Economía

Este artículo ha sido aceptado para su inclusión en un próximo número de esta revista. El contenido es el final propuesto, con la excepción de la paginación.
IEEE Transactions on COMPONENTES, ENVASE Y la tecnología de fabricación 1
Análisis deficiente Variabilidad de ef electromagnética
Sistemas vía Polynomial Caos y
Modelo de Reducción de la Orden
Domenico Spina, Francesco Ferranti, Miembro, IEEE, Giulio Antonini, Senior Member, IEEE,Domenico Spina, Francesco Ferranti, Miembro, IEEE, Giulio Antonini, Senior Member, IEEE,Domenico Spina, Francesco Ferranti, Miembro, IEEE, Giulio Antonini, Senior Member, IEEE,Domenico Spina, Francesco Ferranti, Miembro, IEEE, Giulio Antonini, Senior Member, IEEE,
Tom Dhaene, Senior Member, IEEE, y Luc Knockaert, Senior Member, IEEETom Dhaene, Senior Member, IEEE, y Luc Knockaert, Senior Member, IEEETom Dhaene, Senior Member, IEEE, y Luc Knockaert, Senior Member, IEEETom Dhaene, Senior Member, IEEE, y Luc Knockaert, Senior Member, IEEE
Abstracto -Nosotros presentan una novedosa técnica para realizar el modelo-Abstracto -Nosotros presentan una novedosa técnica para realizar el modelo-
reducción de orden (MOR) de los sistemas de multipuerto bajo el efecto de la
variabilidad estadística de parámetros geométricos o eléctricos. El enfoque
propuesto combina una fase MOR determinista con el uso de la expansión
polinómica Chaos (PC) para realizar el análisis de la variabilidad del sistema bajo
estudio muy eficientemente fi. La combinación de MOR y técnicas de PC genera un
modelo de orden reducido nal fi capaz de realizar con precisión computaciones
estocásticos y análisis de la variabilidad. La novela propuesto método garantiza un
alto grado de flexibilidad, ya que diferentes esquemas de MOR se pueden utilizar y
diferentes tipos de sistemas eléctricos modernos (por ejemplo, filtros y conectores)
pueden ser modelados. La exactitud y la e fi ciencia del enfoque propuesto es fi veri
por medio de dos ejemplos numéricos y en comparación con otras técnicas de
análisis de variabilidad existentes.
Términos del Índice reducción de orden -Modelo (MOR), multipuertoTérminos del Índice reducción de orden -Modelo (MOR), multipuerto
análisis de la variabilidad sistemas, caos polinomio (PC), (VA).
I. INTRODUCCIÓNI. INTRODUCCIÓN
REcientemente, la necesidad de emplear e fi ciente tecno-REcientemente, la necesidad de emplear e fi ciente tecno-nicas para realizar el análisis de la variabilidad (VA) de los circuitos
integrados modernos ha hecho evidente. Los Monte Carlo (MC) técnicas
basadas, que representan el estándar para la VA, debido a su precisión y
facilidad de aplicación, tienen el inconveniente de requerir un muy alto coste
computacional. En particular, la aplicación del método de MC para sistemas de
alta velocidad complejos analizados por medio de (EM) métodos
electromagnéticos [1] - [3] es inviable. De hecho, los métodos EM generalmente
producen muy grandes sistemas de ecuaciones, que son
Manuscrito recibido 8 de febrero de de 2013. revisado 02 de noviembre 2013 y 10 de febrero, 2014;
aceptado el 25 de febrero de 2014. Este trabajo fue apoyado en parte por la Fundación de
Investigación de Flandes (FWO-Vlaanderen) y en parte por la atracción Interuniversitario polacos
Programa Bestcom través de la Política Científica de Bélgica O fi cina. Francesco Ferranti es un
investigador post-doctoral de FWO-Vlaanderen. Recomendado para su publicación por el Editor
Asociado A. Maffuci en la evaluación de los comentarios de los revisores.
D. Spina, F. Ferranti, T. Dhaene, y L. Knockaert son con el Departamento de Tecnología de la
Información, Internet basó Redes y Servicios de Comunicaciones, Universidad de Gante-iMinds,
Gaston Crommenlaan 8 Bus 201, Gante B-9050, Bélgica (e -correo:
domenico.spina @
intec.ugent.be; francesco.ferranti@intec.ugent.be; tom.dhaene@intec.ugent.be;
luc.knockaert@intec.ugent.be).
G. Antonini es con el Laboratorio UAQ EMC, Dipartimento di Ingegneria e Industriale
dell'Informazione e di Economía, Università degli Studi dell'Aquila, Via G. Gronchi 18, 67100,
L'Aquila, Italia (e-mail: giulio.antonini @ univaq.it).
versiones de color de una o más de las cifras en este documento están disponibles en línea en
http://ieeexplore.ieee.org.
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caro de resolver, y el uso del análisis MC daría lugar a un extremadamente
alto coste computacional.
En este escenario, una alternativa fiable a los métodos basados en MC está
representado por técnicas basadas en la Polynomial Chaos (PC) de expansión [4] -
[8], que describe un proceso estocástico usando una base de funciones
polinómicas ortogonales con coeficientes adecuados. El modelo polinomial
resultante permite a EF fi cientemente realizar el VA con una buena precisión, con
el coste del cálculo de un sistema aumentada [4] - [8]. Desafortunadamente, la
aplicación de la expansión PC a los sistemas descritos por un gran número de
ecuaciones, tales como los que resultan por el uso de EMmethods, no es trivial
debido a la necesidad de calcular un sistema aumentada.
Diferentes técnicas [9] - [13] han propuesto metodologías basadas en PC para
la VA de sistemas descritos por un gran número de ecuaciones basadas en
combinaciones de una expansión de PC en las matrices de sistema original y
técnicas de reducción de modelo de orden (MOR). De hecho, las técnicas MOR
permiten reducir la complejidad de los modelos de gran escala y, por lo tanto, el
coste computacional de las simulaciones [14] - [16]. Recientemente, las técnicas
[11] - [13] han propuesto un método más general basado en PC para la VA de
sistemas a gran escala descritos por ecuaciones de Helmholtz. Los métodos
propuestos recientemente descritos en [11] - [13] se basan en los siguientes
pasos:
1) la evaluación de la gran sistema original de ecuaciones en un conjunto discreto
de puntos en el espacio estocástico, elegido utilizando una cuadrícula
Smolyak [17] - [19];
2) el uso de una técnica de MOR determinista para cada sistema de
ecuaciones para generar las correspondientes matrices de proyección;
3) el cálculo de la expansión PC de los grandes matrices originales del
sistema y de las matrices de proyección;
4) el cálculo de los coe fi cientes PC del sistema reducida usando
transformaciones de congruencia;
5) el cálculo de un sistema aumentada basado en PC.
A pesar de su exactitud y e fi ciencia con respecto a los métodos basados en
MC, las técnicas [11] - [13] puede ser caro tanto en términos de memoria y
tiempo de cálculo, puesto que requieren el cálculo de un modelo basado en la
PC del original grande ecuaciones escala y de las matrices de proyección.
Nos proponemos en este trabajo un nuevo método que sigue estos pasos:
1) la evaluación de la gran sistema original de ecuaciones en un conjunto discreto
de puntos en el espacio estocástico, elegido utilizando una cuadrícula regular;
2156-3950 © IEEE 2014. El uso personal está permitida, pero republicación / redistribución requiere el permiso del IEEE.
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2 IEEE Transactions on COMPONENTES, ENVASE Y la tecnología de fabricación
2) el cálculo de un conjunto correspondiente de modelos de orden reducido
con el fin común utilizando una matriz de proyección compacta común,
siguiendo la técnica [20];
3) el cálculo de la expansión PC de los modelos reducidos;
4) el cálculo de un sistema aumentada basado en PC.
Esta nueva técnica propuesta es capaz de superar las limitaciones
anteriormente mencionadas por primera cálculo de un conjunto de modelos de
orden reducido con el fin común utilizando una matriz de proyección compacta
común y luego calcular la expansión PC de los modelos reducidos.
Este documento está estructurado de la siguiente manera. En primer lugar, una visión
general de la teoría de la PC se da en la Sección II. La técnica estocástica MOR propuesto se
describe en la Sección III, mientras que su validación se lleva a cabo en la Sección IV por
medio de dos ejemplos numéricos pertinentes. Las conclusiones se resumen en la Sección V.
II. P PC ROPIEDADESII. P PC ROPIEDADES
Un proceso estocástico MARIDO con infinito varianza se puede expresar por medio deUn proceso estocástico MARIDO con infinito varianza se puede expresar por medio deUn proceso estocástico MARIDO con infinito varianza se puede expresar por medio de
la expansión PC como [8]
H = ∞H = ∞
Σ
i = 0i = 0
α yo φ yo ( ξ)α yo φ yo ( ξ)α yo φ yo ( ξ)α yo φ yo ( ξ)α yo φ yo ( ξ) (1)
donde los términos α yo se llaman coe fi cientes y PC φ yo ( ξ)donde los términos α yo se llaman coe fi cientes y PC φ yo ( ξ)donde los términos α yo se llaman coe fi cientes y PC φ yo ( ξ)donde los términos α yo se llaman coe fi cientes y PC φ yo ( ξ)donde los términos α yo se llaman coe fi cientes y PC φ yo ( ξ)donde los términos α yo se llaman coe fi cientes y PC φ yo ( ξ)donde los términos α yo se llaman coe fi cientes y PC φ yo ( ξ)
son los correspondientes polinomios ortogonales que dependen de las variables
aleatorias normalizadas en el vector ξ. los polinomios φ yo ( ξ), también llamadasaleatorias normalizadas en el vector ξ. los polinomios φ yo ( ξ), también llamadasaleatorias normalizadas en el vector ξ. los polinomios φ yo ( ξ), también llamadasaleatorias normalizadas en el vector ξ. los polinomios φ yo ( ξ), también llamadasaleatorias normalizadas en el vector ξ. los polinomios φ yo ( ξ), también llamadasaleatorias normalizadas en el vector ξ. los polinomios φ yo ( ξ), también llamadasaleatorias normalizadas en el vector ξ. los polinomios φ yo ( ξ), también llamadas
funciones base, satisfacen la siguiente condición de ortogonalidad [6]:
< φ yo ( ξ), φ j ( ξ) > = ∫< φ yo ( ξ), φ j ( ξ) > = ∫< φ yo ( ξ), φ j ( ξ) > = ∫< φ yo ( ξ), φ j ( ξ) > = ∫< φ yo ( ξ), φ j ( ξ) > = ∫< φ yo ( ξ), φ j ( ξ) > = ∫< φ yo ( ξ), φ j ( ξ) > = ∫< φ yo ( ξ), φ j ( ξ) > = ∫< φ yo ( ξ), φ j ( ξ) > = ∫ φ yo ( ξ) φ j ( ξ) W ( ξ) re ξ = un yo δ ijφ yo ( ξ) φ j ( ξ) W ( ξ) re ξ = un yo δ ijφ yo ( ξ) φ j ( ξ) W ( ξ) re ξ = un yo δ ijφ yo ( ξ) φ j ( ξ) W ( ξ) re ξ = un yo δ ijφ yo ( ξ) φ j ( ξ) W ( ξ) re ξ = un yo δ ijφ yo ( ξ) φ j ( ξ) W ( ξ) re ξ = un yo δ ijφ yo ( ξ) φ j ( ξ) W ( ξ) re ξ = un yo δ ijφ yo ( ξ) φ j ( ξ) W ( ξ) re ξ = un yo δ ijφ yo ( ξ) φ j ( ξ) W ( ξ) re ξ = un yo δ ijφ yo ( ξ) φ j ( ξ) W ( ξ) re ξ = un yo δ ijφ yo ( ξ) φ j ( ξ) W ( ξ) re ξ = un yo δ ijφ yo ( ξ) φ j ( ξ) W ( ξ) re ξ = un yo δ ijφ yo ( ξ) φ j ( ξ) W ( ξ) re ξ = un yo δ ijφ yo ( ξ) φ j ( ξ) W ( ξ) re ξ = un yo δ ij (2)
dónde un yo son números positivos, δ ij es la delta de Kronecker, ydónde un yo son números positivos, δ ij es la delta de Kronecker, ydónde un yo son números positivos, δ ij es la delta de Kronecker, ydónde un yo son números positivos, δ ij es la delta de Kronecker, ydónde un yo son números positivos, δ ij es la delta de Kronecker, ydónde un yo son números positivos, δ ij es la delta de Kronecker, ydónde un yo son números positivos, δ ij es la delta de Kronecker, y
W ( ξ) es una medida de probabilidad con el apoyoW ( ξ) es una medida de probabilidad con el apoyoW ( ξ) es una medida de probabilidad con el apoyo .
Obviamente, (1) debe estar truncado hasta un número finito de polinomios MObviamente, (1) debe estar truncado hasta un número finito de polinomios M
+ 1 a usarse para aplicaciones prácticas. En particular, si las variables+ 1 a usarse para aplicaciones prácticas. En particular, si las variables
aleatorias ξ son independientes, es posible demostrar quealeatorias ξ son independientes, es posible demostrar quealeatorias ξ son independientes, es posible demostrar que
M + 1 = ( N + PAG)!M + 1 = ( N + PAG)!M + 1 = ( N + PAG)!M + 1 = ( N + PAG)!
¡NOTARIO PÚBLICO!
(3)
dónde norte es el número de variables aleatorias ξ yo en el vectordónde norte es el número de variables aleatorias ξ yo en el vectordónde norte es el número de variables aleatorias ξ yo en el vectordónde norte es el número de variables aleatorias ξ yo en el vectordónde norte es el número de variables aleatorias ξ yo en el vectordónde norte es el número de variables aleatorias ξ yo en el vector
ξ y PAG es el orden máximo de los polinomios utilizados en la expansión PC truncado.ξ y PAG es el orden máximo de los polinomios utilizados en la expansión PC truncado.ξ y PAG es el orden máximo de los polinomios utilizados en la expansión PC truncado.ξ y PAG es el orden máximo de los polinomios utilizados en la expansión PC truncado.
