matrices y determinantes

Matrices y
Determinantes
Esta presentación de los es elaborado por los alumnos :
NUÑEZ MONTERO , Zósimo
CHUMBES TAIPE , Elber
CARBAJAL OLIVARES, Natali

Concepto de matriz. Igualdad de matrices
Se llama matriz a una disposición rectangular de números reales, a los
cuales se les denomina elementos de la matriz. Cada elemento tiene dos
subíndices, el primero indica la fila y el segundo la columna
Dos matrices son iguales cuando tienen la misma dimensión y los
elementos que ocupan la misma posición en cada una de ellas son iguales.

Definición de matriz
Se llama matriz de orden m×n a todo conjunto rectangular de
elementos aij dispuestos en m líneas horizontales (filas) y n verticales
(columnas) de la forma
 Abreviadamente suele expresarse en la forma A =(aij), con i =1,
2, ..., m, j =1, 2, ..., n. Los subíndices indican la posición del
elemento dentro de la matriz, el primero denota la fila ( i ) y el
segundo la columna ( j ). Por ejemplo el elemento a25 será el
elemento de la fila 2 y columna 5.
 El orden es el número de filas y columnas que tiene la matriz,
se representa por m x n.
















nnnnn
n
n
n
aaaa
aaaa
aaaa
aaaa





321
3333231
2232221
1131211
A = (ai,j)=

Matriz: Ejemplo
 Juan, Ana y Elena han ido a una tienda y han comprado lo siguiente:
1.Juan compró dos bocadillos, un refresco y un pastel.
2. Ana se llevó un bocadillo, un refresco y un pastel.
3. Elena compró un bocadillo y un refresco.
Estos datos se pueden
agrupar en una matriz
2 1 1
1 1 1
1 1 0











OPERACIÓN DE
MATRICES
Trasposición de
matrices
Suma y diferencia de matrices
Producto de una matriz por un número
Producto de matrices
Propiedades simplificarías
Matrices invertibles

1.- Trasposición de matrices
Dada una matriz de orden m x n, A = (aij), se llama matriz
traspuesta de A, y se representa por At, a la matriz que se
obtiene cambiando las filas por las columnas (o viceversa) en la
matriz A.
Es decir:
Propiedades de la trasposición de matrices:
1ª.- Dada una matriz A, siempre existe su traspuesta y
además es única.
2ª.- La traspuesta de la matriz traspuesta de A es A. a
(At)t = A.

Operaciones con
matrices II
La suma de dos matrices A=(aij), B=(bij) de la misma
dimensión, es otra matriz
S=(sij) de la misma dimensión que los sumandos y con término
genérico S = (aij + bij).
La suma de las matrices A y B se denota por A+B.
Ejemplo
Sin embargo, no se
pueden sumar
Por tanto, para poder sumar dos matrices estas han de tener la misma
dimensión.
La diferencia de matrices A y B se representa por A–B,
y se define como la suma de A con la opuesta de B : A–B =
A + (–B)

Propiedades de la adición de matrices
Sean A, B y C tres matrices del mismo orden
Asociativa: A + (B + C) = (A + B) + C
Conmutativa: A + B = B + A
Elemento neutro: A + 0 = 0 + A = A donde 0 es la
matriz nula.
• Elemento opuesto: A + (– A) = (– A) +
A = 0
La matriz –A (opuesta) se obtiene cambiando
de signo los elementos de A.

Operaciones con matrices III
3.- Producto de un número por una matriz
Para multiplicar un número real por una matriz, se
multiplican cada uno de los elementos de la matriz por
dicho número.
Si A = (aij), entonces kA =
(kaij)

Operaciones con matrices IV
4.- Producto de matrices
Dadas dos matrices A y B, su producto es otra matriz P cuyos
elementos se obtienen multiplicando las filas de A por las
columnas de B (por lo que deben coincidir estas). De manera más
formal, los elementos de P son de la forma:
Pij =  aik · bkj con k=1,….n
Es evidente que el número de columnas de A debe
coincidir con el número de filas de B. Es más, si A
tiene dimensión m x n y B dimensión n x p, la matriz P
será de orden m x p,
Ejemplos: no se pueden multiplicar

¿Cuándo es posible el producto de matrices?
Posible columnas
(aij)m,n
. (bij)n,p = (cij)m
,p
El producto de matrices es posible cuando
coincide el número de columnas de una
matriz con el número de filas de la otra
matriz.

