Estadística avanzada

´Indice
¿Qu´ es la estad´
e ıstica?
Realizando el estudio preliminar
Teor´ de la Probabilidad
ıa
Distribuciones de Probabilidad

Estad´
ıstica Avanzada

Ing. Andr´s Alejandro Galvis Correa
e

Departamento de Matem´ticas
a
Universidad de las Am´ricas
e

27 de septiembre de 2011

e Estad´
ıstica Avanzada

Índice
e ıstica?
ıa

1 ¿Qu´ es la estad´
e ıstica?
Introducciń
o
An´lisis exploratorio para informaciń cuantitativa
a o
An´lisis exploratorio para informaciń cualitativa
a o
Teor´ de la probabilidad y la inferencia estad´
ıa ıstica
2 Realizando el estudio preliminar
Fuente de informaciń o
Algunas medidas cl´sicas
a
Aplicaciń
o
3 Teor´ de la Probabilidad
ıa
La locura de agrupar las cosas y peor ań... contarlas!
u
Definiciń de la Probabilidad
o
Independencia y Condicionalidad
Variables Aleatorias, Esperanza y Varianza
Funciń Generadora de Momentos
o
4 Distribuciones de Probabilidad
Distribuciones Discretas
e Estad´
ıstica Avanzada

Índice
Introducciń
o
e ıstica?
a o
a o
ıa
ıa ıstica

Problema

Caso 1
Se desea invertir en una acciń que esta dentro del indice S&P500,
o
¿Qu´ har´
e ıas?

Caso 2
Se desea estudiar el nivel de probreza, eduaciń y salud de
o
Ecuador, ¿Como lo har´ ıas?

e Estad´
ıstica Avanzada

Índice
Introducciń
o
e ıstica?
a o
a o
ıa
ıa ıstica

¿Qu´ resuelve la estad´
e ıstica?

Descripciń de datos.
o

e Estad´
ıstica Avanzada

´Indice
Introducci´n
o
e ıstica?
a o
a o
ıa
ıa ıstica

e ıstica?

o
An´lisis de muestras.
a

e Estad´
ıstica Avanzada

Índice
Introducciń
o
e ıstica?
a o
a o
ıa
ıa ıstica

e ıstica?

o
a
Mediciń de relaciones.
o

e Estad´
ıstica Avanzada

Índice
Introducciń
o
e ıstica?
a o
a o
ıa
ıa ıstica

e ıstica?

o
a
Mediciń de relaciones.
o
Predicciń.
o

e Estad´
ıstica Avanzada

Índice
Introducciń
o
e ıstica?
a o
a o
ıa
ıa ıstica

¿Y la materia prima...?

Poblaciń o Universo (N, Ω)
o
Es una colecciń completa de personas, animales, plantas o cosas.
o

Muestra (n, A)
Es un subconjunto de la poblaciń seleccionado de acuerdo a una
o
regla de probabilidad que le permite ser una colecciń
o
representativa de la poblaciń.
o

Unidad muestral (xi , ω)
Es una persona, animal, planta o cosa de la cual se desea obtener
informaciń relevante para el analista.
o

e Estad´
ıstica Avanzada

Índice
Introducciń
o
e ıstica?
a o
a o
ıa
ıa ıstica

¿Qu´ informaciń obtengo de las unidades muestrales? I
e o

Datos cualitativos
Tipo de informaciń que describe caracteristicas o atributos de la
o
unidad muestral, no son medibles y se clasifican en:
Nominales: se les asigna una etiqueta a cada elemento y
pueden ser contados pero no ordenados.
Ordinales: se les asigna una etiqueta a cada elemento y
pueden ser contados y ordenados.

