compañeros y amigos, por otra
parte, el deseo de aprender y a mi criterio, el éxito en el pronostico
y el éxito en el alcance de los objetivos para la enseñanza de los
vectores en la geometría analítica orientada a la Educación
Secundaria.
Esta dependerá mucho de nuestra inspiración de como
guiar y animar a los estudiantes, no dejando de lado nuestra
personalidad y dedicación en el estudio, el planteamiento regular de
lecciones apropiadas, contribuirá en gran parte asegurar el éxito.
Los cambios estarán destinaos a mejorar la
enseñanza, acelerar el aprendizaje, enriquecer el curriculum,
poner un mayor énfasis en la instrucción individualizada de los
estudiantes.
No solo serán las experiencias de la enseñanza de los
vectores una prueba para mejorar el proceso educativo, sino
que también crecerá la opinión de que un efectivo aprendizaje
dependerá de una radical revisión de la imagen de los
educadores ante la opinión pública.
La elección de nuevos procedimientos más simples e
eficientes ayudara a elevar la imagen metodológica del maestro.
b) FINES
El aprendizaje de los vectores permite en los alumnos
desarrollar el lenguaje geométrico en el que se expresan los
resultados del análisis mediante los cuales es posible darles una
generalidad, como parte integral de un fin formativo. Preparándolo
para poder pensar y razonar frente a los problemas y ejercicios que

21. se les presentan, dándole además una capacidad de relacionar con
las demás disciplinas.
Por consiguiente, debemos adoptar como meta general
para la enseñanza de las ciencias, el dominio de estas disciplinas
que puede ser necesaria para todo ciudadano culto, tanto para sus
necesidades individuales como para los de la sociedad de la cual
forma parte.
2.2.2 LOS VECTORES COMO TECNICA DE ENSEÑANZA
En el campo de la enseñanza aprendizaje, así como en cualquier
otro campo de las actividades científicas y filosóficas se requieren, de
una técnica apropiada para el logro de los propósitos trazados.
En la enseñanza de la matemática se emplean procedimientos
diversos de acuerdo a la naturaleza del tema, realidad de los
estudiantes y del medio social en el cual se lleva dicho proceso y, de
esta manera contribuir eficientemente a la formación integral de la
personalidad de los futuros miembros de la sociedad, quienes serán
capaces, de crear valores para el desarrollo de la sociedad.
a) VECTORES
Un vector es todo segmento de recta dirigido en el
espacio. Cada vector posee unas características que son: origen,
modulo, dirección y sentido. (Leibniz-1705)

22. b) APRENDIZAJE
Academia Española de la Lengua)
 “Un cambio en la disposición o capacidad de las personas que puede
retenerse y no es atribuible simplemente “Acción y efecto de aprender
algún arte, oficio u otra cosa” (Real al proceso de crecimiento” Gagné
(1965:5)
 “El proceso en virtud del cual una actividad se origina o cambia a través
de la reacción a una situación encontrada, con tal que las características
del cambio registrado en la actividad no puedan explicarse con
fundamento en las tendencias innatas de respuesta, la maduración o
estados transitorios del organismo (por ejemplo: la fatiga, las drogas,
entre otras)”. Hilgard (1979)
 “Los procesos subjetivos de captación, incorporación, retención y
utilización de la información que el individuo recibe en su intercambio
continuo con el medio”. Pérez Gómez (1988).
 “El aprendizaje se ocupa básicamente de tres dimensiones: como
constructo teórico, como tarea del alumno y como tarea de los
profesores, esto es, el conjunto de factores que pueden intervenir sobre
el aprendizaje”. Zabalza (1991:174)
 El aprendizaje como producto, que pone en relieve el resultado final o
el desenlace de la experiencia del aprendizaje. El aprendizaje como
proceso, que destaca lo que sucede en el curso de la experiencia de
aprendizaje para posteriormente obtener un producto de lo aprendido. El

23. aprendizaje como función, que realza ciertos aspectos críticos del
aprendizaje, como la motivación, la retención, la transferencia que
presumiblemente hacen posibles cambios de conducta en el aprendizaje
humano. Knowles y otros (2001:15)
2.2.3 LA APLICACIÓN DE LOS VECTORES EN LA GEOMETRÍA
Las relaciones establecidas para los vectores en R constituyen
instrumentos de singular importancia para el tratamiento de ciertos
conceptos de la geometría elemental. Algunas veces una apropiada
aplicación de métodos vectoriales facilitara la interpretación y
demostración de proposiciones geométricas. (3) DIENES, Zoltan “La
potencia de la Matemática”. Editorial Estrada, Bs. As., 1ra. Edición,
1971, pág. 12.
2.2.4 LA APLICACIÓN DE LOS VECTORES EN LA FÍSICA
El empleo de los vectores en la física es frecuente al tratar; la
fuerza, la aceleración y la velocidad los cuales se representan mediante
los vectores en la que la dirección del vector esta dada por la dirección
de la cantidad física, en tanto que la magnitud del vector es igual a la
magnitud física, en las unidades empleadas.
2.2.5 APLICACIÓN DE LOS VECTORES EN LA GEOMETRIA
ANALITICA
La geometría Euclidiana plana sobre una base analítica
(geometría analítica) en donde los puntos no son objetos indefinidos, ya

24. que en la geometría analítica los puntos y las rectas del plano son
objetos que están definidos en términos de números reales llamados
“coordenadas”.
En la recta numérica podemos identificar (espacio unidimensional)
con los números reales. Luego los puntos en el plano (espacio
bidimensional pueden relacionarse con pares ordenados de números
reales, a su vez pueden extenderse a espacios de tres dimensiones,
cuatro dimensiones, “n” dimensiones, e incluso a espacios de infinitas
dimensiones. (4) HASSER, LA SALLE, “Análisis Matemático” (Vol. 1).
Edit. Trillas, México 1974.
2.2.6 ALGEBRA DE LOS VECTORES EN R2 (ESPACIO
BIDIMENSIONAL)
a) PAR ORDENADO
Un par ordenado es un conjunto formado por dos elementos y
un criterio de ordenación establece cual es la primera componente y
cual es la segunda. Así en el par ordenado (a, b)
a: Primera componente
b: Segunda componente
b) PRODUCTO CARTESIANO DE DOS CONJUNTOS
Dados dos conjuntos se llama producto cartesiano
y esta conformado por el conjunto de pares ordenados ,
tales que a pertenece a A y b pertenece a B
Ejemplos:
Si
{ }

25. c) SISTEMA DE CORDENADAS CARTESIANAS
Se llama sistema de coordenadas cartesianas ala unión de
cada par ordenado (a, b) que pertenece a con un solo punto P
del plano , es decir :
Un conjunto de pares ordenados de números reales que son
elementos del producto cartesiano el cual se denota por
{ ⁄ }
Y
4
3
2
1
0 1 2 3 4 X
Dos rectas numéricas reales que se intersectan
perpendicularmente separan al plano en cuatro regiones llamadas
cuadrantes, las rectas numéricas se llama ejes coordenados , donde
la recta horizontal se llama eje x o eje de las abscisas y la recta
vertical se llama eje “Y” u ordenada. El punto de intersección de los
ejes se llama origen de coordenadas.
d) COORDENADA CARTESIANA
Se llama coordenada cartesiana a cualquier par ordenado
cartesiana a cualquier par ordenado de números reales (a, b) al que

