GUIA DE MATEMATICAS UCV

1. UNIVERSIDAD CENTRAL DE VENEZUELA
FACULTAD DE CIENCIAS
´
ESCUELA DE MATEMATICA
Curso Introductorio
Matem´ticas B´sicas
a a
Gu´ Te´rica - Practica
ıa o
Caracas, Venezuela
Julio 2009

2. ´
Indice general
Introducci´n
o 4
Conjuntos Num´ricos
e 5
1. Conjuntos Num´ricos
e 5
1.1. Operaciones con N´ meros reales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
u 5
1.2. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.3. Ecuaciones de primer grado con una inc´gnita. . . . . . . . . . . . . . . . . .
o 12
1.4. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.5. Ecuaciones de segundo grado con una inc´gnita. Propiedades de las raices.
o
Problemas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.5.1. Suma y producto de las ra´ reales de una ecuaci´n de 2 grado . . .
ıces o 16
1.5.2. Ecuaciones que se reducen a ecuaciones de primer grado o de segundo
grado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.6. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
Polinomios 20
2. Polinomios 20
2.1. Suma y resta de polinomios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2.2. Producto de polinomios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
2.3. Producto Notable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
2.4. Divisi´n de polinomios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
o 23
2.5. Factorizaci´n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
o 24
2.6. Factorizaci´n por completaci´n de cuadrados. . . . . . . . . . . . . . . . . .
o o 28
2.6.1. Completaci´n de Cuadrados.
o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
2.7. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
2

3. ´
INDICE GENERAL 3
Funciones Trigonom´tricas
e 32
3. Funciones Trigonom´tricas
e 32
´
3.1. Angulos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
3.1.1. C´
ırculo Trigonom´trico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
e 34
3.1.2. Medida de los ´ngulos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
a 34
3.1.3. Conversion de Medidas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
3.2. Funci´n Coseno y Seno de un ´ngulo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
o a 36
3.2.1. Signo de las funciones cosenos y senos en los distintos cuadrantes . . 38
3.3. Relaci´n Fundamental de la Trigonometr´ . . . . .
o ıa . . . . . . . . . . . . . . 38
´
3.3.1. Coseno y Seno del Angulo Nulo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
´
3.3.2. Coseno y Seno del Angulo Recto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
´
3.3.3. Coseno y Seno del Angulo Llano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
´ 3π
3.3.4. Coseno y Seno del Angulo de . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
2
´
3.3.5. Coseno y Seno del Angulo Completo . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
´
3.3.6. Coseno y Seno del Angulo Opuesto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
´
3.3.7. Coseno y Seno de un Angulo Agudo de un Tri´ngulo Rect´ngulo . . .
a a 43
´
3.3.8. Coseno y Seno de un Algunos Angulo Notables . . . . . . . . . . . . 45
3.4. Resoluci´n de Tri´ngulos Rect´ngulos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
o a a 47
3.5. Identidades Trigonom´tricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
e 49
3.6. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

4. Introducci´n
o
El Curso de Inducci´n, dirigido a los estudiantes de nuevo ingreso a la Facultad de
o
Ciencias de la Universidad Central de Venezuela, tiene como prop´sito iniciar al estudiante
o
a la vida universitaria brind´ndole asesoramiento a trav´s de los talleres de orientaci´n
a e o
vocacional y h´bitos de estudio y nivelarlo acad´micamente en las ´reas de comprensi´n
a e a o
lectora y matem´ticas.
a
En el ´rea de matem´tica el objetivo del curso es reforzar en los estudiantes de nuevo
a a
ingreso el conocimiento matem´tico, haciendo ´nfasis en una metodolog´ de razonamien-
a e ıa
to l´gico, pensamiento abstracto, a trav´s de la resoluci´n de problemas, brind´ndole al
o e o a
estudiante herramientas que permitan valorar el conocimiento matem´ tico.
a
El Departamento de Matem´tica ha elaborado esta gu´ con ayuda de los profesores y
a ıa
preparadores que laboran en el departamento, que este a˜ o (2009) servir´n de facilitadores
n a
para el curso.
Quiero agradecer muy especialmente a los Profesores: Robert Espitia, Maricarmen An-
drade, Yeiremi Freites a los preparadores Sahid Leal y Daniela Torrealba, asi como tambi´n
e
a las Se˜ oras Mildred Graterol y Diosa Nieto secretarias del Departamento de Matem´tica
n a
por su valiosa colaboraci´n.
o
Prof. Mariela Castillo
Jefa del Departamento de Matem´tica.
a
Escuela de Matem´tica.
a
Facultad de Ciencias.
Universidad Central de Venezuela.
Julio 2009
4

5. Cap´
ıtulo 1
Conjuntos Num´ricos
e
1.1. Operaciones con N´ meros reales
u
N es el conjunto de los n´ meros naturales. Sus elementos son: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, ..., n, ...
u
La suma de n´ meros naturales es un n´ mero natural.
u u
La Adici´n de n´ meros naturales satisface las propiedades conmutativa, asociativa y
o u
tiene un elemento neutro que es el 0.
El producto de n´ meros naturales satisface las propiedades conmutativa, asociativa,
u
distributiva respecto a la adici´n y tiene un elemento neutro que es el 1.
o
La sustracci´n y la divisi´n de n´ meros naturales no siempre resulta un n´ mero natural.
o o u u
As´ al restar 3−5 y al dividir 12÷5, la diferencia y el cociente no son n´ meros naturales.
ı, u
Z es el conjunto de los n´ meros enteros. Sus elementos son: ..., −4, −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, 4, ...
u
Luego N ⊆ Z
La suma de n´ meros enteros es un n´ mero entero.
u u
La Adici´n de n´ meros enteros es conmutativa, asociativa, tiene un elemento neutro
o u
que es el 0.
Todo n´ mero entero tiene su opuesto o sim´trico aditivo: el opuesto de x es −x.
u e
5

6. Conjuntos Num´ricos
e 6
Para sumar dos n´ mero enteros debe tomarse en cuenta sus signos. As ´
u ı
(−2) + (−3) = −2 − 3 = −5, 7 − 3 = 4, 2 − 8 = −6.
El producto de n´ meros enteros es un n´ mero entero.
u u
La Multiplicaci´n de n´ meros enteros es conmutativa, asociativa, tiene un elemento
o u
neutro que es el 1, se cumple la propiedad distributiva con respecto a la adici´n.
o
Para multiplicar dos n´ meros enteros debe tomarse en cuenta sus signos. As´
u ı:
4 · 5 = 20 = −4 · (−5) − 4 · 5 = −20 = 4 · (−5)
La Divisi´n de n´ meros enteros no siempre resulta un n´ mero entero. As´ al dividir
o u u ı,
−14 ÷ 3, el cociente no es un n´ mero entero.
u
Q es el conjunto de los n´ meros racionales o de las fracciones. Un n´ mero racional es el
u u
cociente de dos n´ meros enteros a , con b = 0. Luego N ⊆ Z
u b
Todas las operaciones de suma, resta, multiplicaci´n y divisi´ n (la divisi´n por cero
o o o
no tiene sentido) son cerradas en Q (siempre que se obtiene un n´ mero racional).
u
La adici´n de n´ meros racionales es conmutativa, asociativa, tiene un elemento neutro
o u
que es el 0 y todo n´ mero tiene su opuesto o sim ´trico aditivo.
u e
La multiplicaci´n de n´ meros racionales, es conmutativa, asociativa, tiene un elemen-
o u
to neutro que es el 1 y todo n´ mero diferente de cero tiene su inverso o sim´trico
u e
multiplicativo:
a b
El inverso de b
es a , a = 0.b = 0.
I es el conjunto de los n´ meros irracionales.
u
Sus elementos son los n´ meros con desarrollos decimales ilimitados y no peri´ dicos. Por
u o
ejemplo:
π ≈ 3, 1415926535...
e ≈ 2, 71...
√
2 ≈ 1, 4142135623...
√
3 ≈ 1, 73205080...

