Apuntes-MatematicasII

Índice
1 Funciones reales 1
1.1 Funciones reales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.2 Representación de funciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.3 Determinación de funciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.4 Operaciones con funciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.5 Simetr´ıa de las gráficas de funciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.5.1 Simetr´ıa respecto del origen. Funciones impares . . . . . . . . . . . . . 3
1.5.2 Simetr´ıa respecto del eje de ordenadas. Funciones pares . . . . . . . . 4
1.6 Funciones periódicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.7 Funciones acotadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.7.1 Cotas superiores e inferiores. Acotación . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.7.2 Extremos: máximo y m´ınimo absoluto . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
T1 Ejercicios y problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
2 L´ımites 7
2.1 L´ımites de funciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
2.2 Propiedades de los l´ımites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
2.3 Cálculo de algunos l´ımites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
2.3.1 L´ımites de funciones racionales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
2.3.2 L´ımites de funciones irracionales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2.3.3 Funciones equivalentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2.4 As´ıntotas horizontales y verticales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
2.4.1 As´ıntotas horizontales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
2.4.2 As´ıntotas verticales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
2.5 As´ıntotas oblicuas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
3 Continuidad 15
3.1 Continuidad en un punto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
3.2 Propiedades de la continuidad local . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
3.2.1 Unicidad del l´ımite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
3.2.2 Teorema del signo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
3.2.3 Acotación de la función . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
3.2.4 Continuidad y operaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
3.3 Discontinuidades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
3.3.1 Discontinuidad evitable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
3.3.2 Discontinuidad inevitable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
3.4 Continuidad en un intervalo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
3.5 Propiedades de la continuidad en un intervalo . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
3.5.1 Teorema de Weierstrass . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
3.5.2 Teorema de Bolzano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1

2 ÍNDICE
3.5.3 Teorema del valor intermedio. Teorema de Darboux . . . . . . . . . . 17
3.5.4 Imagen de un intervalo cerrado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
3.5.5 Continuidad y operaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
4 Derivadas 21
4.1 Derivada de una función en un punto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
4.1.1 Derivadas laterales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
4.2 Interpretación geométrica de la derivada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
4.2.1 La derivada como pendiente de la recta tangente . . . . . . . . . . . . 21
4.2.2 Normal a una curva en un punto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
4.3 Función derivada. Derivadas sucesivas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
4.3.1 Función derivada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
4.3.2 Derivadas sucesivas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
4.4 Derivadas de las funciones elementales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
4.5 Operaciones con derivadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
5 Propiedades de las funciones derivables 29
5.1 Continuidad y derivabilidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
5.2 Derivada en un punto máximo o m´ınimo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
5.3 Teorema de Rolle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
5.4 Teorema del valor medio o de Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
5.5 Consecuencias del Teorema del valor medio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
5.5.1 Caracterización de las funciones constantes . . . . . . . . . . . . . . . 31
5.5.2 Relación entre funciones con igual derivada . . . . . . . . . . . . . . . 31
5.6 Teorema de Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
5.7 Ra´ıces de una ecuación o función . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
5.8 Regla de L’Hôpital. Cálculo de l´ımites indeterminados . . . . . . . . . . . . . 32
6 Aplicaciones de las derivadas 36
6.1 Funciones crecientes y decrecientes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
6.2 Intervalos de monoton´ıa en funciones derivables . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
6.3 Máximos y m´ınimos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
6.4 Problemas sobre máximos y m´ınimos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
6.5 Concavidad y convexidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
6.6 Puntos de inflexión . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
7 Integrales indefinidas 43
7.1 Primitiva. Integral indefinida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
7.2 Propiedades lineales de la integración . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
7.3 Integrales inmediatas de funciones elementales . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
7.4 Métodos de integración . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
7.4.1 Integral de un producto o método de integración por partes . . . . . . 45
7.4.2 Integral de la función compuesta o método de sustitución . . . . . . . 46
7.5 Integración de funciones racionales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

ÍNDICE 3
8 Integral definida 53
8.1 Area del trapecio mixtil´ıneo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
8.2 Integral definida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
8.3 Propiedades de la integral definida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
8.4 Teorema de la media . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
8.5 Función integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
8.6 Relación con la derivada. Teorema de Barrow . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
9 Aplicaciones de la integral definida 62
9.1 Área del recinto donde interviene una función . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
9.2 Área del recinto donde intervienen dos funciones . . . . . . . . . . . . . . . . 64
9.3 Volumen de un cuerpo de revolución . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
9.4 Volumen de un cuerpo por secciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
10 Espacios Vectoriales 68
10.1 Definición de espacio vectorial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
10.2 Otras propiedades de las operaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
10.3 Subespacios vectoriales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
10.4 Combinación lineal de vectores. Subespacio engendrado . . . . . . . . . . . . 70
10.4.1 Combinación lineal de vectores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
10.4.2 Subespacio engendrado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
10.5 Dependencia e independencia lineal de vectores. Rango de un conjunto de
vectores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
10.5.1 Dependencia e independencia lineal de vectores . . . . . . . . . . . . . 71
10.5.2 Rango de un conjunto de vectores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
10.6 Base de un espacio vectorial. Dimensión . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
10.6.1 Base de un espacio vectorial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
10.6.2 Dimensión de un espacio vectorial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
10.7 Coordenadas de un vector . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
10.8 Aplicaciones lineales entre espacios vectoriales . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
11 Matrices y determinantes 74
11.1 Concepto de matriz o tabla . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
11.2 Algunos tipos de matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
11.2.1 Según su forma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
11.2.2 Según sus elementos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
11.3 El espacio vectorial de las matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
11.3.1 Suma de matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
11.3.2 Producto de un escalar por una matriz . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
11.4 Producto de matrices. Matrices invertibles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
11.4.1 Producto de una matriz fila por una matriz columna . . . . . . . . . . 77
11.4.2 Producto de dos matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
11.5 Rango de una matriz. Cálculo por el método de Gauß . . . . . . . . . . . . . 78
11.5.1 Cálculo del rango por el método de Gauß . . . . . . . . . . . . . . . . 79

4 ÍNDICE
11.6 Determinantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
11.6.1 Determinantes de segundo orden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
11.6.2 Determinantes de tercer orden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
11.7 Determinantes de orden n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
11.8 Propiedades de los determinantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
11.9 Cálculo de un determinante por el Método de Gauß . . . . . . . . . . . . . . 83
11.10Cálculo de un determinante por los elementos de una fila o columna . . . . . 84
11.11Cálculo del rango de un conjunto de vectores y de una matriz por determinantes 85
11.12Cálculo de la matriz inversa por determinantes . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
12 Sistemas de ecuaciones lineales 91
12.1 Sistemas de ecuaciones lineales en general . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
12.2 Sistemas equivalentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
12.3 Criterio de compatibilidad. Teorema de Rouché . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
13 Espacio af´ın eucl´ıdeo 96
13.1 Los vectores fijos en el espacio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
13.2 Los vectores libres en el espacio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
13.3 El espacio vectorial de los vectores libres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
13.4 Bases en V 3
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
13.5 Producto escalar de dos vectores libres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
13.6 Módulo de un vector. Ángulo de dos vectores . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
13.6.1 Módulo de un vector . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
13.6.2 Ángulo de dos vectores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
13.7 Producto vectorial de dos vectores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
13.8 Producto mixto de tres vectores libres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
13.9 Espacio af´ın . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
13.10Espacio af´ın eucl´ıdeo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
14 Ecuaciones de rectas y planos 105
14.1 Coordenadas de un vector libre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
14.2 Coordenadas del punto medio de un segmento . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
14.3 Ecuación de la recta. Determinación lineal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
14.4 Ecuación de la recta que pasa por dos puntos . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
14.5 Ecuación del plano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
14.6 Ecuación normal del plano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
14.7 Ecuación del plano que pasa por tres puntos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
14.8 Ecuación del plano determinado por una recta y un punto exterior . . . . . . 110
15 Posiciones de rectas y planos 112
15.1 Posiciones de dos planos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112
15.2 Posiciones de tres planos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
15.3 Haces de planos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114
15.3.1 Haz de planos paralelos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114

0 ÍNDICE
15.3.2 Haz de planos secantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114
15.4 Posiciones de recta y plano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114
15.5 Posiciones de dos rectas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
16 Problemas métricos 121
16.1 Ángulo de dos rectas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121
16.2 Ángulo de dos planos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121
16.3 Ángulo de recta y plano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122
16.4 Distancia entre dos puntos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
16.5 Distancia de un punto a un plano. Distancia entre planos paralelos . . . . . . 123
16.6 Distancia de un punto a una recta. Distancia entre rectas paralelas . . . . . . 124
16.7 Distancia entre rectas que se cruzan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125
16.7.1 Perpendicular común . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126
16.8 Áreas de paralelogramos y triángulos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127
16.9 Volúmenes de paralelep´ıpedos y tetraedros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127

Tema 1 Funciones reales
1.1 Funciones reales
Una función real de variable real es toda ley que asocia a cada elemento de un determi-
nado subconjunto de números reales uno y sólo un número real. Se representa por
f : D ⊆ IR −→ IR
x −→ f(x) = y
El subconjunto en el que se define la función recibe el nombre de dominio de definición
de la función o campo de existencia, y se designa por Dom(f) o simplemente D.
La letra x, que representa cualquier número del dominio, recibe el nombre de variable
independiente.
A la letra y, que representa el número al que f asocia a x, se le llama variable depen-
diente (porque “depende” de lo que valga x).
El conjunto de valores reales que puede tomar la variable y, recibe el nombre de reco-
rrido de la función, y se denota por f(D).
Toda función queda determinada por el conjunto de pares de números reales {(x, y)} =
{(x, f(x))}, donde x es la variable independiente de f.
Dos funciones reales f y g son iguales, y se denota f ≡ g, cuando tienen el mismo dominio
y coinciden para todo valor del mismo (es decir, f(x) = g(x) para todo x ∈ D).
1.2 Representación de funciones
Puesto que una función se puede reducir a un conjunto de pares de números {(x, y), x ∈ D},
su representación consiste en dibujar cada uno de ellos en el plano cartesiano.
Si f es una función real, a cada par {(x, f(x))} (ó {(x, y)}), determinado por la función
f le corresponde en el plano cartesiano un único punto P(x, y).
Más rigurosamente, la gráfica de una función f es el lugar geométrico de los puntos del
plano cuyas coordenadas satisfacen la ecuación
y = f(x)
La construcción de unos cuantos puntos de la gráfica da idea de cómo var´ıa la función,
pero por muchos puntos que dibujemos, es arriesgado unirlos mediante trazos continuos sin
un estudio previo de la función.
1.3 Determinación de funciones
Existen al menos cuatro formas de determinar una función:
• Descriptivamente: explicando con palabras lo que hace la función. Ejemplo: “fun-
ción que a cada número real le asigna su doble”.
1

2 TEMA 1. FUNCIONES REALES
• Por fórmulas: la mayor´ıa de las funciones que se presentan en la práctica se expresan
generalmente por una fórmula algebraica. Es indudable que se trata de la mejor
manera de determinar una función, puesto que se facilita el estudio de sus propiedades
por métodos matemáticos rigurosos y exactos. Ejemplo: f(x) = 2x.
• Por gráficas: esta forma no exige conocer su correspondiente
expresión algebraica. Además la gráfica da una información más
rápida que la fórmula y muchas veces es suficiente para tener la
información descriptiva y global del fenómeno considerado.
• Por tablas de valores: la experimentación o la observación de
un fenómeno en el que intervienen dos magnitudes dependientes
nos da un conjunto de valores (x, y), es decir, una tabla. El estudio
de esta tabla y de su gráfica de puntos permite algunas veces hallar
una fórmula algebraica con la que se pueden obtener otros valores
no registrados en la misma.
x y = f(x)
1 2
2 4
...
...
1.4 Operaciones con funciones
Dadas dos funciones, f y g, se pueden definir las siguientes operaciones entre ellas
siempre que tengan el mismo dominio:
Función Definición
suma (resta) (f ± g)(x) = f(x) ± g(x)
cero 0(x) = 0
opuesta (−f)(x) = −f(x)
producto (fg)(x) = f(x)g(x)
uno 1I(x) = 1
inversa (respecto al producto)
1
f
(x) =
1
f(x)
cociente
f
g
(x) =
f(x)
g(x)

1.5. SIMETRÍA DE LAS GRÁFICAS DE FUNCIONES 3
Función Definición
producto por un número (af)(x) = af(x)
compuesta (g◦ f)(x) = g(f(x))
identidad id(x) = x
rec´ıproca f−1
(x) es tal que (f◦ f−1
)(x) = x
o inversa es decir
(respecto a la composición) f−1
(y) = x ⇔ y = f(x)
Observaciones:
• La inversa (respecto al producto) de una función, as´ı como el cociente de dos funciones,
no están definidas en los puntos que anulan el denominador.
• El producto de una función por un número real es un caso particular del producto de
funciones, si convenimos que el número real a representa también la función constante
definida por f(x) = a.
• Para que pueda definirse la función rec´ıproca f−1
es necesario que la función directa f
sea inyectiva, es decir, que a valores distintos del dominio, f haga corresponder valores
distintos del recorrido.
x = y =⇒ f(x) = f(y)
Las funciones rec´ıprocas tienen la propiedad geométrica de que sus gráficas son simé-
tricas respecto de la bisectriz del primer y tercer cuadrantes.
1.5 Simetr´ıa de las gráficas de funciones
1.5.1 Simetr´ıa respecto del origen. Funciones impares
Una función f es simétrica respecto del origen cuando para todo x del dominio se tiene
f(−x) = −f(x)
Las funciones simétricas respecto del origen reciben el nombre de funciones impares.
La gráfica de una función impar queda determinada si conocemos su forma para valores
positivos de x, ya que la parte de la gráfica correspondiente a valores negativos de x se
construye por simetr´ıa respecto del origen de coordenadas.