e Estad´
ıstica Avanzada

Índice
Introducciń
o
e ıstica?
a o
a o
ıa
ıa ıstica

¿Qu´ informaciń obtengo de las unidades muestrales? II
e o

Datos cuantitativos
Tipo de informaciń que describe caracteristicas medibles de la
o
unidad muestral, se clasifican en:
Discretos: los valores que toma son contables, (1, 2, 3...); Ej:
Numero de personas en la fila de una caja.
Continuos: los valores que toma estan definidos dentro de un
intervalo, (a, b); Ej: Peso o estatura de una persona.

e Estad´
ıstica Avanzada

Índice
Introducciń
o
e ıstica?
a o
a o
ıa
ıa ıstica

¿Qu´ informaciń obtengo de las unidades muestrales? III
e o

Datos at´
ıpicos
Es una informaciń que se define como diferente o extrema de una
o
mediciń; a veces es el resultado de una mala observaciń y
o o
ocasiona distorsiń en la interpretaciń de los resultados; NO
o o
ELIMINAR hasta no tener suficientes argumentos para ello.

e Estad´
ıstica Avanzada

Índice
Introducciń
o
e ıstica?
a o
a o
ıa
ıa ıstica

¿Qu´ deseo analizar o medir de la informaciń?
e o

El proceso de analisis de datos se enfoca en tres caracter´
ısticas
fundamentales:
An´lisis de localizaciń: tiene como objetivo determinar la
a o
posiciń relativa de los datos, su punto medio.
o
An´lisis de la dispersiń: tiene como objetivo determinar la
a o
dispersiń de los datos respecto a su media, su grado de
o
diseminaciń.
o
An´lisis de forma: tiene como objetivo determinar la forma
a
en la cual se agrupan los datos respecto a su localizaciń y
o
dispersiń.
o

e Estad´
ıstica Avanzada

Índice
Introducciń
o
e ıstica?
a o
a o
ıa
ıa ıstica

¿Como vendo mi an´lisis estad´
a ıstico?

Todo an´lisis estad´
a ıstico debe necesariamente estar acompaãdo
n
de sus respectivos graficos, para que el lector puede entenderlo
mejor y visualizar rapidamente el comportamiento de la
informaciń tabulada; algunos gr´ficos de mayor aplicaciń son:
o a o
Diagrama de puntos.
Diagrama de tallo y hojas.
Gr´fico de sectores.
a
Gr´fico de barras
a
Histograma (funciń de probabilidad o densidad)
o
Pol´
ıgono de frecuencias
Ojiva (funciń de distribuciń)
o o

e Estad´
ıstica Avanzada

Índice
Introducciń
o
e ıstica?
a o
a o
ıa
ıa ıstica

El estudio unidimensional cuantitativo

Descripciń
o
Comprende el an´lisis exploratorio tanto para la informaciń
a o
discreta como continua para una sola caracter´ ıstica de la poblaciń
o
X ; donde las medidas de localizaciń, dispersiń y forma se
o o
caraterizan por estructuras donde las observaciones tiene la misma
probabilidad de ocurrir.

e Estad´
ıstica Avanzada

Índice
Introducciń
o
e ıstica?
a o
a o
ıa
ıa ıstica

El estudio multidimensional cuantitativo

Descripciń
o
Comprende el an´lisis exploratorio tanto para la informaciń
a o
discreta como continua para un vector de caracter´ ısticas de la
poblaciń X; donde las medidas de localizaciń, dispersiń y forma,
o o o
se calculan con base a la relaciń de la informaciń en el espacio
o o
Rn . La representaciń gr´fica se limita al diagrama de dispersiń y
o a o
correlaciń.
o

e Estad´
ıstica Avanzada

Índice
Introducciń
o
e ıstica?
a o
a o
ıa
ıa ıstica

El estudio unidimensional cualitativo

Descripciń
o
Comprende el an´lisis exploratorio con base a un atributo de la
a
poblaciń de estudio, la cual se descompone en diferentes
o
modalidades; las medidas de localizaciń, dispersiń y forma se
o o
limitan a ciertos conceptos subjetivos fundamentados en conteos.
Se destaca la potencia que le da el estudio gr´fico al an´lisis.
a a