7. Conjuntos Num´ricos
e 7
R es el conjunto de los n´ meros reales.
u
R es la uni´n del conjunto de los n´ meros racionales y el conjunto de los n´ meros irra-
o u u
cionales.
R =Q∪I
Se verifica que N ⊆ Z ⊆ Q ⊆ R.
Todas las operaciones de suma, resta, multiplicaci´n y divisi´ n entre n´ meros reales
o o u
son posibles, pues resulta siempre un n´ mero real.
u
Signos de Agrupaci´n y Operaciones: existe un orden para realizar las operaciones
o
si ´stas aparecen combinadas. As´
e ı:
• Si hay signos de agrupaci´n, los mismos se eliminan ”de adentro hacia fuera”.
o
As´ al efectuar {3 + [5 − (6 − 8) − 2] + 7}: 1o se eliminan los par´ ntesis, 2o los
ı, e
corchetes y en tercer lugar las llaves.
En cambio, al efectuar (3 + [5 − {6 − 8} − 2] + 7) : 10 se eliminan las llaves, 2o los
corchetes y en tercer lugar los par´ntesis.
e
• Si hay operaciones combinadas, las mismas se realizan en el siguiente orden:
1o las potencias.
2o las multiplicaciones y las divisiones.
3o las adiciones y las sustracciones.
En cuanto a la Relaci´n de Orden en R: sean a y b dos n´ meros reales
o u
a es mayor que b : a > b ⇐⇒ (a+(−b)) ∈ R+ (R+ es el conjunto de los reales positivos).
a es mayor o igual que b : a ≥ b ⇐⇒ a > b ∨ a = b.
El Valor absoluto de un n´ mero real x se
u denota por |x| y se define como:

 x
 si x > 0

|x| = −x si x > 0


 0 si x = 0
si a es un n´ mero real y n es un n´ mero natural (diferente de 0), an denota la Potencia
u u
En´sima de a, es decir, el producto de a por s´ mismo n veces.
e ı
n veces
an = a · a · a · a · · · · · a a es la base y n es el exponente

8. Conjuntos Num´ricos
e 8
1
a0 = 1 a1 = a y a−n =
para a = 0
an
√
Si a es un n´ mero real y n es un n´ mero natural (mayor que 1), n a denota la Ra´
u u ız
√ 1
n
En´sima de a. n a = a n = b ⇐⇒ b = a.
e
a es la cantidad subradical y n es el ´
ındice de la ra´
ız.
√
• Si a < 0 y n es par, a no est´ definida en R.
a n
√
• Si a < 0 y n es impar, n a = b ⇐⇒ bn = a con b < 0.
√
• Si a > 0 y n es par o impar, n a = b ⇐⇒ bn = a con b > 0.
√ p
Si en an , n es un n´ mero racional (de la forma p ), entonces
u q
q
ap = a q (exponente
fraccionario), con q ∈ N, p ∈ N, q > 1.
Propiedades de las Potencias:
(an )m = an·m
(a · b)n = an · bn
an · am = an+m
an
am
= an−m .
Propiedades de las Ra´
ıces (siempre que est´n bien definidas).
e
√
a2 = |a|
n
√ √
m
a= n·m
a
√ √ √ √ √
n
a+ n
a+ n
a+ n
a=4na
√ √
n √ √
n
n
a· b· n
c= a·b·c
√
na
a
√
n
b
= n
b
,b = 0.

9. Conjuntos Num´ricos
e 9
¡Cuidado! an ± bn = (a ± b)n (el exponente no es distributivo).
√ √
n
√
¡Cuidado! n
a+ b = n a + b (no se pueden sumar ra´ que tienen cantidad subradical
ıces
diferentes).
√ √ √
n
a+ m
a= n+m
a (NO se pueden sumar los ´
ındices de las ra´
ıces).
√
n
an ± bn = a±b (NO vale cancelar el ´ ndice de la ra´ con los exponentes en la cantidad
ı ız
subradical).
1.2. Ejercicios
1. Utilizando los s´
ımbolos de pertenencia (∈) y no pertenencia (∈), indica a cu´l conjunto
/ a
pertenece cada n´ mero de la siguiente tabla:
u
√
3 4
√ −9
√ √
64 7
8 −4 5
0, 032 8 −6, 4 π 3 2
N
Z
Q
I
R
2. Ordenar de menor a mayor los siguientes n´ meros reales:
u
8 1 √ √ π
−2, 5; ; − ; 2; 2 3; −1;
3 2 3
3. ¿Cu´l de las siguientes fracciones es mayor 5 ; 8 ; 1 ; 4 ?
a 3
5 5 5
4. ¿Cu´l de las siguientes fracciones es mayor 3 , 7 , 7 , 11 ?
a 7
8 9
7
5. ¿Cu´l de las siguientes fracciones es mayor 5 ; 3 ; 11 ; 11 ; 8 ?
a 7
7 14
3
7
√
4
√
8
6. ¿Cu´l de los siguientes n´ meros es mayor
a u 4o 8?
7. Calcule el valor de las siguientes expresiones:
a) {8 − [2 − 4(6 − 3) − 3] − 14} =

10. Conjuntos Num´ricos
e 10
1
b) 1 − 5 −(−1 + 3) + 5 (−1 + 6) − 7(8 + 3)(−2 + 4) =
8. Efectuar y simplificar:
3
−1
a) 2
4 10
+7×3
=
5 8 2
2 3 5 1
b) 9
− 8
÷ 4
+ 6
=
1 1 1 1
c) 1 − 2
· 1− 3
· 1− 4
· 1− 5
=
1 1 −1 3 −1
d ) (1 − 2) ÷ 3
− 2
− 4
− 1 · 1 + 2−1
3 2
=
−1
2 1 1
e) 5
− 1− 1
· 2−5· 1− 2
=
2
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
f) 2
− 3
+ 3
− 4
+ 4
− 5
+ 5
− 6
+ 6
− 7
+ 7
− 8
+ 8
− 9
=
9. Efectuar y simplificar:
a) 23 + 52 =
b) (− 3 )3 =
4
−3
c) 33 × − 5
3
=
√
d ) 81 =
e) 5
(−32) =
f) 3
(−343) =
3
g) (25) 2 =
4
h) (27)− 3 =
√ √ √ √
i ) 7 450 − 4 320 + 3 80 − 5 800 =
−3 4
2−3 3−5 30
j) 3−2
· 2−4
· 4−2
=
−1
1
k) 0,18
÷ 0, 01 =
2
l ) (0, 125)− 3 =
1,15 10
m) 5
· 10−7
=
2−1 ·3−1
n) 2−2 −3−2
=
s−1 +t−1
n)
˜ s t
−s
=
t
a−1 ·b−1
o) a−3 −b−3
=
−5 −5
( 1 ) −( 2 )
p) 4
−3
3
−3 =
( 1 ) −( 2 )
4 3