1.5.2 Simetr´ıa respecto del eje de ordenadas. Funciones pares
Una función f es simétrica respecto del eje de ordenadas cuando para todo x del
dominio se tiene
f(−x) = f(x)
Las funciones simétricas respecto del eje de ordenadas reciben el nombre de funciones
pares. La gráfica de una función par queda determinada si conocemos su forma para
valores positivos de x, ya que la parte de la gráfica correspondiente a valores negativos de x
se construye por simetr´ıa respecto del eje de ordenadas.
1.6 Funciones periódicas
Una función f es periódica de periodo T si:
f(x + T) = f(x)
para todo x perteneciente al dominio de definición.
Las funciones periódicas más importantes son las funciones circulares seno, coseno y
tangente, ya que muchos fenómenos naturales son periódicos y vienen expresados matemá-
ticamente por ellas.
1.7 Funciones acotadas
1.7.1 Cotas superiores e inferiores. Acotación
Una función f está acotada inferiormente cuando existe un número real K tal que
todos los valores que toma la función son mayores que K.
f acotada inferiormente ⇐⇒ ∃K ∈ IR / f(x) > K ∀x ∈ Dom(f)
El número real K se llama cota inferior.
Una función f está acotada superiormente cuando existe un número real K tal que
todos los valores que toma la función son menores que K .
f acotada superiormente ⇐⇒ ∃K ∈ IR / f(x) < K ∀x ∈ Dom(f)
El número real K se llama cota superior.
Una función está acotada si lo está inferior y superiormente.
1.7.2 Extremos: máximo y m´ınimo absoluto
Se llama extremo superior de una función a la menor de las cotas superiores. Si este
valor lo alcanza la función se llama máximo absoluto.
Se llama extremo inferior de una función a la mayor de las cotas inferiores. Si este
valor lo alcanza la función se llama m´ınimo absoluto.

T1. EJERCICIOS Y PROBLEMAS 5
T1 Ejercicios y problemas
T1.1 Un rectángulo tiene de per´ımetro 40 m. Expresa la altura del rectángulo en función del lado
x de la base; lo mismo para el área.
T1.2 Se quiere construir un pozo cil´ındrico de 2 m de diámetro. Expresa el volumen del agua que
cabe en el pozo en función de su profundidad x.
T1.3 Expresa en función de la base el área de un rectángulo inscrito en un c´ırculo de radio r.
T1.4 Ídem el área de un triángulo isósceles inscrito en un c´ırculo de radio r.
T1.5 Se dispone de una cartulina de 100 × 40 cm y se quiere construir una caja sin tapadera
cortando un cuadrado en las cuatro esquinas. Halla la expresión del volumen en función del lado x
del cuadrado.
T1.6 Expresa el área de un triángulo equilátero en función del lado. ¿Qué tipo de función se
obtiene? Halla el valor de esa función si el lado mide 10 unidades.
T1.7 Halla el dominio de las funciones
(a) f(x) =
2x + 1
x2 − 5x + 6
(b) g(x) = x2 − 16 (c) h(x) = log(x2
− 4)
T1.8 La función f(x) =
x2
− 3x + 2
x2 − 5x + 4
es igual que otra función g, salvo en un punto. Halla g y el
dominio común de ambas.
T1.9 Llamamos ent(x) a la función que da la parte entera de cualquier número real. Por ejemplo,
ent(3 2) = 3, ent(−2 3) = −3. Represéntala en el intervalo [−4, 4].
T1.10 Llamamos dec(x) a la función que da la parte decimal de cualquier número real. Por
ejemplo, dec(3 2) = 0 2, dec(−2 3) = 0 7. Represéntala en el intervalo [−4, 4].
T1.11 Partiendo de la gráfica de la función y = 2x, dibuja mediante una traslación de la misma,
las gráficas de las funciones y = 2x + 1, y = 2x + 4, y = 2x − 3. Halla los puntos de corte con los
ejes de estas funciones.
T1.12 Calcular los coeficientes de la función f(x) = ax+b si los valores f(0) y f(1) son conocidos.
T1.13 Se consideran las funciones f(x) = ax + b y g(x) = cx + d. Halla una relación entre los
coeficientes a, b, c y d para que la composición de funciones sea conmutativa.
T1.14 Halla la función y = ax2
+ bx + c sabiendo que el vértice es V (1, 1) y pasa por el punto
P = (0, 2). Dibuja previamente el eje de simetr´ıa de la parábola y halla el punto simétrico de P
respecto a él.
T1.15 Representa la función y = x2
− |x| + 2, considerando las dos parábolas que la definen al
tomar valores positivos y negativos de x.
T1.16 Representa la función y = |x2
−5x+6|, dibujando previamente la función f(x) = x2
−5x+6,
y teniendo en cuenta a continuación la definición de valor absoluto.
T1.17 Estudia la simetr´ıa de las siguientes funciones:
1. f(x) = x3
+ sen x 2. f(x) = x2
+ cos x
3. f(x) = | sen x| + cos x 4. f(x) = x + x3
+ x5
5. f(x) = sec x 6. f(x) = x · sen x
7. f(x) = sen x + cos x 8. f(x) = sen2
x + cos2
x
T1.18 Dada la función f(x) = dec x, halla el extremo superior y el extremo inferior. ¿Tiene
máximo y m´ınimo absoluto? Haz un dibujo de esta función.

T1.19 Dada la función f(x) = arctg x, halla el extremo superior y el extremo inferior. ¿Tiene
máximo y m´ınimo absoluto? Haz un dibujo de esta función.
T1.20 Demostrar la veracidad o no de las siguientes proposiciones:
(1) La suma de dos funciones pares es una función par.
(2) El producto de dos funciones pares es una función par.
(3) La suma de dos funciones impares es una función impar.
(4) El producto de dos funciones impares es una función impar.
T1.21 Se conoce la gráfica de una función f. Dibuja razonadamente las gráficas de las funciones:
(a) y = f(x − 3) (b) y = f(x + 3) (c) y = f(x) + 3 (d) y = f(x) − 3
T1.22 Representa las siguientes gráficas por traslación a partir de la función f(x) = x2
:
(a) F(x) = x2
+ 2x + 1 (b) F(x) = x2
− 2x − 1
(c) F(x) = x2
+ 1 (d) F(x) = x2
− 1
T1.23 Representa las siguientes funciones a partir de la función y = |x|:
(a) y = |x + 1| (b) y = |x − 1|
(c) y = |x| + 1 (d) y = |x| − 1

Tema 2 L´ımites
2.1 L´ımites de funciones
Una función f tiene l´ımite L en el punto x = a, si para todo número real ε > 0, existe
otro número real δ > 0 tal que si
0 < |x − a| < δ ⇒ |f(x) − L| < ε
Es decir, ∀ε > 0 ∃δ > 0 / 0 < |x − a| < δ ⇒ |f(x) − L| < ε
Se representa: lim
x→a
f(x) = L.
Otras definiciones de l´ımite
lim
x→a
f(x) = +∞ ⇐⇒ ∀M > 0 ∃δ > 0 / 0 < |x − a| < δ ⇒ f(x) > M
lim
x→a
f(x) = −∞ ⇐⇒ ∀M > 0 ∃δ > 0 / 0 < |x − a| < δ ⇒ f(x) < −M
lim
x→a+
f(x) = L ⇐⇒ ∀ε > 0 ∃δ > 0 / 0 < x − a < δ ⇒ |f(x) − L| < ε
lim
x→a−
f(x) = L ⇐⇒ ∀ε > 0 ∃δ > 0 / 0 < a − x < δ ⇒ |f(x) − L| < ε
lim
x→a+
f(x) = +∞ ⇐⇒ ∀M > 0 ∃δ > 0 / 0 < x − a < δ ⇒ f(x) > M
lim
x→a+
f(x) = −∞ ⇐⇒ ∀M > 0 ∃δ > 0 / 0 < x − a < δ ⇒ f(x) < −M
lim
x→a−
f(x) = +∞ ⇐⇒ ∀M > 0 ∃δ > 0 / 0 < a − x < δ ⇒ f(x) > M
lim
x→a−
f(x) = −∞ ⇐⇒ ∀M > 0 ∃δ > 0 / 0 < a − x < δ ⇒ f(x) < −M
lim
x→+∞
f(x) = L ⇐⇒ ∀ε > 0 ∃H > 0 / x > H ⇒ |f(x) − L| < ε
lim
x→−∞
f(x) = L ⇐⇒ ∀ε > 0 ∃H > 0 / x < −H ⇒ |f(x) − L| < ε
lim
x→+∞
f(x) = +∞ ⇐⇒ ∀M > 0 ∃H > 0 / x > H ⇒ f(x) > M
lim
x→−∞
f(x) = +∞ ⇐⇒ ∀M > 0 ∃H > 0 / x < −H ⇒ f(x) < −M
2.2 Propiedades de los l´ımites
(1) Si una función tiene l´ımite en un punto, forzosamente es único.
(2) Si los l´ımites laterales de una función en un punto son distintos, entonces la función
no tiene l´ımite en ese punto.
Si lim
x→a+
f(x) = lim
x→a−
f(x) entonces ∃ lim
x→a
f(x)
(3) Si una función tiene l´ımite distinto de cero en un punto, entonces existe un entorno del
mismo en el que los valores que toma la función tienen el mismo signo que el l´ımite.
(4) Sean f y g dos funciones tales que existan lim
x→a
f(x) y lim
x→a
g(x) y sea c un número
real. Las siguientes relaciones son ciertas siempre que tengan sentido las operaciones
7

8 TEMA 2. LÍMITES
definidas ya sea en la recta real IR o en la recta completa IR = IR {−∞, +∞}. En
caso contrario no es posible obtener el l´ımite del primer miembro a partir de los l´ımites
del segundo. Cuando esto suceda diremos que se trata de un caso indeterminado.
Función Propiedades
suma (resta) lim
x→a
(f ± g)(x) = lim
x→a
f(x) ± lim
x→a
g(x)
opuesta lim
x→a
(−f)(x) = − lim
x→a
f(x)
producto lim
x→a
(fg)(x) = lim
x→a
f(x) lim
x→a
g(x)
inversa (respecto al producto) lim
x→a
1
f
(x) =
1
lim
x→a
f(x)
cociente lim
x→a
f
g
(x) =
lim
x→a
f(x)
lim
x→a
g(x)
producto por un número lim
x→a
(cf)(x) = c lim
x→a
f(x)
constante lim
x→a
c = c
compuesta (f continua) lim
x→a
f(g(x)) = f lim
x→a
g(x)
identidad lim
x→a
x = a
potencia lim
x→a
f(x)
g(x)
= lim
x→a
f(x)
lim
x→a
g(x)
Los tipos de indeterminación para las operaciones anteriores son los siguientes:
k
0
(k = 0),
0
0
,
∞
∞
, 0 · ∞, ∞ − ∞, 1∞
, ∞0
, 00
Si al calcular un l´ımite se presenta alguna de estas indeterminaciones, es conve-
niente transformar la expresión de la función en otra equivalente a la que s´ı puedan
aplicarse las propiedades anteriores.
2.3 Cálculo de algunos l´ımites
2.3.1 L´ımites de funciones racionales
En las funciones racionales aparecen tres tipos de indeterminaciones, aunque en realidad
sólo dos de ellas son consideradas como tales:

2.3. CÁLCULO DE ALGUNOS LÍMITES 9
(1) Indeterminación tipo
k
0
(k = 0)
Para resolverla se calculan los l´ımites laterales; si son iguales, la función tiene l´ımite, en
caso contrario no existe. Sin embargo, este caso no suele tomarse como indeterminado
ya que el l´ımite, si existe, es siempre +∞ o −∞. Por ejemplo:
lim
x→1−
1
x − 1
= −∞
lim
x→1+
1
x − 1
= +∞



⇒ ∃ lim
x→1
1
x − 1
0
0
Esta indeterminación en funciones racionales desaparece descomponiendo en factores
el numerador y el denominador y simplificando. En general, si se anulan el numerador
y el denominador para x = a, ambos son divisibles por x − a. Por ejemplo:
lim
x→1
x3
− 1
x − 1
=
0
0
= lim
x→1
(x − 1)(x2
+ x + 1)
x − 1
= lim
x→1
(x2
+ x + 1) = 3
∞
∞
Esta indeterminación en funciones racionales desaparece dividiendo numerador y deno-
minador por la potencia máxima que aparezca. Por ejemplo:
lim
x→+∞
4x2
+ x − 1
x2 + 1
=
∞
∞
= lim
x→+∞
4x2
x2
+
x
x2
−
1
x2
x2
x2
+
1
x2
= lim
x→+∞
4 +
1
x
−
1
x2
1 +
1
x2
=
4 + 0 − 0
1 + 0
= 4
2.3.2 L´ımites de funciones irracionales
La indeterminación tipo
0
0
ó ∞ − ∞ de funciones con radicales de ´ındice 2 desaparece
multiplicando y dividiendo la función por la expresión radical conjugada. Por ejemplo:
lim
x→0
x
1 −
√
1 − x
=
0
0
= lim
x→0
x(1 +
√
1 − x)
(1 −
√
1 − x)(1 +
√
1 − x)
=
lim
x→0
x(1 +
√
1 − x)
1 − (1 − x)
= lim
x→0
(1 +
√
1 − x) = 2
2.3.3 Funciones equivalentes
Dos funciones son equivalentes en un punto si el l´ımite de su cociente en dicho punto
es 1.
Si en una expresión figura como factor o divisor una función, el l´ımite de la expresión no
var´ıa al sustituir dicha función por otra equivalente.
Tabla de l´ımites equivalentes:

10 TEMA 2. LÍMITES
sen x ∼ x
tan x ∼ x
arcsen x ∼ x
x → 0 arctan x ∼ x
1 − cos x ∼ x2
2
ex
− 1 ∼ x
ln(1 + x) ∼ x
ln x ∼ x − 1
x → 1
sen(x − 1) ∼ x − 1
2.4 As´ıntotas horizontales y verticales
2.4.1 As´ıntotas horizontales
La recta y = k es una as´ıntota horizontal de la función f si existe alguno de los l´ımites
siguientes:
lim
x→−∞
f(x) = k ó lim
x→+∞
f(x) = k
As´ı pues, para calcular las as´ıntotas horizontales de una función, si es que tiene, se hace
tender x hacia −∞ ó +∞ y se observa el valor de la y obtenido.
Observaciones:
• Una función puede tener como máximo dos as´ıntotas horizontales, correspondientes a
cada uno de los l´ımites en −∞ y +∞.
• La gráfica de la función puede cortar a la as´ıntota horizontal en uno o varios puntos. No
obstante, en la mayor´ıa de las funciones elementales la gráfica está permanentemente
por encima o por debajo de la as´ıntota considerada a partir de un punto.
• El conocimiento de la situación de la gráfica con relación a las as´ıntotas es esencial
para la representación de funciones. En el caso de la as´ıntota horizontal y = k es
conveniente estudiar si la función se acerca tomando valores mayores o menores.
2.4.2 As´ıntotas verticales
La recta x = a es una as´ıntota vertical de la función f si existe alguno de los l´ımites
siguientes:
lim
x→a
f(x) = +∞ ó − ∞, lim
x→a+
f(x) = +∞ ó − ∞, lim
x→a−
f(x) = +∞ ó − ∞,
As´ı pues, para calcular las as´ıntotas verticales de una función, si es que tiene, se localizan
los valores finitos de la variable x que hacen tender la variable y a +∞ ó −∞.
Observaciones:
• Una función puede tener infinitas as´ıntotas verticales.
• En la funciones elementales, la gráfica de la función nunca corta a la as´ıntota vertical,
ya que en los puntos donde existe as´ıntota no está definida la función.

