Apuntes acustica

Introducci´ n a los Conceptos
o
´
Fundamentales de la Acustica

III
Jos´ Dami´ n Mellado Ram´rez
e a ı
Marcos Vera Coello

28/9/2005

´
Indice

1. Propagaci´ n de las ondas sonoras
o 1
1.1. Definici´ n. Tipos de ondas . . . . . . . . . . . . . .
o . . . . . . . . . . . . 1
1.2. La ecuaci´ n de ondas . . . . . . . . . . . . . . . . .
o . . . . . . . . . . . . 3
1.3. Ondas ac´ sticas tridimensionales . . . . . . . . . . .
u . . . . . . . . . . . . 6
1.4. Amortiguaci´ n del sonido en una y tres dimensiones
o . . . . . . . . . . . . 6
1.5. Ejercicios y cuestiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

2. Soluciones de la ecuaci´ n de ondas
o 8
2.1. Ondas arm´ nicas planas . . . . . . . . . . . . . . . . .
o . . . . . . . . . . 8
2.1.1. Impedancia ac´ stica . . . . . . . . . . . . . . .
u . . . . . . . . . . 9
2.1.2. Intensidad ac´ stica . . . . . . . . . . . . . . . .
u . . . . . . . . . . 9
2.2. Ondas esf´ ricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
e . . . . . . . . . . 9
2.2.1. Impedancia ac´ stica . . . . . . . . . . . . . . .
u . . . . . . . . . . 10
2.2.2. Intensidad ac´ stica . . . . . . . . . . . . . . . .
u . . . . . . . . . . 11
2.3. Suma de sonidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2.4. Ac´ stica geom´ trica: ondas y rayos . . . . . . . . . . .
u e . . . . . . . . . . 12
2.4.1. Introducci´ n . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
o . . . . . . . . . . 12
2.4.2. Ecuaci´ n fundamental de la ac´ stica geom´ trica
o u e . . . . . . . . . . 12
2.4.3. La ley de Snell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2.5. Transmisi´ n y reflexi´ n de las ondas ac´ sticas . . . . . .
o o u . . . . . . . . . . 16
2.5.1. Coeficientes de transmisi´ n y reflexi´ n . . . . .
o o . . . . . . . . . . 16
2.5.2. Incidencia normal en un fluido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.5.3. Incidencia oblicua en un fluido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2.6. Absorci´ n de las ondas sonoras . . . . . . . . . . . . . .
o . . . . . . . . . . 19

3. An´ lisis en frecuencia
a 21
3.1. Superposici´ n de soluciones . . . . . . . . .
o . . . . . . . . . . . . . . . . 21
3.2. Descomposici´ n en arm´ nicos . . . . . . . .
o o . . . . . . . . . . . . . . . . 21
3.3. Funciones peri´ dicas y desarrollo de Fourier .
o . . . . . . . . . . . . . . . . 22
3.4. Espectro continuo. Transformada de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
3.5. Teorema de Parseval y espectro de frecuencias . . . . . . . . . . . . . . . . 24

I

´
INDICE II

4. Modelos de Fuentes sonoras 26
4.1. Modelo de esfera pulsante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
4.2. Fuente lineal sonora . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
4.3. Pist´ n pulsante . . . . . .
o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
4.4. Factor de directividad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

5. Sumario de t´ rminos
e 30
5.1. Velocidad del sonido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
5.2. Frecuencia, peródo, longitud de onda y tonos puros
ı . . . . . . . . . . . . . 30
5.3. Presi´ n sonora . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
o . . . . . . . . . . . . . 31
5.4. Velocidad de las partćulas fluidas . . . . . . . . .
ı . . . . . . . . . . . . . 31
5.5. Intensidad, potencia y densidad de energá sonora .
ı . . . . . . . . . . . . . 32
5.6. Factor de directividad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
5.7. El decibelio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
5.8. Adici´ n de niveles de ruido . . . . . . . . . . . . .
o . . . . . . . . . . . . . 35
5.9. Sonoridad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

Referencias 37

Cap´tulo 1
ı

Propagaci´ n de las ondas sonoras
o

1.1. Definici´ n. Tipos de ondas
o
Una onda es una perturbaci´ n de una magnitud f´sica que se propaga en el espacio y
o ı
en el tiempo. Matem´ ticamente se expresa como una funci´ n de la posici´ n y del tiempo,
a o o
pudiendo corresponder a magnitudes tan dispares como la altura de una ola de agua, los
impulsos el´ ctricos que rigen los latidos del coraz´ n, o incluso la probabilidad de encontrar
e o
una partćula en mec´ nica cu´ ntica. Otro ejemplo de ondas son las ondas el´ sticas (longitu-
ı a a a
dinales o transversales) que aparecen en los s´ lidos. Nosotros nos centraremos aqu´ en las
o ı
ondas de presi´ n correspondientes a las ondas sonoras. En este caso, la funci´ n representa
o o
las perturbaciones de presi´ n que se propagan en el seno de un fluido formando lo que se
o
´
conoce como campo acustico.
Veamos qu´ caracter´sticas debe tener una funci´ n del espacio y del tiempo, que en prin-
e ı o
cipio no tiene por qu´ propagar informaci´ n, para que represente efectivamente una onda
e o
que se propaga.
Empecemos por el caso mas sencillo. Imaginemos una funci´ n que, en lugar de depender
o
de la posici´ n y del tiempo por separado, lo hace a trav´ s de la combinaci´ n ψ = x − at,
o e o
esto es
f (x, t) = g(x − at) = g(ψ).
donde c es una constante y la funci´ n g(ψ) puede ser todo lo general que queramos. Pues
o
bien, para cada valor de ψ existe un unico valor de g (en nuestro caso tendrámos un valor
´ ı
de la presi´ n). Sin embargo, a cada valor de ψ no le corresponden unos valores de t y x
o
determinados un´vocamente, sino todos los que cumplan x − at = ψ. De este modo, un
ı
cierto valor de g(ψ) va a repetirse (propagarse) en el tiempo y el espacio.
Analicemos con un poco m´ s de detalle en qu´ consiste en este caso la propagaci´ n.
a e o
Recordemos que g se mantiene constante si ψ permanece constante, y esto ocurre sobre la
recta x − at = cte. Desplazarse sobre esta recta una distancia ∆x supone esperar un tiempo
∆x = a∆t, pues de no ser as´ dejarámos de estar sobre la recta. Conforme pasa el tiempo,
ı ı
permanecer en la recta supone moverse a velocidad a, en cuyo caso g es una constante. Esto
es, un valor dado de g se propaga a velocidad a. Este es el sentido de la propagaci´ n de las
o
funciones de la forma g(x − at). A las funciones de esta forma se las llama ondas.

1

´ ´
CAPITULO 1. PROPAGACION DE LAS ONDAS SONORAS 2

De manera similar, tambi´ n se les puede llamar ondas a funciones de la forma f (x, t) =
e
A(x, t)g(x−a(x, t)t), porque el valor de f se propaga. La diferencia respecto al caso anterior
es que la onda se deforma debido a que los coeﬁcientes A(x, t) y a(x, t), que representan re-
spectivamente la amplitud de la onda y la velocidad de propagaci´ n, ya no son constantes.
o
El criterio para poder llamar onda a un proceso f´sico se hace un poco difuso a medida que
ı
A(x, t) y a(x, t) empiezan a depender fuertemente de la posici´ n y del tiempo.1
o
Como ejercicio, se recomienda al alumno que dibuje en funci´ n de la distancia y para
o
varios instantes de tiempo una magnitud arbitraria que represente una onda en el sentido
arriba explicado.

f(x-ct)

1

0.5

0

10

5 10
x
5
t

Figura 1.1: Onda viajera que no se deforma.

A(x,t)f(x-c(x,t)t)

1.5
1
0.5
0

10

5 10
x
5
t

Figura 1.2: Onda viajera que se deforma.