De hecho, para las variables aleatorias independientes, la medida de probabilidad W ( ξ)De hecho, para las variables aleatorias independientes, la medida de probabilidad W ( ξ)De hecho, para las variables aleatorias independientes, la medida de probabilidad W ( ξ)
puede escribirse como
W ( ξ) = norteW ( ξ) = norteW ( ξ) = norte
Π
i = 1i = 1
W yo ( ξ yo )W yo ( ξ yo )W yo ( ξ yo )W yo ( ξ yo ) (4)
ya que la función de densidad de probabilidad mundial (PDF) es el producto de los PDF de
las variables aleatorias individuales. En consecuencia, los polinomios ortogonales
correspondientes se pueden expresar como combinación de producto de las funciones de
base correspondientes a cada variable aleatoria ξ yo comobase correspondientes a cada variable aleatoria ξ yo comobase correspondientes a cada variable aleatoria ξ yo comobase correspondientes a cada variable aleatoria ξ yo como
φ j ( ξ) = norteφ j ( ξ) = norteφ j ( ξ) = norteφ j ( ξ) = norte
Π
k = 1k = 1
φ yo k ( ξ k) conφ yo k ( ξ k) conφ yo k ( ξ k) conφ yo k ( ξ k) conφ yo k ( ξ k) conφ yo k ( ξ k) con
norte
Σ
k = 1k = 1
yo k ≤ PAG y 0 ≤ j ≤ METRO.yo k ≤ PAG y 0 ≤ j ≤ METRO.yo k ≤ PAG y 0 ≤ j ≤ METRO.yo k ≤ PAG y 0 ≤ j ≤ METRO.yo k ≤ PAG y 0 ≤ j ≤ METRO.yo k ≤ PAG y 0 ≤ j ≤ METRO.yo k ≤ PAG y 0 ≤ j ≤ METRO.yo k ≤ PAG y 0 ≤ j ≤ METRO.yo k ≤ PAG y 0 ≤ j ≤ METRO. (5)
Además, si las variables aleatorias ξ tiene PDFs fi específicas (es decir,Además, si las variables aleatorias ξ tiene PDFs fi específicas (es decir,Además, si las variables aleatorias ξ tiene PDFs fi específicas (es decir,
Gaussian, Uniforme, y distribución beta), las funciones de base
correspondientes son los polinomios del esquema de Wiener-Askey [4]. De
hecho, la elección de estos polinomios garantiza una tasa de convergencia
exponencial de la expansión de PC, ya que la medida de probabilidad
asociada W ( ξ) se corresponde con el PDF de la variable aleatoria ξ, cuando seasociada W ( ξ) se corresponde con el PDF de la variable aleatoria ξ, cuando seasociada W ( ξ) se corresponde con el PDF de la variable aleatoria ξ, cuando seasociada W ( ξ) se corresponde con el PDF de la variable aleatoria ξ, cuando seasociada W ( ξ) se corresponde con el PDF de la variable aleatoria ξ, cuando seasociada W ( ξ) se corresponde con el PDF de la variable aleatoria ξ, cuando se
coloca en una forma estándar [4], [6]. Por último, en [6], se presenta un
método numérico para calcular las funciones de base que garantizan una tasa
de convergencia exponencial para las variables aleatorias independientes con
distribuciones arbitrarias.
En el caso más general de variables aleatorias correlacionadas con PDFs
arbitrarias, las funciones de base se pueden calcular siguiendo el enfoque descrito
en [5] - [7]. En este caso, la tasa de convergencia de expansión para PC no puede
ser exponencial, ya que una transformación variable, como la transformación
Nataf [21] o la expansión Karhunen-Loeve [22], es necesaria para obtener el
descorrelación.
Una vez el M + 1 funciones de base φ yo ( ξ) se calculan, (1) puede ser truncadoUna vez el M + 1 funciones de base φ yo ( ξ) se calculan, (1) puede ser truncadoUna vez el M + 1 funciones de base φ yo ( ξ) se calculan, (1) puede ser truncadoUna vez el M + 1 funciones de base φ yo ( ξ) se calculan, (1) puede ser truncadoUna vez el M + 1 funciones de base φ yo ( ξ) se calculan, (1) puede ser truncadoUna vez el M + 1 funciones de base φ yo ( ξ) se calculan, (1) puede ser truncadoUna vez el M + 1 funciones de base φ yo ( ξ) se calculan, (1) puede ser truncado
como
MARIDO ≈ METROMARIDO ≈ METROMARIDO ≈ METRO
Σ
i = 0i = 0
donde los únicos términos desconocidos son los coe fi cientes de PC α yo que sedonde los únicos términos desconocidos son los coe fi cientes de PC α yo que sedonde los únicos términos desconocidos son los coe fi cientes de PC α yo que sedonde los únicos términos desconocidos son los coe fi cientes de PC α yo que se
puede calcular siguiendo uno de los dos métodos principales descritos en la
literatura: la proyección espectral y la técnica de regresión lineal [7].
La característica más interesante de la expansión PC es la representación
analítica de la variabilidad del sistema: funciones estocásticos complejas de MARIDO,analítica de la variabilidad del sistema: funciones estocásticos complejas de MARIDO,
tales como el PDF, puede ser fi ciente calculado siguiente fórmulas analíticas
estándar o esquemas numéricos [23], mientras que la media μ y la varianza σ 2 de MARIDOestándar o esquemas numéricos [23], mientras que la media μ y la varianza σ 2 de MARIDOestándar o esquemas numéricos [23], mientras que la media μ y la varianza σ 2 de MARIDOestándar o esquemas numéricos [23], mientras que la media μ y la varianza σ 2 de MARIDOestándar o esquemas numéricos [23], mientras que la media μ y la varianza σ 2 de MARIDOestándar o esquemas numéricos [23], mientras que la media μ y la varianza σ 2 de MARIDOestándar o esquemas numéricos [23], mientras que la media μ y la varianza σ 2 de MARIDO
puede expresarse como [7]
μ = α 0μ = α 0 (7)
σ 2 = METROσ 2 = METROσ 2 = METRO
Σ
i = 1i = 1
α 2α 2yo < φ yo ( ξ), φ yo ( ξ) >.yo < φ yo ( ξ), φ yo ( ξ) >.yo < φ yo ( ξ), φ yo ( ξ) >.yo < φ yo ( ξ), φ yo ( ξ) >.yo < φ yo ( ξ), φ yo ( ξ) >.yo < φ yo ( ξ), φ yo ( ξ) >.yo < φ yo ( ξ), φ yo ( ξ) >.yo < φ yo ( ξ), φ yo ( ξ) >.yo < φ yo ( ξ), φ yo ( ξ) >. (8)
Finalmente, si el proceso estocástico está escrito en una forma de matriz MARIDO,Finalmente, si el proceso estocástico está escrito en una forma de matriz MARIDO,
la correspondiente expansión PC es
MARIDO ≈ METROMARIDO ≈ METROMARIDO ≈ METRO
Σ
i = 0i = 0
donde los términos α yo son matrices de coe fi cientes PC, que corresponden a la yo - basedonde los términos α yo son matrices de coe fi cientes PC, que corresponden a la yo - basedonde los términos α yo son matrices de coe fi cientes PC, que corresponden a la yo - basedonde los términos α yo son matrices de coe fi cientes PC, que corresponden a la yo - basedonde los términos α yo son matrices de coe fi cientes PC, que corresponden a la yo - basedonde los términos α yo son matrices de coe fi cientes PC, que corresponden a la yo - base
polinómica XX, calculado para cada entrada de MARIDO. Para una amplia referencia apolinómica XX, calculado para cada entrada de MARIDO. Para una amplia referencia apolinómica XX, calculado para cada entrada de MARIDO. Para una amplia referencia a
la teoría PC, el lector puede consultar [4] - [8].
III. S TOCHASTIC MORIII. S TOCHASTIC MORIII. S TOCHASTIC MOR
La técnica propuesta tiene como objetivo realizar la VA de un sistema multipuerto
genérico representado por una forma descriptor Statespace como
( s C ( ξ) + G ( ξ)) X ( s, ξ) = B ( ξ)( s C ( ξ) + G ( ξ)) X ( s, ξ) = B ( ξ)( s C ( ξ) + G ( ξ)) X ( s, ξ) = B ( ξ)( s C ( ξ) + G ( ξ)) X ( s, ξ) = B ( ξ)( s C ( ξ) + G ( ξ)) X ( s, ξ) = B ( ξ)( s C ( ξ) + G ( ξ)) X ( s, ξ) = B ( ξ)( s C ( ξ) + G ( ξ)) X ( s, ξ) = B ( ξ)( s C ( ξ) + G ( ξ)) X ( s, ξ) = B ( ξ)( s C ( ξ) + G ( ξ)) X ( s, ξ) = B ( ξ)( s C ( ξ) + G ( ξ)) X ( s, ξ) = B ( ξ)( s C ( ξ) + G ( ξ)) X ( s, ξ) = B ( ξ)( s C ( ξ) + G ( ξ)) X ( s, ξ) = B ( ξ) (10)
H ( s, ξ) = L T ( ξ) X ( s, ξ)H ( s, ξ) = L T ( ξ) X ( s, ξ)H ( s, ξ) = L T ( ξ) X ( s, ξ)H ( s, ξ) = L T ( ξ) X ( s, ξ)H ( s, ξ) = L T ( ξ) X ( s, ξ)H ( s, ξ) = L T ( ξ) X ( s, ξ)H ( s, ξ) = L T ( ξ) X ( s, ξ)H ( s, ξ) = L T ( ξ) X ( s, ξ)H ( s, ξ) = L T ( ξ) X ( s, ξ) (11)
donde las matrices de espacio de estado del descriptor DO, GRAMO, SEGUNDO, L, que dependen dedonde las matrices de espacio de estado del descriptor DO, GRAMO, SEGUNDO, L, que dependen dedonde las matrices de espacio de estado del descriptor DO, GRAMO, SEGUNDO, L, que dependen dedonde las matrices de espacio de estado del descriptor DO, GRAMO, SEGUNDO, L, que dependen dedonde las matrices de espacio de estado del descriptor DO, GRAMO, SEGUNDO, L, que dependen dedonde las matrices de espacio de estado del descriptor DO, GRAMO, SEGUNDO, L, que dependen de
un vector de variables aleatorias ξ, son grandes matricesun vector de variables aleatorias ξ, son grandes matricesun vector de variables aleatorias ξ, son grandes matrices

SPINA et al .: VA eficiente de los sistemas ELECTROMAGNÉTICASSPINA et al .: VA eficiente de los sistemas ELECTROMAGNÉTICASSPINA et al .: VA eficiente de los sistemas ELECTROMAGNÉTICAS 3
calculado por un método de EM, tales como la técnica de circuito parcial
elemento equivalente (PEEC) [2]. el superíndice Telemento equivalente (PEEC) [2]. el superíndice T
representa la transpuesta de la matriz. La dimensionalidad de matrices de espacio de
estado del descriptor en (10) y (11) es do ∈ R Z × Z,estado del descriptor en (10) y (11) es do ∈ R Z × Z,estado del descriptor en (10) y (11) es do ∈ R Z × Z,estado del descriptor en (10) y (11) es do ∈ R Z × Z,estado del descriptor en (10) y (11) es do ∈ R Z × Z,estado del descriptor en (10) y (11) es do ∈ R Z × Z,estado del descriptor en (10) y (11) es do ∈ R Z × Z,
GRAMO ∈ R Z × Z, segundo ∈ R Z × norte pag , L ∈ R Z × norte pag , dónde Z es el número deGRAMO ∈ R Z × Z, segundo ∈ R Z × norte pag , L ∈ R Z × norte pag , dónde Z es el número deGRAMO ∈ R Z × Z, segundo ∈ R Z × norte pag , L ∈ R Z × norte pag , dónde Z es el número deGRAMO ∈ R Z × Z, segundo ∈ R Z × norte pag , L ∈ R Z × norte pag , dónde Z es el número deGRAMO ∈ R Z × Z, segundo ∈ R Z × norte pag , L ∈ R Z × norte pag , dónde Z es el número deGRAMO ∈ R Z × Z, segundo ∈ R Z × norte pag , L ∈ R Z × norte pag , dónde Z es el número deGRAMO ∈ R Z × Z, segundo ∈ R Z × norte pag , L ∈ R Z × norte pag , dónde Z es el número deGRAMO ∈ R Z × Z, segundo ∈ R Z × norte pag , L ∈ R Z × norte pag , dónde Z es el número deGRAMO ∈ R Z × Z, segundo ∈ R Z × norte pag , L ∈ R Z × norte pag , dónde Z es el número deGRAMO ∈ R Z × Z, segundo ∈ R Z × norte pag , L ∈ R Z × norte pag , dónde Z es el número deGRAMO ∈ R Z × Z, segundo ∈ R Z × norte pag , L ∈ R Z × norte pag , dónde Z es el número deGRAMO ∈ R Z × Z, segundo ∈ R Z × norte pag , L ∈ R Z × norte pag , dónde Z es el número deGRAMO ∈ R Z × Z, segundo ∈ R Z × norte pag , L ∈ R Z × norte pag , dónde Z es el número deGRAMO ∈ R Z × Z, segundo ∈ R Z × norte pag , L ∈ R Z × norte pag , dónde Z es el número deGRAMO ∈ R Z × Z, segundo ∈ R Z × norte pag , L ∈ R Z × norte pag , dónde Z es el número deGRAMO ∈ R Z × Z, segundo ∈ R Z × norte pag , L ∈ R Z × norte pag , dónde Z es el número deGRAMO ∈ R Z × Z, segundo ∈ R Z × norte pag , L ∈ R Z × norte pag , dónde Z es el número deGRAMO ∈ R Z × Z, segundo ∈ R Z × norte pag , L ∈ R Z × norte pag , dónde Z es el número deGRAMO ∈ R Z × Z, segundo ∈ R Z × norte pag , L ∈ R Z × norte pag , dónde Z es el número deGRAMO ∈ R Z × Z, segundo ∈ R Z × norte pag , L ∈ R Z × norte pag , dónde Z es el número deGRAMO ∈ R Z × Z, segundo ∈ R Z × norte pag , L ∈ R Z × norte pag , dónde Z es el número deGRAMO ∈ R Z × Z, segundo ∈ R Z × norte pag , L ∈ R Z × norte pag , dónde Z es el número deGRAMO ∈ R Z × Z, segundo ∈ R Z × norte pag , L ∈ R Z × norte pag , dónde Z es el número de
incógnitas vector de estado y depende del método particular EM utilizado para
calcular (10) y (11), y norte pag representar el número de puertos del sistema. Encalcular (10) y (11), y norte pag representar el número de puertos del sistema. Encalcular (10) y (11), y norte pag representar el número de puertos del sistema. Encalcular (10) y (11), y norte pag representar el número de puertos del sistema. En
algunas contribuciones recientes [24] - [26], que se demuestre que es posible calcular
fi eficientemente la expansión PC del sistema a partir de la expansión PC del modelo
correspondiente (modelos de espacio de estado en [24] y los modelos de línea de
transmisión en [25] y [26]). En teoría, un enfoque similar podría ser usado para
sistemas descritos por (10) y (11). De hecho, utilizando la expansión PC (9) para
expresar las matrices de espacio de estado, el vector de estado y la salida en (10) y
(11) Rendimiento
s
METRO
Σ
i = 0i = 0
METRO
Σ
j = 0j = 0
do yo x j ( s) φ yo ( ξ) φ j ( ξ)do yo x j ( s) φ yo ( ξ) φ j ( ξ)do yo x j ( s) φ yo ( ξ) φ j ( ξ)do yo x j ( s) φ yo ( ξ) φ j ( ξ)do yo x j ( s) φ yo ( ξ) φ j ( ξ)do yo x j ( s) φ yo ( ξ) φ j ( ξ)do yo x j ( s) φ yo ( ξ) φ j ( ξ)do yo x j ( s) φ yo ( ξ) φ j ( ξ)do yo x j ( s) φ yo ( ξ) φ j ( ξ)do yo x j ( s) φ yo ( ξ) φ j ( ξ)do yo x j ( s) φ yo ( ξ) φ j ( ξ)
= - METRO= - METRO
Σ
i = 0i = 0
METRO
Σ
j = 0j = 0
GRAMO yo x j ( s) φ yo ( ξ) φ j ( ξ) + METROGRAMO yo x j ( s) φ yo ( ξ) φ j ( ξ) + METROGRAMO yo x j ( s) φ yo ( ξ) φ j ( ξ) + METROGRAMO yo x j ( s) φ yo ( ξ) φ j ( ξ) + METROGRAMO yo x j ( s) φ yo ( ξ) φ j ( ξ) + METROGRAMO yo x j ( s) φ yo ( ξ) φ j ( ξ) + METROGRAMO yo x j ( s) φ yo ( ξ) φ j ( ξ) + METROGRAMO yo x j ( s) φ yo ( ξ) φ j ( ξ) + METROGRAMO yo x j ( s) φ yo ( ξ) φ j ( ξ) + METROGRAMO yo x j ( s) φ yo ( ξ) φ j ( ξ) + METROGRAMO yo x j ( s) φ yo ( ξ) φ j ( ξ) + METROGRAMO yo x j ( s) φ yo ( ξ) φ j ( ξ) + METRO
Σ
i = 0i = 0
segundo yo φ yo ( ξ)segundo yo φ yo ( ξ)segundo yo φ yo ( ξ)segundo yo φ yo ( ξ)segundo yo φ yo ( ξ)(12)
METRO
Σ
j = 0j = 0
MARIDO j ( s) φ j ( ξ) = METROMARIDO j ( s) φ j ( ξ) = METROMARIDO j ( s) φ j ( ξ) = METROMARIDO j ( s) φ j ( ξ) = METROMARIDO j ( s) φ j ( ξ) = METROMARIDO j ( s) φ j ( ξ) = METROMARIDO j ( s) φ j ( ξ) = METRO
Σ
i = 0i = 0
METRO
Σ
j = 0j = 0
L T i x j ( s) φ yo ( ξ) φ j ( ξ).L T i x j ( s) φ yo ( ξ) φ j ( ξ).L T i x j ( s) φ yo ( ξ) φ j ( ξ).L T i x j ( s) φ yo ( ξ) φ j ( ξ).L T i x j ( s) φ yo ( ξ) φ j ( ξ).L T i x j ( s) φ yo ( ξ) φ j ( ξ).L T i x j ( s) φ yo ( ξ) φ j ( ξ).L T i x j ( s) φ yo ( ξ) φ j ( ξ).L T i x j ( s) φ yo ( ξ) φ j ( ξ).L T i x j ( s) φ yo ( ξ) φ j ( ξ).L T i x j ( s) φ yo ( ξ) φ j ( ξ). (13)
Supongamos por un momento que la expansión de PC de las matrices de
espacio de estado en (12) y (13) ya está aplicado. Por lo tanto, las únicas
incógnitas son las matrices PC coeficiente del vector de estado x j y de laincógnitas son las matrices PC coeficiente del vector de estado x j y de laincógnitas son las matrices PC coeficiente del vector de estado x j y de laincógnitas son las matrices PC coeficiente del vector de estado x j y de la
función de transferencia MARIDO j.función de transferencia MARIDO j.función de transferencia MARIDO j.
