Resistencia de materiales I - Francisco Beltran

Resistencia de Materiales I
Resúmenes y Problemas de Clase
Departamento de Mecánica Estructural y Construcciones Industriales U.D. de Resistencia de Materiales
Escuela Técnica Superior de Ingenieros Industriales de Madrid Curso 2007-08

Presentación
Estas notas se han concebido como material de apoyo didáctico para la asignatura de “Re-
sistencia de Materiales I”, asignatura semestral que imparte el Departamento de Mecánica Es-
tructural y Construcciones Industriales de la ETS de Ingenieros Industriales de Madrid. Se
pretende dar al alumno la posibilidad de contrastar con ellas sus apuntes de clase y, de esta
manera, ayudarle a comprender mejor las ideas transmitidas por el profesor.
De acuerdo con los objetivos de la asignatura, se proporciona primero una introducción a
la teor´ıa de la elasticidad lineal, para luego particularizar los conceptos básicos de esta teor´ıa
en el estudio del sólido prismático, objeto de la resistencia de materiales clásica. La resistencia
de materiales se presenta as´ı como un caso particular de la teor´ıa de la elasticidad, cuando se
asumen determinadas hipotésis cinemáticas sobre el movimiento de las secciones transversales del
sólido prismático. Siguiendo el temario de la asignatura, en esta segunda parte, tras introducir
el concepto de esfuerzo, se analiza únicamente el estado de tracción-compresión. El análisis de
la torsión, la cortadura, la flexión y las solicitaciones combinadas se deja para la asignatura de
“Resistencia de Materiales II”.
El contenido de estas notas se ha dividido en 25 lecciones, correspondientes a los puntos
incluidos en el temario de la asignatura. Al final de cada lección se incluyen problemas resueltos,
cuyo objeto es ilustrar los conceptos más importantes.
No se trata de remplazar los muchos libros de texto que, desde diferentes ópticas, abordan la
teor´ıa de la elasticidad y la resistencia de materiales. Por el contrario, la idea ha sido componer
un resumen introductorio, escrito en un lenguaje asequible, que sirva de punto de partida para
la consulta de esos libros. As´ı, para facilitar esta labor, en las páginas finales se incluye una lista
de referencias bibliográficas donde el alumno interesado puede ampliar los conceptos expuestos.
Francisco Beltrán
Madrid, septiembre de 2007
I

Índice
1. Equilibrio Interno. Vector tensión. 1
1.1. El sólido elástico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.2. Acciones exteriores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.3. Equilibrio estático y elástico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.4. Vector tensión . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.5. Componentes intr´ınsecas del vector tensión . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.6. Ejercicios resueltos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.6.1. Obtener componentes intr´ınsecas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
2. Matriz de tensiones 9
2.1. Tensiones sobre planos coordenados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2.2. Reciprocidad de tensiones tangenciales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2.3. Estado tensional en el entorno de un punto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2.4.1. Cálculo de matriz de tensiones y vector tensión . . . . . . . . . . . . . . . 15
3. Ecuaciones de equilibrio 19
3.1. Ecuaciones de equilibrio interno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
3.2. Ecuaciones de equilibrio en el contorno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
3.3.1. Fuerzas de volumen y fuerzas de superficie a partir del equilibrio . . . . . 22
4. Tensiones principales 25
4.1. Tensiones y direcciones principales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
4.2. Invariantes de tensiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
4.3. Sistema de referencia principal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
4.4. Elipsoide de tensiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
4.5.1. Cálculo de tensiones y direcciones principales . . . . . . . . . . . . . . . . 29
5. C´ırculos de Mohr 31
5.1. C´ırculos de Mohr en tensiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
5.2. Representación de tensiones en los c´ırculos de Mohr . . . . . . . . . . . . . . . . 36
5.2.1. Componentes intr´ınsecas del vector tensión . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
5.2.2. Cálculo de la orientación del vector normal . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
5.3. Casos particulares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
III

5.3.1. Planos que contienen al primer eje principal . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
5.3.2. Planos que contienen al segundo eje principal . . . . . . . . . . . . . . . . 40
5.3.3. Planos que contienen al tercer eje principal . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
5.4. Tensiones máximas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
5.5. Estados tensionales cil´ındrico y esférico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
5.5.1. Estado cil´ındrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
5.5.2. Estado esférico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
5.6.1. Representación de un estado tensional en el diagrama de Mohr . . . . . . 44
5.6.2. Obtención de tensiones principales con el diagrama de Mohr . . . . . . . . 46
6. Concepto de deformación 49
6.1. Vector desplazamiento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
6.2. Matrices de giro y deformación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
6.3.1. Cálculo de la matriz de deformación y el giro en el entorno de un punto . 53
7. Deformaciones longitudinales y transversales 55
7.1. Ecuaciones cinemáticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
7.2. Significado de los términos de la matriz de deformación . . . . . . . . . . . . . . 56
7.3. Deformación según una dirección: galgas extensométricas . . . . . . . . . . . . . 58
7.4. Distorsión de ángulos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
7.5.1. Cálculo de variaciones de longitud y de ángulos . . . . . . . . . . . . . . . 60
8. Deformaciones principales. Deformación volumétrica 65
8.1. Deformaciones y direcciones principales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
8.2. Invariantes de deformación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
8.3. Variación unitaria de volumen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
8.4. Deformación volumétrica y desviadora . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
8.5.1. Galgas extensométricas y deformaciones principales . . . . . . . . . . . . 68
9. Comportamiento elástico. Constantes elásticas. 71
9.1. Ensayo de tracción simple. Ley de Hooke. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
9.2. Deformación en sentido transversal. Coeficiente de Poisson. . . . . . . . . . . . . 75
9.3. Comportamiento elástico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
10.Leyes de Hooke generalizadas. Ecuaciones de Lamé. 79
10.1. Leyes de Hooke generalizadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
10.1.1. Sistema de referencia principal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
10.1.2. Sistema de referencia general . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
10.2. Módulo de elasticidad transversal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
10.3. Módulo de compresibilidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
10.4. Deformaciones y tensiones de origen térmico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
10.5. Ecuaciones de Lamé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
IV

10.6.1. Deformación con restricciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
10.6.2. Determinación de constantes elásticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
10.6.3. Tensiones debidas a deformaciones impuestas . . . . . . . . . . . . . . . . 87
10.6.4. Tensiones debidas a aumento de temperatura . . . . . . . . . . . . . . . . 88
11.El problema elástico. Principio de Saint-Venant. 89
11.1. Planteamiento general del problema elástico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
11.2. Principio de superposición . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
11.3. Principio de Saint-Venant . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
11.4.1. Aplicación del principio de Saint-Venant . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
12.Estados elásticos planos 97
12.1. Estados elásticos bidimensionales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
12.1.1. Deformación plana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
12.1.2. Tensión plana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
12.2. Direcciones y tensiones principales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
12.3.1. Suma de estados tensionales planos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
12.3.2. Orientación del corte de una chapa con defectos . . . . . . . . . . . . . . . 104
12.3.3. Comparación entre estados tensionales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
13.Trabajo de las fuerzas aplicadas. Energ´ıa elástica 109
13.1. Concepto de energ´ıa de deformación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
13.2. Coeficientes de influencia y de rigidez . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
13.2.1. Coeficientes de influencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
13.2.2. Coeficientes de rigidez . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110
13.3. Cálculo de la energ´ıa de deformación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
13.3.1. Cálculo en función de las fuerzas exteriores . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
13.3.2. Cálculo en función de los desplazamientos eficaces . . . . . . . . . . . . . 112
13.3.3. Cálculo en función de las matrices de tensión y deformación . . . . . . . . 113
13.3.4. Unicidad de la energ´ıa de deformación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
13.4.1. Matriz de influencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
13.4.2. Ciclos de carga . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
14.Principio de los trabajos virtuales 119
14.1. Tensiones y fuerzas estáticamente admisibles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119
14.2. Desplazamientos cinemáticamente admisibles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120
14.3. Ecuación de los trabajos virtuales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120
14.4. Principio de los desplazamientos virtuales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122
14.5. Principio de las fuerzas virtuales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
V

15.Teoremas energéticos 125
15.1. Teorema de reciprocidad de Maxwell-Betti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125
15.2. Teorema de Castigliano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126
15.3. Teorema de Menabrea . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127
15.4.1. Cálculo de reacciones hiperestáticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128
15.4.2. Aplicación del teorema de reciprocidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130
16.Deformación anelástica y rotura 131
16.1. Finalización del comportamiento elástico: materiales dúctiles y materiales frágiles 131
16.2. Tensión equivalente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132
16.3. Coeficiente de seguridad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134
17.Criterios de fluencia 135
17.1. Criterios de fluencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135
17.1.1. Tensión tangencial máxima (Tresca) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135
17.1.2. Energ´ıa de distorsión máxima (von Mises) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136
17.1.3. Criterio simplificado de Mohr . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137
17.2.1. Plastificación de una placa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138
18.Criterios de rotura frágil 141
18.1. Criterios de rotura frágil . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141
18.1.1. Tensión principal máxima (Rankine) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141
18.1.2. Criterio simplificado de Mohr . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141
18.2.1. Coeficientes de seguridad según el criterio de Mohr . . . . . . . . . . . . . 142
18.2.2. Tensiones de rotura requeridas para coeficiente de seguridad dado . . . . 144
19.Hipótesis de la Resistencia de Materiales 147
19.1. Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147
19.2. Definición de sólido prismático . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147
19.3. Hipótesis generales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149
20.Concepto de esfuerzo. Diagramas. 151
20.1. Concepto de esfuerzo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151
20.2. Esfuerzos normal y cortante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151
20.3. Momentos de flexión y torsión . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153
20.4. Diagramas de esfuerzos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155
20.5.1. Cálculo de reacciones y diagramas de esfuerzos . . . . . . . . . . . . . . . 155
21.Condiciones de sustentación y enlace 159
21.1. Reacciones en las ligaduras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159
21.2. Tipos de apoyos y enlaces internos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159
21.2.1. Tipos de apoyos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159
21.2.2. Tipos de enlaces internos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162
VI

21.3. Sistemas isostáticos e hiperestáticos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163
21.4.1. Cálculo de reacciones y diagramas de esfuerzos (1) . . . . . . . . . . . . . 164
22.Tracción y compresión. Tensiones y desplazamientos. 177
22.1. Definición de estado de tracción-compresión . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177
22.2. Estado de tensiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177
22.3. Estado de deformaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179
22.4. Desplazamientos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179
23.Esfuerzo normal variable. Peso y fuerza centr´ıfuga. 181
23.1. Ecuación de equilibrio bajo esfuerzo normal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181
23.2. Esfuerzos normales de peso propio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182
23.3. Esfuerzos normales por fuerza centr´ıfuga . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184
23.4.1. Esfuerzo normal variable en un pilote . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185
24.Esfuerzo normal. Sustentación hiperestática. 189
24.1. Potencial interno asociado al esfuerzo normal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189
24.2. Tracción-compresión hiperestática . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 190
24.2.1. Aplicación del teorema de Castigliano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 190
24.2.2. Aplicación de la compatibilidad de deformaciones . . . . . . . . . . . . . . 191
24.3. Tensiones ocasionadas por defectos de montaje o cambios de temperatura . . . . 192
24.4.1. Barra r´ıgida sujeta mediante tirantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194
24.4.2. Esfuerzos normales en una unión roscada . . . . . . . . . . . . . . . . . . 196
25.Anillos, cables y arcos funiculares 201
25.1. Anillos circulares sometidos a fuerzas radiales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201
25.1.1. Fuerzas centr´ıfugas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202
25.1.2. Presión interior. Vasijas de pared delgada. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203
25.2. Equilibrio de cables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 204
25.2.1. Ecuaciones de equilibrio de un elemento de cable . . . . . . . . . . . . . . 204
25.2.2. Ecuación fundamental de la estática de cables . . . . . . . . . . . . . . . . 206
25.2.3. Rectificación del arco . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 208
25.2.4. Fórmula de Stevenin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 210
25.3. Arcos funiculares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212
25.4.1. Tensiones térmicas en un anillo bimetálico . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213
25.4.2. Cable para teleférico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 214
Bibliograf´ıa 216
VII

