Enseñanza de la Geometría en la Educación Matemática

Universidad Nacional Abierta
Didáctica de la Geometría
Profesor José Velásquez H.
Educación Matemática
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GUÍA INSTRUCCIONAL
La presente guía tiene como finalidad orientar a los estudiantes de la UNA,
participantes de la carrera Educación Matemática, cursantes de la asignatura
Didáctica de la Geometría, sobre las diversas actividades que deben realizar
para lograr la aprobación del curso de manera satisfactoria. Es importante
reseñar que el estudiante debe cumplir con todas las actividades para lograr
los aprendizajes propios del curso.
Para comenzar presentaré un texto extraído de un curso de Internet sobre la
importancia de la Didáctica de la geometría, que a continuación transcribo:
UNA REFLEXIÓN PERSONAL SOBRE LA DIDÁCTICA DE LA GEOMETRÍA
La geometría es una parte importante de la cultura del hombre, no es fácil encontrar
contextos en que la geometría no aparezca de forma directa o indirecta. Actividades tan
variadas como el deporte, la jardinería o la arquitectura por citar algunas se sirven de la
utilización, consciente o no, de procedimientos geométricos.
Se admite de forma universal la importancia de la geometría como formadora del
razonamiento lógico. Pocos son quienes discuten su trascendencia tanto en estudios
posteriores de cualquier ciencia como en el desarrollo de habilidades cotidianas. No es
casual que la geometría fuese ya en la Antigua Grecia una rama importante del saber,
aunque su origen es anterior.
La geometría ha sido durante siglos uno de los pilares de la formación académica desde
edades tempranas. Durante el siglo pasado, perdió paulatinamente presencia en los planes
de estudio. Afortunadamente, los actuales currículos de matemáticas de todos los niveles
educativos confieren a la geometría la importancia que nunca debió perder.
Ya en los objetivos generales del área podemos leer:
"Aplicar los conocimientos geométricos para comprender y explicar formas y
relaciones espaciales que se presentan en la realidad del espacio físico que nos
rodea, en el campo de la tecnología y en las distintas formas de expresión
artística" .
El NCTM en los Principios y Estándares para la Educación Matemática (2000) afirma:
"La Geometría ofrece medios para describir, analizar y comprender el
mundo y ver la belleza en sus estructuras"
Poco difieren las intenciones de las afirmaciones anteriores de lo ya expresado por Galileo:

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"El Universo está escrito en el lenguaje de las matemáticas y sus
caracteres son triángulos, círculos y otras figuras geométricas, sin las cuales
es humanamente imposible entender una sola de sus palabras. Sin
ese lenguaje, navegamos en un oscuro laberinto".
¿La enseñanza actual de la Geometría responde a estas demandas?
En el estudio Evaluación de la Educación Secundaria Obligatoria 2000, desarrollado por el
I.N.C.E. (Instituto Nacional de Calidad y Evaluación) y las Comunidades Autónomas, se pone
de manifiesto el escaso progreso en el aprendizaje de la geometría de nuestros alumnos.
Siendo dentro de las Matemáticas uno de los bloques con peores resultados.
¿Estamos enseñando a nuestros alumnos una geometría adecuada? ¿Es suficiente que
nuestros alumnos calculen longitudes, áreas y volúmenes de figuras geométricas a partir de
unos datos, despejando la magnitud desconocida de una expresión algebraica que relaciona
objetos geométricos? ¿Es más importante calcular el área de un triángulo rectángulo o
construir el triángulo rectángulo a partir de una circunferencia?
¿Qué geometría debemos enseñar? ¿Pueden nuestros alumnos estudiar geometría analítica
en segundo ciclo de educación secundaria y bachillerato sin conocimientos sólidos de
geometría sintética?
Actualmente disponemos de las herramientas necesarias para que la formación del alumno
sea más completa. El ordenador, auxiliar casi insustituible en las diferentes actividades
humanas, no es una excepción en esta faceta. Los programas de geometría dinámica han
demostrado en las dos últimas décadas su capacidad de ayuda al usuario para adquirir
destrezas en uno de los campos más creativos de las matemáticas. Sin sustituir las
demostraciones formales, por otra parte inaccesibles en edades de educación obligatoria,
muestran la generalidad de las propiedades geométricas con sólo arrastrar el puntero del
ratón.
