Modulo ingreso

FACULTAD DE INGENIERÍA
Universidad Nacional de la Patagonia San Juan Bosco

Curso de Apoyo
en Matemática

Departamento de Matemática
http://www.ing.unp.edu.ar/matematica

El siguiente material, elaborado por docentes del Departamento de
Matemática, está dirigido a los alumnos aspirantes a ingresar a la Facultad de
Ingeniería de la Universidad Nacional de la Patagonia San Juan Bosco.

El mismo tiene como objetivo orientar al alumno en el estudio de las
temáticas que se evalúan en el examen de ingreso a la Facultad, y aportar una
nutrida cantidad de ejemplos y ejercicios que permitan el desarrollo de las
habilidades y destrezas necesarias para abordar el estudio de las áreas básicas
de la Ingeniería, Informática y Matemática.

Bienvenidos a la Facultad de Ingeniería y mucha suerte.

Departamento de Matemática
Facultad de Ingeniería

INDICE TEMÁTICO

1. Números.....................................................................................................................1
1.1. Números naturales.............................................................................................2
1.2. Números enteros.................................................................................................3
1.3. Números racionales ............................................................................................8
1.4. Números reales..................................................................................................12
1.4.1. Orden en R..............................................................................................14
1.4.2. Potenciación y radicación en R.............................................................16
1.5. Números complejos ...........................................................................................21
1.5.1. Operaciones en C....................................................................................23
2. Ecuaciones lineales o de primer grado....................................................................26
3. Recta real..................................................................................................................36
3.1. Intervalos reales.................................................................................................36
3.2. Valor absoluto o módulo de un número real...................................................41
3.3. Inecuaciones lineales..........................................................................................44
4. Función lineal y ecuación de la recta.......................................................................49
4.1. Función................................................................................................................49
4.2. Función lineal y ecuación de la recta................................................................56
4.2.1. Función lineal...........................................................................................56
4.2.2. Pendiente de una recta............................................................................57
4.2.3. Función de proporcionalidad.................................................................61
4.2.4. Ecuación de la recta ................................................................................62
4.3. Sistemas de ecuaciones.......................................................................................68
4.4. Rectas perpendiculares......................................................................................73
4.5. Función valor absoluto.......................................................................................74
5. Ecuaciones y funciones cuadráticas.........................................................................75
5.1. Ecuaciones cuadráticas o de segundo grado....................................................76
5.2. Funciones cuadráticas........................................................................................82
6. Ecuaciones polinómicas y racionales.......................................................................98
6.1. Polinomios...........................................................................................................98
6.1.1. Operaciones con polinomios....................................................................99
6.1.1.1. Suma de polinomios..........................................................................99
6.1.1.2. Resta de polinomios..........................................................................99

6.1.1.3. Producto de polinomios..................................................................100
6.1.1.4. División de polinomios....................................................................100
6.1.2. Raíces de un polinomio. Ecuaciones polinómicas...............................102
6.1.3. Divisibilidad de polinomios...................................................................103
6.1.4. Regla de Ruffini......................................................................................104
6.1.5. Factorización de polinomios..................................................................105
6.2. Expresiones racionales......................................................................................108
6.2.1. Operaciones con expresiones racionales...............................................110
6.2.1.1. Suma y resta.....................................................................................110
6.2.1.2. Producto ...........................................................................................112
6.2.1.3. División ............................................................................................112
6.2.2. Raíces de una expresión racional. Ecuaciones racionales...................113
7. Exponenciales y logaritmos.....................................................................................119
7.1. Función exponencial.........................................................................................120
7.1.1. Ecuaciones exponenciales......................................................................123
7.2. Función logarítmica. Logaritmos....................................................................125
7.2.1. Propiedades de los logaritmos...............................................................127
7.2.2. Cambio de base.......................................................................................128
7.3. Ecuaciones exponenciales y ecuaciones logarítmicas.....................................130
8. Funciones trigonométricas de ángulos...................................................................134
8.1. Ángulos...............................................................................................................134
8.1.1. Sistemas de medición de ángulos ..........................................................136
8.2. Funciones trigonométricas de un ángulo.........................................................139
8.3. Triángulos rectángulos......................................................................................142
8.4. Signos de las funciones trigonométricas...........................................................144
8.5. Relaciones entre las funciones trigonométricas...............................................145
8.6. Funciones trigonométricas inversas de un ángulo...........................................147
8.7. Identidades trigonométricas...............................................................................155
8.7.1. Razones trigonométricas de α + β y de α - β.........................................155
8.7.2. Razones trigonométricas del ángulo doble.............................................155
8.7.3. Teoremas del seno y del coseno................................................................155
9. Números complejos en forma polar...........................................................................157

Soluciones...........................................................................................................................164

SIMBOLOS

N = {1, 2, 3, …} el conjunto de los números naturales

N0 = N ∪ {0} el conjunto { 0, 1, 2, 3, …}
N- el conjunto { -1, -2, -3, -4, …}
Z = {…, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, el conjunto de los números enteros
…}
Q el conjunto de los números racionales
R el conjunto de los números reales
C el conjunto de los números complejos
x∈A x pertenece al conjunto A

x∉A x no pertenece al conjunto A
A⊂B el conjunto A está incluido en el conjunto B

A⊄B el conjunto A no está incluido en el conjunto B
A∪B conjunto A unión B, formado por los elementos que pertenecen
al conjunto A o al conjunto B
A∩B conjunto A intersección B, formado por los elementos que
pertenecen al conjunto A y al conjunto B
∅ conjunto vacío
= igual
≠ distinto

≅ es aproximadamente igual a
< es menor que
> es mayor que
≤ es menor o igual que

≥ es mayor o igual que
(a, b) el intervalo abierto de extremos a y b
[a, b] el intervalo cerrado de extremos a y b
(a, b] el intervalo semiabierto a izquierda o semicerrado a derecha, de
extremos a y b
[a, b) el intervalo semiabierto a derecha o semicerrado a izquierda, de
extremos a y b
∞ infinito

Dom f dominio de la función f
Im f imagen de la función f
a valor absoluto de a, que vale a si a ≥ 0, y vale – a en otro caso.
an n-ésima potencia de a
na raíz n-ésima de a

ab a divide a b

sen α seno del ángulo α
cos α coseno del ángulo α
tg α tangente del ángulo α
arc sen α arco seno del ángulo α
arc cos α arco coseno del ángulo α
arc tg α arco tangente del ángulo α
rad radianes
i número complejo que simboliza a la unidad imaginaria
e número cuyo valor aproximado es 2,7182818
π número cuyo valor aproximado es 3,1415926
z módulo del número complejo z

∀ cuantificador que se lee “para todo”

∃ cuantificador que se lee “existe”

∧ conectivo lógico que se lee “y”

∨ conectivo lógico que se lee “o”

⇔ conectivo lógico que se lee “si y sólo si”

⇒ conectivo lógico que se lee “implica”
loga b logaritmo en base a de b
log b logaritmo en base 10 de b, o logaritmo decimal de b
ln b logaritmo en base e de b, o logaritmo natural de b

Números

1. NÚMEROS

A lo largo de esta primera Unidad recorreremos los distintos conjuntos numéricos, recordando
cómo operar en cada uno de ellos y afianzando las propiedades de las operaciones. Esta Unidad es
en cierta manera el basamento sobre el cual construiremos las siguientes, y es por ello que debe
brindársele mucha atención. Recordamos especialmente dejar de lado la calculadora por un
momento, a menos que sea estrictamente necesario. Esto permitirá que el repaso sea fructífero y
sirva de apoyo para futuras unidades.
A lo largo del módulo Ud. encontrará una abundante y variada presentación de actividades, las
cuales permitirán adecuar el trabajo a las necesidades de cada estudiante. Por esto mismo, se han
marcado en algunos casos ciertos incisos como actividades complementarias.

La Facultad de Ingeniería de la Universidad Nacional de la Patagonia San Juan Bosco
posee sedes en las ciudades de Comodoro Rivadavia, Trelew, Puerto Madryn, Esquel y Ushuaia.
La ciudad de Comodoro Rivadavia se encuentra a una altura de 61 metros sobre el nivel del mar
en el centro del Golfo San Jorge. El ejido urbano posee una superficie de 5482/10 Km2 , con una
costa de aproximadamente 36 km. La ciudad de Comodoro Rivadavia es cabecera del
Departamento Escalante, en la Provincia del Chubut, Patagonia Turística Central. Su población es
de 143.628 personas (datos provisorios del Censo 2001, para el aglomerado Comodoro Rivadavia
- Rada Tilly). De ellas, un 60,6% son nativos, un 21 % provienen de otros lugares de la Argentina y
un 12,3 % provienen de otros países. Uno de sus grandes atractivos turísticos es el parque eólico,
emplazado en el cerro Arenales con una altura de 400 metros sobre el nivel del mar. La ciudad
también cuenta con un puerto principal ubicado en la zona Central de la Ciudad, en el extremo de
la Punta Borja, diseñado para atender buques de hasta 180 mts. de eslora, con un calado máximo
de 30 pies (10 mts.).

Habrás notado que todos los datos vertidos aquí hacen referencia a cantidades numéricas
expresadas en diferentes formas. Es claro que los números conviven con nosotros en el trabajo, al
leer el diario, al ver televisión, en los momentos de esparcimiento, al efectuar compras, etc. A
continuación analizaremos cada uno de los conjuntos numéricos que se presentan en Matemática.

Página 1

Curso de Apoyo en Matemática

1.1. Números Naturales

Los números naturales también A los números que utilizamos para contar la cantidad de
sirven para ordenar. Así, decimos elementos de un conjunto no vacío se los denomina
que la Tierra es el tercer planeta a números naturales. Designamos con N al conjunto de
partir del Sol, que ésta es la primer
dichos números.
unidad del Módulo del Ingreso,
etc. N = { 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , ... }.

Es claro que la suma y el producto de dos números naturales es un número natural. En símbolos,
si a , b ∈ N entonces a + b ∈ N y a . b ∈ N.
Observemos que...
Sin embargo, no siempre la diferencia de dos números
1-1= 0 ∉N naturales es un número natural. Así,
1 - 2 = -1 ∉ N
3– 1=2 ∈ N si a , b ∈ N y b < a entonces a - b ∈ N.

Los números naturales están ordenados. Podemos representarlos en la recta numérica como sigue:

1 2 3

Si al conjunto de los números naturales le agregamos el número cero, obtenemos un nuevo
conjunto que denotamos con
N0 = N ∪ {0}.

0 1 2 3

Observemos que...
Por otro lado, si reemplazamos cada elemento d conjunto de
el
w a ∈ N si y sólo si - a ∈ N-
w N ∩ N- = ∅, es decir, no existe
los números naturales por su opuesto, es decir, en lugar de 1
un número que pertenezca al escribimos -1, en lugar de 2 escribimos -2, y así siguiendo,
conjunto N y al conjunto N- obtenemos un nuevo conjunto que denotaremos con
simultáneamente. Recordemos -
que el símbolo ∅ denota al N = {-1 , -2 , -3 , -4 , -5 , ...} = {- a / a ∈ N }
“conjunto vacío”.
Si agregamos estos nuevos elementos al gráfico anterior resulta:

-3 -2 -1 0 1 2 3

El conjunto que hemos obtenido de esta manera nos conduce a la próxima sección.

Página 2

Números

1.2. Números Enteros

Definimos al conjunto de los números enteros como
N Z -
Z = N ∪ {0} ∪ N.
De inmediato resulta que todo número natural es un número
entero.

Para pensar….
ü ¿Existe un número entero que sea menor o igual que t dos
o
los demás?, y ¿mayor o igual que todos los demás?

Puede serle útil representar en la recta
ü ¿Cuántos enteros existen entre los números consecutivos
numérica los números indicados y 2 y 3 ?, ¿y entre 5 y 6 ?, ¿y entre n y n + 1 ?.
analizar allí la situación.
ü ¿Cuántos enteros existen entre 2 y 10 ?, ¿y entre -3 y 7 ?.
¿Qué puede afirmarse sobre l cantidad de enteros que existen
a
entre dos enteros dados?. ¿Cuántos números enteros existen
entre dos números enteros dados?.

Observemos que...

-2 ∈ Z implica - (-2) = 2 ∈ Z w b ∈ Z implica - b ∈ Z
4, -5 ∈ Z implica 4 + (-5) = -1 ∈ Z w a, b ∈ Z implica a + b ∈ Z
w a, b ∈ Z implica a - b ∈ Z,
4, -5 ∈ Z implica 4 - (-5) = 9 ∈ Z pues: a - b = a + (- b); como - b ∈ Z ; por lo anterior
resulta
a + (- b) ∈ Z .
4, -5 ∈ Z implica 4 . (-5) = -20 ∈ Z w a, b ∈ Z implica a . b ∈ Z

¿Cuál es la distancia entre la cima del cerro Arenales y un
punto ubicado en la parte inferior de un barco cuyas
dimensiones son las máximas permitidas para ingresar el
puerto local?
Retoma la lectura del artículo al Recuerda que...
principio de esta unidad.
1 pie = 30 cm.

Observemos que...
7 : 2 = 3,5 ∉ Z
no siempre la división de dos números enteros
es un número entero

Página 3

7 2 a b Al realizar una división entre dos números enteros puede que el
1 3 r q resto sea distinto de cero.

Algoritmo de la Sean a , b ∈ Z , a ≠ 0. Existen enteros únicos q, r tales que
división b = a . q + r con 0 ≤ r <  a


Recordemos que…
|2|=2
|a| denota al “valor absoluto” del número a.
|-2 | = 2
En la Unidad 3 trataremos este tema con mayor profundidad.

Ejemplos:
a) Para b = 84, a = 45 resultan q = 1, r = 39,
pues 84 = 45 . 1 + 39
b) Para b = 84, a = - 45 resultan q = - 1, r = 39,
pues 84 = (- 45) . (- 1) + 39
El resto de la división entre c) Para b = - 84, a = 45 resultan q = - 2, r = 6,
dos n úmeros enteros pues - 84 = 45 . (- 2) + 6
nunca puede ser negativo.
d) Para b = - 84, a = - 45 resultan q = 2, r = 6,
pues - 84 = (- 45) . 2 + 6

Si r = 0 , resulta b = a . q y se dice que a divide a b

Divisibilidad (o que b es múltiplo de a , o que b es divisible por a , o que
a es divisor de b ).

Ejemplos:
6 = 2 . 3 + 0, de modo que r = 0 a) 2 divide a 6 pues 6 = 2 . 3
y así 2 divide a 6

12 = 5 . 2 + 2, de modo que r = 2 b) 5 no divide a 12 pues no existe ningún entero que
y así 5 no divide a 12 multiplicado por 5 dé 12.

Un número entero a es primo si tiene exactamente cuatro
2 , 11 , 463
son números primos
divisores:
1, -1, a y - a.

Página 4

Números

Si se descomponen dos números enteros positivos a y b en
Máximo común sus factores primos, el máximo común divisor entre a y b, es
el producto de los factores primos comunes, con el menor
divisor exponente.
Se denota mcd (a , b).

Ejemplo:
Si a = 72 y b = 84 resulta
Recordemos que... 72 2 84 2
36 2 42 2
para realizar la descomp osición de un 18 2 21 3
número en factores primos
comenzamos dividiendo, de ser 9 3 7 7
posible, por los números primos 3 3 1
2, 3, 5, 7, 11, … 1
hasta obtener el número 1.
La segunda columna obtenida 72 = 23 . 32 84 = 22 . 3 .
presenta la descomposición del
número en factores primos. mcd (72 , 84) = 22 . 3 = 12,
o sea, 12 es el mayor de los divisores comunes entre 72 y 84.

Si se descomponen dos números enteros positivos a y b
Mínimo común en sus factores primos, el mínimo común múltiplo entre
a y b es el producto de los factores primos comunes
múltiplo y no comunes con el mayor exponente.
Se denota mcm (a , b)

Ejemplo:
72 2 84 2 Tomando los números del ejemplo anterior resulta
36 2 42 2
18 2 21 3
9 3 7 7 mcm (72 , 84) = 23 . 32 . 7 = 504
3 3 1
1 o sea 504 es el menor de los múltiplos comunes entre 72 y 84.
72 = 23 32 84 = 22 3 7

Actividades de Aprendizaje

1) Efectuar las siguientes operaciones:
Ejercicios complementarios
a) 5 - (-2) + (-8) : (-4) – 5
b) 7 - (-3) - (-8) : (-8) + (-3) : (-1) e) 42 : 2 - 1 - 82 : 2 – 1
c) 6 : (-2) + (-7) . (-15) : (-3) f) 32 : 2 - 1 - 32 : 2
d) 22 - 42 : 8 + 25 g) 3-1 . 3 - 30 + 1 - 25
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2) El número - 15 es menor que 3, es decir, -15 < 3 .
a) ¿Es (-15)2 menor que 32 ? b) ¿Es (-15)3 menor que 33 ?

3) El número -12 es menor que -3, es decir -12 < - 3 .
a) ¿Es (-12 ) . 6 menor que (-3) . 6 ?
b) ¿Es (-12 ) . (-6) menor que (-3) . (-6) ?

4) Dadas las siguientes afirmaciones, señalar cuáles son verdaderas (V) y cuáles son falsas (F).
Dar un contraejemplo en caso de ser falso.
a) Si z ∈ Z entonces - z ∈ Z. b) Si z2 ∈ Z entonces z ∈ Z.
c) Si 2 z ∈ Z entonces z ∈ Z. d) Si z2 = 1 entonces z ∈ Z.

5)
a) El cociente de dos números es 9, ¿cuál es el cociente de sus cuadrados?
b) El cociente de dos números es 9, ¿cuál es el cociente de sus cubos?

6) Se lanzan tres monedas diferentes. ¿Cuántos resultados distintos pueden aparecer?.

7) Sabemos de dos números enteros x e y que su producto x . y = - 16 y que x es positivo.
a) Cuál es el signo de cada uno de los productos siguientes:
§ x.y.x.y
§ (-1) x . y
§ x.x.y
§ ( - x )( - y )( - x )
b) Calcular el resultado de cada uno de los productos siguientes:
§ (-1)(-x )y=
§ x y:(-4)=
§ -2xy=
§ x y:4=
§ 3xy=

8) p y q representan números enteros, de los cuales sabemos que p ≤ q. Completar con ≤ o ≥
según corresponda:
a) 3 p ..... 3 q b) - 4 p ..... - 4 q
c) - p ..... – q d) p . a ..... q . a , siendo a ≥ 0

9)
a) Sean a y b enteros, b ≠ 0. Si a - b = 175 y la división de a por b tiene cociente 15 y
resto 7, hallar a y b.
b) Si se divide un número natural a por 2 se obtiene como cociente entero un número que
llamamos b y el resto 0. Al dividir b por 2 obtenemos como cociente entero un número c y el
resto 1. Luego dividimos c por 2 y en este caso el cociente es 1 y el resto 0. ¿Cuál es el número
a?

Página 6

Números

10)
a) Hallar el mínimo común múltiplo entre 8 y 14.
b) Hallar el máximo común divisor entre 544 y 1492.

11) Tengo cierta cantidad de botones. Si los agrupo en montones de a cuatro me queda uno suelto.
Si los agrupo de a tres, también me queda uno suelto y lo mismo me sucede si los coloco de a dos.
Cuando los pongo en grupos de a cinco no me sobra ninguno.
a) Si tengo menos de 30 botones, ¿cuántos tengo?
b) Si tengo más de 50 botones y menos de 100, ¿cuántos tengo?

12) En el país ABC las elecciones presidenciales son cada 6 años, las de gobernadores son cada 4
años y las de senadores cada 8 años. En 1974 coincidieron las elecciones para presidente,
gobernadores y senadores. ¿Cuándo volverán a coincidir?.

13) Tres hombres recorren 28, 35 y 40 kilómetros por día respectivamente.
a) ¿A qué distancia del punto de partida está el lugar más cercano al que pueden llegar los tres
simultáneamente, en un número entero de días?.
b) ¿Cuántos días empleará cada uno en llegar a él?.

14) Escribir V (verdadero) o F (falso) según corresponda.

a) ∀ x ∈ Z, x - 1 > 2 b) ∃ b ∈ Z, b + 0 = 0
c) ∀ a ∈ Z, a + 0 ≠ 0 d) ∃ t ∈ Z, t - 2 ≥ 1
e) ∀ a ∈ Z, a + 0 = a

w ∀ a, b ∈ Z, a + b ∈ Z, es
decir, “Para cada par de números enteros
a y b, su suma a + b es un número
entero. ”
Recordemos que...

w ∀ z ∈ N, z ∈ Z, es decir, “Todo El símbolo ∀ se lee “para todo”, así,
número natural z, es un número entero”. ∀ a ∈ Z se utiliza para simbolizar que la propiedad que aparece a
continuación se verifica
w ∀ a ∈ Z, ∃ (- a)∈Z, a + (-a) = 0, “para todos los números enteros”
es decir, “Para todo número entero a,
existe el número entero (-a), llamado El símbolo ∃ se lee “existe”, así,
opuesto de a tal que a + (-a) = 0 ” ∃ a ∈ Z se utiliza para simbolizar que
la propiedad que aparece a
w Sean a , b ∈ Z , a ≠ 0. continuación se verifica
“al menos para algún número entero”
∃ q, r ∈ Z únicos, tales que b = a . q +
r con 0 ≤ r < a. (Recordar el
Algoritmo de la división)

Página 7


1.3. Números Racionales
Como mencionamos anteriormente, no es cierto en general que
a : b se lee “a dividido b”
si a , b ∈ Z entonces a : b ∈ Z .

Ejemplo:
1
1:2= ∉Z.
2

Llamamos número racional a todo número que se puede
Pueden usar los racionales, n
por ejemplo, para indicar expresar como fracción donde n y m son enteros y
la quinta parte de x como m
x m ≠ 0. Con Q denotamos la totalidad de los números
5
racionales.

Observemos que...
Z Q w Todo número entero es racional, pues si m ∈ Z
m
escribimos m = ∈ Q . Es decir Z ⊂ Q .
1
1 1
w La recíproca es falsa, por ejemplo, ∈ Q pero ∉ Z.
2 2

Si u , v ∈ Q entonces:
La suma, la diferencia y el producto w u+v∈Q
de dos números racionales es un w u- v∈Q
número racional.
w u.v∈Q
El inverso de cualquier número 1
racional no nulo es un número w Si u ≠ 0 entonces ∈Q
u
racional.

Recordemos que...

no existe un número entero Para pensar….
que sea menor o igual que todos los
demás, ni tampoco uno que sea ü ¿Existe un número racional que sea menor o igual que
mayor o igual que cualquier otro todos los demás?, y ¿mayor o igual que todos los demás?
entero.
2 3
ü Hallar un número racional entre y . Hallar un
Además, no podemos encontrar un 3 7
número entero entre dos enteros
7 8
consecutivos, pero sí podemos número racional entre y . ¿Puede hallarse más de un
hallar una cantidad finita de enteros 3 3
entre dos números enteros no número racional con esta propiedad?; ¿Qué se concluye?.
consecutivos.

Página 8

Números

Los números racionales se expresan en diferentes formas.

Ejemplo:
El número racional tres cuartos puede expresarse como:
3 -3 6 9 75
= = = = = 0,75 = 0,750 = ....
4 -4 8 12 100

forma fraccionaria forma decimal

Todo número racional puede expresarse como número decimal exacto o periódico.

Ejemplos:
1
= 0,5 es decimal exacto
2
1 )
= 0,333..... = 0,3 período 3
3
86 ∩
= 7,81818181... = 7, 81 período 81
11
29 )
= 4,83333... = 4,83 período 3
6
Cada parte de un número decimal tiene un nombre especial:
Parte Parte
entera decimal

)
5 4 , 8 3

Parte periódica

Parte no periódica

A continuación indicaremos cómo pasar de la forma decimal a la forma fraccionaria.

Página 9


FORMA
EJEMPLO OBSERVACIÓN
DECIMAL
En el numerador aparece la parte decimal,
75 y en el denominador tenemo s
Exactas 0,75 =
100 el 1 seguido de tantos ceros como
cifras decimales tengo.

∩ 25 En el numerador aparece la parte periódica,
Puras 0,2525... = 0, 25 = mientras que en el denominador tenemos
99 tantos números 9 como cifras tiene el período.
Periódicas

∩ En el numerador aparece la diferencia entre
0,75454…= 0,7 54 = la parte decimal y la parte decimal
no periódica, mientras que en el
754 - 7 747
Mixtas = = denominador tenemos tantos números 9
990 990 como cifras tiene el período seguido de
tantos ceros como cifras tiene
la parte no periódica.

Más ejemplos:

FORMA
EJEMPLO
DECIMAL
15
0,015 =
1000
Exactas
223
2,23 =
100
) 3
0,333... = 0,3 =
Puras

9
∩ 28 127
1,282828... = 1, 28 = 1 + =
99 99
Periódicas

) 83 - 8 75
0,8333... = 0,83 = =
90 90
∩
Mixtas

754 - 7 747 12627
12,75454... = 12,7 54 = 12 + = 12 + =
990 990 990
) 124 - 12 112 4612
5,12444... = 5,124 = 5 + = 5+ =
900 900 900

ACTIVIDADES DE APRENDIZAJE

15) Calcular:
EJERCICIOS COMPLEMENTARIOS
5  3 1  10  1 3 
d) ⋅  -  - ⋅  - 
3 5 1 4 3 1
a) - - +  + . -     
9  4 2 3  2 5  8  3 2  11  4 5 

Página 10

Números

3 2 4 4 1 3 3 2 -7 5 1  4 2 1
b) : - ⋅ + - : e) + - + :-  + -
5 3 5 3 3 4 7 3 2 6 4  3 3 6
c)  +
2 -7 5 1  4 2 1
 - + :- + - 
 3 2 6 4  3 3 6 

16) Escribir en forma decimal y fraccionaria:
a) 5 décimos b) 5 centésimos c) 123 centésimos d) 82 milésimos

17)
a) ¿De qué número es 200 la quinta parte?. b) ¿De qué número es 850 el 52%?.

11 12
18) Dadas las fracciones y ?. ¿Cuál es mayor?
12 13

19) Expresar en forma fraccionaria y resolver:
2 2
 1   1
 0,09 + + 0,7  -  0,7 - 
a)
(1,2 + 1,8) 2 - 6
b) 
2   5
1,5 (1,5 - 0,3)2 - 0,24 3
- 0 ,25
2
) ) ) )
c) 0 ,09 : 0 ,3 - 0 ,12 : 0,3 - 0,05 . 2 + 0 ,5 . 3,3 - 0,1
) )
( )
) )
4 + 0,3 - 1,5 . 0,19 - 0,3
d)
( )
)
0,32 - 0,2 1
)

1
20) En un colegio, de los alumnos estudian inglés y el 33% francés. ¿Cuál es la lengua más
3
elegida?

21) Un auto recorre 50 km. en tres cuartos de hora, y otro recorre 36 km. en 27 minutos. ¿Cuál es el
más rápido?

22) Al tostarse el café, éste pierde un quinto de su peso. Si se tuestan 80 kg., ¿cuánto pesarán
después?

23) El agua al congelarse aumenta su volumen un décimo del mismo. ¿Qué volumen ocuparán 200
litros de agua después de helarse?.

24 4 1
24) Una aleación está compuesta por de cobre, de estaño y de cinc. ¿Cuántos
29 29 29
kilogramos de cada metal habrá en 348 kg. de aleación?.

25) Si al numerador de una fracción le aumentamos 21, la fracción queda aumentada en 3. ¿Cuál es
el denominador de la fracción?. Justifique su respuesta.

26) Juan toma la mitad de un cordel; de lo que queda, Pedro toma la mitad; de lo que queda, María
2
toma la mitad; de lo que resta, Carmen toma . Al final quedan 30 cm. ¿Cuál era la longitud del
5
cordel?.

Página 11


9 2
27) Javier y Carlos son dos hermanos. Javier tiene los de la edad de su padre y Carlos los .
20 5
¿Cuál es el mayor?.

28) Un curso tiene 32 alumnos. Para colaborar en la organización de un acto fue convocada a
concurrir 1 hora antes del inicio la cuarta parte del curso. De los que se esperaban sólo asistió la
mitad. Tomando como unidad el curso, ¿cómo expresaría la parte del curso que asistió?

1.4 Números Reales

A los números reales que no se los puede expresar en forma
de fracción, se los denomina números irracionales. Es
decir, un número irracional expresado en forma decimal no
El número π aparece al calcular la es exacto ni periódico.
longitud de una circunferencia y el
área de un círculo.

El número e se presenta en procesos
de crecimiento de una población Ejemplos:
animal o vegetal, y en problemas de
desintegración radiactiva. a) 0,1234567891011...
Seguramente habrás visto en el La parte decimal de este número irracional es la sucesión de
tendido de cables eléctricos que los
cables entre un poste y otro los números naturales.
determinan una curva en cuya
ecuación también está presente el b) π ≅ 3,141592654
número e. El símbolo ≅ indica que se esto representa una
Otro número irracional muy famoso, aproximación del número irracional π . Notemos que
también existen otras aproximaciones para este número; por
1+ 5 ejemplo: 3,14 ; 3,141 ; 3,14159 ; 3,1416 ; ... etc.
2
llamado el número de oro, se obtiene c) e ≅ 2,71
si realizas, por ejemplo, el cociente Representa una aproximación del número irracional e. Al
entre las longitudes del lado menor y
el lado mayor de las hojas tamaño A4 efectuar cálculos en los que intervienen los números
que comúnmente se utilizan en irracionales, tomamos una cantidad finita (entre 3 y 5) de
fotocopiadora, o realizando el mismo cifras decimales. Por lo tanto, podemos considerar e ≅
cálculo con los lados de una tarjeta de 2,718 o bien e ≅ 2,71828.
crédito.

¿No te parece curioso?

Q R La unión del conjunto Q de números racionales y
Números el conjunto de los números irracionales es el
N Z irracionales conjunto R de los números reales.

Página 12

Números

Todos los números que hemos estudiado en las secciones anteriores son números reales.

El conjunto de los números reales también puede representarse sobre una recta. A cada número real
le corresponde un único punto de la recta, y cada punto de la recta representa un único número real.
A esta recta la llamamos recta real.

No siempre somos capaces de representar exactamente a un número real, sin embargo siempre es
posible obtener una representación aproximada de él a partir de su expresión decimal.

Observemos que... Ejemplos:
no existe un número real que sea 5
La representación de los números 2 ; - 3 ; 0,2 ; - y 2
mayor o igual a todos los demás, ni 4
uno que sea menor o igual que todos
es la que sigue:
los demás.
Además, entre dos números reales 5
dados cualesquiera existen infinitos −
4 2
números racionales, e infinitos -3 0.2
números irracionales. -2 -1 0 1 2
1


29) Indicar cuál de los siguientes números es racional y cuál es irracional.
3
a) b) 0,494949... c) 3,75
5
d) 0,141144111444... e) 3,2222... f) 0,437537537...
g) 0,101001000100001... h) 7

30) Escribir:
a) Tres números racionales entre 0,12 y 0,2
b) Tres números periódicos entre 0,12 y 0,2
c) Dos números irracionales entre 0,12 y 0,2

31) Indicar si el desarrollo decimal es periódico o no:
a) 3,2222........ b) 0,101001000100001.........
c) 0.43753753......... d) 0,12112111211112..........

32) Completar con SI o NO, según corresponda, la siguiente tabla:
Página 13

7
10 8
Número 7 -2,08 1,1212212221... -2,2424... 6 −
25 −4 2
Natural
Entero
Racional
Irracional
Real

33) Indicar si es V (Verdadero) o F (Falso). Justificar.
a) Todo número real es racional. b) Todo número natural es entero.
c) Todo número entero es racional. d) Todo número real es irracional.

34) Representar en la recta real los siguientes números en forma aproximada:
1 3
a) -5 b) c) -
3 7
d) 5 d) p e) 2,5
Observemos que...
al efectuar las representaciones de estos números, los mismos
están ordenados en la recta numérica.

Esto nos lleva a establecer lo que llamaremos una relación de orden entre ellos.

1.4.1. Orden en R

a ≤ b se lee: Si en R definimos la relación de orden que indicamos ≤
“≤ ”
a es menor o igual que b observamos que:

Dados dos números reales a y b , se tiene una y sólo una de
Siempre podemos comparar dos las siguientes situaciones:
números reales cualesquiera.
a<b ; b<a ; a=b

Esto nos permite representar “ordenadamente” los números reales en la recta numérica.

Página 14

Números

Además se satisfacen las siguientes propiedades:
-3<4 ⇔-3+1<4+1 w ∀ a , b ∈ R, a 0⇒-3.2<4.2 w ∀ a , b, c ∈ R, a 0 ⇒ a . c 4 . (-2) w ∀ a , b, c ∈ R, a b.c

El símbolo ⇔ se lee “sí y sólo si”
El símbolo ⇒ se lee “implica”


35) Completar con > ó < según corresponda:
1 1 1
a) - 2 < 0 y >0 ⇒ -2. ..... 0 .
4 4 4
5 7 5 7
b) > y -1<0 ⇒ . (- 1) ..... . (- 1)
2 3 2 3
c) 1,4 < 2 ⇔ 1,4 + 0,01 ...... 2 + 0,01

- 7 .  -  ..... (- 6) .  - 
1 1 1
d) - 7 < - 6 y - <0 ⇒    
2  2  2

36) Completar la tabla con los signos > ; < ; = según corresponda:

a b a ........b a ....... b a(-3) ........b(-3)
2 2
8 2
8 2 8>2 > 8 (-3) < 2 (-3)
2 2
-6 -10

-4 8

0 4

37) Si a y b son reales positivos y además a 1, ¿cuál de las siguientes proposiciones
es falsa?. Justificar dando un contraejemplo.
1
a) a b > 0 b) b2 > a c) >0
a−b
1
d) >0 e) b + a > 1
b+a

38) Escribir un número comprendido entre los siguientes:
1 2
a) y b) 1,4142 y 1,4143
3 5
Página 15


355
c) 2 y 3 d) π y
113

1.4.2 Potenciación y Radicación en R

Recordemos que...
an = 1.4243
a a . a .... a
Potenciación
n veces

donde a es un número real al que denominaremos base y
n es un número natural que llamaremos exponente.

Ejemplo:
4
 2  2  2  2  2 16
−  = −  . −  .−  .−  =
 3  3  3  3  3 81

Extensión de la Por convención se tiene, para a ≠ 0 que
definición
de potenciación a0 = 1 y a-n=
1
a exponentes e nteros an

Ejemplo:
1 1
5-3 = =
3 125
5

Algunas propiedades importantes que debemos recordar son:

• Producto de potencias con am . an = am+n
22 . 23 = 25 x4 . x -2 = x2
la misma base.

-n
• Cociente de potencias con am : an = am
23 : 23 = 20 = 1 x4 : x -2 = x6
la misma base.

• Potencia de una potencia. (am )n = am.m
(3 -5 )3 = 3 -15 (x-2 ) -1 = x2

• Potencia de un producto. (a . b)n = an . bn
(2 . 5) -2 = 2 -2 5-2 (x . y2 )3 = x3 y6

• Potencia de un cociente. (a : b)n = an : bn
(2 : 5)-2 = 2-2 : 5-2 (x : y2 )3 = x3 : y6

Página 16

Números

Definimos
n
a =b si bn = a
Radicac ión donde: n es un número natural.
n
a se lee raíz n-ésima de a .
Denominamos a n índice de la raíz, y a radicando.

Observemos que ...
3 - 27 = -3 pues (-3)3 = - 27 para que la definición tenga sentido,
4 81 = 3 pues 34 = 81 w si n es impar, a puede ser cualquier número real,

No tiene sentido considerar - 4 en
el conjunto R, dado que no existe un w si n es par, a debe ser un número real positivo.
número real tal que elevado al
cuadrado nos dé por resultado - 4.

1
La raíz n-ésima de un número suele también denotarse
5
6 = 65 como potencia
1
7 n
3 7 a = an .
3 = 33 Además
1 p
n
5 = 52 a p
= a n si a ≥ 0 .
Observemos que...
Si a < 0, esta afirmación no siempre tiene sentido,
ya que pueden presentarse casos como el siguiente:

(-3)4/2 = (- 3) 4 pero (-3)4/2 = ((- 3)1/2 )4 = ( -3 )4 no tiene sentido en el conjunto R.

