1. Probabilidad y Estad´
ıstica
Preliminares
Dr. H´ctor Avil´s
e e
Ingenier´ en Tecnolog´ de la Informaci´n
ıa ıas o
Universidad Polit´cnica de Victoria
e
Cd. Victoria Tamaulipas
Abril-Agosto 2012

2. Introducci´n
o Conjuntos Experimentos aleatorios T´cnicas de conteo
e
Informaci´n general
o
Objetivos
Programa
Bibliograf´
ıa
Pol´
ıticas del curso
H. Avil´s
e UPV
2/81

3. Introducci´n
o Conjuntos Experimentos aleatorios T´cnicas de conteo
e
Contenido
Introducci´n
o
Conjuntos
Experimentos aleatorios
T´cnicas de conteo
e
H. Avil´s
e UPV
3/81

4. Introducci´n
o Conjuntos Experimentos aleatorios T´cnicas de conteo
e
Contenido
Introducci´n
o
Conjuntos
Experimentos aleatorios
T´cnicas de conteo
e
H. Avil´s
e UPV
4/81

5. Introducci´n
o Conjuntos Experimentos aleatorios T´cnicas de conteo
e
“La incertidumbre es la unica cosa cierta que existe, y aprender
´
c´mo vivir con inseguridad es la unica seguridad”
o ´
John Allen Paulos 1945 -.
Escritor y profesor de matem´ticas.
a
H. Avil´s
e UPV
5/81

6. Introducci´n
o Conjuntos Experimentos aleatorios T´cnicas de conteo
e
Introducci´n - ¿Qu´ es la probabilidad?
o e
Seg´n Merriam-Webster :
u
H. Avil´s
e UPV
6/81

7. Introducci´n
o Conjuntos Experimentos aleatorios T´cnicas de conteo
e
Introducci´n - ¿Qu´ es la probabilidad?
o e
Seg´n Merriam-Webster :
u
1 La calidad o estado de ser probable
H. Avil´s
e UPV
6/81

8. Introducci´n
o Conjuntos Experimentos aleatorios T´cnicas de conteo
e
Introducci´n - ¿Qu´ es la probabilidad?
o e
Seg´n Merriam-Webster :
u
1 La calidad o estado de ser probable
2 Algo (como un evento o circunstancia) que es probable
H. Avil´s
e UPV
6/81

9. Introducci´n
o Conjuntos Experimentos aleatorios T´cnicas de conteo
e
Introducci´n - ¿Qu´ es la probabilidad?
o e
Seg´n Merriam-Webster :
u
1 La calidad o estado de ser probable
2 Algo (como un evento o circunstancia) que es probable
3 La raz´n del n´mero de salidas (o resultados) que producen un
o u
evento dado con respecto al n´mero total de salidas posibles
u
H. Avil´s
e UPV
6/81

10. Introducci´n
o Conjuntos Experimentos aleatorios T´cnicas de conteo
e
Introducci´n - ¿Qu´ es la probabilidad?
o e
Seg´n Merriam-Webster :
u
1 La calidad o estado de ser probable
2 Algo (como un evento o circunstancia) que es probable
3 La raz´n del n´mero de salidas (o resultados) que producen un
o u
evento dado con respecto al n´mero total de salidas posibles
u
4 La posibilidad de que un evento ocurra
H. Avil´s
e UPV
6/81

11. Introducci´n
o Conjuntos Experimentos aleatorios T´cnicas de conteo
e
Introducci´n - ¿Qu´ es la probabilidad?
o e
Seg´n Merriam-Webster :
u
1 La calidad o estado de ser probable
2 Algo (como un evento o circunstancia) que es probable
3 La raz´n del n´mero de salidas (o resultados) que producen un
o u
evento dado con respecto al n´mero total de salidas posibles
u
4 La posibilidad de que un evento ocurra
5 Una rama de las matem´ticas relacionadas al estudio de
a
probabilidades
H. Avil´s
e UPV
6/81

12. Introducci´n
o Conjuntos Experimentos aleatorios T´cnicas de conteo
e
Introducci´n - ¿Qu´ es la probabilidad?
o e
Seg´n Merriam-Webster :
u
1 La calidad o estado de ser probable
2 Algo (como un evento o circunstancia) que es probable
3 La raz´n del n´mero de salidas (o resultados) que producen un
o u
evento dado con respecto al n´mero total de salidas posibles
u
4 La posibilidad de que un evento ocurra
5 Una rama de las matem´ticas relacionadas al estudio de
a
probabilidades
6 Una relaci´n l´gica entre sentencias tal que la evidencia que
o o
confirma a una tambi´n confirma a la otra en cierto grado
e
H. Avil´s
e UPV
6/81

13. Introducci´n
o Conjuntos Experimentos aleatorios T´cnicas de conteo
e
Introducci´n
o
Diariamente debemos tomar decisiones o realizar juicios,
muchas veces con datos e informaci´n:
o
H. Avil´s
e UPV
7/81

14. Introducci´n
o Conjuntos Experimentos aleatorios T´cnicas de conteo
e
Introducci´n
o
Diariamente debemos tomar decisiones o realizar juicios,
muchas veces con datos e informaci´n:
o
incompleta,
H. Avil´s
e UPV
7/81

15. Introducci´n
o Conjuntos Experimentos aleatorios T´cnicas de conteo
e
Introducci´n
o
Diariamente debemos tomar decisiones o realizar juicios,
muchas veces con datos e informaci´n:
o
incompleta,
imprecisa o distorsionada, o
H. Avil´s
e UPV
7/81

16. Introducci´n
o Conjuntos Experimentos aleatorios T´cnicas de conteo
e
Introducci´n
o
Diariamente debemos tomar decisiones o realizar juicios,
muchas veces con datos e informaci´n:
o
incompleta,
imprecisa o distorsionada, o
contradictoria que viene de nuestro conocimiento previo o de
fuentes externas y
H. Avil´s
e UPV
7/81

17. Introducci´n
o Conjuntos Experimentos aleatorios T´cnicas de conteo
e
Introducci´n
o
Diariamente debemos tomar decisiones o realizar juicios,
muchas veces con datos e informaci´n:
o
incompleta,
imprecisa o distorsionada, o
contradictoria que viene de nuestro conocimiento previo o de
fuentes externas y
con representaciones de datos no adecuadas o limitadas en
expresividad
H. Avil´s
e UPV
7/81

18. Introducci´n
o Conjuntos Experimentos aleatorios T´cnicas de conteo
e
Introducci´n
o
Diariamente debemos tomar decisiones o realizar juicios,
muchas veces con datos e informaci´n:
o
incompleta,
imprecisa o distorsionada, o
contradictoria que viene de nuestro conocimiento previo o de
fuentes externas y
con representaciones de datos no adecuadas o limitadas en
expresividad
Lo anterior genera incertidumbre, (i.e., duda, falta de
seguridad o certidumbre) acerca de alguna situaci´n de inter´s
o e
H. Avil´s
e UPV
7/81

19. Introducci´n
o Conjuntos Experimentos aleatorios T´cnicas de conteo
e
Introducci´n - Situaciones inciertas de la vida diaria
o
H. Avil´s
e UPV
8/81

20. Introducci´n
o Conjuntos Experimentos aleatorios T´cnicas de conteo
e
Introducci´n - Situaciones inciertas de la vida diaria
o
Si llover´ o no en un d´ nublado
a ıa
H. Avil´s
e UPV
8/81

21. Introducci´n
o Conjuntos Experimentos aleatorios T´cnicas de conteo
e
Introducci´n - Situaciones inciertas de la vida diaria
o
Si llover´ o no en un d´ nublado
a ıa
El marcador final de un partido de futbol
H. Avil´s
e UPV
8/81