1
En estas notas consideraremos unicamente ondas cuya velocidad es independiente de la longitud de onda,
´
conocidas como ondas no dispersivas. Por el contrario, las ondas cuya velocidad var´a con la longitud de onda
ı
se denominan dispersivas.

´ ´

1.2. La ecuaci´ n de ondas
o
Para derivar la ecuaci´ n que gobierna la propagaci´ n de las ondas tomaremos aqu´ el
o o ı
ejemplo m´ s sencillo: la propagaci´ n del sonido en una dimensi´ n. Vamos a ocuparnos
a o o
aqu´ de la propagaci´ n en gases, pues la derivaci´ n para l´quidos y s´ lidos es completamente
ı o o ı o
an´ loga. En resumidas cuentas, la f´sica del fen´ meno de las ondas sonoras comprende tres
a ı o
procesos:2

1. El gas se mueve y vará la densidad.
ı

2. La variaci´ n de densidad provoca variaciones de presi´ n.
o o

3. Las variaciones de presi´ n generan movimientos en el gas, y volvemos al punto 1.
o

Consideremos primero el punto 2 relacionando las variaciones de densidad con las de
presi´ n. Antes de que llegue la onda, tenemos equilibrio a una presi´ n p0 y una densidad
o o
ρ0 . En general, la presi´ n p del gas est´ ligada con la densidad por una relaci´ n del tipo
o a o
p = f (ρ) y, en particular, la presi´ n p0 de equilibrio est´ dada por p0 = f (ρ0 ). En el caso del
o a
sonido, las variaciones de presi´ n, p ′ = p − p0 , y de densidad, ρ′ = ρ − ρ0 , respecto a los
o
valores de equilibrio son extremadamente peque˜ as.3 Podemos entonces desarrollar en serie
n
de Taylor las variaciones de presi´ n en funci´ n de las variaciones de densidad y quedarnos
o o
con el primer t´ rmino del desarrollo:
e

∂p
p′ = ρ′ (1.1)
∂ρ 0

Como establece el principio de estado de la termodin´ mica [6], cualquier variable termodin´ -
a a
mica de un sistema simple compresible (en nuestro caso un gas) puede determinarse como
funci´ n de dos propiedades termodin´ micas independientes. La relaci´ n anterior será en-
o a o ı
tonces incorrecta, pues faltará sumar la derivada de la presi´ n respecto a una segunda vari-
ı o
able multiplicada por las variaciones de dicha variable. Sin embargo, realizando estimaciones
de ordenes de magnitud se puede demostrar que en una onda sonora el tiempo en que una
´
cierta porci´ n de aire se comprime, y por lo tanto se eleva su presi´ n y temperatura, es mu-
o o
cho m´ s corto que el tiempo que tardará esa porci´ n de aire en transmitir calor por difusi´ n
a ı o o
a otras regiones vecinas menos comprimidas y por tanto mas frás. Esto quiere decir que el
ı
proceso de compresi´ n es tan r´ pido que no ha tenido tiempo de ceder ni recibir calor de los
o a
alrededores, lo que nos permite suponer que los procesos de compresi´ n y expansi´ n del gas
o o
2
La derivaci´ n de la ecuaci´ n de ondas que se presenta aqu´ se basa en la discusi´ n sobre las ondas sonoras
o o ı o
que realiza Feynman [3, Cap. 47].
3
Para el o´do humano, el umbral de sonido, por debajo del cual no se percibe sonido alguno, corresponde a
ı
perturbaciones de presi´ n, p ′ = p − p0 , del orden de p ′ /p0 ∼ 10−10 , mientras que perturbaciones tales que
o
p ′ /p0 ∼ 10−1 corresponden al umbral de dolor. En ambos casos, las variaciones de presi´ n son mucho m´ s
o a
peque˜ as que la propia presi´ n, es decir, p ′ /p0 ≪ 1. (Una discusi´ n m´ s detallada de las escalas espaciales y
n o o a
temporales y del orden de magnitud de las perturbaciones que aparecen en las ondas sonoras puede encontrarse
en el libro de Barrero y P´ rez-Saborid [4, Cap. 11].)
e

´ ´

ξ(x, t)

Volumen Nuevo
Original Volumen

x x + ∆x x + ξ(x, t) x + ∆x + ξ(x + ∆x, t)

ξ(x + ∆x, t)

Figura 1.3: El desplazamiento del gas en x es ξ(x, t), y en x + ∆x es ξ(x + ∆x, t). El
volumen original de aire para un area unitaria de la onda plana es ∆x; el nuevo volumen es
´
∆x + ξ(x + ∆x, t) − ξ(x, t).

en la propagaci´ n de las ondas sonoras suceden de manera adiab´ tica. La adiabaticidad es
o a
muy importante porque implica que se conserva la entropá, de manera que si escribimos la
ı
presi´ n en funci´ n de la densidad y la entropá, p = p(ρ, s), la variaci´ n de la densidad se
o o ı o
produce a entropá constante y podemos despreciar el t´ rmino que falta en la ecuaci´ n (1.1).
ı e o
Consideremos a continuaci´ n el punto 1 para tratar de relacionar los desplazamientos del
o
gas respecto a su posici´ n inicial de equilibrio con las variaciones de densidad ocasionadas.
o
Supondremos que x es la posici´ n de equilibrio de una partćula fluida, es decir la posici´ n
o ı o
que tená dicha porci´ n de fluido antes de que ninguna onda pasara por all´; esta es la posi-
ı o ı
ci´ n a la que regresar´ la partćula despu´ s de que pasen las ondas.4 Como comentamos m´ s
o a ı e a
arriba, nos centraremos en el caso de propagaci´ n de ondas unidimensionales y cuando es-
o
cribamos alguna relaci´ n entenderemos que estamos hablando de magnitudes por unidad de
o
area de la onda plana. Vamos a llamar ξ(x, t) al desplazamiento en tiempo t debido al sonido
´
de la partćula fluida respecto de su posici´ n de equilibrio, x; n´ tese que debido a la peque˜ a
ı o o n
intensidad de las ondas de presi´ n, este desplazamiento va a ser muy peque˜ o. La cantidad
o n
de masa inicial que se encontraba antes de que hubiera ninguna onda en la porci´ n de fluido
o
que se encuentra entre x y x + ∆x era ρ0 ∆x. Como se muestra en la Fig. 1.3, cuando la onda
esta pasando, la partćula fluida que inicialmente se encontraba en el punto x ocupa ahora
ı
la posici´ n x + ξ(x, t), y la partćula que se encontraba en x + ∆x ocupa ahora la posici´ n
o ı o
x + ∆x + ξ(x + ∆x, t). La cantidad de masa que hay ahora entre estas dos partćulas fluidas
ı
puede expresarse en la forma ρ[x + ∆x + ξ(x + ∆x, t) − x − ξ(x, t)], donde ρ es la densidad
media de la regi´ n de fluido considerada en el instante t. Si tomamos ∆x muy peque˜ o la
o n
relaci´ n anterior se convierte en una diferencial, e igualando la masa inicial y final tenemos
o
∂ξ
ρ′ = −ρ0 (1.2)
∂x
4
Hasta ahora y de aqu´ en adelante estamos suponiendo que no existe movimiento convectivo del gas,
ı
solamente movimiento ocasionado por las ondas sonoras; evidentemente, si hubiera corrientes convectivas las
partćulas fluidas se moverán y el movimiento del sonido habrá que superponerlo al movimiento convectivo
ı ı ı
del fluido.