Las matrices PC deseado coeficiente se pueden calcular mediante la proyección
(12) y (13) en cada función de base φ pag( ξ) para(12) y (13) en cada función de base φ pag( ξ) para(12) y (13) en cada función de base φ pag( ξ) para(12) y (13) en cada función de base φ pag( ξ) para(12) y (13) en cada función de base φ pag( ξ) para
p = 0, . . . , M ( Este procedimiento se denomina como proyecciones de Galerkin [4], [25] enp = 0, . . . , M ( Este procedimiento se denomina como proyecciones de Galerkin [4], [25] enp = 0, . . . , M ( Este procedimiento se denomina como proyecciones de Galerkin [4], [25] enp = 0, . . . , M ( Este procedimiento se denomina como proyecciones de Galerkin [4], [25] enp = 0, . . . , M ( Este procedimiento se denomina como proyecciones de Galerkin [4], [25] enp = 0, . . . , M ( Este procedimiento se denomina como proyecciones de Galerkin [4], [25] enp = 0, . . . , M ( Este procedimiento se denomina como proyecciones de Galerkin [4], [25] enp = 0, . . . , M ( Este procedimiento se denomina como proyecciones de Galerkin [4], [25] en
la teoría PC). De hecho, la proyección (12) en la función de base φ pag( ξ) rendimientosla teoría PC). De hecho, la proyección (12) en la función de base φ pag( ξ) rendimientosla teoría PC). De hecho, la proyección (12) en la función de base φ pag( ξ) rendimientosla teoría PC). De hecho, la proyección (12) en la función de base φ pag( ξ) rendimientosla teoría PC). De hecho, la proyección (12) en la función de base φ pag( ξ) rendimientos
s
METRO
Σ
i = 0i = 0
METRO
Σ
j = 0j = 0
do yo x j ( s) < φ yo φ j, φ pag >do yo x j ( s) < φ yo φ j, φ pag >do yo x j ( s) < φ yo φ j, φ pag >do yo x j ( s) < φ yo φ j, φ pag >do yo x j ( s) < φ yo φ j, φ pag >do yo x j ( s) < φ yo φ j, φ pag >do yo x j ( s) < φ yo φ j, φ pag >do yo x j ( s) < φ yo φ j, φ pag >do yo x j ( s) < φ yo φ j, φ pag >do yo x j ( s) < φ yo φ j, φ pag >do yo x j ( s) < φ yo φ j, φ pag >do yo x j ( s) < φ yo φ j, φ pag >do yo x j ( s) < φ yo φ j, φ pag >
= - METRO= - METRO
Σ
i = 0i = 0
METRO
Σ
j = 0j = 0
GRAMO yo x j ( s) < φ yo φ j, φ pag > + METROGRAMO yo x j ( s) < φ yo φ j, φ pag > + METROGRAMO yo x j ( s) < φ yo φ j, φ pag > + METROGRAMO yo x j ( s) < φ yo φ j, φ pag > + METROGRAMO yo x j ( s) < φ yo φ j, φ pag > + METROGRAMO yo x j ( s) < φ yo φ j, φ pag > + METROGRAMO yo x j ( s) < φ yo φ j, φ pag > + METROGRAMO yo x j ( s) < φ yo φ j, φ pag > + METROGRAMO yo x j ( s) < φ yo φ j, φ pag > + METROGRAMO yo x j ( s) < φ yo φ j, φ pag > + METROGRAMO yo x j ( s) < φ yo φ j, φ pag > + METROGRAMO yo x j ( s) < φ yo φ j, φ pag > + METROGRAMO yo x j ( s) < φ yo φ j, φ pag > + METROGRAMO yo x j ( s) < φ yo φ j, φ pag > + METRO
Σ
i = 0i = 0
segundo yo < φ yo , φ pag >segundo yo < φ yo , φ pag >segundo yo < φ yo , φ pag >segundo yo < φ yo , φ pag >segundo yo < φ yo , φ pag >segundo yo < φ yo , φ pag >segundo yo < φ yo , φ pag >segundo yo < φ yo , φ pag >(14)
donde la dependencia explícita en el vector ξ se omite, en aras de la claridad.donde la dependencia explícita en el vector ξ se omite, en aras de la claridad.donde la dependencia explícita en el vector ξ se omite, en aras de la claridad.
Repitiendo esta operación para p = 0, . . . , METRORepitiendo esta operación para p = 0, . . . , METRORepitiendo esta operación para p = 0, . . . , METRORepitiendo esta operación para p = 0, . . . , METRORepitiendo esta operación para p = 0, . . . , METRORepitiendo esta operación para p = 0, . . . , METRORepitiendo esta operación para p = 0, . . . , METRORepitiendo esta operación para p = 0, . . . , METRO
da un sistema lineal dependiente de la frecuencia de la forma de
x x α = segundo αx x α = segundo αx x α = segundo αx x α = segundo αx x α = segundo α (15)
dónde x ∈ R ( M + 1) Z x ( M + 1) Z, x α ∈ R ( M + 1) Z × norte pag , yx ∈ R ( M + 1) Z x ( M + 1) Z, x α ∈ R ( M + 1) Z × norte pag , yx ∈ R ( M + 1) Z x ( M + 1) Z, x α ∈ R ( M + 1) Z × norte pag , yx ∈ R ( M + 1) Z x ( M + 1) Z, x α ∈ R ( M + 1) Z × norte pag , yx ∈ R ( M + 1) Z x ( M + 1) Z, x α ∈ R ( M + 1) Z × norte pag , yx ∈ R ( M + 1) Z x ( M + 1) Z, x α ∈ R ( M + 1) Z × norte pag , yx ∈ R ( M + 1) Z x ( M + 1) Z, x α ∈ R ( M + 1) Z × norte pag , yx ∈ R ( M + 1) Z x ( M + 1) Z, x α ∈ R ( M + 1) Z × norte pag , yx ∈ R ( M + 1) Z x ( M + 1) Z, x α ∈ R ( M + 1) Z × norte pag , yx ∈ R ( M + 1) Z x ( M + 1) Z, x α ∈ R ( M + 1) Z × norte pag , yx ∈ R ( M + 1) Z x ( M + 1) Z, x α ∈ R ( M + 1) Z × norte pag , yx ∈ R ( M + 1) Z x ( M + 1) Z, x α ∈ R ( M + 1) Z × norte pag , yx ∈ R ( M + 1) Z x ( M + 1) Z, x α ∈ R ( M + 1) Z × norte pag , yx ∈ R ( M + 1) Z x ( M + 1) Z, x α ∈ R ( M + 1) Z × norte pag , yx ∈ R ( M + 1) Z x ( M + 1) Z, x α ∈ R ( M + 1) Z × norte pag , yx ∈ R ( M + 1) Z x ( M + 1) Z, x α ∈ R ( M + 1) Z × norte pag , yx ∈ R ( M + 1) Z x ( M + 1) Z, x α ∈ R ( M + 1) Z × norte pag , yx ∈ R ( M + 1) Z x ( M + 1) Z, x α ∈ R ( M + 1) Z × norte pag , yx ∈ R ( M + 1) Z x ( M + 1) Z, x α ∈ R ( M + 1) Z × norte pag , yx ∈ R ( M + 1) Z x ( M + 1) Z, x α ∈ R ( M + 1) Z × norte pag , yx ∈ R ( M + 1) Z x ( M + 1) Z, x α ∈ R ( M + 1) Z × norte pag , y
segundo α ∈ R ( M + 1) Z × norte pag .segundo α ∈ R ( M + 1) Z × norte pag .segundo α ∈ R ( M + 1) Z × norte pag .segundo α ∈ R ( M + 1) Z × norte pag .segundo α ∈ R ( M + 1) Z × norte pag .segundo α ∈ R ( M + 1) Z × norte pag .segundo α ∈ R ( M + 1) Z × norte pag .segundo α ∈ R ( M + 1) Z × norte pag .segundo α ∈ R ( M + 1) Z × norte pag .segundo α ∈ R ( M + 1) Z × norte pag .
