Calculo i, santiago relos

CÁLCULO I
Santiago Relos
Departamento de Matemáticas
Facultad de Ciencias y Tecnología
Universidad Mayor de San Simón
Departamento de Ciencias Exactas
Universidad Privada Boliviana
Cochabamba, Bolivia
2007

2
Abstract
La Universidad Mayor de San Simón, ...

Índice General
1 Los números reales (En prueba) 7
1.1 La recta real . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.1.1 Axiomas iniciales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.1.2 Axiomas de orden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.1.3 Números Naturales, Enteros y Racionales . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.2 Intervalos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.3 Valor absoluto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.4 Resolución de desigualdades con una variable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
1.5 Desigualdades con valor absoluto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
2 Funciones 37
2.1 Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
2.2 Funciones Especiales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
2.2.1 Función Identidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
2.2.2 Funcion Constante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
2.2.3 Función Valor Absoluto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
2.2.4 La Función Lineal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
2.2.5 Función Potencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
2.2.6 Función Polinomial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
2.2.7 Las funciones Trigonométricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
2.2.8 La función Exponencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
2.2.9 La función Logarítmica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
2.2.10 La función mayor entero . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
2.2.11 Funciones Hiperbólicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
2.3 Operaciones con funciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
2.3.1 Suma y Resta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
2.3.2 Producto y División . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
2.3.3 Recíproco de una función . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
2.3.4 Composición de Funciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
2.4 La Inversa de una Función . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
2.4.1 Funciones Inyectivas y Sobreyectivas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
2.4.2 Inversa de una función . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
2.4.3 Funciones trigonométricas inversas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
2.4.4 Funciones Hiperbólicas inversas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
3

4 ÍNDICE GENERAL
2.5 Funciones Crecientes y Decrecientes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
2.6 Funciones acotadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
3 Límites y Continuidad 69
3.1 Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
3.2 Límite de una Función . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
3.2.1 Definición de Límite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
3.2.2 Límites Laterales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
3.2.3 Propiedades de Límites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
3.3 Un algoritmo para demostrar Límites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
3.3.1 Algoritmo − δ (Epsilon-Delta) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
3.4 La Definición de Continuidad de una Función . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
3.4.1 Continuidad en un Punto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
3.4.2 Preservación del signo en funciones continuas . . . . . . . . . . . . . . 85
3.4.3 Teorema de Bolzano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
3.4.4 El teorema del Valor Intermedio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
3.5 Cálculo de Límites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
3.5.1 El símbolo ∞ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
3.5.2 Indeterminaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
3.5.3 El paso al límite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
3.6 Otros límites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
3.6.1 Límites trigonométricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
3.7 Límites con Infinito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
3.8 Un límite notable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
4 Cálculo Diferencial 111
4.1 La Derivada de una función . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
4.2 Símbolos para representar la derivada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114
4.3 Los 10 resultados fundamentales del Cálculo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114
4.3.1 Primer resultado fundamental . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114
4.3.2 Segundo resultado fundamental . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
4.3.3 Tercer resultado fundamental . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
4.3.4 Cuarto resultado fundamental . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
4.3.5 Quinto resultado fundamental . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
4.3.6 Sexto a noveno resultados fundamentales . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
4.3.7 Decimo resultado fundamental (La regla de la cadena) . . . . . . . . . 118
4.4 Derivadas con funciones trigonométricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120
4.4.1 Derivada de la función tangente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120
4.4.2 Derivada de la función cotangente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120
4.4.3 Derivada de la función secante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121
4.4.4 Derivada de la función cosecante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121
4.5 Derivadas con la regla de la cadena . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124
4.6 Derivada de las funciones hiperbólicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127
4.7 Derivada de la función inversa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127

ÍNDICE GENERAL 5
4.7.1 Derivadas de funciones trigonométricas inversas . . . . . . . . . . . . . 128
4.7.2 Derivadas de las funciones hiperbólicas inversas . . . . . . . . . . . . . 129
4.8 Tabla generalizada de derivadas con notación diferencial . . . . . . . . . . . . 129
4.9 Derivadas de Orden Superior . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132
4.10 Derivación Implícita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135
4.10.1 Cálculo de y . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135
4.11 La recta tangente y normal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138
4.12 La diferencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143
4.12.1 Incrementos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143
4.12.2 Diferenciales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144
4.12.3 La notación diferencial para la derivada . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144
4.12.4 Reglas para el cálculo de las diferenciales . . . . . . . . . . . . . . . . . 145
5 Aplicaciones de la Derivada (en prueba) 147
5.1 Máximos y Mínimos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147
5.1.1 Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147
5.1.2 Puntos críticos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151
5.1.3 Funciones crecientes, decrecientes y derivada . . . . . . . . . . . . . . . 151
5.1.4 Criterio de la primera derivada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154
5.2 Teoremas de Valor Medio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157
5.3 Criterio de la segunda derivada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162
5.4 Problemas sobre Máximos y Mínimos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168
5.4.1 Problemas Geométricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168
5.4.2 Problemas de construcción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173
5.4.3 Problemas de costos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178
5.5 La Derivada como Razón de Cambio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185
5.6 Límites Indeterminados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189
5.6.1 La indeterminación 0
0
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189
5.6.2 La indeterminación ∞
∞
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192
5.6.3 Indeterminaciones 0 · ∞ e ∞ − ∞ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194
5.6.4 Casos 00
, ∞0
, 1∞
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195
5.7 Trazado de curvas algebraicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 200
5.7.1 Simetría . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201
5.7.2 Intersecciones con los ejes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 204
5.7.3 Campo de variación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 204
5.7.4 Comportamiento cuando x → −∞ y x → ∞ . . . . . . . . . . . . . . . 205
5.7.5 Asíntotas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 206
6 Cálculo Integral 217
6.1 Sumas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 217
6.1.1 Sumatorias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 217
6.1.2 El área como el límite de una suma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 220
6.1.3 Funciones Integrables y la Integral Deﬁnida . . . . . . . . . . . . . . . 225
6.1.4 Propiedades de la Integral Deﬁnida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 226

6 ÍNDICE GENERAL
6.1.5 La primitiva de una función . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 228
6.1.6 El Teorema Fundamental del Cálculo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 228
6.1.7 Teorema del Valor Medio para integrales . . . . . . . . . . . . . . . . . 230
6.1.8 Segunda forma del Teorema Fundamental del Cálculo . . . . . . . . . . 231
6.2 Metodos de integración . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233
6.2.1 La integral indefinida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233
6.2.2 Fórmulas fundamentales de integración . . . . . . . . . . . . . . . . . . 234
6.2.3 Integración por sustitución . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 235
6.2.4 Integración por Partes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 241
6.2.5 Integrales trigonométricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 244
6.2.6 Resumen de las fórmulas de reducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . 254
6.2.7 Funciones racionales a dos variables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 255
6.2.8 Cambios de variable trigonométricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 255
6.3 Integración por Fracciones Parciales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 261
6.3.1 Preliminares algebraicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 261
6.3.2 Fracciones parciales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 261
6.3.3 Cálculo de constantes en fracciones parciales . . . . . . . . . . . . . . . 263
6.3.4 Integración por Fracciones parciales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 264
6.4 Funciones racionales del tipo F x,
√
ax + b . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 269
6.5 Funciones racionales del tipo F (sin x, cos x) . . . . . . . . . . . . . . . . . 271
7 Integrales impropias (en prueba) 275
7.1 Integrales impropias de primera clase . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 275
7.1.1 Límite superior infinito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 275
7.1.2 Límite inferior infinito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 276
7.2 Integrales impropias de segunda clase . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 276
7.2.1 No acotada en el limite superior . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 276
7.2.2 No acotada en el limite inferior . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 277
8 Cálculo de áreas planas 285
8.1 Regiones acotadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 285
9 Longitud de Arco 297
10 Cálculo de Volúmenes 303
10.1 Método de los cilindros sólidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 303
10.2 Método de los cilindros huecos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 307
11 Apéndice 1 315
11.1 El axioma del supremo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 315
12 Apéndice 2 321
12.1 Un límite notable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 321

Capítulo 1
Los números reales (En prueba)
1.1 La recta real
En la larga historia de los números se pueden ver varias formas de introducir el estudio de los
números reales. Matemáticos como Karl Weierstrass (1815-1897), George Cantor (1845-1918)
y Richard Dedekind (1831-1916) se dedicaron a esta tarea. En 1889 el matemático italiano
Guiseppe Peano (1858-1932) da un listado de cinco axiomas para los enteros positivos. En
este capítulo se da una breve introducción del sistema de los números reales.
1.1.1 Axiomas iniciales
El Sistema de números reales es un conjunto R cuyos elementos se llaman números. Se
asume la existencia de dos operaciones llamadas adición y multiplicación denotados por +
y · respectivamente tal que para cada par de números x y y formamos la suma x + y que
nuevamente es un número, similarmente formamos el producto x·y (o xy) y nuevamente es un
número. Lo anterior se indica diciendo que R es cerrado para la operación suma y producto.
Aceptamos que la suma y producto están univocamente determinadas, esto es, x + y, y xy
son únicos. En R se satisfacen los siguientes axiomas:
• Axioma 1 Conmutatividad. Para todo x, y ∈ R
x + y = y + x, xy = yx
• Axioma 2 Asociatividad. Para todo x, y, z ∈ R
x + (y + z) = (x + y) + z, x(yz) = (xy)z
• Axioma 3 Distributividad. Para todo x, y, z ∈ R
x(y + z) = xy + xz
7

8 CAPÍTULO 1. LOS NÚMEROS REALES (EN PRUEBA)
• Axioma 4(a) Existencia de la identidad. Existe un elemento en R denotado por 1 (es
llamado uno) tal que para todo x ∈ R
x · 1 = x
• Axioma 4(b) Existencia del neutro. Existe un elemento en R denotado por 0 (es
llamado cero) tal que para todo x ∈ R
x + 0 = x
• Axioma 5 Existencia de negativos. Para cada número x, existe un número y tal que
x + y = 0
• Axioma 6 Existencia de recíprocos. Para cada número x = 0, existe un número y tal
que
xy = 1
Todas las leyes del álgebra elemental pueden deducirse a partir de los anteriores axiomas.
A continuación se muestran las más usuales.
Ley de cancelación
Teorema 1.1 Si a + b = a + c, entonces b = c, en particular, esto muestra que el número 0
del axioma 4(b) es único.
Demostración. Supóngase que a + b = a + c. Por el axioma 5 existe un número
y tal que a + y = 0. Puesto que la suma está univocamente determinada se tiene
y +(a + b) = y +(a + c). Usando el axioma 2: (y + a) +b = (y + a) + c, de donde
0+b = 0+c, y por el axioma 4(b) b = c. Observemos que si existe un otro número
0 tal que 0 + x = x para todo número x, entonces en particular 0 + 0 = 0, pero
también por el axioma 4(b) 0 + 0 = 0, luego 0 + 0 = 0 + 0, de donde 0 = 0. Esto
muestra que el cero deﬁnido en el axioma 4(b) es único.
Posibilidad de sustracción
Teorema 1.2 Dados los números a, b existe un único número x tal que a + x = b. Este
número se denota con b − a. En particular 0 − a se escribe como −a y es llamado Negativo
de a (también se llama menos de a).
Demostración. Existe un número y tal que a + y = 0. Sea x = b + y, entonces
a + x = a + (b + y)
Ahora usando los axiomas 1 y 2 se deduce a+x = b+(a + y) , por tanto a+x = b+0,
esto es, a + x = b.
Observación. Observemos que a + (−a) = 0.

1.1. LA RECTA REAL 9
Teorema 1.3 Para todo a, b ∈ R, b − a = b + (−a).
Demostración. Sea x = b − a, por definición de sustracción b = x + a. Sea
y = b + (−a), entonces
y + a = [b + (−a)] + a = b + [(−a) + a] = b + 0 = b
de este resultado junto con x + a = b se concluye que x + a = y + a. Por la ley de
cancelación se tiene x = y, esto prueba el teorema.
Teorema 1.4 Para todo a ∈ R se tiene − (−a) = a.
Demostración. Se tiene a + (−a) = 0, luego por definición a = 0 − (−a), de
donde el resultado sigue.
Teorema 1.5 Para todo a ∈ R se cumple a · 0 = 0.
Teorema 1.6 Para todo a, b ∈ R se tiene a (−b) = −ab.
Demostración. ab + a (−b) = a [b + (−b)] = a0 = 0, luego a (−b) = −ab.
Teorema 1.7 Para todo a, b, c ∈ R se verifica a (b − c) = ab − ac.
Demostración. a (b − c) = a [b + (−c)] = ab + a (−c) = ab − ac.
Ley de cancelación para la multiplicación
Teorema 1.8 Si ab = ac y a = 0, entonces b = c. (En particular esto muestra que el número
1 definido en 4(a) es único).
Demostración. Supongamos que ab = ac. Por el axioma 6 existe un número y
tal que ay = 1, por tanto y(ab) = y(ac), esto es, (ya)b = (ya)c, luego 1b = 1c, de
donde b = c.

Posibilidad de división
Teorema 1.9 Dados a, b con a = 0, existe exactamente un x ∈ R tal que ax = b. El número
x es denotado por
b
a
o b/a y es llamado cociente de b y a, en particular,
1
a
es denotado por
a−1
y es llamado el recíproco de a.
Teorema 1.10 Si a = 0, entonces
b
a
= ba−1
.
Teorema 1.11 Si a = 0, entonces (a−1
)
−1
= a.
Teorema 1.12 Si ab = 0, entonces a = 0 o b = 0.
Teorema 1.13 Si b = 0 y d = 0, entonces
a
b
+
c
d
=
ad + bc
bd
.
Teorema 1.14 Si b = 0 y d = 0, entonces
a
b
·
c
d
=
a · c
b · d
.
Teorema 1.15 Si b = 0, c = 0 y d = 0, entonces
a
b
c
d
=
ad
bc
Ejercicios propuestos
1. Pruebe los teoremas que no presentan demostración
Probar los siguientes resultados
2. −0 = 0.
3. 1−1
= 1.
4. − (a + b) = −a − b.
5. − (a − b) = −a + b.
6. (a − b) + (b − c) = (a − c).
7. Si b = 0 y a = 0, entonces (ab)−1
= a−1
b−1
.
8. Si b = 0, −
a
b
=
−a
b
=
a
−b
.
9. Si b = 0 y d = 0, entonces
a
b
−
c
d
=
ad − bc
bd
.
10.
a
b
=
c
d
si y solamente si ad = bc, bd = 0.

