Polinomio

Matemáticas
MatemáticasI
1º
Bachillerato
1º
Ciencias y tecnología
31105_CubMat_LA_Bch_Ev.qxd 11/3/08 09:57 Página 1

Índice
Unidad 01
Números reales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1. Evolución histórica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
2. Números reales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
3. La recta real. Intervalos y entornos . . . . . . . . . . . . . . 12
4. Unión e intersección de intervalos . . . . . . . . . . . . . . . 14
5. Acotación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
6. Valor absoluto de un número real . . . . . . . . . . . . . . . 16
7. Radicales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
Unidad 02
Sucesiones de números reales.Logaritmos . . . . . . . . . 27
1. Sucesiones de números reales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
2. Operaciones con sucesiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
3. Límite de una sucesión . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
4. Cálculo de límites de sucesiones . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
5. El número e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
6. Logaritmos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
Unidad 03
Polinomios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
1. Polinomios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
2. Operaciones con polinomios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
3. Regla de Ruffini. Raíces de un polinomio . . . . . . 50
4. Factorización de polinomios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
5. Fracciones algebraicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
6. Operaciones con fracciones algebraicas . . . . . . . . 54
Unidad 04
Ecuaciones,inecuaciones y sistemas . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
1. Ecuaciones polinómicas de primer
y segundo grado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
2. Ecuaciones exponenciales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
3. Ecuaciones logarítmicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
4. Sistemas de ecuaciones lineales . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
5. Sistemas de ecuaciones no lineales . . . . . . . . . . . . . 72
6. Inecuaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
7. Inecuaciones lineales con una incógnita . . . . . . 75
8. Inecuaciones de segundo grado
con una incógnita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
9. Sistemas de inecuaciones lineales
con una incógnita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
10. Inecuaciones lineales con dos incógnitas . . . . . 79
11. Otra forma de resolución . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
Unidad 05
Números complejos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
1. Números complejos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
2. Complejos opuestos y conjugados. Afijo . . . . . . . . 94
3. Representación gráfica de un número complejo . . 95
4. Operaciones con números complejos
en forma binómica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
5. Expresiones de un número complejo . . . . . . . . . . . 98
6. Operaciones en forma polar y trigonométrica . . . 100
Unidad 06
Razones trigonométricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
1. Definición de las razones trigonométricas . . . . . 110
2. Relaciones entre las razones trigonométricas.
Razones de algunos ángulos característicos . . . 111
3. Reducción de las razones trigonométricas . . . . 112
4. Razones trigonométricas de la suma
y diferencia de ángulos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114
5. Razones trigonométricas del ángulo doble
y del ángulo mitad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
6. Identidades trigonométricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
7. Ecuaciones y sistemas de ecuaciones
trigonométricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118
Unidad 07
Resolución de triángulos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127
1. Resolución de triángulos rectángulos . . . . . . . . . . 128
2. Teorema de los senos y del coseno . . . . . . . . . . . . 130
3. Área de un triángulo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132
4. Resolución de triángulos. Aplicaciones . . . . . . . . 133
Unidad 08
Vectores en el plano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143
1. El conjunto R2
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144
2. Vectores en el plano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146
3. Operaciones con vectores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148
4. Bases de V2
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150
5. Producto escalar y ángulo de dos vectores . . . 152
Unidad 09
La recta en el plano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161
1. Sistemas de referencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162
2. Ecuaciones de la recta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164
3. Otras ecuaciones de la recta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166
4. Determinación de una recta. Puntos alineados . . 167
5. Posición relativa de dos rectas en el plano . . . 168
6. Haz de rectas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169
7. Ángulo de dos rectas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170
8. Distancias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172
Unidad 10
Cónicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181
1. Lugar geométrico. Cónicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182
2. La circunferencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184

3. La elipse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188
4. La hipérbola . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 190
5. La parábola . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192
6. Tangentes y normales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193
Unidad 11
Funciones reales de variable real . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203
1. Funciones, tablas y gráficas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 204
2. Dominio y recorrido de una función . . . . . . . . . . . 206
3. Simetrías . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 208
4. Periodicidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 209
5. Funciones crecientes y decrecientes . . . . . . . . . . . . 210
6. Extremos relativos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212
7. Acotación. Extremos absolutos . . . . . . . . . . . . . . . . . . 214
8. Operaciones con funciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 216
9. Composición de funciones. Función inversa . 218
Unidad 12
Funciones elementales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 227
1. Función lineal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 228
2. Funciones cuadráticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 229
3. Funciones del tipo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 230
4. Funciones polinómicas de tercer grado . . . . . . . . 232
5. Funciones del tipo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233
6. Funciones exponenciales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 234
7. Funciones logarítmicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 236
8. Funciones trigonométricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 238
9. Funciones definidas a trozos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 240
Unidad 13
Límites de funciones.Continuidad . . . . . . . . . . . . . . . . . 249
1. Límite de una función en un punto . . . . . . . . . . . . 250
2. Límites en el infinito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 253
3. Propiedades de los límites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 254
4. Cálculo de límites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 255
5. Indeterminaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 256
6. Continuidad de funciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 259
7. Discontinuidades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 260
Unidad 14
Derivada de una función . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 269
1. Tasas de variación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 270
2. Derivada de una función en un punto . . . . . . . . . 272
3. Función derivada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 274
4. Funciones no derivables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 281
5. Monotonía y extremos relativos . . . . . . . . . . . . . . . . . 282
Unidad 15
Introducción a la integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 291
1. Primitiva de una función . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 292
2. Interpretación geométrica. Propiedades
de la integral indefinida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 294
3. Integrales inmediatas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 295
4. Método de integración por descomposición . . . 296
5. Método de sustitución . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 297
6. Área bajo una curva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 298
7. Propiedades de la integral definida . . . . . . . . . . . . . 300
8. Regla de Barrow . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 301
9. Cálculo del área de una región plana . . . . . . . . . . 302
Unidad 16
Probabilidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 311
1. Espacio muestral. Espacio de sucesos . . . . . . . . . . 312
2. Probabilidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 314
3. Probabilidad mediante diagramas de árbol . . . 316
4. Probabilidad condicionada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 318
5. Independencia de sucesos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 320
6. Probabilidad total . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 321
7. Teorema de Bayes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 322
Unidad 17
Distribuciones bidimensionales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 331
1. Variable estadística bidimensional . . . . . . . . . . . . . . 332
2. Distribuciones marginales y condicionadas . . . 334
3. Representaciones gráficas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 335
4. Parámetros estadísticos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 336
5. Regresión. Regresión lineal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 340
Unidad 18
Distribuciones discretas.Distribución binomial . . . 349
1. Variable aleatoria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 350
2. Función de probabilidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 351
3. Función de distribución . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 352
4. Parámetros de una variable aleatoria discreta . . 354
5. Distribución binomial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 356
Unidad 19
Distribuciones continuas.Distribución normal . . . 367
1. Función de densidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 368
2. Función de distribución . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 370
3. Distribución normal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 371
4. Distribución normal estándar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 372
5. Tipificación de la variable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 374
6. Aproximación de la binomial a la normal . . . . . 375
TABLA DE LA DISTRIBUCIÓN BINOMIAL . . . . . . . . . 383
TABLA DE LA DISTRIBUCIÓN NORMAL . . . . . . . . . . 384
k
(x – a)2
k
x

Polinomios
Los polinomios son herramientas matemáticas que se utilizan con
frecuencia en diversos campos. Así, para calcular el área o el volu-
men de un cono, para encontrar el espacio recorrido por un móvil
con una velocidad y una aceleración determinadas en función del
tiempo, o para hallar los beneficios totales producidos por un capi-
tal a cierto interés a lo largo de un determinado período de tiem-
po se utilizan ciertas expresiones que, en realidad, son polinomios
con una o varias variables.
Sumario
1. Polinomios.
2. Operaciones con polinomios.
3. Regla de Ruffini. Raíces de un polinomio.
4. Factorización de polinomios.
5. Fracciones algebraicas.
6. Operaciones con fracciones algebraicas.
03 0402 0501 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19
UNIDAD
045_062_31105_U3.qxp 11/3/08 07:56 Página 45

46
POLINOMIOS03
1. Polinomios
Aunque existen polinomios con varias variables, vamos a estudiar en profundidad aquellos que
tienen solo una variable y cuya definición recordarás de cursos anteriores.
Los números reales a0
, a1
, a2
, ... an
reciben el nombre de coeficientes del polinomio y cada uno de
los sumandos ai
xi
que componen el polinomio se denomina término de grado i.
El polinomio cuyos coeficientes son todos nulos se llama polinomio nulo y se denota por 0 (x)
o simplemente por 0.
Si el polinomio tiene dos o más variables, el grado de cada uno de sus términos es la suma de los
grados de las variables que intervienen en el término.
Así, 5xy2
– 3x2
y + 5x3
es un polinomio con dos variables cuyos tres términos son de grado 3.
Como puedes observar en estos ejemplos, en un polinomio es posible que no aparezcan los tér-
minos de algún o algunos grados. Lo que ocurre en esos casos es que el coeficiente correspon-
diente a ellos es cero y dichos términos no se escriben.
Cuando todos los coeficientes del polinomio son no nulos se dice que se trata de un polinomio
completo.
Según el número de términos que componen un polinomio se establece la siguiente nomenclatura
para algunos de ellos:
• Monomio: si todos los coeficientes son nulos excepto uno, es decir, que el polinomio está for-
mado por un único término.
• Binomio: cuando todos los coeficientes son nulos excepto dos y, por tanto, el polinomio está
compuesto por dos términos.
• Trinomio:cuando todos los coeficientes son nulos excepto tres y, por tanto, el polinomio está
formado por tres términos.
• Cuatrinomio:cuando todos los coeficientes son nulos excepto cuatro y, por tanto, el polinomio
está compuesto por cuatro términos.
Se llama polinomio con coeficientes reales en la indeterminada x a toda expresión finita de la
forma:
P (x) = a0
+ a1
x + a2
x2
+ ... + an
xn
donde a0
, a1
, a2
, ... an
∈ ‫ޒ‬ y n ∈ ‫.ގ‬ 1
Se define el grado de un polinomio distinto del nulo como el exponente n de la máxima poten-
cia de la indeterminada.
a) P (x) = 4x3
+ 5x2
– 2x es un polinomio de tercer grado.
b) Q (x) = 7 es un polinomio constante o de grado 0.
c) R (x) = 4 + 5x – 6x2
+ 8x4
es un polinomio de grado 4.
Ejemplos
El coeficiente a0
recibe el nombre
de término independiente.
El coeficiente an
se llama coefi-
ciente principal.
1
Amplía tus conocimientos
En la web
http://descartes.cnice.mecd.es/
materiales_didacticos/Polinomios/
index.htm
http://www20.brinkster.com/
fmartinez/algebra3.htm
http://www.emathematics.net/es/
polinomios.php?a=3
045_062_31105_U3.qxp 11/3/08 07:56 Página 46

POLINOMIOS 03
La indeterminada de un polinomio puede sustituirse por algún valor, dando lugar a la siguiente
definición:
Son monomios los polinomios: P (x) = 3x3
, Q (x) = 8 y R (x) = – 6x4
Son binomios los polinomios: P (x) = 3 – 7x, Q (x) = 2x + 5x3
y R (x) = –4x2
– 9x5
Son trinomios los polinomios: P (x) = 5 – x + 3x2
y Q (x) = – x4
+ 3x2
– 5
Son cuatrinomios los polinomios: P (x) = 9x3
– x2
+ 6x – 5 y Q (x) = 3 + 8x2
– 6x4
– 10x6
Ejemplos
a) El valor numérico de P (x) = 5x2
– 3x + 6 para x = 2 es:
P (2) = 5и22
– 3и2 + 6 = 20
b) Si Q (x) = x3
+ 2x2
– ax + 5, hallamos el valor de a sabiendo que Q (–1) = 3.
b) Q (–1) = (–1)3
+ 2и(–1)2
– aи(–1) + 5 = –1 + 2 + a + 5 = 6 + a
b) Como Q (–1) = 3, deducimos: 6 + a=3 ⇒ a= – 3
Ejemplos
Vamos a hallar los valores de a, b y c para que los polinomios P (x) y Q (x) siguientes sean
iguales:
P (x) = 3 – ax + 7x2
Q (x) = bx3
+ 7x2
– 5x – c
Para que ambos polinomios tengan el mismo grado es necesario que Q (x) no tenga térmi-
no de grado tres y, por tanto, se deduce que b=0.
Igualando los coeficientes de los términos de primer grado, se obtiene que a=5 y, al igua-
lar los términos independientes, deducimos que c=–3.
Ejemplo
Se dice que P (x) y Q (x) son polinomios iguales si se cumple que:
• Los dos polinomios tienen el mismo grado.
• Son iguales entre sí los coeficientes de los términos del mismo grado de ambos polinomios.
Dado un polinomio P (x), se llama valor numérico del polinomio para x = a, y se escribe
P (a), al número real que se obtiene al sustituir la variable x por el número real a.
El polinomio opuesto de un poli-
nomio P (x) es aquel cuyos coefi-
cientes son los opuestos de los
coeficientes de P (x). Se denota
como –P (x).
Polinomio opuesto
Actividades
Clasifica los siguientes polinomios según su grado y según el número
de términos que los componen.
a) P (x) = 2x2
– 5x + 1 c) Q (x) = 6x3
+ 7
b) R (x) = x3
– x5
+ 4x – 6 d) S (x) = – 14x4
Determina los valores de a, b, c y d para que sean iguales los polino-
mios siguientes:
P (x) = ax3
– 3x2
+ b y Q (x) = cx5
– x3
+ dx2
– 6
Halla el valor numérico de P (x) = 5x3
– 4x2
+ 2x para x = –2 y para
x = 3.
3
21
47
045_062_31105_U3.qxp 11/3/08 07:56 Página 47

