Probabilidad y Estad´                    ıstica            Preliminares         Dr. H´ctor Avil´s              e         e...
Introducci´n          o                Conjuntos   Experimentos aleatorios   T´cnicas de conteo                           ...
Introducci´n          o                Conjuntos     Experimentos aleatorios   T´cnicas de conteo                         ...
Introducci´n          o                Conjuntos     Experimentos aleatorios   T´cnicas de conteo                         ...
Introducci´n          o           Conjuntos          Experimentos aleatorios   T´cnicas de conteo                         ...
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  1. 1. Probabilidad y Estad´ ıstica Preliminares Dr. H´ctor Avil´s e eIngenier´ en Tecnolog´ de la Informaci´n ıa ıas o Universidad Polit´cnica de Victoria e Cd. Victoria Tamaulipas Abril-Agosto 2012
  2. 2. Introducci´n o Conjuntos Experimentos aleatorios T´cnicas de conteo eInformaci´n general o Objetivos Programa Bibliograf´ ıa Pol´ ıticas del cursoH. Avil´s e UPV2/81
  3. 3. Introducci´n o Conjuntos Experimentos aleatorios T´cnicas de conteo eContenido Introducci´n o Conjuntos Experimentos aleatorios T´cnicas de conteo eH. Avil´s e UPV3/81
  4. 4. Introducci´n o Conjuntos Experimentos aleatorios T´cnicas de conteo eContenido Introducci´n o Conjuntos Experimentos aleatorios T´cnicas de conteo eH. Avil´s e UPV4/81
  5. 5. Introducci´n o Conjuntos Experimentos aleatorios T´cnicas de conteo e “La incertidumbre es la unica cosa cierta que existe, y aprender ´ c´mo vivir con inseguridad es la unica seguridad” o ´ John Allen Paulos 1945 -. Escritor y profesor de matem´ticas. aH. Avil´s e UPV5/81
  6. 6. Introducci´n o Conjuntos Experimentos aleatorios T´cnicas de conteo eIntroducci´n - ¿Qu´ es la probabilidad? o e Seg´n Merriam-Webster : uH. Avil´s e UPV6/81
  7. 7. Introducci´n o Conjuntos Experimentos aleatorios T´cnicas de conteo eIntroducci´n - ¿Qu´ es la probabilidad? o e Seg´n Merriam-Webster : u 1 La calidad o estado de ser probableH. Avil´s e UPV6/81
  8. 8. Introducci´n o Conjuntos Experimentos aleatorios T´cnicas de conteo eIntroducci´n - ¿Qu´ es la probabilidad? o e Seg´n Merriam-Webster : u 1 La calidad o estado de ser probable 2 Algo (como un evento o circunstancia) que es probableH. Avil´s e UPV6/81
  9. 9. Introducci´n o Conjuntos Experimentos aleatorios T´cnicas de conteo eIntroducci´n - ¿Qu´ es la probabilidad? o e Seg´n Merriam-Webster : u 1 La calidad o estado de ser probable 2 Algo (como un evento o circunstancia) que es probable 3 La raz´n del n´mero de salidas (o resultados) que producen un o u evento dado con respecto al n´mero total de salidas posibles uH. Avil´s e UPV6/81
  10. 10. Introducci´n o Conjuntos Experimentos aleatorios T´cnicas de conteo eIntroducci´n - ¿Qu´ es la probabilidad? o e Seg´n Merriam-Webster : u 1 La calidad o estado de ser probable 2 Algo (como un evento o circunstancia) que es probable 3 La raz´n del n´mero de salidas (o resultados) que producen un o u evento dado con respecto al n´mero total de salidas posibles u 4 La posibilidad de que un evento ocurraH. Avil´s e UPV6/81
  11. 11. Introducci´n o Conjuntos Experimentos aleatorios T´cnicas de conteo eIntroducci´n - ¿Qu´ es la probabilidad? o e Seg´n Merriam-Webster : u 1 La calidad o estado de ser probable 2 Algo (como un evento o circunstancia) que es probable 3 La raz´n del n´mero de salidas (o resultados) que producen un o u evento dado con respecto al n´mero total de salidas posibles u 4 La posibilidad de que un evento ocurra 5 Una rama de las matem´ticas relacionadas al estudio de a probabilidadesH. Avil´s e UPV6/81
  12. 12. Introducci´n o Conjuntos Experimentos aleatorios T´cnicas de conteo eIntroducci´n - ¿Qu´ es la probabilidad? o e Seg´n Merriam-Webster : u 1 La calidad o estado de ser probable 2 Algo (como un evento o circunstancia) que es probable 3 La raz´n del n´mero de salidas (o resultados) que producen un o u evento dado con respecto al n´mero total de salidas posibles u 4 La posibilidad de que un evento ocurra 5 Una rama de las matem´ticas relacionadas al estudio de a probabilidades 6 Una relaci´n l´gica entre sentencias tal que la evidencia que o o confirma a una tambi´n confirma a la otra en cierto grado eH. Avil´s e UPV6/81
  13. 13. Introducci´n o Conjuntos Experimentos aleatorios T´cnicas de conteo eIntroducci´n o Diariamente debemos tomar decisiones o realizar juicios, muchas veces con datos e informaci´n: oH. Avil´s e UPV7/81
  14. 14. Introducci´n o Conjuntos Experimentos aleatorios T´cnicas de conteo eIntroducci´n o Diariamente debemos tomar decisiones o realizar juicios, muchas veces con datos e informaci´n: o incompleta,H. Avil´s e UPV7/81
  15. 15. Introducci´n o Conjuntos Experimentos aleatorios T´cnicas de conteo eIntroducci´n o Diariamente debemos tomar decisiones o realizar juicios, muchas veces con datos e informaci´n: o incompleta, imprecisa o distorsionada, oH. Avil´s e UPV7/81
  16. 16. Introducci´n o Conjuntos Experimentos aleatorios T´cnicas de conteo eIntroducci´n o Diariamente debemos tomar decisiones o realizar juicios, muchas veces con datos e informaci´n: o incompleta, imprecisa o distorsionada, o contradictoria que viene de nuestro conocimiento previo o de fuentes externas yH. Avil´s e UPV7/81
  17. 17. Introducci´n o Conjuntos Experimentos aleatorios T´cnicas de conteo eIntroducci´n o Diariamente debemos tomar decisiones o realizar juicios, muchas veces con datos e informaci´n: o incompleta, imprecisa o distorsionada, o contradictoria que viene de nuestro conocimiento previo o de fuentes externas y con representaciones de datos no adecuadas o limitadas en expresividadH. Avil´s e UPV7/81
