Modulo ingreso

FACULTAD DE INGENIERÍA
Universidad Nacional de la Patagonia San Juan Bosco

Curso de Apoyo
en Matemática

Departamento de Matemática
http://www.ing.unp.edu.ar/matematica

El siguiente material, elaborado por docentes del Departamento de
Matemática, está dirigido a los alumnos aspirantes a ingresar a la Facultad de
Ingeniería de la Universidad Nacional de la Patagonia San Juan Bosco.

El mismo tiene como objetivo orientar al alumno en el estudio de las
temáticas que se evalúan en el examen de ingreso a la Facultad, y aportar una
nutrida cantidad de ejemplos y ejercicios que permitan el desarrollo de las
habilidades y destrezas necesarias para abordar el estudio de las áreas básicas
de la Ingeniería, Informática y Matemática.

Bienvenidos a la Facultad de Ingeniería y mucha suerte.

Departamento de Matemática
Facultad de Ingeniería

INDICE TEMÁTICO

1. Números.....................................................................................................................1
1.1. Números naturales.............................................................................................2
1.2. Números enteros.................................................................................................3
1.3. Números racionales ............................................................................................8
1.4. Números reales..................................................................................................12
1.4.1. Orden en R..............................................................................................14
1.4.2. Potenciación y radicación en R.............................................................16
1.5. Números complejos ...........................................................................................21
1.5.1. Operaciones en C....................................................................................23
2. Ecuaciones lineales o de primer grado....................................................................26
3. Recta real..................................................................................................................36
3.1. Intervalos reales.................................................................................................36
3.2. Valor absoluto o módulo de un número real...................................................41
3.3. Inecuaciones lineales..........................................................................................44
4. Función lineal y ecuación de la recta.......................................................................49
4.1. Función................................................................................................................49
4.2. Función lineal y ecuación de la recta................................................................56
4.2.1. Función lineal...........................................................................................56
4.2.2. Pendiente de una recta............................................................................57
4.2.3. Función de proporcionalidad.................................................................61
4.2.4. Ecuación de la recta ................................................................................62
4.3. Sistemas de ecuaciones.......................................................................................68
4.4. Rectas perpendiculares......................................................................................73
4.5. Función valor absoluto.......................................................................................74
5. Ecuaciones y funciones cuadráticas.........................................................................75
5.1. Ecuaciones cuadráticas o de segundo grado....................................................76
5.2. Funciones cuadráticas........................................................................................82
6. Ecuaciones polinómicas y racionales.......................................................................98
6.1. Polinomios...........................................................................................................98
6.1.1. Operaciones con polinomios....................................................................99
6.1.1.1. Suma de polinomios..........................................................................99
6.1.1.2. Resta de polinomios..........................................................................99

6.1.1.3. Producto de polinomios..................................................................100
6.1.1.4. División de polinomios....................................................................100
6.1.2. Raíces de un polinomio. Ecuaciones polinómicas...............................102
6.1.3. Divisibilidad de polinomios...................................................................103
6.1.4. Regla de Ruffini......................................................................................104
6.1.5. Factorización de polinomios..................................................................105
6.2. Expresiones racionales......................................................................................108
6.2.1. Operaciones con expresiones racionales...............................................110
6.2.1.1. Suma y resta.....................................................................................110
6.2.1.2. Producto ...........................................................................................112
6.2.1.3. División ............................................................................................112
6.2.2. Raíces de una expresión racional. Ecuaciones racionales...................113
7. Exponenciales y logaritmos.....................................................................................119
7.1. Función exponencial.........................................................................................120
7.1.1. Ecuaciones exponenciales......................................................................123
7.2. Función logarítmica. Logaritmos....................................................................125
7.2.1. Propiedades de los logaritmos...............................................................127
7.2.2. Cambio de base.......................................................................................128
7.3. Ecuaciones exponenciales y ecuaciones logarítmicas.....................................130
8. Funciones trigonométricas de ángulos...................................................................134
8.1. Ángulos...............................................................................................................134
8.1.1. Sistemas de medición de ángulos ..........................................................136
8.2. Funciones trigonométricas de un ángulo.........................................................139
8.3. Triángulos rectángulos......................................................................................142
8.4. Signos de las funciones trigonométricas...........................................................144
8.5. Relaciones entre las funciones trigonométricas...............................................145
8.6. Funciones trigonométricas inversas de un ángulo...........................................147
8.7. Identidades trigonométricas...............................................................................155
8.7.1. Razones trigonométricas de α + β y de α - β.........................................155
8.7.2. Razones trigonométricas del ángulo doble.............................................155
8.7.3. Teoremas del seno y del coseno................................................................155
9. Números complejos en forma polar...........................................................................157

Soluciones...........................................................................................................................164

SIMBOLOS

N = {1, 2, 3, …} el conjunto de los números naturales

N0 = N ∪ {0} el conjunto { 0, 1, 2, 3, …}
N- el conjunto { -1, -2, -3, -4, …}
Z = {…, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, el conjunto de los números enteros
…}
Q el conjunto de los números racionales
R el conjunto de los números reales
C el conjunto de los números complejos
x∈A x pertenece al conjunto A

x∉A x no pertenece al conjunto A
A⊂B el conjunto A está incluido en el conjunto B

A⊄B el conjunto A no está incluido en el conjunto B
A∪B conjunto A unión B, formado por los elementos que pertenecen
al conjunto A o al conjunto B
A∩B conjunto A intersección B, formado por los elementos que
pertenecen al conjunto A y al conjunto B
∅ conjunto vacío
= igual
≠ distinto

≅ es aproximadamente igual a
< es menor que
> es mayor que
≤ es menor o igual que

≥ es mayor o igual que
(a, b) el intervalo abierto de extremos a y b
[a, b] el intervalo cerrado de extremos a y b
(a, b] el intervalo semiabierto a izquierda o semicerrado a derecha, de
extremos a y b
[a, b) el intervalo semiabierto a derecha o semicerrado a izquierda, de
extremos a y b
∞ infinito

Dom f dominio de la función f
Im f imagen de la función f
a valor absoluto de a, que vale a si a ≥ 0, y vale – a en otro caso.
an n-ésima potencia de a
na raíz n-ésima de a

ab a divide a b

sen α seno del ángulo α
cos α coseno del ángulo α
tg α tangente del ángulo α
arc sen α arco seno del ángulo α
arc cos α arco coseno del ángulo α
arc tg α arco tangente del ángulo α
rad radianes
i número complejo que simboliza a la unidad imaginaria
e número cuyo valor aproximado es 2,7182818
π número cuyo valor aproximado es 3,1415926
z módulo del número complejo z

∀ cuantificador que se lee “para todo”

∃ cuantificador que se lee “existe”

∧ conectivo lógico que se lee “y”

∨ conectivo lógico que se lee “o”

⇔ conectivo lógico que se lee “si y sólo si”

⇒ conectivo lógico que se lee “implica”
loga b logaritmo en base a de b
log b logaritmo en base 10 de b, o logaritmo decimal de b
ln b logaritmo en base e de b, o logaritmo natural de b

Números

1. NÚMEROS

A lo largo de esta primera Unidad recorreremos los distintos conjuntos numéricos, recordando
cómo operar en cada uno de ellos y afianzando las propiedades de las operaciones. Esta Unidad es
en cierta manera el basamento sobre el cual construiremos las siguientes, y es por ello que debe
brindársele mucha atención. Recordamos especialmente dejar de lado la calculadora por un
momento, a menos que sea estrictamente necesario. Esto permitirá que el repaso sea fructífero y
sirva de apoyo para futuras unidades.
A lo largo del módulo Ud. encontrará una abundante y variada presentación de actividades, las
cuales permitirán adecuar el trabajo a las necesidades de cada estudiante. Por esto mismo, se han
marcado en algunos casos ciertos incisos como actividades complementarias.