José Manuel Arranz San José
María de la Cruz Lobo Paradiñeiro
La reflexión anterior sugiere que la situación española no difiere mucho de lo
que se nos presenta en Venezuela, por lo que considero importante la
realización de todas las actividades de este curso para mejorar nuestra
práctica docente y hacer propuestas innovadoras, que traigan provecho a
nuestros alumnos.

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MÓDULO I
UNIDAD 1
La unidad 1 se refiere a la Geometría Escolar, las lecturas presentadas
buscan que se familiarice con los contenidos geométricos que se contemplan
en el currículo de la III etapa de Educación Básica y en Media Diversificada
en Venezuela y con los contenidos que sugieren diversos autores en relación
con sus países de origen. Los contenidos del currículo venezolano debe
relacionarlo con los contenidos del curso de Geometría de la carrera de
Educación Matemática de la UNA.
En la primera lectura se habla de las perspectivas de la enseñanza de la
geometría para el siglo XXI, la cual forma parte de un documento de
discusión del ICMI (Internacional Congreso of MAthematics). En esta
traducción se nos presenta las diversas visiones que hay a nivel mundial
sobre lo que debe ser la enseñanza de la geometría en el presente siglo. Para
leer este artículo se recomienda que se haga dos veces, en la primera de las
cuales el estudiante se enterará someramente de lo que está sucediendo en
relación con la enseñanza de la Geometría, en la segunda lectura le permitirá
tener un conocimiento más amplio de lo planteado para responder a las
preguntas de la guía de actividades.
La segunda lectura nos presenta otro documento del ICMI, el cual
complementa el anterior y orienta la atención hacia la geometría dentro del
currículo matemático. Esta lectura es interesante ya que ubica al estudiante
con respecto al diseño curricular de matemática y la posición que la
geometría tiene dentro del mismo, además ayuda a entender mejor la
anterior lectura, es decir la complementa

Para lograr este objetivo debe realizar las siguientes actividades de
evaluación:
1. Calcule el porcentaje de objetivos específicos dedicados a geometría en
el programa de 7º, 8º y 9º grado de educación básica y de 1º y 2º año
de diversificado. Compare el peso de este bloque respecto de los otros
bloques
2. De acuerdo con las lecturas efectuadas, realiza un ensayo en letra arial
N 12 en el cual comente sobre lo leído, integrando los contenidos de
ambas lecturas, en caso de no estar de acuerdo con algún contenido
emita su opinión y arguméntela.
3. Elabore un cuadro comparativo con los contenidos de la asignatura
Geometría de la carrera de Educación Matemática de la UNA y los
contenidos de la parte 1, emita una conclusión al respecto. Estas
actividades evaluativas serán entregadas al docente de Nivel Central
(Profesor José Velásquez) en la semana Nº 4, por la vía de valija y/o correo
electrónico para su corrección y posterior devolución en caso de necesitar
mejoras.
UNIDAD 2
La unidad 2 trata de las prácticas escolares dentro y fuera del aula
relacionadas con conceptos y aplicaciones geométricas por lo que las lecturas
relacionadas versarán sobre las actividades escolares que realizan los
alumnos en relación con la geometría, ya sea dentro o fuera del aula. Estas
prácticas que ejecutan los estudiantes deberían estar relacionadas con el
currículo y se intenta conocer cuál ha sido su experiencia para lo cual
requerimos que como participante asista a por lo menos 4 clases de
Matemática de un colega en las cuales (de acuerdo con la planificación que
suministre el profesor de Matemática), pueda observar los contenidos
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geométricos que allí se enseñan, los instrumentos de los cuales se vale el
docente para explicar cómo lo hace, de que manera los alumnos ..llevan a
cabo sus actividades y otras actividades que considere importante reseñar ;
para realizar esto debe elaborar un instrumento de observación que
considere pertinente el cual debe enviar al profesor para su revisión y
consideración.
