1. ESTADÍGRAFOS DE POSICIÓN Y
DISPERSIÓN
UNIDAD III

2. ESTADÍGRAFOS DE POSICIÓN Y
DISPERSIÓN
Tendencia central Dispersión
Datos no agrupados
Recorrido
Desviación media absoluta
Varianza y desviación típica
Percentiles
Datos agrupados
Percentiles
Varianza y desviación típica
Datos no agrupados
Media aritmética
Mediana
Moda
Media aritmética ponderada
Media geométrica
Datos agrupados
Media aritmética
Mediana
Moda
Conceptos relacionados
Teorema de
Chebyshev
Regla empírica Sesgo Coeficiente de
variación

3. Medidas de la tendencia central y de
la dispersión
Las medidas de tendencia central ttienen como objetivo el
sintetizar los datos en un valor representativo, las medidas
de dispersión nos dicen hasta que punto estas medidas de
tendencia central son representativas como síntesis de la
información. Las medidas de dispersión cuantifican la
separación, la dispersión, la variabilidad de los valores de
la distribución respecto al valor central. Distinguimos entre
medidas de dispersión absolutas, que no son comparables
entre diferentes muestras y las relativas que nos permitirán
comparar varias muestras.

4. Al describir grupos de observaciones,
con frecuencia es conveniente resumir
la información con un solo número.
Este número que, para tal fin, suele
situarse hacia el centro de la
distribución de datos se denomina
medida o parámetro de tendencia
central o de centralización.

5. MEDIA
ARITMETICA
Ejemplo
Los pesos de seis amigos
son: 84, 91, 72, 68, 87 y 78
kg. Hallar el peso medio.
Es el valor resultante
que se obtiene al
dividir la sumatoria de
un conjunto de datos
sobre el número total
de datos. Solo es
aplicable para el
tratamiento de datos
cuantitativos.

6. MEDIANA
Ejemplo:
Encontrar la mediana para los siguientes datos:
4 1 2 3 4 2 2 1 5 5 3
SOLUCIÓN
1: Ordenar los datos.
1 1 2 2 2 3 3 4 4 5 5
2: Localizar el valor que divide en dos parte
iguales el número de datos.
1 1 2 2 2 3 3 4 4 5 5
La mediana es 3, dejando 5 datos a cada lado.
Mediana (Me): Valor
que divide una serie de
datos en dos partes
iguales. La cantidad de
datos que queda por
debajo y por arriba de la
mediana son iguales.

7. MODA
ejemplo: “hallar la moda del siguiente
conjunto de datos.”
14,15,16,18,5,7,5,9,15,5.
se ordenan: 5,5,5,7,9,14,15,15,16,18.
la moda es igual a 5..
La moda es el valor que se presenta
con mayor frecuencia en un conjunto
de datos. a una distribucion que tiene
una sola moda se le denomina
unimodal, si tiene dos datos que se
repiten igualmente, se le conoce como
bimodal, y si tiene tres o mas modas se
le conoce como multimodal. si ningun
dato se repite, entonces no tiene moda.

8. MEDIA
GOMETRICA
Por ejemplo, la media
geométrica de 2 y 18 es
En matemáticas y
estadística, la media
geométrica de una
cantidad arbitraria de
números (digamos n
números) es la raíz n-
ésima del producto de
todos los números.

9. DATOS AGRUPADOS
En la mayor parte de casos tenemos un
número grande de datos y tomamos en cuenta
que en estos casos generalmente los datos son
resumidos en una tabla de frecuencia. La
fórmula para el cálculo cuando se trata de
datos agrupados es diferente a la de los no
agrupados.

10. MEDIA
ARITMETICA
Si los datos vienen agrupados
en una tabla de frecuencias, la
expresión de la media es:
La media
aritmética es
igual a la división
de la sumatoria
del producto de
las clases por la
frecuencia sobre
el número de
datos.

11. MEDIANA
EJEMPLO
Las calificaciones en la asignatura de
Matemáticas de 39 alumnos de una clase viene
dada por la siguiente tabla:
Calificaciones 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Número de
alumnos 2 2 4 5 8 9 3 4 2
Se halla las frecuencias absolutas acumuladas
.Asociada a la mediana para n impar, se obtiene .
Ni-1< n/2 < Ni = N19 < 19.5 < N20
Me = 5 puntos, la mitad de la clase ha obtenido
un 5 o menos, y la otra mitad un 5 o más.
En el ámbito de la estadística, una
mediana es el valor de la variable
que deja el mismo número de datos
antes y después que él, una vez
ordenados estos.

13. MEDIDAS DE
DISPERSIÓN
Se llaman medidas de dispersión aquellas que permiten retratar la distancia de los valores
de la variable a un cierto valor central, o que permiten identificar la concentración de los
datos en un cierto sector del recorrido de la variable. Se trata de coeficiente para variables
cuantitativas.
La dispersión es importante
porque:
Proporciona información adicional que permite juzgar la
confiabilidad de la medida de tendencia central. Si los datos se
encuentran ampliamente dispersos, la posición central es menos
representativa de los datos.
Ya que existen problemas característicos para datos
ampliamente dispersos, debemos ser capaces de
distinguir que presentan esa dispersión antes de
abordar esos problemas.