1.1. LA RECTA REAL 11
1.1.2 Axiomas de orden
Los axiomas del 1 al 6 no dicen nada sobre ”comparar ” los números en el sentido de ”que
número es más grande que otro” cuando se toman dos números. En esta sección se presentan
axiomas que permitirán, en el anterior sentido, comparar dos números.
Supondremos la existencia de un subconjunto R+
⊂ R llamado el conjunto de los números
positivos que satisface los siguientes axiomas:
Axioma 7. Si x, y ∈ R+
entonces x + y ∈ R+
y xy ∈ R+
.
Axioma 8. Para cada real x : o x = 0 o x ∈ R+
o −x ∈ R+
de manera excluyente,
es decir, se cumple una y solamente una de las afirmaciones.
Se definen ahora los símbolos < (menor), > (mayor), ≤ (menor o igual) y ≥ (mayor o
igual).
x < y significa y − x ∈ R+
y > x significa x < y
x ≤ y significa x < y ∨ x = y
y ≥ x significa x ≤ y
Si x > 0, claramente que x ∈ R+
, esto es, x es positivo si y solo si x > 0. Si x ≥ 0 diremos
que x es no negativo. Si x < 0 diremos que x es negativo, el conjunto de los reales negativos
se denota con el símbolo R−
y está definido por:
R−
= −x : x ∈ R+
,
los números x ≤ 0 se llaman no positivos.
Las propiedades más importantes que son consecuencia de los anteriores axiomas se pre-
sentan en los siguientes teoremas.
Ley de la tricotomia
Teorema 1.16 Para dos números reales arbitrarios a, b ocurre exactamente una de las si-
guientes afirmaciones: a = b o a < b, o b < a.
Demostración. Sigue del axioma 8 con x = b − a.
Ley transitiva
Teorema 1.17 Si a < b y b < c, entonces a < c.

Otros resultados
Teorema 1.18 Si a 0,
luego x − y > 0, es decir x > y, esto prueba el teorema.
Teorema 1.19 Si a 0, entonces ac < bc.
Teorema 1.20 Si a bc.
Demostración. Si a < b, b − a ∈ R+
. Por otra parte si c < 0, −c ∈ R+
por tanto
(−c) (b − a) = ac − bc ∈ R+
, esto es, ac > bc.
Teorema 1.21 Si a = 0, entonces a2
> 0.
Teorema 1.22 1 > 0.
Teorema 1.23 Si a < b, entonces −a > −b. En particular si a < 0, entonces −a > 0.
Teorema 1.24 Si ab > 0, entonces a y b ambos son positivos o ambos negativos.
Demostración. Supongamos que la conclusión del teorema es falsa, sin pérdida
de generalidad podemos suponer que a < 0 y b > 0. De este hecho tenemos
−a > 0 luego (−a) b = − (ab) > 0, esto es contradictorio, luego a y b son ambos
positivos o ambos negativos.
Teorema 1.25 Si a < b y c < d, entonces a + c < b + d.

1.2. INTERVALOS 13
1. Pruebe los teoremas que no presentan demostración.
Probar:
2. No existe un número real a tal que a2
+ 1 = 0.
3. La suma de dos números negativos es negativo.
4. Si a > 0, entonces
1
a
> 0; si a < 0, entonces
1
a
< 0.
5. Si 0 < a < b, entonces 0 < b−1
< a−1
.
6. Si a ≤ b y b ≤ c, y a = c, entonces b = c.
7. Para todo a, b se tiene a2
+ b2
≥ 0. Si a y b no son ambos cero, entonces a2
+ b2
> 0
8. No existe un número real a tal que x ≤ a para todo real x.
9. Si x tiene la propiedad de que 0 ≤ x ≤ h para cada real positivo h, entonces x = 0.
10. Si b ≥ 0, entonces x2
> b si y solamente si x >
√
b o x < −
√
b.
11. Si b ≥ 0, entonces x2
< b si y solamente si o −
√
b < x <
√
b.
1.1.3 Números Naturales, Enteros y Racionales
Existen en R ciertos subconjuntos cuya existencia no se demuestra en este texto por no
corresponder a un primer curso de Cálculo, estos conjuntos son los Naturales, Enteros y
Racionales que se representan respectivamente por N, Z, Q. Estos conjuntos son:
N = {1, 2, 3, 4, ...}
Z = {..., −4, −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, 4, ...}
Q =
p
q
: p, q ∈ Z ∧ q = 0
Observemos que N ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R. Los números que están en R pero no en Q se llaman
números irracionales, este conjunto se representa por Qc
. En el apéndice I se prueba que
Qc
= ∅.
Para un estudio completo de los números reales es necesario enunciar un ultimo axioma,
este es llamado el axioma del supremo que se puede ver en el apéndice I.
1.2 Intervalos
En cálculo, los conjuntos de uso más frecuente son los intervalos, estos se deﬁnen como
conjuntos que satisfacen ciertas desigualdades.

Definición 1.26 (Intervalo abierto) Dados dos números a, b tales que a < b. El conjunto
{x ∈ R : a < x < b} se llama intervalo abierto y se denota con (a, b), esto es,
(a, b) = {x ∈ R : a < x < b} ,
su representación gráfica es:
a b
observemos que los números a y b no pertenecen al conjunto (a, b). También notemos que si
a = b, se tiene (a, b) = ∅.
Definición 1.27 (Intervalo cerrado) Dados dos números a, b tales que a ≤ b. El conjunto
{x ∈ R : a ≤ x ≤ b} se llama intervalo cerrado y se denota con [a, b], esto es,
[a, b] = {x ∈ R : a ≤ x ≤ b} ,
este conjunto se puede representar gráficamente del siguiente modo
a b
observemos que los números a y b pertenecen al conjunto [a, b].
Definición 1.28 (Intervalo semi-abierto o semi-cerrado) Dados dos números a, b tales
que a ≤ b. Los conjuntos
[a, b) = {x ∈ R : a ≤ x < b} y
(a, b] = {x ∈ R : a < x ≤ b}
se llaman intervalos semi-abiertos o semi-cerrados. Gráficamente se representan respectiva-
mente por:
a b
a b
De manera similar definimos los intervalos infinitos:
(a, ∞) = {x ∈ R : x > a}
[a, ∞) = {x ∈ R : x ≥ a}
(−∞, b) = {x ∈ R : x < b}
(−∞, b] = {x ∈ R : x ≤ b}
(−∞, ∞) = R,

1.2. INTERVALOS 15
estos intervalos respectivamente se representan gráﬁcamente por:
a ∞
a ∞
−∞ b
−∞ b
∞−∞
En los siguientes ejercicios realizar las operaciones que se indican
1. (0, 3) ∩ (1, 5) Sol.: (1, 3)
2.
1
2
, 3 ∪ [4, 10) ∩ [2, 8) Sol.: [2, 3] ∪ [4, 8)
3.
1
2
, 3 ∩ [4, 10) ∩ [2, 8) Sol.: ∅
4.
1
2
, 3 ∪ {[4, 10) ∩ [2, 8)} Sol.:
1
2
, 3 ∪ [4, 8)
5.
√
2, 6 ∩
π
2
, 10 Sol.:
π
2
, 6
6. {(2, 6) ∪ (6, 8]} ∩ 4,
200
2
Sol.: [4, 6) ∪ (6, 8]
7. ∩∞
k=1 1 +
1
k
, 5 +
1
4
Sol.: 2,
21
4
8. ∩∞
k=1 1 −
1
k
, 5 +
1
4
Sol.: 1,
21
4

1.3 Valor absoluto
El valor absoluto de un número es la distancia del número al cero, así el valor absoluto de
5 es 5, similarmente, puesto que la distancia de −5 a 0 es 5, el valor absoluto de −5 es 5.
De esta definición intuitiva deducimos que el valor absoluto de un número es un número no
negativo. A continuación definimos formalmente el concepto de valor absoluto.
Definición 1.29 El valor absoluto de un número real a se define por la regla:
|a| =
a si a ≥ 0
−a si a < 0
Ejemplo 1.1 |5| = 5, |−7| = − (−7) = 7, |0| = 0
De la definición anterior se deduce inmediatamente el siguiente teorema:
Teorema 1.30 Para cualquier a ∈ R se tiene:
1. |a|2
= a2
,
2. |a| = |−a|,
3. − |a| ≤ a ≤ |a|.
El valor absoluto además tiene las siguientes propiedades
|a| ≥ 0
|a| = 0 si y solo si a = 0
|a + b| ≤ |a| + |b| para cualesquiera a, b ∈ R
|ab| = |a| |b|
Establecemos estas propiedades en los siguientes teoremas. Se demuestran algunas, dejando
al lector la demostración de las restantes.
Teorema 1.31 Para cualquier a ∈ R, |a| ≥ 0.
Teorema 1.32 |a| = 0 si y solo si a = 0.
Desigualdad triangular
Teorema 1.33 |a + b| ≤ |a| + |b| para cualesquiera a, b ∈ R

1.3. VALOR ABSOLUTO 17
Demostración.
|a + b|2
= (a + b)2
= a2
+ 2ab + b2
= |a|2
+ 2ab + |b|2
≤ |a|2
+ 2 |a| |b| + |b|2
= (|a| + |b|)2
luego |a + b| ≤ |a| + |b| .
Observación. Observemos que:
|a − b| = |a + (−b)|
≤ |a| + |−b|
= |a| + |b|
luego: |a − b| ≤ |a| + |b| .
Teorema 1.34 Sea x, k ∈ R, k > 0, entonces |x| ≤ k, si y solamente si
−k ≤ x ≤ k.
Teorema 1.35 Sea x, k ∈ R, k > 0, entonces |x| ≥ k, si y solamente si
x ≤ −k o x ≥ k.
Teorema 1.36 Para cualesquiera a, b ∈ R, |a − b| ≥ |a| − |b|.
Demostración. En la demostración se hace uso de la desigualdad triangular.
|a| = |(a − b) + (b)|
≤ |a − b| + |b|
luego |a − b| ≥ |a| − |b|.
Teorema 1.37 Para cualesquiera a, b ∈ R, | |a| − |b| | ≤ |a − b|.
Demostración.
Por el teorema anterior |a| − |b| ≤ |a − b|. Por otra parte
|b| − |a| ≤ |b − a|
= |a − b|
de donde − |a − b| ≤ |a| − |b|, de estos resultados se tiene
− |a − b| ≤ |a| − |b| ≤ |a − b| ,
esto es:
||a| − |b|| ≤ |a − b| .

Teorema 1.38 Para todo a, b ∈ R, |a + b| =
a + b si a ≥ −b
−a − b si a < −b
Ejercicios resueltos
Ejercicio 1.1 Resolver |3x + 5| = 2.
Solución. Por deﬁnición de valor absoluto tenemos
|3x + 5| =
3x + 5 si 3x + 5 ≥ 0
− (3x + 5) si 3x + 5 < 0
o bien
|3x + 5| =



3x + 5 si x ≥ −
5
3
− (3x + 5) si x < −
5
3
El número −
5
3
divide a la recta real en dos intervalos, a saber, −∞, −
5
3
y −
5
3
, ∞ . por
tanto tenemos dos casos a discutir:
(a) x ∈ −∞, −
5
3
. En este caso la ecuación a resolver es
− (3x + 5) = 2
resolviendo, encontramos la solución x = −
7
3
∈ −∞, −
5
3
.
(b) x ∈ −
5
3
, ∞ . En este caso la ecuación a resolver es
3x + 5 = 2
resolviendo, encontramos la solución x = −1 ∈ −
5
3
, ∞ .
De (a) y (b) concluimos que la solución es el conjunto
−
7
3
, −1 .
Método abreviado. Consiste en ignorar los intervalos en donde se está trabajando. En
el ejemplo tenemos dos posibilidades:
(a) 3x+5 < 0. En este caso se tiene − (3x + 5) = 2, de donde x =
−7
3
, este número satisface
la ecuación dada.

1.3. VALOR ABSOLUTO 19
(b) 3x + 5 ≥ 0. En este caso se tiene 3x + 5 = 2, de donde x = −1, este número también
satisface la ecuación dada.
De (a) y (b) la solución es el conjunto
−7
3
, −1 .
Ejercicio 1.2 Resolver |x2
− 4x + 3| = 3.
Solución. Usaremos el método abreviado. Tenemos dos casos a discutir:
(a) x2
−4x+3 < 0, en este caso |x2
− 4x + 3| = − (x2
− 4x + 3) , por tanto la ecuación dada
se puede escribir como:
− x2
− 4x + 3 = 3,
esto es,
x2
− 4x + 6 = 0.
La última ecuación encontrada no tiene raíces, por tanto, en este caso la solución es ∅.
(b) x2
− 4x + 3 ≥ 0, en este caso |x2
− 4x + 3| = x2
− 4x + 3, por tanto la ecuación dada se
puede escribir como
x2
− 4x + 3 = 3,
esto es,
x2
− 4x = 0.
La última ecuación encontrada tiene por solución al conjunto {0, 4}. Los elementos de
este conjunto satisfacen la ecuación dada, por tanto la solución al problema es ∅∪{0, 4} =
{0, 4} .
1. Demostrar los teroremas que no presentan demostración.
2. Resolver: |x2
− x − 2| = 2,
Sol. : x =
1
2
+
1
2
√
17, x =
1
2
−
1
2
√
17, x = 0, x = 1.
3. Resolver: |x + 1| + 2x − 5 = x,
Sol. : x = 2.
4. Resolver:
2 + |4x − 2|
3x
= 1,
Sol. : ∅

5. Resolver: |x2
+ 4x − 22| = 1,
Sol. : x = −2 + 3
√
3, x = −2 − 3
√
3, x = 3, x = −7.
6. Resolver:
|x2
+ 4x − 10|
2x
= 1,
Sol.: x =
√
19 − 3, x =
√
11 − 1.
7. Resolver: |x + 1| + |x + 2| + |x + 3| = 6,
Sol : x = 0, x = −4.
8. Resolver: |x2
− 1| + |x2
− 4| = 5,
Sol.: x = ±
√
5, x = 0.
9. Resolver: |x2
− 1| + |x2
− 2| = 3,
Sol.: x = ±
√
3, x = 0.
10. Resolver: |x3
| + x − 10 = 0,
Sol. : x = 2.
11. Si |a| + |b| + |c| = 0, entonces a = b = c = 0
12. Demostrar: |ab| = |a| |b|
13. Demostrar: |an
| = |a|n
14. Demostrar: ||a| − |b|| ≤ |a − b|
1.4 Resolución de desigualdades con una variable
Resolver una desigualdad es encontrar valores que satisfacen la desigualdad dada, esto
es, al reemplazar dichos valores en lugar de la variable se obtiene una afirmación verdadera.
En esta sección, via ejercicios, se darán algunas técnicas para resolver desigualdades.
Definición 1.39 (puntos clave) Dada una expresión φ (x), denominaremos los puntos clave
de φ en un intervalo (L, U) a L, U y aquellos puntos que cumplen una de las siguientes
condiciones.
1. las x de (L, U) tal que φ (x) no está definida.
2. Las raíces de φ, esto es, los puntos r en donde φ (r) = 0.
Observación. Si no se dice nada acerca del intervalo
en donde se encuentra definida φ se asume L = −∞, U = ∞.
Dos puntos clave a, b serán llamados sucesivos si entre a y b no existe otro punto clave.

