2. Matemática Aplicada parte de la formación como IG1 en el IPEGA.pdf

PROGRAMA DE CAPACITACIÓN INSTALADOR DE GAS NATURAL
PARA RESIDENCIAS Y COMERCIOS PARA ACCEDER A LA CERTIFICACIÓN IG-1
Modalidad Semipresencial
Curso:
MATEMÁTICA APLICADA

UNIDAD DE CAPACITACIÓN - IPEGA
1. GENERALIDADES
1.1 Operaciones Básicas
1.2 Operaciones Combinadas
1.3 Números Enteros
2. NÚMEROS RACIONALES
2.1 Fracciones
2.2 Clases de fracciones
2.3 Número Decimal
3. RAZONES Y PROPORCIONES
3.1 Razón
3.2 Proporción
4. MAGNITUDES PROPORCIONALES
4.1 Magnitud Directamente Proporcional
4.2 Magnitud Inversamente Proporcional
4.3 Regla De Tres Simple
4.4 Regla Compuesta
INDICE

5 PORCENTAJES
5.1 Definición
5.2 Aplicaciones del tanto por ciento (%)
6 GEOMETRÍA PLANA
6.1 Concepto de línea
6.2 Ángulos
6.3 Triángulo
6.4 Circunferencia
7 ÁREAS
7.1 Conceptos de área de una figura plana
7.2 Área Del Rectángulo
7.3 Área Del Cuadrado
7.4 Área Del Romboide
7.5 Área Del Trapecio
7.6 Longitud De La Circunferencia Y Área Del Círculo
7.7 Áreas De Figuras Complejas
7.8 Perímetro
INDICE

8 GEOMETRÍA DEL ESPACIO
8.1 Poliedros
8.2 Prisma
8.3 Problemas
INDICE

UNIDAD
GENERALIDADES
1 1.1 Operaciones Básicas
1.2 Operaciones Combinadas
1.3 Números Enteros

• Adición: consiste en reunir varias cantidades llamadas sumandos en una llamada suma.
Ejemplo: 48 412
𝑆𝑈𝑀𝐴𝑁𝐷𝑂
+ 52 978
𝑆𝑈𝑀𝐴𝑁𝐷𝑂
= 101 390
𝑆𝑈𝑀𝐴
• Sustracción: Consiste en averiguar en cuanto excede una cantidad a otra, sus términos son minuendo, sustraendo y diferencia.
Ejemplo: 93 567
𝑀𝐼𝑁𝑈𝐸𝑁𝐷𝑂
– 74 289
𝑆𝑈𝑆𝑇𝑅𝐴𝐸𝑁𝐷𝑂
= 19 278
𝐷𝐼𝐹𝐸𝑅𝐸𝑁𝐶𝐼𝐴
• Multiplicación: Consiste en sumar abreviadamente una cantidad llamada multiplicando tantas veces como lo indica
otro llamando multiplicador.
Ejemplo: ต
345
𝑀𝑈𝐿𝑇𝐼𝑃𝐿𝐼𝐶𝐴𝑁𝐷𝑂
× ต
432
𝑀𝑈𝐿𝑇𝐼𝑃𝐿𝐼𝐶𝐴𝐷𝑂𝑅
= 149 040
𝑃𝑅𝑂𝐷𝑈𝐶𝑇𝑂
• División: Consiste en averiguar cuantas veces una cantidad llamada dividendo contiene a otra llamada divisor.
Ejemplo: 1900
𝐷𝐼𝑉𝐼𝐷𝐸𝑁𝐷𝑂
÷ ด
76
𝐷𝐼𝑉𝐼𝑆𝑂𝑅
= ด
25
𝐶𝑂𝐶𝐼𝐸𝑁𝑇𝐸
• Potenciación: Consiste en multiplicar abreviadamente una cantidad llamada base tantas veces como lo indica su
exponente.
Ejemplo: 232 = 523, donde 23 = base y 2 = exponente
1.1. Operaciones Básicas

• Para resolver operaciones combinadas, primero se resuelve la potenciación; luego la multiplicación y
división, y por último, la adición y la sustracción.
Operar:
• (2 x 5) 2 : [3 2 + 6 2 – 5 2]
• 13 - {6 x (1 + 2 2) : (35 – 5 2) }
• 30 - [5 2 - (7 - 2) x 3 - (10 – 3 2) ]
• 7 + 3 x (40 – 9 x 4) – 2 3
• 4 + 3 (7 + 2) – 35 : (10 – 3)
• Veamos:
• ( ถ
2 𝑥 5
𝑃𝑅𝑂𝐷𝑈𝐶𝑇𝑂
)2
𝑃𝑂𝑇𝐸𝑁𝐶𝐼𝐴
÷ [ ด
32
+ ด
6 2
𝑆𝑈𝑀𝐴
– ด
52
]
𝐷𝐼𝐹𝐸𝑅𝐸𝑁𝐶𝐼𝐴
𝐷𝐼𝑆𝐼𝑂𝑁
• 102
÷ 3 × 3 + 6 × 6 − 5 × 5
• 10 × 10 ÷ 9 + 36 − 25
• 100 ÷ 45 − 25
• 100 ÷ 20
• 5
1.2. Operaciones Combinadas

