1. Autor:
Angel Zerpa. C.I.: 25.131.239.
Sección: MV.
República Bolivariana de Venezuela.
Ministerio del Poder Popular para la Educación Superior.
Instituto Universitario Politécnico “Santiago Mariño”.
Sede Barcelona, estado Anzoátegui.
Ingeniería de Mantenimiento Mecánico.
Estadística.
Tutor:
Ing. Amelia Vásquez.
Marzo, 2017.
2. Son medidas estadísticas que
pretenden resumir en un solo valor a un
conjunto de valores. Representan un
centro en torno al cual se encuentra
ubicado el conjunto de los datos. Las
medidas de tendencia central más
utilizadas
son: media, mediana y moda.
Son importantes ya que mediante
esto podemos resolver situaciones que
se nos presentan día con día y que no
esta de mas el poder aplicarlas ya que
nos reducen un largo tramite de
operaciones y esto hace que sea un
camino mas viable y rápido al llegar a
una solución.
3. Es el valor con mayor
frecuencia en una distribución de
datos. La moda, cuando los datos
están agrupados, es un punto que
divide al intervalo modal en dos
partes de la forma p y c-p, siendo
c la amplitud del intervalo, que
verifiquen que:
Siendo la frecuencia absoluta
del intervalo modal las frecuencias
absolutas de los intervalos
anterior y posterior,
respectivamente, al intervalo
modal.
Representa el valor de la
variable de posición central en un
conjunto de datos ordenados.
Visualización geométrica de
la moda, la mediana y de la
media de una función
arbitraria de densidad de
probabilidad.
Resulta al efectuar una serie
determinada de operaciones con un
conjunto de números y que, en
determinadas condiciones, puede
representar por sí solo a todo el conjunto.
Tipos de medias: geométrica,
ponderada, armónica aunque en el
lenguaje común, el término se refiere
generalmente a la media aritmética.
4. C
Muestran la variabilidad de
una distribución, indicando por
medio de un número, si las
diferentes puntuaciones de una
variable están muy alejadas de la
media. Cuanto mayor sea ese
valor, mayor será la variabilidad,
cuanto menor sea, más
homogénea será a la media. Así
se sabe si todos los casos son
parecidos o varían mucho entre
ellos.
son importantes debido a
que dos muestras de
observaciones con el mismo
valor central pueden tener una
variabilidad muy distinta. La
variabilidad de cualquier
distribución se contempla
generalmente en términos de la
desviación de cada valor
observado (X) con respecto a la
media muestral : X Si las
desviaciones: (X − ) X son
pequeñas, obviamente los datos
son están menos dispersos, que
si las desviaciones son grandes.
5. Se denomina promedio o cantidad media a una cantidad representativa de otras
varias cantidades. Este promedio es mayor que la menor cantidad y es menor que la
cantidad mayor.
PROMEDIO ARITMÉTICO:
Si tenemos "n" cantidades cuyos valores son a1 , a2 , a3 , ............ an el promedio
aritmético de ellos será:
Nota: Si tenemos sólo dos cantidades A y B al promedio aritmético, se le denomina
también media aritmética (M.A).
Ejercicio 1:
Un alumno ha obtenido las siguientes notas en un curso: 12, 14, 10, 13, 11. ¿Cuál es su
promedio de notas?
P.A.= 12+14+10+13+11 = 12
5
6. PROMEDIO PONDERADO:
Se utiliza cuando los datos son presentados de manera grupal, conociéndose de cada
grupo el número de elementos(n) y el promedio aritmético (P).
Ejercicio: En un salón de clases de 30 alumnos la nota promedio de aritmética es 13, en otro
salón de 20 alumnos la nota promedio del mismo curso es 15. ¿Cuál será la nota promedio
los 50 alumnos?.
Solución:
Salón 1 Salón 2
n = 30 n = 20
P = 13 P = 15
P= n1p1 + n2p2 = P = (30)(13) + 20(15) = 690 = P = 13,8
n1 + n2 30 + 20 50
Entonces el promedio ponderado o total es de 13,8.
Observación: El promedio ponderado de estas dos clases no se calcula sumando el
promedio 13 de una y 15 de la otra y entre dos. P= 13+15 = 14
2
Cuyo resultado sería erróneo, porque también influye el número de alumnos por clase.
