Este documento define y explica los conceptos básicos de las matrices, incluyendo su historia, definición, tipos (fila, columna, rectangular, triangular), operaciones (suma, resta, multiplicación por escalar, multiplicación), propiedades (asociatividad, conmutatividad, distribución), determinantes, matrices traspuestas e inversas, y matrices simétricas. También proporciona ejemplos ilustrativos de cada uno de estos conceptos.
2. MATRICES
RESEÑA HISTORICA
Las matrices aparecen por primera vez hacia el año 1850, introducidas por J.J.
Sylvester.El desarrollo inicial de la teoría se debe al matemático W.R. Hamilton en
1853.En 1858, A. Cayley introduce la notación matricial como una forma abreviada de
escribir un sistema de m ecuaciones lineales con n incógnitas.
DEFINICION
Una matriz es un conjunto de elementos de cualquier naturaleza aunque, en general,
suelen ser números ordenados en filas y columnas.
Se llama matriz de orden "m × n" a un conjunto rectangular de elementos aij
dispuestos en m filas y en n columnas. El orden de una matriz también se denomina
dimensión o tamaño, siendo m y n números naturales.
Las matrices se denotan con letras mayúsculas: A, B, C, y los elementos de las mismas
con letras minúsculas y subíndices que indican el lugar ocupado: a, b, c. Un elemento
genérico que ocupe la fila i y la columna j se escribe aij . Si el elemento genérico
aparece entre paréntesis también representa a toda la matriz: A = (aij)
Cuando nos referimos indistintamente a filas o columnas hablamos de líneas.
El número total de elementos de una matriz Am×n es mXn
En matemáticas, tanto las Listas como las Tablas reciben el nombre genérico de
matrices. Una lista numérica es un conjunto de números dispuestos uno a continuación
del otro.
TIPOS DE MATRICES
FILA: Aquella matriz que tiene una sola fila, siendo su orden 1×n.
Ejemplo:
3. COLUMNA: Aquella matriz que tiene una sola columna, siendo su orden
m×1.
Ejemplo:
RECTANGULAR: Aquella matriz que tiene distinto número de filas que de
columnas, siendo su orden m×n, siendo m diferente de n.
Ejemplo:
MATRIZ TRIANGULAR: Una matriz triangular es un tipo especial de
matriz cuadrada cuyos elementos por encima o por debajo de su
diagonal principal son cero. Debido a que los sistemas de ecuaciones
lineales con matrices triangulares son mucho más fáciles de resolver, las
matrices triangulares son utilizadas en análisis numérico para resolver
sistemas de ecuaciones lineales, calcular inversas y determinantes de
matrices. El método de descomposición LU permite descomponer
cualquier matriz invertible como producto de una matriz triangular
inferior L y una superior U.
Una matriz cuadrada de orden n se dice que es triangular superior si es
de la forma:
Se dice que es una matriz triangular inferior.
4. Se suelen emplear las letras U y L, respectivamente, ya que U es la inicial de "upper
triangular matrix" y L de "lower triangular matrix", los nombres que reciben estas
matrices en inglés.
Ejemplos:
Matriz Triangular Inferior
Matriz Triangular Superior
DETERMINANTE DE UNA MATRIZ:
El determinante es una función que le asigna a una matriz de orden n, un
único número real llamado el determinante de la matriz. Si A es una matriz
de orden n se llama determinante de A, y se representa por |A| ó det(A)
Definición 1: Determinante de una matriz de orden 1
Si A=(a) es una matriz de orden uno, entonces det(A)=a.
Definición 2: Menores y cofactores de una matriz de orden n
5. Sea A una matriz de orden n>=2, definimos el menor Mij asociado al
elemento aij de A como el determinante de la matriz que se obtiene al
eliminar la fila i y la columna j de la matriz A. El cofactor cij asociado al
elemento aij de A esta dado por cij=(-1)i+j Mij.
Definición 3: Determinante de una matriz de orden superior
Si A es una matriz de orden n>=2, entonces el determinante de la matriz
A es la suma de los elementos de la primera fila de A multiplicados por
sus respectivos cofactores.
Regla de Sarrus: solo se puede utilizar para matrices de orden 3.
La regla de sarros consiste en un esquema gráfico para los productos
positivos y otro para los negativos:
Teorema 1: Sea A una matriz de orden n, entonces el determinante de A
esta dado por
Desarrollo del i-ésimo renglón
Desarrollo del j-ésima columna
MATRIZ TRANSPUESTA: Dada una matriz de orden m x n, A = (aij), se llama
matriz traspuesta de A, y se representa por At, a la matriz que se obtiene
cambiando las filas por las columnas (o viceversa) en la matriz A.Es
decir:
6. Propiedades de la trasposición de matrices:
1ª.- Dada una matriz A, siempre existe su traspuesta y además es única.