1.4. RESOLUCIÓN DE DESIGUALDADES CON UNA VARIABLE 21
Teorema 1.40 Sea φ (x) una expresión algebraica en la variable x. Sea (a, b) un intervalo
formado con dos puntos clave sucesivos de φ. Entonces φ (x) es estrictamente positiva o
negativa en todo el intervalo (a, b) .
Ejemplo 1.2 Consideremos φ (x) = 2x + 4. Los puntos clave son −∞, −2, ∞. Por tanto
podemos formar los siguientes intervalos: (−∞, −2) y (−2, ∞). Por el teorema precedente φ
será positiva o negativa en cada uno de los intervalos, así es suﬁciente averiguar el signo en
algún punto de cada uno de los intervalos.
1. Intervalo (−∞, −2) . Tomemos el punto −10 ∈ (−∞, −2) , en este punto
φ (−10) = 2 (−10) + 4 = −16 < 0,
por tanto en (−∞, −2) se tiene: 2x + 4 < 0.
2. Intervalo (−2, ∞) . Tomemos el punto 0 ∈ (−2, ∞) , en este punto
φ (0) = 2 (0) + 4 = 4 > 0,
por tanto en (−2, ∞) se tiene: 2x + 4 > 0.
Presentamos a continuación el resumen del análisis anterior
∞− ∞-2
- - - - - - - - - - - - - - + + + + + + + + + +






+42
deSignos
x
Observación. Los puntos que se toman son arbitrarios, solo hay que cuidar que se
encuentren dentro del intervalo que se está analizando.
Ejemplo 1.3 Consideremos φ (x) =
x
x2 − 9
. Los puntos clave son
−∞, −3, 0, 3, ∞.
Por tanto se tienen los siguientes intervalos a analizar:
1. Intervalo (−∞, −3) . Con x = −10 : φ (−10) =
−10
100 − 9
< 0.
2. Intervalo (−3, 0) . Con x = −2 : φ (−2) =
−2
4 − 9
> 0.
3. Intervalo (0, 3) . Con x = 2 : φ (2) =
2
4 − 9
< 0.
4. Intervalo (3, ∞) . Con x = 10 : φ (10) =
10
100 − 9
> 0.

En el siguiente cuadro presentamos el resumen del análisis anterior.
∞− ∞
+ + + + + - - - - - - - - - - + + + +
3− 30 







−9
deSignos
2
x
x
- - - - - - - -
Observación. Debemos observar que los signos van intercalados, esto en general no es
cierto, como se muestra en el siguiente ejemplo.
Ejemplo 1.4 Sea φ (x) = (x − 5)2
(x + 3) . Los puntos clave son
−∞, −3, 5, ∞.
Por tanto los intervalos a analizar son:
1. Intervalo (−∞, −3) : Tomamos x = −10 y entonces φ (−10) = −1575 < 0
2. Intervalo (−3, 5) : Tomamos x = 0 y entonces φ (0) = 25 > 0.
3. Intervalo (5, ∞) : Tomamos x = 10 y entonces φ (10) = 325 > 0.
Así tenemos:
∞− ∞
+ + + + + + +
3− 5 ( ) ( )





+− 35
deSignos
2
xx
- - - - - - - - + + + + + + +
Ejemplo 1.5 Consideremos ahora el siguiente problema: Resolver
x2
− 5
x − 1
> 0.
Sea φ (x) =
x2
− 5
x − 1
, los puntos clave son
−∞, −
√
5, 1,
√
5, ∞
Así tenemos 4 casos:
1. Intervalo −∞, −
√
5 : Con x = −10, φ (−10) = 100−5
−10−1
< 0.
2. Intervalo −
√
5, 1 : Con x = 0, φ (0) = 5 > 0.
3. Intervalo 1,
√
5 : Con x = 2, φ (2) = 4−5
2−1
< 0.
4. Intervalo
√
5, ∞ : Con x = 10, φ (10) = 100−5
10−1
> 0.

Presentamos a continuación un resumen:
∞− ∞
+ + + + + + + + - - - - - - - + + + + +
5− 51 







−
−
1
5
deSignos
2
x
x
- - - - - - - -
Por tanto la solución al problema dado es el conjunto de puntos en donde φ es mayor a cero,
esto es:
−
√
5, 1 ∪
√
5, ∞ .
Ejercicio 1.3 Resolver 2x2
+ x − 6 ≥ 0
Solución. Factorizando
2x2
+ x − 6 = (x + 2) (2x − 3) ,
así los puntos clave de φ (x) = 2x2
+ x − 6 son
−∞, −2, 3/2, ∞
1. Intervalo (−∞. − 2) : Con x = −10 se tiene φ (−10) = (−10 + 2) (−20 − 3) > 0.
2. Intervalo (−2, 3/2) : Con x = 0 se tiene φ (0) = (2) (−3) < 0.
3. Intervalo (3/2, ∞) : Con x = 10 se tiene φ (10) = (10 + 2) (20 − 3) > 0.
∞− ∞-2
+ + + + + + - - - - - - - - - - - - - + + + + + +
2
3






−+ 62
deSignos
2
xx
Por otra parte los números −2 y
3
2
son soluciones del problema, por tanto la solución del
problema es:
(−∞, −2) ∪ (3/2, ∞) ∪ {−2, 3/2} = (−∞, −2] ∪ [3/2, ∞)
Ejercicio 1.4 Resolver x3
− 3x + 2 ≥ 0
Solución. Factorizando tenemos
x3
− 3x + 2 = (x + 2) (x − 1)2
,

puesto que (x − 1)2
≥ 0 para todo x el único factor a analizar es (x + 2), luego:
x3
− 3x + 2 = (x + 2) (x − 1)2
≥ 0
si y solamente si x ≥ −2, por tanto la solución a este problema es el conjunto [−2, ∞) .
Observación 1. Los signos de x3
− 3x + 2 son






+− 23
deSignos
3
xx∞− ∞-2
+ + + + + + + + + +- - - - - - - - - - + + + + + + +
1
Observación 2.Si se reemplaza ≥ por >, la solución es (−2, 1) ∪ (1, ∞) . ¿porque?
Ejercicio 1.5 Resolver:
1
x − 1
+
2
x
− 2 ≤ 0.
Solución. La desigualdad dada se puede escribir como
(2x − 1) (x − 2)
x (x − 1)
≥ 0
Los puntos clave de φ (x) =
(2x − 1) (x − 2)
x (x − 1)
son:
−∞, 0,
1
2
, 1, 2, ∞
Analizamos ahora los intervalos que se forman con los anteriores puntos clave.
1. (−∞, 0) : Tomamos x = −1, φ (−1) =
(−3) (−3)
(−1) (−2)
> 0.
2. (0, 1/2) : Tomamos x = 1/4, φ (1/4) =
(2/4 − 1) (1/4 − 2)
(1/4) (1/4 − 1)
< 0.
3. (1/2, 1) : Tomamos x = 3/4, φ (3/4) =
(6/4 − 1) (3/4 − 2)
(3/4) (3/4 − 1)
> 0.
4. (1, 2) : Tomamos x = 3/2, φ (3/2) =
(3 − 1) (3/2 − 2)
(3/2) (3/2 − 1)
< 0.

5. (2, ∞) : Tomamos x = 10, φ (10) =
(20 − 1) (20 − 2)
(10) (10 − 1)
> 0.
( )( )
( ) 









−
−−
1
212
deSignos
xx
xx∞− ∞210
+ + + + + + - - - - - - -+ + +- - - - + + + +
2
1
Por lo anterior y tomando en cuenta que la desigualdad es del tipo ≥ la solución es:
(−∞, 0) ∪ [1/2, 1) ∪ [2, ∞) .
Resolver:
1. 2x3
− 7x2
− 5x + 4 > 0. Sol.: −1,
1
2
∪ (4, ∞) .
2. (4x − 15)3
(x − 1) < 0. Sol.: 1,
15
4
.
3. 9x4
− 36x3
+ 47x2
− 24x ≥ −4, Sol. : −∞,
1
3
∪
2
3
, 1 ∪ [2, ∞) .
4.
x
x2 + 1
+
1
2x
− x ≥ 0, Sol.: (−∞, −1] ∪ (0, 1]
5.
1
x
−
x
x − 2
≤ 0, Sol. : (−∞, 0) ∪ (2, ∞)
6.
x
x2 + 1
+
1
2x
≥ 1, Sol. : (0, 1]
7. x4
− 9 ≥ 7., Sol.: (−∞, −2] ∪ [2, ∞)
8.
x2
+ x − 9
x
> 1. Sol.: (−3, 0) ∪ (3, ∞) .
9. (x − 1) (x − 2) 1 −
1
x
> 0. Sol.: (−∞, 0) ∪ (2, ∞) .

10.
1
x − 2
+
2x
x − 1
− 1 ≥ 0. Sol.: −∞, −
√
3 ∪ (2, ∞) ∪ 1,
√
3 .
11. x6
+ 4x2
− 5 ≤ 0. Sol.: [−1, 1] .
12.
1
x
+
2
x2
> 3. Sol.: −
2
3
, 0 ∪ (0, 1) .
13.
1
x4
+
1
x3
+
1
x2
> 0. Sol.: x = 0.
14. x2
−
3x2
x − 1
< 0. Sol.: (1, 4) .
15.
(x2
− 1) (x2
− 4)
x2 − 9
≤ 0. Sol.: (−3, 2] ∪ [−1, 1] ∪ [2, 3) .
16.
1
x
+
1
x − 2
< 0. Sol.: (−∞, 0) ∪ (1, 2)
17.
1
x
+
1
x − 2
+
1
x − 4
< 0. Sol.: (−∞, 0) ∪ 2 − 2
√
3
3
, 2 ∪ 2 + 2
√
3
3
, 4 .
18. Resolver la desigualdad ax2
+ bx + c ≤ 0 donde a > 0. Considere los siguientes casos:
(a) ax2
+ bx + c = a (x − r1) (x − r2) donde r1, r2 ∈ R y r1 < r2.
(b) ax2
+ bx + c = a (x − r1) (x − r2) donde r1, r2 ∈ R y r1 = r2.
(c) b2
− 4ac < 0.
19. Resolver:
1
x
−
1
x2
< a, donde a es un número real no nulo.
1.5 Desigualdades con valor absoluto
Cuando se presentan desigualdades en donde se presentan expresiones con valor absoluto. Los
puntos se encuentran convirtiendo la desigualdad en otra donde no ﬁguren valores absolutos.
Ejemplo 1.6 Eliminaremos el valor absoluto en la expresión |x − 5|+2. Usando la deﬁnición
de valor absoluto obtenemos:
|x − 5| + 2 =
− (x − 5) + 2 si x ∈ (−∞, 5)
x − 5 + 2 si x ∈ [5, ∞)
,
esto es,
|x − 5| + 2 =
−x + 7 si x ∈ (−∞, 5)
x − 3 si x ∈ [5, ∞)
observemos que al eliminar el valor absoluto la expresión dada se convierte en dos expresiones
libres de valor absoluto.

1.5. DESIGUALDADES CON VALOR ABSOLUTO 27
Ejemplo 1.7
|3x + 11| |x| |x − 8| =



− (3x + 11) (−x) [− (x − 8)] x ∈ −∞, −
11
3
(3x + 11) (−x) [− (x − 8)] x ∈ −
11
3
, 0
(3x + 11) (x) [− (x − 8)] x ∈ [0, 8)
(3x + 11) (x) (x − 8) x ∈ [8, ∞)
,
simplificando se tiene:
|3x + 11| |x| |x − 8| =



−x (3x + 11) (x − 8) x ∈ −∞, −
11
3
x (3x + 11) (x − 8) x ∈ −
11
3
, 0
−x (3x + 11) (x − 8) x ∈ [0, 8)
x (3x + 11) (x − 8) x ∈ [8, ∞)
o más compactamente:
|3x + 11| |x| |x − 8| =



−x (3x + 11) (x − 8) x ∈ −∞, −
11
3
∪ [0, 8)
x (3x + 11) (x − 8) x ∈ −
11
3
, 0 ∪ [8, ∞)
Ejercicio 1.6 Resolver |x + 2| + |x − 2| + x − 5 ≥ 0
Solución. Usando la definición de valor absoluto, la expresión situada a la izquierda de la
desigualdad se puede escribir como:
|x + 2| + |x − 2| + x − 5 =



− (x + 2) − (x − 2) + x − 5 x ∈ (−∞, −2)
(x + 2) − (x − 2) + x − 5 x ∈ [−2, 2)
(x + 2) + (x − 2) + x − 5 x ∈ [2, ∞)
,
realizando operaciones algebraicas, lo anterior queda:
|x + 2| + |x − 2| + x − 5 =



−x − 5 x ∈ (−∞, −2)
x − 1 x ∈ [−2, 2)
3x − 5 x ∈ [2, ∞)
,
encontramos ahora las soluciones en los intervalos (−∞, −2), [−2, 2), [2, ∞). Luego de esto
la solución final será la unión de las soluciones encontradas en cada uno de los intervalos
mensionados.
(a) Caso x ∈ (−∞, −2) . En este caso con φ1 (x) = −x − 5 los puntos clave de φ1 son
−∞, −5, −2.
Procedemos a analizar los intervalos:

1. Intervalo (−∞, −5) : Con x = −10, φ1 (−10) = 10 − 5 > 0.
2. Intervalo (−5, −2) : Con x = −3, φ1 (−3) = − (−3) − 5 < 0.
Observando además que φ1 (−5) = 0, la solución es
(−∞, −5] .
(b) Caso x ∈ [−2, 2) . En este caso con φ2 (x) = x − 1 los puntos clave son
−2, 1, 2
1. Intervalo (−2, 1) : Con x = 0, φ2 (0) = 0 − 1 < 0.
2. Intervalo (1, 2) : Con x = 1.5, φ2 (1.5) = 1.5 − 1 > 0
Tomando en cuenta que φ2 (1) = 0, la solución es
[1, 2) .
(c) Caso x ∈ [2, ∞) . En este caso con φ3 (x) = 3x − 5 los puntos clave son:
2, ∞
(observemos que 5/3 no es un punto clave ¿Porque?), así se tiene que analizar un solo
intervalo:
Intervalo (2, ∞) : Con x = 4, φ3 (4) = 12 − 5 > 0.
Además observamos que φ3 (2) = 1 > 0, por tanto la solución es
[2, ∞) .
De lo anterior concluimos que la solución es:
(−∞, −5] ∪ [1, 2) ∪ [2, ∞) = (−∞, −5] ∪ [1, ∞) .
Gráﬁco de |x + 2| + |x − 2| + x − 5 es:
522 −+−++ xxx
y
5− 2 x
6
1
3−

