Cuadernillo de álgebra

COLEGIO DE ESTUDIOS CIENTÍFICOS Y
TECNOLÓGICOS DEL ESTADO DE
CHIHUAHUA
CECyT 8, CUAUHTÉMOC
ÁLGEBRA
Guía y cuadernillo de trabajo
ACADEMIA DE MATEMÁTICAS
Esta Guía fue elaborada por:
Ing. Eduardo García Mendoza

2
PROPÓSITO DEL CURSO
Que el estudiante desarrolleel razonamientomatemático,hagausodel lenguaje algebraico,apartirde la
resoluciónde problemasde lavidacotidiana,dentroyfueradel contextomatemático, representados en
modelos donde se aplican conocimientos y conceptos algebraicos.
MAPA DEL CURSO
Á L G E B R A
Lenguaje algebraico Ecuaciones
Expresión algebraica
- Suma, resta,
multiplicación y
división
- Leyes de los
exponentes y radicales
- Productos notables
- Factorización
Ecuaciones
cuadráticas
Operaciones
fundamentales
Ecuaciones lineales
- Notación
-Representaciones
algebraicas de
expresiones en
lenguaje común.
- interpretación de
expresiones
algebraicas.
- Evaluación numérica
de expresiones
algebraicas
Con una
incógnita
Con dos y tres
incógnitas
- Métodos de
solución
Resolución
y
evaluación
de
ecuaciones
- sistemas de
ecuaciones
- Métodos de
solución
El Álgebra es un lenguaje universal, ya que en todo el mundo su
simbología es la misma y cualquiera puede comprenderla.

3
ÍNDICE
Propósito del curso. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
Mapa del curso. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
Evaluación Diagnóstica. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
PARTE I. Lenguaje algebraico
Unidad I. Expresión algebraica
1.1. Notación algebraica. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.2. Traducción del lenguaje común al lenguaje algebraico. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.3. Evaluación numérica de expresiones algebraicas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .10
Unidad II. Operaciones fundamentales
2.1. Operaciones fundamentales Aritméticas (Leyes de los signos). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2.2. Leyes de los exponentes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .16
2.3. Operaciones fundamentales algebraicas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .17
Suma. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .18
Resta. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .19
Multiplicación. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
División. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .23
2.4. Productos notables. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .26
2.5. Factorización. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
PARTE II. Ecuaciones
Unidad III. Ecuaciones Lineales
3.1. Ecuaciones lineales con una incógnita. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
3.2. Ecuaciones lineales con dos y tres incógnitas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .36
Método de reducción. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .36
Método de igualación. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .37
Método de sustitución. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
Con tres incógnitas. ... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .40
Unidad IV. Ecuaciones Cuadráticas
4.1. Clasificación de ecuaciones cuadráticas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
4.2. Métodos de solución. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
Fórmula general. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
Factorización. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
Método gráfico. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .44
Anexos
Autoevaluación 1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .45
Autoevaluación 2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .46
Autoevaluación 3. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

4
EVALUACIÓN DIAGNÓSTICA
INSTRUCCIONES:EN EQUIPOS DE 5 PERSONAS CONTESTAR EL SIGUIENTE CUESTIONARIO
1.- EXPLICA PORQUE EL ÁLGEBRA ES UN LENGUAJE UNIVERSAL
2.- DEFINE ÁLGEBRA CON TUS PROPIASPALABRAS
3.- ¿QUÉ SÍMBOLOSSE UTILIZAN EN ÁLGEBRA PARA REPRESENTARCANTIDADES?
4.- ¿QUÉ ES UN COEFICIENTE?
5.- MENCIONA LOS SIGNOSDE OPERACIÓN QUE SE UTILIZAN EN ÁLGEBRA?
6.- MENCIONA LOS SIGNOSDE AGRUPACIÓN
7.- DEFINE TÉRMINO
8.- QUE ES UN MONOMIO Y QUE ES UN POLINOMIO
9.-LASSIGUIENTES EXPRESIONES ESTAN EN LENGUAJE COMÚN, EXPRESALAS EN LENGUAJE ALGEBRAICO:
a) UN NÚMERO
b) UN NÚMERO AUMENTADO EN DOS
c) LA CUARTA PARTE DE UN NÚMERO
d) EL TRIPLE DE UN NÚMERO
e) CINCO VECES LA SUMA DE UN NÚMERO Y CUATRO UNIDADES
10.- ESCRIBE EN LENGUAJE COMÚN LAS SIGUIENTES EXPRESIONES:
a) 4 a
b) x/5
c) 3b2
d) 1/2x = ¾
e) a = l2
11.- DETERMINAR EL VALOR NUMÉRICO DE LAS EXPRESIONES:
a) 3 a + 7 = SI a = 3
b) 4m/2 + 2n = SI m = 2 y n = 7

6
UNIDAD I
EXPRESIÓN ALGEBRAICA
COMPETENCIAS A DESARROLLAR
GENÉRICA 5.1 Sigue instrucciones y procedimientos de manera reflexiva, comprendiendo que cada uno de sus
pasos contribuye al alcance de un objetivo.
DISCIPLINAR Formula y resuelve problemas matemáticos, aplicando diferentes enfoques.
ÁLGEBRA
Es la parte de las matemáticas que generaliza, sustituye y simplifica todas las operaciones que
intervienen en el cálculo numérico y la geometría.
Para generalizar, el álgebra, utiliza letras que pueden representar todos los valores. El ejemplo
más funcional de las aplicaciones prácticas del álgebra esta en el uso de las fórmulas
geométricas empleadas para calcular áreas y perímetros; mientras que en física, las leyes
debidamente comprobadas se interpretan por medio de fórmulas.
1.1. NOTACIÓN ALGEBRAICA
Para representar cantidades en álgebra se utilizan números, que son cantidades conocidas y,
letras para cantidades conocidas y desconocidas.
Todas las cantidades conocidas se expresan por las primeras letras del abecedario: a, b, c, d,
e...
Todas las cantidades desconocidas se expresan por las ultimas letras del abecedario: s, t, u,
v, w, x, y, z...
Variable
Es una letra o símbolo que puede tomar cualquier valor de un conjunto de números, es decir,
puede cambiar de valor. EJEMPLO:
Dada la función y= 3x, si asignamos valores a "x", resulta que el valor de "y" cambiará
conforme "Varia" el valor de “x", por ejemplo:
Sí x = 1 sí x = 2 sí x = 3
y = 3(1) y = 3(2) y = 3(3)
y = 3 y = 6 y = 9

7
Constante
Es cualquier letra o símbolo con un valor numérico fijo, es decir, no pueden cambiar de
valor. EJEMPLO:
Cualquier numero, por ejemplo "9" siempre será nueve; π = 3.1416 es una constante que
representa la razón de la circunferencia de un circulo al diámetro
Expresiones algebraicas
Se conoce como expresión algebraica a cualquier literal sola, así como al grupo de números y
literales compuestas de signos operacionales de suma, resta, multiplicación, etc.
EJEMPLOS:
x, 6x, 7ab2
, x – 4y, 2x3
+ 4x2
y – 5xy2
+ y3
Término algebraico
Es cada una de las partes de una expresión algebraica separada por un signo de (+) o de (-).
Todo término algebraico consta de un factor numérico llamado coeficiente y de una parte literal.
El coeficiente es el valor numérico, que multiplica a los otros factores que forman la parte
literal. Cuando el coeficiente es la unidad (1), éste no se escribe. En ocasiones una letra puede
hacer las veces de coeficiente: en ax2
y el coeficiente es “a”.
La parte literal esta integrada por las letras con sus respectivos exponentes.
El exponente es el número que indica cuantas veces la base se multiplica por si misma.
EJEMPLOS:
TÉRMINO COEFICIENTE PARTE LITERAL
x 1 x
2b 2 b
3x2
y 3 x2
y
5(x2
– y3
) 5 (x2
– y3
)
x3
y4
z2
1 x3
y4
z2
axy2
a xy2
EJERCICIO 1.1.1
Completa la siguiente tabla escribiendo los coeficientes o la parte literal faltante.
TÉRMINO COEFICIENTE PARTE LITERAL
y
5ab3
3x3
ax5
y2
-6 a2
b4
c7