2ª.- La traspuesta de la matriz traspuesta de A es A. a (At)t = A.
Ejemplo:
MATRIZ INVERSA: Decimos que una matriz cuadrada A tiene inversa,
A-1, si se verifica que :
A·A-1 = A-1·A = 1
Ejemplo:
PROPIEDADES:
1ª. A-1·A = A·A-1= I
2ª. (A·B)-1 = B-1·A-1
3ª. (A-1)-1 = A
4ª. (kA)-1 = (1/k) · A-1
5ª. (At) –1 = (A-1) t
OPERACIONES CON MATRICES :
Suma de matrices: A= (aij), B= (bij) de la misma dimensión, es
otra matriz S= (sij) de la misma dimensión que los sumandos y
7. con término genérico sij=aij+bij. Por tanto, para poder sumar
dos matrices estas han de tener la misma dimensión.
La suma de las matrices A y B se denota por A+B.
La diferencia de matrices A y B se representa por A–B, y se
define como: A–B = A + (–B).
PROPIEDADES DE LA SUMA DE MATRICES:
1ª. A + (B + C) = (A + B) + C Propiedad Asociativa
2ª. A + B = B + A Propiedad Conmutativa
3ª. A + 0 = A (0 es la matriz nula) Matriz Nula
4ª. La matriz –A, que se obtiene cambiando de signo todos los
elementos de A, recibe el nombre de matriz opuesta de A, ya que A + (–
A) = 0.
Ejemplos:
1.
2.
Producto de una matriz por un escalar: El producto de la matriz
A por el número real k se designa por k·A. Al número real k se le
llama también escalar, y a este producto, producto de escalares
por matrices.
PROPIEDADES:
1ª. k (A + B) = k A + k B Propiedad distributiva
2ª. k [h A] = (k h) A Propiedad Asociada Mixta
3ª. 1 · A = A · 1 = A Elemento unidad
Multiplicación de dos matrices: “Para multiplicar dos matrices A
y B, en este orden, A·B, es condición indispensable que el numero
de columnas de A sea igual al número de filas de B”.
Si no se cumple esta condición, el producto A·B no puede
realizarse, de modo que esta es una condición que debemos
8. comprobar previamente a la propia multiplicación. Una vez
comprobado que el producto A·B se puede realizar, si A es una
matriz m x n y B es una matriz n x p (observemos que el nº de
columnas de A = n = nº de filas de B), entonces el producto A·B
da como resultado una matriz C de tamaño n x p del siguiente
modo: “El elemento que se encuentra en la fila i y la columna j de
la matriz C=A·B, se obtiene multiplicando los elementos de la fila
i de A por la columna j de B y sumando los resultados”
PROPIEDADES DE LA MULTIPLICACIÓN DE MATRICES:
1ª. A·(B·C) = (A·B)·C Propiedad asociativa
2ª. Si A es una matriz cuadrada de orden n se tiene A·In = In·A = A
3ª. Dada una matriz cuadrada A de orden n, no siempre existe otra matriz B
tal que A·B = B·A = In. Si existe dicha matriz B, se dice que es la matriz
inversa de A y se representa por A–1.
4ª. El producto de matrices es distributivo respecto de la suma de matrices,
es decir: A·(B + C) = A·B + A·C
5ª. (A+B)2 no es = A2 + B2 +2AB, ya que A · B no es B · A
6ª. (A+B) · (A–B) no es = A2 – B2, ya que A · B no es B · A
Ejemplo:
MATRIZ SIMETRICA: Una matriz de nxm elementos:
9. Es simétrica, si es una matriz cuadrada (m = n) y aij = aji para todo i, j =1,2,3,4,...,n.
Nótese que la simetría es respecto a la diagonal principal y que A es también, la matriz
traspuesta de sí misma: At = A.
La matriz simétrica es una matriz cuadrada que es igual a su traspuesta.
BIBLIOGRAFÍA
http://es.wikipedia.org/wiki/Matriz_(matem%C3%A1tica)
http://thales.cica.es/rd/Recursos/rd99/ed99-0289-02/ed99-0289-
02.html
http://docencia.udea.edu.co/GeometriaVectorial/uni2/seccion21.html
http://descartes.cnice.mec.es/materiales_didacticos/matrices/matrices
_operaciones_II.htm
http://personal.redestb.es/ztt/tem/t6_matrices.htm
http://www.vadenumeros.es/segundo/matriz-inversa-ecuaciones.htm