Para describir cómo es posible obtener (15), vamos a suponer para simplificar, que las
funciones de una variable aleatoria y dos básicos se utilizan para la expansión de PC. En
este caso simplificada, (14) puede reescribirse como
( s do 0+ GRAMO 0) x 0 φ 0 φ 0+ ( s do 1+ GRAMO 1) x 0 φ 1 φ 0( s do 0+ GRAMO 0) x 0 φ 0 φ 0+ ( s do 1+ GRAMO 1) x 0 φ 1 φ 0( s do 0+ GRAMO 0) x 0 φ 0 φ 0+ ( s do 1+ GRAMO 1) x 0 φ 1 φ 0( s do 0+ GRAMO 0) x 0 φ 0 φ 0+ ( s do 1+ GRAMO 1) x 0 φ 1 φ 0( s do 0+ GRAMO 0) x 0 φ 0 φ 0+ ( s do 1+ GRAMO 1) x 0 φ 1 φ 0( s do 0+ GRAMO 0) x 0 φ 0 φ 0+ ( s do 1+ GRAMO 1) x 0 φ 1 φ 0( s do 0+ GRAMO 0) x 0 φ 0 φ 0+ ( s do 1+ GRAMO 1) x 0 φ 1 φ 0( s do 0+ GRAMO 0) x 0 φ 0 φ 0+ ( s do 1+ GRAMO 1) x 0 φ 1 φ 0( s do 0+ GRAMO 0) x 0 φ 0 φ 0+ ( s do 1+ GRAMO 1) x 0 φ 1 φ 0( s do 0+ GRAMO 0) x 0 φ 0 φ 0+ ( s do 1+ GRAMO 1) x 0 φ 1 φ 0( s do 0+ GRAMO 0) x 0 φ 0 φ 0+ ( s do 1+ GRAMO 1) x 0 φ 1 φ 0( s do 0+ GRAMO 0) x 0 φ 0 φ 0+ ( s do 1+ GRAMO 1) x 0 φ 1 φ 0( s do 0+ GRAMO 0) x 0 φ 0 φ 0+ ( s do 1+ GRAMO 1) x 0 φ 1 φ 0( s do 0+ GRAMO 0) x 0 φ 0 φ 0+ ( s do 1+ GRAMO 1) x 0 φ 1 φ 0( s do 0+ GRAMO 0) x 0 φ 0 φ 0+ ( s do 1+ GRAMO 1) x 0 φ 1 φ 0( s do 0+ GRAMO 0) x 0 φ 0 φ 0+ ( s do 1+ GRAMO 1) x 0 φ 1 φ 0( s do 0+ GRAMO 0) x 0 φ 0 φ 0+ ( s do 1+ GRAMO 1) x 0 φ 1 φ 0( s do 0+ GRAMO 0) x 0 φ 0 φ 0+ ( s do 1+ GRAMO 1) x 0 φ 1 φ 0( s do 0+ GRAMO 0) x 0 φ 0 φ 0+ ( s do 1+ GRAMO 1) x 0 φ 1 φ 0( s do 0+ GRAMO 0) x 0 φ 0 φ 0+ ( s do 1+ GRAMO 1) x 0 φ 1 φ 0( s do 0+ GRAMO 0) x 0 φ 0 φ 0+ ( s do 1+ GRAMO 1) x 0 φ 1 φ 0( s do 0+ GRAMO 0) x 0 φ 0 φ 0+ ( s do 1+ GRAMO 1) x 0 φ 1 φ 0( s do 0+ GRAMO 0) x 0 φ 0 φ 0+ ( s do 1+ GRAMO 1) x 0 φ 1 φ 0
+ ( s do 0 + GRAMO 0) x 1 φ 0 φ 1+ ( s do 1+ GRAMO 1) x 1 φ 1 φ 1 = segundo 0 φ 0+ segundo 1 φ 1.( s do 0 + GRAMO 0) x 1 φ 0 φ 1+ ( s do 1+ GRAMO 1) x 1 φ 1 φ 1 = segundo 0 φ 0+ segundo 1 φ 1.( s do 0 + GRAMO 0) x 1 φ 0 φ 1+ ( s do 1+ GRAMO 1) x 1 φ 1 φ 1 = segundo 0 φ 0+ segundo 1 φ 1.( s do 0 + GRAMO 0) x 1 φ 0 φ 1+ ( s do 1+ GRAMO 1) x 1 φ 1 φ 1 = segundo 0 φ 0+ segundo 1 φ 1.( s do 0 + GRAMO 0) x 1 φ 0 φ 1+ ( s do 1+ GRAMO 1) x 1 φ 1 φ 1 = segundo 0 φ 0+ segundo 1 φ 1.( s do 0 + GRAMO 0) x 1 φ 0 φ 1+ ( s do 1+ GRAMO 1) x 1 φ 1 φ 1 = segundo 0 φ 0+ segundo 1 φ 1.( s do 0 + GRAMO 0) x 1 φ 0 φ 1+ ( s do 1+ GRAMO 1) x 1 φ 1 φ 1 = segundo 0 φ 0+ segundo 1 φ 1.( s do 0 + GRAMO 0) x 1 φ 0 φ 1+ ( s do 1+ GRAMO 1) x 1 φ 1 φ 1 = segundo 0 φ 0+ segundo 1 φ 1.( s do 0 + GRAMO 0) x 1 φ 0 φ 1+ ( s do 1+ GRAMO 1) x 1 φ 1 φ 1 = segundo 0 φ 0+ segundo 1 φ 1.( s do 0 + GRAMO 0) x 1 φ 0 φ 1+ ( s do 1+ GRAMO 1) x 1 φ 1 φ 1 = segundo 0 φ 0+ segundo 1 φ 1.( s do 0 + GRAMO 0) x 1 φ 0 φ 1+ ( s do 1+ GRAMO 1) x 1 φ 1 φ 1 = segundo 0 φ 0+ segundo 1 φ 1.( s do 0 + GRAMO 0) x 1 φ 0 φ 1+ ( s do 1+ GRAMO 1) x 1 φ 1 φ 1 = segundo 0 φ 0+ segundo 1 φ 1.( s do 0 + GRAMO 0) x 1 φ 0 φ 1+ ( s do 1+ GRAMO 1) x 1 φ 1 φ 1 = segundo 0 φ 0+ segundo 1 φ 1.( s do 0 + GRAMO 0) x 1 φ 0 φ 1+ ( s do 1+ GRAMO 1) x 1 φ 1 φ 1 = segundo 0 φ 0+ segundo 1 φ 1.( s do 0 + GRAMO 0) x 1 φ 0 φ 1+ ( s do 1+ GRAMO 1) x 1 φ 1 φ 1 = segundo 0 φ 0+ segundo 1 φ 1.( s do 0 + GRAMO 0) x 1 φ 0 φ 1+ ( s do 1+ GRAMO 1) x 1 φ 1 φ 1 = segundo 0 φ 0+ segundo 1 φ 1.( s do 0 + GRAMO 0) x 1 φ 0 φ 1+ ( s do 1+ GRAMO 1) x 1 φ 1 φ 1 = segundo 0 φ 0+ segundo 1 φ 1.( s do 0 + GRAMO 0) x 1 φ 0 φ 1+ ( s do 1+ GRAMO 1) x 1 φ 1 φ 1 = segundo 0 φ 0+ segundo 1 φ 1.( s do 0 + GRAMO 0) x 1 φ 0 φ 1+ ( s do 1+ GRAMO 1) x 1 φ 1 φ 1 = segundo 0 φ 0+ segundo 1 φ 1.( s do 0 + GRAMO 0) x 1 φ 0 φ 1+ ( s do 1+ GRAMO 1) x 1 φ 1 φ 1 = segundo 0 φ 0+ segundo 1 φ 1.( s do 0 + GRAMO 0) x 1 φ 0 φ 1+ ( s do 1+ GRAMO 1) x 1 φ 1 φ 1 = segundo 0 φ 0+ segundo 1 φ 1.( s do 0 + GRAMO 0) x 1 φ 0 φ 1+ ( s do 1+ GRAMO 1) x 1 φ 1 φ 1 = segundo 0 φ 0+ segundo 1 φ 1.( s do 0 + GRAMO 0) x 1 φ 0 φ 1+ ( s do 1+ GRAMO 1) x 1 φ 1 φ 1 = segundo 0 φ 0+ segundo 1 φ 1.( s do 0 + GRAMO 0) x 1 φ 0 φ 1+ ( s do 1+ GRAMO 1) x 1 φ 1 φ 1 = segundo 0 φ 0+ segundo 1 φ 1.( s do 0 + GRAMO 0) x 1 φ 0 φ 1+ ( s do 1+ GRAMO 1) x 1 φ 1 φ 1 = segundo 0 φ 0+ segundo 1 φ 1.( s do 0 + GRAMO 0) x 1 φ 0 φ 1+ ( s do 1+ GRAMO 1) x 1 φ 1 φ 1 = segundo 0 φ 0+ segundo 1 φ 1.( s do 0 + GRAMO 0) x 1 φ 0 φ 1+ ( s do 1+ GRAMO 1) x 1 φ 1 φ 1 = segundo 0 φ 0+ segundo 1 φ 1.( s do 0 + GRAMO 0) x 1 φ 0 φ 1+ ( s do 1+ GRAMO 1) x 1 φ 1 φ 1 = segundo 0 φ 0+ segundo 1 φ 1.( s do 0 + GRAMO 0) x 1 φ 0 φ 1+ ( s do 1+ GRAMO 1) x 1 φ 1 φ 1 = segundo 0 φ 0+ segundo 1 φ 1.( s do 0 + GRAMO 0) x 1 φ 0 φ 1+ ( s do 1+ GRAMO 1) x 1 φ 1 φ 1 = segundo 0 φ 0+ segundo 1 φ 1.( s do 0 + GRAMO 0) x 1 φ 0 φ 1+ ( s do 1+ GRAMO 1) x 1 φ 1 φ 1 = segundo 0 φ 0+ segundo 1 φ 1.
(dieciséis)
Ahora, debido a la relación de ortogonalidad (2), la proyección de (16) sobre la
función de base φ 0 dafunción de base φ 0 dafunción de base φ 0 dafunción de base φ 0 da
mi 0 ( s) x 0 < φ 0 φ 0, φ 0 > + mi 1 ( s) x 0 < φ 1 φ 0, φ 0 >mi 0 ( s) x 0 < φ 0 φ 0, φ 0 > + mi 1 ( s) x 0 < φ 1 φ 0, φ 0 >mi 0 ( s) x 0 < φ 0 φ 0, φ 0 > + mi 1 ( s) x 0 < φ 1 φ 0, φ 0 >mi 0 ( s) x 0 < φ 0 φ 0, φ 0 > + mi 1 ( s) x 0 < φ 1 φ 0, φ 0 >mi 0 ( s) x 0 < φ 0 φ 0, φ 0 > + mi 1 ( s) x 0 < φ 1 φ 0, φ 0 >mi 0 ( s) x 0 < φ 0 φ 0, φ 0 > + mi 1 ( s) x 0 < φ 1 φ 0, φ 0 >mi 0 ( s) x 0 < φ 0 φ 0, φ 0 > + mi 1 ( s) x 0 < φ 1 φ 0, φ 0 >mi 0 ( s) x 0 < φ 0 φ 0, φ 0 > + mi 1 ( s) x 0 < φ 1 φ 0, φ 0 >mi 0 ( s) x 0 < φ 0 φ 0, φ 0 > + mi 1 ( s) x 0 < φ 1 φ 0, φ 0 >mi 0 ( s) x 0 < φ 0 φ 0, φ 0 > + mi 1 ( s) x 0 < φ 1 φ 0, φ 0 >mi 0 ( s) x 0 < φ 0 φ 0, φ 0 > + mi 1 ( s) x 0 < φ 1 φ 0, φ 0 >mi 0 ( s) x 0 < φ 0 φ 0, φ 0 > + mi 1 ( s) x 0 < φ 1 φ 0, φ 0 >mi 0 ( s) x 0 < φ 0 φ 0, φ 0 > + mi 1 ( s) x 0 < φ 1 φ 0, φ 0 >mi 0 ( s) x 0 < φ 0 φ 0, φ 0 > + mi 1 ( s) x 0 < φ 1 φ 0, φ 0 >mi 0 ( s) x 0 < φ 0 φ 0, φ 0 > + mi 1 ( s) x 0 < φ 1 φ 0, φ 0 >mi 0 ( s) x 0 < φ 0 φ 0, φ 0 > + mi 1 ( s) x 0 < φ 1 φ 0, φ 0 >mi 0 ( s) x 0 < φ 0 φ 0, φ 0 > + mi 1 ( s) x 0 < φ 1 φ 0, φ 0 >mi 0 ( s) x 0 < φ 0 φ 0, φ 0 > + mi 1 ( s) x 0 < φ 1 φ 0, φ 0 >mi 0 ( s) x 0 < φ 0 φ 0, φ 0 > + mi 1 ( s) x 0 < φ 1 φ 0, φ 0 >mi 0 ( s) x 0 < φ 0 φ 0, φ 0 > + mi 1 ( s) x 0 < φ 1 φ 0, φ 0 >mi 0 ( s) x 0 < φ 0 φ 0, φ 0 > + mi 1 ( s) x 0 < φ 1 φ 0, φ 0 >mi 0 ( s) x 0 < φ 0 φ 0, φ 0 > + mi 1 ( s) x 0 < φ 1 φ 0, φ 0 >mi 0 ( s) x 0 < φ 0 φ 0, φ 0 > + mi 1 ( s) x 0 < φ 1 φ 0, φ 0 >mi 0 ( s) x 0 < φ 0 φ 0, φ 0 > + mi 1 ( s) x 0 < φ 1 φ 0, φ 0 >mi 0 ( s) x 0 < φ 0 φ 0, φ 0 > + mi 1 ( s) x 0 < φ 1 φ 0, φ 0 >mi 0 ( s) x 0 < φ 0 φ 0, φ 0 > + mi 1 ( s) x 0 < φ 1 φ 0, φ 0 >
+ mi 0 ( s) x 1 < φ 0 φ 1, φ 0 > + mi 1 ( s) x 1 < φ 1 φ 1, φ 0 > = segundo 0 < φ 0, φ 0 >mi 0 ( s) x 1 < φ 0 φ 1, φ 0 > + mi 1 ( s) x 1 < φ 1 φ 1, φ 0 > = segundo 0 < φ 0, φ 0 >mi 0 ( s) x 1 < φ 0 φ 1, φ 0 > + mi 1 ( s) x 1 < φ 1 φ 1, φ 0 > = segundo 0 < φ 0, φ 0 >mi 0 ( s) x 1 < φ 0 φ 1, φ 0 > + mi 1 ( s) x 1 < φ 1 φ 1, φ 0 > = segundo 0 < φ 0, φ 0 >mi 0 ( s) x 1 < φ 0 φ 1, φ 0 > + mi 1 ( s) x 1 < φ 1 φ 1, φ 0 > = segundo 0 < φ 0, φ 0 >mi 0 ( s) x 1 < φ 0 φ 1, φ 0 > + mi 1 ( s) x 1 < φ 1 φ 1, φ 0 > = segundo 0 < φ 0, φ 0 >mi 0 ( s) x 1 < φ 0 φ 1, φ 0 > + mi 1 ( s) x 1 < φ 1 φ 1, φ 0 > = segundo 0 < φ 0, φ 0 >mi 0 ( s) x 1 < φ 0 φ 1, φ 0 > + mi 1 ( s) x 1 < φ 1 φ 1, φ 0 > = segundo 0 < φ 0, φ 0 >mi 0 ( s) x 1 < φ 0 φ 1, φ 0 > + mi 1 ( s) x 1 < φ 1 φ 1, φ 0 > = segundo 0 < φ 0, φ 0 >mi 0 ( s) x 1 < φ 0 φ 1, φ 0 > + mi 1 ( s) x 1 < φ 1 φ 1, φ 0 > = segundo 0 < φ 0, φ 0 >mi 0 ( s) x 1 < φ 0 φ 1, φ 0 > + mi 1 ( s) x 1 < φ 1 φ 1, φ 0 > = segundo 0 < φ 0, φ 0 >mi 0 ( s) x 1 < φ 0 φ 1, φ 0 > + mi 1 ( s) x 1 < φ 1 φ 1, φ 0 > = segundo 0 < φ 0, φ 0 >mi 0 ( s) x 1 < φ 0 φ 1, φ 0 > + mi 1 ( s) x 1 < φ 1 φ 1, φ 0 > = segundo 0 < φ 0, φ 0 >mi 0 ( s) x 1 < φ 0 φ 1, φ 0 > + mi 1 ( s) x 1 < φ 1 φ 1, φ 0 > = segundo 0 < φ 0, φ 0 >mi 0 ( s) x 1 < φ 0 φ 1, φ 0 > + mi 1 ( s) x 1 < φ 1 φ 1, φ 0 > = segundo 