48
POLINOMIOS03
2. Operaciones con polinomios
Vamos a recordar las operaciones habituales con polinomios: suma, resta, multiplicación y división.
2.1. Suma y resta
Sumar dos o más polinomios consiste simplemente en agrupar los términos del mismo grado.
Como puede observarse, en la definición anterior hemos supuesto que ambos polinomios tienen
el mismo grado ya que, en caso contrario, es suficiente con añadir a uno de los polinomios los tér-
minos nulos que sean necesarios.
Para restar dos polinomios P (x) y Q (x) se suma al primero el opuesto del segundo:
2.2. Multiplicación
Para multiplicar dos polinomios nos basamos en el producto de dos monomios, que se efectúa de
la forma siguiente: Si axn
y bxm
son dos monomios con coeficientes reales, su producto es el
monomio abxn ϩm
, teniendo en cuenta el producto de potencias de la misma base.
Dados los polinomios:
P (x) = a0
+ a1
x + a2
x2
+ ... + an
xn
y Q (x) = b0
+ b1
x + b2
x2
+ ... + bn
xn
se llama suma de P (x) y Q (x) al polinomio:
P (x) + Q (x) = (a0
+ b0
) + (a1
+ b1
) x + (a2
+ b2
) x2
+ ... + (an
+ bn
) xn
P (x) – Q (x) = P (x) + (– Q (x))
Sean los polinomios P (x) = 4 – 3x + 5x3
+ x4
y Q (x) = 3 + 5x + 8x2
– 4x3
.
Vamos a hallar su suma y su diferencia.
P (x) + Q (x) = (4 + 3) +(–3 + 5) x + 8x2
+ (5 – 4) x3
+ x4
= 7 + 2x + 8x2
+x3
+ x4
P (x) – Q (x) = (4 – 3) +(–3– 5) x–8x2
+ (5 + 4) x3
+ x4
= 1 – 8x – 8x2
+ 9x3
+ x4
Ejemplo
Dados dos polinomios:
P (x) = a0
+ a1
x + a2
x2
+ ... + an
xn
y Q (x) = b0
+ b1
x + b2
x2
+ ... + bm
xm
se define su producto, y se designa P (x)ؒQ (x), como el polinomio que resulta al sumar los
productos de cada monomio de P (x) por cada monomio de Q (x).
Si P (x) = 3x + 5 y Q (x) = 4x2
– 5x + 6, su producto es:
P (x) · Q (x) =3x · 4x2
+ 3x · (–5x) + 3x · 6 + 5 · 4x2
+ 5 · (–5x) + 5 · 6=
=12x3
– 15x2
+ 18x + 20x2
– 25x + 30 = 12x3
+ 5x2
– 7x + 30
Ejemplo
Como la definición de la suma de
polinomios se basa en la suma
de sus coeficientes, que son
números reales, verifica las mis-
mas propiedades que la suma de
dichos números:
• conmutativa
• asociativa
• elemento neutro
• elemento opuesto
Propiedades de la suma de polinomios
Una forma práctica de realizar la
multiplicación de polinomios con-
siste en ordenar sus términos de
mayor a menor grado, elegir
como multiplicador el polinomio
de menor grado y realizar la ope-
ración de forma similar a una
multiplicación de números de
varias cifras.
4x2
– 5x + 6
× 3x + 5
20x2
– 25x + 30
12x3
– 15x2
+ 18x
12x3
+ 5x2
– 7x +30
045_062_31105_U3.qxp 11/3/08 07:57 Página 48

POLINOMIOS 03
También se puede hablar del producto de un número real por un polinomio pero, en realidad, no
es más que el producto de dos polinomios, uno de los cuales es un monomio constante.
Los polinomios C (x) y R (x) reciben los nombres de cociente y resto.
Para efectuar la división se realiza el proceso siguiente:
1.° Se ordenan los términos de los polinomios, dividendo y divisor, de mayor a menor grado y se
divide el primer término del dividendo entre el primero del divisor, obteniéndose el primer
término del cociente.
2.° Se multiplica el primer término del cociente por el divisor y el resultado se resta del dividen-
do, obteniéndose un resto parcial.
3.° Tomando este resto como dividendo se vuelve a repetir el proceso para calcular el segundo tér-
mino del cociente. Se repite el proceso tantas veces como sea necesario hasta que se obtenga
un resto parcial de grado inferior al del divisor. Este último resto parcial es el resto de la división.
2.3. División
Igual que ocurre en la división de números reales, la división de polinomios no siempre es exacta,
lo que da lugar a la siguiente definición:
Dados dos polinomios P (x ) y Q (x ) 0 (x), la división de P (x) entre Q (x) es el proceso
seguido para hallar los únicos polinomios C (x) y R (x) tales que:
P (x) = C (x) · Q (x) + R (x), con grado (R (x))Ͻgrado (Q (x))
1
Vamos a dividir P (x) = 3x5
+ 6x4
– x3
+ 13x2
– x + 4 entre Q (x) = 3x2
+ 2.
3x5
+ 6x4
– x3
+ 13x2
– x + 4 ⏐ 3x2
+ 2
–3x5
– 2x3
x3
+ 2x2
– x + 3
6x4
– 3x3
+ 13x2
– x + 4
–6x4
– 4x2
–3x3
+ 9x2
– x + 4
3x3
+2x
9x2
+ x + 4
– 9x2
–6
x – 2
Así, el cociente es C (x) = x3
+ 2x2
– x + 3 y el resto es R (x) = x – 2.
Ejemplo
Teniendo en cuenta las propieda-
des de la suma y de la multiplica-
ción de números reales,se dedu-
ce que el producto de polinomios
verifica las propiedades:
• conmutativa
• asociativa
• elemento unidad
Propiedades de la multiplicación
Si R (x ) = 0 (x ), la división es
exacta y se dice que P (x) es divi-
sible por Q (x).
1
Actividades
P (x) = 2 + 5x2
– 6x3
+ x4
, Q (x) = 3x3
– 7x + 5 y
R (x) = 5x4
+ 3x3
– 2x + 9, efectúa:
a) P (x) + Q (x) + R (x) c) P (x) и Q (x)
b) –P (x) – Q (x) + R (x) d) 2P (x) + 4Q (x) – 7R (x)
Efectúa:
a) (6x4
+ 5x3
– 7x2
+ 3x + 5) : (2x2
+ 3x – 1)
b) (3x4
+ 5x3
– 2x + 3) : (x2
– 3x + 2)
Sean P (x) = x4
+ 2x3
+ x2
+ ax + b y Q (x) = x2
+ x – 1.
Calcula a y b para que la división de P (x) entre Q (x) sea exacta.
6
54
49
045_062_31105_U3.qxp 11/3/08 07:57 Página 49

50
POLINOMIOS03
3. Regla de Ruffini. Raíces de un polinomio
Si en una división de polinomios el divisor es de la forma (x – a), siendo a un número real, se
puede utilizar un método para efectuar la división conocido como regla de Ruffini.
Para mostrar su mecanismo de una forma más clara vamos a suponer que tenemos los polinomios
P (x) = a4
x4
+ a3
x3
+a2
x2
+ a1
x + a0
y Q (x) = x – a. El procedimiento será el mismo para cualquier
grado de P (x).
a4
a3
a2
a1
a0
a a · b3
a · b2
a · b1
a · b0
a4
= b3
a3
+ a · b3
= b2
a2
+ a · b2
= b1
a1
+ a · b1
= b0
a0
+ a · b0
= R
De aquí se obtiene que el cociente es el polinomio C (x) = b3
x3
+ b2
x2
+ b1
x + b0
y que el resto
de la división es R.
El cociente resulta ser de grado inferior en una unidad al del polinomio dividendo, ya que el divisor
es de grado uno, y, por tanto, también se deduce que el resto debe ser de grado cero o constante.
1
En relación con la regla de Ruffini, existe un importante teorema que mostramos a continuación.
Para dividir un polinomio P (x) cualquiera entre uno de la forma Q (x) = x + a, también se puede
utilizar la regla de Ruffini, teniendo en cuenta que x + a = x – (– a).
En efecto, si al efectuar la regla de Ruffini obtenemos que C (x) es el cociente de la división y que
R es el resto, se deduce que:
P (x) = C (x) · (x – a) + R
Y, sustituyendo la variable x por a, se tiene que:
P (a) = C (a) · (a – a) + R = C (a) · 0 + R = 0 + R = R
+ 6x4
– 2x2
+ x – 5 entre Q (x) = x – 2.
8 6 0 – 2 1 – 5
2 16 44 88 172 346
8 22 44 86 173 341
Así, el cociente es C (x) = 8x4
+ 22x3
+ 44x2
+ 86x + 173 y el resto es R = 341.
Ejemplo
+ 6x4
– 2x2
+ x – 5 entre Q (x) = x + 3.
8 6 0 – 2 1 – 5
– 3 – 24 54 – 162 492 – 1 479
8 – 18 54 – 164 493 – 1 484
Así, el cociente es C (x) = 8x4
– 18x3
+ 54x2
– 164x + 493 y el resto es R = – 1 484.
Ejemplo
Teorema del resto:El resto R de la división de un polinomio P (x) entre Q (x) = x – a coincide
con el valor numérico de P (x) para x = a.
En el dividendo se ordenan sus
términosdemayoramenorgrado.
Si en el dividendo falta el término
de algún grado, se pone cero en
su lugar correspondiente.
Se baja el primer término (a4
),
que será también el primer tér-
mino de C (x).
Bajo el segundo término (a3
) se
sitúa el producto de a · b3
y se
suman,obteniendo el término b2
.
El proceso se repite hasta el últi-
mo término.
1
045_062_31105_U3.qxp 11/3/08 07:57 Página 50

POLINOMIOS 03
Para calcular las raíces enteras de un polinomio cuyos coeficientes son enteros, tendremos en
cuenta que dichas raíces se encuentran entre los divisores del término independiente.
En efecto, supongamos que P (x) = a0
+ a1
x + a2
x2
+ ... + an
x n
tiene coeficientes enteros y que r
es una raíz de este polinomio.
P (r) = a0
+ a1
r + a2
r2
+ ... + an
rn
=0 ⇔ a0
+ r (a1
+ a2
r1
+ ... + an
rnϪ1
) = 0
Despejamos el término independiente:
a0
= –r (a1
+ a2
r1
+ ... + an
rnϪ1
) ⇔ =–(a1
+ a2
r1
+ ... + an
rnϪ1
)
Al ser los coeficientes de P (x) y r números enteros, también lo es a1
+ a2
r1
+ ... + an
r nϪ1
y, por
tanto, r divide a a0
.
Además, ya sabemos que al aplicar la regla de Ruffini para dividir un polinomio P (x) entre
(x – a), el resto de la división coincide con P (a). Luego, si r es una raíz de P (x) y dividimos este
polinomio entre (x – r), el resto de la división será cero.
a0
r
Como consecuencia de lo anterior, deducimos:
Efectivamente, dividiendo el polinomio entre (x – r) y, aplicando la prueba de la división, obtenemos:
P (x) = (x – r) · C (x) + R y R=P (r) = 0, por ser r raíz de P (x) ⇒ P (x) = (x – r) · C (x)
Un número real r es una raíz de un polinomio P (x) si el valor numérico del polinomio para
x = r es cero.
r es raíz de P (x) ⇔ P (r) = 0
1
Vamos a calcular el valor de a para que r = 1 sea raíz del polinomio P (x) = 2x3
+ ax2
– 4x–2a.
r = 1 es raíz de P (x) ⇔ P (1) = 0 ⇔ 2 + a – 4 – 2a = 0 ⇔ a = –2
Ejemplo
Si P (x) = x2
– x – 2, sus raíces enteras serán divisores de –2 y, por tanto, pueden estar entre
los valores Ϯ1,Ϯ2. Al hacer por el método de Ruffini las divisiones de P (x) entre (x + 1) y
entre (x – 2), en ambas se obtiene de resto cero y, de esta forma, deducimos que las raíces
de P (x) son–1 y 2.
Ejemplo
Si r es una raíz de P (x), este polinomio será divisible por (x – r).
Actividades
Divide P (x) = 6x4
– 2x3
+ 3x – 8 entre:
a) x – 5 b) x + 3
Utilizando el teorema del resto, halla el valor numérico del polinomio
de la actividad anterior para:
a) x = –1 b) x = 4
Encuentra las raíces de los polinomios:
a) P (x) = x3
– 12x2
+ 41x – 30
b) P (x) = 2x3
– 2x2
– 8x + 8
Halla el valor de a para que P (x) = 3x3
+ ax2
– 4x – 3a sea divisible
por (x – 2).
10
9
8
7
Si P (x) tiene p raíces iguales a r,
se dice que r es una raíz múltiple
de orden p (en particular, si p
toma el valor 2,diremos que r es
una raíz doble).
1 | Raíces múltiples
51
045_062_31105_U3.qxp 11/3/08 07:57 Página 51

POLINOMIOS03
4. Factorización de polinomios
Si r es una raíz de P (x), este polinomio será divisible por (x – r). Pero, al mismo tiempo, es posi-
ble que C (x ) tenga más raíces, con lo que puede descomponerse en más factores de la misma
forma que P (x) y, así sucesivamente, podemos generalizar la siguiente consecuencia:
Cuando no todas las raíces de un polinomio son reales, no podemos descomponerlo en factores
lineales (o de grado 1).
Si un polinomio P (x) = a0
+ a1
x + a2
x2
+ ... + an
xn
, de grado n, admite n raíces reales r1
, r2
, ..., rn
,
se descompone de forma única como el producto:
P (x) = an
(x – r1
) (x – r2
) ... (x – rn
)
1
Vamos a buscar la descomposición factorial del polinomio:
P (x) = x5
– 13x4
+ 57x3
– 83x2
– 34x + 120.
Como el término independiente es 120 probamos a buscar las raíces entre sus divisores, y
empezamos por 1, como se muestra en el margen.
Como el resto no es cero, 1 no es raíz y probamos con otros divisores de 120:
1 –13 57 –83 –34 120
–1 –1 14 –71 154 –120
1 –14 71 –154 120 0
Obtenemos que –1 sí es una de las raíces de P (x). Para hallar otra raíz, aplicamos la regla
de Ruffini al cociente de la división anterior y así sucesivamente:
1 –14 71 –154 120 1 –12 47 –60
2 2 –24 94 –120 3 3 –27 60
1 –12 47 –60 0 1 –9 20 0
Podemos seguir aplicando el mismo procedimiento o, directamente, podemos resolver la
ecuación x2
– 9x + 20 = 0. En cualquier caso se obtienen otras dos raíces que son 4 y 5.
Se concluye que las raíces de P (x) son–1, 2, 3, 4 y 5, y como el coeficiente principal es 1,
la factorización del polinomio es: P (x) = (x + 1) (x – 2) (x – 3) (x – 4) (x – 5)
2
Ejemplo
Ejemplo
Actividades
Factoriza los siguientes polinomios:
a) P (x) = x3
– 12x2
+ 41x – 30 c) P (x) = x4
– x3
– 13x2
+ x + 12 e) P (x) = 2x3
– 2x2
– 8x + 8
b) P (x) = 5x3
– 20x2
– 20x + 80 d) P (x) = 2x4
+ 4x3
– 14x2
– 16x + 24 f) P (x) = 3x3
+ 9x2
– 12x – 36
11
52
Si intentamos factorizar P (x) =2x4
+ 2x3
– 2x – 2, se obtienen como raíces 1 y –1, y queda
como cociente, tras las dos divisiones: 2x2
+ 2x + 2 = 2 (x2
+ x + 1), que no tiene raíces reales.
Así, podemos factorizar P (x) como: P (x) = 2 (x – 1) (x + 1) (x2
+ x + 1)
Si r es una raíz múltiple de orden
p de un polinomio,en la factoriza-
ción del polinomio aparece el fac-
tor (x – r)p
.
1
2
1 –13 57 – 83 –34 120
1 1 –12 45 – 38 – 72
1 –12 45 –38 –72 48
2 2 0 – 2 – 2
1 2 4 4 2
2 4 4 2 0
–1 –2 –2 –2
2 2 2 0
045_062_31105_U3.qxp 11/3/08 07:57 Página 52

