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Apuntes-MatematicasII

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´Indice
1 Funciones reales 1
1.1 Funciones reales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.2 Representaci´on de funciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.3 Determinaci´on de funciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.4 Operaciones con funciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.5 Simetr´ıa de las gr´aficas de funciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.5.1 Simetr´ıa respecto del origen. Funciones impares . . . . . . . . . . . . . 3
1.5.2 Simetr´ıa respecto del eje de ordenadas. Funciones pares . . . . . . . . 4
1.6 Funciones peri´odicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.7 Funciones acotadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.7.1 Cotas superiores e inferiores. Acotaci´on . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.7.2 Extremos: m´aximo y m´ınimo absoluto . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
T1 Ejercicios y problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
2 L´ımites 7
2.1 L´ımites de funciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
2.2 Propiedades de los l´ımites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
2.3 C´alculo de algunos l´ımites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
2.3.1 L´ımites de funciones racionales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
2.3.2 L´ımites de funciones irracionales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2.3.3 Funciones equivalentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2.4 As´ıntotas horizontales y verticales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
2.4.1 As´ıntotas horizontales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
2.4.2 As´ıntotas verticales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
2.5 As´ıntotas oblicuas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
T2 Ejercicios y problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
3 Continuidad 15
3.1 Continuidad en un punto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
3.2 Propiedades de la continuidad local . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
3.2.1 Unicidad del l´ımite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
3.2.2 Teorema del signo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
3.2.3 Acotaci´on de la funci´on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
3.2.4 Continuidad y operaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
3.3 Discontinuidades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
3.3.1 Discontinuidad evitable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
3.3.2 Discontinuidad inevitable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
3.4 Continuidad en un intervalo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
3.5 Propiedades de la continuidad en un intervalo . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
3.5.1 Teorema de Weierstrass . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
3.5.2 Teorema de Bolzano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1
2 ´INDICE
3.5.3 Teorema del valor intermedio. Teorema de Darboux . . . . . . . . . . 17
3.5.4 Imagen de un intervalo cerrado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
3.5.5 Continuidad y operaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
T3 Ejercicios y problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
4 Derivadas 21
4.1 Derivada de una funci´on en un punto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
4.1.1 Derivadas laterales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
4.2 Interpretaci´on geom´etrica de la derivada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
4.2.1 La derivada como pendiente de la recta tangente . . . . . . . . . . . . 21
4.2.2 Normal a una curva en un punto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
4.3 Funci´on derivada. Derivadas sucesivas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
4.3.1 Funci´on derivada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
4.3.2 Derivadas sucesivas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
4.4 Derivadas de las funciones elementales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
4.5 Operaciones con derivadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
T4 Ejercicios y problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
5 Propiedades de las funciones derivables 29
5.1 Continuidad y derivabilidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
5.2 Derivada en un punto m´aximo o m´ınimo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
5.3 Teorema de Rolle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
5.4 Teorema del valor medio o de Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
5.5 Consecuencias del Teorema del valor medio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
5.5.1 Caracterizaci´on de las funciones constantes . . . . . . . . . . . . . . . 31
5.5.2 Relaci´on entre funciones con igual derivada . . . . . . . . . . . . . . . 31
5.6 Teorema de Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
5.7 Ra´ıces de una ecuaci´on o funci´on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
5.8 Regla de L’Hˆopital. C´alculo de l´ımites indeterminados . . . . . . . . . . . . . 32
T5 Ejercicios y problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
6 Aplicaciones de las derivadas 36
6.1 Funciones crecientes y decrecientes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
6.2 Intervalos de monoton´ıa en funciones derivables . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
6.3 M´aximos y m´ınimos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
6.4 Problemas sobre m´aximos y m´ınimos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
6.5 Concavidad y convexidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
6.6 Puntos de inflexi´on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
T6 Ejercicios y problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
7 Integrales indefinidas 43
7.1 Primitiva. Integral indefinida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
7.2 Propiedades lineales de la integraci´on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
7.3 Integrales inmediatas de funciones elementales . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
7.4 M´etodos de integraci´on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
7.4.1 Integral de un producto o m´etodo de integraci´on por partes . . . . . . 45
7.4.2 Integral de la funci´on compuesta o m´etodo de sustituci´on . . . . . . . 46
7.5 Integraci´on de funciones racionales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
´INDICE 3
T7 Ejercicios y problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
8 Integral definida 53
8.1 Area del trapecio mixtil´ıneo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
8.2 Integral definida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
8.3 Propiedades de la integral definida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
8.4 Teorema de la media . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
8.5 Funci´on integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
8.6 Relaci´on con la derivada. Teorema de Barrow . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
T8 Ejercicios y problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
9 Aplicaciones de la integral definida 62
9.1 ´Area del recinto donde interviene una funci´on . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
9.2 ´Area del recinto donde intervienen dos funciones . . . . . . . . . . . . . . . . 64
9.3 Volumen de un cuerpo de revoluci´on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
9.4 Volumen de un cuerpo por secciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
T9 Ejercicios y problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
10 Espacios Vectoriales 68
10.1 Definici´on de espacio vectorial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
10.2 Otras propiedades de las operaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
10.3 Subespacios vectoriales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
10.4 Combinaci´on lineal de vectores. Subespacio engendrado . . . . . . . . . . . . 70
10.4.1 Combinaci´on lineal de vectores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
10.4.2 Subespacio engendrado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
10.5 Dependencia e independencia lineal de vectores. Rango de un conjunto de
vectores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
10.5.1 Dependencia e independencia lineal de vectores . . . . . . . . . . . . . 71
10.5.2 Rango de un conjunto de vectores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
10.6 Base de un espacio vectorial. Dimensi´on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
10.6.1 Base de un espacio vectorial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
10.6.2 Dimensi´on de un espacio vectorial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
10.7 Coordenadas de un vector . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
10.8 Aplicaciones lineales entre espacios vectoriales . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
11 Matrices y determinantes 74
11.1 Concepto de matriz o tabla . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
11.2 Algunos tipos de matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
11.2.1 Seg´un su forma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
11.2.2 Seg´un sus elementos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
11.3 El espacio vectorial de las matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
11.3.1 Suma de matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
11.3.2 Producto de un escalar por una matriz . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
11.4 Producto de matrices. Matrices invertibles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
11.4.1 Producto de una matriz fila por una matriz columna . . . . . . . . . . 77
11.4.2 Producto de dos matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
11.5 Rango de una matriz. C´alculo por el m´etodo de Gauß . . . . . . . . . . . . . 78
11.5.1 C´alculo del rango por el m´etodo de Gauß . . . . . . . . . . . . . . . . 79
4 ´INDICE
11.6 Determinantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
11.6.1 Determinantes de segundo orden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
11.6.2 Determinantes de tercer orden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
11.7 Determinantes de orden n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
11.8 Propiedades de los determinantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
11.9 C´alculo de un determinante por el M´etodo de Gauß . . . . . . . . . . . . . . 83
11.10C´alculo de un determinante por los elementos de una fila o columna . . . . . 84
11.11C´alculo del rango de un conjunto de vectores y de una matriz por determinantes 85
11.12C´alculo de la matriz inversa por determinantes . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
T11 Ejercicios y problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
12 Sistemas de ecuaciones lineales 91
12.1 Sistemas de ecuaciones lineales en general . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
12.2 Sistemas equivalentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
12.3 Criterio de compatibilidad. Teorema de Rouch´e . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
T12 Ejercicios y problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
13 Espacio af´ın eucl´ıdeo 96
13.1 Los vectores fijos en el espacio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
13.2 Los vectores libres en el espacio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
13.3 El espacio vectorial de los vectores libres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
13.4 Bases en V 3
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
13.5 Producto escalar de dos vectores libres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
13.6 M´odulo de un vector. ´Angulo de dos vectores . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
13.6.1 M´odulo de un vector . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
13.6.2 ´Angulo de dos vectores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
13.7 Producto vectorial de dos vectores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
13.8 Producto mixto de tres vectores libres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
13.9 Espacio af´ın . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
13.10Espacio af´ın eucl´ıdeo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
T13 Ejercicios y problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
14 Ecuaciones de rectas y planos 105
14.1 Coordenadas de un vector libre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
14.2 Coordenadas del punto medio de un segmento . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
14.3 Ecuaci´on de la recta. Determinaci´on lineal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
14.4 Ecuaci´on de la recta que pasa por dos puntos . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
14.5 Ecuaci´on del plano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
14.6 Ecuaci´on normal del plano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
14.7 Ecuaci´on del plano que pasa por tres puntos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
14.8 Ecuaci´on del plano determinado por una recta y un punto exterior . . . . . . 110
T14 Ejercicios y problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
15 Posiciones de rectas y planos 112
15.1 Posiciones de dos planos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112
15.2 Posiciones de tres planos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
15.3 Haces de planos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114
15.3.1 Haz de planos paralelos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114
0 ´INDICE
15.3.2 Haz de planos secantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114
15.4 Posiciones de recta y plano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114
15.5 Posiciones de dos rectas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
T15 Ejercicios y problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
16 Problemas m´etricos 121
16.1 ´Angulo de dos rectas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121
16.2 ´Angulo de dos planos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121
16.3 ´Angulo de recta y plano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122
16.4 Distancia entre dos puntos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
16.5 Distancia de un punto a un plano. Distancia entre planos paralelos . . . . . . 123
16.6 Distancia de un punto a una recta. Distancia entre rectas paralelas . . . . . . 124
16.7 Distancia entre rectas que se cruzan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125
16.7.1 Perpendicular com´un . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126
16.8 ´Areas de paralelogramos y tri´angulos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127
16.9 Vol´umenes de paralelep´ıpedos y tetraedros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127
T16 Ejercicios y problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128
Tema 1 Funciones reales
1.1 Funciones reales
Una funci´on real de variable real es toda ley que asocia a cada elemento de un determi-
nado subconjunto de n´umeros reales uno y s´olo un n´umero real. Se representa por
f : D ⊆ IR −→ IR
x −→ f(x) = y
El subconjunto en el que se define la funci´on recibe el nombre de dominio de definici´on
de la funci´on o campo de existencia, y se designa por Dom(f) o simplemente D.
La letra x, que representa cualquier n´umero del dominio, recibe el nombre de variable
independiente.
A la letra y, que representa el n´umero al que f asocia a x, se le llama variable depen-
diente (porque “depende” de lo que valga x).
El conjunto de valores reales que puede tomar la variable y, recibe el nombre de reco-
rrido de la funci´on, y se denota por f(D).
Toda funci´on queda determinada por el conjunto de pares de n´umeros reales {(x, y)} =
{(x, f(x))}, donde x es la variable independiente de f.
Dos funciones reales f y g son iguales, y se denota f ≡ g, cuando tienen el mismo dominio
y coinciden para todo valor del mismo (es decir, f(x) = g(x) para todo x ∈ D).