También se satisfacen las siguientes propiedades:

1 2
2 < 3 ⇒ 2-1 > 3-1 ⇒ >
3 3 w a > 0 , b > 0 y a b -1

−1 −1
3 2 3  2
- < - ⇒   > −
2 3 2  3
w a < 0 , b < 0 y a b -1
2 3
⇒ − >−
3 2

Página 17


El siguiente cuadro resume las propiedades que verifican las operaciones de s
uma, producto,
potencia y raíz en R y en cada subconjunto de éste.

OPERACIONES PROPIEDADES N Z Q R
Suma 1. Asociativa a + (b + c) = (a + b) + c × × × ×
2. Conmutativa a+b = b+a × × × ×
3. Elemento neutro 0 × × ×
4. Elemento opuesto de a -a × × ×
Producto 5. Asociativa (a . b) . c = a . (b . c) × × × ×
6. Conmutativa a.b = b.a × × × ×
7. Elemento neutro 1 × × × ×
1
8. Elemento inverso de a (a ≠ 0) × ×
a
Suma-Producto 9. Distributiva a . (b + c) = a . b + a . c × × × ×
1. Producto de potencias con la × × × ×
Potencias am . an = am+n
misma base
2. Cociente de potencias con la -n × × × ×
am : an = am
misma base
3. Potencia de una potencia (am )n = am.m × × × ×
× × × ×
n n n
4. Potencia de un producto (a . b) = a . b
5. Potencia de un cociente (a : b)n = an : bn × × × ×
Raíces 1. Producto de radicales con el n n n × × × ×
mismo índice a . b = a .b
2. Cociente de radicales con el n n n × × × ×
a : b = a :b
mismo índice
3. Raíz de una raíz m n a = n.m
a × × × ×

4. Potencia de un radical
(n a )m = n am
× × × ×

Observaciones:

• En el conjunto de los números naturales no existe elemento neutro para la suma. Además ningún
número natural posee elemento opuesto.
• Excepto el 1, ningún número entero no nulo posee inverso multiplicativo.
• Las propiedades son válidas en cada conjunto, siempre que las expresiones involucradas tengan
sentido.

En virtud de las propiedades que verifican la suma y el producto de números reales, se dice que
R es un cuerpo, y está ordenado por la relación de orden ≤ .

Página 18

Números


39) Calcular las siguientes potencias:
E JERCICIOS COMPLEMENTARIOS
3 0 −3 −1
a)  -   1 g)   1
2 3
  b)     h)  
 5  5  2  10 
c) 2-2 d) (- 3)-2 i) - 125 j) (- 1)25
e) (- 3)2 f) 105 k) - 12325 l) (0,1)-2

40) Calcular las siguientes expresiones:
2 5 2 5
a) x . x b) (- x) . x e) (- x)2 . (- x)5 f) (- x)3 : (- x)5
- -
c) x 5 : x 5 d) x -3 : x -6 g) x 3 : x 4 h) (- x)3 : x 5

41) Se sabe que 24 = 42 . ¿Tiene la potenciación la propiedad conmutativa am = ma ?. Justificar.

42) Escribir como radicales los siguientes números:
21/2 , 72/3 , 50,5 , 120,2 , 7-1/2 , 9-1/3 , 510/5 , 8-2/3

43) Expresar como potencia fraccionaria
1 1
a) b) x :3 x c) x ⋅3 x ⋅5 x2 d) 5
x x

44) Simplificar, si es posible:
4 8
a) 32 b) 54 c) 9
27 d) 5
1024

45) Extraer factores del radicando:

a) 8 b) 18 c) 32 d) 50

46) Calcular usando propiedades:
a) 2 ⋅ 32 b) 15 : 3 g) 2 ⋅ 15 h) 3
32 : 3 2
c) 3
3⋅3 9 d) 3
8:3 2 i) 3
2 :3 5 j) 8:4 2
e) 2 : 3 32 f) 3: 4 k) 2 ⋅ 8 0 ,5 l) 3
9 :6 3

47) Resolver usando propiedades y reduciendo las expresiones:

a) 2 + 8 + 18 - 32 b) 5 + 45 + 180 - 80
3 3
c) 24 - 5 6 + 486 d) 54 - 16
2 2 2 2
e) 3 -5 - 5 50 +
9 9 3 25

Página 19


48) Simplificar las siguientes expresiones:
1 1
( )
-
1  3 3
a) 2⋅ 2 ⋅ 2 b) 5 . 3 5 :  . 5 25  c) 6 ⋅ 4 12 : 18 2
5 
2
 3 3
1 (2 )
3 -2
⋅ 32



- 100 2  
d) e)
( )
3 1 1
10 : 0,001
2 10 2
⋅ 33

49) Eliminar las raíces del denominador y simplificar:

3 1 2 x + y
a) b) c) d)
3- 2 3- 2 2 2+ 5 x- y

50) Resolver
161 / 4 ⋅ 27 1 / 3 64 2 / 3 − 27 1 / 3 − 1
a) b) −1
4 1/ 2 1
 
 11 
−2
 
 2/ 3 3/2 
c)  8 − 3⋅9  donde a ≠ 0
  1  −1 0
   − ( 3a ) 
 2 

51) Calcular la diagonal de un rectángulo cuyos lados miden 10 cm. y 12 cm. Expresar el resultado
con dos decimales.

52) Calcular el área de un triángulo equilátero cuyos lados miden 10 cm. Expresar el resultado con
tres decimales.

53) El área de un cuadrado mide 50 cm2 . ¿Cuál es el área del cuadrado construido sobre su
diagonal?.

54) Calcular el área de un círculo de 100 cm. de radio y expresar el resultado con tres decimales
exactos.

55) Determinar entre qué números enteros se encuentra la raíz cuadrada positiva de: 17, 50, 105,
420.

56) Indicar el error cometido:
4 - 10 = 9 - 15
25 25
4 -10 + = 9 - 15 +
4 4
Página 20

Números

2 2
5 5 5 5
22 – 2 . 2 . +   = 32 – 2 . 3 . +  
2 2 2 2
2 2
 5  5
 2 -  = 3 - 
 2  2
5 5
2- =3-
2 2
2 = 3

57) Sean a , b , c números reales. Indicar V (verdadero) o F (falso); en este último caso, justificar
la respuesta proponiendo un contraejemplo.

a) a.0 = 0 f) a + (-b + c) = a - b + c
b) (-a)(-b) = -(ab) g) a - (b + c) = a - b + c
a a a h) ∀ a ∈ R, a . a-1 = 1 , donde a ≠ 0
c) = + , siendo b + c ≠ 0, b ≠ 0, c ≠ 0
b+c b c i) ∀ a ∈ R, (a-1 )-1 = a , donde a ≠ 0
b+c b c j) el cociente entre un número a y su opuesto
d) = + , siendo a ≠ 0
a a a es igual a (-1), donde a ≠ 0
e) a (b - c) = ab - ac k) a (-b) = ab
l) - (-a) = a

1.5 Números Complejos
No es cierto en general, que la raíz cuadrada de un número real sea siempre un número real.
Por ejemplo, hemos visto que no hay ningún número real cuyo cuadrado es -4. Es decir, no existe
a ∈ R tal que a2 = -4.

El nombre de i a − 1 surgió en La unidad imaginaria i cumple la propiedad: i 2 = -1,
1777, y se debe al matemático Euler. también se suele escribir − 1 en lugar de i.
Hasta entonces se trabajaba con
A los números de la forma a + b i donde a y b son reales
expresiones tales como − 4 ,
manipulándolas del mismo modo se les llama números complejos. Al conjunto formado por
que a los números reales. dichos números se lo denota C.

Re(2 – 3i) = 2 En un número complejo a + b i, con a, b ∈ R, a se llama
parte real y se la denota con a = Re(a + b i), y b se llama
Im(2 – 3i) = -3 parte imaginaria y se la denota con b = Im(a + b i).

Página 21


Observemos que...

para el número complejo a + b i,
w si a = 0, el número complejo solo tiene parte imaginaria, es
decir, es imaginario puro.
No es cierto que w si b = 0, el número complejo sólo tiene parte real. Por
la parte imaginaria tanto, el conjunto R de los números reales esta incluido en el
de 2 + 4i sea 4i, conjunto C de los números complejos.
sino que
Im(2 + 4i) = 4.
w la parte imaginaria está conformada solamente por b.

Ejemplos:
Los siguientes son complejos
conjugados: A dos números complejos se les llama conjugados si tienen
la misma parte real y opuestas sus partes imaginarias.
a) 3 + 2 i y 3 - 2 i

b) - 5 + 3 i y -5- 3 I

Observemos que...

en el conjunto de los números complejos tienen sentido ahora,
las propiedades de las raíces, sin tener en cuenta el signo del
radicando.

Ejemplos:

a) -4 = 4 . (-1) = 4 -1 = 2 i

4
b) (− 3) 2 = (− 3)4 =9

c) ( −3 )4 = ( 3 ⋅i )4 = ( 3 )4 ⋅ i 4 = 9 ⋅ 1 = 9
Los números complejos permitirán resolver ecuaciones como las siguientes, que serán tratadas más
adelante:
x2 + 1 = 0

x2 + 4 = 0

x 2 - 6 x + 13 = 0
x 2 + 5 x + 11 = 0

Página 22

Números

Representación de 5 + 3 i El número complejo
y a+bi
5+3i se representa en el plano mediante el punto P de coordenadas
3
(a , b) . El eje de las abscisas se llama eje real, y el de las
2 ordenadas, eje imaginario. De esta forma, a cada número
1 complejo le corresponde un punto del plano y a cada punto del
x
0 1 2 3 4 5
plano le corresponde un número complejo.

Representación de 5 + 3 i y Si unimos el origen con el punto P obtenemos un segmento
su conjugado 5 – 3 i →
orientado que llamamos vector y representamos por OP . Así
y pues, a cada número complejo le hacemos corresponder un
5+3i
3 vector.
2 y
1
P(a, b)
0 x
1 2 3 4 5
-1
-2 b
-3
5-3i
0 a x

1.5.1 Operaciones en C

La suma y resta de números complejos se realiza sumando
Suma y Resta o restando partes reales entre sí y partes imaginarias entre
sí respectivamente.

Ejemplos:

Ahora resolveremos algunas operaciones:
Re(2+3i) = 2
Re(8 – 5i) = 8 a) (2 + 3 i) + (8 - 5i)
Re((2 + 3 i) + (8 - 5i)) = 10
(2 + 3 i) + (8 - 5i) = (2 + 8) + (3 + (- 5)) i
Im(2 + 3i) = 3
Im(8 – 5i) = -5 = 10 - 2 i
Im((2 + 3 i) + (8 – 5i)) = -2
b) (2 + 3 i) - (8 - 5i)

(2 + 3 i) - (8 - 5i) = (2 - 8) + (3 - (- 5)) i = - 6 + 8 i

Página 23


El producto de dos números complejos se realiza aplicando
Producto la propiedad distributiva d producto respecto de la suma
el
y recordando que i 2 = -1.

La división de dos números complejos se realiza
División multiplicando dividendo y divisor por el complejo
conjugado del divisor.

Ejemplo:

20 + 30 i
Resolveremos:
3+ i

Multiplico dividendo y divisor 20 + 30 i (20 + 30 i ) . (3 - i ) 60 + 90 i - 20 i - 30 i 2
por el complejo conjugado del = =
denominador. 3+ i (3 + i ) . (3 - i ) 9 -i 2

El complejo conjugado de 90 + 70 i
3 + i es 3 – i. = = 9+7i
10


58) Resolver las siguientes operaciones expresando los resultados en forma binómica:

(1 − 2i ) +  3 + 5i  + (− 7i) − (− 2) e) (− 1 + i) + (3 − 2i ) ⋅ (1 + 3i)
a)  
2  1 − 4i
f)
b)  + i  ⋅ (− 5 + 4i )
2 1 2−i
 
3 2  g)
1
+
3
−
(1 − i )(2 + i)
3 + 4i i 1+i 3−i
c)
2−i
d) − 16 + − 25 − 1 + 49

59) Calcular

Recordemos que...

Cuadrado de un binomio
(a + b)2 = a 2 + 2ab + b 2 { (
a) Re 2 (1 - i )3 + 3(- 2 + 4i ) 2 - 5 3 - 2)2 }
(a - b)2 = a 2 - 2ab + b 2  (1 - i ) (- 2 + i ) 
b) Im  
Cubo de un binomio
(a + b)3 = a 3 + 3a 2 b + 3a b 2 + b 3  3 - 2i 
(a - b)3 = a 3 - 3a 2 b + 3a b 2 - b 3

Página 24

Números

60) Sabemos que i2 = -1. Por lo tanto i3 = i2 .i = -i, y también se tiene que i4 = (i2 )2 = (-1)2 = 1.
Teniendo esto en cuenta, calcular
i5 , i6 , i7 , i8 , i26 , i32 , i45 .

61) Comprobar que 3 + 2i, y -3 - 2i son las raíces cuadradas de 5 + 12i.

62) Representar en un mismo gráfico los números complejos z1 = 2 + 3i y z2 = 5 – 2i.
Calcular z1 + z2 y graficar . Observar la relación geométrica entre z1 , z2 y z1 + z2 .

63) Dado el número complejo z = a + bi. Hallar las expresiones de z + z y z. z .

64) Calcular

3 + 4i
a) Re 
 + (−2 + i ) 2 
 b) Re {(–2i)4 – (–1 – 6i)3 }
 5 − 2i 

 − 8i   2  7 − 8i 3  

c) Im 



( )
d) Im  7i 
 3 

 ( −4 + 2i ) 2 
  
  

Página 25


2. ECUACIONES LINEALES O DE PRIMER GRADO

El objetivo de esta unidad es repasar las ecuaciones lineales o de primer grado y resolver
ecuaciones lineales por medio de propiedades vistas en la Unidad Nº 1. También resolveremos
problemas donde se plantean ecuaciones lineales con una incógnita. Para ello veremos ejemplos de
ecuaciones, cómo resolverlas y cómo traducirlas al lenguaje simbólico. En próximas unidades
analizaremos cómo resolver ecuaciones de mayor grado.

Comenzamos con la siguiente situación:

En un espectáculo el mago realiza el siguiente truco
_ Piensa un número...
_ Súmale 15 al número pensado...
_ Multiplica por 3 el resultado...
_ Al resultado réstale 9 ...
_ Divide por 3...
_ Resta 8...
_ Dime cuál es el resultado obtenido y te diré que número pensaste. El espectador dice:
_ 32
Instantáneamente el mago afirma con solvencia:
_ El número que pensaste fue el 28.
¿Cómo lo hizo?

Trataremos a lo largo de esta unidad de resolver situaciones problemáticas como la anterior por
medio de ecuaciones lineales con una incógnita.

Página 26

Ecuaciones Lineales o de Primer Grado

Analicemos las siguientes igualdades:

3+4+2=7+2
Estas son igualdades numéricas,
3+2=5

( x + y ) 2 = x 2 + 2xy + y2
mientras que éstas son igualdades algebraicas o literales
a2 – 1 = 0

En el siguiente cuadro podemos ver una clasificación de las igualdades algebraicas teniendo en
cuenta si se verifica para algunos ó todos los números reales. A continuación nos dedicaremos a
estudiar las ecuaciones lineales.

Igualdad algebraica

Identidad Ecuación

Se verifica para cualquier Se verifica para algunos
valor dado a sus letras. valores dados a sus letras.

Ejemplo Ejemplo

a.( m – n2 ) = am – an2 2y – 3 = x + 5

Las letras que aparecen en
la ecuación se llaman
incógnitas.

Página 27


En el caso de las igualdades
algebraicas, éstas se verifican siempre
pues por ejemplo
a.( m – n2 ) = am – an2
es la propiedad distributiva. Cualquier
valor de a, m y n es solución.
Por ejemplo para a = 2, m = 3, n = -1
tenemos
2(3 – (-1)2 ) = 2.3 - 2.(-1)2 Las soluciones de una ecuación son los valores que al
4 = 4. sustituirlos en las incógnitas hacen cierta la igualdad.
En el ejemplo 2y – 3 = x + 5, los
valores y = 3, x = -2 son soluciones,
pues
2.3 -3 = -2 + 5
mientras que y = 3, x = 4 no es
solución pues
2.3 – 3 = 3 ≠ 4 + 5 = 9.

Ecuación lineal Se denominan ecuaciones lineales o de primer grado a las
igualdades algebraicas con incógnitas de exponente 1.

Ejemplos. 1. 2x + 3 = 5
Las primeras cuatro ecuaciones son 2. 3x – x = 2x
ejemplos de ecuaciones lineales o de
primer grado. 3. x+5=5
Las ecuaciones 1, 2 y 3 tienen una
4. x + y = 24
incógnita y la ecuación x + y = 4
tiene dos incógnitas.

1. t 2 – 3t + 1 = 0
Para pensar…. 2. x . y = 24
Estas no son ecuaciones lineales. 3. cos x = 1
¿Por qué? 4. 16 = 2x

Página 28


Ejemplos:

Resolvamos las siguientes ecuaciones

a) 2 x + 3 = 5

Aplicando propiedades Se puede resolver ¨despejando¨.

2x +3 + (-3) = 5 2x = 5 - 3
2x = 2 2x = 2

1 1 5− 3
2x = 2 x=
2 2 2
x=1 x=1
Verificación: Una vez resuelta la ecuación es conveniente verificar que el
2x + 3 = 5 valor obtenido es la solución de la ecuación. Para ello, debemos
2.1+3=5 sustituir el valor hallado en la ecuación.
2+3=5
5=5 La ecuación 2x + 3 = 5 tiene solución única x = 1.

b) x + y = 24 Es una ecuación que tiene infinitas soluciones, pues se verifica
para infinitas parejas de números. Por ejemplo:

1 + 23 = 24 x = 1, y = 23

-5 + 29 = 24 x = -5 , y = 29

24 + 0 = 24 x = 24 , y = 0
1 47 48 1 47
+ = = 24 x= , y=
2 2 2 2 2

c) 3x – x = 2x

Para pensar.... 3x – x = 2x
En este ejemplo observamos que 2x = 2x
hemos obtenido 2x – 2x = 0
0.x = 0
¿Cuántas soluciones tiene esta 0.x = 0
igualdad?

Página 29


d) x + 5 = x

x+5=x
Para pensar.....
5=x–x
En este ejemplo obtenemos
5 = 0.x 5 = 0.x
¿Cuál es el número de soluciones de
5=0
esta igualdad?

x + 1 3x − 9
e) =
5 3

La solución es x +1 3x − 9
x= 4 =
5 3
que pertenece al conjunto de los
números reales; 3(x + 1) = 5(3x - 9)
por lo tanto esta ecuación tiene 3x + 3= 15x – 45
solución en R.
3 + 45 = 15x – 3x
Atención 48 = 12x
No olvides nunca verificar. x= 4

x x x
f) + + = 578
4 6 18

x x x
Recuerda que... + + = 578
4 6 18
para sumar o restar fracciones de
distinto denominador, primero debes 9x + 6x + 2x
hallar un múltiplo común entre los = 578
36
denominadores.
Así, 36 es el mínimo común 17x = 20.808
múltiplo entre 4, 6 y 18.
x = 1.224

Ahora trataremos de resolver problemas utilizando ecuaciones lineales. Para ello podemos tener en
cuenta los siguientes pasos:

• lectura comprensiva del enunciado;
• traducción al lenguaje simbólico;
Pasos a tener en cuenta • expresión de la ecuación correspondiente;
• resolución de la ecuación;
• verificación del resultado obtenido.

Ahora veremos cómo resolver un problema paso a paso.

Volvemos al problema del mago del inicio de esta unidad.
Página 30


En un espectáculo el mago realiza el siguiente truco.
_ Piensa un número...
_ Súmale 15 al número pensado...
_ Multiplica por 3 el resultado...
_ Al resultado réstale 9 ...
_ Divide por 3...
_ Resta 8...
_ Dime cuál es el resultado obtenido y te diré que número pensaste. El espectador dice:
_ 32
Instantáneamente el mago afirma con solvencia:
_ El número que pensaste fue el 28.
¿Cómo lo hizo?

• traducción al lenguaje Piensa un número → x
simbólico

Súmale 15 → x + 15

Multiplica por 3 el → 3(x + 15)
resultado
Al resultado réstale 9 → 3(x + 15) - 9

Divide por 3 → (3(x +15) - 9):3

Resta 8 → (3(x + 15) - 9):3 - 9

El espectador dice → 32

• expresión de la ecuación
correspondiente (3x + 45 - 9):3 - 8 = 32

• resolución de la ecuación (3x + 45 - 9):3 - 8 = 32
x + 4 = 32
x= 28

• verificación del resultado (3.28 + 45 – 9):3 – 8 =32
obtenido

Página 31


Ejemplo:
De un depósito lleno de líquido se saca la cuarta parte del contenido; después la mitad del resto
y quedan aún 1500 litros. Calculemos la capacidad del depósito.

• traducción al lenguaje simbólico capacidad del → x
depósito

un cuarto del → 1
contenido x
4
mitad del resto → 1 1 
x − x
2 4 

quedan aún → 1500 litros

• expresión de la ecuación 1 1 3 
x= x +  x  + 1500
correspondiente 4 2 4 

1 3
• resolución de la ecuación x= x + x + 1500
4 8
1 3
x- x - x = 1500
4 8
8x -2 x-3x
= 1500
8
3
x = 1500
8
3
x = 1500 :
8
x = 4000

• verificación del resultado obtenido 1 3
x= x + x + 1500
4 8
1 3
4000 = 4000 + 4000 + 1500
4 8
4000 = 4000

Página 32


Veamos el siguiente cuadro que muestra algunos ejemplos clásicos de cómo pasar del lenguaje
coloquial al lenguaje simbólico que pueden aparecer en algunos problemas que involucren
ecuaciones lineales.

Lenguaje coloquial Lenguaje simbólico
La suma de un número y su consecutivo x + ( x + 1)
Un número par 2a
El siguiente de un número par 2x + 1
La suma de tres números consecutivos x+ ( x + 1 ) + ( x + 2)
x
La mitad de un número
2
La tercera parte de la diferencia entre dos a−b
números 3
El perímetro de un rectángulo 2l + 2 b

En resumen, podemos concluir que una ecuación lineal o de primer grado puede tener :

La ecuación 2x + 8 = 9 tiene
• solución única
solución única x = 1
2

La ecuación x + 5 = 5, no tiene
solución, pues es imposible que
• ninguna solución
sumando 5 a un número obtengamos
ese mismo número.

La ecuación 3x – x = 2x tiene
infinitas soluciones, pues es válida la • infinitas soluciones
identidad para cualquier valor de x.


1) Expresar simbólicamente la ecuación correspondiente:
a) Un número más su quinta parte es 12.
b) Un poste tiene bajo tierra 2/7 de su longitud y la parte emergente mide 8 metros.
c) El perímetro de un cuadrado es de 12 m.
d) En una biblioteca hay 23 libros distribuidos en dos estantes, en el de abajo hay 7 libros menos
que en el de arriba.

Página 33


2) Resolver las siguientes ecuaciones lineales en R:
a) x + 9 x = 90 b) - 2 x + 1 = 3
x−2 x -3
c) 2 (3 x - 2) - (x - 3) = 8 d) x -1 - + =0
2 3
1 3- 2 a 73
e) 21 - 7 x = 41 x – 123 f) (a + 8) = +2a-
6 4 12
3 m - 11 5 m - 1 m-7 5m -6 2t 3t - 5 t
g) - = - h) - = -3
20 14 10 21 15 20 5
z −1 z+3
i) 5 (20 - x) = 4 . (2 x - 1) k) - = 5z
3 2

3) Un número más su quinta parte es 12. Calcular dicho número.

4) La suma de dos números consecutivos es 21. ¿Cuáles son dichos números?.

5) Un número es igual al doble de su consecutivo. ¿Cuál es dicho número?.

6) La suma de tres múltiplos de 3 consecutivos es 63. Calcular dichos números.

7) El perímetro de un rectángulo es 216m. Si el doble del ancho excede en 7 m a los tres cuartos del
largo. ¿Cuáles son las dimensiones del rectángulo?.

8) El perímetro de un triángulo isósceles es 180 cm. Cada uno de los lados iguales es 30 cm mayor
que la base. ¿Cuál es la longitud de cada lado?.

9) Un niño tiene el triple de la edad que tenía hace 8 años. ¿Qué edad tiene ahora?.

10) Un padre tiene 42 años y su hijo 10 años. ¿Dentro de cuántos años la edad del padre será el
triple de la edad del hijo?.

11) De una cierta clase de vino que contiene 12% de alcohol, se han obtenido por destilación 67,68
litros de alcohol. ¿Cuál fue la cantidad de vino empleado?.

12) El jueves, Leticia invirtió el 40% de sus ahorros en ropa. El viernes, gastó las dos terceras partes
del dinero que le quedaba en un libro para su hermano, y aún tiene $120.

b) ¿Cuánto dinero tenía ahorrado Leticia?.
c) ¿Es cierto que gastó lo mismo en ropa que en el libro para su hermano?.

13) Un hombre repartió su herencia del siguiente modo: a su hijo mayor le dejó la mitad, al segundo
la tercera parte del resto, al tercero la sexta parte del resto y al cuarto $1.000.000. ¿Cuál era el valor
de la herencia?.

Página 34


14) Un comerciante hace un testamento de la siguiente forma: dos tercios a su único hijo; un quinto,
a una familia muy amiga, y los 49000 restantes, a una institución de beneficencia. ¿A cuánto
asciende el total de la herencia?.

15) En una reunión hay el doble número de mujeres que de hombres y el triple número de niños que
de hombres y mujeres juntos. Hallar el número de hombres, mujeres y niños que hay en la reunión
si el total es de 156 personas.

16) Durante su primera hora de trabajo, el dueño de un puesto de revistas vendió la cuarta parte de
los diarios que tenía y, durante la segunda hora, vendió la sexta parte de los que le quedaban. Contó
los ejemplares y notó que aún había 25. ¿Cuántos diarios tenía al principio?.

17) Ana, Vivi y Carla comparten un departamento y las tres aportaron su último sueldo a un fondo
común, que fue de $3600. Ana gana las dos terceras partes del sueldo de Vivi, y Carla gana la mitad
del sueldo de Ana. ¿Cuál fue el último sueldo de cada una?. ¿Es cierto que Vivi cobró tanto como
Ana y Carla juntas?.

18) Una compañía de aviación divide a los pasajeros en tres categorías. En uno de sus aviones, la
cantidad de asientos de primera clase es la octava parte del total; la categoría ejecutiva tiene una vez
y media la cantidad de asientos que primera clase, y hay 165 asientos de clase turista. ¿ Cuántos
asientos tiene ese avión ?

Página 35


3. RECTA REAL

Es muy común manejarse en la vida cotidiana con números que oscilan en ciertos rangos.
Muchos de los fenómenos que se producen en la naturaleza no tienen soluciones exactas, y para
resolverlos debemos contentarnos, por ejemplo, con acotarlos entre dos valores determinados. En
esta unidad precisamente aprenderemos a manejarnos con este tipo de situaciones. Para ello, en
principio, daremos la noción de intervalo, y finalizaremos entrenándonos en la resolución de
inecuaciones.

3.1 Intervalos reales

La Ballena Franca, visita cada año las costas de la Península de Valdés, se aparea y pasea
sus ballenatos. Esto constituye un gran atractivo turístico en nuestra provincia.
El peso de la Ballena Franca oscila entre 30 a 35 toneladas. Un macho adulto mide unos
12 metros, en tanto que una hembra mide unos 13,5 metros. Desde la playa El Doradillo
considerada área natural de reproducción, se puede disfrutar plenamente de un avistaje costero.
La temporada de Ballenas se extiende de Junio a Diciembre.
La máxima concentración de ballenas se produce entre Octubre y Noviembre, época en que
pueden contabilizarse entre 350 a 400 individuos. Esto convierte a las aguas vecinas de la
Península Valdés en el área de cría más importante del Hemisferio Sur.

Aunque no lo creas, mucha de la información aquí indicada puede expresarse
matemáticamente, como veremos a continuación.

Página 36

Recta Real

Frecuentemente trabajaremos con subconjuntos de números
reales, expresados de acuerdo con alguna relación de orden.
Así, por ejemplo, hablaremos de
En símbolos,
{ x ∈R / 2 < x < 5}
123 1 4
42 3 “los números reales mayores que 2 y menores que 5”
números reales mayores que 2
y menores que 5
o de
En símbolos,
3
{ x∈R / x≤ } 3
123 2 “los números reales menores o iguales que ”
123 2
números reales
menores o
iguales que 3/2

Otras veces deberemos simbolizar expresiones tales como:

En símbolos, “la cantidad x de ballenas que puede contabilizarse entre
350 < x < 400 Octubre y Noviembre se halla entre 350 y 400”

Estos subconjuntos de R se definen mediante intervalos.

Intervalo abierto Si a , b ∈ R y a < b, se define (a , b) = {x ∈ R / a < x < b}.
(a , b)

Gráficamente:

ó
a b a b

Intervalo cerrado Si a , b ∈ R y a ≤ b, se define [a , b] = {x ∈ R / a ≤ x ≤ b}.
[a , b]

Gráficamente:

Si a coincide con b ,
el intervalo cerrado es un único punto.
ó
a b a b

Página 37

Intervalos Si a , b ∈ R y a < b se define:

semiabiertos (a , b] = {x ∈ R / a < x ≤ b }

o semicerrados [a , b) = {x ∈ R / a ≤ x < b }

Gráficamente:

(a , b] se representa como
a b
[a , b) se representa como
a b

En todos los casos, los números a y b se llaman extremo inferior y extremo superior del intervalo,
respectivamente.

Ejemplo:

a b

Extremo inferior Extremo superior

Atención
Los símbolos - ∞ y + ∞ Estas definiciones se pueden generalizar, considerando a la
deben ser considerados con especial recta y a la semirrecta como intervalos, con sólo introducir los
cuidado, recordando que se usan símbolos - ∞ y + ∞.
solamente por conveniencia de
notación y nunca como números
reales.

Así, tenemos
en símbolos gráficamente
[ c , + ∞ ) = {x ∈ R / x ≥ c } →
c

( c , + ∞ ) = {x ∈ R / x > c } →
c

(- ∞ , d ] = {x ∈ R / x ≤ d } →
d

(- ∞ , d ) = {x ∈ R / x < d } →
d

(- ∞ , + ∞) = R →
0
Página 38

Recta Real

Ejemplos:
[ - 2 , 2 ] = {x ∈ R / - 2 ≤ x ≤
→
2 }

( - ∞ , - 1) = {x ∈ R / x < -1 } →

( - 2 , e) →

 1 4
- ,  →
 3 3


1) Dados los siguientes subconjuntos de R:

a) A = { x / x ∈ N ∧ - 2 < x < 3 } b) B = { x / x ∈ Z ∧ - 2 < x < 3 }
c) C = { x / x ∈ Q ∧ - 2 < x < 3 } d) D = { x / x ∈ R ∧ - 2 < x < 3 }

Recuerda observar a qué conjunto
i) Analizar los elementos que pertenecen a cada conjunto. ¿Es
numérico pertenecen los elementos.
Por ejemplo, en el conjunto B posible determinar la cantidad de elementos?.
los elementos son números ii) Representar en la recta real, de ser posible, cada conjunto.
“enteros” x tales que - 2 < x < 3.

2)

a) ¿Cuáles son los números naturales comprendidos entre
-2 y 3 ?.
b) ¿Cuáles son los números enteros comprendidos entre
En caso de que existan infinitos -2 y 3 ?.
números, el modo de indicarlos es
mediante la notación de intervalos. c) ¿Cuáles son los números racionales comprendidos entre -2
y 3 ?.
d) ¿Cuáles son los números reales comprendidos entre
-2 y 3 ?.

3) Expresar mediante intervalos cada uno de los siguientes subconjuntos de R: el conjunto de los
números reales x que satisfacen:
a) x es mayor que 2 y menor que 6.
b) x es mayor o igual que -1.

Página 39

2
c) x es menor que .
3
d) x supera al menor número entero positivo.
e) x es menor que el mayor número par negativo.
f) x está comprendido entre los dos múltiplos positivos de 4 de un solo dígito.

4) Representar sobre la recta real los siguientes intervalos:
4
a) [2 , 5] b) {x/x ∈ R ∧ -3 < x < }
3
c)  - ∞ ; 
1
 d) {x/x ∈ R ∧ -1 ≤ x < 2,75 }
 2

5) Determinar:

Recuerda que...
a) [- 1 , 2) ∪ [1 , + ∞) b) (-3 , -1) ∪ [
5
, 3)
El símbolo ∪ 4 2
representa la unión de conjuntos. 5 3 7
El símbolo ∩ c) (-3 , -1) ∩ [ , 3) d) [0 , 5) ∩[ , ]
2 2 2
representa la intersección de
conjuntos.

6) Hallar los valores de x que satisfacen las siguientes condiciones y representar los subconjuntos
de R correspondientes.
a) 0 < x ≤ 2 ∧ x ∈ [1 , 3) b) x > -1 ∧ x ∈ (2 , 5)
c) x ∈ [-4 , +∞) ∧ x < -2 d) x ∈ (-2 , 2) ∧ x ∈ [1 , +∞)
e) x ∈ (- ∞ , 3) ∧ x ∈ (-3 , +∞) f) -3 ≤ x < 1 ∧ x ∉ [0 , 2)

7) Dados los intervalos A = [-2 , 1) ; B = [-1 , + ∞) ; C = [-3 , 2,5) determinar:

a) (A ∩ B) ∩ C b) (A ∩ B) ∪ C

8) Sean A = [-2 , 6] ; B = (1 , 5] ; C = (-1, 3) calcula:

a) (A ∪ B) ∩ C b) (A ∩ B) ∪ C

9) Expresar en forma de intervalos la información dada en la introducción acerca de las Ballenas
Francas.

Página 40

Recta Real

3.2. Valor absoluto o módulo de un número real

Dado un número a ∈ R, llamaremos módulo ó valor
Módulo absoluto de a , al mismo número a si este es positivo o
o cero, y -a si a es negativo, es decir:
 a a≥0
Valor Absoluto  a = 

si
− a si a<0

Ejemplo:
3 = 3
El módulo de un número real es siempre mayor ó igual a cero.
-3 = - (-3) = 3
0 = 0

Si representamos los números reales mediante puntos en una
recta, el valor absoluto de a se interpreta como la distancia que
hay entre a y el origen 0.

Si a = 3
puede ser a = 3 |2| = 2
ó bien a = -3 .

-3 –2 –1 0 1 2 3

|-3| = 3 |3| = 3

Si b ∈ R y b > 0,
la desigualdad x ≤ b Si b∈ R y b > 0 entonces la desigualdad  x ≤ b

también se expresa como es equivalente a la doble desigualdad
x ≤ b ∧ x ≥ - b.
- b ≤ x ≤ b.
El símbolo ∧ se lee “y”.

Como x mide la distancia de x al 0, que x sea menor ó
igual que b significa que la distancia de x a cero no debe ser
-b 0 b
mayor que b.

Página 41

Ejemplo:
Recordemos que...
x ∈ R y x ≤ 2
es equivalente a x ≤ 2 es equivalente a - 2 ≤x≤ 2 .
x ≤ 2 ∧ x ≥- 2 .
Si representamos cada una de estas
desigualdades, la intersección de
Por lo tanto, x ≤ 2 significa que x ∈ [- 2 , 2 ].
ambos conjuntos es precisamente el
intervalo [- 2 , 2 ].
Si representamos en la recta numérica obtenemos:

0 2
- 2 2 -2 0 2
- 2 2
[− 2, 2 ]

En general, - b ≤ x ≤ b es equivalente a
x ≥-b ∧ x ≤ b
-b 0 b
y representa la intersección
[-b, b]
[- b , + ∞) ∩ (- ∞ , b] = [- b , b ]

Análogamente, x - b ).