Lección 1
Equilibrio Interno. Vector tensión.
1.1. El sólido elástico
La Mecánica del Sólido R´ıgido se ocupa de predecir las condiciones de reposo o movimiento
de los sólidos r´ıgidos bajo la acción de fuerzas exteriores. Un sólido r´ıgido es aquel en el que las
distancias entre sus puntos no sufren variación durante la aplicación de las fuerzas exteriores.
En las aplicaciones de la ingenier´ıa mecánica y estructural se requiere verificar la seguridad de
los componentes mediante la comparación de las fuerzas internas a que se ven sometidos durante
su trabajo con las propiedades resistentes de los materiales de construcción. La determinación
de dichas fuerzas internas no puede hacerse, en un caso general, si se mantiene la hipótesis de
que los componentes se comportan como sólidos r´ıgidos. Debe suponerse que los componentes
son sólidos deformables, es decir, que las distancias entre sus puntos no permanecen constantes
al aplicar un sistema de fuerzas exteriores.
La Teor´ıa de la Elasticidad es una primera aproximación al estudio de los sólidos deformables.
Esta teor´ıa se ocupa de calcular el estado de deformación, o desplazamiento relativo, dentro de
cuerpos sólidos sometidos a sistemas de fuerzas en equilibrio. El estado de deformación permite,
a través de las propiedades del material, obtener las fuerzas internas a que se ve sometido el
sólido.
La Teor´ıa de la Elasticidad trabaja sobre una idealización de los cuerpos sólidos reales que
llamaremos sólido elástico. El sólido elástico es un sólido deformable que recupera su forma
inicial al retirar las fuerzas aplicadas.
En los cap´ıtulos que siguen supondremos que el sólido elástico ocupa un volumen V del
espacio tridimensional R3 y que tiene una superficie exterior S (figura 1.1). Supondremos además
que el sólido elástico está constituido por un material:
Homogéneo: El material tiene las mismas propiedades en todos sus puntos.
Isótropo: En cada punto, las propiedades del material son las mismas en cualquier dirección.
Continuo: En el material no existen distancias intersticiales, es decir, no existen “huecos”
en el material por pequeño que sea el volumen del mismo que se tome.
Las hipótesis anteriores, aunque son únicamente una aproximación a los materiales reales,
simplifican mucho el tratamiento matemático y en la mayor´ıa de los casos proporcionan resul-
tados suficientemente aproximados desde el punto de vista ingenieril.
1

2 LECCI ÓN 1. EQUILIBRIO INTERNO. VECTOR TENSI ÓN.
V
Z
X
Y
S
Figura 1.1: Sólido elástico
1.2. Acciones exteriores
Consideraremos dos clases de acciones sobre el sólido elástico:
1. Fuerzas de superficie: Son fuerzas por unidad de superficie aplicadas sobre la superficie S
del sólido. Constituyen un campo vectorial definido en S:
fs =



¯X
¯Y
¯Z



Un ejemplo t´ıpico de esta clase de fuerzas es la presión de un fluido actuando sobre la
superficie del sólido.
2. Fuerzas de volumen: Son fuerzas por unidad de volumen aplicadas sobre la materia que
forma el sólido. Constituyen un campo vectorial definido en V :
fv =



X
Y
Z



Ejemplos de esta clase de fuerzas son las fuerzas gravitatorias (peso) y las fuerzas de
inercia.

1.3. EQUILIBRIO EST ÁTICO Y EL ÁSTICO 3
Las fuerzas puntuales, esto es, actuando sobre puntos del sólido, son idealizaciones que cor-
responden a fuerzas de superficie o de volumen actuando sobre una superficie o un volumen muy
pequeño, respectivamente. Se trata entonces de fuerzas concentradas, que pueden considerarse
como casos particulares de los dos tipos de acciones anteriores. En efecto, una fuerza puntual
F aplicada en el punto P del sólido se puede entender como un campo fv definido en V de la
forma siguiente:
fv = F δP
donde δP es la distribución de Dirac en el punto P. De este modo, la resultante del campo fv
actuando sobre el sólido es la fuerza concentrada F aplicada en P:
V
fv dV = F
V
δP dV = F en P
1.3. Equilibrio estático y elástico
Cuando sobre el sólido elástico actúan las acciones exteriores fs y fv, el equilibrio estático
del sólido exige que se cumplan las condiciones:
1. Resultante nula de fuerzas: La resultante de las fuerzas aplicadas debe ser nula:
S
fs dS +
V
fv dV = 0
2. Resultante nula de momentos: La resultante de los momentos de las fuerzas aplicadas con
respecto a cualquier punto del espacio (por ejemplo, el origen de coordenadas) debe ser
nula:
S
r × fs dS +
V
r × fv dV = 0
donde r es el vector de posición (figura 1.2).
Si no se cumplen las condiciones de equilibrio estático, la aplicación de las acciones acciones
exteriores da lugar al movimiento del sólido. Dicho movimiento puede estudiarse con bastante
aproximación mediante las ecuaciones de la Mecánica del Sólido R´ıgido.
Sin embargo, nosotros estaremos interesados en estudiar la deformación del sólido elástico en
los casos en que se cumplen las condiciones de equilibrio estático y, por tanto, no hay movimiento
de sólido r´ıgido.
Al aplicar al sólido elástico un sistema de acciones exteriores, aparecen fuerzas interiores
dentro del volumen del sólido. Como se ha dicho, obtener y caracterizar estas fuerzas interiores
es imprescindible si se quiere evaluar la capacidad del sólido para resistir con seguridad el sistema
de acciones exteriores.
Para analizar estas fuerzas interiores se puede dar un corte imaginario al sólido elástico
mediante una superficie Σ que lo divida en dos partes A y B (figura 1.3). El equilibrio de cada
una de estas dos partes implica que, a través de la superficie de corte, una parte ejerce sobre la
otra fuerzas que equilibran las acciones exteriores aplicadas sobre ella.
Es importante darse cuenta de que, por el principio de acción-reacción, las fuerzas de A sobre
B a través de la superficie de corte son iguales y de signo contrario a las fuerzas que ejerce B
sobre A a través de la misma superficie.

Z
X
Y
r
Figura 1.2: Vector de posición en el equilibrio estático
Cualquiera que sea la superficie imaginaria Σ que se utilice, las dos partes en que queda
dividido el sólido elástico deben estar en equilibrio, con las acciones exteriores aplicadas sobre
ellas y las fuerzas internas que le transmite la otra parte a través de la superficie de corte. Esto
es lo que se conoce como equilibrio elástico: las acciones exteriores están en equilibrio con las
fuerzas internas que aparecen en el sólido por aplicación de las mismas. Es decir, cualquier parte
del sólido, por pequeña que sea ésta, debe estar en equilibrio estático si se tienen en cuenta las
acciones externas y las fuerzas internas.
1.4. Vector tensión
Sobre una fracción ∆Ω de la superficie de corte Σ alrededor del punto P, la parte B del
sólido ejerce una fuerza ∆f (fuerza interna) sobre la parte A (figura 1.4).
Se define el vector tensión σ en el punto P asociado a la superficie de corte Σ como:
σ = l´ım
∆Ω→0
∆f
∆Ω
=
df
dΩ

1.4. VECTOR TENSI ´ON 5
Σ
Corte imaginario
B
A
A través de esta superficie
la parte B está actuando sobre
la parte A
Figura 1.3: Equilibrio el´astico

A
ΔΩΔf
P
Figura 1.4: Fuerza interna ejercida en el entorno del punto P
Se trata de una magnitud vectorial cuyas componentes tienen dimensiones de fuerza por
unidad de superficie. Hay que tener en cuenta los puntos siguientes:
El vector tensión σ está asociado al punto P. Para una misma superficie de corte Σ, el
vector tensión cambia de un punto a otro de la superficie.
En cada punto P, el vector tensión σ está asociado a la superficie de corte Σ; para otra
superficie de corte el vector tensión en P adoptar´ıa otro valor.
Al tomar l´ımites, el vector tensión σ está asociado realmente a la orientación del plano
tangente a la superficie de corte Σ en el punto P.
Haciendo abstracción, en cada punto P del sólido elástico, se tiene un vector tensión σ
para cada orientación n= ( α, β, γ) de los planos π que pasan por P, siendo α, β y γ los
cosenos directores de la dirección normal al plano n:
σ = σ(P, n) = σ(P, α, β, γ)
La dirección normal al plano n se entiende que tiene el sentido hacia afuera del material,
es decir, apuntando hacia la parte del sólido que ha sido eliminada por el corte imaginario
(parte B en las figuras 1.3 y 1.4) y que, por tanto, ejerce la fuerza ∆f sobre la parte que
permanece (parte A en las figuras 1.3 y 1.4).
En el Sistema Internacional, la unidad de tensión es el Pascal (Pa):
1 Pa =
1 N
1 m2
En la práctica se trabaja con tensiones mucho más grandes que 1 Pa y se utiliza el megapascal
(MPa), unidad un millón de veces superior al Pascal. Un megapascal equivale a una fuerza de 1
N distribuida sobre una superficie de 1 mm2.

1.5. COMPONENTES INTRÍNSECAS DEL VECTOR TENSI ÓN 7
π
P
n
σ
σn
τ
Figura 1.5: Componentes intr´ınsecas del vector tensión
1.5. Componentes intr´ınsecas del vector tensión
El vector tensión σ asociado a un punto P y al plano π, puede proyectarse en la dirección de la
normal al plano n y sobre el plano (figura 1.5). Estas dos proyecciones, σn y τ, respectivamente,
son conocidas como componentes intr´ınsecas del vector tensión.
Las componentes intr´ınsecas del vector tensión se obtienen de la manera siguiente:
1. Componente normal:
n ≡ (α, β, γ) (vector unitario, sentido hacia afuera del material)
σn = σ · n (producto escalar)
σn = σn n
2. Componente tangencial:
τ = σ − σn
1.6. Ejercicios resueltos
1.6.1. Obtener componentes intr´ınsecas
Obtener las componentes intr´ınsecas del vector tensión:
σ=



1
2
3


 MPa
definido en un punto P, con respecto al plano π dado por la ecuación x − y = 0.
Solución:

X
Y
Z
n
Figura 1.6: Ejercicio resuelto: sentido elegido de la normal al plano π
El plano π es el plano bisector del primer octante (figura 1.6). Se puede tomar:
n =



1√
2
− 1√
2
0


 ó n =



− 1√
2
1√
2
0



Tomamos el primero de estos dos vectores, asumiendo entonces que el vector tensión dado
actúa sobre el material situado en x − y < 0. Las componentes intr´ınsecas serán:
σn = σ · n =
1
√
2
−
2
√
2
= −
1
√
2
MPa
y
τ = σ2 − σ2
n = 12 + 22 + 32 − (
1
√
2
)2 = 13, 5 MPa

Lección 2
Matriz de tensiones
2.1. Tensiones sobre planos coordenados
Cuando se utiliza un sistema de referencia cartesiano, las componentes intr´ınsecas del vector
tensión sobre planos paralelos a los planos coordenados, esto es, planos con normales n iguales a
(1,0,0), (0,1,0) ó (0,0,1), se designan según se indica en la figura 2.1. Los sentidos positivos son
los que se dan en la figura.
2.2. Reciprocidad de tensiones tangenciales
En un punto P del sólido elástico consideremos planos paralelos a los planos coordenados
que delimiten un volumen infinitesimal alrededor del punto (figura 2.2).
Nótese que las normales en planos paralelos opuestos son iguales y de signo contrario. Si
los planos paralelos opuestos se “confundieran” en el punto P (figura 2.3), por el principio de
acción-reacción, las componentes intr´ınsecas del vector tensión a cada lado de cada plano ser´ıan
iguales y de signo contrario. La forma convencional de representar este hecho es dibujando las
componentes intr´ınsecas en P sobre las caras del cubo infinitesimal centrado en el punto P
(figuras 2.4 y 2.5).
La representación de las figuras 2.4 y 2.5 no debe inducir a confusión. Las acciones repre-
sentadas en forma de tensiones son las acciones de primer orden sobre el volumen infinitesimal
alrededor de P. Como se verá más adelante, existen otras acciones de segundo orden, tales como
las derivadas de fuerzas de volumen fv y las variaciones de las componentes intr´ınsecas de una
cara a otra del cubo infinitesimal. Sin embargo, el equilibrio del cubo exige que las acciones de
primer orden estén equilibradas, ya que ninguna acción de segundo orden podr´ıa equilibrar una
acción de primer orden desequilibrada.
El equilibrio de fuerzas de primer orden actuando sobre el volumen infinitesimal es inmediato,
ya que las fuerzas actuando sobre caras paralelas opuestas son iguales y de signo contrario. El
equilibrio de fuerzas de segundo orden dará lugar a las ecuaciones de equilibrio interno del sólido
elástico (lección 3).
En cuanto al equilibrio de momentos de primer orden, si se toman momentos respecto al
centro del cubo infinitesimal, se tiene:
Eje X: 2 (τyz dx dz dy
2 ) − 2 (τzy dx dy dz
2 ) = 0
9

