Tesis de grado completa

DESARROLLO DE LA COMPETENCIA RAZONAMIENTO Y
ARGUMENTACIÓN MATEMÁTICA EN EL CONTEXTO DE
TRIÁNGULOS CONGRUENTES EN OCTAVO GRADO
WENDIS PAOLA CAMARGO GARCÍA
LUZ ELENA MUÑIZ MÁRQUEZ
UNIVERSIDAD DEL ATLÁNTICO
FACULTAD DE EDUCACIÓN
LICENCIATURA EN MATEMÁTICAS
BARRANQUILLA 2014

DESARROLLO DE LA COMPETENCIA RAZONAMIENTO Y
ARGUMENTACIÓN MATEMÁTICA EN EL CONTEXTO DE
TRIÁNGULOS CONGRUENTES EN OCTAVO GRADO
WENDIS PAOLA CAMARGO GARCÍA
LUZ ELENA MUÑIZ MÁRQUEZ
TRABAJO DE INVESTIGACIÓN PRESENTADO COMO
REQUISITO PARA OPTAR EL TÍTULO DE LICENCIADO EN
MATEMÁTICAS
ASESOR:
MG. CLARA INÉS DE MOYA FRUTO
UNIVERSIDAD DEL ATLÁNTICO
FACULTAD DE EDUCACIÓN
LICENCIATURA EN MATEMÁTICAS
BARRANQUILLA 2014

Nota de aceptación
Presidente
Jurado I
Jurado II
Barranquilla 2014

AGRADECIMIENTOS
Este proyecto de investigación fue realizado con mucho esfuerzo y entusiasmo para
obtener el título de licenciado en matemáticas, durante el proceso de elaboración le
agradecemos Dios por permitirnos alcanzar una meta más en nuestras vidas y
convertirnos en profesionales de la educación, brindándonos la fuerza, las ganas y la
satisfacción de haber realizado nuestro trabajo a tiempo y de cumplir el sueño de
graduarnos con nuestros compañeros, de la misma forma a la universidad del Atlántico,
la cual nos ofreció formación de calidad para poder desempeñarse de la mejor forma en
el quehacer docente, además a la asesora Clara Inés de Moya Fruto quien con mucho
interés veló por el bienestar y resultado exitoso de nuestro trabajo de investigación y por
último a la institución Educativa Esther de Peláez, al comité de profesores y estudiantes
de octavo grado que nos brindaron apoyo para lograr los resultados esperados en esta
investigación.

DEDICATORIA
A Dios por hacer posible el logro de este gran sueño de convertirme en licenciada
en matemáticas. A mis padres CELINA GARCIA MEJIA Y CARLOS CAMARGO
VILLALBA, por todo lo que me han dado en esta vida, especialmente por sus sabios
consejos, por estar siempre a mi lado apoyándome y colaborándome en los momentos
más difíciles.
A mis hermanos, VICENTA CAMARGO, JOHANINIS CAMARGO Y
HERNANDO JAVIER CAMARGO quienes han sido mi mayor motivación y alegría
cada día. A mi primo, CARLOS ENRIQUE NARVAEZ, que desde el cielo me ha
brindado las fuerzas necesarias para seguir adelante en mi carrera y en mi vida. Y por
último a mí amiga, LUZ ELENA MUÑIZ MÁRQUEZ, quien día a día ha sido mi
compañera de batalla para poder alcanzar este sueño. Gracias a todas las personas que
me han apoyado. A TODOS LOS AMO.
Wendis Paola Camargo García

DEDICATORIA
Después de realizar mi trabajo de investigación, quiero dedicárselo a mi padre y a
mí abuela que desde el cielo se dio cuenta de mi dedicación y empeño con que realicé
mi trabajo de investigación cumpliendo así un sueño en mi proyecto de vida, de igual
forma cabe resaltar a Dios que es el intermediario para que todos mis sueños se hagan
realidad y el que permitió culminar mis estudios de una manera satisfactoria.
A mí porque realice a cabalidad toda la investigación y durante ella mostré mucha
dedicación, interés y esfuerzo para su realización logrando así el resultado deseado por
todos.
Por último a todos los profesores, a mí madre y a mí esposo que con mucha
dedicación colaboraron con mucho empeño a que mi sueño se hiciera realidad y
cumpliera una meta más de mi proyecto de vida.
Luz Elena Muñiz Márquez

RESUMEN
El presente documento plantea ofrecer una panorámica teórica general encaminada
a utilizar las demostraciones de triángulos congruentes como estrategia didáctica para
que favorezca la competencia de razonamiento y argumentación matemática a través de
una interrelación entre docente- estudiante y su nivel de independencia para responder a
cada una de las temáticas teniendo en cuenta los contenidos básicos del aprendizaje para
la educación secundaria plasmados en los lineamientos curriculares y en los estándares
básicos de competencia de matemáticas, a fin de lograr un óptimo desempeño de los
estudiantes dentro del ámbito escolar.
Diseñar intervenciones educativas enmarcadas en actividades contextuales y una
ambientación propicia llevando así al desarrollo de las habilidades cognitivas,
permitiendo facilitar el acceso y uso de la geometría, además de lograr un aprendizaje
significativo y una empatía e interés en los estudiantes hacia un lenguaje nuevo.
ABSTRACT

TABLA DE CONTENIDO
Introducción
Capítulo I
1. Planteamiento del Problema
1.1 Descripción del Problema.
1.2 Formulación del Problema.
1.3 Justificación.
1.4 Objetivos.
1.4.1 Objetivo General.
1.4.2 Objetivos Específicos.
Capítulo II
2. Marco Referencial
2.1 Antecedentes.
2.2 Marco Teórico
2.3 Marco Conceptual.
Capítulo III
3. Diseño Metodológico
3.1 Paradigma de Investigación.
3.2 Tipo de Investigación.
3.2.1 Etapas de la Investigación.
3.3 Población y Muestra.
3.4 Técnicas para la Recolección de Información.
3.5 Análisis e Interpretación de los Resultados.

Capítulo IV
4. Propuesta Pedagógica
4.1 Título.
4.2 Presentación.
4.3 Justificación.
4.4 Objetivos.
4.5 Metodología.
4.6 Plan de Acción.
4.7 Actividades realizadas.
4.8 Análisis de la Implementación de la propuesta.
4.8.1 Análisis Estadístico.
4.8.2 Análisis de la Evaluación Final.
4.9 Conclusiones.
4.10 Recomendaciones.

Lista de Anexos
Anexo A: Diagnóstico
Anexo B: Encuesta Realizada a Estudiantes
Anexo C: Entrevista a Docentes.
Anexo D: Entrevista a Estudiantes.
Anexo E: Evidencias de Redacción de Información.
Anexo F: Evidencias Aplicación de la Propuesta.
Anexo G: Evaluación Final
Anexo H: Evidencias Fotográficas.
Lista de Gráficas
Ilustración nº 1 Gráfico de la Prueba Diagnóstica.
Ilustración nº 2 Gráfico de la Encuesta a Estudiantes.
Ilustración nº 3 Gráfico de la Encuesta a Estudiantes (Desempeño en Geometría).
Ilustración nº4 Gráfico de Clasificación del Triángulo y sus Elementos (Prueba
Diagnóstica).
Ilustración nº 5 Gráfico de Clasificación del Triángulo y sus Elementos. (Evaluación
Final).
Ilustración nº 6 Gráfico de Talleres de las Actividades.
Ilustración nº 7 Gráfico de Análisis de la Evaluación Final.

1
INTRODUCCIÓN
Este trabajo está orientado a desarrollar la competencia de razonamiento y
argumentación matemática en relación a la enseñanza-aprendizaje de las
demostraciones de triángulos congruentes, en el nivel de básica secundaria en el grado
octavo; este tema es de vital interés, ya que evidencia en diversas investigaciones, la
forma y tamaño, de las figuras geométricas, la cual surge de un modo natural la
posibilidad de que dos o más figuras coincidan. El paso siguiente consiste en establecer
una relación que incluye esta posibilidad en el pensamiento geométrico, el objetivo es
que los estudiantes aprendan lo que necesitan aprender, lo sepan aplicar y aprovechar a
lo largo de la vida. Partiendo de las dificultades presentadas a la hora de realizar
demostraciones de triángulos congruentes se hacen presente las siguientes:
 Confusión en el reconocimiento de datos conocidos (hipótesis- tesis).
 No hay claridad y organización en el diseño de la demostración.
 Falencias en la aplicación de conceptos básicos de la geometría.
 Frustración al no hallar una solución rápida de la demostración.
 Deficiencias en el pensamiento espacial y reconocimiento de figuras.
 Poca comprensión de postulados, teoremas y propiedades llevando a memorizar
los procesos sin una argumentación valida.
 Dificultad en la utilización de la gráfica como apoyo para la realización de la
demostración.

2
Por tales situaciones, se hizo importante la elaboración del trabajo de investigación
titulado “desarrollo de la competencia de razonamiento y argumentación matemática en
el contexto de triángulos congruentes en octavo grado”, éste se proyecta como una gran
alternativa metodológica que favorezca al individuo en el desarrollo de esta
competencia y al docente en el mejoramiento, para el desarrollo de su clase. En la
misma línea, cabe recalcar la importancia que representa para los estudiantes que el
medio escolar estimule el desarrollo de las competencias matemáticas, ya que es en la
etapa escolar, en que se desarrolla o limita su potencial intelectual. Las dificultades
presentadas por los estudiantes de octavo grado de la Institución Educativa Esther de
Peláez fueron detectadas a través del registro y análisis de la información recolectada
mediante encuestas, entrevistas aplicadas a estudiantes, docentes, y el dialogo directo
con los estudiantes y docentes frente a la ausencia de la asignatura dentro del horario de
clases; lo cual permitió establecer un diagnóstico que explicitara con claridad la
problemática.
Es así como se asume el diseño y elaboración de una propuesta estructurada a través
de la formulación, el planteamiento, la transformación y resolución de problemas, por
medio de situaciones de la vida cotidiana, de las otras ciencias y de las matemáticas
mismas, enmarcadas en actividades concretas. Permitiendo analizar la situación;
identiﬁcar lo relevante en ella; establecer relaciones entre componentes y con
situaciones semejantes; formarse modelos mentales y representarlos externamente en
distintos registros; construyendo distintos problemas, posibles preguntas y respuestas
que surjan a partir de ella. Integrando el razonamiento y la argumentación, exigiendo la
justificación del análisis y procedimientos realizados además de la validez de las
soluciones.

3
1.0 PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA
1.1. Descripción del Problema
Debido a la actual postura mundial hacia la globalización, el país y las instituciones
educativas deben estar a la vanguardia hacia la modernización, partiendo de un proceso
de enseñanza – aprendizaje basado en la construcción de conocimiento y el desarrollo
de competencias, por medio de herramientas metodológicas propias en el área de
matemáticas. Por diversas razones, durante muchos años las matemáticas han
constituido un “dolor de cabeza” para los padres, los maestros y los estudiantes desde el
inicio de su proceso educativo, generando situaciones en el proceso de enseñanza –
aprendizaje que flaquean al estudiante produciendo dificultad en la construcción de
conceptos matemáticos y la argumentación de procesos operacionales, creando así
apatía a la disciplina, además de razonamientos que solo se limitan a respuestas
predeterminadas, por tal razón se les complica realizar demostraciones de triángulos
congruentes a los estudiantes de octavo grado, debido a que no identifican la
información dada, presentando confusión en la comprensión y aplicación de teoremas,
postulados, además de la poca interpretación de gráficas y figuras. Debido al mal
manejo del lenguaje matemático propuesto por el docente, así como la monotonía en las
clases, sin recursos didácticos que propicien el aprendizaje.
Las dificultades presentadas por los estudiantes a la hora de realizar demostraciones
de triángulos congruentes son las siguientes:
 Confusión en el reconocimiento de datos conocidos (hipótesis- tesis).
 No hay claridad y organización en el diseño de la demostración.
 Falencias en la aplicación de conceptos básicos de la geometría.