e Estad´
ıstica Avanzada

Índice
Introducciń
o
e ıstica?
a o
a o
ıa
ıa ıstica

El estudio multidimensional cualitativo

Descripciń
o
Comprende el an´lisis exploratorio con base a varios atributos de la
a
poblaciń de estudio, la cual se descompone en diferentes
o
modalidades; las medidas de localizaciń, dispersiń y forma se
o o
limitan a ciertos conceptos subjetivos fundamentados en conteos.
Se destaca el uso de la tabla de contingencia.

e Estad´
ıstica Avanzada

Índice
Introducciń
o
e ıstica?
a o
a o
ıa
ıa ıstica

Merlin siglo XX I

ıa
Se fundamenta en el estudio de la medida de los conjuntos y su
interrelaciń a partir de una estructura de informaciń llamada
o o
σ-´lgebra (F);es decir, la informaciń que se obtiene en el estudio
a o
exploratorio provee una descripciń cuantitativa de la posibilidad
o
de ocurrencia de un evento, una medida de probabilidad (P) que
se define como:
(Ω, F, P)

e Estad´
ıstica Avanzada

Índice
Introducciń
o
e ıstica?
a o
a o
ıa
ıa ıstica

Merlin siglo XX II

Teorema del l´
ımite central (TLC )
La gran importancia del teorema se debe a que constituye el puente
entre la teor´ de la probabilidad y la estad´
ıa ıstica, y se define como:

Y − E (Y )
Z=
Var (Y )

que se aproxima a una ley normal estńdar.
a

e Estad´
ıstica Avanzada

Índice
Introducciń
o
e ıstica?
a o
a o
ıa
ıa ıstica

Merlin siglo XX III

Modelaciń estoc´stica
o a
Un claro ejemplo de la modelaciń estoc´stica y el mayor error de
o a
la ultima decada es el modelo de BSM,

∂V 1 ∂2V ∂V
+ σ 2 S 2 2 + rS − rV = 0
∂t 2 ∂S ∂S

e Estad´
ıstica Avanzada

´Indice
Introducci´n
o
e ıstica?
a o
a o
ıa
ıa ıstica

Hacia el futuro...

Los modelos d´
ınamicos
Estad´
ıstica bayesiana
Redes neuronales y conjuntos difusos
Estad´
ıstica cuantica y econo-f´
ısica (Finanzas cuanticas)

e Estad´
ıstica Avanzada

Índice
e ıstica? Fuente de informaciń
o
Realizando el estudio preliminar Algunas medidas cl´sicas
a
ıa Aplicaciń
o

Estudio preliminar

Objetivo
Realizar un estudio descriptivo de tal manera que podamos obtener
informaciń respecto al comportamiento de la variable de estudio
o

Descriptive statistics

Close
count 6427
mean 63.1698
sample variance 1,203.6428
sample standard deviation 34.6936
minimum 15.15
maximum 179.94
range 164.79

skewness 0.5853
kurtosis -0.5107
coefficient of variation (CV) 54.92%

1st quartile 28.2400
median 58.8800
3rd quartile 88.5000
interquartile range 60.2600
mode 52.0000

e Estad´
ıstica Avanzada

Índice
o
a
ıa Aplicaciń
o

Encuestas

Definiciń
o
Es el m´todo por excelencia para la obtenciń de informaciń
e o o
primaria, utiliza una estrategia de consulta mediante un sistema de
preguntas internamente consistentes que responden a una pregunta
de investigaciń.
o

Portal para diseãr y realizar encuestas gratis:
n
http://www.encuestafacil.com/.

e Estad´
ıstica Avanzada

Índice
o
a
ıa Aplicaciń
o

Observaciones subjetivas

Definiciń
o
Es el m´todo qu´ hace uso de los sentidos para obtener
e e
informaciń de la naturaleza sin instrumento de mediciń, p. ej:
o o
tocar una superficie, degustar de un filete de carne o apreciar una
chica de Medell´
ın.