0 < φ 0, φ 0 >mi 0 ( s) x 1 < φ 0 φ 1, φ 0 > + mi 1 ( s) x 1 < φ 1 φ 1, φ 0 > = segundo 0 < φ 0, φ 0 >mi 0 ( s) x 1 < φ 0 φ 1, φ 0 > + mi 1 ( s) x 1 < φ 1 φ 1, φ 0 > = segundo 0 < φ 0, φ 0 >mi 0 ( s) x 1 < φ 0 φ 1, φ 0 > + mi 1 ( s) x 1 < φ 1 φ 1, φ 0 > = segundo 0 < φ 0, φ 0 >mi 0 ( s) x 1 < φ 0 φ 1, φ 0 > + mi 1 ( s) x 1 < φ 1 φ 1, φ 0 > = segundo 0 < φ 0, φ 0 >mi 0 ( s) x 1 < φ 0 φ 1, φ 0 > + mi 1 ( s) x 1 < φ 1 φ 1, φ 0 > = segundo 0 < φ 0, φ 0 >mi 0 ( s) x 1 < φ 0 φ 1, φ 0 > + mi 1 ( s) x 1 < φ 1 φ 1, φ 0 > = segundo 0 < φ 0, φ 0 >mi 0 ( s) x 1 < φ 0 φ 1, φ 0 > + mi 1 ( s) x 1 < φ 1 φ 1, φ 0 > = segundo 0 < φ 0, φ 0 >mi 0 ( s) x 1 < φ 0 φ 1, φ 0 > + mi 1 ( s) x 1 < φ 1 φ 1, φ 0 > = segundo 0 < φ 0, φ 0 >mi 0 ( s) x 1 < φ 0 φ 1, φ 0 > + mi 1 ( s) x 1 < φ 1 φ 1, φ 0 > = segundo 0 < φ 0, φ 0 >mi 0 ( s) x 1 < φ 0 φ 1, φ 0 > + mi 1 ( s) x 1 < φ 1 φ 1, φ 0 > = segundo 0 < φ 0, φ 0 >mi 0 ( s) x 1 < φ 0 φ 1, φ 0 > + mi 1 ( s) x 1 < φ 1 φ 1, φ 0 > = segundo 0 < φ 0, φ 0 >mi 0 ( s) x 1 < φ 0 φ 1, φ 0 > + mi 1 ( s) x 1 < φ 1 φ 1, φ 0 > = segundo 0 < φ 0, φ 0 >mi 0 ( s) x 1 < φ 0 φ 1, φ 0 > + mi 1 ( s) x 1 < φ 1 φ 1, φ 0 > = segundo 0 < φ 0, φ 0 >mi 0 ( s) x 1 < φ 0 φ 1, φ 0 > + mi 1 ( s) x 1 < φ 1 φ 1, φ 0 > = segundo 0 < φ 0, φ 0 >mi 0 ( s) x 1 < φ 0 φ 1, φ 0 > + mi 1 ( s) x 1 < φ 1 φ 1, φ 0 > = segundo 0 < φ 0, φ 0 >mi 0 ( s) x 1 < φ 0 φ 1, φ 0 > + mi 1 ( s) x 1 < φ 1 φ 1, φ 0 > = segundo 0 < φ 0, φ 0 >mi 0 ( s) x 1 < φ 0 φ 1, φ 0 > + mi 1 ( s) x 1 < φ 1 φ 1, φ 0 > = segundo 0 < φ 0, φ 0 >mi 0 ( s) x 1 < φ 0 φ 1, φ 0 > + mi 1 ( s) x 1 < φ 1 φ 1, φ 0 > = segundo 0 < φ 0, φ 0 >mi 0 ( s) x 1 < φ 0 φ 1, φ 0 > + mi 1 ( s) x 1 < φ 1 φ 1, φ 0 > = segundo 0 < φ 0, φ 0 >
(17)
dónde mi yo ( s) = (s do i + GRAMO yo ) para i = 0, 1. La proyección de (16) sobre la función de base φdónde mi yo ( s) = (s do i + GRAMO yo ) para i = 0, 1. La proyección de (16) sobre la función de base φdónde mi yo ( s) = (s do i + GRAMO yo ) para i = 0, 1. La proyección de (16) sobre la función de base φdónde mi yo ( s) = (s do i + GRAMO yo ) para i = 0, 1. La proyección de (16) sobre la función de base φdónde mi yo ( s) = (s do i + GRAMO yo ) para i = 0, 1. La proyección de (16) sobre la función de base φdónde mi yo ( s) = (s do i + GRAMO yo ) para i = 0, 1. La proyección de (16) sobre la función de base φdónde mi yo ( s) = (s do i + GRAMO yo ) para i = 0, 1. La proyección de (16) sobre la función de base φdónde mi yo ( s) = (s do i + GRAMO yo ) para i = 0, 1. La proyección de (16) sobre la función de base φdónde mi yo ( s) = (s do i + GRAMO yo ) para i = 0, 1. La proyección de (16) sobre la función de base φdónde mi yo ( s) = (s do i + GRAMO yo ) para i = 0, 1. La proyección de (16) sobre la función de base φdónde mi yo ( s) = (s do i + GRAMO yo ) para i = 0, 1. La proyección de (16) sobre la función de base φdónde mi yo ( s) = (s do i + GRAMO yo ) para i = 0, 1. La proyección de (16) sobre la función de base φdónde mi yo ( s) = (s do i + GRAMO yo ) para i = 0, 1. La proyección de (16) sobre la función de base φ
1 rendimientos1 rendimientos
mi 0 ( s) x 0 < φ 0 φ 0, φ 1 > + mi 1 ( s) x 0 < φ 1 φ 0, φ 1 >mi 0 ( s) x 0 < φ 0 φ 0, φ 1 > + mi 1 ( s) x 0 < φ 1 φ 0, φ 1 >mi 0 ( s) x 0 < φ 0 φ 0, φ 1 > + mi 1 ( s) x 0 < φ 1 φ 0, φ 1 >mi 0 ( s) x 0 < φ 0 φ 0, φ 1 > + mi 1 ( s) x 0 < φ 1 φ 0, φ 1 >mi 0 ( s) x 0 < φ 0 φ 0, φ 1 > + mi 1 ( s) x 0 < φ 1 φ 0, φ 1 >mi 0 ( s) x 0 < φ 0 φ 0, φ 1 > + mi 1 ( s) x 0 < φ 1 φ 0, φ 1 >mi 0 ( s) x 0 < φ 0 φ 0, φ 1 > + mi 1 ( s) x 0 < φ 1 φ 0, φ 1 >mi 0 ( s) x 0 < φ 0 φ 0, φ 1 > + mi 1 ( s) x 0 < φ 1 φ 0, φ 1 >mi 0 ( s) x 0 < φ 0 φ 0, φ 1 > + mi 1 ( s) x 0 < φ 1 φ 0, φ 1 >mi 0 ( s) x 0 < φ 0 φ 0, φ 1 > + mi 1 ( s) x 0 < φ 1 φ 0, φ 1 >mi 0 ( s) x 0 < φ 0 φ 0, φ 1 > + mi 1 ( s) x 0 < φ 1 φ 0, φ 1 >mi 0 ( s) x 0 < φ 0 φ 0, φ 1 > + mi 1 ( s) x 0 < φ 1 φ 0, φ 1 >mi 0 ( s) x 0 < φ 0 φ 0, φ 1 > + mi 1 ( s) x 0 < φ 1 φ 0, φ 1 >mi 0 ( s) x 0 < φ 0 φ 0, φ 1 > + mi 1 ( s) x 0 < φ 1 φ 0, φ 1 >mi 0 ( s) x 0 < φ 0 φ 0, φ 1 > + mi 1 ( s) x 0 < φ 1 φ 0, φ 1 >mi 0 ( s) x 0 < φ 0 φ 0, φ 1 > + mi 1 ( s) x 0 < φ 1 φ 0, φ 1 >mi 0 ( s) x 0 < φ 0 φ 0, φ 1 > + mi 1 ( s) x 0 < φ 1 φ 0, φ 1 >mi 0 ( s) x 0 < φ 0 φ 0, φ 1 > + mi 1 ( s) x 0 < φ 1 φ 0, φ 1 >mi 0 ( s) x 0 < φ 0 φ 0, φ 1 > + mi 1 ( s) x 0 < φ 1 φ 0, φ 1 >mi 0 ( s) x 0 < φ 0 φ 0, φ 1 > + mi 1 ( s) x 0 < φ 1 φ 0, φ 1 >mi 0 ( s) x 0 < φ 0 φ 0, φ 1 > + mi 1 ( s) x 0 < φ 1 φ 0, φ 1 >mi 0 ( s) x 0 < φ 0 φ 0, φ 1 > + mi 1 ( s) x 0 < φ 1 φ 0, φ 1 >mi 0 ( s) x 0 < φ 0 φ 0, φ 1 > + mi 1 ( s) x 0 < φ 1 φ 0, φ 1 >mi 0 ( s) x 0 < φ 0 φ 0, φ 1 > + mi 1 ( s) x 0 < φ 1 φ 0, φ 1 >mi 0 ( s) x 0 < φ 0 φ 0, φ 1 > + mi 1 ( s) x 0 < φ 1 φ 0, φ 1 >mi 0 ( s) x 0 < φ 0 φ 0, φ 1 > + mi 1 ( s) x 0 < φ 1 φ 0, φ 1 >
+ mi 0 ( s) x 1 < φ 0 φ 1, φ 1 > + mi 1 ( s) x 1 < φ 1 φ 1, φ 1 > = segundo 1 < φ 1, φ 1 >.mi 0 ( s) x 1 < φ 0 φ 1, φ 1 > + mi 1 ( s) x 1 < φ 1 φ 1, φ 1 > = segundo 1 < φ 1, φ 1 >.mi 0 ( s) x 1 < φ 0 φ 1, φ 1 > + mi 1 ( s) x 1 < φ 1 φ 1, φ 1 > = segundo 1 < φ 1, φ 1 >.mi 0 ( s) x 1 < φ 0 φ 1, φ 1 > + mi 1 ( s) x 1 < φ 1 φ 1, φ 1 > = segundo 1 < φ 1, φ 1 >.mi 0 ( s) x 1 < φ 0 φ 1, φ 1 > + mi 1 ( s) x 1 < φ 1 φ 1, φ 1 > = segundo 1 < φ 1, φ 1 >.mi 0 ( s) x 1 < φ 0 φ 1, φ 1 > + mi 1 ( s) x 1 < φ 1 φ 1, φ 1 > = segundo 1 < φ 1, φ 1 >.mi 0 ( s) x 1 < φ 0 φ 1, φ 1 > + mi 1 ( s) x 1 < φ 1 φ 1, φ 1 > = segundo 1 < φ 1, φ 1 >.mi 0 ( s) x 1 < φ 0 φ 1, φ 1 > + mi 1 ( s) x 1 < φ 1 φ 1, φ 1 > = segundo 1 < φ 1, φ 1 >.mi 0 ( s) x 1 < φ 0 φ 1, φ 1 > + mi 1 ( s) x 1 < φ 1 φ 1, φ 1 > = segundo 1 < φ 1, φ 1 >.mi 0 ( s) x 1 < φ 0 φ 1, φ 1 > + mi 1 ( s) x 1 < φ 1 φ 1, φ 1 > = segundo 1 < φ 1, φ 1 >.mi 0 ( s) x 1 < φ 0 φ 1, φ 1 > + mi 1 ( s) x 1 < φ 1 φ 1, φ 1 > = segundo 1 < φ 1, φ 1 >.mi 0 ( s) x 1 < φ 0 φ 1, φ 1 > + mi 1 ( s) x 1 < φ 1 φ 1, φ 1 > = segundo 1 < φ 1, φ 1 >.mi 0 ( s) x 1 < φ 0 φ 1, φ 1 > + mi 1 ( s) x 1 < φ 1 φ 1, φ 1 > = segundo 1 < φ 1, φ 1 >.mi 0 ( s) x 1 < φ 0 φ 1, φ 1 > + mi 1 ( s) x 1 < φ 1 φ 1, φ 1 > = segundo 1 < φ 1, φ 1 >.mi 0 ( s) x 1 < φ 0 φ 1, φ 1 > + mi 1 ( s) x 1 < φ 1 φ 1, φ 1 > = segundo 1 < φ 1, φ 1 >.mi 0 ( s) x 1 < φ 0 φ 1, φ 1 > + mi 1 ( s) x 1 < φ 1 φ 1, φ 1 > = segundo 1 < φ 1, φ 1 >.mi 0 ( s) x 1 < φ 0 φ 1, φ 1 > + mi 1 ( s) x 1 < φ 1 φ 1, φ 1 > = segundo 1 < φ 1, φ 1 >.mi 0 ( s) x 1 < φ 0 φ 1, φ 1 > + mi 1 ( s) x 1 < φ 1 φ 1, φ 1 > = segundo 1 < φ 1, φ 1 >.mi 0 ( s) x 1 < φ 0 φ 1, φ 1 > + mi 1 ( s) x 1 < φ 1 φ 1, φ 1 > = segundo 1 < φ 1, φ 1 >.mi 0 ( s) x 1 < φ 0 φ 1, φ 1 > + mi 1 ( s) x 1 < φ 1 φ 1, φ 1 > = segundo 1 < φ 1, φ 1 >.mi 0 ( s) x 1 < φ 0 φ 1, φ 1 > + mi 1 ( s) x 1 < φ 1 φ 1, φ 1 > = segundo 1 < φ 1, φ 1 >.mi 0 ( s) x 1 < φ 0 φ 1, φ 1 > + mi 1 ( s) x 1 < φ 1 φ 1, φ 1 > = segundo 1 < φ 1, φ 1 >.mi 0 ( s) x 1 < φ 0 φ 1, φ 1 > + mi 1 ( s) x 1 < φ 1 φ 1, φ 1 > = segundo 1 < φ 1, φ 1 >.mi 0 ( s) x 1 < φ 0 φ 1, φ 1 > + mi 1 ( s) x 1 < φ 1 φ 1, φ 1 > = segundo 1 < φ 1, φ 1 >.mi 0 ( s) x 1 < φ 0 φ 1, φ 1 > + mi 1 ( s) x 1 < φ 1 φ 1, φ 1 > = segundo 1 < φ 1, φ 1 >.mi 0 ( s) x 1 < φ 0 φ 1, φ 1 > + mi 1 ( s) x 1 < φ 1 φ 1, φ 1 > = segundo 1 < φ 1, φ 1 >.mi 0 ( s) x 1 < φ 0 φ 1, φ 1 > + mi 1 ( s) x 1 < φ 1 φ 1, φ 1 > = segundo 1 < φ 1, φ 1 >.mi 0 ( s) x 1 < φ 0 φ 1, φ 1 > + mi 1 ( s) x 1 < φ 1 φ 1, φ 1 > = segundo 1 < φ 1, φ 1 >.mi 0 ( s) x 1 < φ 0 φ 1, φ 1 > + mi 1 ( s) x 1 < φ 1 φ 1, φ 1 > = segundo 1 < φ 1, φ 1 >.mi 0 ( s) x 1 < φ 0 φ 1, φ 1 > + mi 1 ( s) x 1 < φ 1 φ 1, φ 1 > = segundo 1 < φ 1, φ 1 >.mi 0 ( s) x 1 < φ 0 φ 1, φ 1 > + mi 1 ( s) x 1 < φ 1 φ 1, φ 1 > = segundo 1 < φ 1, φ 1 >.mi 0 ( s) x 1 < φ 0 φ 1, φ 1 > + mi 1 ( s) x 1 < φ 1 φ 1, φ 1 > = segundo 1 < φ 1, φ 1 >.mi 0 ( s) x 1 < φ 0 φ 1, φ 1 > + mi 1 ( s) x 1 < φ 1 φ 1, φ 1 > = segundo 1 < φ 1, φ 1 >.mi 0 ( s) x 1 < φ 0 φ 1, φ 1 > + mi 1 ( s) x 1 < φ 1 φ 1, φ 1 > = segundo 1 < φ 1, φ 1 >.