8
-x2
y4
z
9(a + b3
)
-2 m2
n
½ x4
y2
z4
x3
y2
z
-2xy2
3
Clasificación de expresiones algebraicas
Las expresiones algebraicas se clasifican generalmente en monomios y polinomios:
El monomio es una expresión algebraica que consta de un solo término.
El polinomio es una expresión algebraica que consta de dos o más términos. Algunos
polinomios reciben nombres especiales; el polinomio de dos términos se denomina binomio y
el de tres términos trinomio.
1.2. TRADUCCIÓN DEL LENGUAJE COMÚN AL LENGUAJE
ALGEBRAICO
En el lenguaje común o verbal se emplean palabras, mientras que en el lenguaje algebraico se
emplean letras y símbolos. Ejemplos:
LENGUAJE COMÚN LENGUAJE ALGEBRAICO
Un número cualquiera x
La suma de dos números a + b
El producto de dos números xy
El triple de un número 3b
La mitad de un número ½ x o x/2
La diferencia del doble de un número menos
siete 2x – 7
La raíz cúbica de un número √ 𝑥3
El cubo de un número x3
La suma de los cuadrados de dos números x2
+ y2
El doble producto de la diferencia de dos números 2(x + y)
La semisuma de dos números a + b
2

9
EJERCICIO 1.2.1
Expresar las siguientes expresiones algebraicas al lenguaje común:
1.- El doble de un número ___________________________________________________
2.- La diferencia de los cuadrados de dos números ________________________________
3.- El cociente de dos números _______________________________________________
4.- La mitad del cuadrado de un número ________________________________________
5.- El triple de un número disminuido en 12 ______________________________________
6.- La raíz cuadrada del producto de dos números ________________________________
7.- El triple producto de la suma de dos números _________________________________
8.- El triple producto del cuadrado de un número por otro número ____________________
9.- La semidiferencia de dos números __________________________________________
10.- El producto del cuadrado de un número por la suma de otros dos ________________
EJERCICIO 1.2.2
Traducir las siguientes expresiones algebraicas al lenguaje común o verbal:
1.- x ___________________________________________________________________
2.- 5x __________________________________________________________________
3.- xy2
_________________________________________________________________
4.- m + n _______________________________________________________________
5.- 3(x – y) ______________________________________________________________
6.- 1/3 x2
_______________________________________________________________
7.- √ 𝑥 ________________________________________________________________
8.- x/y _________________________________________________________________
9.- 3x – 4 _______________________________________________________________
10.- x3
+ y3
______________________________________________________________
11.- x + y
2 _______________________________________________________________
12.- (x + y)2
______________________________________________________________
13.- x + y
u – v _______________________________________________________________

10
1.3. EVALUACIÓN NUMÉRICA DE EXPRESIONES ALGEBRAICAS
Dado el valor numérico de la(s) variable(s) de una expresión algebraica, puede determinarse su
valor con solo realizar la sustitución de dichos valores. EJEMPLO:
Si x = 7 en la expresión 3x + 2 =
Entonces 3(7) + 2 = sustituyendo x
21 + 2 = al multiplicar 3(7)
21 + 2 = 23 realizando la suma.
Por lo tanto 3x + 2 = 23 cuando x = 7
Otras sugerencias para realizar la evaluación:
2x2
– x + 5 =
x = 3
-2x3
+ 4x2
– 8x + 3 =
x = -3
x2
– 4xy + y2
=
x = 2 y = 3
EJERCICIO 1.3.1
Encuentra el valor numérico para las siguientes expresiones algebraicas.
EXPRESIÓN ALGEBRAICA SUSTITUCIÓN RESULTADO
4x – 3 =
X = -3
4x – 3 =
4(-3) – 3 =
-12 – 3 = -15
4x – 3 = -15
7x – 9 =
x = 2
3x2
– x + 4 =
x = 5
-x2
– 5x + 7 =
x = -2

11
-5x2
– 6x – 8 =
x = 10
- 4x3
+ 6x2
+ x – 2 =
x = 9
6x2
– 3y =
x = 2 y = -3
7x2
– 2y2
– 4 =
x = -5 y = 4
x3
+ x2
+ 5x – 9 =
x = 4
x2
+ 2xy – y2
=
x = 3 y = -2
-x3
+ x2
– x + 1 =
x = -1
-2x3
+ x2
y2
– 3y3
=
x = - 4 y = 3
½ x4
– 2x3
+ 2/3 x2
- 3x +1 =
x = - 5

12
UNIDAD II
OPERACIONES FUNDAMENTALES
2.1. OPERACIONES FUNDAMENTALES ARITMÉTICAS (LEYES DE LOS
SIGNOS)
Suma y resta
1.- Para sumar expresiones con cantidades del mismo signo, dichas cantidades se suman
conservando el signo.
2.- Para sumar expresiones con cantidades de signo distinto, dichas cantidades se restan
anteponiendo a dicho resultado el signo de la cantidad mayor.
EJERCICIO 2.1.1
Efectúa las siguientes operaciones:
1) 8 + 3 = 15) – 6 – 5 + (- 2) +3 =
2) -5 – 3 =
3) – 4 + 5 = 16) 8 – (- 4) + (- 5) – (- 5) =
4) – 7 + 2 =
5) 7 – 3 = 17) – (- 6) + (- 3) – 5 + (- 4) =
6) 3 – 9 =
7) – 2 – 4 + 5 = 18) – (- 3) – (- 9) – (- 2) + (- 2) =
8) 2 – 5 – 7 =
9) - 3 + 4 – 8 = 19) 1 - 3 + 2 =
3 2 5
10) – 4 - 9 + 1 + 12 =
11) 2 – 5 + 4 – 3 +1 =
20) 3 + 4 – 2 =
4 3 5

13
12) 15 – 12 + 10 + 5 – 18 = 21) -5 – 3 + 6 + 2 =
6 2 4 3
13) - 14 + 12 – 16 + 4 – 5 =
14) 5 + (- 8) – (- 2) + 1 =
EJERCICIO 2. 1. 2
Resuelve los siguientes problemas de la misma manera que el ejemplo propuesto.
1.- Juan gana $350 a la semana en la tienda de su tío y $250 en un taller. ¿Cuánto gana en
total?
DATOS OPERACIONES RESULTADO
$ 350 TIENDA
$ 250 TALLER 350 + 250 = $600 EN TOTAL
2.- Si debo a un amigo $70 y a otro le debo $30. ¿Cómo expreso mi estado de cuenta?
Nota: los adeudos deben llevar signo negativo.
3.- Gané en la semana $530 en mi trabajo, pero pagué una cuenta de $135. ¿Con cuanto
dinero cuento?
4.- De mis ahorros en el banco he realizado las siguientes operaciones: depósito $325, retiro
$15, depósito $140, depósito 650, retiro 400 y depósito $150; ¿Cuál es mi estado de cuenta
actual?
5.- Una ciudad con una población de 15000 habitantes disminuye en 800 individuos por año.
¿Cuál es la población al cabo de 3 años?