Propiedades de la matriz inversa
I. Si las matrices A y B son inversibles (A . B)–1 = B–1 . A–1
II. Si A es una matriz inversible y k  0, (k . A)–1 = (1/k) . A–1
III. Si A es una matriz inversible, (A–1)–1 = A
IV. La matriz unidad es inversible y además I–1 = I
V. Si A es una matriz inversible, (A–1)t = (At)–1
Dada una matriz cuadrada A de orden n, no siempre
existe otra matriz B tal que A·B = B·A = In. Si existe
dicha matriz B, se dice que es la matriz inversa de A y se
representa por A-1
Una matriz cuadrada que posee inversa se dice que es inversible o
regular; en caso contrario recibe el nombre de singular.
Inversa de una matriz, Matrices inversibles
Operaciones con matrices V

Inversa de una matriz (directamente)
Si A es una matriz cuadrada, se dice que B es la inversa de A si A . B = B . A = I, siendo
la matriz unidad. La matriz inversa se representa por A–1.
Ejemplo:Dada A =







2–1
1 1 para obtener A
-1
=







x y
z t se ha de cumplir








2 –1
1 1
.








x y
z t =








1 0
0 1








2x– z 2y– t
x + z y + t =








1 0
0 1

2x – z = 1
x + z = 0
2y – t = 0
y + t = 1

x = 1/3
y = 1/3
z = –1/3
t = 2/3
Por tanto A-1
=







1
3
1
3
– 1
3
2
3











 211
112
011












220
110
011
F2 – 2F1 g F2
F1 + F3 g F3



































220
110
011
211
112
011
101
012
001
Esta transformación es equivalente a la siguiente multiplicación:
Cálculo de la Matriz Inversa por el método
de Gauss – Jordan I
En consecuencia al transformar (A I In) en (In I B)
realmente lo que estamos haciendo son las
siguientes multiplicaciones:
A-1·A= In y A-1 · In = A-1=B

Ejemplos rango de una matriz escalonada







2 0 –1 1
0 1 1 0
0 0 1 1
La matriz A = tiene rango 3.









 
0000
0110
1102









 
1000
0100
1102










0000
0200
1120










0000
0000
1000

Dada una matriz cuadrada
se llama determinante de A, y se representa por |A| ó det(A), al número:
con
(Sn es el grupo de las permutaciones del conjunto {1, 2,.. n }, e i (s) es la
signatura de la permutación)
Determinantes
Definición: Se llama determinante de A al número que se obtiene mediante la suma de
los productos de un elemento de cada fila y columna precedidos del signo + o – según la
paridad de la permutación que indican sus filas y columnas.

Regla de Sarrus
La regla de Sarrus permite recordar gráficamente los productos que aparecen en la
expresión del determinante de orden 2 y 3 y sus signos. Los elementos de la diagonal
principal y sus paralelas, con su signo y los de la diagonal secundaria y sus paralelas
cambiadas de signo.

Aplicaciones a la regla de Sarrus
24 – 12 – 10 + 4 – 9 + 80 = 77
det(A) = 3 . (–2) . (–4) + 4 . (–3) . 1 + 5 . (–1) . 2 – [1 . (–2) . 2 + (–1) . (–3) . 3 + 5 . 4 . (–4)] =
El determinante de la matriz A=











3 5 1
4 –2 –1
2 –3 –4
es

• Se añaden a la matriz anterior todas las filas y
columnas posibles para formar matrices de
orden 4.
• Se añaden a la matriz anterior todas las filas y
columnas posibles para formar matrices de
orden 3.
• Si el determinante de alguna matriz cuadrada
de orden tres es distinto de cero rang(A)  3.
• Si el determinante de alguna matriz cuadrada de
orden dos es distinto de cero rang(A)  2.
En caso contrario rang(A) = 1
• Si el determinante de alguna matriz cuadrada de
orden cuatro es distinto de cero rang(A)  4.
Y así hasta que no sea posible continuar
• El rango de la matriz nula es 0.
• Si la matriz A no es nula rang(A)  1.
Algoritmo para el cálculo del rango de una matriz

• El determinante de una matriz se obtiene sumando los productos de los elementos de
una fila o columna por sus adjuntos.
• El método de Gauss consiste en, utilizando las propiedades anteriores, anular todos los
elementos de una fila o columna excepto uno llamado pivote, y que interesa que valga
1 ó –1, para simplificar los cálculos.
• 2ª fila por (–3) + 1ª fila
desarrollo por
1ª columna
• 1ª fila por 1 + 3ª
fila
desarrollo por
1ª columna
–18
Cálculo de determinantes por el método de Gaus
Ejemplo:
3 5 – 2 6
1 2 – 1 1
2 4 1 5
3 7 5 3
=
0 – 1 1 3
1 2 –1 1
0 0 3 3
0 1 8 0
= –1
.
– 1 1 3
0 3 3
1 8 0
=–1
.
– 1 1 3
0 3 3
0 9 3
=
= (–1)
.
(–1)
3 3
9 3 =

matrices y determinantes

Recomendados

Recomendados

Más contenido relacionado

La actualidad más candente

La actualidad más candente (20)

Similar a matrices y determinantes

Similar a matrices y determinantes (20)

Último

Último (10)

matrices y determinantes