Las lecturas 3 y 4 tratan de las construcciones geométricas que pueden ser
realizadas con Regla y Compás, estas lecturas son de vital importancia ya
que le permiten al estudiante corroborar sus habilidades en el uso de los
instrumentos mencionados y cómo se realizan diversas construcciones.
La lectura 5 nos presenta una ponencia del profesor Ángel Míguez de la UNA,
en la cual explica las pautas para analizar una lección de geometría o un
contenido, en la misma el profesor Míguez nos comenta como las creencias
de los docentes marcan su actuación en relación con la enseñanza de la
Geometría y nos brinda algunas herramientas para realizar el análisis de la
lección.
Las restantes lecturas nos presentan elementos manipulables tales como el
geoplano y la manera cómo se utiliza el la enseñanza de la Geometría.
Luego de realizadas las observaciones y las lecturas de la unidad, prepare su
material para las actividades correspondientes al objetivo, en el cual debe
hacer mención de las observaciones realizadas en el aula de clase así como
también de sus aportes sobre como deben realizarse las tareas relacionadas
con la enseñanza de la geometría de bachillerato.
Realiza las siguientes actividades de evaluación:
1. Con el apoyo de una regla y compás biseca un ángulo y explica paso a
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paso como lo hizo.
2. Construya un triángulo cuyos lados sean de 5 y 8 centímetros y formen
un ángulo de 45 grados entre sí.
3. Usando el geoplano (construya uno si no lo tiene), presente la
demostración del teorema de Pitágoras y explique cómo lo hizo.

4. Elabore un reporte sobre sus observaciones en la cual incluya sus ideas
personales sobre la enseñanza de la geometría en III Etapa de
Educación Básica y Media Diversificada. Argumente suficientemente
sus ideas.
5. De acuerdo con la lectura del profesor Míguez, analice una lección de
geometría de un texto de matemática de autor (es) venezolano (s).
Estas actividades evaluativas serán entregadas al docente de Nivel
Central ( profesor José Velásquez) en la semana Nº 6, por la vía de
valija y/o correo electrónico para su corrección y posterior devolución
en caso de necesitar mejoras.
MÓDULO II
UNIDAD 3
La unidad 3 presenta un grupo de lecturas donde se debe analizar diferentes
teorías, trabajos de investigación y modelos de enseñanza, aprendizaje y
evaluación en Geometría, de manera tal que el estudiante logre establecer
elementos de comparación sobre cómo ha evolucionado la enseñanza de la
Geometría, de las distintas teorías que han surgido; mención especial se
hace sobre los estudios de los esposos Van Hiele y su propuesta de un
modelo que nos permite ayudar a mejorar el pensamiento geométrico de los
alumnos y la enseñanza de la geometría.
Para evaluar esta unidad (y además las unidades 4 y 5), se aplicará una
prueba integral de desarrollo en dos momentos por lo que se recomienda
que cada lectura que se haga sea preparada usando esquemas, fichas o
mapas conceptuales, para cuando le corresponda presentarla.
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Se recomienda que por cada lectura elabore un cuestionario con sus
respectivas respuestas para que tenga este material preparado para la fecha
del examen que debe presentar. También sería importante que, en caso de
considerarlo necesario, hagas sugerencias, críticas u observaciones sobre el
material y lo envíe al nivel central para tomarlo en cuenta en posteriores
revisiones; remita todos tus trabajos al Área de Educación, carrera de
Educación Matemática, profesor José Velásquez Hernández o llama a
los teléfonos 0212-5552218 o a los correos jvelasquez@una.edu.ve,
jjvelasquez07@gmail.com, jjvelasquez07@yahoo.es.