14
Multiplicación y división
1.- Cuando se multiplican o dividen cantidades del mismo signo, el resultado es un número
positivo.
2.- Cuando se multiplican o dividen cantidades de distinto signo, el resultado es un número
negativo.
EJERCICIO 2.1.3
Efectúa las siguientes multiplicaciones y divisiones:
1) (2)(5) = 13) (-45) / (-5) =
2) - 4 : 5 = 14) (-4)(2)(-3)(2) =
3) (-12)(3) = 15) - 12 : (-3) =
4) -8 / - 2 = 16) (-3)(-5)(3)(-1)(2) =
5) (10)(-6) = 17) (- 90) / (3) =
6) (6) : 2 = 18) 60 : (-12) =
7) (-7)(-8) = 19) _ 1 * 3 =
5 2
8) 28 / (- 7) =
9) (-2)(8)(-5) = 20) _ 2 : 4 =
7 3
10) 125 : 25 =
11) (6)(-5)(3) = 21) _ 4 * _ 1 =
3 6
12) (-4)(2)(-3)(2) =
22) 5 : _ 3 =
4 8
EJERCICIO 2. 1. 4
Resuelve los siguientes problemas.
1.- Es el producto de 5 veces -6.
2.- Es el cociente de dividir -450 entre 5.

15
3.- El alquiler de un automóvil es de $350 por día, más $15 por kilómetro recorrido. Si un cliente
lo utilizo por 4 días
4.- La suma de los ángulos de un triángulo es de 180°. Si los ángulos son iguales, calcule
cuanto mide cada ángulo.
5.- En un supermercado se redujo el precio de las computadoras en un 15%. Sí el precio
original era de $8500. ¿Cuál ee el precio actual?
6.- El renta mensual de un teléfono más el internet es de $395. ¿Cuánto se paga diariamente?
7.- Iván recibe un salario semanal de $360 más 10% de comisión por el total de ventas
realizadas. ¿Cuánto ganó éste mes si las ventas ascendieron a $2800?
8.- La base de un triángulo es 1/3 de su altura. Sí mide 168 cm. de altura. ¿Cuánto mide de
base?

16
2.2. LEYES DE LOS EXPONENTES
Exponente
Es el número que indica cuantas veces la base se multiplica por sí misma.
Leyes de los exponentes.- Se establecen cinco leyes de los exponentes enteros y positivos,
las cuales son:
1.- Cuando dos potencias de la misma base se multiplican, sus exponentes se suman.
( x2
) ( x3
) = x2+3
entonces ( x2
) ( x3
) = x5
2.- Cuando dos potencias de la misma base se dividen, sus exponentes se restan.
x5
= x5-3
entonces x5
= x2
x3
x3
x2
= x2-5
entonces x2
= x-3
que es igual a 1
x5
x5
x3
x2
= x2-2
entonces x2
= x0
que es igual a 1
x2
x2
3.- Cuando una potencia base se eleva a otra potencia, los exponentes se multiplican.
( x3
)5
= x(3)(5)
entonces ( x3
)5
= x15
4.- Cuando un producto de uno o más factores se elevan a la vez a una potencia, cada factor
estará elevado a dicha potencia.
( xy )3
= x3
y3
5.- Cuando un cociente se eleva a una potencia, tanto el dividendo como el divisor estarán
elevados a dicha potencia.
( x/y )4
= x4
/y4
EJERCICIO 2.2.1
Efectúa las siguientes operaciones con potencias:
1. (x2
)(x)(x3
) = 5. x2
/ x4
= 9. (x/y2
)3
=
2. y3
/ y = 6. (4x3
)(3x)(2x4
) = 10. (x2
/y5
)2
=
3. (x)(x) = 7. x3
/x3
= 11. y5
/y4
=
4. (4x)(2x2
) = 8. 12y3
/3y2
= 12. 6x/2x3
=

17
2.3. OPERACIONES FUNDAMENTALES ALGEBRAICAS
Términos semejantes
Son dos o más términos que tienen la misma parte literal afectada por los mismos exponentes.
De los términos: x2
y, 4x3
y2
, -5x2
y, 3x3
y, -x3
y2
, 2x3
y
x2
y, -5x2
y Son términos semejantes.
4x3
y2
, -x3
y2
Son términos semejantes.
3x3
y, 2x3
y Son términos semejantes.
EJERCICIO 2.3.1
Elije y escribe del rectángulo los términos que sean semejantes a los escritos al inicio de cada
renglón:
x2
y ____________________________________________________________________
xy2
_____________________________________________________________________
m3
n _____________________________________________________________________
x2
y2
_____________________________________________________________________
mn3
_____________________________________________________________________
m2
n2
____________________________________________________________________
Reducción de términos semejantes (Suma y resta de monomios)
Operación por medio de la cual se obtiene un solo término, a partir de dos o más términos que
son semejantes.
EJERCICIO 2.3.2.
Reducir términos semejantes:
1. x + 3x = ______________________ 7. – 4x4
y3
– 2x3
y4
+ x4
y3
- 7 x3
y4
= __________
2. – 5y – 2y = ____________________ 8. 9x – x2
+ 7 – 2x2
– 6x + 7 = _____________
3. 4x2
+ 3x2
– x = _________________ 9. – x3
– 3y3
+ 4x3
– 3 + 3y3
– 5 = ___________
4. 5x3
– 4x2
– 4x3
+ 3x2
= ___________ 10. ½ x + ¾ x3
+ 2/3 x – 5/4 x3
= ____________
5. x2
y – 2xy2
– 2x2
y – xy2
= _________ 11. 2xy2
– ½ x2
y + 7/3 xy2
+ 3/7x2
y = _________
6. 3x – 2 – 6x2
– 7x2
– 3x = __________ 12. – 2/3 y2
– 5/2 x2
+ 3/7 y2
+ ¼ x2
= ________
-x2
y 7m3
n -2x2
y2
4xy2
-mn3
4x2
y 6xy2
-5m2
n2
8m3
n
-4x2
y2
3mn3
9m2
n2
3xy2
-2m2
n2
5x2
y 3m3
n -2mn3
-9xy2
7m2
n2
-1/3mn3
x2
y2
5m3
n 3xy2
6m2
n2
2x2
y 3/2mn3
-m3
n

18
SUMADE POLINOMIOS
La suma de polinomios comúnmente se escribe incluyendo a los sumandos entre paréntesis o
separados por comas. Para resolver, se escriben los polinomios unos debajo de los otros,
procurando que los términos semejantes queden en columna, y se realiza la reducción.
EJERCICIO 2.3.3. Operaciones
Sumar:
1. (x–y) + (2x-z +3y) + (5y-4x) = _________________________________
2. –x+4x2
-3, -5-6x2
, 2x–x2
+1 = __________________________________
3. (-7x2
+xy-y2
) + (-x2
+xy-4y2
) + (-2xy+3x2
+4y2
) + (3x2
-2y2
+5) = ________
4. 5x3
+4x-3x2
, -9x2
+3-2x, x3
+5x2
-7+2x = __________________________
5. (x6
-6x4
+2x2
-x-7) + (3x4
+x-4x2
-7x6
-3) + (x6
+3x4
-9x2
-2) = ______________
6. -x2
+5xy-y2
, -3x2
-xy-4-y2
, -xy-4x2
+y2
, x2
-6y2
+5 = __________________

19
RESTADE POLINOMIOS
Para realizar la resta de polinomios, se cambia el signo a todos los términos del sustraendo y se
concluye la operación como en el apartado anterior. (Suma de polinomios).
EJERCICIO 2.3.4. Operaciones
Resuelve correctamente:
1. De 2x-3y Restar -x+y = ___________________________________
2. (x2
-3xy+y2
) - (-4xy-y2
+3x2
) = ___________________________________
3. De x2
-3x Restar -5x+6 = ___________________________________
4. (y2
+6y3
-7-y) - (2y4
-3y-5y2
-7y3
) = _________________________________
5. De -x4
+x2
-3x-1 Restar 2x4
-2x2
+4x-1 = _________________________
6. (x-y+2z) - (-x+2y-3z) = _________________________________________
7. De 3/7x2
+1/3xy-3/5y2
Restar 5/14x2
+1/2xy–1/6 = _______________
8. (1/2x2
-3/4y2
+2/3z2
) - (-5+x2
-z2
+y2
) = _______________________________