7. PROMEDIO GEOMÉTRICO:
Si tenemos "n" cantidades cuyos valores son: a1, a2, a3, .......an. El promedio geométrico de
ellos será igual a:
P.G. =
𝒏
𝑷𝑹𝑶𝑫𝑼𝑪𝑻𝑶 𝑫𝑬 𝑪𝑨𝑵𝑻𝑰𝑫𝑨𝑫𝑬𝑺
P.G. =
𝒏
𝒂𝟏. 𝒂𝟐. 𝒂𝟑 … … … . 𝒂𝒏
Nota: Si tenemos sólo dos cantidades A y B, al promedio geométrico se le denomina también
media geométrica (M.G.).: M.G (A,B) = 𝑨, 𝑩
Ejercicio 1:
Hallar el promedio geométrico de 4; 6 y 9.
P.G.=
𝟑
𝟒. 𝟔. 𝟗. =
𝟑
𝟐𝟏𝟔
P.G.= 6
Ejercicio 2:
La Empresa Wells Fargo Mortgage & Equity Trust expresó las siguientes tasas de
ocupación para algunas de sus propiedades de ingreso industrial. Cuál es el valor medio
geométrico de la tasa de ocupación?
8. Tucson Arizona 81%
Irvine California 100%
Carisbad California 74%
Dellas Texas 80%
PROMEDIO ARMÓNICO:
Si tenemos "n" cantidades cuyos valores son a1, a2, a3, ......., an, el promedio armónico de
ellos será igual a:
P.H.=
𝑵° 𝑫𝑬 𝑪𝑨𝑵𝑻𝑰𝑫𝑨𝑫𝑬𝑺
𝑺𝑼𝑴𝑨 𝑫𝑬 𝑰𝑵𝑽𝑬𝑹𝑺𝑨𝑺
Nota: Para dos cantidades A y B se le denominará media armónica (M.H.)
Datos:
M.G. =
𝒏
𝑿𝟏 𝒙 𝑿𝟐 … (𝑿𝒏)
M.G. =
𝟒
𝟖𝟏 𝟏𝟎𝟎 𝟕𝟒 𝟖𝟎 = 𝟒𝟕𝟗𝟓𝟐𝟎𝟎𝟎 = 83,215
El valor medio geométrico de la tasa de ocupación es 83,21%
9. * CALCULO DE LA MODA PARA DATOS AGRUPADOS
1°. Todos los intervalos tienen la misma amplitud:
Donde:
Li es el límite inferior de la clase modal.
fi es la frecuencia absoluta de la clase modal.
fi--1 es la frecuencia absoluta inmediatamente inferior a la clase modal.
fi-+1 es la frecuencia absoluta inmediatamente posterior a la clase modal.
ai es la amplitud de la clase.
También se utiliza otra fórmula de la moda que da un valor aproximado de ésta:
2°. Los intervalos tienen amplitudes distintas:
En primer lugar tenemos que hallar las alturas =
10. La clase modal es la que tiene mayor altura.
La fórmula de la moda aproximada cuando existen distintas amplitudes es:
EJERCICIO 1:
Calcular la moda de una distribución estadística que viene dada por la siguiente
tabla:
Mo = 66 +
(𝟒𝟐 −𝟏𝟖)
𝟒𝟐 −𝟏𝟖 +(𝟒𝟐 −𝟐𝟕)
. 3 = 67, 846.
Mo = 66 +
𝟐𝟕
𝟏𝟖+𝟐𝟕
. 3 = 67,8.
11. EJERCICIO 2:
En la siguiente tabla se muestra las calificaciones (suspenso, aprobado, notable y
sobresaliente) obtenidas por un grupo de 50 alumnos. Calcular la moda.
Mo = 5 +
10 −3
10 −3 +(10 −6)
. 2 = 6,27
Mo = 5 +
6
3+6
. 2 = 6,33
Es el valor que ocupa el lugar central de todos los datos cuando éstos
están ordenados de menor a mayor.
• La mediana se representa por Me.
• La mediana se puede hallar sólo para variables cuantitativas.
12. * CÁLCULO DE LA MEDIANA:
1. Ordenamos los datos de menor a mayor.
2. Si la serie tiene un número impar de medidas la mediana es la puntuación central de
misma.
2, 3, 4, 4, 5, 5, 5, 6, 6 Me = 5
3. Si la serie tiene un número par de puntuaciones la mediana es la media entre las
dos puntuaciones centrales.