Una forma de encontrar los números reales x que verifican
x > 2,

es descartar de la recta real aquellos que verifican x ≤ 2.
La distancia de x al cero
Así, se obtiene x > 2 o x < - 2 . Gráficamente,
debe ser mayor que 2 .

-2 0 2
- 2 2

Por la definición de intervalos, En general, si b ∈ R y b>0,
x ∈ R y x > b
x > b es equivalente a decir que x > b o x < -b .
significa que
x ∈ (- ∞ , -b) ó x ∈ (b , + ∞) ,
Es decir, la distancia del x al cero debe ser mayor que b.
es decir,
Gráficamente,
x > b
equivale a
-b 0
x ∈ (- ∞ , -b) ∪ (b , + ∞) . b
Página 42

Recta Real

Análogamente,

x ∈ R y x ≥ b
x ≥ b es equivalente a decir x ≥ b ó x ≤ - b.
significa que Gráficamente,
x ∈ (- ∞ , -b] ∪ [b , + ∞)
-b 0 b

Ejemplo: En el caso general
x - a b
significa que x está a más de b mide la distancia entre x y a .
unidades de a.


10) Resolver y representar gráficamente. Expresar la solución, de ser posible, en forma de
intervalos.

Ejemplo:
x + 9 = 5
Solución:
3
x + 9 = 5 → x + 9 = 5 ó x + 9 = -5 a) x = b) x - 5 = 2
→ x = 5 – 9 ó x = -5 – 9 2
→ x = - 4 ó x = - 14
La solución en este caso es entonces
S = {-4, -14}. c) x ≥ 3 d) x ≤ 5
Gráficamente:

-14 -4 0

11) Expresar las afirmaciones siguientes, si es posible, como intervalos:
a. x está a menos de 5 unidades de 3
b. y está a lo sumo 4 unidades de 7
c. t está a una distancia de 3 unidades de 5
d. x está al menos a 4 unidades de - 5
e. x es menor que 4 y mayor que - 4

Página 43

3.3. Inecuaciones lineales

Las ecuaciones se caracterizan por presentar el signo de igualdad, mientras que en las desigualdades
aparecen precisamente algunos de los signos < , ≤ , > ó ≥ . De todas formas, tanto las ecuaciones
como las inecuaciones pueden ser de primer grado. Una inecuación es de primer grado cuando las
incógnitas que aparecen en su expresión tienen exponente igual a 1.

Ecuaciones Inecuaciones

Igualdades ( = ) Desigualdades ( < , ≤ ; > , ≥ )

De primer grado

3x – 2 = 1 3x – 2 < 1
x +1 x +1
=4 >4
2 2
x + y = 24 x + y ≥ 24
-2 x + 1 = x - 3 -2 x + 1 ≤ x - 3

Resolver una inecuación significa hallar los valores que deben tomar las incógnitas para que se
cumpla la desigualdad.

Ejemplos:
Resolveremos algunas inecuaciones.

a) 3 x – 2 < 1

Aplicando propiedades Despejando:
3x– 2<1 3x – 2 < 1
3x– 2+2 <1+2 3x <1+2
3x<3 3x <3
1 1
3x < 3 x <3:3
3 3
x<1 x<1
Solución: S = ( - ∞ , 1).
Representación gráfica:

... -2 -1 0 1 2

Página 44

Recta Real

x +1
b) >4
2
Aplicando propiedades Despejando:
x +1 x +1
>4 > 4
2 2
x +1
.2 > 4.2 x+1 > 4.2
2
x+1 > 8 x+1 > 8
x + 1 + (- 1) > 8 + (- 1) x > 8-1
x > 7 x > 7
Solución: S = ( 7 , + ∞ )

... 5 6 7 8 9 10 11 ...

c) x + y ≥ 24

En este caso tenemos una inecuación lineal con dos incógnitas, que se verifica para infinitas parejas
de números.
Verificación:
Ejemplo:
0 + 24 ≥ 24 x = 0 ; y = 24
2 + 23 ≥ 24 x = 2 ; y = 23
-3 + 30 ≥ 24 x = -3 ; y = 30
1 71 1 71
+ ≥ 24 x= ; y=
2 3 2 3
1 + 100 ≥ 24 x = 1 ; y = 100

d) -2 x + 1 ≤ x – 3

Aplicando propiedades: Despejando:
-2 x + 1 ≤ x - 3 -2x+1 ≤ x-3
-2 x + 1 + (-x ) ≤ x - 3 + (- x ) -2x-x ≤ -3-1
[-2 x + (-x ) ] + 1 ≤ [ x + (- x ) ] - 3

-3 x + [ 1 + (-1 ) ] ≤ - 3 + (-1 ) -3x ≤ -4
-3 x ≤ - 4

1 1
- . (-3) x ≥ - .(-4) x ≥ - 4 : (- 3)
3 3

Página 45


4 4
x ≥ x ≥
3 3
4
Solución: S = [ ,+∞)
3

-1 0 1 2 3
4
3

Las inecuaciones permiten resolver problemas.

Ejemplo:
Una furgoneta pesa 875 kg. La diferencia entre el peso de la furgoneta vacía y el peso de la carga
que lleve no debe ser inferior que 415 kg. Si hay que cargar cuatro cajones iguales, ¿cuánto puede
pesar, como máximo, cada uno de ellos para poder llevarlos en esa furgoneta?

En primer lugar, traducimos el Sea x el peso de cada cajón y planteamos la siguiente
enunciado al lenguaje simbólico inecuación:

Peso de la furgoneta - peso de 4 cajones no es menor que 415 kg

875 - 4.x ≥ 415

Debemos resolver entonces la inecuación

Pasos de resolución: 875 – 4x ≥ 415
Restamos 875 a ambos miembros
de la desigualdad
→ - 4 . x ≥ 415 - 875
Hacemos el cálculo en el segundo
→ - 4 . x ≥ - 460
miembro

Para despejar x , multiplicamos
a ambos miembros por - ¼.
x ≤  −  ⋅ (− 460 )
Recordemos que cuando 1
→  
multiplicamos por un número  4
negativo, debemos cambiar el sentido
de la desigualdad

Hacemos el cálculo → x ≤ 115

Esto significa que el peso de cada cajón no podrá superar los 115 kg. Además, como se trata
de un peso, x > 0. Entonces, la solución está formada por todos los números reales
pertenecientes al intervalo (0 , 115]. Graficamos la solución en la recta real:

0 115

Página 46

Recta Real


12) Resolver las siguientes inecuaciones y representar el conjunto solución en la recta real:

a) 2 x - 3 < 4 - 2 x b) 5 + 3 x ≤ 4 - x
c) 4 - 2 t > t - 5 d) x + 8 ≤ 3 x + 1
a+2 a −1
e) 2 .  x -  > 3 x
1
  f) ≤
 2 4 3
5 x- 6
g) 3 x - 12 ≤ h) 3 . ( 4 - x ) > 18 x + 5
4
x x x x 5x 1
i) + >5 - j) − -4 ≥ -
3 2 6 4 3 6
5x − 2 x −8 x + 14 x x +1
k) - > -2 l) + - x + 2 < 0
3 4 2 2 7

m)  2 - x  (- 3) + 4 . - x +  > 0
1 1 7
    n) x - 2 > 0
 3   2 4

13) Indicar si la siguiente resolución es V o F justificando la respuesta:

3
< 2
x
Ayuda 3
x < 2x
x
Recuerda lo que ocurre
cuando multiplicamos ambos 3 < 2x
miembros de una desigualdad
1 1
por un número. 3 < 2x
¿Es lo mismo hacerlo 2 2
por un número positivo que
por un número negativo? 3
< x
2

14) ¿Cuáles son los números cuyo triplo excede a su duplo en más de 20?.

15) ¿Cuál es el menor número entero múltiplo de 4, que satisface la siguiente inecuación:
x + 2 < 3 x + 1 ?.

16) Si el lado de un cuadrado es mayor o igual que 7. ¿Qué se puede decir de su perímetro p ?.

Página 47

17) El perímetro de un cuadrado no supera el perímetro del rectángulo de la figura. ¿Qué se puede
asegurar acerca de la superficie S del cuadrado ?.

18) Un padre y su hijo se llevan 22 años. Determinar en qué período de sus vidas, la edad del padre
excede en más de 6 años al doble de la edad del hijo.

19) Un coche se desplaza por una carretera a una velocidad comprendida entre 100 Km/h y 150
Km/h. ¿Entre qué valores oscila la distancia del coche al punto de partida al cabo de 3 horas?.

20) Una fábrica paga a sus viajantes $10 por artículo vendido más una cantidad fija de $500.Otra
fábrica de la competencia paga $15 por artículo y $300 fijas. ¿Cuántos artículos debe vender el
viajante de la competencia para ganar más dinero que el primero?.

3
21) Sean A = {x/x ∈ R ∧ x + 1 < 4 } y B = (- ∞ , ] ∪ [3 , + ∞) . Determinar A ∩ B
2

22) Determinar:
{x / x ∈ R ∧ 2 x - 4 > 0 } ∩ {x / x ∈ R ∧ 3 - x ≥ 0 }

23) Hallar y representar en la recta los números reales que verifican:

a) x - 4 > 2 b) x + 2 ≤ 3 c) 4 - x > 0
1
d) 0 < x + 3 < 1 e) 0 < x - 3 < f) 12 - 4 x > 3
4
1
g) 4 x - 3 ≤ 5 h) - 3 x + 6 < 2 i) 1 + 2 x ≥
2
j) 3 - x  - 5 ≥ 0 k) - 2 x + 1 + 8 < 0

Página 48

Función Lineal y Ecuación de la Recta

4. FUNCION LINEAL Y ECUACIÓN DE LA RECTA

El concepto de función es el mejor objeto que los matemáticos han podido inventar para
expresar el cambio que se produce en las cosas al pasar el tiempo.
En esta unidad comenzaremos por preparar el camino para las siguientes al analizar aspectos
básicos de las funciones tales como: identificar cuándo una relación entre dos conjuntos es una
función, visualizar una función a través de distintos métodos, obtener información de esa
representación y reconocer ciertos conjuntos asociados a las funciones tales como el dominio y la
imagen.
Haremos hincapié en que una función puede representarse de diferentes modos: mediante
una ecuación, con una gráfica, o con palabras.
Más adelante nos introduciremos en las funciones lineales, cuyas representaciones gráficas
son las más simples: las rectas. Como caso particular observaremos las características propias de la
función de proporcionalidad.
Finalmente, veremos cómo resolver problemas usando sistemas de dos ecuaciones lineales,
tratando de no perder de vista el significado geométrico del problema.

4.1. Función

La construcción y lectura de gráficos son necesidades imprescindibles en el mundo actual.
No es posible comprender un diario si no se tiene idea de cómo interpretar un gráfico.
Como primer acercamiento observemos el siguiente gráfico que contiene información
simple de leer.

En las empresas ferroviarias se utilizan diagramas similares a estos para programar la
señalización a lo largo de la vía férrea.

En el eje vertical s han marcado los puntos O, A, B, C, D, y E que son estaciones
e
ferroviarias.
En el eje horizontal se ha representado el tiempo medido en horas.
Cada línea quebrada indica la posición del tren, cuyo número está marcado sobre la
misma, en función del tiempo. Observemos que algunos trenes no llegan a la última estación y
algunos no paran en ciertas estaciones.

Página 49


Veamos algunas preguntas que podemos hacer para interpretar el gráfico:

1) ¿A qué hora sale el tren nº 2?
2) ¿A qué hora llega a la estación E el tren nº 4?
3) ¿Cuánto tiempo transcurre entre la salida del tren nº 3 y el nº 4?
4) ¿Cuánto tarda el tren nº 1 en ir de la estación O a la estación B?
5) ¿Cuánto tiempo el tren nº 1 está detenido en la estación B?
6) ¿Cuánto tiempo transcurre en la estación D desde la partida del tren nº 1 hasta que pasa el tren
nº 6?
7) ¿Hasta donde llega el tren nº 3?
8) ¿A qué hora y en qué lugar se cruzan los trenes nº 1 y nº 2?
9) Si un pasajero llega a la estación O a las 12:30 hs. y quiere llegar a la estación E, ¿qué
opciones tiene?
10) Si un pasajero llega a la estación O a las 10 hs. y toma el tren nº 3, ¿cómo hace para llegar a
la estación E?. ¿A qué hora llega?. ¿Qué le hubiera convenido hacer para llegar antes?
11) ¿Es siempre la misma la velocidad del tren nº 2?. ¿Y la del tren nº 1?. ¿En qué lugar es
mayor?

Desde un punto de vista informal, una función es una regla que permite asignar a cada uno
de los elementos “x” de un conjunto “ un único elemento “ de otro conjunto “B ”. A diario
A” y”
tenemos ejemplos de estas asignaciones: el médico dosifica un antibiótico en función del peso del
bebé, nos cobran el pasaje en función de la distancia recorrida, la distancia recorrida es función de la
velocidad alcanzada, etc.

Sean A y B dos subconjuntos de R. Cuando existe una
relación entre las variables, x e y, donde x ∈ A e y ∈ B,
Funci ón en la que a cada valor de la variable independiente x le
corresponde un único valor de la variable dependiente y,
diremos que dicha relación es una función.

A
f B Diremos que y es la imagen de x por la función f .
x• •
y = f(x) En símbolos:
y = f (x)
f :A → B

Una forma de representar una función es mediante una gráfica en un sistema de coordenadas
cartesianas.

Eje de Abscisas En el eje horizontal se representa a la variable
independiente y recibe el nombre de eje de abscisas o eje x.

Página 50


Eje de Ordenadas En el eje vertical se ubica la variable dependiente y recibe
el nombre de eje de ordenadas o eje y.

Gráficamente

y eje de ordenadas
Al representar una función y = f (x) en un sistema de
d coordenadas cartesiano, sobre el eje de abscisas se ubica la
variable independiente x, mientras que sobre el eje de
ordenadas se ubica la variable dependiente y.
c
eje de abscisas
a b

Al conjunto formado por todos los valores que toma la
Dominio variable independiente x lo denominamos dominio de la
función y lo denotamos Dom f.

En el gráfico anterior podemos leer
Dom f = [ a , b ]

Al conjunto formado por todos los valores que toma la
Imagen variable dependiente y tales que y = f (x) para algún
x ∈ A, lo denominamos imagen de la función y lo denotamos
Im f.

En el gráfico anterior podemos leer
Im f = [ c , d ]
Para una función f : A → B , se tiene que A = Dom f e Im f ⊆ B

No todo lo que parece es una función. Es importante aprender a reconocer cuándo una relación entre
dos conjuntos es o no una función.

Analicemos los siguientes gráficos, que muestran relaciones desde un conjunto A hacia un conjunto
B, donde A = [ 1 , 5 ] y B = [ 0 , 5 ]

El Gráfico 1 no representa una función pues hay elementos del
y
dominio que tienen más de una imagen.
5
4
Ejemplo:
3
2 f (3) = 2 y f (3) = 4.
1

1 2 3 4 5 x
Gráfico 1

Página 51


y

5 El Gráfico 2 corresponde a una función puesto que todos los
4 elementos de A tienen una única imagen en B.
3
En este caso podemos observar que
2
1 Dom f = [ 1 , 5 ] e Im f = [ 0 , 4 ]

1 2 3 4 5 x

Gráfico 2

y
5
El Gráfico 3 no representa una función pues hay elementos del
4
conjunto A que no tienen imagen.
3
2 Por ejemplo, el punto (3,1) se ha marcado con un pequeño
círculo vacío para indicar que f (3) 1. Por otro lado, los
1
elementos que pertenecen al intervalo (4,5] no poseen imagen.

1 2 3 4 5 x
Gráfico 3

Mayor dominio de Cuando la función viene dada por una fórmula del tipo
y = f (x), el mayor dominio de definición es el conjunto de los
defin i ción valores de x para los cuales se puede calcular f (x).

Para pensar...

Observemos que...
a) Si f (x) = 2x,
claramente es posible calcular 2 x
para cualquier número real x. ¿para qué valores de x es posible calcular 2x ?.
Luego, Dom f = R

Observemos que...
2
como la división por 0 no está b) Si f ( x ) = ,
definida debe ser x - 1 ≠ 0 , x −1
o sea x ≠ 1.
Luego, Dom f = R - {1}
¿es siempre posible calcular este cociente?.

Página 52


c) Si f ( x ) = x + 2 , Dom f = [ -2 , +∞ ).
Ayuda
Recuerda cuándo es posible calcular ¿Por qué?
la raíz cuadrada de un número real.

1)
a) Indicar si los siguientes gráficos corresponden a funciones. Justificar.
b) Hallar el dominio y la imagen de los que corresponden a función.

i) ii) iii)

iv) v) vi)

2) Dados los siguientes gráficos correspondientes a funciones, determinar los conjuntos dominio e
imagen de cada una de ellas:

i) ii) iii)

Página 53


iv) v) vi)

3) Para las funciones representadas, estimar, a partir de su gráfico, los valores que se indican.

a) f (1) ; f (2) ; f (2,5) ; f (4) ; f(5).
b) Los valores de x tales que f (x) = 0.
c) g(- 1,5) ; g(- 0,5) ; g(0) ; g(0,5) ; g(4).
d) Los valores de x tales que g(x) = 2.
e) Los valores de x tales que g(x) = -2.

4) En los siguientes casos, ¿ y es una función de x ?, ¿ x es una función de y ?. Según sea la
respuesta, indicar dominio e imagen:
a) x representa un número natural e y, el resto de dividir ese número natural por 4.
b) x representa una persona e y, su número de teléfono.

5) Calcular el máximo dominio de las funciones dadas por:
2x
a) f (x) = 3 x – 1 b) f (x) = 2 x -1 c) f (x) =
x+2
d) f (x) = x x e) f (x) = x2 +5 f) f (x) = 1/ x

6) En cada caso, calcular, si es posible, f (0) , f (-0,8) , f (0,8) , f (-1) , f (1) , f (-4,25) ,
f (4,25) y decir cuál es el dominio de la función f :
a) f (x) = - 3 x + 2 b) f (x) = - 4 c) f (x) = x 2 + 2 x - 5
5 3
d) f (x) = - x 3 + x 2 - 2 x + 4 e) f (x) = f) f (x) =
x x−4
Página 54


7) Para una experiencia de Biología, se midió el largo y el ancho de las hojas de una rama y se
obtuvieron los datos que aparecen en la tabla. Tener en cuenta que el largo y el ancho de las hojas
de una rama cualquiera siempre guardan el mismo tipo de relación.
Largo (cm) Ancho (cm)
6,5 5
6,2 4,8
5,6 4,1
5,1 3,9
4,5 3,5

a) Representar los datos de la tabla en un gráfico cartesiano.
b) Dibujar una curva que los aproxime.

8) Los siguientes gráficos corresponden al producto bruto interno de cierto país; uno de ellos
figura en un diario oficialista y, el otro, en uno opositor.
a) ¿Los dos gráficos presentan la misma información?
b) ¿Representan la misma función?
c) ¿A qué diario corresponde cada gráfico? Justificar la elección.
i) ii)

9) Dos excursionistas proyectan realizar una caminata desde San Carlos de Bariloche
(Río Negro) hasta un refugio en la montaña, que se encuentra a 18 km de la ciudad.
Para orientarse, cuentan con un perfil del trayecto y un gráfico distancia - tiempo confeccionado por
un grupo que realizó esa caminata el mes anterior. Responder las siguientes preguntas a partir de la
información dada por dichas representaciones:
a) ¿Cuántos km recorrieron aproximadamente hasta llegar al primer descanso?. ¿A qué hora
llegaron?. ¿Cuánto tiempo se detuvieron?.
b) ¿Cuántos km recorrieron desde ese lugar hasta alcanzar la primera cima y cuánto tiempo
tardaron en subirla?.
c) ¿Cuántos km hicieron de bajada?. ¿Les llevó menos tiempo?.
d) Comparar el trayecto desde la cima hasta la hondonada, marcado en el perfil, con la parte del
gráfico que lo representa.
e) Al llegar a la hondonada, ¿cuántos km. les faltaba para llegar al refugio?. ¿A qué hora llegaron?.
¿Cuánto tiempo descansaron?.

Página 55


4.2. Función lineal y ecuación de la recta

Observemos que...

ü La longitud que un resorte se alarga es proporcional a la fuerza que se hace para
alargarlo, es decir, a doble fuerza, doble estiramiento.
ü El dinero que se debe pagar por un crédito en un banco es proporcional a la cantidad de
dinero que el banco ha prestado, y también es proporcional al tiempo durante el cual lo ha
prestado.
ü Las dosis de muchas medicinas son proporcionales al peso del enfermo.

En la naturaleza y en la vida diaria hay gran cantidad de fenómenos que se comportan de esta
misma manera. Esto explica el interés por el estudio matemático de la función de proporcionalidad,
caso particular de la función lineal, y por su representación gráfica, la recta.

4.2.1. Función lineal

Toda función de la forma

Función Lineal y = f (x) = m x + b con m ∈ R, b ∈ R,

recibe la denominación de función lineal.

Página 56


Son ejemplos de funciones lineales:
y = 2x y=x– 4
y = 0,5x + 2 y=2

En esta fórmula x representa la variable independiente e y la variable dependiente.

Pendiente Denominaremos pendiente a la constante m.

Ordenada al origen Denominaremos ordenada al origen a la constante b.

El dominio de la función lineal f es todo el conjunto R de los
números reales.

Para pensar….
Ayuda
El gráfico de una función lineal es siempre una recta que no
Observa una recta paralela al eje y puede ser paralela al eje y. ¿Por qué?
recordando la definición de función.

4.2.2. Pendiente de una recta

Vamos a estudiar más detenidamente a la función lineal. Representemos en el plano de coordenadas
cartesianas algunas funciones.

Ejemplos:
a) y = x - 4

y

1 2 3 4
x Cuando la abscisa aumenta 1 unidad, la ordenada también
-1
aumenta 1 unidad.
-2
-3
-4

Página 57


y

1 2 3 4
x Si la abscisa aumenta 2 unidades, la ordenada aumenta 2
-1 unidades.
-2
-3
-4

Observemos que...
1 2 3
= = =1=m los cocientes entre la variación de la ordenada y la variación
1 2 3
de la abscisa son constantes e iguales al valor de la pendiente.

b) y = - 3 x +2
y
2
1

1 2 3 4 x
-1 Cuando la abscisa aumenta 1 unidad, la ordenada disminuye 3
unidades.
-2
-3
-4

y
2
1
Si la abscisa aumenta 2 unidades, la ordenada disminuye
1 2 3 4 x 6 unidades.
-1
-2
-3
-4

Nuevamente observamos que los cocientes entre la variación
−3 −6 −9
= = = L− 3 = m de la ordenada y la variación de la abscisa son constantes e
1 2 3 iguales al valor de la pendiente.

Página 58

c) y = 2

y

Cuando la abscisa aumenta 1 unidad, la ordenada no aumenta
3 ni disminuye.
2
Lo mismo ocurre cuando la abscisa aumenta 2, 3, o más
1 unidades.
-3 -2 -1 0 1 2 3 x
-1

En este ejemplo resulta que los cocientes entre la variación de
0 0 0 = 0 = m
= = la ordenada y la variación de la abscisa son constantes e
1 2 3
iguales a 0, el valor de la pendiente m.

Atención
Habrás observado que En el siguiente cuadro se clasifican las funciones lineales
la inclinación de cada recta está según el valor de la pendiente:
directamente relacionada con el
signo de su pendiente.

y=mx+b

m>0 m<0 m=0
y y y

x x x

Función creciente Función decreciente Función constante

Resumiendo
ü La pendiente está determinada por el cociente entre la
variación de y y la variación de x.

La función tangente, utilizada en la
ü La pendiente m mide la inclinación de la recta
expresión: m = tg α se estudiará
, respecto del eje x. Podemos hallar entonces, a partir de la
junto con las demás funciones pendiente, el ángulo α que forma dicha recta con el eje x
trigonométricas, con más detalle en teniendo en cuenta que:
una próxima unidad.
m = tg α.

Página 59


Recordemos que...
el ángulo de inclinación α , se mide en sentido contrario a las agujas del reloj,
a partir de la dirección positiva del eje x.

Retomando los ejemplos anteriores:
a) y = x - 4
y
En este ejemplo
1
m= = tg α
1
1 2 3 4
Entonces
x
-1 α = 45º
-2
α
-3 α
-4 α
y=x–4

b) y = -3 x + 2

y -3
m= = tg α
2 α 1
1
entonces
α 2 3 4 x
-1 α = 108º 26’ 5,82’’
-2
-3
-4

y = -3 x + 2

c) y = 2
y
0
m= = tg α
2
3 entonces
2
α = 0º

1

-3 -2 -1 0 1 2 3 x
-1

Página 60


4.2.3. Función de proporcionalidad

Recordemos que...
La ordenada al origen es el punto de intersección entre la recta
en la ecuación y = m x + b y el eje y, es decir, es el valor de la ordenada para x = 0, o sea
a la constante b se la denomina
la imagen de cero.
ordenada al origen.

Función de Si la ordenada al origen es 0, resulta

proporcional i dad y = mx.

directa Este caso particular se llama función de proporcionalidad
directa y su gráfica es una recta que pasa por el origen.

Observemos en la función y = 2 x la relación entre los
valores de la variable x y los valores que se obtiene de la
variable y.

Es decir, si se calcula...
x y
el doble de 1, su imagen resulta el
doble de 2.
1 2
×2 ×2
el triple de 1, su imagen resulta el ×3 ×3
triple de 2. 2 4
:2 :2
la mitad de 1, su imagen resulta la 3 6
mitad de 2.
.....

y 2 4 1 En este caso los cocientes entre la variación de la ordenada y la
= = = = ... = 2 = m
x 1 2 1 variación de la abscisa nos dan nuevamente el valor de la
2 pendiente.

La pendiente de la función de proporcionalidad se
denomina constante de proporcionalidad.

Página 61


4.2.4. Ecuación de la recta

Veamos qué formas puede tomar la ecuación de una recta.

Para m , n ∈ R constantes, podemos interpretar una
Ecuación de la función lineal
y = mx + n
recta como una ecuación lineal con dos incógnitas x e y que
denominaremos ecuación de la recta.

Forma explícita A la expresión
de la ecuación y = mx + n ,
donde m, n ∈ R son constantes, la denominamos forma
de la r e cta explícita de la ecuación de la recta.

Ejemplo:
2 8
y= x+
3 3

Forma implícita Diremos que para a , b , c ∈ R constantes,
de la ecuación ax+by+c=0
de la r e cta es la forma implícita de la ecuación de la recta.

Ejemplo:

La misma recta del ejemplo anterior se puede escribir como
2 x - 3 y + 8 = 0.

x=2 Observemos que...
es la ecuación de la recta vertical si b = 0 y a ≠ 0,
cuyo gráfico es:
la ecuación implícita de la recta se reduce a
y
a x + c = 0,
que representa a la recta paralela al eje y ,
c
x=-
a
1 2 3 x la cual, como vimos anteriormente no representa
x=2 una función y = f (x) .

Página 62


Si tenemos como datos dos puntos (x 0 , y0 ), (x 1 , y1 )
y1
pertenecientes a una recta, podemos construir la ecuación de la
y misma.

y0 Observemos que...
y − y0 y − y0
su pendiente es m = = 1 .
x0 x x1 x − x0 x1 − x 0

Así,
Ecuación de la y1 − y 0 y − y 0
=
recta que pasa x1 − x 0 x − x0
por dos puntos es la ecuación de la recta que pasa por los dos puntos
(x0 , y0 ), (x1 , y1 )


10) Dadas las siguientes expresiones, señalar con una cruz las ecuaciones asociadas a una función
lineal de una variable:
a) ¨ 10 x + 8 y - 30 = 0 b) ¨ 2 x + 3 y - z = x + y
c) ¨ 4 (h + 3) - 5 t + 8 (t - h) = 4 d) ¨ x 2 + y2 = 4
1 1
e) ¨ 2 t 2 - 5 t = 0 f) ¨ - = 1
x y
11) Representar gráficamente las siguientes ecuaciones lineales:
a) y = - 4 x + 1 b) y = - 5 c) x + y = 0
x y x y
d) + =1 e) 3 x - 2 y + 1 = 0 f) + =1
2 3 2 −3
3 4
g) x = - 3

Página 63


12) Dar la expresión en forma explícita de las rectas graficadas a continuación, luego indicar en qué
casos se trata de un función de proporcionalidad directa:

a) b) c)

d) e) f)

g) h) i)

j) k) l)

13) Hallar el ángulo de inclinación de cada una de las siguientes rectas:
x y
a) 3 x - y + 2 = 0 b) - =1 c) 2 y - 3 = 0
2 2
Página 64


14) Hallar la ecuación de la recta que corta al eje x en el punto de abscisa 3 y forma con él un
ángulo de 60º.

15) Hallar el valor de k en las siguientes ecuaciones a fin de que cada recta pase por el punto
indicado:
y
a) 4x + 3y - k = 0 A ( 1 , -2 ) b) - k x + -1=0 B(3,0)
2

16) ¿Cuánto debe valer un número real k para que el punto (-1 , 2) se encuentre en la recta kx+
7 y - 7 = 0 ?. Graficar.

17) Escribir la ecuación de la recta que pasa por los puntos:
a) (-2 , -1) y (-4 , -3) b) (3 , 5) y (7 , -2)
c) (6 , -1) y (-2 , 4) d) (1 , -5) y (10 , 11)

18) Hallar la ecuación de la recta cuya abscisa y ordenada al origen son respectivamente 5 y -1.
Graficar.

19) Averiguar si los puntos (0 , 2) , (1 , -1) y (-1 , 5) están alineados.

20)
a) Hallar la ecuación de la recta que tiene pendiente 5 y pasa por el punto P (-1 , -2).
1
b) Hallar la ecuación de la recta que tiene pendiente − y pasa por el punto P (-4 , 7).
2
1 1 3
c) Hallar la ecuación de la recta que tiene pendiente y pasa por el punto P ( , ).
4 3 5

21) Una recta que pasa por P(3 , -2) , forma un ángulo de 60º con el semieje positivo del eje x .
Encontrar su ecuación y graficar.

22)
a) Indicar cuáles de las siguientes rectas cortan al eje de las ordenadas en el mismo punto que
y=3x+2
b) ¿Cuáles son paralelas a ella?.

ii. y = 8 x + 
1 1
i. y = 3x -  
3  4
iii. y = 3 ( x + 2 ) iv. y = 7x + 2
v. y = 4 x + 2 vi. y = 3x + 4

Página 65


23) Un kilogramo de papas cuesta $0,65. Escribir y representar la función que define el valor de las
papas en función de los kilogramos comprados.

24) Cada una de las siguientes tablas corresponde a una función. Para cada una de ellas:
a) Completar la tabla de tal forma que la función represente una función de proporcionalidad
directa.
b) Escribir una fórmula que relacione los elementos de la primera fila con los de la segunda.
c) Representar los datos de la tabla en un sistema de coordenadas cartesianas.

Tiempo de marcha (en horas) 1 2 3
Espacio recorrido (en km.) 80 400 800 50

Capital invertido (en pesos) 1000 500 250
Interés percibido (en pesos) 100 12.5 75

Masa del aluminio (en gramos) 2,7 13,5
Volumen del aluminio (en cm3 ) 1 2 3

25) El estudio de cierta tabla permite establecer que:
f (3) = 7 f (8) = 16,2 f (11) = 26
¿Representa dicha tabla una función de proporcionalidad directa?. Justificar.

26) La siguiente tabla representa la relación existente entre el valor de los lados y el perímetro de
tres cuadrados:

Lado (l) Perímetro (p)
1 4
2 8
3 12

Responder:

a) ¿Se trata de una función de proporcionalidad directa?.
b) ¿Cuánto vale la constante de proporcionalidad?.
c) Expresar la función mediante una fórmula y representar gráficamente.

27) Para distintos trozos de un mismo material, el peso es directamente proporcional al volumen.
a) Completar los cuadros y las fórmulas para cada uno de los materiales indicados.

Página 66


Madera de pino: Corcho sintético: Granito:
Volumen Volumen Volumen
1 5 10 20 1 5 10 20 5 10
(en dm3 ) (en dm3 ) (en dm3 )
Peso Peso Peso
9 60 30 3
(en kg.) (en kg.) (en kg.)
P = ........ . V P = 0,2.V P = ....... . V

b) Representar en un mismo gráfico las tres situaciones.
c) Observar en la gráfica:
i. ¿Qué pesa más?; ¿3,5 decímetros cúbicos de madera o 3,5 decímetros cúbicos de granito?.
ii. Si se tienen 7 kg. de corcho sintético y 7 kg. de madera, ¿cuál es el material que más volumen
tiene?.
d) Si se dispone de un recipiente cuya capacidad es de 6 decímetros cúbicos, ¿4 kg. de qué material

(corcho - madera - granito) molido, puede guardar en dicho recipiente?.

En cada caso la constante de proporcionalidad representa la densidad del material (peso por unidad
de volumen); gráficamente, la misma, es la pendiente de la recta.

28) Una empresa de transportes establece sus tarifas de este modo: $ 0,10 por km recorrido y $ 5
por paquete o maleta. ¿Cuánto costará trasladarse con una maleta a 100 km?. ¿Y a 200 km?.
a) Completar la siguiente tabla considerando que se lleva una maleta:

Distancia
100 150 200 250 300
(en km.)
Precio
(en pesos)

b) Expresar por fórmula la función que relaciona número de km y precio del traslado.
c) Analizar la misma situación pero trasladándose con dos maletas.
d) Representar en un mismo gráfico las dos situaciones (viajar con una maleta - viajar con dos
maletas). Interpretar.
e) Proponer cómo viajar de tal forma que la función que relacione número de km. y precio del
traslado sea de proporcionalidad.

Incluir en la gráfica anterior su representación e indicar su fórmula.

Otras empresas de la competencia tienen las siguientes tarifas :
Precio por Precio por Ecuación sin Ecuación con una
km maleta maletas maleta
Empresa A
0,15 2,5 y = 0,15 x y = 0,15 x + 2,5
Empresa B
0,06 7

Representar gráficamente; decidir qué empresa contratar para gastar lo menos posible.
Página 67


4.3. Sistemas de ecuaciones lineales

En esta sección analizaremos los sistemas de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas, y sus
soluciones, en forma algebraica y geométrica.

La ecuación
2 8
y = 3 x + 3

tiene entre otras las siguientes
soluciones:
8
x=0 , y=
3 Hemos visto en la unidad anterior, que una ecuación lineal con
10 dos incógnitas tiene infinitas soluciones, pues esa ecuación se
x=1 , y=
3 verifica para infinitas parejas de números.
x = -1 , y = 2
............
Entonces los puntos de coordenadas
 0 , 8 ; 1, 10 ; (− 1,2 );...
  
 3  3 
pertenecen a la recta dada.

Es decir, la resolución algebraica de Un sistema de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas es
un sistema de dos ecuaciones lineales representado geométricamente por dos rectas.
con dos incógnitas equivale
geométricamente a estudiar las
posiciones relativas de las dos rectas Resolverlo equivale a hallar los puntos del plano comunes a las
en el plano. dos rectas.

Ejemplos:
 3x + y − 5 = 0
a) 
Gráficamente, vemos que las dos  8x − 3 y − 2 = 0
rectas se cortan en un único
punto P de coordenadas ( 1 , 2 ) Resolvemos aplicando el método de sustitución:
4 De la ecuación
3
3x + y – 5 = 0
8x – 3y – 2 = 0 se tiene que
2
y=-3x+5
1 sustituyendo y en la ecuación
8x-3y-2=0
-3 -2 -1 1 2 3 4 se obtiene
-1
8 x - 3 ( -3 x + 5 ) - 2 = 0
-2 despejando x, resulta
-3
x=1
3x + y – 5 = 0 Reemplazando el valor de x obtenido, en cualquiera de las
-4
ecuaciones del sistema, resulta
y = 2.
En este caso diremos que
las rectas son secantes. El sistema tiene una única solución x = 1 , y = 2

Página 68


Observemos que...
 3x + y − 5 = 0
3 1 −5 en el sistema 
≠ ≠  8x − 3 y − 2 = 0
8 −3 − 2
no hay ninguna relación de proporcionalidad entre
los coeficientes de los términos lineales.