e Estad´
ıstica Avanzada

Índice
o
a
ıa Aplicaciń
o

Bases de datos

Definicińo
Te´ricamente, es el m´todo m´s preciso para elaborar estudios
o e a
estad´ısticos, tiene como fundamento la mediciń de las unidades
o
mu´strales mediante algń instrumento, se caracteriza por ser una
e u
informaciń generalmente publicada por alguna instituciń
o o
gubernamental o instituciń privada que goza de respeto a nivel
o
general.

Portales de informaciń confiable:
o
http://www.inec.gob.ec
http://finance.yahoo.com/

e Estad´
ıstica Avanzada

Índice
o
a
ıa Aplicaciń
o

Descarga de informaciń
o

Para llevar a cabo la definiciń de las medidas cl´sicas, vamos a
o a
utilizar los registros hist´ricos del precio de la acciń de Microsoft
o o
(MSFT), que se descarga de la siguiente direcciń: o
http://finance.yahoo.com/. En su defecto, la carpeta del curso
tiene un archivo Portafolio.xls.

e Estad´
ıstica Avanzada

Índice
o
a
ıa Aplicaciń
o

La distribuciń de frecuencias
o

Definiciń
o
Es una herramienta que resume la informaciń proveniente de las
o
encuestas, las observaciones, etc; de manera que facilite el estudio
de la localizaciń, dispersiń y forma de los datos.
o o

Close cumulative
lower upper midpoint width frequency percent frequency percent
0.0 < 20.0 10.0 20.0 107 1.7 107 1.7
20.0 < 40.0 30.0 20.0 2212 34.4 2319 36.1
40.0 < 60.0 50.0 20.0 966 15.0 3285 51.1
60.0 < 80.0 70.0 20.0 992 15.4 4277 66.5
80.0 < 100.0 90.0 20.0 1167 18.2 5444 84.7
100.0 < 120.0 110.0 20.0 528 8.2 5972 92.9
120.0 < 140.0 130.0 20.0 326 5.1 6298 98.0
140.0 < 160.0 150.0 20.0 101 1.6 6399 99.6
160.0 < 180.0 170.0 20.0 28 0.4 6427 100.0
6427 100.0

e Estad´
ıstica Avanzada

´Indice
o
a
ıa Aplicaci´n
o

Un acercamiento visual

e Estad´
ıstica Avanzada

Índice
o
a
ıa Aplicaciń
o

Medidas de Localizaciń
o

Promedio Media geom´trica
e
n
1
x= xi √
n
n MG = x1 × x2 × x3 · · · xn
i=1

Mediana Media armńica
o
n
Es el punto medio de los MH = n
datos, cuando estos se ordenan 1
xi
de menor a mayor. i=1

Moda Percentiles, cuartiles y quintiles
Se define como el valor que Es dividir el conjunto de datos
tiene mayor frecuencia en 100, 4 o 5 pedazos iguales
absoluta. respectivamente.
e Estad´
ıstica Avanzada

Índice
o
a
ıa Aplicaciń
o

Medidas de Dispersiń
o

Desviaciń estńdar
o a Rango intercuartil
n
(xi − x)2 RIQ = Q3 − Q1
i=1
s= donde, Qi es el cuartil i
n−1
Coeficiente de variaciń
o
Varianza s
n CV =
(xi − x)2 x
s2 = i=1 Si
n−1 CV ≤ 1 los datos son
homogeneos.
Rango
CV > 1,5 los datos son
Rango = xmax − xmin heterogeneos
e Estad´
ıstica Avanzada