22. Introducci´n
o Conjuntos Experimentos aleatorios T´cnicas de conteo
e
Introducci´n - Situaciones inciertas de la vida diaria
o
Si llover´ o no en un d´ nublado
a ıa
El marcador final de un partido de futbol
Las acciones del conductor del coche de a lado
H. Avil´s
e UPV
8/81

23. Introducci´n
o Conjuntos Experimentos aleatorios T´cnicas de conteo
e
Introducci´n - Situaciones inciertas de la vida diaria
o
Si llover´ o no en un d´ nublado
a ıa
El marcador final de un partido de futbol
Las acciones del conductor del coche de a lado
La causa de una enfermedad
H. Avil´s
e UPV
8/81

24. Introducci´n
o Conjuntos Experimentos aleatorios T´cnicas de conteo
e
Introducci´n - Situaciones inciertas de la vida diaria
o
Si llover´ o no en un d´ nublado
a ıa
El marcador final de un partido de futbol
Las acciones del conductor del coche de a lado
La causa de una enfermedad
La predicci´n de la temperatura del ambiente para el siguiente
o
mes
H. Avil´s
e UPV
8/81

25. Introducci´n
o Conjuntos Experimentos aleatorios T´cnicas de conteo
e
Introducci´n - Situaciones inciertas de la vida diaria
o
Si llover´ o no en un d´ nublado
a ıa
El marcador final de un partido de futbol
Las acciones del conductor del coche de a lado
La causa de una enfermedad
La predicci´n de la temperatura del ambiente para el siguiente
o
mes
Si un dispositivo creado en una l´
ınea de producci´n
o
ser´ defectuoso
a
H. Avil´s
e UPV
8/81

26. Introducci´n
o Conjuntos Experimentos aleatorios T´cnicas de conteo
e
Introducci´n - Situaciones inciertas de la vida diaria
o
Si llover´ o no en un d´ nublado
a ıa
El marcador final de un partido de futbol
Las acciones del conductor del coche de a lado
La causa de una enfermedad
La predicci´n de la temperatura del ambiente para el siguiente
o
mes
Si un dispositivo creado en una l´
ınea de producci´n
o
ser´ defectuoso
a
El comportamiento de la econom´ de un pa´
ıa ıs
H. Avil´s
e UPV
8/81

27. Introducci´n
o Conjuntos Experimentos aleatorios T´cnicas de conteo
e
Introducci´n - Situaciones inciertas de la vida diaria
o
Si llover´ o no en un d´ nublado
a ıa
El marcador final de un partido de futbol
Las acciones del conductor del coche de a lado
La causa de una enfermedad
La predicci´n de la temperatura del ambiente para el siguiente
o
mes
Si un dispositivo creado en una l´
ınea de producci´n
o
ser´ defectuoso
a
El comportamiento de la econom´ de un pa´
ıa ıs
El resultado de un juego de azar (lanzar dados, una moneda o
la ruleta)
H. Avil´s
e UPV
8/81

28. Introducci´n
o Conjuntos Experimentos aleatorios T´cnicas de conteo
e
Introducci´n - Situaciones inciertas de la vida diaria
o
Si llover´ o no en un d´ nublado
a ıa
El marcador final de un partido de futbol
Las acciones del conductor del coche de a lado
La causa de una enfermedad
La predicci´n de la temperatura del ambiente para el siguiente
o
mes
Si un dispositivo creado en una l´
ınea de producci´n
o
ser´ defectuoso
a
El comportamiento de la econom´ de un pa´
ıa ıs
El resultado de un juego de azar (lanzar dados, una moneda o
la ruleta)
...
H. Avil´s
e UPV
8/81

29. Introducci´n
o Conjuntos Experimentos aleatorios T´cnicas de conteo
e
Introducci´n - ¿Para qu´ nos sirve la probabilidad?
o e
H. Avil´s
e UPV
9/81

30. Introducci´n
o Conjuntos Experimentos aleatorios T´cnicas de conteo
e
Introducci´n - ¿Para qu´ nos sirve la probabilidad?
o e
La teor´ de probabilidad nos ofrece un marco de trabajo para
ıa
hacer inferencias consistentes (no contradictorias), de acuerdo al
sentido com´n y mediante n´meros reales que miden la posibilidad
u u
de que eventos inciertos ocurran
H. Avil´s
e UPV
9/81

31. Introducci´n
o Conjuntos Experimentos aleatorios T´cnicas de conteo
e
Introducci´n - Ejemplos de la utilidad de la probabilidad en
o
computaci´n
o
H. Avil´s
e UPV
10/81

32. Introducci´n
o Conjuntos Experimentos aleatorios T´cnicas de conteo
e
Introducci´n - Ejemplos de la utilidad de la probabilidad en
o
computaci´n
o
¿Es necesario ayudar al usuario en este momento? (e.g.,
asistente de Microsoft)
H. Avil´s
e UPV
10/81

33. Introducci´n
o Conjuntos Experimentos aleatorios T´cnicas de conteo
e
Introducci´n - Ejemplos de la utilidad de la probabilidad en
o
computaci´n
o
¿Es necesario ayudar al usuario en este momento? (e.g.,
asistente de Microsoft)
¿Qu´ nombres de persona son m´s probables en una base de
e a
datos?
H. Avil´s
e UPV
10/81

34. Introducci´n
o Conjuntos Experimentos aleatorios T´cnicas de conteo
e
Introducci´n - Ejemplos de la utilidad de la probabilidad en
o
computaci´n
o
¿Es necesario ayudar al usuario en este momento? (e.g.,
asistente de Microsoft)
¿Qu´ nombres de persona son m´s probables en una base de
e a
datos?
¿Cu´l es la probabilidad de que un sistema falle en un cierto
a
periodo de tiempo?
H. Avil´s
e UPV
10/81

35. Introducci´n
o Conjuntos Experimentos aleatorios T´cnicas de conteo
e
Introducci´n - Ejemplos de la utilidad de la probabilidad en
o
computaci´n
o
¿Es necesario ayudar al usuario en este momento? (e.g.,
asistente de Microsoft)
¿Qu´ nombres de persona son m´s probables en una base de
e a
datos?
¿Cu´l es la probabilidad de que un sistema falle en un cierto
a
periodo de tiempo?
¿Cu´l es la probabilidad de saturaci´n de una red de
a o
computadoras a una hora espec´ ıfica?
H. Avil´s
e UPV
10/81

36. Introducci´n
o Conjuntos Experimentos aleatorios T´cnicas de conteo
e
Introducci´n - Ejemplos de la utilidad de la probabilidad en
o
computaci´n
o
¿Es necesario ayudar al usuario en este momento? (e.g.,
asistente de Microsoft)
¿Qu´ nombres de persona son m´s probables en una base de
e a
datos?
¿Cu´l es la probabilidad de que un sistema falle en un cierto
a
periodo de tiempo?
¿Cu´l es la probabilidad de saturaci´n de una red de
a o
computadoras a una hora espec´ ıfica?
En interacci´n hombre-m´quina (e.g., identificaci´n de voz y
o a o
rostro del usuario, preferencias y comportamientos, patrones
de b´squeda en la Web, etc.)
u
H. Avil´s
e UPV
10/81