4 x − 2 y − 3 = 0
b) 
2 x − y − 7 = 0
Resolvemos aplicando el método de sustitución:
Gráficamente, vemos que las De la ecuación
rectas no tienen ningún punto 2x-y-7=0
en común.
se tiene que
y = 2 x - 7;
4
sustituyendo y en la ecuación
4x –3 2y – 3 = 0 4x - 2 y - 3 = 0,
2 se obtiene
1 4 x - 2 . ( 2 x - 7 ) - 3 = 0,
-2 2 4 6

-1
resolviendo resulta
0 x = -11.
-2

-3
2x – y – 7 = 0 Observemos que...
-4

no existe ningún número real x
que multiplicado por 0 de -11.

En este caso diremos que En consecuencia, el sistema no tiene solución, pues no existen
las rectas son valores reales de x e y que verifiquen simultáneamente ambas
paralelas no coincidentes.. ecuaciones.

Observemos que...
4 x − 2 y − 3 = 0
en el sistema 
4
=
−2
≠
−3
2 x − y − 7 = 0
2 −1 −7 existe una relación de proporcionalidad entre los coeficientes
de los términos lineales, pero que dicha relación no se
conserva entre los términos independientes.

Página 69


4 x − 2 y − 14 = 0
c) 
2 x − y − 7 = 0

4
Resolvemos aplicando el método de sustitución:
3 4x – 2y – 14 = 0
De la ecuación
2
2x – y – 7 = 0 2x-y-7=0
1 se tiene que
y = 2 x - 7;
-2 2 4 6
sustituyendo y en la ecuación
-1
4 x - 2 y - 14 = 0,
-2 se obtiene
-3
4x - 2 . ( 2x - 7 ) - 14 = 0,
resolviendo resulta
-4
0x = 0

Observemos que...
cualquier número real x multiplicado por 0 da 0.
Es decir, existen infinitos valores de x e y
que verifican ambas ecuaciones.

En el sistema las dos ecuaciones son proporcionales, pues la
La representación gráfica del
sistema son dos rectas primera ecuación es el doble de la segunda, por lo que el
paralelas coincidentes. sistema se reduce a un sola ecuación y, tiene por lo tanto
infinitas soluciones.

Observemos que...
4 − 2 − 14 4 x − 2 y − 14 = 0
= = en el sistema 
2 −1 − 7 2 x − y − 7 = 0
existe una relación de proporcionalidad entre los coeficientes
de los términos lineales y los términos independientes.

Podemos conocer la posición de dos rectas r y s (cuyas ecuaciones están dadas en forma
explícita o en forma implícita), sin necesidad de resolver el sistema que forman, teniendo en cuenta
el siguiente cuadro:

Forma explícita Forma implícita
r: y = mx + n r: ax + by + c = 0
s: y = m’x + n’ s: a’x + b’y + c’ = 0
m ≠ m’ a b
r y s secantes ≠
a' b'
r y s paralelas m = m’ ; n ≠ n’ a b c
= ≠ , c ≠ 0 , c’ ≠ 0
no coincidentes a' b' c'
r y s paralelas m = m’ ; n = n’ a b c
= = , c ≠ 0 , c’ ≠ 0
coincidentes a' b' c'

Página 70



29) La recta 3 x + n y - 7 = 0 pasa por el punto A(3 , 2) y es paralela a la recta m x + 2 y = 13.
Calcular m y n.

30) Determinar el valor de a para que las rectas r y s sean paralelas, siendo r: x + 3 y = 6 y
s: a x - y = 5.

31) La recta 2 x - a y = 7 pasa por el punto A(2 , 1) y es paralela a la recta b x - y + 2 = 0.
Calcular a y b.

32) Hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto P(-3 , 1) y es paralela a la recta
determinada por los puntos P1 (0 , -2) y P2 (5 , 2).

33) La recta y + 2 = m (x + 3) pasa por el punto de intersección de las rectas 2x+3y+5=0
y 5 x - 2 y - 16 = 0 . Calcular m.

34) Hallar la ecuación de la recta de pendiente - 4 y que pasa por el punto de intersección de las
3 9
rectas: y = - 2 x + 8 e y = x + .
2 2

35) Expresar los sistemas de dos ecuaciones lineales que se pueden determinar con las siguientes
gráficas, luego indicar la solución de los mismos.
a) b)

36) Hallar los valores de a para que (4000 , 3000) sea la solución del sistema:

 y = 0,75 x

 y = ax + 500

Página 71


 px − 6 y = 3
37) Dado el sistema  indicar los valores de p y q para que el sistema tenga:
− 2 x − 2q + 4 y = 0
a) única solución. b) ninguna solución. c) infinitas soluciones

38)
a) Agregar al sistema una ecuación para que la solución sea x = 2 ; y = -3

 y = −2x + 1

.......... .........
b) La ecuación agregada en el inciso anterior ¿es la única que cumple con la condición pedida?.
Justificar.

2 x − 4 y = 0
39) Dadas las siguientes ecuaciones de rectas:  . Decir para qué valores de a y de b
 y = ax + b
las rectas tienen:
b) un punto en común, b) ningún punto en común, c) todos sus puntos en común.

40) Un ciclista que circula por una senda rectilínea a una velocidad constante de 4 m/s, pasa, en un
cierto momento, por un puesto de control. Otro ciclista que circula por la misma senda, pero en
sentido contrario, a una velocidad constante de 3m/s, pasa por el mismo puesto 20 segundos
después.
a) Hallar las ecuaciones de los movimientos de ambos ciclistas.
b) Determinar el instante en que se encuentran y a qué distancia del puesto lo hacen.
c) Verificar gráficamente los resultados obtenidos.

41) Una empresa tiene un ingreso mensual de $30 por unidad vendida de cierto producto. Por otra
parte, el costo fijo mensual es de $4800 y el costo variable de $22 por unidad. ¿Cuántas unidades es
necesario vender por mes para que el ingreso sea igual al costo total, y cuál es ese valor?.

42) Hace cinco años, la población de una pequeña comunidad indígena era de 500 personas. Como
consecuencia de su integración con otras comunidades, la población ascendió a 4000 personas.
Suponiendo que la población crece en forma lineal:
a) expresar mediante una fórmula la cantidad de habitantes en función del tiempo;
b) indicar aproximadamente cuándo llegará la población a 10000 habitantes;
c) realizar un gráfico cartesiano de la situación.

Página 72


4.4. Rectas perpendiculares

Existe una relación importante que permite hallar la pendiente m’ de una recta conociendo la
pendiente m de otra recta perpendicular a ella.

Ejemplo:
4

3 En la gráfica se observa que las rectas
y = - 1/3 x + 3 1
2 -1 y=3x-1 e y=- x+3
3
1
y = 3x - 1 son perpendiculares.
-2 2 4

-1
Las pendientes de dichas rectas son:
1
-2 m = 3 y m’ = - .
3
-3

-4

Diremos que dos rectas de pendientes m y m’ que
Rectas 1
verifiquen la relación m’ = - , son rectas
perpendiculares m
perpendiculares.

1
43) Dada la recta y = x + 3 , hallar las funciones cuyas representaciones son las rectas:
5
a) paralela a la misma y de ordenada al origen igual a la de la recta 2 x + y = 8.
b) perpendicular a la misma y de ordenada al origen - 2.
c) paralela a la misma y que pase por el punto Q (1, ½ ).
d) perpendicular a la misma y que pase por el origen.
e) perpendicular a la misma y de proporcionalidad.

44) Las rectas de ecuaciones a x - y = 4 ; x + b = y son perpendiculares y cortan al eje de las
abscisas en dos puntos distantes cinco unidades. Hallar a y b.

45) Dada la recta de ecuación a x + b y = 1, determinar a y b sabiendo que la recta dada es
3
perpendicular a la recta de ecuación 2 x + 4 y = 11 y que pasa por el punto P ( 1 , ).
2

Página 73

4.5. Función valor absoluto

Ya hemos visto en la primera unidad cómo calcular el valor absoluto de un número real. Como
cada número real posee un solo valor absoluto, podemos pensar esta relación como una función.
Para graficar la función valor absoluto haremos uso de las rectas que hemos estado estudiando hasta
ahora.

Si consideramos la función donde a cada número real le
Gráficamente.
corresponde su valor absoluto, es decir
3
f (2) = 2,
2.5
f (-2) = 2,
2
f (0) = 0 ,
1.5
etc.
1 observamos que los puntos que determinan su gráfica son
0.5 Ø puntos que pertenecen a la recta y = x para los x ≥ 0 y
Ø puntos que pertenecen a la recta y = -x para los x < 0.
-3 -2 -1 1 2 3

Función Valor Definimos la función valor absoluto mediante la fórmula:
 x si x ≥ 0
Absol u to f(x) =  x = 

− x si x < 0

Para pensar...

El dominio de esta función es R. ¿Cuál es el conjunto imagen?

Página 74

Ecuaciones y Funciones Cuadráticas

5. ECUACIONES Y FUNCIONES CUADRÁTICAS

Hemos analizado hasta el momento las ecuaciones lineales y funciones lineales. Es
momento de empezar a introducirnos en las ecuaciones de grado superior. Las ecuaciones de
segundo grado merecen estudiarse aparte; es por ello que en la primera sección veremos y
resolveremos ecuaciones de segundo grado o ecuaciones cuadráticas, y en la siguiente sección
abordaremos el tema desde el punto de vista funcional.
En principio resolveremos las ecuaciones de segundo grado en forma algebraica,
distinguiremos raíces y soluciones, analizaremos el discriminante para terminar con el
procedimiento de completar cuadrados. Todo esto nos permitirá luego reconocer todos los aspectos
geométricos de la gráfica de una función cuadrática, y nos posibilitará resolver situaciones
problemáticas. Es así como podremos identificar el vértice, el eje de simetría y las raíces de una
parábola, y sólo viendo la función cuadrática podremos tener una idea aproximada de su gráfica.

Comenzamos con la siguiente situación:

Dido: la fundadora de Cartago.

Cuenta la historia que cuando Dido, perseguida por su cruel hermano, asentó sus pies en lo
que luego sería Cartago, negoció con el rey del lugar, Iarbas, la compra del terreno necesario para
fundar una factoría. Iarbas aceptó en un precio ridículamente bajo pues el trato consistía en que
debía entregar la tierra abarcada por la piel de 3 bueyes. Cerrado el trato, la astuta Dido cortó en
finas tiras dicha piel logrando entonces abarcar mucho más de lo que Iarbas había pensado
entregar. Además la belleza de Dido ayudó a que Iarbas se dejase engañar.
Si el trato hubiera sido que la parcela tenía que ser rectangular, ¿que rectángulo hubiese
convenido a Dido construir?

Fijemos un perímetro y empecemos a conjeturar sobre los diferentes rectángulos. Supongamos que
el perímetro es 24 y designemos con b y h las medidas de la base y la altura del rectángulo,
entonces tenemos:

b h Per = 24 bh

1 11 2.1 +2.11 11
2 10 2.2 +2.10 20
3 9 2.3+2.9 27
4 8 2.4+2.8 32 Observamos que en este caso, de perímetro 24, el
5 7 2.5+2.7 35 rectángulo de área máxima se obtiene para b = h,
6 6 2.6+2.6 36 es decir para el cuadrado. Es decir que a Dido
7 5 2.7+2.5 35 le hubiese convenido construir un cuadrado.
8 4 2.8+2.4 32
9 3 2.9+2.3 27
10 2 2.10+2.2 20
11 1 2.11+2.1 11
12 no tiene solución

En la resolución de este ejemplo hay ecuaciones de segundo grado que es lo que abordaremos a
lo largo de la unidad.

Página 75


5.1. E CUACIONES CUADRÁTICAS O DE SEGUNDO GRADO

Comenzamos con la definición de ecuación de segundo grado.

Una ecuación de segundo grado con una incógnita, es una
Ecuación de ecuación de la forma

segundo grado ax2 + bx + c = 0,
con a, b, c ∈ R y a ≠ 0.

Son ejemplos de ecuaciones de segundo grado
Más ejemplos:
3 y - y2 = 0 x 2 + 16 = 0
3 x2 - 48 = 0 x 2 - 7 x - 18 = 0
9 t2 - 6 t + 1 = 0 pues el mayor exponente al que aparece elevada la incógnita es
dos.

Ejemplos: La ecuación puede ser completa :
4 x2 - 4 x + 1 = 0 a x2 + b x + c = 0
x2 - 6 x - 16 = 0 con a ≠ 0, b ≠ 0, c ≠ 0.
- 3 x2 - 6 x + 12 = 0
o puede ser incompleta:
3 x - x2 = 0 • b ≠ 0 , c = 0 del tipo a x2 + b x = 0

3 x2 - 48 = 0 • b = 0 , c ≠ 0 del tipo a x2 + c = 0

4 x2 = 0 • b = 0 , c = 0 del tipo a x2 = 0

Toda ecuación de segundo grado con una incógnita, tiene dos raíces que denotaremos x 1 y x 2 .

Las soluciones o raíces x1 y x2 de una ecuación de
segundo grado de la forma a x2 + b x + c = 0 con a ≠ 0
pueden obtenerse a través de la conocida fórmula de
Soluciones Bhaskara reemplazando los coeficientes a , b , c en las
o raíces siguientes expresiones:

− b + b 2 − 4ac − b − b 2 − 4ac
x1 = , x2 =
2a 2a

Podemos escribir en forma abreviada:

− b ± b 2 − 4ac
x 1,2 =
2a

Página 76

La expresión del radicando
b2 – 4ac
Discriminante se llama discriminante de la ecuación y se simboliza con la
letra griega ∆ .

A modo de ejemplificación, resolveremos las siguientes ecuaciones:

a) x 2 - 5 x + 6 = 0
5± 25 − 24
x 1,2 =
Observemos que... 2
las raíces son números
5± 1
reales y dis tintos. x 1,2 =
2
luego x 1 = 3 y x 2 = 2.

b) x 2 - 2 x + 5 = 0
2± 4 − 20
x 1,2 =
Observemos que... 2
las raíces
2± − 16
son números x 1,2 =
2
complejos conjugados.
2 ± 4i
x 1,2 =
2
luego x 1 = 1 + 2i y x 2 = 1 - 2 i

c) 9 x 2 + 6 x + 1 = 0

-6 ± 36 − 36
Observemos que... x 1,2 =
2
las raíces son números reales
e iguales (raíz doble). -6± 0
x 1,2 =
2
luego x 1 = -3, x 2 = -3

De los ejemplos anteriores resulta que, según el signo del discriminante ∆, tenemos:

Observemos que...
2
Ÿ Si b 2 - 4 a c > 0, la ecuación tiene dos raíces reales y
en el ejemplo x - 5 x + 6 = 0 distintas.
tenemos ∆=1.

Observemos que...
Ÿ Si b 2 - 4 a c < 0, la ecuación no tiene raíces reales; tiene
en el ejemplo x2 - 2 x + 5 = 0 dos raíces complejas conjugadas.
tenemos ∆ = -16.

Página 77


Observemos que...
2
Ÿ Si b 2 - 4 a c = 0, la ecuación tiene una única solución real;
en el ejemplo 9 x + 6 x + 1 = 0 diremos que es una raíz doble.
tenemos ∆ = 0.

Hasta aquí, hemos visto la forma de resolver las ecuaciones cuadráticas o de segundo grado,
obteniendo las soluciones o raíces de la ecuación. Ahora veremos la siguiente situación:
si conocemos las raíces de una ecuación de segundo grado, ¿cómo obtenemos la ecuación de segundo
grado de la cuál son raíces? El objetivo es reconstruir la ecuación conocidas las raíces.

Si las raíces de una ecuación cuadrática son x 1 y x 2 , la ecuación puede factorizarse así:

a . (x - x 1 ) . (x - x 2 ) = 0

Ejemplo:

4x 2 –4x +1
Observemos que...
Si extraemos 4 factor común tenemos
a =4
4(x 2 – x + ¼)
y
se tiene que x = ½ es raíz doble de la ecuación, es decir, se
x1 = x2 = 1/2
puede escribir
4 (x-1/2 )2 ó 4(x-1/2 ) (x-1/2).

A continuación daremos otra forma de resolución para las ecuaciones de segundo grado completas.
A este procedimiento se lo llama completar cuadrados. Este método resultará importante en la
siguiente sección para identificar los elementos que caracterizan a la función cuadrática.

Retomaremos los ejemplos dados anteriormente con el fin de analizarlos.

a) 4 x 2 - 4 x + 1 = 0

El primer miembro de la igualdad es el desarrollo del
Observemos que... cuadrado de binomio (2 x - 1)2 ; luego resulta
podemos escribir la ecuación como (2 x - 1)2 = 0
(2 x)2 - 2 . 2 x + 12 =0 Entonces (2 x - 1) (2 x - 1) = 0 y
1 1
x1 = ; x2 =
2 2

Observemos que...
b) x 2 - 6 x - 16 = 0
el primer miembro de la igualdad no
corresponde al desarrollo del
cuadrado de un binomio. Pues si bien Al procedimiento que aplicaremos para este caso se lo llama
16 es 42 , el coeficiente de x debería completar cuadrados.
ser el doble de 4, es decir 8
y no lo es.
Página 78


El coeficiente de x es 6, que lo
podemos escribir como 2.3,
es decir el doble de 3.
Ahora sumamos y restamos el
x 2 - 6 x - 16 + 9 - 9 = 0
cuadrado de la mitad del coeficiente
de x, esto es el cuadrado de 3.

Asociando convenientemente (x 2 - 6 x + 9) - 16 - 9 = 0

El paréntesis corresponde al (x 2 - 6 x + 9) - 25 = 0
desarrollo del cuadrado de un (x - 3)2 - 25 = 0
binomio
(x - 3)2 = 25

x - 3 = 5 es decir x1 = 8
de donde resultan las soluciones
x - 3 = - 5 ; x 2 = - 2.

Otro modo de resolver (x - 3)2 = 25 x - 3 = 25 ,
es por medio de la definición de valor
absoluto.
x-3 =5 ; x1 = 8
x - 3 = - 5 ; x 2 = - 2.

c) - 3 x 2 - 6 x + 12 = 0

Como el coeficiente de x2 no es 1
extraemos (-3) factor común.
(-3) . ( x 2 + 2 x - 4 ) = 0

Luego para que la igualdad se
x2 + 2 x - 4 = 0
cumpla, debe ser:

Completando cuadrados se obtiene ( x + 1 )2 = 5

Luego, las soluciones son x1 = - 1 - 5 y x 2 = -1 + 5.

Las ecuaciones incompletas también pueden resolverse directamente como mostramos a
continuación:

Ejemplo:

a) 4 x 2 = 0
En este caso
b =c=0 x2 = 0
entonces las soluciones siempre son
x1 = x2 = 0. x 1 = 0, x 2 = 0

Página 79


b) 3 x 2 - 48 = 0
En este caso
3 x 2 = 48
b = 0 yc ≠ 0,
y no hace falta utilizar x 2 = 16
la fórmula de Baskhara.
x 1 = 4, x 2 = -4

c) 3 x - x 2 = 0

En este caso, x (3 - x) = 0
x es factor común y, por tanto,
x1 = 0 ;
una raíz es cero.
3 - x = 0; x2 = 3

Ahora queremos resolver la ecuación

x +1
-x 2 - x = 5 -
2

Observemos que... 10 - ( x + 1)
- x2 - x =
2
si la ecuación es cuadrática,
pero no tiene la forma 2 (- x 2 - x ) = 10 - ( x + 1)
a x2 + b x + c = 0,
se resuelven todas las
operaciones indicadas para - 2 x 2 - 2 x = 10 - x - 1
reducirla a esa forma.
- 2 x 2 - 2 x - 10 + x + 1 = 0

- 2 x2 - x - 9 = 0

2 x2 + x + 9 = 0

1 71 1 71
Aplicando la fórmula ya vista, x1 = − + i y x2 = − − i
resulta: 4 4 4 4

Ahora resolveremos algunos problemas cuyas soluciones involucran ecuaciones de segundo grado.

Ejemplo:

Dada la ecuación
∆ = b 2 – 4ac
x 2 - 12 x + c = 0,
∆ = (-12)2 – 4c queremos hallar los valores de c para que las dos raíces de la
ecuación sean reales y distintas.
∆ = 144 – 4c.
El valor del discriminante en este caso es ∆ = 144 – 4c.

Página 80


Para que las dos raíces sean reales y distintas, debe ocurrir que
el discriminante sea mayor que cero. Luego
144 – 4c > 0, es decir c > 36.
De este modo, x 2 - 12 x + 39 es un ejemplo del tipo de
ecuación que se pide.

Ejemplo:

La suma del área de un cuadrado más su perímetro es 60.
Resolvemos la ecuación ¿Cuánto mide el lado del cuadrado?.
x2 + 4x - 60 = 0.
Obtenemos que las raíces son Si llamamos x a la longitud del lado del cuadrado, su área es x 2
-4± 256 - 4 ± 16 y su perímetro es 4x. La suma del área del cuadrado más su
x1,2 = =
2 2 perímetro es 60, es decir,
Así, x1 = 6 y x2 = -10. x 2 + 4x = 60.
Las soluciones de esta ecuación son x 1 = 6 y x 2 = -10.

Verificación:
62 + 4.6 = 60; Ambas soluciones verifican la ecuación, pero únicamente x 1 = 6
es solución pues la longitud no puede ser negativa.
(-10)2 + 4.(-1) = 60.


1) Resolver las siguientes ecuaciones:

a) 2 x2 = 0 Ejercicios complementarios
b) x2 - x = 0
c) 4 x2 - 9 = 0 l) x2 - 9 = 0
d) x 2 + 11 = 0 m) x 2 – 5x + 6
e) 8 x 2 + 16 x = 0 n) (3 x + 2) (3 x - 2) = 77
f) 3x 2 – 4 = 28 + x 2 o) x 2 -2x +6 = 0
 5
 x -  ( x + 1) = 0
g) (x - 5) (x + 1) + 5 = 0 p)
h) - x2 + 4 x - 7 = 0  2
i) (x + 1)2 = 9 q) 2
x + 2 x - 12 = 0
x2 - 3 x x - 20 x2 - 1
j) -5 = r) = 4
2 4 6
2
3 ( x - 11) 2 ( x 2 - 60) s) 5 x 2 - 10 x = 0
k) - = 36
5 7 t) (x - 2)2 = - 4 x + 2 x 2
u) 5 x2 - 3 x + 1 = 0

A continuación se propone resolver problemas en los cuales están involucradas ecuaciones de
segundo grado. Recuerda los pasos indicados para la resolución de los mismos vistos en la
unidad 2.

Página 81


2) Dada la ecuación x 2 - (m + 2) x + 10 = 0 hallar los valores de m para que las dos raíces
sean iguales.

3) La suma de un número positivo y su cuadrado es 42. Hallar dicho número.

4) Hallar dos números consecutivos cuyo producto es 380.

5) El producto de un número negativo por su tercera parte es 27. Calcular dicho número.

6) La suma de los cuadrados de dos números consecutivos es 5. Hallar dichos números.

7) Calcular las dimensiones de un rectángulo sabiendo que su área es 405 cm2 y su perímetro 84
cm.

8) Los lados de un triángulo rectángulo tienen por medida, en cm., tres números pares
consecutivos. Hallar los valores de dichos lados.

9) Dentro de 11 años la edad de Marcela será la mitad del cuadrado de la edad que tenía hace 13
años. Calcular la edad de Marcela.

10) Un jardín rectangular de 50 m de largo por 34 m de ancho está rodeado por un camino de
ancho uniforme. Hallar el ancho de dicho camino si se sabe que su área es 540 m2 .

11) En cada una de las esquinas de una plancha de cartón de forma cuadrada se recorta un
cuadrado de 5 cm de lado y doblando y pegando, se forma una caja de 1280 cm3 . Hallar el lado
de la hoja inicial.

12) El cateto menor de un triángulo rectángulo mide 11 m y la hipotenusa 1m más que el otro
cateto. Hallar los lados del triángulo.

13) Un poste de luz de 7 metros se rompe a una cierta altura del suelo y al doblarse, la punta libre
del trozo roto cae a 3 m de la base del poste. ¿A qué altura se rompió?.

5.2. F UNCIONES CUADRÁTICAS

A toda función de la forma
Función
y = f (x) = a x2 + b x + c , con a , b , c ∈ R y a≠ 0
Cuadrática
se la llama función cuadrática.

En la expresión anterior
Ejemplo:
4x2 – 2x + 5
a x 2 es el término cuadrático,
2
4x es el término cuadrático, b x es el término lineal, y
– 2x es el término lineal, y
5 es el término independiente. c el término independiente.

Página 82

El dominio de la función es R y su gráfica es una curva llamada parábola.

En su gráfica identificamos los siguientes elementos:

Cada uno de los lugares en los que la y
gráfica corta el eje x

Eje de simetría
se conoce como raíz.
El vértice es el punto en el cual Raíz Raíz x
la gráfica alcanza su valor
mínimo (o máximo). xV xV
El eje de simetría es una recta que
permite observar claramente que las
parábolas son curvas simétricas.

Vértice V= (x V, y V)

A continuación analizaremos los gráficos de algunas funciones cuadráticas cuando varía el
coeficiente de x 2 .

En principio, si a > 0 la gráfica es de la forma:

y = 2x2-6x+7
y
14
y = a x2 + b x + c
12

10

8

6

-1 1 2 3 4

x

en cambio, si a < 0 la gráfica es de la forma:

y = -2x2+ 6x + 7 y = a x2 + b x + c
10 y
5

-2 -1 1 2 3 4 5

-5

-10

x

Página 83

Así, dada la función y = a x 2 + b x + c, el signo de a indica hacia donde se dirigen las ramas de la
parábola:
- si a es positivo, las ramas van hacia arriba,
- si a es negativo, las ramas van hacia abajo.

Por otro lado, si comparamos ahora la gráfica de
y = a1 x 2 + b1 x + c1
con la gráfica de
y = a2 x 2 + b2 x + c2
en aquellos casos en que a y a2 tienen el mismo signo y el vértice de ambas parábolas coincide,
1
resulta uno de los siguientes casos:

y y = a 1 x 2 + b 1 x + c1
2x2- 8x+11 y = 4x2 -1 x+ 1
6 9

40

30

20
y = a 2 x 2 + b 2 x + c2
10

-2 2 4 6
xV x

si a1 > a2 > 0

y
2
y = a 2 x + b 2 x + c2
2 2
- 2x +8x-5 -4x +1 x- 1
6 3

-2 2 4 6

-10

-20 xV
x
-30

-40 y = a 1 x 2 + b 1 x + c1

si a1 < 0, a2 < 0, y a1  > a2 .

Página 84


Así, el valor absoluto de a modifica la abertura de las parábolas:
- cuanto menor es a, la parábola es más abierta,
- cuanto mayor es a, la parábola es más cerrada.

Para continuar investigando la gráfica de una parábola,
centraremos nuestra atención ahora en la función
y = x2

y = x2
4

3

cuya gráfica es simétrica respecto del eje y.
2

1 Veamos que si desplazamos su gráfico en forma vertical u
horizontal, obtenemos las gráficas de otras funciones
-2 -1 1 2
cuadráticas.
Comenzaremos analizando lo que sucede al trasladarla
verticalmente.
6

5 y = x2 + 2
4 Ejemplo:
3

2 • Si trasladamos la gráfica y = x 2 dos unidades hacia
1
y = x2 arriba, obtenemos la gráfica de la función y = x 2 + 2.
-2 -1 1 2

4

3 y = x2
2

1 • Si trasladamos la gráfica y = x 2 tres unidades hacia abajo,
-2 -1 1 2 obtenemos la gráfica de la función y = x 2 - 3.
-1

y = x2 - 3
-2

-3

Observemos que...
estos desplazamientos no modifican el eje de simetría,
pero sí la ordenada del vértice y el conjunto imagen de cada función.

Recuerda que...
Para pensar….
ü el vértice es el punto en el cual la
parábola alcanza su valor
¿Cómo completarías el siguiente cuadro?
máximo o mínimo;
ü el conjunto imagen está formado
y = x2 y = x 2 + 2 y = x 2 - 1.
por las coordenadas en y de cada
uno de los puntos pertenecientes Vértice (0 , 2)
a la parábola. Conjunto imagen [-1 , +∞)

Página 85


Concluimos entonces que en caso de contar con una parábola cuya ecuación es de la forma
y = x2 + k,
las coordenadas del vértice son
(0, k)
mientras que el conjunto imagen es
∞
[k, +∞ ).

y = x2
4
Continuando con nuestro análisis de la gráfica de la función
3

y = x2
2

1 veamos qué sucede ahora si desplazamos su gráfico en forma
horizontal.
-2 -1 1 2

20
y = x2
15
y = (x – 2)2 Ejemplo:
10

• Si trasladamos la gráfica y = x 2 dos unidades hacia la
derecha, obtenemos la gráfica de la función y = ( x - 2 )2 .
5

-2 2 4 6

20

y = (x + 2)2 15
• Si trasladamos la gráfica y = x 2 dos unidades hacia la
2
10 y=x izquierda, obtenemos la gráfica de la función y = ( x + 2 )2
5 .

-6 -4 -2 2

Observemos que ...
estos desplazamientos modifican el eje d e simetría y la abscisa del vértice,
pero no su ordenada ni el conjunto imagen de cada función.

Para pensar….

¿Cómo completarías el siguiente cuadro?
Puede que te ayude
el gráfico de las funciones.
y = x2 y = (x - 2)2 y = (x + 1)2
Eje de simetría x = -1
Vértice (2 , 0)

Página 86


Concluimos entonces que en caso de contar con una parábola cuya ecuación es de la forma
y = (x – p)2
las coordenadas del vértice son
( p, 0)
mientras que el eje de simetría es
x = p.

Combinando lo visto hasta ahora, podemos observar que:

5
y = (x – 1)2 + 2
4

3 ü si trasladamos la gráfica y = x 2 una unidad hacia la
y = x2 derecha, y dos unidades hacia arriba, obtenemos la gráfica
2
de la función y = ( x - 1 )2 + 2.
1

-3 -2 -1 1 2 3

5
4
y = (x + 3)2 - 1 3
2 ü si, trasladamos y = x 2 tres unidades hacia la izquierda y
2
1 y=x una unidad hacia abajo, obtenemos la gráfica de la función
-6 -4 -2
-1
2 y = ( x + 3 )2 - 1.
-2
-3

Para pensar….

ü Representa en un mismo sistema coordenado las gráficas
de: y = x 2 ; y = (x - 1)2 + 2 e y = ( x + 3 )2 - 1.

Recuerda efectuar los gráficos
ü ¿Cómo completarías el siguiente cuadro?
partiendo de la función y = x2 . y = x2 y = (x - 1)2 + 2 y = (x + 3)2 - 1
Eje de simetría x = -3
Vértice (1 , 2)
Conjunto imagen

Página 87


En síntesis, al desplazar la gráfica de
y = x2
y = a (x – p)2 + k p unidades en sentido horizontal y k unidades en sentido
vertical, obtenemos la gráfica de la función
y = x2
y = (x - p)2 + k
k
x= p Su vértice es el punto
p
V = (p , k)
El eje de simetría es la recta de ecuación
x = p.

Ahora bien, ¿cómo podemos expresar la función cuadrática
y = a x 2 + b x + c , con a ≠ 0 ,

Forma en la forma

Canónica y = a (x - p)2 + k ?
Precisamente mediante el método de completar cuadrados. A
la forma y = a (x - p)2 + k se la conoce como forma
canónica de la parábola.

Cuando y = 0 , resulta la ecuación a x 2 + b x + c = 0 cuyas
y = x2 - x - 6

10
raíces se obtienen como ya hemos visto aplicando la fórmula:
raíz 5 raíz
-b ± b2 - 4a c
x 1,2 = .
-4 -2 2 4
2a
-5 Las mismas representan los puntos de intersección de la
parábola con el eje x.

Según que la ecuación tenga dos raíces reales, una o ninguna,
la parábola cortará al eje x, será tangente a él, o quedará toda
ella por encima o por debajo del eje:

y = x2 - x - 6 y
10

x = -2 5
x=3

-4 -2 2 4 x
-5

dos raíces reales

Página 88


8
y = x2 - 4x + 4 y
6

x1 = x2 = 2
4

2

-1 1 2 3 4 x

una raíz real doble

y = x2 + 4x + 6
8
y
6

4

2

-5 -4 -3 -2 -1 1
x

ninguna raíz real

Observemos que ...
cuando la parábola tiene raíces reales, las mismas equidistan del eje de simetría.

Luego podemos obtener la abscisa del vértice de la parábola haciendo:
x1 + x 2
xV =
2
y la ordenada de dicho vértice, y V reemplazando x V en la ecuación de la función cuadrática.
Otra forma de obtener la abscisa del vértice es aprovechar el hecho de que si en la fórmula
x1 + x 2 - b ± b2 - 4a c
xV = reemplazamos x 1 y x 2 por las expresiones de la fórmula x 1,2 = ,
2 2a
obtenemos
-b
xV = .
2a
-b
Al aplicar x V = , podemos obtener x V , sin importar el tipo de raíces.
2a

Página 89


Ejemplo:

Comprueba efectuando la gráfica
La función y = - x 2 - 2 x - 3 , no tiene raíces reales.
correspondiente. Las coordenadas del vértice son :
-b - (- 2)
xV = = =-1 e y V = - (-1)2 - 2 (-1) - 3 = - 2.
2a 2 (- 1)

Para pensar….
Considera la función y = 3x 2 - 2 x – 1. Completando
1 4
cuadrados resulta y = 3 (x - )2 - .
Si no recuerdas el
3 3
método de completar cuadrados Grafica la función y responde:
es conveniente que
estudies nuevamente este tema ü ¿ Hacia dónde está abierta la parábola ?
contenido en la unidad anterior.
ü ¿ Cuáles son las coordenadas del vértice ?

ü ¿ Cuál es el eje de simetría ?

ü ¿ Cuáles son los puntos de intersección de la parábola con
los ejes x e y ?

Ejemplo:

Hallaremos la expresión de la función cuadrática graficada.
6

5

4

P 3

2

V 1

-5 -4 -3 -2 -1 1

• reemplazamos las coordenadas del vértice en la forma canónica y = a [x - (- 2)] 2 + 1
• Reemplazamos x e y por las coordenadas del punto P: 3 = a (- 1 + 2)2 + 1
• Obtenemos: a = 2
• Sustituimos en la ecuación y = a [x - (-2)] 2 + 1 el valor de a y obtenemos la expresión de
la función:
y = 2 (x + 2)2 + 1

Página 90


Por último, una función cuadrática
Ejemplo: la función y = a x2 + b x + c
y = - x2 - 13 x con raíces reales x 1 y x 2 puede ser expresada en la forma:
puede expresarse como: y = a (x - x 1 ) . (x - x 2 ),
y = - x2 - 13 x = - x . (x + 13)
como lo vimos en la unidad anterior.

Resumiendo, podemos expresar la ecuación de una función cuadrática como muestra el siguiente
cuadro:

Forma Expresión Parámetros

Polinómica o general y = a x2 + b x + c , a ≠ 0 a, b , c (c: ordenada al origen)

Canónica y = a (x - x V)2 + y V , a ≠ 0 a, x V , y V ( V = (x V , y V) vértice )

Factorizada y = a (x - x 1 ) . (x - x 2 ) , a ≠ 0 a, x 1, x 2 (x 1 , x 2 : raíces )

Retomemos ahora el problema de la introducción de la unidad

Cuenta la historia que cuando Dido, perseguida por su cruel hermano, asentó sus pies en lo que
luego sería Cartago, negoció con el rey del lugar, Iarbas, la compra del terreno necesario para
fundar una factoría. Iarbas aceptó en un precio ridículamente bajo pues el trato consistía en que
debía entregar la tierra abarcada por la piel de 3 bueyes. Cerrado el trato, la astuta Dido cortó en
finas tiras dicha piel logrando entonces abarcar mucho más de lo que Ia rbas había pensado
entregar. Además la belleza de Dido ayudó a que Iarbas se dejase engañar.
Si el trato hubiera sido que la parcela tenía que ser rectangular, ¿ que rectángulo hubiese
convenido a Dido construir?