1.2 Representaci´on de funciones
Puesto que una funci´on se puede reducir a un conjunto de pares de n´umeros {(x, y), x ∈ D},
su representaci´on consiste en dibujar cada uno de ellos en el plano cartesiano.
Si f es una funci´on real, a cada par {(x, f(x))} (´o {(x, y)}), determinado por la funci´on
f le corresponde en el plano cartesiano un ´unico punto P(x, y).
M´as rigurosamente, la gr´afica de una funci´on f es el lugar geom´etrico de los puntos del
plano cuyas coordenadas satisfacen la ecuaci´on
y = f(x)
La construcci´on de unos cuantos puntos de la gr´afica da idea de c´omo var´ıa la funci´on,
pero por muchos puntos que dibujemos, es arriesgado unirlos mediante trazos continuos sin
un estudio previo de la funci´on.
1.3 Determinaci´on de funciones
Existen al menos cuatro formas de determinar una funci´on:
• Descriptivamente: explicando con palabras lo que hace la funci´on. Ejemplo: “fun-
ci´on que a cada n´umero real le asigna su doble”.
1

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Apuntes-MatematicasII

  • 1. ´Indice 1 Funciones reales 1 1.1 Funciones reales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1.2 Representaci´on de funciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1.3 Determinaci´on de funciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1.4 Operaciones con funciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 1.5 Simetr´ıa de las gr´aficas de funciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.5.1 Simetr´ıa respecto del origen. Funciones impares . . . . . . . . . . . . . 3 1.5.2 Simetr´ıa respecto del eje de ordenadas. Funciones pares . . . . . . . . 4 1.6 Funciones peri´odicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.7 Funciones acotadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.7.1 Cotas superiores e inferiores. Acotaci´on . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.7.2 Extremos: m´aximo y m´ınimo absoluto . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 T1 Ejercicios y problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 2 L´ımites 7 2.1 L´ımites de funciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 2.2 Propiedades de los l´ımites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 2.3 C´alculo de algunos l´ımites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 2.3.1 L´ımites de funciones racionales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 2.3.2 L´ımites de funciones irracionales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 2.3.3 Funciones equivalentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 2.4 As´ıntotas horizontales y verticales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 2.4.1 As´ıntotas horizontales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 2.4.2 As´ıntotas verticales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 2.5 As´ıntotas oblicuas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 T2 Ejercicios y problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 3 Continuidad 15 3.1 Continuidad en un punto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 3.2 Propiedades de la continuidad local . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 3.2.1 Unicidad del l´ımite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 3.2.2 Teorema del signo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 3.2.3 Acotaci´on de la funci´on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 3.2.4 Continuidad y operaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 3.3 Discontinuidades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 3.3.1 Discontinuidad evitable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 3.3.2 Discontinuidad inevitable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 3.4 Continuidad en un intervalo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 3.5 Propiedades de la continuidad en un intervalo . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 3.5.1 Teorema de Weierstrass . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 3.5.2 Teorema de Bolzano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 1
  • 2. 2 ´INDICE 3.5.3 Teorema del valor intermedio. Teorema de Darboux . . . . . . . . . . 17 3.5.4 Imagen de un intervalo cerrado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 3.5.5 Continuidad y operaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 T3 Ejercicios y problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 4 Derivadas 21 4.1 Derivada de una funci´on en un punto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 4.1.1 Derivadas laterales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 4.2 Interpretaci´on geom´etrica de la derivada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 4.2.1 La derivada como pendiente de la recta tangente . . . . . . . . . . . . 21 4.2.2 Normal a una curva en un punto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 4.3 Funci´on derivada. Derivadas sucesivas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 4.3.1 Funci´on derivada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 4.3.2 Derivadas sucesivas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 4.4 Derivadas de las funciones elementales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 4.5 Operaciones con derivadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 T4 Ejercicios y problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 5 Propiedades de las funciones derivables 29 5.1 Continuidad y derivabilidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 5.2 Derivada en un punto m´aximo o m´ınimo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 5.3 Teorema de Rolle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 5.4 Teorema del valor medio o de Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 5.5 Consecuencias del Teorema del valor medio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 5.5.1 Caracterizaci´on de las funciones constantes . . . . . . . . . . . . . . . 31 5.5.2 Relaci´on entre funciones con igual derivada . . . . . . . . . . . . . . . 31 5.6 Teorema de Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 5.7 Ra´ıces de una ecuaci´on o funci´on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 5.8 Regla de L’Hˆopital. C´alculo de l´ımites indeterminados . . . . . . . . . . . . . 32 T5 Ejercicios y problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 6 Aplicaciones de las derivadas 36 6.1 Funciones crecientes y decrecientes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 6.2 Intervalos de monoton´ıa en funciones derivables . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 6.3 M´aximos y m´ınimos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 6.4 Problemas sobre m´aximos y m´ınimos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 6.5 Concavidad y convexidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 6.6 Puntos de inflexi´on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 T6 Ejercicios y problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 7 Integrales indefinidas 43 7.1 Primitiva. Integral indefinida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 7.2 Propiedades lineales de la integraci´on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 7.3 Integrales inmediatas de funciones elementales . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 7.4 M´etodos de integraci´on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 7.4.1 Integral de un producto o m´etodo de integraci´on por partes . . . . . . 45 7.4.2 Integral de la funci´on compuesta o m´etodo de sustituci´on . . . . . . . 46 7.5 Integraci´on de funciones racionales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
  • 3. ´INDICE 3 T7 Ejercicios y problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 8 Integral definida 53 8.1 Area del trapecio mixtil´ıneo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 8.2 Integral definida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 8.3 Propiedades de la integral definida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57 8.4 Teorema de la media . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57 8.5 Funci´on integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58 8.6 Relaci´on con la derivada. Teorema de Barrow . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59 T8 Ejercicios y problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60 9 Aplicaciones de la integral definida 62 9.1 ´Area del recinto donde interviene una funci´on . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62 9.2 ´Area del recinto donde intervienen dos funciones . . . . . . . . . . . . . . . . 64 9.3 Volumen de un cuerpo de revoluci´on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65 9.4 Volumen de un cuerpo por secciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65 T9 Ejercicios y problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66 10 Espacios Vectoriales 68 10.1 Definici´on de espacio vectorial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68 10.2 Otras propiedades de las operaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68 10.3 Subespacios vectoriales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69 10.4 Combinaci´on lineal de vectores. Subespacio engendrado . . . . . . . . . . . . 70 10.4.1 Combinaci´on lineal de vectores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70 10.4.2 Subespacio engendrado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70 10.5 Dependencia e independencia lineal de vectores. Rango de un conjunto de vectores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71 10.5.1 Dependencia e independencia lineal de vectores . . . . . . . . . . . . . 71 10.5.2 Rango de un conjunto de vectores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72 10.6 Base de un espacio vectorial. Dimensi´on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72 10.6.1 Base de un espacio vectorial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72 10.6.2 Dimensi´on de un espacio vectorial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72 10.7 Coordenadas de un vector . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72 10.8 Aplicaciones lineales entre espacios vectoriales . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73 11 Matrices y determinantes 74 11.1 Concepto de matriz o tabla . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74 11.2 Algunos tipos de matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74 11.2.1 Seg´un su forma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74 11.2.2 Seg´un sus elementos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75 11.3 El espacio vectorial de las matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76 11.3.1 Suma de matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76 11.3.2 Producto de un escalar por una matriz . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77 11.4 Producto de matrices. Matrices invertibles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77 11.4.1 Producto de una matriz fila por una matriz columna . . . . . . . . . . 77 11.4.2 Producto de dos matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77 11.5 Rango de una matriz. C´alculo por el m´etodo de Gauß . . . . . . . . . . . . . 78 11.5.1 C´alculo del rango por el m´etodo de Gauß . . . . . . . . . . . . . . . . 79