20
MULTIPLICACIÓN
Recuerda que:
Multiplicación de monomios
Para efectuar la operación, se multiplican los coeficientes y a continuación se escriben las letras
en orden alfabético con la suma de sus exponentes.
EJERCICIO 2.3.5.
Multiplicar:
1. (3x2
) (-2x) = _________ 5. (-4x3
) (x2
) = _________ 9. (4ax4
) (5xy3
) = _________
2. (-4x2
y) (-2xy2
) = ______ 6. (9x5
y2
) (-yx2
) = ______ 10. (-x3
y2
) (3xy2
) = ________
3. (7x3
yz2
) (xyz5
) = ______ 7. (-x2
y2
z) (-6x2
z2
) =_____ 11. (5m2
n) (-3m2
n3
) = _____
4. (-8xy3
) (7xy) = _______ 8. (1/2x2
) (3/4xy2
) = ____ 12. (-2/3y3
) (-1/4y) = ______
Multiplicación de monomio por polinomio
Para encontrar el producto de la multiplicación, se multiplica el monomio por cada uno de los
términos del polinomio. Los exponentes deben escribirse en forma decreciente para una literal.
EJERCICIO 2.3.6.
Multiplicar:
Orden descendente con relación a PRODUCTO
una misma letra (Solo si es necesario)
1. (3x) (4x5
-2x3
+7x) = ____________________________ = _________________________
2. (-y) (3y+5-4y3
) = _____________________________ = _________________________
3. (-m2
n) (-m2
-5mn+n2
) = _________________________ = _________________________
4. (6x3
) (4-3x-8x2
) = ________________________________ = _________________________
5. (2x2
) (-5x+3x2
+7) = ____________________________ = __________________________
6. (4y2
) (6y2
-3y+5) = _____________________________ = __________________________
7. (5m3
) (6m7
-10m5
+9m3
) = ________________________ = _________________________
8. (x) (-3-5x+7x2
) = _______________________________ = _________________________
9. (1/3x4
) (3/2x3
-1/4x2
+2/3x) = ______________________ = ________________________
10. (-3/4y) (-1/2-2/3y2
-1/4y) = _______________________ = ________________________
1.- Cuando dos potencias de la misma base se multiplican, sus exponentes se suman.
EJEMPLO:
( x2 ) ( x3 ) = x2+3 entonces ( x2 ) ( x3 ) = x5

21
Multiplicación de polinomio por polinomio
Para encontrar el producto, se multiplican cada uno de los términos del multiplicando por cada
uno de los términos del multiplicador; no olvidar reducir términos semejantes y escribir los
exponentes en forma decreciente para una literal.
EJERCICIO 2.3.7.
Multiplicar:
1. (x-5) (x-4) = __________________________ 2. (-x+2) (-x+5) = ________________________
3. (y+1) (3+y2-3y-y3) = ____________________ 4. (x-y) (x2+xy+y2) = ______________________
5. (x2+y2-2xy) (x-y) = _____________________ 6. (x3-x+x2) (x-1) = ________________________

22
7. (3x3+5-6x) (x2+2) = ____________________ 8. (4m-5n) (3m2-5mn+2n2) = ________________
9. (x4-3x2+4) (3x3-2x+1) = _________________ 10. (1/2x-2/5y) (5/6y+1/3x) = ________________

23
DIVISIÓN
Recuerda que:
División de monomios
Para encontrar el cociente de la división, se dividen el coeficiente del dividendo entre el
coeficiente del divisor y luego se escriben las letras en orden alfabético con el exponente
resultante de la diferencia, de acuerdo a la ley de los exponentes ejemplificada en el recuadro.
EJERCICIO 2.3.8.
Dividir:
1. 14x3
y4
: ( -2xy2
) = _____ 5. (-5y2
) : (-y) = _________ 9. (-8x2
y3
) : (-8x2
y3
) = ______
2. 5x4
y5
/ 6x4
y = ________ 6. 9x5
y2
: ( -yx2
) = _______ 10. (-x3
y2
) : 3xy3
= ________
3. 8x3
yz2
: 2xyz5
= _______ 7. (-12x4
y3
z7
) :(-4x2
z2
) =___ 11. (5m4
n5
) : (-3m2
n3
) = ____
4. -10xy / 5xy = _________ 8. (2/3x2
y5
)/(1/5xy2
) = ____ 12. (2/3y3
) : (-1/4y2
) = _____
División de polinomio entre monomio
El cociente se obtiene dividiendo cada uno de los términos del dividendo entre el monomio
divisor. Los términos del polinomio deben ordenarse en caso de ser necesario.
EJERCICIO 2.3.9.
Dividir:
Orden descendente con relación a COCIENTE
una misma letra (Solo si es necesario)
1. (x2
-xy) / (x) = __________________________________ = ________________________
2. (4x6
-10x5
-5x4
) : (-2x3
) = __________________________ = ________________________
3. (6x3
-8x2
y+20xy2
) / (-2x) = _________________________ = ________________________
4. (-10x2
+x4
-5x3
+15x) : (-5x) = _________________________ = ________________________
5. (6x4
y3
-5x2
y4
) / (-3x2
y) = __________________________ = ________________________
6. (9x8
y3
-3x6
y6
-6x2
y9
) : (3x2
y3
) = _______________________ = _______________________
2.- Cuando dos potencias de la misma base se dividen, sus exponentes se restan.
x5 = x5-3 entonces x5 = x2
x3 x3
x2 = x2-5 entonces x2 = x-3 que es igual a 1
x5 x5 x3
x2 = x2-2 entonces x2 = x0 que es igual a 1
x2 x2

24
7. (5x5
-10x7
+15x3
-20x4
) / (5x3
) = _____________________ = ________________________
8. (12y4
-16y3
+4y2
-8y) : (4y) = _______________________ = ________________________
9. (3/2x3
-1/4x2
+2/3x) / (1/2x) = ______________________ = ________________________
10. (-1/2y2
-2/3y3
-1/4y) : (-3/4y) : = _____________________ = ________________________
División de polinomio entre polinomio
Para encontrar el cociente sigue muy atentamente la explicación de tu profesor, no olvides
ordenar los términos con base a la primera literal.
EJERCICIO 2.3.10.
Dividir:
1. (x2+2x -3) / (x+3) = ______________________ 2. (y2-20+y) : (y+5) = ______________________
3. (6+x2+5x) : (x+2) = _______________________ 4. (-15x2+22xy-8y2) / (-3x+2y) = _____________

25
5. (14y2-12+22y) / (7y-3) = ___________________ 6. (32y2-54x2+12xy) : (9x-8y) = ______________
7. (x4-x2-2x-1) : (x2+x+1) = ____________________ 8. (y5+12y2-5y) / (y2-2y+5) = ________________