2.5. ASÍNTOTAS OBLICUAS 11
• La situación de la gráfica de la función con relación a la as´ıntota x = a se obtiene
calculando los l´ımites laterales en x = a y viendo si valen +∞ ó −∞.
• En las funciones racionales, las as´ıntotas verticales se hallan tomando los puntos que
anulan al denominador pero no al numerador.
EJEMPLO:
Calcular las as´ıntotas horizontales y verticales de la función f(x) =
x + 1
x − 2
La recta x = 2 es la as´ıntota vertical.
lim
x→+∞
f(x) = 1+
lim
x→−∞
f(x) = 1− ⇒ La recta y = 1 es la as´ıntota horizontal
2.5 As´ıntotas oblicuas
La recta y = mx + n, m = 0 es una as´ıntota oblicua de la función f si existe alguno
de los l´ımites siguientes:
(1) lim
x→+∞
(f(x) − mx − n) = 0 As´ıntota oblicua en +∞.
(2) lim
x→−∞
(f(x) − mx − n) = 0 As´ıntota oblicua en −∞.
La as´ıntota y = mx + n quedará completamente determinada cuando conozcamos los
valores de m y n.
m = lim
x→±∞
f(x)
x
Según el valor de m obtenido al calcular el l´ımite en +∞ (respectivamente en −∞)
pueden darse tres casos:
a) Si m es un número real no nulo, la función tiene una as´ıntota oblicua en +∞ (resp.
en −∞).
b) Si m = ±∞, la función no tiene as´ıntota oblicua en +∞ (resp. en −∞).
c) Si m = 0, la función no tiene as´ıntota oblicua sino horizontal en +∞ (resp. en −∞).
Conocido m, se tiene:
lim
x→±∞
(f(x) − mx − n) = 0 ⇔ n = lim
x→±∞
(f(x) − mx)
Observaciones:
• Una función puede tener como máximo dos as´ıntotas oblicuas, correspondientes a cada
uno de los l´ımites.
• Si una función tiene as´ıntota oblicua en +∞ y −∞, no puede tener ninguna as´ıntota
horizontal.
• La gráfica de la función puede cortar a la as´ıntota oblicua en uno o varios puntos. No
obstante, en la mayor´ıa de las funciones elementales la gráfica está por encima o por
debajo de la as´ıntota a partir de un punto en adelante.
• La situación de la gráfica con relación a una as´ıntota se comprueba estudiando si la
función se aproxima a ella tomando valores mayores o menores.

T2.1 Calcula los siguientes l´ımites de funciones polin´omicas:
1. lim
x→2
(x2
− 5x + 6) 2. lim
x→1
(x − 1)7
3. lim
x→2
(x3
− x2
+ x + 1) 4. lim
x→+∞
(x2
− x + 1)
5. lim
x→+∞
(−x2
+ x + 25) 6. lim
x→−∞
(−x3
+ x2
+ 1)
T2.2 Calcula los siguientes l´ımites de funciones racionales, si existen; en caso contrario halla los
l´ımites laterales.
1. lim
x→1
x2
− 1
x + 1
2. lim
x→1
x − 1
x + 1
3. lim
x→1
1
x − 1
4. lim
x→1
x + 1
x2 − 1
5. lim
x→4
x2
− 6x + 8
x − 4
6. lim
x→1
x4
− 1
x − 1
7. lim
x→2
x2
− x − 2
x2 − 4x − 4
8. lim
x→1
x3
− 1
x2 − 1
9. lim
x→3
3
x − 3
10. lim
x→−1
x2
+ 2x + 1
x3 + 3x2 + 3x + 1
11. lim
x→2
x2
− 6x + 8
x − 2
12. lim
x→1
x4
− 1
x2 − 1
13. lim
x→0
(1 + x)2
− 1
x
14. lim
x→1
x5
− 1
x2 − 1
15. lim
x→+∞
x2
− 6x + 8
x2 − 2
16. lim
x→+∞
x4
− 1
x2 − 1
17. lim
x→+∞
(1 + x)2
− 1
x2
18. lim
x→1
x5
− 1
x7 − 1
T2.3 Calcula los siguientes l´ımites de funciones irracionales, si es posible:
1. lim
x→0
x
1 −
√
x + 1
2. lim
x→3
√
x + 1 − 2
x − 3
3. lim
x→1
√
x − 1
x − 1
4. lim
x→0
√
1 − x − 1
x
5. lim
x→0
√
1 − x −
√
1 + x
x
6. lim
x→0
1 −
√
1 − x2
x
7. lim
x→0
√
x + 9 − 3
√
x + 16 − 4
8. lim
x→1
√
x − 1 +
√
x + 1
√
x + 1 −
√
x − 1

9. lim
x→+∞
√
x + 1 − x 10. lim
x→+∞
√
1 + x −
√
x
11. lim
x→+∞
x2 + x − x 12. lim
x→+∞
√
x + 2 −
√
x − 2
13. lim
x→+∞
x2 + 1 − x2 − 1 14. lim
x→+∞
(x + 2)(x − 3) − x
T2.4 Calcula los siguientes l´ımites utilizando funciones equivalentes en x = 0:
1. lim
x→0
sen(8x)
4x
2. lim
x→0
sen(14x)
sen(7x)
3. lim
x→0
5 arcsen x
7x
4. lim
x→0
tg(2x)
sen(5x)
5. lim
x→0
tg(8x)
4x
6. lim
x→0
x arctg x
cos x sen(2x)2
7. lim
x→0
sen(tg(sen x)))
sen(tg x)
8. lim
x→0
x(1 − cos x)
sen3 x
9. lim
x→0
1 − cos x
x2
T2.5 Calcula los siguientes l´ımites utilizando funciones equivalentes en x = 1:
1. lim
x→1
sen(x − 1)
x − 1
2. lim
x→1
ln x
x − 1
T2.6 Calcula los siguientes l´ımites utilizando funciones equivalentes en x = +∞:
1. lim
x→+∞
3x2
+ x − 1
2x2 − x
2. lim
x→+∞
x3
− x2
+ 1
4x3 + x2 − x
T2.7 Hallar las as´ıntotas horizontales y verticales de las siguientes funciones:
1. f(x) =
1
x2
2. f(x) =
1
x3
3. f(x) =
x2
+ 1
x2 − 1
4. f(x) =
x − 1
x + 1
5. f(x) =
1
x − 1
6. f(x) =
x + 1
x − 1
7. f(x) =
x2
− 6x + 8
x − 4
8. f(x) =
x4
− 1
x − 1
9. f(x) =
x2
− x − 2
x2 − 4x + 4
10. f(x) =
x3
− 1
x2 − 1

T2.8 Hallar por divisi´on las as´ıntotas obl´ıcuas de las siguientes funciones racionales:
1. f(x) =
x2
+ 1
x
2. f(x) =
x3
(x − 1)2
3. f(x) =
x2
x − 2
4. f(x) =
x3
1 − x2
5. f(x) =
x2
− 5x + 4
x − 5
6. f(x) =
x2
− 4x + 3
x + 1
7. f(x) =
x2
− 3x − 4
2x − 5
8. f(x) =
x3
+ x2
− 2x + 3
x2 − 3
T2.9 Dibuja las funciones f(x) = ex
y g(x) = ln(x), di si tienen as´ıntotas y de qu´e clase son.

Tema 3 Continuidad
3.1 Continuidad en un punto
Una función f es continua en un punto si existe l´ımite en él y coincide con el valor
que toma la función en ese punto.
f es continua en x = a ⇔ lim
x→a
f(x) = f(a)
La continuidad de f en x = a implica que se cumplan estas tres condiciones:
(1) Existe el l´ımite de la función f(x) en x = a.
(2) La función está definida en x = a, es decir, existe f(a).
(3) Los dos valores anteriores coinciden.
Si una función no es continua en x = a, diremos que es discontinua en ese punto.
Si consideramos la definición métrica de l´ımite, la definición de continuidad queda como
sigue:
Una función f es continua en el punto x = a si a cada número real positivo ε se le puede
asociar otro número real positivo δ, tal que:
|x − a| < δ ⇒ |f(x) − f(a)| < ε
Es decir, “a puntos cercanos, f hace corresponder puntos cercanos”.
Una función es continua por la derecha en un punto si existe l´ımite por la derecha en
él y coincide con el valor que toma la función en ese punto.
f es continua en a+
⇔ lim
x→a+
f(x) = f(a)
Una función es continua por la izquierda en un punto si existe l´ımite por la izquierda
en él y coincide con el valor que toma la función en ese punto.
f es continua en a−
⇔ lim
x→a−
f(x) = f(a)
Si una función es continua por la derecha y por la izquierda en un punto dado, entonces
es continua en ese punto.
3.2 Propiedades de la continuidad local
3.2.1 Unicidad del l´ımite
Si una función es continua en un punto, entonces tiene l´ımite en ese punto y es único.
3.2.2 Teorema del signo
Si una función es continua en un punto x = a y f(a) = 0, entonces existe un entorno
simétrico de x = a en el que los valores que toma f tienen el mismo signo que f(a).
15

16 TEMA 3. CONTINUIDAD
3.2.3 Acotación de la función
Si una función es continua en el punto x = a, entonces está acotada en ese punto, es
decir, existe un entorno simétrico de x = a en el que la función está acotada.
3.2.4 Continuidad y operaciones
Las operaciones con funciones continuas en x = a da como resultado otra función con-
tinua en un entorno simétrico de x = a, siempre que tenga sentido la operación. Esto es
consecuencia de las operaciones con l´ımites de funciones.
Por ejemplo, f(x) = x2
y g(x) = sen(3x) son continuas en toda la recta real, por tanto
f(x) + g(x) = x2
+ sen(3x) y f(g(x)) = f(sen(3x)) = sen2
(3x) son también funciones
continuas.
3.3 Discontinuidades
Una función es discontinua en un punto cuando no existe l´ımite en él o, existiendo, no
coincide con el valor de la función en ese punto.
3.3.1 Discontinuidad evitable
Una función tiene una discontinuidad evitable en un punto cuando existe l´ımite en
él y no coincide con el valor de la función en el mismo.
El valor que deber´ıamos dar a la función en dicho punto para que fuera continua en él
se llama verdadero valor de la función en ese punto.
3.3.2 Discontinuidad inevitable
Una función tiene una discontinuidad inevitable en un punto cuando existen los
l´ımites laterales en él y son distintos.
Si f es discontinua en el punto x = a, el valor
lim
x→a+
f(x) − lim
x→a−
f(x)
se llama salto de la función en ese punto, y puede ser finito o infinito.
3.4 Continuidad en un intervalo
Una función es continua en un intervalo abierto (a, b) si lo es en cada uno de sus puntos.
Una función es continua en un intervalo cerrado [a, b] si lo es en todos los puntos de
(a, b), y además es continua por la derecha en a y por la izquierda en b.

3.5. PROPIEDADES DE LA CONTINUIDAD EN UN INTERVALO 17
3.5 Propiedades de la continuidad en un intervalo
3.5.1 Teorema de Weierstrass
Si una función es continua en un intervalo cerrado [a, b], tiene máximo y m´ınimo en ese
intervalo.
Este teorema implica que la función definida en el intervalo [a, b] está acotada.
3.5.2 Teorema de Bolzano
Si una función es continua en un intervalo cerrado [a, b] y toma valores de signo opuesto
en los extremos, entonces existe al menos un punto interior c del intervalo en el que f(c) = 0.
3.5.3 Teorema del valor intermedio. Teorema de Darboux
Si una función es continua en el intervalo [a, b], la función toma en ese intervalo todos
los valores comprendidos entre el m´ınimo y el máximo. Es una consecuencia inmediata del
Teorema de Bolzano.
3.5.4 Imagen de un intervalo cerrado
La imagen de un intervalo cerrado por una función continua es un intervalo cerrado.
Si la función está definida en [a, b], alcanza un valor máximo M y un valor m´ınimo m.
Por el teorema del valor intermedio, la función tomará todos los valores comprendidos entre
el m´ınimo y el máximo. Estos puntos pertenecen al intervalo [m, M].
Por ejemplo, la función f(x) = sen x definida en [0, 2π] tiene por imagen el intervalo
cerrado [-1,1].
3.5.5 Continuidad y operaciones
Las operaciones con funciones continuas definidas en el mismo intervalo dan como re-
sultado otra función continua en él siempre que tenga sentido la operación.
Esto es consecuencia de las operaciones con funciones continuas en puntos.