37. Introducci´n
o Conjuntos Experimentos aleatorios T´cnicas de conteo
e
Introducci´n - Ejemplos de la utilidad de la probabilidad en
o
computaci´n
o
¿Es necesario ayudar al usuario en este momento? (e.g.,
asistente de Microsoft)
¿Qu´ nombres de persona son m´s probables en una base de
e a
datos?
¿Cu´l es la probabilidad de que un sistema falle en un cierto
a
periodo de tiempo?
¿Cu´l es la probabilidad de saturaci´n de una red de
a o
computadoras a una hora espec´ ıfica?
En interacci´n hombre-m´quina (e.g., identificaci´n de voz y
o a o
rostro del usuario, preferencias y comportamientos, patrones
de b´squeda en la Web, etc.)
u
En inteligencia artificial para reconocimiento de patrones,
visi´n computacional, navegaci´n rob´tica, aprendizaje
o o o
H. Avil´s
e UPV
10/81

38. Introducci´n
o Conjuntos Experimentos aleatorios T´cnicas de conteo
e
Ejemplo de un sistema inteligente con m´ltiples fuentes de
u
incertidumbre
H. Avil´s
e UPV
11/81

39. Introducci´n
o Conjuntos Experimentos aleatorios T´cnicas de conteo
e
Contribuciones importantes
Nociones de probabilidad elemental en la Antigua India y
Egipto
Blaise Pascal y Pierre de Fermat formulan sus principios en el
siglo XVII para juegos de azar
Jakob Bernoulli y Abraham de Moivre en el siglo XVIII
resuelven problemas m´s complejos
a
En el siglo XIX, Friedrich Gauss y Pierre Laplace extienden su
aplicaci´n en juegos de azar a diferentes problemas cient´
o ıficos
A. Kolmogorov propone una base axiom´tica (basada en
a
teor´ de conjuntos) para su teor´ en el siglo XX
ıa ıa
A. Markov realiza contribuciones al estudio de procesos
estoc´sticos como el movimiento Browniano (movimiento
a
aleatorio de una part´
ıcula en un fluido)
H. Avil´s
e UPV
12/81

40. Introducci´n
o Conjuntos Experimentos aleatorios T´cnicas de conteo
e
Contenido
x Introducci´n
o
Conjuntos
Experimentos aleatorios
T´cnicas de conteo
e
H. Avil´s
e UPV
13/81

41. Introducci´n
o Conjuntos Experimentos aleatorios T´cnicas de conteo
e
“Un conjunto es un Muchos que permite a si mismo ser visto como
un Uno”
Georg Cantor 1845 -1918.
Citado en Infinity and the Mind (1995) por Rudy Rucker.
H. Avil´s
e UPV
14/81

42. Introducci´n
o Conjuntos Experimentos aleatorios T´cnicas de conteo
e
Conjuntos
La teor´ de conjuntos es relevante por diferentes razones:
ıa
H. Avil´s
e UPV
15/81

43. Introducci´n
o Conjuntos Experimentos aleatorios T´cnicas de conteo
e
Conjuntos
La teor´ de conjuntos es relevante por diferentes razones:
ıa
La necesidad de utilizar conjuntos y hacer operaciones con
ellos est´ presente en la vida diaria y pr´cticamente en todas
a a
las ramas de las matem´ticas
a
H. Avil´s
e UPV
15/81

44. Introducci´n
o Conjuntos Experimentos aleatorios T´cnicas de conteo
e
Conjuntos
La teor´ de conjuntos es relevante por diferentes razones:
ıa
La necesidad de utilizar conjuntos y hacer operaciones con
ellos est´ presente en la vida diaria y pr´cticamente en todas
a a
las ramas de las matem´ticas
a
Nos introduce a la aplicaci´n de la l´gica y de s´
o o ımbolos
matem´ticos simples
a
H. Avil´s
e UPV
15/81

45. Introducci´n
o Conjuntos Experimentos aleatorios T´cnicas de conteo
e
Conjuntos
La teor´ de conjuntos es relevante por diferentes razones:
ıa
La necesidad de utilizar conjuntos y hacer operaciones con
ellos est´ presente en la vida diaria y pr´cticamente en todas
a a
las ramas de las matem´ticas
a
Nos introduce a la aplicaci´n de la l´gica y de s´
o o ımbolos
matem´ticos simples
a
Ayuda a descomponer los problemas (i.e., verlos como un
sistema con varios componentes)
H. Avil´s
e UPV
15/81

46. Introducci´n
o Conjuntos Experimentos aleatorios T´cnicas de conteo
e
Conjuntos
La teor´ de conjuntos es relevante por diferentes razones:
ıa
La necesidad de utilizar conjuntos y hacer operaciones con
ellos est´ presente en la vida diaria y pr´cticamente en todas
a a
las ramas de las matem´ticas
a
Nos introduce a la aplicaci´n de la l´gica y de s´
o o ımbolos
matem´ticos simples
a
Ayuda a descomponer los problemas (i.e., verlos como un
sistema con varios componentes)
Sus axiomas y reglas que describen c´mo se comportan
o
diversas teor´ matem´ticas de una manera intuitiva
ıas a
H. Avil´s
e UPV
15/81

47. Introducci´n
o Conjuntos Experimentos aleatorios T´cnicas de conteo
e
Conjuntos
La teor´ de conjuntos es relevante por diferentes razones:
ıa
La necesidad de utilizar conjuntos y hacer operaciones con
ellos est´ presente en la vida diaria y pr´cticamente en todas
a a
las ramas de las matem´ticas
a
Nos introduce a la aplicaci´n de la l´gica y de s´
o o ımbolos
matem´ticos simples
a
Ayuda a descomponer los problemas (i.e., verlos como un
sistema con varios componentes)
Sus axiomas y reglas que describen c´mo se comportan
o
diversas teor´ matem´ticas de una manera intuitiva
ıas a
En nuestro caso, nos permitir´ calcular probabilidades sobre
a
conjuntos (las operaciones en probabilidad est´n especificadas
a
y se har´n de hecho sobre conjuntos bien definidos)
a
H. Avil´s
e UPV
15/81

48. Introducci´n
o Conjuntos Experimentos aleatorios T´cnicas de conteo
e
Conjuntos - Definici´n
o
Un conjunto es una colecci´n de objetos llamados elementos o
o
miembros del conjunto
H. Avil´s
e UPV
16/81

49. Introducci´n
o Conjuntos Experimentos aleatorios T´cnicas de conteo
e
Conjuntos - Definici´n
o
Un conjunto es una colecci´n de objetos llamados elementos o
o
miembros del conjunto
Frecuentemente se identifican por letras may´sculas, A, B, C ,
u
etc.
H. Avil´s
e UPV
16/81

50. Introducci´n
o Conjuntos Experimentos aleatorios T´cnicas de conteo
e
Conjuntos - Definici´n
o
Un conjunto es una colecci´n de objetos llamados elementos o
o
miembros del conjunto
Frecuentemente se identifican por letras may´sculas, A, B, C ,
u
etc.
Si a es un elemento de un conjunto A se escribe a ∈ A, en
caso contrario, a ∈ A
/
H. Avil´s
e UPV
16/81

51. Introducci´n
o Conjuntos Experimentos aleatorios T´cnicas de conteo
e
Conjuntos - Definici´n
o
Un conjunto es una colecci´n de objetos llamados elementos o
o
miembros del conjunto
Frecuentemente se identifican por letras may´sculas, A, B, C ,
u
etc.
Si a es un elemento de un conjunto A se escribe a ∈ A, en
caso contrario, a ∈ A
/
La especificaci´n de los elementos de un conjunto se puede
o
hacer de dos maneras:
Por extensi´n, e.g., A = {5, 3, 9, 10}
o
H. Avil´s
e UPV
16/81