11. Conjuntos Num´ricos
e 11
√
3 √ √ √ √
3
8+ √ −8− 3 11+ 3 −11+ 3 1
q) √ √ =
(−2)6 + 24+ 1
2 2 1
r) 27− 3 + 5 3 · 5 3 =
√ √ √ √ √ √
s) ( 2 − 3 3 + 5) · ( 2 + 2 3 − 5) =
√ √
t) ( 5 − 3 2)2 =
√ √
( √ √11)
7−2
u) =
(2 7+ 11)
√
2
2
9
√ 2
v) 2
−2 − 2
−2 2 =
√
2 3
√ √ √
w) 3
135 + 1 3 32 + 7 3 32 + 7 3 1 − 20 3 200 + 3 3 45 · 1 3 15 · 4 3 20 =
2
1
4
1
4 4
1
6
10. Calcular el valor de las siguientes expresiones sustituyendo los valores de las letras por:
1
a = −2; b = 3; c = 5; x = −7; y = 12; n = 10; m = −5; q =
2
a) a3 − b2 =
(a+b)2
b) a2 +b3 −c
=
2xy+3x
c) 2x+y−1
=
d ) (2y + 3x)m =
11. En las siguientes expresiones, las letras representan n´ meros reales no nulos, si est´n en
u a
el denominador, y positivos si est´n elevados a una potencia fraccionaria. Simplif´
a ıquelas
y escr´
ıbalas de la forma m´s compacta posible.
a
a) (−2a2 · b · c−4 ) · (5a1 · b3 · c5 ) =
b) ((x2 · y −1 )2 )−3 =
(10r −2 ·s)3
c) (50r 3 ·s−1 )2
=
d) 3
4x2 · y · 3
2x5 · y 2 =
y
( x )−1 ·( a )4 ·( x )6 ·( x )−3
y b y
e) ( a )−3 ·( x )6 ·( a )9
=
b y b
f) 3
(c3 · d6 )4 =
g) 3
x2 · y · 4
x3 · y 2 =
2
7 x8 ·y 9
h) z2
=
4
√
i) 125d 25d6 =
12. Calcular 1 3 de 12.
4

12. Conjuntos Num´ricos
e 12
1.3. Ecuaciones de primer grado con una inc´gnita.
o
Una ecuaci´n de primer grado con una inc´gnita es de la forma: ax + b = 0 con a y b
o o
n´ meros reales.
u
Si a = 0 entonces la ecuaci´n ax + b = 0 tiene exactamente una soluci´n:
o o
−b
x=
a
Si a = 0 se pueden presentar dos casos:
(1) b = 0 La ecuaci´n tiene infinitas soluciones.
o
(2) b = 0. La ecuaci´n no tiene soluci´n.
o o
Ejemplo:
Efectuar:
3x + 2 − 4x − 3 x−2
=4+
5 35
Soluci´n:
o
Se Calcula el m.c.m. de los divisores que es 35 y se efectua:
21x + 14 − 20x + 15 140 + x − 2
= ⇒ x + 29 = 140 + x − 2 ⇒ 0.x = 109
35 35
Lo cual indica que la ecuaci´n no tiene soluci´n
o o
Al plantear problemas relacionados con ecuaciones, se encuentran frecuentemente ciertas
expresiones, algunas de las cuales me mencionan a continuaci´n
o

13. Conjuntos Num´ricos
e 13
M´s, adici´n, agregar, a˜ adir, aumentar
a o n +
Menos, diferencia, disminuido, exceso, restar −
Multiplicaci´n, de, del, veces, producto, por, factor
o ∗
Divisi´n, cociente, raz´n, es a
o o .
Igual, es, da, resulta, se obtiene, equivale a =
Un n´ mero cualquiera.
u x
Antecesor de un n´ mero entero cualquiera
u x−1
Sucesor de un n´ mero entero cualquiera
u x+1
Cuadrado de un n´ mero cualquiera
u x2
Cubo de un n´ mero cualquiera
u x3
Doble de un n´ mero, duplo, dos veces, n´ mero par, m´ ltiplo de 2
u u u 2x
Triple de un n´ mero, triplo, 3 veces, m´ ltiplo de 3
u u 3x
Cu´druplo de un n´ mero
a u 4x
x
Mitad de un n´ mero
u 2
x
Tercera parte de un n´ mero
u 3
N´ mero impar cualquiera
u 2x + 1
x1 +x2
Semi-suma de dos n´ meros
u 2
x1 −x2
Semi-diferencia de dos n´ meros
u 2
N´ meros consecutivos enteros cualesquiera
u x, x + 1, x + 2
N´ meros pares enteros consecutivos
u 2x, 2x + 2, 2x + 4
N´ meros impars enteros consecutivos
u 2x + 1
2x + 3, 2x + 5
1.4. Ejercicios
1. En cada uno de los siguentes casos, despeje de la igualdad de la izquierda, la letra a la
derecha:
(a) V = 1 πR2 h h =?
3
Gm1 m2
(b) F = d2
m2 =?
(c) e = 1 gt2
2
t =?
A C
(d) A′
= C′
A′ =?
T +x C+d
(e) T =x
= C ′ −d
x =?

14. Conjuntos Num´ricos
e 14
2. Resolver en el conjunto R las siguientes ecuaciones:
3
(a) 4
x − 1 = 2 + 1x
5
x−1 2−x 3x
(b) 5
− 3
= 4
x+9 x−2
(c) 3
+x= 5
5+3x 2x+5 x+10
(d) 2
− 3
= 3
(x+1)2 (x−2)2 x(x+2)
(e) 3
+ 6
= 2
3x 6
(f) x−2
=1+ x−2
1 1
(g) x2 + x+4
= 9x + x+4
− 20
2
x x− 2 1 2 x
(h) 6
− 3
− 3 5
− 3
=0
3x+2 4x−3 x−2
(i) 5
− 7
=4+ 35
x+1 2x−1 3x+1 27x+19
(j) 4
− 5
+ 2
= 20
3. ¿Cu´l debe ser el valor de c para que una soluci ´n de la ecuaci´n 3x+1−5c = 2c+x−10
a o o
sea 3?
4. Exprese simb´licamente los siguientes enunciados:
o
(a) Las tres cuartas partes de un n´ mero N es igual al cuadrado de dicho n´ mero .
u u
(b) Un n´ mero real a diferente de cero es tal que su cubo es igual al doble de la ra´
u ız
cuadrada de su cubo
(c) La edad actual x de Arturo m´s la mitad de a˜ os que tendr´ dentro de 12 a˜ os es
a n a n
igual a 36 a˜ os.
n
(d) Si a un n´ mero z se le multiplica por 4, al resultado se le suma 4, despu´s se divide
u e
por 4 y al cociente se le resta 4 da como resultado 4.
(e) ¿Como se lee la expresi´n 2x3
o
(e.1) El doble del cubo de un n´ mero
u
(e.2) El doble del triple de un n´ mero
u
(e.3) El cubo del doble de un n´ mero
u
(e.4) El cubo del cuadrado de un n´ mero
u
5. Si la mitad de 5p es 3u ¿Cu´l es la tercera. parte de 10p?
a

15. Conjuntos Num´ricos
e 15
6. De un recipiente que contiene agua se extrae la mitad y luego la tercera parte
de lo que queda y todavia hay 100 litros. ¿Cu´ ntos litros de agua tenia originalmente?
a
7. Si la diagonal de un cuadrado mide x+y ¿Cu ´l es el perimetro, en funci´n de
a o
x e y, de otro cuadrado cuya ´rea es el doble de la del cuadrado original?
a
8. A un ´ngulo agudo a se le suma la mitad de su complemento y se le resta la mitad de
a
su suplemento ¿Cu´l es la medida del ´ngulo resultante?
a a
9. El ´rea de un rect´ngulo es 32 unidades cuadradas. Si su ancho es la mitad de su largo
a a
¿Cu´nto mide la longitud de la diagonal?
a
10. Los lados de un tri´ngulo est´n en la proporci´n 3:4:5 y su perimetro es 24 metros.
a a o
¿Cu´l es la longitud de su lado mayor y de su lado menor?
a
1.5. Ecuaciones de segundo grado con una inc´gnita.
o
Propiedades de las raices. Problemas.
Una ecuaci´n cuadr´tica es de la forma ax2 + bx + c = 0 con a, b y c n´ meros reales, a
o a u
a = 0.
La expresi´n ∆ = b2 − 4ac de denomina discriminante de la ecuaci´n y seg´ n su valor
o o u
se presentan tres casos: .
b
Si ∆ = 0 la ecuaci´n tiene una ra´ doble x1 = x2 = −
o ız 2a
.
Si∆ > 0 la ecuaci´n tiene dos ra´ reales y diferentes, que son:
o ıces
√
−b + b2 − 4ac
x1 =
2a
√
−b − b2 − 4ac
x2 =
2a
Si ∆ < 0 la ecuaci´n no tiene ra´ reales.
o ıces