T3.1 Se define una función de la siguiente forma:
f(x) =
0 si x es un número entero
1 si x no es un número entero
Representa la función y di en qué puntos es discontinua.
T3.2 Se considera la función racional f(x) =
x2
− 1
x − 1
; calcula:
(1) Su dominio.
(2) ¿Es discontinua en algún punto? ¿Por qué?
(3) En x = 1 la función no está definida. Ampl´ıa esta función para que sea continua en todo IR.
T3.3 Halla los puntos de discontinuidad de las siguientes funciones:
(a) f(x) =
1
x
(b) f(x) =
1
x2 − 4
(c) f(x) =
x + 1 si x ≥ 0
x − 1 si x < 0
(d) f(x) =
x2
− 1 si x ≤ 0
2x − 3 si x > 0
(e) f(x) =
x + 1 si x ≥ 0
−x − 1 si x < 0
(f) f(x) =
x + 1 si x ≤ 2
2x − 1 si x > 2
(g) f(x) =
2 − x2
si x ≤ 2
2x − 6 si x > 2
(h) f(x) =



1
x
si x < 1
√
x + 1 si x ≥ 1
T3.4 Calcula cuánto debe valer a para que la función f sea continua:
f(x) =
x + 1 si x ≤ 1
3 − ax2
si x > 1
T3.5 Representa la siguiente función e indica si tiene algún punto de discontinuidad:
f(x) =
x + 1 si x < 3
x2
si 3 ≤ x < 4
0 si x ≥ 4
T3.6 Estudia la continuidad de la siguiente función:
f(x) =



2x2
+ 3x − 2
2x2 − 5x + 2
si x =
1
2
−
5
3
si x =
1
2
T3.7 Representa la siguiente función e indica si tiene algún punto de discontinuidad:
f(x) =
x − 1 si x ≤ 1
x2
− 1 si 1 < x ≤ 2
x2
si x > 2

T3.8 Prueba que la función
f(x) =
x2
− 1
x3 + 7x − 8
no es continua en x = 1 e indica qué tipo de discontinuidad presenta.
T3.9 La función
f(x) =
x3
+ x2
+ x + a
x − 1
no está definida en x = 1. Halla el valor de a para que sea posible definir el valor de f(1) y resulte
as´ı una función continua.
T3.10 Dada la función
f(x) =
x2
+ 2x − 1 si x < 0
ax + b si 0 ≤ x < 1
2 si x ≥ 1
halla a y b para que la función sea continua y dibuja su gráfica.
T3.11 Dadas las funciones f y g definidas en IR por:
f(x) =
x + |x|
2
g(x) =
x si x < 0
x2
si x ≥ 0
estudia la continuidad de la función compuesta dada por g◦ f.
T3.12 Sea f(x) la función que en el intervalo abierto (0,1) está dada por:
f(x) =
x2
− x
sen πx
¿Qué valores habr´ıa de tener en 0 y en 1 para que fuese continua en el intervalo cerrado [0, 1]?
T3.13 ¿Se puede asignar un valor a f(0) para que la función definida por:
f(x) = 1 − x sen
1
x
(para x = 0) sea continua en el punto x = 0?
T3.14 Dada la función:
f(x) =
x(log x)2
(x − 1)2
(1) Determina su dominio.
(2) ¿Se podr´ıa asignar a f(x) algún valor en los puntos de discontinuidad para que fuese continua
en el intervalo [0, +∞)?
T3.15 Utiliza el teorema de Bolzano para demostrar que la ecuación x3
+ x2
− 7x + 1 = 0 tiene
una solución en el intervalo [0, 1].
T3.16 Si f(x) es continua en [1, 9] y es tal que f(1) = −5 y f(9) > 0, ¿podemos asegurar que en
estas condiciones la función g(x) = f(x) + 3 tiene al menos un cero en el intervalo [1, 9]?
T3.17 ¿Se puede afirmar que la ecuación sen x + 2x − 1 = 0 tiene al menos una ra´ız real? Si es
as´ı, halla un intervalo en el cual se encuentre dicha ra´ız.
T3.18 Comprueba que la ecuación x2
= x sen x + cos x posee alguna solución real en [−π, π].
T3.19 Demuestra que la ecuación πx
= e tiene una solución en el intervalo (0, 1).
T3.20 Demuestra que la ecuación x = cos x tiene una solución en el intervalo (0, 1).

T3.21 Sea f(x) una función continua en [a, b], c, d ∈ [a, b] con f(c) = 10 y f(d) = 7. Demuestra
que la ecuación g(x) = f(x) + 7 tiene un valor p del intervalo [c, d] tal que g(p) = 15.
T3.22 Prueba que la función f(x) =
6
2 + sen x
alcanza el valor 4 en el intervalo [−
π
2
,
π
2
].
T3.23 De dos funciones F(x) y G(x) se sabe que son continuas en el intervalo (a, b), que F(a) >
G(a) y que G(b) > F(b). ¿Puede demostrarse que existe algún punto t del intervalo en el que se
corten las gráficas de las dos funciones?
T3.24 Utilizando el teorema de Bolzano acerca de las funciones continuas, indica cómo y en qué
intervalo se aplicar´ıa para saber que la ecuación log x = 1 − x tiene solución.
T3.25 Consideremos la función f(x) =
1
x − 1
(1) ¿Es f continua en el intervalo [1,2]?
(2) ¿Está acotada en tal intervalo?
(3) ¿Tiene algún m´ınimo o máximo absolutos?
(4) ¿Se contradice el teorema de Weierstrass?

Tema 4 Derivadas
4.1 Derivada de una función en un punto
Se llama derivada de la función f en el punto x = a, si es que existe a:
lim
h→0
f(a + h) − f(a)
h
Si el l´ımite existe se dice que la función es derivable en el punto x = a. La derivada de
una función en un punto es un número real.
Para designar la derivada de la función f en el punto x = a, se emplean diversas nota-
ciones: y (a), f (a), Df(a),
df
dx
(a).
Si hacemos x = a+h, entonces h = x−a, con lo que x → a cuando h → 0. Sustituyendo
estos valores en la fórmula anterior se obtiene una segunda forma de expresar la derivada:
f (a) = lim
x→a
f(x) − f(a)
x − a
4.1.1 Derivadas laterales
Se llama derivada por la izquierda de la función f en el punto x = a al l´ımite
siguiente, si es que existe:
lim
h→0−
f(a + h) − f(a)
h
Se llama derivada por la derecha de la función f en el punto x = a al l´ımite siguiente,
si es que existe:
lim
h→0+
f(a + h) − f(a)
h
La derivada por la izquierda se designa por f (a)−
y la derivada por la derecha por
f (a)+
.
De otra forma:
f (a)−
= lim
x→a−
f(x) − f(a)
x − a
f (a)+
= lim
x→a+
f(x) − f(a)
x − a
Una función es derivable en un punto si y sólo si es derivable por la izquierda y por la
derecha en ese punto y las derivadas laterales coinciden.
Una función es derivable en un intervalo abierto (a, b) si lo es en cada uno de sus puntos.
Una función es derivable en un intervalo cerrado [a, b] si es derivable en cada punto de
(a, b) y derivable por la derecha en a y por la izquierda en b.
4.2 Interpretación geométrica de la derivada
4.2.1 La derivada como pendiente de la recta tangente
21

22 TEMA 4. DERIVADAS
x0 x1
f(x0)
f(x1)
y = f(x)
P0
P1
P2
P3
Sea P0(x0, f(x0)) un punto fijo y sea Pi(xi, f(xi))
un punto cualquiera de la gráfica correspondiente a
la función y = f(x)
La pendiente de la recta secante P0Pi es:
mi =
f(xi) − f(x0)
xi − x0
Si los puntos Pi se aproximan hacia el punto P0, sus abscisas xi tenderán a x0. Por
tanto, si indicamos por mt la pendiente de la recta tangente en P0, resulta:
mt = lim
xi→x0
f(xi) − f(x0)
xi − x0
que es la derivada de la función f en el punto x = x0, correspondiente al punto P0.
La recta tangente es el l´ımite de la secante, y su pendiente coincide con el l´ımite de las
pendientes de las secantes.
La pendiente de la tangente en un punto es igual a la derivada de la función en ese punto:
mt = f (x0)
La ecuación de la recta tangente en el punto P0(x0, f(x0)) es:
y − f(x0) = f (x0)(x − x0)
4.2.2 Normal a una curva en un punto
La normal a una curva en un punto P0 es la perpendicular a la recta tangente en dicho
punto.
Si la pendiente de la tangente es mt = f (x0), la pendiente de la normal es:
mn = −
1
f (x0)
y la ecuación de la normal viene dada por:
y − f(x0) = −
1
f (x0)
(x − x0)
4.3 Función derivada. Derivadas sucesivas
4.3.1 Función derivada
Si una función f es derivable en un subconjunto D de su dominio D, es posible definir
una nueva función que asocie a cada número real de D su derivada en ese punto. Esta
función as´ı definida se llama función derivada, o simplemente, derivada. La notación de
la derivada de la función y = f(x) viene dada por y = f (x) o por Df(x).

4.4. DERIVADAS DE LAS FUNCIONES ELEMENTALES 23
4.3.2 Derivadas sucesivas
A partir de la función derivada primera se puede definir, si existe, también su derivada,
y recibe el nombre de derivada segunda. Se designa por y = f (x) ó D2
f(x).
Análogamente se definen las funciones derivadas tercera, cuarta, quinta,..., n-ésima, que
se designan por:
f (x), fIV
(x), fV
(x), ..., fn
(x) ó D3
f(x), D4
f(x), D5
f(x), ..., Dn
f(x)
4.4 Derivadas de las funciones elementales
Simples Compuestas
Función Derivada Función Derivada
xn
nxn−1
f(x)n
nf(x)n−1
· f (x)
√
x
1
2
√
x
f(x)
f (x)
2 f(x)
ln x
1
x
ln f(x)
f (x)
f(x)
loga x
1
x
loga e =
1
x · ln a
loga f(x)
f (x)
f(x) · ln a
=
f (x)
f(x)
loga e
ex
ex
ef(x)
ef(x)
· f (x)
ax
ax
ln a af(x)
af(x)
· f (x) · ln a
sen x cos x sen f(x) cos f(x) · f (x)
cos x − sen x cos f(x) − sen f(x) · f (x)
1 + tg2
x = (1 + tg2
f(x)) · f (x) =
tg x = sec2
x = tg f(x) = sec2
f(x) · f (x) =
=
1
cos2 x
=
f (x)
cos2 f(x)
arcsen x
1
√
1 − x2
arcsen f(x)
f (x)
1 − f(x)2
arccos x
− 1
√
1 − x2
arccos f(x)
− f (x)
1 − f(x)2
arctg x
1
1 + x2
arctg f(x)
f (x)
1 + f(x)2

4.5 Operaciones con derivadas
Operación Derivada
f(x) ± g(x) f (x) ± g (x)
f(x)g(x) f (x)g(x) + f(x)g (x)
f(x)
g(x)
f (x)g(x) − f(x)g (x)
(g(x))2
a · f(x) a · f (x)
g(f(x)) g (f(x)) · f (x)
f−1
(x)
1
f (f−1(x))
f(x)g(x)
g(x) · f(x)g(x)−1
· f (x)
potencial
+ f(x)g(x)
· ln f(x) · g (x)
exponencial
Observación: la derivación de la composición de funciones se llama regla de la cadena.
La fórmula de la composición de funciones se extiende a tres o más funciones aplicando la
regla de la cadena repetidamente.
Para derivar la función potencial-exponencial fg
se usa la derivación logar´ıtmica y resulta:
y = f(x)g(x)
tomando logaritmos
ln y = ln(f(x)g(x)
) por propiedades del logaritmo
ln y = g(x) ln f(x) derivando la igualdad
y
y
= g (x) ln f(x) + g(x)
f (x)
f(x)
despejando y
y = y · g (x) ln f(x) + g(x)
f (x)
f(x)
es decir
y = f(x)g(x)
· g (x) ln f(x) + g(x)
f (x)
f(x)
También podemos derivarla teniendo en cuenta que el primer sumando corresponde a la
derivada de la función considerada como potencial y el segundo como exponencial.
Dfg
= g · fg−1
· f
potencial
+ fg
· ln f · g
exponencial

T4.1 En la ecuación de la recta y = mx + b, explica cómo se determinar´ıan los números m y b
para que sea tangente a la gráfica de la función y = f(x) en el punto de ésta de abscisa p.
T4.2 La función f(x) = |x + 1| no tiene derivada en un punto; ¿cuál es? Representa primero la
gráfica de la función f y, sobre ella, razona la respuesta.
T4.3 Dada la parábola de ecuación y = x2
+ x + 1, halla la pendiente de la recta tangente en el
punto de abscisa x = 2.
T4.4 Halla la ecuación de la tangente a las curvas en los puntos que se indican:
1. f(x) = 3x2
+ 8 en el punto P(1, 11)
2. f(x) = x4
− 1 en el punto P(0, −1)
3. f(x) = x5
+ 1 en el punto P(0, 1)
4. f(x) = 2x5
+ 4 en el punto P(−1, 2)
5. f(x) = 32x2
+1
en el punto de abscisa x = 0
T4.5 Escribe la ecuación de la recta tangente a la hipérbola xy = 1 en el punto de abscisa x = 3.
Razónalo.
T4.6 ¿En qué punto de la gráfica de la función f(x) = x2
− 6x + 8 la tangente es paralela al eje de
abscisas? ¿Qué nombre recibe ese punto de la parábola?
T4.7 ¿En qué punto de la gráfica de la función f(x) = x2
− 6x + 8 la tangente es paralela a la
bisectriz del primer cuadrante?
T4.8 Determina los puntos de la curva y = x3
+ 9x2
− 9x + 15 en los cuales la tangente es paralela
a la recta y = 12x + 5.
T4.9 Busca los puntos de la curva y = x4
− 7x3
+ 13x2
+ x + 1 que tienen la tangente formando
un ángulo de 45◦
con el eje de las abscisas.
T4.10 Obtén las ecuaciones de las rectas tangente y normal a la curva y = (x + 1) · 3
√
3 − x en el
punto P(2, 3).
T4.11 Demuestra que la curva y = |x − 2| no puede tener tangente en x = 2.
T4.12 Estudia la derivabilidad en x = 1 de la siguiente función y dibuja su gráfica
f(x) =
1 si x ≤ 1
2 si x > 1
T4.13 Dada la función
f(x) =
2 si x ≤ 0
x2
si x > 0
¿Es derivable en x = 0? ¿Es continua en x = 0? (aplica la definición de derivada).
T4.14 Dada la función f(x) =
mx2
− 1
x
, hallar m para que f (1) = 0. (Aplica la definición de
derivada).
T4.15 El espacio recorrido por un móvil viene dado por la ecuación s(t) = 3t + 5. Demuestra que
la velocidad media es constante en cualquier intervalo.
T4.16 La ecuación del espacio recorrido por un móvil en función del tiempo es s(t) = 3t2
− t + 1.
Halla la velocidad en el instante t = 2.