´ ´

La expresi´ n anterior se puede generalizar f´ cilmente al caso de una onda plana que se
o a
propaga en una direcci´ n arbitraria del espacio dada por el vector de desplazamiento ξ(x, t),
o
en cuyo caso hubi´ ramos obtenido
e

ρ′ = −ρ0 |∇ξ| (1.3)

donde ∇(·) = ∂(·)/∂x i + ∂(·)/∂y j + ∂(·)/∂z k representa el operador nabla.
Para terminar consideremos el punto 3. Necesitamos una ecuaci´ n para describir el de-
o
splazamiento producido por las variaciones de presi´ n. Para ello aplicaremos la segunda ley
o
de Newton para relacionar las variaciones espaciales de presi´ n con las aceleraciones gener-
o
adas en el fluido. En resumen, la resultante de las fuerzas exteriores (de presi´ n) que act´ an
o u
sobre la regi´ n de fluido situada entre x y x + ∆x es igual al producto de la masa de fluido
o
contenida en el elemento por la aceleraci´ n que experimenta el fluido. Procediendo de un
o
modo similar al utilizado para derivar las dos ecuaciones anteriores (se deja como ejercicio
al lector), se obtiene
∂p ′ ∂2ξ
= −ρ0 2 (1.4)
∂x ∂t
Al igual que antes, resulta f´ cil generalizar esta expresi´ n para el caso de una onda plana que
a o
se propaga en una direcci´ n arbitraria del espacio
o

∂2ξ ∂u
∇p ′ = −ρ0 2
= −ρ0 (1.5)
∂t ∂t
Combinando las ecuaciones (1.1), (1.2) y (1.4) obtenemos finalmente la ecuaci´ n de
o
ondas para el desplazamiento ξ(x, t):

∂2ξ ∂2ξ ∂p
= c2 2
0 siendo c2 =
0 , (1.6)
∂t2 ∂x ∂ρ S

donde hemos a˜ adido el subńdice S a la constante (∂p/∂ρ)S para enfatizar que la derivada
n ı
ha de tomarse a entropá constante. La ra´z cuadrada de esta cantidad, que tiene dimen-
ı ı
siones de velocidad, representa la velocidad de propagaci´ n de las peque˜ as perturbaciones
o n
o velocidad del sonido, y se suele designar por c0 . Es f´ cil comprobar que las variaciones
a
de densidad, presi´ n y velocidad, ρ′ , p ′ y ∂ξ/∂t, satisfacen todas exactamente la misma
o
ecuaci´ n de ondas que el desplazamiento, ξ. Pero como la magnitud que se puede medir m´ s
o a
f´ cilmente de las tres es la presi´ n, a partir de ahora hablaremos de ondas de presi´ n.
a o o
Veamos por qu´ se llama a esta ecuaci´ n diferencial la ecuaci´ n de ondas. El motivo
e o o
es muy sencillo, si introducimos las funciones correspondientes a ondas que hemos visto,
p ′ = f (x ± at), comprobamos que la ecuaci´ n (1.6) se cumple si la velocidad de la onda a
o
coincide con la velocidad del sonido c0 . Esto nos dice que las soluciones a la ecuaci´ n (1.6)
o
son efectivamente ondas que se mueven a velocidad c0 , motivo por el cual a esta constante
se la denomina velocidad del sonido. Las soluciones a la ecuaci´ n (1.6) son por tanto:
o

p ′ = f (x ± c0 t) (1.7)

´ ´

f(r-ct)/r
1
0.5
0
-0.5
20
15
10
5
0 20
y -5 15
10
-10 5
0
-15 -5
-10 x
-15

Figura 1.4: Variaciones de presi´ n de una onda acustica tridimensional sin viscosidad.
o

´
1.3. Ondas acusticas tridimensionales
Si hubi´ ramos realizado el an´ lisis de la secci´ n anterior suponiendo que las ondas se
e a o
propagan radialmente de manera is´ tropa en el espacio a partir de un punto formando esferas
o
hubi´ ramos obtenido, en lugar de (1.6), la ecuaci´ n de ondas tridimensional
e o
∂2p ′ ∂2p ′ ∂2p ′ ∂2p ′
− c2
0 + + =0 (1.8)
∂t2 ∂x2 ∂y 2 ∂z 2
Las soluciones a la ecuaci´ n diferencial (1.8) que s´ lo dependen del radio son del tipo
o o
p ′ = f (r ± c0 t)/r (1.9)
donde r es la distancia radial recorrida por la onda. (Para el alumno interesado, esta solu-
ci´ n se obtiene introduciendo la parte radial del laplaciano en coordenadas esf´ ricas ∆ ≡
o e
1 ∂ 2 ∂
r 2 ∂r
r ∂r y haciendo el cambio P = p r.)′

1.4. Amortiguaci´ n del sonido en una y tres dimensiones
o
Si nos detenemos en las soluciones (1.7) y (1.9), observamos una diferencia esencial entre
ambas. Las ondas sonoras unidimensionales no se amortiguan (salvo por efectos debidos
a viscosidad, que aqu´ estamos despreciando), mientras que las ondas tridimensionales s´.
ı ı
Estas ultimas avanzan, pero la amplitud de las perturbaciones de presi´ n decae con el inverso
´ o
de la distancia al origen de la perturbaci´ n.
o

1.5. Ejercicios y cuestiones
1. Explique en qu´ consiste la linealidad de la ecuaci´ n de ondas ac´ stica. Comente
e o u
qu´ pasar´a si las variaciones de presi´ n y densidad fueran del mismo orden que la
e ı o
presi´ n y densidad atmosf´ ricas.
o e

´ ´

2. Explique por qu´ una onda sonora tridimensional se hace cada vez mas d´ bil mientras
e e
que una onda plana mantiene su amplitud.

3. Definiendo la impedancia ac´ stica como Z = p ′ /u, calcule el valor de esta impedancia
u
para una onda plana unidimensional de la forma

u = sin[w(x/c − t)].

Calcule este mismo valor para una onda ac´ stica tridimensional de la forma
u

u = sin[w(r/c − t)]/r.

Nota: en el siguiente cap´tulo se explicar´ c´ mo es mas util ver las soluciones de onda
ı a o ´
planas como funciones de variable compleja, defini´ ndose a continuaci´ n la impedan-
e o
cia compleja ac´ stica, que en general ser´ una cantidad compleja.
u a

4. Represente gr´ ficamente una onda tridimensional en el ordenador.
a

Cap´tulo 2
ı

Soluciones de la ecuaci´ n de ondas
o

2.1. Ondas arm´ nicas planas
o
Como se vio en el cap´tulo anterior, las ondas arm´ nicas planas son soluciones de la
ı o
ecuaci´ n de ondas de la forma
o

p ′ = A cos(wt − kx + φ). (2.1)

Es com´ n utilizar funciones exponenciales en lugar de trigonom´ tricas para representar estas
u e
ondas, puesto que es mucho m´ s f´ cil operar con exponenciales que con senos y cosenos. El
a a
c´ lculo elemental de variable compleja establece que
a

exp(iθ) = cos θ + i sen θ, (2.2)

luego la onda plana (2.1) se puede escribir como la parte real de una funci´ n compleja
o

p ′ = Re{A exp[i(wt − kx + φ)]} = Re{A′ exp[i(wt − kx)]}, (2.3)

donde
A′ = A exp(iφ) (2.4)
representa una amplitud compleja. Esta notaci´ n es tan utilizada que normalmente cuando
o
escribimos una onda en forma compleja se sobreentiende que se toma la parte real, por lo
que se suele escribir
p ′ = A′ exp[i(wt − kx)], (2.5)
sabiendo que la presi´ n es en realidad la parte real de esta expresi´ n. La forma compleja
o o
tambi´ n puede utilizarse para expresar la velocidad u, la densidad ρ′ y todas las dem´ s vari-
e a
ables que satisfacen la ecuaci´ n de ondas, sobreentendi´ ndose siempre que se debe tomar la
o e
parte real.
Gracias a la linealidad de la ecuaci´ n de ondas cualquier suma de ondas planas es tambi´ n
o e
soluci´ n de la ecuaci´ n de ondas. Esta propiedad ser´ analizada con mayor detalle en el
o o a
cap´tulo siguiente, en el que se expondr´ la teor´a de descomposici´ n de una onda arbitraria
ı a ı o
como superposici´ n de ondas planas (arm´ nicos).
o o