  18. 18. Introducci´n o Conjuntos Experimentos aleatorios T´cnicas de conteo eIntroducci´n o Diariamente debemos tomar decisiones o realizar juicios, muchas veces con datos e informaci´n: o incompleta, imprecisa o distorsionada, o contradictoria que viene de nuestro conocimiento previo o de fuentes externas y con representaciones de datos no adecuadas o limitadas en expresividad Lo anterior genera incertidumbre, (i.e., duda, falta de seguridad o certidumbre) acerca de alguna situaci´n de inter´s o eH. Avil´s e UPV7/81
  19. 19. Introducci´n o Conjuntos Experimentos aleatorios T´cnicas de conteo eIntroducci´n - Situaciones inciertas de la vida diaria oH. Avil´s e UPV8/81
  20. 20. Introducci´n o Conjuntos Experimentos aleatorios T´cnicas de conteo eIntroducci´n - Situaciones inciertas de la vida diaria o Si llover´ o no en un d´ nublado a ıaH. Avil´s e UPV8/81
  21. 21. Introducci´n o Conjuntos Experimentos aleatorios T´cnicas de conteo eIntroducci´n - Situaciones inciertas de la vida diaria o Si llover´ o no en un d´ nublado a ıa El marcador final de un partido de futbolH. Avil´s e UPV8/81
  22. 22. Introducci´n o Conjuntos Experimentos aleatorios T´cnicas de conteo eIntroducci´n - Situaciones inciertas de la vida diaria o Si llover´ o no en un d´ nublado a ıa El marcador final de un partido de futbol Las acciones del conductor del coche de a ladoH. Avil´s e UPV8/81
  23. 23. Introducci´n o Conjuntos Experimentos aleatorios T´cnicas de conteo eIntroducci´n - Situaciones inciertas de la vida diaria o Si llover´ o no en un d´ nublado a ıa El marcador final de un partido de futbol Las acciones del conductor del coche de a lado La causa de una enfermedadH. Avil´s e UPV8/81
  24. 24. Introducci´n o Conjuntos Experimentos aleatorios T´cnicas de conteo eIntroducci´n - Situaciones inciertas de la vida diaria o Si llover´ o no en un d´ nublado a ıa El marcador final de un partido de futbol Las acciones del conductor del coche de a lado La causa de una enfermedad La predicci´n de la temperatura del ambiente para el siguiente o mesH. Avil´s e UPV8/81
  25. 25. Introducci´n o Conjuntos Experimentos aleatorios T´cnicas de conteo eIntroducci´n - Situaciones inciertas de la vida diaria o Si llover´ o no en un d´ nublado a ıa El marcador final de un partido de futbol Las acciones del conductor del coche de a lado La causa de una enfermedad La predicci´n de la temperatura del ambiente para el siguiente o mes Si un dispositivo creado en una l´ ınea de producci´n o ser´ defectuoso aH. Avil´s e UPV8/81
  26. 26. Introducci´n o Conjuntos Experimentos aleatorios T´cnicas de conteo eIntroducci´n - Situaciones inciertas de la vida diaria o Si llover´ o no en un d´ nublado a ıa El marcador final de un partido de futbol Las acciones del conductor del coche de a lado La causa de una enfermedad La predicci´n de la temperatura del ambiente para el siguiente o mes Si un dispositivo creado en una l´ ınea de producci´n o ser´ defectuoso a El comportamiento de la econom´ de un pa´ ıa ısH. Avil´s e UPV8/81
  27. 27. Introducci´n o Conjuntos Experimentos aleatorios T´cnicas de conteo eIntroducci´n - Situaciones inciertas de la vida diaria o Si llover´ o no en un d´ nublado a ıa El marcador final de un partido de futbol Las acciones del conductor del coche de a lado La causa de una enfermedad La predicci´n de la temperatura del ambiente para el siguiente o mes Si un dispositivo creado en una l´ ınea de producci´n o ser´ defectuoso a El comportamiento de la econom´ de un pa´ ıa ıs El resultado de un juego de azar (lanzar dados, una moneda o la ruleta)H. Avil´s e UPV8/81
  28. 28. Introducci´n o Conjuntos Experimentos aleatorios T´cnicas de conteo eIntroducci´n - Situaciones inciertas de la vida diaria o Si llover´ o no en un d´ nublado a ıa El marcador final de un partido de futbol Las acciones del conductor del coche de a lado La causa de una enfermedad La predicci´n de la temperatura del ambiente para el siguiente o mes Si un dispositivo creado en una l´ ınea de producci´n o ser´ defectuoso a El comportamiento de la econom´ de un pa´ ıa ıs El resultado de un juego de azar (lanzar dados, una moneda o la ruleta) ...H. Avil´s e UPV8/81
  29. 29. Introducci´n o Conjuntos Experimentos aleatorios T´cnicas de conteo eIntroducci´n - ¿Para qu´ nos sirve la probabilidad? o eH. Avil´s e UPV9/81
  30. 30. Introducci´n o Conjuntos Experimentos aleatorios T´cnicas de conteo eIntroducci´n - ¿Para qu´ nos sirve la probabilidad? o e La teor´ de probabilidad nos ofrece un marco de trabajo para ıa hacer inferencias consistentes (no contradictorias), de acuerdo al sentido com´n y mediante n´meros reales que miden la posibilidad u u de que eventos inciertos ocurranH. Avil´s e UPV9/81
  31. 31. Introducci´n o Conjuntos Experimentos aleatorios T´cnicas de conteo eIntroducci´n - Ejemplos de la utilidad de la probabilidad en ocomputaci´n oH. Avil´s e UPV10/81
  32. 32. Introducci´n o Conjuntos Experimentos aleatorios T´cnicas de conteo eIntroducci´n - Ejemplos de la utilidad de la probabilidad en ocomputaci´n o ¿Es necesario ayudar al usuario en este momento? (e.g., asistente de Microsoft)H. Avil´s e UPV10/81
  33. 33. Introducci´n o Conjuntos Experimentos aleatorios T´cnicas de conteo eIntroducci´n - Ejemplos de la utilidad de la probabilidad en ocomputaci´n o ¿Es necesario ayudar al usuario en este momento? (e.g., asistente de Microsoft) ¿Qu´ nombres de persona son m´s probables en una base de e a datos?H. Avil´s e UPV10/81
  34. 34. Introducci´n o Conjuntos Experimentos aleatorios T´cnicas de conteo eIntroducci´n - Ejemplos de la utilidad de la probabilidad en ocomputaci´n o ¿Es necesario ayudar al usuario en este momento? (e.g., asistente de Microsoft) ¿Qu´ nombres de persona son m´s probables en una base de e a datos? ¿Cu´l es la probabilidad de que un sistema falle en un cierto a periodo de tiempo?H. Avil´s e UPV10/81