10 LECCI ÓN 2. MATRIZ DE TENSIONES
Z
X
Y
n (1,0,0)
n (0,0,1)
n (0,1,0)
P
PP
σnz
σnx
σny
τzy
τzx
τxz
τxy
τyx
τyz
Figura 2.1: Componentes intr´ınsecas del vector tensión según planos coordenados
Eje Y: 2 (τzx dy dx dz
2 ) − 2 (τxz dy dz dx
2 ) = 0
Eje Z: 2 (τxy dz dy dx
2 ) − 2 (τyx dz dx dy
2 ) = 0
de donde se deduce:
τyz = τzy τzx = τxz τxy = τyx
Las tres igualdades anteriores se conocen con el nombre de teorema de reciprocidad de ten-
siones tangenciales. El teorema implica que son iguales las componentes de las tensiones tangen-
ciales correspondientes a dos planos perpendiculares entre s´ı en la dirección normal a la arista de
Z
X
Y
nz
P
nx
ny
-ny
-nz
dy
dx
dz
Figura 2.2: Entorno del punto P

2.2. RECIPROCIDAD DE TENSIONES TANGENCIALES 11
Z
X
Y
nz
P
nx
ny
-ny
-nz
-nx
Figura 2.3: Entorno del punto P. Planos paralelos a los planos coordenados
su diedro. N´otese que, por el convenio de signos utilizado, el sentido de las tensiones tangenciales
es tal que ambas componentes se dirigen hacia la arista o ambas se separan (ﬁguras 2.6 y 2.7).
Z
X
Y
σnz
σnx
σny
τzy
τzx
τxz
τxy τyx
τyz
σnz
σny
σnx
Figura 2.4: Entorno del punto P. Tensiones sobre volumen elemental (1)

Z
XY
σnz
τzyτzx
τxz
τxy
τyx
τyz
σnz
σnyσnx
Figura 2.5: Entorno del punto P. Tensiones sobre volumen elemental (2)
2.3. Estado tensional en el entorno de un punto
El estado tensional en un punto P se conocerá cuando sea conocido el vector tensión según
cualquier plano que pase por el punto. A continuación veremos que esto puede conseguirse a
partir de las componentes intr´ınsecas de los vectores de tensión según planos paralelos a los
planos coordenados.
Sea en el entorno de P un plano π con normal n igual a (α,β,γ). Se busca el vector tensión σ
que actúa sobre el plano (figura 2.8). Para ello, se plantea el equilibrio de un tetraedro delimitado
por el plano π y tres planos paralelos a los planos coordenados que pasan por P. La distancia
de P al plano π es la altura h del tetraedro.
Según se representa en la figura 2.8, las áreas de las caras del tetraedro son: Ω, Ωx, Ωy y Ωz,
con Ωx = Ω α, Ωy = Ω β y Ωz = Ω γ. Las fuerzas de volumen son fv = (X, Y, Z).
El equilibrio de fuerzas proporciona las tres ecuaciones siguientes:
Eje X: X 1
3 Ω h + σx Ω − σnx Ω α − τyx Ω β − τzx Ω γ = 0
Eje Y: Y 1
3 Ω h + σy Ω − τxy Ω α − σny Ω β − τzy Ω γ = 0
Eje Z: Z 1
3 Ω h + σz Ω − τxz Ω α − τyz Ω β − σnz Ω γ = 0
Si se hace tender a cero el volumen del tetraedro (esto es, si h −→ 0), el plano π tenderá a
pasar por P y, además, los términos relativos a las fuerzas de volumen se anularán. En este caso,
simplificando, se obtienen las tres igualdades siguientes:
σx = σnx α + τyx β + τzx γ

2.3. ESTADO TENSIONAL EN EL ENTORNO DE UN PUNTO 13
X
Y
σny
σny
σnx
σnx
τxy
τxy
τyx
τyx
σny
σny
σnx
σnx
τxy
τxy
τxy
τxy
Teorema de
reciprocidad
Figura 2.6: Reciprocidad de tensiones tangenciales en planos perpendiculares
σy = τxy α + σny β + τzy γ
σz = τxz α + τyz β + σnz γ
o en forma matricial:
σ =



σx
σy
σz


 =



σnx τyx τzx
τxy σny τzy
τxz τyz σnz






α
β
γ



y en notación vectorial:
σ = [T] n
La matriz [T] se conoce con el nombre de matriz de tensiones. De acuerdo con el teorema
de reciprocidad de tensiones tangenciales, la matriz de tensiones es una matriz simétrica, que
τ
τ
τ
τ
Tensiones tangenciales posibles en esquinas a 90º
Figura 2.7: Implicación de la reciprocidad de tensiones tangenciales en planos perpendiculares

n( )α,β,γ
σ (σ ,σ ,σ )x y z
Z
X
Y
Ωy
Ωz
Ωx
Ω
Z
X
Y
σnz
σnx
σny
τzy
τzx
τxz
τxyτyx
τyz
P
Figura 2.8: Tensi´on sobre un plano arbitrario en el punto P

2.4. EJERCICIOS RESUELTOS 15
puede escribirse:
[T] =



σnx τxy τxz
τxy σny τyz
τxz τyz σnz



En relación con la matriz de tensiones, es importante darse cuenta de los puntos siguientes:
Si se conoce la matriz de tensiones en el punto P entonces se conoce el estado tensional
en P, ya que a partir de la matriz de tensiones se puede obtener el vector tensión σ para
cualquier orientación de plano n.
La matriz de tensiones representa una magnitud tensorial de orden 2 que en la literatura
se conoce normalmente con el nombre de tensor de tensiones. Dentro del sólido elástico, la
matriz de tensiones [T] es una función de punto, se trata por tanto de un campo tensorial
de orden 2.
La expresión de la matriz de tensiones depende del sistema de referencia utilizado. Al
cambiar de sistema de referecnia sus componentes cambian como las de un tensor de
segundo orden. El cambio de ejes se escribe en forma matricial del modo siguiente:
[T]b = [Rab]t
[T]a [Rab]
donde [T]a es la matriz de tensiones en el sistema de referencia a, [T]b es la matriz de
tensiones en el sistema de referencia b y [Rab] es la matriz de cambio de base del sistema
a al sistema b.
La matriz [Rab] de cambio de base se construye colocando como columnas las componentes
de los vectores unitarios en la dirección de los nuevos ejes (sistema b) con respecto al sistema
de referencia viejo (sistema a), es decir:
[Rab] =



αb1 αb2 αb3
βb1 βb2 βb3
γb1 γb2 γb3


 =



ib · ia jb · ia kb · ia
ib · ja jb · ja kb · ja
ib · ka jb · ka kb · ka



donde (αb1, βb1, γb1), (αb2, βb2, γb2) y (αb3, βb3, γb3) son los vectores unitarios en las direc-
ciones de los ejes del sistema b, referidos al sistema a.
La matriz [Rab] es una matriz ortonormal, es decir, su traspuesta coincide con la inversa:
[Rba] = [Rab]−1
= [Rab]t
2.4.1. Cálculo de matriz de tensiones y vector tensión
Del interior de un sólido elástico se separa mediante cortes imaginarios un cubo de 10 cm de
lado. Las acciones que ejerce el resto del sólido sobre el cubo son las representadas en la figura
2.9. No existen fuerzas exteriores aplicadas sobre el cubo.
Se pide:

Z
X
Y
1 MPa
1 MPa
1 MPa
1 MPa
16 MPa
6 MPa
16 MPa
4 MPa
6 MPa
4 MPa
6 MPa
Figura 2.9: Acciones del resto del sólido sobre un cubo de material
1. La matriz de tensiones en el sistema de referencia con ejes paralelos a las aristas del cubo,
válida para cualquier punto del cubo.
2. Vector tensión en el centro del cubo con respecto a un plano que forme ángulos iguales
con los planos coordenados (n = ( 1√
3
, 1√
3
, 1√
3
)).
Solución:
1. De acuerdo con la figura, tomando como origen del sistema de referencia la esquina de la
base más alejada del punto de vista, se tiene que:
σnx = −6 +
z
10
12 MPa (z en cm)
τxy = 0
τxz = 0
σny = −4 −
z
10
12 MPa (z en cm)
τyz = 1 MPa
σnx = 0

luego:
[T] =



−6 + z
10 12 0 0
0 −4 − z
10 12 1
0 1 0


 MPa (z en cm)
2. El centro del cubo tiene como coordenadas (5,5,5) cm. En consecuencia, sustituyendo en
la expresi´on de la matriz de tensiones:
σ = [T] n =



0 0 0
0 −10 1
0 1 0







1√
3
1√
3
1√
3



 =
1
√
3



0
−9
1


 MPa

Lección 3
Ecuaciones de equilibrio
3.1. Ecuaciones de equilibrio interno
Las ecuaciones de equilibrio interno definen las condiciones que deben cumplir las compo-
nentes de la matriz de tensiones [T] para que un volumen interior del sólido elástico se encuentre
en equilibrio con los volúmenes que le rodean.
Las ecuaciones se obtienen planteando el equilibrio de fuerzas de un elemento diferencial
de volumen alrededor de un punto P de un sólido elástico sometido a un campo de fuerzas de
volumen fv = (X, Y, Z).
Sea [T] la matriz de tensiones en el punto P:
[T] =



σnx τxy τxz
τxy σny τyz
τxz τyz σnz



En la figura 3.1 se representan las componentes del vector tensión en los centros de las caras
de un elemento diferencial de volumen centrado en el punto P. Al tratarse de un elemento
diferencial, dichas componentes pueden considerarse que son los valores medios en cada cara.
Entonces, el equilibrio de fuerzas proporciona las tres ecuaciones siguientes:
Dirección X:
X dx dy dz + (σnx + ∂σnx
∂x
1
2dx) dy dz − (σnx − ∂σnx
∂x
1
2dx) dy dz
+ (τyx +
∂τyx
∂y
1
2dy) dx dz − (τyx −
∂τyx
∂y
1
2dy) dx dz
+ (τzx + ∂τzx
∂z
1
2dz) dx dy − (τzx − ∂τzx
∂z
1
2 dz) dx dy = 0
Dirección Y:
Y dx dy dz + (τxy +
∂τxy
∂x
1
2 dx) dy dz − (τxy −
∂τxy
∂x
1
2dx) dy dz
+ (σny +
∂σny
∂y
1
2 dy) dx dz − (σny −
∂σny
∂y
1
2 dy) dx dz
+ (τzy + ∂τzy
∂z
1
2 dz) dx dy − (τzy − ∂τzy
∂z
1
2dz) dx dy = 0
19

20 LECCI ´ON 3. ECUACIONES DE EQUILIBRIO
Z
X
Y
P
P
dy
dx
dz
σ + ∂σ /∂ny ny y 1/2 dy
τ + ∂τ /∂yz yz y 1/2 dy
τ + ∂τ /∂yx yx y 1/2 dy
σ − ∂σ /∂ny ny y 1/2 dy
τ − ∂τ /∂yx yx y 1/2 dy
τ − ∂τ /∂yz yz y 1/2 dy
σ − ∂σ /∂nz nz z 1/2 dz
σ + ∂σ /∂nz nz z 1/2 dz
σ + ∂σ /∂nx nx x 1/2 dx
τ + ∂τ /∂zy zy z 1/2 dz
τ + ∂τ /∂zx zx z 1/2 dz
τ − ∂τ /∂zy zy z 1/2 dz
τ − ∂τ /∂zx zx z 1/2 dz
σ − ∂σ /∂nx nx x 1/2 dx
τ + ∂τ /∂xy xy x 1/2 dx
τ + ∂τ /∂xz xz x 1/2 dx τ − ∂τ /∂xz xz x 1/2 dx
τ − ∂τ /∂xy xy x 1/2 dx
Figura 3.1: Equilibrio de un elemento diferencial de volumen