• Los números enteros son una generalización del conjunto de números naturales que incluye números
enteros negativos (resultados de restar a un número natural otro mayor), además del cero. El hecho de
que un número sea entero, significa que no tiene parte decimal.
ℤ = −∞ … , −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, … + ∞
1.1. Aplicaciones Operacionales:
1. Transformar grados Celsius a grados Fahrenheit:
• F=9/5 C+32 , si C = 20°
2. Transformar grados Fahrenheit a grados Celsius:
• C=5/9 (F-32) , si F = 77º.
3. Área de un trapecio:
• 𝐴𝑅𝐸𝐴 =
(𝐵+𝑏)
2
× ℎ
* Calcula el área del trapecio si: ℎ = 4 𝑐𝑚, 𝑏 = 6 𝑐𝑚 𝑦 𝐵 = 7 𝑐𝑚.
1.3. Números Enteros

4. La suma de “n” números enteros consecutivos positivos es:
• 1 + 2 + 3 + 4 + ⋯ + n =
𝑛(𝑛+1)
2
;
• Hallar la suma de los primeros siete números positivos consecutivos
5. El ángulo interior de un polígono regular:
• Cuanto mide el ángulo del polígono regular; si 𝑛 = 12.

6. El área de una arandela:
𝑟 = 𝑟𝑎𝑑𝑖𝑜 𝑚𝑒𝑛𝑜𝑟 𝑦 𝑅 = 𝑟𝑎𝑑𝑖𝑜 𝑚𝑎𝑦𝑜𝑟
Á𝑅𝐸𝐴 = 𝜋(𝑅 + 𝑟)(𝑅 − 𝑟)
• Calcular el área de la arandela; si 𝑅 = 24 𝑐𝑚 𝑦 𝑟 = 20 𝑐𝑚.

7. El área de la superficie de una caja:
• 𝐿𝑎𝑟𝑔𝑜: 𝑙, 𝑎𝑛𝑐ℎ𝑜: 𝑎, 𝑎𝑙𝑡𝑜: ℎ
Á𝑅𝐸𝐴 = 2 𝑙 × 𝑎 + 𝑎 × ℎ + 𝑙 × ℎ
• Calcula de área de la caja; si: 𝑙 = 7 𝑐𝑚, 𝑎 = 6 𝑐𝑚 y h= 5 cm.

8. La longitud de una banda que une dos poleas de igual diámetro:
𝐷 = 𝑑𝑖𝑎𝑚𝑒𝑡𝑟𝑜 𝑦 𝐿 = 𝑙𝑎𝑟𝑔𝑜
𝑙𝑜𝑛𝑔𝑖𝑡𝑢𝑑𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑏𝑎𝑛𝑑𝑎 = 2𝐿 + 𝜋𝐷
Cuanto mide la longitud de la banda que une dos poleas iguales y tiene las siguientes características
𝐿 = 12,25 𝑐𝑚, 𝐷 = 3 𝑐𝑚 𝑦 = 3, 14.

1.2. Despeje de Variables:
• Si: x = a y / b, despejar el valor de y.
• Si: a x + b y = c, despejar el valor de y.
• Si: x a + x b = c, despejar el valor de x.
• Si: x a + (x / a) = c, despejar x.
• Si:  x (y + z)  / w = P, despejar w; x ; z.
• Despeje x: ( a + x ) / ( b + x ) = c + d
• En un triángulo rectángulo, de acuerdo con Pitágoras, existe una
relación entre los catetos y la hipotenusa: 𝑎2 + 𝑏2 = 𝑐2 , despejar a.
• Despejar v de la relación: P.V= n.R.T
• Despejar T de la relación anterior.

PROBLEMAS
1. En un almacén tenemos tuberías de cobre y acero, si sumamos la
cantidad de tuberías de acero y cobre tendremos 240, ahora si
triplicamos el número de tuberías de cobre y le quitamos el doble de
tuberías de acero tendríamos 150. ¿Cuántas tuberías de acero hay?

PROBLEMAS
2. Tenemos dos tubos de cañería de distintas longitudes. Si los comparo
uno con el otro sus longitudes se diferencian en 124, pero si los uno la
longitud total es de 164 m. ¿Cuáles son la mediad de cada una de los
tubos?

PROBLEMAS
3. Roberto desea repartir S/. 2000 entre el sueldo de sus colaboradores,
el transporte y compra de materiales. Se sabe que el dinero que gasta
en la compra de materiales es S/.50 más caro que el sueldo de sus
empleados, mientras que el costo de transporte es S/.150 más barato
que el sueldo de sus colaboradores. ¿Cuál es el sueldo de los
colaboradores?

PROBLEMAS
4. Se tiene un determinado número de accesorios de cobre del tipo
unión, codo y tapón, las cantidades de cada uno de ellos son números
consecutivos. En mayor cantidad hay accesorios del tipo codo y en
menor cantidad del tipo tapón. Si sumamos la cuarta parte del
número de accesorios tipo tapón, más la mitad del tipo codo, más los
de unión obtenemos 23. ¿Cuantos accesorios del tipo tapón hay?

PROBLEMAS
5. Se compró dos tipos de sellantes: fuerza alta y fuerza media. El
número de la cantidad de sellantes de cada tipo esta en relación es
2/7, si al de tipo fuerza alta se le aumenta 30 y al de tipo fuerza
medio se le disminuye 30, resultarán iguales. El número de sellantes
del tipo fuerza son.

