1. Tarea 9: Diagrama de fase II
M3019. Modelación de Sistemas Físicos
Abraham Prado
A01213521
Monterrey, Nuevo León.
21 de febrero del 2012
Resumen
En el presente reporte se programa el método Monte Carlo metrópolis en Matlab, el objetivo de dicho programa es
mostrar las configuraciones que minimizan la energía del sistema con diagramas de fases, al igual que observar como se
comporta el sistema cuando se aplica el método Monte Carlo. También se realizan análisis de la evolución temporal de
variables termodinámicas de interés tales como la temperatura y la energía total del sistema.
Palabras Clave: Método Monte Carlo - Diagrama de fase - Optimización estocástica
Índice
1. Teoría 2
1.1. Método Monte Carlo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.2. Métodos para generar diagramas de fase . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.2.1. Histogramas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.2.2. Diagramas de fases para ODE’s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.2.3. Scatter Plot . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.2.4. Quiver Plot . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
2. Explicación del Código 3
2.1. Código 1: Dinámica molecular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
2.2. Código 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
3. Análisis de resultados 4
3.1. Gráficas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
3.1.1. Diagramas de fase del primer código . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
3.1.2. Diagramas de fase del segundo código . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
3.1.3. Evolución de variables termodinámicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
3.1.4. Configuración final . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
4. Conclusiones 9
1

2. F3019. Modelación de sistemas Físicos 2 ITESM Campus Monterrey
5. Bibliografía 9
1. Teoría
1.1. Método Monte Carlo
El método de Monte Carlo es una técnica numérica para calcular probabilidades y otras cantidades relacionadas,
utilizando secuencias de números aleatorios.Además es una herramienta de investigación y planeamiento; básicamente
es una técnica de muestreo artificial, empleada para operar numéricamente sistemas complejos que tengan componentes
aleatorios. 1
Gracias a la constante evolución de las microcomputadoras, en lo que se refiere a su capacidad de procesamiento de la
información, el método de Monte Carlo es cada ves más frecuentemente utilizado.
Esta metodología provee como resultado, incorporada a los modelos financieros, aproximaciones para las distribuciones
de probabilidades de los parámetros que están siendo estudiados.
Para ello son realizadas diversas simulaciones donde, en cada una de ellas, son generados valores aleatorios para el
conjunto de variables de entrada y parámetros del modelo que están sujetos a incertidumbre. Tales valores aleatorios
generados siguen distribuciones de probabilidades específicas que deben ser identificadas o estimadas previamente.
1.2. Métodos para generar diagramas de fase
Entre los métodos para generar diagramas de fase se mencionan los siguientes:
1.2.1. Histogramas
Dentro del análisis por Monte Carlo, por lo general se llega a tener n variables independientes y una salida escalar. Una
manera de visualizar los datos es un histograma de dos dimensiones. Desafortunadamente no hay soporte directo en Matlab
para hacer los histogramas, no obstante Laszlo Balkay desarrollo uno y esta disponible en Mathworks File Exchange. El
comando hist2() recibe como entrada dos variables independientes y la escala de los parámetros. El resultado es una gráfica
en dos dimensiones que muestra como estan distribuidos los puntos de acuerdo a esas dos variables.
1.2.2. Diagramas de fases para ODE’s
1.2.3. Scatter Plot
El comando scatter(X,Y,S,C) despliega círculos de color en las coordenadas específicadas por los vectores X y Y(que
deben ser del mismo tamaño). En particular este fue el comando que se utilizo para visualizar la evolución de los diagramas
de fase para poder ver si el método Monte-Carlo converge a la mínima configuración.
1.2.4. Quiver Plot
Una manera de visualizar el retrato fase de un sistema dinámico de dos ecuaciones diferenciales autónomas es a travéz
de los siguientes comandos 2 :
[x1, x2] = meshgrid(-.5:0.05:0.5, -.5:.05:.5);
x1dot = -x1 - 2 *x2 .*x1.^2+x2; %Note the use of .* and .^
x2dot = -x1-x2;
quiver(x1,x2,x1dot, x2dot)
Para visualizar a mayor detalle las ecuaciones resueltas y la gráfica correspondiente favor de checar la referencia [7].
1 http://www.cyta.com.ar/elearn/proyectoinversion/riesgo/riesgo.htm
2 Strawbridge , Marie. Using Matlab to draw phase portraits. University of Chicago
2