´Indice
o
a
ıa Aplicaci´n
o

Medidas de Forma I

Asimetr´
ıa
n
(xi −x)3
i=1
n
As =
s3
Si
As > 0 Asim´trica a la derecha.
e
As = 0 Sim´trica.
e
As < 0 Asim´trica a la izquierda.
e

e Estad´
ıstica Avanzada

´Indice
o
a
ıa Aplicaci´n
o

Medidas de Forma II

Curtosis
n
(xi −x)4
i=1
n
Ap = −3
s4
Si
Ap > 0 Leptoc´rtica.
u
Ap = 0 Mesoc´rtica.
u
As < 0 Platic´rtica.
u

e Estad´
ıstica Avanzada

Índice
o
a
ıa Aplicaciń
o

MegaStat

Aplicaciń
o
Con la ayuda del paquete estad´ ıstico para excel MegaStat, realizar
un estudio completo de las acciones del portafolio (Portafolio.xls) y
de las variables categ´ricas del archivo (Caso Atraca Facil.xls)
o

e Estad´
ıstica Avanzada

Índice La locura de agrupar las cosas y peor ań... contarlas!
u
e ıstica? Definiciń de la Probabilidad
o
Realizando el estudio preliminar Independencia y Condicionalidad
ıa Variables Aleatorias, Esperanza y Varianza
Distribuciones de Probabilidad Funciń Generadora de Momentos
o

Problema

Caso 3
Suponga que vamos a lanzar 2 dados al mismo tiempo y vamos a
realizar una apuesta con respecto a los n´meros que resultan del
u
experimento; ¿A qu´ n´mero le apuestas?
e u

Caso 4
Si lanzamos una moneda, ¿cu´les son los posibles resultados de la
a
prueba?

e Estad´
ıstica Avanzada

u
o
o

Teor´ de Conjuntos I
ıa

Conceptos B´sicos
a

Conjunto, A. Subconjunto, A ⊂ B
Elemento, a. C. iguales, A = B.
Universo, U. Cardinalidad Card (A)
C. Vac´ ∅.
ıo, C. Potencia P (A)

Uniń de Conjuntos
o
A ∪ B denota la uniń de A y B y se define por:
o

A ∪ B = {a | a ∈ A ∨ a ∈ B}

e Estad´
ıstica Avanzada

u
o
o

Teor´ de Conjuntos II
ıa

Intersecciń de Conjuntos
o
A ∩ B denota la intersecciń de A y B y se define por:
o

A ∩ B = {a | a ∈ A ∧ a ∈ B}

Diferencia de Conjuntos
AB denota la diferencia de A en B y se define por:

AB = {a | a ∈ A ∧ a ∈ B}
/

e Estad´
ıstica Avanzada

u
o
o

Teor´ de Conjuntos III
ıa

Complemento de un Conjunto
Si A ⊂ B, entonces
B A = (BA)

es el conjunto complemento de A en B; algunas notaciones como
Ac o A son muy usadas, pero debe definirse el conjunto al que
hace referencia.

Diferencia Sim´trica de Conjuntos
e
A B, es el conjunto de elementos que estń en A y en B pero no
a
en ambos, se define por:

A B = {a | a ∈ A ∨ a ∈ B}

e Estad´
ıstica Avanzada

u
o
o

¿Sabes Contar?... hagamos la prueba!

¿De cuńtas formas diferentes me puedo vestir el d´ de
a ıa
maãna?
n
¿De cuńtas formas diferentes nos podemos ubicar en el aula?
a
¿De cuńtas formas diferentes puedo seleccionar un presidente
a
y un vicepresidente con las personas que hay en el aula?
¿De cuńtas formas puedo seleccionar un jurado de dos
a
personas con las personas del curso?

e Estad´
ıstica Avanzada

u
o
o

M´todos de Conteos I
e

Arreglo
Se utiliza cuando la relaciń entre los elementos es de uno a uno,
o
se define por:
Arreglo = m × n × s × · · ·