PROBLEMAS
6. Paulo ha ido a hacer inspecciones de una instalación de gas, hasta
ahora ha hecho 2 inspecciones en las cuales le pagaron cantidades
distintas de dinero. La suma de dos pagos es S/650 y su diferencia es
S/124. ¿Cuáles son los montos que recibió en cada una de las
inspecciones?

PROBLEMAS
7. Al tomar las medidas de una pared rectangular, vemos que si súmanos
su base y su altura nos da 24m. Además su base es el quíntuplo de su
altura. ¿Cuál es el producto de su base y su altura?

UNIDAD
NÚMEROS RACIONALES
2 2.1 Fracciones
2.2 Clases de fracciones
2.3 Número Decimal

• Es el cociente indicado de dos números enteros, siendo el denominador
diferente de cero.
• Notación:
𝑎
𝑏
en donde 𝑎: 𝑛𝑢𝑚𝑒𝑟𝑎𝑑𝑜𝑟 , 𝑏: 𝑑𝑒𝑛𝑜𝑚𝑖𝑛𝑎𝑑𝑜𝑟
• Numerador: Indica el número de partes que se toman de la unidad
dividida.
• Denominador: Indica el número de partes iguales en que se divide la
unidad.
2.1. Fracciones

1. Fracción Propia: Si el numerador es menor que su denominador.
2. Fracción Impropia: Si el numerador es mayor que su denominador.
3. Fracción Mixta: Suma de un entero y una fracción propia. Las fracciones mixtas se pueden
expresar como fracciones impropias.
4. Fracción Homogénea: Son fracciones que tienen el mismo denominador.
5. Fracción Heterogénea: Son fracciones que tienen diferentes denominadores.
6. Fracción Decimal: Aquella cuyo denominador es una potencia de 10.
7. Fracción Reductible: Si el numerador y el denominador no son primos entre sí.
8. Fracción Irreductible: Si el numerador y el denominador no son primos entre sí
2.2. Clases de Fracciones

Ejercicios

PROBLEMAS
1. Se necesita comprar un detector de fugas portátil, pero por ahora solo se
dispone de cierta cantidad de dinero, donde 1/3 del dinero que tengo
equivale a los 2/3 del dinero que me falta para comprar el detector,
¿Qué fracción del precio del detector tengo ahora?

PROBLEMAS
2. A un alambre de 738 cm de longitud se le hizo 3 cortes de tal manera
que la longitud de cada trozo es igual a la longitud del anterior, más ¼
de dicha longitud. ¿Cuál es la longitud del trozo más grande?

PROBLEMAS
3. Si a un tarro de pasta para soldar se le extrae los 6/15 del total, su
valor es de S/.15. ¿Cuánto valdría, si el tarro estuviera lleno de pasta
para soldar?

PROBLEMAS
4. Un comerciante compra la docena de válvulas a S/. 100 y vende la
decena a S/.90, ¿Cuántas válvulas deberá vender para ganar S/. 200?

PROBLEMAS
5. Jorge compro una caja de electrodos para poder soldar, de los cuales
vende los 3/7 de la caja de electrodos, si regaló luego 60 entonces le
quedó 1/6 de lo que no logró vender. ¿Cuántos cuantos electrodos
venían en la caja?

• Un racional es decimal si y sólo si el denominador de su fracción
irreductible es de la forma 2𝑛. 5𝑝 (𝑛 𝑦 𝑝 𝑒𝑛𝑡𝑒𝑟𝑜𝑠).
Ejemplos: 1/2, 1/4, 1/5, 1/8 y 1/10 son decimales, pero no 1/3, 1/6, 1/7 ni
1/9.
2.3. Número Decimal

• Valor posicional de un número decimal
• Ejm.: 52,4278
PARTE ENTERA PARTE DECIMAL
Centenas
de
Millar
Decenas
de
Millar
Unidades
de
Millar
Centenas
Decenas
Unidades
décimos
centésimos
milésimos
Décimos
de
milésimos
Centésimos
de
milésimos
Millonésimos
5 2 , 4 2 7 8

• Si dos números decimales son de signo diferente, será menor el de signo
negativo.
Ejemplo: -13,345 < 23,5
• Si dos números decimales son de igual signo, se iguala el número decimal con
ceros, para luego eliminar la coma decimal y comparar como si fueran números
enteros.
Ejemplo: Comparar 5,3 con 5,643
• Como el primer número tiene solo un decimal, le agregamos 2 ceros para que
ambos números tengan igual cantidad de cifras decimales: 5,300 vs 5,643,
luego procedemos a eliminar la coma decimal, y concluimos que: 5300 < 5643,
entonces: 5,3 < 5,643.
Comparación de números decimales

• Generatriz de un número decimal exacto: Se escribe como numerador el
número sin la coma decimal y como denominador la unidad seguida de
tantos ceros como cifras decimales tenga el número decimal.
Ejemplo:
1,54 =
154
100
=
77
50
Generatriz de un número decimal

• Generatriz de un número decimal periódico puro: Se escribe como
numerador el número sin la coma decimal, menos la parte entera y como
denominador tantos nueves como cifras decimales tenga la parte
periódica.
Ejemplo:
2, ෢
31 =
231 − 2
99
=
299
99

• Generatriz de un número decimal periódico mixto: Se escribe como
numerador el número sin la coma decimal, menos la parte no periódica, y
como denominador tantos nueves como cifras tenga la parte periódica,
seguidos de tantos ceros como cifras tenga la parte no periódica.
Ejemplo
3,23෠
4 =
3234 − 323
900
=
2911
900

PROBLEMAS
1. Se necesita comprar una maquina soldadora y una caja de electrodos.
Si 1/4 del precio de la maquina soldadora es igual a los 2/7 del precio
de la caja de electrodos y la suma total del precio de ambos productos
es de ambos es S/.750, ¿Cuánto cuesta la maquina soldadora?