  • 4. 4 ´INDICE 11.6 Determinantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80 11.6.1 Determinantes de segundo orden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80 11.6.2 Determinantes de tercer orden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80 11.7 Determinantes de orden n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81 11.8 Propiedades de los determinantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81 11.9 C´alculo de un determinante por el M´etodo de Gauß . . . . . . . . . . . . . . 83 11.10C´alculo de un determinante por los elementos de una fila o columna . . . . . 84 11.11C´alculo del rango de un conjunto de vectores y de una matriz por determinantes 85 11.12C´alculo de la matriz inversa por determinantes . . . . . . . . . . . . . . . . . 85 T11 Ejercicios y problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88 12 Sistemas de ecuaciones lineales 91 12.1 Sistemas de ecuaciones lineales en general . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91 12.2 Sistemas equivalentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92 12.3 Criterio de compatibilidad. Teorema de Rouch´e . . . . . . . . . . . . . . . . . 92 T12 Ejercicios y problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94 13 Espacio af´ın eucl´ıdeo 96 13.1 Los vectores fijos en el espacio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96 13.2 Los vectores libres en el espacio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96 13.3 El espacio vectorial de los vectores libres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97 13.4 Bases en V 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97 13.5 Producto escalar de dos vectores libres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98 13.6 M´odulo de un vector. ´Angulo de dos vectores . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99 13.6.1 M´odulo de un vector . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99 13.6.2 ´Angulo de dos vectores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99 13.7 Producto vectorial de dos vectores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100 13.8 Producto mixto de tres vectores libres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102 13.9 Espacio af´ın . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103 13.10Espacio af´ın eucl´ıdeo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103 T13 Ejercicios y problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104 14 Ecuaciones de rectas y planos 105 14.1 Coordenadas de un vector libre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105 14.2 Coordenadas del punto medio de un segmento . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105 14.3 Ecuaci´on de la recta. Determinaci´on lineal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106 14.4 Ecuaci´on de la recta que pasa por dos puntos . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107 14.5 Ecuaci´on del plano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108 14.6 Ecuaci´on normal del plano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109 14.7 Ecuaci´on del plano que pasa por tres puntos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109 14.8 Ecuaci´on del plano determinado por una recta y un punto exterior . . . . . . 110 T14 Ejercicios y problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111 15 Posiciones de rectas y planos 112 15.1 Posiciones de dos planos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112 15.2 Posiciones de tres planos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113 15.3 Haces de planos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114 15.3.1 Haz de planos paralelos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114
  • 5. 0 ´INDICE 15.3.2 Haz de planos secantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114 15.4 Posiciones de recta y plano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114 15.5 Posiciones de dos rectas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116 T15 Ejercicios y problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117 16 Problemas m´etricos 121 16.1 ´Angulo de dos rectas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121 16.2 ´Angulo de dos planos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121 16.3 ´Angulo de recta y plano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122 16.4 Distancia entre dos puntos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123 16.5 Distancia de un punto a un plano. Distancia entre planos paralelos . . . . . . 123 16.6 Distancia de un punto a una recta. Distancia entre rectas paralelas . . . . . . 124 16.7 Distancia entre rectas que se cruzan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125 16.7.1 Perpendicular com´un . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126 16.8 ´Areas de paralelogramos y tri´angulos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127 16.9 Vol´umenes de paralelep´ıpedos y tetraedros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127 T16 Ejercicios y problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128
  • 6. Tema 1 Funciones reales 1.1 Funciones reales Una funci´on real de variable real es toda ley que asocia a cada elemento de un determi- nado subconjunto de n´umeros reales uno y s´olo un n´umero real. Se representa por f : D ⊆ IR −→ IR x −→ f(x) = y El subconjunto en el que se define la funci´on recibe el nombre de dominio de definici´on de la funci´on o campo de existencia, y se designa por Dom(f) o simplemente D. La letra x, que representa cualquier n´umero del dominio, recibe el nombre de variable independiente. A la letra y, que representa el n´umero al que f asocia a x, se le llama variable depen- diente (porque “depende” de lo que valga x). El conjunto de valores reales que puede tomar la variable y, recibe el nombre de reco- rrido de la funci´on, y se denota por f(D). Toda funci´on queda determinada por el conjunto de pares de n´umeros reales {(x, y)} = {(x, f(x))}, donde x es la variable independiente de f. Dos funciones reales f y g son iguales, y se denota f ≡ g, cuando tienen el mismo dominio y coinciden para todo valor del mismo (es decir, f(x) = g(x) para todo x ∈ D). 1.2 Representaci´on de funciones Puesto que una funci´on se puede reducir a un conjunto de pares de n´umeros {(x, y), x ∈ D}, su representaci´on consiste en dibujar cada uno de ellos en el plano cartesiano. Si f es una funci´on real, a cada par {(x, f(x))} (´o {(x, y)}), determinado por la funci´on f le corresponde en el plano cartesiano un ´unico punto P(x, y). M´as rigurosamente, la gr´afica de una funci´on f es el lugar geom´etrico de los puntos del plano cuyas coordenadas satisfacen la ecuaci´on y = f(x) La construcci´on de unos cuantos puntos de la gr´afica da idea de c´omo var´ıa la funci´on, pero por muchos puntos que dibujemos, es arriesgado unirlos mediante trazos continuos sin un estudio previo de la funci´on. 1.3 Determinaci´on de funciones Existen al menos cuatro formas de determinar una funci´on: • Descriptivamente: explicando con palabras lo que hace la funci´on. Ejemplo: “fun- ci´on que a cada n´umero real le asigna su doble”. 1
  • 7. 2 TEMA 1. FUNCIONES REALES • Por f´ormulas: la mayor´ıa de las funciones que se presentan en la pr´actica se expresan generalmente por una f´ormula algebraica. Es indudable que se trata de la mejor manera de determinar una funci´on, puesto que se facilita el estudio de sus propiedades por m´etodos matem´aticos rigurosos y exactos. Ejemplo: f(x) = 2x. • Por gr´aficas: esta forma no exige conocer su correspondiente expresi´on algebraica. Adem´as la gr´afica da una informaci´on m´as r´apida que la f´ormula y muchas veces es suficiente para tener la informaci´on descriptiva y global del fen´omeno considerado. • Por tablas de valores: la experimentaci´on o la observaci´on de un fen´omeno en el que intervienen dos magnitudes dependientes nos da un conjunto de valores (x, y), es decir, una tabla. El estudio de esta tabla y de su gr´afica de puntos permite algunas veces hallar una f´ormula algebraica con la que se pueden obtener otros valores no registrados en la misma. x y = f(x) 1 2 2 4 ... ... 1.4 Operaciones con funciones Dadas dos funciones, f y g, se pueden definir las siguientes operaciones entre ellas siempre que tengan el mismo dominio: Funci´on Definici´on suma (resta) (f ± g)(x) = f(x) ± g(x) cero 0(x) = 0 opuesta (−f)(x) = −f(x) producto (fg)(x) = f(x)g(x) uno 1I(x) = 1 inversa (respecto al producto) 1 f (x) = 1 f(x) cociente f g (x) = f(x) g(x)
  • 8. 1.5. SIMETR´IA DE LAS GR´AFICAS DE FUNCIONES 3 Funci´on Definici´on producto por un n´umero (af)(x) = af(x) compuesta (g◦ f)(x) = g(f(x)) identidad id(x) = x rec´ıproca f−1 (x) es tal que (f◦ f−1 )(x) = x o inversa es decir (respecto a la composici´on) f−1 (y) = x ⇔ y = f(x) Observaciones: • La inversa (respecto al producto) de una funci´on, as´ı como el cociente de dos funciones, no est´an definidas en los puntos que anulan el denominador. • El producto de una funci´on por un n´umero real es un caso particular del producto de funciones, si convenimos que el n´umero real a representa tambi´en la funci´on constante definida por f(x) = a. • Para que pueda definirse la funci´on rec´ıproca f−1 es necesario que la funci´on directa f sea inyectiva, es decir, que a valores distintos del dominio, f haga corresponder valores distintos del recorrido. x = y =⇒ f(x) = f(y) Las funciones rec´ıprocas tienen la propiedad geom´etrica de que sus gr´aficas son sim´e- tricas respecto de la bisectriz del primer y tercer cuadrantes. 1.5 Simetr´ıa de las gr´aficas de funciones 1.5.1 Simetr´ıa respecto del origen. Funciones impares Una funci´on f es sim´etrica respecto del origen cuando para todo x del dominio se tiene f(−x) = −f(x) Las funciones sim´etricas respecto del origen reciben el nombre de funciones impares. La gr´afica de una funci´on impar queda determinada si conocemos su forma para valores positivos de x, ya que la parte de la gr´afica correspondiente a valores negativos de x se construye por simetr´ıa respecto del origen de coordenadas.
  • 9. 4 TEMA 1. FUNCIONES REALES 1.5.2 Simetr´ıa respecto del eje de ordenadas. Funciones pares Una funci´on f es sim´etrica respecto del eje de ordenadas cuando para todo x del dominio se tiene f(−x) = f(x) Las funciones sim´etricas respecto del eje de ordenadas reciben el nombre de funciones pares. La gr´afica de una funci´on par queda determinada si conocemos su forma para valores positivos de x, ya que la parte de la gr´afica correspondiente a valores negativos de x se construye por simetr´ıa respecto del eje de ordenadas. 1.6 Funciones peri´odicas Una funci´on f es peri´odica de periodo T si: f(x + T) = f(x) para todo x perteneciente al dominio de definici´on. Las funciones peri´odicas m´as importantes son las funciones circulares seno, coseno y tangente, ya que muchos fen´omenos naturales son peri´odicos y vienen expresados matem´a- ticamente por ellas. 1.7 Funciones acotadas 1.7.1 Cotas superiores e inferiores. Acotaci´on Una funci´on f est´a acotada inferiormente cuando existe un n´umero real K tal que todos los valores que toma la funci´on son mayores que K. f acotada inferiormente ⇐⇒ ∃K ∈ IR / f(x) > K ∀x ∈ Dom(f) El n´umero real K se llama cota inferior. Una funci´on f est´a acotada superiormente cuando existe un n´umero real K tal que todos los valores que toma la funci´on son menores que K . f acotada superiormente ⇐⇒ ∃K ∈ IR / f(x) < K ∀x ∈ Dom(f) El n´umero real K se llama cota superior. Una funci´on est´a acotada si lo est´a inferior y superiormente. 1.7.2 Extremos: m´aximo y m´ınimo absoluto Se llama extremo superior de una funci´on a la menor de las cotas superiores. Si este valor lo alcanza la funci´on se llama m´aximo absoluto. Se llama extremo inferior de una funci´on a la mayor de las cotas inferiores. Si este valor lo alcanza la funci´on se llama m´ınimo absoluto.
  • 10. T1. EJERCICIOS Y PROBLEMAS 5 T1 Ejercicios y problemas T1.1 Un rect´angulo tiene de per´ımetro 40 m. Expresa la altura del rect´angulo en funci´on del lado x de la base; lo mismo para el ´area. T1.2 Se quiere construir un pozo cil´ındrico de 2 m de di´ametro. Expresa el volumen del agua que cabe en el pozo en funci´on de su profundidad x. T1.3 Expresa en funci´on de la base el ´area de un rect´angulo inscrito en un c´ırculo de radio r. T1.4 ´Idem el ´area de un tri´angulo is´osceles inscrito en un c´ırculo de radio r. T1.5 Se dispone de una cartulina de 100 × 40 cm y se quiere construir una caja sin tapadera cortando un cuadrado en las cuatro esquinas. Halla la expresi´on del volumen en funci´on del lado x del cuadrado. T1.6 Expresa el ´area de un tri´angulo equil´atero en funci´on del lado. ¿Qu´e tipo de funci´on se obtiene? Halla el valor de esa funci´on si el lado mide 10 unidades. T1.7 Halla el dominio de las funciones (a) f(x) = 2x + 1 x2 − 5x + 6 (b) g(x) = x2 − 16 (c) h(x) = log(x2 − 4) T1.8 La funci´on f(x) = x2 − 3x + 2 x2 − 5x + 4 es igual que otra funci´on g, salvo en un punto. Halla g y el dominio com´un de ambas. T1.9 Llamamos ent(x) a la funci´on que da la parte entera de cualquier n´umero real. Por ejemplo, ent(3 2) = 3, ent(−2 3) = −3. Repres´entala en el intervalo [−4, 4]. T1.10 Llamamos dec(x) a la funci´on que da la parte decimal de cualquier n´umero real. Por ejemplo, dec(3 2) = 0 2, dec(−2 3) = 0 7. Repres´entala en el intervalo [−4, 4]. T1.11 Partiendo de la gr´afica de la funci´on y = 2x, dibuja mediante una traslaci´on de la misma, las gr´aficas de las funciones y = 2x + 1, y = 2x + 4, y = 2x − 3. Halla los puntos de corte con los ejes de estas funciones. T1.12 Calcular los coeficientes de la funci´on f(x) = ax+b si los valores f(0) y f(1) son conocidos. T1.13 Se consideran las funciones f(x) = ax + b y g(x) = cx + d. Halla una relaci´on entre los coeficientes a, b, c y d para que la composici´on de funciones sea conmutativa. T1.14 Halla la funci´on y = ax2 + bx + c sabiendo que el v´ertice es V (1, 1) y pasa por el punto P = (0, 2). Dibuja previamente el eje de simetr´ıa de la par´abola y halla el punto sim´etrico de P respecto a ´el. T1.15 Representa la funci´on y = x2 − |x| + 2, considerando las dos par´abolas que la definen al tomar valores positivos y negativos de x. T1.16 Representa la funci´on y = |x2 −5x+6|, dibujando previamente la funci´on f(x) = x2 −5x+6, y teniendo en cuenta a continuaci´on la definici´on de valor absoluto. T1.17 Estudia la simetr´ıa de las siguientes funciones: 1. f(x) = x3 + sen x 2. f(x) = x2 + cos x 3. f(x) = | sen x| + cos x 4. f(x) = x + x3 + x5 5. f(x) = sec x 6. f(x) = x · sen x 7. f(x) = sen x + cos x 8. f(x) = sen2 x + cos2 x T1.18 Dada la funci´on f(x) = dec x, halla el extremo superior y el extremo inferior. ¿Tiene m´aximo y m´ınimo absoluto? Haz un dibujo de esta funci´on.