3. F3019. Modelación de sistemas Físicos 3 ITESM Campus Monterrey
2. Explicación del Código
2.1. Código 1: Dinámica molecular
El tamaño de paso escogido fue de e − 12 [s] . La selección del tamaño de paso es importante debido a que si no se
escoje con las unidades correctas , no se podrá visualizar las energías bien , ni el método de Verlet funcionara. El número
de iteraciones fue de 10.
La función recibe de entrada las constantes del potencial, una matriz de 3 columnas y N renglones de las posiciones de
la plata (plata), el tamaño de paso y el número de iteraciones (h).
Para aumentar la eficiencia del código se preasignaron las variables posición (r) , velocidad (v) , aceleración(ac) , energía
cinética (T), energía potencial(U), energía total(E) en matrices de ceros. La implementación del método Verlet se realizo
con los siguientes comandos:
r(:,:,i+1)=r(:,:,i)+tam_paso.*v(:,:,i)+tam_paso.^2 .*ac(:,:,i);
ac(:,:,i+1)=-A01213521_derivada_sch(puntos,a,n,m,eps,c)./masa;
v(:,:,i+1)=v(:,:,i)+0.5.*tam_paso.*(ac(:,:,i)+ac(:,:,i+1));
Donde la función A01213521_derivada_sch calcula la fuerza neta de las partículas de plata. Para el cálculo de las energías
se usaron los siguientes comandos:
U(i+1)=A01213521_suttonchen(puntos,eps,c,a,n,m);
T(i+1)=masa./2.*sum(sum(v(:,:,i+1).^2));
E(i+1)=U(i+1)+T(i+1);
Donde la función A01213521_suttonchen calcula la energía potencial Sutton-Chen con los parámetros anteriormente
explicados.
Para implementar los diagramas de fases en cada instante se usaron los comandos:
figure(1)
subplot(3,1,1)
scatter(V(:,1,i+1), U(:,1, i+1));
...
pause(0.005);
subplot(3,1,2)
scatter(V(:,1,i+1), AC(:,1, i+1));
...
pause(0.005);
subplot(3,1,3)
scatter(U(:,1,i+1), AC(:,1, i+1));
...
pause(0.005);
Donde V y AC son las velocidades y aceleraciones de cada partícula. Los diagramas de fase implementados permiten
visualizar la dinámica molecular de las partículas desde otra perspectiva, por lo que es muy útil su implementación en el
código para hacer análisis con más detalles.
2.2. Código 2:Aplicación de Monte Carlo
1. Con el fin de que el programa converja más rápido a la solución , las posiciones de las partículas se hicieron iguales a
plata.mat. Posteriormente se fueron alterando de manera aleatoria sus posiciones. Las velocidades se inicializaron en
el orden de 102 , debido a datos obtenidos del programa A0XXXXXXX_dinamica_sch anteriormente.
2. Las perturbaciones se definieron de la siguiente manera:
delta_v(:,:,i) = 1.5*10^(5)*(1- 2*rand([N,3]));
delta_r(:,:,i) = 3e-19.*rand(N,3);
3

4. F3019. Modelación de sistemas Físicos 4 ITESM Campus Monterrey
3. Para llegar al cálculo de la energías , se uso el programa A0XXXXXXX_suttonchen_matriz que calcula la energía por
partícula de los puntos del sistema. Las energías cinéticas se calculan con:
V(:,1,i+1)= sqrt(sum(v(:,:,i+1).^2,2));
4. Si el resultado del muestreo es positivo, se aplica:
E(i+1) > E(i) r(:,:,i+1) = r(:,:,i); v(:,:,i+1) = v(:,:,i) ;
5. Al aplicar el método Monte Carlo , con el fin de obtener resultados negativos aceptados con frecuencia aceptable, se
modifico ligeramente la probabilidad de transición como:
0.9 + 0.1*rand >exp(- df1(i)/T_monte )
Dependiendo de los valores de df1 (diferencia de energías), se fue modificando la temperatura de Monte Carlo.
6. Con el programa A0XXXXXXX_derivada_sch se calculo la fuerza que se ejerce en cada partícula por iteración, con
dicha fuerza se calculo la aceleración para poder observar su diagrama de fase.
7. Para observar los diagramas de fase se uso el comando scatter en las tres variables de interés(aceleración , velocidad y
energía potencial por partícula).
8. Adicionalmente se gráfico la temperatura y la energía total con el fin de poder analizar a detalle la termodinámica del
problema.
3. Análisis de resultados
3.1. Gráficas
3.1.1. Diagramas de fase del primer código
El código regresa en cada instante los diagramas de fase de la energía potencial, la velocidad y la aceleración , en un
instante dado se observan los siguientes diagramas:
Figura 1: Diagrama de fase de f(x)
Se observa que los puntos de mayor conglomeración son en U = −3,5 × 10−19 , AC = 4 × 1015 . No obstante la velocidad
no se estabiliza en ningún punto en específico.
4

5. F3019. Modelación de sistemas Físicos 5 ITESM Campus Monterrey
3.1.2. Diagramas de fase del segundo código
Para las siguientes perturbaciones y temperatura se obtienen los diagramas de fase siguientes:
T_monte= 3*10^(-15) ;
delta_v(:,:,i) = 1.5*10^(5)*(1- 2*rand([N,3]));
delta_r(:,:,i) = 3e-19.*rand(N,3);
Figura 2: Diagrama de fase de f(x)
Para las siguientes perturbaciones y temperatura se obtienen los diagramas de fase siguientes:
T_monte= 3*10^(-15) ;
delta_v(:,:,i) = 1.5*10^(5)*(1- 2*rand([N,3]));
delta_r(:,:,i) = 3e-19.*rand(N,3);
0.6 + 0.1*rand >exp(- df1(i)/T_monte )
Figura 3: Diagrama de fase de f(x)
5