PROBLEMAS
2. De una tubería de cobre de 40 m de longitud se cortan 3 pedazos.El
primero es la quinta parte de la tubería; el segundo es las 3/8 partes
de la tubería. ¿Cuánto mide el tercer pedazo?

PROBLEMAS
3. Calcular la distancia “x” si las siguientes son equivalentes:

PROBLEMAS
4. Doce pernos cuestan S/. 1,20. Si se venden 4 pernos por S/. 0,50,
¿Cuántas docenas de pernos hay que vender para ganar S/. 2,40?

PROBLEMAS
5. Diego va a comprar tuberías de acero, para ello va a dos tiendas
distribuidoras. En la primera tienda compra 0, ෢
36 tuberías, en la
segunda tienda compra 0, ෢
52 tuberías. Debe transportar igual
número de tuberías a las 0,0෠
2 instalaciones. ¿Cuántas tuberías
recibirá cada instalación?

PROBLEMAS
6. Se reparte un presupuesto entre tres materiales que faltaban para
realizar la instalación, primero a las válvulas de corte le corresponde
S/ 245,67; en segundo lugar a los accesorios les corresponde el triple
de la primera más S/. 56,89; por ultimo a las tuberías, S/ 76,97 menos
que la suma de las dos primeras. Si además se han separado S/ 301,73
para gastos adicionales, ¿A cuánto ascendería el presupuesto?

UNIDAD
RAZONES Y PROPORCIONES
3 3.1 Razón
3.2 Proporción

• Es la relación de dos cantidades de la misma especie, dicha relación puede
expresarse de dos maneras:
1. Por diferencia, es decir, en cuánto excede una cantidad a otra.
2. Por cociente, es decir, cuantas veces está contenida una cantidad en otra.
• Clases
• Razón Aritmética: a - b
• Razón Geométrica: a
b
• a = antecedente
• b = consecuente
3.1. Razón

• Es una igualdad de dos o más razones.
Clases:
- Proporción Aritmética: a – b = c - d
- Proporción Geométrica:
a = antecedente de la primera razón
b = consecuente de la primera razón
c = antecedente de la segunda razón
d = consecuente de la segunda razón
3.2. Proporción
d
c
b
a


•
• Proporción Discreta:
• Proporción Continua:
Propiedad Fundamental
c
b
d
a
d
c
b
a
Si 






: c
b
d
a
d
c
b
a
Si .
.
: 


d
c
b
a
d
c
b
a 




c
b
b
a
c
b
b
a 





PROBLEMAS
1. Se tienen dos tuberías, cuyas medidas se encuentran en razón
aritmética de 14. Hallar el producto de las medidas de la tubería,
sabiendo que si al unir ambas tuberías la longitud total es de 86 m.

PROBLEMAS
2. Al medir la extensión del pasadizo de una casa, se pudo observar que el
producto de su largo por su ancho es de 504. Adema estas medidas
están en la razón geométrica de
2
7
, ¿Cuál es el valor de su largo?

PROBLEMAS
3. Javier es trabajador de una instalación, su sueldo y sus ahorros están
en una relación de 9 a 4. Si en el mes de marzo sus gastos fueron de
S/ 390, ¿Cuál es el sueldo que recibe Javier cada mes?

PROBLEMAS
4. Se va a realizar una instalación de gas en una casa, para ello los
técnicos realizaron las medidas y se dieron cuenta que las medidas del
largo y el ancho de la casa están en relación de 3 es a 2, y además, la
razón aritmética de sus medidas de 7 metros, ¿Cuál es el largo de la
casa?

PROBLEMAS
5. El número de accesorios de cobre del tipo: codo, hembra y macho
forman una proporción continua, la suma de las razones es 3. Si la
media proporcional es 54. Determinemos en valor del cuarto
término de la proporción, es decir, vamos a hallar la cantidad de los
accesorios de cobre del tipo macho que hay.

PROBLEMAS
6. En un almacén se tienen el siguiente tipo de tuberías: acero, cobre y
aluminio. Ya han sido utilizadas 20 tuberías de acero, la relación de las
tuberías del almacén será de 7 de cobre por 3 de aluminio. Si
enseguida se utilizan 100 tuberías de cobre, la relación será de 3 de
acero por cada 2 de cobre. ¿Cuántas tuberías había al principio?