La Facultad de Ingeniería de la Universidad Nacional de la Patagonia San Juan Bosco
posee sedes en las ciudades de Comodoro Rivadavia, Trelew, Puerto Madryn, Esquel y Ushuaia.
La ciudad de Comodoro Rivadavia se encuentra a una altura de 61 metros sobre el nivel del mar
en el centro del Golfo San Jorge. El ejido urbano posee una superficie de 5482/10 Km2 , con una
costa de aproximadamente 36 km. La ciudad de Comodoro Rivadavia es cabecera del
Departamento Escalante, en la Provincia del Chubut, Patagonia Turística Central. Su población es
de 143.628 personas (datos provisorios del Censo 2001, para el aglomerado Comodoro Rivadavia
- Rada Tilly). De ellas, un 60,6% son nativos, un 21 % provienen de otros lugares de la Argentina y
un 12,3 % provienen de otros países. Uno de sus grandes atractivos turísticos es el parque eólico,
emplazado en el cerro Arenales con una altura de 400 metros sobre el nivel del mar. La ciudad
también cuenta con un puerto principal ubicado en la zona Central de la Ciudad, en el extremo de
la Punta Borja, diseñado para atender buques de hasta 180 mts. de eslora, con un calado máximo
de 30 pies (10 mts.).

Habrás notado que todos los datos vertidos aquí hacen referencia a cantidades numéricas
expresadas en diferentes formas. Es claro que los números conviven con nosotros en el trabajo, al
leer el diario, al ver televisión, en los momentos de esparcimiento, al efectuar compras, etc. A
continuación analizaremos cada uno de los conjuntos numéricos que se presentan en Matemática.

Página 1

Curso de Apoyo en Matemática

1.1. Números Naturales

Los números naturales también A los números que utilizamos para contar la cantidad de
sirven para ordenar. Así, decimos elementos de un conjunto no vacío se los denomina
que la Tierra es el tercer planeta a números naturales. Designamos con N al conjunto de
partir del Sol, que ésta es la primer
dichos números.
unidad del Módulo del Ingreso,
etc. N = { 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , ... }.

Es claro que la suma y el producto de dos números naturales es un número natural. En símbolos,
si a , b ∈ N entonces a + b ∈ N y a . b ∈ N.
Observemos que...
Sin embargo, no siempre la diferencia de dos números
1-1= 0 ∉N naturales es un número natural. Así,
1 - 2 = -1 ∉ N
3– 1=2 ∈ N si a , b ∈ N y b < a entonces a - b ∈ N.

Los números naturales están ordenados. Podemos representarlos en la recta numérica como sigue:

1 2 3

Si al conjunto de los números naturales le agregamos el número cero, obtenemos un nuevo
conjunto que denotamos con
N0 = N ∪ {0}.

0 1 2 3

Observemos que...
Por otro lado, si reemplazamos cada elemento d conjunto de
el
w a ∈ N si y sólo si - a ∈ N-
w N ∩ N- = ∅, es decir, no existe
los números naturales por su opuesto, es decir, en lugar de 1
un número que pertenezca al escribimos -1, en lugar de 2 escribimos -2, y así siguiendo,
conjunto N y al conjunto N- obtenemos un nuevo conjunto que denotaremos con
simultáneamente. Recordemos -
que el símbolo ∅ denota al N = {-1 , -2 , -3 , -4 , -5 , ...} = {- a / a ∈ N }
“conjunto vacío”.
Si agregamos estos nuevos elementos al gráfico anterior resulta:

-3 -2 -1 0 1 2 3

El conjunto que hemos obtenido de esta manera nos conduce a la próxima sección.

Página 2

Números

1.2. Números Enteros

Definimos al conjunto de los números enteros como
N Z -
Z = N ∪ {0} ∪ N.
De inmediato resulta que todo número natural es un número
entero.

Para pensar….
ü ¿Existe un número entero que sea menor o igual que t dos
o
los demás?, y ¿mayor o igual que todos los demás?

Puede serle útil representar en la recta
ü ¿Cuántos enteros existen entre los números consecutivos
numérica los números indicados y 2 y 3 ?, ¿y entre 5 y 6 ?, ¿y entre n y n + 1 ?.
analizar allí la situación.
ü ¿Cuántos enteros existen entre 2 y 10 ?, ¿y entre -3 y 7 ?.
¿Qué puede afirmarse sobre l cantidad de enteros que existen
a
entre dos enteros dados?. ¿Cuántos números enteros existen
entre dos números enteros dados?.

Observemos que...

-2 ∈ Z implica - (-2) = 2 ∈ Z w b ∈ Z implica - b ∈ Z
4, -5 ∈ Z implica 4 + (-5) = -1 ∈ Z w a, b ∈ Z implica a + b ∈ Z
w a, b ∈ Z implica a - b ∈ Z,
4, -5 ∈ Z implica 4 - (-5) = 9 ∈ Z pues: a - b = a + (- b); como - b ∈ Z ; por lo anterior
resulta
a + (- b) ∈ Z .
4, -5 ∈ Z implica 4 . (-5) = -20 ∈ Z w a, b ∈ Z implica a . b ∈ Z

¿Cuál es la distancia entre la cima del cerro Arenales y un
punto ubicado en la parte inferior de un barco cuyas
dimensiones son las máximas permitidas para ingresar el
puerto local?
Retoma la lectura del artículo al Recuerda que...
principio de esta unidad.
1 pie = 30 cm.

Observemos que...
7 : 2 = 3,5 ∉ Z
no siempre la división de dos números enteros
es un número entero

Página 3

7 2 a b Al realizar una división entre dos números enteros puede que el
1 3 r q resto sea distinto de cero.

Algoritmo de la Sean a , b ∈ Z , a ≠ 0. Existen enteros únicos q, r tales que
división b = a . q + r con 0 ≤ r <  a


Recordemos que…
|2|=2
|a| denota al “valor absoluto” del número a.
|-2 | = 2
En la Unidad 3 trataremos este tema con mayor profundidad.

Ejemplos:
a) Para b = 84, a = 45 resultan q = 1, r = 39,
pues 84 = 45 . 1 + 39
b) Para b = 84, a = - 45 resultan q = - 1, r = 39,
pues 84 = (- 45) . (- 1) + 39
El resto de la división entre c) Para b = - 84, a = 45 resultan q = - 2, r = 6,
dos n úmeros enteros pues - 84 = 45 . (- 2) + 6
nunca puede ser negativo.
d) Para b = - 84, a = - 45 resultan q = 2, r = 6,
pues - 84 = (- 45) . 2 + 6

Si r = 0 , resulta b = a . q y se dice que a divide a b

Divisibilidad (o que b es múltiplo de a , o que b es divisible por a , o que
a es divisor de b ).