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 Frustración al no hallar una solución rápida de la demostración.
 Deficiencias en el pensamiento espacial y reconocimiento de figuras.
 Poca comprensión de postulados, teoremas y propiedades llevando a
memorizar los procesos sin una argumentación valida.
 Dificultad en la utilización de la gráfica como apoyo para la realización
de la demostración.
Algunos ejemplos que proporcionan veracidad a las dificultades mencionadas
anteriormente en conjunto con los resultados de las pruebas saber en los grados quinto y
noveno en los años 2012 y 2009 arrojan las deficiencias de los estudiantes en el
componente geométrico específicamente en la competencia de razonamiento y
argumentación matemática dando razón a la problemática vivenciada en los estudiantes
en el área de geometría:
1) Si BD̅̅̅̅̅ ⊥ AC̅̅̅̅,∠1 = ∠2; demostrar que ∆ ABD ≅ ∆ CBD
Claramente no hay un análisis del reconocimiento de los datos dados y el debido
procedimiento a ejecutar posteriormente.
Demostración:
∠ABD =∠ DBC =90º (definición de perpendicularidad).
BD̅̅̅̅̅ = BD̅̅̅̅̅ (Lado común);
∠1=∠2 (Ángulo común) ⇒ ∆ ABD ≅ ∆ CBD (dado)

5
En concordancia con el desarrollo de la demostración del ejercicio anteriormente
planteado, se observa la poca organización de ideas a la hora de efectuar la
demostración.
En el siguiente ejemplo los estudiantes distinguen los datos conocidos, pero no
saben ubicar los datos en la figura, a pesar de que la construyen.
1) Si AC̅̅̅̅ = AD̅̅̅̅̅ y ∠1= ∠2 Demostrar que ∠C = ∠D
AC̅̅̅̅ = AD̅̅̅̅̅ Y ∠1= ∠2 (son datos conocidos)
Se estancan en esta parte y no saben cómo continuar.
2) Digamos qué triángulos son congruentes, indicando el criterio (LLL, LAL)
∆𝐼 ≅∆𝑉, ∆𝐼𝑉 ≅ ∆𝐼𝐼, ∆𝑉 ≅ ∆𝑉𝐼𝐼, ∆𝑉𝐼 ≅ ∆𝐼𝐼𝐼

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No son capaces de resolver el sistema a partir de la suma de los ángulos interiores
de un triángulo que es igual a 180°, por lo que no realizan conjeturas y análisis de
propiedades, para conocer el otro ángulo y asociarlo de manera que cumpla el
postulado.
3) En la figura AC̅̅̅̅ = BC̅̅̅̅ Y DC̅̅̅̅ = EC̅̅̅̅. Demostremos que AE̅̅̅̅ = DB̅̅̅̅
La complejidad de los ejercicios el estudiante provoca en el estudiante frustración al
no poder dar una solución acertada a la demostración. No hay un pensamiento espacial
desarrollado, lo que no permite una visualización de la figura planteada.
DC̅̅̅̅̅ = BD̅̅̅̅̅ (Lado común)
∠1=∠2 (ángulo común) ⇒ AE̅̅̅̅ = DB̅̅̅̅

7
A continuación se muestran unas gráficas tomadas de los resultados de las pruebas
saber del año 2012 de la Institución Educativa Esther de Peláez específicamente del área
de matemáticas en quinto grado y noveno grado.

8
En comparación con el año 2009 al 2012 hubo un descenso en el desarrollo de la
competencia de razonamiento y argumentación reflejada en el componente geométrico
tanto en quinto grado como en noveno grado.
Es necesario que se dé la temática teniendo en cuenta el nivel de aprendizaje de los
estudiantes para así desarrollar actividades y talleres en donde lo esencial es que el
estudiante se apropie del conocimiento motivándolo para que comprenda la utilidad y
aplicabilidad, para luego darlo a conocer simultáneamente. Este proceso general
requiere del uso ﬂexible de conceptos, procedimientos y diversos lenguajes para
expresar las ideas matemáticas pertinentes y para formular, reformular, tratar y resolver
los problemas asociados a dicha situación.

9
1.2 Formulación del Problema
Frente a este planteamiento del problema se pretende dar respuesta a los siguientes
interrogantes:
• ¿Cómo desarrollar la competencia de razonamiento y argumentación
matemática a través de las demostraciones de triángulos congruentes en
octavo grado?
• ¿Cuáles son las dificultades que presentan los estudiantes de octavo
grado en el desarrollo de demostraciones de triángulos congruentes?
• ¿Qué habilidades usan los estudiantes para resolver sus demostraciones
en geometría?
• ¿Qué habilidades matemáticas facilitan el desarrollo de las
demostraciones de triángulos congruentes en octavo grado?
• ¿Cómo el docente facilita el desarrollo de la competencia de
razonamiento y argumentación matemática por medio de la enseñanza de
demostraciones de triángulos congruentes en octavo grado?

10
1.3 JUSTIFICACIÓN
Las demostraciones de triángulos congruentes son de gran importancia en octavo
grado, ya que los estudiantes presentan dificultades tanto para demostrar como para
razonar, aplicar teoremas y postulados, debido a las pocas bases obtenidas en los grados
anteriores, por lo que se encuentran en una etapa transitoria entre el pensamiento
concreto y el pensamiento formal.
Piaget (s.f.), propone cuatro factores relacionados con el desarrollo
cognoscitivo: la madurez, la experiencia adquirida, lenguaje y transmisión
social, y equilibrio. Considera además que cada uno de estos factores y la
interacción de los mismos establecen las condiciones necesarias para el
desarrollo cognoscitivo, pero que ninguno por sí mismo es suficiente para
asegurar el desarrollo cognoscitivo. Los movimientos en cada etapa del
desarrollo y entre éstas son funciones de estos factores y su interacción.
El pensamiento formal integra las generalizaciones, discernimientos, perspicacia,
intuición y comprensión, así mismo ver la interacción existente entre las ideas y las
acciones. El estudiante que ha desarrollado el pensamiento formal Es capaz ahora de
entender plenamente y apreciar las abstracciones simbólicas, de razonar correctamente
sobre proposiciones en las que no cree aún (hipótesis). Periodo denominado también
hipotético – deductivo.

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De esta forma; se hace transcendental para la formación de la matemática, la
geometría, la cual pertenece al pensamiento espacial, en el que los procesos cognitivos
mediante los cuales se construyen y se manipulan las representaciones mentales de los
objetos del espacio, las relaciones entre ellos, sus transformaciones, y sus diversas
traducciones o representaciones materiales en ella se contemplan las actuaciones del
sujeto en todas sus dimensiones y relaciones espaciales para interactuar de diversas
maneras con los objetos situados en el espacio, desarrollar variadas representaciones y,
a través de la coordinación entre ellas, hacer acercamientos conceptuales que favorezcan
la creación y manipulación de nuevas representaciones mentales. Esto requiere del
estudio de conceptos y propiedades de los objetos en el espacio físico y de los conceptos
y propiedades del espacio geométrico en relación con los movimientos del propio
cuerpo y las coordinaciones entre ellos y con los distintos órganos de los sentidos.
Por tal razón; es necesario que los niños de octavo grado se encuentren situados en
este tipo de pensamiento, lo cual casi siempre es una de las grandes dificultades, puesto
que se ven afectados en esa etapa transitoria de un grado otro, como lo es el caso de
séptimo a octavo grado, durante este proceso los estudiantes intentan seguir los métodos
antiguos provenientes del grado anterior y no le dan paso a nuevas formas de
generalizar patrones, por tal razón se les hace complicado un tema en específico que
requiere un pensamiento formal, como lo son las demostraciones de triángulos
congruentes, las cuales requieren la utilización de nuevos conceptos y la aplicación de
competencias como la argumentación, la comunicación, el razonamiento, y modelación;
de tal manera; se desea desarrollar esta temática a partir de nuevos métodos y
herramientas que permitan que el pensamiento del estudiante empiece a ser reversible,
flexible y mucho más complejo.

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Además, se requiere el uso de estrategias didácticas que faciliten el desarrollo
de la competencia de razonamiento y argumentación matemática rompiendo con los
parámetros tradicionales de la enseñanza-aprendizaje de la geometría, por lo que se
propone la construcción de características y propiedades de las formas geométricas
bidimensionales y tridimensionales y desarrollar argumentos acerca de las relaciones
geométricas. Como transformaciones y describir relaciones espaciales para analizar
situaciones matemáticas. Para un mayor desarrollo intelectual, para que los estudiantes
logren ser personas competentes y con grandes habilidades del pensamiento. El
desarrollo de las competencias básicas ha supuesto un nuevo enfoque de las relaciones
enseñanza-aprendizaje y esto es así, en la medida en que su incorporación al currículo
permite poner el acento en aquellos aprendizajes que se consideran imprescindibles,
desde un planteamiento integrador y orientado a la aplicación de los saberes adquiridos.

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1.4 OBJETIVOS
Desarrollar la competencia de razonamiento y argumentación matemática en
estudiantes de octavo grado a través de las demostraciones de triángulos
congruentes.
• Determinar las causas y efectos generados en los estudiantes a la hora de
realizar demostraciones de triángulos congruentes en geometría.
• Proponer situaciones de aprendizaje que favorezcan el razonamiento en
los aspectos espaciales, métricos y geométricos, apoyado en el uso de gráﬁcas.
• Promover herramientas didácticas que faciliten la comprensión de
teoremas y postulados en las demostraciones de triángulos congruentes.
• Propiciar ambientes interesantes y creativos en la enseñanza de las
matemáticas que reflejen el afecto y comprensión hacia los estudiantes durante
el desarrollo de los eventos pedagógicos.

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2.0 MARCO REFERENCIAL
Los intentos emprendidos para mejorar la enseñanza de la geometría, de forma que
se recupere del olvido intencional al que la comunidad didáctica le había relegado en la
década de los sesenta, no parecen haber dado los resultados esperados. Se está
produciendo un estancamiento que se hace evidente tanto en las concepciones que los
alumnos se forman de esta materia como en el dominio, cada vez más grande que ejerce
el campo numérico (la aritmética) no solo de la geometría sino también sobre otras
ramas de la matemática.
Todas las investigaciones sobre geometría señalan la conveniencia de una buena
construcción del espacio que prepare la modelación del mismo que constituye cualquier
tipo de geometría. Por lo que dicha construcción debe manejarse en los primeros niveles
de educación como paso previo para poder abordar posteriormente una construcción
seria de la geometría, para así encontrar una prolongación entre los diferentes conceptos
geométricos adquiridos en los diferentes modelos. La génesis de los conceptos
geométricos en el niño impone la construcción y modelización de un espacio sobre el
que él pueda actuar y construir los distintos conceptos geométricos.
Existen diferentes investigaciones, monografías, teóricos y artículos de revistas, en
el ámbito internacional, nacional y regional que de alguna manera contribuyen con esta
investigación. A continuación se señalan las siguientes:

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2.1 Antecedentes Internacionales
Marcos Lorenzón (2008), España, realizó una investigación titulada ”un modelo de
análisis de competencias matemáticas en un entorno interactivo”, con el objetivo de
diagnosticar los beneficios cognitivos que se producen en los alumnos en relación con la
adquisición de determinadas competencias matemáticas, en particular relacionadas con
el aprendizaje de la geometría y con el desarrollo de la competencia comunicativa,
utilizando un entorno interactivo de aprendizaje soportado por los medios informáticos.
Se ha implementado y analizado un modelo para potenciar el desarrollo de ciertas
competencias matemáticas por parte de alumnos de educación secundaria, cuando los
mismos desarrollan trabajo colaborativo en un entorno virtual de aprendizaje (EVA) que
utiliza soportes informáticos, implementado ciertas estrategias para el diseño de las
actividades que permiten atender a la diversidad. Estas estrategias, que consisten
básicamente en un sistema de "ayudas progresivas" y “diversificaciones”, han
constituido una herramienta potente para dar una respuesta estratégica al problema de la
atención a la diversidad, posibilitando que cada alumno desarrolle al máximo sus
potencialidades; herramienta factible de aplicarse en otros contextos de aprendizaje.
Para realizar el análisis del aprendizaje de la Geometría y del desarrollo de la
competencia comunicativa matemática a lo largo del proceso, se han diseñado y
aplicado unos instrumentos de análisis específicos. En relación al aprendizaje de la
geometría, hemos diseñado y utilizado un instrumento de análisis con sus
correspondientes indicadores que nos permite estudiar el "itinerario de resolución"
recorrido por cada alumno, y nos aporta una información muy relevante para el estudio
del proceso, estableciendo la complejidad de la actividad resultante para cada enunciado
en cada caso, y evaluar la evolución de cada estudiante a lo largo del proceso.