T4.17 Calcula las derivadas de las siguientes funciones tipo potencial:
1. f(x) = x6
2. f(x) = x−6
3. f(t) = t2/3
4. f(t) = t−2/3
5. f(x) = x2
· x1/3
6. f(x) = x2
· x−1/3
7. f(m) = (m2
− 1)7
8. f(m) = (m2
+ 1)−1/3
9. f(x) =
x2
x1/2
10. f(x) = x1/2
· x1/3
· x1/4
11. f(x) =
√
x 12. f(x) = 3
√
x
13. f(x) =
√
x
x
14. f(x) =
x
√
x
15. f(t) = sen2
t 16. f(x) = sen−2
x
17. f(x) =
√
sen x 18. f(x) = 3
√
sen x
19. f(x) = cos2
x 20. f(x) = cos−2
x
21. f(t) =
√
cos t 22. f(x) = 3
√
cos x
23. f(x) = tg2
x 24. f(x) = tg−2
x
25. f(x) =
√
tg x 26. f(x) = tg−1/2
x
27. f(t) = cotg2
t 28. f(x) = cotg−2
x
29. f(t) =
√
cotg t 30. f(x) = cotg−1/2
x
T4.18 Calcula las derivadas de las siguientes funciones tipo logar´ıtmico:
1. f(x) = ln(x2
− x + 1) 2. f(x) = ln(sen x)
3. f(t) = ln(cos t) 4. f(x) = ln(ex
)
5. f(x) = ln(tg x2
) 6. f(x) = ln(x2
+ 1)2
7. f(x) = ln(sen x)1/2
T4.19 Calcula las derivadas de las siguientes funciones de tipo exponencial:
1. f(x) = e4x
2. f(x) = e3−x2
3. f(x) = 5x2
+x+1
4. f(x) = 2x2
+1
5. f(x) = eeex
6. f(x) = 3x
· 5x
T4.20 Calcula las derivadas de las siguientes funciones tipo potencial-exponencial:
1. f(x) = xtg x
2. f(x) = (sen x)cos x
3. f(x) = (sen x)sen x
4. f(x) = (sen x)x
T4.21 Calcula las derivadas de las siguientes funciones tipo seno:
1. f(x) = sen 2x 2. f(x) = sen(−2x)
3. f(t) = sen(2t + 7) 4. f(x) = sen(−3x + 6)2
5. f(m) = sen(m2
+ 1) 6. f(x) = sen x−2
7. f(x) = sen(ex
) 8. f(x) = sen5
(x2
+ 1)7
9. f(x) = sen(ln(x2
+ 1)) 10. f(x) = sen(5x
)
11. f(p) = sen(cos p) 12. f(x) = sen(tg x)
13. f(x) = sen(cotg x) 14. f(x) = sen2
(x2
+ 1)2

T4.22 Calcula las derivadas de las siguientes funciones tipo coseno:
1. f(x) = cos 2x 2. f(x) = cos(−2x)
3. f(s) = cos(2s + 7) 4. f(x) = cos(−3x + 6)2
5. f(t) = cos t2
6. f(x) = cos x−2
7. f(x) = cos(ln(x2
+ 1)) 8. f(x) = cos(5x
)
9. f(x) = cos(cos x) 10. f(x) = cos(cos(cos x))
11. f(x) = cos(tg x) 12. f(x) = cos(ex
)
13. f(x) = cos(cotg x) 14. f(x) = cos(x2
+ 1)2
T4.23 Calcula las derivadas de las siguientes funciones tipo tangente:
1. f(x) = tg 2x 2. f(x) = tg(−2x)
3. f(t) = tg(2t + 7) 4. f(x) = tg(−3x + 6)
5. f(x) = tg x−2
6. f(x) = tg(ex
)
7. f(x) = tg(ln(x2
+ 1)) 8. f(x) = tg(5x
)
T4.24 Calcula las derivadas de las siguientes funciones tipo cotangente:
1. f(x) = cotg 2x 2. f(x) = cotg(−2x)
3. f(t) = cotg(2t + 7) 4. f(x) = cotg(−3x + 6)
5. f(x) = cotg(x2
+ 1)2
6. f(x) = cotg x−2
T4.25 Calcula las derivadas de las siguientes funciones tipo arcoseno:
1. f(x) = arcsen 2x 2. f(x) = arcsen(x2
+ 1)
3. f(x) = arcsen
√
x 4. f(x) = arcsen(cos x)
T4.26 Calcula las derivadas de las siguientes funciones tipo arcotangente:
1. f(x) = arctg(x2
+ 1) 2. f(x) = arctg
√
x
3. f(x) = arctg(ln x) 4. f(x) = arctg(ex
)
5. f(x) = arctg x−1/2
T4.27 Calcula las derivadas de las siguientes funciones y expresa el resultado de la forma más
simple posible:
1. f(x) = ln(tg(x2 + 1)) 2. f(x) = arcsen(2x
√
1 − x2)
3. f(x) = (1 − cos x) cotg x 4. f(x) =
x + 1
x − 1
5. f(x) = ln(x + 1 +
√
x2 + 2x + 1) 6. f(x) = ln
1 + sen x
1 − sen x
7. f(x) = arctg
√
1 + x2 − 1
x
8. f(x) = eln sen2
x
9. f(x) = arctg
1 + x
1 − x
− arctg x 10. f(x) = arcsen(xcos2
x
)
11. f(x) =
ax + b
cx + d
12. f(x) = arctg
x
√
1 − x2
T4.28 Halla la derivada vigésimo tercera de y = a sen bx para a y b constantes.
T4.29 Deriva la función y = (cos x)ln x2
y halla el valor de la función en x =
π
2
y x = 1.
T4.30 Dada la función f(x) = esen x
, calcula y , y , y .

T4.31 Calcula y simplifica las derivadas de las siguientes funciones
1. f(x) = ln
√
1 + ex − 1
√
1 + ex + 1
f (x) =
1
√
1 + ex
2. f(x) =
√
a2 − x2 + a · arcsen
x
a
f (x) =
a − x
a + x
3. f(x) = ln(x +
√
a2 + x2) f (x) =
1
√
a2 + x2
4. f(x) = −
1
2 sen2 x
+ ln(tg x) f (x) =
1
sen3 x cos x
5. f(x) =
1
10
e−x
(3 sen 3x − cos 3x) f (x) = e−x
cos 3x
6. f(x) = 2 sen x cos x f (x) = 2 cos 2x
7. f(x) = (sen x)cos x
f (x) = (sen x)cos x cos2
x
sen x
− sen x · ln(sen x)
8. f(x) = ln(tg x) f (x) =
1
sen x cos x
9. f(x) =
1
2
ln(1 + x2
) f (x) =
x
1 + x2
10. f(x) = ln(sen x) f (x) = cotg x
11. f(x) = sen x − x cos x f (x) = x sen x
12. f(x) = 2 arctg(
√
x) f (x) =
1
(1 + x)
√
x
13. f(x) = −
√
x2 + 4
4x
f (x) =
1
x2
√
4 + x2
T4.32 Halla la derivada vigésimo cuarta de y = a sen bx para a y b constantes.
T4.33 Deriva la función y = ln(x2
)cos x
y halla el valor de la función en x =
π
2
y x = 1.
T4.34 Dada la función y = f(x) = etg x
, calcula y , y , y .

Tema 5
Propiedades de las funciones
derivables
5.1 Continuidad y derivabilidad
Si una función es derivable en un punto x = a, entonces es continua en él. Veámoslo:
Sabiendo que f (a) = lim
x→a
f(x) − f(a)
x − a
hay que probar que lim
x→a
f(x) = f(a).
lim
x→a
f(x) = f(a) ⇐⇒ lim
x→a
(f(x) − f(a)) = 0
Multiplicando y dividiendo por x − a:
lim
x→a
(f(x) − f(a)) = lim
x→a
f(x) − f(a)
x − a
· (x − a) = lim
x→a
f(x) − f(a)
x − a
f (a)
· lim
x→a
(x − a)
0
= 0
Sin embargo, el rec´ıproco de este teorema no es cierto. Cualquier función derivable es
continua, pero una función continua no es necesariamente derivable. Por ejemplo, la función
f(x) = |x| es continua pero no es derivable en x = 0.
De este teorema se deduce que las funciones derivables forman un subconjunto de las
funciones continuas.
5.2 Derivada en un punto máximo o m´ınimo
Sea f una función definida en un intervalo abierto (a, b). Si la función alcanza un máximo
o un m´ınimo en un punto c del intervalo y es derivable en él, entonces su derivada es nula.
La interpretación geométrica de este hecho es que la recta tangente en un punto máximo
o m´ınimo es paralela al eje de abscisas.
5.3 Teorema de Rolle
Si una función f es continua en un intervalo cerrado [a, b], derivable en su interior (a, b)
y f(a) = f(b), entonces existe al menos un punto interior c tal que f (c) = 0.
Geométricamente, este teorema expresa la existencia de un punto c de (a, b) tal que la
recta tangente en (c, f(c)) es paralela al eje de abscisas.
Demostración por ser f continua en [a, b] y debido al teorema de Weierstrass, la función
alcanza un máximo y un m´ınimo. De este hecho se obtienen tres posibilidades:
29

30 TEMA 5. PROPIEDADES DE LAS FUNCIONES DERIVABLES
a bc a c b a b
Si el valor máximo o m´ınimo se presenta en un punto c de (a, b), entonces por el teorema
anterior de la derivada en un punto máximo o m´ınimo, es f (c) = 0.
Si los valores máximo y m´ınimo se presentan ambos en los extremos, son iguales, ya
que f(a) = f(b), luego la función f es constante. Por tanto, para todo punto c de (a, b) es
f (c) = 0.
5.4 Teorema del valor medio o de Lagrange
Si una función f es continua en un intervalo cerrado [a, b] y derivable en su interior
(a, b), entonces existe al menos un punto interior c de (a, b) tal que:
f(b) − f(a)
b − a
= f (c)
lo cual equivale a:
f(b) − f(a) = f (c) · (b − a)
que recibe el nombre de fórmula de incrementos finitos.
Demostración
c
Ts(x)
f(x)
g(x)
a b
Para demostrar este teorema aplicaremos el teorema
de Rolle a una función auxiliar s(x) que da la longi-
tud del segmento vertical, es decir:
s(x) = f(x) − g(x)
siendo g(x) la función cuya gráfica es la recta, lla-
mada secante, que une (a, f(a)) con (b, f(b)), es de-
cir:
g(x) =
f(b) − f(a)
b − a
· (x − a) + f(a)
Por tanto:
s(x) = f(x) −
f(b) − f(a)
b − a
· (x − a) − f(a)
Esta función verifica las condiciones del teorema de Rolle, pues es continua en [a, b],
derivable en (a, b) y s(a) = s(b) = 0. Por tanto, existe algún c en (a, b) tal que s (c) = 0.

5.5. CONSECUENCIAS DEL TEOREMA DEL VALOR MEDIO 31
Pero:
s (c) = f (c) −
f(b) − f(a)
b − a
= 0 =⇒ f (c)
pendiente de la
tangente en (c, f(c))
=
f(b) − f(a)
b − a
pendiente de la secante
5.5 Consecuencias del Teorema del valor medio
5.5.1 Caracterización de las funciones constantes
Si una función f tiene derivada nula en todos los puntos de un intervalo abierto, es
constante.
Demostración tomemos dos valores x y x + h del intervalo (a, b) y aplicando el teorema
de Lagrange al intervalo [x, x + h], habrá un punto c del intervalo (x, x + h) que verifica:
f(x + h) − f(x) = f (c) · h
y como f (c) = 0, resulta:
f(x + h) − f(x) = 0 =⇒ f(x + h) = f(x) =⇒ f es constante
Este teorema no es válido si el dominio de la función no es un intervalo.
5.5.2 Relación entre funciones con igual derivada
Si dos funciones f y g tienen derivadas iguales en todos los puntos de un intervalo
abierto, difieren en una constante.
Demostración
D(f(x) − g(x)) = Df(x) − Dg(x) = 0
Luego, por el apartado anterior:
f(x) − g(x) = C
Gráficamente, esto significa que la curva g(x) se obtiene a partir de f(x) trasladándola
paralelamente al eje de las y.
Este teorema no es válido si el dominio de la función no es un intervalo.
5.6 Teorema de Cauchy
Si f y g son dos funciones continuas en un intervalo cerrado [a, b], derivables en su
interior (a, b), g(b) = g(a) y g (x) = 0 para todo x de (a, b), entonces existe al menos un
punto c de (a, b) tal que:
f(b) − f(a)
g(b) − g(a)
=
f (c)
g (c)
Nota: este teorema es una generalización del teorema del valor medio cuando g(x) = x.