Ejemplos:
6 = 2 . 3 + 0, de modo que r = 0 a) 2 divide a 6 pues 6 = 2 . 3
y así 2 divide a 6

12 = 5 . 2 + 2, de modo que r = 2 b) 5 no divide a 12 pues no existe ningún entero que
y así 5 no divide a 12 multiplicado por 5 dé 12.

Un número entero a es primo si tiene exactamente cuatro
2 , 11 , 463
son números primos
divisores:
1, -1, a y - a.

Página 4

Números

Si se descomponen dos números enteros positivos a y b en
Máximo común sus factores primos, el máximo común divisor entre a y b, es
el producto de los factores primos comunes, con el menor
divisor exponente.
Se denota mcd (a , b).

Ejemplo:
Si a = 72 y b = 84 resulta
Recordemos que... 72 2 84 2
36 2 42 2
para realizar la descomp osición de un 18 2 21 3
número en factores primos
comenzamos dividiendo, de ser 9 3 7 7
posible, por los números primos 3 3 1
2, 3, 5, 7, 11, … 1
hasta obtener el número 1.
La segunda columna obtenida 72 = 23 . 32 84 = 22 . 3 .
presenta la descomposición del
número en factores primos. mcd (72 , 84) = 22 . 3 = 12,
o sea, 12 es el mayor de los divisores comunes entre 72 y 84.

Si se descomponen dos números enteros positivos a y b
Mínimo común en sus factores primos, el mínimo común múltiplo entre
a y b es el producto de los factores primos comunes
múltiplo y no comunes con el mayor exponente.
Se denota mcm (a , b)

Ejemplo:
72 2 84 2 Tomando los números del ejemplo anterior resulta
36 2 42 2
18 2 21 3
9 3 7 7 mcm (72 , 84) = 23 . 32 . 7 = 504
3 3 1
1 o sea 504 es el menor de los múltiplos comunes entre 72 y 84.
72 = 23 32 84 = 22 3 7

Actividades de Aprendizaje

1) Efectuar las siguientes operaciones:
Ejercicios complementarios
a) 5 - (-2) + (-8) : (-4) – 5
b) 7 - (-3) - (-8) : (-8) + (-3) : (-1) e) 42 : 2 - 1 - 82 : 2 – 1
c) 6 : (-2) + (-7) . (-15) : (-3) f) 32 : 2 - 1 - 32 : 2
d) 22 - 42 : 8 + 25 g) 3-1 . 3 - 30 + 1 - 25
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2) El número - 15 es menor que 3, es decir, -15 < 3 .
a) ¿Es (-15)2 menor que 32 ? b) ¿Es (-15)3 menor que 33 ?

3) El número -12 es menor que -3, es decir -12 < - 3 .
a) ¿Es (-12 ) . 6 menor que (-3) . 6 ?
b) ¿Es (-12 ) . (-6) menor que (-3) . (-6) ?

4) Dadas las siguientes afirmaciones, señalar cuáles son verdaderas (V) y cuáles son falsas (F).
Dar un contraejemplo en caso de ser falso.
a) Si z ∈ Z entonces - z ∈ Z. b) Si z2 ∈ Z entonces z ∈ Z.
c) Si 2 z ∈ Z entonces z ∈ Z. d) Si z2 = 1 entonces z ∈ Z.

5)
a) El cociente de dos números es 9, ¿cuál es el cociente de sus cuadrados?
b) El cociente de dos números es 9, ¿cuál es el cociente de sus cubos?

6) Se lanzan tres monedas diferentes. ¿Cuántos resultados distintos pueden aparecer?.

7) Sabemos de dos números enteros x e y que su producto x . y = - 16 y que x es positivo.
a) Cuál es el signo de cada uno de los productos siguientes:
§ x.y.x.y
§ (-1) x . y
§ x.x.y
§ ( - x )( - y )( - x )
b) Calcular el resultado de cada uno de los productos siguientes:
§ (-1)(-x )y=
§ x y:(-4)=
§ -2xy=
§ x y:4=
§ 3xy=

8) p y q representan números enteros, de los cuales sabemos que p ≤ q. Completar con ≤ o ≥
según corresponda:
a) 3 p ..... 3 q b) - 4 p ..... - 4 q
c) - p ..... – q d) p . a ..... q . a , siendo a ≥ 0

9)
a) Sean a y b enteros, b ≠ 0. Si a - b = 175 y la división de a por b tiene cociente 15 y
resto 7, hallar a y b.
b) Si se divide un número natural a por 2 se obtiene como cociente entero un número que
llamamos b y el resto 0. Al dividir b por 2 obtenemos como cociente entero un número c y el
resto 1. Luego dividimos c por 2 y en este caso el cociente es 1 y el resto 0. ¿Cuál es el número
a?

Página 6

Números

10)
a) Hallar el mínimo común múltiplo entre 8 y 14.
b) Hallar el máximo común divisor entre 544 y 1492.

11) Tengo cierta cantidad de botones. Si los agrupo en montones de a cuatro me queda uno suelto.
Si los agrupo de a tres, también me queda uno suelto y lo mismo me sucede si los coloco de a dos.
Cuando los pongo en grupos de a cinco no me sobra ninguno.
a) Si tengo menos de 30 botones, ¿cuántos tengo?
b) Si tengo más de 50 botones y menos de 100, ¿cuántos tengo?

12) En el país ABC las elecciones presidenciales son cada 6 años, las de gobernadores son cada 4
años y las de senadores cada 8 años. En 1974 coincidieron las elecciones para presidente,
gobernadores y senadores. ¿Cuándo volverán a coincidir?.

13) Tres hombres recorren 28, 35 y 40 kilómetros por día respectivamente.
a) ¿A qué distancia del punto de partida está el lugar más cercano al que pueden llegar los tres
simultáneamente, en un número entero de días?.
b) ¿Cuántos días empleará cada uno en llegar a él?.

14) Escribir V (verdadero) o F (falso) según corresponda.

a) ∀ x ∈ Z, x - 1 > 2 b) ∃ b ∈ Z, b + 0 = 0
c) ∀ a ∈ Z, a + 0 ≠ 0 d) ∃ t ∈ Z, t - 2 ≥ 1
e) ∀ a ∈ Z, a + 0 = a

w ∀ a, b ∈ Z, a + b ∈ Z, es
decir, “Para cada par de números enteros
a y b, su suma a + b es un número
entero. ”
Recordemos que...

w ∀ z ∈ N, z ∈ Z, es decir, “Todo El símbolo ∀ se lee “para todo”, así,
número natural z, es un número entero”. ∀ a ∈ Z se utiliza para simbolizar que la propiedad que aparece a
continuación se verifica
w ∀ a ∈ Z, ∃ (- a)∈Z, a + (-a) = 0, “para todos los números enteros”
es decir, “Para todo número entero a,
existe el número entero (-a), llamado El símbolo ∃ se lee “existe”, así,
opuesto de a tal que a + (-a) = 0 ” ∃ a ∈ Z se utiliza para simbolizar que
la propiedad que aparece a
w Sean a , b ∈ Z , a ≠ 0. continuación se verifica
“al menos para algún número entero”
∃ q, r ∈ Z únicos, tales que b = a . q +
r con 0 ≤ r < a. (Recordar el
Algoritmo de la división)

Página 7


1.3. Números Racionales
Como mencionamos anteriormente, no es cierto en general que
a : b se lee “a dividido b”
si a , b ∈ Z entonces a : b ∈ Z .