16
En el mismo sentido en el proceso de validación, el estudiante pone en juego lo que
denominamos esquemas de argumentación, entendidos como la forma en que un
individuo utiliza su razonamiento durante una práctica argumentativa; y esta última
queda definida como el conjunto de acciones y razonamientos que un individuo pone en
juego para justificar o explicar un resultado o para validar una conjetura nacida durante
el proceso de resolución de un problema (Flores, 2007, Pág. 47-49).
Crespo Crespo (s.f.), Argentina, Instituto Superior del Profesorado “Dr. Joaquín V.
González”, En el trabajo titulado “la importancia de la argumentación matemática en el
aula”, con el objetivo de mostrar la demostración en el aula de matemática en la tarea
docente, enfrenta la situación en la cual los educandos no comprenden la necesidad de
la demostración de propiedades en matemática. En ciertas oportunidades se contentan
con una simple verificación, en otras “creen” la propiedad, pues les resulta evidente.
Aún cuando puedan llegar a comprender que en ciertos momentos es necesario
demostrar una propiedad, la dificultad de asumir la exigencia de las demostraciones en
las ciencias formales se complica más aún cuando ellos son quienes realizan estas
demostraciones. Las distintas formas del pensamiento lógico no siempre son logradas
satisfactoriamente por los estudiantes en la escuela.

17
La demostración en clase de matemática presenta una gran diversidad de formas, y
aparece en los distintos niveles educativos a través de variados tipos de
argumentaciones. El pensamiento deductivo se va construyendo lentamente a lo largo de
las distintas etapas de la escuela. Esto no significa que se logre realmente su
construcción de manera sólida. Es común encontrar estudiantes universitarios que aún
no han logrado dominar este contenido procedimental (Ibañes y Ortega, 1997).
Los matemáticos, habituados a demostrar, consideran muchas veces que se trata de
un procedimiento natural en el estudio de la matemática. Sin embargo, indudablemente
se ponen de manifiesto serios obstáculos al adquirirlo: lo que para el matemático es
natural y fácil, para la mayor parte de los estudiantes es algo difícil, artificial e incluso
sin sentido, ya que muchas veces no manifiestan la necesidad de la demostración para
aceptar una propiedad. Esto pone en evidencia concepciones distintas con respecto a la
matemática (Crespo, (s.f.), Pág. 23).
En este propósito Aravena Díaz & Caamaño Espinoza en el artículo titulado
“Niveles de razonamiento geométrico en estudiantes de establecimientos
municipalizados de la Región del Maule. Talca, Chile”, Revista latinoamericana de
investigación en matemática educativa, Relime vol.16 no.2 México jul. 2013, Al mismo
tiempo, los estudios son coincidentes en señalar que el aprendizaje de la geometría
juega un papel fundamental en la resolución de problemas, puesto que si se considera
como un modelo de representación y descripción de la realidad, se constituye en un
importante elemento unificador (Fortuny & Giménez, 1998). Desde el punto de vista del
aprendizaje, ayuda al estudiante a desarrollar diversos procesos de razonamiento, que en
la mayoría de los casos tienen adecuados soportes gráficos y manipulativos.

18
El documento "Perspectivas en la enseñanza de la geometría para el siglo XXI",
elaborado por el ICME en los años noventa, deja claro la importancia de la geometría en
el proceso de formación de los estudiantes, al ser considerada como "una herramienta
para comprender, describir e interactuar con el espacio en que vivimos, es quizás la
parte más intuitiva, concreta y unida a la realidad de las matemáticas" (ICMI, 1998,
p.337, citado en Blanco y Barrantes, 2003, Pág. 2).
En particular, se analizan los estudios centrados en los procesos cognitivos que se
enfocan en la manera cómo se produce el aprendizaje de los conceptos geométricos,
para explicar la evolución del pensamiento geométrico, colocando el énfasis en los
procesos claves, tales como: visualización, reconocimiento, identificación, clasificación
y representación. También se abordan los procesos de argumentación de los hechos
geométricos: la generalización, aplicación y demostración; teniendo en consideración
las interacciones que existen entre los procesos de visualización y razonamiento (Vinner
& Hershkowitz, 1983; Hershkowitz, 1990; Vinner, 1991; Gutiérrez y Jaime, 1998;
Duval, 1998; Fortuny y Giménez, 1998).
2.1.1 Antecedentes Nacionales
A su vez Morales Chávez & Majé Floriano (2011), Florencia, Colombia, realizaron
una investigación titulada “competencia matemática y desarrollo del pensamiento
espacial. Una aproximación desde la enseñanza de los cuadriláteros” con el objetivo de
diagnosticar el reconocimiento del fracaso en la enseñanza de la matemática moderna,
diversos trabajos han centrado su interés en el estudio de la enseñanza y el aprendizaje
de las matemáticas y la geometría en las aulas escolares. En particular:

19
Godino, Batanero y Font (2004) proponen un estudio cuyo objetivo es que los maestros
en formación desarrollen una visión de la enseñanza de las matemáticas que contemple
entre otras cosas, las clases como comunidades matemáticas, el razonamiento
matemático más que los procedimientos de simple memorización, la formulación de
conjeturas, la invención, la resolución de problemas, la conexión de las ideas
matemáticas y sus aplicaciones y la tecnología como elemento esencial en la enseñanza
para estimular el aprendizaje de las matemáticas en los estudiantes.
En el mismo sentido el (MEN) a través de los lineamientos curriculares en
matemáticas (1998) y estándares básicos de competencias en la misma área (2006),
constituyen la base para la orientación de los procesos de enseñanza y aprendizaje en las
aulas escolares. Para ello se establecen unos conocimientos básicos, los cuales permiten
desarrollar el pensamiento matemático y hacen referencia a diferentes tipos: numérico,
espacial, métrico, variacional y aleatorio. De acuerdo a los lineamientos, se plantea una
nueva visión del conocimiento matemático en la escuela dentro de sus referentes
curriculares haciendo énfasis en la importancia de la geometría por su mismo carácter
de herramienta para interpretar, entender y apreciar un mundo que es eminentemente
geométrico; por tanto, constituye una importante fuente de modelación y un ámbito por
excelencia para desarrollar el pensamiento espacial y procesos de nivel superior y, en
particular, formas diversas de argumentación. En cuanto a los sistemas geométricos se
hace énfasis en el desarrollo del pensamiento espacial, el cual es considerado como el
conjunto de los procesos cognitivos mediante los cuales se construyen y se manipulan
las representaciones mentales de los objetos del espacio, las relaciones entre ellos, sus
transformaciones, y sus diversas traducciones a representaciones materiales (MEN,
1998, Pág. 37).

20
La Formulación y Resolución de Problemas
En este aspecto se encuentran diversos estudios, los cuales, adicionaron otros
componentes integradores al desarrollo del pensamiento matemático. Lo anterior se
puede resumir de la siguiente manera: Rico (1990) plantea que resolver problemas no es
solo llegar a la respuesta de algo que antes no se conocía, sino que intervienen
diferentes procesos en los que se involucran la comprensión, el planteamiento y
elección de estrategias. En particular, el autor afirma: Resolver problemas no se reduce
a usar la matemática conocida, requiere de una gran dosis de creatividad y reelaboración
de hechos, conceptos y relaciones, en el sentido más real del término, resolución de
problemas es crear y construir matemática. Memorizar y repetir todas las reglas
deductivas que operan en un sistema formal fuertemente estructurado constituye a veces
una derivación del comportamiento real del matemático. Confundir los procesos de
producción y elaboración del conocimiento matemático con sus resultados cristalizados
es un error frecuente en nuestra enseñanza; por ello, la resolución de problemas
constituye no sólo una buena estrategia metodológica sino que supone una forma de
aproximación más real al trabajo en matemática (Pág. 15).
Godino et al. (2004) afirman que resolver problemas es esencial si se requiere
conseguir un aprendizaje significativo de las matemáticas. No se debe pensar en esta
actividad sólo como un contenido más del currículo matemático, sino como uno de los
vehículos principales del aprendizaje de las matemáticas y una fuente de motivación
para los estudiantes, ya que permite contextualizar y personalizar los conocimientos. Al
resolver un problema el estudiante dota de significado a las prácticas matemáticas
realizadas, ya que comprende su finalidad.

21
De igual forma en Colombia, los lineamientos curriculares proponen el desarrollo
de unos procesos generales asumidos en la enseñanza de toda actividad matemática y
que están relacionados con:
• La resolución y el planteamiento de problemas
• El razonamiento
• La comunicación
• La modelación
• La elaboración, comparación y ejercitación de procedimientos.
Además se indica que: La resolución de problemas es el mejor camino para
desarrollar estas competencias ya que permite activar las capacidades básicas
del individuo, como son leer comprensivamente, reflexionar, establecer un plan
de trabajo, revisarlo, adaptarlo, generar hipótesis, verificar el ámbito de validez
de las soluciones, etc. Esta debe ser asumida como el eje central del currículo de
matemáticas, y como tal, debe ser un objetivo primario de la enseñanza y parte
integral de la actividad matemática, pero esto no significa que se constituya en
un tópico aparte del currículo, deberá permearlo en su totalidad y proveer un
contexto en el cual los conceptos y herramientas sean aprendidos (MEN, 1998,
Pág. 74-75).

22
Bermúdez Davis (2011), San Andrés isla, Colombia, en su investigación titulada
“Estudio de la congruencia de figuras planas. Construcciones con regla y compas. Una
propuesta para sexto grado”, la investigación adopta la elaboración de una propuesta
didáctica, basada en las construcciones con regla y compás, el trabajo responde a un
problema detectado en el aula de clase, como lo es, el no reconocimiento, por parte de
los estudiantes, de las figuras planas, propiedades y las relaciones de congruencia y
semejanza.
Por su parte Herrera Sepúlveda (2012), Medellín Colombia, en su trabajo de
investigación “Evaluación de la competencia argumentativa en matemáticas”, afirma
que entre las definiciones existentes de argumentación se optara por entender, en
términos generales el argumentar como el uso del lenguaje verbal o escrito “para formar
un discurso que dé cuenta de nuestras convicciones acerca de un asunto. Este discurso
tiene como función fundamental convencer o persuadir, en forma razonada, a otro (s) de
las creencias personales; exige entonces, realizar, a partir de la premisa que se tiene por
cierta, construcciones que expliquen, justifiquen, relacionen y concluyan
convincentemente la (s) tesis supuesta (s).” (Calderón, Dora Inés y León C, Olga Lucía,
1996, Pág.12).
Ante la situación planteada, se asume que en matemáticas dicho discurso se
encaminará a la justificación “que el estudiante pone de manifiesto ante un problema; la
expresión de dichos por qué busca poner en juego las razones o justificaciones
expresadas como parte de un razonamiento lógico, esto es, las relaciones de necesidad y
suficiencia, las conexiones o encadenamientos que desde su discurso matemático son
válidos” (Pedraza, LP y Constanza, Luz, 2004, Pág. 21).