3.2. ECUACIONES DE EQUILIBRIO EN EL CONTORNO 21
Dirección Z:
Z dx dy dz + (τxz + ∂τxz
∂x
1
2 dx) dy dz − (τxz − ∂τxz
∂x
1
2dx) dy dz
+ (τyz +
∂τyz
∂y
1
2 dy) dx dz − (τyz −
∂τyz
∂y
1
2dy) dx dz
+ (σnz + ∂σnz
∂z
1
2 dz) dx dy − (σnz − ∂σnz
∂z
1
2dz) dx dy = 0
Simplificando las ecuaciones anteriores se obtiene :
∂σnx
∂x
+
∂τyx
∂y
+
∂τzx
∂z
+ X = 0
∂τxy
∂x
+
∂σny
∂y
+
∂τzy
∂z
+ Y = 0
∂τxz
∂x
+
∂τyz
∂y
+
∂σnz
∂z
+ Z = 0
Y como, por el teorema de reciprocidad de tensiones tangenciales, se cumple que:
τyx = τxy τzx = τxz τzy = τyz
se tiene finalmente el siguiente sistema de ecuaciones diferenciales en derivadas parciales, definido
en el volumen V del sólido elástico, para las componentes de la matriz de tensiones [T]:
∂σnx
∂x
+
∂τxy
∂y
+
∂τxz
∂z
+ X = 0
∂τxy
∂x
+
∂σny
∂y
+
∂τyz
∂z
+ Y = 0
∂τxz
∂x
+
∂τyz
∂y
+
∂σnz
∂z
+ Z = 0
El sistema anterior son las ecuaciones de equilibrio interno del sólido elástico. En notación
vectorial puede escribirse como:
div [T] + fv = 0 en V
o también:
[T] + fv = 0 en V
3.2. Ecuaciones de equilibrio en el contorno
En la superficie S del sólido elástico, las fuerzas de superficie fs deben ser equilibradas por
fuerzas internas. En un punto P situado sobre la superficie S, en el que el plano tangente a S
tiene un vector normal n, debe cumplirse que (figura 3.2):
fs − [T] n = 0

n
P
S
-n n
P fs
[T] (-n)
S
Figura 3.2: Equilibrio en la superficie del sólido elástico
Es decir, debe cumplirse que:
fs = [T] n en S
Entonces, si el vector normal exterior a la superficie S es n = (α, β, γ) y las fuerzas de
superficie aplicadas en S son fs = ( ¯X, ¯Y , ¯Z), las ecuaciones de equilibrio en el contorno son:



¯X
¯Y
¯Z


 =



σnx τxy τxz
τxy σny τyz
τxz τyz σnz






α
β
γ


 en S
3.3.1. Fuerzas de volumen y fuerzas de superficie a partir del equilibrio
En el sólido de forma tetraédrica representado en la figura 3.3, existe el estado tensional
siguiente:
[T] =



3y z 0
z −5x 0
0 0 2z


 MPa (x,y,z en m)
Determinar:
1. Fuerzas de volumen.
2. Fuerzas de superficie en la cara vista ABC, particularizando en el centro de gravedad de
la misma.

A
B
C
a
a
2a
X
Y
Z
Figura 3.3: Sólido de forma tetraédrica
Solución:
1. A partir de las ecuaciones de equilibrio interno, se tiene que:
X = −∂σnx
∂x −
∂τxy
∂y − ∂τxz
∂z = 0
Y = −
∂τxy
∂x −
∂σny
∂y −
∂τyz
∂z = 0
Z = −∂τxz
∂x −
∂τyz
∂y − ∂σnz
∂z = −2
MN
m3
2. El vector normal a la cara vista del sólido es:
n =
AB × AC
|AB × AC|
=
i j k
−a a 0
−a 0 2a
|AB × AC|
=
2a2 i + 2a2 j + a2 k
a2
√
4 + 4 + 1
=




2
3
2
3
1
3




Utilizando las ecuaciones de equilibrio en el contorno:
fs = [T] n =




3y z 0
z −5x 0
0 0 2z








2
3
2
3
1
3



 =




2y + 2z
3
2z
3 − 10x
3
2z
3




El centro de gravedad de la cara vista tiene como coordenadas (a
3, a
3, 2a
3 ) (promedio de
coordenadas de los puntos de las esquinas). Particularizando para el centro de gravedad
de la cara vista, se tiene:

fs =




2a
3 + 2
3
2a
3
2
3
2a
3 − 10
3
a
3
2
3
2a
3



 = a




10
9
−6
9
4
9



 MPa (a en m)

Lección 4
Tensiones principales
4.1. Tensiones y direcciones principales
En un punto P del sólido elástico el estado tensional viene dado por el valor de la matriz
de tensiones [T] en dicho punto. La matriz de tensiones es una matriz simétrica de orden 3 con
coeficientes reales. Vamos a ver que esta forma de la matriz de tensiones implica lo siguiente:
En cada punto P del sólido elástico existen al menos tres planos ortogonales entre s´ı de
modo que el vector tensión σ asociado a ellos tiene componente intr´ınseca tangencial τ
igual a cero. Es decir, según esos planos, el vector tensión sólo tiene componente intr´ınseca
normal: σ= σn.
Las direcciones de las normales a dichos planos, n1, n2 y n3 se llaman direcciones principales
de tensión en el punto P.
Las componentes intr´ınsecas normales de los vectores de tensión según esos planos, σ1, σ2
y σ3 se llaman tensiones principales en el punto P. Por convenio, ordenaremos las tensiones
principales de forma que: σ1 ≥ σ2 ≥ σ3.
La deducción de la existencia de las tensiones y direcciones principales es como sigue. Las
componentes (α, β, γ) de las direcciones principales en el punto P, si existen, deberán cumplir::
n =



α
β
γ



σ = [T] n = σn n
(condición de que la componente intr´ınseca tangencial τ sea nula)
Es decir, las direcciones principales n y las tensiones principales σn, si existen, deben cumplir:
{[T] − σn [I]} n = 0
donde [I] es la matriz identidad.
La relación anterior expresa un problema de autovalores para la matriz [T] en el punto P
del sólido elástico.
25

26 LECCI ÓN 4. TENSIONES PRINCIPALES
Como [T] es una matriz simétrica de orden 3 con coeficientes reales, [T] tiene 3 autoval-
ores reales1, que llamaremos σ1, σ2 y σ3. Estos autovalores son las tensiones principales. En
consecuencia, las tensiones principales existen, tal y como las hemos definido.
Cada autovalor σi, i = 1 . . .3, tiene un autovector asociado ni, que se obtiene resolviendo el
sistema de ecuaciones:
{[T] − σi [I]} ni = 0
con la condición adicional de que si las componentes de ni son (αi, βi, γi), debe cumplirse que:
α2
i + β2
i + γ2
i = 1
Por ser [T] una matriz simétrica, los autovectores son ortogonales entre s´ı cuando los auto-
valores σ1, σ2 y σ3 son distintos2. Es decir:
n1 · n2 = 0
n1 · n3 = 0
n2 · n3 = 0
De esta forma, las direcciones principales, tal y como las hemos definido, son ortogonales entre
s´ı.
Si hay algún autovalor doble o triple, los autovectores asociados a los mismos definen un
espacio vectorial de dimensión 2 ó 3, respectivamente. En estos casos, más que una sola di-
rección principal, el autovalor tiene asociado todo un plano, o todo el espacio, de vectores de
dirección principal. De dicho plano o de todo el espacio se pueden extraer dos ó tres vectores,
respectivamente, que sean ortogonales entre s´ı.
4.2. Invariantes de tensiones
Desdoblando la ecuación vectorial:
{[T] − σn [I]} n = 0
en tres ecuaciones escalares, el problema de autovalores de la matriz [T] se escribe:



σnx − σn τxy τxz
τxy σny − σn τyz
τxz τyz σnz − σn






α
β
γ


 = 0
Se trata de un sistema de ecuaciones homogéneo, función de un parámetro real σn.
Para que este sistema tenga solución distinta de la trivial (α = β = γ = 0), el determinante
de la matriz de coeficientes debe ser nulo, esto es:
σnx − σn τxy τxz
τxy σny − σn τyz
τxz τyz σnz − σn
= 0
La ecuación anterior es una ecuación de tercer grado en σn, con tres ra´ıces reales3
, que son
1
Desde el punto de vista del Álgebra Lineal, la matriz [T] representa un endomorfismo en R3
, que asocia cada
vector de orientación n con un vector tensión σ. El endomorfismo es simétrico por ser [T] una matriz simétrica.
La teor´ıa de los endomorfismos simétricos es la que justifica que la matriz [T] tiene 3 autovalores reales y que los
autovectores asociados son ortogonales entre s´ı.
2
Ver la nota anterior.
3
Por ser [T] una matriz simétrica.

4.3. SISTEMA DE REFERENCIA PRINCIPAL 27
los valores de las tensiones principales. Dicha ecuación puede ponerse como:
−σ3
n + I1 σ2
n − I2 σn + I3 = 0
con:
I1 = σnx + σny + σnz
I2 = σnxσny + σnxσnz + σnyσnz − τ2
xy − τ2
xz − τ2
yz
I3 = det[T]
La solución de esta ecuación de tercer grado son las tensiones principales σ1, σ2 y σ3 en el
punto P.
Las tensiones principales son una caracter´ıstica intr´ınseca del estado tensional en el punto P
y, por tanto, independiente del sistema de referencia seleccionado para la matriz de tensiones [T].
En consecuencia, los coeficientes I1, I2 e I3 deben ser independientes del sistema de referencia.
Estos coeficientes se conocen con el nombre de invariantes de tensiones, primero, segundo y
tercero, respectivamente.
El valor de los invariantes en cada punto P no cambia al cambiar el sistema de referencia
utilizado para definir [T].
4.3. Sistema de referencia principal
En cada punto P del sólido elástico tenemos pues tres direcciones principales n1, n2 y n3
ortogonales entre s´ı. De este modo, se puede definir en el punto P un sistema de referencia
según estas tres direcciones (figura 4.1). En dicho sistema de referencia la matriz de tensiones
será diagonal:
[T] =



σ1 0 0
0 σ2 0
0 0 σ3



Para un estado tensional dado, el sistema de referencia anterior se conoce con el nombre de
sistema de referencia principal en el punto P. Es importante darse cuenta de que el sistema de
referencia principal está asociado a un estado tensional concreto y que, además, cambia de un
punto a otro del sólido elástico.
4.4. Elipsoide de tensiones
En un punto P del sólido elástico, bajo un estado tensional dado, el elipsoide de tensiones
es el lugar geométrico de los extremos del vector tensión σ, con origen en P, correspondiente a
todas las orientaciones n de plano posibles en el punto.
Se trata de un elipsoide con centro en P y con semiejes iguales a las tensiones principales.
En efecto, utilizando el sistema de referencia principal en el punto P, correspondiente al estado
tensional dado, el vector tensión σ para la dirección n es:
σ = [T] n=



σ1 0 0
0 σ2 0
0 0 σ3






α
β
γ


 =



α σ1
β σ2
γ σ3




Z
X
Y
n2
n3
n1
P
Figura 4.1: Sistema de referencia principal
Y las coordenadas del extremo del vector tensión σ con respecto a P serán:
x = α σ1
y = β σ2
z = γ σ3



en el sistema de referencia principal
y como se cumple que:
α2
+ β2
+ γ2
= 1
se tendrá entonces:
x
σ1
2
+
y
σ2
2
+
z
σ3
2
= 1
que en el sistema de referencia principal es la ecuación de un elipsoide con semiejes iguales a las
tensiones principales.

4.5.1. Cálculo de tensiones y direcciones principales
La matriz de tensiones en un punto P de un sólido elástico, para un determinado estado
tensional, viene dada por:
[T] =



5 1 2
1 0 1
2 1 0


 MPa
con respecto a un sistema de referencia cartesiano ortogonal.
Determinar las tensiones principales y sus direcciones principales asociadas.
Solución:
1. Tensiones principales.
Igualando a cero el determinante:
5 − σ 1 2
1 −σ 1
2 1 −σ
= 0
se obtiene la ecuación cúbica:
F(σ) ≡ −σ3
+ 5 σ2
+ 6 σ − 1 = 0
La ecuación se puede resolver por tanteos, buscando los ceros de F(σ) a partir de sus
cambios de signo. Resulta lo siguiente: σ1 = 5,97 MPa , σ2 = 0,149 MPa y σ3 = -1,12
MPa.
2. Direcciones principales
La dirección principal asociada a σ1, n1 = (α1, β1, γ1), se obtiene a partir del sistema de
ecuaciones: 


5 − 5, 97 1 2
1 −5, 97 1
2 1 −5, 97






α1
β1
γ1


 = 0
Al ser las tensiones principales diferentes (no hay ra´ıces dobles ni triples en la ecuación de
tercer grado que hemos resuelto en el punto anterior), sólo hay dos ecuaciones independi-
entes en el sistema. Tomando las dos primeras:
−0, 97 α1 + β1 + 2 γ1 = 0
α1 − 5, 97 β1 + γ1 = 0
y sabiendo que:
α2
1 + β2
1 + γ2
1 = 1
resulta: α1 = 0,92, β1 = 0,21 y γ1 = 0,34.