7, 8, 9, 10, 11, 12 Me = 9.5
* CÁLCULO DE LA MEDIANA PARA DATOS AGRUPADOS:
La mediana se encuentra en el intervalo donde la frecuencia acumulada llega
hasta la mitad de la suma de las frecuencias absolutas. Es decir, tenemos que buscar el
intervalo en el que se encuentre N/2.
Li es el límite inferior de la clase donde se encuentra la mediana.
N/2 es la semisuma de las frecuencias absolutas.
Fi-1 es la frecuencia acumulada anterior a la clase mediana.
ai es la amplitud de la clase.
La mediana es independiente de las amplitudes de los intervalos.
13. EJERCICIO 1:
Calcular la mediana de una distribución estadística que viene dada por la
tabla:.
100/2 = 50
Clase de la mediana: [66, 69).
Me = 66 +
𝟓𝟎 −𝟐𝟑
𝟒𝟐
. 3 = 67,93
Ejercicio 2:
La publicación Bank Rate Monitor informó las siguientes tasas de
ahorro. Cuál es la mediana de las tasas.
Respuesta:
Mediana = 3,25 + 3,51 / 2
Mediana = 6,76 /2 = 3,38
M. financiero T. ahorro
F. Común 3,01
C. Mercado 2,96
C. Deposito 6m 3,25
C. Deposito 1año 3,51
C. Deposito 2,5 años 4,25
C. Deposito 5años 5,46
14. La media aritmética es el valor obtenido al sumar todos los datos y dividir el
resultado entre el número total de datos.
𝑥 es el símbolo de la media aritmética.
MEDIA ARITMÉTICA PARA DATOS AGRUPADOS:
EJERCICIO 1:
En un test realizado a un grupo de 42 personas se han obtenido las puntuaciones
que muestra la tabla. Calcula la puntuación media.
𝑹𝒆𝒔𝒑𝒖𝒆𝒔𝒕𝒂: 𝒙 =
𝟏𝟖𝟐𝟎
𝟒𝟐
= 43,33
15. EJERCICIO 2:
A un conjunto de 5 números cuya media es 7.31 se le añaden los números 4.47
10.15. ¿Cuál es la media del nuevo conjunto de números?
Las medidas de dispersión son:
Rango o recorrido
El rango es la diferencia entre el mayor y el menor de los datos de una
distribución estadística.
Desviación media
La desviación respecto a la media es la diferencia entre cada valor de la
variable estadística y la media aritmética.
Di = x - x
La desviación media es la media aritmética de los valores absolutos de las desviaciones
respecto a la media.
La desviación media se representa por :
16. Fórmulas:
DESVIACIÓN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS: Si los datos vienen agrupados en
una tabla de frecuencias, la expresión de la desviación media es:
EJERCICIO 1:
Calcular la desviación media de la distribución:
17. EJERCICIO 2:
Calcular la desviación típica de la distribución:
9, 3, 8, 8, 9, 8, 9, 18
CÁLCULO DE LOS CUARTILES PARA DATOS AGRUPADOS: En primer lugar buscamos
la clase donde se encuentra en la tabla de las frecuencias acumuladas.
Li es el límite inferior de la clase donde se encuentra la mediana.
N es la suma de las frecuencias absolutas.
Fi-1 es la frecuencia acumulada anterior a la clase mediana.
ai es la amplitud de la clase
18. EJERCICIO 1:
Calcular los cuartiles de la distribución de la tabla:
Cálculo del tercer cuartil:
Cálculo del segundo cuartil:
19. Las medidas de posición en un conjunto de datos están diseñadas para
proporcionar al analista algunas medidas cuantitativas de donde está el centro de los datos
en una muestra.
En las medidas de posición se trata de encontrar medidas que sinteticen las
distribuciones de frecuencias. En vez de manejar todos los datos sobre las variables, tarea
que puede ser pesada, podemos caracterizar su distribución de frecuencias mediante
algunos valores numéricos, eligiendo como resumen de los datos un valor central alrededor
del cual se encuentran distribuidos los valores de la variable. La descripción de un conjunto
de datos, incluye como un elemento de importancia la ubicación de éstos dentro de un
contexto de valores posibles.
20. Armando, Soto Negrin. Principios de Estadística. Editorial Panapo. 1999.
Pág.: 71-81.
Ernesto, Rivas González. Estadística General. Ediciones de la Biblioteca.
Caracas. 2000. Pág.: 164-169.