  35. 35. Introducci´n o Conjuntos Experimentos aleatorios T´cnicas de conteo eIntroducci´n - Ejemplos de la utilidad de la probabilidad en ocomputaci´n o ¿Es necesario ayudar al usuario en este momento? (e.g., asistente de Microsoft) ¿Qu´ nombres de persona son m´s probables en una base de e a datos? ¿Cu´l es la probabilidad de que un sistema falle en un cierto a periodo de tiempo? ¿Cu´l es la probabilidad de saturaci´n de una red de a o computadoras a una hora espec´ ıfica?H. Avil´s e UPV10/81
  36. 36. Introducci´n o Conjuntos Experimentos aleatorios T´cnicas de conteo eIntroducci´n - Ejemplos de la utilidad de la probabilidad en ocomputaci´n o ¿Es necesario ayudar al usuario en este momento? (e.g., asistente de Microsoft) ¿Qu´ nombres de persona son m´s probables en una base de e a datos? ¿Cu´l es la probabilidad de que un sistema falle en un cierto a periodo de tiempo? ¿Cu´l es la probabilidad de saturaci´n de una red de a o computadoras a una hora espec´ ıfica? En interacci´n hombre-m´quina (e.g., identificaci´n de voz y o a o rostro del usuario, preferencias y comportamientos, patrones de b´squeda en la Web, etc.) uH. Avil´s e UPV10/81
  37. 37. Introducci´n o Conjuntos Experimentos aleatorios T´cnicas de conteo eIntroducci´n - Ejemplos de la utilidad de la probabilidad en ocomputaci´n o ¿Es necesario ayudar al usuario en este momento? (e.g., asistente de Microsoft) ¿Qu´ nombres de persona son m´s probables en una base de e a datos? ¿Cu´l es la probabilidad de que un sistema falle en un cierto a periodo de tiempo? ¿Cu´l es la probabilidad de saturaci´n de una red de a o computadoras a una hora espec´ ıfica? En interacci´n hombre-m´quina (e.g., identificaci´n de voz y o a o rostro del usuario, preferencias y comportamientos, patrones de b´squeda en la Web, etc.) u En inteligencia artificial para reconocimiento de patrones, visi´n computacional, navegaci´n rob´tica, aprendizaje o o oH. Avil´s e UPV10/81
  38. 38. Introducci´n o Conjuntos Experimentos aleatorios T´cnicas de conteo eEjemplo de un sistema inteligente con m´ltiples fuentes de uincertidumbreH. Avil´s e UPV11/81
  39. 39. Introducci´n o Conjuntos Experimentos aleatorios T´cnicas de conteo eContribuciones importantes Nociones de probabilidad elemental en la Antigua India y Egipto Blaise Pascal y Pierre de Fermat formulan sus principios en el siglo XVII para juegos de azar Jakob Bernoulli y Abraham de Moivre en el siglo XVIII resuelven problemas m´s complejos a En el siglo XIX, Friedrich Gauss y Pierre Laplace extienden su aplicaci´n en juegos de azar a diferentes problemas cient´ o ıficos A. Kolmogorov propone una base axiom´tica (basada en a teor´ de conjuntos) para su teor´ en el siglo XX ıa ıa A. Markov realiza contribuciones al estudio de procesos estoc´sticos como el movimiento Browniano (movimiento a aleatorio de una part´ ıcula en un fluido)H. Avil´s e UPV12/81
  40. 40. Introducci´n o Conjuntos Experimentos aleatorios T´cnicas de conteo eContenido x Introducci´n o Conjuntos Experimentos aleatorios T´cnicas de conteo eH. Avil´s e UPV13/81
  41. 41. Introducci´n o Conjuntos Experimentos aleatorios T´cnicas de conteo e “Un conjunto es un Muchos que permite a si mismo ser visto como un Uno” Georg Cantor 1845 -1918. Citado en Infinity and the Mind (1995) por Rudy Rucker.H. Avil´s e UPV14/81
  42. 42. Introducci´n o Conjuntos Experimentos aleatorios T´cnicas de conteo eConjuntos La teor´ de conjuntos es relevante por diferentes razones: ıaH. Avil´s e UPV15/81
  43. 43. Introducci´n o Conjuntos Experimentos aleatorios T´cnicas de conteo eConjuntos La teor´ de conjuntos es relevante por diferentes razones: ıa La necesidad de utilizar conjuntos y hacer operaciones con ellos est´ presente en la vida diaria y pr´cticamente en todas a a las ramas de las matem´ticas aH. Avil´s e UPV15/81
  44. 44. Introducci´n o Conjuntos Experimentos aleatorios T´cnicas de conteo eConjuntos La teor´ de conjuntos es relevante por diferentes razones: ıa La necesidad de utilizar conjuntos y hacer operaciones con ellos est´ presente en la vida diaria y pr´cticamente en todas a a las ramas de las matem´ticas a Nos introduce a la aplicaci´n de la l´gica y de s´ o o ımbolos matem´ticos simples aH. Avil´s e UPV15/81
  45. 45. Introducci´n o Conjuntos Experimentos aleatorios T´cnicas de conteo eConjuntos La teor´ de conjuntos es relevante por diferentes razones: ıa La necesidad de utilizar conjuntos y hacer operaciones con ellos est´ presente en la vida diaria y pr´cticamente en todas a a las ramas de las matem´ticas a Nos introduce a la aplicaci´n de la l´gica y de s´ o o ımbolos matem´ticos simples a Ayuda a descomponer los problemas (i.e., verlos como un sistema con varios componentes)H. Avil´s e UPV15/81
  46. 46. Introducci´n o Conjuntos Experimentos aleatorios T´cnicas de conteo eConjuntos La teor´ de conjuntos es relevante por diferentes razones: ıa La necesidad de utilizar conjuntos y hacer operaciones con ellos est´ presente en la vida diaria y pr´cticamente en todas a a las ramas de las matem´ticas a Nos introduce a la aplicaci´n de la l´gica y de s´ o o ımbolos matem´ticos simples a Ayuda a descomponer los problemas (i.e., verlos como un sistema con varios componentes) Sus axiomas y reglas que describen c´mo se comportan o diversas teor´ matem´ticas de una manera intuitiva ıas aH. Avil´s e UPV15/81
  47. 47. Introducci´n o Conjuntos Experimentos aleatorios T´cnicas de conteo eConjuntos La teor´ de conjuntos es relevante por diferentes razones: ıa La necesidad de utilizar conjuntos y hacer operaciones con ellos est´ presente en la vida diaria y pr´cticamente en todas a a las ramas de las matem´ticas a Nos introduce a la aplicaci´n de la l´gica y de s´ o o ımbolos matem´ticos simples a Ayuda a descomponer los problemas (i.e., verlos como un sistema con varios componentes) Sus axiomas y reglas que describen c´mo se comportan o diversas teor´ matem´ticas de una manera intuitiva ıas a En nuestro caso, nos permitir´ calcular probabilidades sobre a conjuntos (las operaciones en probabilidad est´n especificadas a y se har´n de hecho sobre conjuntos bien definidos) aH. Avil´s e UPV15/81