Variaciń
o
Se utiliza cuando el tamaõ de los subconjuntos a generar es
n
n ≤ k, sin repetir elementos:

k n!
Vn =
(n − k)!

e Estad´
ıstica Avanzada

u
o
o

M´todos de Conteos II
e

Permutacińo
Se utiliza cuando el tamaõ de los subconjuntos a generar es el
n
mismo del original sin repetir elementos, se define por:

Pn = n! = n (n − 1) (n − 2) · · · 1

Combinacińo
n
n ≤ k, y no pueden haber conjuntos iguales,

k n!
Cn =
k! (n − k)!

e Estad´
ıstica Avanzada

u
o
o

M´todos de Conteos III
e

Permutaci´n con repetici´n
o o
n
n ≤ k, y se pueden repetir arbitrariamente los elementos

Pn = n k
k

e Estad´
ıstica Avanzada

u
o
o

Aplicaciones

Un entrenador cuenta con 7 defensas, 4 centrales y 4
delanteros para componer su equipo de f´tbol. El entrenador
u
utilizar´ la tćtica 5-3-2 en referencia al n´mero de defensas,
a a u
centrocampistas y delanteros a utilizar. ¿Cuńtos equipos
a
diferentes podr´ formar?
ıa
Hallar n si
1 2
12Cn + Cn+4 = 126
¿Cuńtos boletos se pueden emitir para jugar el Pozo?
a

e Estad´
ıstica Avanzada

u
o
o

Modelo Probabil´
ıstico de un Experimento

Deﬁnici´n
o
Es un modelo que intenta describir el comportamiento de los
posibles resultados de una prueba o experimento aleatorio; en este
punto converge la teor´ de la probabilidad y la teor´ de
ıa ıa
conjuntos.

e Estad´
ıstica Avanzada

u
o
o

Conceptos B´sicos I
a

Experimentos
Es el proceso mediante el cual se lleva a cabo una observaci´n,
o
´ste t´rmino considera las observaciones que se obtienen de
e e
situaciones que no se pueden controlar y las observaciones
obtenidas de situaciones en condiciones controladas de laboratorio.

e Estad´
ıstica Avanzada

u
o
o

Conceptos B´sicos II
a

Evento, (A ´ a)
o
Es cualquiera de los resultados posibles de un experimento u otra
situaci´n que involucre incertidumbre, dependiendo del caso puede
o
notarse como un conjunto A, o como un elemento a.
Evento Simple (a): es aquel que no se puede descomponer; a
dicho evento corresponde uno y s´lo un punto muestral.
o
Evento Compuesto (A): es el conjunto o evento formado por
varios eventos simples.

e Estad´
ıstica Avanzada

u
o
o

Conceptos B´sicos III
a
Espacio Muestral (Ω)
Es el conjunto de todos los posibles resultados de un experimento,
o el conjunto de todos los posibles puntos muestrales.
Espacios muestrales finitos:

A = {w1 , w2 , . . . , wk }

Espacios muestrales infinitos numerables:

A = {w1 , w2 , . . . , wn , . . .}

Espacios muestrales continuos:

A = (a, b]

Teor´ de la Probabilidad vsCorrea ıa EstadĆonjuntos
ıa Ing. Andr´s Alejandro Galvis Teor´ de ıstica Avanzada
e

u
o
o

La probabilidad como Frecuencia Relativa, (fr )

Deﬁnici´n
o
Si un un experimento aleatorio resulta de n formas igualmente
probables y mutuamente excluyentes y si ni de estos resultados
tiene una caracter´
ıstica A, entonces la probabilidad de A es la
proporci`n de ni con respecto a n.
o
ni
fr (i) =
n

e Estad´
ıstica Avanzada

u
o
o

Definiciń Axiom´tica de la Probabilidad (Ω, F, P) I
o a

Notaciń I
o
Para a, b ∈ R se define el intervalo:

(a, b] = {x ∈ R : a < x ≤ b}

Si a = (a1 , a2 , . . . , an ) y b = (b1 , b2 , . . . , bn ) son puntos en
Rn , a ≤ b significa que ai ≤ bi para todo i; se define el
intervalo n-dimensional:

(a, b] = {x = (x1 , x2 , . . . , xn ) ∈ R : ai < xi ≤ bi }

e Estad´
ıstica Avanzada

u
o
o

Definiciń Axiom´tica de la Probabilidad (Ω, F, P) II
o a
Notaciń II
o
Si f : Ω → Ω es una funciń y B ⊆ Ω , la preimagen de B por f o la imagen
o
inversa de B bajo f es el conjunto definido por:

f −1 (B) = {w ∈ Ω : f (w ) ∈ B}

De la definiciń se sigue que:
o

f −1 Bi = f −1 (Bi )
i i

f −1 Bi = f −1 (Bi )
i i
y
f −1 (A B) = f −1 (A) f −1 (B)
por lo tanto,
f −1 A = f −1 (A)
e Estad´
ıstica Avanzada

u
o
o

Definiciń Axiom´tica de la Probabilidad (Ω, F, P) III
o a
La estructura de informaciń, σ-algebra (F)
o
Sea Ω un conjunto diferente de vac´ una colecciń F de
ıo. o
subconjuntos de Ω se llama σ-algebra si:
1 Ω ∈ F,
2 Si A1 , A2 , · · · ∈ F, ∪∞ An ∈ F,
i=i
3 Si A ∈ F, A ∈ F

Propiedades elementales de una F
1 Si A1 , A2 , · · · ∈ F, ∩∞ An ∈ F.
i=i
2 ∅ ∈ F.
3 Si A, B ∈ F entonces:

A ∪ B ∈ F, A ∩ B ∈ F, AB ∈F y A B∈F
e Estad´
ıstica Avanzada

u
o
o

Definiciń Axiom´tica de la Probabilidad (Ω, F, P) IV
o a

Espacio medible, (Ω, F)
Sea Ω un conjunto no vac´ Ω = ∅ y F es una σ-algebra en Ω,
ıo
entonces la pareja:
(Ω, F)
recibe el nombre de Espacio Medible; a los elementos de F se les
llama conjuntos medibles.

Hasta el momento se ha introducido la nociń de espacio medible,
o
a continuaciń se busca considerar ciertas funciones que le asignen
o
a cada elemento A de la σ-algebra F, un valor no negativo µ (A)

e Estad´
ıstica Avanzada

u
o
o

Definiciń Axiom´tica de la Probabilidad (Ω, F, P) V
o a

Funciones de conjunto: la medida µ
Una medida es una funciń definida sobre una colecciń de
o o
conjuntos, que a cada conjunto medible le asigna un n´mero real
u
no negativo; se define como:

µ : F → R = R ∪ {−∞, +∞}

Se dice que µ es σ-aditiva si para toda sucesiń A1 , A2 , . . . de
o
conjuntos disjuntos dos a dos en F, tal que A = ∪∞ ∈ F,
n=1

∞
µ (A) = µ (An )
n=1

e Estad´
ıstica Avanzada

u
o
o

Definiciń Axiom´tica de la Probabilidad VI
o a

Espacio de Medida (Ω, F, µ)
Por lo tanto,
1 µ (A) ≥ 0 para todo A ∈ F
2 µ (∅) = 0
∞
∞
3 µ An = n=1 µ (An ) o para el caso finito
n=1
n
n
µ Ai = i=1 µ (Ai )
i=1