En principio, consideremos el perímetro igual a 24, tal como analizamos al inicio de esta unidad.
Designemos con b y h a las medidas de la base y la altura del rectángulo, respectivamente.
Como el perímetro es 24, resulta
24 = 2 (b + h).
De aquí, despejando b tenemos
b = 12 – h.
Por otro lado, el área del rectángulo, a la que simbolizaremos con A, resulta ser
A = b h,
y reemplazando en esta ecuación el valor de b con el obtenido en el paso anterior tenemos
A = (12 – h) h.

Página 91


fHhL = H12 - hL h
40
El miembro derecho de esta ecuación es una función de
30
segundo grado
20

10 f (h) = (12 – h) h.
2.5 5 7.5 10 12.5 Si observamos la gráfica de esta función, es claro que alcanza
-10
su valor máximo cuando h es la coordenada del vértice de la
-20
misma.
Como el vértice de esta parábola tiene las coordenadas
f (h) = (12 – h) h (6, 36)
f (h) = – h 2 + 12h resulta que el valor de h que hace que el área del rectángulo en
cuestión sea máxima es
f (h) = - (h – 6)2 + 36
h = 6.
Retornando a la ecuación anterior, con este valor obtenemos
b = 12 – h = 12 – 6 = 6
lo que corrobora que efectivamente a Dido le hubiese
convenido construir un cuadrado.

Para pensar….

Plantea la situación anterior ü ¿Serías capaz de probar que cualquiera sea el perímetro
considerando un
perímetro P cualquiera. fijado siempre lo conveniente es construir un cuadrado?.

1 2
14) Representar en un mismo sistema de coordenadas las gráficas de: y = 2 x 2 ; y = x ;
2
1 2
y = -2 x 2 ; y=- x .
2

15) Sea la función y = x 2 :

1
a) Calcular f (- 4) , f   , f 7 . ( )
3
b) Indicar, si es posible los valores de x para los cuales: f (x) = 100 ; f (x) = 5 ; f (x) = - 4 ;
f (x) = f (5) .

16)
1) Indicar cuál fue el desplazamiento aplicado a la función y = x 2 para obtener cada una de las
siguientes expresiones:
7
a) y = (x - 5)2 b) y = (x + 4)2 - c) y = x 2 + 2,5
2

2) Graficar las funciones del inciso anterior, señalando en cada gráfico el vértice y el eje de
Página 92


simetría; expresar cada fórmula en forma polinómica.

17) Hallar la expresión polinómica de la función correspondiente al desplazamiento de y = x2
según se indica en cada caso:
a) 3 unidades hacia arriba;
b) 2,5 unidades hacia la izquierda;
c) 1,5 unidades hacia abajo y 1 hacia la derecha.

18) Hallar, sin efectuar ningún cálculo, el vértice y la ecuación del eje de simetría de las siguientes
parábolas:
a) y = (x - 2)2 - 4 b) y = (x + 3)2 + 2 c) y = 3 x 2 + 5
1
d) y = 2 (x - 2)2 e) y = (x + 1)2 – 3
2

19) Escribir las ecuaciones de las parábolas que, teniendo la misma forma que y = x 2 , tengan
vértice en:
a) (2 , 3) b) (-5 , 4) c) (1 , - 5) d) (- 4 , - 6)

20) Determinar las raíces reales, las coordenadas del vértice, la ecuación del eje de simetría y el
punto de intersección con el eje de las ordenadas para cada una de las siguientes funciones y
luego graficarlas.
a) y = x 2 - 2x -8 b) y = - x 2 + 6 x - 9 c) y = (2 x - 1) . (x + 2,5)
d) y = - 0,5 (x + 1)2 - 1,5 e) y = -x 2 - x – 2 f) y = (x - 2)2 + 3

21) Graficar las siguientes funciones cuadráticas:

1
a) y = x 2 + 4 b) y = - x 2 + 4 x c) y = x 2 - x +
4
1 2 3
d) y = - x + e) y = (x - 4)2 + 3 f) y = - 3 (x - 2)2 + 5
2 2
2
g) y = 2 (x - 3) h) y = - 4 (x + 1)2 - 3

22) Trazar en un mismo sistema de ejes de coordenadas cartesianas las gráficas de las siguientes
funciones:
1
y = x2 + 3 y = 2 x2 + 3 y = x2 + 3
2
¿En qué punto tienen el vértice?. ¿Cuál es el eje de simetría?

Página 93


23)
1) Hallar la expresión de la función cuadrática que cumpla los requisitos pedidos en
cada caso:
a) Su gráfico pasa por el punto (1 , -1) y su vértice es el punto V = (-2 , 3)
b) Su gráfico intersecta al eje y en (0 , 3) y su vértice es el punto V = (1 , 2)
1
c) Una de sus raíces es x = 3 y el vértice de su gráfico es V = (- , - 2)
2
d) El vértice es V = (-2 , 1) y la ordenada al origen es 4.

2) Para cada una de las funciones del inciso anterior:
i) Hallar las raíces reales, si existen.
ii) Realizar el gráfico.

24) Calcular b para que la parábola y = x 2 + b x + 3 tenga el vértice en el punto (2 , - 1).

25) Calcular la expresión de todas las funciones cuadráticas cuya intersección con el eje x son los
puntos (2 , 0) y (3 , 0).

26) Se sabe que la función y = a x 2 + b x + c pasa por los puntos (1 , 1) ; (0 , 0) y (-1 , 1).
Calcular a , b y c.

27) Calcular la ecuación de una parábola que pasa por los puntos A (1 , 4) ; B (0 , -1) y
C (2 , 15).

28) Una parábola tiene su vértice en el punto V ( 1,1 ) y pasa por el punto ( 0,2 ). Hallar su
ecuación.

29) Hallar los intervalos en que la función y = x 2 - 6x + 8 es positiva o negativa. ¿En qué puntos
se anula?.

30) Hallar el número de puntos de corte con el eje x que tienen las siguientes parábolas:
a) y = 2 x 2 - x + 3 b) y = x 2 - 2 x + 1 c) y = x 2 + x + 1
d) y = 3x 2 - 7 x - 3 e) y = 2 x 2 + 5 x + 1

31) Hallar los posibles valores de “m” para que se cumpla la condición pedida en cada caso:
a) y = x 2 + m x + 3 tiene una raíz doble;
b) y = 2 x 2 - x - m no tiene raíces reales;
Página 94


c) el gráfico de las funciones de la forma y = m x 2 - x - 1 intersecta el eje x en dos puntos;
d) el gráfico de las funciones de la forma y = - x 2 - m x - 5 toca al eje x, pero no lo atraviesa.

32) Dar la ecuación de las funciones cuadráticas graficadas a continuación:

a) b) c)

d) e) f)

g) h) i)

j) k) l)

Página 95


33) Para cada una de las funciones graficadas:

a) expresarlas en forma polinómica;
b) hallar sus raíces.

34) Asignar a cada una de las parábolas una de las ecuaciones siguientes:

1 2
i) y = x +x–2
3

ii) y = x 2 - 2 x + 2

iii) y = - x 2 - 2 x - 3

35) Expresar en forma factorizada las siguientes funciones cuadráticas:
a) y = 3 x 2 - 6 x b) y = x 2 - 13 x + 42
c) y = x 2 + 14 x + 49 d) y = - x 2 + 2 x
e) y = 6 x 2 - 24 f) y = 2 x 2 + 4 x - 30

36) Encontrar la forma canónica de las siguientes funciones. Graficar:
a) y = x 2 - 4 x + 4 b) y = - 2 x 2 - 4 x – 2 c) y = x 2 + 4 x + 2
d) y = x 2 - 6 x e) y = x 2 - 7 x – 18 f) y = 3 x 2 + 12 x – 5
g) y = (2 x - 3 )2 - 8 x h) y = 3 x (x - 1) - 6

37) ¿Es una parábola la gráfica de la función que expresa el área de los rectángulos que tienen un
perímetro de 10 unidades?. ¿Por qué?.
Página 96


38) Escribir la fórmula que da el área de un círculo en función del radio. ¿Qué tipo de función es?
Graficar.

39) Se quieren construir cajas de base cuadrada y de altura 2cm.
i) ¿Cuál será el volumen cuando la medida del lado de la base es 1 dm?,
ii) ¿y si mide 2 dm?,
iii) ¿y si mide 3 cm?.
iv) Buscar la relación funcional que existe entre el lado de la base y el volumen de la caja.

40) Un diagramador está definiendo las dimensiones que tendrá una revista. Necesita que el largo
sea 10cm mayor que el ancho y que la superficie de cada página resulte de 600 cm2 . ¿Cuáles son
las medidas que cumplen ambas condiciones?.

41) Expresar el área del triángulo equilátero en función del lado. ¿Qué función se obtiene?.
Representarla.

42) Supongamos que un jugador de fútbol patea un tiro libre de modo tal que la trayectoria de la
pelota, mientras se encuentra en el aire, es la parábola correspondiente a la función
y = - 0,05 x 2 + 0,7 x ; donde y es la altura en metros de la pelota cuando ésta se encuentra a x
metros de distancia horizontal desde el punto en el que fue lanzada. ¿Cuál será el alcance del
tiro libre?.

43) Si se lanza una piedra verticalmente hacia arriba, ésta sube hasta un cierto punto y luego
empieza a caer. La relación que existe entre el tiempo t que la piedra lleva en el aire cuando se
encuentra a una altura y está dada por la fórmula y = - 5 t 2 + 20 t + 10. ¿Cuándo alcanzará el
punto más alto?. ¿A qué altura está ese punto?

Página 97


6. ECUACIONES POLINOMICAS Y RACIONALES

En las unidades anteriores hemos estudiado las ecuaciones de primer y segundo grado.

ax+b =0 a≠0
2
ax +bx+c =0 a≠0

Estas son casos particulares de ecuaciones de carácter más general, las llamadas ecuaciones
polinómicas. y éstas a su vez de las ecuaciones racionales.

Para estudiar estas ecuaciones será necesario introducir previamente algunos conceptos como los de
polinomios y expresiones racionales, con sus cuatro operaciones, y la noción d divisibilidad que ya
e
vimos en la Unidad 1 para números enteros.

6.1. Polinomios

En una plaza de nuestra ciudad se desea construir una fuente rectangular de 12 m. de
perímetro, de modo que sus dimensiones sean números enteros, pero se ha puesto además la
condición de que el producto de una de las dimensiones por el cuadrado de la otra sea de 16 m.
¿Qué dimensiones deberá tener la fuente?.

En la resolución de este ejemplo se utilizan ecuaciones polinómicas, tema que abordaremos
en la primera parte de esta unidad.

Llamamos polinomio a toda expresión de la forma
an xn + an-1 xn-1 + ... + a1 x + a0
Polinomio donde n ∈ N0 y an , an-1 , ... , a1 , a0 son números
reales, que denominamos coeficientes.

Polinomio nulo El polinomio cuyos coeficientes son todos ceros recibe el
nombre de polinomio nulo.

Ejemplo:
En el polinomio
4 x5 + 3 x4 - 2 x3 - 1 x+1 Si an ≠ 0 , decimos que el polinomio tiene grado n y an es
2
llamado el coeficiente principal.
se tiene:
• Grado → 5
El coeficiente a0 recibe el nombre de término independiente.
• Coeficientes → 4, 3, -2, 0, - 1 , 1
2
• Coeficiente principal → 4 El polinomio nulo carece de grado.
• Término independiente → 1

Página 98

Ecuaciones Polinómicas y Racionales

Es posible asociar a cada polinomio
an xn + an-1 xn-1 + ... + a1 x + a0

Función una única función p: R → R definida por

Polinómica p (x) = an xn + an-1 xn-1 + ... + a1 x + a0 ,
y recíprocamente, a cada función de esta forma es posible
asociarle un polinomio. Llamamos a la función p(x),
función polinómica.

6.1.1. Operaciones con Polinomios

A continuación mostraremos cómo se pueden realizar las operaciones básicas de suma, resta,
multiplicación y división entre polinomios.

6.1.1.1. Suma de polinomios

Calculemos la suma de los polinomios:

p (x) = 3 x 2 + 2 x + 1 y q (x) = 5 x 3 - 7 x + 8 .

Una forma práctica de realizar esta
operación es ordenar los polinomios p (x) = + 3 x2 +2x +1
y escribir uno debajo del otro. +
Si falta algún término intermedio en
algún polinomio, lo completamos q (x) = 5 x3 + 0 x2 -7x + 8
escribiendo dicho término con
coeficiente 0, p (x) + q (x) = 5 x3 + 3 x2 -5x +9
o dejando el espacio vacío.

6.1.1.2. Resta de polinomios

Para este caso también es Calculemos ahora la resta de los polinomios
conveniente ordenar los polinomios y
escribir uno debajo del otro. p (x) = x 5 + 2 x 4 - 7 x 3 + 8 y q(x) = x 5 + 5 x 4 - 4 x 2 + 5.

Observemos que...
p (x) = x5 + 2 x4 - 7 x3 +8
hemos obviado los términos con –
coeficiente nulo. Siempre
supondremos que los términos
q (x) = x5 + 5 x4 - 4 x2 +5
faltantes tienen
coeficiente 0. p (x) – q (x) = - 3 x4 - 7 x3 + 4 x2 +3

El polinomio que resulta de la suma o la resta puede ser el
polinomio nulo, o su grado puede ser menor o igual al del
polinomio de mayor grado que estamos sumando o restando.
Página 99

grado ( p (x) ± q (x)) ≤ máx {grado p (x), grado q (x)}

6.1.1.3. Producto de polinomios

Para multiplicar los polinomios
p (x) = 7 x 3 - 5 x + 2 y q (x) = 2 x 2 + 5 x - 1 ,
una disposición práctica es la siguiente

p (x) 7 x3 -5x +2
Para calcular el producto de dos ×
polinomios multiplicamos cada uno q (x) 2 x2 +5x -1
de los términos de un polinomio por
cada uno de los términos del otro y - 7 x3 +5x -2
sumamos, es decir, aplicamos la 35 x 4 - 25 x 2 +10 x
propiedad distributiva.
14 x 5 - 10 x 3 + 4 x2
p (x) . q (x) 14 x 5 + 35 x 4 - 17 x 3 - 21 x 2 +15 x -2

Observemos que...
cuando se multiplican dos polinomios no nulos
el resultado es un polinomio cuyo grado es igual
a la suma de los grados de los polinomios factores.

grado ( p (x) . q (x)) = grado p (x) + grado q (x)

6.1.1.4. División de polinomios

Recordemos que en la Unidad 1 estudiamos el algoritmo de la división, también llamado algoritmo
de Euclides, para la división de números enteros.

Así, si queremos dividir 7 por 4 obtenemos
Al realizar una división entre
dos números enteros puede que
el resto sea distinto de cero.
Dividendo → 7 4 → divisor
Resto → 3 1 → cociente

Se verifica entonces que
Pero el resto de la división
7=4.1+3 ,
entre dos números enteros
nunca puede ser negativo. y el resto es siempre menor que el valor absoluto del divisor,
en este caso, 3 < |4|.

Página 100

Vamos a utilizar esta misma idea para realizar la división de polinomios.

Ejemplo:
Hallemos el cociente y el resto de la división entre los polinomios
a (x) = 8 x 4 + 6 x 3 - 4 y b (x) = 2 x 2 .

8x 4 + 6x 3 -4 2x 2
+ 4x 2 + 3x
cociente: q (x) = 4 x2 + 3 x - 8x 4
resto: r (x) = - 4 0x 4 + 6x 3 -4
+
- 6x 3
0x 3 -4

Ejemplo:
Hallaremos el cociente y el resto de la división entre
a (x) = - 4 x 3 + 3 x 2 +6 x 4 - 5 y b (x) = - x + 2 x 2 .

6x 4 - 4x 3 + 3x 2 + 0x - 5 2x 2 – x
1 5
+ - 6x 4 + 3x 3 3x 2 - x +
2 4
cociente: - x 3 + 3x 2 + 0x - 5
1 5 1
q (x) = 3 x2 - x + + x3 - x2
2 4 2
5 2
x + 0x - 5
resto: 2
5 5
r (x) =
5
x-5 + - x2 + x
4 2 4
5
x -5
4

Al dividir los polinomios a (x) y b (x) Observemos que ...
se obtiene
a(x) b(x) ü Antes de realizar una operación es conveniente ordenar
r(x) q(x)
y completar el polinomio dividendo y el polinomio divisor.
entonces
a (x) = b (x) . q (x) + r (x)
ü El resto de una división puede ser el polinomio nulo, o
donde en caso contrario, el grado del resto es menor que el grado del
r (x) = 0 ó grado r (x) < grado b(x) divisor.
Página 101



1) Dados los siguientes polinomios
a (x) = - 3 x + 5 x 3 + 3 x 2 b (x) = 4 x 2 - 6 x - 7
c (x) = 2 x 2 + 3 d (x) = 3 – x + x 2

Efectuar las siguientes operaciones

a) ( a (x) + b (x) ) . c(x) b) b (x) – d (x) . c(x)
b) a (x) – ( c (x) )2

2) Hallar el cociente y resto de la división entre a (x) y b (x)

a) a (x) = 2 x 7 + 3 x 6 + 18 x 3 + 29 x + 10
b (x) = 2 x 2 + 3 x

b) a (x) = 2 x 5 + 8 x 3 - x 6
b (x) = x 2 + 2 x

3) ¿Es cierto que existe un polinomio k (x) tal que

6 x 6 - 9 x 4 + 10 x 2 - 15 = k (x) (2 x 2 - 3) ?.

6.1.2. Raíces de un polinomio. Ecuaciones polinómicas

Raíz de un Un número a es una raíz de un polinomio p (x) si el
polinomio se anula para ese valor. Es decir, x = a es raíz
polinomio del polinomio p (x) sí y sólo sí p (a) = 0.

Ejemplo:

p (1) = 15 - 13 = 0 x = 1 es raíz de p (x) = x 5 - x 3 .

p (-1) = (-1)5 - (-1)3 = 0 También x = -1 es raíz de p (x).

p (2) = 25 - 23 = 24 ≠ 0 Pero x = 2 no es raíz de p (x).

Página 102

Ecuaci ón Denominamos ecuación polinómica a toda ecuación de la
forma p (x) = 0 ,
polinómica donde p (x) es un polinomio.

Resolver una ecuación polinómica es hallar los valores de x que anulan el polinomio; es decir,
equivale a encontrar sus raíces.

6.1.3. Divisibilidad de Polinomios

Si al realizar la división entera entre los polinomios a (x) y
b (x) el resto es nulo, decimos que a (x) es divisible por
Divisibilidad b (x) , o que b (x) divide a a (x) . En este caso, podemos
expresar al polinomio a (x) como
a (x) = b (x) . q(x).

Ejemplo:
Aplicando el algoritmo de la división obtenemos que:

20 x 5 + 7 x 4 - 3 x 3 - 24 x 2 + 6 x = (5 x 3 + 3 x 2 - 6) . (4 x 2 - x)

luego 4 x 2 - x divide a 20 x 5 + 7 x 4 - 3 x 3 - 24 x 2 + 6 x
y 5 x 3 + 3 x 2 - 6 divide a 20 x 5 + 7 x 4 - 3 x 3 - 24 x 2 + 6 x

Aplicando el algoritmo de Euclides para dividir un polinomio
El valor numérico de un polinomio es p (x) por (x - a) obtenemos
el valor que se obtiene al reemplazar
la variable por un número y efectuar p (x) = (x - a) . q (x) + r (x)
las operaciones indicadas. donde r (x) = 0 ó grado r (x) < grado (x - a) = 1, es decir
r (x) = r es un polinomio constante.

Entonces podemos expresar
El valor numérico del polinomio
p (x) = (x - a) . q (x) + r
p (x) = 5x4 – 4x2 + 6x - 1
para x = 2 es Si a es raíz del polinomio p (x) , entonces
4 2
p (2) = 5.(2) – 4.(2) + 6.2 – 1 = 51 0 = p (a) = (a - a) . q (a) + r = r
es decir, r = 0.

Luego, si a es raíz del polinomio p (x), entonces el resto
Esta afirmación es un caso particular
del Teorema del Resto. de la división entre p (x) y (x - a) es 0; es decir, (x - a)
divide a p (x).

Página 103


6.1.4. Regla de Ruffini

Cuando tenemos que dividir un polinomio p (x) por uno de la forma ( - a), es conveniente utilizar
x
la llamada regla de Ruffini. Este algoritmo permite prescindir de la notación de variable x, aunque
la ubicación de los coeficientes de cada polinomio delata el monomio al cual pertenece.

A continuación se muestra mediante un ejemplo cómo se aplica la Regla de Ruffini.
Observa con atención ambas divisiones y trata de explicar con tus propias palabras comparando
cada paso del procedimiento en la división convencional y en la regla de Ruffini

División convencional Regla de Ruffini

3x 3 + 7x 2 + 6x -1 x+2 3 7 6 -1
+ - 3x 3 - 6x 2 2
3x + x + 4 -2 -6 -2 -8
x 2 + 6x -1 3 1 4 -9
+ - x 2 - 2x
4x -1 Cociente: q(x) = 3x 2 + x + 4
+ - 4x -8 Resto: r(x) = - 9
-9

Cociente: q(x) = 3x 2 + x + 4
Resto: r(x) = - 9

ü Para aplicar la regla de Ruffini es indispensable ordenar y
completar el polinomio dividendo.
Atención ü El grado del polinomio cociente es una unidad menor que el
grado del polinomio dividendo.

4)
a) Hallar el resto de la división de los polinomios a (x) = x 3 + 2 x + 12 y b (x) = x - 2
b) Idem al anterior pero ahora tomando como divisor c (x) = x + 2
c) Indicar si a (x) es divisible por b (x) o por c (x) .

5) Hallar el cociente y el resto de la división para los siguientes pares de polinomios.
a) a (x) = x 6 + 4 x 5 - 7 x 3 - 4 , b (x) = x + 1
b) a (x) = - 2 x 5 - 4 x 4 - x 3 - 8 , b (x) = x + 2

Página 104


6.1.5. Factorización de Polinomios

Analicemos una de las consecuencias del siguiente hecho:

Si a es raíz de un polinomio p (x) entonces
p (x) = (x - a) . q (x).
Ejemplo:
Consideremos p (x) = x 3 - x 2 - 14 x + 24.
Anteriormente comprobamos que
1 y -1 son raíces del polinomio Como p (2) = 8 - 4 - 28 + 24 = 0 entonces 2 es una raíz de
p (x) = x5 - x3 , p (x) y p (x) = (x - 2) q (x) .
entonces podemos escribir
p (x) = x3 (x - 1)(x + 1). Si aplicamos la regla de Ruffini para calcular q (x)
obtenemos:
Por lo tanto las 5 raíces son q (x) = x 2 + x - 12
x1 = 1, x2 = -1, x3 = 0, cuyas raíces podemos calcular como hemos visto
x4 = 0, x5 = 0. anteriormente, y son x 1 = 3, x 2 = - 4. Luego, podemos
expresar a q (x) como sigue
q (x) = (x - 3) (x + 4).
Luego
p (x) = (x - 2) (x - 3) (x + 4).

Los casos antes analizados nos muestran la conveniencia de
expresar un polinomio mediante productos de polinomios de
Factorización menor grado. Este proceso se denomina factorización.
Este procedimiento es útil para hallar las raíces de un
polinomio, ya que es más sencillo encontrar las raíces de cada
factor que las raíces del polinomio original.

A veces ocurre que en un polinomio p (x) la variable x
Factor Común aparece en todos los términos, en estos casos resulta
conveniente extraer factor común.

Ejemplo:
Observemos que...
el procedimiento consiste en: p (x) = 7 x 5 + 5 x 4 + x 3 = x 3 (7 x 2 + 5 x + 1)
w extraer la variable x de cada
término elevada a la menor de sus
q (x) = 2 x 4 - 6 x 3 + 4 x 2 = 2 x 2 (x 2 - 3 x + 2)
potencias
w extraer un número que es factor
de todos los coeficientes. r (x) = - 4 x 7 - 8 x 3 + 4 x 2 + 16 x = 4 x (- x 6 - 2 x 2 + x + 4)

Siempre podemos controlar que el producto que obtuvimos es
Atención correcto aplicando la propiedad distributiva.

Página 105


Recordemos que una diferencia de cuadrados puede escribirse
como producto.

D iferencia de a2 - b2 = (a - b) (a + b)
Cuadrados

Ejemplo:
Observemos que...
p (x) = x 2 - 25 = (x - 5) (x + 5)
todo número positivo es
el cuadrado de su propia raíz q (x) = x 4 - 9 x 2 = (x 2 )2 - (3 x)2 = (x 2 - 3 x) (x 2 + 3 x)
cuadrada.
r (x) = x 2 - 6 = x 2 - ( 6 )2 = (x - 6 ) (x + 6 )

Algunos polinomios presentan una estructura que nos
permite formar grupos de igual cantidad de términos y
sacar factor común en cada uno de esos grupos.
Factor Común Una vez hecho esto, aparece un nuevo factor común en
por Grupos todos los grupos.

El término técnico de este procedimiento es extracción de
factor común por grupos.

Ejemplos:

p (x) = 7 x 5 - 5 x 4 + 14 x - 10 = (7 x 5 - 5 x 4 ) + (14 x - 10) =
x 4 (7 x - 5) + 2 (7 x - 5) = (x 4 + 2) (7 x - 5)

q (x) = x 7 + 3 x 3 + 3 x 8 + x 2 - 2 x 5 – 2 =
(3 x 8 + x 7 - 2 x 5 ) + (3 x 3 + x 2 - 2) =
x 5 (3 x 3 + x 2 - 2) + (3 x 3 + x 2 - 2) =
(x 5 + 1) (3 x 3 + x 2 - 2)

Analicemos ahora el resultado de elevar un binomio al cuadrado.

Al desarrollar (x + 3)2 obtenemos tres términos:
(x + 3)2 = x 2 + 6 x + 9
(x + 3)2 = (x + 3) (x + 3) w en uno aparece el cuadrado de x,
w en otro aparece 9 que es el cuadrado de 3,
w y en otro aparece 6 x que es el doble del producto
entre x y 3.

Página 106


Al desarrollar (x - 3)2 , obtenemos una expresión similar
2
(x - 3) = (x - 3) (x - 3) donde la única diferencia está en el término del doble producto,
que aparece restando.
(x - 3)2 = x 2 - 6 x + 9
A las expresiones en el miembro derecho se las denomina
Trinomio Cuadrado Perfecto.

Generalizando estos resultados para el cuadrado de cualquier
binomio:

Trinomio Cuad rado a2 + 2 a b + b2 = (a + b)2

Perfe c to a2 - 2 a b + b2 = (a - b)2

Ejemplo:
p (x) = x 2 - 10 x + 25 = x 2 - 2 . 5 x + 52 = (x - 5)2

q (x) = 9 x 4 + 36 x 2 + 36 = (3 x 2 )2 + 2 . 3 x 2 . 6 + 62
= (3 x 2 + 6)2
2 2
1 1  1
2 2
r (x) = x – x + 0,25 = x – 2 . x+  = x - 
2 2  2

Ahora retomemos el ejemplo que presentamos al comienzo de la Unidad...

En una plaza de nuestra ciudad se desea construir una fuente ectangular de 12 m. De
perímetro, de modo que sus dimensiones sean números enteros, pero se ha puesto además la
condición que el producto de una de las dimensiones por el cuadrado de la otra sea de 16 m. ¿Qué
dimensiones deberá tener la fuente?.

Para traducir al lenguaje simbólico 2b + 2h = 12
llamamos b y h a las dimensiones de →
la fuente rectangular b . h2 = 16

b+h=6
Simplificando la primer ecuación →
b=6–h

(6 – h) h2 = 16
Reemplazamos en la segunda
ecuación
→ 6 h2 – h3 = 16

p (h) = h3 – 6 h2 + 16 = 0

Página 107


Verificando con los primeros enteros p (1) = 13 – 6.12 + 16 = 11
positivos obtenemos que 2 es una raíz →
del polinomio p (2) = 23 – 6.22 + 16 = 2

Usando la Regla de Ruffini → p (h) = (h – 2 ) (h2 – 4h – 8)

Calculando las raíces del polinomio de
segundo grado se obtienen todas las → h1 = 2, h2 = 2 + 3 , h3 = 2 − 3
raíces.

Se descartan las raíces h2 y h3 porque h=2
→
sólo se buscan dimensiones enteras. b=4


6) Expresar los siguientes polinomios como productos:
a (x) = 3 x 3 - 12 x b (x) = 6 x 6 - 54 x 2
c (x) = x 3 - x 2 + x - 1 d (x) = 3 x 3 - 6 x 2 - 3 x + 6
e (x) = 4 x 2 + 4 x + 1 f (x) = 3 x 6 - 12 x 5 + 9 x 4 - 3 x 2 + 12 x - 9
g (x) = 2 x 5 - 32 x h (x) = 25 x 6 + 20 x 3 + 4

7) Hallar todas las raíces reales y complejas de los polinomios del ejercicio anterior.

6.2. Expresiones Racionales

Un peatón recorre 14 kilómetros. en 4 horas. Los primeros 8 kilómetros los recorre a una
velocidad superior en 1 km./h. a la que emplea en los siguientes 6 km. ¿Qué velocidad llevó en
cada tramo?

Si llamamos v a la velocidad con la que el peatón recorre el primer tramo, podemos expresar la
velocidad con la que recorre el segundo tramo como v – 1.

e
Observa el siguiente cuadro recordando que v = , donde “v” representa la velocidad, “e” expresa
t
el espacio recorrido, y la variable “t” representa el tiempo empleado en recorrer esa distancia.

Distancia Velocidad Tiempo
8
Primer tramo 8 km. v
v
6
Segundo tramo 6 km. v–1
v −1

Página 108


8 6
El tiempo total invertido es + = 4.
v v −1

¿Cómo se resuelven este tipo de ecuaciones?

Para poder resolver el problema necesitaremos ahora trabajar con Expresiones y Ecuaciones
Racionales:

Así como llamamos números racionales a los números que
a
se pueden expresar de la forma con a , b ∈ Z, y b ≠ 0,
Expresiones b
llamamos expresiones racionales a las expre siones de la
Racionales p( x)
forma donde p (x) y q (x) son polinomios y q (x)
q( x)
no es el polinomio nulo.

Ejemplo:
3
a) donde p (x) = 3, y q (x) = x .
x

Recordemos que... - 3 x2 + 5 x - 1
b)
p (x) recibe el nombre de numerador x3 + 6 x 2 + 2
y q (x) el de denominador. donde p (x) = - 3 x 2 + 5 x - 1, y q (x) = x 3 + 6 x 2 + 2.

c) x 3 + 3 x 2 - x – 3
donde p (x) = x 3 + 3 x 2 - x - 3, y q (x) = 1.

Al trabajar con expresiones racionales es conveniente tener

Expresiones una expresión equivalente más simple. Es posible

Racionales simplificarlas cuando existen factores comunes al

Irreducibles numerador y al denominador, en caso contrario, la
expresión racional recibe el nombre de irreducible.

Una herramienta útil para simplificar expresiones racionales es
la factorización de polinomios, que ya hemos estudiado en esta
unidad.

Ejemplo:

Vamos a simplificar las siguientes expresiones racionales para
que resulten irreducibles.
Página 109


x +1 x +1 1
p (x) = = =
x +x
2 x ( x + 1) x

x4 + x 2 x 2 ( x 2 + 1) x2
Observemos con atención las q (x) = = =
factorizaciones que se han realizado x4 - 1 ( x 2 - 1)( x 2 + 1) x2 - 1
en el numerador y el denominador de
cada expresión racional. -x +2 -x+2 (- 1) ( x - 2)
r (x) = = =
x -4 x3 2
x ( x - 4) x ( x - 2) ( x + 2)
-1
=
x ( x + 2)

6.2.1. Operaciones con Expresiones Racionales

6.2.1.1. Suma y resta

EXPRESIONES DE IGUAL DENOMINADOR

p ( x) q ( x)
Para sumar o restar dos expresiones racionales y
m( x ) m( x )
de igual denominador, operamos como lo hacíamos con los
Observemos la similitud con números racionales :
las sumas y restas de fracciones.

p ( x ) q( x) p( x) ± q( x)
± =
m( x ) m( x ) m( x )

Ejemplo:
Consideremos las siguientes expresiones algebraicas:
- 2 x2 x2 - 3 x
y
x2 - 9 x2 - 9
Su suma es:

- 2 x2 x2 - 3 x - 2 x2 + x 2 - 3 x - x2 - 3 x
+ = =
x2 - 9 x2 - 9 x2 - 9 x2 - 9
- x ( x + 3) -x
= =
( x - 3) ( x + 3) ( x - 3)
Y su resta es:
- 2 x2 x2 - 3 x - 2 x2 - ( x 2 - 3 x ) - 3 x2 + 3 x
- = =
x2 - 9 x2 - 9 x2 - 9 x2 - 9

Página 110


EXPRESIONES DE DISTINTO DENOMINADOR

Dos fracciones se dicen equivalentes
si una de ellas se ha obtenido Recordemos que para sumar o restar números racionales de
simplificando la otra o bien si ambas, distinto denominador, debemos sumar o restar fracciones
al simplificarse dan lugar a la misma equivalentes que tengan el mismo denominador.
fracción.

Ejemplo:
Lo más conveniente es tomar como denominador común el
11 7 11 7 mínimo común múltiplo (m.c.m.) de los dos denominadores.
+ = +
12 10 2 2.5
2 .3
En la Unidad 1 vimos que una forma de hallar el m.c.m. es
5 . 11 + 2 . 3 . 7 factorizar ambos denominadores y luego multiplicar los
=
2 factores comunes y no comunes con el máximo exponente con
2 .3 . 5
55 + 42 97 el que aparecen en cada factorización.
= =
60 60

Para sumar o restar expresiones racionales procedemos en
forma análoga.

Ejemplo:
2 x
Calculemos +
3x - 6 x+3
2
x +3x-4
2

En primer lugar, hallamos el común
denominador de ambas expresiones,
para lo que debemos factorizar cada 3 x 2 - 6 x + 3 = 3 ( x 2 - 2 x + 1) = 3 ( x - 1)2
uno de los denominadores.

Observemos que... Usando la regla de Ruffini para dividir x 2 + 3 x - 4 por x - 1,
1 es raíz del obtenemos
polinomio x2 + 3 x - 4 .
1 3 -4
Observemos que...
1 1 4
también es posible obtener 1 4 0
las raíces de x2 + 3 x - 4 ,
resolviendo la ecuación
x2 + 3 x - 4 = 0.
Entonces, x 2 + 3 x - 4 = (x - 1) (x + 4).

Así el común denominador será 3 (x - 1)2 (x + 4)
Luego,

2 x 2 x
+ = +
3x - 6 x+3
2
x +3x-4
2 2
3 ( x - 1) ( x - 1) ( x + 4)

2 ( x + 4) + x . 3 ( x - 1) 3 x2 - x + 8
= =
3 ( x - 1) 2 ( x + 4) 3 ( x - 1) 2 ( x + 4)

Página 111


6.2.1.2. Producto

a( x) c( x)
Para multiplicar dos expresiones racionales y ,
Para multiplicar dos expresiones
b( x ) d ( x)
racionales procedemos en forma operamos como sigue:
similar a como lo hacemos con los
números racionales.
a( x) c ( x ) a( x).c( x)
⋅ =
b( x ) d ( x ) b ( x ).d ( x)

Ejemplo:
Vamos a resolver y expresar como fracción irreducible la
expresión:
 - x 2 + 4 x   5 x + 15 
  .
 x2 - 9   x3 - 4 x2 
   
 - x2 + 4 x  (- x 2 + 4 x ) . (5 x + 15)
  .  5 x + 15  =
 3 
 x2 - 9   x - 4 x2  ( x 2 - 9) . ( x 3 - 4 x 2 )
 
- x ( x - 4) . 5 ( x + 3) -5
= =
( x - 3) . ( x + 3) . x ( x - 4)
2 x . ( x - 3)

6.2.1.3. División

a( x)
Llamamos inversa de una expresión racional a la
Recordemos cuándo b( x )
un número racional tiene
inverso multiplicativo. b( x )
expresión si a(x) no es el polinomio nulo.
a( x)

a( x) c( x)
Para dividir dos expresiones racionalesy
b( x ) d ( x)
multiplicamos la primera por la inversa de la segunda. Es decir,

a( x) c ( x ) a( x) d ( x) a ( x ).d ( x )
⋅ = ⋅ =
b( x ) d ( x ) b( x) c ( x ) b( x).c( x)

Ejemplo:
Calculemos
5 x + 10
3x+6
:
x -1 2 x +1
expresando el resultado como fracción irreducible.