26
2.4. PRODUCTOS NOTABLES
Se denominan productos notables a ciertos productos que cumplen reglas fijas y puede
escribirse su resultado en base a las mismas.
Binomio al cuadrado
El resultado del binomio al cuadrado se llama Trinomio Cuadrado Perfecto (TCP) y su forma
general es a2
+2ab +b2
.
EJERCICIO 2.4.1.
Determinar el TCP correcto siguiendo la regla general:
1. ( x – y )2 = ___________________________ 11. ( 6x2y + z2 )2 = ________________________
2. ( x + y )2 = ___________________________ 12. ( 7y3 – 2 )2 = __________________________
3. ( 2x - y )2 = __________________________ 13. ( x3 + 4y3 )2 = _________________________
4. ( 3x + 2y )2 = _________________________ 14. ( 13x3y2 – 9z3 )2 = ______________________
5. ( 4x2 – 5y3 )2 = ________________________ 15. ( 5x3y5 + 8z4 )2 = _______________________
6. ( 10x3 + y2 )2 = ________________________ 16. ( y – 12z3 )2 = _________________________
7. ( 6x4 – 8y5 )2 = ________________________ 17. ( 10x3y4z2 + 6 )2 = ______________________
8. ( x2 + 9y6 )2 = _________________________ 18. ( 7x3y3z2 - 9 )2 = _______________________
9. ( 7x – 11y4 )2 = ________________________ 19. ( 3x4 – 8y3 )2 = ________________________
10. ( 12x2 – 1 )2 = ___________________________ 20. ( 11x6y3 + 12z5 )2 = _____________________
Binomios conjugados
Se llaman binomios conjugados a aquellos que tienen dos términos iguales y dos simétricos; en
(a+b) y (a-b), los términos “a” son iguales y los términos +b y –b son simétricos. (uno es positivo
y otro negativo).
Al producto de dos binomios conjugados se le denomina diferencia de cuadrados y su forma
general es a2
- b2
.
La regla general para obtener el Trinomio cuadrado perfecto es:
1.- El cuadrado del primer término
2.- Signo del segundo término
3.- El doble producto del primero por el segundo
4.- Signo positivo siempre
5.- El cuadrado del segundo término
La regla general para obtener la diferencia de cuadrados es:
1.- Se escribe la diferencia de cuadrados de ambos términos
2.- Se escribe el signo negativo al término que proviene de los términos
simétricos.

27
EJERCICIO 2.4.2.
Determinar la diferencia de cuadrados correcta siguiendo la regla general:
1. ( x – y ) ( x + y ) = ____________________ 11. ( 6x2y + z2 ) ( 6x2y - z2 ) = ______________________
2. ( 2x - y ) ( 2x + y ) = _________________ 12. ( x3 + 4y3 ) ( x3 - 4y3 ) = ________________________
3. ( x2 + y ) ( x2 - y ) = ___________________ 13. ( 7y3 – 2 ) ( 7y3 + 2 ) = ________________________
4. ( 6x4 – 8y5 ) ( 6x4 + 8y5 ) = _____________ 14. ( 10x3y4z2 + 6 ) ( 10x3y4z2 - 6 ) = _________________
5. ( 10x3 + y2 ) ( 10x3 - y2 ) = _____________ 15. (- y + 12z3 ) ( y + 12z3 ) = ______________________
6. ( 12x2 – 1 ) ( 12x2 + 1 ) = _______________ 16. ( 11x6y3 + 12z5 ) ( 11x6y3 - 12z5 ) = _______________
7. ( x2 + 9y6 ) ( x2 - 9y6 ) = _______________ 17. ( 7x3y3z2 - 9 ) ( 7x3y3z2 + 9 ) = ___________________
8. ( 4x2 – 5y3 ) ( 4x2 + 5y3 ) = _____________ 18. (- 5x3y5 + 8z4 ) ( 5x3y5 + 8z4 ) = __________________
9. ( 7x – 11y4 ) ( 7x + 11y4 ) = ____________ 19. ( 3x4 – 8y3 ) ( 3x4 + 8y3 ) = ______________________
10. ( 3x + 2y ) ( 3x - 2y ) = _______________ 20. ( -13x3y2 + 9z3 ) ( 13x3y2 + 9z3 ) = ________________
Binomios con un término común.
Para dos binomios como (x+a) (x-b), “x” es el término común ya que esta presente en ambos
binomios, a los términos “a” y “b” se les llama términos no comunes. El producto de de dos
binomios con un término común es un trinomio de la forma x2
+ bx + c.
EJERCICIO 2.4.3.
Determinar el trinomio de la forma x2
+bx+c correcto siguiendo la regla general:
1. ( x + 1 ) ( x + 2 ) = ___________________ 11. ( m - 11 ) ( m + 10 ) = _________________________
2. ( y + 4 ) ( y + 2 ) = ___________________ 12. ( y + 10 ) ( y - 19 ) = __________________________
3. ( x + 5 ) ( x - 2 ) = ____________________ 13. ( x2 - 7 ) (x2 - 1 ) = ___________________________
4. ( m – 5 ) ( m - 6 ) = __________________ 14. ( x3 - 6 ) (x3 + 7 ) = ____________________________
5. ( x - 3 ) ( x + 7 ) = ____________________ 15. ( m3 - 6 ) ( m3 + 3 ) = __________________________
6. ( y + 2 ) ( y - 1 ) = ____________________ 16. ( y5 - 2 ) (y5 + 7 ) = ____________________________
7. ( x - 1 ) ( x - 3 ) = ____________________ 17. ( x4 + 8 ) (x4 - 1 ) = ____________________________
8. ( m - 5 ) ( m + 4 ) = ___________________ 18. ( n6 + 7 ) (n6 - 9 ) = ___________________________
9. ( x2 + 5 ) (x2 + 9 ) = ___________________ 19. ( xy + 5 ) ( xy - 8 ) = ___________________________
10. ( m2 + 20 ) (m2 - 1 ) = _______________ 20. ( xy2 - 11 ) (xy2 - 9 ) = __________________________
La regla general para obtener el trinomio x2
+bx+c es:
1.- Se obtiene el producto del término común
2.- La suma algebraica de los términos no comunes por el común
3.- El producto de los no comunes

28
Cubo de un binomio
Al producto del cubo de un binomio se le denomina polinomio cubo perfecto y su forma
general es a3
+ 3a2
b + 3ab2
+ b3
.
Nota: Si los dos términos del binomio son positivos, todos los términos del polinomio son positivos. Si el
segundo término del binomio es negativo los signos del polinomio se alternan. ( +, -, +, - ). Ejemplificar.
EJERCICIO 2.4.4.
Determinar el polinomio cubo perfecto correcto siguiendo la regla general:
1. ( 2x – y )3 = ______________________________________ = _________________________
2. ( x + 3y )3 = ______________________________________ = _________________________
3. ( 2x - 3y )3 = _____________________________________ = _________________________
4. ( 3x2 + 2y )3 = _____________________________________ = _________________________
5. ( 4x2 – 3 )3 = ______________________________________ = _________________________
6. ( x3 + 4y2 )3 = ______________________________________ = _________________________
7. ( 3x4 – 5 )3 = ______________________________________ = _________________________
8. ( 2x2 + 4y6 )3 = _____________________________________ = _________________________
9. ( 5x4 – 6y4 )3 = _____________________________________ = _________________________
10. ( 7x2 – 1 )3 = ______________________________________ = _________________________
2.5. FACTORIZACIÓN
Factorizar o factorar es descomponer un producto en los factores que le dieron origen.
Factorización de un Trinomio Cuadrado Perfecto (TCP)
Un TCP es el producto de un binomio al cuadrado. Para factorizarlo, primero se identifica que
efectivamente se trate de un TCP:
Dado el trinomio 10x2
y3
+ x4
+ 25y6
a) Ordenar el trinomio con respecto a “x”: x4
+ 10x2
y3
+ 25y6
b) Se extrae la raíz cuadrada del primer y tercer términos. Los cuales son x2
y 5y3
c) se obtiene el producto de esas raíces por 2: 2(x2
)(5y3
) = 10x2
y3
d) Se compara el resultado obtenido con el segundo término del trinomio, sí son iguales, se
puede decir que es un TCP.
Una vez que se verifica que el trinomio es un TCP se aplica:
La regla general para obtener el polinomio cubo perfecto es:
1.- El cubo del primer término
2.- El triple producto del primero término al cuadrado por el segundo
3.- El triple producto del primer término por el cuadrado del segundo
4.- El cubo del segundo término.