8

´ ´
CAPITULO 2. SOLUCIONES DE LA ECUACION DE ONDAS 9

´
2.1.1. Impedancia acustica
En el cap´tulo anterior obtuvimos la ecuaci´ n de cantidad de movimiento para el campo
ı o
ac´ stico
u
∂u
ρ0 = −∇p ′ . (2.6)
∂t
Para una onda plana expresada en su forma compleja, esta ecuaci´ n permite escribir
o

p′
u= . (2.7)
ρ0 c0
Se define la impedancia acustica, Z, como la cantidad, en general compleja,
´

p′
Z= . (2.8)
u
Sin embargo, seg´ n la ecuaci´ n (2.7), para una onda plana la impedancia ac´ stica es una
u o u
cantidad real
Zonda plana = ρ0 c0 . (2.9)

´
2.1.2. Intensidad acustica
Se define la intensidad acustica, I, como la media temporal en un punto del espacio del
´
producto de la presi´ n por la velocidad (ambas magnitudes reales), es decir
o
T
1
I = < Re[p ′ ] Re[u] >T = Re[p ′ ] Re[u] dt. (2.10)
T 0

Esta cantidad representa la cantidad de energá que atraviesa por unidad de tiempo (potencia)
ı
la unidad de superficie perpendicular a la direcci´ n de propagaci´ n de la onda. Por definici´ n
o o o
la intensidad ac´ stica es siempre una magnitud real.
u
Para una onda plana tenemos
T
1 cos2 (wt − kx + φ) A2
Ionda plana = A2 dt =
T 0 ρ0 c0 2ρ0 c0

2.2. Ondas esf´ ricas
e
Las ondas esf´ ricas son soluciones con simetrá esf´ rica de la ecuaci´ n de ondas tridi-
e ı e o
mensional
∂2p ′
− c2 ∇2 p ′ = 0.
0 (2.11)
∂t2
Como vimos en el cap´tulo anterior, tienen la forma general
ı
1 1
p ′ = f1 (c0 t − r) + f2 (c0 t + r), (2.12)
r r

´ ´

lo que se puede comprobar f´ cilmente si escribimos la parte radial del laplaciano en esf´ ricas
a e

∂2 2 ∂
∇2 =
r + . (2.13)
∂r 2 r ∂r
y sustituimos (2.13) y (2.12) en la ecuaci´ n de ondas (2.11). El primer t´ rmino de la soluci´ n
o e o
general (2.12) representa una onda divergente que se propaga radialmente hacia todos lados
a partir del origen de coordenadas, mientras que el segundo t´ rmino representa una onda que
e
converge hacia el centro.
Vemos que las ondas planas no son soluci´ n de la ecuaci´ n de ondas esf´ rica, pero sin
o o e
embargo s´ que son soluciones funciones de la forma
ı
A
p′ = cos(wt − kr + φ) (2.14)
r
que, como las ondas planas, tambi´ n pueden representarse en forma compleja
e

A′
p ′ = Re exp[i(wt − kr)] (2.15)
r

donde A′ = A exp(iφ) vuelve a ser una amplitud compleja. Conviene hacer notar que estas
ondas tambi´ n pueden expresarse como superposici´ n de ondas planas siempre que hagamos
e o
esta superposici´ n para cada punto fijo del espacio, en cuyo caso r ser´ fijo y su contribuci´ n
o a o
podr´ absorberse en el coeficiente A′ .
a

´
2.2.1. Impedancia acustica
Para calcular el campo de velocidades en el caso de ondas esf´ ricas introducimos (2.15)
e
en la ecuaci´ n de cantidad de movimiento
o
∂u ∂p ′ A′ A′
ρ0 =− = 2 exp[i(wt − kr)] + i k exp[i(wt − kr)], (2.16)
∂t ∂r r r
e integramos una vez con respecto al tiempo, de donde se obtiene

A′ 1 i 1 − i/kr
u= exp[i(wt − kr)] − = p′ (2.17)
r ρ0 c0 ρ0 c0 kr ρ0 c0

lo que nos permite observar que en este caso la impedancia ac´ stica
u

p′ ρ0 c0 (kr)2 kr
Z= = = ρ0 c0 2
+ iρ0 c0 . (2.18)
u 1 − i/kr 1 + (kr) 1 + (kr)2

no es real, sino compleja.
´
A la parte real de la impedancia se le denomina resistencia acustica espec´fica, y a la
ı
parte imaginaria se le llama reactancia acustica espec´fica. Cuando kr → ∞ la impedancia
´ ı

´ ´

ac´ stica tiende a contener tan solo la parte real, que adem´ s coincide con la de las ondas
u a
planas. Podemos calcular el m´ dulo y la fase de la impedancia de una onda esf´ rica,
o e

Z = |Z| exp(iψ), (2.19)

donde
ρ0 c0 kr
|Z| = = ρ0 c0 cos ψ, (2.20)
1 + (kr)2
1 kr
ψ = arcsen = arccos . (2.21)
1+ (kr)2 1 + (kr)2

´
2.2.2. Intensidad acustica
La intensidad ac´ stica de una onda esf´ rica viene dada por (el resultado es trivial y se
u e
deja como ejercicio al lector)
T
1 A2
I= Re[p ′ ]Re[u]dt = , (2.22)
T 0 2ρ0 c0 r 2
que como puede observarse decae con el cuadrado de la distancia al origen. Desde un punto
de vista f´sico, esto se debe al hecho de que el flujo total de energá asociado a la onda se
ı ı
reparte sobre una superficie cuyo area crece proporcionalmente al cuadrado de la distancia
´
al origen. Obs´ rvese que la expresi´ n para la intensidad coincide con la de una onda plana
e o
si definimos una amplitud de presi´ n que decaiga linealmente con la distancia al origen,
o
P = A/r, en cuyo caso
P2
I= . (2.23)
2ρ0 c0

2.3. Suma de sonidos
En esta secci´ n estudiaremos la suma en un punto del espacio de los sonidos provenientes
o
de dos o m´ s fuentes distintas. En general los sonidos tendr´ n distinta amplitud, fase y fre-
a a
cuencia. Debido a la linealidad de la ecuaci´ n de ondas, la presi´ n resultante en dicho punto
o o
ser´ la suma de las presiones individuales
a
n n
p ′total = Re[A′j exp(iwj t)] = Ai cos(wi t + φ), (2.24)
j=1 i=1

aunque con car´ cter general no podremos decir nada sobre la amplitud de este sonido. Sin
a
embargo, la intensidad del sonido resultante ser´ (en este caso T ya no representa el peródo,
a ı
sino un intervalo de tiempo suficientemente grande como para que est´ n incluidos muchos
e

´ ´

ciclos de todos los sonidos)
T n n
1 ′
I= Re pi Re ui dt
T 0 i=1 i=1
n T n n T
1 1
= Re[p ′i ]Re[ui ]dt + Re[p ′i ]Re[uj ]dt. (2.25)
i=1
T 0 i=1 j=1
T 0
j=i

El primer t´ rmino de la derecha representa la suma de las intensidades de todos los sonidos,
e
y es un t´ rmino siempre positivo. El segundo t´ rmino representa una suma de integrales de
e e
productos de pares de funciones peri´ dicas de frecuencias que no son iguales. Es casi im-
o
posible que estas integrales no tiendan a cero (dicho matem´ ticamente el conjunto de valores
a
de frecuencias que hacen que estas integrales no tiendan a cero tiene volumen cero en el es-
pacio de frecuencias). De este modo, en primera aproximaci´ n la intensidad total podremos
o
calcularla simplemente como la suma de las intensidades de los sonidos individuales, es decir
n
A2i
I≃ . (2.26)
i=1
2ρ0 c0