Página 112


5 x + 10 3x+6 5 x + 10 x +1
: = .
2
x -1 x +1 x -12 3x+6
(5 x + 10) ( x + 1) 5 ( x + 2) ( x + 1)
= =
( x 2 - 1) (3 x + 6) ( x - 1)( x + 1) 3 ( x + 2)
5
=
3 ( x - 1)


8) Efectuar las siguientes operaciones:

2 x +1 x+5 x+2 21
a) + b) + -
x2 - 9 x2 + 6 x + 9 x 2 - 25 2 x2 - 6 x - 20 2 x+ 2

 x-2 x + 2  x2 - 9 x -2 x+2 x2 - 9
c)  2 + 2 . d) + .
 x -4 x - x - 6  4 x - 10 x2 - 4 x2 - x - 6 4 x - 10
2x+6 x+3 x x-7
e) . + :
2
x -9 x -7 x+7 5

6.2.2. Raíces de una expresión racional. Ecuaciones racionales

Un número a se dice que es una raíz de una expresión
Raíz de una racional
p( x)
Expresión q( x)
si p (a) = 0 y q (a) ≠ 0.
R a cional Es decir, son los ceros del polinomio numerador que no
anulan al polinomio denominador.

Ejemplo:
2x
a) x = 0 es raíz de la expresión racional p (x) = , puesto
x-2
que, 0 es raíz del numerador y no anula al denominador.

( x - 5) 2
b) x = 5 no es raíz de la expresión racional q (x) =
x-5
aunque anule al numerador, ya que también anula al
denominador.

Página 113


Una ecuación racional es una ecuación de la forma
p( x)
=0
Ecuación q( x)
donde p (x) y q (x) son polinomios y q (x) no es el
Racional polinomio nulo.
Resolver una ecuación racional equivale a encontrar las
raíces de la expresión racional asociada.

Observemos que...

si simplificamos la expresión racional
( x - 5) 2
q (x) =
x-5
Atención obtenemos otra expresión racional equivalente
r (x) = x - 5;
( x - 5) 2
sin embargo, las ecuaciones = 0 y x - 5 = 0 no
x-5
tienen las mismas raíces.

Ejemplo:

Resolvamos las siguientes ecuaciones racionales:

x2 - 4
a) = 0
5 x3
x1 = 2
2
x -4
3
= 0 , luego x 2 - 4 = 0
5x
x2 = - 2

- x2 + 4
b) = 0
x3 - 8
x1 = 2
-x +42
Comparemos con el caso anterior. 3
= 0 , entonces - x 2 + 4 = 0
x -8
x2 = - 2

Pero x 1 = 2 es raíz de x 3 - 8, luego la única solución de
la ecuación es x = - 2.

Página 114


2 x +1 2 x+ 2
c) =
x +3 x −1

Para resolver esta ecuación podemos proceder de diferentes
modos, aquí mostraremos dos de ellos.

Para resolver ecuaciones de este tipo hay que tener la
precaución de descartar aquellos valores que anulen los
denominadores de las expresiones racionales involucradas.
En nuestro caso, x = -3 y x = 1

Primera forma:
2 x +1 2 x+2
=
x +3 x -1

2 x +1 2 x+2
- = 0
En este primer intento, trabajamos x +3 x -1
directamente con las expresiones (2 x + 1) ( x - 1) - (2 x + 2) ( x + 3)
algebraicas. = 0
( x + 3) ( x - 1)
-9 x-7
= 0
( x + 3) ( x - 1)
7
-9x-7 = 0 x= -
9

Segunda forma:
Aquí transformamos el problema para 2 x +1 2 x+2
=
hallar las raíces de un polinomio de x +3 x -1
modo que coincidan con las de la
expresión racional. (2 x + 1) (x - 1) = (2 x + 2) (x + 3)
2 x - 2 x + x – 1 = 2 x2 + 6 x + 2 x + 6
2

Observemos las condiciones -x–1 = 8x+6
x ≠ -3 y x ≠ 1 - 7 = 9x
que deben tenerse en cuenta al hallar
la solución. 7
x = -
9

Página 115


x -1 1
d) =
x2 - 1 x
Resolvemos la ecuación como en la
segunda forma del ejemplo anterior. x -1 1
2
= , entonces x ≠ 0 y x 2 - 1 ≠ 0, es decir, x ≠ 1
x -1 x
y x ≠ -1
x (x - 1) = x 2 - 1

Debemos recordar siempre x =1
la importancia de verificar
todos los resultados. Luego, la ecuación no tiene solución dado que operando
obtuvimos que debe ser x = 1, pero x = 1 anula el
denominador de la expresión fraccionaria de la izquierda.

Retomemos el ejemplo que presentamos al comienzo de la Sección 6.2

Un peatón recorre 14 kilómetros. en 4 horas. Los primeros 8 kilómetros los recorre a una
velocidad superior en 1 km/h. a la que emplea en los siguientes 6 km. ¿Qué velocidad llevó en cada
tramo?

8 6
Al plantear el problema habíamos obtenido la ecuación + = 4 que ahora estamos en
v v −1
condiciones de resolver.

8(v − 1) + 6v
Sumamos las dos expresiones racionales usando un
→ =4
denominador común v (v − 1)

8(v - 1) + 6v = 4v(v – 1)

8v – 8 + 6v = 4v 2 – 4v

4v 2 – 18v + 8 = 0

2v 2 – 9v + 4 = 0

Resolvemos la ecuación de 2º grado obteniendo las 1
raíces
→ v1 = 4 v2 =
2

Observemos que...
1
la solución v 2 = no es válida ya que
2
1 1
en ese caso la velocidad en los últimos 6 km. sería negativa pues –1=– .
2 2

Por lo tanto la velocidad del peatón en el primer tramo es de 4 km/h mientras que en el segundo
tramo es de 3 km/h

Página 116



9) El polinomio p (x) = x 4 - a x 3 + b x 2 tiene como raíces x = 3 y x = - 1. Hallar los valores de
a y b.

10) Hallar todas las raíces de los siguientes polinomios sabiendo que r es una de ellas:

a) a (x) = x 4 - x 3 + 3 x 2 - 3 x , r=1
b) b (x) = x 3 - 3 x 2 - 2 x - 8 , r=4
c) c (x) = 2 x 3 + 6 x 2 + 2 x + 6 , r=-3
1
d) d (x) = 3 x 4 + 5 x 3 - 5 x 2 - 5 x + 2, r=
3
1
e) e (x) = 6 x 3 + 5 x 2 + 3 x + 1 , r=-
2

11) Sabiendo que el polinomio p (x) puede expresarse como p (x) = a (x) . b (x), que a (x)
representa una función lineal de pendiente 2 y raíz x = -3 , y que b (x) representa una función
cuadrática de coeficiente principal 1 que corta al eje x en x = 2 y x = 4 , hallar las raíces de p
(x).

12) El polinomio p (x) = 2 x 3 - 18 x 2 + x - 9 es divisible por q (x) = 2 x 2 + 1 . Hallar la única raíz
real de p (x).

13) Encontrar los valores de a tales que al dividir x 2 + 5 x - 2 por x - a el resto sea igual a -8.

14) Expresar los siguientes polinomios como productos y hallar sus raíces reales.
a) a (x) = x 4 – x b) b (x) = 2 x 7 + 3 x 6 - 5 x 5
c) c (x) = 5 x 3 - 10 x 2 + 5 x – 10 d) d (x) = x 2 - 6 x + 9
e) e (x) = - 2 x 2 + 162 f) f (x) = x 4 – 81
g) g (x) = 4 x 7 + 4 x h) h (x) = 3 x 2 – 15
i) i (x) = x 4 + 12 x 2 + 36 j) j (x) = 2 x 3 - 48 x 2 + 288 x

15) Se localizó un globo meteorológico a cierta altura. A partir de ese momento, su altura sobre el
nivel del mar se puede describir, en forma aproximada, por la fórmula
1 3
h (x) = 8 + (x - 12 x 2 + 47 x - 60),
16
donde x es medido en días y h en miles de metros.
c) ¿A qué altura estaba el globo cuando fue localizado?.
d) ¿Alcanzó otra vez esa altura?.
e) Se sabe que al tercer día alcanzó una altura de 8000 metros. ¿Llegó en algún otro momento a
esa misma altura?.

Página 117


16) El desplazamiento lateral de una barra de choques, t segundos después del momento en que un
vehículo la golpea, está dado por f (t) = k t (t - 3)2
a) Hallar el valor de k sabiendo que dos segundos después del impacto, el desplazamiento lateral
es de 40 cm.
b) Para ese valor de k, hallar los ceros de f (t).

17) El servicio meteorológico utilizó como modelo para la variación de la temperatura (en grados
centígrados) durante cierto día, la siguiente fórmula p (t) = 0,04 t (t - 12) (t - 24) donde t está
medido en horas, y t = 0 corresponde a las 6 am. ¿A qué hora la temperatura fue de 0º ?.

18) El crecimiento de dos poblaciones A y B responden a las siguientes fórmulas:
5
pA (t) = t + 30 ; pB (t) = t 3 - 12 t 2 + 44 t - 8
2
donde t es el tiempo de conteo expresado en semanas. Si ambas poblaciones coinciden en la cuarta
semana, ¿tienen en algún otro momento el mismo número de individuos?.

19) Resolver las siguientes ecuaciones:

2 x -1 - 2- 7 x 1- x
a) = 7 b) +1 =
3x+2 4 5
- 2- 4 x x -1 2 x +1 x+3
c) = +5 d) =1+
3 4 x +3 x -1
x+4 x-4 (2 x )2 x2 x2 - 16
e) - = 2 f) . 3 = 0
x-4 x+4 x - 16 x+2 x + 4 x2
x 3 x3 + 3 x2 + x - 2 x+5
g) + 2 = h) - = 0
x −1 x −1 x3 - 1 2
x -4 x -2
x + 10 2 ( x 2 - 4) x2 + 2 x + 4 x3 - 8
i) + 2 = 0 j) : = 1
x-4 x +4 x+4 ( x + 2) 2 x2 - 4

Página 118

Exponenciales y Logarítmos

7. EXPONENCIALES Y LOGARITMOS

En esta Unidad estudiaremos y analizaremos las funciones y ecuaciones exponenciales y
logarítmicas. Comenzaremos con las funciones exponenciales para luego continuar con
ecuaciones exponenciales. La necesidad de resolver ecuaciones exponenciales trae consigo hallar la
función inversa de la función exponencial y es donde toma sentido la función logaritmo.
Repasaremos algunas propiedades de los logaritmos para centrarnos en resolver ecuaciones
logarítmicas y situaciones problemáticas donde se encuentren involucradas ecuaciones tanto
exponenciales como logarítmicas.

Comencemos con la siguiente situación.

La esperanza de vida, aún en los países poco desarrollados, creció después de la Segunda
Guerra Mundial aunque a distinto ritmo. Este crecimiento, si bien al principio trajo mayor
actividad y progreso, a la larga ha producido graves problemas: falta de viviendas, escuelas,
puestos de trabajo.... El aumento de la población por la prolongación de la vida se ha visto
compensado en parte por el descenso de la natalidad en los países industrializados. De todos
modos, ha aparecido el problema del envejecimiento de la población (es decir el aumento de la
edad promedio).
Analizaremos ahora algún modelo matemático que trata de describir la evolución de una
población.
En Europa occidental, durante los siglos XVII y XVIII, comenzó a descender el índice de
mortalidad, y el incremento poblacional en muchos países se situó entre 0.5 y 1% anual. Para
evitar complicaciones con los cálculos consideraremos que el crecimiento poblacional fue del 1%
anual durante los primeros 20 años de este siglo.
Supongamos que la cantidad de población europea al comienzo del siglo XVII (año 1.600 )
sea 10 (en cientos de millones). La función P(t) medirá la cantidad de población en el tiempo t.
Como comenzaremos nuestro estudio a partir del año 1.600 este será el tiempo inicial, es decir,
t = 0.

Población ( en cientos de
Año Tiempo t (años)
millones )
1600 t=0 P (0) = 10
P (1) = 10 + 1% de 10
1
1601 t=1 = 10 + .10
100
= 10,1
P (2) = 10,1 + 1% de 10,1
1602 t=2 = 10,1 + 0,01. 10,1
= 10,201
1603 t=3 P (3) = ...
... ... ...

¿Podemos hallar una fórmula que nos permita calcular la población para cualquier valor de t ?
Para ello analizaremos lo que hemos hecho hasta el momento en cada paso:

Página 119


en t = 0, P (0) = 10
en t = 1, P (1) = 10 + 0,01.10 = 10 ( 1 + 0,01) = 10 .1,01 = P (0) . 1,01

en t = 2, P (2) = P (1) + 0,01. P (1) = 10. 1,01 + 0,01. 10. 1,01 =

10. 1,01 ( 1 + 0,01) = 10. 1,01. 1,01 = 10 (1.01)2

¿Podrás realizar el caso t = 3 ? (Ten en cuenta los pasos hechos en los casos t = 1 y t = 2)

En general, la población después de t períodos será:

P (t ) = 10 (1.01)t

donde 10 es la población inicial P (0). Verifiquemos que la fórmula obtenida nos da, por ejemplo
para t = 2, P (2) = 10 . 1,012 = 10,201 que coincide con el valor de la tabla. Si queremos estimar
la población en el año 1610, será P (10) = 10. 1,0110 = 11046.

Observemos que...

en la fórmula P (t ) = 10 (1,01) t, el factor 10 es la población inicial y la variable t
figura en el exponente. A este tipo de funciones se las llama exponenciales.

7.1 Función Exponencial

Desde “ejemplos” hasta la aparición de la definición, lo pondría como texto habitual, dado que son
comentarios no vinculados a la enunciación de definiciones, leyes, etc. Esto, a los efectos de ver la
coherencia gráfica.

Ejemplos: Hasta ahora hemos estudiado potencias pertenecientes a
distintos campos numéricos:
• potencias de exponente natural
an = 1.4243
a a . a .... a n ∈ N,
n veces

• potencias de exponente nulo
a0 = 1 ( a ≠ 0 ),

3 • potencias de exponente entero negativo
1
• 4-3 =   1
4 a-n = n n ∈ N , ( a ≠ 0 ),
a
5
• potencias de exponente fraccionario
• 2 2
= 2 5

m∈Z , n∈N
n
am/n = am

y conocemos sus propiedades básicas:
an . am = a n + m an : am = an-m
• 52 .54 =56 (32 )3 = 36
(a n ) m = a n.m n , m ∈ Q.

Página 120

Las propiedades antes mencionadas se También es posible dar sentido a expresiones tales como 2π ,
extienden para el caso en que n y m 3 2 y estimar su valor a partir de una aproximación del
son números reales cualesquiera
exponente irracional.

Con estos elementos, podemos definir la función exponencial .

Función Dado a > 0 , llamamos función exponencial de base a a la
exponencial función f : R → R definida por f (x) = ax .

El comportamiento de la función exponencial es muy distinto
según sea a > 1 , a < 1 , a = 1.

Analicemos la gráfica de la función exponencial de acuerdo al
Ejemplo: valor de a.
a) Si a > 1 , por ejemplo a = 2 , la función y = 2x es
creciente .
Observemos que...
8
cualquiera sea el valor de a > 0, la
gráfica de la función exponencial debe
pasar por el punto (0,1), ya que es el 6
valor de la ordenada al origen; es decir
el valor que toma la función para x =
0. Por otro lado es claro que a medida 4

que el valor de x aumenta, el valor de
a x también, y si el valor de x decrece 2
(con valores negativos) entonces el
valor de a x tiende a 0.
-3 -2 -1 1 2 3

x
1
b) Si 0 < a < 1, por ejemplo y =   la función es
2
decreciente.
Observemos que... 8

nuevamente cualquiera sea el valor de
0< a < 1, la gráfica de la función pasa 6
por el punto (0,1).

4
Por otro lado, a medida que el valor de
x aumenta, el valor de a x decrece.
2

-3 -2 -1 1 2 3

La siguiente tabla de valores nos permite hacer un estudio comparativo de las funciones
x
x 1
y=2 e y=   .
2

Página 121

x
x 1 1
x 2   = x
2 2
0 1 1
1
1 2
2
1
2 4
4
1
3 8
8
1
-1 2-1 = 2
2
1
-2 4
4
1
-3 8
8
... ... ...

La gráfica de la función pasa por el c) y = 5-x
punto (0,1).
Si los valores de x son positivos,
entonces –x es negativo.
¿Cuál es la gráfica de esta función?
Si x > 0, entonces 5 –x es decreciente.
Si x < 0, se tiene –x positivo y a
medida que los valores de -x
aumentan, 5 –x decrece.

Para pensar....

¿Qué pasa cuando a = 1 ?

La función exponencial aparece con frecuencia en modelos matemáticos de diferentes procesos
evolutivos. Por ejemplo, las amebas son seres unicelulares que se reproducen dividiéndose en dos.
Supongamos que las condiciones de un cultivo son tales que las amebas se duplican
aproximadamente cada hora, y que inicialmente solo hay una ameba. Proponemos calcular el
número de amebas que habrá según pasan las horas:

Tiempo (hs) 1 2 3 4 5 6 7 ... x
Nro. de amebas 2 4 8 ... 2x

Página 122


Observemos que...
El número total al cabo de x horas será
si en el momento inicial hay k
amebas, y en la primer hora se y = 2x
duplican, entonces ahora hay 2k.
Si al comienzo del proceso había k amebas, el número total
En la segunda hora se vuelven a
duplicar, es decir, 2 (2k) = 22 k, sería:
en la tercer hora se repite la situación y = k 2x
y tenemos 2(22 k) = 23 k, etc.
Luego en general se tiene 2xk.

Observemos que...
en esta última igualdad, la variable independiente x aparece como exponente.

¿Qué pasa si ahora queremos hallar el tiempo x en el cual el número de amebas existente “ es
y”
conocida? En la sección siguiente estudiaremos este tipo de ecuaciones resultante.

7.1.1 Ecuaciones Exponenciales

Ecuación A una ecuación en la que la incógnita aparece en un
exponencial exponente se la llama ecuación exponencial.

a) 53-x = 125
Observemos que...
estamos teniendo en cuenta que si las Observemos que...
bases son las mismas en una igualdad,
entonces los exponentes deben ser 53-x = 53 , entonces 3 - x = 3,
iguales.
luego x = 0

2 1
b) 31− x =
27
2 1
31− x =
1
Recordemos que a -n = n 3
= 3-3
a 3

1 - x 2 = -3

x2 =4

Aquí utilizamos la definición de valor
x = 4 = 2 entonces
absoluto.
x 1 = 2, x2 = - 2

Página 123



1) Graficar:
x
x 1
a) y = 3 b) y =   c) y = 3. 2x
4
1 x
d) y = 3x – 2 e) y = - 3x f) y = - .3
2

2) Las sustancias radiactivas se desintegran emitiendo radiaciones y transformándose en otras
sustancias.
Sustancia radiactiva → radiaciones + otra sustancia.

Este proceso se realiza con el paso del tiempo y a un ritmo que varía según el tipo de sustancia.
La rapidez con que se desintegra una sustancia radiactiva se mide mediante su "período de
desintegración", que es el tiempo que tarda en desintegrarse la mitad de la masa inicial; algunos
ejemplos son:
uranio: 2500 millones de años
radio: 1620 años
actinio: 28 años
talio: 3 minutos

Si tenemos una masa inicial de un gramo y el período de desintegración es un año, averiguar qué
cantidad de sustancia radiactiva queda al cabo de:

Tiempo (años) 1 2 3 4 5 6 7 ...
grs. de sustancia ...

¿Cuál es la función que representa este proceso?. Graficar.

3) Encontrar el valor de x que verifica:

4 x+1
a) = 128 b) 23x = 0,53x+2
2 x+ 2

4) La población de una ciudad se triplica cada 50 años. En el tiempo t = 0, esta población es de
100.000 habitantes. Dar una fórmula para la población P(t) como función del tiempo t. ¿Cuál es
la población después de
a) 100 años? b) 150 años? c) 200 años?

5) Las bacterias en una solución se duplican cada 3 minutos. Si hay 104 bacterias al comienzo, dar
una fórmula para el número de bacterias en el tiempo t. ¿Cuántas bacterias hay después de
a) 3 minutos? b) 27 minutos? c) 1 hora?
Página 124


6) Un elemento radiactivo que decae en su crecimiento f (t) después de un tiempo t satisface la
fórmula f (t) = 60 . 2-0,02 t .

a) ¿Cuál es la cantidad de este elemento al inicio del proceso?
b) ¿Qué cantidad queda después de 500 años?
c) ¿Qué cantidad queda después de 1000 años?
d) ¿Qué cantidad queda después de 2000 años?.

7.2 Función Logarítmica - Logaritmos

Supongamos que un determinado bien material que hoy cuesta $150 se devalúa con el uso, cada
año, un 4% de su valor durante el año anterior. Por ejemplo:

En t = 0 (inicio) el valor en 0 V(0) = 150
En t = 1 (1 año después ) V(1) = 150 – 4% de 150 = 144
En t = 2 (2 años después) V(2) = 144 – 4% de 144 = 138,24
En t = 3 .....

En general, una fórmula que representa esta situación, puede obtenerse como en el ejemplo inicial
de la unidad:
V(t) = 150. (096)t

Supongamos ahora, que queremos saber luego de cuántos años de uso el valor del bien se redujo
aproximadamente a $92.

Para esto necesitamos resolver la siguiente ecuación

92 = 150 (0,96)t

¿Cómo despejar t de esta fórmula?
Observemos que...
el valor de t que estamos buscando es tal que
92
elevando el número 0,96 a ese valor da por resultado .
150

Ahora queremos resolver otros tipos de ecuaciones. Por ejemplo, resolvamos la ecuación
101 - x = 30. Veamos qué secuencia de pasos desarrollamos:

Descomponemos el número 30 en sus
101 - x = 3 . 2 . 5
factores primos.
Observemos que...
no podemos expresar al segundo miembro como potencia de
10, lo que nos permitiría resolver la ecuación de manera similar
a la sección anterior.

Página 125


Nuestra pregunta es: ¿cómo podemos resolver ecuaciones del
tipo 10x = k ?, ó en general ¿ ax = k ?.
Podemos hacerlo si conocemos la función inversa de y = 10x

Función A esta nueva función se la llama función logarítmica en

logarítmica base 10 y se denota y = log10 x ó también, y = log x .

10x = 100 entonces x = log10 100 = 2
Ahora, podemos decir que,
pues 102 = 100

Si 3 = log10 1000 entonces si 10x = k entonces x = log10 k
103 = 1000
es decir, el logaritmo de un número en base 10 es el exponente
10x = 1/100 entonces
al que hay que elevar la base 10 para obtener dicho número.
x = log 10 100-1 = -2 pues 10-2 = 100-1 .

Generalizando:

Sea a > 0 y a ≠ 1 , e y > 0, llamaremos logaritmo en base
Logaritmo a de y al único número x que verifica ax = y. Es decir,
en base a
loga y = x ⇔ ax = y .

Ejemplo: Interpretemos la definición de logaritmo:
a) 27 = 128
27 = 128 ⇔ log2 128 = 7

b) 81/3 = 2
1
81/3 = 2 ⇔ log8 2 =
3
Ejemplo: Calculemos
a) log2 16
log2 16 = y ⇔ 2y = 16 = 24 ⇔ y = 4

b) log2 32

log2 32 = y ⇔ 2y = 32 = 25 ⇔ y = 5

Página 126


Ejemplo: Ahora estamos en condiciones de resolver la siguiente
ecuación.

El símbolo ≅ significa 101-x = 30
aproximadamente.
Consulta el manual de tu calculadora 101-x = 30 ⇔ 1 - x = log10 30 ≅ 1,47712
para verificar que log 10 30 es
aproximadamente 1,47712. luego x ≅ - 0,47712

7.2.1 Propiedades de los Logaritmos

Recordemos algunas propiedades de los logaritmos:

1.- El logaritmo de un producto es igual a la suma de los
log 2 (4.8) = log 2 32 = 5
logaritmos de los factores
y log 2 4 + log 2 8 = 2 + 3 = 5
loga (x . y) = loga x + loga y

2.- El logaritmo de una potencia es igual al exponente por el
3 6
log 2 4 = log 2 64 = 6 pues 2 = 64 logaritmo de la base
y 3 log 2 4 = 3.2 = 6
loga (x y) = y . loga x

A partir de estas dos propiedades se pueden deducir las siguientes:

3.- El logaritmo de un cociente es igual al logaritmo del
numerador menos el logaritmo del denominador.
log 3 81/9 = log 3 9 = 2  x
loga   = loga x - loga y
 y
y por otro lado  
 x  1
log 3 81 - log 3 9 = 4 – 2 = 2. Observar que loga   = loga  x .  = log a x + log a y −1
 y  y
   
= log a x – log a y

4.- El logaritmo de una raíz es igual al logaritmo del radicando
1 1
log 3 4 = log = −1 dividido por el índice de la raíz.
81 3 3
1 y 1 log a x
pues 3-1 = 1/3. loga x = loga x =
3 y y
Por otro lado tenemos
1 1 1 y 1
log 3 = .( −4 ) = −1 . Observar que loga x = loga (x 1/y) = loga x
4 81 4 y

Página 127


Para pensar ...

El logaritmo de la base es siempre 1
loga a = 1 ¿por qué?

El logaritmo de 1 es 0 en cualquier base
loga 1 = 0 ¿por qué?

7.2.2 Cambio de base

Las calculadoras científicas permiten solamente obtener logaritmos decimales y neperianos.

Logaritmo Los logaritmos decimales son los logaritmos de base 10, y se
decimal acostumbra denotar log10 x = log x omitiendo la base.

Logaritmo El logaritmo neperiano o natural es el logaritmo cuya base es
neperiano el número e ≅ 2,7182 y se denota loge x = ln x .

Si queremos calcular logaritmos en otra base, es conveniente realizar cambios de base.

Si, por ejemplo, tuviéramos que calcular log2 3:

Llamamos x al logaritmo que x = log2 3
queremos calcular. Luego, aplicamo s
logaritmo decimal a ambos miembros
y obtenemos x log 2 = log 3,

log 3
finalmente, x = ≅ 1,5849 .
log 2

El procedimiento general es:
y = loga x
ay = x
y logb a = logb x
log b x
y =
log b a

Página 128



7) Calcular a) log2 481 b) log3 15
27 .

8) Hallar el valor de x.

a) log7 x = 2 b) loga x = 0
1
c) log8 x = d) log2 64 = x
3
e) log49 7 =x f) log8 4 2 = x
1
g) logx 10 = h) logx 0,000001 = -6
4

9) Mostrar con un ejemplo que en general,

a) log a (x + y) ≠ loga x + loga y b) log a (x - y) ≠ loga x - loga y.

10) Resolver aplicando la definición de logaritmo.

1 1
a) log5 25 + log2 b) log 1000 - log1/2 1
4 3
3
2
c) log 7 49 - log2 16 d) log2 2 + log3 34 - log 0,001
1
e) log3 27 + log1/2 4 - 2 log1/3
9

11) Sabiendo que log2 5 ≅ 2,3 calcular, aplicando las propiedades del logaritmo.

a) log2 10 b) log2 2,5 c) log2 5 d) log2 25.

12) Averiguar el valor numérico de las siguientes expresiones:

a) loga (a2 a) b) loga 1
x
c) log x d) log2 3 64
3 2
x
2
e) log 1 3 64 f) 2 log a a
2
log a a log a ( a a 3 )
g) 10 h) 10
 2 
i) log10 (log10 1010 ) j) log 1010 log 10
 

 
Página 129


13) Calcular realizando cambio de base
a) log2 10 b) log5 2 c) log1/2 20 d) log4 0,1 .

7.3 Ecuaciones Exponenciales y Logarítmicas

Ya hemos resuelto ecuaciones exponenciales del tipo 53-x = 53 y del tipo 101-x = 30 utilizando
logaritmos. Ahora resolveremos ecuaciones más complejas utilizando las propiedades del
logaritmo.

Ejemplo: Calcular el valor de x en las siguientes ecuaciones exponenciales...

a) 3x . 52x = 4
Aplicamos las propiedades de
logaritmo y resolvemos la ecuación
log ( 3x . 52x ) = log 4
resultante en forma habitual log 3x + log 52x = log 4
x . log 3 + 2 x log 5 = log 4
x . 0,477 + 2 x . 0,699 ≅ 0,602
x . 0,477 + x . 1,398 ≅ 0,602
x . (0,477 + 1,398) ≅ 0,602
x . 1,875 ≅ 0,602
x ≅ 0,321
b) 3x+1 + 3x-1 = 2431
Recordemos que…
a m+n = a m . a n 3x+1 + 3x-1 = 2431
a -1 = 1/a
3 .3x + 3-1 . 3x = 2431
 1
3x  3 +  = 2431
 3
10
Extraemos 3x factor común, 3x . = 2431
resolvemos y aplicamos 3
a la expresión
3x = 729,3 3x = 729,3
logaritmo para luego
resolver mediante propiedades.
x log 3 = log 729,3
log 729,3
x =
log 3
x ≅ 6,0003

x
c) 32x - 4 . 3x+1 = -27
Consideremos z = 3 , reemplazando
en la ecuación, obtenemos una (3x)2 - 4 . 3 . 3x + 27= 0
ecuación de segundo grado y
encontramos las raíces como se z2 - 12 z + 27 = 0
mostró en la Unidad 5.
las raíces de esta ecuación son z1 = 9 , z2 = 3 .

Página 130


Por lo tanto 3x = 9 ⇒ x = 2
y 3x = 3 ⇒ x = 1

d) 25x + 5x = 20

25x + 5x = 20
Si reemplazamos (5x)2 + 5x = 20
z = 5x
obtenemos una
ecuación de segundo grado.
z2 + z - 20 = 0

Raíces de la ecuación cuadrática: z1 = 4 , z2 = -5.

Luego 5x = 4 ⇒ x log 5 = log 4
⇒ x ≅ 0,8613
Atención
Una vez obtenidas las soluciones Si consideramos 5x = -5 , vemos que no hay valores de x
no olvides verificar si las mismas
satisfacen la ecuación.
que cumpla la ecuación, pues ninguna potencia de 5
puede ser negativa.

Por ejemplo, calculemos el valor de x en las siguientes ecuaciones logarítmicas:

a) log5 4 x = 2
log5 4 x = 2
Aplicando la 4 x = 52
definición de logaritmo.
25
x =
4

b) log9 (x + 1) + log9 9 (x + 1) = 2

log9 (x + 1) + log9 9 (x + 1) = 2
log9 9 (x + 1)2 = 2
9 (x + 1)2 = 92
(x + 1)2 = 9

Observemos que...
con la solución x+1=3 ⇒ x1 = 2
x2 = -4 obtenemos x + 1 = 3
log 9 (- 3) = x ⇔ 9x = - 3
igualdad que no se verifica para
ningún valor de x.
x + 1 = -3 ⇒ x2 = - 4

2
c) 2 log 2 x - 10 log2 x + 8 = 0
Hemos considerado z = log 2 x.
2 z2 - 10 z + 8 = 0

Página 131


cuyas soluciones son z1 = 4 , z2 = 1
Atención log2 x = 4 ⇔ x = 24 = 16
No olvides verificar las soluciones log2 x = 1 ⇔ x = 21 = 2
y descartar alguna si es necesario.

d) 3 log2 x - 2 log4 x = 2

Necesitamos que todos los log4 x = y ⇔ x = 4y
logaritmos involucrados en esta
ecuación estén expresados en la log2 x = y log2 4
misma base para poder utilizar las
propiedades. Expresamos todos los log2 x = y . 2
logaritmos en base 2.
1
y = log2 x
2
Reemplazando en la ecuación obtenemos:

3 log2 x - log2 x = 2
2 log2 x = 2
log2 x = 1
x =2


14) Resolver las siguientes ecuaciones logarítmicas

Ejercicios Complementarios
a) log x = 3 log 2 b) log x - log 3 = 2
x x 3
c) 5 log x - log 32 = log d)2 log x = log -
2 2 5
e) log 10 = 5 - 3 log x f) 10 log 5 x - 5 log 5 x + 5 = 0
21 - x 2 g) log 3 x 2 + log 3 x - 6 = 0
g) log = 2
3 x + 210
i) ln x - ln x 3 = 8 j) log2 2 x - 5 log 2 x = 0

15) Calcular el valor de x.

a) loga x = loga 9 – loga 4
b) loga x = 3 (loga 5 + 4 loga 2 – loga 3)
3 log a 4
c) loga x =
5

Página 132


16) Resolver las siguientes ecuaciones exponenciales
Ejercicios complementarios
x
a) 4 . 3 - 4 = 0 f) 2x + 4x = 72
b) 3 . 4x + 6 = 0 3 x + 3-x
g) = 10 . 3 x -1
3-x
c) e2x - ex - 6 = 0
h) 5x + 51-x = 6
x 2-x
d) 2 - 2 = 0
i) e2x - 5 (ex - e) - ex+1 = 0
e) 32x + 9x = 162
3x +6 -
x x-1
j) 3x = 0

17) Una sustancia radiactiva se desintegra de acuerdo a la fórmula r(t) = c e-7 t donde c es una
constante. ¿En cuánto tiempo habrá exactamente un tercio de la cantidad inicial?.

18) Una población de bacterias crece de acuerdo a la fórmula B(t) = c e kt donde c y k son
constantes y B(t) representa el número de bacterias en función del tiempo. En el instante t=0
hay 106 bacterias. ¿En cuánto tiempo habrá 107 bacterias, si en 12 minutos hay 2 . 106 bacterias?.

19) En 1900 la población de una ciudad era de 50000 habitantes. En 1950 había 100000 habitantes.
Asumamos que el número de habitantes en función del tiempo se ajusta a la fórmula P(t) = c e kt
donde c y k son constantes. ¿Cuál fue la población en 1984?. ¿En qué año la población es de
200000 habitantes?.

20) La presión atmosférica como función de l altura está dada por la fórmula P(h) = c ekh donde
a
c y k son constantes, h es la altura y P(h) es la presión en función de la altura. Si en el
barómetro se lee 30 al nivel del mar y 24 a los 6000 pies, hallar la lectura barométrica a los 10000
pies.

21) El azúcar se descompone en el agua según la fórmula A(t) = c e -kt donde c y k son
constantes. Si 30 kilos de azúcar se reducen a 10 kilos en 4 horas, ¿cuánto tardará en
descomponerse el 95% del azúcar?.

22) Una partícula se m ueve con velocidad S(t) = c e-kt donde c y k son constantes. Si la
velocidad inicial en t = 0 es de 16 unidades por minuto, y en 2 minutos se reduce a la mitad, hallar
el valor de t cuando la velocidad es de 10 unidades/minuto.

23) ¿Qué relación debe existir entre a y b para que se verifique que
log a + log b = 0 ?.

24) Si el punto (2, 5) pertenece a la gráfica de la función exponencial y = px, ¿cuánto vale p?

1
25) Si a y b son dos números enteros, calcular el valor de log1/a a + logb .
b

Página 133


8. FUNCIONES TRIGONOMETRICAS DE ANGULOS

La palabra trigonometría proviene del griego trí = tres, gonon = ángulo y metria =
medida. Es la parte de la Matemática que nos ayuda a resolver problemas relacionando y
haciendo cálculos con las medidas de los lados y los ángulos de un triángulo.