Ejemplo:
1
1:2= ∉Z.
2

Llamamos número racional a todo número que se puede
Pueden usar los racionales, n
por ejemplo, para indicar expresar como fracción donde n y m son enteros y
la quinta parte de x como m
x m ≠ 0. Con Q denotamos la totalidad de los números
5
racionales.

Observemos que...
Z Q w Todo número entero es racional, pues si m ∈ Z
m
escribimos m = ∈ Q . Es decir Z ⊂ Q .
1
1 1
w La recíproca es falsa, por ejemplo, ∈ Q pero ∉ Z.
2 2

Si u , v ∈ Q entonces:
La suma, la diferencia y el producto w u+v∈Q
de dos números racionales es un w u- v∈Q
número racional.
w u.v∈Q
El inverso de cualquier número 1
racional no nulo es un número w Si u ≠ 0 entonces ∈Q
u
racional.

Recordemos que...

no existe un número entero Para pensar….
que sea menor o igual que todos los
demás, ni tampoco uno que sea ü ¿Existe un número racional que sea menor o igual que
mayor o igual que cualquier otro todos los demás?, y ¿mayor o igual que todos los demás?
entero.
2 3
ü Hallar un número racional entre y . Hallar un
Además, no podemos encontrar un 3 7
número entero entre dos enteros
7 8
consecutivos, pero sí podemos número racional entre y . ¿Puede hallarse más de un
hallar una cantidad finita de enteros 3 3
entre dos números enteros no número racional con esta propiedad?; ¿Qué se concluye?.
consecutivos.

Página 8

Números

Los números racionales se expresan en diferentes formas.

Ejemplo:
El número racional tres cuartos puede expresarse como:
3 -3 6 9 75
= = = = = 0,75 = 0,750 = ....
4 -4 8 12 100

forma fraccionaria forma decimal

Todo número racional puede expresarse como número decimal exacto o periódico.

Ejemplos:
1
= 0,5 es decimal exacto
2
1 )
= 0,333..... = 0,3 período 3
3
86 ∩
= 7,81818181... = 7, 81 período 81
11
29 )
= 4,83333... = 4,83 período 3
6
Cada parte de un número decimal tiene un nombre especial:
Parte Parte
entera decimal

)
5 4 , 8 3

Parte periódica

Parte no periódica

A continuación indicaremos cómo pasar de la forma decimal a la forma fraccionaria.

Página 9


FORMA
EJEMPLO OBSERVACIÓN
DECIMAL
En el numerador aparece la parte decimal,
75 y en el denominador tenemo s
Exactas 0,75 =
100 el 1 seguido de tantos ceros como
cifras decimales tengo.

∩ 25 En el numerador aparece la parte periódica,
Puras 0,2525... = 0, 25 = mientras que en el denominador tenemos
99 tantos números 9 como cifras tiene el período.
Periódicas

∩ En el numerador aparece la diferencia entre
0,75454…= 0,7 54 = la parte decimal y la parte decimal
no periódica, mientras que en el
754 - 7 747
Mixtas = = denominador tenemos tantos números 9
990 990 como cifras tiene el período seguido de
tantos ceros como cifras tiene
la parte no periódica.

Más ejemplos:

FORMA
EJEMPLO
DECIMAL
15
0,015 =
1000
Exactas
223
2,23 =
100
) 3
0,333... = 0,3 =
Puras

9
∩ 28 127
1,282828... = 1, 28 = 1 + =
99 99
Periódicas

) 83 - 8 75
0,8333... = 0,83 = =
90 90
∩
Mixtas

754 - 7 747 12627
12,75454... = 12,7 54 = 12 + = 12 + =
990 990 990
) 124 - 12 112 4612
5,12444... = 5,124 = 5 + = 5+ =
900 900 900

ACTIVIDADES DE APRENDIZAJE

15) Calcular:
EJERCICIOS COMPLEMENTARIOS
5  3 1  10  1 3 
d) ⋅  -  - ⋅  - 
3 5 1 4 3 1
a) - - +  + . -     
9  4 2 3  2 5  8  3 2  11  4 5 

Página 10

Números

3 2 4 4 1 3 3 2 -7 5 1  4 2 1
b) : - ⋅ + - : e) + - + :-  + -
5 3 5 3 3 4 7 3 2 6 4  3 3 6
c)  +
2 -7 5 1  4 2 1
 - + :- + - 
 3 2 6 4  3 3 6 

16) Escribir en forma decimal y fraccionaria:
a) 5 décimos b) 5 centésimos c) 123 centésimos d) 82 milésimos

17)
a) ¿De qué número es 200 la quinta parte?. b) ¿De qué número es 850 el 52%?.

11 12
18) Dadas las fracciones y ?. ¿Cuál es mayor?
12 13

19) Expresar en forma fraccionaria y resolver:
2 2
 1   1
 0,09 + + 0,7  -  0,7 - 
a)
(1,2 + 1,8) 2 - 6
b) 
2   5
1,5 (1,5 - 0,3)2 - 0,24 3
- 0 ,25
2
) ) ) )
c) 0 ,09 : 0 ,3 - 0 ,12 : 0,3 - 0,05 . 2 + 0 ,5 . 3,3 - 0,1
) )
( )
) )
4 + 0,3 - 1,5 . 0,19 - 0,3
d)
( )
)
0,32 - 0,2 1
)

1
20) En un colegio, de los alumnos estudian inglés y el 33% francés. ¿Cuál es la lengua más
3
elegida?

21) Un auto recorre 50 km. en tres cuartos de hora, y otro recorre 36 km. en 27 minutos. ¿Cuál es el
más rápido?

22) Al tostarse el café, éste pierde un quinto de su peso. Si se tuestan 80 kg., ¿cuánto pesarán
después?

23) El agua al congelarse aumenta su volumen un décimo del mismo. ¿Qué volumen ocuparán 200
litros de agua después de helarse?.

24 4 1
24) Una aleación está compuesta por de cobre, de estaño y de cinc. ¿Cuántos
29 29 29
kilogramos de cada metal habrá en 348 kg. de aleación?.

25) Si al numerador de una fracción le aumentamos 21, la fracción queda aumentada en 3. ¿Cuál es
el denominador de la fracción?. Justifique su respuesta.

26) Juan toma la mitad de un cordel; de lo que queda, Pedro toma la mitad; de lo que queda, María
2
toma la mitad; de lo que resta, Carmen toma . Al final quedan 30 cm. ¿Cuál era la longitud del
5
cordel?.

Página 11


9 2
27) Javier y Carlos son dos hermanos. Javier tiene los de la edad de su padre y Carlos los .
20 5
¿Cuál es el mayor?.

28) Un curso tiene 32 alumnos. Para colaborar en la organización de un acto fue convocada a
concurrir 1 hora antes del inicio la cuarta parte del curso. De los que se esperaban sólo asistió la
mitad. Tomando como unidad el curso, ¿cómo expresaría la parte del curso que asistió?

1.4 Números Reales

A los números reales que no se los puede expresar en forma
de fracción, se los denomina números irracionales. Es
decir, un número irracional expresado en forma decimal no
El número π aparece al calcular la es exacto ni periódico.
longitud de una circunferencia y el
área de un círculo.