POLINOMIOS 03
5. Fracciones algebraicas
La división entre dos polinomios no siempre es exacta y, por tanto, el cociente de dos polinomios
no siempre es otro polinomio. En este hecho basamos la siguiente definición:
Entre las fracciones algebraicas se puede definir la siguiente relación:
Las fracciones algebraicas verifican una importante propiedad, que estudiamos a continuación.
Se llama fracción algebraica a toda expresión de la forma , donde P (x) y Q (x) son
polinomios con coeficientes reales, y Q (x) es distinto del polinomio nulo. 1
P (x)
Q (x)
Dos fracciones algebraicas y son equivalentes si los productos P (x ) · S (x ) y
Q (x) · R (x) son iguales. Lo escribimos:
= ⇔ P (x) · S (x) = Q (x) · R (x)
R (x)
S (x)
P (x)
Q (x)
R (x)
S (x)
P (x)
Q (x)
Son fracciones algebraicas: , y .7x – 6
8
x3
+ x + 1
5x – 8
x2
– 1
2x + 3
Ejemplo
Las fracciones algebraicas y son equivalentes pues se cumple que
3x (x2
– 1)=(x2
+ x) (3x – 3).
3x – 3
x2
– 1
3x
x2
+ x
En efecto, si consideramos la fracción algebraica y un polinomio no nulo R (x), se cumple
que P (x) · Q (x) · R (x) = Q (x) · P(x) · R(x), al ser conmutativa la multiplicación de polinomios,
y, por tanto, son equivalentes las fracciones y .
Esta propiedad nos permite simplificar una fracción algebraica, dividiendo el numerador y el deno-
minador entre un polinomio que sea factor común de los dos.
P (x) · R (x)
Q (x) · R (x)
P (x)
Q (x)
P (x)
Q (x)
Ejemplo
Si se multiplican el numerador y el denominador de una fracción algebraica por un mismo
polinomio, distinto del nulo, resulta una fracción algebraica equivalente a la inicial.
Actividades
Comprueba si son equivalentes.
a) y b) y
Simplifica las siguientes fracciones algebraicas:
a) b)
x2
+ 4x + 3
5x + 5
x3
– x
3x2
– 3x
13
4x – 4
2x2
+ 2x – 4
6x + 12
3x2
– 12
6x2
+ 4
10x2
3x + 4
5x
12
53
y no son frac-
ciones algebraicas ya que el de-
nominador es nulo.
7x + 9
0
x4
+ 3x
0
1
045_062_31105_U3.qxp 11/3/08 07:57 Página 53

54
POLINOMIOS03
6. Operaciones con fracciones algebraicas
Vamos a estudiar las operaciones con fracciones algebraicas. Para la suma y la resta necesitamos,
previamente, saber reducir a común denominador dos o más fracciones algebraicas.
La resta de dos fracciones algebraicas es, realmente, una suma.
– = + ΂– ΃R (x)
S (x)
P (x)
Q (x)
R (x)
S (x)
P (x)
Q (x)
En efecto, si tenemos y , las fracciones algebraicas y tienen
el mismo denominador y son equivalentes a las iniciales. Además, podemos conseguir dos frac-
ciones equivalentes cuyo denominador sea el mínimo común múltiplo de sus denominadores.
R (x) · Q (x)
S (x) · Q (x)
P (x) · S (x)
Q (x) · S (x)
R (x)
S (x)
P (x)
Q (x)
6.1. Suma y resta
Si las fracciones algebraicas tienen denominadores distintos las reducimos a denominador común
y, posteriormente, las sumamos según la definición anterior.
Dadas dos fracciones algebraicas, siempre existen otras dos fracciones equivalentes a ellas que
tienen el mismo denominador.
Vamos a reducir a común denominador y .
En primer lugar, hacemos la descomposición factorial de sus denominadores:
= y =
El m.c.m. de sus denominadores es: 2 · 3 · (x – 1)2
· (x + 1) = 6x3
– 6x2
– 6x – 6
Dividiendo este mínimo común múltiplo entre cada uno de los denominadores, y multipli-
cando el resultado obtenido por el numerador correspondiente, obtenemos:
= =
= =
10x + 10
6x3
– 6x2
– 6x – 6
5 · 2 · (x + 1)
6x3
– 6x2
– 6x – 6
5
3x2
– 6x + 3
x2
– x
6x3
– 6x2
– 6x – 6
x · (x – 1)
6x3
– 6x2
– 6x – 6
x
6x2
– 6
5
3 · (x – 1)2
5
3x2
– 6x + 3
x
2 · 3 · (x – 1) · (x + 1)
x
6x2
– 6
x
3x2
– 6x + 3
x
6x2
– 6
Ejemplo
Dadas dos fracciones algebraicas y , su suma es:
+ =
P (x) + R (x)
Q (x)
R (x)
Q (x)
P (x)
Q (x)
R (x)
Q (x)
P (x)
Q (x)
+ = + =
x2
+ 9x + 10
6x3
– 6x2
– 6x – 6
10x + 10
6x3
– 6x2
– 6x – 6
x2
– x
6x3
– 6x2
– 6x – 6
5
3x2
– 6x + 3
x
6x2
– 6
Ejemplo
Debido a las propiedades de las
operaciones de polinomios, la
suma de fracciones algebraicas
cumple las propiedades:
• conmutativa
• asociativa
• elemento neutro
• elemento opuesto
Propiedades de la suma
de fracciones algebraicas
045_062_31105_U3.qxp 11/3/08 07:57 Página 54

POLINOMIOS 03
6.2. Multiplicación
6.3. División
Teniendo en cuenta la definición anterior de la inversa de una fracción algebraica, se define el
cociente de dos fracciones algebraicas como el producto de la primera de ellas por la inversa de
la segunda, por lo que para poder efectuarlo es necesario que esta última no tenga como nume-
rador el polinomio nulo.
Dadas dos fracciones algebraicas y , su producto es:
· =
P (x) · R (x)
Q (x) · S (x)
R (x)
S (x)
P (x)
Q (x)
R (x)
S (x)
P (x)
Q (x)
Dada la fracción algebraica con P (x) 0, llamamos fracción inversa de a la frac-
ción algebraica .
Utilizando la definición del producto, se deduce que todas las fracciones algebraicas, excepto las
que tienen como numerador el polinomio nulo, tienen una inversa.
En efecto, dada , con P (x) 0, se cumple que: · = = 1.
P (x) · Q (x)
Q (x) · P (x)
Q (x)
P (x)
P (x)
Q (x)
P (x)
Q (x)
Q (x)
P (x)
P (x)
Q (x)
P (x)
Q (x)
· = =
5x3
+ x2
x2
+ x – 6
(5x + 1) · x2
(x – 2) · (x + 3)
x2
x + 3
5x + 1
x – 2
Ejemplo
: = · =
5x2
+ 16x + 3
x3
– 2x2
x + 3
x2
5x + 1
x – 2
x2
x + 3
5x + 1
x – 2
Ejemplo
La multiplicación de fracciones
algebraicas cumple las propie-
dades:
• conmutativa
• asociativa
• elemento unidad
• elemento inverso
Propiedades de la multiplicación
de fracciones algebraicas
Actividades
Efectúa las siguientes operaciones:
a) + b) + c) + d) · e) : 7x + 2
5
8x3
+ 1
4x2
3x2
2x – 8
5x + 7
2x2
3x
x + 1
x2
x2
– 1
3
x
2x
x + 1
5x – 9
x – 7
8x2
+ x – 1
x – 7
14
55
Dadas dos fracciones algebraicas y , con R (x) no nulo, su cociente es:
: = · =
P (x) · S (x)
Q (x) · R (x)
S (x)
R (x)
P (x)
Q (x)
R (x)
S (x)
P (x)
Q (x)
R (x)
S (x)
P (x)
Q (x)
045_062_31105_U3.qxp 11/3/08 07:57 Página 55

Dados los polinomios P (x) = 4x3
– 2ax2
+ 15x – 6 y
Q (x) = 4x3
+ 6x2
– 5bx – 6:
a) Determina los valores de a y b para que los polinomios sean
iguales.
b) Halla el valor numérico de P (x) para x = – 1, si a tiene el
valor obtenido en el apartado anterior.
a) P (x) = Q (x) ⇒ – 2a = 6 y 15 = – 5b ⇒ a = – 3 y b = – 3
b) P (– 1) = 4 · (– 1)3
+ 6 · (– 1)2
+ 15 · (– 1) – 6 = – 19
Calcula los valores de a y b para que sea exacta la división
(2x5
+ x4
+ 4x3
+ 4x2
+ax + b) : (2x2
– x + 3).
2x5
+ x4
+ 4x3
+ 4x2
+ ax + b 2x2
– x + 3
– 2x5
+ x4
– 3x3
x3
+ x2
+ x + 1
2x4
+ x3
+ 4x2
– 2x4
+ x3
– 3x2
2x3
+ x2
+ ax
– 2x3
+ x2
– 3x
2x2
+ (a – 3)x + b
– 2x2
+ x – 3
(a – 3 + 1)x + b – 3
El resto es (a – 2)x + b – 3 y, para que la división sea exacta, el valor del
resto debe ser nulo.
a – 2 = 0 y b – 3 = 0 ⇒ a = 2 y b = 3
Por tanto, los valores son a = 2 y b = 3.
Utiliza la regla de Ruffini para dividir el polinomio
P (x) = 4x3
– 6x2
+ 3 entre Q (x) = 2x – 1.
Aplicando la prueba de la división, llamamos C (x) y R (x) al cociente y
al resto, respectivamente, y se deduce que:
4x3
– 6x2
+ 3 = (2x – 1) · C (x) + R (x)
Sacamos factor común 2:
2 · ΂2x3
– 3x2
+ ΃= 2 · ΂x – ΃· C (x) + 2 ·
Simplificamos, dividiendo los miembros de la igualdad anterior entre 2:
2x3
– 3x2
+ = ΂x – ΃· C (x) +
Así, si dividimos 2x 3
– 3x 2
+ entre x – , aplicando la regla de
Ruffini, el cociente de esta división coincide con el cociente de la divi-
sión inicial, y su resto hay que multiplicarlo por 2 para obtener el resto
de la división inicial.
2 – 3 0
1 – 1 –
2 – 2 – 1 1
Así, el cociente de la división de P (x ) entre Q (x) es C (x) = 2x2
– 2x – 1
y el resto es R (x) = 2 · 1 = 2.
1
2
1
2
3
2
1
2
3
2
R (x)
2
1
2
3
2
R (x)
2
1
2
3
2
3
2
1 Utilizando el teorema del resto, halla el valor numérico del
polinomio P (x) = 2x4
+ 3x2
– x + 6, para x = 1.
El valor numérico P (1) coincide con el resto de la división de P (x) entre
x – 1. Realizamos la división por el método de Ruffini:
2 0 3 – 1 6
1 2 2 5 4
2 2 5 4 10
Por tanto, resulta que P (1) = 10.
Encuentra las raíces del polinomio P (x) = x3
– 12x2
+ 41x – 30.
Las raíces enteras del polinomio serán divisores de 30 y,por tanto,pue-
den estar entre los valores ± 1, ± 2, ± 3, ± 5, ± 6, ± 10, ± 15 y ± 30.
Aplicamos el método de Ruffini:
1 – 12 41 – 30
1 1 – 11 30
1 – 11 30 0
5 5 – 30
1 – 6 0
6 6
1 0
Así, las raíces del polinomio P (x) son x1
= 1, x2
= 5 y x3
= 6.
Halla el valor de a para que P (x) = 6x3
+ ax2
– 8x – 6a sea
divisible por (x – 2).
Para que P (x) sea divisible por (x – 2), el resto de la división ha de ser
cero.
Aplicando el teorema del resto,se deduce que el valor numérico del poli-
nomio para x = 2 debe ser cero.
P (2) = 6 · 23
+ a · 22
– 8 · 2 – 6a = 0 ⇒ 48 + 4a – 16 – 6a = 0 ⇒
⇒ – 2a = – 32 ⇒ a = 16
Halla m y n para que P (x) = x4
+ 3x3
+ 3mx2
– 3nx –20 sea
divisible por (x – 1) y (x + 4).
Para que sea divisible por (x – 1) y (x + 4) debe cumplirse que P (1) = 0
y P (– 4) = 0, respectivamente. Por tanto:
14
+ 3 · 13
+ 3m · 12
– 3n · 1 – 20 = 0
(– 4)4
+ 3 · (– 4)3
+ 3m · (– 4)2
– 3n · (– 4) – 20 = 0
Efectuando las operaciones en las dos ecuaciones anteriores, se obtie-
ne el sistema de ecuaciones lineales siguiente:
·⇒ m = y n = – 5
Escribe una fracción polinómica equivalente a , cuyo
denominador sea x2
+ 2x – 3.
Factorizamos el nuevo denominador: x2
+ 2x – 3 = (x – 1) · (x + 3)
De esta forma, se deduce que:
= = 3x4
+ 9x3
– 5x – 15
x2
+ 2x – 3
(3x3
– 5) · (x + 3)
(x – 1) · (x + 3)
3x3
– 5
x – 1
3x3
– 5
x – 1
8
1
3
m – 3n = 16
48m + 12n = – 44
7
6
5
4
56
POLINOMIOS03 Actividades resueltas
045_062_31105_U3.qxp 11/3/08 07:57 Página 56