  48. 48. Introducci´n o Conjuntos Experimentos aleatorios T´cnicas de conteo eConjuntos - Definici´n o Un conjunto es una colecci´n de objetos llamados elementos o o miembros del conjuntoH. Avil´s e UPV16/81
  49. 49. Introducci´n o Conjuntos Experimentos aleatorios T´cnicas de conteo eConjuntos - Definici´n o Un conjunto es una colecci´n de objetos llamados elementos o o miembros del conjunto Frecuentemente se identifican por letras may´sculas, A, B, C , u etc.H. Avil´s e UPV16/81
  50. 50. Introducci´n o Conjuntos Experimentos aleatorios T´cnicas de conteo eConjuntos - Definici´n o Un conjunto es una colecci´n de objetos llamados elementos o o miembros del conjunto Frecuentemente se identifican por letras may´sculas, A, B, C , u etc. Si a es un elemento de un conjunto A se escribe a ∈ A, en caso contrario, a ∈ A /H. Avil´s e UPV16/81
  51. 51. Introducci´n o Conjuntos Experimentos aleatorios T´cnicas de conteo eConjuntos - Definici´n o Un conjunto es una colecci´n de objetos llamados elementos o o miembros del conjunto Frecuentemente se identifican por letras may´sculas, A, B, C , u etc. Si a es un elemento de un conjunto A se escribe a ∈ A, en caso contrario, a ∈ A / La especificaci´n de los elementos de un conjunto se puede o hacer de dos maneras: Por extensi´n, e.g., A = {5, 3, 9, 10} oH. Avil´s e UPV16/81
  52. 52. Introducci´n o Conjuntos Experimentos aleatorios T´cnicas de conteo eConjuntos - Definici´n o Un conjunto es una colecci´n de objetos llamados elementos o o miembros del conjunto Frecuentemente se identifican por letras may´sculas, A, B, C , u etc. Si a es un elemento de un conjunto A se escribe a ∈ A, en caso contrario, a ∈ A / La especificaci´n de los elementos de un conjunto se puede o hacer de dos maneras: Por extensi´n, e.g., A = {5, 3, 9, 10} o Por definici´n, e.g., B = {x|x es una vocal} donde ‘|’ se lee o “tal que”. Opcionalmente se puede utilizar ‘:’ en vez de ‘|’H. Avil´s e UPV16/81
  53. 53. Introducci´n o Conjuntos Experimentos aleatorios T´cnicas de conteo eConjuntos - Conjunto finito Conjunto finito: Sus elementos se pueden poner en correspondencia biyectiva con el conjunto {1, 2, 3, 4, ..., n} donde n ∈ NH. Avil´s e UPV17/81
  54. 54. Introducci´n o Conjuntos Experimentos aleatorios T´cnicas de conteo eConjuntos - Conjunto finito Conjunto finito: Sus elementos se pueden poner en correspondencia biyectiva con el conjunto {1, 2, 3, 4, ..., n} donde n ∈ N En t´rminos pr´cticos, tiene un n´mero finito de elementos, e a u i.e., no continuan indefinidamente y podemos mencionar su ultimo elemento ´H. Avil´s e UPV17/81
  55. 55. Introducci´n o Conjuntos Experimentos aleatorios T´cnicas de conteo eConjuntos - Conjunto finito Conjunto finito: Sus elementos se pueden poner en correspondencia biyectiva con el conjunto {1, 2, 3, 4, ..., n} donde n ∈ N En t´rminos pr´cticos, tiene un n´mero finito de elementos, e a u i.e., no continuan indefinidamente y podemos mencionar su ultimo elemento ´ El n´mero de elementos n se denomina cardinalidad. La u cardinalidad de un conjunto S se denota |S|, por ejemplo, para S = {1, 2, 3, 5, 80, 90, 91}, |S| = 7.H. Avil´s e UPV17/81
  56. 56. Introducci´n o Conjuntos Experimentos aleatorios T´cnicas de conteo eConjuntos - Conjunto infinito Conjunto infinito: No es posible establecer una correspondencia uno a uno con NH. Avil´s e UPV18/81
  57. 57. Introducci´n o Conjuntos Experimentos aleatorios T´cnicas de conteo eConjuntos - Conjunto infinito Conjunto infinito: No es posible establecer una correspondencia uno a uno con N Su n´mero de elementos no se puede definir, (i.e., no admite u cardinalidad)H. Avil´s e UPV18/81
  58. 58. Introducci´n o Conjuntos Experimentos aleatorios T´cnicas de conteo eConjuntos - Conjunto infinito Conjunto infinito: No es posible establecer una correspondencia uno a uno con N Su n´mero de elementos no se puede definir, (i.e., no admite u cardinalidad) Ejemplos: N = {1, 2, 3, 4, ...}, R, el n´mero de decimales en π uH. Avil´s e UPV18/81
  59. 59. Introducci´n o Conjuntos Experimentos aleatorios T´cnicas de conteo eConjuntos - Ejemplos X = {x|x ∈ R, 0 ≤ x ≤ 1}H. Avil´s e UPV19/81
  60. 60. Introducci´n o Conjuntos Experimentos aleatorios T´cnicas de conteo eConjuntos - Ejemplos X = {x|x ∈ R, 0 ≤ x ≤ 1}, el conjunto de n´meros reales u entre 0 y 1 inclusive C = {a + bi|H. Avil´s e UPV19/81
  61. 61. Introducci´n o Conjuntos Experimentos aleatorios T´cnicas de conteo eConjuntos - Ejemplos X = {x|x ∈ R, 0 ≤ x ≤ 1}, el conjunto de n´meros reales u entre 0 y 1 inclusive C = {a + bi|a, b ∈ R}, el conjunto de n´meros complejos uH. Avil´s e UPV19/81
  62. 62. Introducci´n o Conjuntos Experimentos aleatorios T´cnicas de conteo eConjuntos - Ejemplos X = {x|x ∈ R, 0 ≤ x ≤ 1}, el conjunto de n´meros reales u entre 0 y 1 inclusive C = {a + bi|a, b ∈ R}, el conjunto de n´meros complejos u B = {(−3, 3), (3, 3), (3, −3)} ´ alternativamente o B = {(a, b)|a, b ∈ R, a × b = 9 ∨ a × b = −9}, el par ordenado de todos los n´meros cuya multiplcaci´n es igual a 9 ´ -9 u o oH. Avil´s e UPV19/81
  63. 63. Introducci´n o Conjuntos Experimentos aleatorios T´cnicas de conteo eConjuntos - Ejemplos X = {x|x ∈ R, 0 ≤ x ≤ 1}, el conjunto de n´meros reales u entre 0 y 1 inclusive C = {a + bi|a, b ∈ R}, el conjunto de n´meros complejos u B = {(−3, 3), (3, 3), (3, −3)} ´ alternativamente o B = {(a, b)|a, b ∈ R, a × b = 9 ∨ a × b = −9}, el par ordenado de todos los n´meros cuya multiplcaci´n es igual a 9 ´ -9 u o o (a, b] =]a, b] = {x|x ∈ R ∨ a < x ≤ b}H. Avil´s e UPV19/81