  • 11. 6 TEMA 1. FUNCIONES REALES T1.19 Dada la funci´on f(x) = arctg x, halla el extremo superior y el extremo inferior. ¿Tiene m´aximo y m´ınimo absoluto? Haz un dibujo de esta funci´on. T1.20 Demostrar la veracidad o no de las siguientes proposiciones: (1) La suma de dos funciones pares es una funci´on par. (2) El producto de dos funciones pares es una funci´on par. (3) La suma de dos funciones impares es una funci´on impar. (4) El producto de dos funciones impares es una funci´on impar. T1.21 Se conoce la gr´afica de una funci´on f. Dibuja razonadamente las gr´aficas de las funciones: (a) y = f(x − 3) (b) y = f(x + 3) (c) y = f(x) + 3 (d) y = f(x) − 3 T1.22 Representa las siguientes gr´aficas por traslaci´on a partir de la funci´on f(x) = x2 : (a) F(x) = x2 + 2x + 1 (b) F(x) = x2 − 2x − 1 (c) F(x) = x2 + 1 (d) F(x) = x2 − 1 T1.23 Representa las siguientes funciones a partir de la funci´on y = |x|: (a) y = |x + 1| (b) y = |x − 1| (c) y = |x| + 1 (d) y = |x| − 1
  • 12. Tema 2 L´ımites 2.1 L´ımites de funciones Una funci´on f tiene l´ımite L en el punto x = a, si para todo n´umero real ε > 0, existe otro n´umero real δ > 0 tal que si 0 < |x − a| < δ ⇒ |f(x) − L| < ε Es decir, ∀ε > 0 ∃δ > 0 / 0 < |x − a| < δ ⇒ |f(x) − L| < ε Se representa: lim x→a f(x) = L. Otras definiciones de l´ımite lim x→a f(x) = +∞ ⇐⇒ ∀M > 0 ∃δ > 0 / 0 < |x − a| < δ ⇒ f(x) > M lim x→a f(x) = −∞ ⇐⇒ ∀M > 0 ∃δ > 0 / 0 < |x − a| < δ ⇒ f(x) < −M lim x→a+ f(x) = L ⇐⇒ ∀ε > 0 ∃δ > 0 / 0 < x − a < δ ⇒ |f(x) − L| < ε lim x→a− f(x) = L ⇐⇒ ∀ε > 0 ∃δ > 0 / 0 < a − x < δ ⇒ |f(x) − L| < ε lim x→a+ f(x) = +∞ ⇐⇒ ∀M > 0 ∃δ > 0 / 0 < x − a < δ ⇒ f(x) > M lim x→a+ f(x) = −∞ ⇐⇒ ∀M > 0 ∃δ > 0 / 0 < x − a < δ ⇒ f(x) < −M lim x→a− f(x) = +∞ ⇐⇒ ∀M > 0 ∃δ > 0 / 0 < a − x < δ ⇒ f(x) > M lim x→a− f(x) = −∞ ⇐⇒ ∀M > 0 ∃δ > 0 / 0 < a − x < δ ⇒ f(x) < −M lim x→+∞ f(x) = L ⇐⇒ ∀ε > 0 ∃H > 0 / x > H ⇒ |f(x) − L| < ε lim x→−∞ f(x) = L ⇐⇒ ∀ε > 0 ∃H > 0 / x < −H ⇒ |f(x) − L| < ε lim x→+∞ f(x) = +∞ ⇐⇒ ∀M > 0 ∃H > 0 / x > H ⇒ f(x) > M lim x→−∞ f(x) = +∞ ⇐⇒ ∀M > 0 ∃H > 0 / x < −H ⇒ f(x) < −M 2.2 Propiedades de los l´ımites (1) Si una funci´on tiene l´ımite en un punto, forzosamente es ´unico. (2) Si los l´ımites laterales de una funci´on en un punto son distintos, entonces la funci´on no tiene l´ımite en ese punto. Si lim x→a+ f(x) = lim x→a− f(x) entonces ∃ lim x→a f(x) (3) Si una funci´on tiene l´ımite distinto de cero en un punto, entonces existe un entorno del mismo en el que los valores que toma la funci´on tienen el mismo signo que el l´ımite. (4) Sean f y g dos funciones tales que existan lim x→a f(x) y lim x→a g(x) y sea c un n´umero real. Las siguientes relaciones son ciertas siempre que tengan sentido las operaciones 7
  • 13. 8 TEMA 2. L´IMITES definidas ya sea en la recta real IR o en la recta completa IR = IR {−∞, +∞}. En caso contrario no es posible obtener el l´ımite del primer miembro a partir de los l´ımites del segundo. Cuando esto suceda diremos que se trata de un caso indeterminado. Funci´on Propiedades suma (resta) lim x→a (f ± g)(x) = lim x→a f(x) ± lim x→a g(x) opuesta lim x→a (−f)(x) = − lim x→a f(x) producto lim x→a (fg)(x) = lim x→a f(x) lim x→a g(x) inversa (respecto al producto) lim x→a 1 f (x) = 1 lim x→a f(x) cociente lim x→a f g (x) = lim x→a f(x) lim x→a g(x) producto por un n´umero lim x→a (cf)(x) = c lim x→a f(x) constante lim x→a c = c compuesta (f continua) lim x→a f(g(x)) = f lim x→a g(x) identidad lim x→a x = a potencia lim x→a f(x) g(x) = lim x→a f(x) lim x→a g(x) Los tipos de indeterminaci´on para las operaciones anteriores son los siguientes: k 0 (k = 0), 0 0 , ∞ ∞ , 0 · ∞, ∞ − ∞, 1∞ , ∞0 , 00 Si al calcular un l´ımite se presenta alguna de estas indeterminaciones, es conve- niente transformar la expresi´on de la funci´on en otra equivalente a la que s´ı puedan aplicarse las propiedades anteriores. 2.3 C´alculo de algunos l´ımites 2.3.1 L´ımites de funciones racionales En las funciones racionales aparecen tres tipos de indeterminaciones, aunque en realidad s´olo dos de ellas son consideradas como tales:
  • 14. 2.3. C´ALCULO DE ALGUNOS L´IMITES 9 (1) Indeterminaci´on tipo k 0 (k = 0) Para resolverla se calculan los l´ımites laterales; si son iguales, la funci´on tiene l´ımite, en caso contrario no existe. Sin embargo, este caso no suele tomarse como indeterminado ya que el l´ımite, si existe, es siempre +∞ o −∞. Por ejemplo: lim x→1− 1 x − 1 = −∞ lim x→1+ 1 x − 1 = +∞    ⇒ ∃ lim x→1 1 x − 1 (2) Indeterminaci´on tipo 0 0 Esta indeterminaci´on en funciones racionales desaparece descomponiendo en factores el numerador y el denominador y simplificando. En general, si se anulan el numerador y el denominador para x = a, ambos son divisibles por x − a. Por ejemplo: lim x→1 x3 − 1 x − 1 = 0 0 = lim x→1 (x − 1)(x2 + x + 1) x − 1 = lim x→1 (x2 + x + 1) = 3 (3) Indeterminaci´on tipo ∞ ∞ Esta indeterminaci´on en funciones racionales desaparece dividiendo numerador y deno- minador por la potencia m´axima que aparezca. Por ejemplo: lim x→+∞ 4x2 + x − 1 x2 + 1 = ∞ ∞ = lim x→+∞ 4x2 x2 + x x2 − 1 x2 x2 x2 + 1 x2 = lim x→+∞ 4 + 1 x − 1 x2 1 + 1 x2 = 4 + 0 − 0 1 + 0 = 4 2.3.2 L´ımites de funciones irracionales La indeterminaci´on tipo 0 0 ´o ∞ − ∞ de funciones con radicales de ´ındice 2 desaparece multiplicando y dividiendo la funci´on por la expresi´on radical conjugada. Por ejemplo: lim x→0 x 1 − √ 1 − x = 0 0 = lim x→0 x(1 + √ 1 − x) (1 − √ 1 − x)(1 + √ 1 − x) = lim x→0 x(1 + √ 1 − x) 1 − (1 − x) = lim x→0 (1 + √ 1 − x) = 2 2.3.3 Funciones equivalentes Dos funciones son equivalentes en un punto si el l´ımite de su cociente en dicho punto es 1. Si en una expresi´on figura como factor o divisor una funci´on, el l´ımite de la expresi´on no var´ıa al sustituir dicha funci´on por otra equivalente. Tabla de l´ımites equivalentes:
  • 15. 10 TEMA 2. L´IMITES sen x ∼ x tan x ∼ x arcsen x ∼ x x → 0 arctan x ∼ x 1 − cos x ∼ x2 2 ex − 1 ∼ x ln(1 + x) ∼ x ln x ∼ x − 1 x → 1 sen(x − 1) ∼ x − 1 2.4 As´ıntotas horizontales y verticales 2.4.1 As´ıntotas horizontales La recta y = k es una as´ıntota horizontal de la funci´on f si existe alguno de los l´ımites siguientes: lim x→−∞ f(x) = k ´o lim x→+∞ f(x) = k As´ı pues, para calcular las as´ıntotas horizontales de una funci´on, si es que tiene, se hace tender x hacia −∞ ´o +∞ y se observa el valor de la y obtenido. Observaciones: • Una funci´on puede tener como m´aximo dos as´ıntotas horizontales, correspondientes a cada uno de los l´ımites en −∞ y +∞. • La gr´afica de la funci´on puede cortar a la as´ıntota horizontal en uno o varios puntos. No obstante, en la mayor´ıa de las funciones elementales la gr´afica est´a permanentemente por encima o por debajo de la as´ıntota considerada a partir de un punto. • El conocimiento de la situaci´on de la gr´afica con relaci´on a las as´ıntotas es esencial para la representaci´on de funciones. En el caso de la as´ıntota horizontal y = k es conveniente estudiar si la funci´on se acerca tomando valores mayores o menores. 2.4.2 As´ıntotas verticales La recta x = a es una as´ıntota vertical de la funci´on f si existe alguno de los l´ımites siguientes: lim x→a f(x) = +∞ ´o − ∞, lim x→a+ f(x) = +∞ ´o − ∞, lim x→a− f(x) = +∞ ´o − ∞, As´ı pues, para calcular las as´ıntotas verticales de una funci´on, si es que tiene, se localizan los valores finitos de la variable x que hacen tender la variable y a +∞ ´o −∞. Observaciones: • Una funci´on puede tener infinitas as´ıntotas verticales. • En la funciones elementales, la gr´afica de la funci´on nunca corta a la as´ıntota vertical, ya que en los puntos donde existe as´ıntota no est´a definida la funci´on.