Factoriza el polinomio P (x) = 2x3
– 22x2
+ 72x – 72.
Aplicamos la regla de Ruffini:
2 – 22 72 – 72
2 4 – 36 72
2 – 18 36 0
3 6 – 36
2 – 12 0
6 12
2 0
Como las raíces del polinomio son 2, 3 y 6, su factorización es:
P (x) = 2 · (x – 2) (x – 3) (x – 6)
Halla un polinomio cuyas raíces sean –1, 2 y 3, y cuyo térmi-
no independiente es 18.
Para que sus raíces sean –1, 2 y 3, el polinomio debe ser múltiplo de:
(x + 1) (x – 2) (x – 3)
Es decir, el polinomio es:
P (x) = a · (x + 1) · (x – 2) · (x – 3) = a · (x3
– 4x2
+ x + 6) =
= ax3
– 4ax2
+ ax + 6a
Si su término independiente es 18, se deduce que el valor de a es:
6a = 18 ⇒ a = 3
Por tanto, el polinomio es P (x) = 3x3
– 12x2
+ 3x + 18.
Calcula el máximo común divisor y el mínimo común múltiplo
de P (x) = x3
– 2x2
– x + 2 y Q (x) = x4
+ 2x3
– 3x2
– 8x – 4.
Al factorizar los dos polinomios, se obtiene que:
P (x) = (x – 1) (x + 1) (x – 2)
Q (x) = (x + 1)2
(x + 2) (x – 2)
m.c.d. (P (x), Q (x)) = (x + 1) (x – 2) = x2
– x – 2
m.c.m. (P (x), Q (x)) = (x – 1) (x + 1)2
(x – 2) (x + 2) =
= x5
+ x4
– 5x3
– 5x2
+ 4x + 4
La ecuación del movimiento de un móvil es E (t) = t2
– 6t + 8,
siendo t el tiempo (en segundos) y E (t) el espacio recorrido (en
metros).
a) ¿Qué espacio habrá recorrido a los 10 segundos?
b) ¿Cuánto tiempo debe transcurrir para que recorra 288
metros?
a) El espacio recorrido es el valor numérico de E (t) para t = 10:
E (10) = 102
– 6 · 10 + 8 = 48 metros
b) El tiempo que debe transcurrir es el valor de t, siendo E (t) = 288:
E (t) = 288 ⇒ t2
– 6t + 8 = 288 ⇒ t2
– 6t – 280 = 0 ⇒
⇒ t = 20 o t = – 14
Como el tiempo no puede ser un valor negativo,es necesario que trans-
curran 20 segundos.
12
11
10
9 Reduce a común denominador las siguientes fracciones alge-
braicas:
, y
Factorizamos los denominadores de las fracciones para calcular su míni-
mo común múltiplo:
2x + 4 = 2 (x + 2)
x2
– 4 = (x + 2) (x – 2)
3x2
– 12x + 12 = 3 (x – 2)2
Así, el mínimo común múltiplo de los denominadores es:
m.c.m. = 2 · 3 · (x + 2) (x – 2)2
Así, obtenemos las fracciones equivalentes a las dadas y con denomi-
nador común:
= =
= =
= =
Efectúa la siguiente operación con fracciones algebraicas:
· ΂ – – ΃
Aplicamos la propiedad distributiva:
– +
Factorizamos los denominadores de las fracciones para calcular su míni-
mo común múltiplo:
– +
Así, el mínimo común múltiplo de los denominadores es:
(x + 1) (x + 2) (x – 2)
Obtenemos fracciones equivalentes a las dadas y con denominador
común:
– +
Y operamos:
=
= =
= 12x3
– 21x2
+ 18x + 3
x3
+ x2
– 4x – 4
3x2
– 3x – 6 + 12x3
– 24x2
+ 15x + 30 + 6x – 21
(x + 1)(x + 2)(x – 2)
(3x2
– 3x – 6) – (12x3
+ 24x2
– 15x – 30) + (6x – 21)
(x + 1)(x + 2)(x – 2)
6x – 21
(x + 1)(x – 2)(x + 2)
(12x2
– 15)(x + 2)
(x + 1)(x – 2)(x + 2)
3 (x + 1)(x + 2)
(x + 1)(x + 2)(x – 2)
6x – 21
(x + 1)(x + 2)(x – 2)
12x2
– 15
(x + 1)(x – 2)
3
x + 2
3 (2x – 7)
(x + 1)(x2
– 4)
3 (4x2
– 5)
(x + 1)(x – 2)
3 (x + 1)
(x + 1)(x + 2)
2x – 7
x2
– 4
4x2
– 5
x – 2
x + 1
x + 2
3
x + 1
14
2x3
+ 4x2
+ 2x + 4
6x3
– 12x2
– 24x + 48
2 · (x2
+ 1)(x + 2)
2 · 3 · (x + 2) (x – 2)2
x2
+ 1
3x2
– 12x + 12
6x2
– 6x – 12
6x3
– 12x2
– 24x + 48
2 · 3 · (x + 1)(x – 2)
2 · 3 · (x + 2) (x – 2)2
x + 1
x2
– 4
9x2
– 36x + 36
6x3
– 12x2
– 24x + 48
3 · 3 · (x –2)2
2 · 3 · (x + 2) (x – 2)2
3
2x + 4
x2
+ 1
3x2
– 12x + 12
x + 1
x2
– 4
3
2x + 4
13
57
045_062_31105_U3.qxp 11/3/08 07:57 Página 57

58
Actividadespropuestas
Si P (x) = xn
+ 2x – 5 y Q (x) = x4
+ 6, di para qué valores de
n se verifica que:
a) P (x) + Q (x) es un polinomio de grado 6.
b) P (x) · Q (x) es un polinomio de grado 10.
Se sabe que la suma de los coeficientes de un polinomio es 8.
¿Puede dicho polinomio ser divisible por (x – 1)?
Si P (x) = ax3
+ bx2
+ cx + 4 tiene una raiz entera r, ¿pode-
mos afirmar que r es un divisor de 12?
Si M (x) = x2
– 3x + 2 es el máximo común divisor de dos poli-
nomios P (x) y Q (x),¿podemos afirmar que ambos polinomios
son divisibles por (x – 1) y por (x – 2)?
Si M (x) = (x – 1)2
(x – 2) (x – 3) es el mínimo común múltiplo
de dos polinomios P (x) y Q (x),¿podemos afirmar que ambos
polinomios son divisibles por (x – 1)2
? ¿Y que al menos uno de
los polinomios lo es?
Completa la siguiente tabla:
Escribe la factorización de un polinomio que tenga por raíces
2,–3 y 4 y tal que al dividirlo entre (x – 1) el resto de la divi-
sión sea 36.
Si el valor numérico de un polinomio P (x) para x = 5 es cero,
di cuáles de las siguientes afirmaciones son ciertas.
a) P (x) es divisible por (x – 5).
b) P (5) = 5
c) P (5) = 0
d) En la descomposición de P (x) aparece el factor (x – 5).
Clasifica los siguientes polinomios según su grado.
a) P (x) = 2x – 3 + 5x2
+ x3
b) Q (x) = 3 + 5x + 3x3
– x2
+ x5
– 2x4
c) R (x) = 7x – 9 + x7
+ x6
– 3x4
Determina los valores de a, b, c y d para que los polinomios
sean iguales.
P (x) = 3x5
– 2bx3
– x2
+ 3dx – 5
Q (x) = ax5
+ cx4
– x2
+ 8x3
– 5 – 18x
10
9
Actividades
8
7
6
5
4
3
2
1
Cuestiones Halla el valor numérico de P (x) = 5x3
– 3x2
+ 7x – 8, para
x = 2 y para x = – 3.
Calcula el valor numérico de P (x) = 3x3
– 2x2
+ x + 6 para:
a) x = – 2 b) x = 0 c) x = 3
Sabiendo que el valor numérico de P (x) = 2x3
+ ax2
+ x + 6
para x = 2 es 4, calcula el valor de a.
Dados P (x) = 5x2
– 3x + 6, Q (x) = 6 – 3x2
+ x3
– 5x4
y
R (x) = –x5
+ 3x4
– 6x2
+ 4, efectúa las siguientes operacio-
nes:
a) P (x) + Q (x) d) P (x) · (– R (x))
b) P (x) + R (x) – Q (x) e) 2 · P (x) – Q (x) · R (x)
c) P (x) · Q (x) f) (P (x))2
– 5 · R (x)
P (x) = ax3
+ x2
– bx + 5
Q (x) = – 2x3
+ cx2
+ 2bx – 3
R (x) = 3x3
+ bx2
– 3x + d
calcula los valores de a, b, c y d para que se cumpla que
P (x) – Q (x) = R (x).
Sean los polinomios:
P (x) = x2
– x + 1, Q (x) = 3x – 5 y R (x) = 2x3
– 5x + 2
calcula estas operaciones:
a) P (x) + Q (x) – R (x) c) 2 · Q (x) – 3 · P (x) + R (x)
b) P (x) · R (x) d) P (x) · Q (x) + R (x) + 2 · P (x)
Halla los valores de a y b para que:
(ax + 2) (2x + b) = 2x2
+ x – 6
Efectúa las siguientes divisiones:
a) (3x4
– 6x3
+ 2x2
– 1) : (x – 4)
b) (3x5
– 2x3
+ 7x2
– 2x) : (x3
+ 3x2
– 1)
c) (3x4
+ 5x3
– 2x + 3) : (x2
– 3x + 2)
d) (6x5
– 3x4
– 2x3
+ 20x2
– 12x + 14) : (3x3
– 2x2
+ 3)
e) (6x3
– 4x2
+ 2x – 2) : (x2
+ x + 1)
Determina el cociente y el resto en las siguientes divisiones
entre polinomios:
a) (– 2x4
– x3
+ 10x2
+ 4x – 2) : (2x2
+ 3x – 5)
b) (9x4
– 3x3
– 17x2
+ 11x – 3) : (3x – 2)
c) (2x5
+ x4
+ 4x3
+ 4x2
+ 9x – 6) : (2x2
– x + 3)
d) (x6
+ x5
+ x4
– x3
+ 4x2
+ 3x + 22) : (x2
+ x + 2)
19
18
17
16
15
14
13
12
11
POLINOMIOS03
5
8
4
10
3
2
Grado de P (x)
Grado de Q (x)
Grado de P (x) · Q (x)
045_062_31105_U3.qxp 11/3/08 07:57 Página 58

59
Sean los polinomios:
P (x) = x3
+ x2
– x + 6
Q (x) = x2
– x + 2
calcula P (x) + Q (x), P (x) · Q (x) y P (x) : Q (x).
Encuentra los valores de a y b, para que la división entre los
polinomios sea exacta.
(6x5
+ 5x4
+ 8x3
+ 10x2
+ ax + b) : (2x2
+ x + 3)
Realiza las siguientes divisiones utilizando la regla de Ruffini.
a) (x4
+ x3
+ x2
+ x + 1) : (x + 1)
b) (2x4
+ 2) : (x – 1)
c) (5 – 3x + 4x2
+ 3x3
) : (x + 2)
d) (6x2
– 2x – 6 + 5x4
– 3x3
) : (x – 1)
e) (12x3
– 24x2
– 3x + 6) : ΂x – ΃
Utilizando la regla de Ruffini, halla el cociente y el resto de las
siguientes divisiones:
a) (5x5
+ 3x4
– 2x2
+ 4) : (x – 2)
b) (6x4
– 2x2
+ 3x – 6) : (2x + 1)
Efectúa las divisiones mediante la regla de Ruffini.
a) (x6
– 3x4
+ 2x2
– x + 3) : (x + 3)
b) (2x5
– x4
+ 3x3
+ 6x + 2) : (x – 4)
c) (3x4
– 2x2
+ x + 6) : (x + 5)
d) (4x4
– 8x3
+ 2x2
– 3x + 1) : (2x – 3)
e) (6x3
+ 9x2
– 3x + 1) : (3x + 1)
f) (12x4
– 32x3
+ 4x2
– x + 2) : (4x – 2)
Utilizando la regla de Ruffini,calcula el valor numérico del poli-
nomio P (x) = 5x3
+ 2x2
– 3x + 4 para x = –1, x = 2 y x = 4.
Mediante el teorema del resto, calcula el valor numérico del
– x3
+ 3x2
+ 7 para:
a) x = – 2 c) x =
b) x = 3 d) x = –
Averigua cuáles de los siguientes valores son raíces del poli-
nomio P (x) = x4
– 1.
a) x = 2 c) x = –3
b) x = –1 d) x = 1
27
1
3
1
2
26
25
24
23
1
2
22
21
4
3
1
5
1
3
3
5
5
2
20 Encuentra las raíces enteras de P (x ) = x3
+ 3x2
– 4x – 12.
Efectúa las siguientes divisiones utilizando la regla de Ruffini.
a) (9x4
– 12x2
+ 5x – 6) : (3x – 1)
b) (10x3
+ 15x2
– x + 2) : (5x + 2)
Halla las raíces de los siguientes polinomios:
a) P (x) = x3
– 3x2
– 10x + 24
b) Q (x) = x4
– 5 x2
+ 4
c) R (x) = x4
+ 3x3
– 15x2
– 19x + 30
d) S (x) = – 2x3
+ 22x2
– 72x + 72
a) 2x3
– 2x2
– 8x + 8
b) 6x3
– 11x2
+ 6x – 1
c) x3
– 12x2
+ 47x – 60
d) x4
+ 2x3
– 3x2
– 4x + 4
a) P (x) = x3
– 4x2
– 4x + 16
b) P (x) = 2x4
– 2x3
– 26x2
+ 2x + 24
c) P (x) = – 3x3
+ 3x2
+ 12x – 12
d) P (x) = 2x3
+ 6x2
– 8x – 24
e) P (x) = – 2x3
+ 24x2
– 82x + 60
f) P (x) = 5x4
– 5x3
– 65x2
+ 5x + 60
Halla un polinomio cuyas raíces sean 1, 2, –3 y 0.
Encuentra un polinomio cuyas raíces sean 5,1 y – 2,y el coe-
ficiente del término de mayor grado sea – 3.
Halla un polinomio cuyas raíces sean – 1,2,– 3 y 4,y con tér-
mino independiente 12.
Calcula el máximo común divisor de los siguientes polinomios:
a) P (x) = x3
+ x2
– x – 1 y Q (x) = x3
– x
b) P (x) = 2x6
– 2x2
y Q (x) = 3x3
– 3x2
+ 3x – 3
de los siguientes polinomios:
P (x) = 3x3
– 6x2
– 15x + 18
Q (x) = 6x3
+ 12x2
– 24x – 48
Halla el mínimo común múltiplo de los siguientes polinomios:
a) P (x) = 2x2
– 2 y Q (x) = 3x2
– 6x + 3
b) P (x) = 2x3
+ 6x2
– 8x – 24
Q (x) = 4x3
+ 16x2
– 12x – 72
38
37
36
35
34
33
32
31
30
29
28
POLINOMIOS 03
045_062_31105_U3.qxp 11/3/08 07:57 Página 59

