Ova

1. OVA DE NUMEROS REALES
OBJETIVO: Desarrol lar el pensamiento racional lógico que le permi ten
plantear, razonar, anal izar las característ icas y estructuras de los
números reales como la apl icación de las propiedades básicas en la
solución de problemas contextual izados .
CONTENIDOS:
1. Que son los números reales?
2. Como se representan los números reales?
3. Que operaciones se real izan con los números reales?
4. Ejercicios de pract ica
5. Act ividades
6. Autoevaluación
1. Que son los números reales?
Conjunto formado por los números racionales e irracionales es el
conjunto de los números reales, se designa por .

2. Con los números reales podemos realizar todas las operaciones, excepto la
radicación de índice par y radicando negativo, y la división por cero.
La re c ta re al
A todo número real le c orresponde un punto de la rec ta y a todo punto de la recta
un número real.
2. Como se representan los números reales?
Los números reales pueden ser representados en la recta con tanta
aproximación como queramos, pero hay casos en los que podemos
representarlos de forma exacta.

3. 3. Que operaciones se realizan con los números reales?
Propiedades de la Suma de números reales
1 Interna:
El resultado de sumar dos números reales es otro número real.
a + b
+
2 Asociativa:
El modo de agrupar los sumandos no varía el resultado.
(a + b) + c = a + (b + c) ·
3 Conmutativa:
El orden de los sumandos no varía la suma.
a + b = b + a

4. 4 Elemento neutro:
El 0 es el elemento neutro de la suma porque todo número sumado con él da el mismo número.
a + 0 = a
+ 0 =
5 Elemento opuesto:
Dos números son opuestos si al sumarlos obtenemos como resultado el cero.
e − e = 0
El opuesto del opuesto de un número es igual al mismo número.
−(− ) =
Diferencia de números reales
La diferencia de dos números reales se define como la suma del minuendo más el opuesto del
sustraendo.
a − b = a + (−b)
Producto de números reales
La regla de los signos del producto de los números enteros y racionales se sigue manteniendo
con los números reales.

5. Propiedades:
1 Interna:
El resultado de multiplicar dos números reales es otro número real.
a · b
2 Asociativa:
El modo de agrupar los factores no varía el resultado. Si a, b y c son números reales
cualesquiera, se cumple que:
(a · b) · c = a · (b · c)
(e · ) · = e · ( · )
3 Conmutativa:
El orden de los factores no varía el producto.
a · b = b · a
4 Elemento neutro:
El 1 es el elemento neutro de la multiplicación, porque todo número multiplicado por él da el
mismo número.
a ·1 = a

6. · 1 =
5 Elemento opuesto:
Un número es inverso del otro si al multiplicarlos obtenemos como resultado el elemento
unidad.
6 Distributiva:
El producto de un número por una suma es igual a la suma de los productos de dicho
número por cada uno de los sumandos.
a · (b + c) = a · b + a · c
· (e + ) = · e + ·
7 Sacar factor común:
Es el proceso inverso a la propiedad distributiva.
Si varios sumandos tienen un factor común, podemos transformar la suma en producto
extrayendo dicho factor.
a · b + a · c = a · (b + c)
· e + · = · (e + )

7. Div isión d e números re ales
La división de dos números reales se define como el producto del dividendo
por el inverso del divisor.
Ejercicio 1 y Soluciones
1. Clasi fica los números:
Soluciones:
2. Representa en la recta:
Soluciones:

8. 3. Representa en la recta real los números que veri fican las siguientes
relaciones
1 |x| < 1
2 | x | ≤ 1
3 |x| > 1
4 | x | ≥ 1
Soluciones:
1 |x| < 1 -1 < x < 1 x ( −1, 1)
2 | x | ≤ 1 - 1 ≤ x ≤1 x [ −1, 1]
3 |x| > 1-1 > x > 1 x ( - ∞, −1) (1, +∞)
4 | x | ≥ 1- 1 ≥ x ≥ 1 x ( - ∞, −1] [1, +∞)

9. 4. Calcula los valores de las siguientes potencias:
1
2
3
4
Soluciones:
1
2
3
4
5. Hal la las sumas:
1