26. se hace corresponder un punto y solo un punto P que es la grafica
de (a, b) y que ala vez indica la posición de este en el plano
cartesiano así en la figura 3 se tiene los puntos
e) CONCEPTO DE UN VECTOR Y DE UN ESCALAR
Un vector en el plano es un par ordenado de números reales
(x ,y), donde “x” recibe el nombre de primera componente y “y”
segunda componente . a los vectores en el plano se les denota por
letras minúsculas o mayúsculas con una flecha en la parte
superior en la parte superior por ejemplo : ⃗⃗ ⃗ ⃗ ⃗ etc.
Dado los vectores en V2: a = ( X1, X1 ) Y b = ( X2, X2) ,
Podemos definir:
X1 = X2
i) Si a = b
Y1 = Y2 (Igualdad de vectores)
ii) a + b = ( X1 + X2 , Y1 + Y2 )
iii) r . a = ( r. X1 , r.Y2 )
Escalar: Un escalar r es un número real.
f) REPRESENTACIÓN GEOMÉTRICA DE UN VECTOR EN EL
PLANO

Geométricamente un vector V =(x, y), se representa en el plano
mediante u segmento de recta dirigida o una flecha, la flecha se

27. llama VECTOR GEOMÉTRICO. Un vector V R2 puede
interpretarse como una traslación descrita por un par ordenado de
números reales (x, y) la primera componente indica un
desplazamiento paralelo al eje x y la segunda al eje “y”.
Considerando que una traslación tiene un punto inicial o de
partida S del plano, y un punto final o de llegada en T, cada vector

V =(x, y) tiene un numero infinito de representaciones geométricas
en el plano, todas ellas son paralelas, de igual sentido y de longitud.
La flecha asociada al par (x, y) que tiene un punto inicial en el
origen se denomina representación ordinaria de (x, y) y se dice que
la flecha o vector tiene posición ordinaria estándar.
g) VECTOR POSICIÓN
Un vector de posición en R2 es una pareja de puntos que se
indica con P1 P2 para los cuales P1 es el punto de partida o inicial y
P2 es el punto de llegada final .Si una flecha tiene como punto inicial
a P1= (x1 y1) y a P2 = (x2, y2) como punto final, entonces la flecha

P1 P2 es una representación geométrica del vector V =(x, y) donde:
P1 P2 = (x, y)= (x2 –x1, y2 –y1)
Si consideramos a los puntos P 1P2 como radios vectores
entonces según lo mencionado tenemos:

V = P1P2= P2 – P1 P = P + V

28. h) MAGNITUD O LONGITUD DE UN VECTOR
Para cada vector V ϵ R2, V = (X, Y), existe un escalar o numero
llamado norma, modulo, longitud o magnitud de V denotado por: ‖ V ‖
tal que:
‖ V ‖ = X 2 Y2
i) DIRECCIÓN DE UN VECTOR
A cada vector no nulo, V = ( X, Y ) le corresponde una dirección
dada por la medida del ángulo α (ángulo de inclinación de V), que
forma el vector con el semi-eje positivo de las X para el cual.
V = (X, Y) = ‖ V ‖ (cosα, senα)
2.3 LA ENSEÑANZA Y APRENDIZAJE DE LOS VECTORES
2.3.1 LOS MÉTODOS Y SUS CARACTERISTICAS EN EL
PROCESO ENSEÑANZA APRENDIZAJE.
El empleo del método esta condicionado a la naturaleza del
tema, a la amplitud de los estudiantes, a los recursos de la I.E., al
nivel socio cultural del educando y el medio en el cual se actúa
pedagógicamente.
a) EL MÉTODO AXIOMÁTICO
Este método es un verdadero instrumento que permite
sistematizar el cuerpo de conocimientos de la matemática mediante

29. la selección de conceptos básicos y el establecimiento de sus
relaciones fundamentales de las cuales derivan la definición, los
conceptos y, por deducción los teoremas. Este método es empleado,
como de exposición del curso en diferentes etapas de la enseñanza y
como objeto de estudio.
A través de este método los contenidos matemáticos son
sometidos a la experiencia directa del educando mediante la
actividad, la concepción por si sola a través de los sentidos de las
cosas, y es así como el alumno adquirirá el concepto, primero
vagamente y apenas esbozado, después mas preciso, mas
consistente, mas claro y obtendrá su sentido universal.
b) MÉTODO HEURISTICO
El empleo de este método conduce al alumno a la búsqueda
de la verdad mediante el trabajo investigatorio, pues la palabra
heurístico significa precisamente investigación. El alumno, mediante
este método, busca, investiga, descubre la verdad matemática bajo a
orientación del profesor. Aquí el educando trabaja con cierta
independencia y espontaneidad en la búsqueda de la verdad
científica, comprobable por cierto, con la intervención del profesor.
c) MÉTODO DESCRIPTIVO Y CONSTRUCTIVO
Mediante este método se pate de lo concreto, de objeto
mismo observándolo como tal, con atención y por medio de ella
poder llegar a la abstracción, a la definición. Lo que nos interesa aquí
es que el alumno, siguiendo esta metodología, llegue por su solo
esfuerzo a la definición sin que ningún concepto le sea impuesto,
sintetizando un cierto número de observaciones de experiencias para
captar una o algunas propiedades fundamentales.

30. 2.3.2 DEFINICIÓN DE TÉRMINOS:
VECTOR.-
“la palabra vector se deriva del latín vehere-vectus, que significa
llevar, transportar”, el vector, si bien ya era utilizado en la
composición de fuerzas y velocidades por los trataristas en mecánica
desde fines del siglo XVII, no tuvo repercusión entre los matemáticos.
“El antecesor del vector es el cuaternion que es un
número complejo que puede expresarse como un conjunto y este
este conjunto a su vez estaba formado por dos partes, una parte real
y una parte imaginaria y que solo indican una dirección”.
William Hamilton.
“La palabra vector, viene del latín vector, vectoris y este a su de
veho, verbo que significa el que acarrea, el que conduce, el que
transporta”. En geometría se usa para definir una magnitud.
Diccionario etimológico.
Un vector es todo segmento de recta dirigido en el
espacio. Cada vector posee unas características que son:
origen, modulo, dirección y sentido.(Leibniz-1705).
PAR ORDENADO.-
Un par ordenado es un conjunto formado por dos elementos y
un criterio de ordenación establece cual es la primera componente y
cual es la segunda. Así en el par ordenado (a, b)
a: Primera componen
b: Segunda componente

31. PRODUCTO CARTESIANO DE DOS CONJUNTOS.-
Dado dos conjuntos A y B, AxB se llama producto cartesiano
y esta conformado por el conjunto de pares ordenados (a, b), tales que
“a” pertenece a A y “b” pertenece a B.
Ejemplo:
Si A = 2;3;5 y B =  ;3
1
AxB = 2;1, 2;3, 3;1, 3;35;1, 5;3
SISTEMA DE COORDENADAS CARTESIANAS.-
Se llama sistema de coordenadas cartesianas a la unión de cada
par ordenado (a, b) que pertenece a R 2 con un solo punto P del plano,
es decir:
Un conjunto de pares ordenados A x B se puede visualizar como una
red de puntos. Como los pares ordenados de números reales que son
elementos del producto cartesiano R x R el cual se denota por R 2.
R2 = R x R = a, b / a  R, b  R
Dos rectas numéricas reales que se intersecan
perpendicularmente separan al plano en cuatro regiones llamadas
cuadrantes. Las rectas numéricas se llama ejes coordenadas, donde la
recta horizontal se llama eje “X” o eje de las abscisas y la recta vertical
se llama eje “Y” u ordenada. El punto de intersección de los ejes se
llama origen de coordenadas.
Y
CUADRANTE CUADRANTE
II I
X
CUADRANTE CUADRANTE
III IV