  64. 64. Introducci´n o Conjuntos Experimentos aleatorios T´cnicas de conteo eConjuntos - Ejemplos X = {x|x ∈ R, 0 ≤ x ≤ 1}, el conjunto de n´meros reales u entre 0 y 1 inclusive C = {a + bi|a, b ∈ R}, el conjunto de n´meros complejos u B = {(−3, 3), (3, 3), (3, −3)} ´ alternativamente o B = {(a, b)|a, b ∈ R, a × b = 9 ∨ a × b = −9}, el par ordenado de todos los n´meros cuya multiplcaci´n es igual a 9 ´ -9 u o o (a, b] =]a, b] = {x|x ∈ R ∨ a < x ≤ b} El conjunto de los d´ de la semana ıasH. Avil´s e UPV19/81
  65. 65. Introducci´n o Conjuntos Experimentos aleatorios T´cnicas de conteo eConjuntos - Conjunto Universo El conjunto universal U es el conjunto de todos los elementos dentro de una discusi´n o dominio particular oH. Avil´s e UPV20/81
  66. 66. Introducci´n o Conjuntos Experimentos aleatorios T´cnicas de conteo eConjuntos - Conjunto Universo El conjunto universal U es el conjunto de todos los elementos dentro de una discusi´n o dominio particular o U tambi´n es conocido como universo del discurso, universo o e espacio universalH. Avil´s e UPV20/81
  67. 67. Introducci´n o Conjuntos Experimentos aleatorios T´cnicas de conteo eConjuntos - Conjunto Universo El conjunto universal U es el conjunto de todos los elementos dentro de una discusi´n o dominio particular o U tambi´n es conocido como universo del discurso, universo o e espacio universal Los elementos de un conjunto universal se denominan puntos del espacioH. Avil´s e UPV20/81
  68. 68. Introducci´n o Conjuntos Experimentos aleatorios T´cnicas de conteo eConjuntos - Subconjuntos Si cada elemento de un conjunto A es tambi´n un elemento e de un conjunto B, A es un subconjunto de, o est´ contenido a en B, y se denota como A ⊂ B ´ B ⊃ A oH. Avil´s e UPV21/81
  69. 69. Introducci´n o Conjuntos Experimentos aleatorios T´cnicas de conteo eConjuntos - Subconjuntos Si cada elemento de un conjunto A es tambi´n un elemento e de un conjunto B, A es un subconjunto de, o est´ contenido a en B, y se denota como A ⊂ B ´ B ⊃ A o Otra manera de parafrasear A ⊂ B es que A no tiene elementos que no se encuentran en BH. Avil´s e UPV21/81
  70. 70. Introducci´n o Conjuntos Experimentos aleatorios T´cnicas de conteo eConjuntos - Subconjuntos Si cada elemento de un conjunto A es tambi´n un elemento e de un conjunto B, A es un subconjunto de, o est´ contenido a en B, y se denota como A ⊂ B ´ B ⊃ A o Otra manera de parafrasear A ⊂ B es que A no tiene elementos que no se encuentran en B Si A ⊂ B y B ⊂ A entonces A = BH. Avil´s e UPV21/81
  71. 71. Introducci´n o Conjuntos Experimentos aleatorios T´cnicas de conteo eConjuntos - Subconjuntos Si cada elemento de un conjunto A es tambi´n un elemento e de un conjunto B, A es un subconjunto de, o est´ contenido a en B, y se denota como A ⊂ B ´ B ⊃ A o Otra manera de parafrasear A ⊂ B es que A no tiene elementos que no se encuentran en B Si A ⊂ B y B ⊂ A entonces A = B Si A y B no son iguales, se escribe A = BH. Avil´s e UPV21/81
  72. 72. Introducci´n o Conjuntos Experimentos aleatorios T´cnicas de conteo eConjuntos - Subconjuntos Si A ⊂ B pero A = B entonces A es un subconjunto propio de BH. Avil´s e UPV22/81
  73. 73. Introducci´n o Conjuntos Experimentos aleatorios T´cnicas de conteo eConjuntos - Subconjuntos Si A ⊂ B pero A = B entonces A es un subconjunto propio de B Si A ⊂ B y B ⊂ C entonces A ⊂ CH. Avil´s e UPV22/81
  74. 74. Introducci´n o Conjuntos Experimentos aleatorios T´cnicas de conteo eConjuntos - Subconjuntos Si A ⊂ B pero A = B entonces A es un subconjunto propio de B Si A ⊂ B y B ⊂ C entonces A ⊂ C Para un conjunto universal U determinado, si A est´ definido a en el contexto de U, A ⊂ UH. Avil´s e UPV22/81
  75. 75. Introducci´n o Conjuntos Experimentos aleatorios T´cnicas de conteo eConjuntos - Conjunto Vac´ ıo El conjunto vac´ ( ∅, u O con barra) es un conjunto que no ıo tiene elementos, (i.e., |∅| = 0)H. Avil´s e UPV23/81
  76. 76. Introducci´n o Conjuntos Experimentos aleatorios T´cnicas de conteo eConjuntos - Conjunto Vac´ ıo El conjunto vac´ ( ∅, u O con barra) es un conjunto que no ıo tiene elementos, (i.e., |∅| = 0) Para cualquier conjunto A, ∅ ⊂ A (ya que ∅ no tiene elementos que no est´n en A) aH. Avil´s e UPV23/81
  77. 77. Introducci´n o Conjuntos Experimentos aleatorios T´cnicas de conteo eConjuntos - Operaciones entre conjuntos El producto cartesiano A × B = {(a, b)|a ∈ A ∧ b ∈ B}, el conjunto de todos los pares ordenados formados por los elementos ambos conjuntos y su cardinalidad es |A × B| = |A| × |B|H. Avil´s e UPV24/81
  78. 78. Introducci´n o Conjuntos Experimentos aleatorios T´cnicas de conteo eConjuntos - Operaciones entre conjuntos El producto cartesiano A × B = {(a, b)|a ∈ A ∧ b ∈ B}, el conjunto de todos los pares ordenados formados por los elementos ambos conjuntos y su cardinalidad es |A × B| = |A| × |B| A − B o diferencia entre A y B son los elementos que est´n a en A pero no en BH. Avil´s e UPV24/81
  79. 79. Introducci´n o Conjuntos Experimentos aleatorios T´cnicas de conteo eConjuntos - Operaciones entre conjuntos El producto cartesiano A × B = {(a, b)|a ∈ A ∧ b ∈ B}, el conjunto de todos los pares ordenados formados por los elementos ambos conjuntos y su cardinalidad es |A × B| = |A| × |B| A − B o diferencia entre A y B son los elementos que est´n a en A pero no en B El conjunto potencia S de un conjunto finito A es el conjunto de todos los subconjuntos de A (incluyendo ∅ y a s´ mismo). ı |S| = 2n donde n = |A|H. Avil´s e UPV24/81
  80. 80. Introducci´n o Conjuntos Experimentos aleatorios T´cnicas de conteo eConjuntos - Operaciones entre conjuntos El complemento de A o A con respecto a U es el conjunto de todos los elementos de U, que no pertenecen a A, A = {x|x ∈ U ∧ x ∈ A} = U − A /H. Avil´s e UPV25/81