En esta Unidad estudiaremos dos sistemas de medición de ángulos para luego recordar las
principales funciones trigonométricas: seno, coseno y tangente, observando su relación en los
distintos cuadrantes. Finalmente, las funciones trigonométricas inversas nos permitirán obtener el
valor de un ángulo conociendo su ubicación y el valor de la función.
Todos estos recursos nos ayudarán a resolver problemas como el siguiente.

¿Cómo medir el ancho de un río sin cruzarlo?
Supongamos que se tienen aparatos para medir distancias y para medir ángulos pero no se
puede cruzar el río. Además la orilla es escarpada y sólo es posible moverse perpendicularmente al
río, donde hay un camino. ¿Cómo medir el ancho del río?
Este y otros problemas similares han podido ser resueltos desde la antigüedad utilizando las
relaciones trigonométricas entre los ángulos y los lados de los triángulos. En esta Unidad
recordaremos algunas de ellas.

8.1. Ángulos

Un ángulo α en el plano es la re gión determinada por dos
semirrectas l 1 y l 2 con origen común O, cuando se hace
girar el lado inicial l 1 hasta el lado final l 2 en el sentido
contrario al de las agujas del reloj. Este sentido también es
llamado antihorario. l 1 se denomina lado inicial y l 2 lado
∧
Ángulo final de α y lo denotamos por α = A O B.

Ejemplo:

Ángulo nulo
l 1 coincide con l 2.

Página 134

Trigonometría

Ángulo recto
l 2 es perpendicular a l 1.

Ángulo llano
l 2 es opuesta a l 1.

Ángulo de 1 giro
.l 1 coincide con l 2 después de un
giro.

∧
Si colocamos el origen de un ángulo α = AO B en el origen de coordenadas y hacemos coincidir el
lado inicial l1 con el semieje positivo de las x, entonces el lado terminal l2 quedará en algún
cuadrante.

l 2 está en el primer cuadrante.

l 2 está en el segundo cuadrante.

De esta manera, podemos hablar del cuadrante al que pertenece un ángulo α.
Por definición, los ángulos agudos son los que pertenecen al primer cuadrante.

Página 135


8.1.1. Sistemas de Medición de Ángulos

Para medir la amplitud de un ángulo tenemos diferentes sistemas de medición.

El sistema sexagesimal consiste en tomar como unidad de
medida la 90-ava parte de un ángulo recto.
Se denomina a dicha unidad grado sexagesimal y se la
Sistema denota 1º.

Sexagesimal A la 60-ava parte de un grado se la llama minuto y se la
denota 1' ; y la 60-ava parte de un minuto se la denomina
segundo y se denota 1''.
Si se requiere más precisión se consideran décimas,
centésimas, etc. de segundo.

Ejemplos:
1) Un ángulo recto mide 90º.
2) Un ángulo llano mide 180º.
3) Expresemos en grados, minutos y segundos el ángulo que
mide 30,28º.
En principio separamos la parte entera
y la parte decimal de 30,28º
30,28º = 30º + 0,28º

Ahora, usando proporcionalidad 1º → 60'
directa calculamos
cuántos minutos son 0,28º.
0,28º → 60' . 0,28 = 16,80'
Separando luego la parte entera y la
parte decimal de los minutos. = 16' + 0,80'

Con la regla de tres simple calculamos 1' → 60''
cuántos segundo son 0,80' 0,80' → 60'' . 0,80 = 48''

Consulta el manual de tu calculadora Así obtenemos:
para poder expresar 30,28º 30,28º = 30º 16' 48''
como 30º 16' 48''

Otra unidad de medida de ángulos, de uso frecuente es el radián.

Un radián representa la medida de un ángulo central de
Sistema una circunferencia, de modo tal que la longitud del arco
Radial comprendido sea igual al radio de la circunferencia y se
denota por 1 rad.

El siguiente cuadro muestra la correspondencia entre las longitudes de distintos arcos de
circunferencia y sus correspondientes ángulos centrales medidos en radianes.

Página 136

Trigonometría

Ángulo central
Longitud del arco ↔

1 radio ↔ 1 rad.

2 radios ↔ 2 rad.
longitud del arco AB =
longitud del radio 0A 2π radios ↔ 2π rad.

Se podría llegar a pensar que el valor de un radián depende de
la circunferencia elegida para formular la definición.
Observemos sin embargo que si el radio de una circunferencia
se duplica, su longitud también se duplica.

2 π (2 r) = 2 (2 π r)

En consecuencia, el arco correspondiente a un ángulo central
también se duplica.

Siguiendo este razonamiento, podemos afirmar que nuestra
definición no depende de la circunferencia elegida.

PASO DE RADIANES A GRADOS Y DE GRADOS A RADIANES

Siguiendo la definición, a un ángulo de 2 radianes le
corresponderá un arco de circunferencia que mide dos veces el
radio.
Longitud del arco ↔ Ángulo central
2 radios ↔ 2 rad.

En símbolos,
Como la longitud de la circunferencia es 2 π r, el número de
radianes de un ángulo de un giro es 2 π , ya que es el número
360º = 2 π rad de veces que el radio está contenido en la longitud de la
2π r
circunferencia, es decir, = 2π .
r

Longitud del arco ↔ Ángulo central

2π radios ↔ 2π radios

Página 137


Otras equivalencias entre los dos sistemas son:

2π 360
1º = rad 1 rad =
360 2π

Ejemplos:
a) Veamos cuántos radianes son 225º .

360º → 2 π rad

2 π rad x 225º 5
225º → = π rad
360º 4

π
b) Veamos cuántos grados son radianes
6
2 π rad → 360º
π
360º
π 6 = 30º
rad →
6 2π


1) ¿A qué cuadrante pertenecen los siguientes ángulos?
300º, 192º, 93º, 180º 1', 150º, 35º

2) Expresar en grados, minutos y segundos los ángulos que miden 23,18º , 107,03º

3) Dibujar el triángulo de vértices
A (0 , 0) B (2 , 0) C (1 , 3)
ˆ
Probar que es equilátero y que en particular el ángulo A mide 60º.

4) Encontrar un punto P(x , y) del primer cuadrante de tal manera que la semirecta l2 de origen O
y que pasa por P determine un ángulo de 30º.

5) Completar la siguiente tabla:

Grados 0 30º 90º 135º 150º 240º 270º 360º

2
π π π 5
Radianes 0 3 π π 2π
4 3 3

6) ¿Cuántos grados mide un radián?.
Página 138

Trigonometría

7) En una circunferencia de 10 cm de radio, un arco mide 6 cm. ¿Cuánto mide, en grados y en
radianes, el ángulo correspondiente?.

8) Un ángulo mide 3 radianes. Si dibujamos su arco tomando un radio de 5 cm, ¿cuánto medirá
dicho arco?.

8.2. Funciones trigonométricas de un ángulo

Si tomamos un ángulo α con lado terminal l2 y P(x , y) un
y
l2 punto sobre l2 , la distancia de P al origen es
P(x, y)
r r= x2 + y2
α y
El cociente se llama seno de α y se denota:
0 x r

y ordenada de P
Seno sen α =
r
=
distancia de P al origen

x
y el cociente se llama coseno de α y se denota:
r
x abscisa de P
Coseno cos α =
r
=
distancia de P al origen

Estos cocientes aparentemente dependen del punto P(x , y)
l2
y
elegido sobre l2 , pero no es así, pues dependen únicamente del
P
ángulo α.
y’
En efecto, si P'(x' , y') es otro punto sobre l2 , observemos las
figuras de la izquierda.
α
0 x’ x
∆ ∆
Como los triángulos rectángulos PX0 y P' X'0 donde
X = (x , 0) y X’ = (x’ , 0) son semejantes, los lados son

Página 139


X = (x , 0) y X’ = (x’ , 0) son semejantes, los lados son
l2 proporcionales, luego:
P y
x x' y y'
P’ = y =
y’ r r' r r'
r α
x x’ 0

2 2 x y
r= x +y Como cos α = y sen α = , las igualdades anteriores
r r
2 2 muestran que cos α y sen α son independientes del punto
r’ = x' + y' elegido sobre la recta.

Para pensar...

A partir de las definiciones se deduce que:

- 1 ≤ sen α ≤ 1 , - 1 ≤ cos α ≤ 1
¿Por qué?

Además, podemos obtener la relación fundamental
x2 y2 x2 + y 2 r2
sen2 α + cos2 α = + = = = 1
r2 r2 r2 r2

es decir,

Relación sen2 α + cos 2 α = 1
Fundamental

y Ejemplo:
l2 Sea α el ángulo cuyo lado terminal l2 pasa por P(2 , 3).
3 P
Entonces:
r = 2 2 + 32 = 13
α
3 2
0 2 x sen α = , cos α =
13 13

En este ejemplo se calcularon las funciones trigonométricas de un ángulo cuya medida no se conoce.
Ahora veremos cómo se pueden calcular los valores de las funciones trigonométricas para los
ángulos de 30º, 45º y 60º.

Página 140

Trigonometría

y Ejemplo: ángulo de 45º
l2
1 P(1, 1) Como r = 12 + 12 = 2 , entonces
r

45º
1 2 1 2
0 x
sen 45º = = cos 45º = =
1 2 2 2 2

Ejemplo: ángulo de 60º (recordar el ejercicio 3 )
y l2

3 P(1, 3) Como r = 12 + ( 3)
2
= 4 = 2, entonces
r
60º 3 1
sen 60º = cos 60º =
0 1 x 2 2

A partir de las funciones seno y coseno es posible obtener una nueva función llamada la tangente
del ángulo α , definida por:

sen α
Tangente
Tangente tg α =
cos α

O sea
Observemos que....
y
como no se puede dividir por 0, sen α y ordenada de P
debemos excluir los ángulos tg α = = r = =
de 90º y 270º. cos α x x abscisa de P
r

9) Mostrar que:
1 3
sen 30 º = ; cos 30º =
2 2

Recordar el ejercicio 4.

10) Mostrar que:

sen 0º = 0 ; cos 0º = 1
sen 90º = 1 ; cos 90º = 0
sen 180º = 0 ; cos 180º = -1
sen 270º = -1 ; cos 270º = 0

Página 141


11) Hallar la tangente de los ángulos que miden: 0º , 30º , 45º , 60º

12) Hallar sen α, cos α y tg α , si α es el ángulo cuyo lado terminal l2 pasa por P(- 2 , 3).

Para las aplicaciones es importante conocer los valores de las funciones trigonométricas de
cualquier ángulo. Los métodos para calcularlos no son elementales y se basan en el cálculo
infinitesimal; dichos métodos permiten calcular los valores con la precisión que se quiera.
No obstante, una calculadora común da los valores con una aproximación que resulta muy buena
para la mayoría de los problemas.
Para los ángulos especiales de 0º, 30º, 45º, 60º y 90º es conveniente usar los valores exactos
calculados con anterioridad.

8.3. Triángulos Rectángulos

Consideremos un triángulo rectángulo cuyos catetos miden a
β y b y su hipotenusa c. Sean α y β sus ángulos agudos.
c
α y β se dicen ángulos complementarios y su suma es
α
siempre
b
α + β = 90º.

Las relaciones entre estas cantidades que conviene tener
presente son:

Teorema de c2 = a2 + b2
Pitágoras

Las definiciones de las a b a
funciones trigonométricas sen α = cos α = tg α =
c c b

b a b
y las correspondientes para β. sen β = cos β = tg β =
c c a

La suma de los ángulos interiores de
un triángulo vale 180º; por lo que en β = 90º - α
un triángulo rectángulo:

Página 142

Trigonometría

Ejemplo:
A partir del triángulo anterior y usando las relaciones
mencionadas, obtenemos:
Relaciones b
sen (90º - α) = sen β = = cos α
trigonométricas c
a
cos (90º - α) = cos β = = sen α
de ángulos c
complement a rios b
tg (90º - α) = tg β = =
1
a tg α

Veamos ahora cómo podemos hallar los ángulos de un
triángulo rectángulo, si se conocen sus lados.

Ejemplo:

Supongamos que a = 3 , b = 4 y, por el teorema de
Pitágoras,
c = 5. Queremos hallar el valor de α .
5
3
De la definición de las funciones trigonométricas tenemos que
α
4 3
tg α =
4

Denotamos por
Este valor de α, también se podría
3
haber hallado a partir del seno y α = arc tg
coseno de ángulos agudos, es decir: 4
3 3 3
sen α = y α = arc sen el ángulo agudo cuya tangente es .
5 5 4
Su valor numérico
4 4
cos α = y α = arc cos α = 36,86º = 36º 51' 36''
5 5
puede ser hallado utilizando la calculadora.


13) Calcular sen α, cos α y tg α en los siguientes casos.

a) a = 5 ; b = 3.
b) a = 6 ; c = 10.

Página 143

14)
1
a) Si sen α = y a = 2 , calcular el valor exacto de b y c.
3
b) Si tg β = 2 y a = 2 , calcular el valor exacto de b y c.
1
c) Calcular el valor exacto del área del triángulo si c = 1 y cos β = .
4
15)

a) Hallar el área de un triángulo rectángulo en el cual un ángulo mide 30º y la hipotenusa mide 4.
b) En un triángulo rectángulo, un ángulo mide 60º y el cateto opuesto mide 3. Hallar su perímetro.

16)

a) Hallar los ángulos del triángulo rectángulo cuyos catetos miden 30 y 35.
b) La hipotenusa de un triángulo rectángulo mide 18 y uno de sus catetos 7. Hallar sus ángulos.

8.4. Signos de las Funciones Trigonométricas

Los signos de las funciones trigonométricas dependen del cuadrante en que se encuentra el ángulo.
Así por ejemplo, si α está en el segundo cuadrante, como r > 0 :

x <0 ; y >0
y
sen α = >0
P(x, y) r
y

x
r cos α = <0
α
r
x 0 y
tg α = <0
x


17) Comprobar que los signos de las funciones trigonométricas en los distintos cuadrantes son los
indicados en las figuras siguientes:

Página 144

Trigonometría

18) Hallar el signo de las funciones trigonométricas de los siguientes ángulos, sin hallar el valor
numérico:
98º , 220º , 75º , 160º , 300º , 185º

19) Determinar el cuadrante en que se encuentra el ángulo α en cada uno de los siguientes casos:

a) sen α < 0 y cos α > 0
b) sen α > 0 y cos α < 0
c) sen α < 0 y tg α > 0
d) tg α < 0 y cos α > 0

8.5. Relaciones entre las Funciones Trigonométricas

Hemos visto que para cada ángulo α vale la relación fundamental

sen2 α + cos2 α = 1

y definimos la tangente de un ángulo α distinto de 90º y 270º como:
sen α
tg α = .
cos α

1
Ejemplo: Sea α un ángulo del tercer cuadrante del cual se conoce que sen α = -
3

a) Calculemos el cos α:

Como sen2 α + cos2 α = 1, entonces
y cos α = ± 1 - sen 2 α
α x 2
 1 8 8
0 = ± 1 - -  = ± = ±
r  3 9 3
y como α está en el tercer cuadrante, cos α < 0 , luego,
8
cos α = - .
3

Página 145

b) Calculemos la tangente de α:
1
-
sen α 3 1
tg α = = = .
cos α 8 8
-
3

Ejemplo: Sea α el ángulo del segundo cuadrante tal que tg α = - 3.

a) Calculemos cos α
sen α
Como - 3 = tg α = , entonces sen α = - 3 cos α
cos α
Usando que sen2 α + cos2 α = 1 , tenemos que:
(- 3)2 cos2 α + cos2 α = 1
P(x, y) 10 cos2 α = 1
y
1
r cos2 α =
α 10
x 0
1
cos α = ±
10
Dado que α está en el segundo cuadrante, cos α < 0 , luego
1
cos α = -
10

b) Calculemos sen α:
sen α sen α
Como - 3 = tg α = , entonces cos α =
Utilizamos la cos α −3
relación fundamental
sen 2 α
sen α + cos α = 1.
2 2 sen α +
2
= 1
9
10
sen2 α = 1
9
9
sen2 α =
10
P(x, y)
y 9 3
sen α = ± =±
r 10 10
α
x 0 Como α está en el segundo cuadrante, sen α > 0 , entonces
3
sen α = .
10

Página 146

Trigonometría

20) Calcular las funciones trigonométricas del ángulo α en los siguientes casos:
2
a) sen α = - , α en el cuarto cuadrante;
3
b) tg α = 3 , α en el primer cuadrante;
2
c) cos α = - , α en el segundo cuadrante;
5
d) tg α = 2 , α en el tercer cuadrante;

8.6. Funciones Trigonométricas Inversas de un Angulo

Hemos visto que conocido el valor de una función trigonométrica para ángulos agudos, es posible
hallar el valor del ángulo mediante las funciones arco seno, arco coseno , arco tangente.
Nuestro objetivo es ahora, calcular estas funciones para ángulos del segundo, tercero y cuarto
cuadrante, para lo que debemos tener en cuenta el signo de las funciones trigonométricas seno,
coseno y tangente.

Observemos que...
las calculadoras científicas devuelven:

y
+ Ø mediante la función arc sen

x • si sen α > 0 , un ángulo α del primer cuadrante,

• si sen α < 0 , un ángulo α del cuarto cuadrante,
sen

y
+ Ø mediante la función arc cos

x • si cos α > 0 , un ángulo α del primer cuadrante,

cos • si cos α < 0 , un ángulo α del segundo cuadrante,

Página 147

y Ø mediante la función arc tg
+
x
• si tg α > 0 , un ángulo α del primer cuadrante

• si tg α < 0 , un ángulo α del cuarto cuadrante.
tg

Si el ángulo que nos interesa no se encuentra en el cuadrante que la calculadora nos devuelve,
debemos hacer la reducción correspondiente.

Ejemplo:
Calculemos α sabiendo que sen α = 0,83867 y α está en el
segundo cuadrante.

Operando con la calculadora obtenemos:

β = arc sen 0,83867 ≈ 57º

ángulo que pertenece al primer cuadrante.

∆ ∆
Observemos en la figura que los triángulos 0XP y 0X' P' son
congruentes, pues son simétricos respecto del eje y,
y X = (x , 0) y X’ = (- x , 0).
P’ r P y
Luego, sen β = = sen α.
r
α β
-x 0 x
Para calcular α, que es el ángulo que nos interesa, basta
observar del dibujo que α = 180º - β ≈ 180º - 57º = 123º

Ejemplos:
1) Calculemos el ángulo α sabiendo que sen α = - 0,5 y
α está en el cuarto cuadrante.

Con la calculadora obtenemos:
α
β = arc sen (- 0,5) = - 30º
x
β Aquí el signo menos delante del valor del ángulo significa, que
el mismo se ha medido en sentido de las agujas del reloj.
De la figura obtenemos que:

α = 360º - 30º = 330º

Página 148

Trigonometría

2) Calculemos el ángulo α sabiendo que sen α = - 0,5 y
α está en el tercer cuadrante.

Como en el ejemplo anterior, la calculadora nos devuelve:

β = arc sen (- 0,5) = - 30º
∆ ∆
α Observamos en la figura que los triángulos 0XP y 0X' P' ,
donde X = (x , 0) y X’ = (- x, 0) , son congruentes por ser
-x x
simétricos respecto del eje y, en consecuencia,
0 r β y
sen β = = sen α
y
r
P’ P De la figura observamos que como los triángulos mencionados
son congruentes:
ˆ ˆ
0X' P = 0XP = 30º
luego,
ˆ
α = 180º + 0XP = 180º + 30º = 210º

3) Calculemos α sabiendo que cos α = 0,61566 y α está
en el cuarto cuadrante.
En la calculadora obtenemos:
y P’ β = arc cos 0,61566 ≈ 52º
α ∆
β De la figura vemos que, si X = (x , 0) , 0XP es congruente
0 x ∆
r con 0XP' por ser simétricos respecto al eje x de aquí
x
-y
P cos β = = cos α
r
concluimos que α = 360º - β

4) Calculemos α sabiendo que cos α = - 0,342 y α está
en el tercer cuadrante
De la calculadora obtenemos:
β = arc cos (- 0,342) ≈ 110º
P’
-y ∆ ∆
α Vemos que, si X = (x , 0), 0XP' es congruente con 0XP por
β ser simétricos respecto al eje x, luego
x 0 x
cos β = = cos α
r r
P
y ˆ ˆ
y también 0XP = 0XP' = 180º - β.
ˆ
Entonces α = 180º + 0XP = 180º + (180º - β) = 360º - β, es
decir, α = 360º - 110º = 250º

Página 149


Retomemos el ejemplo que presentamos al comienzo de la Unidad

¿Cómo podremos medir el ancho de un río sin cruzarlo?
Tenemos aparatos para medir distancias y para medir ángulos pero no podemos cruzar el río.
Además la orilla es escarpada y sólo es posible moverse perpendicularmente al río, donde hay un
camino. ¿Cómo medir el ancho del río?

En primer lugar, debemos situarnos frente a algún objeto
ubicado en la orilla opuesta que nos sirva de referencia.
Desde allí nos movemos a lo largo de la orilla y en dirección
perpendicular al árbol una distancia d, como muestra la figura.
Desde este punto P medimos el ángulo α que forma la
dirección al árbol con el camino que acabamos de recorrer.

Para fijar ideas, supongamos que d = 100m. y α = 24º.
a a
Como tg α = = entonces a = 100 tg 24º ≈ 44,52 m.
d 100

Ejemplo:
Un árbol y un observador se encuentran en orillas opuestas de un río. El observador mide el
ángulo que forma su visual con el punto más alto del árbol y obtiene 35 º; retrocede 10 m. y
mide el nuevo ángulo, obteniendo un valor de 25 º . ¿Qué altura tiene el árbol?, y ¿ cuál es el
ancho del río?.

Página 150

Trigonometría

Llamando h a la altura del árbol y a el
ancho del río, el gráfico muestra los
datos del problema.

h h
tg 35º = y tg 25º =
a a + 100

Despejando la variable h h = a tg35º y h = (a + 100) tg25º

Igualando ambas ecuaciones a tg35º = a tg25º + 100 tg25º

a (tg35º - tg25º) = 100 tg25º

100 tg 25º
a= ≈ 199,36 m.
tg 35º− tg25º

Reemplazando en alguna de las
ecuaciones anteriores
Entonces h = a tg35º ≈ 139,59 m.


21) Determinar α en cada uno de los siguientes casos:

a) sen α = 0,63465 y α en el segundo cuadrante,
b) tg α = - 1,42814 y α en el segundo cuadrante.
c) cos α = - 0,656 y α está en el tercer cuadrante,
d) tg α = - 2 y α está en el cuarto cuadrante,
1
e) sen á = − y α está en el tercer cuadrante,
3
f) cos α = - 0,659 y α está en el segundo cuadrante

22) Completar
Sexagesimal Radial sen cos tg
α1 36º
α2 1
α3 (3/4) π
α4 210º 30'
α5 (7/8) π
α6 810º
α7 - (7/6) π
α8 - 162º 38' 20''

Página 151


23) Escribir todos los ángulos α (comprendidos entre 0 y 360) cuyo coseno valga -0.5.

24) ¿Para qué valores de α ∈ [0 , 2π] el seno y el coseno coinciden?

25) Resolver los siguientes triángulos:

a) a = 5 cm , β = 30º , α = 90º
b) b = 2 cm , c = 5 cm , α = 90º
c) b = 82 cm , α = 90º , γ = 57º

26) Cuando el ángulo de elevación del sol sobre el horizonte es de 30º, una torre proyecta una
sombra de 75 m. Calcular su altura.

27) ¿Cuán larga es la sombra que arroja un mástil de 11 m de altura cuando el sol tiene una
elevación de 20º?.

28) El hilo que sujeta un barrilete mide 250 m y forma un ángulo de 32º con la vertical. Hallar la
altura a que se halla si se supone que el hilo está en línea recta.

29) Un automóvil asciende una cuesta que tiene una nclinación de 22º. Si viaja a una velocidad de
i
60 km/h, ¿cuántos metros varía su altura sobre el nivel del mar en 15 minutos?.

30) Se piensa construir una pista de aviación y debido a la orientación elegida se ve que al final de
la misma quedará una arboleda de 25 m de altura. ¿A qué distancia mínima de la arboleda debe
terminar la pista si el ángulo de despegue de los aviones es de 16º?.

31) Cuando se apoya una escalera de 3 m de largo en una de las paredes de un pasillo, llega a una
altura de 2,50 m. Si se la i clina sobre la otra pared llega a 2 m de altura. Averiguar el ancho del
n
pasillo.

32) Un carpintero desea construir una escuadra de madera y necesita que uno de los ángulos sea de
30º. Desea saber las relaciones que deben guardar los lados entre sí.

33) Los lados paralelos de un trapecio miden 6 cm y 8 cm, y los otros dos miden 3 cm. Hallar las
longitudes de sus diagonales y su área.

34) El frente de un terreno da sobre una diagonal y tiene las dimensiones que se indican en el
esquema. Calcular los metros que tiene el frente y el área que ocupa.

35) Se quiere saber cuántos metros de alambrado son necesarios para cerrar el terreno sombreado de
la figura:
Página 152

Trigonometría

36) En un triángulo sabemos que la hipotenusa mide 4 cm y la tangente del ángulo que esta
determina con la base es igual a 0,2. Calcular el área de dicho triángulo.

37) Un sitio rectangular mide 102m x 296 m. Determinar la longitud de la diagonal y el ángulo que
esta forma con el lado mayor.

38) Calcular los lados de un rombo cuyas diagonales miden 12 cm y 8 cm y calcular las medidas de
los ángulos interiores.

39) Un poste de teléfono está sujeto por medio de varios cables que parten del extremo superior.
Uno de estos cables está atado a una estaca situada a 5 m del pie del poste y forma con la horizontal
un ángulo de 60º. Calcular la altura del poste y la longitud del cable.

40) En una circunferencia de 7 cm de radio se traza una cuerda de 9 cm. ¿Qué ángulo central abarca
dicha cuerda?.

41) El radio de una circunferencia mide 6 cm. ¿Cuál es la longitud del arco correspondiente a un
ángulo de 20º?:

π
42) Dos ángulos de un triángulo miden 50º y radianes respectivamente. ¿Cuánto mide el otro
6
ángulo?.

43) Un barco navega a 30 kilómetros por hora en dirección norte-oeste. ¿Qué distancia ha recorrido
en una hora hacia el norte?. ¿Y hacia el oeste?.

44) Calcular el perímetro y el área de un triángulo isósceles, cuyos ángulos iguales miden 27º y sus
dos lados iguales 40 m.

45) Calcular el perímetro y el área de un pentágono regular inscripto en una circunferencia de 10 cm
de radio.

46) Para conocer la altura de una torre se ha medido el ángulo que forma la visual al punto más alto
con la horizontal obteniendo 43º al acercarse 15 metros hacia la torre, se obtiene un nuevo á ngulo
de 57º. ¿Cuánto mide la altura de la torre?.

47) Desde un acantilado de 50 metros se ve un barco bajo un ángulo de 70º con la vertical. ¿A qué
distancia de la costa se encuentra el barco?.

48) Un árbol y un observador se encuentran en orillas opuestas de un río. El observador mide el
ángulo que forma su visual con el punto más alto del árbol y obtiene 35º; retrocede 10 metros y
mide el nuevo ángulo, obteniendo un resultado de 25º. ¿Qué altura tiene el árbol?.

Página 153

49) A los ángulos que están relacionados con los de 30º, 45º y 60º se les puede calcular en forma
exacta el valor de las funciones trigonométricas, ellos son: 120º , 135º, 150º, 210º, 225º, 240º, 300º,
315º y 330º. Hallar dichos valores.

50) En un triángulo isósceles la altura correspondiente a la base mide el doble que esta. Hallar el
valor de sus ángulos.

51) ¿Qué ángulos del primer cuadrante son adecuados para calcular las razones trigonométricas de
718º, 516º, 342º?.

52) Dibujar los ángulos que cumplen las siguientes condiciones y dar el valor de sus razones
trigonométricas:
1
a) sen α = - y tg α > 0 b) tg α = - 1 y cos α < 0
2

3 π
53) Si tg α = y α> , calcular sen α y cos α.
3 2

8.7. Identidades trigonométricas

En lo que resta de esta unidad veremos un listado de las identidades trigonométricas más
importantes. Las mismas son de suma utilidad en la resolución de problemas de cálculo, álgebra y
geometría.

8.7.1. Razones trigonométricas de α + β y de α – β

sen(α + β) = sen α cos β + cos α sen β

cos(α + β) = cos α cos β – sen α sen β

tgα + tgβ
Puedes verificar la veracidad de estas tg(α + β) =
identidades asignando valores a los 1 − tgα tgβ
ángulos α y β, o mejor aún, buscar las
demostraciones de estas identidades sen(α – β) = sen α cos β – cos α sen β
en un libro de Cálculo.
cos(α – β) = cos α cos β + sen α sen β

tgα − tgβ
tg(α – β) =
1 + tgα tgβ

8.7.2. Razones trigonométricas del ángulo doble

sen 2α = 2 sen α cos α

Página 154

Trigonometría

cos 2α = cos2 α – sen2 α

2tgα
tg 2α =
1 − tg 2α

8.7.3. Teoremas del seno y del coseno

Teorema del seno
γ a Los lados de un triángulo son proporcionales a los senos de
b los ángulos opuestos.

α β a
=
b
=
c
c senα senβ senγ

Página 155


Teorema del coseno
El cuadrado de un lado es igual a la suma de los cuadrados
de los otros lados menos el doble del producto de estos lados
γ a por el coseno del ángulo comprendido.
b
a2 = b2 + c2 – 2ab cos α
α β
b2 = a2 + c2 – 2ac cos β
c
c2 = a2 + b2 – 2ab cos γ


54) Comprobar que las siguientes igualdades son ciertas utilizando las identidades vistas.

1
a) = 1 + tg 2α
cos 2α

b) sen (α + β) sen (α – β) = sen2 α – cos2 β

c) cos2 α = sen2 α cos2 α + cos4 α

Página 156

Números Complejos en Forma Polar

9. NÚMEROS COMPLEJOS EN FORMA POLAR

Recordemos que en la Unidad 1 vimos que a un número complejo podemos expresarlo en
forma binómica z = a + b i donde a, b son números reales, y que se representa gráficamente
mediante un punto del plano de coordenadas (a , b).

y

(a, b)
b

0 a x
En la unidad anterior estudiamos las funciones trigonométricas, y ahora aplicaremos esto
para expresar a los números complejos en forma polar, lo que nos posibilitará obtener mayor
información respecto de ellos.

Consideremos el número complejo z = 2 + i. Si lo multiplicamos por un número real mayor
que uno se produce una dilatación (también llamada homotecia) en la dirección de la recta que
contiene al vector asociado al número complejo z. Por ejemplo, si multiplicamos z por 2 podemos
observar dicho efecto comparando los gráficos que aparecen a continuación.

y
y z = 4 + 2i
2
z=2+i
1

0 2 x 0 4 x

Por otro lado, si multiplicamos a z por un número real entre 0 y 1 se produce una contracción.
1
Basta, por ejemplo, observar lo que ocurre cuando multiplicamos z por .
2

y y
1 z=2+i
z = 1 + ½i
½
0 2 x 0 1 x

¿Qué ocurrirá si multiplicamos ahora a z por un número imaginario puro? Por ejemplo,

z . 2i = -2 + 4i.

Comparando gráficamente los vectores asociados a z y al resultado de z . 2i vemos que este último
es el resultado de dilatar y luego rotar 90º en sentido antihorario al vector inicial.

Página 157


z . 2i = - 2 + 4i

z=2+i

A continuación veremos cómo comprobar esto formalmente.

Consideremos un número complejo
z=a+bi
Módulo de donde a, b son números reales. Llamaremos módulo de z
un número a la distancia entre el punto (a , b) y el origen 0.
complejo Al módulo del número complejo z lo denotaremos con
 z .


Observemos que...
podemos hallar el valor de z
aplicando el Teorema de Pitágoras al
triángulo que se obtiene a partir de la
representación del número complejo z. Así,

y
z = a2 +b2 .
(a, b)
b

0 a x

Consideremos un número complejo
Argumento z=a+bi
d e un número donde a, b son números reales. Si z es un número
complejo no n ulo, denominamos argumento de z al ángulo
complejo α que forma el semieje positivo de las abscisas y la
semirrecta de origen 0 que pasa por (a , b) .

Página 158


Observemos que...
podemos hallar el valor del argumento
del número complejo z usando lo visto
en la unidad anterior de trigonometría.
Así,
y
b
(a, b) α = arc tg
b a
r
α
0 a x

El número complejo no nulo z = a + b i queda determinado si indicamos su módulo y su argumento.

Denominamos forma polar de un número complejo a la
Forma polar expresión
de un número z = (r , α )
complejo
donde r es el módulo de z y α es un argumento de z.

Observemos que...
de acuerdo a lo visto en trigonometría, El argumento de un número complejo
expresado en forma polar
tg α = tg (α + 360º)
no es único.
= tg (α + 2 . 360º)
= …

a + bi
Esto se debe al hecho que es lo mismo considerar
α
α , ó α + 360º, ó α + 2 . 360º, ó .......
α + 360º

Ejemplo:
Expresaremos en forma polar los siguientes números complejos:
a) z = 1 + 3 i
y
1 + 3i
3 r = 12 + 3 2 = 10
r
3
α = arc tg = 71º 33’ 54’’
1
α Así, la forma polar de z = 1 + 3 i es
0 1 x
z = ( 10 , 71º 33’54’’)
Página 159


b) z = - 1 + i

y
-1+i r = (-1) 2 + 12 = 2
1
r 1
α
α = arc tg = 135º
-1
x
-1 0 (notar que α está en el segundo cuadrante)

Recordemos que... Así, la forma polar de z = - 1 + i es
los ángulos se miden
en sentido
z = ( 2 , 135º )
antihorario.

c) z = 5 - 2 i

r = 5 2 + (-2) 2 = 29
y
-2
α α = arc tg = 338º 11’ 55’’
5 5
0 x
(notar que α está en el cuarto cuadrante)
-2
5-2i Así, la forma polar de z = 5 - 2 i es

z = ( 29 , 338º 11’ 55’’ )

Si conocemos el módulo y el argumento de un número
complejo podemos calcular las componentes real e imaginaria
del número, de la siguiente manera:
Observemos que...

y
las funciones seno y coseno
(a, b)
nos permiten obtener b
la forma binómica
r
de un número complejo α
conociendo su forma polar. a
0 x

a = r cos α , b = r sen α

Ejemplo:
Expresemos en forma binómica los siguientes números complejos:

Página 160


a) z = (5 , 30º)

3
a = 5 cos 30º = 5
2
2,5
1
b = 5 sen 30º = 5
2
3 Así, la forma binómica de z = (5 , 30º) es
5
2
3 5
z = 5 + i
2 2

b) z = (2 , 135º)

2
a = 2 cos 135º = - 2 = - 2
2 2

2
b = 2 sen 135º = 2 = 2
2
- 2
Así, la forma binómica de z = (2 , 135º) es

z = - 2 + 2 i

Cuando la forma polar de un número complejo z es (r , α ),
el número z se puede escribir como z = r (cos α + i sen α ),
Por ejemplo, al número complejo pues
(2, 135º) z = a + bi
lo podemos escribir como = r cos α + i r sen α
z = 2 (cos 135º + i sen 135º).
= r (cos α + i sen α )
Por ello, encontrarás muchas veces expresiones de la forma
Observemos que... z = r cis α ,
si efectuamos los cálculos en esta que es una forma abreviada de escribir
última expresión obtenemos
z = r (cos α + i sen α ).
z=- 2 + 2 i
A esta expresión se la conoce como forma trigonométrica del
número complejo z.