32. COORDENADA CARTESIANA.-
Se llama coordenada cartesiana a cualquier par
ordenado de números reales (a, b) al que se hace corresponder un
punto y solo un punto P que es la gráfica de (a, b) y que a la vez indica
la posición de este en el plano cartesiano.
FÍSICA.-
La Física se divide para su estudio en dos grandes grupos: la
Física clásica y la Física moderna. La primera estudia todos aquellos
fenómenos de los cuales la velocidad es muy pequeña comparada con
la velocidad de propagación de la luz. La segunda se encarga de todos
aquellos fenómenos producidos a la velocidad de la luz o con valores
cercanos a ella. Esto debido a que la física clásica no describe con
precisión los fenómenos que se suceden a la velocidad de la luz. En la
física moderna también se estudian los fenómenos subatómicos.
ENSEÑANZA.-
La enseñanza es la acción y efecto de enseñar (instruir,
adoctrinar y amaestrar con reglas o preceptos). Se trata del sistema y
método de dar instrucción, formado por el conjunto de conocimientos,
principios e ideas que se enseñan a alguien.
La enseñanza implica la interacción de tres elementos: el
profesor, docente o maestro; el alumno o estudiante; y el objeto de
conocimiento. La tradición enciclopedista supone que el profesor es la
fuente del conocimiento y el alumno, un simple receptor ilimitado del
mismo. Bajo esta concepción, el proceso de enseñanza es la
transmisión de conocimientos del docente.

33. APRENDER.-
Se denomina aprendizaje al proceso de adquisición de
conocimientos, habilidades, valores y actitudes, posibilitado mediante el
estudio, la enseñanza o la experiencia. Dicho proceso puede ser
entendido a partir de diversas posturas, lo que implica que existen
diferentes teorías vinculadas al hecho de aprender. La psicología
conductista, por ejemplo, describe el aprendizaje de acuerdo a los
cambios que pueden observarse en la conducta de un sujeto.
Aprendizaje es un cambio relativamente permanente en el
comportamiento, que refleja una adquisición de conocimientos o
habilidades a través de las experiencias y que pueden incluir el estudio,
la instrucción, la observación o la practica. Los cambios en el
comportamiento son razonablemente objetivos y, por tanto, poder ser
medidos. (Papalia, D.E. Psicología, 1990; Pág. 164.)
MATEMÁTICA.-
La matemática es una ciencia que, a partir de notaciones
básicas exactas y a través del razonamiento lógico, estudia las
propiedades y relaciones de los entes abstractos (números, figuras
geométricas, símbolos). Mediante las matemáticas conocemos las
cantidades, las estructuras, el espacio y los cambios. Los matemáticos
buscan patrones, formulan nuevas conjeturas e intentan alcanzar la
verdad matemática mediante rigurosas deducciones.
La matemática es considerada como la ciencia más
compleja y elaborada, estudiada sólo por algunas selectas mentes.
También se ha creído que se basa en abstracciones y que no da lugar a
la experimentación. Sin embargo, un análisis menos superficial de la
historia de la humanidad, deja claro que se trata de una construcción
más. Las personas en su contacto con la realidad inmediata extraen
resultados que posteriormente organizan en una ciencia más elaborada.

34. GEOMETRÍA PLANA.-
Es la rama de la geometría elemental que estudia las
propiedades de superficies y figuras planas, como el triángulo o el
círculo. Esta parte de la geometría también se conoce como geometría
euclídea, en honor al matemático griego Euclides, el primero en
estudiarla en el siglo IV a.C. Su extenso tratado Elementos de
geometría se mantuvo como texto autorizado de geometría hasta la
aparición de las llamadas Geometría no euclidianas en el siglo XIX.
GEOMETRIA ANALÍTICA.-
Es una rama de la Matemática que tiene como objeto de
estudio a las proporciones y singularidades de distintas figuras ubicadas
en un plano o en el espacio se define como geometría. Esta disciplina,
según cuentan los expertos, a fin de representar la realidad apela a los
sistemas axiomáticos; de esta manera, emplea estructuras matemáticas
basadas en símbolos que le permiten desarrollar cadenas que, a su
vez, se vinculan a través de ciertas reglas y generan nuevas cadenas.
La geometría analítica se encarga del estudio de las figuras
geométricas básicas por medio del análisis de las mismas, el padre de
la geometría analítica es Rene Descartes un filosofo matemático
francés de la época de la ilustración.
Los temas principales que se ven en geometría analítica son el teorema
de Pitágoras q forma parte dela trigonometría este teorema se aplica a
los triángulos rectángulos
y dice que la suma de los cuadrados de los catetos es igual al cuadrado
de la hipotenusa. También se ve el plano cartesiano y las coordenadas,

35. se ven las figuras como el circulo, el cuadrado, rectángulo y se ve la
función seno coseno y tangente.
SOLIDO GEOMÉTRICO.-
Un Sólido o Cuerpo Geométrico es una figura geométrica de
tres dimensiones (largo, ancho y alto), que ocupa un lugar en el espacio
y en consecuencia tiene un volumen.
EVALUACION.-
La evaluación debe es un sistema de aseguramiento y
gestión de calidad que permite determinar la eficacia de cada etapa en
el proceso Enseñanza-Aprendizaje, orientándose como un método que
ayuda a facilitar el logro de las metas y objetivos de la educación.
ESPACIO VECTORIAL.-
Es una estructura algebraica creada a partir de un conjunto
no vacío, una operación interna (llamada suma, definida para los
elementos del conjunto) y una operación externa (llamada producto por
un escalar, definida entre dicho conjunto y un cuerpo matemático), con
8 propiedades fundamentales.
A los elementos de un espacio vectorial se les llama vectores y a los
elementos del cuerpo, escalares.
MÉTODO.-
Método es una palabra que proviene del término griego
methodos (“camino” o “vía”) y que se refiere al medio utilizado para
llegar a un fin. Su significado original señala el camino que conduce a
un lugar.

36. La palabra método puede referirse a diversos conceptos. Por
ejemplo, a los métodos de clasificación científica. Esta es la disciplina
que permite a los biólogos agrupar y separar en categorías a los
diversos organismos y conjuntos.
MÉTODO CIENTÍFICO.-
El método científico, por su parte, es la serie de pasos que
sigue una ciencia para obtener saberes válidos (es decir, que pueden
verificarse a través de un instrumento fiable). Gracias al respeto por un
método científico, un investigador logra apartar su subjetividad y obtiene
resultados más cercanos a la objetividad o a lo empírico.
MEDIOS.- Procedimiento, lo que sirve para conseguir una cosa.
Ejemplo: el fin justifica los medios.
MÉTODO HEURÍSTICO.-
Despierta la actividad de los alumnos participando en la
elaboración de conclusiones, excluyendo en lo posible ofrecer los
conocimientos ya preparados por el maestro.
El método Heurístico es el conjunto de procedimientos, técnicas y
Actividades dirigidas por el maestro para facilitar al niño el
descubrimiento de la verdad, conduciendo a la solución de un problema
a partir de un proceso lógico.
ECUACION VECTORIAL DE LA RECTA.-
De f in imo s u n a re c t a r c o mo e l c o n ju n t o d e lo s
p u n t os d e l p la n o , a lin e a d o s co n u n p u n t o P y c o n u n a
d ire cc ió n d a d a .