  • 16. 2.5. AS´INTOTAS OBLICUAS 11 • La situaci´on de la gr´afica de la funci´on con relaci´on a la as´ıntota x = a se obtiene calculando los l´ımites laterales en x = a y viendo si valen +∞ ´o −∞. • En las funciones racionales, las as´ıntotas verticales se hallan tomando los puntos que anulan al denominador pero no al numerador. EJEMPLO: Calcular las as´ıntotas horizontales y verticales de la funci´on f(x) = x + 1 x − 2 La recta x = 2 es la as´ıntota vertical. lim x→+∞ f(x) = 1+ lim x→−∞ f(x) = 1− ⇒ La recta y = 1 es la as´ıntota horizontal 2.5 As´ıntotas oblicuas La recta y = mx + n, m = 0 es una as´ıntota oblicua de la funci´on f si existe alguno de los l´ımites siguientes: (1) lim x→+∞ (f(x) − mx − n) = 0 As´ıntota oblicua en +∞. (2) lim x→−∞ (f(x) − mx − n) = 0 As´ıntota oblicua en −∞. La as´ıntota y = mx + n quedar´a completamente determinada cuando conozcamos los valores de m y n. m = lim x→±∞ f(x) x Seg´un el valor de m obtenido al calcular el l´ımite en +∞ (respectivamente en −∞) pueden darse tres casos: a) Si m es un n´umero real no nulo, la funci´on tiene una as´ıntota oblicua en +∞ (resp. en −∞). b) Si m = ±∞, la funci´on no tiene as´ıntota oblicua en +∞ (resp. en −∞). c) Si m = 0, la funci´on no tiene as´ıntota oblicua sino horizontal en +∞ (resp. en −∞). Conocido m, se tiene: lim x→±∞ (f(x) − mx − n) = 0 ⇔ n = lim x→±∞ (f(x) − mx) Observaciones: • Una funci´on puede tener como m´aximo dos as´ıntotas oblicuas, correspondientes a cada uno de los l´ımites. • Si una funci´on tiene as´ıntota oblicua en +∞ y −∞, no puede tener ninguna as´ıntota horizontal. • La gr´afica de la funci´on puede cortar a la as´ıntota oblicua en uno o varios puntos. No obstante, en la mayor´ıa de las funciones elementales la gr´afica est´a por encima o por debajo de la as´ıntota a partir de un punto en adelante. • La situaci´on de la gr´afica con relaci´on a una as´ıntota se comprueba estudiando si la funci´on se aproxima a ella tomando valores mayores o menores.
  • 17. 12 TEMA 2. L´IMITES T2 Ejercicios y problemas T2.1 Calcula los siguientes l´ımites de funciones polin´omicas: 1. lim x→2 (x2 − 5x + 6) 2. lim x→1 (x − 1)7 3. lim x→2 (x3 − x2 + x + 1) 4. lim x→+∞ (x2 − x + 1) 5. lim x→+∞ (−x2 + x + 25) 6. lim x→−∞ (−x3 + x2 + 1) T2.2 Calcula los siguientes l´ımites de funciones racionales, si existen; en caso contrario halla los l´ımites laterales. 1. lim x→1 x2 − 1 x + 1 2. lim x→1 x − 1 x + 1 3. lim x→1 1 x − 1 4. lim x→1 x + 1 x2 − 1 5. lim x→4 x2 − 6x + 8 x − 4 6. lim x→1 x4 − 1 x − 1 7. lim x→2 x2 − x − 2 x2 − 4x − 4 8. lim x→1 x3 − 1 x2 − 1 9. lim x→3 3 x − 3 10. lim x→−1 x2 + 2x + 1 x3 + 3x2 + 3x + 1 11. lim x→2 x2 − 6x + 8 x − 2 12. lim x→1 x4 − 1 x2 − 1 13. lim x→0 (1 + x)2 − 1 x 14. lim x→1 x5 − 1 x2 − 1 15. lim x→+∞ x2 − 6x + 8 x2 − 2 16. lim x→+∞ x4 − 1 x2 − 1 17. lim x→+∞ (1 + x)2 − 1 x2 18. lim x→1 x5 − 1 x7 − 1 T2.3 Calcula los siguientes l´ımites de funciones irracionales, si es posible: 1. lim x→0 x 1 − √ x + 1 2. lim x→3 √ x + 1 − 2 x − 3 3. lim x→1 √ x − 1 x − 1 4. lim x→0 √ 1 − x − 1 x 5. lim x→0 √ 1 − x − √ 1 + x x 6. lim x→0 1 − √ 1 − x2 x 7. lim x→0 √ x + 9 − 3 √ x + 16 − 4 8. lim x→1 √ x − 1 + √ x + 1 √ x + 1 − √ x − 1
  • 18. T2. EJERCICIOS Y PROBLEMAS 13 9. lim x→+∞ √ x + 1 − x 10. lim x→+∞ √ 1 + x − √ x 11. lim x→+∞ x2 + x − x 12. lim x→+∞ √ x + 2 − √ x − 2 13. lim x→+∞ x2 + 1 − x2 − 1 14. lim x→+∞ (x + 2)(x − 3) − x T2.4 Calcula los siguientes l´ımites utilizando funciones equivalentes en x = 0: 1. lim x→0 sen(8x) 4x 2. lim x→0 sen(14x) sen(7x) 3. lim x→0 5 arcsen x 7x 4. lim x→0 tg(2x) sen(5x) 5. lim x→0 tg(8x) 4x 6. lim x→0 x arctg x cos x sen(2x)2 7. lim x→0 sen(tg(sen x))) sen(tg x) 8. lim x→0 x(1 − cos x) sen3 x 9. lim x→0 1 − cos x x2 T2.5 Calcula los siguientes l´ımites utilizando funciones equivalentes en x = 1: 1. lim x→1 sen(x − 1) x − 1 2. lim x→1 ln x x − 1 T2.6 Calcula los siguientes l´ımites utilizando funciones equivalentes en x = +∞: 1. lim x→+∞ 3x2 + x − 1 2x2 − x 2. lim x→+∞ x3 − x2 + 1 4x3 + x2 − x T2.7 Hallar las as´ıntotas horizontales y verticales de las siguientes funciones: 1. f(x) = 1 x2 2. f(x) = 1 x3 3. f(x) = x2 + 1 x2 − 1 4. f(x) = x − 1 x + 1 5. f(x) = 1 x − 1 6. f(x) = x + 1 x − 1 7. f(x) = x2 − 6x + 8 x − 4 8. f(x) = x4 − 1 x − 1 9. f(x) = x2 − x − 2 x2 − 4x + 4 10. f(x) = x3 − 1 x2 − 1
  • 19. 14 TEMA 2. L´IMITES T2.8 Hallar por divisi´on las as´ıntotas obl´ıcuas de las siguientes funciones racionales: 1. f(x) = x2 + 1 x 2. f(x) = x3 (x − 1)2 3. f(x) = x2 x − 2 4. f(x) = x3 1 − x2 5. f(x) = x2 − 5x + 4 x − 5 6. f(x) = x2 − 4x + 3 x + 1 7. f(x) = x2 − 3x − 4 2x − 5 8. f(x) = x3 + x2 − 2x + 3 x2 − 3 T2.9 Dibuja las funciones f(x) = ex y g(x) = ln(x), di si tienen as´ıntotas y de qu´e clase son.
  • 20. Tema 3 Continuidad 3.1 Continuidad en un punto Una funci´on f es continua en un punto si existe l´ımite en ´el y coincide con el valor que toma la funci´on en ese punto. f es continua en x = a ⇔ lim x→a f(x) = f(a) La continuidad de f en x = a implica que se cumplan estas tres condiciones: (1) Existe el l´ımite de la funci´on f(x) en x = a. (2) La funci´on est´a definida en x = a, es decir, existe f(a). (3) Los dos valores anteriores coinciden. Si una funci´on no es continua en x = a, diremos que es discontinua en ese punto. Si consideramos la definici´on m´etrica de l´ımite, la definici´on de continuidad queda como sigue: Una funci´on f es continua en el punto x = a si a cada n´umero real positivo ε se le puede asociar otro n´umero real positivo δ, tal que: |x − a| < δ ⇒ |f(x) − f(a)| < ε Es decir, “a puntos cercanos, f hace corresponder puntos cercanos”. Una funci´on es continua por la derecha en un punto si existe l´ımite por la derecha en ´el y coincide con el valor que toma la funci´on en ese punto. f es continua en a+ ⇔ lim x→a+ f(x) = f(a) Una funci´on es continua por la izquierda en un punto si existe l´ımite por la izquierda en ´el y coincide con el valor que toma la funci´on en ese punto. f es continua en a− ⇔ lim x→a− f(x) = f(a) Si una funci´on es continua por la derecha y por la izquierda en un punto dado, entonces es continua en ese punto. 3.2 Propiedades de la continuidad local 3.2.1 Unicidad del l´ımite Si una funci´on es continua en un punto, entonces tiene l´ımite en ese punto y es ´unico. 3.2.2 Teorema del signo Si una funci´on es continua en un punto x = a y f(a) = 0, entonces existe un entorno sim´etrico de x = a en el que los valores que toma f tienen el mismo signo que f(a). 15
  • 21. 16 TEMA 3. CONTINUIDAD 3.2.3 Acotaci´on de la funci´on Si una funci´on es continua en el punto x = a, entonces est´a acotada en ese punto, es decir, existe un entorno sim´etrico de x = a en el que la funci´on est´a acotada. 3.2.4 Continuidad y operaciones Las operaciones con funciones continuas en x = a da como resultado otra funci´on con- tinua en un entorno sim´etrico de x = a, siempre que tenga sentido la operaci´on. Esto es consecuencia de las operaciones con l´ımites de funciones. Por ejemplo, f(x) = x2 y g(x) = sen(3x) son continuas en toda la recta real, por tanto f(x) + g(x) = x2 + sen(3x) y f(g(x)) = f(sen(3x)) = sen2 (3x) son tambi´en funciones continuas. 3.3 Discontinuidades Una funci´on es discontinua en un punto cuando no existe l´ımite en ´el o, existiendo, no coincide con el valor de la funci´on en ese punto. 3.3.1 Discontinuidad evitable Una funci´on tiene una discontinuidad evitable en un punto cuando existe l´ımite en ´el y no coincide con el valor de la funci´on en el mismo. El valor que deber´ıamos dar a la funci´on en dicho punto para que fuera continua en ´el se llama verdadero valor de la funci´on en ese punto. 3.3.2 Discontinuidad inevitable Una funci´on tiene una discontinuidad inevitable en un punto cuando existen los l´ımites laterales en ´el y son distintos. Si f es discontinua en el punto x = a, el valor lim x→a+ f(x) − lim x→a− f(x) se llama salto de la funci´on en ese punto, y puede ser finito o infinito. 3.4 Continuidad en un intervalo Una funci´on es continua en un intervalo abierto (a, b) si lo es en cada uno de sus puntos. Una funci´on es continua en un intervalo cerrado [a, b] si lo es en todos los puntos de (a, b), y adem´as es continua por la derecha en a y por la izquierda en b.