Sin embargo, si los sonidos son producidos por fuentes id´ nticas la frecuencia ser´ la misma,
e a
con lo que si en alg´ n punto del espacio coincide la fase o es casi igual, la intensidad del
u
sonido resultante ya no ser´ igual a la suma de las intensidades de los sonidos por separado.
a

´
2.4. Acustica geom´ trica: ondas y rayos
e
2.4.1. Introducci´ n
o
Una onda plana se distingue porque su direcci´ n de propagaci´ n y su amplitud son las
o o
mismas en todo el espacio. En el mundo real las ondas sonoras no gozan de esta propiedad,
en lugar de ondas planas encontramos haces de sonido cuya secci´ n transversal y direcci´ n
o o
de propagaci´ n van cambiando al atravesar el medio. Sin embargo, existen casos donde una
o
onda sonora no plana puede considerarse como plana en una peque˜ a regi´ n del espacio. Para
n o
ello es necesario que la amplitud y la direcci´ n de la onda varén muy poco en distancias del
o ı
orden de la longitud de onda.
Cuando se satisface esta condici´ n, resulta conveniente introducir la noci´ n de rayos en
o o
el sentido de lńeas cuyas tangentes coinciden en todo punto con la direcci´ n de propagaci´ n
ı o o
de la onda [5, Cap. 8]. Se puede hablar entonces de la propagaci´ n del sonido a lo largo de los
o
rayos sin prestar atenci´ n a su naturaleza ondulatoria. El estudio de las leyes de propagaci´ n
o o
´ ´
del sonido se enmarca entonces en el ambito de la acustica geom´ trica.
e

o ´
2.4.2. Ecuaci´ n fundamental de la acustica geom´ trica
e
En muchas ocasiones resulta por tanto m´ s util pensar en t´ rminos de rayos que en lugar
a ´ e
de ondas. Esta utilidad se debe a la idea intuitiva, justificada matem´ ticamente bajo ciertas
a

´ ´

Figura 2.1: La aproximaci´ n de un haz de sonido por un rayo est´ justificada si la secci´ n
o a o
transversal del haz es grande frente a la longitud de onda, A ≫ λ. En el centro, el haz se
comporta como una onda plana. En el borde, donde la amplitud vará en distancias del orden
ı
de la longitud de onda, deja de ser v´ lida la aproximaci´ n por rayos.
a o

Figura 2.2: Ejemplo de aplicaci´ n de la ac´ stica geom´ trica: debido a la difracci´ n la barrera
o u e o
contra el sonido es m´ s efectiva para las frecuencias altas que para las bajas.
a

condiciones, de que la energá viaja a lo largo de los rayos. De un modo formal, un rayo se
ı
define como una lńea perpendicular en todos los puntos a las superficies de fase constante.
ı
Para poder interpretar las ondas en t´ rminos de rayos estas han de cumplir las siguientes
e
condiciones:
1. La amplitud de la onda no debe de cambiar apreciablemente en longitudes del orden
de la longitud de onda.
2. La velocidad del sonido no debe cambiar apreciablemente en longitudes del orden de
la longitud de onda.
En ese caso, si ∇Γ es un vector perpendicular a las superficies de fase constante y n =
c0 /c(x, y, z) es el ńdice de refracci´ n, definido como la velocidad del sonido en alg´ n punto
ı o u
fijo dividida por la velocidad del sonido como funci´ n del espacio, obtenemos la ecuaci´ n
o o
de la Eikonal en una de sus formas
d
(∇Γ) = ∇n. (2.27)
ds
En los ejercicios de final de cap´tulo se exploran m´ s a fondo las consecuencias de esta
ı a
ecuaci´ n.
o

´ ´

Figura 2.3: Evoluci´ n temporal de una porci´ n de superficie de fase constante.
o o

Quiz´ s la consecuencia mas notable y digna de recordar es que si un sonido consiste
a
en un haz de una determinada secci´ n transversal A, tal que A1/2 ≫ λ, entonces podemos
o
aproximarlo por un haz de rayos, que en definitiva se comporta como una onda plana (v´ asee
Fig. 2.2). En el borde del haz de sonido, donde la amplitud vará r´ pidamente, no se puede
ı a
aproximar las ondas por rayos, pues aparece la difracci´ n. En resumen, la ac´ stica geom´ tri-
o u e
ca ser´ tanto m´ s aproximada cuanto menor sea la longitud de onda del sonido, o mayor sea
a a
la frecuencia.
A continuaci´ n se da la demostraci´ n matem´ tica de (2.27), que por su complejidad se
o o a
deja como lectura voluntaria.
Consideremos la ecuaci´ n de ondas tridimensional
o
∂2p ′
− [c(x, y, z)]2 ∇2 p ′ = 0 (2.28)
∂t2
donde la velocidad del sonido c puede ser funci´ n de la posici´ n. Deseamos obtener una ecuaci´ n
o o o
para un vector perpendicular a las superficies de fase constante. Para un haz de sonido que atraviesa
un fluido homog´ neo (c = cte) o inhomog´ neo (c =funci´ n de la posici´ n), podemos esperar que
e e o o
la amplitud de la onda varé con la posici´ n y que las superficies de fase constante est´ n dadas por
ı o e
funciones complicadas de la posici´ n. As´ pues, probamos soluciones de la forma
o ı

p ′ (x, y, z) = A(x, y, z) exp{iw[t − Γ(x, y, z)/c0 ]} (2.29)

donde A tiene unidades de presi´ n, Γ tiene unidades de longitud y c0 es una constante arbitraria que
o
representa la velocidad del sonido de referencia. Las superficies de fase constante son por definici´ n
o
las superficies Γ(x, y, z) = cte, de modo que ∇Γ es un vector perpendicular en cada punto a una de
estas superficies. Por ejemplo, si A = cte y Γ = x, la soluci´ n (2.29) se reduce a p ′ = A exp[iw(t −
o
x/c0 )], que es una soluci´ n de (2.28) de tipo onda plana si c = cte = c0 . Asimismo, n´ tese que
o o
∇Γ = i tiene modulo unidad y apunta siempre en la direcci´ n de propagaci´ n de la onda (la direcci´ n
o o o
x en este sencillo ejemplo).
Introduciendo la soluci´ n de prueba (2.29) en la ecuaci´ n de ondas (2.28) se obtiene
o o
2
∇2 A w w 2 w ∇A
− ∇Γ · ∇Γ + −i 2 · ∇Γ + ∇2 Γ =0 (2.30)
A c0 c c0 A

´ ´

Esta ecuaci´ n es tan complicada que aparentemente el tratamiento de ondas por rayos no ofrece
o
ninguna ventaja. Sin embargo (w/c0 )2 es la longitud de onda al cuadrado. Vemos que si la longitud
de onda es mucho mas peque˜ a que las longitudes caracter´sticas de variaci´ n de A o Γ en el problema
n ı o
los dos t´ rminos dominantes en la ecuaci´ n resultan ser el segundo y el tercero. La ecuaci´ n (2.30)
e o o
adopta entonces la forma simplificada

∇Γ · ∇Γ = n2 (2.31)

donde
c0
n(x, y, z) = (2.32)
c(x, y, z)
es el denominado ńdice de refracci´ n. La ecuaci´ n (2.31) se conoce como ecuaci´ n de la Eikonal,
ı o o o
y las simplificaciones que introduce ya s´ que justifican el tratamiento de las ondas por rayos. La
ı
ecuaci´ n de la Eikonal implica que ∇Γ debe tener la forma
o

∇Γ = n (cos θx i + cos θy j + cos θz k) (2.33)

donde cos θx , cos θy y cos θz representan los cosenos directores del vector ∇Γ, paralelo en todos los
puntos a los rayos. Si llamamos s a la distancia medida a lo largo de un rayo, la derivada del vector
∇Γ con respecto a s viene dada por la ecuaci´ n 1
o

d
(∇Γ) = ∇n (2.34)
ds
que es precisamente la ecuaci´ n (2.27).
o

2.4.3. La ley de Snell
Un resultado muy potente que se deriva de (2.27) es la conocida como Ley de Snell. Se
puede obtener un enunciado simple de esta ley si consideramos que la velocidad del sonido
es s´ lo funci´ n de x. Si nos restringimos por sencillez a la propagaci´ n en el plano x, y, el
o o o
vector ∇Γ se puede escribir