23
Es importante tener en cuenta que dichas justificaciones, razones o por qué, no
deben corresponder a una argumentación desde lo puramente cotidiano, sino que deben
ser razones que permitan justificar el planteamiento de una solución o una estrategia
particular desde las relaciones o conexiones válidas dentro de la matemática.
Es conveniente que se haga dicha aclaración ya que, aunque el significado o la
esencia de la argumentación en matemáticas no es diferente a la argumentación en otras
áreas, si se tiene que las situaciones argumentativas en matemáticas difieren de otras
situaciones puesto que, lo que se pone en juego en la argumentación son las
restricciones propias del problema a resolver y ellas son las que determinan la elección
de los argumentos. En matemáticas la fuerza del argumento dependerá principalmente
de su adaptación a la situación y no tanto a su resonancia en el universo del interlocutor;
se trata de asegurar que la solución funciona o puede funcionar (Calderón, Dora Inés y
León C, Olga Lucía, 2003, Pág. 38).
Teniendo en cuenta lo anterior, se podría decir que el argumentar en matemáticas se
hace importante en la medida que fortalece la competencia comunicativa en dicha área,
ya que, en la medida que el estudiante se sienta en la necesidad de argumentar se verá
en la obligación de manejar de manera adecuada el lenguaje y el discurso matemático,
además de utilizar una serie de operaciones discursivas como: Designar objetos y
generar proposiciones a partir de otras proposiciones dadas, igualmente “ la actividad
argumentativa permite confrontar procesos, representaciones y soluciones; y, junto con
ello, concepciones en varios ámbitos: matemático, social, ideológico, afectivo, entre
otros” (Calderón, Dora Inés y León C, Olga Lucía, 1996, Pág. 22).

24
2.1.2 Antecedentes Locales
Arias, Castañeda & Navarro 2002 realizaron una investigación titulada “Estrategia
pedagógica para la enseñanza y aprendizaje de triángulos sus segmentos y rectas
notables en estudiantes de sexto grado” con el objetivo de diagnosticar el material
didáctico y guía como medio de construcción y comprensión de conceptos, basados en
el modelo constructivista con aprendizaje significativo para acceder al conocimiento en
forma secuencial a partir de la manipulación de objetos concretos.
Desarrollo del Pensamiento Espacial
Los lineamientos curriculares creados por el MEN (1998) exponen que en los
sistemas geométricos se hace énfasis en el desarrollo del pensamiento espacial, el cual
es considerado como el conjunto de los procesos cognitivos mediante los cuales se
construyen y se manipulan las representaciones mentales de los objetos del espacio, las
relaciones entre ellos, sus transformaciones, y sus diversas traducciones a
representaciones materiales. Los sistemas geométricos se construyen a través de la
exploración activa y modelación del espacio tanto para la situación de los objetos en
reposo como para el movimiento. Esta construcción se entiende como un proceso
cognitivo de interacciones, que avanza desde un espacio intuitivo o sensorio- motor.
(Que se relaciona con la capacidad de práctica de actuar en el espacio manipulando
objetos, localizando situaciones en el entorno y efectuando desplazamientos, medidas,
cálculos espaciales, etc.), a un espacio conceptual o abstracto relacionado con la
capacidad de representar internamente el espacio reflexionando y razonando sobre
propiedades geométricas abstractas, tomando sistemas de referencia y prediciendo los
resultados de manipulaciones mentales.

25
Este proceso de construcción del espacio está condicionado e influenciado tanto por
las características cognitivas individuales como por la influencia del entorno físico,
cultural, social e histórico. Por tanto, el estudio de la geometría en la escuela debe
favorecer estas interacciones, se trata de actuar y argumentar sobre el espacio
ayudándose con modelos y figuras, con palabras del lenguaje ordinario, con gestos y
movimientos corporales.
Lineamientos Curriculares en Matemáticas. Por tanto el pensamiento espacial debe
privilegiarse mediante el estudio de la geometría plana para los grados séptimo, octavo
modelada por situaciones problémicas donde el estudiante se motive al estudio a partir
de las reflexiones que le motive el problema, que piense, dialogue y ejecute posibles
soluciones geométricas, basándose en sus conceptos previos donde el papel del docente
será modelar este proceso para posibilitar el desarrollo del pensamiento espacial (MEN
1998).

26
2.2 MARCO TEÓRICO
2.2.1 Razonamiento y Argumentación.
2.2.1.1 Razonar Matemáticamente.
El razonamiento es una actividad que adopta multitud de formas, ya que abarca
enfoques muy alejados unos de otros. Se puede definir como un esquema organizado de
proposiciones que se orienta hacia un enunciado-objetivo, con miras a modificar el
valor epistémico, y que por tanto, altera el valor de verdad bajo el cumplimiento de
ciertas condiciones.
Cabe señalar las características siguientes, necesarias para que un discurso pueda
ser reconocido como razonamiento:
• Estar orientado hacia el enunciado-objetivo, es decir, hacia la proposición a
justificar.
• Estar centrado en el valor lógico o epistémico de esta proposición, y no sobre su
contenido. Precisamente esta segunda propiedad distingue al razonamiento de la
explicación: La explicación de una o más razones para volver comprensible o entendible
un dato, tiene un valor descriptivo, sin valor epistémico; el razonamiento también da
razones, pero su papel es el de comunicar la fuerza de argumento a las afirmaciones que
se desean justificar.

27
Con todo y lo anterior uno de los razonamientos que se va a desarrollar es el de
demostración, pero, ¿Qué se entiende por demostración?, hoy en día, los matemáticos
afirman que una demostración no es otra cosa sino aquello que los matemáticos aceptan
como demostración; en palabras de N. Balacheff, Acuña, (1996) la define como:
“prueba es una explicación aceptada por una comunidad en un momento dado, y si un
enunciado se conoce como verdadero y bien definido, a estas pruebas las llamaremos
demostraciones”.
Dado que la práctica de razonamientos no forma parte expresa de los distintos
currículos en matemáticas, por tanto, el razonamiento que el estudiantado emplea es el
que se desarrolla por efecto de la edad y de la experiencia de la vida cotidiana. Sin
embargo y, aunque necesaria, esta lógica del sentido común no es suficiente para el
estudio matemático que requiere otro tipo de reglas. Duval (1999) distingue con toda
claridad argumentación de demostración, así, mientras la argumentación es un
procedimiento lógico que busca convencer, la demostración es un procedimiento lógico
que produce proposiciones apodícticas. En matemáticas, los razonamientos empleados
buscan concluir proposiciones que se revelan necesariamente verdaderas, es decir,
apodícticas. Por el contrario en la lógica cotidiana, se busca convencer.
En este propósito para Duval la deducción matemática es un proceso de
razonamiento intrínsecamente ligado a un lenguaje y, como tal, en sus diversas formas,
se caracteriza por movilizar explícitamente proposiciones y consiste en el paso
“justificado” o “necesario” que tiene lugar desde la enunciación de ciertas proposiciones
en calidad de premisas, a la aserción de una nueva proposición en calidad de su
consecuencia o conclusión. Así mismo, un razonamiento ligado a un lenguaje no tiene

28
que ser confirmado o invalidado por la experiencia, por el aporte de informaciones
suplementarias o por el establecimiento de consenso en el interior de un grupo, sino que
es por sí mismo válido o no válido dependiendo esto, únicamente del respeto a las
reglas que rigen la organización de las proposiciones entre sí, y no del contenido de las
mismas.
En este sentido, se entiende por razonamiento a la facultad humana que permite
resolver problemas, extraer conclusiones y aprender de manera consciente de los
hechos, estableciendo conexiones causales y lógicas necesarias entre ellos. En sentido
más restringido se puede hablar de diferentes tipos de razonamiento:
 El razonamiento argumentativo en tanto actividad mental se corresponde con la
actividad lingüística de argumentar. En otras palabras, un argumento es la expresión
lingüística de un razonamiento.
 El razonamiento lógico o causal es un proceso de lógica mediante la cual,
partiendo de uno o más juicios, se deriva la validez, la posibilidad o la falsedad de otro
juicio distinto. El estudio de los argumentos corresponde a la lógica, de modo que a ella
también le corresponde indirectamente el estudio del razonamiento. Por lo general, los
juicios en que se basa un razonamiento expresan conocimientos ya adquiridos o, por lo
menos, postulados como hipótesis. Es posible distinguir entre varios tipos de
razonamiento lógico. Por ejemplo el razonamiento deductivo (estrictamente lógico), el
razonamiento inductivo (donde interviene la probabilidad y la formulación de
conjeturas) y razonamiento deductivo, entre otros.

29
En general, se considera válido un razonamiento cuando sus premisas ofrecen
soporte suficiente a su conclusión. Puede discutirse el significado de "soporte
suficiente", aunque cuando se trata de un razonamiento no deductivo, el razonamiento
es válido si la verdad de las premisas hace probable la verdad de la conclusión. En el
caso del razonamiento deductivo, el razonamiento es válido cuando la verdad de las
premisas implica necesariamente la verdad de la conclusión.
De ahí los razonamientos no válidos que, sin embargo, parecen serlo, se denominan
falacias. El razonamiento nos permite ampliar los conocimientos sin tener que apelar a
la experiencia. También sirve para justificar o aportar razones en favor de lo que
conocemos o creemos conocer. En algunos casos, como en las matemáticas, el
razonamiento nos permite demostrar lo que sabemos; es que aquí hace falta el
razonamiento cuantitativo. El termino razonamiento es el punto de separación entre el
instinto y el pensamiento, el instinto es la reacción de cualquier ser vivo.
En contraste con Piaget (1979) mantiene la prevalencia del razonamiento deductivo
sobre el lenguaje al afirmar la menor dificultad de ejecutar materialmente un acto que
ejecutarlo en el pensamiento, lo que requiere traducirlo de manera simbólica en palabras
o imágenes y esta reelaboración supone una aceleración que llega hasta ciertas vistas de
conjunto simultáneas.