14. Desviación media absoluta
La desviación media es la media de las diferencias en valor
absoluto de los valores a la media.
Este valor estadístico no es de mucha utilidad en estadística debido
a que no es fácil manipular dicha función al no ser derivable.
Siendo más formales, la desviación media debería llamarse
desviación absoluta respecto a la media, para evitar confusiones
con otra medida de dispersión, la desviación absoluta respecto a la
mediana, DM, cuya fórmula es la misma, sustituyendo la media
aritmética por la mediana M. Pero tal precisión no es relevante,
porque la desviación absoluta respecto a la mediana es de uso
todavía menos frecuente.

15. Ejemplo: Desviación media para datos no agrupados
Tres alumnos son sometidos a una competencia para probar sus conocimientos en 10 materias diferentes, cada una
sustentada con 10 preguntas. La idea del concurso es encontrar al alumno más idóneo para representar al colegio
en un torneo a nivel nacional.
El número de preguntas buenas por materia se muestra a continuación:
Materia Carlos Pedro Juan
1 2 7 5
2 9 2 6
3 10 2 5
4 2 6 5
5 3 6 5
6 1 3 5
7 9 6 4
8 9 7 5
9 1 6 6
10 4 5 4
SOLUCIÓN
Lo primero que analizaremos es la media de los puntajes para cada uno de los alumnos, con el fin de determinar
el alumno con mayor promedio de preguntas buenas.
Las medias para los resultados de los alumnos coinciden: los tres alumnos tienen responden en promedio 5
preguntas correctas por prueba. ¿Cuál sería entonces el indicador diferenciador entre los alumnos?.
Complementemos el análisis anterior calculando la desviación media:
Carlos muestra una desviación media de 3,9 indicando que los datos se alejan en promedio de la media en 3,9
preguntas buenas. Pedro disminuye su variación (2,9), siendo Juan el que menos variación presenta con 0,9
preguntas tanto por arriba como por debajo de la media aritmética. Se recomienda al colegio elegir como ganador
en este caso a Juan, presenta resultados más constantes que los otros dos alumnos, Juan en promedio acierta 5
preguntas buenas con una variación muy baja (rondando entre 4 y 6).

18. CENTILES O PERCENTILES
Los percentiles son, tal vez, las medidas más
utilizadas para propósitos de ubicación o clasificación
de las personas cuando atienden características tales
como peso, estatura, etc. Los percentiles son ciertos
números que dividen la sucesión de datos ordenados
en cien partes porcentualmente iguales. Estos son los
99 valores que dividen en cien partes iguales el
conjunto de datos ordenados. Los percentiles (P1,
P2,... P99), leídos primer percentil,..., percentil 99.

19. DATOS AGRUPADOS
En la mayor parte de casos tenemos un
número grande de datos y tomamos en cuenta
que en estos casos generalmente los datos son
resumidos en una tabla de frecuencia. La
fórmula para el cálculo cuando se trata de
datos agrupados es diferente a la de los no
agrupados.

20. PERCENTILES:
Son 99 valores que dividen en cien partes iguales el conjunto de
datos ordenados.
Para datos agrupados los deciles se calculan mediante la fórmula.
k= 1,2,3,... 9
Donde:
Lk = Límite real inferior de la clase del decil k
n = Número de datos
Fk = Frecuencia acumulada de la clase que antecede a la clase del decil k.
fk = Frecuencia de la clase del decil k
c = Longitud del intervalo de la clase del decil k

21. Salarios No. De fa
(I. De Clases) Empleados (f1)
200-299 85 85
300-299 90 175
400-499 120 295
500-599 70 365
600-699 62 427
700-800 36 463
EJEMPLO.- Determinación del primer cuartil, el séptimo decil y el 30 percentil, de la
siguiente tabla:
Como son datos agrupados, se utiliza la fórmula
Como son datos agrupados, se utiliza la fórmula
Siendo

24. El cuadrado de la desviación estándar recibe el nombre de
varianza y se representa por . La suma de los cuadrados de los
desvíos de la totalidad de las observaciones, respecto de la
media aritmética de la distribución, es menor que la suma de
los cuadrados de los desvíos respecto de cualquier otro valor
que no sea la media aritmética.
Varianza
El coeficiente de
variación:
Para comparar la dispersión de variables que aparecen en unidades
diferentes (metros, kilos, etc.) o que corresponden a poblaciones
extremadamente desiguales, es necesario disponer de una medida
de variabilidad que no dependa de las unidades o del tamaño de los
datos. Este coeficiente únicamente sirve para comparar las
dispersiones de variables correspondientes a escalas de razón.
Para comparar la dispersión de variables que aparecen en unidades diferentes (metros,
kilos, etc.) o que corresponden a poblaciones extremadamente desiguales, es necesario
disponer de una medida de variabilidad que no dependa de las unidades o del tamaño de
los datos. Este coeficiente únicamente sirve para comparar las dispersiones de variables
correspondientes a escalas de razón.

25. El coeficiente de variación
Para comparar la dispersión de variables que aparecen en
unidades diferentes (metros, kilos, etc.) o que corresponden a
poblaciones extremadamente desiguales, es necesario disponer
de una medida de variabilidad que no dependa de las unidades o
del tamaño de los datos. Este coeficiente únicamente sirve para
comparar las dispersiones de variables correspondientes a
escalas de razón.
Una manera de construir una medida de variabilidad que cumpla
los requisitos anteriores es el llamado coeficiente de variación
(las barras del denominador representan el valor absoluto, es
decir, indican que debe prescindirse de la unidad de medida de la
media). A menor coeficiente de variación consideraremos que la
distribución de la variable medida es más homogénea.

26. Ejemplo: Una distribución tiene x = 140 y σ = 28.28 y
otra x = 150 y σ = 25. ¿Cuál de las dos presenta mayor
dispersión?