10. 2
3
4
Soluciones:
1
2
3
4
6. Real iza las operaciones:
1
2
3

11. 4
Soluciones
1
2
3
4
7. Opera:
Soluciones
8. Efectúa:
Soluciones:

12. 9. Calcula:
1
2
Soluc iones:
1
2
10. Racional izar
1
2
3

13. 4
Soluciones:
1
2
3
4

14. Ejercicio 2 y Soluciones
1 Representa en la recta:
Soluciones:
2 Representa en la recta real los números que verifican las siguientes relaciones:
1|x − 2| < 1
2|x − 2| ≤ 1
3|x − 2| > 1
4 |x − 2| ≥ 1
Soluciones:
1|x − 2| < 1 x (1, 3)
2|x − 2| ≤ 1 −1 ≤ x −2 ≤ 11 ≤x ≤ 3
x [1, 3]
3|x − 2| > 1 −1 > x −2 > 1 1 > x > 3

15. x (−∞ , 1) (3, +∞)
4 |x − 2| ≥ 1 | x −2| ≥ 1 −1 ≥ x −2 ≥ 11 ≥ x ≥ 3
x (−∞ , 1] [3, +∞)
3 Opera:
4 Calcula:

16. 5 Racionalizar:
Ejercicios con Radicales y Solución
1Calc ula los valores de las siguientes potenc ias:
1
2
3
4

17. Solución
1
2
3
4
2Extraer factores:
1
2
Solución:
1
2
3 Introducir factores:
1
2
Solución
1
2

18. 4 Poner a común índice:
Soluciones:
5 Real iza las sumas:
1
2
3
4
Solución
1
2
3
4

19. 6Halla las sumas:
1
2
3
4
Soluciones:
1
2
3
4

20. 7 Efec túa las sumas:
1
2. 2
Soluciones:
1.
2

21. 8 Realizar los produc tos:
1
2
3
Soluciones:
1
2
3
9Efec túa las divisones de radic ales:
1
2
3
Soluciones:
1
2

22. 3
10Calc ula:
11Opera:
Solución

23. 12Realiza las operac iones c on potenc ias:
1
2
Soluciones:
1
2
13Realiza las operac iones:
1
2
3
4
Soluciones:
1

24. 2
3
4
14Calc ula:
1
2
Soluciones:
1
2
15Efec tuar:
1
2
3
Soluciones:
1
2
3

25. 16 Rac ionalizar los radic ales:
1
2
3
4
5
Soluciones:
1
2
3
4

26. 5
17Rac ionalizar:
1
2
3
4
5
Soluciones:
1
2

27. 3
4
5
EJERCICIO 3 Resolución de Problemas con Fraccionarios
1. Cuantos l itros de agua contiene un deposito de 400 l itros
que está ocupado en sus 3/5 partes?
a) 210 l itros b) 240 l itros c) 180 l itros d) 270 l itros
Solución

28.  Hay que calcular los 3/5 de 400
Contiene 3/5 400 3*400/5 240 l itros
2. Un depósito contiene 320 l itros de agua y esta l lenos las
dos tercera partes. Que capacidad tiene?
a) 600 l itros b) 540 l itros c) 480 l itros d) 320 l itros
Solución
 Los 2/3 del TOTAL son 320 l itros,
Luego el total es 320*3/2 480 l itros
3. María leyó la semana pasada la mitad de un l ibro y esta
semana le tercera parte, pero aun le faltan 30 páginas,
Cuantas páginas tiene el l ibro?
a. 120 páginas b.180 paginas c. 160 páginas d. 210 paginas
Solución
 1/2+1/3 igual a 5/6
Si ha leído las 5/6 partes le falta una sexta parte del TOTAL
son 30 páginas, luego el l ibro tiene 30*6 igual a 180
páginas.
4. Si un curso está compuesto por 23 hombres y 15 mujeres,
entonces cual es la fracción que representa el número de
hombres del curso?
a) 23/38 b) 15/38 c) 15/23 d) 23/15
Solución:
Debes real izar una suma de hombres y mujeres: 23+15
igual a 38. Entonces la fracción que representa el numero
de hombres del curso es :23/38