(18)
A continuación, (17) y (18) puede reescribirse en la forma (15) como
(
x 00x 00 x 01x 01
x 10x 10 x 11x 11
) ( x 0) ( x 0) ( x 0
x 1x 1
)
= ( segundo 0= ( segundo 0= ( segundo 0
segundo 1segundo 1
)
(19)
dónde
x 00 = mi 0 ( s) < φ 0 φ 0, φ 0 >x 00 = mi 0 ( s) < φ 0 φ 0, φ 0 >x 00 = mi 0 ( s) < φ 0 φ 0, φ 0 >x 00 = mi 0 ( s) < φ 0 φ 0, φ 0 >x 00 = mi 0 ( s) < φ 0 φ 0, φ 0 >x 00 = mi 0 ( s) < φ 0 φ 0, φ 0 >x 00 = mi 0 ( s) < φ 0 φ 0, φ 0 >x 00 = mi 0 ( s) < φ 0 φ 0, φ 0 >x 00 = mi 0 ( s) < φ 0 φ 0, φ 0 >x 00 = mi 0 ( s) < φ 0 φ 0, φ 0 >x 00 = mi 0 ( s) < φ 0 φ 0, φ 0 >x 00 = mi 0 ( s) < φ 0 φ 0, φ 0 >x 00 = mi 0 ( s) < φ 0 φ 0, φ 0 >
< φ 0, φ 0 > + mi 1 ( s) < φ 1 φ 0, φ 0 >< φ 0, φ 0 > + mi 1 ( s) < φ 1 φ 0, φ 0 >< φ 0, φ 0 > + mi 1 ( s) < φ 1 φ 0, φ 0 >< φ 0, φ 0 > + mi 1 ( s) < φ 1 φ 0, φ 0 >< φ 0, φ 0 > + mi 1 ( s) < φ 1 φ 0, φ 0 >< φ 0, φ 0 > + mi 1 ( s) < φ 1 φ 0, φ 0 >< φ 0, φ 0 > + mi 1 ( s) < φ 1 φ 0, φ 0 >< φ 0, φ 0 > + mi 1 ( s) < φ 1 φ 0, φ 0 >< φ 0, φ 0 > + mi 1 ( s) < φ 1 φ 0, φ 0 >< φ 0, φ 0 > + mi 1 ( s) < φ 1 φ 0, φ 0 >< φ 0, φ 0 > + mi 1 ( s) < φ 1 φ 0, φ 0 >< φ 0, φ 0 > + mi 1 ( s) < φ 1 φ 0, φ 0 >< φ 0, φ 0 > + mi 1 ( s) < φ 1 φ 0, φ 0 >< φ 0, φ 0 > + mi 1 ( s) < φ 1 φ 0, φ 0 >< φ 0, φ 0 > + mi 1 ( s) < φ 1 φ 0, φ 0 >< φ 0, φ 0 > + mi 1 ( s) < φ 1 φ 0, φ 0 >< φ 0, φ 0 > + mi 1 ( s) < φ 1 φ 0, φ 0 >< φ 0, φ 0 >< φ 0, φ 0 >< φ 0, φ 0 >< φ 0, φ 0 >< φ 0, φ 0 >< φ 0, φ 0 >
< φ 1, φ 1 > + mi 1 ( s) < φ 1 φ 1, φ 1 >< φ 1, φ 1 > + mi 1 ( s) < φ 1 φ 1, φ 1 >< φ 1, φ 1 > + mi 1 ( s) < φ 1 φ 1, φ 1 >< φ 1, φ 1 > + mi 1 ( s) < φ 1 φ 1, φ 1 >< φ 1, φ 1 > + mi 1 ( s) < φ 1 φ 1, φ 1 >< φ 1, φ 1 > + mi 1 ( s) < φ 1 φ 1, φ 1 >< φ 1, φ 1 > + mi 1 ( s) < φ 1 φ 1, φ 1 >< φ 1, φ 1 > + mi 1 ( s) < φ 1 φ 1, φ 1 >< φ 1, φ 1 > + mi 1 ( s) < φ 1 φ 1, φ 1 >< φ 1, φ 1 > + mi 1 ( s) < φ 1 φ 1, φ 1 >< φ 1, φ 1 > + mi 1 ( s) < φ 1 φ 1, φ 1 >< φ 1, φ 1 > + mi 1 ( s) < φ 1 φ 1, φ 1 >< φ 1, φ 1 > + mi 1 ( s) < φ 1 φ 1, φ 1 >< φ 1, φ 1 > + mi 1 ( s) < φ 1 φ 1, φ 1 >< φ 1, φ 1 > + mi 1 ( s) < φ 1 φ 1, φ 1 >< φ 1, φ 1 > + mi 1 ( s) < φ 1 φ 1, φ 1 >< φ 1, φ 1 > + mi 1 ( s) < φ 1 φ 1, φ 1 >< φ 1, φ 1 >.< φ 1, φ 1 >.< φ 1, φ 1 >.< φ 1, φ 1 >.< φ 1, φ 1 >.< φ 1, φ 1 >.
(20)
El sistema dependiente de la frecuencia (19) ahora puede ser resuelto para cada
frecuencia de interés, en el cálculo de los productos escalares en (20). Por último, el
coe fi cientes de la PC de la salida
MARIDO j ( s) puede ser calculado utilizando los coeficientes PC fi de vector de estado x j ( s). EnMARIDO j ( s) puede ser calculado utilizando los coeficientes PC fi de vector de estado x j ( s). EnMARIDO j ( s) puede ser calculado utilizando los coeficientes PC fi de vector de estado x j ( s). EnMARIDO j ( s) puede ser calculado utilizando los coeficientes PC fi de vector de estado x j ( s). EnMARIDO j ( s) puede ser calculado utilizando los coeficientes PC fi de vector de estado x j ( s). EnMARIDO j ( s) puede ser calculado utilizando los coeficientes PC fi de vector de estado x j ( s). EnMARIDO j ( s) puede ser calculado utilizando los coeficientes PC fi de vector de estado x j ( s). EnMARIDO j ( s) puede ser calculado utilizando los coeficientes PC fi de vector de estado x j ( s). En
efecto, la proyección de (13) sobre las funciones de base φ pag( ξ), p = 0, . . . , METRO, lleva aefecto, la proyección de (13) sobre las funciones de base φ pag( ξ), p = 0, . . . , METRO, lleva aefecto, la proyección de (13) sobre las funciones de base φ pag( ξ), p = 0, . . . , METRO, lleva aefecto, la proyección de (13) sobre las funciones de base φ pag( ξ), p = 0, . . . , METRO, lleva aefecto, la proyección de (13) sobre las funciones de base φ pag( ξ), p = 0, . . . , METRO, lleva aefecto, la proyección de (13) sobre las funciones de base φ pag( ξ), p = 0, . . . , METRO, lleva aefecto, la proyección de (13) sobre las funciones de base φ pag( ξ), p = 0, . . . , METRO, lleva aefecto, la proyección de (13) sobre las funciones de base φ pag( ξ), p = 0, . . . , METRO, lleva aefecto, la proyección de (13) sobre las funciones de base φ pag( ξ), p = 0, . . . , METRO, lleva aefecto, la proyección de (13) sobre las funciones de base φ pag( ξ), p = 0, . . . , METRO, lleva aefecto, la proyección de (13) sobre las funciones de base φ pag( ξ), p = 0, . . . , METRO, lleva aefecto, la proyección de (13) sobre las funciones de base φ pag( ξ), p = 0, . . . , METRO, lleva a
MARIDO pag( s) = METROMARIDO pag( s) = METROMARIDO pag( s) = METROMARIDO pag( s) = METRO
Σ
i = 0i = 0
METRO
Σ
j = 0j = 0
L T i x j ( s) < φ yo ( ξ) φ j ( ξ), φ pag( ξ) >L T i x j ( s) < φ yo ( ξ) φ j ( ξ), φ pag( ξ) >L T i x j ( s) < φ yo ( ξ) φ j ( ξ), φ pag( ξ) >L T i x j ( s) < φ yo ( ξ) φ j ( ξ), φ pag( ξ) >L T i x j ( s) < φ yo ( ξ) φ j ( ξ), φ pag( ξ) >L T i x j ( s) < φ yo ( ξ) φ j ( ξ), φ pag( ξ) >L T i x j ( s) < φ yo ( ξ) φ j ( ξ), φ pag( ξ) >L T i x j ( s) < φ yo ( ξ) φ j ( ξ), φ pag( ξ) >L T i x j ( s) < φ yo ( ξ) φ j ( ξ), φ pag( ξ) >L T i x j ( s) < φ yo ( ξ) φ j ( ξ), φ pag( ξ) >L T i x j ( s) < φ yo ( ξ) φ j ( ξ), φ pag( ξ) >L T i x j ( s) < φ yo ( ξ) φ j ( ξ), φ pag( ξ) >L T i x j ( s) < φ yo ( ξ) φ j ( ξ), φ pag( ξ) >L T i x j ( s) < φ yo ( ξ) φ j ( ξ), φ pag( ξ) >L T i x j ( s) < φ yo ( ξ) φ j ( ξ), φ pag( ξ) >L T i x j ( s) < φ yo ( ξ) φ j ( ξ), φ pag( ξ) >
< φ pag( ξ), φ pag( ξ) >< φ pag( ξ), φ pag( ξ) >< φ pag( ξ), φ pag( ξ) >< φ pag( ξ), φ pag( ξ) >< φ pag( ξ), φ pag( ξ) >< φ pag( ξ), φ pag( ξ) >< φ pag( ξ), φ pag( ξ) >< φ pag( ξ), φ pag( ξ) >
(21)
donde todos los productos escalares ya se calcularon con el fin de construir la
matriz X .matriz X .
Sin embargo, el enfoque descrito anteriormente no puede ser fi ef utilizado de
manera suficiente para los sistemas descritos por (10) y (11). El cálculo de la
expansión PC (9) para las grandes matrices DO, GRAMO, B, L sería muy caro tantoexpansión PC (9) para las grandes matrices DO, GRAMO, B, L sería muy caro tantoexpansión PC (9) para las grandes matrices DO, GRAMO, B, L sería muy caro tantoexpansión PC (9) para las grandes matrices DO, GRAMO, B, L sería muy caro tantoexpansión PC (9) para las grandes matrices DO, GRAMO, B, L sería muy caro tanto
en términos de memoria y tiempo de cálculo, puesto que cada matriz fi coeficiente
PC correspondiente sería tener la misma dimensión de la matriz original. Además,
la expansión PC de las matrices DO, GRAMO, B, L conduciría a un sistemala expansión PC de las matrices DO, GRAMO, B, L conduciría a un sistemala expansión PC de las matrices DO, GRAMO, B, L conduciría a un sistemala expansión PC de las matrices DO, GRAMO, B, L conduciría a un sistemala expansión PC de las matrices DO, GRAMO, B, L conduciría a un sistema
aumentada en la forma (15) de una dimensión tan alta que el coste computacional
requerido para resolverlo puede comprometer la e fi ciencia de la expansión PC
con respecto al análisis de MC.
Las técnicas desarrolladas previamente [11] - [13] resolver parcialmente estos
problemas para los sistemas descritos por ecuaciones de Helmholtz. De hecho, en
[11] - [13], se propone para evaluar primero el gran sistema original de ecuaciones en
un conjunto discreto de puntos en el espacio de diseño y luego emplear una técnica
MOR determinista para cada sistema de ecuaciones para generar la proyección
correspondiente matriz. Entonces, se calcula un modelo de PC de los grandes
matrices originales del sistema y de la proyección

4 IEEE Transactions on COMPONENTES, ENVASE Y la tecnología de fabricación
matriz. Es importante notar que, a raíz de los enfoques descritos en [11] - [13],
todas las matrices de proyección calculada para el conjunto discreto inicial de
puntos debe tener dimensiones comunes, de lo contrario no es posible calcular
el modelo PC correspondiente de la matriz de proyección a través de
integración numérica [13, eq. (33)]. De hecho, no es posible calcular una suma
de matrices con diferentes dimensiones. Finalmente, se realiza el cálculo de
los coe fi cientes PC del sistema de reducción que conduce a un sistema
aumentada en una forma similar a (15), pero la dimensión global de este
sistema aumentada se reduce drásticamente. Una expansión de PC compacta
del sistema original se puede ahora calcularse empleando técnicas
deterministas estándar para resolver el sistema aumentada obtenida. Este
enfoque es exacta y e fi ciente con respecto al análisis de MC (que tiene un
muy alto coste computacional, ya que requiere un gran número de simulación
del modelo a gran escala original). Además, las técnicas [11] - [13] ofrecen la
posibilidad de utilizar diferentes técnicas MOR para calcular los modelos de PC
de orden reducido correspondientes. Sin embargo, las técnicas [11] - [13]
pueden ser costosos tanto en términos de memoria y tiempo de cálculo, ya que
se requiere:
1) para calcular un modelo de PC de las ecuaciones de gran escala originales;
2) para calcular un modelo de PC de las matrices de proyección. El nuevo
método descrito en este documento es capaz de superar estas limitaciones por
primera cálculo de un conjunto de modelos de reducedorder con orden común
utilizando una matriz de proyección compacta común, siguiendo la técnica [20], y
luego calcular la expansión PC del sistema reducida. En particular, el método
descrito en [20] se implementa utilizando una opción del peor caso para la
estimación de la orden de modelo reducido y un enfoque global para construir la
matriz de proyección compacta común. A continuación, vamos a describir en
detalle el novedoso método propuesto.