  81. 81. Introducci´n o Conjuntos Experimentos aleatorios T´cnicas de conteo eConjuntos - Operaciones entre conjuntos El complemento de A o A con respecto a U es el conjunto de todos los elementos de U, que no pertenecen a A, A = {x|x ∈ U ∧ x ∈ A} = U − A / La intersecci´n de dos conjuntos A y B, denotada como o A ∩ B se forma con los elementos que pertenecen a ambos conjuntos simult´neamente, A ∩ B = {x|x ∈ A ∧ x ∈ B} aH. Avil´s e UPV25/81
  82. 82. Introducci´n o Conjuntos Experimentos aleatorios T´cnicas de conteo eConjuntos - Operaciones entre conjuntos El complemento de A o A con respecto a U es el conjunto de todos los elementos de U, que no pertenecen a A, A = {x|x ∈ U ∧ x ∈ A} = U − A / La intersecci´n de dos conjuntos A y B, denotada como o A ∩ B se forma con los elementos que pertenecen a ambos conjuntos simult´neamente, A ∩ B = {x|x ∈ A ∧ x ∈ B} a Si A ∩ B = ∅, A y B no tienen elementos en com´n y se les u denomina conjuntos disjuntosH. Avil´s e UPV25/81
  83. 83. Introducci´n o Conjuntos Experimentos aleatorios T´cnicas de conteo eConjuntos - Operaciones entre conjuntos El complemento de A o A con respecto a U es el conjunto de todos los elementos de U, que no pertenecen a A, A = {x|x ∈ U ∧ x ∈ A} = U − A / La intersecci´n de dos conjuntos A y B, denotada como o A ∩ B se forma con los elementos que pertenecen a ambos conjuntos simult´neamente, A ∩ B = {x|x ∈ A ∧ x ∈ B} a Si A ∩ B = ∅, A y B no tienen elementos en com´n y se les u denomina conjuntos disjuntos La uni´n de dos conjuntos A y B, A ∪ B est´ dada por los o a elementos que pertenecen al menos a uno de los conjuntos, A ∪ B = {x|x ∈ A ∨ x ∈ B}H. Avil´s e UPV25/81
  84. 84. Introducci´n o Conjuntos Experimentos aleatorios T´cnicas de conteo eConjuntos - Precedencia de operaciones Se adopta el siguiente orden de precedencia para operaciones de 3 o m´s conjuntos: a 1 () 2 complemento 3 intersecci´n o 4 uni´n o Sin embargo, para describir las operaciones es una buena idea usar par´ntesis eH. Avil´s e UPV26/81
  85. 85. Introducci´n o Conjuntos Experimentos aleatorios T´cnicas de conteo eConjuntos - Diagramas de Venn Diagrama de Venn para dos conjuntosH. Avil´s e UPV27/81
  86. 86. Introducci´n o Conjuntos Experimentos aleatorios T´cnicas de conteo eConjuntos - Diagramas de Venn Diagrama de Venn para dos conjuntos A∩BH. Avil´s e UPV27/81
  87. 87. Introducci´n o Conjuntos Experimentos aleatorios T´cnicas de conteo eConjuntos - Diagramas de Venn Diagrama de Venn para dos conjuntos A∩B AH. Avil´s e UPV27/81
  88. 88. Introducci´n o Conjuntos Experimentos aleatorios T´cnicas de conteo eConjuntos - Diagramas de Venn Diagrama de Venn para dos conjuntos A∩B A A∪BH. Avil´s e UPV27/81
  89. 89. Introducci´n o Conjuntos Experimentos aleatorios T´cnicas de conteo eConjuntos - Diagramas de Venn Diagrama de Venn para dos conjuntos A∩B A A∪B A−BH. Avil´s e UPV27/81
  90. 90. Introducci´n o Conjuntos Experimentos aleatorios T´cnicas de conteo eConjuntos - Diagramas de Venn Diagrama de Venn para dos conjuntos A∩B A A∪B A−B A∩B =∅H. Avil´s e UPV27/81
  91. 91. Introducci´n o Conjuntos Experimentos aleatorios T´cnicas de conteo eConjuntos - Diagramas de Venn Diagrama de Venn para tres conjuntosH. Avil´s e UPV28/81
  92. 92. Introducci´n o Conjuntos Experimentos aleatorios T´cnicas de conteo eConjuntos - Diagramas de Venn Diagrama de Venn para tres conjuntos A∪BH. Avil´s e UPV28/81
  93. 93. Introducci´n o Conjuntos Experimentos aleatorios T´cnicas de conteo eConjuntos - Diagramas de Venn Diagrama de Venn para tres conjuntos A∪B A∪B ∪CH. Avil´s e UPV28/81
  94. 94. Introducci´n o Conjuntos Experimentos aleatorios T´cnicas de conteo eConjuntos - Diagramas de Venn Diagrama de Venn para tres conjuntos A∪B A∪B ∪C A∩BH. Avil´s e UPV28/81
  95. 95. Introducci´n o Conjuntos Experimentos aleatorios T´cnicas de conteo eConjuntos - Diagramas de Venn Diagrama de Venn para tres conjuntos A∪B A∪B ∪C A∩B A∩B ∩CH. Avil´s e UPV28/81
  96. 96. Introducci´n o Conjuntos Experimentos aleatorios T´cnicas de conteo eConjuntos - Ejemplo Dibujar mediante Diagramas de Venn (A ∪ B) ∩ CH. Avil´s e UPV29/81
  97. 97. Introducci´n o Conjuntos Experimentos aleatorios T´cnicas de conteo eConjuntos - Ejemplo Dibujar mediante Diagramas de Venn (A ∪ B) ∩ C A∪BH. Avil´s e UPV29/81
  98. 98. Introducci´n o Conjuntos Experimentos aleatorios T´cnicas de conteo eConjuntos - Ejemplo Dibujar mediante Diagramas de Venn (A ∪ B) ∩ C A∪B CH. Avil´s e UPV29/81
  99. 99. Introducci´n o Conjuntos Experimentos aleatorios T´cnicas de conteo eConjuntos - Ejemplo Dibujar mediante Diagramas de Venn (A ∪ B) ∩ C A∪B C (A ∪ B) ∩ CH. Avil´s e UPV29/81
  100. 100. Introducci´n o Conjuntos Experimentos aleatorios T´cnicas de conteo eConjuntos - Hechos importantes Si A y B son conjuntos disjuntos |A ∪ B| = |A| + |B|H. Avil´s e UPV30/81
  101. 101. Introducci´n o Conjuntos Experimentos aleatorios T´cnicas de conteo eConjuntos - Hechos importantes Si A y B son conjuntos disjuntos |A ∪ B| = |A| + |B| Si no son disjuntos A y B entonces |A ∪ B| = |A| + |B| − |A ∩ B|H. Avil´s e UPV30/81
  102. 102. Introducci´n o Conjuntos Experimentos aleatorios T´cnicas de conteo eConjuntos - Hechos importantes Si A y B son conjuntos disjuntos |A ∪ B| = |A| + |B| Si no son disjuntos A y B entonces |A ∪ B| = |A| + |B| − |A ∩ B| Para 3 conjuntos |A∪B∪C | = |A|+|B|+|C |−|A∩B|−|B∩C |−|C ∩A|+|A∩B∩C |H. Avil´s e UPV30/81
  103. 103. Introducci´n o Conjuntos Experimentos aleatorios T´cnicas de conteo eConjuntos - Hechos importantes Si A y B son conjuntos disjuntos |A ∪ B| = |A| + |B| Si no son disjuntos A y B entonces |A ∪ B| = |A| + |B| − |A ∩ B| Para 3 conjuntos |A∪B∪C | = |A|+|B|+|C |−|A∩B|−|B∩C |−|C ∩A|+|A∩B∩C | Para n conjuntos A1 , ...An n |A1 ∪ ... ∪ An | = |Ai | − |Ai ∩ Aj |+ i=1 1≤i<j≤n |Ai ∩ Aj ∩ Ak | + ...(−1)n−1 |A1 ∩ A2 ∩ ... ∩ An | 1≤i<j<k≤nH. Avil´s e UPV30/81