El número e se presenta en procesos
de crecimiento de una población Ejemplos:
animal o vegetal, y en problemas de
desintegración radiactiva. a) 0,1234567891011...
Seguramente habrás visto en el La parte decimal de este número irracional es la sucesión de
tendido de cables eléctricos que los
cables entre un poste y otro los números naturales.
determinan una curva en cuya
ecuación también está presente el b) π ≅ 3,141592654
número e. El símbolo ≅ indica que se esto representa una
Otro número irracional muy famoso, aproximación del número irracional π . Notemos que
también existen otras aproximaciones para este número; por
1+ 5 ejemplo: 3,14 ; 3,141 ; 3,14159 ; 3,1416 ; ... etc.
2
llamado el número de oro, se obtiene c) e ≅ 2,71
si realizas, por ejemplo, el cociente Representa una aproximación del número irracional e. Al
entre las longitudes del lado menor y
el lado mayor de las hojas tamaño A4 efectuar cálculos en los que intervienen los números
que comúnmente se utilizan en irracionales, tomamos una cantidad finita (entre 3 y 5) de
fotocopiadora, o realizando el mismo cifras decimales. Por lo tanto, podemos considerar e ≅
cálculo con los lados de una tarjeta de 2,718 o bien e ≅ 2,71828.
crédito.

¿No te parece curioso?

Q R La unión del conjunto Q de números racionales y
Números el conjunto de los números irracionales es el
N Z irracionales conjunto R de los números reales.

Página 12

Números

Todos los números que hemos estudiado en las secciones anteriores son números reales.

El conjunto de los números reales también puede representarse sobre una recta. A cada número real
le corresponde un único punto de la recta, y cada punto de la recta representa un único número real.
A esta recta la llamamos recta real.

No siempre somos capaces de representar exactamente a un número real, sin embargo siempre es
posible obtener una representación aproximada de él a partir de su expresión decimal.

Observemos que... Ejemplos:
no existe un número real que sea 5
La representación de los números 2 ; - 3 ; 0,2 ; - y 2
mayor o igual a todos los demás, ni 4
uno que sea menor o igual que todos
es la que sigue:
los demás.
Además, entre dos números reales 5
dados cualesquiera existen infinitos −
4 2
números racionales, e infinitos -3 0.2
números irracionales. -2 -1 0 1 2
1


29) Indicar cuál de los siguientes números es racional y cuál es irracional.
3
a) b) 0,494949... c) 3,75
5
d) 0,141144111444... e) 3,2222... f) 0,437537537...
g) 0,101001000100001... h) 7

30) Escribir:
a) Tres números racionales entre 0,12 y 0,2
b) Tres números periódicos entre 0,12 y 0,2
c) Dos números irracionales entre 0,12 y 0,2

31) Indicar si el desarrollo decimal es periódico o no:
a) 3,2222........ b) 0,101001000100001.........
c) 0.43753753......... d) 0,12112111211112..........

32) Completar con SI o NO, según corresponda, la siguiente tabla:
Página 13

7
10 8
Número 7 -2,08 1,1212212221... -2,2424... 6 −
25 −4 2
Natural
Entero
Racional
Irracional
Real

33) Indicar si es V (Verdadero) o F (Falso). Justificar.
a) Todo número real es racional. b) Todo número natural es entero.
c) Todo número entero es racional. d) Todo número real es irracional.

34) Representar en la recta real los siguientes números en forma aproximada:
1 3
a) -5 b) c) -
3 7
d) 5 d) p e) 2,5
Observemos que...
al efectuar las representaciones de estos números, los mismos
están ordenados en la recta numérica.

Esto nos lleva a establecer lo que llamaremos una relación de orden entre ellos.

1.4.1. Orden en R

a ≤ b se lee: Si en R definimos la relación de orden que indicamos ≤
“≤ ”
a es menor o igual que b observamos que:

Dados dos números reales a y b , se tiene una y sólo una de
Siempre podemos comparar dos las siguientes situaciones:
números reales cualesquiera.
a<b ; b<a ; a=b

Esto nos permite representar “ordenadamente” los números reales en la recta numérica.

Página 14

Números

Además se satisfacen las siguientes propiedades:
-3<4 ⇔-3+1<4+1 w ∀ a , b ∈ R, a 0⇒-3.2<4.2 w ∀ a , b, c ∈ R, a 0 ⇒ a . c 4 . (-2) w ∀ a , b, c ∈ R, a b.c

El símbolo ⇔ se lee “sí y sólo si”
El símbolo ⇒ se lee “implica”


35) Completar con > ó < según corresponda:
1 1 1
a) - 2 < 0 y >0 ⇒ -2. ..... 0 .
4 4 4
5 7 5 7
b) > y -1<0 ⇒ . (- 1) ..... . (- 1)
2 3 2 3
c) 1,4 < 2 ⇔ 1,4 + 0,01 ...... 2 + 0,01

- 7 .  -  ..... (- 6) .  - 
1 1 1
d) - 7 < - 6 y - <0 ⇒    
2  2  2

36) Completar la tabla con los signos > ; < ; = según corresponda:

a b a ........b a ....... b a(-3) ........b(-3)
2 2
8 2
8 2 8>2 > 8 (-3) < 2 (-3)
2 2
-6 -10

-4 8

0 4

37) Si a y b son reales positivos y además a 1, ¿cuál de las siguientes proposiciones
es falsa?. Justificar dando un contraejemplo.
1
a) a b > 0 b) b2 > a c) >0
a−b
1
d) >0 e) b + a > 1
b+a

38) Escribir un número comprendido entre los siguientes:
1 2
a) y b) 1,4142 y 1,4143
3 5
Página 15


355
c) 2 y 3 d) π y
113

1.4.2 Potenciación y Radicación en R

Recordemos que...
an = 1.4243
a a . a .... a
Potenciación
n veces

donde a es un número real al que denominaremos base y
n es un número natural que llamaremos exponente.

Ejemplo:
4
 2  2  2  2  2 16
−  = −  . −  .−  .−  =
 3  3  3  3  3 81

Extensión de la Por convención se tiene, para a ≠ 0 que
definición
de potenciación a0 = 1 y a-n=
1
a exponentes e nteros an

Ejemplo:
1 1
5-3 = =
3 125
5

Algunas propiedades importantes que debemos recordar son:

• Producto de potencias con am . an = am+n
22 . 23 = 25 x4 . x -2 = x2
la misma base.

-n
• Cociente de potencias con am : an = am
23 : 23 = 20 = 1 x4 : x -2 = x6
la misma base.

• Potencia de una potencia. (am )n = am.m
(3 -5 )3 = 3 -15 (x-2 ) -1 = x2

• Potencia de un producto. (a . b)n = an . bn
(2 . 5) -2 = 2 -2 5-2 (x . y2 )3 = x3 y6

• Potencia de un cociente. (a : b)n = an : bn
(2 : 5)-2 = 2-2 : 5-2 (x : y2 )3 = x3 : y6

Página 16

Números

Definimos
n
a =b si bn = a
Radicac ión donde: n es un número natural.
n
a se lee raíz n-ésima de a .
Denominamos a n índice de la raíz, y a radicando.