29. 5. Antonio demora 13/20 de hora en hacer una tarea y
Rodrigo 4/15 de hora en hacer la misma actividad. ¿Quién
se demora menos?
a) Demoran lo mismo b) Antonio c) Rodrigo d) Rodrigo demora más
Solución
Se observan sus denominadores en cada fracción y se
observa que el de menor denominador es Rodrigo, por lo
tanto quien se demora menos es RODRIGO.
EJERCICIOS DE REFUERZOS
1.Observa el siguiente tangram chino y responde a la pregunta: ¿qué
fracción, respecto del tangram, le corresponde a cada pieza?
Te daremos una pista:
1.Fíjate bien en los cuadrados en los que está dividido el tangram.
2. Por ejemplo, a la pieza A le corresponde 4
16
.
2. El siguiente dibujo se llama diagrama de Freudenthal y
lo vamos a utilizar para las dos actividades que vienen
a continuación.
Vamos a ver si
2
3
y
4
6
son equivalentes. Observa el siguiente proceso.
1.º Coloreamos
2
3
en el diagrama (gris oscuro).
2.º Ahora hacemos lo mismo con
4
6
(gris claro).

30. 3.º Trazamos una línea horizontal por 2
3
.
4.º Si la línea coincide con 4
6
, es que las fracciones son
equivalentes, como pasa en nuestro caso.
Utilizando el diagrama anterior, ¿sabrías decir si son equivalentes
1
2
y
6
12
? ¿Qué pasa con
2
3
y
7
12
?
3. Ahora lo utilizaremos para comparar fracciones.
¿Qué fracción es mayor, 2
3
ó 3
5
?
Procedemos como en el ejercicio anterior y nos damos cuenta
de que 2
3
es mayor que 3
5
.
Ahora tú: ¿ 3
4
es mayor que 5
6
? ¿ 3
4
es mayor que 5
7
?
4. Observa las partes que hemos coloreado en el rectángulo.
¿Sabrías decir cuál de los círculos tiene coloreada la misma parte que el rectángulo?
¿Qué fracción representa esa parte?
ACTIVIDADES CON FRACCIONARIOS
1. Teniendo en cuenta la prioridad de las operaciones y simplificando siempre que sea posible, calcula:



2
3
11
2
:
5


 
    
1
7
3
1
3
a) 

    






  


8
8
2
2
9
8
12
5
4
3
1
4
1
b)
3
7
:
4

7
8
4
  
2
1
1

  
3
1
6
5
2
5
3
3








 


31. 2. Ana pesa 4
3
del peso de Blanca, y Blanca, 7
9
del de Carmen. ¿Cuál de las tres pesa más?
3. Un grifo llena un depósito en 5 horas, y otro, en 3 horas. ¿Cuánto tardarán en llenar el depósito si se
abren los dos grifos a la vez?
4. Un pintor tarda 6 horas en pintar una pared; otro pintor, 5 horas, y un tercero, 4 horas. ¿Cuánto tardarán
en pintar la pared los tres a la vez?
5. María gasta 2
5
de su dinero en comprar un pantalón y 1
3
de lo que le queda en un libro. Al final le quedan
52 €. ¿Qué dinero tenía inicialmente?
6. Queremos plantar 300 árboles en un huerto. Un cuarto van a ser naranjos; del resto, 2
9
serán limoneros,
y los demás, ciruelos. Plantar cada naranjo cuesta 5 €; cada limonero, 6 €, y cada ciruelo, 4 €. Calcula el
coste total.
7. Tenemos cuatro pizzas redondas iguales. De la primera, un quinto que queda se corta en 3 porciones
iguales. De la segunda, un sexto que queda se corta en 2 porciones iguales. De la tercera, dos séptimos se
cortan en 4 porciones iguales. Y de la última, un tercio se corta en 5 porciones iguales. ¿De qué pizza
deberemos tomar un trozo si queremos coger una de las porciones más grandes?
8. El denominador de una fracción es el triple del numerador. Calcula su fracción irreducible.
9. Javier le dice a Gonzalo que en su clase, de 28 alumnos, 3
7
han suspendido Lengua, y de estos,
2
5
son
chicas. Gonzalo cree que eso no es posible. ¿Podrías explicar por qué?
10. ¿Cómo repartirías 21 vasos de agua entre tres personas, sabiendo que 7 están llenos, 7 medio llenos y 7
vacíos, de tal manera que cada una reciba la misma cantidad de agua y el mismo número de vasos.
Si la capacidad de cada vaso es de
1
4
de litro, ¿qué fracción de litro recibe cada una?
11. Si los dos quintos de un recorrido son 840 metros, ¿cuántos metros son los tres cuartos?