5.7 Ra´ıces de una ecuación o función
Entre cada dos ra´ıces de una función derivable existe al menos una raiz de la función
derivada.
De este resultado se deduce cierta información sobre el número de ra´ıces reales de f
cuando conocemos las de f . Por ejemplo:
• Si f no posee ra´ıces reales, el número máximo de ra´ıces de f será uno.
• Si f sólo posee una raiz real, el número máximo de ra´ıces de f será dos, y as´ı sucesi-
vamente.
5.8 Regla de L’Hôpital. Cálculo de l´ımites indetermi-
nados
(a) Indeterminación
0
0
:
Supongamos que lim
x→a
f(x) = lim
x→a
g(x) = 0, siendo g(x) = 0 en un entorno de a.
Si lim
x→a
f (x)
g (x)
existe, tanto si es finito como infinito, entonces:
lim
x→a
f(x)
g(x)
= lim
x→a
f (x)
g (x)
El valor de a puede finito o infinito.
En algunos casos el l´ımite del cociente de las derivadas vuelve a presentar la misma
indeterminación. Si sucede esto, se repite el proceso una vez que hayamos comprobado que
puede aplicarse la regla de L’Hôpital.
(b) Indeterminación
∞
∞
:
Supongamos que lim
x→a
f(x) = lim
x→a
g(x) = ∞.
Si lim
x→a
f (x)
g (x)
existe, tanto si es finito como infinito, entonces:
lim
x→a
f(x)
g(x)
= lim
x→a
f (x)
g (x)
El valor de a puede finito o infinito.
(c) Otros tipos de indeterminación:
Las indeterminaciones tipo 0 · ∞, ∞ − ∞ se reducen a uno de los tipos anteriores trans-
formando adecuadamente las expresiones.
Para las indeterminaciones del tipo 1∞
, ∞0
, 00
, el truco consiste en considerar no las
expresiones que nos dan, sino sus logaritmos. De este modo, puede aplicarse la regla de
L’Hôpital, puesto que se reduce a uno de los tipos anteriores.
A = lim
x→a
f(x)g(x)

5.8. REGLA DE L’H ÔPITAL. CÁLCULO DE LÍMITES INDETERMINADOS 33
Tomando logaritmos neperianos en ambos miembros, se tiene:
ln A = lim
x→a
(g(x) · ln f(x))
de donde:
lim
x→a
f(x)g(x)
= eln A
Ejemplos:
(1) lim
x→0
x − sen x
x3
=
0
0
L’H
= lim
x→0
1 − cos x
3x2
=
0
0
L’H
= lim
x→0
sen x
6x
=
0
0
L’H
= lim
x→0
cos x
6
=
1
6
(2) A = lim
x→0
xx
⇒ ln A = lim
x→0
(x · ln x)(= 0 · ∞)
ln A = lim
x→0
(x · ln x) = lim
x→0
ln x
1
x
=
∞
∞
L’H
= lim
x→0
1
x
− 1
x2
= lim
x→0
(−x) = 0
Por tanto, A=e0
=1.

T5.1 Estudia la continuidad y derivabilidad de la función f(x) = |x − 1| en el intervalo [−2, 2].
T5.2 Dada la función definida por
f(x) =
x2
sen
1
x
si x = 0
0 si x = 0
estudia su continuidad y derivabilidad.
T5.3 Estudia la continuidad y derivabilidad de la función
f(x) =
2 si x < 0
x − 2 si x ∈ [0, 4]
x2
− 8 si x > 4
T5.4 Calcula la derivada de la siguiente función e interpreta el resultado.
f(x) = arctg
1 + x
1 − x
− arctg x
T5.5 Dada la función f(x) = |x2
− 4|, confirma si se verifican las hipótesis del Teorema de Rolle
en [−3, 3].
T5.6 ¿Es aplicable el Teorema de Rolle a la función
f(x) =
x + 2 si 1 ≤ x < 3
7 − x si 3 ≤ x ≤ 5?
T5.7 Halla el punto c al que se refiere el teorema del valor medio para la función f(x) = x2
−x+3
en el intervalo [2, 5].
T5.8 Indica si las funciones f y g verifican las hipótesis del Teorema del valor medio y, en caso
afirmativo, encuentra los puntos c cuya existencia asegura el teorema:
f : [0, 1] −→ IR g : [0, π] −→ IR
x −→ x(x − 2) x −→ 2x + sen x
T5.9 Dadas las funciones f(x) = x2
− 1 y g(x) = x + 2 que cumplen las condiciones del Teorema
de Cauchy en [0, 4], halla el punto c al que se refiere el teorema.
T5.10 Dada la función f(x) = (x − 1)(x − 2)(x − 3)(x − 4), halla tres intervalos tales que cada uno
de ellos contenga una ra´ız diferente de la ecuación f (x) = 0.
T5.11 Si el término independiente de un polinomio en x es igual a 3 y el valor que toma ese
polinomio para x = 2 es 3, prueba que su derivada se anula para algún valor de x; razona a qué
intervalo pertenece ese valor.
T5.12 Demuestra que la ecuación x3
+ 6x2
+ 15x − 23 = 0 no puede tener más de una ra´ız real.
T5.13 Demuestra que la ecuación x18
− 5x + 3 = 0 no puede tener más de dos ra´ıces reales.
T5.14 Comprueba, utilizando los teoremas de Bolzano y Rolle, que la curva y = x5
− 5x − 1 tiene
exáctamente tres puntos de intersección con el eje OX.
T5.15 Halla un intervalo no superior a
1
8
en el cual se anule la función definida por
f(x) =
x3
+ 2x − 1
x
(x = 0)
¿En cuántos puntos corta su gráfica al eje de abscisas?

T5.16 Sea f(x) = x2
− 1 y g(x) = x − 1. ¿Por qu´e lim
x→1
f(x)
g(x)
= 2?
T5.17 Calcula los siguientes l´ımites:
1. lim
x→1
x5
− 1
x3 − 1
2. lim
x→2
x3
− 3x − 2
x2 − 4
3. lim
x→0
(1 − cos x) sen x
x2
4. lim
x→0
x cos x − sen x
x3
5. lim
x→0
x − sen x
cos x − 1
6. lim
x→0
ex
− e−x
− 2x
x − sen x
7. lim
x→1
sen(x − 1)
x2 − 3x + 2
8. lim
x→0
ex
− esen x
x3
9. lim
x→0
x ln(1 + x)
1 − cos x
10. lim
x→0
(2 − x)ex
− x − 2
x2
11. lim
x→+∞
x2
+ x + 1
x2 − x
12. lim
x→2
(x − 2)(x + 1)
2x2 − 2x − 4
13. lim
x→0+
x · ln x 14. lim
x→0
x arcsen x
sen x cos x
15. lim
x→1
x3
− 3x + 2
x4 − 2x2 + 1
16. lim
x→0
1 − cos x
(ex − 1)2
17. lim
x→+∞
2x + 3
2x − 1
x
18. lim
x→0
1
ln(1 + x)
−
1
x
19. lim
x→+∞
cos
1
x
x
20. lim
x→0
cotg x −
1
x

Tema 6 Aplicaciones de las derivadas
6.1 Funciones crecientes y decrecientes
Una función f es estrictamente creciente en un intervalo si para dos valores cuales-
quiera del mismo x e y, se cumple:
x < y =⇒ f(x) < f(y)
Esta relación puede expresarse también en función de la tasa de variación media:
f(y) − f(x)
y − x
> 0 (tasa de variación media positiva)
Una función f es creciente en un intervalo si para dos valores cualesquiera del mismo x e
y, se cumple:
x < y ⇒ f(x) ≤ f(y)
o también:
f(y) − f(x)
y − x
≥ 0 (tasa de variación media positiva o nula).
Si tomamos x = a y se verifican las relaciones anteriores en un entorno simétrico del
mismo, se dice que la función es creciente en dicho punto.
Una función f es estrictamente decreciente en un intervalo si para dos valores cua-
lesquiera del mismo x e y, se cumple:
x < y ⇒ f(x) > f(y)
o también:
f(y) − f(x)
y − x
< 0 (tasa de variación media negativa)
Una función f es decreciente en un intervalo si para dos valores cualesquiera del mismo
x e y, se cumple:
x < y ⇒ f(x) ≥ f(y)
o también:
f(y) − f(x)
y − x
≤ 0 (tasa de variación media negativa o nula).
Si tomamos x = a y se verifican las relaciones anteriores en un entorno simétrico del
mismo, se dice que la función es decreciente en dicho punto.
6.2 Intervalos de monoton´ıa en funciones derivables
Estudiar la monoton´ıa de una función es hallar los intervalos en los que es sólo creciente
o sólo decreciente.
De la tasa de variación media que aparece en la definición de monoton´ıa se pasa, tomando
l´ımite, a la derivada:
f (x) = lim
y→x
f(y) − f(x)
y − x
36

6.3. MÁXIMOS Y MÍNIMOS 37
Criterio 1: Derivada primera
• Si f > 0 en un intervalo, la función es estrictamente creciente en ese intervalo.
• Si f < 0 en un intervalo, la función es estrictamente decreciente en ese intervalo.
Criterio 2: Crecimiento en un punto
Sea x = a un punto donde se anula la primera derivada; se supone además que existe la
derivada de orden 2n + 1 (impar) en un entorno de dicho punto y que f (a) = f (a) = ... =
f(2n
(a) = 0.
• Si f(2n+1
(a) > 0 ⇒ f es estrictamente creciente en x = a.
• Si f(2n+1
(a) < 0 ⇒ f es estrictamente decreciente en x = a.
6.3 Máximos y m´ınimos
La función f tiene en x = a un máximo relativo si existe un entorno de a, (a−h, a+h),
tal que para todo x del intervalo (x − h, x + h) se tiene: f(x) ≤ f(a).
La función f tiene en x = a un m´ınimo relativo si existe un entorno de a, (a−h, a+h),
tal que para todo x del intervalo (x − h, x + h) se tiene: f(x) ≥ f(a).
Los puntos máximos o m´ınimos relativos se llaman también puntos cr´ıticos, estacio-
narios o singulares.
Teorema
Si una función tiene máximos o m´ınimos relativos y es derivable en ellos, entonces su
derivada se anula en esos puntos.
Demostración
La demostración la hicimos en el tema anterior, ya que la tangente en los puntos cr´ıticos
es paralela al eje de abscisas y, por tanto, su pendiente es cero.
Este teorema nos permite hallar los puntos candidatos a ser máximo o m´ınimo. Estos
puntos son las soluciones de la ecuación f (x) = 0. Obtenidos estos puntos, los siguientes
criterios precisan si en ellos existe máximo, m´ınimo o ninguna de las dos cosas.
Criterio 1: Variación de la función en el entorno del punto
Si sustituimos en la función x por a−h y a+h para un valor h suficientemente pequeño
y se verifica:
•
f(a + h) ≤ f(a)
f(a − h) ≤ f(a)
⇒ f tiene un máximo relativo en x = a.
•
f(a + h) ≥ f(a)
f(a − h) ≥ f(a)
⇒ f tiene un m´ınimo relativo en x = a.

38 TEMA 6. APLICACIONES DE LAS DERIVADAS
Criterio 2: Variación del signo de la primera derivada en el entorno del punto
• Si a la izquierda de x = a es f > 0 (función creciente) y a la derecha es f < 0 (función
decreciente), entonces la función alcanza un máximo relativo en x = a.
• Si a la izquierda de x = a es f < 0 (función decreciente) y a la derecha es f > 0
(función creciente), entonces la función alcanza un m´ınimo relativo en x = a.
Criterio 3: Valor de la derivada segunda en el punto
• Si f (a) > 0 ⇒ f tiene un m´ınimo relativo en x = a.
• Si f (a) < 0 ⇒ f tiene un máximo relativo en x = a.
Criterio 4: Anulación de sucesivas derivadas en el punto
Sea x = a un punto donde puede existir un máximo o un m´ınimo relativo; se supone
que existe derivada 2n (par) en un entorno de dicho punto y además que: f (a) = f (a) =
... = f(2n−1
(a) = 0.
• Si f(2n
(a) > 0 ⇒ f tiene un m´ınimo relativo en x = a.
• Si f(2n
(a) < 0 ⇒ f tiene un máximo relativo en x = a.
6.4 Problemas sobre máximos y m´ınimos
El cálculo de máximos y m´ınimos por derivadas permite resolver de una manera sencilla
y rápida muchos problemas que aparecen en Matemáticas y en otras disciplinas cient´ıficas en
los que se trata de optimizar una función. Para resolverlos, seguiremos el esquema general
siguiente:
(1) Mediante los datos del problema se construye la función que hay que maximizar o
minimizar; la mayor´ıa de las veces en función de dos o más variables.
(2) Si la función tiene más de una variable hay que relacionar las variables mediante ecua-
ciones para conseguir expresar la función inicial planteada en el punto (1) utilizando
una sola variable.
(3) Se hallan los máximos y m´ınimos de esta función.
(4) Se interpretan los resultados obtenidos y se rechazan aquellos que por la naturaleza
del problema no sean posibles.
EJEMPLO:
Calcular las dimensiones del rectángulo de mayor área cuyo per´ımetro sea de 40 metros.
(1) Incógnitas: x largo, y ancho. Función a optimizar: S(x, y) = xy.
(2) P : 2x + 2y = 40 ⇒ x + y = 20 ⇒ y = 20 − x luego S = xy ⇒ S(x) = x(20 − x).
(3) S (x) = 20 − 2x = 0 ⇔ x = 10 ⇒ y = 10.
(4) Es un cuadrado de 10 metros de lado.