Observemos que ...
3 - 27 = -3 pues (-3)3 = - 27 para que la definición tenga sentido,
4 81 = 3 pues 34 = 81 w si n es impar, a puede ser cualquier número real,

No tiene sentido considerar - 4 en
el conjunto R, dado que no existe un w si n es par, a debe ser un número real positivo.
número real tal que elevado al
cuadrado nos dé por resultado - 4.

1
La raíz n-ésima de un número suele también denotarse
5
6 = 65 como potencia
1
7 n
3 7 a = an .
3 = 33 Además
1 p
n
5 = 52 a p
= a n si a ≥ 0 .
Observemos que...
Si a < 0, esta afirmación no siempre tiene sentido,
ya que pueden presentarse casos como el siguiente:

(-3)4/2 = (- 3) 4 pero (-3)4/2 = ((- 3)1/2 )4 = ( -3 )4 no tiene sentido en el conjunto R.

También se satisfacen las siguientes propiedades:

1 2
2 < 3 ⇒ 2-1 > 3-1 ⇒ >
3 3 w a > 0 , b > 0 y a b -1

−1 −1
3 2 3  2
- < - ⇒   > −
2 3 2  3
w a < 0 , b < 0 y a b -1
2 3
⇒ − >−
3 2

Página 17


El siguiente cuadro resume las propiedades que verifican las operaciones de s
uma, producto,
potencia y raíz en R y en cada subconjunto de éste.

OPERACIONES PROPIEDADES N Z Q R
Suma 1. Asociativa a + (b + c) = (a + b) + c × × × ×
2. Conmutativa a+b = b+a × × × ×
3. Elemento neutro 0 × × ×
4. Elemento opuesto de a -a × × ×
Producto 5. Asociativa (a . b) . c = a . (b . c) × × × ×
6. Conmutativa a.b = b.a × × × ×
7. Elemento neutro 1 × × × ×
1
8. Elemento inverso de a (a ≠ 0) × ×
a
Suma-Producto 9. Distributiva a . (b + c) = a . b + a . c × × × ×
1. Producto de potencias con la × × × ×
Potencias am . an = am+n
misma base
2. Cociente de potencias con la -n × × × ×
am : an = am
misma base
3. Potencia de una potencia (am )n = am.m × × × ×
× × × ×
n n n
4. Potencia de un producto (a . b) = a . b
5. Potencia de un cociente (a : b)n = an : bn × × × ×
Raíces 1. Producto de radicales con el n n n × × × ×
mismo índice a . b = a .b
2. Cociente de radicales con el n n n × × × ×
a : b = a :b
mismo índice
3. Raíz de una raíz m n a = n.m
a × × × ×

4. Potencia de un radical
(n a )m = n am
× × × ×

Observaciones:

• En el conjunto de los números naturales no existe elemento neutro para la suma. Además ningún
número natural posee elemento opuesto.
• Excepto el 1, ningún número entero no nulo posee inverso multiplicativo.
• Las propiedades son válidas en cada conjunto, siempre que las expresiones involucradas tengan
sentido.

En virtud de las propiedades que verifican la suma y el producto de números reales, se dice que
R es un cuerpo, y está ordenado por la relación de orden ≤ .

Página 18

Números


39) Calcular las siguientes potencias:
E JERCICIOS COMPLEMENTARIOS
3 0 −3 −1
a)  -   1 g)   1
2 3
  b)     h)  
 5  5  2  10 
c) 2-2 d) (- 3)-2 i) - 125 j) (- 1)25
e) (- 3)2 f) 105 k) - 12325 l) (0,1)-2

40) Calcular las siguientes expresiones:
2 5 2 5
a) x . x b) (- x) . x e) (- x)2 . (- x)5 f) (- x)3 : (- x)5
- -
c) x 5 : x 5 d) x -3 : x -6 g) x 3 : x 4 h) (- x)3 : x 5

41) Se sabe que 24 = 42 . ¿Tiene la potenciación la propiedad conmutativa am = ma ?. Justificar.

42) Escribir como radicales los siguientes números:
21/2 , 72/3 , 50,5 , 120,2 , 7-1/2 , 9-1/3 , 510/5 , 8-2/3

43) Expresar como potencia fraccionaria
1 1
a) b) x :3 x c) x ⋅3 x ⋅5 x2 d) 5
x x

44) Simplificar, si es posible:
4 8
a) 32 b) 54 c) 9
27 d) 5
1024

45) Extraer factores del radicando:

a) 8 b) 18 c) 32 d) 50

46) Calcular usando propiedades:
a) 2 ⋅ 32 b) 15 : 3 g) 2 ⋅ 15 h) 3
32 : 3 2
c) 3
3⋅3 9 d) 3
8:3 2 i) 3
2 :3 5 j) 8:4 2
e) 2 : 3 32 f) 3: 4 k) 2 ⋅ 8 0 ,5 l) 3
9 :6 3

47) Resolver usando propiedades y reduciendo las expresiones:

a) 2 + 8 + 18 - 32 b) 5 + 45 + 180 - 80
3 3
c) 24 - 5 6 + 486 d) 54 - 16
2 2 2 2
e) 3 -5 - 5 50 +
9 9 3 25

Página 19


48) Simplificar las siguientes expresiones:
1 1
( )
-
1  3 3
a) 2⋅ 2 ⋅ 2 b) 5 . 3 5 :  . 5 25  c) 6 ⋅ 4 12 : 18 2
5 
2
 3 3
1 (2 )
3 -2
⋅ 32



- 100 2  
d) e)
( )
3 1 1
10 : 0,001
2 10 2
⋅ 33

49) Eliminar las raíces del denominador y simplificar:

3 1 2 x + y
a) b) c) d)
3- 2 3- 2 2 2+ 5 x- y

50) Resolver
161 / 4 ⋅ 27 1 / 3 64 2 / 3 − 27 1 / 3 − 1
a) b) −1
4 1/ 2 1
 
 11 
−2
 
 2/ 3 3/2 
c)  8 − 3⋅9  donde a ≠ 0
  1  −1 0
   − ( 3a ) 
 2 

51) Calcular la diagonal de un rectángulo cuyos lados miden 10 cm. y 12 cm. Expresar el resultado
con dos decimales.

52) Calcular el área de un triángulo equilátero cuyos lados miden 10 cm. Expresar el resultado con
tres decimales.

53) El área de un cuadrado mide 50 cm2 . ¿Cuál es el área del cuadrado construido sobre su
diagonal?.

54) Calcular el área de un círculo de 100 cm. de radio y expresar el resultado con tres decimales
exactos.

55) Determinar entre qué números enteros se encuentra la raíz cuadrada positiva de: 17, 50, 105,
420.

56) Indicar el error cometido:
4 - 10 = 9 - 15
25 25
4 -10 + = 9 - 15 +
4 4
Página 20

Números

2 2
5 5 5 5
22 – 2 . 2 . +   = 32 – 2 . 3 . +  
2 2 2 2
2 2
 5  5
 2 -  = 3 - 
 2  2
5 5
2- =3-
2 2
2 = 3

57) Sean a , b , c números reales. Indicar V (verdadero) o F (falso); en este último caso, justificar
la respuesta proponiendo un contraejemplo.

a) a.0 = 0 f) a + (-b + c) = a - b + c
b) (-a)(-b) = -(ab) g) a - (b + c) = a - b + c
a a a h) ∀ a ∈ R, a . a-1 = 1 , donde a ≠ 0
c) = + , siendo b + c ≠ 0, b ≠ 0, c ≠ 0
b+c b c i) ∀ a ∈ R, (a-1 )-1 = a , donde a ≠ 0
b+c b c j) el cociente entre un número a y su opuesto
d) = + , siendo a ≠ 0
a a a es igual a (-1), donde a ≠ 0
e) a (b - c) = ab - ac k) a (-b) = ab
l) - (-a) = a

1.5 Números Complejos
No es cierto en general, que la raíz cuadrada de un número real sea siempre un número real.
Por ejemplo, hemos visto que no hay ningún número real cuyo cuadrado es -4. Es decir, no existe
a ∈ R tal que a2 = -4.