6. F3019. Modelación de sistemas Físicos 6 ITESM Campus Monterrey
Para las siguientes perturbaciones y temperatura se obtienen los diagramas de fase siguientes:
T_monte= 3*10^(-12) ;
0.9 + 0.1*rand >exp(- df1(i)/T_monte )
delta_v(:,:,i) = 1.5*10^(5)*(1- 2*rand([N,3]));
delta_r(:,:,i) = 3e-19.*rand(N,3);
Figura 4: Diagrama de fase de f(x)
3.1.3. Evolución de variables termodinámicas
En la siguiente figura se muestra con evoluciono la energía potencial en el caso 1 en cada iteración con el fin de observar
la naturaleza del potencial y obtener datos como puntos mínimos, máximos, etc:
Figura 5: Gráfica de energía potencial y cinética
6

7. F3019. Modelación de sistemas Físicos 7 ITESM Campus Monterrey
Se observa que el mínimo de la energía potencial se repite de manera periódica, el valor de U = −4,3 × 10−19 J es el
mínimo al que connverge. En la energía cinética no se observa que una estabilización , esto se puede ver de igual manera
en los diagrams de fase, las partículas se mueven entre sí dentro de un volumen nanométrico.
Para el caso 2 se modifico la perturbación y la temperatura de Monte Carlo como se explico anteriormente y se obtiene:
Figura 6: Gráfica de energía potencial y cinética
En el caso 3 se graficaron la temperatura y la energía cinética tambien, la temperatura crece de manera monótona , no
obstante la energía cinética y la energía fluctuan en un rango proporcional a la perturbación dado al sistema:
Figura 7: Gráfica de variables termodinámicas
7

8. F3019. Modelación de sistemas Físicos 8 ITESM Campus Monterrey
La energía potencial se comporta igual que en el casos anteriores, no obstante la energía cinética es mucho mayor que
la energía potencial y por lo tanto la energía total se observa igual que la cinética.
La simulación anterior se repitió para 3000 iteraciones, no obstante solo se observo una estabilización de la temperatura:
Figura 8: Gráfica de variables termodinámicas
3.1.4. Configuración final
Para las siguientes perturbaciones y temperatura se obtienen los diagramas de fase siguientes:
T_monte= 3*10^(-15) ;
delta_v(:,:,i) = 1.5*10^(5)*(1- 2*rand([N,3]));
delta_r(:,:,i) = 3e-19.*rand(N,3);
Figura 9: Configuración partículas plata para el caso I
8

9. F3019. Modelación de sistemas Físicos 9 ITESM Campus Monterrey
Cabe resaltar que el aunque el programa corre de manera indefinida, cuando las partículas alcanzan un punto de
estabilidad se tardan en perder dicha configuración. Sin embargo hay partículas que salen del volumen confinado , por lo
que incrementan el tiempo de corrida del programa.
4. Conclusiones
En conclusión, se pudo simular las partículas y hallar configuraciones estables usando el método de Monte Carlo
Metrópolis, se gráfico la evolución de la temperatura para diferentes temperaturas y perturbaciones. Se observo la evolución
de temperatura igualmente. Con los diagramas de fase se observo donde se obtenian las configuraciones más estables de
energía total. En simulaciones futuras se puede modificar el número de partículas para minimizar de manera global, de
igual manera se puede agregar una condición que límite el rango de interacción entre las partículas, haciendo la búsqueda
de mínimos más compacta y rápida. Finalmente la búsqueda por Monte Carlo asegura siempre la existencia de al menos un
mínimo , sin necesidad de conocer el potencial a fondo. Más análisis se requieren para determinar la naturaleza periódica
del potencial Sutton-Chen en las corridas.
5. Bibliografía
Referencias
[1] Guevara, E. : Optimización con Monte Carlo [Presentación de PowerPoint]. Recuperada de la base de datos del curso de
Modelación de Sistemas Físicos en Blackboard.
[2] R2011b MathWorks Documentation.
[3] Liu, Jun S. Monte Carlo strategies in scientific computing. New York : Springer, c2001
[4] Rubinstein, Reuven Y. Simulation and the Monte Carlo method , New York : Wiley, c1981
[5] James A. Glazier, Monte Carlo Methods and Statistical Physics, Mathematical Biology Lecture 4,6, the Biocomplexity
Institute
[6] Stéphane MOINS .Implementation of a simulated annealing algorithm for Matlab . Training performed in Electronics
systems . Linköping Institute of Technology
[7] Strawbridge , Marie. Using Matlab to draw phase portraits. University of Chicago
9