30
Es por ello que a la hora de hablar de razonamiento es relevante detenerse en la
comprensión y uso de los términos “definir” y “demostrar”, para identificar el
razonamiento matemático. No es posible avanzar de un nivel a otro sin poseer esas
habilidades. Para conocer en qué nivel de razonamiento se encuentra un estudiante es
necesario atender tanto a sus estrategias de resolución de problemas como a su forma de
expresarse y al significado que le da al vocabulario que escucha, lee o utiliza para
expresar sus conocimientos. Hay que tener en cuenta, que el paso de un nivel de
pensamiento a otro no es automático, no está rígidamente ligado a la edad, sino que
depende de la correcta superación del nivel anterior. Por ello es conveniente atender al
desarrollo de los primeros niveles si se pretende que se alcancen adecuadamente los
niveles de pensamiento deductivo.
2.2.1.2 Leer, Escribir y Argumentar.
La argumentación es el mecanismo que relaciona la información concreta con las
abstracciones y generalizaciones; es decir, es el proceso que relaciona datos, siguiendo
las reglas del pensamiento crítico, para obtener información nueva (Álvarez, Pág.74).
De esta manera, podemos decir que el propósito principal de los textos argumentativos
es legitimar explícitamente la información nueva que proporciona el texto, por medio de
datos empíricos, razonamientos o pruebas; en otras palabras, la función primordial de la
argumentación es persuadir al lector de lo que se afirma.
Según Álvarez, en el libro escribir en español, los componentes básicos de la
argumentación son presentar una información dada o de saber general y una
información aducida que puede relacionarse con la antes mencionada para llegar a una
conclusión. Ambos tipos de información conducen a información nueva, otra

31
conclusión, o al contenido nuclear del texto (Pág.74). La información nueva se obtiene
gracias a la asociación de ideas, datos, ejercicios, bibliografía y razonamientos lógicos;
es decir, al ejercicio del pensamiento crítico. Es por esto que la argumentación es un
medio de comunicación importante, de generación de nuevas ideas y conocimiento.
Es así como incidir en el desarrollo de la competencia argumentación desde el área
de matemáticas se debe insistir en dos aspectos. Por una parte la incorporación de lo
esencial del lenguaje matemático a la expresión habitual y la adecuada precisión en su
uso. Por otra parte, es necesario incidir en los contenidos asociados a la descripción
verbal de los razonamientos y de los procesos. Se trata tanto de facilitar la expresión
como de propiciar la escucha de las explicaciones de los demás, lo que desarrolla la
propia comprensión, el espíritu crítico y la mejora de las destrezas comunicativas.
Ahora bien, según Sardà (2003), “La argumentación es una actividad social,
intelectual y verbal que sirve para justificar o refutar una opinión, y que consiste en
hacer declaraciones teniendo en cuenta al receptor y la finalidad con la cual se emiten.
Para argumentar hace falta elegir entre diferentes opciones o explicaciones y razonar los
criterios que permiten evaluar como más adecuada la opción elegida” (Pág. 123).
Desde otro punto de vista, Raymond Duval, por su parte, establece una discusión
entre discusión y argumentación Duval, (1999) “una argumentación trata de mostrar el
carácter de verdad de una proposición, una explicación da una o más razones para
volver comprensibles un dato, fenómeno o resultado y una demostración es una
secuencia de enunciados según reglas determinadas” (Pág.35). Para este autor, el

32
concepto de argumentación se encuentra estrechamente ligado al de justificación de una
afirmación, o bien en contra de una afirmación que se debe refutar.
Técnicas Argumentativas
Existen diferentes modos de presentar y llevar a cabo la argumentación. La más
común es, según el orden de los componentes, ya sea por medio de la deducción (se
inicia con la tesis y posteriormente con la argumentación) o la inducción (la tesis se
expone después de los argumentos). Por otro lado, el argumentador, puede echar mano
de estrategias que le permitirán sostener de manera eficaz su opinión, y concluir de
manera verosímil:
 Argumentos basados en la generalización: abstraen lo común y esencial de las
cosas para formar un concepto general; es decir, generalizar algún dato, información o
idea. Ejemplo: El argumentar mis propias ideas, me ayuda a desarrollarlas. Por esta
razón, la argumentación fomenta el pensamiento crítico. Otras son las generalizaciones
indiscutibles: La generación espontánea no existe.
 Argumentos basados en la analogía: comparar o buscar relación entre dos o más
razones, conceptos, datos; es decir, buscar la similitud entre diferentes situaciones o
eventos.
 Argumentos basados en signos: tomar en cuenta que ciertos tipos de evidencia son
sintomáticos de un principio más amplio.
 Argumentos causales: argumentar que un evento o situación determinada es el
resultado o el efecto de un factor determinado.
 Argumentos de autoridad: utilizar algún recurso de respaldo de nuestra opinión para
fortalecer la argumentación.

33
 Argumentos basados en principios: utilizar principios aceptados por la sociedad y
mostrar cómo éstos se relacionan con lo que se intenta argumentar.
 Contraste de ideas: contraponer o mostrar la diferencia entre dos o más ideas.
Ejemplo: De acuerdo con la teoría de Piaget, el desarrollo cognitivo no es un proceso
cuantitativo de ir añadiendo nuevos elementos a las cadena, sino que existen diferencias
cualitativas entre los niveles de desarrollo.
 Ejemplificación: ilustrar los argumentos por medio de casos particulares. Ejemplo: En
el caso de la violencia escolar, quienes la sufren son los jóvenes en las aulas: en el D.F.
un alumno de bachillerato puso una denuncia por continuas agresiones de sus
compañeros.
Finalmente la argumentación suele combinarse con el resto de las estructuras
retóricas (narración, exposición/explicación y descripción) con diferentes fines. Es muy
común que los textos argumentativos estén combinados con el discurso expositivo
(pretende informar) y con el explicativo (pretende aclarar) porque estos ayudan a la
construcción de argumentos sólidos. La exposición se utiliza para informar, información
que sirve para convencer o persuadir a alguien de la propuesta establecida (Sánchez
Lobato, 381). Por otro lado, aunque la narración y la descripción son menos frecuentes
en los textos argumentativos, también suelen utilizarse normalmente como herramientas
que ayudan a persuadir al lector. Por ejemplo, narrando una historia que ayude a
sostener el argumento presentado. Así que, se puede afirmar que cada una de las
estructuras retóricas complementa y ayuda a la realización de las otras.

34
2.2.1.3 Razonamiento y Argumentación en el Ámbito Escolar.
La enseñanza en educación matemática está marcada por lo tradicional, los
estudiantes realizan los ejercicios mecánicamente y no hay una análisis reflexivo de los
resultados al preguntarle al estudiante como llego a la respuesta comúnmente responde
no sé, solo sé que es la repuesta pero ¿por qué es importe enseñar a pensar? Sin
embargo, la mayoría de nosotros que hablamos acerca de enseñar a pensar,
probablemente coincidiríamos que lo que necesitamos enseñar y aprender, en esa área,
no es como pensar en un sentido absoluto, sino como pensar más efectivamente más
críticamente, más coherentemente, más creativamente, más profundamente de lo que a
menudo hacemos típicamente. Para estar seguros, toda la gente hace cálculos, pero no
igualmente acertados; toda la gente usa analogías, pero no igualmente apropiadas; toda
la gente saca conclusiones, pero no con igual cuidado; toda la gente estructura
argumentos, pero no con la misma fuerza.
La idea es que se puede constatar una reciente preocupación por incluir en los
distintos programas educativos actuales una parte específica relacionada con la
demostración. Por ejemplo, en el borrador de los estándares para el 2000 del NCTM,
uno de estos estándares se llama “Razonamiento y prueba”, en el que explícitamente se
señala: Los programas de instrucción matemática deberían centrarse en el aprendizaje
de razonamientos y la construcción de pruebas como parte de la comprensión
matemática de forma que todos los estudiantes:
• Realicen e investiguen conjeturas matemáticas.
• Desarrollen y evalúen los argumentos y pruebas matemáticas.

35
• Seleccionar y usar los tipos de razonamiento y métodos de demostración
apropiados.
• Reconozcan el razonamiento y la prueba como una poderosa y esencial parte de
las matemáticas.
Basándose en la experiencia, hay una pequeña evidencia de que los estudiantes
adquieren buenas habilidades de pensamiento como simple consecuencia del estudio
convencional de las materias del curso. Aunque el conocimiento del campo específico
es esencial para el pensar bien dentro de un campo, no es suficiente para asegurar que
ocurrirá el pensar bien.
Cabe señalar el planteamiento de:
Glaser (1985) Un estudiante no tiende "naturalmente" a desarrollar una
disposición general a considerar atentamente las materias y problemas que
vienen dentro del rango de su experiencia, ni si él o ella probablemente
adquieran conocimiento de los métodos de preguntas lógicas y razonamiento y
habilidad en la aplicación de estos métodos simplemente como resultado de
haber estudiado esta o aquella materia. Hay una pequeña evidencia de que los
estudiantes adquieren habilidad en pensamiento crítico como una necesidad
derivada del estudio de cualquier materia dada (Pág. 27).

36
A todo esto, la definición va enmarcada a justificar, lo que lleva a una estrecha
relación entre ellas por lo que se hace necesario tomar la concepción de justificación de
Jorba 1998, se entiende que “justificar es producir razones o argumentos, establecer
relaciones entre ellos y examinar su aceptabilidad con la finalidad de modificar el valor
epistémico de una tesis en relación al corpus de conocimientos en que se incluyen los
contenidos objeto de la tesis” (Pág. 81).
Es oportuno ahora destacar que el niño de básica secundaria se familiariza con un
nuevo lenguaje para él, por lo que es de vital importancia potenciar las competencias
matemáticas en especial la de razonamiento y argumentación, a través de tareas fáciles y
un trabajo en conjunto con los padres de familia o cualquier persona que frecuente su
círculo social.
A lo largo de los planteamientos hechos anteriormente, “el estado de desarrollo
cognitivo del estudiante impondrá que la acción didáctica plantee situaciones que,
tomando como base la zona de desarrollo efectivo, se den primordialmente en la zona
de desarrollo potencial” Vygotsky (s.f.). “Esa acción didáctica no será posible si las
situaciones a las que enfrentamos al estudiante no se desarrollan en un espacio que
permita ejercer la devolución” Rousseau (s.f.). El estudiante se debe enfrentar a
situaciones espaciales en las que pueda manejar, pueda confrontar, pueda ejercer una
acción y pueda designar los diversos elementos espaciales a los que se enfrenta. Esto no
es posible si no se tiene en cuenta la talla del espacio sobre el que se plantean las
diversas situaciones de enseñanza- aprendizaje.

37
2.2.2 Competencia Matemática.
2.2.2.1 Acerca del Concepto de Competencia.
Se define competencia como aquella capacidad de responder a las distintas
demandas tanto individuales como colectivas, o también para realizar una función
determinada de una forma adecuada. Así surge de la combinación de habilidades
prácticas, conocimientos, motivación, valores éticos, actitudes, emociones y otros
componentes sociales y de comportamiento que se movilizan para lograr una acción
eficaz.
La idea es que la educación basada en competencias es una nueva orientación que
sobre todo pretende dar respuesta a la sociedad de la información. El concepto de
competencia tal y como lo entienden en educación, es el resultado de las nuevas teorías
de cognición y básicamente significa saberes de ejecución.
Nótese que todas esas ideas van encaminadas hacia el lenguaje, es así como
Chomsky (1985), a partir de las teorías del lenguaje instaura el concepto y define
competencias como la capacidad y disposición para el desempeño y para la
interpretación. La educación basada en competencias se fundamenta en un currículo
apoyado en las competencias de manera integral y en la resolución de problemas. Es
una cuestión fundamental de entender es que la educación basada en competencias,
quien aprende lo hace al identificarse con lo que produce, al reconocer el proceso que
realiza para construir, así como las diferentes metodologías que dirigen el proceso.