En la primera lectura de esta unidad se presenta el modelo de Van Hiele para
la didáctica de la geometría, en ella el autor explica con detalles sobre el
trabajo de los esposos Van Hiele acerca del aprendizaje de la geometría por
parte de los alumnos y de los distintos niveles que van alcanzando en la
medida que aprenden la asignatura, es importante que al leerla vaya
analizando detalladamente cada nivel y los procesos y características de cada
uno de manera tal que obtenga un panorama del modelo en forma macro
para que posteriormente lo pueda aplicar a sus prácticas docentes. En la
siguiente lectura el profesor García habla acerca de la evaluación del
aprendizaje geométrico, comenzando por dar una definición de geometría,
posteriormente analiza la estructura del conocimiento geométrico desde lo
conceptual pasando por lo procedimental hasta considerar el aspecto
metacognitivo, que es el que le da sentido a la Didáctica ya que allí el
estudiante entiende que es lo que debe aprender y su importancia, también
habla de los procesos del aprendizaje geométrico (aquí hay conexión con la
unidad 4), y luego nos presenta la evaluación del aprendizaje geométrico en
la cual indica la importancia del docente como mediador entre la geometría y
el estudiante pero le asigna al estudiante parte activa en su propia
evaluación, orientándolo con diversos estrategias e instrumentos a que tome
parte en dicho proceso evaluativo. Las lecturas restantes permiten
complementar las dos primeras de manera tal que el estudiante se forme
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una visión más amplia de las teorías nombradas y de la evaluación en
geometría
A continuación se presentan las siguientes actividades, las mismas son
sugeridas para lograr que se familiarice con las preguntas de la prueba
integral de desarrollo que debe presentar:
1. Siguiendo la teoría de los Niveles de Van Hiele (también puede
revisar de nuevo la lectura N° 5), analice una lección de un texto de
matemática relacionada con los contenidos de geometría, explique
si la lección sigue los pasos de Van Hiele. Debe decir que texto
escogió y cual fue la lección.
2. De acuerdo con los niveles de Van Hiele ¿cómo plantearía la
enseñanza de un concepto geométrico cualquiera?, explique los
pasos que seguiría.
3. De acuerdo con la lectura del profesor García sobre la evaluación en
Geometría, ¿cómo evaluaría en sus alumnos la adquisición de un
concepto geométrico cualquiera de los presentados en el
programa?, explique paso a paso y anexe el instrumento de
evaluación elaborado.
UNIDAD 4
En esta unidad se trata de conocer como piensan los estudiantes ante la
Geometría presentada en el currículo venezolano, cómo razonan, cómo
visualizan los procesos, cuáles son sus creencias en torno a la enseñanza, al
aprendizaje y a la evaluación en geometría, al mismo tiempo se desea que
usted como futuro profesor de Educación Matemática reflexione sobre los
procesos cognitivos de los alumnos y de que manera puede ser estimulado el
pensamiento geométrico y mejorar el razonamiento espacial y abstracto de
los estudiantes.
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Puede considerar sus propias reflexiones sobre experiencias personales de
aprendizaje o de enseñanza en su actuación como docente de aula (o como
alumno) con respecto a algún contenido de geometría puesto en práctica. Si
lo desea puede anexar cualquier material que considere de interés para
ilustrar la importancia de los procesos realizados sobre el tema y para
fundamentar su trabajo.
La primera lectura (tomada de la tesis doctoral del profesor Almeida) de la
unidad trata sobre la enseñanza de la geometría, de su relevancia luego de
la publicación de los estándares del Nacional Council of Teacher Mathematics
(NCTM), de la forma cómo debe ser enseñada, de su integración con la
realidad y el arte, y sobre la necesidad de que el profesor reflexione sobre la
misma. La siguiente lectura de la profesora Hershkowitz trata del
razonamiento en geometría, habla del constructivismo y del aproximamiento
sociocultural como corrientes que ayudan a mejorar la capacidad de
raciocinio de los estudiantes, luego continua con tres tendencias principales
en el aprendizaje del razonamiento geométrico y sobre la misma se extiende.
La última lectura habla sobre los recuerdos, experiencias y creencias de los
estudiantes para maestro sobre geometría, si bien es cierto se trata el tema
sobre maestros, son estudiantes universitarios y sus experiencias son tan
valederas como las de otros alumnos, esta lectura es un reporte de una
investigación en la cual se muestran los pasos seguidos por los
investigadores y lo más importante: sus conclusiones, sobre las cuales se
debe hacer especial hincapié para resaltar los mismos y compararlo con lo
que cada docente piensa del tema y con sus propias creencias.