6.5. CONCAVIDAD Y CONVEXIDAD 39
6.5 Concavidad y convexidad
Una función definida en un intervalo es convexa si “mira” hacia la parte positiva del
eje de ordenadas y, es cóncava, si “mira” hacia la parte negativa del eje de ordenadas.
Si la función es convexa, la gráfica de la función queda encima de la recta tangente en
cada uno de los puntos y si la función es cóncava, la gráfica de la función queda debajo de
la recta tangente en cada uno de los puntos.
Criterio 1: Derivada primera
Sea f una función definida en el intervalo I.
• Si f es creciente en el intervalo I, la función f es convexa en I.
• Si f es decreciente en el intervalo I, la función f es cóncava en I.
Criterio 2: Derivada segunda
• Si f > 0 en el intervalo I, la función f es convexa en I.
• Si f < 0 en el intervalo I, la función f es cóncava en I.
Criterio 3: Anulación de sucesivas derivadas
Sea x = a un punto donde la función puede ser convexa o cóncava; se supone que existe
derivada de orden 2n (par) en un entorno de x = a, y además que f (a) = 0 y f (a) = ... =
f(2n−1
(a) = 0.
• Si f(2n
(a) > 0, entonces la función es convexa en x = a.
• Si f(2n
(a) < 0, entonces la función es cóncava en x = a.
6.6 Puntos de inflexión
Una función f tiene un punto de inflexión en x = a si la función pasa de convexa
a cóncava o de cóncava a convexa en ese punto. Si la función pasa de convexa a cóncava,
diremos que x = a es un punto de inflexión convexo-cóncavo. Si la función pasa de
cóncava a convexa, diremos que x = a es un punto de inflexión cóncavo-convexo.
Si una función tiene puntos de inflexión, entonces su derivada segunda se anula en esos
puntos.
Este resultado nos permite calcular los puntos de la gráfica f que pueden ser de inflexión.
Las abscisas de estos puntos son las ra´ıces de la ecuación f (x) = 0.
Criterio 1: Signo de la derivada segunda en el entorno del punto
• Si a la izquierda de x = a es f > 0 (f convexa) y a la derecha de x = a es f < 0 (f
cóncava), entonces x = a es un punto de inflexión convexo-cóncavo.
• Si a la izquierda de x = a es f < 0 (f cóncava) y a la derecha de x = a es f > 0 (f
convexa), entonces x = a es un punto de inflexión cóncavo-convexo.

Criterio 2: Valor de la derivada tercera en el punto
• Si f (a) > 0, f tiene en x = a un punto de inflexión cóncavo-convexo.
• Si f (a) < 0, f tiene en x = a un punto de inflexión convexo-cóncavo.
Criterio 3: Anulación de derivadas sucesivas
Sea x = a un punto donde puede existir un punto de inflexión; se supone que existe derivada
de orden 2n + 1 (impar) en un entorno de x = a, y además que f (a) = 0 y f (a) = ... =
f(2n
(a) = 0.
• Si f(2n+1
(a) > 0, f tiene en x = a un punto de inflexión cóncavo-convexo.
• Si f(2n+1
(a) < 0, f tiene en x = a un punto de inflexión convexo-cóncavo.

T6.1 Halla los intervalos de monoton´ıa de la función f(x) = x7
. ¿Cómo es la función en el punto
x = 0? Estudia la monoton´ıa en este punto directamente por medio de la función, es decir, sin
utilizar la derivada.
T6.2 Halla los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función f(x) = x8
. ¿Cómo es la
función en el punto x = 0? Estudia la monoton´ıa en x = 0 directamente por medio de la función f.
T6.3 Halla los intervalos de crecimiento y decrecimiento de las funciones:
(1) f(x) = x + 5 − 2 sen x
(2) f(x) = sen x + cos x
T6.4 Halla los intervalos de crecimiento y decrecimiento de las funciones:
(1) f(x) = x3
− 3x2
+ 1
(2) f(x) = x3
− 6x2
+ 9x − 8
T6.5 Estudia para qué valores de x está definida la función f(x) = ln((x − 1)(x − 2)) y en qué
valores es creciente o decreciente.
T6.6 Estudia los máximos y m´ınimos de la función f(x) = (x3
− 4x2
+ 7x − 6)ex
T6.7 Determina el máximo y el m´ınimo de la función f(x) = x5
+ x + 1 en el intervalo [0, 2].
T6.8 Determina el parámetro a para que el m´ınimo de la función y = x2
+ 2x + a sea igual a 8.
T6.9 Obtén los parámetros a y b para que la función y = x2
+ ax + b alcance un m´ınimo en el
punto P(−1, 2).
T6.10 La curva dada por y = x2
+ax+b pasa por el punto P(−2, 1) y alcanza un extremo relativo
en x = −3. Halla a y b.
T6.11 La función f(x) = x3
+ px2
+ q tiene un valor m´ınimo relativo igual a 3 en x = 2. Halla los
valores de los parámetros p y q.
T6.12 Halla a, b, c y d en la función f(x) = ax3
+ bx2
+ cx + d para que tenga un máximo en el
punto M(0, 4) y un m´ınimo en el punto M (2, 0).
T6.13 Dada la función f(x) = ax3
+ bx2
+ cx + d, halla el valor de a, b, c y d para que tenga un
máximo en el punto M(−2, 21) y un m´ınimo en el punto M (−1, 6).
T6.14 Halla b, c y d en la función f(x) = x3
+ bx2
+ cx + d para que tenga un máximo en x = −4,
un m´ınimo para x = 0 y tome el valor 1 para x = 1.
T6.15 Calcula los parámetros a, b, c y d para que la función f(x) = ax3
+ bx2
+ cx + d tenga un
máximo relativo igual a 11 en x = −1, un m´ınimo relativo igual a -97 en x = 5 y tome el valor -17
para x = 1.
T6.16 Halla dos números cuya suma es 20, sabiendo que su producto es máximo. Razona el
método utilizado.
T6.17 Halla dos números cuya suma es 18, sabiendo que el producto de uno por el cuadrado del
otro ha de ser máximo.
T6.18 Determina dos números cuya suma sea 24 y tales que el producto de uno por el cubo del
otro sea máximo.
T6.19 Halla las dimensiones de un campo rectangular de 3600 m2
de superficie para poderlo cercar
mediante una valla de longitud m´ınima.
T6.20 Se quiere vallar un campo rectangular que está junto a un camino. Si la valla del lado del
camino cuesta 8 /m y la de los otros 1 /m, halla el área del mayor campo que puede cercarse
con 2 880 .

T6.21 Un jardinero ha de construir un parterre en forma de sector circular con per´ımetro de 20
m. ¿Cuál será el radio que da el parterre de área máxima? ¿Cuál será la amplitud en radianes del
sector?
T6.22 Los barriles que se utilizan para almacenar petróleo tienen forma cil´ındrica y una capacidad
de 160 litros. Halla las dimensiones del cilindro para que la chapa empleada en su construcción sea
m´ınima.
T6.23 De todos los triángulos isósceles de 12 cm de per´ımetro, hallar las dimensiones de los lados
del que tenga área máxima.
T6.24 Entre todos los rectángulos inscritos en una circunferencia de radio 12 cm, calcula las
dimensiones del que tenga área máxima. Razona el proceso.
T6.25 Divide un segmento de 60 cm en dos partes, con la propiedad de que la suma de las áreas
de los triángulos equiláteros construidos sobre ellas sea m´ınima.
T6.26 Determina la distancia m´ınima del origen a la curva xy = 1.
T6.27 Halla los puntos de la curva y2
= 6x cuya distancia al punto P(4, 0) sea m´ınima.
T6.28 Halla los puntos de la curva y2
= 4x cuya distancia al punto P(4, 0) sea m´ınima.
T6.29 Entre todos los cilindros rectos de volumen fijo V , halla el de menor superficie.
T6.30 Una hoja de papel debe contener 18 cm2
de texto impreso. Los márgenes superior e inferior
deben tener 2 cm cada uno y los laterales 1 cm. Calcula las dimensiones de la hoja para que el
gasto de papel sea m´ınimo.
T6.31 Calcula los intervalos de concavidad y convexidad de la curva y = x4
− 6x3
+ 12x2
− 5x + 1.
T6.32 Halla la ecuación de la recta tangente a la curva y = x3
− 6x2
+ 16x − 11 en su punto de
inflexión.
T6.33 Calcula la ecuación de la recta tangente a la curva y = 2x3
−6x2
+4 en su punto de inflexión.
T6.34 Calcula los máximos, m´ınimos y puntos de inflexión de la función f(x) = 3 sen x − sen(3x)
en el intervalo [0, 2π].
T6.35 Halla b, c y d en la función f(x) = x3
+ bx2
+ cx + d para que tenga un punto de inflexión
de abscisa x = 3, pase por el punto P(1, 0) y alcance un m´ınimo en x = 1.
T6.36 Determina los parámetros a, b, c y d para que la función f(x) = ax3
+ bx2
+ cx + d tenga
un punto de inflexión en P(−2, 6) con tangente en él paralela a la recta 8x + y + 10 = 0, y tome
además el valor -2 para x = 0.
T6.37 Halla a, b, c y d en la función f(x) = ax3
+ bx2
+ cx + d para que pase por el punto P(−1, 1)
y tenga un punto de inflexión con tangente horizontal en Q(0, −2).
T6.38 ¿Qué valores deben tomar a, b, c y d para que f(x) = ax3
+ bx2
+ cx + d tenga un punto
cr´ıtico en P(1, 3) y un punto de inflexión con tangente de ecuación y = 2x en el origen?

Tema 7 Integrales indefinidas
7.1 Primitiva. Integral indefinida
Sean f y F dos funciones reales definidas en un mismo dominio. La función F es una
primitiva de f si F tiene por derivada a f.
F es primitiva de f ⇐⇒ F = f
La operación que permite obtener una primitiva F a partir de una función f recibe el
nombre de integración. Si existe la función F se dice que f es integrable.
Si F es una primitiva de f y C un número real cualquiera, la función F + C es también
una primitiva de f.
Por ejemplo F1(x) = x2
, F2(x) = x2
+ 5, F3(x) = x2
− 3, . . . son todas primitivas de la
función f(x) = 2x, ya que F1(x) = F2(x) = F3(x) = . . . = f(x).
Si el dominio de una función es un intervalo, entonces el conjunto de las primitivas de
f se representa por {F + C/C ∈ IR}.
El conjunto de las primitivas de una función se llama integral indefinida, y al número
real C constante de integración.
f(x)dx = F(x) + C
El s´ımbolo se lee “integral de f(x) con respecto a x”; dx nos indica la variable con
respecto a la cual integramos.
7.2 Propiedades lineales de la integración
Las siguientes propiedades de la integral indefinida son consecuencia inmediata de la deriva-
ción. Suponemos que todas las funciones utilizadas son integrables y definidas en el mismo
intervalo.
- Integral de la suma o diferencia
La integral de la suma (diferencia) de dos funciones es igual a la suma (diferencia) de
las integrales de las funciones.
(f ± g)(x)dx = f(x)dx ± g(x)dx
- Integral del producto de un número real por una función
La integral del producto de un número real por una función es igual al número por la
integral de la función.
af(x)dx = a f(x)dx
Esta relación permite introducir constantes dentro del signo de integración o sacarlas
fuera según convenga.
43

44 TEMA 7. INTEGRALES INDEFINIDAS
La utilización de estas dos propiedades constituye el método de descomposición. Conviene
descomponer lo más posible el integrando aplicando la propiedad distributiva, sustituyendo
la expresión de la función por otra equivalente, sumando o restando una cantidad o multi-
plicando y dividiendo por un mismo número.
(af ± bg)(x)dx = a f(x)dx ± b g(x)dx
7.3 Integrales inmediatas de funciones elementales
Tipo Simples Compuestas
Potenciales (n = −1) xn
dx =
xn+1
n + 1
fn
· f dx =
fn+1
n + 1
Logar´ıtmicas
1
x
dx = ln |x|
f
f
dx = ln |f|
Exponenciales ex
dx = ex
ef
· f dx = ef
ax
dx =
ax
ln a
af
· f dx =
af
ln a
sen x dx = − cos x sen f · f dx = − cos f
cos x dx = sen x cos f · f dx = sen f
Trigonométricas
sec2
x dx
(1 + tg2
x) dx
1
cos2 x
dx



= tg x
sec2
f · f dx
(1 + tg2
f) · f dx
f
cos2 f
dx



= tg f
− cosec2
x dx
−(1 + cotg2
x) dx
− 1
sen2 x
dx



= cotg x
− cosec2
f · f dx
−(1 + cotg2
f) · f dx
− f
sen2 f
dx



= cotg f
Inversas
1
√
1 − x2
dx =
arcsen x
− arccos x
f
1 − f2
dx =
arcsen f
− arccos f
de
1
1 + x2
dx =
arctg x
− arccotg x
f
1 + f2
dx =
arctg f
− arccotg f
Trigonométricas
1
a2 + x2
dx =
1
a
arctg
x
a
f
a2 + f2
dx =
1
a
arctg
f
a

7.4. MÉTODOS DE INTEGRACI ÓN 45
7.4 Métodos de integración
7.4.1 Integral de un producto o método de integración por partes
Sean u y v dos funciones derivables. La derivada del producto es
d(u · v) = u · dv + v · du
integrando ambos miembros
u · v = u · dv + v · du
despejando
u · dv = u · v − v · du
Fórmula fácil de recordar por la regla mnemotécnica “un d´ıa v´ı una vieja vestida de
uniforme”
Ejemplo:
x ex
dx = x ex
− ex
dx = x ex
− ex
= (x − 1)ex
u = x du = dx
dv = ex
dx v = ex
Como se ve, hay que derivar la función u e integrar la función dv, por lo que hay que elegir
dv de manera que sea fácilmente integrable.
Algunas veces, como ocurr´ıa con la regla de L’Hôpital, hay que repetir el proceso en la
parte v du.
También puede ocurrir que al cabo de una o dos integraciones sucesivas se obtenga en
el segundo miembro de la igualdad una integral que coincida con la de partida, es decir,
con la del primer miembro. En esta situación, basta despejar la integral para obtener una
primitiva.
Ejemplo:
ex
cos x dx = ex
sen x − ex
sen x dx
u = ex
du = ex
dx
dv = cos x dx v = sen x
Ahora hago por separado ex
sen x dx
ex
sen x dx = ex
(− cos x) − − cos xex
dx = −ex
cos x + ex
cos x dx
u = ex
du = ex
dx
dv = sen x dx v = − cos x
Volviendo a la expresión anterior
ex
cos x dx = ex
sen x − ex
sen x dx =
ex
sen x − (−ex
cos x + ex
cos x dx) = ex
sen x + ex
cos x − ex
cos x dx