  • 22. 3.5. PROPIEDADES DE LA CONTINUIDAD EN UN INTERVALO 17 3.5 Propiedades de la continuidad en un intervalo 3.5.1 Teorema de Weierstrass Si una funci´on es continua en un intervalo cerrado [a, b], tiene m´aximo y m´ınimo en ese intervalo. Este teorema implica que la funci´on definida en el intervalo [a, b] est´a acotada. 3.5.2 Teorema de Bolzano Si una funci´on es continua en un intervalo cerrado [a, b] y toma valores de signo opuesto en los extremos, entonces existe al menos un punto interior c del intervalo en el que f(c) = 0. 3.5.3 Teorema del valor intermedio. Teorema de Darboux Si una funci´on es continua en el intervalo [a, b], la funci´on toma en ese intervalo todos los valores comprendidos entre el m´ınimo y el m´aximo. Es una consecuencia inmediata del Teorema de Bolzano. 3.5.4 Imagen de un intervalo cerrado La imagen de un intervalo cerrado por una funci´on continua es un intervalo cerrado. Si la funci´on est´a definida en [a, b], alcanza un valor m´aximo M y un valor m´ınimo m. Por el teorema del valor intermedio, la funci´on tomar´a todos los valores comprendidos entre el m´ınimo y el m´aximo. Estos puntos pertenecen al intervalo [m, M]. Por ejemplo, la funci´on f(x) = sen x definida en [0, 2π] tiene por imagen el intervalo cerrado [-1,1]. 3.5.5 Continuidad y operaciones Las operaciones con funciones continuas definidas en el mismo intervalo dan como re- sultado otra funci´on continua en ´el siempre que tenga sentido la operaci´on. Esto es consecuencia de las operaciones con funciones continuas en puntos.
  • 23. 18 TEMA 3. CONTINUIDAD T3 Ejercicios y problemas T3.1 Se define una funci´on de la siguiente forma: f(x) = 0 si x es un n´umero entero 1 si x no es un n´umero entero Representa la funci´on y di en qu´e puntos es discontinua. T3.2 Se considera la funci´on racional f(x) = x2 − 1 x − 1 ; calcula: (1) Su dominio. (2) ¿Es discontinua en alg´un punto? ¿Por qu´e? (3) En x = 1 la funci´on no est´a definida. Ampl´ıa esta funci´on para que sea continua en todo IR. T3.3 Halla los puntos de discontinuidad de las siguientes funciones: (a) f(x) = 1 x (b) f(x) = 1 x2 − 4 (c) f(x) = x + 1 si x ≥ 0 x − 1 si x < 0 (d) f(x) = x2 − 1 si x ≤ 0 2x − 3 si x > 0 (e) f(x) = x + 1 si x ≥ 0 −x − 1 si x < 0 (f) f(x) = x + 1 si x ≤ 2 2x − 1 si x > 2 (g) f(x) = 2 − x2 si x ≤ 2 2x − 6 si x > 2 (h) f(x) =    1 x si x < 1 √ x + 1 si x ≥ 1 T3.4 Calcula cu´anto debe valer a para que la funci´on f sea continua: f(x) = x + 1 si x ≤ 1 3 − ax2 si x > 1 T3.5 Representa la siguiente funci´on e indica si tiene alg´un punto de discontinuidad: f(x) = x + 1 si x < 3 x2 si 3 ≤ x < 4 0 si x ≥ 4 T3.6 Estudia la continuidad de la siguiente funci´on: f(x) =    2x2 + 3x − 2 2x2 − 5x + 2 si x = 1 2 − 5 3 si x = 1 2 T3.7 Representa la siguiente funci´on e indica si tiene alg´un punto de discontinuidad: f(x) = x − 1 si x ≤ 1 x2 − 1 si 1 < x ≤ 2 x2 si x > 2
  • 24. T3. EJERCICIOS Y PROBLEMAS 19 T3.8 Prueba que la funci´on f(x) = x2 − 1 x3 + 7x − 8 no es continua en x = 1 e indica qu´e tipo de discontinuidad presenta. T3.9 La funci´on f(x) = x3 + x2 + x + a x − 1 no est´a definida en x = 1. Halla el valor de a para que sea posible definir el valor de f(1) y resulte as´ı una funci´on continua. T3.10 Dada la funci´on f(x) = x2 + 2x − 1 si x < 0 ax + b si 0 ≤ x < 1 2 si x ≥ 1 halla a y b para que la funci´on sea continua y dibuja su gr´afica. T3.11 Dadas las funciones f y g definidas en IR por: f(x) = x + |x| 2 g(x) = x si x < 0 x2 si x ≥ 0 estudia la continuidad de la funci´on compuesta dada por g◦ f. T3.12 Sea f(x) la funci´on que en el intervalo abierto (0,1) est´a dada por: f(x) = x2 − x sen πx ¿Qu´e valores habr´ıa de tener en 0 y en 1 para que fuese continua en el intervalo cerrado [0, 1]? T3.13 ¿Se puede asignar un valor a f(0) para que la funci´on definida por: f(x) = 1 − x sen 1 x (para x = 0) sea continua en el punto x = 0? T3.14 Dada la funci´on: f(x) = x(log x)2 (x − 1)2 (1) Determina su dominio. (2) ¿Se podr´ıa asignar a f(x) alg´un valor en los puntos de discontinuidad para que fuese continua en el intervalo [0, +∞)? T3.15 Utiliza el teorema de Bolzano para demostrar que la ecuaci´on x3 + x2 − 7x + 1 = 0 tiene una soluci´on en el intervalo [0, 1]. T3.16 Si f(x) es continua en [1, 9] y es tal que f(1) = −5 y f(9) > 0, ¿podemos asegurar que en estas condiciones la funci´on g(x) = f(x) + 3 tiene al menos un cero en el intervalo [1, 9]? T3.17 ¿Se puede afirmar que la ecuaci´on sen x + 2x − 1 = 0 tiene al menos una ra´ız real? Si es as´ı, halla un intervalo en el cual se encuentre dicha ra´ız. T3.18 Comprueba que la ecuaci´on x2 = x sen x + cos x posee alguna soluci´on real en [−π, π]. T3.19 Demuestra que la ecuaci´on πx = e tiene una soluci´on en el intervalo (0, 1). T3.20 Demuestra que la ecuaci´on x = cos x tiene una soluci´on en el intervalo (0, 1).
  • 25. 20 TEMA 3. CONTINUIDAD T3.21 Sea f(x) una funci´on continua en [a, b], c, d ∈ [a, b] con f(c) = 10 y f(d) = 7. Demuestra que la ecuaci´on g(x) = f(x) + 7 tiene un valor p del intervalo [c, d] tal que g(p) = 15. T3.22 Prueba que la funci´on f(x) = 6 2 + sen x alcanza el valor 4 en el intervalo [− π 2 , π 2 ]. T3.23 De dos funciones F(x) y G(x) se sabe que son continuas en el intervalo (a, b), que F(a) > G(a) y que G(b) > F(b). ¿Puede demostrarse que existe alg´un punto t del intervalo en el que se corten las gr´aficas de las dos funciones? T3.24 Utilizando el teorema de Bolzano acerca de las funciones continuas, indica c´omo y en qu´e intervalo se aplicar´ıa para saber que la ecuaci´on log x = 1 − x tiene soluci´on. T3.25 Consideremos la funci´on f(x) = 1 x − 1 (1) ¿Es f continua en el intervalo [1,2]? (2) ¿Est´a acotada en tal intervalo? (3) ¿Tiene alg´un m´ınimo o m´aximo absolutos? (4) ¿Se contradice el teorema de Weierstrass?
  • 26. Tema 4 Derivadas 4.1 Derivada de una funci´on en un punto Se llama derivada de la funci´on f en el punto x = a, si es que existe a: lim h→0 f(a + h) − f(a) h Si el l´ımite existe se dice que la funci´on es derivable en el punto x = a. La derivada de una funci´on en un punto es un n´umero real. Para designar la derivada de la funci´on f en el punto x = a, se emplean diversas nota- ciones: y (a), f (a), Df(a), df dx (a). Si hacemos x = a+h, entonces h = x−a, con lo que x → a cuando h → 0. Sustituyendo estos valores en la f´ormula anterior se obtiene una segunda forma de expresar la derivada: f (a) = lim x→a f(x) − f(a) x − a 4.1.1 Derivadas laterales Se llama derivada por la izquierda de la funci´on f en el punto x = a al l´ımite siguiente, si es que existe: lim h→0− f(a + h) − f(a) h Se llama derivada por la derecha de la funci´on f en el punto x = a al l´ımite siguiente, si es que existe: lim h→0+ f(a + h) − f(a) h La derivada por la izquierda se designa por f (a)− y la derivada por la derecha por f (a)+ . De otra forma: f (a)− = lim x→a− f(x) − f(a) x − a f (a)+ = lim x→a+ f(x) − f(a) x − a Una funci´on es derivable en un punto si y s´olo si es derivable por la izquierda y por la derecha en ese punto y las derivadas laterales coinciden. Una funci´on es derivable en un intervalo abierto (a, b) si lo es en cada uno de sus puntos. Una funci´on es derivable en un intervalo cerrado [a, b] si es derivable en cada punto de (a, b) y derivable por la derecha en a y por la izquierda en b. 4.2 Interpretaci´on geom´etrica de la derivada 4.2.1 La derivada como pendiente de la recta tangente 21
  • 27. 22 TEMA 4. DERIVADAS x0 x1 f(x0) f(x1) y = f(x) P0 P1 P2 P3 Sea P0(x0, f(x0)) un punto fijo y sea Pi(xi, f(xi)) un punto cualquiera de la gr´afica correspondiente a la funci´on y = f(x) La pendiente de la recta secante P0Pi es: mi = f(xi) − f(x0) xi − x0 Si los puntos Pi se aproximan hacia el punto P0, sus abscisas xi tender´an a x0. Por tanto, si indicamos por mt la pendiente de la recta tangente en P0, resulta: mt = lim xi→x0 f(xi) − f(x0) xi − x0 que es la derivada de la funci´on f en el punto x = x0, correspondiente al punto P0. La recta tangente es el l´ımite de la secante, y su pendiente coincide con el l´ımite de las pendientes de las secantes. La pendiente de la tangente en un punto es igual a la derivada de la funci´on en ese punto: mt = f (x0) La ecuaci´on de la recta tangente en el punto P0(x0, f(x0)) es: y − f(x0) = f (x0)(x − x0) 4.2.2 Normal a una curva en un punto La normal a una curva en un punto P0 es la perpendicular a la recta tangente en dicho punto. Si la pendiente de la tangente es mt = f (x0), la pendiente de la normal es: mn = − 1 f (x0) y la ecuaci´on de la normal viene dada por: y − f(x0) = − 1 f (x0) (x − x0) 4.3 Funci´on derivada. Derivadas sucesivas 4.3.1 Funci´on derivada Si una funci´on f es derivable en un subconjunto D de su dominio D, es posible definir una nueva funci´on que asocie a cada n´umero real de D su derivada en ese punto. Esta funci´on as´ı definida se llama funci´on derivada, o simplemente, derivada. La notaci´on de la derivada de la funci´on y = f(x) viene dada por y = f (x) o por Df(x).