UNIDAD
MAGNITUDES PROPORCIONALES
4 4.1 Magnitud Directamente Proporcional
4.2 Magnitud Inversamente Proporcional
4.3 Regla De Tres Simple
4.4 Regla Compuesta

• Se dice que dos magnitudes son directamente proporcionales, si y solo si el
cociente de sus valores correspondientes es constante: A DP B
4.1. Magnitud Directamente Proporcional

• Se dice que dos magnitudes son inversamente proporcionales, si y solo si
el producto de sus valores correspondientes es constante: A IP B
4.2. Magnitud Inversamente Proporcional

• Sean dos magnitudes A y B, así como tres cantidades C1, C2 y C3, entre las
cuales se establece de modo general:
Magnitud A Magnitud B
4.3. Regla de Tres Simple

• Conociendo la relación de proporcionalidad entre las magnitudes,
podemos despejar el valor de la cantidad incógnita:
Magnitud A (dp) Magnitud B Magnitud A (ip) Magnitud B

• Ordenando las cantidades con las magnitudes empleadas, se comparan
éstas con aquella que contiene a la incógnita. Del resultado obtenido se
asignan a las cantidades signos, tal como siguen:
• La cantidad que acompaña a la incógnita lleva signo positivo (+). El valor de
la incógnita se obtiene dividiendo el producto de todas las cantidades con
signo positivo entre las cantidades con signos negativos:
• Al aplicarse este método, la cantidad incógnita deberá ubicarse en la parte
inferior del conjunto de datos.
4.3. Regla Compuesta


 ip
dp 



X

PROBLEMAS
1. Doce técnicos instaladores de gas natural, trabajando 8 horas diarias
pueden terminar una obra de instalación en 15 días. ¿En cuántos días
podrán realizar la misma obra de instalación, igual 15 técnicos
trabajando 6 horas diarias?

PROBLEMAS
2. Un técnico puede soldar y sellar todas as tuberías de una instalación
en 3 días con cierta cantidad de máquinas soldadoras, pero emplearía
un dio menos si le dieran 6 máquinas soldadoras más. ¿En cuántos
días podrá ejecutar la misma función si trabaja con solo una maquina
soldadora?

PROBLEMAS
3. Para realizar el estudio de los planos de una fábrica, que es de forma
cuadrada y mide 20m de largo, el técnico cobra 600. ¿Cuánto cobrara
por el estudio de los planos de una casa de forma cuadrada de 12 m
de lado?

PROBLEMAS
4. Un ingeniero contrató a 12 técnicos para hacer un trabajo y a los 15
días sólo han hecho la tercera parte. ¿Cuántos técnicos se tendrán
que contratar para que, lo que queda de la obra, se termine en 8 días?

PROBLEMAS
5. Un técnico y su equipo realizaron inspecciones periódicas, para
verificar el buen funcionamiento de las instalaciones de gas en una
casa. En total se hicieron tres inspecciones en las cuales se
demoraron: 24, 18 y 15 minutos respectivamente. En total ganaron
recibieron S/. 11 210. ¿Cuánto recibieron en la primera inspección si
lo que recibieron es IP al tiempo que demoran por la inspección?

UNIDAD
PORCENTAJES
5 5.1 Definición
5.2 Aplicaciones del tanto por ciento (%)

• Es la cantidad de centésimas partes que se pueden tomar de una cantidad
cualquiera.
Propiedades
• Si se desea expresar una cantidad en porcentaje se le multiplica 100%.
• Se pueden sumar o restar porcentajes relativos a una misma cantidad.
5.1. Definición

• Asuntos comerciales: 𝑃𝑉 = 𝑃𝐶 + G 𝑃𝑉 = 𝑃𝑉 − 𝑃
• 𝑃𝑉 = 𝑝𝑟𝑒𝑐𝑖𝑜 𝑑𝑒 𝑣𝑒𝑛𝑡𝑎
• 𝑃𝐶 = 𝑝𝑟𝑒𝑐𝑖𝑜 𝑑𝑒 𝑐𝑜𝑠𝑡𝑜
• 𝐺 = 𝑔𝑎𝑛𝑎𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑜 𝑢𝑡𝑖𝑙𝑖𝑑𝑎𝑑
• 𝑃 = 𝑝𝑒𝑟𝑑𝑖𝑑𝑎
5.2. Aplicaciones del tanto por ciento (%)

• Variaciones porcentuales: Cuando se involucran las fórmulas para el
cálculo de áreas, se deberá tener en consideración que las constantes no
deben intervenir. Así:
• Área del círculo :
• Área del triángulo :
VARIACION PORCENTUAL
2
2
r
en
r 
%

h
b
en
h
b



%
2

PROBLEMAS
1. Daniel fue a comprar cierto número de tuberías, que e equivale al
40% de lo que tiene en su almacén. Cuando regreso junto las tuberías
que compro con las que ya tenía, al contabilizarlas el total de
tuberías que tiene es 630. ¿Cuantas tuberías tiene en el almacén?

PROBLEMAS
2. Javier es técnico y tiene 2 soldadoras de diferentes calidades ya muy
antiguas y quiere comprarse una nueva, así que decide venderlas.
Vende la primera y la segunda en S/. 297 cada una, ganando en uno
de ellos el 10 % y perdiendo en el otro el 10 % de su valor. Determinar
si se ganó o perdió y cuánto.

PROBLEMAS
3. Al realizar las ramificaciones de una tubería, el encargado se dio
cuenta que contaban con 1200 accesorios en galvanizado. Los
accesorios eran uniones y codos, de los cuales el 40 % eran uniones. Si
el número de uniones aumenta en 30 % y el de los codos en 20 %, ¿en
qué porcentaje aumentó el total de accesorios en galvanizado?

PROBLEMAS
4. Al momento de instalar la rejilla de ventilación de forma rectangular,
se observa que sus medidas no son las adecuadas. La nueva rejilla
debe variar sus medidas, la base se incrementó en un 40% y la altura
disminuyó en un 10%, ¿En cuánto vario el área de la rejilla?