16. Conjuntos Num´ricos
e 16
1.5.1. Suma y producto de las ra´
ıces reales de una ecuaci´n de 2
o
grado
Si ∆ ≥ 0 la ecuaci´n tiene dos ra´ reales x1 y x2
o ıces
√ √
−b+ ∆ −b− ∆ b b
La suma es S = x1 + x2 = 2a
+ 2a
= a
⇒ S = x1 + x2 = − a
El producto es:
√ √ 2
√ 2
−b + ∆ −b − ∆ b ∆ b2 b2 − 4ac 4ac
P = x1 ·x1 = = − − = 2
− 2
= 2 = ca
2a 2a a 2a 4a 4a 4a
1.5.2. Ecuaciones que se reducen a ecuaciones de primer grado o
de segundo grado
1. Ecuaciones de la forma A(x).B(x) = 0
Se aplica la propiedad A(x).B(x) = 0 ⇔ A(x) = 0 ´ B(x) = 0
o
A(x)
2. Ecuaciones de la forma B(x) = 0
A(x)
Se aplica la propiedad B(x)
= 0 ⇔ A(x) = 0 ∧ B(x) = 0
3. Ecuaciones irracionales: Son aquellas en las cuales la inc´gnita figura bajo el signo
o
de uno o varios radicales. Por ejemplo:
√ √
2x + 1 = 2 + x − 3, con 2x + 1 ≥ 0 y x − 3 ≥ 0
√
x− 2x + 7 = 4, con 2x + 7 ≥ 0
Las ecuaciones irracionales se resuelven eliminando los radicales. En el caso de la ra´
ız
cuadrada, que es la m´s com´ n, se elevan al cuadrado ambos miembros de la ecuaci´n pero
a u o
sin olvidar que cuando se elevan al cuadrado ambos miembros de una ecuaci´n, se
o
pueden introducir soluciones extra˜as a la ecuaci´n original.
n o
Ejemplos:
Formar una ecuaci´n de 2 grado cuyas raices sean: x1 = 6 y x2 = 4
o

17. Conjuntos Num´ricos
e 17
Soluci´n:
o
S = x1 + x2 = 10 P = x1 x2 = 24
La ecuaci´n es x2 − 10x + 24 = 0
o
Determinar dos n´ meros cuya suma sea 6 y su producto 5.
u
Soluci´n
o
x1 + x2 = S = 6 P = x1 .x2 = 5
Los n´ meros buscados son soluciones de la ecuaci´n x2 − 6x − 5 = 0, es decir:
u o
√ √
x1 = 3 − 14, x2 = 3 + 14
Resolver la ecuaci´n (2x − 1)2 − 9 (x + 7)2 = 0.
o
Soluci´n: Factorizando y efectuando
o
[(2x − 1) − 3 (x + 7)] ((2x − 1) + (3x + 7)) = 0
(−x + 22) (5x + 20) = 0
−x + 22 = 0 ´
o 5x + 20 = 0
x = −22 ´
o x = −4
x+2 1 2
Resolver la ecuaci´n
o x−2
− x
= x(x−2)
Soluci´n: Se observa que x = 0 y x = 2. Luego, calculando el m´
o ınimo com´ n de los
u
denominadores y efectuando:
(x + 2) − (x − 2) = 2
x (x + 1) = 0 =⇒ x = 0 ´ x = −1
o
S´lo se puede considerar como soluci´n: x = −1.
o o
Resolver la ecuaci´n param´trica 2m − 2x − m (x − 1) = 2m + 3.
o e
Soluci´n: Una ecuaci´n param´trica es aquella en la cual, adem´s de la inc´gnita,
o o e a o
aparecen otras letras llamadas par´metros (m) , cuyo valor se supone conocido.
a
Al efectuar queda:
2m − 2x − mx + m = 2m + 3 =⇒ − (2 + m) x = 2m + 3 − 3m
=⇒ − (2 + m) x = −m + 3
=⇒ (m + 2) x = m − 3

18. Conjuntos Num´ricos
e 18
Si m = −2 entonces la ecuaci´n se reduce a 0.x = −5 que no tiene soluci´n.
o o
m−3
Si m = −2 entonces x = m+2
.
√
Resolver la ecuaci´n x −
o 2x + 7 = 4 (1)
Soluci´n: Se debe verificar 2x + 7 ≥ 0, es decir, x ≥ − 7 .
o 2
√
Se deja el radical en uno de los miembros, luego: x−4 = 2x − 7. Elevando al cuadrado
√ 2
ambos miembros (x − 4)2 = 2x − 7 se obtiene
x2 − 8x + 16 = 2x − 7 =⇒ x = 9 ´ x=1
o
Sustituyendo en (1) se ve que x = 1 no es soluci´n de la ecuaci´n; s ´lo lo es x = 9.
o o o
1.6. Ejercicios
1. Resolver en el conjunto R las siguientes ecuaciones:
a) x2 + x − 12 = 0
b) 3x2 − 11x − 4 = 0
c) 2x2 + 2x + 2 = 0
d) x2 − 7x + 12 = 0
√ √
e) x2 − 2x + 2 2 − 4 = 0
f) 4x2 − 4x + 1 = 0
g) −x2 + 6x − 9 = 0
√ √
h) x + x + 8 = 2 x
2. Determinar la ecuaci´n de segundo grado cuyas ra´ son:
o ıces
1
a) 1 y 2
b) −2 y − 3
2
a b
c) y −3
2
√ √
d) 2 + 5 y 2 − 5

19. Conjuntos Num´ricos
e 19
3. Hallar dos n´ meros reales sabiendo que:
u
a) La suma es 11 y el producto es 30.
31 3
b) La suma es 30
y el producto es 20
c) La suma es a y el producto es −2a2
4. Se consideran las ecuaciones de segundo grado:
ax2 + bx + c = 0; (1)
2
cx + bx + a = 0 (2)
con a = 0, b = 0, c = 0.
a) Resolver las ecuaciones (1) y (2) para a = 1, b = −5 y c = 2.
b) Demostrar que las ra´ reales de la ecuaci´n (2) son inversas de las ra´ reales
ıces o ıces
de la ecuaci´n (1).
o
5. Resolver las ecuaciones:
a) (x + 1)2 (3x − 5) = (x2 − 1)2
2 2
b) (x2 − 7x + 6) − (x2 − 1) = 0
√ √ 8
c) 2 x = x + 7 + √x+7
6. Resolver los siguientes problemas planteando una ecuaci´n de segundo grado
o
a) Hallar dos n´ meros consecutivos tales que el cuadrado del mayor exceda en 57 al
u
triple del menor.
b) Una persona compr´ cierto n´ mero de libros, de igual costo, por Bs. 180.000. Si
o u
hubiera comprado 6 libros menos, por la misma cantidad de dinero cada libro, le
habr´ costado Bs. 1000 m´s. ¿Cu´ntos libros compr´ y cu´nto le cost´ cada uno?
ıa a a o a o
c) Un tren ha recorrido 200 Km. en cierto tiempo. Para haber recorrido esa distancia
en una hora menos, la velocidad deber´ haber sido 10 Km/h m´s. Hallar la
ıa a
velocidad del tren.