  104. 104. Introducci´n o Conjuntos Experimentos aleatorios T´cnicas de conteo eConjuntos - Hechos importantes A ∩ B = B ∩ A; A ∪ B = B ∪ A Leyes conmutativas A ∩ B ∩ C = (A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C ); A ∪ B ∪ C = (A ∪ B) ∪ C = A ∪ (B ∪ C ) Leyes asociativas A ∩ (B ∪ C ) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C ) Primera ley distributiva A ∪ (B ∩ C ) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C ) Segunda ley distributiva A−B =A∩B A ∪ ∅ = A, A ∩ ∅ = ∅ A ∪ U = U, A ∩ U = AH. Avil´s e UPV31/81
  105. 105. Introducci´n o Conjuntos Experimentos aleatorios T´cnicas de conteo eConjuntos - Hechos importantes Leyes de Morgan: (A ∪ B) = A ∩ B Primera ley de Morgan (A ∩ B) = A ∪ B Segunda ley de Morgan A = (A ∩ B) ∪ (A ∩ B )H. Avil´s e UPV32/81
  106. 106. Introducci´n o Conjuntos Experimentos aleatorios T´cnicas de conteo eEjercicios Describa por extensi´n el conjunto de los meses del a˜o o n ¿A qu´ subconjunto de N pertenece el conjunto e {x|x = 2n − 1 ∧ n ∈ N}? Si A = {2, 4, 6}, B = {b|b = 2n − 1 ∧ n ∈ N}, C = {1, 3, 5, 7, 9, 11}, D = {2, 3, 5, 7}, E = {c, a, s, a} Indique si A ∩ B = ∅. Si no, describa el conjunto C ∩D ∩A D ∪A∩B B −C Use diagramas de Venn para probar que A = (A ∩ B) ∪ (A ∩ B )H. Avil´s e UPV33/81
  107. 107. Introducci´n o Conjuntos Experimentos aleatorios T´cnicas de conteo eEjercicios Si B = {x|x = 2n − 1 ∧ n ∈ Z}, calcule B − A Obtenga el conjunto potencia de A Calcule el producto cartesiano de A y D Indique si el conjunto E es igual a a) {s, a, c, a, s}, b) {s, a, c, {a, c}} y c) {s, a, c, (a, c)} Calcule a) (A ∩ B) ∪ (A ∩ C ) y b) (A ∪ D) ∩ (A ∪ D) Calcule a) |A ∪ B| y b) |C ∪ D| Grafique mediante Diagramas de Venn A ∪ B ∩ CH. Avil´s e UPV34/81
  108. 108. Introducci´n o Conjuntos Experimentos aleatorios T´cnicas de conteo eEjercicios Si un conjunto |A| tiene 5 elementos y un conjunto B tiene 7 elementos, 2 de ellos tambi´n en A. ¿Cu´ntos elementos hay e a en total entre ambos conjuntos? Si A = {a, b, c, d, e}, y B = {f , g , h, i, j}, ¿Cu´l es la a cardinalidad del conjunto A ∪ B? Si C = {1, 2, 3, 4, 5}, y D = {1, 4, 5, 6, 7, 8, 9}, ¿Cu´l es la a cardinalidad de C ∪ D? De un grupo de ni˜os, 46 juegan la matatena, 50 juegan con n el trompo y 40 canicas; 32 alumnos juegan trompo y matatena, 26 matatena y canicas, 28 trompo y canicas y 18 practican los 3 pasatiempos. Si todos los alumnos practican al menos uno de estos juegos, ¿Cu´ntos ni˜os hay en total? a nH. Avil´s e UPV35/81
  109. 109. Introducci´n o Conjuntos Experimentos aleatorios T´cnicas de conteo eTarea En un avi´n viajan 120 personas, de las cuales 2/3 no beben, o 4/5 no fuman, y 72 no fuman ni beben. ¿Cu´ntas personas a fuman y beben o no fuman ni beben?H. Avil´s e UPV36/81
  110. 110. Introducci´n o Conjuntos Experimentos aleatorios T´cnicas de conteo eContenido x Introducci´n o x Conjuntos Experimentos aleatorios T´cnicas de conteo eH. Avil´s e UPV37/81
  111. 111. Introducci´n o Conjuntos Experimentos aleatorios T´cnicas de conteo e “Son vanas y est´n plagadas de errores las ciencias que no han a nacido del experimento, madre de toda certidumbre” Leonardo Da Vinci 1452 - 1519H. Avil´s e UPV38/81
  112. 112. Introducci´n o Conjuntos Experimentos aleatorios T´cnicas de conteo eExperimentos aleatorios Un experimento es una acci´n para descubrir o comprobar el o comportamiento de un fen´meno (e.g., si se calienta agua, o ´sta ebullir´ a 100◦ C) e aH. Avil´s e UPV39/81
  113. 113. Introducci´n o Conjuntos Experimentos aleatorios T´cnicas de conteo eExperimentos aleatorios Un experimento es una acci´n para descubrir o comprobar el o comportamiento de un fen´meno (e.g., si se calienta agua, o ´sta ebullir´ a 100◦ C) e a Muchas veces un experimento realizado varias veces a´n bajo u circunstancias aproximadamente iguales no tendr´ el mismo a resultado (e.g., el n´mero obtenido al tirar un dado) uH. Avil´s e UPV39/81
  114. 114. Introducci´n o Conjuntos Experimentos aleatorios T´cnicas de conteo eExperimentos aleatorios Un experimento es una acci´n para descubrir o comprobar el o comportamiento de un fen´meno (e.g., si se calienta agua, o ´sta ebullir´ a 100◦ C) e a Muchas veces un experimento realizado varias veces a´n bajo u circunstancias aproximadamente iguales no tendr´ el mismo a resultado (e.g., el n´mero obtenido al tirar un dado) u Un experimento aleatorio es un experimento cuyo resultado no puede ser predichoH. Avil´s e UPV39/81
  115. 115. Introducci´n o Conjuntos Experimentos aleatorios T´cnicas de conteo eExperimentos aleatorios Un experimento es una acci´n para descubrir o comprobar el o comportamiento de un fen´meno (e.g., si se calienta agua, o ´sta ebullir´ a 100◦ C) e a Muchas veces un experimento realizado varias veces a´n bajo u circunstancias aproximadamente iguales no tendr´ el mismo a resultado (e.g., el n´mero obtenido al tirar un dado) u Un experimento aleatorio es un experimento cuyo resultado no puede ser predicho Una salida es un resultado elemental de una unica “corrida” ´ del experimento aleatorio (en el ejemplo anterior, los n´meros u del 1 al 6)H. Avil´s e UPV39/81
  116. 116. Introducci´n o Conjuntos Experimentos aleatorios T´cnicas de conteo eExperimentos aleatorios El espacio muestral L es el conjunto de todas las salidas posibles de un experimento aleatorio (para un dado, {1, 2, 3, 4, 5, 6})H. Avil´s e UPV40/81
  117. 117. Introducci´n o Conjuntos Experimentos aleatorios T´cnicas de conteo eExperimentos aleatorios El espacio muestral L es el conjunto de todas las salidas posibles de un experimento aleatorio (para un dado, {1, 2, 3, 4, 5, 6}) Sin el espacio muestral de un experimento aleatorio no es posible asignar probabilidadesH. Avil´s e UPV40/81