La dirección principal asociada a σ2, n2 = (α2, β2, γ2), se obtiene a partir del sistema de
ecuaciones: 


5 − 0, 149 1 2
1 −0, 149 1
2 1 −0, 149






α2
β2
γ2


 = 0
Tomando las dos primeras ecuaciones:
4, 851 α2 + β2 + 2 γ2 = 0
α2 − 0, 149 β2 + γ2 = 0
y sabiendo que:
α2
2 + β2
2 + γ2
2 = 1
resulta: α2 = -0,362, β2 = 0,798 y γ2 = 0,482.
La dirección principal asociada a σ3, n3 = (α3, β3, γ3), se obtiene a partir de la condición
de que sea ortogonal a n1 y a n2:
n3 = n1 × n2 =
i j k
0, 92 0, 21 0, 34
−0, 362 0, 798 0, 482
=



−0, 170
−0, 567
0, 810




Lección 5
C´ırculos de Mohr
5.1. C´ırculos de Mohr en tensiones
Los c´ırculos de Mohr1
en tensiones proporcionan una representación gráfica plana de los
infinitos vectores tensión σ asociados a un punto P de un sólido elástico sometido a un sistema
de acciones exteriores. Para la obtención de esta representación gráfica se parte de lo siguiente:
Se utiliza el sistema de referencia principal en el punto P.
Las tensiones principales en P se ordenan, sin pérdida de generalidad, de mayor a menor:
σ1 ≥ σ2 ≥ σ3
En el sistema de referencia principal, cualquier vector tensión σen el punto P se puede
obtener como:
σ =



σ1 0 0
0 σ2 0
0 0 σ3






α
β
γ


 =



α σ1
β σ2
γ σ3



donde n = (α, β, γ) es el vector normal correspondiente al plano sobre el que actúa el vector
σ. Entonces, se tiene que:
|σ|2
= σ2
= σ2
1α2
+ σ2
2β2
+ σ2
3γ2
Y, por la definición de componentes intr´ınsecas τ y σn de σ, se tiene:
σ2
= σ2
n + τ2
Combinando las dos expresiones anteriores, se cumple que:
σ2
n + τ2
= σ2
1α2
+ σ2
2β2
+ σ2
3γ2
Por otro lado, la componente normal σn del vector σ es:
σn = σ · n = (α σ1, β σ2, γ σ3)



α
β
γ


 = σ1α2
+ σ2β2
+ σ3γ2
1
Otto Mohr (1835-1918), ingeniero estructural alemán pionero en la aplicación de métodos gráficos para la
resolución de problemas de la teor´ıa de la estructuras.
31

32 LECCI ÓN 5. CÍRCULOS DE MOHR
Y también sabemos que:
α2
+ β2
+ γ2
= 1
Las tres ecuaciones anteriores proporcionan una relación entre las tensiones principales σ1,
σ2 y σ3 en el punto P, las componentes del vector unitario (α, β, γ) normal a un plano y las
componentes intr´ınsecas del vector tensión en el punto P según ese plano, σn y τ:
σ2
1α2
+ σ2
2β2
+ σ2
3γ2
= σ2
n + τ2
σ1α2
+ σ2β2
+ σ3γ2
= σn
α2
+ β2
+ γ2
= 1
De donde se obtiene:
γ2
=
(σn − σ1) (σn − σ2) + τ2
(σ3 − σ1) (σ3 − σ2)
β2
=
(σn − σ1) (σn − σ3) + τ2
(σ2 − σ1) (σ2 − σ3)
α2
=
(σn − σ2) (σn − σ3) + τ2
(σ1 − σ2) (σ1 − σ3)
Los cocientes anteriores deben ser positivos, ya que corresponden a números reales α, β, γ
elevados al cuadrado. Analicemos uno por uno los tres cocientes.
1. Cociente de α2
.
α2
=
(σn − σ2) (σn − σ3) + τ2
(σ1 − σ2) (σ1 − σ3)
≥ 0
El denominador del cociente es un número positivo, por ser σ1 ≥ σ2 ≥ σ3, según nuestro
convenio. En consecuencia, debe cumplirse:
(σn − σ2) (σn − σ3) + τ2
≥ 0
o lo que es lo mismo:
(σn −
σ2 + σ3
2
)2
− (
σ2 − σ3
2
)2
+ τ2
≥ 0
y la condición de que α2
sea positivo se traduce en que:
(σn −
σ2 + σ3
2
)2
+ τ2
≥ (
σ2 − σ3
2
)2
En el plano (σn, τ) la ecuación de la circunferencia de centro (σ2+σ3
2 , 0) y radio σ2−σ3
2 es:
(σn −
σ2 + σ3
2
)2
+ τ2
= (
σ2 − σ3
2
)2
Luego la condición que debe cumplirse, derivada de que α2
≥ 0, es que los puntos (σn, τ)
que representan los vectores tensión en el punto P, han de encontrarse fuera del c´ırculo de
radio σ2−σ3
2 centrado en el punto (σ2+σ3
2 , 0) (primer c´ırculo de Mohr, figura 5.1).

5.1. CÍRCULOS DE MOHR EN TENSIONES 33
σn
σ2
σ3
τ
Zona posible: exterior del círculo
Figura 5.1: Primer c´ırculo de Mohr C1
2. Cociente de β2
.
β2
=
(σn − σ1) (σn − σ3) + τ2
(σ2 − σ1) (σ2 − σ3)
≥ 0
El denominador del cociente es un número negativo, por ser σ1 ≥ σ2 ≥ σ3, según nuestro
(σn − σ1) (σn − σ3) + τ2
≤ 0
(σn −
σ1 + σ3
2
)2
− (
σ1 − σ3
2
)2
+ τ2
≤ 0
y la condición de que β2 sea positivo se traduce en que:
(σn −
σ1 + σ3
2
)2
+ τ2
≤ (
σ1 − σ3
2
)2
2 es:
(σn −
σ1 + σ3
2
)2
+ τ2
= (
σ1 − σ3
2
)2

Luego la condición que debe cumplirse, derivada de que β2
≥ 0, es que los puntos (σn, τ)
que representan los vectores tensión en el punto P, han de encontrarse dentro del c´ırculo
de radio σ1−σ3
2 , 0) (segundo c´ırculo de Mohr, figura 5.2).
3. Cociente de γ2
.
γ2
=
(σn − σ1) (σn − σ2) + τ2
(σ3 − σ1) (σ3 − σ2)
≥ 0
El denominador del cociente es un número positivo, por ser σ1 ≥ σ2 ≥ σ3, según nuestro
(σn − σ1) (σn − σ2) + τ2
≥ 0
(σn −
σ1 + σ2
2
)2
− (
σ1 − σ2
2
)2
+ τ2
≥ 0
y la condición de que γ2
sea positivo se traduce en que:
(σn −
σ1 + σ2
2
)2
+ τ2
≥ (
σ1 − σ2
2
)2
2 es:
(σn −
σ1 + σ2
2
)2
+ τ2
= (
σ1 − σ2
2
)2
σn
σ1
σ3
τ
Zona posible: interior del círculo
Figura 5.2: Segundo c´ırculo de Mohr C2

5.1. CÍRCULOS DE MOHR EN TENSIONES 35
σn
σ1
τ Zona posible: exterior del círculo
σ2
Figura 5.3: Tercer c´ırculo de Mohr C3
Luego la condición que debe cumplirse, derivada de que γ2 ≥ 0, es que los puntos (σn, τ)
que representan los vectores tensión en el punto P, han de encontrarse fuera del c´ırculo de
radio σ1−σ2
2 , 0) (tercer c´ırculo de Mohr, figura 5.3).
Si combinamos en una sola representación las tres condiciones obtenidas para la posición de
los puntos (σn, τ) que representan los vectores tensión en el punto P, se tiene la representación
de la figura 5.4, en la que se ve que la zona de puntos de tensión posibles en la comprendida
entre los tres c´ırculos de Mohr.
Cuando dos tensiones principales son iguales, el estado tensional recibe el nombre de estado
cil´ındrico. Nótese que en ese caso uno de los c´ırculos de Mohr tiene radio nulo y los dos otros
c´ırculos se superponen. En ese caso los puntos de tensión posibles están sobre una circunferencia.
Cuando las tres tensiones principales son iguales, el estado tensional recibe el nombre de
estado esférico o estado hidrostático. En este caso los tres c´ırculos de Mohr coinciden en un
punto situado sobre el eje de σn, que es el único punto de tensión posible.

σn
σ1
σ3
τ
Zona posible
σ2
Figura 5.4: Representación de Mohr de las componentes de tensión posibles en el punto P
5.2. Representación de tensiones en los c´ırculos de Mohr
5.2.1. Componentes intr´ınsecas del vector tensión
Dado un estado tensional en el punto P del sólido elástico, a cada orientación n ≡ (α, β, γ)
definida en P con respecto al sistema de referencia principal, le corresponde un punto A ≡
(σn, τ) dentro de la representación de Mohr, dado por:
σn = σ1α2
+ σ2β2
+ σ3γ2
y
τ = σ − σn =



α σ1
β σ2
γ σ3


 − σn



α
β
γ


 =



α (σ1 − σn)
β (σ2 − σn)
γ (σ3 − σn)



luego,
τ = ± α2 (σ1 − σn)2 + β2 (σ2 − σn)2 + γ2 (σ3 − σn)2
Normalmente se elige un signo positivo para τ y, de esta forma, se trabaja con el semiplano
superior del plano (σn, τ). De este modo, a cada orientación n ≡ (α, β, γ) definida en P le
corresponde un solo punto A ≡ (σn, τ) de tensión en la representación de Mohr.
5.2.2. Cálculo de la orientación del vector normal
Rec´ıprocamente, la posición de un punto A = (σn, τ) en la representación de Mohr puede
utilizarse para conocer la orientación del vector normal n= ( α, β, γ) que da lugar a las com-
ponentes intr´ınsecas (σn, τ).

5.2. REPRESENTACI ÓN DE TENSIONES EN LOS CÍRCULOS DE MOHR 37
σn
σ1
σ3
τ
σ2
A’
A
C1
C2
C3
α γ
circunferencia
concéntrica a C3
circunferencia
concéntrica a C1
Figura 5.5: Construcción para la determinación de los parámetros α, β, γ
Se emplea la construcción geométrica siguiente (figura 5.5):
1. Trazar circunferencias concéntricas con C1 y C3 que pasen por el punto A, hasta que corten
a C2.
2. Se unen estos puntos de corte con los extremos del diámetro del c´ırculo C2, obteniéndose
los ángulos α y γ. Como se verá a continuación, se cumple que:
α2
= cos2
α
γ2
= cos2
γ
3. Se obtiene β2 utilizando la relación:
β2
= 1 − α2
− γ2
Nótese que de esta forma se obtienen los cuadrados de los parámetros α, β, γ y, por tanto,
quedan determinados los módulos de las componentes del vector normal n, pero no su signo:
α = ± cos α
β = ± cos β
γ = ± cos γ