  • 28. 4.4. DERIVADAS DE LAS FUNCIONES ELEMENTALES 23 4.3.2 Derivadas sucesivas A partir de la funci´on derivada primera se puede definir, si existe, tambi´en su derivada, y recibe el nombre de derivada segunda. Se designa por y = f (x) ´o D2 f(x). An´alogamente se definen las funciones derivadas tercera, cuarta, quinta,..., n-´esima, que se designan por: f (x), fIV (x), fV (x), ..., fn (x) ´o D3 f(x), D4 f(x), D5 f(x), ..., Dn f(x) 4.4 Derivadas de las funciones elementales Simples Compuestas Funci´on Derivada Funci´on Derivada xn nxn−1 f(x)n nf(x)n−1 · f (x) √ x 1 2 √ x f(x) f (x) 2 f(x) ln x 1 x ln f(x) f (x) f(x) loga x 1 x loga e = 1 x · ln a loga f(x) f (x) f(x) · ln a = f (x) f(x) loga e ex ex ef(x) ef(x) · f (x) ax ax ln a af(x) af(x) · f (x) · ln a sen x cos x sen f(x) cos f(x) · f (x) cos x − sen x cos f(x) − sen f(x) · f (x) 1 + tg2 x = (1 + tg2 f(x)) · f (x) = tg x = sec2 x = tg f(x) = sec2 f(x) · f (x) = = 1 cos2 x = f (x) cos2 f(x) arcsen x 1 √ 1 − x2 arcsen f(x) f (x) 1 − f(x)2 arccos x − 1 √ 1 − x2 arccos f(x) − f (x) 1 − f(x)2 arctg x 1 1 + x2 arctg f(x) f (x) 1 + f(x)2
  • 29. 24 TEMA 4. DERIVADAS 4.5 Operaciones con derivadas Operaci´on Derivada f(x) ± g(x) f (x) ± g (x) f(x)g(x) f (x)g(x) + f(x)g (x) f(x) g(x) f (x)g(x) − f(x)g (x) (g(x))2 a · f(x) a · f (x) g(f(x)) g (f(x)) · f (x) f−1 (x) 1 f (f−1(x)) f(x)g(x) g(x) · f(x)g(x)−1 · f (x) potencial + f(x)g(x) · ln f(x) · g (x) exponencial Observaci´on: la derivaci´on de la composici´on de funciones se llama regla de la cadena. La f´ormula de la composici´on de funciones se extiende a tres o m´as funciones aplicando la regla de la cadena repetidamente. Para derivar la funci´on potencial-exponencial fg se usa la derivaci´on logar´ıtmica y resulta: y = f(x)g(x) tomando logaritmos ln y = ln(f(x)g(x) ) por propiedades del logaritmo ln y = g(x) ln f(x) derivando la igualdad y y = g (x) ln f(x) + g(x) f (x) f(x) despejando y y = y · g (x) ln f(x) + g(x) f (x) f(x) es decir y = f(x)g(x) · g (x) ln f(x) + g(x) f (x) f(x) Tambi´en podemos derivarla teniendo en cuenta que el primer sumando corresponde a la derivada de la funci´on considerada como potencial y el segundo como exponencial. Dfg = g · fg−1 · f potencial + fg · ln f · g exponencial
  • 30. T4. EJERCICIOS Y PROBLEMAS 25 T4 Ejercicios y problemas T4.1 En la ecuaci´on de la recta y = mx + b, explica c´omo se determinar´ıan los n´umeros m y b para que sea tangente a la gr´afica de la funci´on y = f(x) en el punto de ´esta de abscisa p. T4.2 La funci´on f(x) = |x + 1| no tiene derivada en un punto; ¿cu´al es? Representa primero la gr´afica de la funci´on f y, sobre ella, razona la respuesta. T4.3 Dada la par´abola de ecuaci´on y = x2 + x + 1, halla la pendiente de la recta tangente en el punto de abscisa x = 2. T4.4 Halla la ecuaci´on de la tangente a las curvas en los puntos que se indican: 1. f(x) = 3x2 + 8 en el punto P(1, 11) 2. f(x) = x4 − 1 en el punto P(0, −1) 3. f(x) = x5 + 1 en el punto P(0, 1) 4. f(x) = 2x5 + 4 en el punto P(−1, 2) 5. f(x) = 32x2 +1 en el punto de abscisa x = 0 T4.5 Escribe la ecuaci´on de la recta tangente a la hip´erbola xy = 1 en el punto de abscisa x = 3. Raz´onalo. T4.6 ¿En qu´e punto de la gr´afica de la funci´on f(x) = x2 − 6x + 8 la tangente es paralela al eje de abscisas? ¿Qu´e nombre recibe ese punto de la par´abola? T4.7 ¿En qu´e punto de la gr´afica de la funci´on f(x) = x2 − 6x + 8 la tangente es paralela a la bisectriz del primer cuadrante? T4.8 Determina los puntos de la curva y = x3 + 9x2 − 9x + 15 en los cuales la tangente es paralela a la recta y = 12x + 5. T4.9 Busca los puntos de la curva y = x4 − 7x3 + 13x2 + x + 1 que tienen la tangente formando un ´angulo de 45◦ con el eje de las abscisas. T4.10 Obt´en las ecuaciones de las rectas tangente y normal a la curva y = (x + 1) · 3 √ 3 − x en el punto P(2, 3). T4.11 Demuestra que la curva y = |x − 2| no puede tener tangente en x = 2. T4.12 Estudia la derivabilidad en x = 1 de la siguiente funci´on y dibuja su gr´afica f(x) = 1 si x ≤ 1 2 si x > 1 T4.13 Dada la funci´on f(x) = 2 si x ≤ 0 x2 si x > 0 ¿Es derivable en x = 0? ¿Es continua en x = 0? (aplica la definici´on de derivada). T4.14 Dada la funci´on f(x) = mx2 − 1 x , hallar m para que f (1) = 0. (Aplica la definici´on de derivada). T4.15 El espacio recorrido por un m´ovil viene dado por la ecuaci´on s(t) = 3t + 5. Demuestra que la velocidad media es constante en cualquier intervalo. T4.16 La ecuaci´on del espacio recorrido por un m´ovil en funci´on del tiempo es s(t) = 3t2 − t + 1. Halla la velocidad en el instante t = 2.
  • 31. 26 TEMA 4. DERIVADAS T4.17 Calcula las derivadas de las siguientes funciones tipo potencial: 1. f(x) = x6 2. f(x) = x−6 3. f(t) = t2/3 4. f(t) = t−2/3 5. f(x) = x2 · x1/3 6. f(x) = x2 · x−1/3 7. f(m) = (m2 − 1)7 8. f(m) = (m2 + 1)−1/3 9. f(x) = x2 x1/2 10. f(x) = x1/2 · x1/3 · x1/4 11. f(x) = √ x 12. f(x) = 3 √ x 13. f(x) = √ x x 14. f(x) = x √ x 15. f(t) = sen2 t 16. f(x) = sen−2 x 17. f(x) = √ sen x 18. f(x) = 3 √ sen x 19. f(x) = cos2 x 20. f(x) = cos−2 x 21. f(t) = √ cos t 22. f(x) = 3 √ cos x 23. f(x) = tg2 x 24. f(x) = tg−2 x 25. f(x) = √ tg x 26. f(x) = tg−1/2 x 27. f(t) = cotg2 t 28. f(x) = cotg−2 x 29. f(t) = √ cotg t 30. f(x) = cotg−1/2 x T4.18 Calcula las derivadas de las siguientes funciones tipo logar´ıtmico: 1. f(x) = ln(x2 − x + 1) 2. f(x) = ln(sen x) 3. f(t) = ln(cos t) 4. f(x) = ln(ex ) 5. f(x) = ln(tg x2 ) 6. f(x) = ln(x2 + 1)2 7. f(x) = ln(sen x)1/2 T4.19 Calcula las derivadas de las siguientes funciones de tipo exponencial: 1. f(x) = e4x 2. f(x) = e3−x2 3. f(x) = 5x2 +x+1 4. f(x) = 2x2 +1 5. f(x) = eeex 6. f(x) = 3x · 5x T4.20 Calcula las derivadas de las siguientes funciones tipo potencial-exponencial: 1. f(x) = xtg x 2. f(x) = (sen x)cos x 3. f(x) = (sen x)sen x 4. f(x) = (sen x)x T4.21 Calcula las derivadas de las siguientes funciones tipo seno: 1. f(x) = sen 2x 2. f(x) = sen(−2x) 3. f(t) = sen(2t + 7) 4. f(x) = sen(−3x + 6)2 5. f(m) = sen(m2 + 1) 6. f(x) = sen x−2 7. f(x) = sen(ex ) 8. f(x) = sen5 (x2 + 1)7 9. f(x) = sen(ln(x2 + 1)) 10. f(x) = sen(5x ) 11. f(p) = sen(cos p) 12. f(x) = sen(tg x) 13. f(x) = sen(cotg x) 14. f(x) = sen2 (x2 + 1)2
  • 32. T4. EJERCICIOS Y PROBLEMAS 27 T4.22 Calcula las derivadas de las siguientes funciones tipo coseno: 1. f(x) = cos 2x 2. f(x) = cos(−2x) 3. f(s) = cos(2s + 7) 4. f(x) = cos(−3x + 6)2 5. f(t) = cos t2 6. f(x) = cos x−2 7. f(x) = cos(ln(x2 + 1)) 8. f(x) = cos(5x ) 9. f(x) = cos(cos x) 10. f(x) = cos(cos(cos x)) 11. f(x) = cos(tg x) 12. f(x) = cos(ex ) 13. f(x) = cos(cotg x) 14. f(x) = cos(x2 + 1)2 T4.23 Calcula las derivadas de las siguientes funciones tipo tangente: 1. f(x) = tg 2x 2. f(x) = tg(−2x) 3. f(t) = tg(2t + 7) 4. f(x) = tg(−3x + 6) 5. f(x) = tg x−2 6. f(x) = tg(ex ) 7. f(x) = tg(ln(x2 + 1)) 8. f(x) = tg(5x ) T4.24 Calcula las derivadas de las siguientes funciones tipo cotangente: 1. f(x) = cotg 2x 2. f(x) = cotg(−2x) 3. f(t) = cotg(2t + 7) 4. f(x) = cotg(−3x + 6) 5. f(x) = cotg(x2 + 1)2 6. f(x) = cotg x−2 T4.25 Calcula las derivadas de las siguientes funciones tipo arcoseno: 1. f(x) = arcsen 2x 2. f(x) = arcsen(x2 + 1) 3. f(x) = arcsen √ x 4. f(x) = arcsen(cos x) T4.26 Calcula las derivadas de las siguientes funciones tipo arcotangente: 1. f(x) = arctg(x2 + 1) 2. f(x) = arctg √ x 3. f(x) = arctg(ln x) 4. f(x) = arctg(ex ) 5. f(x) = arctg x−1/2 T4.27 Calcula las derivadas de las siguientes funciones y expresa el resultado de la forma m´as simple posible: 1. f(x) = ln(tg(x2 + 1)) 2. f(x) = arcsen(2x √ 1 − x2) 3. f(x) = (1 − cos x) cotg x 4. f(x) = x + 1 x − 1 5. f(x) = ln(x + 1 + √ x2 + 2x + 1) 6. f(x) = ln 1 + sen x 1 − sen x 7. f(x) = arctg √ 1 + x2 − 1 x 8. f(x) = eln sen2 x 9. f(x) = arctg 1 + x 1 − x − arctg x 10. f(x) = arcsen(xcos2 x ) 11. f(x) = ax + b cx + d 12. f(x) = arctg x √ 1 − x2 T4.28 Halla la derivada vig´esimo tercera de y = a sen bx para a y b constantes. T4.29 Deriva la funci´on y = (cos x)ln x2 y halla el valor de la funci´on en x = π 2 y x = 1. T4.30 Dada la funci´on f(x) = esen x , calcula y , y , y .