60
de los siguientes polinomios:
a) P (x) = 3x3
– 6x2
– 27x + 54
Q (x) = 2x3
+ 10x2
+ 6x – 18
b) P (x) = x3
– 3x + 2
Q (x) = 4x3
+ 20x2
+ 32x + 16
c) P (x) = 5x3
– 20x2
– 80x + 320
Q (x)= x4
– 32x2
– 16
d) P (x) = 12x3
– 12x2
– 12x + 12
Q (x) = 10x4
– 20x3
– 80x2
+ 180x – 90
Determina si son equivalentes las fracciones algebraicas:
a) y
b) y
Comprueba si son equivalentes las siguientes fracciones alge-
braicas:
a) y
b) y
Reduce a común denominador estas fracciones algebraicas:
, y
Reduce a común denominador estas fracciones algebraicas:
, y
Realiza las operaciones, simplificando el resultado.
a) +
b) +
c) +
d) :
Sean las fracciones algebraicas:
A = , B = y C =
calcula:
a) A + B d) B : C
b) A – B + C e) (A + B) · C
c) A · B f) (A – B + C) : B
4x2
– 1
x2
– 5x + 6
2x
2x – 6
5x – 8
x2
– 9
45
x – 2
x3
+ 3x2
+ 3x + 1
x2
– 4x + 4
x2
+ 2x + 1
5
x – 3
10x
x2
– 9
x2
– 16
x – 4
x2
– 9
x + 3
1
x – 2
4x
4 – 2x
44
2x – 5
x2
– 6x + 9
4x2
3x2
+ 6x + 3
x – 2
x2
– 2x – 3
43
x2
+ 2
2x2
+ 14x + 20
4x + 1
x2
– 4
2
3x + 6
42
x2
– 4x + 3
x2
+ x + 6
x2
– 2x + 1
x2
+ x – 2
4x – 2
x2
+ 2x
2x + 1
x2
– 4
41
4x + 2
12x – 1
3x + 8
9
5x + 15
x2
– 9
15x2
– 30
3x2
– 15x + 18
40
39 Sean las fracciones algebraicas:
A = , B = y C =
efectúa las siguientes operaciones:
a) A + B + C d) A : B
b) 2A – B – 3C e) (A + B + C) · B
c) A · C f) (2A – B – 3C) : C
Si P (x) = 7 + 2ax – (3 + a) x2
+ (5 – a) x3
, halla el valor de a
para que el grado de P (x) sea:
a) Dos. b) Tres. c) Uno.
Si P (x) = 5x3
+ 2ax2
+ 5x – 9 y sabiendo que su valor numé-
rico para x = –1 es 25, calcula el valor de a.
Encuentra un polinomio P (x) de segundo grado si se sabe que
el coeficiente del término de primer grado es dos unidades
mayor que el del término de segundo grado; el valor numérico
para x = 0 es 6 y P (1) = 14.
Si tenemos los polinomios P (x) = 2x 3
+ ax 2
+ 3x – 1,
Q (x) = bx3
– 5x2
+ 2x – 6 y R (x) = 6x3
+ 2x2
– cx + d.
Encuentra los valores de a, b, c y d para que se cumpla que
P (x) + Q (x) = R (x).
El número de alumnos matriculados en un instituto entre 2002
y 2008 viene dado por el polinomio P (x) = 20 640 – 10x,sien-
do x el año correspondiente. Determina el número de alum-
nos matriculados en los años 2005 y 2006, en dicho centro.
Un fabricante de bisutería sabe que el coste de fabricar una
determinada pieza viene dado por C (x) = 0,02x2
+ 0,5x+ 0,3
euros, siendo x los gramos de resina que necesita.
Si sabe que el precio al que puede vender cada una de esas
piezas viene dado por P (x) = 0,1x2
+ 0,2x + 1 euros, expresa
en forma de polinomio los beneficios que obtendrá por la venta
de una pieza.
52
51
50
49
48
47
Problemas
x2
– x + 1
x2
– 2x – 3
x – 3
x2
+ 2x + 1
3
x – 3
46
POLINOMIOS03
045_062_31105_U3.qxp 11/3/08 07:57 Página 60

61
Halla, si existe, el valor de a para que se cumpla la igualdad:
(2x2
– 2) · (3x + a) = (x2
+ 3x + 2) · (ax – 6)
Determina un polinomio de primer grado P (x) que cumple que:
(x2
+ 2) · P (x) + 5x2
= 2x3
+ x2
+ 4x – 8
Si P (x) = ax + b, calcula el cuadrado y el cubo de P (x).
Demuestra que el polinomio P (x) = x2
+ 1 no es divisible por
ningún polinomio de primer grado.
Si P (x) = 2ax3
– 5x2
+ 3ax – 8 y el valor numérico del polino-
mio para x = – 1 es – 3, calcula el valor de a.
Encuentra el valor de a para que P (x) = x4
– 1 sea divisible
por Q (x) = x2
+ a.
Calcula a para que el polinomio P (x) = 3x4
– 8x2
– 7x – a sea
divisible por Q (x) = x + 3.
Sin efectuar ninguna división, halla el valor de a para que
P (x) = ax4
– 3x2
+ 6x + 8 sea divisible por Q (x) = x – 2.
Encuentra para qué valor de a P (x) = x3
– ax2
+ x + 6 es divi-
sible por Q (x) = x + 2, sin hacer la división.
Halla los valores de a y b para que el polinomio
P (x) = x3
+ ax2
+ 36x + b
sea divisible por (x – 2) y por (x – 3).
¿Para qué valores de a y b es el polinomio
P (x) = x3
+ ax2
+ bx – 2a
divisible por (x + 1) y por (x – 4)?
Sin efectuar ninguna división,calcula el valor de a para que el
– 2x2
+ ax – 3 sea divisible por (x + 3).
Sin efectuar ninguna división,calcula los valores de a y b para
que el polinomio P (x) = 3x3
– ax2
+ 4x + b sea divisible por
(x – 1) y por (x + 2).
Halla los valores de a y b para que el polinomio
P (x) = bx4
+ 2bx3
– 3x2
+ 2ax + a
sea divisible por (x + 2) y que x = – 1 sea una raíz de P (x).
Halla un polinomio de segundo grado cuyo término indepen-
diente es 3,sabiendo que los restos que se obtienen al dividirlo
por (x + 3) y por (x – 2) son 72 y 17, respectivamente.
Encuentra un polinomio de segundo grado,P (x),sabiendo que
el coeficiente del término de primer grado es el doble del
coeficiente del término de segundo grado, y que, además,
P (1) = 9 y P (– 1) = 1.
Demuestra que si P (x) y Q (x) son divisibles por R (x), enton-
ces también lo es el polinomio P (x) + Q (x).
Calcula a y b para que P (x) = 2x3
+ ax2
+ bx + 6 sea divisi-
ble por (x – 2) y por (x – 3).
70
69
68
67
66
65
64
63
62
61
60
59
58
57
56
55
54
53 Los beneficios diarios de producción, en euros, en una fá-
brica de piezas de madera vienen dados por el polinomio
P (x) = –80x + x2
, siendo x el número de piezas fabricadas.
a) ¿Qué beneficio se obtiene un día que produce 150 piezas?
b) Factoriza el polinomio.
c) Utilizando la factorización anterior,deduce cuál es el núme-
ro mínimo de piezas que deben fabricarse en un día para
que los beneficios sean positivos, es decir, para que exis-
tan ganancias.
Descompón en factores P (x) = x4
+ ax2
+ 4, sabiendo que
r = 2 es una raíz.
Halla un polinomio de segundo grado tal que al elevarlo al cua-
drado se obtenga P (x) = 4x4
+ 16x3
+ 40x4
+ 48x + 36.
Calcula el valor de a para que sean equivalentes las fracciones
algebraicas y .
Demuestra que si es equivalente a , y esta última
es equivalente a , entonces es equivalente a .
Efectúa las siguientes operaciones:
a) · ΂1 – ΃+
b) · – +
c) · ΂ + ΃–
d) + –
Calcula el valor de a para que se cumpla la igualdad:
· –
Encuentra los valores de a para los que es irreducible,en cada
apartado, la fracción algebraica.
a)
b)
c)
Calcula los valores de a y b para que se cumpla la igualdad:
– + = x3
+ 3x2
– 8x – 20
x3
– 3x2
– 4x + 12
2x + b
x2
– 4
a
x2
– 5x + 6
x + 1
x – 3
79
x2
+ (2a – 2) x – 4a
x2
+ 4x – 32
4x – 4a
3x3
– 6x2
– 3x + 6
x2
+ (a – 1) x – a
2x2
– 2x – 12
78
(a + 1)x2
+ 16x – 7
x2
+ x – 6
x2
– 2a
(x – 2) · (x + 3)
ax + 1
x – 2
77
4
3x
5
x – 3
2x2
+ 1
x2
– 2x – 3
2x
x + 2
3
x + 1
1
x + 2
2
x + 1
2x – 5
x + 1
x + 3
x2
– 1
4x
x – 1
2
x + 2
x + 1
x – 1
1
x + 3
3
x + 1
76
E (x)
F (x)
A (x)
B (x)
E (x)
F (x)
C (x)
D (x)
A (x)
B (x)
75
10x + a
5x2
+ 15x + 10
2x – 2
x2
– 1
74
73
72
71
POLINOMIOS 03
045_062_31105_U3.qxp 11/3/08 07:57 Página 61

62
POLINOMIOS03 NUEVAS TECNOLOGÍAS
Vamos a ver cómo podemos trabajar los polinomios con el programa Derive.
Pulsa en ,escribe P (x) := x2
+ 3x – 4 y pulsa en Intro.
Repite la operación para Q (x) : = x4
– 3x3
+ 2x.
De nuevo,pulsa en , escribe P (x) · Q (x) y pulsa Intro.
Selecciona en el menú principal la opción Simplificar y,des-
pués,Expandir. Aparecerá la siguiente ventana:
Comprueba que la variable es x y pulsa en Expandir.
Obtendrás el producto de P (x) y Q (x),que es:
x6
–13x4
+ 14x3
+ 6x2
– 8x
1 | Producto de P (x) = x2
+ 3x – 4 y Q (x) = x4
– 3x3
+ 2x
Pulsa en , escribe quotient(Q(x),P(x)), y pulsa en Intro.
Pulsa en y obtendrás x2
– 6x + 22, que es el cociente
de efectuar la división de Q (x) entre P (x).
Ahora, pulsa en , escribe remainder(Q(x),P(x)), y pulsa
en Intro.
Pulsa en y obtendrás 88 – 88x, que es el resto de
efectuar la división de Q (x) entre P (x).
Otra forma de efectuar la división es:
Pulsa en , escribe Q(x)/P(x) y pulsa en Intro.
Escoge en la línea de menú principal la opción Simplificar y,
después,Expandir. En la ventana que aparece pulsa Expan-
dir y así obtienes la expresión:–(88/(x + 4)) + x2
– 6x + 22.
Como puedes observar, al hallar el cociente y el resto por sepa-
rado,las soluciones son más claras.
2 | Cociente de los polinomios anteriores
Pulsa en , escribe el polinomio P (x) y pulsa en Intro.
En la línea de menú principal escoge la opción Simplificar
y, a continuación, Expandir. Aparecerá esta pantalla:
Comprueba que la variable es x y pulsa en Factorizar.
Obtendrás (x – 1) · (x + 4) · (x – 5), que es el resultado de
la factorización.
3 | Descomposición de P (x) = x3
– 2x2
– 19x + 20
Sean P (x) = x3
– x y Q (x) = x3
– 3x2
+ 2x.
Pulsa en y define los polinomios P (x) y Q (x).
Pulsa en ,escribe Poly_gcd(P(x),Q(x)) y pulsa en Intro.
Selecciona en el menú principal la opción Simplificar y,des-
pués, Expandir. Así obtendrás x 2
– x, que es el polinomio
máximo común divisor de P (x) y Q (x).
Para obtener este resultado factorizado, pulsa en la opción
Simplificar y,a continuación,Factorizar. En la pantalla emer-
gente pulsa de nuevo en Factorizar.
4 | Máximo común divisor de dos polinomios
PRACTICA TÚ
Dados los polinomios P (x) = 6 – 3x2
+ x3
– 5x4
,
Q (x) = 5x2
– 3x + 6 y R (x) = –x5
+ 3x4
– 6x2
+ 4,efec-
túa las siguientes operaciones:
a) P (x) + Q (x) d) P (x) · Q (x) · R (x)
b) P (x) + R (x) – Q (x) e) P (x) · Q (x)
c) –P (x) – R (x) + Q (x) f) P (x) · (–R (x))
Factoriza los siguientes polinomios y encuentra su máxi-
mo común divisor.
a) P (x) = 2x3
– 2x2
– 8x + 8
b) P (x) = 6x3
– 11x2
+ 6x – 1
2
1
045_062_31105_U3.qxp 11/3/08 07:57 Página 62

04 0503 0602 0701 08 09 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19
UNIDAD
Ecuaciones, inecuaciones y sistemas
Se denomina Álgebra a la parte de las Matemáticas que se dedica,
en sus aspectos más elementales, a resolver ecuaciones, inecua-
ciones, sistemas de ecuaciones y sistemas de inecuaciones.
Es muy importante tener en cuenta que en cada ecuación o ine-
cuación es posible la existencia de una situación real (física, eco-
nómica, geométrica, etc.), cuyo comportamiento queda perfecta-
mente descrito por dichas expresiones.
Los algoritmos de resolución de ecuaciones e inecuaciones han
ocupado a muchos matemáticos a lo largo de la Historia. El len-
guaje simbólico utilizado en estos procesos se atribuye a los ára-
bes, y se conoce la existencia de problemas resueltos, por proce-
dimientos algebraicos, que datan del año 1900 a.C.
Sumario
1. Ecuaciones polinómicas de primer y segundo grado.
2. Ecuaciones exponenciales.
3. Ecuaciones logarítmicas.
4. Sistemas de ecuaciones lineales.
5. Sistemas de ecuaciones no lineales.
6. Inecuaciones.
7. Inecuaciones lineales con una incógnita.
8. Inecuaciones de segundo grado con una incógnita.
9. Sistemas de inecuaciones lineales con una
incógnita.
10. Inecuaciones lineales con dos incógnitas.
11. Otra forma de resolución.
063_090_31105_U4.qxp 11/3/08 07:57 Página 63