El nombre de i a − 1 surgió en La unidad imaginaria i cumple la propiedad: i 2 = -1,
1777, y se debe al matemático Euler. también se suele escribir − 1 en lugar de i.
Hasta entonces se trabajaba con
A los números de la forma a + b i donde a y b son reales
expresiones tales como − 4 ,
manipulándolas del mismo modo se les llama números complejos. Al conjunto formado por
que a los números reales. dichos números se lo denota C.

Re(2 – 3i) = 2 En un número complejo a + b i, con a, b ∈ R, a se llama
parte real y se la denota con a = Re(a + b i), y b se llama
Im(2 – 3i) = -3 parte imaginaria y se la denota con b = Im(a + b i).

Página 21


Observemos que...

para el número complejo a + b i,
w si a = 0, el número complejo solo tiene parte imaginaria, es
decir, es imaginario puro.
No es cierto que w si b = 0, el número complejo sólo tiene parte real. Por
la parte imaginaria tanto, el conjunto R de los números reales esta incluido en el
de 2 + 4i sea 4i, conjunto C de los números complejos.
sino que
Im(2 + 4i) = 4.
w la parte imaginaria está conformada solamente por b.

Ejemplos:
Los siguientes son complejos
conjugados: A dos números complejos se les llama conjugados si tienen
la misma parte real y opuestas sus partes imaginarias.
a) 3 + 2 i y 3 - 2 i

b) - 5 + 3 i y -5- 3 I

Observemos que...

en el conjunto de los números complejos tienen sentido ahora,
las propiedades de las raíces, sin tener en cuenta el signo del
radicando.

Ejemplos:

a) -4 = 4 . (-1) = 4 -1 = 2 i

4
b) (− 3) 2 = (− 3)4 =9

c) ( −3 )4 = ( 3 ⋅i )4 = ( 3 )4 ⋅ i 4 = 9 ⋅ 1 = 9
Los números complejos permitirán resolver ecuaciones como las siguientes, que serán tratadas más
adelante:
x2 + 1 = 0

x2 + 4 = 0

x 2 - 6 x + 13 = 0
x 2 + 5 x + 11 = 0

Página 22

Números

Representación de 5 + 3 i El número complejo
y a+bi
5+3i se representa en el plano mediante el punto P de coordenadas
3
(a , b) . El eje de las abscisas se llama eje real, y el de las
2 ordenadas, eje imaginario. De esta forma, a cada número
1 complejo le corresponde un punto del plano y a cada punto del
x
0 1 2 3 4 5
plano le corresponde un número complejo.

Representación de 5 + 3 i y Si unimos el origen con el punto P obtenemos un segmento
su conjugado 5 – 3 i →
orientado que llamamos vector y representamos por OP . Así
y pues, a cada número complejo le hacemos corresponder un
5+3i
3 vector.
2 y
1
P(a, b)
0 x
1 2 3 4 5
-1
-2 b
-3
5-3i
0 a x

1.5.1 Operaciones en C

La suma y resta de números complejos se realiza sumando
Suma y Resta o restando partes reales entre sí y partes imaginarias entre
sí respectivamente.

Ejemplos:

Ahora resolveremos algunas operaciones:
Re(2+3i) = 2
Re(8 – 5i) = 8 a) (2 + 3 i) + (8 - 5i)
Re((2 + 3 i) + (8 - 5i)) = 10
(2 + 3 i) + (8 - 5i) = (2 + 8) + (3 + (- 5)) i
Im(2 + 3i) = 3
Im(8 – 5i) = -5 = 10 - 2 i
Im((2 + 3 i) + (8 – 5i)) = -2
b) (2 + 3 i) - (8 - 5i)

(2 + 3 i) - (8 - 5i) = (2 - 8) + (3 - (- 5)) i = - 6 + 8 i

Página 23


El producto de dos números complejos se realiza aplicando
Producto la propiedad distributiva d producto respecto de la suma
el
y recordando que i 2 = -1.

La división de dos números complejos se realiza
División multiplicando dividendo y divisor por el complejo
conjugado del divisor.

Ejemplo:

20 + 30 i
Resolveremos:
3+ i

Multiplico dividendo y divisor 20 + 30 i (20 + 30 i ) . (3 - i ) 60 + 90 i - 20 i - 30 i 2
por el complejo conjugado del = =
denominador. 3+ i (3 + i ) . (3 - i ) 9 -i 2

El complejo conjugado de 90 + 70 i
3 + i es 3 – i. = = 9+7i
10


58) Resolver las siguientes operaciones expresando los resultados en forma binómica:

(1 − 2i ) +  3 + 5i  + (− 7i) − (− 2) e) (− 1 + i) + (3 − 2i ) ⋅ (1 + 3i)
a)  
2  1 − 4i
f)
b)  + i  ⋅ (− 5 + 4i )
2 1 2−i
 
3 2  g)
1
+
3
−
(1 − i )(2 + i)
3 + 4i i 1+i 3−i
c)
2−i
d) − 16 + − 25 − 1 + 49

59) Calcular

Recordemos que...

Cuadrado de un binomio
(a + b)2 = a 2 + 2ab + b 2 { (
a) Re 2 (1 - i )3 + 3(- 2 + 4i ) 2 - 5 3 - 2)2 }
(a - b)2 = a 2 - 2ab + b 2  (1 - i ) (- 2 + i ) 
b) Im  
Cubo de un binomio
(a + b)3 = a 3 + 3a 2 b + 3a b 2 + b 3  3 - 2i 
(a - b)3 = a 3 - 3a 2 b + 3a b 2 - b 3

Página 24

Números

60) Sabemos que i2 = -1. Por lo tanto i3 = i2 .i = -i, y también se tiene que i4 = (i2 )2 = (-1)2 = 1.
Teniendo esto en cuenta, calcular
i5 , i6 , i7 , i8 , i26 , i32 , i45 .

61) Comprobar que 3 + 2i, y -3 - 2i son las raíces cuadradas de 5 + 12i.

62) Representar en un mismo gráfico los números complejos z1 = 2 + 3i y z2 = 5 – 2i.
Calcular z1 + z2 y graficar . Observar la relación geométrica entre z1 , z2 y z1 + z2 .

63) Dado el número complejo z = a + bi. Hallar las expresiones de z + z y z. z .