Ejercicio 1.7 Resolver |x + 2| − |x − 2| + x2
≤ 0.
Solución. Nuevamente la expresión de la izquierda de la desigualdad se puede escribir
de la siguiente manera
|x + 2| − |x − 2| + x2
=



x2
− 4 x ∈ (−∞, −2)
x2
+ 2x x ∈ [−2, 2)
x2
+ 4 x ∈ [2, ∞)
(a) x ∈ (−∞, −2) . En este caso con φ1 = x2
− 4, los puntos clave son −∞, −2. En el único
intervalo a analizar con x = −10 encontramos φ1 (−10) = 100 − 4 > 0, por tanto, en
este caso la solución es
∅.
(b) x ∈ [−2, 2) . Con φ2 (x) = x2
+ 2x, los puntos clave son −2, 0, 2.
1. Intervalo (−2, 0) : Con x = −1, φ2 (−1) = 1 − 2 < 0.
2. Intervalo (0, 2) : Con x = 1, φ2 (1) = 1 + 2 > 0.
Tomando en cuenta que x = −2 y x = 0 son soluciones del problema, la solución
es
[−2, 0]
(c) x ∈ [2, ∞) . En este caso claramente x2
+ 4 > 0 para todo x ∈ [2, ∞) , así en este caso la
solución es
∅.
De lo anterior concluimos que la solución es
∅ ∪ [−2, 0] ∪ ∅ = [−2, 0]
El gráﬁco de |x + 2| − |x − 2| + x2
es:
2− 2
2
22 xxx +−−+
y
x
8

Ejercicio 1.8 Resolver
|x + 2| − |x − 2| + x2
x − 5
≤ 0.
Solución. Resolviendo como en el anterior caso encontramos que la solución es el con-
junto: (−∞, −2] ∪ [0, 5). El gráﬁco de
|x + 2| − |x − 2| + x2
x − 5
es:
x
y
10−
20−
2− 0
5
22 2
−
+−−+
x
xxx
Ejercicio 1.9 Resolver |x2
− 2x − 3| − x2
≥ 0.
Solución. Un cálculo inmediato da :
x2
− 2x − 3 =
x2
− 2x − 3 si x ∈ (−∞, −1] ∪ [3, ∞)
− (x2
− 2x − 3) (−1, 3)
luego
x2
− 2x − 3 − x2
=
x2
− 2x − 3 − x2
si x ∈ (−∞, −1) ∪ [3, ∞)
− (x2
− 2x − 3) − x2
si x ∈ [−1, 3)
realizando operaciones algebraicas lo anterior queda como
x2
− 2x − 3 − x2
=
−2x − 3 si x ∈ (−∞, −1) ∪ [3, ∞)
−2x2
+ 2x + 3 si x ∈ [−1, 3)
(a) x ∈ (−∞, −1] ∪ [3, ∞) . Sea φ1 (x) = −2x − 3, los puntos clave son
−∞, −3/2, −1, 3, ∞
1. Intervalo (−∞, −3/2) : Con x = −2, φ1 (−2) = 4 − 3 > 0.
2. Intervalo (−3/2, −1) : Con x = −1.2, φ1 (−1.2) = 2.4 − 3 < 0.
3. Intervalo (3, ∞) : Con x = 5 : φ1 (5) = −10 − 3 < 0.

Así la solución es:
(−∞, −3/2] .
(notemos que −3/2 es solución del problema)
(b) x ∈ [−1, 3) . Sea φ2 (x) = −2x2
+ 2x + 3 = 0, los puntos clave son
−1,
1 −
√
7
2
,
1 +
√
7
2
, 3
1. Intervalo −1, 1−
√
7
2
: Con x = −0.9, φ2 (−0.9) = −0.42 < 0.
2. Intervalo 1−
√
7
2
, 1+
√
7
2
: Con x = 0, φ2 (0) = 3 > 0.
3. Intervalo 1+
√
7
2
, 3 : Con x = 2, φ2 (2) = −8 + 4 + 3 < 0.
Así la solución en este caso es:
1 −
√
7
2
,
1 +
√
7
2
.
(nuevamente debe notar que los extremos del anterior intervalo son soluciones del
problema)
De (a) y (b) la solución es
−∞, −
3
2
∪
1 −
√
7
2
,
1 +
√
7
2
Ejercicio 1.10 Resolver:
|x − 14|
x2 − 4
+ 5 ≥ 0.
Solución. Usando la deﬁnición de valor absoluto encontramos
|x − 14|
x2 − 4
+ 5 =



−x + 14
x2 − 4
+ 5 si x ∈ (−∞, 14)
x − 14
x2 − 4
+ 5 si x ∈ [14, ∞)
(a) x ∈ (−∞, 14) . En este caso la desigualdad queda como:
−x + 14
x2 − 4
+ 5 =
(5x − 6) (x + 1)
x2 − 4
≥ 0,
con φ1 (x) =
(5x − 6) (x + 1)
x2 − 4
, los puntos clave son:
−∞, −2, −1,
6
5
, 2, 14
Con estos puntos analizamos los siguientes intervalos:

1. (−∞, −2) : Con x = −3, φ1 (−3) =
(−15 − 6) (−3 + 1)
9 − 4
> 0.
2. (−2, −1) : Con x = −1.5, φ1 (−1.5) =
(−7.5 − 6) (−1.5 + 1)
(1.52 − 4)
< 0.
3. −1, 6
5
: Con x = 0, φ1 (0) =
(−6) (1)
−4
> 0
4. 6
5
, 2 : Con x = 1.5, φ1 (1.5) =
(7.5 − 6) (1.5 + 1)
1.52 − 4
< 0
5. (2, 14) : Con x = 10, φ1 (10) =
(50 − 6) (10 + 1)
100 − 4
> 0
observemos además que 6
5
es solución del problema, así la solución en este caso es:
(−∞, −2) ∪ −1,
6
5
∪ (2, 14)
(b) x ∈ [14, ∞) . En este caso la desigualdad queda como:
x − 14
x2 − 4
+ 5 =
5x2
+ x − 34
x2 − 4
≥ 0
Las raíces de φ2 (x) =
5x2
+ x − 34
(x − 2) (x + 2)
son −2.709.. y 2.5095 que caen fuera del intervalo
en donde se está trabajando por tanto los únicos puntos clave son 14, ∞. En el único
intervalo a analizar tomamos x = 20 y entonces φ2 (20) > 0, por otra parte x = 14 es
solución del problema, por tanto la solución en este caso es
[14, ∞) .
De (a) y (b) concluimos que la solución es:
(−∞, −2) ∪ −1,
6
5
∪ (2, 14) ∪ [14, ∞) ,
esto es,
(−∞, −2) ∪ −1,
6
5
∪ (2, ∞) .

Resolver las siguientes desigualdades.
1.
1
x + 1
< 1,
Sol.: (−∞, −2) ∪ (0, ∞).
2.
x |x − 3| − |x + 3|
|x2 − 4| − 4
> 0 en el intervalo [0, ∞)
Sol.: 0,
√
8 ∪ 2 +
√
7, ∞
3.
|2x + 3| − x |x|
|x − 1|
> 0
Sol.: (−∞, 1) ∪ (1, 3)
4.
|x − 5|
x − 2
+ x − 5 ≥ 0,
Sol.: (2, 3] ∪ [5, ∞) .
5. |x + 1| + x |x − 5| − 2 ≤ 0.
Sol.: −∞, 3 − 2
√
2 .
6. |2x − 1| + |4x − 5| − 8 ≥ 0.
Sol.: −∞, −
1
3
∪
7
3
, ∞ .
7.
3 + |2x + 5| + x
x
≥ 3,
Sol. : (0, ∞).
8. −6 + |3x − 1| x − 2x > 0,
Sol. : (2, ∞).
9. |2x + 1| + 3x − |5x − 3| > 3,
Sol. :
1
2
, ∞ .
10. |2x + 1| − 3x − |5x − 3| < 0,
Sol. : −∞,
1
2
∪
2
3
, ∞ .
11. |x2
− 4| + 3x ≤ 5,
Sol.:
−3 − 3
√
5
2
,
3 −
√
5
2
.

12. |x2
− 9| − 2 |x| + x < 10,
Sol.:
−3 −
√
85
2
,
1 +
√
77
2
13.
|x (x + 3)|
|x + 1|
≥ 2,
Sol.: −∞,
−5 −
√
17
2
∪ [−2, −1) ∪ −1,
−5 +
√
17
2
∪ [1, ∞)
14.
|2x| − 5 |x + 2| + x2
− x
|x| + x
> x,
Sol.: ∅
15.
|x − 2| − |x + 2|
x
< 0,
Sol. : (−∞, 0) ∪ (0, ∞)
16. |x| + |x + 1| ≤ 2,
Sol.: −
3
2
,
1
2
17. |x| + |x + 1| + |x + 2| ≤ 4,
Sol. : −
7
3
,
1
3
.
18. |x| + |x + 1| + |x + 2| + |x + 3| ≤ 7,
Sol. : −
13
4
,
1
4
19. n
k=0 |x + k| ≤
n (n + 1)
2
+ 1, n ∈ N.
Sol.: (Conjetura: ¿Es la solución el intervalo −
n (n + 1) + 1
n + 1
,
1
n + 1
?
20. |x|7
+ |x5
− 1| ≥ 0,
Sol. : R
21. |x| + |x − 1| + x < 0,
Sol. : ∅
22. |x| − |x − 1| + x ≥ 0,
Sol. :
1
3
, ∞

23.
1
|x|
− x2
≥ 0,
Sol. : [−1, 0) ∪ (0, 1]
24.
1
|x|
− |x| + 1 ≤ 0,
Sol. : −∞,
−1 −
√
5
2
∪
1 +
√
5
2
, ∞
25. x −
1
2
+ 2x > 2,
Sol. : 5
6
, ∞
26. x2
+ |x2
− 4x + 3| + |x| − 3 ≤ 0,
:Sol.: 0,
6
5
27. 2x |x| − |x2
− 1| − 3x + 1 ≥ 0,
Sol.: −
1
2
−
1
6
√
33, 0 ∪ {1} ∪ [2, ∞)
28.
|x|
|x2 + 1|
+
1
2 |x|
− 1 ≥ 0,
Sol.: [−1, 0) ∪ (0, 1]
29.
1
|x + 1|
−
1
|x|
+
1
|x − 1|
≥ 0,
Sol.:(−∞, −1) ∪ −1, 1 −
√
2 ∪ −1 +
√
2, 1 ∪ (1, ∞)
30.
x + x − 2
2 + |x − 3|
< 3,
Sol.: R
31.
1
|x + 1|
+
1
x
≥ 2,
Sol. : −
1
2
−
1
2
√
3, −1 ∪ −1, −
1
2
√
2 ∪ 0,
1
2
√
2
32. |x7
+ 33x2
+ 27| + |x| + x6
< 0,
Sol. : ∅.
33.
|2x − 1| + 2x − 1
|x + 1| + x + 1
> 0
Sol.:
1
2
, ∞

Capítulo 2
Funciones
2.1 Introducción
El concepto de función fué introducida en matemáticas por Leibniz. En esta sección se dará
una descripción intuitiva del concepto de Función.
Sean X, Y conjuntos. Una función es una correspondencia de los elementos de X con los
elementos de Y tal que a cada x ∈ X le corresponde uno y solamente un elemento de Y.
Ejemplo 2.1 Sea X un conjunto de personas, Y = Z, (recuerde Z es el conjunto de enteros).
Consideremos la siguiente correspondencia entre estos dos conjuntos: A cada persona de X
le corresponde su edad. Claramente esta correspondencia es una función.
Ejemplo 2.2 Sea X = N, Y un conjunto de familias de cierta comunidad. Consideremos
la siguiente correspondencia: A cada número de n ∈ N le corresponde una familia de Y con
exactamente n miembros. Esta correspondencia en general no es una función pues pueden
existir familias con el mismo número de miembros.
Ejercicio 2.1 Si X es el conjunto de todas las familias y Y = N ¿es función la siguiente
correspondencia?: A cada familia le corresponde el número de miembros de la familia.
Notación Para denotar una función usaremos letras como f, g u otra letra. Si x ∈ X y a x
le corresponde y ∈ Y , y la letra usada es f escribiremos
f(x) = y ó x
f
→ y
37

38 CAPÍTULO 2. FUNCIONES
y diremos que la ”imagen” de x por la función f es f(x).
X Y
f
x f(x)
Para decir que f es una función de X en Y escribiremos f : X → Y , el conjunto X se
llamará dominio de f y se denotará con Df , el conjunto Y se llamará codominio de f y se
denotará con Cf . Los valores de y ∈ Y tales que son imagenes de algún x ∈ X forman el
conjunto que se llamará rango de f y se denotará con Rf , es claro que Rf ⊂ Cf . Gráficamente:
Dominio
Rango
Observemos que ningún elemento del dominio de una función puede carecer de imagen.
Finalmente observemos que una función1
f : X → Y consta de tres partes:
1
Formalmente una función se define de la siguiente manera:
Sean X,Y conjuntos. Una función f de X en Y denotado por f : X → Y es el conjunto de pares ordenados
f = {(x, f (x)) : x ∈ Df }
tales que:
• Para todo x ∈ X, existe un y ∈ Y tal que f (x) = y
• Para cualesquiera x0, x1 ∈ X, si x0 = x1 entonces f (x0) = f (x1) .
Observemos que f ⊂ X × Y , además claramente: (x, y) ∈ f significa y = f(x).