37. S i P (x 1 , y 1 ) e s u n p u n t o d e la re c t a r , e l v e c t o r t ie n e
ig u a l d ire c c ió n q u e , lu e g o e s ig u a l a mu lt ip lic a d o p o r
u n esc a la r:
Un a re c t a p as a po r e l p u n t o A (-1 , 3 ) y t ie n e u n v ec t o r
d ire c t o r = (2 , 5 ). Esc rib ir s u ec u ac ió n v ec to ria l.
2.4 TEOR Í AS DE SOPORTE :
2.4.1 EL MODELO DE ENSEÑANZA – APRENDIZAJE DE
VAN HIELE:
En los años 50, los esposos Pierre M. Van Hiele y Dina van
Hiele-Geldof, trabajaban como profesores de geometría de enseñanza
secundaria en Holanda. A partir de su experiencia docente, elaboraron
un modelo que trata de explicar por un lado cómo se produce la
evolución del razonamiento geométrico de los estudiantes y por otro
cómo puede un profesor/a ayudar a sus alumnos/as para que mejoren
la calidad de su razonamiento. De esta forma los componentes

38. principales del modelo van Hiele son la "teoría de los niveles de
razonamiento", que explica cómo se produce el desarrollo en la
calidad de razonamiento geométrico de los estudiantes cuando éstos
estudian geometría, y las "fases de aprendizaje", que constituye su
propuesta didáctica para la secuenciación de actividades de
enseñanza-aprendizaje en el aula, con el objeto de facilitar el ascenso
de los estudiantes de un nivel de razonamiento al inmediatamente
superior. Vamos a explicar brevemente en qué consisten ambos
componentes del modelo.
LOS NIVELES DE RAZONAMIENTO
Los niveles de razonamiento describen los distintos tipos de
razonamiento geométrico de los estudiantes a lo largo de su formación
matemática, que va desde el razonamiento intuitivo de los niños de pre
escolar hasta el formal y abstracto de los estudiantes de las Facultades
de Ciencias. De acuerdo con el modelo de van Hiele si el aprendiz es
guiado por experiencias instruccionales adecuadas, avanza a través de
los cinco niveles de razonamiento, empezando con el reconocimiento
de figuras como todos (nivel 1), progresando hacia el descubrimiento de
las propiedades de las figuras y hacia el razonamiento informal acerca
de estas figuras y sus propiedades (niveles 2 y 3), y culminando con un
estudio riguroso de geometría axiomática (niveles 4 y 5). El nivel 1 es
denominado nivel de reconocimiento o visualización; el nivel 2, nivel de
análisis; el nivel 3 clasificación o abstracción; el nivel 4 deducción, y el
nivel 5 rigor. El modelo es recursivo, es decir cada nivel se construye
sobre el anterior, coincidiéndose el desarrollo de los conceptos
espaciales y geométricos como una secuencia desde planteamientos
inductivos y cualitativos, hacia formas de razonamiento cada vez más
deductivas y abstractas. En la bibliografía existente sobre el tema se

39. pueden encontrar listas muy completas de las características de los
distintos niveles.
LAS FASES DE APRENDIZAJE
Mientras que los niveles de razonamiento nos orientan acerca de
cómo secuenciar y organizar el currículo geométrico de una forma
global, el objetivo de las Fases de aprendizaje es favorecer el
desplazamiento del alumno/a de un nivel al inmediatamente superior
mediante la organización de las actividades de enseñanza-aprendizaje,
lo que ha permitido que el modelo tuviera una influencia real en la
elaboración de currículos de geometría en distintos países como es el
caso de la Unión Soviética, E.E.U.U., Países Bajos, etc.
Las fases de aprendizaje son las siguientes:
-Información, Orientación dirigida, Explicitación, Orientación libre,
Integración.
Las características fundamentales de cada fase, en la primera se
pone a discusión del alumno/a material clarificador del contexto de
trabajo. En la segunda fase se proporciona material por medio del cual
el alumno/a aprenda las principales nociones del campo de
conocimiento que se está explorando. El material y las nociones a
trabajar, se seleccionarán en función del nivel de razonamiento de los
alumnos/as. En la tercera fase conduciendo las discusiones de clase,
se buscará que el alumno/a se apropie del lenguaje geométrico
pertinente. En la cuarta fase se proporcionará al alumno/a materiales
con varias posibilidades de uso y el profesor/a dará instrucciones que
permitan diversas formas de actuación por parte de los alumnos/as. En
la quinta fase se invitará a los alumnos/as a reflexionar sobre sus

40. propias acciones en las fases anteriores. Como resultado de esta quinta
fase, los autores entienden que el alumno/a accede a un nuevo nivel de
razonamiento. El estudiante adopta una nueva red de relaciones que
conecta con la totalidad del dominio explorado. Este nuevo nivel de
pensamiento, que ha adquirido su propia intuición, ha sustituido al
dominio de pensamiento anterior.
¿Qué tipo de problemas hemos de presentar a los alumnos/as para que
su actividad e investigación en torno a los mismos les conduzca hacia
formas superiores de intuición y abstracción geométrica?
En la situación actual de la enseñanza de la geometría, y
particularmente en el caso español, la insistencia de enseñar geometría
se hace patente. Ahora bien, ya no se trata sólo de defender la
importancia y necesidad de enseñar geometría, sino que el problema
crucial en este momento es el de discutir qué geometría debe ser
enseñada en la Escuela y cómo. En definitiva nos encontramos en un
momento histórico en el que la reacción al carácter deductivo y formal
que la enseñanza de la geometría ha adoptado en los últimos tiempos
nos obliga a investigar los problemas didácticos implicados en su
enseñanza. Para ello el modelo de van Hiele se presenta como
enormemente rico.
Si a eso le unimos el proceso de reforma curricular en la que se
encuentra nuestro país en la actualidad, y en el que la enseñanza de la
geometría parece volver a tener un papel relevante en la enseñanza
primaria y secundaria, alejándose de la postura claramente
``modernista" adoptada en los Programas Renovados, la necesidad de
dar a conocer el modelo en el campo educativo español parece
relevante y necesaria.

41. IMPLICACIONES CURRICULARES DEL MODELO
El modelo de van Hiele proporciona un esquema útil de
organización del currículo y del material de aprendizaje que ha tenido
una influencia real en la elaboración de currículos de geometría en
distintos países., como es el caso de la Unión Soviética. Los
educadores soviéticos fueron los únicos, a excepción de los holandeses
(país de origen del modelo), que al conocerlo y tras unos años de
intensas investigaciones y experimentaciones, incorporan el modelo de
van Hiele como base teórica para la elaboración de la nueva forma
curricular que estaban poniendo en marcha y cuya implantación
definitiva se produce en 1964. Mucho más tarde ser iniciaron en
E.E.U.U. y Europa investigaciones curriculares en esta línea, aunque de
mucha menos relevancia que los trabajos soviéticos.
De la revisión de las aportaciones teóricas y prácticas del modelo
van Hiele en la comunidad educativa internacional (Unión Soviética,
E.E.U.U., Canadá, Holanda, y España), así como de las diversas
investigaciones y desarrollos curriculares basados en el mismo, se
pueden deducir una serie de implicaciones generales de carácter
curricular:
* Es necesario introducir más geometría desde el primer año en las
clases de primaria y secundaria, no siendo conveniente separar la
geometría de las matemáticas en la enseñanza primaria.
* En los primeros años se debe fomentar un trabajo geométrico de
carácter cualitativo, que asegure la formación de conceptos y la
imaginación espacial.
* En el currículo geométrico la presentación de la materia debe iniciarse
en el espacio para pasar inmediatamente después al plano.