e Estad´
ıstica Avanzada

u
o
o

Definiciń Axiom´tica de la Probabilidad VII
o a
Medida de Probabilidad (Ω, F, P)
Sea Ω = 0 y F una σ-algebra definida sobre Ω. La medida P sobre
(Ω, F) que satisface la condiciń adicional P (Ω) = 1 se llama
o
Medida de Probabilidad sobre (Ω, F). Al espacio (Ω, F, P) se le
denomina espacio de probabilidad. En este caso, los elementos
de F se llaman eventos.
que cumple con los siguientes tres axiomas:
0 ≤ P(A) ≤ 1.
P(Ω) = 1.
si A y B son incompatibles:
P(A ∪ B) = P(A) + P(B)
.
e Estad´
ıstica Avanzada

u
o
o

Deﬁnici´n Axiom´tica de la Probabilidad VIII
o a
Algunas relaciones importantes
Si A y B no son incompatibles, entonces:

P (A ∪ B) = P (A) + P (B) − P(A ∩ B)

Si A ⊆ Ω, entonces:

P A = 1 − P (A)

Si A ⊆ B, entonces:

P (A) ≤ P (B)

Si P (A) = 1, entonces es un evento cierto.
Si P (A) = 0, entonces es un evento imposible.
e Estad´
ıstica Avanzada

u
o
o

C´lculo de Probabilidades I
a

Espacios muestrales ﬁnitos
Si tenemos el evento A = {w1 , w2 , . . . , wk }, su probabilidad se
deﬁne como:
k
P (A) = P (wi )
i=1

Es decir,
Card (A)
P (A) =
Card (Ω)

e Estad´
ıstica Avanzada

u
o
o

C´lculo de Probabilidades II
a

Espacios muestrales inﬁnitos numerables
Sea Ω = {w1 , w2 , . . . , wn , . . .}, su probabilidad se deﬁne como:

P (A) = P (wi )
wi ∈A

Ej: los sets necesarios para ganar un partido de tenis.

e Estad´
ıstica Avanzada

u
o
o

C´lculo de Probabilidades III
a

Espacios muestrales continuos
Sea Ω el area de una cancha de futbol y A el area del circulo de la
mitad de la cancha, entonces:
Medida de A
P (A) =
Medida de Ω
.

e Estad´
ıstica Avanzada

u
o
o

Definiciń
o

Definiciń
o
La probabilidad condicional de un evento A dado que ocurri´ el
o
evento B, es igual a:

P (A ∩ B)
P (A | B) =
P (B)

siempre y cuando P (B) > 0

e Estad´
ıstica Avanzada

u
o
o

Independencia

Deﬁnici´n
o
Se dice que dos eventos A y B son independientes si cumplen
cualesquiera de las siguientes condiciones:

P (A | B) = P (A)
P (B | A) = P (B)
P (A ∩ B) = P (A) P (B)

de lo contrario los eventos A y B no son independientes.

e Estad´
ıstica Avanzada

u
o
o

Probabilidad Completa y Bayes I

Probabilidad Completa
Si {B1 , B2 , . . . , Bk } constituye una partici´n de Ω tal que
o
P (Bi ) > 0, para i = 1, 2, 3, . . . , k. entonces para cualquier evento
A,
k
P (A) = P (Bi ) P (A | Bi )
i=1

e Estad´
ıstica Avanzada

u
o
o

Probabilidad Completa y Bayes II

Formula de Bayes
Sea {B1 , B2 , . . . , Bk } una partici´n de Ω tal que P (Bi ) > 0, para
o
i = 1, 2, 3, . . . , k. entonces,

P (Bi ) P (A | Bi )
P (Bi | A) = k
i=1 P (Bi ) P (A | Bi )

e Estad´
ıstica Avanzada

u
o
o

Aplicacion

El 35 % de los cr´ditos de un banco es para vivienda, el 50 %
e
para industrias y el 15 % para consumo. Resultan morosos el
20 % de los creditos de vivienda, el 15 % de los cr´ditos para
e
industrias y el 70 % de los cr´ditos para consumo. Calcule la
e
probabilidad de que se pague un cr´dito elegido al azar.
e

e Estad´
ıstica Avanzada

Estadística avanzada

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