20. Cap´
ıtulo 2
Polinomios
Definici´n 1 (Monomio) Llamaremos Monomio a las expresiones algebraicas en los que
o
se utilizan letras, n´meros y las operaciones producto (·) y potencia.
u
Ejemplo 1 1) 4x5 , 2) − ax3 , 3) 7ax4 y 6 .
Definici´n 2 (Polinomio) Llamaremos polinomio a la suma algebraica de varios monomios.
o
A cada monomio lo llamaremos t´rmino del polinomio.
e
Ejemplo 2 El polinomio 7x5 + 9x4 − 14x − 12, tiene cuatro t´rminos, a saber, 7x5 , 9x4 ,
e
−14x y −12.
Ejemplo 3 El polinomio 7ax4 − 9xy 2 + 90, tiene tres t´rminos, a saber, 7ax4 , −9xy 2 y +90.
e
Se llama t´rmino independiente a aquel t´rmino que no est´ acompa˜ ado de variables;
e e e n
en los ejemplo 2 y 3, los t´rminos independientes son −12 y +90 respectivamente.
e
Observaci´n:
o
Cuando los t´rminos de un polinomio son semejantes, obtenemos un monomio.
e
Cuando un polinomio consta de dos monomios no semejantes se denomina binomio.
Cuando un polinomio consta de tres monomios no semejantes se denomina trinomio.
Un polinomio con mas de tres t´rminos se denomina polinomio.
e
El grado de un monomio es la suma de los exponentes de las variables (letras).
El grado de un polinomio es igual al del t´rmino (monomio) de mayor grado.
e
20

21. Polinomios 21
Ejemplo 4 El monomio 4x5 tiene grado 5,
El monomio −ax3 tiene grado 4,
El monomio 7ax4 y 6 tiene grado 11,
El polinomio 7x5 + 9x4 − 14x − 12 tiene grado 5 y
El polinomio 7ax4 − 9xy 2 + 90 tiene grado 5
2.1. Suma y resta de polinomios
Se podr´n sumar los t´rminos (monomios) que sean semejantes de los polinomios objetos
a e
de la suma.
Ejemplo 5 Para calcular la suma de los polinomios (4x4 −2x3 +3x2 −2x+5)+(5x3 −x2 +2x).
Basta sumar los t´rminos de grado 3, 2 y 1 de ambos polinomio y dejar el resto de los t´rminos
e e
del primero como esta.
Podemos indicar la suma de la siguiente forma para verla mejor:
4x4 −2x3 +3x2 −2x −5
+ − −− 5x3 +x2 2x
− − −− − − −− − − −− − − −− − − −−
4x4 +3x3 +2x2 +5
Por lo tanto, para sumar dos o m´s polinomios se suman los t´rminos semejantes de cada
a e
uno de ellos. si en lugar de sumar dos polinomios se trata de restarlos, bastar´ cambiar el
ıa
signo a todos los t´rminos del segundo y sumar los resultados.
e
Ejemplo 6 Para calcular la suma de los polinomios (4x4 −2x3 +3x2 −2x+5)−(5x3 −x2 +2x).
Se calcula la suma
(4x4 − 2x3 + 3x2 − 2x + 5) + (−5x3 + x2 − 2x) = 4x4 − 7x3 + 4x2 − 4x + 5.

22. Polinomios 22
2.2. Producto de polinomios
Para multiplicar dos polinomios se deben multiplicar todos los monomios de uno por
todos los otros y sumar los resultados (se debe prestar .atenci´n especial al producto de
o
potencias de la misma base”). Si uno de los dos polinomios es un monomio, la operaci´n es
o
simple.
En el caso de que ambos polinomios consten de varios t´rminos, se puede indicar la
e
multiplicaci´n de forma semejante a como se hace con n´ mero de varias cifras, cuidando de
o u
situar debajo de cada monomio los que sean semejantes. En el siguiente ejemplo se puede
ver el producto de dos polinomios de varios t´rminos.
e
Ejemplo 7 Calcular el productor entre los polinomios 2x3 − 3x2 + 1 y 2x − 3. Para ello,
veamos
2x3 −3x2 +1
2x −3
− − −− − − −− − − −− − − −− − − − − −
−6x3 +9x2 −3
4x4 −6x3 2x
− − −− − − −− − − −− − − −− − − −−
4x4 −12x3 +9x2 +2x −3
Ejemplo 8 Calcular el productor entre los polinomios −2x3 + 3x2 − 2x + 5 y x + 1. Para
ello
(−2x3 +3x2 −2x+5).(x+1) = (−2x4 +3x3 −2x2 +5x−2x3 +3x2 −2x+5) = 2x4 +x3 +x2 +3x+5.
2.3. Producto Notable
Se denomina producto notable a algunas operaciones con polinomios de especial inter´s
e
ya que aparecen frecuentemente en los c´lculos. Las m´s usuales son:
a a
Cuadrado de un binomio: suma (a + b)2 o diferencia (a − b)2 . Naturalmente
realizar un cuadrado es multiplicar el binomio por s´ mismo, luego:
ı
(a + b)2 = (a + b).(a + b) = a2 + ab + ba + b2 = a2 + 2ab + b2 .

23. Polinomios 23
”El cuadrado de una suma es igual al cuadrado del primero m´s dos veces
a
el primero por el segundo m´s el cuadrado del segundo”
a
En general se puede considerar siempre como una suma y para cada t´rmino asignarle
e
el signo que le preceda.
Ejemplo 9 Desarrollar las siguientes expresiones:
a) (2x + 3y)2 = (2x)2 + 2,2x,3y + (3y)2 = 4x2 + 12xy + 9y 2.
b) (−x + 3)2 = (−x)2 + 2.(−x),3 + 32 = x2 − 6x + 9.
Suma por diferencia: Se refiere al producto de la suma dos monomios por la difer-
encia de ellos mismos:
(a + b).(a − b) = a2 − ab + ba + b2 = a2 − b2 .
Siempre recordemos que:
”Suma por diferencia es igual a la diferencia de los cuadrados”
Cubo de una suma: (a + b)3 = a3 + 3a2 b + 3ab2 + b3 .
Cuadrado de un trinomio: (a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2ab + 2ac + 2bc.
2.4. Divisi´n de polinomios
o
La divisi´n de polinomios, en general se realiza de forma semejante a la de los n´ meros
o u
de varias cifras, aunque las operaciones que realizamos r´pidamente con los n´ meros, con los
a u
polinomios las vamos indicando. El proceso es el siguiente:
Organizar el dividendo y el divisor de los polinomios de mayor a menor.
Se divide el primer t´rmino del dividendo entre el primero del divisor, dando lugar al
e
primer t´rmino del cociente.
e
Se multiplica dicho t´rmino por el divisor y se coloca debajo del dividendo con los
e
signos contrarios, cuidando que debajo de cada t´rmino se coloque otro semejante.
e

24. Polinomios 24
Se suman los polinomios colocados al efecto, obteni´ndose un polinomio de grado menor
e
al inicial.
se continua el proceso hasta que el resto ya no se pueda dividir entre el divisor por sed
de menor grado.
Normalmente se dividen polinomios con una sola variable (x) tanto en el dividendo como
en el divisor. En el siguiente ejemplo se puede ver una divisi´n completa:
o
Ejemplo 10 Dividir los polinomios 4x3 − 3x2 + 3 y x2 − x + 1. Para ello
4x3 −3x2 +3 | x2 − x + 1
−4x3 +4x2 −4x 4x + 1
− − −− − − −− − − −− − − −−
x2 −4x +3
−x2 +x −1
− − −− − − −− − − −− − − −−
−3x +2
Como se ve se ha obtenido de cociente 4x + 1 y de resto −3x + 2.
2.5. Factorizaci´n
o
Llamaremos factorizaci´n de polinomios al proceso de encontrar dos o m´s expre-
o a
siones cuyo producto sea igual a una expresi´n dada,es decir, consiste en expresar a dicho
o
polinomio como el producto de dos o m´s factores.
a
Tipos:
1. Factor com´n, en monomios: Se escribe el factor com´ n como un coeficiente de un
u u
par´ntesis y dentro del mismo se colocan los coeficientes que son el resultado de dividir
e
cada t´rmino del polinomio por el factor com´ n. Por ejemplo:
e u
a) Descomponer en factores (o factorizar): a2 + 2a. El factor com´ n en los dos t´rmi-
u e
nos es a por lo tanto se ubica por delante del par´ntesis a( ). Dentro del par´ntesis
e e