52. Introducci´n
o Conjuntos Experimentos aleatorios T´cnicas de conteo
e
Conjuntos - Definici´n
o
Un conjunto es una colecci´n de objetos llamados elementos o
o
miembros del conjunto
Frecuentemente se identifican por letras may´sculas, A, B, C ,
u
etc.
Si a es un elemento de un conjunto A se escribe a ∈ A, en
caso contrario, a ∈ A
/
La especificaci´n de los elementos de un conjunto se puede
o
hacer de dos maneras:
Por extensi´n, e.g., A = {5, 3, 9, 10}
o
Por definici´n, e.g., B = {x|x es una vocal} donde ‘|’ se lee
o
“tal que”. Opcionalmente se puede utilizar ‘:’ en vez de ‘|’
H. Avil´s
e UPV
16/81

53. Introducci´n
o Conjuntos Experimentos aleatorios T´cnicas de conteo
e
Conjuntos - Conjunto finito
Conjunto finito:
Sus elementos se pueden poner en correspondencia biyectiva
con el conjunto {1, 2, 3, 4, ..., n} donde n ∈ N
H. Avil´s
e UPV
17/81

54. Introducci´n
o Conjuntos Experimentos aleatorios T´cnicas de conteo
e
Conjuntos - Conjunto finito
Conjunto finito:
Sus elementos se pueden poner en correspondencia biyectiva
con el conjunto {1, 2, 3, 4, ..., n} donde n ∈ N
En t´rminos pr´cticos, tiene un n´mero finito de elementos,
e a u
i.e., no continuan indefinidamente y podemos mencionar su
ultimo elemento
´
H. Avil´s
e UPV
17/81

55. Introducci´n
o Conjuntos Experimentos aleatorios T´cnicas de conteo
e
Conjuntos - Conjunto finito
Conjunto finito:
Sus elementos se pueden poner en correspondencia biyectiva
con el conjunto {1, 2, 3, 4, ..., n} donde n ∈ N
En t´rminos pr´cticos, tiene un n´mero finito de elementos,
e a u
i.e., no continuan indefinidamente y podemos mencionar su
ultimo elemento
´
El n´mero de elementos n se denomina cardinalidad. La
u
cardinalidad de un conjunto S se denota |S|, por ejemplo, para
S = {1, 2, 3, 5, 80, 90, 91}, |S| = 7.
H. Avil´s
e UPV
17/81

56. Introducci´n
o Conjuntos Experimentos aleatorios T´cnicas de conteo
e
Conjuntos - Conjunto infinito
Conjunto infinito:
No es posible establecer una correspondencia uno a uno con N
H. Avil´s
e UPV
18/81

57. Introducci´n
o Conjuntos Experimentos aleatorios T´cnicas de conteo
e
Conjuntos - Conjunto infinito
Conjunto infinito:
No es posible establecer una correspondencia uno a uno con N
Su n´mero de elementos no se puede definir, (i.e., no admite
u
cardinalidad)
H. Avil´s
e UPV
18/81

58. Introducci´n
o Conjuntos Experimentos aleatorios T´cnicas de conteo
e
Conjuntos - Conjunto infinito
Conjunto infinito:
No es posible establecer una correspondencia uno a uno con N
Su n´mero de elementos no se puede definir, (i.e., no admite
u
cardinalidad)
Ejemplos: N = {1, 2, 3, 4, ...}, R, el n´mero de decimales en π
u
H. Avil´s
e UPV
18/81

59. Introducci´n
o Conjuntos Experimentos aleatorios T´cnicas de conteo
e
Conjuntos - Ejemplos
X = {x|x ∈ R, 0 ≤ x ≤ 1}
H. Avil´s
e UPV
19/81

60. Introducci´n
o Conjuntos Experimentos aleatorios T´cnicas de conteo
e
Conjuntos - Ejemplos
X = {x|x ∈ R, 0 ≤ x ≤ 1}, el conjunto de n´meros reales
u
entre 0 y 1 inclusive
C = {a + bi|
H. Avil´s
e UPV
19/81

61. Introducci´n
o Conjuntos Experimentos aleatorios T´cnicas de conteo
e
Conjuntos - Ejemplos
X = {x|x ∈ R, 0 ≤ x ≤ 1}, el conjunto de n´meros reales
u
entre 0 y 1 inclusive
C = {a + bi|a, b ∈ R}, el conjunto de n´meros complejos
u
H. Avil´s
e UPV
19/81

62. Introducci´n
o Conjuntos Experimentos aleatorios T´cnicas de conteo
e
Conjuntos - Ejemplos
X = {x|x ∈ R, 0 ≤ x ≤ 1}, el conjunto de n´meros reales
u
entre 0 y 1 inclusive
C = {a + bi|a, b ∈ R}, el conjunto de n´meros complejos
u
B = {(−3, 3), (3, 3), (3, −3)} ´ alternativamente
o
B = {(a, b)|a, b ∈ R, a × b = 9 ∨ a × b = −9}, el par ordenado
de todos los n´meros cuya multiplcaci´n es igual a 9 ´ -9
u o o
H. Avil´s
e UPV
19/81

63. Introducci´n
o Conjuntos Experimentos aleatorios T´cnicas de conteo
e
Conjuntos - Ejemplos
X = {x|x ∈ R, 0 ≤ x ≤ 1}, el conjunto de n´meros reales
u
entre 0 y 1 inclusive
C = {a + bi|a, b ∈ R}, el conjunto de n´meros complejos
u
B = {(−3, 3), (3, 3), (3, −3)} ´ alternativamente
o
B = {(a, b)|a, b ∈ R, a × b = 9 ∨ a × b = −9}, el par ordenado
de todos los n´meros cuya multiplcaci´n es igual a 9 ´ -9
u o o
(a, b] =]a, b] = {x|x ∈ R ∨ a < x ≤ b}
H. Avil´s
e UPV
19/81

64. Introducci´n
o Conjuntos Experimentos aleatorios T´cnicas de conteo
e
Conjuntos - Ejemplos
X = {x|x ∈ R, 0 ≤ x ≤ 1}, el conjunto de n´meros reales
u
entre 0 y 1 inclusive
C = {a + bi|a, b ∈ R}, el conjunto de n´meros complejos
u
B = {(−3, 3), (3, 3), (3, −3)} ´ alternativamente
o
B = {(a, b)|a, b ∈ R, a × b = 9 ∨ a × b = −9}, el par ordenado
de todos los n´meros cuya multiplcaci´n es igual a 9 ´ -9
u o o
(a, b] =]a, b] = {x|x ∈ R ∨ a < x ≤ b}
El conjunto de los d´ de la semana
ıas
H. Avil´s
e UPV
19/81

65. Introducci´n
o Conjuntos Experimentos aleatorios T´cnicas de conteo
e
Conjuntos - Conjunto Universo
El conjunto universal U es el conjunto de todos los elementos
dentro de una discusi´n o dominio particular
o
H. Avil´s
e UPV
20/81

66. Introducci´n
o Conjuntos Experimentos aleatorios T´cnicas de conteo
e
Conjuntos - Conjunto Universo
El conjunto universal U es el conjunto de todos los elementos
dentro de una discusi´n o dominio particular
o
U tambi´n es conocido como universo del discurso, universo o
e
espacio universal
H. Avil´s
e UPV
20/81

67. Introducci´n
o Conjuntos Experimentos aleatorios T´cnicas de conteo
e
Conjuntos - Conjunto Universo
El conjunto universal U es el conjunto de todos los elementos
dentro de una discusi´n o dominio particular
o
U tambi´n es conocido como universo del discurso, universo o
e
espacio universal
Los elementos de un conjunto universal se denominan puntos
del espacio
H. Avil´s
e UPV
20/81

68. Introducci´n
o Conjuntos Experimentos aleatorios T´cnicas de conteo
e
Conjuntos - Subconjuntos
Si cada elemento de un conjunto A es tambi´n un elemento
e
de un conjunto B, A es un subconjunto de, o est´ contenido
a
en B, y se denota como A ⊂ B ´ B ⊃ A
o
H. Avil´s
e UPV
21/81