38
Para ilustrar mejor este enfoque de la formación con base en competencias pretende
orientar la formación de los estudiantes hacia el desempeño idóneo en los diversos
contextos culturales y sociales, esto requiere hacer de ellos protagonistas de su vida y de
su proceso de aprendizaje a partir del desarrollo y fortalecimiento de sus habilidades
cognoscitivas y meta cognoscitivas, la capacidad de actuación y el conocimiento y
regulación de sus procesos afectivos y motivacionales. Han supuesto un avance, porque
matizan y enriquecen los enfoques basados en capacidades que han sido dominantes en
las políticas curriculares de muchos países durante finales del siglo XX.
En el campo educativo son múltiples las definiciones que puede contactarse sobre
competencias. Levy-Laboyer (2000) definen las competencias como “repertorios de
comportamientos que unas personas dominan mejor que otras, lo que las hace eficaces
en una situación determinada”. Tejada (1999) plantea que las competencias expresan
“un conjunto de conocimientos, procedimientos y actitudes combinados, coordinados e
integrados, en el sentido de que el individuo ha de saber hacer y saber estar para el
ejercicio profesional, como resultante de su formación escolar”. Otra definición dada
por Fernández (2004) quien señala “las competencia aluden al resultado del desempeño
de un sujeto frente a las exigencias de una tarea con un alto nivel de calidad y auto
responsabilidad” (p 156). El Instituto Colombiano para el Fomento de la Educación
Superior –ICFES-, define las competencias como un conjunto de acciones que el sujeto
realiza cuando interactúa significativamente en un contexto determinado, definición que
se resume en: un saber hacer en contexto (ICFES, 1999).

39
Por otra parte, desde el enfoque epistemológico, García Fraile, Tobón y López
(2009), asumen las competencias desde un enfoque socio formativo, esto es asumir las
competencias como “actuaciones integrales ante problemas del contexto con idoneidad
y compromiso ético”. El carácter socio formativo a que han referencia los autores está
en el hecho de concebir las competencias como una actuación o desempeño
contextualizado. Tal concepción supone problemas epistemológicos, filosóficos y
pedagógicos importantes en la reflexión curricular.
Visto así, las competencias expresan una actuación compleja de la persona, en la
que se ponen en juego sus capacidades reales y potenciales en términos de lo que
conoce, de lo que puede hacer, y las formas como puede valorar y disponerse
actitudinalmente en el abordaje de situaciones personales, sociales y profesionales.
En términos pedagógicos, las competencias son la resultante del esfuerzo educativo
por florar o desplegar las facultades mentales, actitudinales y procedimentales –vista en
su complejidad- en el individuo, para que, tal como lo plantea Tobon, la persona pueda
transitar los diversos ámbitos de la vida –social, laboral, profesional- haciendo uso del
repertorio de atributos que posee y que adquirido en su proceso formativo. Esto implica
que para el desarrollo de competencias en el individuo debe proyectarse y promoverse
conocimientos, habilidades y valores en la persona que le habilite a interactuar con su
entorno.

40
Las competencias se constituyen en un referente de organización de la enseñanza,
sustitutivo del modelo educativo basado en objetivos de enseñanza y objetivos de
aprendizaje, ya que se considera que es una forma fragmentaria de promoción de la
enseñanza y del aprendizaje, contrario a un contexto social signado por la idea de “la
imagen total”, la “multicausalidad y referencialidad”, la indeterminación, la
complejidad, etc.
Queda definido entonces que las competencias integran:
(i) saber: asociado al conocimiento que posee una persona y “demuestra el
conjunto de saberes teóricos o prácticos relacionados con una determinada
ocupación” (Delors, 1996).
(ii) saber hacer: relacionado con las habilidades y destrezas del individuo y se
refiere a “aptitudes para realizar con facilidad y precisión las tareas de una ocupación”.
(iii) saber estar y convivir: conjunto de actitudes que asume la persona
internamente y/o con relación al entorno, indicando la “manera de enfocar el desempeño
de las diversas tareas de una ocupación”.
(iv) saber ser: vinculado a los valores de los sujetos, como factores que guían sus
comportamientos y decisiones. En el proceso de operacionalización, las competencias se
descomponen en atributos o tareas e indicadores de desempeño. Los atributos o tareas
son las acciones desarrolladas por el individuo en el marco de su desempeño profesional
y los indicadores de desempeño son unidades de análisis que expresan el nivel de logro
o ejecución de la competencia. Se descompone de esta forma ya que se entiende la
enseñanza como posibilidad de análisis y el aprendizaje como posibilidad de síntesis de
los aspectos señalados anteriormente, pero puestos en contextos -hipotéticos y reales- de
actuación de la persona.

41
2.2.2.2 Ser Competente: Un Reto Escolar.
Actualmente se maneja la posición de que el aprendizaje de los estudiantes debe ser
por competencias, todas las áreas manejan un tipo específico, en el caso del área de
matemáticas es preciso citar la citar la siguiente definición:
La competencia matemática consiste en un saber hacer en la práctica mediante
herramientas matemáticas. Consiste en utilizar la actividad matemática en contextos tan
variados como sea posible. Hace especial énfasis en aspectos sociales como la
comunicación y la argumentación. Muestra cómo los estudiantes pueden utilizar lo que
han aprendido en situaciones usuales de la vida cotidiana. Se alcanzará en la medida en
que los conocimientos matemáticos se apliquen de manera espontánea a una amplia
variedad de situaciones, provenientes de otros campos de conocimiento y de la vida
cotidiana (Rico y Lupiáñez, 2008).
Cabe agregar que la competencia matemática tal cono la considera Niss (1999) va
encaminada a un punto fijo en el horizonte es entonces la habilidad de entender, juzgar,
hacer y usar las matemáticas en una variedad de situaciones y contextos intra y extra
matemáticos, en los que éstas juegan o podrían jugar un papel.

42
A los efectos de este es interesante comprender lo que es competencia matemática,
para que los docentes desempeñen la labor de la mejor forma, hay que salir de los
parámetros tradicionales en la enseñanza de las matemáticas en especial de la geometría
que en ocasiones es olvidada dentro del plan de estudios, considerada como relleno o
comodín cuando los contenidos se acaban, hay que desarrollar todas las áreas de las
matemáticas transversalmente yendo siempre a la aplicabilidad de los conceptos.
Resulta oportuno conocer ¿Qué es lo que hay que saber acerca de las competencias
matemáticas? la competencia matemática se vincula al desarrollo de diferentes aspectos,
presentes en toda la actividad matemática de manera integrada:
 Formulación, comparación y ejercitación de procedimientos: se refiere al
conocimiento de procedimientos matemáticos (como algoritmos, métodos, técnicas,
estrategias y construcciones), cómo y cuándo usarlos apropiadamente y a la flexibilidad
para adaptarlos a diferentes tareas propuestas.
 Modelación: entendida ésta como la forma de describir la interrelación entre el
mundo real y las matemáticas, se constituye en un elemento básico para resolver
problemas de la realidad, construyendo modelos matemáticos que reflejen fielmente las
condiciones propuestas, y para hacer predicciones de una situación original.
 Comunicación: implica reconocer el lenguaje propio de las matemáticas, usar
las nociones y procesos matemáticos en la comunicación, reconocer sus significados,
expresar, interpretar y evaluar ideas matemáticas, construir, interpretar y ligar
representaciones, producir y presentar argumentos.

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 Razonamiento: usualmente se entiende como la acción de ordenar ideas en la
mente para llegar a una conclusión. Para este caso particular, incluye prácticas como
justificar estrategias y procedimientos, formular hipótesis, hacer conjeturas, encontrar
contraejemplos, argumentar y exponer ideas.
 Formulación, tratamiento y resolución de problemas: está relacionado con la
capacidad para identificar aspectos relevantes en una situación para plantear o resolver
problemas no rutinarios; es decir, problemas en los cuales es necesario inventarse una
nueva forma de enfrentarse a ellos.
Se observa claramente que hay que destacar la competencia del sujeto por como
este se relaciona con el contexto en el que se desenvuelve y en un tiempo específico, no
como un ser aislado que se desarrolla en sí mismo, realzando el valor del entorno que lo
rodea y de cómo este afecta su actividad. Es así como se propone que los estudiantes
competentes sean capaces de construir referentes desde los cuales situarse y actuar sobre
la realidad, configuran proyectos deseados y deseables a modo de horizontes que
gatillan el dinamismo de su desarrollo, capaces para la autogestión en escenarios de
desequilibrio e incertidumbre, tomando una postura en sus procesos de construcción de
identidad .
Significa entonces que realidad y entorno se presentan como intrínseco de las
competencias en matemática, dejando en claro que la matemática es una herramienta
para actuar y generar actividad sobre ella, gestionar y tomar decisiones desde la
matemática en el quehacer cotidiano son parte del desarrollo del estudiante competente
en matemática, no ha de ser suficiente desarrollar las competencias matemáticas cuyo
fin sea la matemática misma.

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Como ya se ha aclarado la educación en matemática y en todas las ramas que la
componen debe ser crítica de la actividad y del entorno en que se desarrolla, potenciar
un nivel de competencia que favorece el desarrollo de herramientas intencionadas al
enfrentar en diversos contextos y situaciones la necesidad de utilizar modelos, además
de favorecer que sea el mismo estudiante quien gestione su desempeño; la educación
matemática los contenidos, como la base cognitiva del pensamiento y las competencias,
obligan a la reflexión crítica sobre la calidad y la cantidad de dichos contenidos que
están a la base de las competencias matemáticas, por lo que se propone la elección de
contenidos disciplinarios de las matemáticas que constituyan los núcleos fundacionales
o campos conceptuales, alrededor de los cuales articular otros contenidos al interior de
un tema disciplinario que provenga de un interés didáctico (D` Amore, Godino &
Fandiño, 2008, Pág. 19).
Desde los planteamientos anteriores se deduce que es probable que el enfoque de
competencias pueda mostrar su mayor riqueza si se logra incorporar de manera real en
la tarea docente, en la promoción de ambientes de aprendizaje escolares. En este sentido
se trataría de pasar de los modelos centrados en la información hacia modelos centrados
en desempeños. Los conceptos de movilización de la información, de transferencia de
las habilidades hacia situaciones inéditas adquieren una importancia en esta perspectiva.

45
2.2.2.3 Estrategias para el Desarrollo de la Competencia Matemática.
La formación matemática en Educación Básica históricamente ha presentado
severas debilidades, muchas de las cuales se atribuyen al desempeño del docente en el
área específica de la disciplina., Esto quizá se deba a que la mayoría de los docentes
evaden ocuparse de la matemática porque ellos mismo no la entienden o no la dominan
y se enfocan en lengua y literatura, ciencias sociales entre otras áreas en las que se
sienten más cómodos. Para estos docentes la matemática es solo operacional y numérica
y no han interiorizado, que la matemática escolar constituye una oportunidad para
elevar de manera sistemática la capacidad de razonamiento del aprendiz; ya que
mediante ella se logran potenciar las habilidades de pensamiento.
Actualmente siempre se habla sobre lo que se debe hacer en la educación
matemática y el deber de desarrollar competencias en los estudiantes de matemáticas
pero no como hacerlo por lo que nace la siguiente pregunta ¿Cómo estimular estas
competencias? A esto variados autores e instituciones Quintanilla, Labarrere, Díaz &
Santos (2007), OCDE, (2006), hacen referencia a un aprendizaje basado en la
resolución de problemas como forma de promoción y adquisición de competencias por
parte del estudiante. En relación, Pólya (1990), en Alfaro (2006) expresa que la parte
más importante de la forma de pensar que se desarrolla en matemática es la correcta
actitud de la manera de cometer y tratar los problemas, tenemos problemas en la vida
diaria, en las ciencias, en la política, tenemos problemas por doquier. La actitud correcta
en la forma de pensar puede ser ligeramente diferente de un dominio a otro pero solo
tenemos una cabeza y por lo tanto es natural que en definitiva allá sólo un método de
acometer toda clase de problemas.