64) Calcular

3 + 4i
a) Re 
 + (−2 + i ) 2 
 b) Re {(–2i)4 – (–1 – 6i)3 }
 5 − 2i 

 − 8i   2  7 − 8i 3  

c) Im 



( )
d) Im  7i 
 3 

 ( −4 + 2i ) 2 
  
  

Página 25


2. ECUACIONES LINEALES O DE PRIMER GRADO

El objetivo de esta unidad es repasar las ecuaciones lineales o de primer grado y resolver
ecuaciones lineales por medio de propiedades vistas en la Unidad Nº 1. También resolveremos
problemas donde se plantean ecuaciones lineales con una incógnita. Para ello veremos ejemplos de
ecuaciones, cómo resolverlas y cómo traducirlas al lenguaje simbólico. En próximas unidades
analizaremos cómo resolver ecuaciones de mayor grado.

Comenzamos con la siguiente situación:

En un espectáculo el mago realiza el siguiente truco
_ Piensa un número...
_ Súmale 15 al número pensado...
_ Multiplica por 3 el resultado...
_ Al resultado réstale 9 ...
_ Divide por 3...
_ Resta 8...
_ Dime cuál es el resultado obtenido y te diré que número pensaste. El espectador dice:
_ 32
Instantáneamente el mago afirma con solvencia:
_ El número que pensaste fue el 28.
¿Cómo lo hizo?

Trataremos a lo largo de esta unidad de resolver situaciones problemáticas como la anterior por
medio de ecuaciones lineales con una incógnita.

Página 26

Ecuaciones Lineales o de Primer Grado

Analicemos las siguientes igualdades:

3+4+2=7+2
Estas son igualdades numéricas,
3+2=5

( x + y ) 2 = x 2 + 2xy + y2
mientras que éstas son igualdades algebraicas o literales
a2 – 1 = 0

En el siguiente cuadro podemos ver una clasificación de las igualdades algebraicas teniendo en
cuenta si se verifica para algunos ó todos los números reales. A continuación nos dedicaremos a
estudiar las ecuaciones lineales.

Igualdad algebraica

Identidad Ecuación

Se verifica para cualquier Se verifica para algunos
valor dado a sus letras. valores dados a sus letras.

Ejemplo Ejemplo

a.( m – n2 ) = am – an2 2y – 3 = x + 5

Las letras que aparecen en
la ecuación se llaman
incógnitas.

Página 27


En el caso de las igualdades
algebraicas, éstas se verifican siempre
pues por ejemplo
a.( m – n2 ) = am – an2
es la propiedad distributiva. Cualquier
valor de a, m y n es solución.
Por ejemplo para a = 2, m = 3, n = -1
tenemos
2(3 – (-1)2 ) = 2.3 - 2.(-1)2 Las soluciones de una ecuación son los valores que al
4 = 4. sustituirlos en las incógnitas hacen cierta la igualdad.
En el ejemplo 2y – 3 = x + 5, los
valores y = 3, x = -2 son soluciones,
pues
2.3 -3 = -2 + 5
mientras que y = 3, x = 4 no es
solución pues
2.3 – 3 = 3 ≠ 4 + 5 = 9.

Ecuación lineal Se denominan ecuaciones lineales o de primer grado a las
igualdades algebraicas con incógnitas de exponente 1.

Ejemplos. 1. 2x + 3 = 5
Las primeras cuatro ecuaciones son 2. 3x – x = 2x
ejemplos de ecuaciones lineales o de
primer grado. 3. x+5=5
Las ecuaciones 1, 2 y 3 tienen una
4. x + y = 24
incógnita y la ecuación x + y = 4
tiene dos incógnitas.

1. t 2 – 3t + 1 = 0
Para pensar…. 2. x . y = 24
Estas no son ecuaciones lineales. 3. cos x = 1
¿Por qué? 4. 16 = 2x

Página 28


Ejemplos:

Resolvamos las siguientes ecuaciones

a) 2 x + 3 = 5

Aplicando propiedades Se puede resolver ¨despejando¨.

2x +3 + (-3) = 5 2x = 5 - 3
2x = 2 2x = 2

1 1 5− 3
2x = 2 x=
2 2 2
x=1 x=1
Verificación: Una vez resuelta la ecuación es conveniente verificar que el
2x + 3 = 5 valor obtenido es la solución de la ecuación. Para ello, debemos
2.1+3=5 sustituir el valor hallado en la ecuación.
2+3=5
5=5 La ecuación 2x + 3 = 5 tiene solución única x = 1.

b) x + y = 24 Es una ecuación que tiene infinitas soluciones, pues se verifica
para infinitas parejas de números. Por ejemplo:

1 + 23 = 24 x = 1, y = 23

-5 + 29 = 24 x = -5 , y = 29

24 + 0 = 24 x = 24 , y = 0
1 47 48 1 47
+ = = 24 x= , y=
2 2 2 2 2

c) 3x – x = 2x

Para pensar.... 3x – x = 2x
En este ejemplo observamos que 2x = 2x
hemos obtenido 2x – 2x = 0
0.x = 0
¿Cuántas soluciones tiene esta 0.x = 0
igualdad?

Página 29


d) x + 5 = x

x+5=x
Para pensar.....
5=x–x
En este ejemplo obtenemos
5 = 0.x 5 = 0.x
¿Cuál es el número de soluciones de
5=0
esta igualdad?

x + 1 3x − 9
e) =
5 3

La solución es x +1 3x − 9
x= 4 =
5 3
que pertenece al conjunto de los
números reales; 3(x + 1) = 5(3x - 9)
por lo tanto esta ecuación tiene 3x + 3= 15x – 45
solución en R.
3 + 45 = 15x – 3x
Atención 48 = 12x
No olvides nunca verificar. x= 4

x x x
f) + + = 578
4 6 18

x x x
Recuerda que... + + = 578
4 6 18
para sumar o restar fracciones de
distinto denominador, primero debes 9x + 6x + 2x
hallar un múltiplo común entre los = 578
36
denominadores.
Así, 36 es el mínimo común 17x = 20.808
múltiplo entre 4, 6 y 18.
x = 1.224

Ahora trataremos de resolver problemas utilizando ecuaciones lineales. Para ello podemos tener en
cuenta los siguientes pasos:

• lectura comprensiva del enunciado;
• traducción al lenguaje simbólico;
Pasos a tener en cuenta • expresión de la ecuación correspondiente;
• resolución de la ecuación;
• verificación del resultado obtenido.

Ahora veremos cómo resolver un problema paso a paso.

Volvemos al problema del mago del inicio de esta unidad.
Página 30


En un espectáculo el mago realiza el siguiente truco.
_ Piensa un número...
_ Súmale 15 al número pensado...
_ Multiplica por 3 el resultado...
_ Al resultado réstale 9 ...
_ Divide por 3...
_ Resta 8...
_ Dime cuál es el resultado obtenido y te diré que número pensaste. El espectador dice:
_ 32
Instantáneamente el mago afirma con solvencia:
_ El número que pensaste fue el 28.
¿Cómo lo hizo?

• traducción al lenguaje Piensa un número → x
simbólico

Súmale 15 → x + 15

Multiplica por 3 el → 3(x + 15)
resultado
Al resultado réstale 9 → 3(x + 15) - 9

Divide por 3 → (3(x +15) - 9):3

Resta 8 → (3(x + 15) - 9):3 - 9

El espectador dice → 32

• expresión de la ecuación
correspondiente (3x + 45 - 9):3 - 8 = 32

• resolución de la ecuación (3x + 45 - 9):3 - 8 = 32
x + 4 = 32
x= 28

• verificación del resultado (3.28 + 45 – 9):3 – 8 =32
obtenido

Página 31

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