69. Introducci´n
o Conjuntos Experimentos aleatorios T´cnicas de conteo
e
Conjuntos - Subconjuntos
Si cada elemento de un conjunto A es tambi´n un elemento
e
de un conjunto B, A es un subconjunto de, o est´ contenido
a
en B, y se denota como A ⊂ B ´ B ⊃ A
o
Otra manera de parafrasear A ⊂ B es que A no tiene
elementos que no se encuentran en B
H. Avil´s
e UPV
21/81

70. Introducci´n
o Conjuntos Experimentos aleatorios T´cnicas de conteo
e
Conjuntos - Subconjuntos
Si cada elemento de un conjunto A es tambi´n un elemento
e
de un conjunto B, A es un subconjunto de, o est´ contenido
a
en B, y se denota como A ⊂ B ´ B ⊃ A
o
Otra manera de parafrasear A ⊂ B es que A no tiene
elementos que no se encuentran en B
Si A ⊂ B y B ⊂ A entonces A = B
H. Avil´s
e UPV
21/81

71. Introducci´n
o Conjuntos Experimentos aleatorios T´cnicas de conteo
e
Conjuntos - Subconjuntos
Si cada elemento de un conjunto A es tambi´n un elemento
e
de un conjunto B, A es un subconjunto de, o est´ contenido
a
en B, y se denota como A ⊂ B ´ B ⊃ A
o
Otra manera de parafrasear A ⊂ B es que A no tiene
elementos que no se encuentran en B
Si A ⊂ B y B ⊂ A entonces A = B
Si A y B no son iguales, se escribe A = B
H. Avil´s
e UPV
21/81

72. Introducci´n
o Conjuntos Experimentos aleatorios T´cnicas de conteo
e
Conjuntos - Subconjuntos
Si A ⊂ B pero A = B entonces A es un subconjunto propio de
B
H. Avil´s
e UPV
22/81

73. Introducci´n
o Conjuntos Experimentos aleatorios T´cnicas de conteo
e
Conjuntos - Subconjuntos
Si A ⊂ B pero A = B entonces A es un subconjunto propio de
B
Si A ⊂ B y B ⊂ C entonces A ⊂ C
H. Avil´s
e UPV
22/81

74. Introducci´n
o Conjuntos Experimentos aleatorios T´cnicas de conteo
e
Conjuntos - Subconjuntos
Si A ⊂ B pero A = B entonces A es un subconjunto propio de
B
Si A ⊂ B y B ⊂ C entonces A ⊂ C
Para un conjunto universal U determinado, si A est´ definido
a
en el contexto de U, A ⊂ U
H. Avil´s
e UPV
22/81

75. Introducci´n
o Conjuntos Experimentos aleatorios T´cnicas de conteo
e
Conjuntos - Conjunto Vac´
ıo
El conjunto vac´ ( ∅, u O con barra) es un conjunto que no
ıo
tiene elementos, (i.e., |∅| = 0)
H. Avil´s
e UPV
23/81

76. Introducci´n
o Conjuntos Experimentos aleatorios T´cnicas de conteo
e
Conjuntos - Conjunto Vac´
ıo
El conjunto vac´ ( ∅, u O con barra) es un conjunto que no
ıo
tiene elementos, (i.e., |∅| = 0)
Para cualquier conjunto A, ∅ ⊂ A (ya que ∅ no tiene
elementos que no est´n en A)
a
H. Avil´s
e UPV
23/81

77. Introducci´n
o Conjuntos Experimentos aleatorios T´cnicas de conteo
e
Conjuntos - Operaciones entre conjuntos
El producto cartesiano A × B = {(a, b)|a ∈ A ∧ b ∈ B}, el
conjunto de todos los pares ordenados formados por los
elementos ambos conjuntos y su cardinalidad es
|A × B| = |A| × |B|
H. Avil´s
e UPV
24/81

78. Introducci´n
o Conjuntos Experimentos aleatorios T´cnicas de conteo
e
Conjuntos - Operaciones entre conjuntos
El producto cartesiano A × B = {(a, b)|a ∈ A ∧ b ∈ B}, el
conjunto de todos los pares ordenados formados por los
elementos ambos conjuntos y su cardinalidad es
|A × B| = |A| × |B|
A − B o diferencia entre A y B son los elementos que est´n
a
en A pero no en B
H. Avil´s
e UPV
24/81

79. Introducci´n
o Conjuntos Experimentos aleatorios T´cnicas de conteo
e
Conjuntos - Operaciones entre conjuntos
El producto cartesiano A × B = {(a, b)|a ∈ A ∧ b ∈ B}, el
conjunto de todos los pares ordenados formados por los
elementos ambos conjuntos y su cardinalidad es
|A × B| = |A| × |B|
A − B o diferencia entre A y B son los elementos que est´n
a
en A pero no en B
El conjunto potencia S de un conjunto finito A es el conjunto
de todos los subconjuntos de A (incluyendo ∅ y a s´ mismo).
ı
|S| = 2n donde n = |A|
H. Avil´s
e UPV
24/81

80. Introducci´n
o Conjuntos Experimentos aleatorios T´cnicas de conteo
e
Conjuntos - Operaciones entre conjuntos
El complemento de A o A con respecto a U es el conjunto de
todos los elementos de U, que no pertenecen a A,
A = {x|x ∈ U ∧ x ∈ A} = U − A
/
H. Avil´s
e UPV
25/81

81. Introducci´n
o Conjuntos Experimentos aleatorios T´cnicas de conteo
e
Conjuntos - Operaciones entre conjuntos
El complemento de A o A con respecto a U es el conjunto de
todos los elementos de U, que no pertenecen a A,
A = {x|x ∈ U ∧ x ∈ A} = U − A
/
La intersecci´n de dos conjuntos A y B, denotada como
o
A ∩ B se forma con los elementos que pertenecen a ambos
conjuntos simult´neamente, A ∩ B = {x|x ∈ A ∧ x ∈ B}
a
H. Avil´s
e UPV
25/81

82. Introducci´n
o Conjuntos Experimentos aleatorios T´cnicas de conteo
e
Conjuntos - Operaciones entre conjuntos
El complemento de A o A con respecto a U es el conjunto de
todos los elementos de U, que no pertenecen a A,
A = {x|x ∈ U ∧ x ∈ A} = U − A
/
La intersecci´n de dos conjuntos A y B, denotada como
o
A ∩ B se forma con los elementos que pertenecen a ambos
conjuntos simult´neamente, A ∩ B = {x|x ∈ A ∧ x ∈ B}
a
Si A ∩ B = ∅, A y B no tienen elementos en com´n y se les
u
denomina conjuntos disjuntos
H. Avil´s
e UPV
25/81

83. Introducci´n
o Conjuntos Experimentos aleatorios T´cnicas de conteo
e
Conjuntos - Operaciones entre conjuntos
El complemento de A o A con respecto a U es el conjunto de
todos los elementos de U, que no pertenecen a A,
A = {x|x ∈ U ∧ x ∈ A} = U − A
/
La intersecci´n de dos conjuntos A y B, denotada como
o
A ∩ B se forma con los elementos que pertenecen a ambos
conjuntos simult´neamente, A ∩ B = {x|x ∈ A ∧ x ∈ B}
a
Si A ∩ B = ∅, A y B no tienen elementos en com´n y se les
u
denomina conjuntos disjuntos
La uni´n de dos conjuntos A y B, A ∪ B est´ dada por los
o a
elementos que pertenecen al menos a uno de los conjuntos,
A ∪ B = {x|x ∈ A ∨ x ∈ B}
H. Avil´s
e UPV
25/81