42. * Es necesario enseñar geometría informal a los alumnos/as de
enseñanza secundaria.
* Los estudios de geometría deben ser continuos (sin periodos de
inactividad), uniformes (sin pasar por alto ningún nivel de
razonamiento), y diversificados, es decir, familiarizando a los alumnos y
alumnas de forma simultánea con la geometría bi y tridimensional.
* Básicamente los mismos contenidos han de ser enseñados en la
enseñanza primaria y secundaria. Estos contenidos geométricos han de
ser tratados cíclicamente en niveles de complejidad creciente. La
secuenciación de dichos contenidos a través del currículo estará
determinada por el análisis de cada tópico en función de la estructura
del modelo, lo que determinará un tratamiento distinto en cada nivel,
avanzando desde los aspectos cualitativos a los cuantitativos y
abstractos.
De la revisión de los trabajos realizados a nivel internacional
sobre el modelo de van Hiele , se puede deducir también un conjunto
de principios de procedimiento, entendidos éstos como “normas
dirigidas al profesor indicándole actitudes en su trabajo".
PRINCIPIOS DE PROCEDIMIENTO
1. El profesor/a partirá del hecho de que los estudiantes poseen un
almacén significativo de concepciones y propiedades de los
objetos materiales.
2. El profesor /a procurará, a partir de la experiencia previa de los
alumnos/as, es decir de la observación de figuras concretas, que
formen estructuras geométricas, y pondrá en relación estas
observaciones con una forma “geométrica" de verlas.

43. 3. El profesor/a diseñará actividades de enseñanza - aprendizaje en el
aula teniendo en cuenta el nivel lingüístico y de razonamiento de los
alumnos/as.
4. El profesor/a procurará conocer de qué forma es estructurado el
espacio de forma espontánea por los alumnos/as, para partiendo de
esa percepción, diseñar actividades que permitan al estudiante
construir estructuras visuales geométricas y por fin razonamiento
abstracto. Para ello el profesor/a modificará progresivamente el
contexto en el que aparecen los objetos en una dirección matemática
alejándose del empirismo.
5. El profesor/a estará atento a la adquisición de “insight" (8) por parte de
los alumnos/as, para lo que es necesario que el diálogo sea la pieza
clave de la enseñanza. El profesor/a animará a los alumnos/as a
hablar acerca de los conceptos geométricos y a desarrollar un
lenguaje expresivo, respetando en un primer momento sus propias
expresiones y lenguaje, para ir introduciendo progresivamente el
lenguaje geométrico.
6. El profesor/a procurará conocer el correlato mental de las palabras y
conceptos que utilizan los alumnos/as y que él necesita, por medio de
actividades diseñadas a tal fin y por medio del uso continuo del
diálogo en el aula.
7. El profesor/a diseñará actividades de clarificación y complementación
de dicho correlato mental que permitan que éste coincida con el
significado de la palabra en la disciplina.
8. El profesor/a fomentará el trabajo consciente e intencional de los
alumnos/as con la ayuda de materiales manejables. El material ha de

44. poseer el fundamento del desarrollo lógico de la geometría. El material
ha de ser auto correctivo.
9. El profesor/a permitirá a los alumnos/as trabajar con material concreto
sólo cuando sea necesario para construir la teoría. El periodo de
acumulación de hechos de forma inductiva no debe ser prolongado
demasiado. El alumno/a debe y puede usar la deducción.
La necesidad ahora, es la de profundizar y definir más
adecuadamente las Fases de aprendizaje, investigando su valor y
aplicación didáctica, así como desarrollar materiales y proyectos
curriculares inspirados en el modelo, que permitan evaluar el interés del
mismo a través de su puesta en práctica en el aula, ahora que el modelo
y las investigaciones desarrolladas en torno a él han dejado por lo menos
una cosa clara: “El pensamiento geométrico puede ser accesible a todo
el mundo"
(Gloria María Braga, páginas 52 - 57. Julio - Diciembre de 1991).
2.4.2 APRENDIZAJE SIGNIFICATIVO DE DAVID AUSUBEL:
Durante mucho tiempo el consideró que el aprendizaje era sinónimo
de cambio de conducta, esto, porque dominó una perspectiva conductista
de la labor educativa; sin embargo, se puede afirmar con certeza que el
aprendizaje humano va más allá de un simple cambio de conducta,
conduce a un cambio en el significado de la experiencia.
Para Ausubel, aprender es sinónimo de comprender e implica una
visión del aprendizaje basada en los procesos internos del alumno y no
solo en sus respuestas externas.

45. Con la intención de promover la asimilación de los saberes, el
profesor utilizará organizadores previos que favorezcan la creación de
relaciones adecuadas entre los saberes previos y los nuevos.
Los organizadores tienen la finalidad de facilitar la enseñanza
receptivo significativa, con lo cual, sería posible considerar que la
exposición organizada de los contenidos, propicia una mejor comprensión.
La teoría del aprendizaje significativo supone poner de relieve el
proceso de construcción de significados como elemento central de la
enseñanza.
Entre las condiciones que deben darse para que se produzca el
aprendizaje significativo, debe destacarse:
1. Significatividad lógica: Se refiere a la estructura interna del contenido.
2. Significatividad psicológica: Se refiere a que puedan establecerse
relaciones no arbitrarias entre los conocimientos previos y los nuevos.
Es relativo al individuo que aprende y depende de sus representaciones
anteriores.
3. Motivación: Debe existir además una disposición subjetiva para el
aprendizaje en el estudiante.
Existen tres tipos de necesidades: poder, afiliación y logro.
La intensidad de cada una de ellas, varía de acuerdo a las personas
y genera diversos estados motivacionales que deben ser tenidos en
cuenta.
Aprendizaje es un proceso constructivo interno y en este sentido
debería plantearse como un conjunto de acciones dirigidas a favorecer tal
proceso. Y es en esta línea, que se han investigado las implicancias
pedagógicas de los saberes previos.

46. Desde un enfoque constructivista, la estrategia que se ha
desarrollado es la de generar un conflicto en el alumno entre su teoría
intuitiva y la explicación científica a fin de favorecer una reorganización
conceptual, la cual no será simple ni inmediata.
Otro implicancia importante de la teoría de Ausubel es que:
Ha resuelto la aparente incompatibilidad entre la enseñanza
expositiva y la enseñanza por descubrimiento, porque ambas pueden
favorecer una actitud participativa por parte del alumno, si cumplen con el
requisito de activar saberes previos y motivar la asimilación significativa.
Finalmente, la técnica de mapas conceptuales, desarrollada por
Novak, es útil para dar cuenta de las relaciones que los alumnos realizan
entre conceptos, y pueden ser utilizados también como organizadores
previos que busquen estimular la actividad de los alumnos.
SIGNIFICATIVIDAD LÓGICA:
Es inherente a un determinado material de enseñanza y se debe a
sus características intrínsecas. Y lo encontramos cuando los contenidos
pueden relacionarse de manera substancial (no arbitraria) con las ideas
correspondientes a la capacidad humana de aprendizaje y a un contexto
cultural particular (aquel en donde se produce el aprendizaje).
APRENDIZAJE SIGNIFICATIVO POR RECEPCIÓN.
Las características pedagógicas que el profesor debe mostrar en el proceso
de enseñanza son:
a) Presentar la información al alumno como debe ser aprendida, en su
forma final (recepción).