46
Es así como lo señalado por Pólya, hace énfasis a la enseñanza de la matemática
desarrollando tácticas en la Resolución de Problemas.
En efecto Quintanilla, Labarrere, Díaz & Santos (2007), proponen unas
características de los estudiantes competentes:
1. Desarrolla maneras de pensar y puntos de vista sobre la acción y el actuar
matemático competente.
2. Aborda tareas y problemas, en la actividad matemática escolar, que favorecen la
creación, la comunicación y la gestión.
3. Desarrolla actividad matemática estudiantil con modelos y situaciones
(orientación en contextos).
4. Despliega competencias de autoreferencia y autorregulación de su desempeño en
la actividad matemática.
5. Ostenta actividad matemática escolar en ambientes de desarrollo intencional.
En este propósito se alude a que el estudiante tenga confianza en sí mismo y en su
capacidad matemática, que piense que es capaz de resolver tareas matemáticas y de
aprender matemáticas; en suma, que el estudiante admita y valore diferentes niveles de
sofisticación en las capacidades matemáticas. También tiene que ver con reconocer el
saber matemático como útil y con sentido. Llegar a ser matemáticamente competente es
un proceso largo y continuo que se perfecciona durante toda la vida escolar, en la
medida que los aspectos que integran una actividad matemática se van desarrollando de
manera simultánea, integrados al dinamismo que propone el maestro y las interacciones
que se propician en el aula de clase. El maestro de matemáticas debe ser consciente de
esto al planificar su enseñanza y al interpretar las producciones de sus estudiantes, pues

47
sólo así logrará potenciar progresivamente en ellos las aptitudes y actitudes que los
llevará a tener mejores desempeños en su competencia matemática. Las competencias
matemáticas no son un asunto de todo o nada.
El desarrollo de competencias matemáticas conlleva utilizar espontáneamente -en
los ámbitos personal y social los elementos y razonamientos matemáticos para
interpretar y producir información, para resolver problemas provenientes de situaciones
cotidianas y para tomar decisiones (Castro, 2006). En los procesos formativos se
requiere pensar diferente, los límites ya no son las tecnologías, el límite es nuestra
imaginación, es una expresión que a más de uno pone a pensar con frecuencia los
docentes en matemáticas solo se centran en desarrollar la memoria mecánica del
estudiantes por lo que no único que logran en que los estudiantes aprendan por el
momento dejando a un lado la memoria analítica que permite desarrollar los contenidos
aplicando la lógica y el sentido en cada uno de los ejercicios.
En este orden de ideas se puede citar la importancia tres preguntas que contribuyen
al desarrollo de las competencias matemáticas como ¿qué?, ¿cómo? ¿Por qué?
posibilitan la ruta para conseguir estudiantes competentes además de ser guía para el
docente en el aula.
Es importante que en los proyectos de aprendizajes matemático diseñados para el
estudiante de educación básica, el docente incluya actividades donde estén implícitas las
habilidades básicas del pensamiento matemático, porque el desarrollo de éstas ayudará
al estudiante a tener mejor dominio en la ejecución de tareas y él va aprender a tomar
conciencia de lo que debe hacer y cómo lo debe hacer.

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El desarrollo de estos procesos básicos en los contenidos de matemática ofrece un
conjunto de referencias pedagógicas que son esenciales para generar estructuras
cognitivas, estimular y desarrollar la capacidad para organizar y relacionar las ideas y
generar capacidades mentales cada vez más complejos, que permitan al estudiante
entender y explicar los eventos de su entorno matemáticamente.
A lo largo de los planteamientos hechos hay que volver a plantear el sentido del
aprendizaje en el contexto escolar. Preguntarse ¿Cuál es la finalidad de lo que se
enseña? llenar la cabeza de información que se retenga y sea reproducida en los
esquemas y textos mostrados en la escuela, o formar un individuo con capacidad propia
de razonamiento y con un conjunto de habilidades que le permitan resolver situaciones
cotidianas. Sin lugar a dudas que éste es el centro del debate de los paradigmas en el
campo de la didáctica en los últimos cien años, un debate que nos permite vislumbrar lo
difícil que es para un sistema educativo y para un sistema de enseñanza docente,
abandonar la mirada enciclopedista de la educación para desarrollar una visión atenta a
la sociedad de la información, acorde con las exigencias de resolver situaciones
problemas.
2.2.3 Triángulos Congruentes.
2.2.3.1 Génesis del Triángulo.
El ser humano necesitó contar, y creó los números; quiso hacer cálculos, y definió
las operaciones; hizo relaciones, y determinó las propiedades numéricas. Por medio de
lo anterior, más el uso de la lógica, obtuvo los instrumentos adecuados para resolver las
situaciones problemáticas surgidas a diario. Además de esos requerimientos prácticos,

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el hombre precisó admirar la belleza de la creación para satisfacer su espíritu. Con ese
fin, observó la naturaleza y todo lo que le rodeaba. Así fue ideando conceptos de
formas, figuras, cuerpos, líneas, los que dieron origen a la parte de la matemática que
designamos con el nombre de geometría.
En geometría, se distinguen componentes tales como el plano, el punto, la línea -
recta, curva, quebrada, la superficie, el segmento y otros de cuya combinación nacen
todas las figuras geométricas. El patio de la escuela, una cancha de fútbol, los muebles
de una casa o una tuerca son algunos de los innumerables ejemplos en donde se pueden
apreciar figuras geométricas. Entonces, una figura geométrica (también se la puede
denominar lugar geométrico) corresponde a un espacio cerrado por líneas o por
superficies.
Desde la antigüedad se utilizaron las figuras geométricas, una de ellas es el
triángulo. Por historia se sabe que el hombre primitivo a las puntas de sus herramientas
de caza les daba forma triangular. Los faraones tuvieron tumbas de forma de pirámide,
cuyas caras tenían las formas de un triángulo. Hoy en día, se aplican en diversos
campos. Por ejemplo: en la arquitectura, ingeniería, topografía, etc. Para un estudiante
el tema triángulos le servirá de base para luego conocer otras figuras de mayor cantidad
y para resolver problemas de su vida diaria.

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Precisando de una vez un triángulo, en geometría, es un polígono de tres lados
determinado por tres segmentos de tres rectas que se cortan, denominados lados
(Euclides); o tres puntos no alineados llamados vértices. También puede determinarse
un triángulo por cualesquiera otros tres elementos relativos a él, como por ejemplo un
ángulo y dos medianas; un lado, una altura y una mediana.
Ante la situación planteada si está contenido en una superficie plana se denomina
triángulo, o trígono, un nombre menos común para este tipo de polígonos. Si está
contenido en una superficie esférica se denomina triángulo esférico. Representado, en
cartografía, sobre la superficie terrestre, se llama triángulo geodésico.
Clasificación de los Triángulos
Los triángulos se pueden clasificar por la relación entre las longitudes de sus lados o
por la amplitud de sus ángulos. Por las longitudes de sus lados, todo triángulo se
clasifica:
• Triángulo equilátero, si sus tres lados tienen la misma longitud (los tres ángulos
internos miden 60 grados o radianes.)
• Triángulo isósceles (del griego iso, igual, y skelos, piernas; es decir, "con dos
piernas iguales"), si tiene dos lados de la misma longitud. Los ángulos que se oponen a
estos lados tienen la misma medida. (Tales de Mileto, filósofo griego, demostró que un
triángulo isósceles tiene dos ángulos iguales, estableciendo así una relación entre
longitudes y ángulos; a lados iguales, ángulos iguales).
• Triángulo escaleno ("cojo", en griego), si todos sus lados tienen longitudes
diferentes (en un triángulo escaleno no hay dos ángulos que tengan la misma medida).

51
Propiedades de los Triángulos
Los tres ángulos internos de un triángulo miden 180° en geometría euclidiana. La
suma de las longitudes de dos de sus lados es siempre mayor que la longitud del tercer
lado. El valor de la paralela media de un triángulo (recta que une dos puntos medios de
dos lados) es igual a la mitad del lado paralelo. Para cualquier triángulo se verifica el
Teorema del seno que establece: Los lados de un triángulo son proporcionales a los
senos de los ángulos opuestos; a su vez los triángulos se clasifican de acuerdo al
tamaño de sus lados, en equilátero, isósceles o escaleno; o bien, por el tamaño de sus
ángulos, en acutángulos, rectángulos u obtusángulos.
Tal como se ha visto los triángulos tienen una importancia suprema en la
geometría, pues todo polígono puede ser descompuesto o formado por triángulos. Esta
gran importancia de los triángulos en la geometría, ya la conocían los geómetras desde
los tiempos de las primeras civilizaciones. El estudio tan amplio de los triángulos, que
ha generado en sí misma una rama de la geometría y de las matemáticas, es la
trigonometría.
Así mismo, la importancia del triángulo, la podemos ubicar dentro de la perfección
y es origen de todos lo que existe y todo lo que tenemos en la madre naturaleza, que es
influenciada por energía cósmica. El elemento geométrico triángulo, se le relaciona con
el símbolo de la triada, en la creación principio de la transmutación, manifestación,
renovación. En lo universal se relaciona con Júpiter, el signo zodiacal Géminis, la nota
musical mí, el color púrpura, el metal estaño, la esencia de tuberosa, el mineral
aguamarina, la substancia química potasio clorhídrico y en el hombre está asociado al
Plexo esplénico, hígado y tensión muscular.

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Como ya se ha aclarado hay que tener presente que un ángulo del triángulo este
apuntando hacia arriba, significa que toda duda que exista en la base o abajo, la solución
se encontrara en el vértice o en la parte superior, esta figura bien conocida y respetada
por los egipcios los cuales construyeron tres pirámides perfectas, que semejan la
constelación de Orión, constituida por tres estrellas, en la misma situación que las
pirámides egipcias. El triángulo resulta ser un símbolo muy importante en todos los
sentidos, por lo que debemos tener presente que es la fuente de la existencia, de la
perfección y de la vida.
2.2.3.2 Iguales en Medida, Ángulos y Lados: ¡Son Congruentes los Triángulos!
Congruencia, del latín congruentia, es la coherencia o relación lógica. Se trata de
una característica que se comprende a partir de un vínculo, es la relación de similitud o
equilibrio que puede existir entre dos o más elementos. Desde la antigüedad el hombre
clasifica y ordena. Históricamente Arquímedes hace una de las plantas. En particular la
clasificación se formaliza a través del concepto de relación de equivalencia. De hecho,
la relación de congruencia en la colección de los segmentos (ángulos, triángulos) es una
relación de equivalencia. De otro lado, para introducir el tema de las congruencias y
semejanzas de figuras es necesario, retomar la historia de la aparición de los conceptos
de conmensurabilidad, el problema de la incomensurabilidad; y como un problema de
estos lleva al descubrimiento de la teoría de la proporcionalidad como sustento
matemático de las construcciones de figuras congruentes y semejantes.