64
ECUACIONES, INECUACIONES
Y SISTEMAS04
1. Ecuaciones polinómicas de primer y segundo grado
Cualquier ecuación lineal o de primer grado con una incógnita se puede transformar hasta obte-
ner una ecuación equivalente, de la forma:
Las transformaciones que se realizan a la ecuación inicial para obtener una expresión de este tipo
se basan en las reglas siguientes:
• Si a los dos miembros de una ecuación se les suma una misma expresión algebraica, la ecua-
ción que obtenemos es equivalente.
• Si los dos miembros de una ecuación se multiplican por un número distinto de cero, se obtie-
ne una ecuación equivalente a la dada.
Estas transformaciones también se utilizan para resolver ecuaciones; así, la solución de cualquier
ecuación del tipo ax + b = 0, con a 0; es: x = – , como puedes ver al margen. 1
a
b
El proceso seguido anteriormente es el método algebraico de resolución de ecuaciones lineales.
Pero también es posible resolver este tipo de ecuaciones gráficamente.
Para ello, dada la ecuación ax + b = 0, consideramos la función y = ax + b, que es una función
lineal cuya representación gráfica es una recta. La intersección de esta recta con el eje de abscisas
nos da el punto en el cual la ordenada y toma el valor cero. El valor de la abscisa x de dicho punto
es la solución de la ecuación.
Dada cualquier ecuación de segundo grado con una incógnita, y efectuando las mismas transfor-
maciones que ya se han mencionado en la resolución de ecuaciones lineales, puede obtenerse
otra ecuación equivalente de la forma:
Las soluciones de este tipo de ecuaciones se obtienen mediante la fórmula:
x =
–b ± ͙ෆb2
– 4ac
2a
ax + b = 0 con a 0
Resolvamos la ecuación 7x – 3 = 5x + 4.
Sumamos –5x a los dos miembros: 7x –3 – 5x = 5x + 4 – 5x ⇒ 2x – 3 = 4
Sumamos 3 a los dos miembros: 2x – 3 + 3 = 4 + 3 ⇒ 2x = 7
Multiplicamos por los dos miembros: 2 · x · = 7 · ⇒ x =
7
2
1
2
1
2
1
2
Ejemplo
Si queremos resolver gráficamente la ecuación x – 3 = 0, consideramos la función y = x – 3,
y la representamos en los ejes cartesianos.
En la gráfica que aparece en el margen, se observa que el punto de intersección de la recta
con el eje de abscisas es (3 , 0); así, la solución de la ecuación es x = 3.
Ejemplo
ax2
+ bx + c = 0, donde a, b , c ∈ ‫ޒ‬ y a 0.
ax + b = 0 ⇒
⇒ ax + b – b = 0 – b ⇒
⇒ ax = – b ⇒
⇒ a 0,
⇒ a · x · = – b ·
x = – b
a
1
a
1
a
Observa que | 1
Algoritmo es cualquier
procedimiento sistemático
de cálculo con el que se halla
el resultado deseado. Este
término proviene del nombre
Al-Jwarizmi, matemático
árabe del siglo IX.
0
Y
X3
– 3
2
5
063_090_31105_U4.qxp 11/3/08 07:57 Página 64

Y SISTEMAS 04
La expresión ⌬ = b2
– 4ac se llama discriminante de la ecuación, y determina la naturaleza de sus
soluciones:
Si ⌬Ͼ0, la ecuación tiene dos soluciones reales distintas.
Si ⌬ = 0, la ecuación tiene dos soluciones reales e iguales a: x = – (raíz doble).
Si ⌬Ͻ0, la ecuación no tiene solución en el campo de los números reales, porque en ‫ޒ‬ no existe
la raíz cuadrada de un número negativo.
b
2a
Al igual que en las ecuaciones lineales, para resolver gráficamente la ecuación ax2
+ bx + c = 0
consideramos la función y = ax2
+ bx + c, cuya gráfica es una parábola. Los puntos de intersección
de esta con el eje de abscisas serán de la forma (x , 0) y, por tanto, las abscisas de dichos puntos
serán las soluciones de la ecuación dada.
Resolvamos x2
– 5x + 6 = 0 ⇒ x = = = ⇒
Ά
x1
= 3
x2
= 2
5 ± 1
2
5 ± ͙ෆ25 – 24
2
–b ± ͙ෆb2
– 4ac
2a
Ejemplo
Resolvamos la ecuación: x4
– 16 = 0
Haciendo el cambio x2
= t, obtenemos: t2
– 16 = 0 ⇒ t2
= 16 ⇒ t1
= 4, t2
= – 4
Deshaciendo el cambio: x = ͙4ෆ = ± 2 y x = ͙ෆ–4 ∉ ‫ޒ‬
Así, las soluciones son: x1
= 2 y x2
= –2.
Ejemplo
Para resolver de forma gráfica la ecuación x2
– 4x + 3 = 0, consideramos la función
y = x2
– 4x + 3 y mediante una tabla de valores la representamos gráficamente, tal y como
aparece en el margen. Los puntos de intersección con el eje de abscisas son (1 , 0) y (3 , 0),
es decir, las soluciones de la ecuación son x1
= 1 y x2
= 3.
Ejemplo
Si x1
y x2
son las soluciones de
la ecuación ax2
+ bx + c = 0, se
cumple:
x1
+ x2
= –
x1
· x2
= c
a
b
a
Recuerda que
Actividades
Resuelve algebraicamente las ecuaciones:
a) + = x – c) 7x + = 8 +
b) x2
+ 6x + 9 = 0 d) x2
– 2x = 3
Un rectángulo es tal que su lado mayor mide el doble de su lado menor.
Sabiendo que su perímetro mide 360 cm,halla sus dimensiones.
Resuelve algebraicamente las ecuaciones:
a) –x + 5 = 3x + 1 c) 3x + 2 = 6x – 10
b) 3x2
+ 3x = x + 1 d) 16x2
+ 8x + 2 = 1
¿Qué valor debe tomar a para que la ecuación ax2
+ 4x + 1 = 0 tenga
una raíz doble?
Resuelve las ecuaciones: x4
– 9x2
= 0 y x4
– 5x2
+ 4 = 05
4
3
2
x
2
3
2
5
3
1
2
x
2
1
65
X
Y
1– 1
3
2
43
0
x 0 1 2 3 4
y 3 0 Ϫ1 0 3
Una ecuación de la forma ax4
+ bx2
+ c = 0 recibe el nombre de ecuación bicuadrada, y se resuelve
haciendo el cambio de variable x2
= t.
La ecuación que se obtiene con este cambio es at2
+ bt + c = 0, de segundo grado; una vez resuelta,
se deshace el cambio de variable para obtener las soluciones de la ecuación bicuadrada.
Como puedes ver, una ecuación bicuadrada puede tener 4 soluciones, 2 soluciones o ninguna
solución real, pero no admite otra posibilidad respecto al número de soluciones.
En la web
materiales_didacticos/Ecuaciones
_sistemas_inecuaciones/Indice.htm
063_090_31105_U4.qxp 11/3/08 07:57 Página 65

Y SISTEMAS04
2. Ecuaciones exponenciales
Al estudiar la clasificación de las ecuaciones atendiendo a las expresiones algebraicas que apare-
cen en ellas, se mencionaron las de este tipo, que analizaremos de una forma más detallada.
Son ecuaciones exponenciales aquellas en las que su incógnita figura como exponente.
Actividades
Resuelve las siguientes ecuaciones exponenciales:
a) 9 · 3x–1
= 243 c) 7x+1
– 49 = 2 352 e) 4x
+ 4x–1
– 4x+1
+ 44 = 0 g) 8 · 21–x
= 64
b) 125 · 53x
= 1 d) 5x 2
–x–20
= 1 f) = 3x – 5
h) = 64 · 4x8x–1
33–x
9x – 2
3x + 2
6
66
La calculadora científica nos
permite hacer cálculos
exponenciales y
logarítmicos.
Son ecuaciones exponenciales: 3x
= 81 y 2x
+ 2x + 1
– 8 = 4.
Para facilitar la resolución de esta clase de ecuaciones es conveniente realizar las transformacio-
nes necesarias para expresar los dos miembros de la ecuación como potencias de la misma base.
Estas transformaciones se fundamentan en las propiedades de las potencias.
Así, para resolver las ecuaciones exponenciales más sencillas con las que nos podemos encontrar,
tendremos que tener en cuenta la siguiente propiedad: ax
= ay
⇒ x = y
A veces, no es posible expresar los dos miembros de una ecuación exponencial como potencias
de la misma base y, por tanto, su resolución es distinta al de los ejemplos anteriores.
a) Resolvamos la ecuación 3x – 2
= 27.
Expresamos 27 como potencia de 3 ⇒ 3x – 2
= 33
De esta expresión deducimos que x – 2 = 3 y, por tanto, que x = 5.
b) Resolvamos 3x – 1
+ 3x
+ 3x + 2
= 93.
Utilizando las propiedades de las potencias, obtenemos: 3x
· 3–1
+ 3x
+ 3x
· 32
= 93
Sacamos factor común:
3x
· (3–1
+ 1 + 32
) = 93 ⇒ 3x
·
΂ + 1 + 9
΃= 93 ⇒ 3x
· = 93 ⇒
⇒ 3x
= 93 · ⇒ 3x
= 9 ⇒ 3x
= 32
⇒ x = 2
3
31
31
3
1
3
Ejemplo
En la web
ecexponencial.php?a=5
Para resolver la ecuación 7x – 2
– 2x + 1
= 0 ⇒ 7x –2
= 2x + 1
tomamos logaritmos:
log 7x –2
= log 2x + 1
⇒ (x – 2) · log 7 = (x + 1) · log 2 ⇒
⇒ x · log 7 – 2 · log 7 = x · log 2 + log 2 ⇒ x · log 7 – x · log 2= 2 · log 7 + log 2 ⇒
⇒ x · (log 7 – log 2) = 2 · log 7 + log 2 ⇒ x =
2 · log 7 + log 2
log 7 – log 2
Ejemplo
063_090_31105_U4.qxp 11/3/08 07:57 Página 66

Y SISTEMAS 04
3. Ecuaciones logarítmicas
Del mismo modo que hemos estudiado las ecuaciones exponenciales, podemos realizar un estu-
dio más detallado de las ecuaciones logarítmicas.
Son ecuaciones logarítmicas: log x = 3 · log 2 y log x = 6.
Las transformaciones que deben efectuarse sobre una ecuación logarítmica para resolverla, se
basan en las propiedades de los logaritmos. Estas transformaciones son necesarias para expresar
cada uno de sus miembros bajo un único logaritmo, y ambos con la misma base. De esa forma
podemos resolver las ecuaciones logarítmicas más sencillas utilizando la siguiente relación:
loga
x = loga
y ⇔ x = y
En las ecuaciones logarítmicas es conveniente comprobar las soluciones sobre la ecuación inicial,
teniendo en cuenta que solo existe el logaritmo de números positivos.
Se denominan ecuaciones logarítmicas aquellas en las que la incógnita aparece sometida a la
operación logarítmica.
a) Resolvamos la ecuación logarítmica 2 · log x – log 45 = log :
Utilizando las propiedades de los logaritmos, se obtiene:
2 · log x – log 45 = log x – log 3 ⇒ 2 · log x –log x = log 45 –log 3 ⇒
⇒ log x = log ⇒ log x = log 15 ⇒ x = 15
b) Resolvamos la ecuación log 5 + log x = 3.
Sirviéndonos de las propiedades de los logaritmos, se deduce:
log (5 · x) = 3 ⇒ log (5 · x) = log 1000 ⇒ 5x = 1000 ⇒ x = 200
45
3
x
3
Ejemplo
Actividades
Resuelve las siguientes ecuaciones:
a) log x = 4 · log 2 c) log 2x + log 5 = 6 e) 3 · log x – log 30 = log g) log x3
– log 40 = log
b) log x – log 2 = 2 d) 2 · log x = log (–6 + 5x) f) log x3
+ log x4
= 7 h) log (5x) + log x2
= log x4
2
x
10
x2
5
7
67
En la web
eclogaritmica.php?a=5
Resolvamos 2 · log x = log (8 – 2x).
Empleando las propiedades de los logaritmos, se deduce:
log x2
= log (8 – 2x)
x2
= 8 – 2x ⇒ x2
+ 2x – 8 = 0
Las soluciones de esta ecuación de segundo grado son: x = 2 y x = – 4.
Como log (– 4) no tiene sentido, la única solución de la ecuación logarítmica es x = 2.
Ejemplo
063_090_31105_U4.qxp 11/3/08 07:57 Página 67

68
Y SISTEMAS04
4. Sistemas de ecuaciones lineales
Un sistema de m ecuaciones lineales con n incógnitas (x1
, x2
, ... , xn
) es un conjunto formado por m
igualdades de la forma:
a11
x1
+ a12
x2
+ ... + a1n
xn
= b1
a21
x1
+ a22
x2
+ ... + a2n
xn
= b2
..................................................
am1
x1
+ am2
x2
+ ... + amn
xn
= bm
·
donde aij
y bi
(1ՅiՅm, 1ՅjՅn) son números reales conocidos.
Los números aij
se llaman coeficientes y los bi
, términos independientes del sistema.
— En los coeficientes aij
, el subíndice i indica la ecuación del sistema en la que aparece dicho coe-
ficiente, y el subíndice j señala de qué incógnita es coeficiente aij
.
— El subíndice i que aparece en el término bi
indica la ecuación de la que bi
es término indepen-
diente.
Resolver un sistema es encontrar sus soluciones. Al conjunto de todas las soluciones del sistema
se le llama solución general, y cada una de las soluciones que forman dicho conjunto es la solu-
ción particular.
Serán soluciones del sistema todas las n-tuplas (s1
, s2
, ... , sn
) tales que, al sustituir s1
por x1
, s2
por x2
, ..., sn
por xn
, todas las ecuaciones del sistema se conviertan en identidades.
Dependiendo de sus términos independientes y de sus soluciones, los sistemas de ecuaciones
lineales se clasifican así:
1
SISTEMAS DE
ECUACIONES LINEALES
HOMOGÉNEOS
todos los bi
= 0
NO HOMOGÉNEOS
algún bi
≠ 0
COMPATIBLES
tienen solución
COMPATIBLES
tienen solución
INCOMPATIBLES
no tienen solución
DETERMINADOS
solución (0, 0, ...,0)
DETERMINADOS
solución única
INDETERMINADOS
infinitas soluciones
INDETERMINADOS
infinitas soluciones
·es un sistema de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas.
Como se ha visto en cursos anteriores, este sistema puede resolverse, de forma algebraica,
por los métodos de igualación, reducción y sustitución, o de forma gráfica representando en
los ejes cartesianos las rectas x + y = 5 y x – y = 1, siendo la solución del sistema el punto de
intersección de ambas.
En la gráfica se observa que las rectas se cortan en el punto (3 , 2), y (x = 3, y = 2) es la solu-
ción del sistema y, en este caso, la solución general está compuesta por una única solución
particular.
Según la clasificación dada, el sistema es no homogéneo, compatible y determinado.
x + y = 5
x – y = 1
Ejemplo
En un sistema de ecuaciones
lineales, m y n no tienen por qué
ser iguales.
Observa que | 1
X
Y
0
–1
31 5
2
5
x y
0 5
5 0
x y
0 –1
–1 0
x + y = 5 x – y = 1
063_090_31105_U4.qxp 11/3/08 07:57 Página 68