29
EJERCICIO 2.5.1.
Determinar el binomio al cuadrado correcto siguiendo la regla general:
1. x2
– 2xy + y2
= ___________________ 11. 4x2
-12xy + 9y2
= ___________________
2. x2
+ 2xy + y2
= ___________________ 12 25x4
- 40x2
y + 16y2
= _______________
3 x4
+ 2x2
+ 1 = ____________________ 13. 49x2
+ 42xy + 9y2
= _________________
4. y2
– 2y + 1 = _____________________ 14. 64x6
- 144x3
y2
+ 81y4
= ______________
5. x2
– 12x + 25 = ___________________ 15. 9x2
+ 18xy + 9y2
= __________________
6. 9 - 6x + x2
= _____________________ 16. 16x4
- 8x2
y3
+ y6
= __________________
7. x8
+ 18x4
+ 81 = __________________ 17. x2
+12xy + 36y2
= __________________
8. 1 + 49x2
– 14x = __________________ 18. 25x2
- 100xy + 100y2
= ______________
9. 16 + 40x2
+ 25x4
= ________________ 19. 81y6
- 90y3
+ 25 = __________________
10. y4
– 12y2
+ 36 = _________________ 20. 4x10
y2
- 56x5
yz4
+ 49z2
= ____________
Factorización de una Diferencia de Cuadrados
La diferencia de cuadrados es el producto de dos binomios conjugados. Para identificarla solo
hay que considerar que se trate de un binomio en el que un término sea positivo y el otro
negativo.
EJERCICIO 2.5.2.
Determinar los binomios conjugados correctos siguiendo la regla general:
1. x2
– y2
= ________________________ 11. 4x2
- 9y2
= ________________________
2. x4
– y6
= ________________________ 12 25x4
– 16y2
z6
= ____________________
3 x2
- 25 = ________________________ 13. 49x2
- 9y2
= _______________________
4. y6
– 1 = ________________________ 14. 64x6
- 81y4
= ______________________
La regla general para factorizar un TCP es:
1.- Se extrae la raíz cuadrada del primer y tercer términos
2.- Se escriben ambos resultados como una suma elevada al cuadrado si
el segundo término del trinomio es positivo y como una diferencia al
cuadrado si el segundo término del trinomio es negativo
La regla general para factorizar una diferencia de cuadrados es:
1.- Se escriben un par de paréntesis en el que se anotarán los binomios
conjugados.
2.- Se busca la raíz cuadrada de los dos términos y se anota en ambos
paréntesis.
3.- En medio de los dos términos de cada paréntesis se escribe un “+” en
uno y un “-“ en el otro.

30
5. 1 - 49x2
y2
= _____________________ 15. 9x2
y4
- 1 = ________________________
6. 4m2
- 9 = _______________________ 16. 16x4
- y6
= _______________________
7. 16x2
– 81y4
= ____________________ 17. 25x10
- 36y2
z8
= ____________________
8. 25m2
- 1 = ______________________ 18. 25x2
- 100y4
= _____________________
9. a2
b8
– c6
= ______________________ 19. 81y6
- 25 =________________________
10. x2
y6
- 100 = ____________________ 20. 4x10
y12
- 49z8
= ____________________
Factorización de un trinomio de la forma x2
+ bx +c
Un trinomio de la forma x2
+ bx +c es el producto de dos binomios con un término común.
EJERCICIO 2.5.3.
Determinar los binomios con un término común correctos siguiendo la regla general:
1. x2
+ 5x + 6 = _____________________ 13. x2
+ 15x + 56 = ____________________
2. x2
– 5x + 6 = _____________________ 14 x10
+ x5
- 20 = _____________________
3 x2
+ 7x +10 = ____________________ 15. y2
– 5y - 36 = ______________________
4. y2
+ 3y - 10 = ____________________ 16. x4
+ 5x + 4 = ______________________
5. x2
+ x - 2 = ______________________ 17. m2
– 14m + 33= ___________________
6. x2
– 9x + 20 = ____________________ 18. x2
+ 8x - 180 = _____________________
7. x4
– 10x2
+ 16 = __________________ 19. m2
– 2m -168 = ____________________
8. 12 – 8m +m2
= ____________________ 20. y2
+ 24y + 135 = ___________________
9. y6
+ 6y3
- 7 = ____________________ 21. x2
+ 6x - 216 = _____________________
10. x8
– 12x4
+ 11 = _________________ 22. n2
– 2n - 528 = ____________________
11. 28 + x2
– 11x = __________________ 23. x2
– 4x - 320 = _____________________
12. m2
– 6m - 40 = __________________ 24 y2
- 8y - 1008 = ____________________
La regla general para factorizar un trinomio de la forma x2
+ bx +c es:
1.- Se escriben un par de paréntesis en el que se anotarán los binomios con un
término común.
2.- Se busca la raíz cuadrada del primer término y se anota en ambos
paréntesis.
3.- Se buscan dos números que sumados algebraicamente sean igual al
segundo término del trinomio y multiplicados igual al tercero. (Debes poner
mucha atención para que los signos sean los correctos)

32
UNIDAD III
ECUACIONES LINEALES
IGUALDAD
Expresión en la que dos cantidades o expresiones algebraicas tienen el mismo valor.
EJEMPLO: 3+12 = 15, c2
= a2
+ b2
, 3x - 8 = 2x.
ECUACIÓN
Es una igualdad en la que hay una o más cantidades desconocidas (incógnitas) y que solo es
verdadera para ciertos valores de las incógnitas. Consta de dos miembros cada uno de los
cuales tienen uno o más términos.
RAIZ O SOLUCIÓN
Son los valores de las incógnitas que satisfacen la ecuación.
3.1. ECUACIONES LINEALES CON UNA INCÓGNITA
Una ecuación lineal se caracteriza porque el máximo exponente de la variable es un uno
(recuerda que éste exponente no se escribe). Su lugar geométrico o gráfica es una recta.
Resolución de ecuaciones lineales
Para resolver ecuaciones lineales debe despejarse la variable o incógnita y para hacer más
simple el despeje debes considerar que:
Además, en el proceso del despeje, es importante que primero trabajes sobre los números que
están sumando o restando y luego los que multiplican o dividen.
 Un número que esta sumando pasa al otro miembro de la ecuación restando.
 Un número que esta restando pasa al otro miembro de la ecuación sumando.
 Un número que esta multiplicando pasa al otro miembro de la ecuación dividiendo.
(Con su mismo signo).
 Un número que esta dividiendo pasa al otro miembro de la ecuación multiplicando.
(Con su mismo signo).

33
EJERCICIO 3.1.1.
Resuelve las siguientes ecuaciones lineales encontrando el valor correcto para la incógnita:
x – 2 = 4 m – 3 = 7 4 + x = 6 -4x = -32 -5 + x = 7
y + 7 = -3 -5x = - 15 6m = - 72 -x – 4 = -2 7y = 14
-3 – x = -7 5x = - 4 -6 = 18 2x = 8 -8 = -24
x x
EJERCICIO 3.1.2.
6x + 2 = 14 4x + 5 = 9 -5y – 3 = 17 7x + 6 = 28 5x + 3 = 23
-4x + 5 = 1 9m + 4 = 22 4y + 3 = -21 -6x + 2 = -10 -12n - 5 = -65
2y + 6 = -18 -3 = 6x - 9 5y – 9 = 11 4 = -3x + 8 4x + 6 = -18

34
EJERCICIO 3.1.3.
3m – 8 = 2m x + 8 – 2 = 2x 9y + 12 = 3y + 48
3n + 2 = 2n + 10 3x + 4 = -2x + 6 4y – 3y + 5 = 11
3x – 2 + 5x – 4 = 3 – 2 + x m + 4 – 3m = -2m – 3 + 5m -1 16 +7y – 5 + y = 11y -3 – y
8y – 4 + 3y = 7y + y + 14 5x + 6x – 81 = 7x + 102 + 65x 8y + 9 – 12y = 4y – 13 – 5y

35
EJERCICIO 3.1.4.
3(4m – 5) – 6 = - (6m – 8) + 7 2(8y + 4) – 5(3y -1) = 10 8 – 6(4n -9) = -7(-3n -3) +6
15y – 10 = 6y – (y+2) + (-y+3) m – (2m+1) = 8 – (3m+3) y – [5+3y – { 5y – (6+y)}] = -3
12 – 9(4x – 8) = -7(-3x-3) + 6 3(3m-9) – 2(5m-8) = -24 2y +[-5y –(-2y +{-y+4})] = 8
Resolución de ecuaciones lineales por el método gráfico
Para resolver ecuaciones lineales por el método gráfico:
1.- Reducir la ecuación original e igualar a cero.
2.- Asociar la ecuación resultante a una función
3. Tabular la función (incluyendo siempre dentro de los valores de “X” al cero)
4.- El punto de intersección de la gráfica con el eje de las “X” es el resultado de la
ecuación.