  118. 118. Introducci´n o Conjuntos Experimentos aleatorios T´cnicas de conteo eExperimentos aleatorios El espacio muestral L es el conjunto de todas las salidas posibles de un experimento aleatorio (para un dado, {1, 2, 3, 4, 5, 6}) Sin el espacio muestral de un experimento aleatorio no es posible asignar probabilidades Algunos experimentos aleatorios aceptan m´s de un espacio a muestral (e.g. al elegir una carta en una baraja, el espacio muestral que considera s´lo el palo o uno que toma el cuenta o el valor de la carta)H. Avil´s e UPV40/81
  119. 119. Introducci´n o Conjuntos Experimentos aleatorios T´cnicas de conteo eExperimentos aleatorios El espacio muestral L es el conjunto de todas las salidas posibles de un experimento aleatorio (para un dado, {1, 2, 3, 4, 5, 6}) Sin el espacio muestral de un experimento aleatorio no es posible asignar probabilidades Algunos experimentos aleatorios aceptan m´s de un espacio a muestral (e.g. al elegir una carta en una baraja, el espacio muestral que considera s´lo el palo o uno que toma el cuenta o el valor de la carta) No obstante, una descripci´n completa combinar´ los n o ıa espacios muestrales posibles como una n-tupla formado por su producto cartesianoH. Avil´s e UPV40/81
  120. 120. Introducci´n o Conjuntos Experimentos aleatorios T´cnicas de conteo eExperimentos aleatorios - Ejemplo Sea el experimento aleatorio “Lanzar una moneda dos veces consecutivas”H. Avil´s e UPV41/81
  121. 121. Introducci´n o Conjuntos Experimentos aleatorios T´cnicas de conteo eExperimentos aleatorios - Ejemplo Sea el experimento aleatorio “Lanzar una moneda dos veces consecutivas” Un espacio muestral L1 podr´ considerar s´lo los resultados ıa o del primer lanzamiento {cara, cruz}H. Avil´s e UPV41/81
  122. 122. Introducci´n o Conjuntos Experimentos aleatorios T´cnicas de conteo eExperimentos aleatorios - Ejemplo Sea el experimento aleatorio “Lanzar una moneda dos veces consecutivas” Un espacio muestral L1 podr´ considerar s´lo los resultados ıa o del primer lanzamiento {cara, cruz} Otro espacio muestral L2 puede incluir s´lo los resultados del o segundo lanzamiento {cara, cruz}H. Avil´s e UPV41/81
  123. 123. Introducci´n o Conjuntos Experimentos aleatorios T´cnicas de conteo eExperimentos aleatorios - Ejemplo Sea el experimento aleatorio “Lanzar una moneda dos veces consecutivas” Un espacio muestral L1 podr´ considerar s´lo los resultados ıa o del primer lanzamiento {cara, cruz} Otro espacio muestral L2 puede incluir s´lo los resultados del o segundo lanzamiento {cara, cruz} La descripci´n completa del espacio muestral o ser´ L = L1 × L2 = a {(cara, cara), (cara, cruz), (cruz, cruz), (cruz, cara)}H. Avil´s e UPV41/81
  124. 124. Introducci´n o Conjuntos Experimentos aleatorios T´cnicas de conteo eExperimentos aleatorios Espacio muestral del experimento aleatorio “lanzar una moneda dos veces”H. Avil´s e UPV42/81
  125. 125. Introducci´n o Conjuntos Experimentos aleatorios T´cnicas de conteo eExperimentos aleatorios Un evento o suceso est´ conformado por una o m´s salidas de a a un experimento aleatorio (i.e., un subconjunto de L)H. Avil´s e UPV43/81
  126. 126. Introducci´n o Conjuntos Experimentos aleatorios T´cnicas de conteo eExperimentos aleatorios Un evento o suceso est´ conformado por una o m´s salidas de a a un experimento aleatorio (i.e., un subconjunto de L) Un espacio muestral puede ser discreto (finito), o continuo (infinito)H. Avil´s e UPV43/81
  127. 127. Introducci´n o Conjuntos Experimentos aleatorios T´cnicas de conteo eExperimentos aleatorios Un evento o suceso est´ conformado por una o m´s salidas de a a un experimento aleatorio (i.e., un subconjunto de L) Un espacio muestral puede ser discreto (finito), o continuo (infinito) Un suceso o evento seguro es uno que va a ocurrir (e.g., que al lanzar una moneda caiga cara o cruz)H. Avil´s e UPV43/81
  128. 128. Introducci´n o Conjuntos Experimentos aleatorios T´cnicas de conteo eExperimentos aleatorios Un evento o suceso est´ conformado por una o m´s salidas de a a un experimento aleatorio (i.e., un subconjunto de L) Un espacio muestral puede ser discreto (finito), o continuo (infinito) Un suceso o evento seguro es uno que va a ocurrir (e.g., que al lanzar una moneda caiga cara o cruz) Un suceso que no puede ocurrir es un suceso imposible y es representado como ∅, (e.g., al lanzar una moneda pudiera caer “de canto” y no habr´ resultado) ıaH. Avil´s e UPV43/81
  129. 129. Introducci´n o Conjuntos Experimentos aleatorios T´cnicas de conteo eExperimentos aleatorios Un evento o suceso est´ conformado por una o m´s salidas de a a un experimento aleatorio (i.e., un subconjunto de L) Un espacio muestral puede ser discreto (finito), o continuo (infinito) Un suceso o evento seguro es uno que va a ocurrir (e.g., que al lanzar una moneda caiga cara o cruz) Un suceso que no puede ocurrir es un suceso imposible y es representado como ∅, (e.g., al lanzar una moneda pudiera caer “de canto” y no habr´ resultado) ıa Aunque no imposible en la realidad, idealizar ayuda a simplificar la teor´ y no afectan su aplicaci´n ıa oH. Avil´s e UPV43/81
  130. 130. Introducci´n o Conjuntos Experimentos aleatorios T´cnicas de conteo eExperimentos aleatorios El evento “que caiga s´lo una cara” en el experimento aleatorio de o lanzar una moneda dos vecesH. Avil´s e UPV44/81
  131. 131. Introducci´n o Conjuntos Experimentos aleatorios T´cnicas de conteo eExperimentos aleatorios El evento “que los resultados sean iguales”H. Avil´s e UPV45/81
  132. 132. Introducci´n o Conjuntos Experimentos aleatorios T´cnicas de conteo eExperimentos aleatorios Las salidas “individuales” de un experimento pueden combinarse usando operaciones de conjuntos El evento A =“que los resultados sean iguales” y el evento B = “que caiga s´lo una cara” (A ∪ B). Este evento es “seguro” pues o alguno de estos eventos simples va a ocurrirH. Avil´s e UPV46/81

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