25. Polinomios 25
se ubica el resultado de:
a2 +2a = a2 +2a = a + 2
FC FC a a
b) Descomponer (o factorizar) 10b − 30ab2 . Los coeficientes 10 30 tienen los factores
comunes 2, 5 y 10. Tomando el 10 porque siempre se toma el mayor factor com´ n.
u
El factor com´ n es 10b. Por lo tanto: 10b − 30ab2 = 10b(1 − 3ab).
u
c) Descomponer 18mxy 2 − 54m2 x2 y 2 + 36my 2 . Para ello
18mxy 2 − 54m2 x2 y 2 + 36my 2 = 18my 2(x − 3mx2 + 2)
d) Factorizar 6xy 3 − 9nx2 y 3 + 12nx3 y 3 − 3n2 x4 y 3 .
6xy 3 − 9nx2 y 3 + 12nx3 y 3 − 3n2 x4 y 3 = 3xy 3 (2 − 3nx + 4nx2 − n2 x3 )
2. Factor com´n, en polinomios: El procedimiento es muy parecido al de monomios.
u
Veamos los siguientes ejemplos:
a) Descomponer x(a + b) + m(a + b). Estos dos t´rminos tiene como factor com´ n
e u
el binomio (a + b), por lo que se pone (a + b) como coeficiente de un par´ntesis
e
dentro del cual escribimos los cocientes de dividir los dos t´rminos de la expresi´n
e o
dada entre el factor com´ n (a + b), es decir
u
x(a + b) m(a + b)
=x y =m
(a + b) (a + b)
y se tiene
x(a + b) + m(a + b) = (a + b)(x + m)
b) Descomponer 2x(a − 1) − y(a − 1). El factor com´ n es (a − 1), por lo que al dividir
u
los dos t´rminos de la expresi´n dada entre el factor com´n (a − 1), con lo que
e o u
tenemos
2x(a − 1) −y(a − 1)
= 2x y = −y
(a − 1) (a − 1)
luego
2x(a − 1) − y(a − 1) = (a − 1)(2x − y)
c) Descomponer m(x + 2) + x + 2. Esta expresi´n se puede escribir como m(x +
o
2) + (x + 2) = m(x + 2) + 1(x + 2). El factor com´ n es (x + 2) con lo que
u
m(x + 2) + 1(x + 2) = (x + 2)(m + 1).

26. Polinomios 26
d) Descomponer a(x + 1) − x − 1. Al introducir los dos ultimos t´rminos en un
´ e
par´ntesis precedido del signo (−), se tiene:
e
a(x + 1) − x − 1 = a(x + 1) − (x + 1) = a(x + 1) − 1(x + 1) = (x + a)(a − 1).
3. Factor com´n por agrupaci´n de t´rminos
u o e
a) Descomponer ax+bx+ay+by. Los dos primeros t´rminos tienen el factor com´ n x
e u
y los dos ultimos el factor com´ n y. Agrupamos los dos primeros en un par´ntesis
´ u e
y los dos ultimos en otro precedido del signo + por que el tercer t´rmino tiene el
´ e
signo (+):
ax + bx + ay + by = (ax + bx) + (ay + by)
= x(a + b) + y(a + b)
= (a + b)(x + y)
Hay varias formas de hacer la agrupaci´n, con la condici´n de que los dos t´rminos
o o e
agrupados tengan alg´ n factor com´ n, y siempre que las cantidades que quedan dentro
u u
de los par´ntesis despu´s de sacra el factor com´ n en cada grupo, sean exactamente
e e u
iguales. Si esto no es posible, la expresi´n dada no se puede descomponer por este
o
m´todo.
e
En el ejemplo anterior podemos agrupar el 1o. y el 3er. t´rmino con el factor com´ n a
e u
y el 2do. y 4to. con el factor com´ n b, quedando:
u
ax + bx + ay + by = (ax + bx) + (ay + by)
= a(x + y) + b(x + y)
= (x + y)(a + b)
Este resultado es id´ntico al anterior, ya que el orden de los factores no altera el
e
producto.
b) Factorizar 3m2 −6mn+4m−8n. Los dos primeros t´rminos tienen el factor com´ n
e u

27. Polinomios 27
3m y los dos ultimos el factor com´ n 4. Agrupando:
´ u
3m2 − 6mn + 4m = (3m2 − 6mn) + (4m − 8n)
= 3m(m − 2n) + 4(m − 2n)
= (m − 2n)(3m + 4)
4. Descomposici´n de un polinomio en factores por el m´todo de evaluaci´n
o e o
(Ruffini) Al estudiar la divisibilidad por x − a demostramos que si un polinomio
entero y racional en x se anula para x = a, el polinomio es divisible por x − a. Este
mismo principio aplica a la descomposici´n de un polinomio en factores por el M´todo
o e
de Evaluaci´n. Veamos un ejemplo
o
a) Descomponer por evaluaci´n el polinomio x3 +2x2 −x−2. Los valores que daremos
o
a x son los factores del t´rmino independiente, es decir, los factores de −2 a saber:
e
+1, −1, +2 y −2. Veamos si el polinomio se anula para x = 1, x = −1, x = 2
y x = −2. Si el polinomio se anula para algunos de estos valores, entonces el
polinomio ser´ divisible por x menos ese valor.
a
Aplicando la divisi´n previamente explicada se ver´ si el polinomio se anula para
o a
estos valores de x y simult´neamente se encontrar´n los coeficientes del cociente
a a
de la divisi´n. En este caso:
o
| 1 +2 −1 −2
| 1 3 2
−−− | −−− −−− −−− −−−
1 | 1 3 2 0
El residuo es 0, o sea que el polinomio dado se anula para x = 1, luego es divisible
por (x − 1).
Dividiendo x3 + 2x2 − x − 2 entre x − 1 el cociente ser´ de segundo grado y sus
a
coeficientes son +1, +3 y +2, luego el cociente es +1x2 + 3x + 2 = x2 + 3x + 2
y como el dividendo es igual al producto del divisor por el cociente, se tiene
x3 + 2x2 − x − 2 = (x − 1)(x2 + 3x + 2). (Factorizando el trinomio tenemos
x3 + 2x2 − x − 2 = (x − 1)(x + 1)(x + 2)).
b) Descomponer por evaluaci´n el polinomio x3 − 3x2 − 4x + 12. Los factores de 12
o

28. Polinomios 28
son ±1, ±2, ±3, ±4, ±6 y ±12. Entonces
| 1 −3 −4 +12 Coeficientes del Polinomio
| +1 −2 −6
−−− | −−− −−− −−− −−−
+1 | 1 −2 −6 +6 Coeficientes del Cociente
donde el residuo es 6, por lo tanto, el polinomio no se anula en x = 1, y no es
divisible por (x − 1). Ahora
| 1 −3 −4 +12 Coeficientes del Polinomio
| −1 +4 0
−−− | −−− −−− −−− −−−
−1 | 1 −4 0 +12 Coeficientes del Cociente
el residuo es 12, luego el polinomio no se anula para x = −1 y no es divisible por
x − (−1) = x + 1. Veamos que pasa con x = +2
| 1 −3 −4 +12 Coeficientes del Polinomio
| +2 −2 −12
−−− | −−− −−− −−− −−−
+2 | 1 −1 −6 0 Coeficientes del Cociente
el residuo es 0, luego el polinomio se anula para x = 2 y es divisible por (x − 2). El
cociente de dividir el polinomio dado x3 −3x2 −4x+12 entre x−2 ser´ de segundo
a
grado y sus coeficientes son 1, −1 y −6, luego el cociente ser´ 1x2 − 1x − 6 =
a
x2 − x − 6. Por lo tanto x3 − 3x2 − 4x + 12 = (x − 2)(x2 − x − 6). (Factorizando
el trinomio x3 − 3x2 − 4x + 12 = (x − 2)(x − 3)(x + 2)).
2.6. Factorizaci´n por completaci´n de cuadrados.
o o
2.6.1. Completaci´n de Cuadrados.
o
Si a, b y c son constantes y x una variable real, entonces se cumple:
2
b b2
ax2 + bx + c = a x − +c− .
2a 4a
Pasos para completar cuadrado:

29. Polinomios 29
b
2a
2 2
ax 2+ b x + c = a ( x + b ) + c − b
2a 4a
2
a( b )
2a
Ejemplo 11 Completar cuadrado de la siguiente expresi´n x2 − 8x − 7
o
2
x − 8x −7 =( x + ( −8 ) ) 2 − 7 − ( −8 ) 2
2 2
= ( x − 4 )2 − 7 − 16
= ( x − 4 )2 − 23
Ejemplo 12 Completar cuadrados de 3x2 + 12x − 20. Tenemos
2
12 122
3x2 + 12x − 20 = 3 x + + 20 −
2,3 4,3
144
= 3(x + 2)2 + 20 −
12
= 3(x + 2)2 + 20 − 12
= 3(x + 2)2 + 8
2.7. Ejercicios
1. Sumar los siguientes polinomios
3 1 x
1) P (x) = 0, 1x − 0, 05x2 + 0, 7 Q(x) = 0, 3x + 1 − x2 S(x) = x2 − − .
2 3 4
5
2) R(x) = 3x2 − 4x3 + 2 − 6x + x5 T (x) = 7x5 − x4 +
3
1
U(x) = − 6x − 8x4 + 4x3 − 2x2 + .
3

30. Polinomios 30
2. Restar los siguientes polinomios
1) P (x) = x4 − x3 − x2 + 2x + 2 Q(x) = 2x2 + 3x3 + 4x4 − 5x + 5
3. Factorizar usando factor com´n
u
1) 35m2 n3 − 70m3 , Resp. 35m2 (n3 − 2m)
2) x3 + x5 − x7 , Resp. x3 (1 + x2 − x4 )
3) 9a2 − 12ab + 15a3 b2 − 24ab3 , Resp. 3a(3a − 4b + 5a2 b2 − 8ab3 )
4) − 16x3 y 2 − 8x2 y + 24x4 y 4 − 40x2 y 3, Resp. − 8x2 y(2xy + 1 − 3x2 y 3 − 5y 2 )
5) − 93a3 x2 y + 62a2 x3 y 2 − 12a2 x, Resp. − 31a2 x(3axy − 2x2 y 2 + 4)
6) − 3x(x − 2) − 2y(−2 + x), Resp. − (x − 2)(3x + 2y)
7) 1 + x + 2a(1 + x), Resp. (1 + x)(1 + 2a)
8) − 3a2 b − 6ab + 5a3 b2 − 8a2 bx + 4ab2 m, Resp. − ab(3a + 6 − 5a2 b + 8ax − 4bm)
4. Factorizar por el M´todo de Ruffini
e
1) 2x3 + 3x2 − 18x + 8,
2) 10x4 − 205 + 10,
3) x3 + 7x − 6,
4) x3 − 8x2 + 17x − 10,
5) x3 + ax2 + x2 + ax − 6x − 6a,
6) x3 + bx2 − ax2 + x2 + bx − ax − abx − ab,
7) 2x7 − 2x6 − 14x5 − 14x4 + 44x3 + 48x2 .

31. Polinomios 31
5. Calcular el valor de m para que 15x3 − 31x2 + m, tenga como una de sus ra´
ıces 2;
calcular las otras ra´ y factoric´.
ıces e
6. Complete cuadrado de las siguientes expresiones
1) x2 + 6x + 5,
2) x2 − 3x + 2,
3) x2 − x − 1.
5 2 5
4) x + 10x + 13, Resp. (x + 2)2 + 3
2 2
5) − 4x2 + 8x − 5, Resp. − 4(x − 1)2 − 1
8 2 80 809 8 3
6) x + x+ , Resp. (x + 5)2 +
3 3 12 3 4
7) − 3x2 − 6x − 1, Resp. − 3(x + 1)2 + 2
8) 8x2 − 32x + 28, Resp. 8(x − 2)2 − 4
√ √
9) 7x2 + 14 2x + 9, Resp. 7(x + 2)2 − 5
1 1 3
10) − 2x2 − 2x + , Resp. − 2(x + )2 +
4 2 4

32. Cap´
ıtulo 3
Funciones Trigonom´tricas
e
3.1. ´
Angulos
Daremos la definici´n de ´ngulo mediante el concepto de rotaci´n. Sean dos vectores r
o a o
y r ′ de origen com´n O.
u
o ´
Definici´n 3 (Angulo) Llamaremos ´ngulo α a la rotaci´n de centro O que transforma
a o
r en r ′ .
r’
α
r
´
Figura 3.1: Angulo.
o ´
Definici´n 4 (Angulo Opuesto) A la rotaci´n que transforma a r ′ en r la llamaremos
o
a
´ngulo opuesto de α y la indicaremos as´ −α
ı:
32

33. Funciones Trigonom´tricas
e 33
r’
−α
r
´
Figura 3.2: Angulo Opuesto.
En general llamaremos ´ngulos positivos a las rotaciones de sentido contrario al de las
a
agujas del reloj y ´ngulos negativos a las rotaciones de sentido igual al de las agujas del reloj.
a
o ´
Definici´n 5 (Angulo Nulo) Es la rotaci´n de centro O que transforma r en s´ mismo.
o ı
O r
´
Figura 3.3: Angulo Nulo.
o ´
Definici´n 6 (Angulo Llano) Es la rotaci´n que transforma a r en −r.
o
−r r
´
Figura 3.4: Angulo Llano.
o ´
Definici´n 7 (Angulo Recto) Es la rotaci´n que transforma a i en j
o

34. Funciones Trigonom´tricas
e 34
j
i
´
Figura 3.5: Angulo Recto.
3.1.1. C´
ırculo Trigonom´trico
e
Llamaremos c´
ırculo trigonom´trico a aqu´l que se construye sobre un sistema de ejes
e e
perpendiculares teniendo su centro en el origen del sistema y cuyo radio mide una unidad.
El sistema de ejes divide al c´
ırculo en cuatro partes. Cada una de ellas se llama cuadrante
y reciben la numeraci´n que aparece en la Figura.
o
II I
0 (1, 0)
III IV
Figura 3.6: Circulo Trigonom´trico.
e
La semirecta horizontal de la derecha se toma como origen de todos los ´ngulos.
a
3.1.2. Medida de los ´ngulos
a
Si P es un punto cualquiera de la circunferencia, tanto el arco AP como el ´ngulo AOP
a
vienen a tener la misma amplitud: por esta raz´n hablaremos indefinidamente de arco o de
o
angulo.
´
La medida de un arco se puede determinar de distintas formas seg´n la unidad de medida
u
que se use.
Los dos sistemas que utilizaremos para medir ´ngulos o arcos son:
a

35. Funciones Trigonom´tricas
e 35
Sistema Circular Toma como unidad de medida el Radian, que corresponde a un
arco cuya longitud es igual a la longitud del radio del c´
ırculo.
La longitud de una circunferencia es 2πR. En nuestro caso, siendo el radio igual a 1, la
medida de un ´ngulo completo ser´ 2π radianes. El ´ngulo llano medir´ π radianes y el
a a a a
a
´ngulo recto π/2 radianes. Un ´ngulo equivalente a tres rectos ser´n de 3π/2 radianes.
a a
π/2
π 0
2π
3 π /2
Figura 3.7: Sistema Circular.
Sistema Sexagesimal En este sistema la unidad de medida de un arco es el Grado
Sexagesimal que es equivalente a 1/360 de la circunferencia; el ´ngulo llano mide
a
180◦ y el ´ngulo recto 90◦.
a
Ejemplo 13 Representar gr´ficamente los siguientes ´ngulos: a) π/6; b) −3π/4: c) 4π/3.
a a
a) b) c)
π/6
π
−3 /4
4 π/3