2.1. INTRODUCCIÓN 39
1. El conjunto X llamado dominio,
2. el conjunto Y llamado codominio y
3. una regla que permita asociar, de modo bien determinado (único) un elemento x ∈ X
con un elemento y = f(x) ∈ Y .
Ejemplo 2.3 Sea P el conjunto de todos los polígonos del plano, R el conjunto de números
reales y f : P → R una función que asocia a cada polígono x en P su área f(x).
Ejemplo 2.4 Sea R+
el conjunto de los reales positivos, C el conjunto de cuadrados en el
plano. f : R+
→ C es la correspondencia que a cada x ∈ R+
le hace corresponder un
cuadrado en C tal que su área sea x. Es claro que f no puede ser función pues por ejemplo
para x = 1 se tienen varios cuadrados como imagen como se muestra a continuación.
1
R2R+
1
2
3
1
f
Del gráﬁco f(1) es el cuadrado con vértices (0,0), (1,0), (1,1), (0,1), pero también f(1) puede
ser el cuadrado con vertices (0,2), (1,2), (1,3), (0,3) pues ambos cuadrados tienen área igual
a 1.
Ejemplo 2.5 Sean X = Y = R, considérese la función que asigna a cada elemento x de X el
elemento x2
de Y , entonces tenemos f(x) = x2
para cada x ∈ R. El gráﬁco en coordenadas

cartesianas es:
-1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5
0.6
1
1.6
2
x
y
( ) 2
xxf =
Ejercicio 2.2 Dar un ejemplo de una correspondencia de conjuntos que no sea función.
Solución. Sea A = {a, b, c}, B = {u, v}. Consideremos la correspondencia
a −→ u
b −→ v
c −→ u
c −→ v
No puede ser función pues f(c) = u y f(c) = v, asi el elemento c tendría dos imagenes, lo que
no está de acuerdo con la deﬁnición de función.
Ejercicio 2.3 Sea X = {a, b, c, d, }, Y = {u, v, w}, ¿es función la siguiente correspondencia?
X Ya
u
b
v
c
w
d
Solución: No puede ser función pues d ∈ X no tiene imagen en Y . Si asignamos f(d) = w

obtenemos:
X Ya
u
b
v
c
w
d
que es una función. Intuitivamente observemos que del codominio X no pueden salir ”dos
flechas” de un mismo elemento, sin embargo a un elemento de Y pueden llegarle ”más de una
flecha ” sin perder la condición de función.
Ejercicio 2.4 Sea f la correspondencia de números reales definida por f(x) =
√
4 − x2, en-
contrar Df , Cf y Rf y bosquejar el gráfico de f.
Solución.
Cálculo del dominio. Es claro que toda la recta real R no puede ser el dominio de f
pues por ejemplo x = 5 no tiene imagen, ya que f(5) =
√
4 − 25 =
√
−21, luego f(5) no
puede existir. Para encontrar el Df encontramos los valores de x tales que
√
4 − x2 exista,
esto ocurre cuando
4 − x2
≥ 0,
es decir cuando −2 ≤ x ≤ 2, luego Df = [−2, 2].
El codominio. El codominio de f es el conjunto Cf = R.
Cálculo del rango. El rango está formado por los puntos y ∈ Cf tales que existe x ∈ Df
y f(x) = y. Puesto que f(x) =
√
4 − x2 tenemos y =
√
4 − x2 para x ∈ [−2, 2]. De la
igualdad y =
√
4 − x2 despejamos la variable x obteniendo x = 4 − y2 que existe solamente
si y ∈ [−2, 2] como por la definición de esta función y ≥ 0, el rango de f es Rf = [0, 2].
Bosquejamos ahora la gráfica. La gráfica se bosqueja encontrando, como es usual, la imagen
de algunos puntos, mientras mas puntos se tome se tendrá un mejor bosquejo de la gráfica.
Para el ejemplo tomamos los siguientes puntos mostrados en forma tabular.

x f (x)
−2 0.0000
−1.8 0.8718
−1.6 1.2000
−1.4 1.4283
−1.2 1.6000
−1.0 1.7321
−0.8 1.8330
−0.6 1.9079
−0.4 1.9596
−0.2 1.9900
0.0 2.0000
x f (x)
2 0.0000
1.8 0.8718
1.6 1.2000
1.4 1.4283
1.2 1.6000
1.0 1.7321
0.8 1.8330
0.6 1.9079
0.4 1.9596
0.2 1.9900
0.0 2.0000
-2 -1
0
1 2
1
2
x
( ) 2
4 xxf −=
y
Ejercicio 2.5 Sea f(x) =
1
x
, encontrar Df , Cf y Rf y bosquejar la gráfica.
Solución. f(x) =
1
x
está definida para todo número real exepto para x = 0, luego Df =
R − {0}. El codominio es Cf = R. El rango Rf es R − {0} pues el 0 es el único elemento de
Cf que no tiene una preimagen, esto es, no existe x ∈ Df tal que f(x) = 0. La gráfica es:
X
Y

Ejercicio 2.6 Hallar el dominio de f(x) =
√
3 + x + 4
√
7 − x.
Solución. Puesto que la raíz n−enésima de números negativos cuando n es par no existe
en el sistema de números reales, el dominio de f estará dado por los valores de x tales que
3 + x ≥ 0 y 7 − x ≥ 0.
La solución para la primera desigualdad es [−3, ∞) y para la segunda es (−∞, 7], por tanto
el dominio de f es Df = (−∞, 7] ∩ [−3, ∞) = [−3, 7].
Ejercicio 2.7 Hallar el dominio de la función f(x) =
1
3
√
x − 1
, y bosquejar la gráﬁca.
Solución. El denominador existe para todo valor de x, pero se anula en x = 1, así Df =
R − {1}.
X
Y
Ejercicio 2.8 Hallar el dominio de f (x) =
x
x2 − 4
.
Solución. Debemos tener
x
x2 − 4
≥ 0; resolviendo obtenemos Df = (−2, 0] ∪ (2, ∞).
Ejercicio 2.9 Hallar el dominio de f (x) = 3
√
−x +
x
x2 − 4
.
Solución. Puesto que 3
√
−x existe para todo número real, analizamos
x
x2 − 4
, esta raíz
cuadrada existe si
x
x2 − 4
≥ 0, esto es cuando x ∈ (−2, 0] ∪ (2, ∞), así el dominio es Df =
(−2, 0] ∪ (2, ∞) .

2.2 Funciones Especiales
2.2.1 Función Identidad
Sea X un conjunto. La función i : X → X definida por i(x) = x se llama función identidad.
Para esta función Di = Ri. Si X = R, la gráfica es:
X
Y
2.2.2 Funcion Constante
Sea X un conjunto, Y = R, c ∈ R. La función definida por f(x) = c para todo x ∈ X se
conoce como función constante, aquí Df = X, Cf = R, Rf = {c}. Si X = R su grafico es:
X
Y
c

2.2. FUNCIONES ESPECIALES 45
2.2.3 Función Valor Absoluto
La función f : R → R definida por f(x) = |x| =
x si x ≥ 0
−x si x < 0
se llama función valor
absoluto, Df = Cf = R, Rf = R+
∪ {0}. Su gráfico es:
X
Y
2.2.4 La Función Lineal
Sea f : R → R definida por f(x) = ax + b, con a, b ∈ R, se llama función lineal y para esta
función Df = Cf = Rf = R. La gráfica de f(x) = 3x + 1, es:
X
Y
-1
1
1
3
2.2.5 Función Potencia
La función f : R → R definida por f(x) = xn
, con n entero positivo, se llama función potencia.
Para esta función Df = R, Cf = R, Rf = R+
si n es par y Rf = R si n es impar. Las gráficas

para n par y n impar tienen la siguiente forma, respectivamente:
-2 -1 0 1 2
1
2
3
4
-2 -1 0 1 2
-5
-3
-1
1
3
5
2
xy =
100
xy =
3
xy =
101
xy =
x
y
x
y
2.2.6 Función Polinomial
La función polinómica Pn : R → R de grado n está definido por:
Pn(x) = cnxn
+ cn−1xn−1
+ ... + c1x + c0 =
n
k=0
cn−kxn−k
Donde cn = 0. Para la función polinómica DPn = CPn = R.
Para obtener la forma de la gráfica de la función polinomial es útil la siguiente propiedad
de los polinomios, llamada: propiedad asintòtica.
Propiedad asintótica.Para valores |x| muy grandes:
cnxn
+ cn−1xn−1
+ ... + c1x + c0 cnxn
Ejemplo 2.6 Si f (x) = x6
− 14x4
+ 49x2
− 36 para valores grandes de x se tiene:
x x6
− 14x4
+ 49x2
− 36 x6
10 864864 106
100 9. 98600 × 1011
1012
1000 9. 99986 × 1017
1018
10000 9. 99999 × 1023
1024
100000 1. 0 × 1030
1030
El comportamiento asintótico muestra que las gráficas de los polinomios de grado par,
para valores x muy grandes, se parecen a la gráfica de la función potencia xn
para n par,
para x cerca de cero se comportará de acuerdo al número de raíces que tenga el polinomio.
Un comportamiento análogo se tiene para polinomios de grado impar. A continuación se
muestran gráficos para explicar este comportamiento.

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
-50
50
100
150
200
-15 -10 -5 0 5 10 15
200
400
600
800
1000
-15 -10 -5 0 5 10 15
200
400
600
800
1000
( ) ( )( )( )941 222
−−−= xxxxf ( ) 6
xxf =( ) ( )( )( )941 222
−−−= xxxxf
x
y
xx
y y
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
-200
-100
100
200
-4 -3 -2 -1 1 2 3 4
-20000
-10000
0
10000
20000
-4 -3 -2 1 2 3 4
-20000
-10000
0
10000
20000
-1
( ) 7
xxf =( ) ( )( )( )941 222
−−−= xxxxxf ( ) ( )( )( )941 222
−−−= xxxxxf
xxx
yyy
2.2.7 Las funciones Trigonométricas
Las funciones trigonométricas son sin x, cos x, tan x, cot x ,sec x, csc x. Las gráﬁcas de estas
funciones se muestran a continuación.
)sen(xy =
y
x
1−
1
π20
2
π
2
3π
π
( )xy cos=
π22
3π
π2
π0
1
1−
y
x

-6
-4
-2
0
2
4
6
2
π
2
3ππ π2
( )xy tan=
x
y
2
π
2
3π π20 π x
5
5−
y
( )xy cot=
Otras funciones trigonométricas son las inversas de las anteriores como el arcoseno, arco-
coseno, arcotangente, que se denotan respectivamente como arcsin x, arccos x, arctan x, etc.
Estas funciones se estudian más adelante.
2.2.8 La función Exponencial
La función f : R → R definida por f(x) = ax
o f(x) = a−x
con a > 1 se llama función
exponencial. f(x) = ax
exponencial positiva y f(x) = a−x
se llama exponencial negativa.
Sus gráficas cuando a = 3 son respectivamente:
X
Y
1
f(x) = 3x
X
Y
1
f(x) = 3−x
Observemos que si x decrece a −∞, f (x) = ax
se acerca a cero (sin llegar nunca a el).
Similarmente si x crece a +∞, f (x) = ax
crece a infinito.
Observemos también que la gráfica de la función exponencial siempre pasa por (0, 1).
Finalmente notemos que el rango es (0, ∞) .

2.2.9 La función Logarítmica
La función f : R+
→ R definida por f(x) = loga x se llama logaritmo de x en base a, aquí
suponemos que a > 1. El logaritmo de x en base a es un número y tal que ay
= x, esto es,
las expresiones
y = loga x y ay
= x
son equivalentes.
El dominio de la función logaritmo es R+
y el codominio R. Algunas propiedades de la función
logaritmo son:
• a) loga a = 1
• b) loga 1 = 0
• c) loga(xz) = loga x + loga z
• d) loga(
x
z
) = loga x − loga z
• e) loga(xz
) = z · loga x
La gráfica de la función logaritmo tiene el siguiente aspecto:
X
Y
1
f(x) = logax
Las bases más usadas son a = 10 y a = e 2.718282. Si a = 10 se escribe log x en vez de
log10 x y se conoce con el nombre de logaritmo decimal. Si a = e se escribe ln x en vez de
loge x y se llama logaritmo neperiano o natural.
2.2.10 La función mayor entero
f : R → R definida por f(x) = [x] se conoce con el nombre de función mayor entero. [x] es
el mayor entero menor o igual a x asi [2.3] = 2, [−4.37] = −5, [1] = 1, etc.

Para esta función Df = R, Rf = Z.
X
Y
f(x) = [x]
−2 −1 0 1 2
−2
−1
1
2
2.2.11 Funciones Hiperbólicas
Funciones hiperbólicas son el seno hiperbólico, coseno hiperbólico, tangente hiperbólico, etc.
Se deﬁnen estas funciones como:
sinh x =
ex
− e−x
2
coth x =
1
tanh x
=
ex
+ e−x
ex − e−x
, x = 0
cosh x =
ex
+ e−x
2
sech x =
1
cosh x
=
2
ex + e−x
tanh x =
sinh x
cosh x
=
ex
− e−x
ex + e−x
csch x =
1
sinh x
=
2
ex − e−x
, x = 0
A continuación se presenta un bosquejo del gráﬁco de las funciones coseno hiperbólico y seno
hiperbólico:
X
Y
cosh(x)
1
X
Y
senh(x)

2.3. OPERACIONES CON FUNCIONES 51
1. Graficar f (x) = xn
cuando n = 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8.
2. Graficar las funciones cos x, tan x, sec x, csc x, cot x.
3. Graficar f (x) = tanh x, coth x, sec hx, csc hx.
4. Graficar f (x) = 2x
y 2−x
.
5. Graficar f (x) = log1
2
x. (El logaritmo de x en base 1
2
)
2.3 Operaciones con funciones
En esta sección se definen las siguientes operaciones: suma, resta, producto, división y com-
posición. Antes de empezar con este tema se define la igualdad de funciones.
Definición 2.1 Dos funciones f y g son iguales, lo que escribimos f = g si tienen un mismo
dominio D y f(x) = g(x) para todo x ∈ D.
2.3.1 Suma y Resta
Sean f y g funciones con dominios Df y Dg respectivamente, entonces f + g y f − g son
funciones con dominio Df ∩ Dg y reglas de correspondencia.
(f + g)(x) = f(x) + g(x) y (f − g)(x) = f(x) − g(x)
Ejemplo 2.7 Sean f, g : R → R definidas por f(x) = −x2
− x, g(x) = x2
− 2, entonces la
función h = f + g está definida por h(x) = f (x) + g (x) = −x − 2, observemos además que
el dominio de h es R .
2.3.2 Producto y División
Sean f y g funciones con dominios Df , y Dg respectivamente, entonces fg es una función con
dominio Df ∩ Dg con la regla de correspondencia
(fg)(x) = f(x)g(x)
f
g
es una función con dominio Df ∩ (Dg − {x : g(x) = 0}) y la regla de correspondencia
f
g
(x) =
f(x)
g(x)

Ejemplo 2.8 Sean f, g : R → R definidas por f(x) = x + 2, g(x) = 2 (x − 1) ,entonces
(fg) (x) = f (x) g (x) = 2(x + 2)(x − 1).
Por otra parte
f
g
(x) =
f (x)
g (x)
=
x + 2
2x − 2
.
Un caso particular muy importante es cuando f es una función constante, digamos f(x) =
c, entonces (cf) (x) = cf (x). En particular si c = −1, se tiene (−f) (x) = −f (x).
Ejemplo 2.9 Sea f(x) = x2
+ x − 2, entonces (−f) (x) = −x2
− x + 2.
2.3.3 Recíproco de una función
Consideremos ahora el problema siguiente : Dado f, encontrar g tal que fg = 1 (la función
constante 1). Por definición (fg) (x) = f (x) · g (x) ,esto sugiere definir g como g(x) =
1
f(x)
,
claro esta para puntos x en donde f(x) = 0. La función g se conoce como el recíproco de f.
Ejemplo 2.10 Si f(x) = x2
+ x − 2, entonces el reciproco es g(x) =
1
x2 + x − 2
.
2.3.4 Composición de Funciones
Definición 2.2 Sean g y f funciones, la composición de g con f , denotada por f ◦ g (se lee
”g compuesta con f ”) es la función cuyo dominio es el conjunto
A = {x ∈ Dg : g(x) ∈ Df }
cuya regla de correspondencia es (f ◦ g)(x) = f(g (x)).
El siguiente esquema ilustra la anterior definición.
X Y Z
g f
fog
x g(x) f(g(x))