53
Es evidente entonces el planteamiento de Tales de Mileto (600 a.d.c), quien explicó
diferentes principios geométricos a partir de verdades simples y evidentes, fue el primer
filósofo que intentó dar una explicación física del universo, que para él era un espacio
racional pese a su aparente desorden sin embargo, no buscó un creador en dicha
racionalidad, pues para el todo nacía del agua, la cual era el elemento básico delo que
estaban hechas todas las cosas. Suponía que la tierra flotaba en un océano infinito. En
geometría, y con base en los conocimientos adquiridos en Egipto, elaboró un conjunto
de teoremas generales y de razonamientos deductivos que posteriormente fue recopilado
por Euclides en su obra elementos.
Como puede observarse la congruencia de triángulos se basa en el estudio de la
igualdad entre triángulos, es decir, gracias a esto se puede saber si dos triángulos o más
son congruentes (iguales) entre sí. Dicho de modo sencillo, estudia los casos en que dos
o más triángulos presentan ángulos y lados de igual medida. Dos triángulos son
congruentes si hay una correspondencia entre sus vértices de tal manera que el ángulo
del vértice y los lados que lo componen, en uno de los triángulos, sean congruentes con
los del otro triángulo.
A los efectos de este al observar y comparar figuras geométricas, es común que, en
algunos casos, dos de ellas tienen la misma forma pero no el mismo tamaño y, en otros,
puede ser que sean de igual forma y tamaño. Al compararlas, si observa que tienen la
misma forma y la misma medida, puede hablarse que las figuras son congruentes. El
símbolo que se emplea para denotar la congruencia es (≈). Para comparar dos
triángulos y determinar si existe congruencia entre ellos, existen tres criterios, que se
describen y ejemplifican a continuación:

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 Primer criterio: Lado, Lado, Lado (LLL). Dos triángulos son congruentes si los
tres lados de uno de ellos son congruentes a los lados del otro triángulo.
 Segundo criterio: Lado, Ángulo, Lado (LAL). Dos triángulos son congruentes si,
en el primer triangulo, dos de sus lados y el ángulo comprendido entre ellos del segundo
triángulo.
 Tercer criterio: Ángulo, Lado, Ángulo (ALA). Dos triángulos son congruentes si
dos ángulos y el lado comprendido entre ellos, de uno de los triángulos, son congruentes
con dos de los ángulos y el lado comprendido entre ellos del otro triángulo.
 Cuarto criterio: Lado, Lado, Ángulo (LLA). Dos triángulos son congruentes si
tienen dos lados respectivamente congruentes y los ángulos opuestos al mayor de los
lados también son congruentes.
Hechas las consideraciones anteriores la congruencia de triángulos proporciona en
los estudiantes en la clase de geometría según Villella (2001) sostiene que, en la clase
de geometría, habitualmente, “el uso de la demostración para justificar la validez de
una propiedad, suele ser confundida por los estudiantes y también por algunos docentes,
con la enunciación o la representación gráfica de ejemplos que la verifican” (Pág. 186).
En este sentido, se considera que aprender geometría no consta únicamente de aprender
definiciones, representaciones, clasificaciones de figuras y construcciones, sino también
de la forma de organizar la información para que, por medio de la utilización de la
lógica, pueda arribarse a la determinación de la verdad o falsedad de las proposiciones
analizadas. El autor sostiene también que, aprender geometría en la escuela secundaria
es un proceso que busca caracterizar el espacio, mediante propiedades formalmente
validadas, a partir de la exploración del mismo.

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En este mismo orden y dirección es preciso mencionar que actualmente en los
diseños curriculares y libros de texto de matemática de la mayoría de los niveles
educativos la actividad referente a la demostración es escasa o hasta nula en el peor de
los casos los estudiantes no ven geometría provocando deficiencias en el desarrollo del
pensamiento geométrico además de las competencias propias de este pensamiento,
Camargo, (2005) considera la demostración como medio de descubrimiento,
comunicación, explicación y sistematización de los resultados, sostiene que a ésta le
debería corresponder un papel protagónico en la enseñanza, en diversos cursos de
matemática. Tomando lo planteado por el autor las demostraciones en este caso de
triángulos congruentes desarrollan la exploración y el análisis crítico, además de la
competencia de razonamiento y argumentación.
2.2.3.3 Problemas o Ejercicios de Triángulos Congruentes: Una Situación Difícil
de Resolver.
La solución de problemas matemáticos, en especial los de carácter geométrico como
los ejercicios o problemas de triángulos congruentes, comúnmente representan un
obstáculo en el proceso de enseñanza- aprendizaje, muchas veces los estudiantes se
bloquean al no hallar la solución correcta en el ejercicio es así como diferentes autores
conceptualizan el problema a partir de estrategias en donde el educando tendrá la
capacidad de analizar y a partir de la exploración llegar a una respuesta correcta sin caer
en el fracaso o deserción del problema.
En este propósito George Polya, (1957) manifiesta el proceso del descubrimiento, o
cómo es que se derivan los resultados matemáticos. Para entender una teoría, se debe
conocer cómo fue descubierta. Por ello, su enseñanza se enfatiza en el proceso de

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descubrimiento aún más que simplemente desarrollar ejercicios apropiados. Involucrar a
los estudiantes en la solución de problemas, generaliza el método en los siguientes
cuatro pasos:
1. Entender el problema. Hacerse preguntas con respecto a la formulación del problema.
Comparar con situaciones similares.
2. Configurar un plan. Estrategias para llegar a la solución.
3. Ejecutar el plan. Implementar las estrategias propuestas.
4. Mirar hacia atrás. Análisis de lo realizado hasta el momento, seguridad en el
resultado obtenido.
El desarrollo de los pasos permite un acercamiento a la situación lo que promueve
una aproximación al conocimiento y al desarrollo de estrategias en la solución de
problemas. En la misma línea, cabe recalcar la importancia que representa para los
educandos que el medio escolar estimule el desarrollo y habilidad para realizar este tipo
de problemas o ejercicios, ya que es en la etapa escolar cuando el niño desarrolla o
limita su potencial intelectual.
En efecto este método está enfocado a la solución de problemas matemáticos, por
ello es importante señalar alguna distinción entre “ejercicio" y "problema". Para
resolver un ejercicio, se aplica un procedimiento rutinario que lo lleva a la respuesta.
Para resolver un problema, se hace una pausa, reflexiona y hasta puede ser que ejecute
pasos originales que no había ensayado antes para dar la respuesta. Esta característica de
dar una especie de paso creativo en la solución, no importa que tan pequeño sea, es lo
que distingue un problema de un ejercicio. Sin embargo, es prudente aclarar que esta
distinción no es absoluta; depende en gran medida del estadio mental de la persona que

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se enfrenta a ofrecer una solución: Para un niño pequeño puede ser un problema
encontrar cuánto es 3 + 2. O bien, para niños de los primeros grados de primaria
responder a la pregunta ¿Cómo repartes 96 lápices entre 16 niños de modo que a cada
uno le toque la misma cantidad? le plantea un problema, mientras que a uno de nosotros
esta pregunta sólo sugiere un ejercicio rutinario: "dividir ".
Cabe agregar que hacer ejercicios es muy valioso en el aprendizaje de las
matemáticas: ayuda a aprender conceptos, propiedades y procedimientos entre otras
cosas, los cuales podrán aplicarse cuando se enfrenten a la tarea de resolver problemas,
además el estudiante desarrolla la capacidad de resolver problemas a partir del contexto,
en situaciones reales dentro del ámbito escolar o extraescolar interactuando
participativamente a través de estrategias de enseñanza que le faciliten el aprendizaje
por descubrimiento como las preguntas frecuentes a la hora de enfrentarse a un
problema y la asociación entre un aprendizaje u otro, el diseño de métodos, teoremas o
propiedades para llegar a la respuesta.
En el orden de ideas anteriores destacando la importancia del problema matemático,
el modelo de los esposos Van Hiele (s.f.) categorizan unos niveles centrados en la
geometría, los que muestran el avance del joven en el reconocimiento y/o compresión
de los cuerpos geométricos, lo que muestra que el conocimiento puede dar pistas de
cómo partiendo de la realidad se puede ir creando modelos cada vez más abstractos.
El modelo consiste en cinco niveles de comprensión de los cuales son vitales para la
investigación los siguientes:

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Nivel Básico: Visualización
Reconocimiento de las figuras, que son distinguidas por su forma global, por su
aspecto físico y no por un análisis de sus propiedades.
Nivel Análisis: Conocimiento de las componentes de las figuras, de sus
propiedades básicas, en el que se comienzan a establecer relaciones entre figuras, pero
de una forma intuitiva, experimental, no de una forma lógica.
Nivel de deducción informal: Es un nivel de relación lógica, en el que se
relacionan y clasifican las figuras de un modo lógico, mediante razonamientos sencillos,
pero sin la potencia lógica suficiente para hacer aparecer los diferentes conocimientos
geométricos organizados en forma de sistema deductivo.
Nivel de deducción: En él se entiende el sentido de los axiomas, las definiciones,
los teoremas, pero aún no se hacen razonamientos abstractos, ni se entiende
suficientemente el significado de rigor en las demostraciones.
En el mismo sentido es fundamental de la geometría en la educación media, el
desarrollo espacial espontaneo, formas de razonamiento geométrica, ligado al
conocimiento de las propiedades fundamentales de las figuras y las relaciones entre
ellas; es necesario una amplísima base en el conocimiento de las figuras y sus
relaciones, una comprensión de las propiedades del espacio. Los estudiantes poseen
unos conocimientos previos y a partir de estos se realizan actividades entre un vínculo
de interrelación docente – estudiante y su capacidad para desarrollarlas de manera
individual o grupal.

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Hay que pensar que no basta con conocer técnicas de resolución de problemas y el
modelo en que se encuentra el joven, se pueden conocer muchos métodos pero no cuál
aplicar en un caso concreto. Por lo tanto hay que enseñar también a los estudiantes a
utilizar los instrumentos que conoce, con lo que se ubica en un nivel metacognitivo, que
es donde parece que se sitúa la diferencia entre quienes resuelven bien problemas y los
demás.
De Villiers (1999) propone que los profesores planteen a los estudiantes problemas
que les permitan notar las diferentes funciones de las demostraciones como:
explicación, descubrimiento, reto intelectual, sistematización y comunicación; existen
diferentes formas de interpretar la argumentación, vital en el desarrollo de las
demostraciones ya que permiten al estudiante concebir ideas para contextualizar
situaciones problemas desarrollando un aprendizaje significativo además de destreza a
la hora de realizar cualquier problema.
A manera de resumen final es necesario que los problemas geométricos
relacionados con las demostraciones de triángulos congruentes le permitan al estudiante
el desarrollo del razonamiento y argumentación a lo que, Duval 1999 afirma que “todo
lenguaje común incluye términos que permiten indicar una relación lógica entre las
proposiciones: son los conectivos. Así, la elección de los conectivos, cuyo uso sería
inherente a toda técnica de razonamiento, permitiría realizar la distinción”. Aunque en
realidad la situación es más complicada, es importante señalar que se puede distinguir
tres tipos de conectivos; los combinatorios, los argumentativos y los organizativos, y en
base a la existencia de éstos se realizará posteriormente la distinción.

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2.3 REFERENTE CONCEPTUAL
Las consideraciones discutidas en este estudio, se dirigen a una explicación común
con relación a la construcción del conocimiento y con ello la comprensión de la
realidad, especialmente mediante el descubrimiento y la solución de problemas, por esta
razón esta investigación se sustenta desde una perspectiva pedagógica, debido a que esta
se relaciona de una u otra manera con el proceso de enseñanza- aprendizaje.
A continuación se discuten los aportes teóricos que sustentan los conceptos que son
indispensables para la organización de este trabajo.
Actividades Escolares: Ejercitaciones que forman parte de la programación escolar
y que tienen por finalidad proporcionar a los alumnos la oportunidad de vivenciar y
experimentar hechos o comportamientos tales como pensar, adquirir conocimientos,
desarrollar actitudes sociales, integrar un esquema de valores e ideales y conseguir
determinadas destrezas y habilidades específicas.
Argumentación: Es una variedad discursiva con la cual se pretende defender una
opinión y persuadir de ella a un receptor mediante pruebas y razonamientos, que están
en relación con diferentes: la lógica (leyes del razonamiento humano),
la dialéctica (procedimientos que se ponen en juego para probar o refutar algo) y
la retórica (uso de recursos lingüísticos con el fin de persuadir movilizando resortes no
racionales, como son los afectos, las emociones, las sugestiones.

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