84. Introducci´n
o Conjuntos Experimentos aleatorios T´cnicas de conteo
e
Conjuntos - Precedencia de operaciones
Se adopta el siguiente orden de precedencia para operaciones
de 3 o m´s conjuntos:
a
1 ()
2 complemento
3 intersecci´n
o
4 uni´n
o
Sin embargo, para describir las operaciones es una buena idea
usar par´ntesis
e
H. Avil´s
e UPV
26/81

85. Introducci´n
o Conjuntos Experimentos aleatorios T´cnicas de conteo
e
Conjuntos - Diagramas de Venn
Diagrama de Venn para
dos conjuntos
H. Avil´s
e UPV
27/81

86. Introducci´n
o Conjuntos Experimentos aleatorios T´cnicas de conteo
e
Conjuntos - Diagramas de Venn
Diagrama de Venn para
dos conjuntos
A∩B
H. Avil´s
e UPV
27/81

87. Introducci´n
o Conjuntos Experimentos aleatorios T´cnicas de conteo
e
Conjuntos - Diagramas de Venn
Diagrama de Venn para
dos conjuntos
A∩B
A
H. Avil´s
e UPV
27/81

88. Introducci´n
o Conjuntos Experimentos aleatorios T´cnicas de conteo
e
Conjuntos - Diagramas de Venn
Diagrama de Venn para
dos conjuntos
A∩B
A
A∪B
H. Avil´s
e UPV
27/81

89. Introducci´n
o Conjuntos Experimentos aleatorios T´cnicas de conteo
e
Conjuntos - Diagramas de Venn
Diagrama de Venn para
dos conjuntos
A∩B
A
A∪B
A−B
H. Avil´s
e UPV
27/81

90. Introducci´n
o Conjuntos Experimentos aleatorios T´cnicas de conteo
e
Conjuntos - Diagramas de Venn
Diagrama de Venn para
dos conjuntos
A∩B
A
A∪B
A−B
A∩B =∅
H. Avil´s
e UPV
27/81

91. Introducci´n
o Conjuntos Experimentos aleatorios T´cnicas de conteo
e
Conjuntos - Diagramas de Venn
Diagrama de Venn para
tres conjuntos
H. Avil´s
e UPV
28/81

92. Introducci´n
o Conjuntos Experimentos aleatorios T´cnicas de conteo
e
Conjuntos - Diagramas de Venn
Diagrama de Venn para
tres conjuntos
A∪B
H. Avil´s
e UPV
28/81

93. Introducci´n
o Conjuntos Experimentos aleatorios T´cnicas de conteo
e
Conjuntos - Diagramas de Venn
Diagrama de Venn para
tres conjuntos
A∪B
A∪B ∪C
H. Avil´s
e UPV
28/81

94. Introducci´n
o Conjuntos Experimentos aleatorios T´cnicas de conteo
e
Conjuntos - Diagramas de Venn
Diagrama de Venn para
tres conjuntos
A∪B
A∪B ∪C
A∩B
H. Avil´s
e UPV
28/81

95. Introducci´n
o Conjuntos Experimentos aleatorios T´cnicas de conteo
e
Conjuntos - Diagramas de Venn
Diagrama de Venn para
tres conjuntos
A∪B
A∪B ∪C
A∩B
A∩B ∩C
H. Avil´s
e UPV
28/81

96. Introducci´n
o Conjuntos Experimentos aleatorios T´cnicas de conteo
e
Conjuntos - Ejemplo
Dibujar mediante
Diagramas de Venn
(A ∪ B) ∩ C
H. Avil´s
e UPV
29/81

97. Introducci´n
o Conjuntos Experimentos aleatorios T´cnicas de conteo
e
Conjuntos - Ejemplo
Dibujar mediante
Diagramas de Venn
(A ∪ B) ∩ C
A∪B
H. Avil´s
e UPV
29/81

98. Introducci´n
o Conjuntos Experimentos aleatorios T´cnicas de conteo
e
Conjuntos - Ejemplo
Dibujar mediante
Diagramas de Venn
(A ∪ B) ∩ C
A∪B
C
H. Avil´s
e UPV
29/81

99. Introducci´n
o Conjuntos Experimentos aleatorios T´cnicas de conteo
e
Conjuntos - Ejemplo
Dibujar mediante
Diagramas de Venn
(A ∪ B) ∩ C
A∪B
C
(A ∪ B) ∩ C
H. Avil´s
e UPV
29/81

100. Introducci´n
o Conjuntos Experimentos aleatorios T´cnicas de conteo
e
Conjuntos - Hechos importantes
Si A y B son conjuntos disjuntos |A ∪ B| = |A| + |B|
H. Avil´s
e UPV
30/81

101. Introducci´n
o Conjuntos Experimentos aleatorios T´cnicas de conteo
e
Conjuntos - Hechos importantes
Si A y B son conjuntos disjuntos |A ∪ B| = |A| + |B|
Si no son disjuntos A y B entonces
|A ∪ B| = |A| + |B| − |A ∩ B|
H. Avil´s
e UPV
30/81

102. Introducci´n
o Conjuntos Experimentos aleatorios T´cnicas de conteo
e
Conjuntos - Hechos importantes
Si A y B son conjuntos disjuntos |A ∪ B| = |A| + |B|
Si no son disjuntos A y B entonces
|A ∪ B| = |A| + |B| − |A ∩ B|
Para 3 conjuntos
|A∪B∪C | = |A|+|B|+|C |−|A∩B|−|B∩C |−|C ∩A|+|A∩B∩C |
H. Avil´s
e UPV
30/81

103. Introducci´n
o Conjuntos Experimentos aleatorios T´cnicas de conteo
e
Conjuntos - Hechos importantes
Si A y B son conjuntos disjuntos |A ∪ B| = |A| + |B|
Si no son disjuntos A y B entonces
|A ∪ B| = |A| + |B| − |A ∩ B|
Para 3 conjuntos
|A∪B∪C | = |A|+|B|+|C |−|A∩B|−|B∩C |−|C ∩A|+|A∩B∩C |
Para n conjuntos A1 , ...An
n
|A1 ∪ ... ∪ An | = |Ai | − |Ai ∩ Aj |+
i=1 1≤i<j≤n
|Ai ∩ Aj ∩ Ak | + ...(−1)n−1 |A1 ∩ A2 ∩ ... ∩ An |
1≤i<j<k≤n
H. Avil´s
e UPV
30/81

104. Introducci´n
o Conjuntos Experimentos aleatorios T´cnicas de conteo
e
Conjuntos - Hechos importantes
A ∩ B = B ∩ A; A ∪ B = B ∪ A Leyes conmutativas
A ∩ B ∩ C = (A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C );
A ∪ B ∪ C = (A ∪ B) ∪ C = A ∪ (B ∪ C ) Leyes asociativas
A ∩ (B ∪ C ) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C ) Primera ley distributiva
A ∪ (B ∩ C ) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C ) Segunda ley distributiva
A−B =A∩B
A ∪ ∅ = A, A ∩ ∅ = ∅
A ∪ U = U, A ∩ U = A
H. Avil´s
e UPV
31/81

105. Introducci´n
o Conjuntos Experimentos aleatorios T´cnicas de conteo
e
Conjuntos - Hechos importantes
Leyes de Morgan:
(A ∪ B) = A ∩ B Primera ley de Morgan
(A ∩ B) = A ∪ B Segunda ley de Morgan
A = (A ∩ B) ∪ (A ∩ B )
H. Avil´s
e UPV
32/81