47. b) Presentar temas usando y aprovechando los esquemas previos del
estudiante.
c) Dar cierta información al estudiante provocando a que éste por sí mismo
descubra un conocimiento nuevo (descubrimiento).
d) Proveer información, contenidos y temas importantes y útiles que den
como resultado ideas nuevas en el alumno.
e) Mostrar materiales pedagógicos de forma coloquial y organizada que no
distraigan la concentración del estudiante.
f) Hacer que haya una participación activa por parte del alumno.
Papel del estudiante:
a) Recibir un tema, información del docente en su forma final, acabada
(recepción).
b) Relacionar la información o los contenidos con su estructura cognitiva
(asimilación cognitiva).
c) Descubrir un nuevo conocimiento con los contenidos que el profesor le
brinda (descubrimiento).
d) Crear nuevas ideas con los contenidos que el docente presenta.
e) Organizar y ordenar el material que le proporcionó el profesor.
Las características que el alumno debe poseer son:
a) Tener la habilidad de procesar activamente la información.
b) Tener la habilidad de asimilación y retención.
c) Tener la habilidad de relacionar las nuevas estructuras con las previas.
d) Tener una buena disposición para que se logre el aprendizaje.
Características de los Materiales de apoyo:

48. a) Poseer un significado en sí mismos, o sea, las partes del material de
enseñanza tienen que estar lógicamente relacionadas.
b) Proveer resultados significativos para el alumno, es decir, que los
materiales puedan relacionarse con los conocimientos previos del alumno.
c) Proveer un puente de conocimiento entre la nueva y la previa
información. Ausubel le llama “organizador previo”.
d) Estar ordenados y organizados para que el estudiante tome y aproveche
los materiales que va emplear.
Los tipos que deben usarse son: Organización del proceso en el tiempo
Algunas de las funciones que tienen los materiales didácticos entre el
estudiante, los contenidos y el profesor son:
a) Determinar que el aprendizaje del alumno sea significativo.
b) Promover una actitud positiva y una buena disposición por parte del
alumno.
c) Hacer que los contenidos sean más fácilmente asimilados.
d) Ayudar al docente a que su enseñanza sea organizada y mejor
aprovechada.
Los elementos esenciales del currículo son:
-Las unidades y temas (contenido).
-Los materiales que se van emplear.
-Las actividades, técnicas y estrategias del profesor.
El momento dentro del proceso enseñanza - aprendizaje en que
deben emplearse los materiales y técnicas anteriormente descritas son:
Los organizadores avanzados expositivos, cuando el alumno tiene poco o
ningún conocimiento sobre el tema (al principio de la clase).
Los comparativos, cuando el estudiante ya posee conocimientos previos
del tema; (También al principio de la clase).

49. El constructivismo conceptual de Ausubel privilegia el aprendizaje
significativo contraponiendo al aprendizaje memorístico. Este autor indica
que solo abra aprendizaje cuando lo que el individuo trata de aprender lo
relaciona de forma sustantiva y no arbitraria con lo que ya conoce, es decir
aprende con aspectos relevantes y pre existentes de su estructura
cognitiva.
En su teoría:
1. El aprendizaje depende de experiencias y conocimientos previos.
2. El aprendizaje debe ser significativo basándose en una estructura de
disciplina.
3. El aprendizaje significativo ocurre cuando una nueva información se
conecta con un concepto relevante prexistente en la estructura cognitiva, en
una relación no arbitraria y sustancial.
4. El mismo sujeto crea sus estructuras cognitivas.
5. Distingue tres tipos de aprendizaje: de representaciones, de conceptos y
de proposiciones.
6. Afirma con certeza que el aprendizaje humano va más allá de un simple
cambio en el significado de la experiencia.
7. El enriquecer la experiencia humana implica considerar el pensamiento y
la afectividad como un solo conjunto.
8. “Diferencia los tipos de aprendizaje y su respectiva asimilación en a
estructura cognitiva”

50. 2.5 FORMUACIÓN DE HIPÓTESIS:
2.5.1 HIPÓTESIS GENERAL:
El programa experimental del enfoque vectorial en el
aprendizaje de la Geometría Analítica Plana, muestra su
efectividad al promover el mejor aprendizaje en el alumno.
2.5.2 HIPÓTESIS ESPECÍFICAS:
-Esta asignatura de Geometría Analítica Vectorial permitirá en
el alumno el desarrollo de una solida formación lógico
matemático.
-La aplicación de los vectores en el desarrollo de
ciertos problemas de matemática y física promueve en el
menor tiempo la mayor eficacia su proceso de solución.
-El hecho de aplicar este enfoque despierta en el alumno el
mayor interés hacia el conocimiento de nuevos temas y por
ende a la investigación de estos en los cursos de
matemática y física.
-Mediante la enseñanza de la geometría analítica con vectores
el alumno logra interpretar y representar mediante graficas,
fenómenos de nuestra realidad física.
2.6 VARIABES DE ESTUDIO
2.6.1 VARIABLE INDEPENDIENTE
Enfoque vectorial

51. 2.6.2 VARIABLE DEPENDIENTE
Aprendizaje de la Geometría Analítica
2.6.3 VARIABLES INTERVINIENTES
La edad, el sexo, la metodología empleada.
INDICADORES
-La variable aprendizaje de la geometría Analítica cuenta con
los siguientes indicadores; cantidad de aprobados y de
desaprobados.
-La variable sexo admite dos indicadores; masculino y
femenino.

52. CAPITULO III
METODOLOGÍA Y APLICACIÓN EXPERIMENTAL
3.1 MÉTODO EMPLEADO EN LA INVESTIGACIÓN
3.8.1 MÉTODO EMPLEADO EN LA INVESTIGACIÓN
3.8.1.1 MÉTODO GENERAL
En el desarrollo del presente trabajo se utilizara el
método científico con sus procedimientos respectivos;
observación, planteamiento de hipótesis, análisis de los
resultados y formulación de las conclusiones.
3.8.1.2 MÉTODO ESPECÍFICO
Se hará uso de método experimental que convierte las
aulas en laboratorios y los alumnos son sujetos de
investigación.
El proceso que se seguirá en la investigación experimental
comprende:
1. Planteo cuidadoso de los experimentos.
2. Desarrollo del experimento de enseñanza aprendizaje con

53. control de algunos factores o variables.
3. Evaluación exacta de los resultados.
Mediante este método se buscara la comprobación causal de
los fenómenos de nuestra investigación. Se usara para
establecer la eficacia de una norma en el desarrollo de
ciertas actividades. Se tomara en cuenta en el experimento la
Ley de la variable única por la cual se va a tribuir los cambios
que se operan en los resultados solo a un factor (enfoque
vectorial) quedando las demás como simples elementos
secundarios que giran en torno al aspecto esencial o causa.
3.8.2 DISEÑO METODOLÓGICO
3.8.2.1 DISEÑO BÁSICO
Experimental
3.8.2.2 DISEÑO ESPECÍFICO
Grupo control con pre y post test
ESQUEMA DEL D.E.:
A G.E. O1 x O2
A G.C. O3 ‒ O4
Donde:
A : Significa aleatorización de ambos grupos
G.E : Grupo experimental
G.C. : Grupo control
O1 y O3 : Resultado de pre test
X : Es la variable experimental
O2 y O4 : Resultado del post test