Aquí suponemos que g tiene dominio en X y rango en Y y f tiene dominio en Y y rango
en Z, entonces f ◦ g tiene dominio en X y rango en Z. El dominio de f ◦ g son los elementos
de X cuya imagen g (x) está en Df .
Ejemplo 2.11 Consideremos las funciones:
g f
1
2
3
4
-2
0
1
3
5
8
0
1
5
8
6
8
10
12
14
ZWYX
Para este ejemplo A = {x ∈ Dg : g(x) ∈ Df } = {2, 3}, Luego tenemos
(f ◦ g) (2) = f(g (2)) = f (0) = 6,
(f ◦ g) (3) = 8
Observemos que (f ◦ g) (1) y (f ◦ g) (4) no estan definidas.
Ejemplo 2.12 Consideremos las funciones f, g : R → R definidas por f(x) = x + 1 y
g(x) = x2
, entonces
(f ◦ g)(x) = f(g(x)) = f(x2
) = x2
+ 1
y
(g ◦ f)(x) = g(f(x)) = g(x + 1) = (x + 1)2
Observemos que f ◦ g = g ◦ f, en general la igualdad no es válida.
Teorema 2.3 Si f g y h son funciones. Se verifica:
• a) (f ◦ g) ◦ h = f ◦ (g ◦ h)
• b) I ◦ f = f ◦ I, donde I es la función identidad
• c) (f + g) ◦ h = f ◦ h + g ◦ h
• d) (fg) ◦ h = (f ◦ h)(g ◦ h)

Ejercicio 2.10 Sean f, g : R → R deﬁnidas por f(x) = x2
− x y g(x) = 4 − x2
:
a) Calcular f + g y f − g.
b) Calcular fg y
f
g
.
c) Calcular f ◦ g y g ◦ f.
Solución. a)
(f + g)(x) = f(x) + g(x)
= x2
− x + 4 − x2
= −x + 4
(f − g)(x) = f(x) − g(x)
= x2
− x − (4 − x2
)
= 2x2
− x − 4
b)
(fg)(x) = f(x)g(x)
= (x2
− x)(4 − x2
)
f
g
(x) =
f(x)
g(x)
=
x2
− x
4 − x2
c)
(f ◦ g)(x) = f(g(x))
= f(4 − x2
)
= (4 − x2
)2
− (4 − x2
)
(g ◦ f)(x) = g(f(x))
= g(x2
− x)
= 4 − (x2
− x)2
Ejercicio 2.11 Si
f(x) =
3x + 4 si x ∈ [0, 2]
−x + 1 si x ∈ (2, 5]
y
g(x) =
x2
si x ∈ [0, 3)
4 si x ∈ [3, 6]
a) Graﬁcar f y g
b) Calcular f + g y f − g
c) Calcular fg
d) Calcular f ◦ g

Solución. a)
-5
-1
4
10
2 5
4
9
3
b) Observemos que Df = [0, 5] , Dg = [0, 6], luego Df+g = [0, 5]. Dividimos el intervalo [0, 5]
en los intervalos [0, 2] , (2, 3) , [3, 5], luego:
(f + g)(x) =



x2
+ 3x + 4 si x ∈ [0, 2]
x2
− x + 1 si x ∈ (2, 3)
−x + 5 si x ∈ [3, 5]
(f − g)(x) =



−x2
+ 3x + 4 si x ∈ [0, 2]
−x2
− x + 1 si x ∈ (2, 3)
−x − 3 si x ∈ [3, 5]
c)
(fg)(x) = f(x)g(x) =



(3x + 4)x2
si x ∈ [0, 2]
(−x + 1)x2
si x ∈ (2, 3)
(−x + 1)4 si x ∈ [3, 5]
d)
(f ◦ g)(x) =



f(x2
) si x ∈ 0,
√
2
f(x2
) si x ∈ (
√
2,
√
5)
f (4) si x ∈ [3, 5]
=



3x2
+ 4 si x ∈ 0,
√
2
−x2
+ 1 si x ∈ (
√
2,
√
5)
−4 si x ∈ [3, 5]
Ejercicio 2.12 Calcular f ◦ g y g ◦ f si f : R → R y g : R → R son deﬁnidos por f(x) = x2
y g(x) = cos x.
Solución.
(g ◦ f)(x) = g(f(x))
= g(x2
)
= cos x2
(f ◦ g)(x) = f(g(x)
= f(cos x)
= (cos x)2
= cos2
x

Las gráficas que a continuación se presentan, muestran que cos x2
= cos2
x
X
Y
cos(x2
)
X
Y
cos2
x
Ejercicio 2.13 Sean f(x) = |x| , g(x) = sen x, calcular f ◦ g y g ◦ f.
Solución.
(f ◦ g)(x) = f(g(x))
= f(sen x)
= |sen x|
y
(g ◦ f)(x) = g(f(x))
= g(|x|)
= sen |x|
2.4 La Inversa de una Función
En esta sección discutiremos el siguiente problema: Dada una función f encontrar una función
g tal que f ◦ g = g ◦ f = I. Tal función se llamará inversa de f.
• ¿Siempre existe la función inversa?,
• ¿Cuales son las condiciones para la existencia de la función inversa?
• Finalizaremos esta sección presentando algunos teoremas sobre funciones inversas.
Previo a la discusión de la inversa de una función se dan las siguientes definiciones.
2.4.1 Funciones Inyectivas y Sobreyectivas
Definición 2.4 (Función Inyectiva). Sea f : X → Y . La función f se llama función
inyectiva si para todo x0, x1 ∈ X con x0 = x1 se tiene f(x0) = f(x1).
o equivalentemente f es inyectiva si f(x0) = f(x1) implica x0 = x1.
Obs. f no es inyectiva si dos elementos distintos tienen la misma imagen.

2.4. LA INVERSA DE UNA FUNCIÓN 57
Ejemplo 2.13 La función f : R → R definida por f(x) = x + 3 es inyectiva, en efecto si
f(x0) = f(x1) tenemos x0 + 3 = x1 + 3 de donde x0 = x1, lo que muestra que f es inyectiva.
Ejemplo 2.14 La función g : R → R definida por f(x) = x2
no es inyectiva pues para
x0 = −2 , x1 = 2 x0 = x1 ∧ f(x0) = 4 = f(x1).
Las funciones inyectivas se conocen tambien como funciones uno a uno.
Interpretación geométrica
Geométricamente una función f es inyectiva si toda recta paralela al eje X corta a la
gráfica de f en un solo punto; como consecuencia de lo anterior una función no es inyectiva
si existe una paralela al aje X que corta la gráfica de f en más de un punto.
Función no inyectiva
Definición 2.5 (Función Sobreyectiva) Una función f : X → Y es llamada sobreyectiva
si todo y ∈ Y , es imagen de algún x ∈ X.
Observemos que una función f no es sobreyectiva si algún elemento de Y no tiene prei-
magen.
Ejemplo 2.15 Sea f la función:
X Y1
1
2
3
3
5
4
2
6
f

f no es sobreyectiva, pues existen elementos de Y , como y = 2 ∈ Y , para los cuales no existe
un x ∈ X tales que f(x) = 2.
Ejemplo 2.16 La función f : R → R definida por f(x) = x3
−1 es sobreyectiva. En efecto sea
y ∈ Y , y buscaremos x ∈ X tal que f(x) = y. De esta igualdad se tiene x3
−1 = y, despejando
x tenemos x = 3
√
y + 1, este valor de x es el buscado pues f(x) = 3
√
y + 1
3
− 1 = y.
Observemos que si una función no es sobreyectiva, se puede construir un codominio ade-
cuado de manera que la función sea sobreyectiva. Esto se logra eliminando los elementos que
no tengan preimagen. Asi en el primer ejemplo podemos volver a definir la función como
sigue:
X Y1
1
2
3
3
5
4
f
Aqui claramente f es sobreyectiva, notemos que esta función no es 1-1, asi pues, ser sobre-
yectiva no implica ser inyectiva, también, ser inyectiva no implica ser sobreyectiva.
Definición 2.6 (Imagen de un Conjunto) Sea f : X → Y una función y sea A ⊂ X. La
imagen de A por la función f, escrito f(A) es el conjunto
f(A) = {f(x) : x ∈ A} . = {y ∈ Y : f(x) = y, x ∈ A}
si un elemento pertenece a la imagen de A escribimos
y ∈ f(A) ⇔ (∃x, x ∈ A)(f(x) = y)
Algunas consecuencias de esta definición se enuncian en el siguiente teorema.
Teorema 2.7 Sea f : X → Y una función, y sean A, B subconjuntos de X, entonces:
a) f(A ∪ B) = f(A) ∪ f(B)
b) f(A ∩ B) ⊂ f(A) ∩ f(B)
c) A ⊂ B ⇒ f(A) ⊂ f(B)
d) f(∅) = ∅
Teorema 2.8 Sea f : X → Y una función. f es sobreyectiva si y solamente si f(X) = Y .
Definición 2.9 Si f : X → Y es inyectiva y sobreyectiva f es biyectiva.

2.4.2 Inversa de una función
Consideremos la función f : X → Y biyectiva, la función inversa de f, denotada por f−1
es
la función de Y en X tal que:
f−1
◦ f = IX f ◦ f−1
= IY
donde IX es la identidad en X e IY es la identidad en Y . Si y = f (x) entonces x = f−1
(y) .
Ejemplo 2.17 Consideremos la función f : R → R dada por f(x) = 2x − 1 entonces f es
biyectiva y la inversa es f−1
(x) = 1
2
(x + 1), en efecto
(f ◦ f−1
) (x) = f (f−1
(x))
= f 1
2
(x + 1)
= 2 1
2
(x + 1) − 1 = x
y
(f−1
◦ f) (x) = f−1
(f(x))
= f−1
(2x − 1)
= 1
2
(2x − 1 + 1) = x
Ejemplo 2.18 La función:
X Y
1
2
3
4
6
f
es sobreyectiva pero no inyectiva, luego no puede tener inversa, pues
Y X
f−1
4
6
1
2
3
No es función ya que 6 ∈ Y tiene dos imagenes, 2 y 3.
A continuación algunos teoremas sobre composición e inversa.
Teorema 2.10 Sean f y g funciones inyectivas, entonces f ◦ g es inyectiva.

Demostración. Supongamos que
x0,x1 ∈ Dg y (f ◦ g)(x0) = (f ◦ g)(x1)
entonces
f(g(x0)) = f(g(x1))
Puesto que f es inyectiva g(x0) = g(x1), puesto que g es también es inyectiva
x0 = x1, luego f ◦ g es inyectiva.
Teorema 2.11 Sean f y g funciones sobreyectivas,entonces f ◦ g es sobreyectiva.
Demostración. Sea z0 ∈ Rf , puesto que f es sobreyectiva existe y0 ∈ Df tal que
f(y0) = z0. Por ser g sobreyectiva existe x0 ∈ Dgtal que g(x0) = y0. Claramente
(f ◦ g)(x0) = f(g(x0)) = f(y0) = z0.
Esto muestra que f ◦ g es sobreyectiva.
Teorema 2.12 Si f y g son invertibles (tienen inversa) entonces f ◦ g es invertible y
(f ◦ g)−1
= g−1
◦ f−1
.
Demostración. Por los teoremas anteriores f ◦ g es biyectiva, luego (f ◦ g)−1
existe, luego
(f ◦ g) ◦ (f ◦ g)−1
(x) = x
para todo x ∈ Rf , entonces
f−1
◦ (f ◦ g) ◦ (f ◦ g)−1
(x) = f−1
(x)
pero f−1
◦ f = I, por tanto
g ◦ (f ◦ g)−1
(x) = f−1
(x)
y aplicando la función g−1
se obtiene
g−1
◦ g ◦ (f ◦ g)−1
(x) = (g−1
◦ f−1
)(x)
de donde:
(f ◦ g)−1
(x) = (g−1
◦ f−1
)(x).

Teorema 2.13 Dada una función f : X → Y , se tiene:
a) Para A y B subconjuntos arbitrarios de X, f(A) − f(B) ⊂ f(A − B)
b) Si f es inyectiva entonces para cualquiera A y B subconjuntos de X, f(A − B) = f(A) −
f(B).
Demostración. Ejercicio.
Teorema 2.14 La función f : X → Y es inyectiva si y solamente si f(Ac
) = (f(A))c
para
todo A ⊂ X.
Deﬁnición 2.15 (Imagen Inversa de un Conjunto). Sea f : X → Y una función. Si
B ⊂ Y deﬁnimos la imagen inversa de B como el conjunto
f−1
(B) = {x ∈ X : f(x) ∈ B}
Teorema 2.16 Sea f : X → Y una función, entonces:
a) para todo A ⊂ X, (f−1
◦ f)(A) ⊂ A
b) f es inyectiva si y solamente si para todo A ⊂ X, (f−1
◦ f)(A) = A.
Teorema 2.17 Sea f : X → Y una función, entonces:
a) para todo B ⊂ Y , (f ◦ f−1
) ⊂ B
b) f es sobreyectiva si y solamente si (f ◦ f−1
)(B) = B para todo B ⊂ Y .
Teorema 2.18 Sea f : X → Y una función , sean B y C subconjuntos de Y , entonces:
• a) f−1
(B ∪ C) = f−1
(B) ∪ f−1
(C)
• b) f−1
(B ∩ C) = f−1
(B) ∩ f−1
(C)
• c) f−1
(Bc
) = (f−1
(B))c
• d) Si B ⊂ C entonces f−1
(B) ⊂ f−1
(C)
• e) f−1
(Y ) = X
• f) f−1
(∅) = ∅.
2.4.3 Funciones trigonométricas inversas
Son las siguientes:
arco seno arcsin x
arco coseno arccos x
arco tangente arctan x
arco cotangente arccot x
arco secante arcsec x
arco cosecante arccsc x

Acontinuación se presenta la gráﬁca de la función arctan x
X
Y
f(x) = arctan(x)
2.4.4 Funciones Hiperbólicas inversas
A continuación se presentan las funciones hiperbólicas inversas.
arco seno hiperbólico arcsenh x
arco coseno hiperbólico arccosh x
arco tangente hiperbólico arctanh x
arco cotangente hiperbólico arccoth x
arco secante hiperbólico arcsech x
arco cosecante hiperbólico arccsch x
todas estas funciones, pueden expresarse en función del logaritmo como se ve a continuación
en la siguiente tabla:
arcsenh x = ln x +
√
x2 + 1 x ∈ R
arccosh x = ln x +
√
x2 − 1 x ≥ 1
arctanh x =
1
2
ln
1 + x
1 − x
x ∈ (−1, 1)
arccoth x =
1
2
ln
1 + x
1 − x
x /∈ [−1, 1]
arcsech x = ln
1 +
√
1 − x2
x
x ∈ (0, 1]
arccsch x = ln
1
x
+
√
1 + x2
|x|
x = 0
a continuación de demuestran algunas de éstas fórmulas.