De donde
ex
cos x dx + ex
cos x dx = ex
sen x + ex
cos x =⇒ 2 ex
cos x dx = ex
sen x + ex
cos x
Es decir
ex
cos x dx =
ex
sen x + ex
cos x
2
7.4.2 Integral de la función compuesta o método de sustitución
Es un método consecuencia de la derivación de la función compuesta.
Como su mismo nombre indica, se trata de sustituir la variable x por otra variable t, o
lo que es lo mismo, definir una función g tal que x = g(t), y transformar el integrando en
otro más sencillo.
(f◦ g) (x) = f (g(x)) · g (x)
Integrando
f(g(t)) dt = f (g(t)) · g (t) dt
Para terminar el proceso se halla la integral en t y se deshace el cambio.
Ejemplos:
2x(x2
+ 5)25
dx = 2x t25 dt
2x
= t25
dt =
t26
26
+ C =
(x2
+ 5)26
26
+ C
(x2
+ 5) = t
2x dx = dt dx =
dt
2x
1
x
√
x − 1
dx =
2t
(t2 + 1) · t
dt = 2
1
t2 + 1
dt = 2 arctg t = 2 arctg
√
x − 1 + C
t2
= x − 1 x = t2
+ 1 dx = 2t dt
7.5 Integración de funciones racionales
Las funciones racionales son de la forma f(x) =
p(x)
q(x)
, donde p(x) y q(x) son polinomios.
- Método directo
Algunas funciones racionales se pueden integrar comprobando si pertenecen a la forma
compuesta de alguna integral inmediata (ver cuadro)

7.5. INTEGRACI ÓN DE FUNCIONES RACIONALES 47
Potencial (n = −1) fn
· f dx =
fn+1
n + 1
Neperiana
f
f
dx = ln |f|
Arco tangente
f
a2 + f2
dx =
1
a
arctg
f
a
Neperiano - arco tangente
denominador irreducible, M = 0
Mx + N
ax2 + bx + c
dx = neperiano + arco tangente
Ejemplos:
2x + 1
(x2 + x + 1)3
dx = (x2
+ x + 1)−3
(2x + 1) dx =
(x2
+ x + 1)−2
− 2
x3
+ 1
x4 + 4x + 7
dx =
1
4
4x3
+ 4
x4 + 4x + 7
dx =
1
4
ln |x4
+ 4x + 7|
2x
1 + x4
dx =
2x
1 + (x2)2
dx = arctg x2
- Método de descomposición en fracciones simples
Cuando no es posible utilizar el método anterior, las funciones racionales se transfor-
man en sumas de fracciones llamadas simples, que tienen por denominador potencias
de polinomios de primer grado o bien de segundo grado pero irreducibles.
Además supondremos que el grado del numerador es menor que el del denominador,
pues en caso contrario, dividiendo se obtiene:
p(x) = q(x) · c(x) + r(x)
es decir,
p(x)
q(x)
= c(x) +
r(x)
q(x)
Ejemplo:
x3
x2 + 1
dx = x −
x
x2 + 1
dx = x dx −
x
x2 + 1
dx, que son conocidas.
El proceso a seguir consta de tres pasos

(1) Descomposición del denominador en factores
Todo polinomio se puede descomponer en un producto de factores lineales y
cuadráticos irreducibles. Pueden aparecer
- Factores lineales simples (x − 2), (x + 1) . . .
- Factores lineales dobles, triples ... (x − 2)2
, (x + 1)3
. . .
- Factores cuadráticos irreducibles simples (x2
+ 2), (x2
+ x + 1) . . .
- Factores cuadráticos irreducibles dobles, triples ... (x2
+2)2
, (x2
+x+1)3
. . .
(2) Descomposición de la función en factores simples
p(x)
q(x)
=
A
x − a
+
B
x − b
+
C
x − c
+ . . . (factores lineales)
+
P
(x − p)2
+
Q
x − p
+ . . . (factor lineal doble)
+
Mx + N
ax2 + bx + c
+ . . . (factor cuadrático)
La determinación de las constantes A, B, C . . ., P, Q . . ., M y N se hace por el
método de los coeficientes indeterminados o dando valores numéricos sencillos.
Ejemplo:
3x − 5
x3 − x2 − x + 1
dx
x3
− x2
− x + 1 = (x + 1)(x − 1)2
3x − 5
x3 − x2 − x + 1
=
A
x + 1
+
B
(x − 1)2
+
C
x − 1
3x − 5 = A(x − 1)2
+ B(x + 1) + C(x + 1)(x − 1)
Para x = 1 =⇒ 8 = 2B =⇒ B = 4
Para x = −1 =⇒ 2 = 4A =⇒ A = 1
2
Para x = 0 =⇒ 5 = A + B − C =⇒ C = −1
2
(3) Integración de los sumandos
Siguiendo con el ejemplo anterior
3x − 5
x3 − x2 − x + 1
dx =
1
2
1
x + 1
dx + 4
1
(x − 1)2
dx −
1
2
1
x − 1
dx =
1
2
ln |x + 1| −
4
x − 1
−
1
2
ln |x − 1| + C

T7.1 Determina la función F para la que F (x) =
1
x3
+ x y F(3) = 1.
T7.2 Hallar la función G tal que G (x) = 6x + 1, G(0) = 1 y G(1) = 0.
T7.3 Encontrar la función G para la que G (x) = 2x y además G(0) = 0, G(1) =
− 1
4
, G(2) =
2
3
.
T7.4 Halla la ecuación de la curva que pasa por los puntos P(0, 3) y Q(−1, 4) sabiendo que su
derivada segunda es y = 6x − 2.
T7.5 Calcula las siguientes integrales potenciales:
1.
1
x2
dx 2.
x5
6
dx 3. x2/3
dx
4.
1
x2/3
dx 5. x2
· x3
dx 6. x · x2/3
dx
7.
x3
x2
dx 8.
x2/3
x1/3
dx 9.
√
x 3
√
x dx
10.
3
√
x2 dx 11. (x2
)3
dx 12.
√
x
x
dx
13.
x
√
x
dx 14.
3
√
x
x
dx 15.
√
x 3
√
x 4
√
x dx
T7.6 Calcula las siguientes integrales de funciones potenciales compuestas:
1. (x + 1)2
dx 2. (7x + 5)2
dx 3. (x2
+ 1) · 2x dx
4. (x3
+ 1) · 3x2
dx 5. (x2
+ 3) · x dx 6. x2
· (x3
+ 2) dx
7. (2x + 1)−3
dx 8. x2
· (x3
+ 1)−7
dx 9.
1
(2x + 1)2
dx
10.
2x + 1
(x2 + x + 1)2
dx 11.
1
x2 + 2x + 1
dx 12.
1
x3 + 3x2 + 3x + 1
dx
13. x 1 + x2 dx 14. x 1 − x2 dx 15. (x + 1)(x2
+ 2x + 5)6
dx
16.
x2
(x3 + 1)4
dx 17.
1
√
3x + 1
dx 18. (16x + 1)(8x2
+ x − 5) dx
19.
√
x + 1
x + 1
dx 20.
x
√
x2 + 1
x2 + 1
dx 21. sen2
x cos x dx

22. cos2
x sen x dx 23.
arctg x
1 + x2
dx 24.
cos x
sen2 x
dx
25.
ln2
x
x
dx 26.
1
x ln2
x
dx 27.
ln x
x
dx
28.
arcsen2
x
√
1 − x2
dx 29.
1
√
1 − x2 arcsen2 x
dx 30.
arctg(x/2)
4 + x2
dx
T7.7 Calcula las siguientes integrales tipo logar´ıtmico:
1. 4x−1
dx 2.
1
x − 1
dx 3.
1
3x + 5
dx
4.
1
ax + b
dx 5.
x2
x3 + 2
dx 6.
2x2
6x3 + 1
dx
7.
2x + 1
x2 + x + 1
dx 8.
x − 1
3x2 − 6x + 5
dx 9.
ex
1 + ex
dx
10.
sen x − cos x
sen x + cos x
dx 11.
1
x ln x
dx 12.
1
(1 + x2) arctg x
dx
13.
1
√
1 − x2 arcsen x
dx 14.
sec2
x
1 + tg x
dx 15.
cos
√
x
√
x sen
√
x
dx
T7.8 Calcula las siguientes integrales tipo exponencial:
1. e−x
dx 2. e2x
dx 3. e−2x
dx
4. e2x+1
dx 5. e−2x+1
dx 6. ex2
+22
x dx
7. e−x2
x dx 8. ex3
+1
x2
dx 9. ex2
+x+1
(2x + 1) dx
10. esen x
cos x dx 11. eln x
·
1
x
dx 12. etg x
sec2
x dx
13.
earctg x
1 + x2
dx 14.
earcsen x
√
1 − x2
dx 15. 12x
dx
16. (6x
)2
dx 17.
7x
5x
dx 18. 5x
· 9x
dx
T7.9 Calcula las siguientes integrales tipo seno:
1. cos(−2x) dx 2.
1
3
cos x dx 3. cos
x
3
dx
4. cos(x + 1) dx 5. cos(2x + 5) dx 6. cos(−x + 1) dx
7. 3 cos(2x + 6) dx 8. x cos x2
dx 9. 2x cos(x2
+ 255) dx
10. x cos(3x2
+ 7) dx 11. x cos(−3x2
− 5) dx 12. 7x2
cos(4x3
+ 25) dx

13.
cos
√
x
2
√
x
dx 14.
cos
√
x
√
x
dx 15.
cos ln x
x
dx
16.
cos ln x
2x
dx 17.
cos(tg x)
cos2 x
dx 18.
cos(arctg x)
1 + x2
dx
T7.10 Calcula las siguientes integrales tipo coseno:
1. sen(−2x) dx 2.
1
3
sen x dx 3. sen
x
3
dx
4. sen(x + 5) dx 5. sen(2x + 5) dx 6. sen(x + 8) dx
7. 3 sen(2x + 6) dx 8. x sen x2
dx 9. 2x sen(x2
+ 2) dx
10. x sen(3x2
+ 7) dx 11. x sen(−3x2
− 5) dx 12. 7x2
sen(4x3
+ 25) dx
13.
sen
√
x
√
x
dx 14.
sen
√
x
2
√
x
dx 15.
sen(tg x)
cos2 x
dx
T7.11 Calcula las siguientes integrales tipo arco tangente:
1.
1
1 + (x + 1)2
dx 2.
1
1 + (3x + 27)2
dx 3.
x3
1 + x8
dx
4.
ex
1 + e2x
dx 5.
sec2
x
1 + tg2
x
dx 6.
ax
1 + a2x
dx
7.
2x
1 + 4x
dx 8.
3x
1 + 9x
dx 9.
1
√
x(1 + x)
dx
10.
1
x(1 + ln2
x)
dx 11.
3x + 27
1 + (3x + 27)4
dx 12.
1
x2 + 2x + 2
dx
13.
1
3 + x2
dx 14.
1
4x2 + 4x + 2
dx 15.
1
4x2 + 4x + 4
dx
T7.12 Calcula las siguientes integrales tipo neperiano-arco tangente:
1.
x + 1
25 + x2
dx 2.
x − 1
x2 + 2x + 2
dx
3.
x
x2 + 2x + 17
dx 4.
x + 1
x2 + x + 1
dx
T7.13 Calcula por partes las siguientes integrales:
1. x2
ex
dx 2. x sen x dx 3. x2
sen x dx
4. x ln x dx 5. x2
ln x dx 6. ln2
x dx
7. ln(x + 1) dx 8. arccos x dx 9. x2
cos x dx

T7.14 Integra las siguientes funciones racionales:
1.
1
x2 − 5x + 6
dx 2.
2x + 1
x2 − 5x + 6
dx
3.
1 + 2x
1 + x2
dx 4.
1 + x
1 − x
dx
5.
x2
+ x + 1
x + 1
dx 6.
x2
+ 1
x − 1
dx
7.
2x + 1
x2 + x − 6
dx 8.
x + 2
x2 − x − 6
dx
9.
x2
− 6x + 7
(x + 1)(x − 2)(x − 3)
dx 10.
2x2
− 8x − 1
2x2 − 7x + 3
dx
T7.15 Calcula las siguientes integrales trigonométricas haciendo cambios o transformando los in-
tegrandos:
1. cos5
x dx 2. sen5
x dx
3.
sen x + tg x
cos x
dx 4. sen2
x cos3
x dx
T7.16 Calcula por el método más adecuado las integrales siguientes:
1.
1
(x − 1)2
dx 2.
x − 1
3x2 − 6x + 5
dx
3. (x − 1)ex
dx 4. (x2
− 2x − 3) ln x dx
5.
1
x2 − 1
dx 6.
x + 5
x2 + x − 2
dx
7.
6x + 8
x2 + 2x + 5
dx 8.
x3
+ 1
x2 − 5x + 4
dx
9. sec3
x dx 10.
1 + sen2
x
sen x cos x
dx
11.
cos x
1 − cos x
dx 12. sen2
(3x) cos(3x) dx
13. x2
sen 3x dx 14. x arctg x dx
15. x2
e3x
dx 16.
x − 3
x2 + 49
dx
17.
x4
− 3x2
− 3x − 2
x3 − x2 − 2x
dx 18. x ln(1 + x) dx
19.
(ln x)3
x
dx 20. sen(ln x) dx
21.
1
√
x2 − 2
dx 22.
1
x(ln3
x − 2 ln2
x − ln x + 2)
dx
23. x[ln(1 + x2
) − e−x
] dx

Apuntes-MatematicasII

Recomendados

Recomendados

Más contenido relacionado

Destacado

Destacado (11)

Similar a Apuntes-MatematicasII

Similar a Apuntes-MatematicasII (20)

Más de marvargas1981

Más de marvargas1981 (20)

Último

Último (20)

Apuntes-MatematicasII