Para evaluar esta unidad se requiere que realice las siguientes actividades:
1. Diseñe un cuestionario para conocer y analizar las creencias de los
estudiantes de bachillerato sobre geometría, su enseñanza y
aprendizaje. Es necesario que esté en aula para poderlo aplicar a
cualquier grado o año, en caso de no estar ejerciendo, solicite la ayuda
de algún docente de matemática de III Etapa o media para que pueda
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aplicar dicho cuestionario. El mismo no tiene que ser identificado y
debe hacer que los alumnos se sientan tranquilos y no atemorizado por
que piense que es una evaluación más.
2. Con los resultados obtenidos en la aplicación del cuestionario, tabúlelos
y posteriormente elabore las conclusiones al respecto sobre los
aspectos que usted considere relevantes. Estas actividades evaluativas
serán entregadas al docente de Nivel Central ( profesor José
Velásquez) en la semana Nº 9, por la vía de valija y/o correo
electrónico para su corrección y posterior devolución en caso de
necesitar mejoras.
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MÓDULO III
UNIDAD 5
Esta unidad junto con la siguiente conforman el módulo III del curso de
Didáctica de la Geometría, referido a las aplicaciones de la geometría. Este
módulo se halla relacionado estrechamente con el módulo I, por lo que
sugerimos que, de ser necesario, revise nuevamente las lecturas que
considere importante en dicho módulo.
La primera lectura trata de la Geometría y Realidad, en ella el profesor Alsina
(eminente estudioso de la enseñanza de la geometría español), plantea las
relaciones existentes entre geometría y las cosas y objetos que vemos en la
realidad, la relaciona con la naturaleza y presenta unas tablas en las cuales
presenta figuras geométricas y sus pares de la naturaleza y/o de la realidad
construida por el hombre, posteriormente hace referencia a la modelización y
a las ocho etapas propuestas por Pollack, se recomienda que las lea con
detenimiento y haga un esquema de lo interpretado acerca de las mismas.

Luego presenta una serie de “problemas interesantes”, se recomienda
que trate de resolver algunos. Para finalizar habla del laboratorio de
geometría y de cómo organizar una actividad docente usando el laboratorio
mencionado. En la siguiente lectura dl profesor Gascón, se habla del autismo
temático sobre el estudio de la geometría en secundaria, comienza el
profesor Gascón haciendo algunas precisiones sobre los niveles de
responsabilidad en el sistema español educativo y la planificación curricular
relacionada con matemática, posteriormente dedica una parte al estudio de
la geometría en secundaria, otra a los cuadriláteros y su enseñanza y
termina hablando acerca de la geometría y el currículo.
En general se habla de las aplicaciones que tiene la geometría en las diversas
actividades del ser humano como por ejemplo: en la arquitectura donde se
evidencia un profundo conocimiento de los principios geométricos para erigir
monumentos tan imponentes y maravillosos como las Pirámides de Egipto o
La Gran Muralla China; también se aprecia hoy día el profuso uso de las
figuras geométricas en el diseño de mobiliario, utensilios, vehículos, juguetes
y un sin fin de objetos que hacen de nuestra vida más cómoda y confortable.
La Geometría como medio de expresión la conseguimos en diversas
manifestaciones culturales y artísticas, por ejemplo las pinturas de Picasso,
las esculturas de Carlos Cruz Diez, de Jesús Soto o del colombiano Botero.
En la vida diaria percibimos múltiples figuras geométricas en las cajas de
medicinas, implementos deportivos, herramientas de trabajo, entre otros.
La propia naturaleza nos da una muestra del uso de la geometría, para ello
pensemos en los caracoles o las estrellas de mar, la tela de una araña, los
panales de las avispas o abejas, los túneles de los topos, las construcciones
de las nutrias y muchas cosas más.