2.5. FUNCIONES CRECIENTES Y DECRECIENTES 63
• Función arcsenh x. Sea y = arcsenh x, entonces senh y = x, luego:
x =
1
2
ey
− e−y
por tanto: 2x = ey
− e−y
, multiplicando a ambos miembros por ey
y ordenando se
encuentra:
e2y
− 2xey
− 1 = 0
despejando ey
se tiene:
ey
=
1
2
2x ±
√
4x2 + 4 = x ±
√
x2 + 1,
claramente x <
√
x2 + 1 luego debemos tomar el signo positivo pues ey
es siempre
positivo, con esta aclaración:
y = ln x +
√
x2 + 1
Válido para todo x, así
arcsenh x = ln x +
√
x2 + 1
• Función arctanh x. Sea y = arctanh x, entonces: tanh y = x de donde
ey
− e−y
ey + e−y
= x,
esto es, ey
− e−y
= xey
+ xe−y
, multiplicando por ey
y ordenando:
e2y
(1 − x) = 1 + x
despejando y :
y =
1
2
ln
1 + x
1 − x
que es válido para los x que satisfacen la desigualdad
1 + x
1 − x
> 0, esto es: x ∈ (−1, 1) .
2.5 Funciones Crecientes y Decrecientes
Deﬁnición 2.19 (Función creciente). Sea f : X ⊂ R → Y ⊂ R . Se dice que f es
creciente si para cualesquiera x0 y x1 en X tal que x0 < x1 se tiene f(x0) ≤ f(x1).
Si reemplazamos el símbolo ≤ (menor o igual) por < (menor ) la función f se llama estric-
tamente creciente.
Ejemplo 2.19 La función f(x) = [x] es creciente y f(x) = x3
es estrictamente creciente.

Definición 2.20 (Función decreciente). Sea f : X ⊂ R → Y ⊂ R . Se dice que f es
decreciente si para cualesquiera x0, x1 ∈ X tal que x0 < x1 se tiene f(x0) ≥ f(x1).
Si reemplazamos el simbolo ≥ (mayor o igual) por > (mayor) la función f se llama estricta-
mente decreciente.
Ejemplo 2.20 f(x) = −x + 1 es estrictamente decreciente.
X
Y
Función creciente
X
Y
Función decreciente
Teorema 2.21 Sea f : X → Y una función estrictamente creciente o estrictamente decre-
ciente. Entonces f es inyectiva.
Demostración Sean x0 y x1 puntos distintos en X. Sin perdida de generalidad
podemos suponer x0 < x1, luego f(x0) < f(x1) o f(x0) > f(x1), en todo caso
f(x0) = f(x1), así, f es inyectiva.
Teorema 2.22 Sea f : X → Y una función estrictamente creciente o estrictamente decre-
ciente. Entonces f−1
esta definida en el rango de f, en particular si f es sobreyectiva f−1
esta definida en Y .
Ejemplo 2.21 La función f(x) = loga x con a > 1, es estrictamente creciente f : R+
→ R.
Luego f−1
: R → R+
existe. La inversa está definida por f−1
(x) = ax
.
Ejercicio 2.14 Sea f : R → R definida por f(x) = x2
+ 1. Discutir la inyectividad, sobre-
yectividad y la inversa.

2.6. FUNCIONES ACOTADAS 65
Solución.
Inyectividad. f no es inyectiva pues para −1 y 1 en el dominio de f se tiene f(−1) =
f(1) = 2 siendo que −1 = 1.
Sobreyectividad. f tampoco es sobreyectiva pues para 0 ∈ Cf no existe preimagen ya que
no existe x ∈ Df tal que f(x) = x2
+ 1 = 0.
De lo anterior deducimos que f−1
no puede definirse con el dominio y codominio dados. Sin
embargo redefinamos f del siguiente modo:
f : R+
∪ {0} → [1, ∞) y
f(x) = x2
+ 1.
Mostraremos que ahora f si es biyectiva, esto es, inyectiva y sobreyectiva.
Inyectividad. Sean x0, x1 ∈ R+
∪ {0} y supongamos que
f(x0) = f(x1),
entonces
x2
0 + 1 = x2
1 + 1,
luego x0 = x1, notemos que x0 = −x1 tambien es una solución pues x2
0 + 1 = (−x1)2
+ 1 =
x2
1 +1, esto no es posible pues en tal caso o x0 o x1 no es elemento de R+
∪{0}, de lo anterior
f debe ser inyectiva.
Sobreyectividad. Sea y0 ∈ [1, ∞), luego de y0 = x2
0 + 1 obtenemos x0 =
√
y0 − 1 asi existe
x0 =
√
y0 − 1 tal que f(x0) = y0 y esto muestra que f es sobreyectiva.
Por lo anterior f es biyectiva y f−1
existe.
Cálculo de la inversa. Para encontrar la regla de correspondencia de f−1
se prosigue
como sigue: Hacemos
f(x) = y
y se obtiene la ecuación
y = x2
+ 1,
despejando x obtenemos
x = y − 1
y se define la función inversa como
f−1
(x) =
√
x − 1
Observemos que f−1
: [1, ∞) → R+
∪ {0}.
2.6 Funciones acotadas
Definición 2.23 Una función f con dominio Df es acotada en Df si el conjunto
{f(x) : x ∈ Df }
es acotado, esto es, f es acotada en Df si existe un número k > 0 tal que |f(x)| ≤ k para
todo x ∈ Df , en tal caso k se llamará cota de f en el dominio Df .

Nótese que si la funciòn f es acotada, entonces la gráfica de f en el dominio Df está dentro
la franja dada por las rectas y = −k y y = k.
x
( ) fDxkxf ∈∀≤
( )baDf ,=
ky −=
ky =
ba
y
Teorema 2.24 Sea f : [a, b] → R, creciente o decreciente entonces f es acotada en [a, b].
Demostración: a) Caso f creciente. En este caso claramente f(a) ≤ f(x) ≤
f(b) para todo x ∈ [a, b]. Tomando k = max {|f(a)| , |f(b)|} se tiene |f(x)| ≤ k.
b) Caso f decreciente. Se muestra como en el caso (a)
Ejemplo 2.22 Sea f(x) = 2x +3, definida en {x : |x − 3| ≤ 1}, entonces −2 ≤ x ≤ 4. Como
f es creciente en R, es en particular creciente en [−2, 4], luego f(−2) ≤ f(x) ≤ f(4) esto es,
−1 ≤ f(x) ≤ 11, de donde |f(x)| < 11 para todo x ∈ [−2, 4].
Ejemplo 2.23 Sea f(x) = 12x2
− 22x definida en [0, 2]. En este caso f(0) = 0 y f(2) = 4.
Decir 0 ≤ f(x) ≤ 4 para todo x en [0, 2 ] no es verdadero, pues por ejemplo 1 ∈ [0, 2] pero
f(1) = −10 y no es cierto que 0 ≤ −10 ≤ 4.
Esto por supuesto no contradice el teorema anterior pues f(x) = 12x2
− 22x no es creciente
ni decreciente en [0, 2]. Para acotar esta función procedemos como sigue:
Puesto que x ∈ [0, 2] , claramente |x| ≤ 2, luego
|f (x)| = 12x2
− 22x
≤ 12 |x|2
+ 22 |x|
≤ 12 22
+ 22 (2) = 92,
así la cota buscada es 92.
En los siguientes ejercicios se dan otros métodos para acotar funciones.

2.6. FUNCIONES ACOTADAS 67
Ejercicio 2.15 Acotar f(x) = x2
+ 1 en (−1, 1).
Solución. Observemos que para cualquier x ∈ (−1, 1) se tiene |x| < 1, luego
|f(x)| = |x2
+ 1|
≤ |x|2
+ 1
= 1 + 1 = 2
Luego f(x) esta acotado por 2, es decir |f(x)| < 2 para todo x ∈ (−1, 1).
− 3x2
+ 2x + 5 en el conjunto {x : |x − 4| < 1}.
Solución. Observemos que si x ∈ {x : |x − 4| < 1} , entonces: 3 < x < 5.
Método 1. De
3 < x < 5,
concluimos con |x| < 5, por tanto
|f(x)| = |x3
− 3x2
+ 2x + 5|
≤ |x|3
+ 3 |x|2
+ 2 |x| + 5
< 53
+ 3 (52
) + 2 (5) + 5
= 215
Asi |f(x)| < 215 para |x − 4| < 1.
Método 2. Puesto que 3 < x < 5 tenemos las siguientes desigualdades
27 < x3
< 125
−75 < −3x2
< −27
6 < 2x < 10
5 ≤ 5 ≤ 5
sumando:
37 < x3
− 3x2
+ 2x + 5 < 113,
luego |f(x)| < 113 para |x − 4| < 1.
Método 3. Sea h = x − 4, luego tenemos |h| < 1 y x = h + 4, entonces :
|f (x)| = |x3
− 3x2
+ 2x + 5| = (h + 4)3
− 3 (h + 4)2
+ 2 (h + 4) + 5
= |h3
+ 9h2
+ 26h + 29|
≤ |h|3
+ 9 |h|2
+ 26 |h| + 29
< 1 + 9 + 26 + 29 = 65
Luego:
|f(x)| < 65,
para |x − 4| < 1.
Observemos que la cota obtenida en este método es menor que las obtenidas en los métodos
1 y 2.

− 3x4
+ 2x + 20 en Df = {x : |x − 2| < 1}.
Solución. Si x ∈ Df se tiene 1 < x < 3.
Método 1. Si 1 < x < 3, claramente |x| < 3 , luego:
|f(x)| = |x5
− 3x4
+ 2x + 20|
≤ |x|5
+ 3 |x|4
+ 2 |x| + 20
< 35
+ 3 (34
) + 2 (3) + 20
243 + 243 + 6 + 20 = 512
Luego |f(x)| < 512 para todo x ∈ Df .
Método 2. De 1 < x < 3 tenemos sucesivamente:
1 < x5
< 243
−243 < −3x4
< −3
2 < 2x < 6
20 ≤ 20 ≤ 20
Sumando
−220 < x5
− 3x4
+ 2x + 20 < 266
Luego |f(x)| < 266 para x ∈ Df .
Usando el Método 3 del ejercicio anterior se puede mejorar esta cota.
− x + cos x para los números x tales que |x + 2| < 3.
Método 1. Si |x + 2| < 3 se tiene −5 < x < 1, luego |x| < 5, con este resultado escribimos
|f(x)| = |x3
− x + cos x|
≤ |x|3
+ |x| + |cos x|
< 53
+ 5 + 1
= 131
por tanto |f(x)| < 131 para |x + 2| < 3.
Solución. Método 3. Sea
h =
x + 2
3
,
luego |h| < 1 y x = 3h − 2, con este resultado tenemos:
|f (x)| = |f(3h − 2)| = |(3h − 2)3
− (3h − 2) + cos(3h − 2)|
= |27h3
− 54h2
+ 33h − 6 + cos(2h − 2)|
≤ 27 |h|3
+ 54 |h|2
+ 33 |h| + 6 + |cos(2h − 2)|
< 27 + 54 + 33 + 6 + 1 = 121
Luego |f(x)| < 121 para |x + 2| < 3.

Capítulo 3
Límites y Continuidad
3.1 Introducción
Consideremos la función f : R → R deﬁnida por f(x) = x − [x] cuya gráﬁca se muestra a
continuación.([x] es el mayor entero menor o igual a x.)
101−
y
x22−
( ) [ ]xxxf −=
1
5.0
5.0
Con puntos ”cercanos a 0.5” construimos la siguiente tabla:
x f(x)
0.498 0.498
0.499 0.499
0.5 0.5
0.501 0.501
0.502 0.502
podemos observar que para ”puntos cercanos” a 0.5 las imágenes estan ”cerca” de f(0.5) =
0.5.
69

70 CAPÍTULO 3. LÍMITES Y CONTINUIDAD
Con ”puntos cercanos a 1” se construye la siguiente la tabla:
x f(x)
0.998 0.998
0.999 0.999
1.0 0.
1.001 0.001
1.002 0.002
observemos que para valores ”cercanos” a x = 1 las imagenes cambian abruptamente de
0.999 a 0. con esto se ratifica lo que geométricamente se ve en el gráfico de f. En el gráfico,
la función f no tiene trazo continuo cerca de x = 1, observemos también que el trazo es
continuo cerca de x = 0.5. Así diremos, aunque imprecisamente, que una función
es continua en un punto x = a si su gráfico tiene trazo continuo para ”valores
cercanos” de a, en caso contrario es discontinua. Observemos que con la noción antes
dada f es discontinua en cualquier entero n.
La anterior discusión carece de rigurosidad, se ha hablado de conceptos como ”cerca” o
”valores cercanos”. En las siguientes secciones se dan los fundamentos rigurosos de continui-
dad.
1. Realizar el gráfico de la función f(x) = [x]. ¿Tiene trazo continuo?
2. Realizar el gráfico de la función f(x) = x2
− [x]. Calcular tablas para valores cercanos
a x = 2 y x = 1.5. ¿En que puntos es discontinua f?
3. Sea f(x) =
1
x
. ¿Es f continua en x = 0?
4. Sea f(x) =
x3
si x ∈ (−∞, 1]
−2x + 3 si x ∈ (1, ∞)
.
¿Es f continua en x = 1?
5. Sea f(x) =
1
x2
. ¿Es f continua en x = 0?
3.2 Límite de una Función
En esta sección se da la definición de límite, definición empleada fundamentalmente para
realizar demostraciones de teoremas centrales del cálculo.
Para futura discusión se requiere la siguiente definición.
Definición 3.1 (Vecindad de un Punto). Sea p un punto. Cualquier intervalo abierto
que contiene p es llamado una vecindad de p.