PROBLEMAS
5. Ernesto calculo que debe poner la última válvula de corte en un
edificio cuando se haya utilizado el 90% de las tuberías. En total hay
100 tuberías y ya se han utilizado 72, ¿Cuántas tuberías falta utilizar
para colocar la última válvula de corte?

PROBLEMAS
6. Se quiere vender una terma a gas ganando el 10% del precio de costo.
Si se quisiera ganar S/.120 más al vender la terma, habría que
aumentar en 10% el precio de venta, ¿Cuál es el costo de la terma a
gas?

PROBLEMAS
7. Si una habitación de forma cubica aumenta su volumen en 25%, ¿En
cuánto aumentaría su área?

UNIDAD
GEOMETRÍA PLANA
6 6.1 Concepto de línea
6.2 Ángulos
6.3 Triángulo
6.4 Circunferencia

• Una cierta cantidad de puntos situados cada uno junto al otro, en una
misma dirección, dan origen a un trazo continuo, que es una línea.
• Una línea es una sucesión continua de puntos:
________________________________________
• Las líneas pueden ser:
• Rectas — cuando todos los puntos se encuentran alineados en una misma
dirección. en geometría se utiliza el concepto ideal de que una recta es de
longitud infinita en sus dos extremos.
• Curvas— cuando los puntos no se encuentran alineados en una misma
dirección; aunque, al menos durante cierta distancia, el cambio de
dirección responda a un criterio de continuidad.
6.1. Concepto de Línea

• Cuando en una recta se marcan sobre ella dos puntos, a los cuales se llama
extremos, el tramo de recta comprendido entre esos dos puntos constituye un
segmento de recta; que se individualiza mencionando sus extremos, como el
segmento A, B:
A B
——|———————|———
• Generalmente, se traza un segmento solamente entre sus extremos:
A B
|—————|
SEGMENTO DE RECTA

• Definición Geométrica:
Es la reunión de dos rayos que tienen el origen común, dicho origen se llama
vértice y los rayos son los lados del ángulo.
6.2. ÁNGULOS
Vértice: O
Lados: OA, OB
Notación: AOB


• Sistema de Medida Angular:
El ángulo geométrico se medirá solo en el Sistema Sexagesimal, en donde:
• Equivalencias: 1 º < > 60 ’
• 1’ < > 60 ’’
ANGULOS

• Medida de un ángulo:
ANGULOS
A
50°
O B

• Bisectriz de un Ángulo:
Es el rayo trazado desde el vértice y por el interior dividiéndolo en dos
ángulos de igual medida.
Si m ∠ AOM=m ∠ MOB
⇒ 𝑂𝑀 𝑒𝑠 𝑏𝑖𝑠𝑒𝑐𝑡𝑟𝑖𝑧 𝑑𝑒 ∠ 𝐴𝑂𝐵
BISECTRIZ DE UN ANGULO
𝛼
O
A
B
𝛼
M
Se dice que un rayo biseca un ángulo, cuando forma dos ángulos congruentes con los lados del ángulo dado. En ese caso,
el rayo se llama BISECTOR y la recta que contiene el rayo se llama BISECTRIZ.

• Ángulos Congruentes:
Son ángulos que tienen la misma medida.
Clasificación de los ángulos
Según su magnitud:
Sea x la medida de un ángulo en grados sexagesimales
- Ángulo Agudo: 0° < x < 90°
- Ángulo Obtuso: 90° < x < 180°
- Ángulo Recto: x = 90°
- Ángulo de lados colineales: x = 180°
CLASIFICACION DE ANGULOS

• Según sus características:
A. Adyacentes: Tienen mismo vértice y un lado común y no tienen puntos
interiores
Nota: Tres o más ángulos son adyacentes, si cada uno es adyacente el anterior
A
O B
y°
x°
M
xº e yº son adyacentes

B. Complementarios: Son dos ángulos cuya suma de medidas es igual a 90°.
C. Suplementarios: Son dos ángulos cuya suma de medidas es igual a 180°.
x º + y º = 90 º
x º +y º = 180 º

D. Opuestos por el Vértice
PROPIEDADES
𝐿2
y°
x°
L1 y L2 son rectas Secantes
𝐿1

• Vértices: A, B y C
• Lados : AB, BC y AC
• Ángulos internos : x° , y° , z°
• Notación: ABC
6.3. Triángulos
C
z°
x° y°
B°
A


1. 2.
Teoremas Fundamentales
C
z°
x° y°
B°
A
y°
x°
z°
B
A
x º + y º + z º = 180 º z º = x º + y º

3. 4.
C
y°
x°
z°
B
A
C
B
A
a
b
c
x º + y º + z º = 360 º a - b < c < a + b

• Relación lado - ángulo:
5.
a
b
C
x° y°
B
A
C
x° y°
B
A
a
b
Si: xº > yº
=> a > b
Si: xº = yº
=> b = a

6.
C
y°
x°
B
A
y º + x º = 180 º

• Por la longitud de sus lados:
Clasificación de los triángulos
a
a
a a
b
a a
c
b
T. Equilátero T. Isósceles T. Escaleno

• Por la medida de sus ángulos:
x º + y º = 90 º T. Acutángulo T. Obtusángulo
x, y, z: agudos y°: obtuso

Para el gráfico adyacente:
• O : Centro
• r : Radio
• : Cuerda
• : Diámetro
• AB : Arco
• L 1 : Recta tangente (T:punto de
tangencia)
• L 2 : Recta secante
• : Flecha o sagita
6.4. Circunferencia
QP
CD
MN

PROBLEMAS
1. Hallar “x” a partir del gráfico:
a) 20º
b) 30º
c) 40º
d) 25º
e) 35º
3x+10º 2x+40º

PROBLEMAS
2. Hallar “x” a partir del gráfico.
a) 20º
b) 30º
c) 40º
d) 50º
e) 60º
4x10º
150º

PROBLEMAS
3. En el gráfico: AB=BD y CD=CE. Calcule la medida del ángulo “x”.