Y SISTEMAS 04
Recuerda que, al resolver gráficamente un sistema de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas,
se distinguen los siguientes casos:
• Si el sistema es compatible determinado, las dos rectas son secantes.
• Si es compatible indeterminado, las dos rectas son coincidentes.
• Si es incompatible, las rectas son paralelas.
Para obtener sistemas de ecuaciones equivalentes a uno dado se pueden efectuar las siguientes
transformaciones:
• Multiplicar una ecuación del sistema por un número no nulo.
• Despejar en una ecuación una de las incógnitas y sustituirla en las demás ecuaciones.
• Añadir o suprimir una ecuación que sea combinación lineal de las demás ecuaciones. 1
Como habrás podido deducir, dos sistemas de ecuaciones lineales equivalentes no han de tener nece-
sariamente el mismo número de ecuaciones, pero sí deben tener el mismo número de incógnitas.
Dos sistemas de ecuaciones lineales son equivalentes si tienen las mismas soluciones.
a) Los siguientes sistemas son equivalentes, pues la tercera ecuación es combinación lineal
de las dos anteriores.
x + y + z = 14
2x – y + 2z = 25
–x + 2y – z = – 11}⇔
}
Para comprobarlo no tienes más que restar, en el primer sistema, la segunda ecuación de
la primera.
b) En ocasiones, un sistema de ecuaciones lineales puede ser equivalente a una única ecua-
ción. Observa que se verifica la siguiente equivalencia:
x + y = 1
–2x – 2y = – 2 }⇔ x + y = 1
Para comprobarlo hay que sumar las dos ecuaciones del sistema, y multiplicar por (–1) la
ecuación resultante.
x + y + z = 14
2x – y + 2z = 25
Ejemplos
Una combinación lineal de
varias ecuaciones es otra ecua-
ción que resulta al multiplicar las
anteriores por números distintos
de cero y sumarlas.
1
Actividades
Escribe dos sistemas de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas
que sean equivalentes.
Escribe una ecuación lineal y un sistema de ecuaciones lineales que
sean equivalentes.
Comprueba la siguiente equivalencia:
· ⇔ ·
Resuelve gráficamente los sistemas:
a)
· b)
·
Estudia la posición relativa de las siguientes parejas de rectas:
a) r: + y = 3 b) r: 3x + y = 8
s: – x + 6y = 2 s: 6x + 2y = 16
x
2
12
7x – y = 8
y + x = 0
3x + y = 4
5y – x = 4
11
8x + 2y = 12
x + 2y = – 8
4x + y = 6
3x – y = 14
10
9
8
69
063_090_31105_U4.qxp 11/3/08 07:57 Página 69

70
Y SISTEMAS04
4.1. Sistemas de tres ecuaciones lineales con tres incógnitas.
Método de Gauss
Un sistema de tres ecuaciones lineales con tres incógnitas puede resolverse utilizando el método
de Gauss, que consiste en obtener un sistema equivalente al dado, de forma que contenga:
• una ecuación con tres incógnitas;
• otra ecuación con dos incógnitas;
• y la última ecuación con una incógnita.
Finalmente se resolverá el nuevo sistema de forma escalonada.
El método de Gauss es, en realidad, una aplicación reiterada del método de reducción, ya que
para conseguir que una ecuación tenga una incógnita menos que la ecuación que le precede, se
aplica el método de reducción a dos de las tres ecuaciones del sistema.
1
Al aplicar el método de Gauss, no siempre se obtiene un sistema equivalente triangular, sino que
pueden darse también los siguientes casos:
I. En el sistema equivalente aparece alguna ecuación en la que los coeficientes de las incógnitas
son todos nulos y el término independiente es distinto de cero. En este caso, el sistema que esta-
mos resolviendo es incompatible.
Resolvamos por el método de Gauss el siguiente sistema:
x + y + z = 1
2x – y – 3z = 0
–x + 2y – 2z = –5
·
Comenzamos por eliminar la incógnita x en las dos últimas ecuaciones.
— Restamos a la segunda el doble de la primera y sumamos la tercera y la primera.
·⇔
·
Eliminamos ahora la incógnita y de la tercera ecuación.
— Sumamos a la tercera la segunda.
·⇔
·
De esta forma hemos conseguido el sistema deseado con tres ecuaciones de tres, dos y una
incógnitas, que podemos resolver de forma escalonada.
De la tercera ecuación se obtiene: z = 1
Sustituyendo este valor en la segunda, obtenemos: y= –1
Reemplazando estos dos valores en la primera ecuación, se obtiene: x = 1
Por tanto, la solución del sistema es: (x = 1 , y = –1 , z = 1)
Como la solución es única, el sistema es compatible determinado.
x + y + z = 1
–3y – 5z = –2
–6z = –6
x + y + z = 1
–3y – 5z = –2
3y – z = –4
x + y + z = 1
–3y – 5z = –2
3y – z = – 4
x + y + z = 1
2x – y – 3z = 0
–x + 2y – 2z = –5
Ejemplo
El método de Gauss es conocido
también como método de trian-
gulación o de cascada.
1
Karl Friedrich Gauss
063_090_31105_U4.qxp 11/3/08 07:58 Página 70

Y SISTEMAS 04
II.En el sistema equivalente aparecen una o más ecuaciones en las que tanto los coeficientes de
las incógnitas como los términos independientes son nulos; en este caso, el sistema que esta-
mos resolviendo es compatible indeterminado.
Resolvamos el siguiente sistema:
·
— Restamos el doble de la primera a la segunda y sumamos la primera y la tercera:
x + y + z = 4
2x – y – z = 6
–x + 2y + 2z = 2
Ejemplo
Resolvamos el sistema:
·
— Restamos a la segunda el triple de la primera y a la tercera el doble de la primera:
x + y + 2z = 0
3x + 2y – z = 6
2x + y – 3z = 6
·⇔
·
— Restamos a la tercera la segunda:
x + y + 2z = 0
–y – 7z = 6
– y –7z = 6
x + y + 2z = 0
3x +2y – z = 6
2x +y – 3z = 6
·⇔
·
En la tercera ecuación, los coeficientes de las incógnitas y el término independiente son
nulos; por tanto, el sistema es compatible indeterminado. 2
x + y – 2z = 0
y + 7z = –6
0 = 0
x + y – 2z = 0
–y – 7z = +6
–y – 7z = +6
Ejemplo
Al resultar un sistema incompa-
tible, no tiene solución.
1 | Observa que
En este ejemplo el sistema es
compatible indeterminado por lo
que las soluciones serán infinitas.
Esto es debido a que en el siste-
ma inicial la segunda ecuación es
combinación lineal de las otras
dos; para comprobarlo basta con
que sumes la primera ecuación y
la tercera.
2 | Observa que
Actividades
Resuelve los siguientes sistemas de ecuaciones por el método de Gauss.
a)
·
b)
·
c)
·
d)
·
5x – y + z = 5
4x + y + 3z = 8
x – 2y – 2z = –3
x + 3y – z = 1
x + y + z = 7
2x + y – 4z = 6
3x – 2y – z = 4
6x + y – 5z = 11
3x + y – z = 3
8x – 2z = 6
–x – y + z = – 1
13
– y + = 1z
4
x
2
·⇔
·
— Sumamos la tercera y la segunda:
x + y + z = 4
–3y – 3z = –2
3y+ 3z = 6
x + y + z = 4
2x – y – z = 6
–x + 2y + 2z = 2
·⇔
·
En la tercera ecuación, los coeficientes de las incógnitas son nulos, mientras que el término
independiente no lo es; por tanto, el sistema es incompatible. 1
x + y + z = 4
–3y – 3z = –2
0 = 4
x + y + z = 4
–3y + 3z = –2
3y + 3z = 6
71
063_090_31105_U4.qxp 11/3/08 07:58 Página 71

72
Y SISTEMAS04
5. Sistemas de ecuaciones no lineales
Además de los sistemas de ecuaciones estudiados anteriormente podemos resolver otros cuyas
ecuaciones no sean lineales.
Existen muchos tipos de sistemas de ecuaciones no lineales: sistemas de ecuaciones logarítmicas,
exponenciales, cuadráticas, etc.
Vamos a presentar aquí algunos de ellos, sirviéndonos de ejemplos resueltos que permitan mos-
trar un pequeño abanico dentro de esta variedad.
I. Resolvamos el siguiente sistema:
·
Como puedes comprobar, una ecuación es lineal y la otra tiene términos de segundo grado.
Para resolverlo podemos utilizar el método de sustitución, despejando una incógnita de la ecua-
ción lineal y sustituyéndola en la ecuación cuadrática.
— Despejamos x de la primera ecuación:
— x = 4 – y
— Sustituimos este valor en la segunda:
— (4 – y)2
+ y2
= 40
— Resolvemos esta ecuación:
16 + y2
– 8y + y2
= 40 ⇒ 2y2
– 8y – 24 = 0 ⇒
⇒ y2
– 4y – 12 = 0
y = = ⇒ Ά
Los valores de y los sustituimos en la primera ecuación del sistema:
— Para y1
= 6, se tiene que: x1
+ 6 = 4 ⇒ x1
= –2
— Para y2
= –2, se tiene que: x2
–2 = 4 ⇒ x2
= 6
Las soluciones del sistema son:
(x = –2 , y = 6) y (x = 6 , y = –2)
II. Resolvamos ahora el siguiente sistema de ecuaciones exponenciales:
·
Para ello utilizaremos las propiedades de las potencias con el fin de obtener un sistema equiva-
lente más sencillo:
2x
· 2y
= 1 ⇒ 2x+y
= 20
⇒ x + y = 0
32x
· 3y
= 9 ⇒ 32x+y
= 32
⇒ 2x + y = 2
La solución del sistema propuesto es la misma que la del sistema:
·
Resolviéndolo, encontramos que la solución del sistema inicial es:
(x = 2 , y = –2)
x + y = 0
2x + y = 2
2x
· 2y
= 1
32x
· 3y
= 9
y1
= 6
y2
= –2
4 ± 8
2
4 ± ͙ෆ16 + 48
2
x + y = 4
x2
+ y2
= 40
Portada de la obra Diviseveri
ni boetii arithmetica, de
Boecio.
063_090_31105_U4.qxp 11/3/08 07:58 Página 72

Y SISTEMAS 04
III. Consideramos ahora el sistema:
·
Para resolver este tipo de sistemas, donde una ecuación tiene un término (o varios) en forma de
raíz cuadrada, es muy práctico encontrar un sistema equivalente en el que la ecuación con la raíz
cuadrada se haya sustituido por otra sin raíz. Una vez resuelto el sistema, habrá que comprobar la
validez de las soluciones obtenidas.
— Tomamos la segunda ecuación y despejamos la raíz:
͙xෆ + y = 27 ⇒ ͙xෆ = 27 – y
— Elevamos ambos miembros de esta igualdad al cuadrado:
΂͙xෆ΃2
= (27 – y)2
⇒ x = 729 + y2
– 54y ⇒
⇒ y2
– 54y – x = – 729
Ahora tendremos que resolver el sistema:
·
Para ello utilizamos el mismo método de sustitución del ejemplo I:
— Despejamos x de la primera ecuación: x = y + 105
— Sustituimos este valor en la segunda ecuación:
y 2
– 54y – (y + 105) = –729 ⇒ y 2
– 55y – 105 + 729 = 0 ⇒
⇒ y2
– 55y + 624 = 0
y = = ⇒ Ά
Sustituyendo en la primera ecuación del sistema:
— Para y1
= 39, se tiene que: x – 39 = 105 ⇒ x = 144
— Para y2
= 16, se tiene que: x – 16 = 105 ⇒ x = 121
La primera solución (x = 144 , y = 39) no es válida porque no verifica la segunda ecuación del sis-
tema inicial.
Esto es así porque al sustituir los valores de x e y en la segunda ecuación, esta solo se cumple para
el valor negativo de la raíz, y en la solución solamente tenemos en cuenta los valores positivos de
las raíces.
Por tanto, el sistema tiene una única solución: (x = 121 , y = 16)
y1
= 39
y2
= 16
55 ± 23
2
55 ± ͙ෆ3025 ෆ– 2496
2
x – y = 105
y2
– 54y – x = – 729
1
x – y = 105
͙xෆ + y = 27
Actividades
Resuelve los siguientes sistemas:
a)
·
c)
· e)
·
b)
·
d)
· f)
·
El perímetro de un rectángulo mide 26 cm, y su diagonal, 10 cm.
Calcula la longitud de los lados de este rectángulo.
La suma de las tres cifras de un número es seis; si se intercambian la
cifra de las centenas y la de las decenas,el número aumenta en noven-
ta unidades, pero si se intercambian la cifra de las decenas y la cifra de
las unidades, el número aumenta en nueve unidades. Calcula dicho
número.
16
15
4x
· 4y
= 16
3x – y = 10
x + y = 100
͙xෆ – ͙yෆ = 2
2x + y = 2
2x2
– y2
= –46
2x
= 4 · 2y
x + 3y = 14
3x + 5y = 80
͙xෆ + 2y = 7
x – y = 2
x2
+ y2
= 20
14
73
Al elevar al cuadrado para elimi-
nar los radicales, la ecuación se
transforma en otra con las mis-
mas soluciones, pero que puede
tener alguna solución más,por lo
que será necesario comprobar
las soluciones obtenidas en el
sistema.
1 | Observa que
063_090_31105_U4.qxp 11/3/08 07:58 Página 73

Y SISTEMAS04
6. Inecuaciones
A partir de las desigualdades definimos las inecuaciones de la forma siguiente:
Si solo interviene una incógnita, se tratará de una inecuación con una incógnita. Análogamente
existen inecuaciones con dos o más incógnitas.
Resolver una inecuación consistirá en encontrar todos los valores de las incógnitas que verifican
dicha inecuación. El conjunto de estos valores se conoce como solución de la inecuación.
Para resolver una inecuación la transformaremos en otra inecuación equivalente más sencilla
mediante las siguientes transformaciones de equivalencia:
• Si a los dos miembros de una inecuación se les suma o se les resta un mismo número o expre-
sión algebraica, resulta una inecuación equivalente a la dada.
• Si los dos miembros de una inecuación se multiplican o dividen por un número real positivo,
resulta otra inecuación equivalente a la dada.
• Si los dos miembros de una inecuación se multiplican o dividen por un número real negativo,
resulta otra inecuación cuyo signo de desigualdad es contrario al de la dada y que es equivalente.
1
Una inecuación es una desigualdad en la que intervienen incógnitas o valores desconocidos.
Dos o más inecuaciones son equivalentes cuando tienen la misma solución.
a) Son inecuaciones con una incógnita: 3x + 2Ͼx – 3 y 3x2
Ͼx + 12
b) Son inecuaciones con dos incógnitas: 5x + yϽ0 y x + 3yՆx
Ejemplos
Dada la inecuación – 3x Ն 6 – x, será equivalente a: –3x – 12 Ն 0
— Primero multiplicamos por 2 los dos miembros: x – 6x Ն 12 – 2x
— Sumamos 2x a los dos miembros: x – 6x + 2x Ն 12 – 2x + 2x ⇒ – 3x Ն 12
— Restamos 12 a los dos miembros: –3x – 12 Ն 0
x
2
Ejemplo
Actividades
Demuestra que son equivalentes las siguientes inecuaciones:
– 3x + 4 Ͼ x – 2 y 7x Ͻ 12
¿Son equivalentes las siguientes inecuaciones?
x – 2 Ն y 3x – + 2 Ն 3 +
Razona las siguientes transformaciones:
a) x Ͻ y y z Ͻ t ⇒ x + z Ͻ y + t
b) a Ն b Ͼ 0 ⇒ Ն Ͼ 0
c) x Ͼ 0 e y Ͼ 0 ⇒ xy Ͼ 0
d) a Ͼ b ⇒ a – b Ͼ 0
1
a
1
b
19
5x
2
x
6
x
3
18
x
2
17
74
Dados dos números reales a y b
cualesquiera, siempre se verifica
que:aϽb o a = b o aϾb
Recuerda que
Las tres transformaciones de
equivalencia son válidas en las
cuatro desigualdades:
Ͼ , Ͻ , Յ , Ն
Observa que | 1
En la web
materiales_didacticos/Inecuaciones/
inecindex.html
063_090_31105_U4.qxp 11/3/08 07:58 Página 74