3.2. LÍMITE DE UNA FUNCIÓN 71
Ejemplo 3.1 Los siguientes intervalos son vecindades de p = 1 : (0, 2), (0.4, 0.7), (1 − , 1 + )
para > 0.
Una vecindad de p se denotará con el símbolo Vp o V (p). Un caso particular es cuando
V (p) = (p − , p + ) , entonces la vecindad se denotará con V (p, ). Observemos que
(p − , p + ) = {x : p − < x 0 el conjunto de los x que satisfacen |x − p| < es una vecindad de p.
Observación. Una vecindad de p de la forma (p − , p + ) es un intervalo abierto centrado
en p y radio .
3.2.1 Definición de Límite
Definición 3.2 Sea I una vecindad de p, sea f una función definida en I, a excepción quizás
de p (f no necesariamente definida en p). Se dice que
lim
x→p
f (x) = L
Si para todo > 0, existe δ > 0 tal que
si 0 < |x − p| < δ entonces |f (x) − L| < .
Observación. En términos de vecindades lo anterior significa que si x se encuentra en la
vecindad V (p, δ) entonces f (x) se encuentra en la vecindad V (L, ) .
A veces, escribiremos x − p → 0 en lugar de x → p. Con h = x − p, así son que son
equivalentes
lim
x→p
f (x) = L y lim
h→0
f(p + h) = L
que se conoce como cambio de variable.
La definición intuitivamente establece que puntos cercanos a p tienen sus imágenes cercanas
o iguales a L. Por otra parte L no será el límite de f (x) en x = p si algún elemento ”cerca”
a p tiene imagen ”lejos” de L.
Para mostrar que el límite de una función en cierto punto p, digamos es L, es necesario
estimar inicialmente este valor y para eso es conveniente evaluar la función en puntos cada
vez más cercanos al punto p y observar a que valor se acercan las imágenes. Dicho valor es,
posiblemente, el límite buscado.
A continuación se muestra gráficos para ilustrar el hecho de que un número L es el límite

y cuando no lo es.
pε−p ε+p
( ) Lxf
px
=
→
lim ( ) Lxf
px
≠
→
lim
x
y
( )xf
L
ε+L
ε−L
x
y
( )xf
x
( )xf
x
( )xf
L
ε+L
ε−L
ε−p ε+pp
Ejemplo 3.2 Consideremos la función f (x) = 3x − 1, entonces podemos probar que lim
x→1
f (x) = 2, en efecto, para > 0 existe δ =
3
tal que si |x − 1| < δ entonces
|f(x) − 2| = |3x − 1 − 2|
= 3 |x − 1|
< 3δ = 3
3
= ,
esto es, |f(x) − 2| < . En particular con = 0.3 tenemos δ =
3
= 0.1. Nótese que para
puntos cercanos de 1, sus imágenes están cerca de 2.
Ejemplo 3.3 Sea la función f (x) = x+1, entonces lim
x→1
f (x) = 3, esto es, lim
x→1
f (x) no puede
ser 3, en efecto, si = 0.5 , para todo δ > 0 existen valores como x0 tales que |x0 − 1| < δ y
|f(x0) − 3| > 0.5, por ejemplo si δ >= 0.2 podemos tomar x0 = 1.1. Claramente |x0 − 1| < δ
y |f (x0) − 3| = |2.1 − 3| = 0.9 > 0.5.
Existen funciónes como f (x) = [x] en los cuales la función está definida en un punto pero
no existe el límite en dicho punto. Por ejemplo, si x = 1, f (1) = 1 pero el límite no es L = 1
como se muestra en la siguiente figura. Sin embargo, podemos decir cuál es el límite por la
izquierda y cual por la derecha, para precisar esto, se dan las correspondientes definiciones:
y
1−
( ) [ ]xxf =
0 3212−
2−
1−
2
1
x

3.2.2 Límites Laterales
Definición 3.3 El límite lateral por la derecha de una función f en un punto p denotado por
lim
x→p+
f (x) es definido como:
lim
x→p+
f (x) = L
si para para todo > 0 existe δ > 0 tal que si
0 < x − p < δ entonces |f (x) − L| < .
La expresión x → p+
significa que se toman valores cercanos a p por la derecha.
Ejemplo 3.4 Sea f (x) = [x] , entonces lim
x→1+
f (x) = 1.
Ahora definimos el límite lateral por la izquierda
Definición 3.4 El límite lateral por la izquierda de una función f en un punto p denotado
por lim
x→p−
f (x) es definido como:
lim
x→p−
f (x) = L
si para todo > 0 existe δ > 0 tal que si
−δ < x − p < 0 entonces |f (x) − L| <
Ejemplo 3.5 Consideremos la función f definida por f (x) = [x], entonces lim
x→1−
f (x) = 0.
Respecto de los lìmites laterales se tienen los siguientes resultados.
Teorema 3.5 Si lim
x→p
f (x) existe entonces los lìmites laterales en x = p existen y son iguales.
El anterior teorema en su forma contrapositiva dice que ”Si los límites laterales de
una función en un punto p son distintos, el límite en p no existe”.
Ejemplo 3.6 Sea f (x) = [x], entonces para todo entero n, lim
x→n+
f (x) = n, y lim
x→n−
f (x) =
n − 1, luego si n es un entero, el límite lim
x→n
f (x) no existe.

3.2.3 Propiedades de Límites
Teorema 3.6 El límite de una constante es la misma constante.
Demostración. Sea f (x) = k para todo x ∈ Df . probaremos que para a ∈ Df
se cumple
lim
x→a
f (x) = k,
en efecto si > 0, |f (x) − k| = |k − k| = 0 < , así para todo > 0 existe δ > 0,
tal que si |x − a| < δ entonces |f (x) − k| < . (observemos que en este caso
particular δ puede ser cualquier número positivo).
Teorema 3.7 Si lim
x→p
f (x) existe, este es único.
Demostración. Supongamos que L1 y L2 son los límites de f (x) cuando x → p.
Entonces si > 0 existe δ > 0 tal que si |x − p| < δ se tiene |f (x) − L1| <
2
y
|f (x) − L2| <
2
luego
|L1 − L2| = |−f (x) + L1 + f (x) − L2|
= |− (f (x) − L1) + (f (x) − L2)|
≤ |f (x) − L1| + |f (x) − L2|
<
2
+
2
= .
Puesto que es arbitrario, debemos tener |L1 − L2| = 0; de este resultado L1 = L2.
Teorema 3.8 Sean f y g funciones tales que lim
x→p
f (x) = A y lim
x→p
g (x) = B, entonces:
(i) lim
x→p
(f (x) ± g (x)) = A ± B
(ii) lim
x→p
f (x) g (x) = AB
(iii) lim
x→p
f (x)
g (x)
=
A
B
si B = 0.
Demostración.
(i) Si > 0, existen δ1 y δ2 > 0 tales que si |x − p| < δ1 y |x − p| < δ2 se tiene
|f (x) − A| <
2
y |f (x) − B| <
2
luego
|f (x) ± g (x) − (A ± B)| ≤ |f (x) − A| + |g (x) − B|
<
2
+
2
=
por tanto |f (x) ± g (x)| < siempre que |x − p| < δ donde δ = min {δ1, δ2}.

(ii) Para demostrar esta parte, escribimos
|f (x) g (x) − AB| = |f (x) (g (x) − B) + B (f (x) − A)|
se ha sumado y
restado Bf (x)
≤ |f (x)| |g (x) − B| + |B| |f (x) − A|
Si x → p es claro que g (x) − B → 0, y f (x) − A → 0, así si |f (x)| no se hace
grande |f (x) g (x) − AB| → 0, mostraremos que efectivamente |f(x)| no se hace
arbitrariamente grande. Para el número 1, existe δ3 > 0 tal que si
|x − p| < δ3, entonces |f (x) − A| < 1,
puesto que |f (x)| = |f (x) − A + A| se tiene |f (x)| ≤ |f (x) − A| + |A| de donde
|f (x)| ≤ 1 + |A|.
Por otra parte, para > 0 existen δ1 > 0 y δ2 > 0 tales que
|f (x) − A| <
2(1 + |B|)
y |g (x) − A| <
2(1 + |A|)
Por tanto
|f (x) g (x) − AB| ≤ |f (x)| |g (x) − B| + |B| |f (x) − A|
< (1 + |A|)
2(1 + |A|)
+ |B|
2(1 + |B|)
=
2
1 +
| B |
1+ | B |
<
2
(1 + 1) = ,
luego |f (x) g (x) − AB| < siempre que |x − p| < δ, donde δ = min {δ1, δ2, δ3}.
(iii) Puesto que
f (x)
g (x)
=
f (x)
B
·
B
g (x)
es suﬁciente probar que lim
x→p
B
g (x)
= 1, porque
entonces:
lim
x→p
f (x)
g (x)
=lim
x→p
f (x)
B
· lim
x→p
B
g (x)
=
A
B
Sin pérdida de generalidad, supongamos que B > 0. Para > 0 existe δ1 tal
que |g(x) − B| <
B
2
, siempre que |x − p| < δ1. También existe un δ2 tal que
|g(x) − B| 
B
2
de
donde
1
|g(x)|
<
2
B
ﬁnalmente
B
g (x)
− 1 =
|g(x) − B|
|g(x)|
<
B
2
·
2
B
=

luego
B
g (x)
− 1 < siempre que |x − p| < δ, esto prueba (iii).
Corolario 3.9 Si k es una constante, entonces
i) lim
x→p
(k + f (x)) = k+ lim
x→p
f (x)
ii) lim
x→p
k · f (x) = k· lim
x→p
f (x).
Demostración: Se sigue del teorema previo con g (x) = k.
Teorema 3.10 (Teorema del emparedado) Si f (x) ≤ g (x) ≤ h (x) en algún dominio, y
lim
x→p
f (x) =lim
x→p
h (x) = L entonces lim
x→p
g (x) = L.
Demostración. Ejercicio.
3.3 Un algoritmo para demostrar Límites
Supóngase que se desea mostrar:
lim
x→p
f (x) = L.
Para aplicar la deﬁnición en términos de y δ debemos probar que dado un > 0, es posible
encontrar un δ > 0 tal que si 0 < |x − p| < δ para x ∈ Df , entonces |f(x) − L| < o
equivalentemente |f(x) − L| < siempre que 0 < |x − p| < δ, x ∈ Df .
En esta sección, se dará un algoritmo general para encontrar δ dado . (se sugiere, para
esta parte, repasar la sección sobre cotas de una función del capítulo precedente)
3.3.1 Algoritmo − δ (Epsilon-Delta)
Para demostrar lim
x→p
f (x) = L, se siguen los siguientes pasos
• 1) Se da > 0. A partir de este momento se considera ﬁjo.
• 2) De |f (x) − L| se obtiene :
|f (x) − L| ≤ |x − p| |g (x)| .
• 3) Se supone |x − p| < q, donde q es un número elegido de modo que la vecindad V (p, q)
se encuentre en el dominio. Luego se procede a la acotación de g (x) en el conjunto
{x : |x − p| < q} ,
obteniendose |g(x)| ≤ M, M > 0.
• 4) Se toma δ = min q,
M
, así encontramos el δ buscado.

3.3. UN ALGORITMO PARA DEMOSTRAR LÍMITES 77
• 5) Fin
Justiﬁcación Procedemos a justiﬁcar el anterior algoritmo.
Sea > 0, de |f (x) − L| factorizamos |x − p| y obtenemos |f (x) − L| = |x − p| |g (x)|.
Procedemos a la acotación de g (x) en el dominio {x : |x − p| < q} donde q es un número arbitrario.
Se tiene ahora
|f(x) − L| ≤ |x − p| |g(x)| ≤ |x − p| M
siempre que 0 < |x − p| < q. Por otra parte, debemos tener
|f(x) − L| ≤ |x − p| M < ,
luego |x − p| <
M
, pero también |x − p| < q. Por tanto tomamos δ = min q,
M
y entonces
tenemos |f(x) − L| ≤ |x − p| M < siempre que |x − p| < δ.
Observaciones
• (1) Observemos que lo anterior, depende de la acotación de g (x) en el conjunto {x : |x − p| < q}
para algún q.
• (2) Debemos observar también que el algoritmo − δ no dice como encontrar el número
L, lo que hace es permitirnos mostrar si es o no evidente que L es el límite de la función
f en el punto dado p.
Ejercicio 3.1 Demostrar que lim
x→3
f (x) = 34, donde f (x) = x3
+ x2
− x + 1.
Solución. Con L = 34 se tiene:
• Paso 1. Sea > 0.
• Paso 2.
f (x) − L = x3
+ x2
− x + 1 − 34
= x3
+ x2
− x − 33
= (x − 3) (x2
+ 4x + 11)
de lo anterior f (x) − L = (x − 3) g (x), donde g (x) = (x2
+ 4x + 11).
• Paso 3. Procedemos ahora a acotar g en algún intervalo abierto que contenga al punto
x = 3. Acotemos en la vecindad V (3, 1) = {x : |x − 3| < 1}. Si x ∈ V (3, 1) , entonces
obviamente |x − 3| < 1, luego:
|x| = |x − 3 + 3| ≤ |x − 3| + |3| ≤ 1 + 3 = 4,
es decir |x| < 4 válido en {x : |x − 3| < 1} . Usando la desigualdad obtenida se tiene:
|g (x)| = |x2
+ 4x + 11|
≤ |x|2
+ 4 |x| + 11
≤ 42
+ 4 · 4 + 11 = 43.

• Paso 4. Tomamos ahora δ = min 1,
43
pues entonces si |x − 3| < δ, se tiene
|f (x) − L| ≤ |x − 3| x2
+ 4x + 11 ≤ 43 |x − 3| < 43 δ < ,
así se prueba que lim
x→3
f (x) = 34.
Ejercicio 3.2 Probar que lim
x→2
f (x) = 4, donde f (x) = −x3
+ 6x2
− 11x + 10.
Solución. En este ejercicio L = 4.
• Paso 1. Sea > 0.
• Paso 2.
f (x) − L = −x3
+ 6x2
− 11x + 10 − 4
= (x − 2) (−x2
+ 4x − 3)
= (x − 2) g (x)
donde g (x) = −x2
+ 4x − 3.
• Paso 3. Acotemos g en el conjunto V (2, 1) = {x : |x − 2| < 1} de esto tenemos |x| =
|x − 2 + 2| ≤ |x − 2| + |2| < 1 + 2 = 3, es decir, |x| < 3, por tanto
|g (x)| = |−x2
+ 4x − 3|
≤ |x|2
+ 4 |x| + 3
< 32
+ 4 · 3 + 3 = 24
• Paso 4. Tomamos ahora δ = min 1,
24
pues entonces si |x − 2| < δ se tiene:
|f (x) − L| ≤ |x − 2| −x2
+ 4x − 3 ≤ 24 |x − 2| < 24 δ < ,
lo que prueba que lim
x→2
f (x) = 4.
Ejercicio 3.3 Sea f (x) = −5x3
− 2x + 1. Demostrar lim
x→1
f (x) = −6.
Solución. Se tiene L = −6, luego:
• Paso 1. Sea > 0.
• Paso 2.
f (x) − L = −5x3
− 2x + 1 + 6
= (x − 1) (−5x2
− 5x − 7)
luego f (x) − L = (x − 1) g(x), donde g (x) = −5x2
− 5x − 7.

Calculo i, santiago relos

Recomendados

Recomendados

Más contenido relacionado

La actualidad más candente

La actualidad más candente (20)

Destacado

Destacado (20)

Similar a Calculo i, santiago relos

Similar a Calculo i, santiago relos (20)

Último

Último (20)

Calculo i, santiago relos