Estamos ahora en condiciones de probar que cuando multiplicamos, al comienzo de esta unidad, el
número complejo z = 2 + i por 2i, el resultado es un número complejo cuyo módulo es el doble del
módulo de z (dilatación) y el vector asociado a éste forma un ángulo de 90º con el vector
correspondiente a z.
Página 161


La forma polar del número complejo z = 2 + i es

z = ( 5 , 26º 33’ 54’’).
Si denotamos con z1 al resultado de z . 2i, es decir, z1 = -2 + 4i, la forma polar de z1 es
z1 = ( 20 , 116º 33’ 54’’) = (2 5 , 116º 33’ 54’’).
Comparando la forma polar de z y de z1 vemos de inmediato lo que queríamos probar.


1) Representar los siguientes números complejos
a) z = 2 – 3i b) z = -7i c) z = 3 + 4i d) z = -3 - 4 i
e) z = -2 f) z = -1 + i g) z = 4i h) z = 2

2) Expresar en forma polar los siguientes números complejos
a) z = 6 i b) z = - 5 + 2 i c) z = -4 d) z = 2 - 7 i

3) Expresar en forma binómica los siguientes números complejos
a) z = (2 , 45º) b) z = (1,5 , 60º)
d) z =  , 300º 
3
c) z = (4 , 220º)  
4 

4) ¿Qué argumento tiene un número real positivo?. ¿Y un número real negativo?

5) Calcular tres argumentos del número complejo 1 + i .

Ayuda 6) ¿Cuáles son el módulo y el argumento del conjugado de
Es útil que recurras al gráfico de un un número complejo z no nulo?.
número complejo y su conjugado.

7) ¿Cuáles son el módulo y el argumento del opuesto de un número complejo z no nulo?.

8) Expresar en forma binómica y en forma polar el conjugado y el opuesto de z = (5, 45º).

9) ¿Cuál es el argumento del número complejo 8( 3 - 3 i) + 5 2 (-1 + i)?

10) Obtener las dos raíces complejas de la ecuación de segundo grado x 2 - 3 3 x + 9 = 0, y
expresarlas en forma polar. ¿Cómo son entre sí? ¿Se puede generalizar el resultado?

11) La suma de dos números complejos conjugados es 8 y la suma de sus módulos es 10. ¿Cuáles
son los números complejos en cuestión?

Página 162


12) Calcular el inverso de los números complejos siguientes y representar gráficamente los
resultados:
a) z = (3, 60º) b) z = (2, 90º) c) ( 2 , 135º)

z1 z 2
13) Sabiendo que z1 = (3, 60º), z2 = (2, 15º) y z3 = (6, 30º), calcular (Nota: Expresar el
z3
resultado en forma polar y graficar).

Página 163


SOLUCIONES

UNIDAD 1: NÚMEROS
1)
a) 4 c) - 38 e) - 26 g) - 24
b) 12 d) 34 f) - 1

2)
a) No b) Si

3)
a) Si b) No

4)
a) V b) F c) F d) V

5)
a) 81 b) 729

6) 8

7) a) + , + , - , +
b) - 16 , 4 , 32 , - 4 , - 48

8)
a) ≤ b) ≥ c) ≥ d) ≤

9) a) a = 187 , b = 12 b) a = 10

10) a) 56 b) 4

11) a) 25 b) 85

12) 1998

13)
a) 280 km b) 10 días , 8 días , 7 días

14)
a) F b) V c) F d) V e) V

15)
17 19 41
a) b) - c)
36 12 10

Página 164

Soluciones de los Ejercicios de Aplicación

19 161
d) e) -
80 48

16)
5 123
a) 0,5 ; c) 1,23 ;
10 100
5 82
b) 0,05 ; d) 0,082 ;
100 1000

17)
a) 1000 b)1634,615385

12
18)
13

5
19) a) 1 b) 2 c) d) –2
3

20) inglés.

21) El segundo.

22) 64 kg.

23) 220 litros.

24) 288 kg de cobre, 48 kg de estaño, 12 Kg de cinc.

25) 7

26) 400 cm.

27) Javier.

1
28)
8
29)
a) racional c) racional e) racional g) irracional
b) racional d) irracional f) racional h) irracional

31)
a) periódico b) no periódico c) periódico d) no periódico

Página165

32)
7 8
Número 7 10 -2,08 1,1212212221... 25 -2,2424... −4 −
6 2
Natural Si No No No Si No No No No
Entero Si No No No Si No No No Si
Racional Si No Si No Si Si No Si Si
Irracional No Si No Si No No No No No
Real Si Si Si Si Si Si No Si Si

33)
a) F b) V c) V d) F

35)
a) < b) < c) < d) >

36)
a b
a b a ........b ....... a(-3) ........b(-3)
2 2
8 2
8 2 8>2 > 8 (-3) < 2 (-3)
2 2
-6 -10 > > <
-4 8 < < >
-10 -2 < < >

0 4 < < >

37)
a) V b) V c) F d) V e) V

39)
8 1 1
a) - b) 1 c) d) e) 9
125 4 9
8
f) 100000 g) h) 10 i) - 1 j) - 1
27
k) -1 l) 100

40)
a) x 7 c) x 10 e) -x 7 g) x 7
b) x 7 d) x 3 f) x -2 h) -x -2

41) No.

3 1 1 5 1
42) 2 ; 72 ; 5 ; 5 12 ; ; ; 510 ;
7 3 3 2
9 8
Página 166


43)
-1/2
a) x b) x 1/6 c) x 37/30
d) x -1/5

44)
a) 3 b) 5 c) 3 3 d) 4

45)
a) 2 2 b) 3 2 c) 4 2 d) 5 2

46)
a) 8 b) 5 c) 3 d) 3 4
1 3
e) f) g) 30 h) 2 3 2
6 2
2 2
2
i) 3 j) 2 4 2 k) 4 l) 3
5

47)
a) 2 2 b) 6 5 c) 6 6 d) 3 2
383
e) - 2
15

48)
a) 2 b) 537/10 c) 25/2 . 35/4 d) - 101/6 e) 2-11 . 32/3

49)
a) 3 3 +3 2 3+ 2
b)
7
4 − 10
c)
3

d)
( x+ y )2
x− y

50)
12 1
a) 3 b) c)
11 5929

51) 15,62 cm.

52) 43,301 cm.

Página167

2
53) 100 cm

54) 31415,926 cm2

55)
4 < 17 < 5
7 < 50 < 8
10 < 105 < 11
20 < 420 < 21

57)
a) V e) V i) V
b) F f) V j) V
c) F g) F k) F
d) V h) V l) V

58)
9
a) -4I
2
16 1
b) - + i
3 6
2 11
c) + i
5 5
d) 2 + 4i

e) 8+8i

f)
4 + 2 1− 4 2 i
+
( )
3 3
1 5
g) - i
2 2

59)
3 3 −2
a) – 75 + 20 3 b)
7

60)
i, -1, -i, 1, -1, 1, i.

63)
a) 2a b) a2 + b2

64)
a) 94/29 b) – 91 c) – 6/25 d) – 56/3

UNIDAD 2: E CUACIONES LINEALES O DE PRIMER GRADO

x 2
1) a) x + = 12 b) x = x+8 c) 4 x = 12 d) x + (x - 7) = 23
5 7

Página 163

2)
9 6
a) x = 9 b) x = -1 c) x = d) x =
5 5
27
e) x = 3 f) a = 5 g) m = - h) t = 15
29
11
i) x = 8 k) z = -
31
3) 10

4) 10 y 11

5) -2

6) 18 , 21 y 24

7) 76 m de largo y 32 m de ancho

8) 40 cm , 70 cm y 70 cm.

9) 12 años.

10) 6 años.

11) 564 litros

12) a) $600 b) Si, $240

13) $ 3.600.000

14) $ 367.500

15) 13 hombres, 26 mujeres y 117 niños

16) 40 diarios

17) Vivi: $ 1800 , Ana: $ 1200 , Carla: $ 600. Vivi cobró tanto como Ana y Carla juntas

18) 240 asientos.

UNIDAD 3: R ECTA REAL

1) inciso i: a) SI b) SI c) NO d) NO

inciso ii:
a) b)

c) No es posible representar d)

Página 164

2)
a) 1 y 2
b) -1, 0, 1 y 2
c) (-2 , 3) ∩ Q
d) (-2 , 3)

3)
2
a) (2, 6) b) [-1 , + ∞) c) (- ∞ , )
3
d) (1 , + ∞) e) (- ∞ , -2) f) (4, 8)

4)
a) b)

c) d)

5)

a)  − 1 , + ∞ 
 b) (-3 , -1) ∪  5 , 3
 c) Ø d)  3 , 5 

  
 4  2  2 

6)
a) [ 1 , 2 ] b) ( 2 , 5 ) c) [- 4 , -2 )

d) [ 1 , 2 ) e) ( -3 , 3 ) f) [ -3 , 0 )

7)
a) [-1 , 1) b) [-3 , 2,5)

8)
a) ( -1 , 3 ) b) ( -1 , 5 ]

9)
3 3 b) x = 3 ó x = 7
a) x = - ó x=
2 2

c) (-∞ , -3] ∪ [3 , ∞) d) [-5 , 5]

Página 165

10)
a) x ∈ (-2 , 8) b) y ∈ [3 , 11] c) t = 2 ó t = 8
d) x ∈ (-∞ , -9] ∪ [-1 , ∞) e) x ∈ (-4 , 4)

11)
Si denotamos con p al peso de la ballena, y con x la cantidad de ballenas que se concentran entre
octubre y noviembre, resulta
p ∈ [ 30 , 35 ] x ∈ [ 350 , 400 ]

12)
a)  − ∞
 ,
7
 b)  1
 −∞ , - 
c) (- ∞ , 3 )
 4  4

d) 7  e) (- ∞ , -1 ) f) [10, + ∞ )
2 , ∞
 

g) (- ∞ , 6] h)  1
 −∞ , 
i) (5 , + ∞ )
 3

j) (- ∞ , - 2 ] k) (4 , + ∞ ) l) (6 , + ∞ )

m) (- ∞ , 1 ) n) ( 2 , +∞ )

13) Falso

14) Cualquier número mayor que 20.

15) 4

16) p ≥ 28

17) S ≤ 16

18) Cuando la edad del hijo es menor que 16 y la del padre menor que 38.

19) Entre 300 km y 450 km.

20) Debe vender más de 40 artículos.

21)  − ∞ , 3 
 
 2

22) (2 , 3]
Página 166


23)
a) (- ∞ , 2 ) ∪ ( 6, + ∞ ) b) [-5 , 1]

c) R - {4} d) (- 4 , - 3 ) ∪ ( - 3, - 2 )

e)  11   13  f)  9   15 
 , 3 ∪  3 ,  - ∞ ,  ∪ , + ∞ 
 4   4  4  4 

g)  1  h)  4 8
 − 2 , 2  , 
   3 3

i)  3  1 
 - ∞ , −  ∪ − , + ∞  j) (- ∞ , -2 ] ∪ [ 8 , + ∞ )
 4  4 

k) (- ∞ , -5) ∪ (3 , + ∞ )

UNIDAD 4: F UNCIÓN LINEAL Y ECUACIÓN DE LA RECTA

1) a).i) Si ii) Si iii) No
iv) No v) Si vi) Si

b) i) Dom f = R ii) Dom f = [a , +∞) iii) --------
Im f = RIm f= [f (a) , +∞)

iv) -------- v) Dom f = R vi) Dom f = (0 , +∞)
Im f = R Im f = (0 , +∞)

2) i) Dom f = [-2 , 3) ii) Dom f = (-3 , 4] iii) Dom f = [0 , 5]
Im f = [-2 , 2) Im f = (-2 , 3] Im f = [-2 , 3]

iv) Dom f = (-3 , 3) v) Dom f = (-3 , 4) vi) Dom f = (-3 , 4)
Im f = [-2 , 3] Im f = (-3 , 3) Im f = (-2 , 3)

3)

a) f (1) = 2 ; f (2) = 3 ; f (2,5) = 1,5 ; f (4) = -1 ; f (5) = 1,5
Página 167

b) x = 3 ; x = 4,75
c) g(- 1,5) = -1 ; g(- 0,5) = 1 ; g(0) = 1,5 ; g(0,5) = 1,75 ; g(4) = 2,5
d) x ∈ [1 , 3]
e) x ∈ (-∞ , -2]

4)
a) y es función de x. El dominio es N y la imagen es {0, 1, 2, 3}.
x no es función de y
b) y no es función de x.
x es función de y. El dominio es el conjunto formado por los números telefónicos y la imagen
es el conjunto formado por los abonados telefónicos.

5)

a) Dom f = R
1
b) Dom f = [ , +∞ ]
2
c) Dom f = R - {-2}
d) Dom f = [0 , +∞)
e) Dom f = R
f) Dom f = (0 , +∞)

6)

g) f (0) = 2 f (-0,8) = 4,4 f (0,8) = -0,4 f (-1) = 5
f (1) = -1 f (-4,25) = 14,75 f (4,25) = -10,75 Dom f = R

h) f (0) = f (-0,8) = f (0,8) = f (-1) = f (1) = f (-4,25) = f (4,25) = - 4 Dom f = R

i) f (0) = -5 f (-0,8) = -5,96 f (0,8) = -2,76 f (-1) = -6
f (1) = -2 f (-4,25) = 4,562 f (4,25) = 21,562 Dom f = R

j) f (0) = 4 f (-0,8) = 6,752 f (0,8) = 2,528 f (-1) = 8
f (1) = 2 f (-4,25) = 107,328 f (4,25) = -63,203 Dom f = R

k) f (0) = no existe f (-0,8) = -6,25 f (0,8) = 6,25 f (-1) = -5
f (1) = 5 f (-4,25) = -1,176 f (4,25) = 1,176 Dom f = R - {0}

3 3
l) f (0) = - f (-0,8) = -0,625 f (0,8) = -0,937 f (-1) = -
4 5
∩
f (1) = - 1 f (-4,25) = - 0, 36 f (4,25) = 12 Dom f = R - {- 4}

7)
a) Si b) Si c) i) diario opositor ii) diario oficialista.

Página 168

8)
a) Recorrieron 7 km; llegaron luego de 1hora 15 minutos; se detuvieron 15 minutos.
b) Recorrieron 3 km y tardaron 1 hora.
c) Hicieron 3 km; les llevó menos tiempo (30 minutos).
e) Les faltaba 5 km.; llegaron a las 4 horas 15 minutos y descansaron 1 hora 45 minutos.

9) a) y c)

12)
a) y = 0 b) y = -3 c) x = 5 d) x = -3
e) y = 2 x f) y = 2 x + 2 g) y = - 3 x h) y = - 3 x - 1
1 1 1 1
i) y = x j) y = x - 1 k) y = - x l) y = - x+2
2 2 2 2
Las funciones de proporcionalidad directa son: e) , g) , i) y k)

13)
a) α = 71º 33’ 54,18’’
b) α = 45º
c) α = 0º

14) y = 3 x-3 3

1
15) a) k = -2 b) k = -
3
16) k = 7

17)
a) y = x + 1 b) 4 y + 7 x = 41
c) 8 y + 5 x = 22 d) 16 x - 9 y = 61

1
18) y = x-1
5

19) Si

1 1 31
20) a) y = 5 x + 3 b) y = - x+5 c) y = x+
2 4 60

21) y = 3 x - (2 + 3 3)

22) a) ii , iv , v b) i , iii , vi.

23) y = 0,65 x

24)
a)
Tiempo de marcha (en horas) 1 2 3 5 10 0,625
Espacio recorrido (en km.) 80 160 240 400 800 50

Página 169

Capital invertido (en pesos) 1000 500 250 125 750
Interés percibido (en pesos) 100 50 25 12,5 75

Masa del aluminio (en gramos) 2,7 5,4 8,1 10,8 13,5
Volumen del aluminio (en cm3 ) 1 2 3 4 5

10
b) E = 80 . T ; I = 0,1 C ; V= M
27

25) No

26) a) Si b) k = 4 c) p = 4 l

27)
a)
Madera de pino: Corcho sintético: Granito:

Volumen 1 5 10 20 Volumen 1 5 10 20 Volumen 20 5 10 1
3 3 3
(en dm ) (en dm ) (en dm )

Peso 9 9 Peso 2 Peso
9 18 1 2 4 60 15 30 3
(en kg.) 10 2 (en kg.) 10 (en kg.)
9
P = .V P = 0,2.V P = 3. V
10

c) i) granito ii) corcho

d) de Madera de pino o de granito

28)
a)

Distancia 100 150 200 250 300
(en km.)

Precio 15 20 25 30 35
(en pesos)

a) y = 0,10 x + 5
b) y = 0,10 x + 10
e) y = 0,10 x

Página 170

Precio por Precio por Ecuación sin Ecuación con una
km maleta maletas maleta
Empresa A
0,15 2,5 y = 0,15 x y = 0,15 x + 2,5
Empresa B
0,06 7 y = 0,06 x y = 0,06 x + 7

Para gastar lo menos posible, conviene contratar, la empresa A si el viaje es menor o igual a 50 km
y la empresa B si el viaje es mayor o igual a 50 km.

29) m = -6 ; n = -1

1
30) a = -
3
2
31) a = - 3 , b = -
3
4 17
32) y = x+
5 5
1
33) m = -
5

34) y = - 4 x + 10

35)
y = x
a)  (-2 , -2)
 y = 2x + 2

 1  1
y = − 2 x + 2 y =−
2
x−2
b)  (0 , 2)  (0 , -2)
1 1
y = x + 2 y = x −2
 2  2
 1  1
y = − 2 x + 2 y = x+2
2
 1
(4 , 0)  1
(-4 , 0)
y = x −2 y =− x−2
 2  2
36) a = 0,625

37) a) p ≠ 3 y q ∈ R
b) p = 3 y q ≠ -1
c) p = 3 y q = -1

38) No

39)
1 1 1
a) a ≠ y b∈R b) a = y b≠0 c) a = y b=0
2 2 2

40) .a) e = 4 t ; e = -3 t + 60
b) t = 8,57 seg ; e = 34,286 m

41) 600 unidades ; $ 18000
Página 171


42) .a) y = 700 x + 500
b) 13 años 312 días

43)
1 x 3
a) y = x+8 b) y = - 5 x - 2 c) y = +
5 5 10
d) y = - 5 x e) y = - 5 x

44) a = - 1 , b = - 1 ó b = 9

45) a = 4 , b = - 2

UNIDAD 5:E CUACIONES Y FUNCIONES CUADRÁTICAS

1)
a) x 1 = 0 ; x2 = 0 b) x 1 = 0 ; x2 = 1
3 3
c) x 1 = ; x2 = - d) x 1 = 11 i ; x 2 = - 11 i
2 2
e) x 1 = 0 ; x 2 = -2 f) x 1 = 4 ; x2 = - 4
g) x 1 = 0 ; x2 = 4 h) x 1 = 2 + 3i ; x2 = 2 - 3i
7
i) x 1 = 2 ; x2 = - 4 j) x 1 = 0 ; x2 =
2
k) x 1 = 9 ; x2 = - 9 l) x 1 = 3 ; x 2 = -3
m) x 1 = 3 ; x2 = 2 n) x 1 = 3 ; x2 = - 3
5
o) x 1 = 1 + 5i ; x2 = 1 - 5i p) x 1 = ; x2 = - 1
2
q) x 1 = - 1 + 13 ; x 2 = - 1 - 13 r) x 1 = 5 ; x2 = - 5
s) x 1 = 0 ; x2 = 2 t) x 1 = 2 ; x2 = - 2
u) x 1 = +3 11 i ; x2 = 3 11 i
−
10 10 10 10

2) m1 = - 2 + 2 10 ; m2 = - 2 - 2 10

3) 6

4) 19 y 20 , ó -19 y -20

5) - 9

6) 1 y 2 ; ó -2 y -1

7) 27 cm y 15 cm

8) 6 cm ; 8 cm ; 10 cm

9) 21 años

Página 172

10) 3 m

11) 26 cm

12) 11 m ; 60 m ; 61 m

13) 2,85 m

15)
a) f (- 4) = 16 , f 1 = 1
  , f ( )
7 =7
3 9
b) x = 10 ó x = -10 ; x = 5 ó x= - 5 ; no existe x real ; x = 5 ó x = -5

16)
1) a) 5 unidades hacia la derecha
b) 4 unidades hacia la izquierda y 3,5 unidades hacia abajo
c) 2,5 unidades hacia arriba
2) a) y = x 2 -10 x + 25
b) y = x 2 +8 x + 12,5
c) y = x 2 + 2,5

17) a) y = x 2 + 3 b) y = x 2 + 5 x + 6,25 c) y = x 2 - 2 x - 0,5

18)
a) V = (2 , - 4) ; x = 2 b) V = (- 3 , 2) ; x = - 3
c) V = (0 , 5) ; x = 0 d) V = (2 , 0) ; x = 2
e) V = (-1 , - 3) ; x = - 1

19)
a) y = (x - 2)2 + 3 b) y = (x + 5)2 + 4
c) y = (x - 1)2 – 5 d) y = (x + 4)2 – 6

20)
Eje de Ord. al
Raíces reales Vértice
simetría origen
a) x 1 = -2 ; x 2 = 4 (1 , - 9) x=1 (0, - 8)
b) x1 = x2 = 3 (3 , 0) x=3 (0, - 9)
x1 = 1 ; x2 = -
2  9  5
c) - 1 , -  x = -1 0 , - 
5  2  2
2
d) no tiene (-1 , - 1,5) x = -1 (0, - 2)
 1 7
e) no tiene - , -  x =-1 (0, - 2)
 2 4 2
f) no tiene (2 , 3) x=2 (0, 7)

23)
4
1) a) y = - (x + 2)2 + 3 b) y = (x - 1)2 + 2
9

Página 173

8  1 2 3
c) y = x+  - 2 d) y = (x + 2)2 + 1
49  2  4
2) a) x 1 = - 2 + 3 3 ; x 2 = - 2 - 3 3 b) No tiene raíces reales
2 2
c) x 1 = 3 ; x 2 = - 4 d) No tiene raíces reales

24) b = - 4

25) y = a (x - 2) (x - 3)

26) a = 1 ; b = 0 ; c = 0

27) y = 3 x 2 + 2 x - 1

28) y = (x - 1)2 + 1

29) Es positiva en (- ∞ , 2) ∪ (4 , ∞)
Es negativa en (2 , 4)
Se anula en x1 = 2 ; x2 = 4

30) a) ninguno b) uno c) ninguno d) dos e) dos

31)
1
a) m = 2 3 ó m=- 2 3 b) m < -
8
1
c) m > - d) m = 2 5 ó m=- 2 5
4

32)
a) y = x2 b) y = x2 + 2 c) y = x 2 - 3
d) y = - x2 e) y = - x2 + 2 f) y = - x 2 - 1
g) y = (x - 2)2 h) y = (x - 2)2 + 1 i) y = (x - 2)2 - 3
j) y = (x + 1)2 k) y = (x + 1)2 + 2 l) y = (x + 1)2 – 3

34) i) c) ii) a) iii) b)

35)
a) y = 3 x (x - 2) b) y = (x - 7) (x - 6)
c) y = (x + 7)2 d) y = - x (x - 2)
e) y = 6 (x - 2) (x + 2) f) y = 2 (x - 3) (x + 5)

36)
a) y = (x - 2)2 b) y = - 2 (x + 1)2 c) y = (x + 2)2 - 2
2
d) y = (x - 3)2 - 9 e) y =  x − 7  − 121
  f) y = 3 (x + 2)2 - 17
 2 4
2 2
g) y = 4  x − 5  - 16
  h) y = 3  x − 1  − 27
 
 2  2 4

37) Si
Página 174


38) y = π x 2

39) i) 0,2 dm3 ii) 0,8 dm3 iii) 0,018 dm3 iv) y = 0,2 x 2

40) 20 cm de ancho ; 30 cm de largo

3 2
41) y = x
4

42) 14 m

43) La altura del punto más alto es 30 m y la alcanza a los 2 seg de lanzar la piedra.

UNIDAD 6: E CUACIONES POLINÓMICAS Y RACIONALES
1) a) 10x 5 + 14x 4 – 3x 3 + 7x 2 – 27x – 21.
b) – 2x 4 + 2x 3 – 5x 2 – 3x – 16.
c) – 4x 4 + 5x 3 – 9x 2 – 3x – 9.

27 139
2) a) q (x) = x 5 + 9x – r (x) = x + 10.
2 2

b) q (x) = – x 4 + 4x 3 – 8x 2 + 24x – 48. r (x) = 96x.

3) Si. k (x) = 3x 4 + 5

4) a) r (x) =24 b) r (x) = 0
c) a (x) es divisible por c (x) pero no es divisible por b (x).

5) a) q (x) = x 5 + 3x 4 – 3 x 3 – 4x 2 + 4x – 4 r (x) = 0.
b) q (x) = –2x 4 – x 2 + 2x – 4. r (x) = 0.

6) a (x) = 3 x (x – 2) (x + 2)
b (x) = 6 x 2 (x 2 + 3 ) (x + 3 ) (x – 3)
c (x) = (x – 1) (x 2 + 1)
d (x) = 3 (x – 2) (x – 1) (x + 1)
2

e (x) = 4  x + 
1
 
 2
f (x) = 3 (x – 3) (x – 1)2 (x 2 + 1) (x + 1)
g (x) = 2 x (x 2 + 4) (x – 2) (x + 2)
2
 2   2  2 
2 1/ 3 2/ 3

h (x) = 25  x +  x −  x + 2 
  

3

 5 
   5 5 

7) a) 0, 2, –2.
b) 0, 0, – 3 i, 3 i, – 3 , 3.
c) 1, i, – i.
Página 175

d) 2, 1, – 1.
1 1
e) − , − .
2 2
f) 3, 1, 1, i, – i, -1.
g) 0, 2 i, –2 i, –2, 2.
2 2 1 3 1 3
h) − 3 , − 3 , 3 +3 i, −3 i.
5 5 20 20 3
20 20

x2 +3 − 9( x − 6)
8) a) b)
( x − 3)( x + 3) 2 ( x − 5)( x + 1)
( 2 x − 1)( x + 3) x 2 + 9x − 4
c) d)
2( x + 2)( 2 x − 5) 2( x + 2)( 2 x − 5)
7 x 2 + 5 x + 42
e)
( x − 3)( x − 7)( x + 7)

9) a = 2 y b = –3

10) a) 1 ; 0 ; 3i ; – 3i
1 7 1 7
b) 4 ; – + i ; – – i
2 2 2 2
c) – 3 ; i ; – i
1
d) ; –2 ; 1 ,–1
3
1 1 11 1 11
e) – ; – + i ; – – i
2 6 6 6 6

11) x 1 = –3 ; x2 = 2 ; x3 = 4

12) x = 9

13) a = – 3 ó a=–2

14)
Exp como producto Raíces reales
a) a (x) = x (x – 1) (x 2 + x + 1) x1 = 0 ; x2 = 1

b) b (x) = 2 x 5  x + 5  (x – 1)
  x 1 = x 2 = x 3 = x 4 = x 5 = 0 ; x 6 = –1 ; x 7 =
5
 2 2
2
c) c (x) = 5 (x + 1) (x – 2) x1 = 2
d) d (x) = (x – 3)2 x1 = x2 = 3
e) e (x) = – 2 (x – 9) (x + 9) x1 = 9 ; x2 = – 9
f) f (x) = (x – 3) (x + 3) (x 2 + 9) x1 = 3 ; x2 = – 3
g) g (x) = 4 x (x 6 + 1) x1 = 0
h) h (x) = 3 (x − 5 ) (x + 5 ) x1 = 5 ; x2 = – 5
i) i (x) = (x 2 + 6)2 No posee
j) j (x) = 2 x (x – 12)2 x 1 = 0 ; x 2 = x 3 = 12
Página 176


15) a) 4,25 miles de metros b) No c) Al cuarto día y al quinto día

16) a) k = 20 b) t 1 = 3 ; t2 = t3 = 3

17) A las 6 am; a las 6 pm y a las 6 am del día siguiente.

18) Durante la primer y sexta semana.

19)
15 6 65
a) x = – b) x = c) x = –
19 31 19
7
d) x = – e) x = 0 f) x = 4
9
− 5 + 21 − 5 − 21
g) x 1 = 0 ; x2 = ; x3 = h) no tiene solución
2 2
i) x 1 = – 2 3 i ; x2 = 2 3 i j) x = – 1

UNIDAD 7: E XPONENCIALES Y LOGARITMOS

−1
3) a) x = 7 b) x =
3

4) P (t) = 100.000 3t/50
a) 900.000 hab b) 2.700.000 hab c) 8.100.000 hab

5) P (t) = 10 4 2 t / 3
b) 2 . 10 4 bacterias b) 2 9 . 10 4 bacterias c) 2 20 . 10 4 bacterias

6) a) 60 b) 15 . 2 - 8 c) 15 . 2 – 18 d)15 . 2 - 38

1
7) a) 162 b)
5

8) a) x = 49 b) x = 1 c) x = 2
d) x = 6 e) x = ¼ f) x = 1/12
g) x = 10000 h) x = 10

10)
29
a) 0 b) 3 c) 0 d) e) - 3
6
11)
a) 3,3 b) 1,3 c) 1,15 d) 4,6

12)
a) 5/2 b) 0 c) –1/6 d) 2
e) –2 f) 4 g) 10 h) 10 7
i) 1 j) 20
Página 177


13)
a) 3,322 b) 0,431 c) - 4,322 d) - 1,661

14)
a) x = 8 b) x = 300 c) x = 2
1
d) x ≅ 0,125 e) x = 104/3 f) x =
5
g) x 1 = - 189 , x 2 = - 111 h) x = 9 i) x 1 = e - 4 , x2 = - e - 4
j) x 1 = 1 , x 2 = 32

15)
a) x = 9/4 b) x = 18963 c) x = 43/5

16)
a) x = 0 b) no tiene solución c) x ≅ 1,0986
d) x = 1 e) x = 2 f) x = 3
g) x 1 = 1 , x 2 = -1 h) x 1 = 1 , x 2 = 0 i) x 1 = 1 , x 2 ≅ 1,6094
6
j) x =
5

17) t ≅ 0,157

18) t ≅ 39,86 min

19) La población en 1984 fue de 160.213 habitantes y en el año 2000 fue de 200.000 habitantes.

20) 20,683

21) 10,907 hs.

22) t ≅ 1,356 min

a.b=1

24) p = 5

25) -2

UNIDAD 8: F UNCIONES TRIGONOMÉTRICAS DE ÁNGULOS

1) 4º, 3º, 2º, 3º, 2º, 1º.

2) 23,18º = 23º 10’ 48’’ 107,03º = 107º 1’ 48’’.

Página 178

5)

Grados 0 30º 45º 60º 90º 120º 135º 150º 180º 240º 270º 300º 360º

π π π π 2 3 5 4 3 5
Radianes 0 π π π π π π π 2π
6 4 3 2 3 4 6 3 2 3

180º
6) = 57,2957º = 57º 17’ 45’’.
π

7) 34°22’39’’= 0,6 rad

8) 15 cm.

3
11) tg 0º = 0, tg 30º = , tg 45º = 1, tg 60º = 3
3

3 2 3
12) sen α = , cos α = − tg α = −
13 13 2

5 3 5
13) a) sen α = cos α = tg α =
34 34 3
3 4 3
b) sen α = cos α = tg α =
5 5 4

14) a) b = 4 2 c=6
b) b = 4 c=2 5
15
c)
128

15) a) 2 3 b) 3 + 3 3

16) a) α = 40º 36’ 4,66’’ β = 49º 23’ º55,34’’
b) α = 22º 53’ 7,37’’ β = 67º 6’ 52,63’’

18) sen 98º > 0 cos 98º < 0 tg 98º < 0
sen 220º < 0 cos 220º < 0 tg 220º > 0
sen 75º > 0 cos 75º > 0 tg 75º > 0
sen 160º > 0 cos 160º < 0 tg 160º < 0
sen 300º < 0 cos 300º > 0 tg 300º < 0
sen 185º < 0 cos 185º < 0 tg 185º > 0

19) a) 4º b) 2º c) 3ºd) 4º

5 2
20) a) cos α = tg α = −
3 5
3 1
b) sen α = cos α =
2 2
Página 179

21 21
c) sen α = tg α = −
5 2
2 3
d) sen α = − cos α = −
3 3

21) a) α = 140º 36’ 21,4’’. b) α = 125º 0’ 0,54’’
c) α = 130º 59’ 43,8’’ d) α = 296º 33’ 54,1’’
e) α = 199º 28’ 16,4’’ f) α = 131º 13’ 25,1’’

22)
Sexagesimal Radial sen cos tg
1
α1 36º π 0,587785 0,809016 0,726542
5
α2 57º 17’ 45’’ 1 0,84147 0,54030 1,55741
3
α3 135º π 0,707106 - 0,707106 -1
4
421
α4 210º 30' π - 0,507538 - 0,861629 0,589045
360
7
α5 157º 30’ π 0,382683 - 0,923879 - 0,414213
8
9
α6 810º π 1 0 No existe
2
7
α7 - 210º - π 0,5 - 0,866025 - 0,57735
6
α8 - 162º 38' 20'' - 0,9035 π - 0,298393 - 0,954443 0,312635

23) α = 120º y α = 240º

24) α = 45º y α = 225º

25) a) b = 2,5 cm, c ≅ 4,33 cm, γ = 60º
b) a ≅ 5,38 cm, γ = 68º 11’ 54,93’’, β = 21º 48’ 5,07’’
c) a ≅ 150,56 cm, c ≅ 126,26 cm , β = 33º

26) 43,301 m

27) 30,22 m.

28) 212,012 m.

29) 5,62 km.

30) 87,185 m.

31) 3,89 m.

1 3
32) c = a , b= a , b= 3 c
2 2

Página 180

2
33) Las diagonales miden 7,54 cm y el área 19,79 cm .

34) El frente tiene 23,094 m y el área que ocupa es de 584,53 m2 .

35) 742,486 m.

36) 1,538 cm2 .

37) La longitud de la diagonal es de 313,08 m y el ángulo que esta forma con el lado mayor
es 19º 0’ 49,23’’.

38) Cada lado mide 7,211 cm y los ángulos interiores 112º 37’ 11,5’’ y 67º 22’ 48,48’’

39) La altura del poste es de 8,66 m y la longitud del cable 10 m.

40) 80º 0’ 37,5 ’’

41) 2/3 π cm = 2,094 cm

42) 100º

43) 21,21 km hacia el norte y la misma cantidad hacia el oeste.

44) El perímetro es 151,28 m y el área 647,211 m2 .

45) El perímetro es 58,77 m y el área 237,76 cm2 .

46) 35,46 m.

47) 137,373 m.

48) 13,95 m.

49)
120º 135º 150º 210º 225º 240º 300º 315º 330º
3 2 1 1 2 3 3 2 1
sen α - - - - - -
2 2 2 2 2 2 2 2 2
1 2 3 3 2 1 1 2 3
cos α - - - - - -
2 2 2 2 2 2 2 2 2
3 3 3
tg α - 3 -1 - 1 3 - 3 -1 -
3 3 3

50) 75º 57’ 49,53’’ ; 75º 57’ 49,53’’ ; 28º 4’ 20,94’’

51) 2º , 24º , 18º

53) sen α = - 1 ; cos α = - 3
2 2

Página 181


UNIDAD 9: N ÚMEROS COMPLEJOS EN FORMA POLAR

2)
a) (6 , 90º) b) ( 29 , 158º 11’ 54,9’’)
c) (4 , 180º) d) ( 53 , 285º 56’ 43,4’’)

3)
3 3
a) z = 2 + 2 i b) z = + 3 i
4 4
3 3
c) z = - 3,064 - 2,571 i d) z = - 3 i
8 8

4) 360º k , k ∈ Z ; 180º + k 360º , k ∈ Z

5) 45º ; 405º ; 765º

6) z =  z  arg z = 360º - arg z

7) z = - z arg (-z) = 180º + arg z

5 5 5 5
8) z = 2 - 2 i = 5 cis 135º ; -z=- 2 - 2 i = 5 cis 225º
2 2 2 2

9) 135º

10) Las raíces en forma polar son ( 3 , 30º ) y (3 , 330º ). Se trata de números complejos
conjugados.

11) 4 – 3i ; 4 + 3i

12)
1 i 1
a) (1 + 3i ) b) − c) − (1 + i )
6 2 2

13) ( 3 2 , 300º )

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