106. Introducci´n
o Conjuntos Experimentos aleatorios T´cnicas de conteo
e
Ejercicios
Describa por extensi´n el conjunto de los meses del a˜o
o n
¿A qu´ subconjunto de N pertenece el conjunto
e
{x|x = 2n − 1 ∧ n ∈ N}?
Si A = {2, 4, 6}, B = {b|b = 2n − 1 ∧ n ∈ N},
C = {1, 3, 5, 7, 9, 11}, D = {2, 3, 5, 7}, E = {c, a, s, a}
Indique si A ∩ B = ∅. Si no, describa el conjunto
C ∩D ∩A
D ∪A∩B
B −C
Use diagramas de Venn para probar que
A = (A ∩ B) ∪ (A ∩ B )
H. Avil´s
e UPV
33/81

107. Introducci´n
o Conjuntos Experimentos aleatorios T´cnicas de conteo
e
Ejercicios
Si B = {x|x = 2n − 1 ∧ n ∈ Z}, calcule B − A
Obtenga el conjunto potencia de A
Calcule el producto cartesiano de A y D
Indique si el conjunto E es igual a a) {s, a, c, a, s}, b)
{s, a, c, {a, c}} y c) {s, a, c, (a, c)}
Calcule a) (A ∩ B) ∪ (A ∩ C ) y b) (A ∪ D) ∩ (A ∪ D)
Calcule a) |A ∪ B| y b) |C ∪ D|
Grafique mediante Diagramas de Venn A ∪ B ∩ C
H. Avil´s
e UPV
34/81

108. Introducci´n
o Conjuntos Experimentos aleatorios T´cnicas de conteo
e
Ejercicios
Si un conjunto |A| tiene 5 elementos y un conjunto B tiene 7
elementos, 2 de ellos tambi´n en A. ¿Cu´ntos elementos hay
e a
en total entre ambos conjuntos?
Si A = {a, b, c, d, e}, y B = {f , g , h, i, j}, ¿Cu´l es la
a
cardinalidad del conjunto A ∪ B?
Si C = {1, 2, 3, 4, 5}, y D = {1, 4, 5, 6, 7, 8, 9}, ¿Cu´l es la
a
cardinalidad de C ∪ D?
De un grupo de ni˜os, 46 juegan la matatena, 50 juegan con
n
el trompo y 40 canicas; 32 alumnos juegan trompo y
matatena, 26 matatena y canicas, 28 trompo y canicas y 18
practican los 3 pasatiempos. Si todos los alumnos practican al
menos uno de estos juegos, ¿Cu´ntos ni˜os hay en total?
a n
H. Avil´s
e UPV
35/81

109. Introducci´n
o Conjuntos Experimentos aleatorios T´cnicas de conteo
e
Tarea
En un avi´n viajan 120 personas, de las cuales 2/3 no beben,
o
4/5 no fuman, y 72 no fuman ni beben. ¿Cu´ntas personas
a
fuman y beben o no fuman ni beben?
H. Avil´s
e UPV
36/81

110. Introducci´n
o Conjuntos Experimentos aleatorios T´cnicas de conteo
e
Contenido
x Introducci´n
o
x Conjuntos
Experimentos aleatorios
T´cnicas de conteo
e
H. Avil´s
e UPV
37/81

111. Introducci´n
o Conjuntos Experimentos aleatorios T´cnicas de conteo
e
“Son vanas y est´n plagadas de errores las ciencias que no han
a
nacido del experimento, madre de toda certidumbre”
Leonardo Da Vinci 1452 - 1519
H. Avil´s
e UPV
38/81

112. Introducci´n
o Conjuntos Experimentos aleatorios T´cnicas de conteo
e
Experimentos aleatorios
Un experimento es una acci´n para descubrir o comprobar el
o
comportamiento de un fen´meno (e.g., si se calienta agua,
o
´sta ebullir´ a 100◦ C)
e a
H. Avil´s
e UPV
39/81

113. Introducci´n
o Conjuntos Experimentos aleatorios T´cnicas de conteo
e
Experimentos aleatorios
Un experimento es una acci´n para descubrir o comprobar el
o
comportamiento de un fen´meno (e.g., si se calienta agua,
o
´sta ebullir´ a 100◦ C)
e a
Muchas veces un experimento realizado varias veces a´n bajo
u
circunstancias aproximadamente iguales no tendr´ el mismo
a
resultado (e.g., el n´mero obtenido al tirar un dado)
u
H. Avil´s
e UPV
39/81

114. Introducci´n
o Conjuntos Experimentos aleatorios T´cnicas de conteo
e
Experimentos aleatorios
Un experimento es una acci´n para descubrir o comprobar el
o
comportamiento de un fen´meno (e.g., si se calienta agua,
o
´sta ebullir´ a 100◦ C)
e a
Muchas veces un experimento realizado varias veces a´n bajo
u
circunstancias aproximadamente iguales no tendr´ el mismo
a
resultado (e.g., el n´mero obtenido al tirar un dado)
u
Un experimento aleatorio es un experimento cuyo resultado no
puede ser predicho
H. Avil´s
e UPV
39/81

115. Introducci´n
o Conjuntos Experimentos aleatorios T´cnicas de conteo
e
Experimentos aleatorios
Un experimento es una acci´n para descubrir o comprobar el
o
comportamiento de un fen´meno (e.g., si se calienta agua,
o
´sta ebullir´ a 100◦ C)
e a
Muchas veces un experimento realizado varias veces a´n bajo
u
circunstancias aproximadamente iguales no tendr´ el mismo
a
resultado (e.g., el n´mero obtenido al tirar un dado)
u
Un experimento aleatorio es un experimento cuyo resultado no
puede ser predicho
Una salida es un resultado elemental de una unica “corrida”
´
del experimento aleatorio (en el ejemplo anterior, los n´meros
u
del 1 al 6)
H. Avil´s
e UPV
39/81

116. Introducci´n
o Conjuntos Experimentos aleatorios T´cnicas de conteo
e
Experimentos aleatorios
El espacio muestral L es el conjunto de todas las salidas
posibles de un experimento aleatorio (para un dado,
{1, 2, 3, 4, 5, 6})
H. Avil´s
e UPV
40/81

117. Introducci´n
o Conjuntos Experimentos aleatorios T´cnicas de conteo
e
Experimentos aleatorios
El espacio muestral L es el conjunto de todas las salidas
posibles de un experimento aleatorio (para un dado,
{1, 2, 3, 4, 5, 6})
Sin el espacio muestral de un experimento aleatorio no es
posible asignar probabilidades
H. Avil´s
e UPV
40/81

118. Introducci´n
o Conjuntos Experimentos aleatorios T´cnicas de conteo
e
Experimentos aleatorios
El espacio muestral L es el conjunto de todas las salidas
posibles de un experimento aleatorio (para un dado,
{1, 2, 3, 4, 5, 6})
Sin el espacio muestral de un experimento aleatorio no es
posible asignar probabilidades
Algunos experimentos aleatorios aceptan m´s de un espacio
a
muestral (e.g. al elegir una carta en una baraja, el espacio
muestral que considera s´lo el palo o uno que toma el cuenta
o
el valor de la carta)
H. Avil´s
e UPV
40/81