54. Pre observación y post-observación con diseños
de grupos equivalentes. Ganancia x (O2 - O1), ganancia (O4 - O3)
En este diseño los grupos experimentales y de control
estarán igualados al azar en donde se aplicará una observación o
test de entrada, luego de haber manipulado la variable
experimental, se aplicara una observación o test de salida.
Seguidamente se comparará las guanacias medias (puntuaciones
post test menos puntuaciones pre test).
3.8.3 POBLACIÓN Y MUESTRA
3.8.3.1 POBLACIÓN
Son los siguientes:
- 60 alumnos de la I.E.: “Politécnico Regional del Centro”- El Tambo,
Huancayo.
- 60 alumnos de la I.E.: “Nuestra Señora de Fátima” - Huancayo.
En ambas instituciones educativas se tomara como universo o
población la totalidad de las secciones del 5to. Grado de Educación
Secundaria.
3.8.3.2 MUESTRA
La muestra se seleccionara en forma intencionada y controlada
apareando grupos experimentales y de control.
-30 alumnos de la I.E.: “Politécnico Regional del Centro” El Tambo -
Huancayo, se trabajara con una muestra de 02 secciones, quinto
grado A y B.
-30 alumnos de la I.E.: “Nuestra Señora de Fátima” – Huancayo. Se
trabajara con una muestra de 02 secciones, quinto A y B.

55. 3.8.4 TIPO DE INVESTIGACIÓN
Investigación Educativa Pura
Investigación de carácter científico pedagógico experimental
pues se trata de averiguar los efectos del enfoque vectorial en el
aprendizaje de la geometría analítica plana en el 5to. Grado de
Educación secundaria.

56. BIBLIOGRAFIA
-RIOS, Sixto. “Algebra Lineal y Geometría Vectorial”.
Edic. Paraninfo, Madrid 1976.
-VENERO, Armando. “Introducción al Análisis Matemático”.
Edit. Gemark. Lima 1992.
-BABINI J. “Historia de las Ideas modernas en
Matemática”. Editorial Dpto. de asuntos
cientif. Unión Panamericana-Bs. As. 1967. pp. 73.
-DIENES, Zoltan “La potencia de la Matemática”. Editorial
Estrada, Bs. As., 1ra. Edición, 1971, pág. 12.
-LEHMANN, Charles “Geometría Analítica”.
Edit. Utema. México 1962.
-LONDOÑO, Nelson. “Geometría Analítica y Trigonometría”.
Edit. Norman, Colombia 1984.
-TORANZOS, Fausto “Enseñanza de la matemática”.
Edit. Capeluz, Buenos Aires. 1977.
-SPIEGEL, Murray. “Análisis Vectorial”.
Edit. Mc Graw Hill Colección Schaum.
-HOWARD F. Fehr. “Enseñanza de la Matemática” (Trad)
Edit. Librería del Colegio. Buenos Aires 1970.
-BUNGE, Mario “La Investigación Científica”
Edit. And. Barcelona. 1983.
-LUZURIAGA, Lorenzo. “Pedagogía y Metodología”

57. Edit. Afa. Perú 1993.
-SPIEGEL, Murray. “Estadística”
Edit. Mc Graw Hill Colección Schaum.
-URIARTE, Felipe. “Técnicas para Estudiar”.
Edit. Studium. Lima 1986.
-CANGAHUALA C. Jorge. “Tecnología Educativa”
Edit. Cangahuala. Lima 1986.
-MIRA Y LÓPEZ, EMILIO. “Psicología Evolutiva del Niño y del Adolescente”
Edit. Atenso. Barcelona 1970.
- BRANDEN, Nathaniel, 1995, Seis pilares de la autoestima,
Barcelona, ediciones. Paidos, 1ra.edición.
-CARO FIGUEROA, Luis 2000, “La formación profesional”
Desafío del nuevo siglo, Argentina.
-COLOM, Antoni. 2001, “Pedagogía institucional”
España, síntesis educación.
-SANCHEZ BUCHON C “Estadística Elemental Aplicada a la Pedagogía”.
Colección. Poveda – Madrid.
-GARCIA ORE, C. “Estadística Y Probabilidades”.
Edit. Santa Úrsula. Lima 1991.
-PISCOYA, Luis “Investigación Educacional”.
Edit. Básicas, INIDE. Lima 1978.
-TORANZOS, Fausto “Enseñanza de la Matemática”

58. Edit. Capeluz, Buenos Aires. 1977.
-VOLKENSHTEIN S., V. “Problemas de Física General”
Editorial MIR, Moscú – Edición 1976.
-M.A. USHAKOV. “Problemas Didácticos de Física”
Editorial IR, Moscú – Edición 1976.
-VAN DER MERWE, Carle W. “Física General”.
Colección Schaum, Editorial Mc Graw Hill,
Mexico-1987.
-ESPINOZA R., Eduardo “Vectores y Matrices”
2da. Edición, Lima – Perú. 2002.
-FIGUEROA G., R. “Matemática Básica 2, Vectores y Matrices”.
Ediciones RFG, Lima - Perú, octava Edición.
2010.
-FIESTAS CHERRE, J. “Física, Vectores”
Colección: NOR – ORIE.
-CAREL W. Van der Merwe. “Física General”
Mc Graw – Hill, 1977.
-GOMEZ F., J. “Física General”
15ava Edición, lima-Perú, 1993

59. ANEXO

60. ENCUESTA ACERCA DEL APRENDIZAJE DE LA GEOMETRIA MEDIANTE LA
APLICACIÓN DE LOS VECTORES EN EDUCACION SECUNDARIA
DIRIGIDO AL PROFSOR:…………………………………………………………………
CENTRO DE LABOR:………………………………AÑOS DE SERVICIO:………….
INSTRUCCIONES: Sírvase Ud. contestar y fundamentar las interrogantes que
continuación se plantean:
1. ¿Cree Ud. Que existe problema alguno en el aprendizaje de la Matemática en
nuestro medio. A que se debe?:…………………………………………………….
2. ¿Cuál cree Ud. que sean los temas más fundamentales y necesarios que el
alumno debe conocer para poder seguir estudios superiores en ingeniería,
medicina y campos científicos a fines?:……………………………………………..
……………………………………………………………………………………………
3. ¿Cree Ud. Que el rendimiento académico de los alumnos en el 5to. Grado sea
menor que en los demás grados?:………..……….………………………………..
………………………………………………….…………………………………………
4. ¿Cuál cree Ud. que sea el método mas eficaz para el aprendizaje de la
Geometría Analítica Plana?:……………………………………………………………
……………………………………………….……………………………………………
5. ¿Piensa Ud. que el aprendizaje de los vectores este bien que se ubique dentro
de la física, en el Nivel Secundario?:…………………………………………………
6. ¿Cuál cree Ud. que sea el problema fundamental en el educando y educador en
el proceso de interaprendizaje?:……………………………………………….………
……………………………………………………………………………………………..
7. ¿Cree Ud. que en el alumno no existe la capacidad suficiente de abstracción
para poder interpretar los principios geométricos?:……………..…………………..
……………………………………………………………………………………………..
8. ¿Considera Ud. importante el aprendizaje de los vectores en la Geometría
Analítica Plana? …………………………...……………………………………………
9. ¿Qué beneficios traería como consecuencia el aprendiizaje de la Geometría
Vectorial en el área de Matemática, en el 5to. Grado de Educación Secundaria?
…………………………………………………………………………………………….
10. ¿En que grado cree Ud. que se debería aprender los vectores dentro de nivel
Secundario? :……………………………………………………………………………
11. ¿Cree Ud. que seria mas objetivo el hecho de demostrar un teorema
geométrico mediante el Algebra Vectorial? :….…...………………………………..
……………………………………………………………………………………………
12. ¿Cree Ud. que seria posible enseñarle la Geometría Vectorial en Educación
Secundaria? :….……………………………………………………………………...