PROBLEMAS
4. En el gráfico, calcule “x”, si AF=FC=DE=DF=EF.
x

PROBLEMAS
5. En un triángulo ABC, se traza la bisectriz interior AQ y en AQ se ubica
el punto “P” tal que BP = BQ. Si m<C= 50°, calcule m<ABP.

PROBLEMAS
6. En la figura, calcule la medida del segmento “x”.
45 45
8
6
x

PROBLEMAS
7. En un triángulo rectángulo ABC recto en B, se traza la altura BH.
Calcule AH, sí BH=12 cm y HC=16 cm.

UNIDAD
ÁREAS
7 7.1 Conceptos de área de una figura plana
7.2 Área Del Rectángulo
7.3 Área Del Cuadrado
7.4 Área Del Romboide
7.5 Área Del Trapecio
7.6 Longitud De La Circunferencia Y Área Del Círculo
7.7 Áreas De Figuras Complejas
7.8 Perímetro

• Se llama área de una figura plana a la medida de la superficie que ocupa.
7.1. Conceptos de Área de una Figura Plana

• El área de un rectángulo se halla multiplicando la longitud de su base por
la longitud de su altura.
𝐴 = 𝑏 × ℎ
• 𝐷𝑜𝑛𝑑𝑒: 𝐴: á𝑟𝑒𝑎 𝑏: 𝑏𝑎𝑠𝑒 ℎ: 𝑎𝑙𝑡𝑢𝑟𝑎
7.2. Área del Rectángulo
b
h

• El área de un cuadrado se halla elevando al cuadrado la longitud del lado
7.3. Área del Cuadrado
L
L
𝐴 = 𝐿2
, 𝐷𝑜𝑛𝑑𝑒: 𝐴: á𝑟𝑒𝑎 𝐿: 𝑙𝑎𝑑𝑜

• El área del romboide se halla multiplicando la longitud de su base por la
longitud de su altura.
7.4. Área del Romboide
h
b
𝐴 = 𝑏 𝑥 ℎ , 𝐷𝑜𝑛𝑑𝑒: 𝐴: á𝑟𝑒𝑎 𝑏: 𝑙𝑎𝑑𝑜 ℎ: 𝑎𝑙𝑡𝑢𝑟𝑎

• El área de un triángulo se halla multiplicando la longitud de su base por la
longitud de la altura y después el resultado se divide entre dos.
7.5. Área del Triángulo
h
b
𝐴 =
𝑏 × ℎ
2
𝐷𝑜𝑛𝑑𝑒: 𝐴: á𝑟𝑒𝑎 𝑏: 𝑙𝑎𝑑𝑜 ℎ: 𝑎𝑙𝑡𝑢𝑟𝑎

• El área del trapecio se halla sumando la base mayor y la base menor después se
divide entre dos y luego se multiplica por la altura.
• 𝐴 =
𝐵+𝑏
2
ℎ
𝐷𝑜𝑛𝑑𝑒: 𝐴: á𝑟𝑒𝑎 𝐵: 𝑏𝑎𝑠𝑒 𝑚𝑎𝑦𝑜𝑟 𝑏: 𝑏𝑎𝑠𝑒 𝑚𝑒𝑛𝑜𝑟 ℎ: 𝑎𝑙𝑡𝑢𝑟𝑎
7.6. Área del Trapecio
h
B
b

• Se llama circunferencia a la línea cuyos puntos están todos a la misma distancia de otro
llamado centro. Además se llama círculo a la superficie plana que está limitada por la
circunferencia.
• La longitud de la circunferencia se halla multiplicando el doble del radio por π.
• El área del círculo se halla multiplicando π por el cuadrado del radio
7.7. Longitud de la circunferencia y área del círculo
r

• Para hallar el área de figuras complejas hay que dividirlas en otras más
sencillas, de las cuales sepamos calcular su área, para luego sumar las
áreas parciales.
• Se llama perímetro de una figura plana a la suma de las longitudes de los
lados de dicha figura.
7.8. Áreas de Figuras Complejas
7.9. Perímetro

PROBLEMAS
1. Tenemos que colocar una rejilla de ventilación rectangular, la cual
tiene 16 cm de base y cuya diagonal mide 20 cm. ¿Cuál es el
perímetro y área de la rejilla?

PROBLEMAS
2. Pedro está tomando las medidas de una pared y observa que la altura
y la base de la pared tiene medidas iguales, ¿Cuál es el área de la
pared?

PROBLEMAS
3. A Daniel le hacen falta tuberías de cobre para su instalación, necesita
comprar nuevas tuberías iguales a las que ya tiene. Si el área interior
de la tubería es 81π, ¿Cuál debe ser el diámetro interior de la nueva
tubería que va comprar Daniel?