Y SISTEMAS 04
7. Inecuaciones lineales con una incógnita
Estudiaremos las inecuaciones, clasificándolas según su grado y número de incógnitas.
También serán lineales con una incógnita aquellas inecuaciones que puedan presentar estas formas
después de aplicar las transformaciones de equivalencia.
Para resolver una inecuación lineal con una incógnita se aplicarán las transformaciones de equi-
valencia necesarias hasta obtener una inecuación equivalente de una cualquiera de las formas:
xՆa xՅa x Ͼ a x Ͻ a donde a ∈ ‫ޒ‬
• Si se obtiene x Ն a (análogamente x Յ a), la solución de la inecuación está formada por todos
los números del intervalo [a , + ϱ) y análogamente, (– ϱ, a].
• Si se obtiene x Ͼ a y, análogamente, x Ͻ a), la solución de la inecuación está formada por todos
los números del intervalo (a , + ϱ) y, análogamente, (– ϱ , a).
Estas inecuaciones también pueden resolverse de forma gráfica. Así, la solución de la inecuación
ax + bϾ0 la forman todos los valores de x para los que la recta de ecuación y = ax + b queda por
encima del eje horizontal. 1
Se llama inecuación lineal con una incógnita a cualquiera de las siguientes desigualdades:
• ax + b Ͼ 0 • ax + b Ͻ 0
• ax + b Ն 0 • ax + b Յ 0 con a, b ∈ ‫ޒ‬ y a 0
Consideramos la inecuación – 3x Ն 6 – x, y multiplicamos por 2 sus dos miembros:
x – 6xՆ12 – 2x
Sumamos a los dos miembros 2x y simplificamos: x – 6x + 2xՆ12 – 2x + 2x ⇒ –3xՆ12
Esta inecuación es lineal con una incógnita y es equivalente a la inecuación inicial. Dividiendo
por (–3) los dos miembros: xՅ–4
x
2
Ejemplo
Resolvamos la inecuación x–5x–8Յ14 –6x,utilizando las transformaciones de equivalencia.
x – 5x + 8Յ14 – 6x ⇒ x – 5x + 6xՅ14 – 8 (sumando 6x y restando 8 a los dos miembros)
⇒ 2xՅ6 ⇒ xՅ3
Así, la solución de la inecuación es la formada por: x ∈ (– ϱ , 3]
Ejemplo
Si al transformar una inecuación
en otra equivalente obtenemos
una desigualdad debido a que en
la expresión han desaparecido
las incógnitas, dicha inecuación
tendrá como solución ‫ޒ‬ si la
desigualdad obtenida es cierta,y
el conjunto л,en caso contrario.
Actividades
Resuelve las inecuaciones:
a) 5x + 6 – Ͼ –1 c) 3 · (x – 3) Ͼ 1 – 5x e) 2 – + 2x Ͼ 1 – xx
3
x
2
20
b) 8x – 6 Ն d) – 4 Ͻ x + 1 f) – + 5 Ͻ x – 1
3
x
2
2x
3
3x
2
2x
5
75
X
Y
(0 , b)
y = ax + b
– b
a
– , 0)(
Observa que la recta y = ax + b
queda por encima del eje hori-
zontal para los valores:
x ∈
΂– , + ∞΃b
a
1
063_090_31105_U4.qxp 11/3/08 07:58 Página 75

Y SISTEMAS04
8. Inecuaciones de segundo grado con una incógnita
Análogamente a la nomenclatura de las ecuaciones, tenemos que:
La solución de una inecuación de este tipo depende de las soluciones de ax 2
+ bx + c = 0. Así,
para resolver estas inecuaciones, vamos a estudiar en particular ax2
+ bx + c Յ 0, y podemos dis-
tinguir los siguientes casos:
La ecuación ax2
+ bx + c = 0 tiene dos soluciones reales distintas
Sean x1
y x2
las soluciones, y supongamos que x1
Ͼx2
.
En este caso, la inecuación ax2
+ bx + c Յ 0 se puede expresar como: a (x – x1
) (x – x2
) Յ 0. El
producto de los tres factores debe ser negativo o cero y esto solo ocurre en cada una de las siguien-
tes situaciones:
• a Ͼ 0, x – x1
Ն0, x – x2
Յ 0 ⇒ a Ͼ 0, x Ն x1
, x Յ x2
• a Ͼ 0, x – x1
Յ0, x – x2
Ն 0 ⇒ a Ͼ 0, x Յ x1
, x Ն x2
• a Ͻ 0, x – x1
Ն 0, x – x2
Ն 0 ⇒ a Ͻ 0, x Ն x1
, x Ն x2
• a Ͻ 0, x – x1
Յ 0, x – x2
Յ 0 ⇒ a Ͻ 0, x Յ x1
, x Յ x2
Al ser x1
Ͼ x2
, la primera situación no se verifica para ningún valor de x, y la segunda la cumplen
los valores x ∈ [x2
, x1
]. Por el mismo motivo, la situación tercera la verifican los valores x ∈ [x1
, + ϱ)
y la cuarta los valores x∈ (– ϱ , x2
].
Se llama inecuación de segundo grado con una incógnita a cualquiera de las desigualdades:
• ax2
+ bx + c Յ 0 • ax2
+ bx + c Ն 0
• ax2
+ bx + c Ͻ 0 • ax2
+ bx + c Ͼ 0, con a, b, c ∈ ‫ޒ‬ y a 0.
76
Gateway Arch. Sant Louis.
Los puntos de la línea que
une los pies del arco están
definidos por una inecua-
ción del tipo
ax2
+ bx + c Ն 0,
con a Ͻ 0.
La solución es [2 , 4].
La solución de la inecuación ax2
+ bx + c Յ 0 será:
• Si a Ͼ 0, todos los x ∈ [ x2
, x1
] = {x ∈ ‫ޒ‬ / x2
Յ x Յ x1
}.
• Si a Ͻ 0, todos los x ∈ (– ϱ , x2
] ∪ [ x1
, + ϱ) = {x ∈ ‫ޒ‬ / x Յ x2
o x Ն x1
}.
a) Resolvamos la inecuación 2x2
– 12x + 16 ഛ 0.
Las soluciones de la ecuación 2x2
– 12x + 16 = 0 son:
x1
= 4 y x2
= 2, y el coeficiente de x2
es a = 2, que es positivo.
Por tanto, la solución de la inecuación la forman todos los valores de x tales que:
x ∈ [x2
, x1
] = [2 , 4]
b) Vamos a resolver la inecuación – x2
+ 4 Յ 0.
Las soluciones de la ecuación – x2
+ 4 = 0 son:
x1
= – 2 y x2
= 2
El coeficiente de x2
es a = – 1, es decir, negativo.
Luego la solución de la inecuación la forman todos los valores de x tales que:
x ∈ (– ϱ , – 2] ʜ [2 , ϱ)
1
Ejemplos
X
Y
y = 2x – 12x + 162
2 4
2
4
6
Si hacemos la interpretación grá-
fica, la solución de la inecuación
del ejemplo a) está formada por
todos los valores de x para los
que la parábola de ecuación:
y = 2x2
– 12x + 16 se encuentra
en el eje de abscisas y por debajo
de él, es decir, los valores de x
para los cuales y es menor o
igual que cero.
Interpretación gráfica | 1
063_090_31105_U4.qxp 11/3/08 07:58 Página 76

Y SISTEMAS 04
La ecuación ax2
+ bx + c = 0 tiene dos soluciones reales iguales
La inecuación ax2
+ bx + cՅ0 puede expresarse de la forma a (x – x1
)2
Յ 0, siendo x1
la solución
de la ecuación mencionada. Como (x – x1
)2
es siempre positivo o cero, la inecuación solo se veri-
fica para x = x1
si a Ͼ 0 y para todo número real x si a Ͻ 0.
La ecuación ax2
+ bx + c = 0 no tiene soluciones reales
En este caso, ax2
+ bx + c es positivo para todo valor real de x si a Ͼ 0, y es negativo, también
para cualquier valor real de x, si a Ͻ 0.
En resumen, la solución de la inecuación está formada:
• Por todos los números reales cuando a Ͻ 0. • Por x = x1
cuando a Ͼ 0.
Por tanto, la solución de la inecuación ax2
+ bx + c Յ 0 será:
• El conjunto de todos los números reales si a Ͻ 0. • El conjunto vacío si a Ͼ 0.
1
Resolvamos la inecuación x2
+ 6x + 9Յ0.
La ecuación x2
+ 6x + 9 = 0 tiene dos soluciones iguales a x1
= – 3.
El coeficiente de x2
es a = 1, que es positivo y, por tanto, la solución de la inecuación está
formada únicamente por el valor x = – 3.
Ejemplo
a) Vamos a resolver la inecuación x2
+ 1Յ0.
Como la ecuación x2
+1=0 no tiene soluciones reales y el coeficiente de x2
es a=1(a Ͼ 0),
la solución de la inecuación x2
+1Յ 0es el conjunto vacío.
Del mismo modo, podemos observar que la solución de la inecuación x2
+1Ն0 es ‫.ޒ‬
b) Resolvamos la inecuación – x2
– x – 1Յ0.
Como la ecuación – x2
– x – 1 = 0 no tiene soluciones reales y el coeficiente de x2
es nega-
tivo, la solución de la inecuación – x2
– x – 1Յ0 es todo ‫.ޒ‬
La solución de la inecuación – x2
– x – 1Ն0 será el conjunto vacío.
Ejemplo
Para cualquiera de las otras ine-
cuaciones de segundo grado
(con los signos ജ,Ͼ,Ͻ) hay que
hacer un estudio similar al efec-
tuado para la inecuación:
ax2
+ bx + c Յ 0
1
X
Y
– 1– 3– 5
1
4
9
y = x + 6x + 92
Actividades
Resuelve:
a) x2
– x – 2 Յ 0 b) x2
– x Ն 2x2
– 2
Interpreta gráficamente las inecuaciones de la actividad anterior y sus
soluciones.
Resuelve las siguientes inecuaciones:
a) x2
+ 20 Ն 4 – 8x b) 4x2
+ 1 Ͼ 4x
soluciones.
Resuelve las inecuaciones:
a) x2
+ 6 Ͻ 4 b) 2x2
Ն –24
soluciones.
26
25
24
23
22
21
77
063_090_31105_U4.qxp 11/3/08 07:58 Página 77

9. Sistemas de inecuaciones lineales con una incognita
Dado un sistema de dos o más inecuaciones lineales con una incógnita, la solución del sistema
estará formada por aquellos valores que satisfagan todas las inecuaciones. Por tanto, serán valo-
res que estén presentes en las soluciones de todas ellas.
Los sistemas de inecuaciones lineales con una incógnita también pueden resolverse de forma gráfica.
La solución de un sistema de inecuaciones lineales con una incógnita será la intersección de las
soluciones de todas las inecuaciones que lo forman.
Resolvamos el sistema:
·2xϾ x – 1
Para ello hallamos la solución de la primera inecuación:
3x + 8Յx + 14 ⇒ 3x – x Յ 14 – 8 ⇒ 2x Յ 6 ⇒ x Յ 3
Su solución está formada por todos los valores: x ∈ (– ϱ , 3]
Hallamos, después, la solución de la segunda inecuación:
2xϾ x – 1 ⇒ 4xϾ3x – 2 ⇒ 4x – 3xϾ– 2 ⇒ xϾ–2
Su solución está formada por todos los valores: x ∈ (–2 , + ϱ)
Como (– ϱ , 3] ʝ (– 2 , + ϱ) = (– 2 , 3], la solución del sistema está formada por todos los
valores x ∈ (– 2 , 3].
3
2
3
2
3x + 8Յx + 14
Ejemplo
Resolvamos gráficamente el sistema del ejemplo anterior
3x + 8Յx + 14 ⇒ 2x – 6 Յ 0
2x Ͼ x – 1 ⇒ x + 2 Ͼ 0
La recta y = 2x – 6 toma valores negativos o cero para los valores: x ∈ (– ϱ , 3]
La recta y = x + 2 toma valores positivos para los valores: x ∈ (–2 , + ϱ)
Luego la solución del sistema será la intersección de ambos intervalos, obteniendo: x ∈ (–2 , 3]
3
2
1
Ejemplo
Una inecuación en la que intervie-
ne el valor absoluto es equivalen-
te a un sistema de dos inecuacio-
nes si el signo de la desigualdad
esϽoՅ.Asíporejemplo,laine-
cuación ⏐x + 4⏐ Ͻ 1 es equiva-
lente al sistema:
x + 4Ͻ1
x + 4Ͼ–1·
Cuandoelsignodeladesigualdad
es Ͼ o Ն, la solución de la ine-
cuación eslaunióndelassolucio-
nes de las dos inecuaciones que
se obtienen al quitar el valor abso-
luto. Así, por ejemplo, la inecua-
ción ⏐x + 4⏐ Ͼ 1, tiene como
soluciónlaunióndelassoluciones
de las inecuaciones:
x + 4Ͼ1
x + 4Ͻ–1
Observa que
X
Y
y = 2x – 6
y = x + 2
3
2
– 2
– 6
Y SISTEMAS04
Actividades
Resuelve los siguientes sistemas:
a)
·
c)
·
b)
·
d)
·
Interpreta geométricamente los sistemas de la actividad anterior y sus
soluciones.
Resuelve los sistemas:
a)
·
b)
·
2x + 3 Ն 5
4x – 3 Ͼ 1
3x – 2 Ͻ 13
x Ն 0
x + 2 Ͻ 2x – 5
3x + 6 Ͼ x + 7
29
28
x – 2 Յ 2x + 1
3 – x Ͻ 1 – 2x
x Յ 0
x + 4 Ͻ 02x + 6 Ͻ 0
27
x + Ն x
2
1
2
+ – 6 Յ 5x
3
x
2
x + 1 Ͻ x
2
78
1
063_090_31105_U4.qxp 11/3/08 07:58 Página 78

Polinomio

Recomendados

Recomendados

Más contenido relacionado

La actualidad más candente

La actualidad más candente (20)

Similar a Polinomio

Similar a Polinomio (20)

Último

Último (20)

Polinomio