119. Introducci´n
o Conjuntos Experimentos aleatorios T´cnicas de conteo
e
Experimentos aleatorios
El espacio muestral L es el conjunto de todas las salidas
posibles de un experimento aleatorio (para un dado,
{1, 2, 3, 4, 5, 6})
Sin el espacio muestral de un experimento aleatorio no es
posible asignar probabilidades
Algunos experimentos aleatorios aceptan m´s de un espacio
a
muestral (e.g. al elegir una carta en una baraja, el espacio
muestral que considera s´lo el palo o uno que toma el cuenta
o
el valor de la carta)
No obstante, una descripci´n completa combinar´ los n
o ıa
espacios muestrales posibles como una n-tupla formado por su
producto cartesiano
H. Avil´s
e UPV
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120. Introducci´n
o Conjuntos Experimentos aleatorios T´cnicas de conteo
e
Experimentos aleatorios - Ejemplo
Sea el experimento aleatorio “Lanzar una moneda dos veces
consecutivas”
H. Avil´s
e UPV
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121. Introducci´n
o Conjuntos Experimentos aleatorios T´cnicas de conteo
e
Experimentos aleatorios - Ejemplo
Sea el experimento aleatorio “Lanzar una moneda dos veces
consecutivas”
Un espacio muestral L1 podr´ considerar s´lo los resultados
ıa o
del primer lanzamiento {cara, cruz}
H. Avil´s
e UPV
41/81

122. Introducci´n
o Conjuntos Experimentos aleatorios T´cnicas de conteo
e
Experimentos aleatorios - Ejemplo
Sea el experimento aleatorio “Lanzar una moneda dos veces
consecutivas”
Un espacio muestral L1 podr´ considerar s´lo los resultados
ıa o
del primer lanzamiento {cara, cruz}
Otro espacio muestral L2 puede incluir s´lo los resultados del
o
segundo lanzamiento {cara, cruz}
H. Avil´s
e UPV
41/81

123. Introducci´n
o Conjuntos Experimentos aleatorios T´cnicas de conteo
e
Experimentos aleatorios - Ejemplo
Sea el experimento aleatorio “Lanzar una moneda dos veces
consecutivas”
Un espacio muestral L1 podr´ considerar s´lo los resultados
ıa o
del primer lanzamiento {cara, cruz}
Otro espacio muestral L2 puede incluir s´lo los resultados del
o
segundo lanzamiento {cara, cruz}
La descripci´n completa del espacio muestral
o
ser´ L = L1 × L2 =
a
{(cara, cara), (cara, cruz), (cruz, cruz), (cruz, cara)}
H. Avil´s
e UPV
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124. Introducci´n
o Conjuntos Experimentos aleatorios T´cnicas de conteo
e
Experimentos aleatorios
Espacio muestral del experimento aleatorio “lanzar una moneda
dos veces”
H. Avil´s
e UPV
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125. Introducci´n
o Conjuntos Experimentos aleatorios T´cnicas de conteo
e
Experimentos aleatorios
Un evento o suceso est´ conformado por una o m´s salidas de
a a
un experimento aleatorio (i.e., un subconjunto de L)
H. Avil´s
e UPV
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126. Introducci´n
o Conjuntos Experimentos aleatorios T´cnicas de conteo
e
Experimentos aleatorios
Un evento o suceso est´ conformado por una o m´s salidas de
a a
un experimento aleatorio (i.e., un subconjunto de L)
Un espacio muestral puede ser discreto (finito), o continuo
(infinito)
H. Avil´s
e UPV
43/81

127. Introducci´n
o Conjuntos Experimentos aleatorios T´cnicas de conteo
e
Experimentos aleatorios
Un evento o suceso est´ conformado por una o m´s salidas de
a a
un experimento aleatorio (i.e., un subconjunto de L)
Un espacio muestral puede ser discreto (finito), o continuo
(infinito)
Un suceso o evento seguro es uno que va a ocurrir (e.g., que
al lanzar una moneda caiga cara o cruz)
H. Avil´s
e UPV
43/81

128. Introducci´n
o Conjuntos Experimentos aleatorios T´cnicas de conteo
e
Experimentos aleatorios
Un evento o suceso est´ conformado por una o m´s salidas de
a a
un experimento aleatorio (i.e., un subconjunto de L)
Un espacio muestral puede ser discreto (finito), o continuo
(infinito)
Un suceso o evento seguro es uno que va a ocurrir (e.g., que
al lanzar una moneda caiga cara o cruz)
Un suceso que no puede ocurrir es un suceso imposible y es
representado como ∅, (e.g., al lanzar una moneda pudiera caer
“de canto” y no habr´ resultado)
ıa
H. Avil´s
e UPV
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129. Introducci´n
o Conjuntos Experimentos aleatorios T´cnicas de conteo
e
Experimentos aleatorios
Un evento o suceso est´ conformado por una o m´s salidas de
a a
un experimento aleatorio (i.e., un subconjunto de L)
Un espacio muestral puede ser discreto (finito), o continuo
(infinito)
Un suceso o evento seguro es uno que va a ocurrir (e.g., que
al lanzar una moneda caiga cara o cruz)
Un suceso que no puede ocurrir es un suceso imposible y es
representado como ∅, (e.g., al lanzar una moneda pudiera caer
“de canto” y no habr´ resultado)
ıa
Aunque no imposible en la realidad, idealizar ayuda a
simplificar la teor´ y no afectan su aplicaci´n
ıa o
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130. Introducci´n
o Conjuntos Experimentos aleatorios T´cnicas de conteo
e
Experimentos aleatorios
El evento “que caiga s´lo una cara” en el experimento aleatorio de
o
lanzar una moneda dos veces
H. Avil´s
e UPV
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131. Introducci´n
o Conjuntos Experimentos aleatorios T´cnicas de conteo
e
Experimentos aleatorios
El evento “que los resultados sean iguales”
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132. Introducci´n
o Conjuntos Experimentos aleatorios T´cnicas de conteo
e
Experimentos aleatorios
Las salidas “individuales” de un experimento pueden
combinarse usando operaciones de conjuntos
El evento A =“que los resultados sean iguales” y el evento B =
“que caiga s´lo una cara” (A ∪ B). Este evento es “seguro” pues
o
alguno de estos eventos simples va a ocurrir
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133. Introducci´n
o Conjuntos Experimentos aleatorios T´cnicas de conteo
e
Experimentos aleatorios - Ejemplos
Lanzar un dado
L = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
El suceso A que la puntuaci´n sea mayor o igual a 5 es {5, 6}
o
El suceso B que el n´mero resultante sea par es {2, 4, 6}
u
El suceso A ∩ B = {6}
El suceso A ∪ B = {2, 4, 5, 6}
H. Avil´s
e UPV
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134. Introducci´n
o Conjuntos Experimentos aleatorios T´cnicas de conteo
e
Experimentos aleatorios - Ejemplos
Meter la mano en una bolsa con 3 bolas blancas, 3 verdes y 3
amarillas numeradas por color del 1 al 3 y tomar una de ellas
L = {blanca1 , blanca2 , blanca3 ,
verde1 , verde2 , verde3 , amarilla1 , amarilla2 , amarilla3 }
El suceso A, el n´mero de la bola es mayor a 2,
u
{blanca3 , verde3 , amarilla3 }
El suceso B, que la bola sea amarilla
{amarilla1 , amarilla2 , amarilla3 }
El suceso A ∩ B {amarilla3 }
H. Avil´s
e UPV
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135. Introducci´n
o Conjuntos Experimentos aleatorios T´cnicas de conteo
e
Experimentos aleatorios - Ejemplos
Generar un n´mero real al azar del 0 al 1 inclusive
u
L = {x|x ∈ R ∧ 0 ≤ x ≤ 1}
El suceso A, el n´mero es mayor que 0.5, (0,5, 1]
u
El suceso B, que se obtenga 12.4,
H. Avil´s
e UPV
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136. Introducci´n
o Conjuntos Experimentos aleatorios T´cnicas de conteo
e
Experimentos aleatorios - Ejemplos
Generar un n´mero real al azar del 0 al 1 inclusive
u
L = {x|x ∈ R ∧ 0 ≤ x ≤ 1}
El suceso A, el n´mero es mayor que 0.5, (0,5, 1]
u
El suceso B, que se obtenga 12.4,es ∅
H. Avil´s
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