PROBLEMAS
4. Al momento de estudiar los planos de la casa, se observa que la casa
tiene forma de un triángulo rectángulo. su base mide 20m y su altura
30m, ¿Cuál es el perímetro y área de la casa?

PROBLEMAS
5. Calcular el área y perímetro de las siguientes figuras.

PROBLEMAS

PROBLEMAS
5.

UNIDAD
GEOMETRÍA DEL ESPACIO
8 8.1 Poliedros
8.2 Prisma
8.3 Problemas

Poliedro Convexo Poliedro Cóncavo
8.1. Poliedros

𝐷 = 𝑎 3, 𝑑 = 𝑎 2, 𝑆𝑇 = 6𝑎2
, 𝑉 = 𝑎3
Donde, 𝐷: 𝑑𝑖𝑎𝑔𝑜𝑛𝑎𝑙 𝑝𝑟𝑖𝑛𝑐𝑖𝑝𝑎𝑙, 𝑑: 𝑑𝑖𝑎𝑔𝑜𝑛𝑎𝑙, 𝑆𝑇: 𝑎𝑟𝑒𝑎 𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙, 𝑉: 𝑣𝑜𝑙𝑢𝑚𝑒𝑛
Hexaedro Regular (cubo)

• Es el sólido cuyas bases son paralelas y congruentes y cuyas caras laterales
son paralelogramos.
Prisma Recto: Es aquel cuyas aristas laterales son perpendiculares a las
bases.
Prisma Oblicuo: Es aquel cuyas aristas laterales no son perpendiculares a las
bases.
Prisma Regular: Es un prisma recto cuyas bases son polígonos regulares.
8.2. Prisma

• Prisma Recto:
𝑆𝐿 = 2𝑃𝑏 × ℎ, 𝑆𝑇 = 𝑆𝐿 + 2𝑆𝑏, 𝑉 = 𝑆𝑏 × ℎ
𝐷𝑜𝑛𝑑𝑒,
𝑆𝑇: 𝑎𝑟𝑒𝑎 𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 𝑆𝐿: 𝑎𝑟𝑒𝑎 𝑙𝑎𝑡𝑒𝑟𝑎𝑙 𝑆𝑏:𝑎𝑟𝑒𝑎𝑑𝑒𝑙𝑎 𝑏𝑎𝑠𝑒 2𝑃𝑏: ℎ: 𝑎𝑙𝑡𝑢𝑟𝑎
8.2. Prisma

• Paralelepípedo Rectangular: Es un paralelepípedo recto cuyas bases son
rectángulos. También se llama ortoedro o rectoedro.
𝑆 = 2 𝑎 × 𝑏 + 𝑏 × 𝑐 + 𝑐 × 𝑎 , 𝑉 = 𝑎 × 𝑏 × 𝑐, 𝑑2
= 𝑎2
+ 𝑏2
+ 𝑐2
𝑑𝑜𝑛𝑑𝑒, 𝑆: 𝑎𝑟𝑒𝑎, 𝑉: 𝑣𝑜𝑙𝑢𝑚𝑒𝑛, 𝑑: 𝑑𝑖𝑎𝑔𝑜𝑛𝑎𝑙
8.2. Prisma

• Es el sólido generado por un rectángulo cuando gira alrededor de uno de
sus lados tomados como eje.
8.1. Cilindro circular recto o de revolución
𝑆𝐿 = 2𝜋 × 𝑟 × ℎ, 𝑆𝑇 = 2𝜋 × 𝑟 × 𝑟 + ℎ , 𝑉 = 𝜋 × 𝑟2 × ℎ
𝑆𝐿: 𝑎𝑟𝑒𝑎 𝑙𝑎𝑡𝑒𝑟𝑎𝑙, 𝑆𝑇 : 𝑎𝑟𝑒𝑎 𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙, 𝑉: 𝑣𝑜𝑙𝑢𝑚𝑒𝑛

PROBLEMAS
1. Un deposito en forma cilindro recto, cuya base es un círculo que tiene
452,16 𝑐𝑚2 de área y cuya altura es igual al diámetro de la base.
Tenemos que pintarlo por fuera de blanco, ¿Cuánta pintura blanca
usaré?

PROBLEMAS
2. Juan quiere averiguar cuál es el volumen de su casa. Observa que su
casa tiene la forma de un hexaedro regular, al medir el piso resulta
que su diagonal mide 36 2.¿cuál es el volumen de la casa?

PROBLEMAS
3. Denis es un estudiante al cual su profesor le mando averiguar el
volumen de una terma a gas de forma cilíndrica. Empieza a tomar
medidas y resulta que la altura de la terma es de 1m, además dado
que es un cilindro su base es un circulo cuyo diámetro el 60cm, ¿Cuál
es el volumen de la terma?

PROBLEMAS
4. Si tengo una tubería de aluminio, cuyo largo mide 2.5m y el diámetro
de su interior es de 8cm, ¿Cuánto se puede pasar por 10 tuberías de
aluminio?

PROBLEMAS
5. Al momento de hacer las revisiones para la instalación de gas en una
casa, Alberto rejilla de ventilación rectangular cuyas medidas son
40cm de largo con 35cm de alto. la rejilla debe ser colocada en la
pared suyo espesor es de 30cm. ¿Cuál es el volumen de del agua que
tiene que realizar en la pared? (el agujero tiene forma de
paralelepípedo).

Instituto de Investigación y Capacitación
en Petróleo y Gas Natural

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