Tenga en cuenta que, fijan el valor de las variables aleatorias ξ = ξTenga en cuenta que, fijan el valor de las variables aleatorias ξ = ξ
en (10) y (11) los rendimientos
( s DO( ξ) + GRAMO( ξ)) X( s, ξ) = SEGUNDO( ξ)( s DO( ξ) + GRAMO( ξ)) X( s, ξ) = SEGUNDO( ξ)( s DO( ξ) + GRAMO( ξ)) X( s, ξ) = SEGUNDO( ξ)( s DO( ξ) + GRAMO( ξ)) X( s, ξ) = SEGUNDO( ξ)( s DO( ξ) + GRAMO( ξ)) X( s, ξ) = SEGUNDO( ξ)( s DO( ξ) + GRAMO( ξ)) X( s, ξ) = SEGUNDO( ξ)( s DO( ξ) + GRAMO( ξ)) X( s, ξ) = SEGUNDO( ξ)( s DO( ξ) + GRAMO( ξ)) X( s, ξ) = SEGUNDO( ξ)( s DO( ξ) + GRAMO( ξ)) X( s, ξ) = SEGUNDO( ξ)( s DO( ξ) + GRAMO( ξ)) X( s, ξ) = SEGUNDO( ξ)( s DO( ξ) + GRAMO( ξ)) X( s, ξ) = SEGUNDO( ξ)( s DO( ξ) + GRAMO( ξ)) X( s, ξ) = SEGUNDO( ξ) (22)
MARIDO( s, ξ) = L T ( ξ) X( s, ξ).MARIDO( s, ξ) = L T ( ξ) X( s, ξ).MARIDO( s, ξ) = L T ( ξ) X( s, ξ).MARIDO( s, ξ) = L T ( ξ) X( s, ξ).MARIDO( s, ξ) = L T ( ξ) X( s, ξ).MARIDO( s, ξ) = L T ( ξ) X( s, ξ).MARIDO( s, ξ) = L T ( ξ) X( s, ξ).MARIDO( s, ξ) = L T ( ξ) X( s, ξ).MARIDO( s, ξ) = L T ( ξ) X( s, ξ). (23)
Ahora bien, es posible calcular un modelo de orden reducido como equivalentes
( s ̂( s ̂( s ̂DO( ξ) + ̂DO( ξ) + ̂DO( ξ) + ̂DO( ξ) + ̂ GRAMO( ξ)) ̂GRAMO( ξ)) ̂GRAMO( ξ)) ̂X( s, ξ) = ̂X( s, ξ) = ̂X( s, ξ) = ̂X( s, ξ) = ̂ SEGUNDO( ξ)SEGUNDO( ξ) (24)
MARIDO( s, ξ) = ̂ L T ( ξ) ̂MARIDO( s, ξ) = ̂ L T ( ξ) ̂MARIDO( s, ξ) = ̂ L T ( ξ) ̂MARIDO( s, ξ) = ̂ L T ( ξ) ̂MARIDO( s, ξ) = ̂ L T ( ξ) ̂MARIDO( s, ξ) = ̂ L T ( ξ) ̂MARIDO( s, ξ) = ̂ L T ( ξ) ̂MARIDO( s, ξ) = ̂ L T ( ξ) ̂X( s, ξ)X( s, ξ)X( s, ξ) (25)
donde las matrices de orden reducido, indicadas con el superíndice ∧, puede serdonde las matrices de orden reducido, indicadas con el superíndice ∧, puede serdonde las matrices de orden reducido, indicadas con el superíndice ∧, puede ser
calculado por medio de una matriz de proyección adecuado F comocalculado por medio de una matriz de proyección adecuado F comocalculado por medio de una matriz de proyección adecuado F como
̂DO( ξ) = F T DO( ξ) FDO( ξ) = F T DO( ξ) FDO( ξ) = F T DO( ξ) FDO( ξ) = F T DO( ξ) FDO( ξ) = F T DO( ξ) FDO( ξ) = F T DO( ξ) FDO( ξ) = F T DO( ξ) F (26)
̂GRAMO( ξ) = F T GRAMO( ξ) FGRAMO( ξ) = F T GRAMO( ξ) FGRAMO( ξ) = F T GRAMO( ξ) FGRAMO( ξ) = F T GRAMO( ξ) FGRAMO( ξ) = F T GRAMO( ξ) FGRAMO( ξ) = F T GRAMO( ξ) FGRAMO( ξ) = F T GRAMO( ξ) F (27)
̂SEGUNDO( ξ) = F T SEGUNDO( ξ)SEGUNDO( ξ) = F T SEGUNDO( ξ)SEGUNDO( ξ) = F T SEGUNDO( ξ)SEGUNDO( ξ) = F T SEGUNDO( ξ)SEGUNDO( ξ) = F T SEGUNDO( ξ)SEGUNDO( ξ) = F T SEGUNDO( ξ) (28)
̂ L ( ξ) = F T L ( ξ).̂ L ( ξ) = F T L ( ξ).̂ L ( ξ) = F T L ( ξ).̂ L ( ξ) = F T L ( ξ).̂ L ( ξ) = F T L ( ξ).̂ L ( ξ) = F T L ( ξ).̂ L ( ξ) = F T L ( ξ). (29)
La matriz de proyección F puede ser calculado utilizando una técnica de MOR,La matriz de proyección F puede ser calculado utilizando una técnica de MOR,La matriz de proyección F puede ser calculado utilizando una técnica de MOR,
como la descomposición de valor a base de Krylov Laguerre-singular (SVD) [27]
o algoritmo pasivo de orden reducido interconexión macromodeling (PRIMA)
[28] algoritmos.
Por lo tanto, es posible calcular para cada combinación de valores de las variables
aleatorias ξ en el espacio estocástico el correspondiente sistema reducido en unaaleatorias ξ en el espacio estocástico el correspondiente sistema reducido en unaaleatorias ξ en el espacio estocástico el correspondiente sistema reducido en una
forma de espacio de estado descriptor. Supongamos que hemos calculado K conjuntoforma de espacio de estado descriptor. Supongamos que hemos calculado K conjuntoforma de espacio de estado descriptor. Supongamos que hemos calculado K conjunto
de matrices reducidas [ ̂de matrices reducidas [ ̂
do k, ̂do k, ̂do k, ̂GRAMO k, ̂GRAMO k, ̂GRAMO k, ̂segundo k, ̂ L k] Ksegundo k, ̂ L k] Ksegundo k, ̂ L k] Ksegundo k, ̂ L k] Ksegundo k, ̂ L k] K
k = 1 con dimensión común parak = 1 con dimensión común parak = 1 con dimensión común para
los valores correspondientes de las variables aleatorias [ ξ k] Klos valores correspondientes de las variables aleatorias [ ξ k] Klos valores correspondientes de las variables aleatorias [ ξ k] K
k = 1k = 1
(Muestreo inicial) en el espacio estocástico . Para evaluar la
orden común para toda la K la reducción de los modelos que conduzcan a resultadosorden común para toda la K la reducción de los modelos que conduzcan a resultadosorden común para toda la K la reducción de los modelos que conduzcan a resultados
precisos, primero se calcula un modelo de orden reducido sólo para el conjunto de T [puntosprecisos, primero se calcula un modelo de orden reducido sólo para el conjunto de T [puntosprecisos, primero se calcula un modelo de orden reducido sólo para el conjunto de T [puntos
de esquina ξ u] = Uu 1 dónde T ⊂ K,de esquina ξ u] = Uu 1 dónde T ⊂ K,de esquina ξ u] = Uu 1 dónde T ⊂ K,de esquina ξ u] = Uu 1 dónde T ⊂ K,de esquina ξ u] = Uu 1 dónde T ⊂ K,de esquina ξ u] = Uu 1 dónde T ⊂ K,de esquina ξ u] = Uu 1 dónde T ⊂ K,de esquina ξ u] = Uu 1 dónde T ⊂ K,
con el objetivo de reducir al mínimo el error con respecto a la respuesta de frecuencia del
sistema MARIDO( s, ξ u) calculado con las matrices del sistema largedimension originales DO( ξ u), GRAMO(sistema MARIDO( s, ξ u) calculado con las matrices del sistema largedimension originales DO( ξ u), GRAMO(sistema MARIDO( s, ξ u) calculado con las matrices del sistema largedimension originales DO( ξ u), GRAMO(sistema MARIDO( s, ξ u) calculado con las matrices del sistema largedimension originales DO( ξ u), GRAMO(sistema MARIDO( s, ξ u) calculado con las matrices del sistema largedimension originales DO( ξ u), GRAMO(sistema MARIDO( s, ξ u) calculado con las matrices del sistema largedimension originales DO( ξ u), GRAMO(sistema MARIDO( s, ξ u) calculado con las matrices del sistema largedimension originales DO( ξ u), GRAMO(sistema MARIDO( s, ξ u) calculado con las matrices del sistema largedimension originales DO( ξ u), GRAMO(sistema MARIDO( s, ξ u) calculado con las matrices del sistema largedimension originales DO( ξ u), GRAMO(sistema MARIDO( s, ξ u) calculado con las matrices del sistema largedimension originales DO( ξ u), GRAMO(
ξ u), SEGUNDO( ξ u), L ( ξ u), paraξ u), SEGUNDO( ξ u), L ( ξ u), paraξ u), SEGUNDO( ξ u), L ( ξ u), paraξ u), SEGUNDO( ξ u), L ( ξ u), paraξ u), SEGUNDO( ξ u), L ( ξ u), paraξ u), SEGUNDO( ξ u), L ( ξ u), paraξ u), SEGUNDO( ξ u), L ( ξ u), paraξ u), SEGUNDO( ξ u), L ( ξ u), paraξ u), SEGUNDO( ξ u), L ( ξ u), para
u = 1, . . . , U. A continuación, se calcula el conjunto correspondiente de Ku = 1, . . . , U. A continuación, se calcula el conjunto correspondiente de Ku = 1, . . . , U. A continuación, se calcula el conjunto correspondiente de Ku = 1, . . . , U. A continuación, se calcula el conjunto correspondiente de Ku = 1, . . . , U. A continuación, se calcula el conjunto correspondiente de Ku = 1, . . . , U. A continuación, se calcula el conjunto correspondiente de Ku = 1, . . . , U. A continuación, se calcula el conjunto correspondiente de Ku = 1, . . . , U. A continuación, se calcula el conjunto correspondiente de Ku = 1, . . . , U. A continuación, se calcula el conjunto correspondiente de K
matrices de proyección de orden común F k para k = 1, . . . , K.matrices de proyección de orden común F k para k = 1, . . . , K.matrices de proyección de orden común F k para k = 1, . . . , K.matrices de proyección de orden común F k para k = 1, . . . , K.matrices de proyección de orden común F k para k = 1, . . . , K.matrices de proyección de orden común F k para k = 1, . . . , K.matrices de proyección de orden común F k para k = 1, . . . , K.matrices de proyección de orden común F k para k = 1, . . . , K.matrices de proyección de orden común F k para k = 1, . . . , K.matrices de proyección de orden común F k para k = 1, . . . , K.matrices de proyección de orden común F k para k = 1, . . . , K.
Finalmente, todas las matrices de proyección calculados hasta ahora se apilan en una matriz de
proyección como
F Unión = [ F 1, F 2, . . . , F K].F Unión = [ F 1, F 2, . . . , F K].F Unión = [ F 1, F 2, . . . , F K].F Unión = [ F 1, F 2, . . . , F K].F Unión = [ F 1, F 2, . . . , F K].F Unión = [ F 1, F 2, . . . , F K].F Unión = [ F 1, F 2, . . . , F K].F Unión = [ F 1, F 2, . . . , F K].F Unión = [ F 1, F 2, . . . , F K].F Unión = [ F 1, F 2, . . . , F K].F Unión = [ F 1, F 2, . . . , F K].F Unión = [ F 1, F 2, . . . , F K]. (30)
La exactitud de la K modelos reducidos con orden común, que se estima usando el T puntosLa exactitud de la K modelos reducidos con orden común, que se estima usando el T puntosLa exactitud de la K modelos reducidos con orden común, que se estima usando el T puntosLa exactitud de la K modelos reducidos con orden común, que se estima usando el T puntosLa exactitud de la K modelos reducidos con orden común, que se estima usando el T puntos
de esquina, pueden ser fi veri mediante la comparación de las respuestas de frecuencia
correspondientes con respecto a las respuestas de frecuencia del sistema calcula
utilizando la
K matrices del sistema de grandes dimensiones originales. Si, para un ejemploK matrices del sistema de grandes dimensiones originales. Si, para un ejemplo
particular, la precisión deseada no se puede lograr utilizando sólo el T puntos departicular, la precisión deseada no se puede lograr utilizando sólo el T puntos departicular, la precisión deseada no se puede lograr utilizando sólo el T puntos de
esquina para la evaluación fin, siempre es posible estimar el orden común el uso
de toda la K muestras iniciales. Sin embargo, la opción de usar las esquinas parade toda la K muestras iniciales. Sin embargo, la opción de usar las esquinas parade toda la K muestras iniciales. Sin embargo, la opción de usar las esquinas para
estimar el orden común ha demostrado ser precisa en muchos casos y permite
ahorrar tiempo de cálculo [20].
Ahora bien, es necesario calcular una matriz de proyección común a ser capaces de
calcular un modelo de orden reducido paramétrica sobre los puntos de diseño [ ξ k] Kcalcular un modelo de orden reducido paramétrica sobre los puntos de diseño [ ξ k] Kcalcular un modelo de orden reducido paramétrica sobre los puntos de diseño [ ξ k] K
k = 1. Este objetivo se logra de dos pasos.k = 1. Este objetivo se logra de dos pasos.k = 1. Este objetivo se logra de dos pasos.
En primer lugar, la descomposición SVD de la matriz de proyección F UniónEn primer lugar, la descomposición SVD de la matriz de proyección F UniónEn primer lugar, la descomposición SVD de la matriz de proyección F Unión
se calcula como
UV T = SVD ( F Unión).UV T = SVD ( F Unión).UV T = SVD ( F Unión).UV T = SVD ( F Unión).UV T = SVD ( F Unión). (31)
En segundo lugar, para garantizar la compacidad de la matriz de proyección
común, puede definirse una de orden reducido común
r en base a la primera r valores singulares significantes, donde la individuación de la deseadar en base a la primera r valores singulares significantes, donde la individuación de la deseadar en base a la primera r valores singulares significantes, donde la individuación de la deseadar en base a la primera r valores singulares significantes, donde la individuación de la deseada
r los valores significantes pueden llevarse a cabo mediante el establecimiento de un umbralr los valores significantes pueden llevarse a cabo mediante el establecimiento de un umbral
para la relación entre los valores singulares con respecto al valor singular más grande. De
hecho, una matriz de proyección común Q do ahora puede ser expresado comohecho, una matriz de proyección común Q do ahora puede ser expresado comohecho, una matriz de proyección común Q do ahora puede ser expresado comohecho, una matriz de proyección común Q do ahora puede ser expresado como
Q C = T rQ C = T rQ C = T rQ C = T r (32)
dónde T r es la matriz T resultante de la descomposición SVD (31) para la primera r valoresdónde T r es la matriz T resultante de la descomposición SVD (31) para la primera r valoresdónde T r es la matriz T resultante de la descomposición SVD (31) para la primera r valoresdónde T r es la matriz T resultante de la descomposición SVD (31) para la primera r valoresdónde T r es la matriz T resultante de la descomposición SVD (31) para la primera r valoresdónde T r es la matriz T resultante de la descomposición SVD (31) para la primera r valoresdónde T r es la matriz T resultante de la descomposición SVD (31) para la primera r valoresdónde T r es la matriz T resultante de la descomposición SVD (31) para la primera r valores
singulares significantes. Por lo tanto, las matrices de orden reducido deseados con el
fin común se pueden expresar como
~do k ( ξ k) = Q Tdo k ( ξ k) = Q Tdo k ( ξ k) = Q Tdo k ( ξ k) = Q Tdo k ( ξ k) = Q Tdo k ( ξ k) = Q T do DO( ξ k) Q dodo DO( ξ k) Q dodo DO( ξ k) Q dodo DO( ξ k) Q dodo DO( ξ k) Q dodo DO( ξ k) Q do
(33)
~GRAMO k ( ξ k) = Q TGRAMO k ( ξ k) = Q TGRAMO k ( ξ k) = Q TGRAMO k ( ξ k) = Q TGRAMO k ( ξ k) = Q TGRAMO k ( ξ k) = Q T
do GRAMO( ξ k) Q dodo GRAMO( ξ k) Q dodo GRAMO( ξ k) Q dodo GRAMO( ξ k) Q dodo GRAMO( ξ k) Q dodo GRAMO( ξ k) Q do
(34)
~segundo k ( ξ k) = Q Tsegundo k ( ξ k) = Q Tsegundo k ( ξ k) = Q Tsegundo k ( ξ k) = Q Tsegundo k ( ξ k) = Q Tsegundo k ( ξ k) = Q T
do SEGUNDO( ξ k)do SEGUNDO( ξ k)do SEGUNDO( ξ k)do SEGUNDO( ξ k)
(35)
~L k ( ξ k) = Q TL k ( ξ k) = Q TL k ( ξ k) = Q TL k ( ξ k) = Q TL k ( ξ k) = Q TL k ( ξ k) = Q T do L ( ξ k)do L ( ξ k)do L ( ξ k)do L ( ξ k)
(36)
para k = 1, . . . , K, donde el superíndice ~ representa las matrices reducidos con elpara k = 1, . . . , K, donde el superíndice ~ representa las matrices reducidos con elpara k = 1, . . . , K, donde el superíndice ~ representa las matrices reducidos con elpara k = 1, . . . , K, donde el superíndice ~ representa las matrices reducidos con elpara k = 1, . . . , K, donde el superíndice ~ representa las matrices reducidos con elpara k = 1, . . . , K, donde el superíndice ~ representa las matrices reducidos con elpara k = 1, . . . , K, donde el superíndice ~ representa las matrices reducidos con elpara k = 1, . . . , K, donde el superíndice ~ representa las matrices reducidos con elpara k = 1, . . . , K, donde el superíndice ~ representa las matrices reducidos con elpara k = 1, . . . , K, donde el superíndice ~ representa las matrices reducidos con elpara k = 1, . . . , K, donde el superíndice ~ representa las matrices reducidos con el
fin común.