As´ı, a cada punto A ≡ (σn, τ) dentro de la representación de Mohr le corresponden hasta
ocho orientaciones del vector normal n, obtenidas permutando los signos positivos y negativos:
(α, β, γ), (α, −β, −γ), (α, −β, γ), (α, β, −γ), (−α, β, γ), . . ..
La construcción geométrica definida más arriba se basa en lo siguiente:
En todos los puntos de una circunferencia concéntrica a C1 se tiene el mismo valor de α2
.
En todos los puntos de una circunferencia concéntrica a C3 se tiene el mismo valor de γ2
.
En los puntos de la circunferencia C2 se tiene que β = 0.
Entonces, en el punto A de la figura 5.5 se tiene el mismo valor de α2
que en el punto A y,
además, β es nulo. En el punto A se tiene:
1 − α2
α2
=
γ2
α2
por ser β nulo
Sustituyendo los valores de α y γ en el punto A se obtiene:
1 − α2
α2
=
(σn−σ1)(σn−σ2) + τ 2
(σ3−σ1) (σ3−σ2)
(σn−σ2)(σn−σ3) + τ 2
(σ1−σ2) (σ1−σ3)
=
(σ1 − σ2) [(σn − σ1) (σn − σ2) + τ 2
]
(σ2 − σ3) [(σn − σ2) (σn − σ3) + τ 2]
donde (σn, τ ) son las coordenadas del punto A . Además, como β es nulo en el punto A , resulta
que:
(σn − σ1) (σn − σ3) + τ 2
= 0 −→ τ 2
= −(σn − σ1) (σn − σ3)
y sustituyendo:
1 − α2
α2
=
(σn − σ1) (σ3 − σ2)
(σ2 − σ3) (σn − σ3)
= −
(σn − σ1)
(σn − σ3)
= −
(σn − σ1)(σn − σ3)
(σn − σ3)2
=
τ 2
(σn − σ3)2
= tan2
α
De donde se deduce que α = ± cos α.
5.3. Casos particulares
5.3.1. Planos que contienen al primer eje principal
Tratamos de ver ahora en qué zona de la representación de Mohr se sitúan los puntos de
tensión correspondientes a planos que contienen al primer eje principal, es decir, planos cuyo
vector normal n tiene su primera componente nula: α = 0 (figura 5.6).
El equilibrio de las fuerzas de primer orden que actúan sobre la cuña de material alrededor
del punto P representada en la figura 5.6 nos da las ecuaciones siguientes:
σ2 s cos θ = σn s cos θ + τ s sin θ
σ3 s sin θ = σn s sin θ − τ s cos θ
siendo θ el ángulo que forma el vector normal al plano n con el eje principal II. De las dos
ecuaciones anteriores se deduce que:
τ =
σ2 − σ3
2
sin 2θ
σn =
σ2 + σ3
2
+
σ2 − σ3
2
cos 2θ

5.3. CASOS PARTICULARES 39
III
I
II
P
P
n
τ
σn
III
II II
θ
n
III
II
n
τ
σn
θθ
σ3
σ2
S
Figura 5.6: Planos que contienen al eje principal I
Estas últimas relaciones son las ecuaciones paramétricas de la circunferencia correspondiente
al primer c´ırculo de Mohr C1 (figura 5.7). Lo que indica que los puntos de tensión correspon-
dientes a planos que contienen al primer eje principal se encuentran sobre la circunferencia C1,
σn
σ2
σ3
τ
C1
2θ
(σ , τ)n
Punto que define el vector tensión para
la normal n
Doble del ángulo que forma la normal con el eje IIn
Figura 5.7: Planos que contienen al eje principal I. Puntos de tensión sobre la circunferencia C1

III
I
II
P
P
n
τ
σn
III
II I
θ
n
III
I
n
τ
σn
θθ
σ3
σ1
S
Figura 5.8: Planos que contienen al eje principal II
de modo que el ángulo del radio vector asociado a cada punto de tensión con el eje de σn es el
doble del ángulo que forma el vector normal al plano n con el eje principal II de tensiones.
5.3.2. Planos que contienen al segundo eje principal
Análogamente, veamos ahora en qué zona de la representación de Mohr se sitúan los puntos
de tensión correspondientes a planos que contienen al segundo eje principal, es decir, planos
cuyo vector normal n tiene su segunda componente nula: β = 0 (figura 5.8).
El equilibrio de las fuerzas de primer orden que actúan sobre la cuña de material alrededor del
punto P representada en la figura 5.8 nos proporciona, como antes, las ecuaciones paramétricas
siguientes:
τ =
σ1 − σ3
2
sin 2θ
σn =
σ1 + σ3
2
+
σ1 − σ3
2
cos 2θ
siendo θ el ángulo que forma el vector normal al plano n con el eje principal I.
al segundo c´ırculo de Mohr C2 (figura 5.9). Lo que indica que los puntos de tensión correspondi-
entes a planos que contienen al segundo eje principal se encuentran sobre la circunferencia C2,
doble del ángulo que forma el vector normal al plano n con el eje principal I de tensiones.

5.4. TENSIONES M ÁXIMAS 41
σn
σ1
σ3
τ
C2
2θ
(σ , τ)n
la normal n
Doble del ángulo que forma la normal con el eje In
Figura 5.9: Planos que contienen al eje principal II. Puntos de tensión sobre la circunferencia C2
5.3.3. Planos que contienen al tercer eje principal
Por último, veamos en qué zona de la representación de Mohr se sitúan los puntos de tensión
correspondientes a planos que contienen al tercer eje principal, es decir, planos cuyo vector
normal n tiene su tercera componente nula: γ = 0 (figura 5.10).
El equilibrio de las fuerzas de primer orden que actúan sobre la cuña de material alrededor del
punto P representada en la figura 5.10 nos proporciona, como antes, las ecuaciones paramétricas
siguientes:
τ =
σ1 − σ2
2
sin 2θ
σn =
σ1 + σ2
2
+
σ1 − σ2
2
cos 2θ
siendo θ el ángulo que forma el vector normal al plano n con el eje principal I.
al tercer c´ırculo de Mohr C3 (figura 5.11). Lo que indica que los puntos de tensión correspondi-
entes a planos que contienen al segundo eje principal se encuentran sobre la circunferencia C3,
doble del ángulo que forma el vector normal al plano n con el eje principal I de tensiones.
5.4. Tensiones máximas
De los c´ırculos de Mohr correspondientes al estado tensional en un punto P se pueden obtener
las tensiones máximas que actúan en el punto P.
Con respecto a las tensiones normales, las máximas vienen dadas por las tensiones princi-
pales, σ1 o σ3, que son los puntos extremos de la representación de Mohr sobre el eje σn.

III
I
II
PP
n
τ
σn
II
II I
θ
n
II
I
n
τ
σn
θθ
σ2
σ1
S
Figura 5.10: Planos que contienen al eje principal III
Con respecto a las tensiones tangenciales, la m´axima viene dada por el radio del c´ırculo C2:
τmax =
σ1 − σ3
2
σn
σ1
σ2
τ
C3
2θ
(σ , τ)n
la normal n
Doble del ángulo que forma la normal con el eje In
Figura 5.11: Planos que contienen al eje principal III. Puntos de tensi´on sobre circunferencia C3

5.5. ESTADOS TENSIONALES CILÍNDRICO Y ESFÉRICO 43
σn
σ =σ1 2
σ3
τ
C = C1 2
Figura 5.12: C´ırculos de Mohr en estado de tensión cil´ındrico
Esta tensión se da sobre un plano que contiene al eje principal intermedio (II), a ± 45o
con los
ejes principales I y III.
5.5. Estados tensionales cil´ındrico y esférico
5.5.1. Estado cil´ındrico
Si son iguales dos tensiones principales, σ1 = σ2 ó σ2 = σ3, el estado tensional se conoce con
el nombre de estado cil´ındrico.
Si σ1 = σ2, la circunferencia C3 se reduce a un punto y la circunferencia C1 coincide con C2.
Es decir, el área sombreada de la figura 5.4 se reduce a la circunferencia C1 ≡ C2 (figura 5.12). En
este caso solamente está determinada la dirección principal correspondiente a la tensión principal
σ3. Cualquier dirección contenida en un plano normal a la dirección principal correspondiente a
σ3 es una dirección principal.
Igualmente, si σ2 = σ3, la circunferencia C1 se reduce a un punto y la circunferencia C2
coincide con C3. Es decir, el área sombreada de la figura 5.4 se reduce a la circunferencia
C2 ≡ C3. En este caso solamente está determinada la dirección principal correspondiente a la
tensión principal σ1. Cualquier dirección contenida en un plano normal a la dirección principal
correspondiente a σ1 es una dirección principal.
Cuando dos tensiones principales son iguales, puede verse que los estados tensionales corre-
spondientes presentan simetr´ıa cil´ındrica en torno a la única dirección principal que está deter-
minada. De ah´ı que un estado tensional de estas caracter´ısticas se denomine estado cil´ındrico.
Por ejemplo, en un estado cil´ındrico con σ1 = σ2 los vectores tensión correspondientes a
cualquier plano π cuya normal forme un ángulo ˆγ con la dirección principal correspondiente
a σ3 tienen las mismas componentes intr´ınsecas. En efecto, utilizando el sistema de referencia
principal:

σ=



σx
σy
σz


 =



σ 0 0
0 σ 0
0 0 σ3






α
β
γ


 =



α σ
β σ
γ σ3



cuyas componentes intr´ınsecas son:
σn = σ · n = σ(α2
+ β2
) + σ3γ2
= σ(1 − γ2
) + σ3γ2
(independiente de α y β)
τ = σ2(α2 + β2) + σ2
3γ2 − σ2
n = σ2(1 − γ2) + σ2
3γ2 − σ2
n (independiente de α y β)
5.5.2. Estado esférico
Si en vez de ser iguales dos, son iguales las tres tensiones principales, el elipsoide de tensiones
es una esfera y todas las direcciones son principales. Los c´ırculos de Mohr se reducen a un punto:
para cualquier plano π el vector tensión correspondiente es normal al plano y carece, por tanto,
de componente tangencial. Además, su módulo es constante.
Este estado tensional presenta simetr´ıa en torno al punto P en el que se considera el estado
tensional y, por ello, recibe el nombre de estado esférico. Por analog´ıa con el estado tensional que
existe en un cuerpo sumergido en un l´ıquido, se le denomina también a veces estado hidrostático.
Desde el punto de vista de la respuesta del material, a veces tiene interés descomponer la
matriz de tensiones en suma de la correspondiente a un estado hidrostático [T0] y otra corre-
spondiente a un estado desviador [Td]:
[T] =



σnx τxy τxz
τxy σny τyz
τxz τyz σnz


 =



p 0 0
0 p 0
0 0 p


 +



σnx − p τxy τxz
τxy σny − p τyz
τxz τyz σnz − p



= [T0] + [Td]
donde 3 p = σnx + σny + σnz. La matriz [T0] es la matriz volumétrica y la matriz [Td] es la matriz
desviadora.
5.6.1. Representación de un estado tensional en el diagrama de Mohr
Las tensiones principales en un punto de un sólido son: σ1 = 4 MPa, σ2 = 2 MPa y σ3 = −1
MPa. Determinar anal´ıtica y gráficamente el punto que corresponde en el diagrama de Mohr al
vector tensión del plano cuya normal forma ángulos de 45o y 120o con las direcciones principales
2 y 3, respectivamente.
Solución:
1. Solución anal´ıtica

La matriz de tensiones con respecto al sistema de referencia principal es:
[T] =



4 0 0
0 2 0
0 0 −1


 MPa
El vector normal al plano que se da en el enunciado es n = (α, β, γ), con:
β = cos(45o
) =
1
√
2
γ = cos(120o
) = − cos(60o
) = −
1
2
α = 1 − β2 − γ2 = ±
1
2
−→ α =
1
2
(se toma la ra´ız positiva)
El vector tensión asociado al plano será entonces:
σ =



4 0 0
0 2 0
0 0 −1






0, 50
0, 7071
−0, 50


 =



2, 00
1, 4142
0, 50



Las componentes intr´ınsecas de este vector son:
σn = σ · n = (2, 00, 1, 4142, 0, 50)



0, 50
0, 7071
−0, 50


 = 1, 75 MPa
y
τ = |σ|2 − σ2
n = 22 + 1, 41422 + 0, 502 − 1, 752 = 1, 785 MPa
La representación de este punto en el diagrama de Mohr se da en la figura 5.13. Nótese
que se ha tomado la ra´ız positiva de τ y que, por tanto, el punto se sitúa en el semiplano
superior.
2. Solución gráfica
Para representar el punto se requieren el ángulo α y el ángulo γ:
α = arc cos α = arc cos(0, 50) = 60o
γ = 120o
(dato)
Como el ángulo γ = 120o
es mayor que 90o
, se toma el ángulo suplementario, 60o
, para
obtener la representación de Mohr del punto dado.
En la figura 5.13 se da la construcción geométrica. Tras dibujar los tres c´ırculos de Mohr
a partir de los valores de las tensiones principales, desde los extremos del diámetro del
c´ırculo C2 se trazan rectas que forman ángulos de α = 60o
y 180 − γ = 60o
con el eje de
abcisas. Las rectas cortan a la circunferencia C2 en los puntos A y B.
A continuación se trazan las circunferencias concéntricas con C1 y C3 que pasan por A y
B, respectivamente. La intersección de ambas circunferencias nos da el punto buscado.