Como podrá evidenciar, la geometría aparece en una variedad de entornos
del ser humano, en muchas actividades, por lo que las aplicaciones
parecieran ser ilimitadas, solamente la inventiva y creatividad del hombre
pueden ponerle un límite, de acuerdo a esto te sugiero que reflexiones sobre
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otras actividades y presencia de la geometría en otros ámbitos y elabora un
esquema que complemente las lecturas para preparar este material para la
prueba integral.
A continuación se presenten las siguientes actividades para complementar
esta unidad:
1. Haga una observación detallada de su habitación, casa o salón de
clases y elabore un reporte de los objetos que tengan forma
geométrica regular.
2. Investiga porqué la construcción del poliedro de Caracas tiene esa
forma y cuál es el sustento arquitectónico o de ingeniería para
escogerlo.
3. Resuelva al menos dos problemas de los planteados por el profesor
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Alsina en su lectura.
4. Elabore un ensayo sobre la lectura del profesor Gascón, recuerde que
allí se habla del caso español, así que se le recomienda que trate de
compararlo con lo que sucede en Venezuela de acuerdo con sus
perspectivas y creencias.
5. Sugiero que visite la página http://www.fpolar.org.ve/Matematicas3.
En ella encontrara material de interés sobre este tema por lo que se
considera de provecho para mejorar su formación integral como
docente de matemática.
UNIDAD 4
En esta unidad se presentan 3 lecturas relacionadas con las diversas
aplicaciones de la Tecnología a la enseñanza de la Geometría, además de los
más variados Software Geométricos que se usan hoy en día para facilitar el
trabajo en geometría. Es recomendable que, adicionalmente a las lecturas,
revise en Internet y en la bibliografía sugerida sobre otros elementos

tecnológicos usados, de manera que se forme una visión amplia sobre lo que
está sucediendo en el ámbito mundial con relación a las prácticas escolares y
la geometría y la tecnología.
Para la aprobación de este objetivo debe realizar las siguientes actividades:
1. Elaborar una propuesta didáctica sobre la enseñanza de un tópico
de geometría con alguna aplicación tecnológica. La propuesta
debe contemplar objetivos, materiales, instrucciones, modelos o
gráficos, aplicabilidad y cómo evaluarla.
2. Elabore un cuadro en el cual se mencionen algunos software
geométricos, sus principales características y aplicaciones en el
aula de clase.
3. Redacte un ensayo no mayor de tres (03) páginas en el cual
comente sobre las utilidades de las nuevas tecnologías en la
enseñanza y el aprendizaje de la geometría escolar.
Al final de la selección de lecturas se presentan algunos artículos anexos
para que usted complemente su trabajo, la lectura no es obligatoria pero
recomendamos hacerla para orientarse mejor en las actividades y en la
prueba que va a presentar. También se presenta el manual de elaboración de
trabajos escritos de los profesores Mosquera y Salcedo. Además un artículo
sobre cómo escribir un ensayo, el cual es de la autoría del profesor
Velásquez y trata de orientar la redacción del mismo.
Debes entregar por escrito todas las actividades propuestas del Módulo 1 a más tardar la 15ª semana del
semestre a través de la valija de la Universidad, esto con la finalidad de que tu trabajo sea revisado y en
caso de necesitar mejorarlo, tengas oportunidad de hacerlo. Es necesario que para la entrega de estas
actividades sigas las orientaciones que presentamos a continuación:
 Debes ser conciso y preciso en las respuestas.
 Si usas un procesador de palabras debes usar como mínimo una letra tamaño 11 puntos y máximo
12 puntos, usa tipos de letra sencillos. Usa hojas tamaño carta. Si no dominas el uso del editor de
ecuaciones, símbolos, tablas, gráficos y dibujos deja el espacio en blanco en el sitio correspondiente
y hazlo a mano con un bolígrafo o un color de tu agrado.
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 Si vas a realizar el trabajo a mano usa letra legible y clara. Debes usar un block de hojas tamaño
carta de una línea. Preferiblemente hazlo en bolígrafo azul para facilitar su lectura.
 Responde de manera ordenada, secuencial.
 El trabajo debe estar limpio y legible.
 El trabajo a entregar no debe estar encuadernado, simplemente engrapado en el orden
correspondiente y a lo sumo en una carpeta sencilla.
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