∇Γ = n(cos ϕ i + sen ϕ j) (2.35)

donde ϕ es el angulo de elevaci´ n del rayo sobre la horizontal, definida por el eje x. En el
´ o
caso n = n(x) las dos componentes de (2.27) se reducen a

d c0 d c0 c0 dc
sen ϕ = 0, cos ϕ =− . (2.36)
ds c ds c c2 dx
Integrando la primera ecuaci´ n se obtiene la siguiente relaci´ n
o o
sin ϕ
= cte, (2.37)
c(x)
1
La demostraci´ n de este resultado puede encontrarse en el libro de Kinsler et al. [1, Sec. 5.13]
o

´ ´

que constituye uno de los enunciados de la ley de snell. Esta ley establece que la direcci´ n
o
en que se propaga un rayo, ϕ, queda determinada de manera un´voca una vez conocida la
ı
direcci´ n ϕ0 del rayo en otra posici´ n x0 donde la velocidad del sonido c0 es conocida:
o o
sin ϕ sin ϕ0
= (2.38)
c(x) c0
Conviene destacar que (2.38) sigue siendo v´ lida incluso si la funci´ n c(x) es discontinua.
a o
Como veremos m´ s abajo esto permite, por ejemplo, ligar los angulos de la onda incidente
a ´
y transmitida en la incidencia oblicua de una onda plana en la interfase con un fluido de
distintas propiedades.

o o ´
2.5. Transmisi´ n y reflexi´ n de las ondas acusticas
Cuando una onda plana viaja en un medio 1 e incide sobre la superficie de separaci´ n o
con otro medio 2, la onda sufre en general una reflexi´ n y una refracci´ n, produci´ ndose dos
o o e
nuevas ondas cuyas amplitudes y fases son en general distintas a las de la onda incidente.
Parte de la energá transportada por la onda incidente contin´ a propag´ ndose por el segundo
ı u a
medio, dando lugar a lo que se conoce como onda transmitida, mientras que otra parte
rebota en la entrefase entre los dos medios y vuelve como una onda reflejada en sentido
contrario a la original. De este modo, en el medio 1 el movimiento resulta de la superposici´ n
o
de dos ondas (la incidente y la reflejada) mientras que en el medio 2 s´ lo hay una (la onda
o
transmitida o refractada). La relaci´ n existente entre estas tres ondas viene determinada por
o
las condiciones de contorno en la superficie de separaraci´ n. Estas condiciones de contorno
o
se resumen en que la presi´ n y la velocidad normal a la entrefase deben ser continuas a trav´ s
o e
de la misma.

2.5.1. Coeficientes de transmisi´ n y reflexi´ n
o o
Si p i es la presi´ n compleja de la onda incidente y p t y p r las de las ondas transmitidas
′
o ′ ′

y reflejadas, respectivamente, podemos definir los coeficientes de transmisi´ n y reflexi´ n
o o
de presi´ n, que en general ser´ n complejos, como
o a
pt
′
p ′r
T = ′, R= ′. (2.39)
pi pi
Tambi´ n se suelen usar los coeficientes de transmisi´ n y reflexi´ n de intensidad denotados
e o o
por TI y RI respectivamente, definidos como los cocientes entre las intensidades de la onda
incidente y las transmitidas y reflejadas respectivamente,
It Ir
TI = , RI = . (2.40)
Ii Ii
Estos coeficientes son reales y pueden expresarse en funci´ n de los anteriores como
o
ρ01 c1 2
TI = |T | , RI = |R|2 (2.41)
ρ02 c2

´ ´

En general no tendremos ondas planas, sino haces de sonido, pero vimos en la secci´ n o
anterior que cuando el area de la secci´ n de los haces es grande frente a la longitud de onda,
´ o
estos se comportan como una onda plana en un dominio finito; en ese caso los coeficientes
de transmisi´ n y reflexi´ n son igualmente aplicables. Evidentemente, aun teniendo un haz
o o
que cumpla las condiciones de rayo, si el objeto que provoca la reflexi´ n es de tama˜ o
o n
comparable a la longitud de onda se producen interferencias (difracci´ n) y las relaciones
o
que presentamos aqu´ dejan de ser aplicables.
ı
Un par´ metro importante en un haz de sonido es la potencia que transmite el haz. Esta
a ´
se calcula multiplicando la intensidad del haz por su area de secci´ n. De manera an´ loga a
´ o a
la presi´ n e intensidad se pueden definir coeficientes de transmisi´ n y reflexi´ n de potencia,
o o o
Tπ y Rπ , que no coincidir´ n en general con los de intensidad, porque aunque el area del haz
a ´
reflejado es igual al area del incidente (Ai ), cuando el haz incide oblicuamente a la entrefase
´
el haz transmitido tiene un area distinta (At ), de donde
´
At ρ01 c1 2
Tπ = |T | , Rπ = |R|2 (2.42)
Ai ρ02 c2
Como consecuencia de la conservaci´ n de la energá, la potencia del rayo incidente debe
o ı
repartirse entre los rayos transmitido y reflejado, luego se debe cumplir que

Tπ + Rπ = 1. (2.43)

2.5.2. Incidencia normal en un fluido
Los coeficientes de transmisi´ n y reflexi´ n para el caso de incidencia normal en la fron-
o o
tera entre dos fluidos se obtienen de aplicar el hecho de que tanto la presi´ n como la veloci-
o
dad normal a la frontera han de ser continuas en la dicha frontera, y resultan ser

1 − r1 /r2 2
Rπ = , TI = , (2.44)
1 + r1 /r2 1 + r1 /r2

donde se han definido las impedancias ri = ρi ci . Los coeficientes de transmisi´ n y reflexi´ n
o o
de intensidad son
2
1 − r1 /r2 r1 /r2
RI = , TI = 4 , (2.45)
1 + r1 /r2 (1 + r1 /r2 )2

que son iguales a los de potencia, puesto que el area de los tres haces es igual en este caso.
´
El coeficiente de reflexi´ n es positivo cuando r1 < r2 , y negativo en caso contrario, lo
o
cual implica que en la frontera entre los dos fluidos la onda reflejada puede o bien estar
en fase con la onda incidente o bien desfasada 180o con ella. Por el contrario, T siempre
es positivo, por lo que en la frontera la onda transmitida siempre est´ en fase con la onda
a
incidente.

´ ´

1 2

ONDA INCIDENTE ONDA TRANSMITIDA

ONDA REFLEJADA

Figura 2.4: Reflexi´ n y refracci´ n por la incidencia normal de una onda en una frontera de
o o
dos fluidos.

2.5.3. Incidencia oblicua en un fluido
Cuando una onda incide oblicuamente formando un angulo θi con la frontera de sep-
´
araci´ n entre dos fluidos como muestra la figura, resulta que de aplicar la continuidad de
o
presiones obtenemos que el angulo de la onda reflejada, θr , debe cumplir
´

sen θi = sen θr , (2.46)

mientras que por la ley de Snell el angulo de la onda transmitida, θt , viene dado por
´
sen θi sen θt
= . (2.47)
c1 c2
√
Utilizando ahora la relaci´ n trigonom´ trica cos θt = 1 − sen2 θt junto con la expresi´ n
o e o
anterior se obtiene
cos θt = 1 − (c2 /c1 )2 sin2 θi . (2.48)
Este resultado permite extraer una importante conclusion. Para que exista onda transmitida
debe cumplirse la relaci´ n
o
sen θi
c2 < 1. (2.49)
c1
Como vemos, es posible que esta ultima ecuaci´ n no tenga soluci´ n, lo cual ocurrir´ para
´ o o a
angulos de incidencia θi tales que
´
c1
sen θi > , (2.50)
c2
en cuyo caso no existir´ onda transmitida y se producir´ una reflexi´ n total. Existe por tanto
a a o
un angulo de incidencia cr´tico θc , definido por
´ ı

c1
θc = arcsen , (2.51)
c2

tal que para angulos de incidencias mayores no existe onda transmitida.
´

´ ´

1 2

θr
θt
θi

Figura 2.5: Reflexi´ n y refracci´ n por la incidencia oblicua de una onda en una frontera de
o o
dos fluidos.