SPINA et al .: VA eficiente de los sistemas ELECTROMAGNÉTICASSPINA et al .: VA eficiente de los sistemas ELECTROMAGNÉTICASSPINA et al .: VA eficiente de los sistemas ELECTROMAGNÉTICAS 5
Finalmente, el modelo PC para las matrices ~Finalmente, el modelo PC para las matrices ~ DO, ~DO, ~GRAMO, ~GRAMO, ~SEGUNDO, ~SEGUNDO, ~L poderL poder
ser calculado. En primer lugar, es necesario calcular las funciones de base [ φ estoyser calculado. En primer lugar, es necesario calcular las funciones de base [ φ estoyser calculado. En primer lugar, es necesario calcular las funciones de base [ φ estoy
i = 0 siguiendo los criterios indicados eni = 0 siguiendo los criterios indicados eni = 0 siguiendo los criterios indicados en
Sección II. Sin pérdida de generalidad, supongamos que las variables aleatorias ξ sonSección II. Sin pérdida de generalidad, supongamos que las variables aleatorias ξ sonSección II. Sin pérdida de generalidad, supongamos que las variables aleatorias ξ son
independientes. Por lo tanto, el número de función de base M + 1 se puede elegir porindependientes. Por lo tanto, el número de función de base M + 1 se puede elegir porindependientes. Por lo tanto, el número de función de base M + 1 se puede elegir por
adelantado de acuerdo con (3) teniendo en cuenta que PAG puede limitarse entre dos yadelantado de acuerdo con (3) teniendo en cuenta que PAG puede limitarse entre dos yadelantado de acuerdo con (3) teniendo en cuenta que PAG puede limitarse entre dos y
cinco [4], [24], [26] para aplicaciones prácticas. Por último, las matrices de PC cientes fi
ciente de ~ciente de ~
DO, ~DO, ~GRAMO, ~GRAMO, ~SEGUNDO, ~SEGUNDO, ~L de (33) - ( 36) se puede calcular porL de (33) - ( 36) se puede calcular porL de (33) - ( 36) se puede calcular porL de (33) - ( 36) se puede calcular por
medio del enfoque de regresión lineal (Sección II). El enfoque de regresión lineal
calcula los coeficientes PC fi deseados resolver un sistema de mínimos cuadrados
sobredeterminado adecuado [7] que para la matriz de espacio de estado reducido ~sobredeterminado adecuado [7] que para la matriz de espacio de estado reducido ~
do puede escribirse comodo puede escribirse como
α = Rα = R (37)
dónde ∈ R K ~∈ R K ~∈ R K ~∈ R K ~
Z x ( M + 1) ~Z x ( M + 1) ~Z x ( M + 1) ~Z x ( M + 1) ~Z x ( M + 1) ~Z, α ∈ R ( M + 1) ~Z, α ∈ R ( M + 1) ~Z, α ∈ R ( M + 1) ~Z, α ∈ R ( M + 1) ~Z, α ∈ R ( M + 1) ~Z, α ∈ R ( M + 1) ~Z, α ∈ R ( M + 1) ~ Z × ~Z × ~Z, R ∈ R K ~Z, R ∈ R K ~Z, R ∈ R K ~Z, R ∈ R K ~Z, R ∈ R K ~Z, R ∈ R K ~ Z × ~Z × ~Z,
y ~y ~ Z representa el orden de la matriz ~Z representa el orden de la matriz ~Z representa el orden de la matriz ~ DO. En particular, laDO. En particular, la
k- º fila de la matrizk- º fila de la matriz contiene el polyno- multivariante
funciones de base miał φ yo para i = 0, . . . , METRO evaluado en ξ kfunciones de base miał φ yo para i = 0, . . . , METRO evaluado en ξ kfunciones de base miał φ yo para i = 0, . . . , METRO evaluado en ξ kfunciones de base miał φ yo para i = 0, . . . , METRO evaluado en ξ kfunciones de base miał φ yo para i = 0, . . . , METRO evaluado en ξ kfunciones de base miał φ yo para i = 0, . . . , METRO evaluado en ξ kfunciones de base miał φ yo para i = 0, . . . , METRO evaluado en ξ kfunciones de base miał φ yo para i = 0, . . . , METRO evaluado en ξ kfunciones de base miał φ yo para i = 0, . . . , METRO evaluado en ξ kfunciones de base miał φ yo para i = 0, . . . , METRO evaluado en ξ kfunciones de base miał φ yo para i = 0, . . . , METRO evaluado en ξ kfunciones de base miał φ yo para i = 0, . . . , METRO evaluado en ξ kfunciones de base miał φ yo para i = 0, . . . , METRO evaluado en ξ kfunciones de base miał φ yo para i = 0, . . . , METRO evaluado en ξ k
para k = 1, . . . , K multiplicado por la matriz de identidad de la misma dimensión quepara k = 1, . . . , K multiplicado por la matriz de identidad de la misma dimensión quepara k = 1, . . . , K multiplicado por la matriz de identidad de la misma dimensión quepara k = 1, . . . , K multiplicado por la matriz de identidad de la misma dimensión quepara k = 1, . . . , K multiplicado por la matriz de identidad de la misma dimensión quepara k = 1, . . . , K multiplicado por la matriz de identidad de la misma dimensión quepara k = 1, . . . , K multiplicado por la matriz de identidad de la misma dimensión quepara k = 1, . . . , K multiplicado por la matriz de identidad de la misma dimensión quepara k = 1, . . . , K multiplicado por la matriz de identidad de la misma dimensión que
la matriz ~la matriz ~ DO. El conjunto correspondiente deDO. El conjunto correspondiente de
valores de la matriz ~valores de la matriz ~ do kdo k
( ξ k( ξ k( ξ k )
para k = 1, . . . , K se almacenanpara k = 1, . . . , K se almacenanpara k = 1, . . . , K se almacenanpara k = 1, . . . , K se almacenanpara k = 1, . . . , K se almacenanpara k = 1, . . . , K se almacenanpara k = 1, . . . , K se almacenanpara k = 1, . . . , K se almacenanpara k = 1, . . . , K se almacenan
en la matriz R. Por último, el coe fi cientes PC deseados ~en la matriz R. Por último, el coe fi cientes PC deseados ~en la matriz R. Por último, el coe fi cientes PC deseados ~en la matriz R. Por último, el coe fi cientes PC deseados ~ do yo parado yo parado yo para
i = 0, . . . , METRO se recogen en la matriz α. La ecuación (37) para las matrices de espacioi = 0, . . . , METRO se recogen en la matriz α. La ecuación (37) para las matrices de espacioi = 0, . . . , METRO se recogen en la matriz α. La ecuación (37) para las matrices de espacioi = 0, . . . , METRO se recogen en la matriz α. La ecuación (37) para las matrices de espacioi = 0, . . . , METRO se recogen en la matriz α. La ecuación (37) para las matrices de espacioi = 0, . . . , METRO se recogen en la matriz α. La ecuación (37) para las matrices de espacioi = 0, . . . , METRO se recogen en la matriz α. La ecuación (37) para las matrices de espacioi = 0, . . . , METRO se recogen en la matriz α. La ecuación (37) para las matrices de espacioi = 0, . . . , METRO se recogen en la matriz α. La ecuación (37) para las matrices de espacioi = 0, . . . , METRO se recogen en la matriz α. La ecuación (37) para las matrices de espacio
de estado cada descriptor puede ser resuelto en un sentido de mínimos cuadrados
usando un elementwise, por columnas, o enfoque matrixwise.
Dado que el enfoque de regresión lineal requiere para resolver un sistema
sobredeterminado lineal en la forma (37), el número de muestras iniciales K sesobredeterminado lineal en la forma (37), el número de muestras iniciales K sesobredeterminado lineal en la forma (37), el número de muestras iniciales K se
elige de acuerdo con la siguiente relación [7]:
K ≈ 2 ( M + 1).K ≈ 2 ( M + 1).K ≈ 2 ( M + 1).K ≈ 2 ( M + 1).K ≈ 2 ( M + 1). (38)
En este punto, hemos calculado un modelo PC de los reducidos matrices de
espacio de estado descriptor en la forma (9). Por ejemplo, la matriz ~espacio de estado descriptor en la forma (9). Por ejemplo, la matriz ~
C ( ξ) puede escribirse comoC ( ξ) puede escribirse comoC ( ξ) puede escribirse como
~C ( ξ) ≈ METROC ( ξ) ≈ METROC ( ξ) ≈ METROC ( ξ) ≈ METRO
Σ
i = 0i = 0
~do yo φ yo ( ξ).do yo φ yo ( ξ).do yo φ yo ( ξ).do yo φ yo ( ξ).do yo φ yo ( ξ). (39)
Finalmente, es posible escribir dos ecuaciones en la forma (10) y (11) para las
matrices de espacio de estado del descriptor de orden reducido. Aplicando el mismo
procedimiento descrito anteriormente, es posible calcular un sistema lineal
dependiente de la frecuencia en la forma (15), pero la dimensión total de este sistema
es mucho más pequeña que la correspondiente relación con el uso de las matrices de
gran escala originales. Por lo tanto, la expansión PC de la función de transferencia del
sistema se puede calcular siguiendo el mismo procedimiento descrito anteriormente,
ver las ecuaciones (16) - (21).
La técnica propuesta es flexible, ya que la función de transferencia MARIDO deLa técnica propuesta es flexible, ya que la función de transferencia MARIDO deLa técnica propuesta es flexible, ya que la función de transferencia MARIDO de
un sistema multipuerto genérica puede ser expresada por diferentes
representaciones (por ejemplo, dispersión o admitancia parámetros), que permite el
uso de diferentes técnicas de MOR para calcular los sistemas reducidos, y ofrece
una complejidad computacional reducida con respecto a los enfoques anteriores
[11] - [13]. La novela técnica propuesta permite llevar a cabo el VA de los sistemas
de grandes dimensiones, tales como los resultantes de los simuladores de EM, con
precisión y e fi ciencia, debido a la expresión de la función de transferencia del
sistema como una
Higo. 1. Diagrama de flujo de la estrategia de modelado propuesto.
combinación adecuada de expansión PC y métodos MOR. Finalmente, el método
propuesto no requiere para calcular un modelo de PC del operador de proyección.
Las técnicas [11] - [13] suponen implícitamente que el operador de proyección como
una función de los parámetros elegidos para el VA ξ puede ser modelado conuna función de los parámetros elegidos para el VA ξ puede ser modelado conuna función de los parámetros elegidos para el VA ξ puede ser modelado con
precisión por una expansión PC. Sin embargo, en nuestra experiencia, el cálculo de
un modelo de PC del operador de proyección puede ser propenso a errores, cuando
el sistema bajo estudio es bastante sensible a los parámetros elegidos para el VA o
cuando el rango de variación de estos parámetros es lo suficientemente grande. El
operador de proyección se calcula independientemente para cada muestra inicial en
el espacio estocástico y puede no resultar suficientemente suave como una función
de los parámetros estocásticos ξ ser modelados con precisión por un modelo de PC.de los parámetros estocásticos ξ ser modelados con precisión por un modelo de PC.de los parámetros estocásticos ξ ser modelados con precisión por un modelo de PC.
Sección IV ilustra este aspecto.
Sin embargo, la técnica propuesta tiene una limitación: todavía puede ser
aplicado si el número de parámetros inciertos es relativamente grande (es decir, Naplicado si el número de parámetros inciertos es relativamente grande (es decir, N
= 10), pero a costa de una pérdida de e fi ciencia. De hecho, el número K de las= 10), pero a costa de una pérdida de e fi ciencia. De hecho, el número K de las= 10), pero a costa de una pérdida de e fi ciencia. De hecho, el número K de las= 10), pero a costa de una pérdida de e fi ciencia. De hecho, el número K de las
muestras iniciales se elige de acuerdo con (38), y el número de función de base Mmuestras iniciales se elige de acuerdo con (38), y el número de función de base M
+ 1 aumenta rápidamente con el número de parámetro incierto NORTE, de acuerdo+ 1 aumenta rápidamente con el número de parámetro incierto NORTE, de acuerdo+ 1 aumenta rápidamente con el número de parámetro incierto NORTE, de acuerdo+ 1 aumenta rápidamente con el número de parámetro incierto NORTE, de acuerdo
con (3). Por lo tanto, el cálculo de la K muestras iniciales del sistema a gran escalacon (3). Por lo tanto, el cálculo de la K muestras iniciales del sistema a gran escalacon (3). Por lo tanto, el cálculo de la K muestras iniciales del sistema a gran escala
puede ser costoso, y los costes computacionales de (31) y de la solución del
sistema reducido en la forma (15) pueden aumentar también. Esta limitación se
origina por la formulación de la expansión PC: el número M + 1 de funciones de baseorigina por la formulación de la expansión PC: el número M + 1 de funciones de baseorigina por la formulación de la expansión PC: el número M + 1 de funciones de base
de cualquier modelo PC en la forma (9) aumenta rápidamente con el número de
parámetro incierto NORTE, de acuerdo con (3). Por lo tanto, el númeroparámetro incierto NORTE, de acuerdo con (3). Por lo tanto, el númeroparámetro incierto NORTE, de acuerdo con (3). Por lo tanto, el número
correspondiente de M + 1 desconocidos coe fi cientes PC que debe ser estimada escorrespondiente de M + 1 desconocidos coe fi cientes PC que debe ser estimada escorrespondiente de M + 1 desconocidos coe fi cientes PC que debe ser estimada es
grande.
El owchart fl del enfoque propuesto se muestra en la Fig. 1.

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