36
Ejemplificar:
1. 2x – 4 = 1
2. 2x + 5 = x + 3
3. -5x + 4 = -16
EJERCICIO 3.1.5.
Resuelve en tu cuaderno de notas las siguientes ecuaciones lineales mediante el método gráfico
encontrando el valor correcto para la incógnita:
1. -3x + 1 = -1
2. 3x – 5 = x + 3
3. 5x – 2 = 4x + 1
4. 7x - 5x + 3 = -6
5. –x + 5 = 2
6. 6 – x = 5 + 4x
7. f(x) = -2x + 5
8. f(x) = -x – 3
3.2. ECUACIONES LINEALES CON DOS Y TRES INCÓGNITAS
a) Método de reducción (suma o resta)
Para resolver sistemas de ecuaciones lineales por éste método:
1. Igualar los coeficientes de alguna de las variables buscando que sean simétricos (de signo
contrario)
2. Se realiza la suma algebraica de las ecuaciones resultantes
3. Se resuelve la ecuación lineal resultante
4. El valor de la variable obtenido se sustituye en alguna de las ecuaciones iniciales para
determinar el valor de la otra variable.
Ejemplificar:
3x + 2y = 11 2x – y = 4 4x + 2y = 16 5x – 2y = 13
5x – 3y = 12 x + 2y = -3 -3x + 5y = -25 x + 3y = 6
EJERCICIO 3.2.1.
Determinar las raíces de los siguientes sistemas de ecuaciones por el método de reducción:
5x + 6y = 20 7x – 15y = 1
4x – 3y = -23 -x – 6y = 8

37
2x + 5y = -4 8x – 9y = -77
10x – 3y = 36 3x + 4y = 8
x – 5y = 8 6x – 5y = - 9
-7x + 8y = 25 4x + 3y = 13
b) Método de igualación
Para resolver ecuaciones simultáneas o sistemas de ecuaciones por éste método:
1. Se despeja una de las dos variables (la misma en las dos ecuaciones)
2. Se igualan entre si los valores obtenidos
3. Resolver la ecuación a una variable resultante
4. Se sustituye el valor obtenido en cualquiera de las ecuaciones
Ejemplificar:
7x + 4y = 13 7x – 3y = 9 14x - 11y = -29 5x – 2y = 13
5x – 2y = 19 x + 6y = 27 -8x + 13y = 30 x + 3y = 6

38
EJERCICIO 3.2.2.
Determinar las raíces de los siguientes sistemas de ecuaciones por el método de igualación:
7x - 4y = 5 7x – 15y = 1
9x + 8y = 13 -x – 6y = 8
9x + 16y = 7 15x – 11y = -87
4y – 3y = 0 -12x -5y = -27
7x +9y = 42 6x – 5y = - 9
12x + 10y = -4 4x + 3y = 13

39
c) Método de sustitución
Para resolver ecuaciones simultáneas o sistemas de ecuaciones por éste método:
1. Se despeja una de las dos variables de una ecuación
2. la ecuación despejada se sustituye en la otra ecuación
3. Resolver la ecuación a una variable resultante
4. Se sustituye el valor obtenido en cualquiera de las ecuaciones
Ejemplificar:
7x + 4y = 13 7x – 3y = 9 14x - 11y = -29 5x – 2y = 13
5x – 2y = 19 x + 6y = 27 -8x + 13y = 30 x + 3y = 6
EJERCICIO 3.2.3.
Determinar las raíces de los siguientes sistemas de ecuaciones por el método de sustitución:
5x + 6y = 20 7x – 15y = 1
4x – 3y = -23 -x – 6y = 8
2x + 5y = -4 8x – 9y = -77
10x – 3y = 36 3x + 4y = 8

40
9x + 16y = 7 15x – 11y = -87
4y – 3y = 0 -12x -5y = -27
d) Ecuaciones simultaneas con tres incógnitas
Para resolver ecuaciones simultáneas o sistemas de ecuaciones por éste método sigue
atentamente las instrucciones de tu maestro.
Ejemplificar:
x + 4y – z = 6 2x + y – 3z = -1 6x + 3y + 2z = 12
2x + 5y – 7z = -9 x – 3y – 2z = -12 9x – y + 4z = 37
3x – 2y + z = 2 3x – 2y – z = - 5 10x + 5y + 3z = 21
EJERCICIO 3.2.4.
Determinar las raíces de los siguientes sistemas de ecuaciones en tu cuaderno de notas:
x + y + z =12 5x – 2y + z = 24 x – y + z = 2
2x – y + z = 7 2x + 5y – 2z = -14 x + y + z = 4
x + 2y – z = 6 x – 4y + 3z = 26 2x + 2y – z = - 4
x + y + z = 6 2x + 3y + z = 1 2x + 4y + 3z = 3
x – y + 2z = 5 6x – 2y – z = -14 10x – 8y – 9z = 0
x – y – 3z = -10 3x + y – z = 1 4x + 4y – 3z = 2

41
UNIDAD IV
ECUACIONES CUADRÁTICAS
GENÉRICA 5.1 Sigue instrucciones y procedimientos de manera reflexiva, comprendiendo que cada
uno de sus pasos contribuye al alcance de un objetivo.
4.1. CLASIFICACIÓN
LA ECUACIÓN CUADRÁTICA es cualquier ecuación que, una vez simplificada, tiene como
máximo exponente de la variable un dos. Se acostumbra representarla con la expresión:
ax2
+ bx + c = 0
De donde:
ax2
es el término cuadrático ( de segundo grado )
bx es el término lineal ( de primer grado )
c es el término independiente ( de cero grado )
De acuerdo a los términos que se encuentren presentes en la ecuación, se consideran tres
casos de ecuaciones cuadráticas:
a) Cuadrática completa,- Ecuación que contiene los tres términos: cuadrático, lineal e
independiente.
ax2
+ bx + c = 0
b) Cuadrática incompleta mixta.- Ecuación que no contiene al término independiente, se
denomina mixta por contener un término lineal y uno cuadrático.
ax2
+ bx = 0
c) Cuadrática incompleta pura.- Ecuación que no contiene al término lineal, por lo cual se
denomina pura.
ax2
+ c = 0