Aunque podrá parecer que siempre deberá existir onda reflejada, esto no es cierto. De
ı ı
aplicar continuidad en la componente normal de la velocidad obtenemos la siguiente expre-
si´ n para el coeficiente de reflexi´ n R, que solo es aplicable cuando existe onda transmitida,
o o
siendo igual a uno en caso contrario,

(ρ2 c2 /ρ1 c1 ) − (cos θt / cos θi )
R= . (2.52)
(ρ2 c2 /ρ1 c1 ) + cos θt / cos θi

Vemos que cuando ρ2 c2 /ρ1 c1 = cos θt / cos θi el valor de R es igual a cero por lo que deja de
existir onda reflejada y toda la onda es transmitida. Eliminando cos θt obtenemos el valor del
angulo de incidencia θI para el que esto ocurre, llamado angulo de intromisi´ n, que viene
´ ´ o
dado por
1 − (ρ1 c1 /ρ2 c2 )2
sen θI = . (2.53)
1 − (ρ1 /ρ2 )2

2.6. Absorci´ n de las ondas sonoras
o
Aunque no ha habido ninguna menci´ n sobre el efecto de la disipaci´ n del sonido debido
o o
a que hemos considerado en todo momento que los fluidos eran ideales, finalmente una onda
sonora va perdiendo amplitud hasta que finalmente es disipada convirti´ ndose en energá
e ı
t´ rmica. Las causas de esta disipaci´ n se encuentran tanto en el seno del propio fluido como
e o
en la frontera de este fluido con superficies s´ lidas u otros fluidos que se hacen importantes
o
en medios porosos, en tubos finos o en conductos peque˜ os. Las causas de estas p´ rdidas son
n e
varias, siendo las mas importantes las p´ rdidas por viscosidad, las p´ rdidas por conducci´ n
e e o
t´ rmica y las p´ rdidas por intercambios moleculares.
e e
Un estudio completo del efecto de estas p´ rdidas cae fuera del objetivo de estas notas.
e
Aqu´ solo queremos se˜ alar que el efecto m´ s importante es en su forma m´ s simple provocar
ı n a a

´ ´

un decaimiento en la amplitud de tipo exponencial, de manera que la soluci´ n en lugar de
o
ser por ejemplo una onda plana es de la forma

p ′ = A′ exp[i(wt − kx)] exp(−x/δ) (2.54)

donde δ es una distancia caracter´stica de relajaci´ n que depende en general de la frecuen-
ı o
cia. Normalmente los fen´ menos de disipaci´ n de la energá ac´ stica ocurren a lo largo de
o o ı u
muchas longitudes de onda, siendo por tanto δ ≫ λ.

1. Repita el problema 3 del cap´tulo anterior usando esta vez la impedancia compleja.
ı

2. Calcule num´ ricamente la suma de tres sonidos de frecuencias y fases arbitrarias en un
e
punto fijo del espacio. Calcule (I1 + I2 + I3 )2 y compare este valor con I1 + I2 + I3 .
2 2 2

3. Considerando la propagaci´ n de un rayo en el eje x, y, demuestre que si la velocidad
o
del sonido c es s´ lo funci´ n de x, entonces dϕ/ds = (sin ϕ0 /c0 ) dc/dx, con ϕ = ϕ0
o o
para c = c0 , donde ϕ es el angulo de elevaci´ n del rayo sobre la horizontal. Determine
´ o
el radio de curvatura R del rayo en el caso dc/dx = cte.

4. Calcule los angulos de reflexi´ n y refracci´ n de una onda plana que viaja en el aire e
´ o o
incide con un angulo de incidencia de 30o sobre el agua.
´

Cap´tulo 3
ı

An´ lisis en frecuencia
a

3.1. Superposici´ n de soluciones
o
Debido a la linealidad de la ecuaci´ n de ondas, si tenemos dos soluciones de la forma
o

p ′1 = A 1 exp[i(w1 t − k1 x)],
′
(3.1)
p ′2 = A 2 exp[i(w2 t − k2 x)],
′
(3.2)

la suma p 12 = p1 + p2 tambi´ n es soluci´ n de la ecuaci´ n. Esta nueva soluci´ n no tendr´ una
′
e o o o a
frecuencia definida, sino que ser´ la suma de dos ondas de frecuencias distintas. Se dice que
a
la nueva onda p ′12 contiene dos arm´ nicos de frecuencias w1 y w2 . En general podemos
o
obtener una onda con tantos arm´ nicos como queramos simplemente sumando otras tantas
o
ondas elementales de frecuencias puras.
En lo que sigue supondremos que estamos en un punto fijo del espacio y analizaremos la
presi´ n en dicho punto como funci´ n del tiempo. Consideraremos por tanto arm´ nicos de la
o o o
forma
p ′n = An ′ exp(iwn t). (3.3)

3.2. Descomposici´ n en arm´ nicos
o o
Los resultados de la secci´ n anterior son m´ s o menos triviales, y se pueden resumir
o a
como sigue: sumando ondas de frecuencia pura (tonos puros) podemos obtener distintas
ondas sonoras que no son puras. Sin embargo, tambi´ n se puede demostrar en sentido inverso
e
gracias al an´ lisis de Fourier: cualquier onda puede descomponerse como suma de ondas de
a
frecuencia pura (tonos puros o arm´ nicos). En general, har´ n falta infinitos arm´ nicos para
o a o
reconstruir una onda gen´ rica f (t), esto es
e

f (t) = A 1 exp(iw1 t) + A ′2 exp(iw2 t) + A 3 exp(iw3 t) + · · ·
′ ′
(3.4)

21

´ ´
CAPITULO 3. ANALISIS EN FRECUENCIA 22

3.3. Funciones peri´ dicas y desarrollo de Fourier
o
En vista de los resultados de la secci´ n anterior, nos planteamos ahora el siguiente pro-
o
blema: dada una funci´ n f (t) peri´ dica de peródo T deseamos calcular los arm´ nicos de
o o ı o
forma que, multiplicados por ciertos coeficientes y sumados, nos den la funci´ n original
o
f (t). Para ello, suponemos que f (t) puede desarrollarse como suma de arm´ nicos,
o
∞
f (t) = An exp(iwn t). (3.5)
n=−∞

N´ tese que, en principio, la funci´ n f (t) puede ser compleja. A este desarrollo se le llama
o o
desarrollo de Fourier para funciones peri´ dicas, y a los coeficientes An , que en general son
o
n´ meros complejos, se les llama coeficientes de Fourier. Al ser la funci´ n f (t) peri´ dica de
u o o
periodo T , se puede demostrar que los arm´ nicos tambi´ n han de serlo. Esto implica que las
o e
frecuencias wn s´ lo pueden ser las siguientes,
o
2π 4π 2πn
wn = 0, , , ··· , , ··· (3.6)
T T T
luego el desarrollo para f (t) queda de la forma,
∞
i2πnt
f (t) = An exp . (3.7)
n=−∞
T

Para calcular los coeficientes An aplicamos la condici´ n de ortogonalidad de las funciones
o
base. Multiplicando los dos miembros de (3.7) por exp(−iwm t) e integrando en un peródo,
ı
se obtiene
T ∞ T
−i2πmt i2π(n − m)t
f (t) exp dt = An exp dt. (3.8)
0 T n=0 0 T