36. Funciones Trigonom´tricas
e 36
Ejemplo 14 Representar a) 60◦ , b) 315◦ , c) −120◦
a) b) c)
o
315
60 o
o
−120
3.1.3. Conversion de Medidas
Teniendo en cuenta que 2π = 360◦ y que, por lo tanto π = 180◦, podemos convertir de
un sistema a otro de la siguiente forma:
Para convertir de Grados a Radianes se multiplica el valor del ´ngulo dado por
a
π/180◦.
Para convertir de Radianes a Grados se multiplica el valor del ´ngulo dado por
a
180◦ /π.
Ejemplo 15 Expresar en radianes el ´ngulo de 255◦
a
π
α = 255◦ = 255◦ ·
180◦
Ejemplo 16 Convertir 11π/9 a grados sexagesimales
11π 180◦
α = 11π/9 = = 220◦
9 π
3.2. Funci´n Coseno y Seno de un ´ngulo
o a
Sea un sistema de ejes coordenados de origen O y el ´ngulo α una rotaci´n que transforma
a o
el vector OM (unitario) en el vector OP .
Por ser OP el transformado de i (en efecto, OM = i) mediante una rotaci´n, es tambi´n
o e
unitario, es decir
|OP | = 1

37. Funciones Trigonom´tricas
e 37
N (0, 1)
j P (a, b)
α
O i M (1, 0)
Figura 3.8: Representaci´n Geom´trica .
o e
Las componentes de OP son las siguientes: OP = (a, b).
En estas condiciones, definiremos el Coseno del ´ngulo α como la abscisa del punto P
a
(primera componente del vector OP ), es decir
cosα = a
Y definiremos el Seno del ´ngulo α como la ordenada del punto P (segunda componente
a
del vector OP ):
senα = b.
N (0, 1)
P (a, b)
senα
α
O cosα M (1, 0)
Figura 3.9: Representaci´n del Coseno y Seno de α.
o
Podemos, entonces, expresar el vector OP de la siguiente forma:
OP = (cos α, senα)

38. Funciones Trigonom´tricas
e 38
3.2.1. Signo de las funciones cosenos y senos en los distintos cua-
drantes
Siendo cosα y senα, respectivamente, la abscisa y la ordenada del punto P , extremos del
vector OP , su signo depender´ del cuadrante en el que se encuentre P
a
Primer Cuadrante Abscisa positiva cosα > 0
Ordenada positiva sinα > 0
Segundo Cuadrante Abscisa negativa cosα < 0
Ordenada positiva sinα > 0
Tercer Cuadrante Abscisa negativa cosα < 0
Ordenada negativa sinα < 0
Cuarto Cuadrante Abscisa positiva cosα > 0
Ordenada negativa sinα < 0
Resumiendo estos resultados en un recuadro obtenemos
Funci´n Cuadrante
o I II III IV
cos + - - +
sen + + - -
3.3. Relaci´n Fundamental de la Trigonometr´
o ıa
Tomemos nuevamente el vector OP . Ya sabemos que, por ser unitario
|OP | = 1
Calculemos el m´dulo de OP
o
√
|OP | = a2 + b2 .
Pero hemos dicho que a = cosα y que b = senα, por lo tanto
|OP | = (cos α)2 + (senα)2 .
Y como |OP | = 1, tenemos que
(cos α)2 + (senα)2 = 1.
Elevando ambos miembros al cuadrado
(cos α)2 + (senα)2 = 1.

39. Funciones Trigonom´tricas
e 39
En trigonometr´ se prefiere, para evitar confusiones, escribir cos2 α y no (cos α)2 . Por lo
ıa
tanto la expresi´n anterior la escribiremos as´
o ı
cos2 α + sen2 α = 1. (3.1)
Esta es la relaci´n fundamental de las funciones coseno y seno para cualquier ´ngulo. De
o a
ella se deriva directamente que
cos2 α ≤ 1 y sen2 α ≤ 1
puesto que si cualquiera de ellos fuese mayor que uno, al sumarlo con otro n´mero positivo
u
(n´tese que ambos est´n elevados al cuadrado y son por lo tanto positivos), dar´ como
o a ıa
resultado un n´mero mayor que la unidad.
u
Lo anterior implica que
|cosα| ≤ 1 y |senα| ≤ 1,
lo cual puede expresarse tambi´n as´
e ı
−1 ≤ cosα ≤ 1 y −1 ≤ senα ≤ 1,
o sea, que las funciones coseno y seno s´lo pueden tener valores comprendidos entre −1 y 1.
o
cosα ∈ [−1, 1] y senα ∈ [−1, 1].
Es importante observar que si despejamos cos2 α y sen2 α en la ecuaci´n (3.1) obtenemos
o
que
cos2 α = 1 − sen2 α, (3.2)
sen2 α = 1 − cos2 α. (3.3)
Ejemplo 17 Calcular cosα sabiendo que senα = 1/2 y que α est´ en el II cuadrante. Por
a
la relaci´n (3.2)
o
cos2 α = 1 − sen2 α.
Sustituyendo el valor de senα Por la relaci´n (3.2)
o
cos2 α = 1 − (1/2)2
Resolviendo Por la relaci´n (3.2)
o
3
cos2 α = ,
4

40. Funciones Trigonom´tricas
e 40
por lo que
3
cos2 α = ,
4
con lo que
√
cos2 α = ± 3/2.
3.3.1. ´
Coseno y Seno del Angulo Nulo
Tomando el vector OP unitario y coincidiendo con i y consideremos la rotaci´n que
o
transforma al vector OP en s´ mismo, es decir, el ´ngulo nulo.
ı a
0 i P (1, 0)
´
Figura 3.10: Angulo Nulo.
Las componentes de OP son OP = (1, 0), y por lo tanto
cos0 = 1 y sen0 = 0.
3.3.2. ´
Coseno y Seno del Angulo Recto
Consideremos la rotaci´n que transforma al vector i en el vector j, es decir, el ´ngulo
o a
recto.
Las componentes de OP son OP = (0, 1), y por lo tanto
cosπ/2 = 0 y senπ/2 = 1.

41. Funciones Trigonom´tricas
e 41
P (0, 1)
j
0 i
´
Figura 3.11: Angulo Recto.
3.3.3. ´
Coseno y Seno del Angulo Llano
Consideremos la rotaci´n que transforma al vector i en el vector −i, es decir, el ´ngulo
o a
llano
−i
P (−1, 0) O i
´
Figura 3.12: Angulo Llano.
Las componentes de OP son OP = (−1, 0), y por lo tanto
cosπ = −1 y senπ = 0.
´ 3π
3.3.4. Coseno y Seno del Angulo de
2
Consideremos la rotaci´n que transforma al vector i en el vector −j, es decir, el ´ngulo
o a
3π
de
2
Las componentes de OP son OP = (−1, 0), y por lo tanto
cos3π/2 = 0 y sen3π/2 = −1.

42. Funciones Trigonom´tricas
e 42
P (0, −1)
´ 3π
Figura 3.13: Angulo de
2
3.3.5. ´
Coseno y Seno del Angulo Completo
Al realizar un giro completo, el vector OP queda en la posici´n inicial. Por lo tanto las
o
funciones coseno y seno del ´ngulo completo ser´n iguales a las del ´ngulo nulo, es decir:
a a a
cos2π = 1 y sen2π = 0.
i
0 P (1, 0)
´
Figura 3.14: Angulo Completo
Resumiendo en un cuadro estos resultados:
cos sen
0 (0 )
◦
1 0
π/2 (90 ) ◦
0 1
π (180◦ ) -1 0
3π/2 (270◦) 0 -1
2π (360◦) 1 0