32. AUTOEVALUACION 1
Elige la propiedad de las operaciones con números reales que se
aplica en cada caso:
11.1
Propiedad dist ribut iva de la suma.
Propiedad asoc iat iva de la suma.
Propiedad c onmutat iva de la suma.
2
Propiedad c onmutat iva del produc to.
Propiedad dist ribut iva de la suma respec to del produc to.
Propiedad dist ribut iva del produc to respec to de la suma.

33. 3
El neut ro de un neut ro es el mismo número de part ida.
El opuesto de un opuesto es el mismo número de part ida.
El opuesto de un opuesto es el mismo número opuesto.
4
Propiedad asoc iat iva de la resta.
La suma de un número y su opuesto es el elemento nulo.
La suma de un número y su inverso es el elemento nulo.
55
Propiedad c onmutat iva del produc to.
Propiedad dist ribut iva del produc to.
Elemento neut ro del produc to.
6
Elemento neut ro del produc to.
Propiedad neut ra de los números reales.
Ninguna de las respuestas anteriores es c orrec ta.

34. 7
Todo número mult iplic ado por su inverso es igual a la unidad.
Todo número mult iplic ado por su neut ro es igual a la unidad.
Ninguna de las respuestas anteriores es c orrec ta.
8
Propiedad interior de la suma de números reales
Propiedad interna de la suma de números reales.
Las dos respuestas anteriores son c orrec tas
AUTOEVALUACION 2
Señala en cada caso el número real al que corresponde la
representación gráfica dada. Observa el punto gris.
1.
1

35. 2.
2
3.
3
4.

36. 4
AUTOEVALUACION 3
1. En un aparcamiento hay 380 coches, de los que 3/10 son
blancos. Cuantos coches blancos hay?
Coches blancos
2. Un kilo de chuletas cuesta 13,80Euros Cuánto
cuestan tres cuartos de kilo?
3. En un colegio hay 845 alumnos. Si dos quintos de los
alumnos han pasado la gripe, ¿Cuántos han pasado la
gripe?
Alumnos

37. 4. Un queso pesa2.170 gramos y tiene 5/ de materia
grasa. Cuantos gramos de grasa contiene el queso?
gramos
5. Alberto se ha gastado 3/5 de su paga en cine. La entrada le
ha costado 3,6 euros. Cuanto le dan de paga?
euros
6. Tres cuartos de ki los de salmón han costado 9 euros. A como
está el ki lo?
euros
7. Una tarta l leva 3/10 de su peso en azúcar. Sabiendo que han
empleado 450 gramos de azúcar, cuánto pesa la tarta?
Gramos
8. En un colegio, 338 alumnos han pasado la gripe, lo que
supone dos quintas partes del total . Cuantos alumnos y
alumnas t iene el colegio?
Alumnos

38. WEBIOGRAFIA
ht tp://www.vi tutor.com/di/re /r3.html
ht tp://aulavirtual .tecnologicocomfenalcovi rtual .edu. co/aulavi rtual/o
vas/matemat icas/unidad1-2/math-unidad2-reales-topic2.html
ht tp://es.sl ideshare.net/SARA_G_B/f racciones -3problemas
ht tp://ova.colmayorbol ivar.edu.co/mod/url/view.php?id=196
ht tp://es.sl ideshare.net/maopi tagor/problemas -conracionales

39. ht tp://www.disfrutalasmatemat icas.com/ejerci cios/decimales.php
ht tp://www.sectormatemat ica.cl/Sudoku/sudoku.htm
ht tp://mismat .wordpress.com/4%C2%BA-eso/eso/1o-eso/u4-
fracciones/
ht tp://www.amolasmates.es/cuarto_eso/temas4eso_1.html
ht tp://platea.pnt ic.mec.es/j fgarcia/edi torialsm.html
ht tp://es.sl ideshare.net/10-02/tal ler-de-algori tmos-8829883
algori tmos
ht tp://wmatem.eis.uva.es/~matpag/PROBLEMAS/puente/total.htm ingeneira