42
EJERCICIO 4.1.1.
Analiza cada una de las expresiones siguientes (de ser necesario iguala a cero y reduce) para
determinar los valores a, b y c; si es o no cuadrática y, en caso de serlo, escribe de que tipo.
a b c
2x2
– 72 = 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . .( 2 ) ( 0 ) ( -72 ) CUADRÁTICA INCOMPLETA PURA
3x2
– 6x – 9 = 0. . . . . . . . . . . . . . . ( ) ( ) ( ) _________________________________
4x2
– 3x = 0. . . . . . . . . . . . . . . . . . ( ) ( ) ( ) _________________________________
14x -2x2
= 0. . . . . . . . . . . . . . . . . . ( ) ( ) ( ) _________________________________
4x = 30 -2x2
. . . . . . . . . . . . . . . . . . ( ) ( ) ( ) _________________________________
x2
+ 10 = – 6 + 3x . . . . . . . . . . . . . ( ) ( ) ( ) _________________________________
x2
– 16 = 20. . . . . . . . . . . . . . . . . . ( ) ( ) ( ) _________________________________
-x2
+ 9 = 0. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .( ) ( ) ( ) _________________________________
x3
– x2
= – 5 + x2
+ x3
. . . . . . . . . . .( ) ( ) ( ) _________________________________
x2
+ 3 - 2x2
= 4x – x2
. . . . . . . . . . . .( ) ( ) ( ) _________________________________
( x + 4 )2
= 0. . .. . . . . . . . . . . . . . . .( ) ( ) ( ) _________________________________
4.2. MÉTODOS DE SOLUCIÓN
a) Método analítico (Fórmula General)
Para resolver por éste método:
1.- Reducir la ecuación a la forma ax2
+ bx + c = 0
2.- Determinar los valores de las constantes a, b y c.
3.- Sustituir en la fórmula general y realizar las operaciones.
𝑥 =
−𝑏 ± √𝑏2 − 4𝑎𝑐
2𝑎
Ejemplificar:
a) x2
– 4 = 0
b) 3x2
= -2x
c) x2
– x – 20 = 0
d) 2x2
- 5x + 4 = 1
e) -x2
+ 9 = 0
f) 7x2
+ 8 = 48 – 3x2

43
EJERCICIO 4.2.1.
Encuentra las raíces correctas de las siguientes ecuaciones mediante la fórmula general.
a) 4x2
– 36 = 0
b) 2x2
+ 3x = 0
c) 4x2
– 5x = 2x2
d) x2
– x – 30 = 0
e) 8x2
– 6x = 16x – 5
f) 2x = 5x2
g) x2
– 20 = 2x + 4
h) 4x2
= 64
i) x2
= 10 – 3x
j) x2
– 6x = 0
b) Factorización
Para las ecuaciones incompletas mixtas:
+ bx = 0 (igualar a cero)
2.- Factorizar el primer miembro, por factor común monomio.
3.- Resolver por separado ambos factores despejando la “x”
Ejemplificar:
2x2
= 8x
2y2
– 10y = 10y
(x + 2) (x – 2) = 3x – 4
EJERCICIO 4.2.2.
Encuentra las raíces correctas de las siguientes ecuaciones.
a) 5x2
= x
b) 2x2
+ 3x = 0
c) 5x2
– 2 = 2( x – 1 )
d) x2
– 7x = 0
e) (2x + 3) (x – 1) = -3
f) 3x2
– 2x = 0
g) 4x2
– 5x = 2x2
h) (4x + 3)(4x – 3) = 5x – 9
Para las ecuaciones completas:
+ bx + c = 0 (igualar a cero)
2.- Se factoriza el trinomio del primer miembro.
3.- Se determinan los valores de “x” de cada factor igualado a cero.
Ejemplificar:
x2
– x – 30 = 0
x2
+ 5x – 24 = 0
3x2
+ 9x + 6 = 0

44
EJERCICIO 4.2.3.
Encuentra las raíces correctas de las siguientes ecuaciones.
x2
– 9x + 18 = 0
x2
– 11x + 24 = 0
x2
– 20 = 2x + 4
x2
– 2x – 3 = 0
( x + 3 )2
= 2x + 21
4x – 3 = x2
x2
= 10 – 3x
( x + 5 ) ( x – 5 ) = 2x + 1
c) Método gráfico
1.- Convertir la ecuación en una función f(x)
2.- Tabular con un mínimo de 5 valores
3.- Trazar la gráfica. Las raíces de la ecuación son los puntos en los que la curva ( parábola ) se
intersecta con el eje de las “x”.
Nota.- En el cálculo gráfico las soluciones, en la mayoría de los casos, son aproximadas.
Ejemplificar:
3x2
+ 9x + 6 = 0
f(x) = 3x2
+ 10
x2
= 3x
EJERCICIO 4.2.4.
Encuentra las raíces de las siguientes ecuaciones.
y = x2
+ x – 20
f(x) = x2
+ 2x - 8
y = 6x2
+ 6x – 36
f(x) = x2
– 1
y = - x2
+ 9
f(x) = -2x2
+ 3x

45
AUTOEVALUACIÓN 1
1.- ¿QUÉ SÍMBOLOSSE UTILIZAN EN ÁLGEBRA PARA REPRESENTARCANTIDADES?
2.- DEFINE COEFICIENTE
3.- DEFINE TÉRMINO
4.- ESCRIBA LA CLASIFICACIÓN DELOSPOLINOMIOS
5.-LASSIGUIENTES EXPRESIONES ESTAN EN LENGUAJE COMÚN, EXPRESALAS EN LENGUAJE ALGEBRAICO:
a) UN NÚMERO
b) UN NÚMERO DISMINUIDO EN TRES
c) LA TERCERA PARTE DE UN NÚMERO
d) EL DOBLE DE UN NÚMERO
e) CUATRO VECES LA SUMA DE UN NÚMERO Y CINCO UNIDADES
6.- ESCRIBE EN LENGUAJE COMÚN LAS SIGUIENTES EXPRESIONES:
a) 4X
b) x/2
c) 3x2
d) 1/5x = ¾
e) a = l2
7.- DETERMINAR EL VALOR NUMÉRICO DE LAS EXPRESIONES:
a) 3 a + 7 = SI a = -2
b) 4m/2 + 2n = SI m = 4 y n = -3
8.-RESOLVER DE MANERA CORRECTA
a) -5a 2
+ 6ab +2b2
– a2
= __________________________
b) ( ½ a2
) ( 4/3 a3
b) =______________________________
c) ( 5x – 4y ) + ( -7x + 2y ) = __________________________
d) ( -4x ) ( 8x2
- xy + 9y2
) = __________________________
e) ( 3x - 4xy – y2
) – ( -2y2
-9xy+ x2
) = ___________________
f) 4x2
y3
z2
( -5x2
– 7xyz + y2
z3
) = _______________________
g) ( 5x – y + z ) + ( -y – z - 7x ) + ( 4y + x – 8z ) = ____________________

46
AUTOEVALUACIÓN 2
RESUELVE DE MANERA CORRECTA LAS SIGUIENTESOPERACIONESALGEBRAICAS, PRODUCTOS NOTABLES
Y FACTORIZACIONES:
PRODUCTOS NOTABLES:
(8x4
+ 5) (8x4
- 5) =
( 7x4
– 9 )2
=
( 2x3
– 4y4
)3
=
( x2
+ 5 ) ( x2
– 11 ) =
MULTIPLICAR:
( 5x2
– 7 ) (3x2
+ 6 ) =
( 8x3
– 3x2
) ( 3x3
+ 2x2
) =
DIVIDIR:
X3
– 4x2
+ x / x =
14x2
– 12 + 22x : 7x – 3 =
FACTORIZAR:
X2
– 5x – 36 =
64x4
– 9y6
=
64x2
y4
– 16xy2
+ 1 =
m2
– 30m – 675 =

47
AUTOEVALUACIÓN 3
RESUELVE DE MANERA CORRECTA LAS SIGUIENTES ECUACIONES LINEALES:
ECUACIONES LINEALES CON UN A INCÓGNITA:
7y = 14
-3 – x = -7
-12n - 5 = -65
3x + 4 = -2x + 6
8 – 6(4n -9) = -7(-3n -3) +6
RESOLVER POREL MÉTODO GRÁFICO
–x + 5 = 2
SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES:
RESOLVER POR REDUCCIÓN E IGUALACIÓN
3x + 2y = 11
5x – 3y = 12
ECUACIONES CUADRÁTICAS:
RESOLVER POR FÓRMULA GENERAL
a) x2
– 4 = 0
b) 3x2
= -2x
c) x2
– x – 20 = 0

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