61. TRABAJO DE INVESTIGACION “APRENDIZAJE DE LA GEOMETRIA ANALITICA
VECTORIAL”
TEST DE ENTRADA PARA ALUMNOS DEL QUINTO GRADO DE EDUCACION SEUNDARIA
I. SECCION DE TEST COGNITIVO:
1. Dados los conjuntos: A= { 1;2 } y B = { 4;2 } , hallar AxB y BxA, ¿será AxB = BxA? y
ubicar el producto AxB en un diagrama cartesiano.

2. En la figura se observa el vector A , hallar:
a) Las componentes:
4 P:(3;4)
-en el eje X:……………………………………
β X -en el eje Y:……………………………………

(0;0) 3 b) La longitud del vector A :…………………….

c) La dirección (β ) del vector A con respecto
a la horizontal:………….…….…………….…..
3. Que idea tiene sobre un vector:………………………………………………………………………………
4. Establecer si es verdadero o falso:
   
P R a) M  N :…………………………….………( )
 
N b) La dirección de R es 900 …….….……..( )
  
ϴ2 ϴ1 c) M  Q …………..…………………………( )

X d) La dirección de Q es ϴ2 ……….….…..( )
e) Los vectores M Y N tienen direcciones

M opuestas…..…………………………….…...( )

Q
5. En la figura mostrada hallar la resultante o suma de los vectores mostrados aplicado el

método grafico (Método Polígono) B
  
A C D

E
6. En la figura mostrada, hallar las proyecciones de los vectores A y B sobre el eje X o de las abscisas, si
el valor o longitud de los vectores es de 4 y 5 respectivamente.

B 0
45

A
450

62.   
7. Si A = (2;4), B = (-1; 8) y C = ( 8; -4), simplifique las siguientes expresiones
vectoriales:
 
a) 2. B + C =
 
b) 2. A - 1/8 . C =
 
c) 4 [ 2. A - 5 ( 2. B ) ] =
8. E n la figura ¿Por qué las rectas L1 y L2 son paralelas?
L1
L2
9. En la figura ¿Por qué las rectas L1 y L2 son perpendiculares:?
L1
L2
 
10. En la figura L / / OA y ‫ ﮮ‬α = ‫ .× ﮮ‬Demostrar que OM es bisectriz del ‫ ﮮ‬AOB
B
M
L
X
α
A
O

63. TABLA DE ESPECIFICACION DEL (PRE TEST)
TEMA: VECTORES EN E PLANO Y CONOCIMIENTOS GEOMETRICOS BASICOS.
% DE TIEMPO
OB CONTENIDOS NIVEL DE DOM. TIPO DE PRUEBA CANT. CANTIDAD DE PESO POR CADA
COGNITIVO PRE. PREGUNTAS PREGUNTA
01 PRODUCTO CARTESIANO APLICACION DESARROLLO 1 5% 2 2 MINUTOS
02 CONOCIMIENTOS BASICOS
SOBRE VECTORES.
-DEFINICION
-DIRECCION Y MODULO 4 MINUTOS
CONOCIMIENTO COMPLETAM. 3 1 2 MINUTOS
-COMPONENTES COMPRENSION V-F 3 1/2
-IGUALDAD
-OPERACIONES COMPRENSION COMPLETAM. 2 78% 1 2 MINUTOS
CON VECTORES. COMPRENSION V-F 2 1/2 2 MINUTOS
-PROYECCIONES APLICACIÓN DESARROLLO 3 1 3 MINUTOS
DE UN VECTOR.
-RESULTANTE
COMPRENSION DESARROLLO 1 2 3 MINUTOS
DE UN GRUPO
DE VECTORES. COMPRENSION DESARROLLO 1 2 4 MINUTOS
03 CONOCIMIENTOS BASICOS
SOBRE GEOMETRIA PLANA.
-PARALELISMO DE RECTAS. CONOCIMIENTO DESARROLLO 1 3/2 3 MINUTOS
-PERPENDICULARIDAD DE
CONOCIMIENTO DESARROLLO 1 17% 3/2 3 MINUTOS
RECTAS.
-RECTAS PARALELAS APLICACION DESARROLLO 1 3/2 3 MINUTOS
CORTADAS POR UNA
SECANTE.
TOTAL 100% 20 45 MINUTOS

64. HIPÓTESIS UNIDADES DE ANALISIS VARIABLES ELEMENTOS LÓGICOS
 La aplicación del enfoque
 El programa experimental  Estudiantes del 5to.  VARIABLE
vectorial en el aprendizaje de
del enfoque vectorial en el Grado de Educación INDEPENDIENTE
la Geometría Analítica Plana,
aprendizaje de la Secundaria de la I.E. Enfoque vectorial
muestra su efectividad al
Geometría Analítica Plana, “Politécnico Regional del
promover el mejor
muestra su efectividad al Centro” – El Tambo  VARIABLE
aprendizaje en los alumnos
promover el mejor Huancayo y la I.E. DEPENDIENTE
de 5to Grado de Educación
aprendizaje en el alumno. “Nuestra Señora de Aprendizaje de la
Secundaria.
Fátima” de la Provincia Geometría Analítica.
 La aplicación del enfoque
de Huancayo.
vectorial en el aprendizaje de
 VARIABLES
la Geometría Analítica Plana
INTERVINIENTES
influye significativamente en
La edad, el sexo, la
el rendimiento escolar de los
metodología empleada.
alumnos del 5to. Grado de
Educación Secundaria.

65. OPERACIONALIZACIÓN DE LAS VARIABLES
DEFINICIÓN DEFINICION
VARIABLE CONCEPTUAL OPERACIONAL DIMENSIONES INDICADORES ITEM INDICE
VARIABLE
Cuestionarios:
INDEPENDIENTE
Enfoque Es un modelo - El aprendizaje Prioriza el Conocimientos ¿Considera a) Si
matemático el que significativo es aprendizaje importante el b) No
vectorial
requiere del algebra el que ocurre significativo. Memorización enfoque
vectorial como la forma cuando, al llega vectorial?
mas objetiva de a nuestra mente Componente Percepción
tratarlos. un nuevo cognoscitivo.
conocimiento lo Buena ¿Es posible c) Si
Enfoque que favorece el hacemos comprensión aprender la d) No
entendimiento de nuestro, es Geometría
conceptos y desarrollar decir, modifica Buena Vectorial en
habilidades en los nuestra(s) Aplicación del motivación Secundaria?
algunos, relacionados conducta(s). enfoque
(Esperanza
con las líneas temáticos vectorial. Desarrolla el
Aldrete)
fundamentales del curso pensamiento
de Geometría Analítica creativo.
-Despertar en el
Plana.
alumno el mayor
Resolución de
interés hacia el
Conocimientos de los problemas
conocimiento de
Enseñanza de la
efectos de la aplicación nuevos temas.
Geometría
de los vectores en el Analítica
-Experimentar
vectorialmente.
aprendizaje de la los efectos del
enfoque
Geometría Analítica Espacio
vectorial en el
vectorial
Plana. aprendizaje de
la Geometría