τ ( )MPa
σn
-1
(MPa)4
2
(1,75, 1,785)
α = 60º
C1
C3
C2
γ = 120º180−120 = 60º
A
B
Figura 5.13: Representación del punto en el diagrama de Mohr
5.6.2. Obtención de tensiones principales con el diagrama de Mohr
Las tensiones principales extremas en un punto de un sólido son: 100 y 50 MPa. El vector
tensión correspondiente a un plano π, cuya normal forma un ángulo de 45o con la dirección
principal 1, tiene un módulo de σ = 85 MPa y forma con la normal al plano un ángulo θ = 12, 5o
.
Se pide determinar gráficamente el valor de la tensión principal intermedia σ2.
Solución:
La construcción geométrica se da en la figura 5.14. Los datos del problema permiten dibujar
el c´ırculo C2. Trazando desde el extremo izquierdo (tensión principal menor σ3) una recta a 45o
con el eje horizontal se obtiene el punto A.
Por otro lado, las componentes intr´ınsecas del vector tensión σ dado son:
σn = 85 cos(12, 5o
) = 82, 99 MPa
y
τ = |σ|2 − σ2
n = 852 − 82, 992 = 18, 4 MPa
La representación de este punto (σn, τ) en el diagrama de Mohr es el punto B de la figura
5.14. El centro del c´ırculo C1 se encuentra en la mediatriz de AB. La intersección de la mediatriz

Figura 5.14: Determinaci´on del centro del c´ırculo C1
con el eje de abcisas se produce para σn = 61, 6 MPa. En consecuencia, la tensi´on principal σ2
es:
σ2 = 50 + (61, 6 − 50) × 2 = 73, 2 MPa

Lección 6
Concepto de deformación
6.1. Vector desplazamiento
Sea un punto P dentro de un sólido elástico. Sea r0 ≡ (x0, y0, z0) el vector de posición del
punto P antes de aplicar ninguna acción sobre el sólido (figura 6.1).
Al aplicar al sólido un sistema de fuerzas fv, fs, el punto P sufre un desplazamiento, de
forma que su nuevo vector de posición es el r1 ≡ (x1, y1, z1).
Se define como vector desplazamiento del punto P, δp, la diferencia:
δp = r1 − r0 =



x1 − x0
y1 − y0
z1 − z0


 =



u
v
w



Dentro del sólido elástico, el vector desplazamiento δp es una función de punto. Se trata por
tanto de un campo vectorial, el campo de desplazamientos, definido dentro del sólido elástico y
asociado a cada sistema de fuerzas que actúe sobre el mismo.
Cabe señalar los puntos siguientes:
Aunque la definición del vector desplazamiento tiene mucha más generalidad, nosotros
estamos únicamente interesados en el desplazamiento de los puntos del sólido elástico en
los casos en que los v´ınculos exteriores del sólido son suficientes para impedir su movimiento
de sólido r´ıgido1.
La teor´ıa de la elasticidad lineal postula que la diferencia entre las coordenadas de P antes
de la aplicación del sistema de fuerzas, (x0, y0, z0), y después de la aplicación del mismo,
(x1, y1, z1), es muy pequeña, despreciable con respecto a las dimensiones del sólido. En
consecuencia, se definen las componentes del vector δp como funciones de las coordenadas
(x, y, z) del punto P, sin distinguir entre el estado anterior o posterior a la aplicación
de las fuerzas. En lo sucesivo, nosotros asumiremos este postulado, que se conoce con el
nombre de hipótesis de pequeños desplazamientos y que resulta válido en la mayor´ıa de las
aplicaciones prácticas.
Supondremos que no hay desgarros en el material durante la aplicación del sistema de
fuerzas exteriores. Por lo tanto, las componentes u ≡ u(x, y, z), v ≡ v(x, y, z), w ≡
1
Ver sección 1.3.
49

50 LECCI ÓN 6. CONCEPTO DE DEFORMACI ÓN
Z
X
Y
r0
P
P
r1
δp
Figura 6.1: Definición del vector desplazamiento δp
w(x, y, z) del vector desplazamiento δp, por el fenómeno f´ısico que representan, deben ser
funciones continuas, ya que un mismo punto del sólido no puede desplazarse a dos sitios
diferentes.
6.2. Matrices de giro y deformación
Sea Q otro punto del sólido elástico infinitamente próximo a P. Si se analiza el desplazamiento
de estos dos puntos al aplicar un sistema de fuerzas exteriores se tiene (figura 6.2):
PQ = dr0 + δp + dδp y también
PQ = δp + dr1
luego:
dr1 = dr0 + dδp
y además:

6.2. MATRICES DE GIRO Y DEFORMACI ÓN 51
P
(x,y,z)
P’
Q’Q
(x+dx, y+dy, z+dz)
dr0
dr1
δp
δ δp p+ d
Posición inicial
Posición deformada
Figura 6.2: Desplazamientos en el entorno del punto P
dδp =



du
dv
dw


 =




∂u
∂x
∂u
∂y
∂u
∂z
∂v
∂x
∂v
∂y
∂v
∂z
∂w
∂x
∂w
∂y
∂w
∂z







dx
dy
dz


 = [M] dr0
Entonces tenemos que:
dr1 = dr0 + [M] dr0
Es decir, la separación dr1 entre los puntos P y Q en el estado que resulta tras aplicar el sistema
de fuerzas es igual a la separación inicial r0 más una transformación lineal de la separación
inicial dada por la matriz [M].
La matriz [M] puede descomponerse en suma de una matriz simétrica y otra matriz anti-
simétrica:
[M] =
1
2
{[M] + [M]t
}
simétrica
+
1
2
{[M] − [M]t
}
antisimétrica
= [D] + [H]
La matriz simétrica [D] se conoce con el nombre de matriz de deformación y la matriz
antisimétrica [H] se llama matriz de giro.
Entonces podemos escribir que la posición relativa de los puntos P y Q durante la aplicación
de fuerzas exteriores cambia del modo siguiente:
dr1 = dr0 + [D] dr0 + [H] dr0
Se debe recordar que la transformación lineal de un vector dada por una matriz antisimétrica
es equivalente a un producto vectorial de un vector ω formado a partir de las componentes de
la matriz por el vector sobre el que se aplica la transformación. Si las componentes de la matriz

son infinitesimales, la transformación puede interpretarse como un giro infinitesimal de sólido
r´ıgido alrededor del eje definido por el vector dω (figura 6.3).
dω × dr =
i j k
dωx dωy dωz
dx dy dz
=



dωy dz − dωz dy
dωz dx − dωx dz
dωx dy − dωy dx


 =



0 −dωz dωy
dωz 0 −dωx
−dωy dωx 0



componentes de dω



dx
dy
dz



Es decir, durante la aplicación de un sistema de fuerzas, dos puntos próximos P y Q del
sólido elástico se mueven uno con respecto al otro:
Girando uno con respecto al otro: giro de sólido r´ıgido dado por la matriz [H]. Esta
transformación no produce tensiones (fuerzas internas) en el material, ya que la distancia
entre los dos puntos no cambia.
Distorsionando o estirando el material: el movimiento relativo distinto del giro, dado por
la matriz de deformación [D]. Esta transformación produce tensiones (fuerzas internas) en
el material.
La matriz [H] representa un giro puro, esto es, sin deformación, únicamente cuando el entorno
del punto P sufre un giro pequeño o infinitesimal. Esto es, cuando las componentes de [H] son
pequeñas, tal como estamos suponiendo. En este caso se cumple lo anterior y la matriz [D] reúne
toda la deformación del entorno del punto. Se dice que se trabaja en la hipótesis de pequeños
giros.
Si los giros no son pequeños, entonces la matriz [H] construida según se indica más arriba,
no representa una transformación de giro puro, sino que incorpora parte de la deformación
del entorno del punto P. En estos casos la deformación se define mediante otras matrices más
complicadas que la matriz [D].
dω
P
Q
dr0
[H] dr0
Figura 6.3: Interpretación geométrica de la matriz de giro

Como hemos señalado más arriba, nosotros asumimos la hipótesis de pequeños desplaza-
mientos de la elasticidad lineal, que implica que tanto los giros (componentes de la matriz [H])
como las deformaciones (componentes de la matriz [D]) son pequeños.
A partir de las componentes del campo de desplazamientos, la matriz de giro es:
[H] =




0 1
2(∂u
∂y − ∂v
∂x ) 1
2(∂u
∂z − ∂w
∂x )
−1
2 (∂u
∂y − ∂v
∂x) 0 1
2(∂v
∂z − ∂w
∂y )
−1
2 (∂u
∂z − ∂w
∂x ) −1
2 (∂v
∂z − ∂w
∂y ) 0



 =



0 −az ay
az 0 −ax
−ay ax 0



y la matriz de deformación:
[D] =




∂u
∂x
1
2(∂u
∂y + ∂v
∂x) 1
2 (∂u
∂z + ∂w
∂x )
1
2 (∂u
∂y + ∂v
∂x) ∂v
∂y
1
2 (∂v
∂z + ∂w
∂y )
1
2 (∂u
∂z + ∂w
∂x ) 1
2(∂v
∂z + ∂w
∂y ) ∂w
∂z



 =




εx
1
2 γxy
1
2γxz
1
2 γxy εy
1
2 γyz
1
2 γxz
1
2 γyz εz




La matriz de deformación representa una magnitud tensorial de orden 2 que en la literatura
se conoce con el nombre de tensor de pequeñas deformaciones. Dentro del sólido elástico, la
matriz de deformación [D] es una función de punto, se trata por tanto de un campo tensorial
de orden 2.
6.3.1. Cálculo de la matriz de deformación y el giro en el entorno de un punto
Sobre un sólido elástico se ha provocado un estado de deformación tal que las componentes
del vector desplazamiento en un sistema cartesiano ortogonal OXY Z son:
u = 4 a x2
v = 8 a z2
w = −2 a y2
con a = 10−6
cm−1
.
Determinar en el punto P = (1, 1, 1) cm, la matriz de deformación y la dirección del eje de
giro experimentado por el entorno del punto P.
Solución:
1. Matriz de deformación
A partir de las derivadas de las componentes del campo de desplazamientos, la matriz de
deformación es:
[D] =




∂u
∂x
1
2(∂u
∂y + ∂v
∂x ) 1
2 (∂u
∂z + ∂w
∂x )
1
2 (∂u
∂y + ∂v
∂x) ∂v
∂y
1
2 (∂v
∂z + ∂w
∂y )
1
2(∂u
∂z + ∂w
∂x ) 1
2(∂v
∂z + ∂w
∂y ) ∂w
∂z



 =




8 ax 0 0
0 0 8 az − 2 ay
0 8 az − 2 ay 0





Y en el punto P:
[D] =



8 0 0
0 0 6
0 6 0


 10−6
2. Direcci´on del eje de giro del entorno del punto P
A partir de las derivadas de las componentes del campo de desplazamientos, la matriz de
giro es:
[H] =




0 1
2 (∂u
∂y − ∂v
∂x ) 1
2(∂u
∂z − ∂w
∂x )
−1
2 (∂u
∂y − ∂v
∂x) 0 1
2(∂v
∂z − ∂w
∂y )
−1
2 (∂u
∂z − ∂w
∂x ) −1
2 (∂v
∂z − ∂w
∂y ) 0



 =



0 0 0
0 0 2 ay + 8 az
0 −2 ay − 8 az 0



Y en el punto P:
[H] =



0 0 0
0 0 10
0 −10 0


 10−6
A partir de las componentes de la matriz [H], las componentes del vector de giro inﬁnites-
imal son:
dω =



−10
0
0


 10−6
Se trata por tanto de un giro con eje paralelo al eje OX del sistema de referencia.