La integral del t´ rmino de la derecha se anula si m = n, al tratarse de la integral de una
e
funci´ n peri´ dica sobre un peródo, s´ lo es distinta de cero si m = n, en cuyo caso
o o ı o
T
−i2πnt
f (t) exp dt = T An , (3.9)
0 T
de donde se obtiene finalmente la conocida expresi´ n para los coeficientes de Fourier,
o
T
1 −i2πnt
An = f (t) exp dt. (3.10)
T 0 T

Es interesante estudiar lo que sucede cuando el peródo de f (t) tiende a infinito. Lo
ı
primero que se observa es que la diferencia wn − wn+1 entre los valores de las frecuencias
de dos arm´ nicos consecutivos tiende a cero, de forma que cabe esperar que el desarrollo
o
de Fourier de una se˜ al no peri´ dica contenga un espectro de frecuencias continuo. Lo
n o

´ ´

segundo es que la amplitud de los arm´ nicos An tiende a cero, lo que significa que los
o
arm´ nicos individuales cuentan cada vez menos a la hora de evaluar la se˜ al. Esto es l´ gico si
o n o
pensamos que en una cierta regi´ n del espacio de las frecuencias, de espesor δw, se acumula
o
un n´ mero creciente de arm´ nicos al aumentar el periodo T , n´ mero que se hace infinitos
u o u
en el l´mite T → ∞. De este modo, si queremos que su suma total sea finita, la amplitud de
ı
cada uno debe de tender a cero.
En la siguiente figura se muestran los arm´ nicos de una onda cuadrada de amplitud
o
unidad y periodo 2π, cuyo desarrollo de Fourier viene dado por f (t) = ∞ An sen(nt)
n=0
con An = 4/nπ para n impar y An = 0 para n par (la demostraci´ n se deja como ejercicio
o
al lector).

n=1 n=3 n=5
1.5 1.5 1.5

1 1 1

0.5 0.5 0.5

0 0 0

−0.5 −0.5 −0.5

−1 −1 −1

−1.5 −1.5 −1.5
0 2 4 6 0 2 4 6 0 2 4 6
x/π x/π x/π

n=7 n=9 n = 11
1.5 1.5 1.5

1 1 1

0.5 0.5 0.5

0 0 0

−0.5 −0.5 −0.5

−1 −1 −1

−1.5 −1.5 −1.5
0 2 4 6 0 2 4 6 0 2 4 6
x/π x/π x/π

Figura 3.1: Representaci´ n de Fourier de una onda cuadrada utilizando n = 1, 3, 5, 7, 9 y 11
o
arm´ nicos.
o

´ ´

3.4. Espectro continuo. Transformada de Fourier
Los resultados de la secci´ n anterior sugieren c´ mo se debe actuar para calcular la des-
o o
composici´ n en arm´ nicos de una funci´ n no peri´ dica. A la funci´ n que da la amplitud
o o o o o
de un arm´ nico de frecuencia dada cuando el espectro es continuo se llama transformada
o
de Fourier. Vemos pues que la transformada de Fourier es una funci´ n distinta para cada
o
onda, y que asocia para cada valor de frecuencia un n´ mero que representa la amplitud del
u
arm´ nico de dicha frecuencia en la onda original, como se representa en la siguiente ecuaci´ n
o o
∞
f (t) = f (w) exp(iwt)dw. (3.11)
−∞

La transformada inversa de Fourier permite obtener de forma explćita los coeficientes
ı
∞
1
f (w) = f (t) exp(−iwt)dt. (3.12)
2π −∞

3.5. Teorema de Parseval y espectro de frecuencias
Es f´ cil demostrar la siguiente ecuaci´ n:
a o
∞ ∞
∗ 1
f (t)f (t)dt = f (w)f ∗ (w)dw, (3.13)
−∞ 2π −∞

que se conoce como el teorema de Parseval, y relaciona la energá de una se˜ al como integral
ı n
en el tiempo con la energá en el dominio de la frecuencia. Esto permite asociar al valor de
ı
f (w)f ∗ (w)dw/2π como la cantidad de energá contenida en un intervalo de frecuencias dw
ı
en torno a w.
El conocimiento de las bandas de octava de un sonido gen´ rico es una informaci´ n muy
e o
util, pues el contenido en frecuencias de un sonido, como se ver´ mas adelante, es fundamen-
´ a
tal a la hora de caracterizarlo. El espectro de frecuencias de un sonido real siempre decae para
frecuencias altas, por lo que a veces se suele dibujar el logaritmo de la densidad de energá ı
como funci´ n de la frecuencia, log[f (w)f (w)]. La figura 3.2 representa el espectro t´pico
o ∗
ı
de un ruido.

1. Represente gr´ ficamente el primer arm´ nico de la descomposici´ n de Fourier de una
a o o
onda cuadrada. Represente a continuaci´ n tres, cinco, diez y veinte arm´ nicos. Com-
o o
pruebe que a pesar de las discontinuidades que presenta una onda cuadrada, que po-
drán inducir a pensar que los arm´ nicos de altas frecuencias son importantes, la ampli-
ı o
tud de los arm´ nicos va decreciendo con la frecuencia. Compruebe que en los puntos
o
de discontinuidad el desarrollo tiende al valor intermedio.

´ ´
2
log(|f(w)| )

w

Figura 3.2: Espectro t´pico de un ruido.
ı

2. Calcule el espectro de Fourier para ondas cuadradas de distintos periodos. Observe
c´ mo al crecer el periodo los distintos arm´ nicos se van juntando y su amplitud va
o o
decreciendo, de manera que al hacer tender el periodo a inﬁnito, lo que se corresponde
con una onda no peri´ dica el espectro de frecuencias tiende hacia el continuo.
o

3. Represente los arm´ nicos de la onda cuadrada pero con una fase arbitraria. Pese a
o
que esto no se parece en nada a una onda cuadrada, curiosamente el o´do humano no
ı
distingue entre las fases de manera que esta onda la percibimos exactamente igual que
una onda cuadrada.

Cap´tulo 4
ı

Modelos de Fuentes sonoras

4.1. Modelo de esfera pulsante
Consideremos una esfera de radio a que est´ pulsando peri´ dicamente, es decir, aumen-
a o
tando y disminuyendo de radio de manera peri´ dica con cierta amplitud. Supondremos que
o
la amplitud de las pulsaciones es mucho menor que el radio de la esfera, de manera que este-
mos dentro de la aproximaci´ n de la ac´ stica lineal. El objetivo es calcular el campo ac´ stico
o u u
generado en el exterior de la esfera pulsante.
Como hemos visto en cap´tulos anteriores la soluci´ n con simetrá esf´ rica a la ecuaci´ n
ı o ı e o
de ondas tiene de la forma
A′
p ′ (r, t) = exp[i(wt − kr)], (4.1)
r
que ser´ la soluci´ n al problema una vez hayamos determinado la constante A ′ . Para cal-
a o
cular esta constante debemos imponer la condici´ n de contorno en la superficie de la esfera
o
pulsante, donde la velocidad es conocida,

u(a, t) = U0 exp[i(wt + φ)]. (4.2)

La presi´ n en la superficie de la esfera la obtenemos sin m´ s que multiplicar la velocidad
o a
por la impedancia ac´ stica evaluada en r = a. La impedancia ac´ stica es, como sabemos, la
u u
correspondiente a una onda esf´ rica evaluada en r = a,
e

Z(a) = ρ0 c0 cos ψa exp(iψa ), (4.3)

donde, como vimos en el cap´tulo 2,
ı

1
ψa = arcsen . (4.4)
1 + (ka)2

As´ pues la presi´ n a una distancia r del centro de la fuente viene dada por
ı o
a
p ′ (r, t) = ρ0 c0 U0 cos ψa exp[i(wt − k(r − a) + ψa + φ)]. (4.5)
r
26

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