Lección 7
Deformaciones longitudinales y
transversales
7.1. Ecuaciones cinemáticas
Las componentes de la matriz de deformación [D] se relacionan con las componentes (u, v, w)
del campo de desplazamientos δp mediante las ecuaciones:
εx =
∂u
∂x
εy =
∂v
∂y
εz =
∂w
∂z
γxy =
∂u
∂y
+
∂v
∂x
γxz =
∂u
∂z
+
∂w
∂x
γyz =
∂w
∂y
+
∂v
∂z
Las ecuaciones anteriores constituyen un sistema de ecuaciones diferenciales en derivadas
parciales definido en el volumen V del sólido elástico. Relacionan las derivadas del campo de
desplazamientos con las componentes del campo de deformación, en la hipótesis de pequeños
desplazamientos. Son ecuaciones cinemáticas en el sentido de que definen la deformación sin
tener en cuenta la causa que la produce, esto es, las fuerzas internas en el sólido. A veces estas
ecuaciones se llaman ecuaciones de compatibilidad del campo de deformaciones con el campo de
desplazamientos.
Las ecuaciones cinemáticas constituyen el segundo grupo de ecuaciones de la Teor´ıa de la
Elasticidad, tras las ecuaciones de equilibrio que vimos en la lección 3. Nótese que, como en el
caso de las ecuaciones de equilibrio, se trata de ecuaciones lineales.
55

56 LECCI ÓN 7. DEFORMACIONES LONGITUDINALES Y TRANSVERSALES
P
A
B
C
dx
dy
dz dr0
Estado inicial
P
A
B
C
(1+ )dxεx
(1+ )dyεy
(1+ )dzεz
dr1
Estado deformado
P
A
B
C
dx
dy
dz dr0
Estado inicial
Figura 7.1: Significado f´ısico de las deformaciones longitudinales
7.2. Significado de los términos de la matriz de deformación
Los términos εx, εy y εz de la matriz de deformación se conocen con el nombre de de-
formaciones longitudinales. Los otros tres términos, γxy, γxz y γyz, se llaman deformaciones
transversales. A continuación veremos el significado f´ısico de estas dos clases de deformación.
1. Deformaciones longitudinales
Sea el vector dr0 = (dx, dy, dz) en el punto P.
Supongamos que para un determinado estado tensional la matriz de deformación vale:
[D] =



εx 0 0
0 εy 0
0 0 εz



y que la matriz de giro [H] es nula.
De acuerdo con esto, la transformación del vector dr0 durante el proceso de aplicación de
las acciones exteriores será:
dr1 = dr0 + [D] dr0 =



dx
dy
dz


 +



εx dx
εy dy
εz dz


 =



(1 + εx) dx
(1 + εy) dy
(1 + εz) dz



Es decir, las componentes de la diagonal principal de [D] producen el estiramiento de las
longitudes según los ejes X, Y y Z, respectivamente. Una longitud inicial dx pasa a ser, tras

7.2. SIGNIFICADO DE LOS TÉRMINOS DE LA MATRIZ DE DEFORMACI ÓN 57
la deformación, de (1 + εx) dx. En consecuencia, εx tiene el sentido f´ısico de alargamiento
por unidad de longitud en el punto P en la dirección X. Nótese que εx es una magnitud
adimensional, como el resto de las componentes de [D].
El sentido f´ısico de εy y εz es el mismo, referido a los otros dos ejes del sistema de refer-
encia principal. De esta forma, las deformaciones longitudinales producen una dilatación
homotética del entorno del punto P, sin distorsión de ángulos (figura 7.1).
2. Deformaciones transversales
Sea ahora un estado tensional en el que la matriz de deformación vale:
[D] =




0 1
2 γxy 0
1
2 γxy 0 0
0 0 0




y en el que la matriz de giro [H] es nula.
En este caso, la transformación del vector dr0 durante el proceso de aplicación de las
acciones exteriores será:
dr1 = dr0 + [D] dr0 =



dx
dy
dz


 +




1
2 γxy dy
1
2 γxy dx
0




Es decir, el vector (dx, 0, 0) se transforma en el vector (dx, 1
2 γxy dx, 0); y el vector (0, dy, 0)
se transforma en el vector (1
2 γxy dy, dy, 0) (figura 7.2). Nótese que si las deformaciones son
pequeñas se cumple que:
tan(α) =
1
2γxy dx
dx
=
1
2
γxy ≈ α
tan(β) =
1
2γxy dy
dy
=
1
2
γxy ≈ β
luego,
γxy ≈ α + β = distorsión del ángulo APB
Como las deformaciones son pequeñas, el ángulo α es muy pequeño y, en consecuencia, la
longitud del vector (dx, 0, 0) es prácticamente la misma que la del vector (dx, 1
2γxy dx, 0)
(figura 7.2). Por lo tanto, la componente γxy no produce acortamiento o estiramiento en
el material, únicamente produce distorsión angular.

P
A
B
C
dx
dy
dz dr0
Estado inicial Estado deformado
P
A
B
C
dx
dy
dz dr0
Estado inicial
P B
C
P
A
B
C
dy
dr1
1/2 dyγxy
1/2 dxγxy
dx
dz
α β
Figura 7.2: Significado f´ısico de las deformaciones transversales
7.3. Deformación según una dirección: galgas extensométricas
En un punto P del sólido elástico, la transformación del vector dr0 = (dx, dy, dz) debida a
lo que hemos llamado deformación viene dada por:
[D] dr0 = [D] n dr0 = εn dr0
donde dr0 es el módulo de dr0 y εn = [D] n es el vector deformación unitaria asociada a la
dirección n = (α, β, γ) de dr0.
Muchas veces interesa conocer cómo cambia el módulo del vector dr0 al transformarse en dr1
durante la aplicación de las acciones exteriores. Para ello se parte de:
dr1 = dr0 + [D] dr0 + [H] dr0 = {n0 + [D] n + [H] n} dr0
El cuadrado del módulo de dr1 viene dado por el producto escalar del vector por s´ı mismo:
dr2
1 = dr1 · dr1 = drt
1 dr1 = {n + [D] n + [H] n}t
{n + [D] n + [H] n} dr2
0
y
dr2
1 = {nt
+ nt
[D] − nt
[H]} {n + [D] n + [H] n} dr2
0
De donde se obtiene:

7.3. DEFORMACI ÓN SEG ÚN UNA DIRECCI ÓN: GALGAS EXTENSOMÉTRICAS 59
dr2
1 = dr2
0 {nt
n + nt
[D] n + nt
[H] n + nt
[D] n + nt
[D] [D] n
+ nt
[D] [H] n − nt
[H] n − nt
[H] [D] n − nt
[H] [H] n}
= dr2
0 {1 + 2 nt
[D] n + nt
[D] [D] n
+ nt
[D] [H] n − nt
[H] [D] n − nt
[H] [H] n}
ya que, por ser [H] una matriz antisimétrica, se cumple que nt
[H] n = 0 .
Si las deformaciones y giros son pequeños (elementos de las matrices [D] y [H] son 1)
entonces los términos de orden superior se podrán despreciar y quedará:
dr2
1 ≈ dr2
0 {1 + 2 nt
[D] n}
Y por ser nt
[D] n 1 , quedará finalmente:
dr2
1 ≈ dr2
0 {1 + dnt
[D] dn}2
Es decir, se tendrá que:
dr1 ≈ dr0 {1 + nt
[D] n} = dr0 {1 + εn}
De este modo, el cambio de módulo del vector dr0 se obtiene multiplicando por (1 + εn) el
módulo inicial. El escalar εn se conoce con el nombre de deformación longitudinal unitaria y da
el tanto por uno de aumento del módulo de dr0.
La deformación longitudinal unitaria en el punto P y en la dirección n = (α, β, γ) se calcula
como:
εn = α β γ




εx
1
2 γxy
1
2γxz
1
2 γxy εy
1
2 γyz
1
2 γxz
1
2 γyz εz







α
β
γ



= εx α2
+ εy β2
+ εz γ2
+ γxy α β + γyz β γ + γxz α γ
La deformanción unitaria εn es la deformación que medirá una galga extensométrica colocada
en el punto P según la dirección n = (α, β, γ).
Una galga extensométrica es una resistencia eléctrica cuyo valor de resistencia var´ıa con la
deformación longitudinal. La galga se adhiere al sólido y éste, al deformarse, hace variar su
resistencia. Conocida la resistencia inicial de la galga, la variación de la resistencia, medida
mediante un puente de resistencias, proporciona el valor de la deformación longitudinal unitaria
en la dirección en la que se ha colocado la galga.

ϕ12
n1
n2
Estado inicial
P
ϕ 12’
n1
n2
Estado deformado
P
Figura 7.3: Distorsión de ángulos
7.4. Distorsión de ángulos
En un punto P de un sólido elástico se tienen dos direcciones definidas por los vectores
unitarios n1 y n2. Dichas direcciones forman inicialmente (antes de la deformación) un ángulo
ϕ12. Tras la deformación el ángulo es ϕ12 (figura 7.3).
Puede demostrarse que el incremento de dicho ángulo viene dado por:
∆ϕ12 = ϕ12 − ϕ12 =
(εn1 + εn2) cos ϕ12 − 2 nt
1 [D] n2
sin ϕ12
donde:
εn1 = nt
1 [D] n1 = deformación longitudinal unitaria en dirección 1
εn2 = nt
2 [D] n2 = deformación longitudinal unitaria en dirección 2
[D] = matriz de deformación
7.5.1. Cálculo de variaciones de longitud y de ángulos
La matriz de deformación de la placa indicada en la figura 7.4, referida a un sistema cartesiano
OXY Z es:
[D] =





y (y−x)
2 0
(y−x)
2 x 0
0 0 0





10−4
(x e y en metros)
Calcular la variación de longitud de los lados y la variación de los ángulos interiores de los
vértices, indicando con signo positivo los aumentos y con negativo las disminuciones.
Solución:

Y
X
O
A
BC
D
1 m1 m
1 m
Figura 7.4: Placa
1. Variación de longitud de los lados
En el lado AB se tiene que x = 1 m, y entonces la matriz de deformación vale:
[D] =





y (y−1)
2 0
(y−1)
2 1 0
0 0 0





10−4
(y en metros)
El vector que da la dirección del lado es nt
= (0, 1, 0). Por lo tanto, la deformación
longitudinal unitaria a lo largo del lado vale:
εn = 0 1 0





y (y−1)
2 0
(y−1)
2 1 0
0 0 0








0
1
0


 10−4
= 10−4
El alargamiento del lado será por tanto:
∆l =
1
0
εn dy = 10−4
[y]1
0 = 10−4
m
Análogamente, en el lado BC se tiene y = 1 m, y la matriz de deformación vale:
[D] =





1 (1−x)
2 0
(1−x)
2 1 0
0 0 0





10−4
(x en metros)

El vector que da la dirección del lado es nt
= (1, 0, 0). Por lo tanto, la deformación
εn = 1 0 0





1 (1−x)
2 0
(1−x)
2 1 0
0 0 0








1
0
0


 10−4
= 10−4
El alargamiento del lado BC será por tanto:
∆l =
1
−1
εn dx = 10−4
[x]1
−1 = 2 × 10−4
m
En el lado CD se tiene x = −1 m, y la matriz de deformación vale:
[D] =





y (y+1)
2 0
(y+1)
2 −1 0
0 0 0





10−4
(y en metros)
El vector que da la dirección del lado es nt = (0, 1, 0). Por lo tanto, la deformación
εn = 0 1 0





y (y+1)
2 0
(y+1)
2 −1 0
0 0 0








0
1
0


 10−4
= −10−4
El alargamiento del lado CD resulta por tanto:
∆l =
1
0
εn dx = −10−4
[y]1
0 = −10−4
m
En el lado DA se tiene y = 0 m, y la matriz de deformación vale:
[D] =




0 −x
2 0
−x
2 x 0
0 0 0



 10−4
(x en metros)
El vector que da la dirección del lado es nt = (1, 0, 0). Por lo tanto, la deformación
εn = 1 0 0




0 −x
2 0
−x
2 x 0
0 0 0







1
0
0


 10−4
= 0
El alargamiento del lado CD resulta por tanto:
∆l =
1
−1
εn dx = 0

2. Variación de ángulos interiores
La variación viene dada por la componente:
γxy = 2
y − x
2
10−4
en las esquinas de la placa. Un valor positivo de γxy significa que un ángulo de lados
paralelos a los ejes XY se cierra.
En la esquina A, se tiene x = 1 m e y = 0, con lo que: γxy = (y − x) 10−4 = −10−4. El
valor negativo indica que un ángulo de vértice en A y lados paralelos a los ejes +X y +Y
se abre. Como consecuencia, el ángulo interior en A se cierra en 10−4 rad.
Otra forma de ver este resultado es aplicar la fórmula:
∆ϕ12 = −2 nt
1 [D] n2
= −2 1 0 0



0 −1
2 10−4 0
−1
2 10−4
1 0
0 0 0






0
1
0



= −10−4
En la esquina B, se tiene x = 1 m e y = 1, con lo que: γxy = (y −x) 10−4
= 0. El ángulo
interior en B permanece recto, sin variación.
En la esquina C, se tiene x = −1 m e y = 0, con lo que: γxy = (y − x) 10−4 = 2 10−4.
El valor positivo indica que un ángulo de vértice en C y lados paralelos a los ejes +X y
+Y se cierra. Como consecuencia, el ángulo interior en C se abre en 2 10−4 rad.
En la esquina D, se tiene x = −1 m e y = 0, con lo que: γxy = (y − x) 10−4 = 10−4. El
valor positivo indica que un ángulo de vértice en D y lados paralelos a los ejes +X y +Y
se abre. Como consecuencia, el ángulo interior en D se cierra en 10−4 rad.

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