  • 33. 28 TEMA 4. DERIVADAS T4.31 Calcula y simplifica las derivadas de las siguientes funciones 1. f(x) = ln √ 1 + ex − 1 √ 1 + ex + 1 f (x) = 1 √ 1 + ex 2. f(x) = √ a2 − x2 + a · arcsen x a f (x) = a − x a + x 3. f(x) = ln(x + √ a2 + x2) f (x) = 1 √ a2 + x2 4. f(x) = − 1 2 sen2 x + ln(tg x) f (x) = 1 sen3 x cos x 5. f(x) = 1 10 e−x (3 sen 3x − cos 3x) f (x) = e−x cos 3x 6. f(x) = 2 sen x cos x f (x) = 2 cos 2x 7. f(x) = (sen x)cos x f (x) = (sen x)cos x cos2 x sen x − sen x · ln(sen x) 8. f(x) = ln(tg x) f (x) = 1 sen x cos x 9. f(x) = 1 2 ln(1 + x2 ) f (x) = x 1 + x2 10. f(x) = ln(sen x) f (x) = cotg x 11. f(x) = sen x − x cos x f (x) = x sen x 12. f(x) = 2 arctg( √ x) f (x) = 1 (1 + x) √ x 13. f(x) = − √ x2 + 4 4x f (x) = 1 x2 √ 4 + x2 T4.32 Halla la derivada vig´esimo cuarta de y = a sen bx para a y b constantes. T4.33 Deriva la funci´on y = ln(x2 )cos x y halla el valor de la funci´on en x = π 2 y x = 1. T4.34 Dada la funci´on y = f(x) = etg x , calcula y , y , y .
  • 34. Tema 5 Propiedades de las funciones derivables 5.1 Continuidad y derivabilidad Si una funci´on es derivable en un punto x = a, entonces es continua en ´el. Ve´amoslo: Sabiendo que f (a) = lim x→a f(x) − f(a) x − a hay que probar que lim x→a f(x) = f(a). lim x→a f(x) = f(a) ⇐⇒ lim x→a (f(x) − f(a)) = 0 Multiplicando y dividiendo por x − a: lim x→a (f(x) − f(a)) = lim x→a f(x) − f(a) x − a · (x − a) = lim x→a f(x) − f(a) x − a f (a) · lim x→a (x − a) 0 = 0 Sin embargo, el rec´ıproco de este teorema no es cierto. Cualquier funci´on derivable es continua, pero una funci´on continua no es necesariamente derivable. Por ejemplo, la funci´on f(x) = |x| es continua pero no es derivable en x = 0. De este teorema se deduce que las funciones derivables forman un subconjunto de las funciones continuas. 5.2 Derivada en un punto m´aximo o m´ınimo Sea f una funci´on definida en un intervalo abierto (a, b). Si la funci´on alcanza un m´aximo o un m´ınimo en un punto c del intervalo y es derivable en ´el, entonces su derivada es nula. La interpretaci´on geom´etrica de este hecho es que la recta tangente en un punto m´aximo o m´ınimo es paralela al eje de abscisas. 5.3 Teorema de Rolle Si una funci´on f es continua en un intervalo cerrado [a, b], derivable en su interior (a, b) y f(a) = f(b), entonces existe al menos un punto interior c tal que f (c) = 0. Geom´etricamente, este teorema expresa la existencia de un punto c de (a, b) tal que la recta tangente en (c, f(c)) es paralela al eje de abscisas. Demostraci´on por ser f continua en [a, b] y debido al teorema de Weierstrass, la funci´on alcanza un m´aximo y un m´ınimo. De este hecho se obtienen tres posibilidades: 29
  • 35. 30 TEMA 5. PROPIEDADES DE LAS FUNCIONES DERIVABLES a bc a c b a b Si el valor m´aximo o m´ınimo se presenta en un punto c de (a, b), entonces por el teorema anterior de la derivada en un punto m´aximo o m´ınimo, es f (c) = 0. Si los valores m´aximo y m´ınimo se presentan ambos en los extremos, son iguales, ya que f(a) = f(b), luego la funci´on f es constante. Por tanto, para todo punto c de (a, b) es f (c) = 0. 5.4 Teorema del valor medio o de Lagrange Si una funci´on f es continua en un intervalo cerrado [a, b] y derivable en su interior (a, b), entonces existe al menos un punto interior c de (a, b) tal que: f(b) − f(a) b − a = f (c) lo cual equivale a: f(b) − f(a) = f (c) · (b − a) que recibe el nombre de f´ormula de incrementos finitos. Demostraci´on c Ts(x) f(x) g(x) a b Para demostrar este teorema aplicaremos el teorema de Rolle a una funci´on auxiliar s(x) que da la longi- tud del segmento vertical, es decir: s(x) = f(x) − g(x) siendo g(x) la funci´on cuya gr´afica es la recta, lla- mada secante, que une (a, f(a)) con (b, f(b)), es de- cir: g(x) = f(b) − f(a) b − a · (x − a) + f(a) Por tanto: s(x) = f(x) − f(b) − f(a) b − a · (x − a) − f(a) Esta funci´on verifica las condiciones del teorema de Rolle, pues es continua en [a, b], derivable en (a, b) y s(a) = s(b) = 0. Por tanto, existe alg´un c en (a, b) tal que s (c) = 0.
  • 36. 5.5. CONSECUENCIAS DEL TEOREMA DEL VALOR MEDIO 31 Pero: s (c) = f (c) − f(b) − f(a) b − a = 0 =⇒ f (c) pendiente de la tangente en (c, f(c)) = f(b) − f(a) b − a pendiente de la secante 5.5 Consecuencias del Teorema del valor medio 5.5.1 Caracterizaci´on de las funciones constantes Si una funci´on f tiene derivada nula en todos los puntos de un intervalo abierto, es constante. Demostraci´on tomemos dos valores x y x + h del intervalo (a, b) y aplicando el teorema de Lagrange al intervalo [x, x + h], habr´a un punto c del intervalo (x, x + h) que verifica: f(x + h) − f(x) = f (c) · h y como f (c) = 0, resulta: f(x + h) − f(x) = 0 =⇒ f(x + h) = f(x) =⇒ f es constante Este teorema no es v´alido si el dominio de la funci´on no es un intervalo. 5.5.2 Relaci´on entre funciones con igual derivada Si dos funciones f y g tienen derivadas iguales en todos los puntos de un intervalo abierto, difieren en una constante. Demostraci´on D(f(x) − g(x)) = Df(x) − Dg(x) = 0 Luego, por el apartado anterior: f(x) − g(x) = C Gr´aficamente, esto significa que la curva g(x) se obtiene a partir de f(x) traslad´andola paralelamente al eje de las y. Este teorema no es v´alido si el dominio de la funci´on no es un intervalo. 5.6 Teorema de Cauchy Si f y g son dos funciones continuas en un intervalo cerrado [a, b], derivables en su interior (a, b), g(b) = g(a) y g (x) = 0 para todo x de (a, b), entonces existe al menos un punto c de (a, b) tal que: f(b) − f(a) g(b) − g(a) = f (c) g (c) Nota: este teorema es una generalizaci´on del teorema del valor medio cuando g(x) = x.
  • 37. 32 TEMA 5. PROPIEDADES DE LAS FUNCIONES DERIVABLES 5.7 Ra´ıces de una ecuaci´on o funci´on Entre cada dos ra´ıces de una funci´on derivable existe al menos una raiz de la funci´on derivada. De este resultado se deduce cierta informaci´on sobre el n´umero de ra´ıces reales de f cuando conocemos las de f . Por ejemplo: • Si f no posee ra´ıces reales, el n´umero m´aximo de ra´ıces de f ser´a uno. • Si f s´olo posee una raiz real, el n´umero m´aximo de ra´ıces de f ser´a dos, y as´ı sucesi- vamente. 5.8 Regla de L’Hˆopital. C´alculo de l´ımites indetermi- nados (a) Indeterminaci´on 0 0 : Supongamos que lim x→a f(x) = lim x→a g(x) = 0, siendo g(x) = 0 en un entorno de a. Si lim x→a f (x) g (x) existe, tanto si es finito como infinito, entonces: lim x→a f(x) g(x) = lim x→a f (x) g (x) El valor de a puede finito o infinito. En algunos casos el l´ımite del cociente de las derivadas vuelve a presentar la misma indeterminaci´on. Si sucede esto, se repite el proceso una vez que hayamos comprobado que puede aplicarse la regla de L’Hˆopital. (b) Indeterminaci´on ∞ ∞ : Supongamos que lim x→a f(x) = lim x→a g(x) = ∞. Si lim x→a f (x) g (x) existe, tanto si es finito como infinito, entonces: lim x→a f(x) g(x) = lim x→a f (x) g (x) El valor de a puede finito o infinito. (c) Otros tipos de indeterminaci´on: Las indeterminaciones tipo 0 · ∞, ∞ − ∞ se reducen a uno de los tipos anteriores trans- formando adecuadamente las expresiones. Para las indeterminaciones del tipo 1∞ , ∞0 , 00 , el truco consiste en considerar no las expresiones que nos dan, sino sus logaritmos. De este modo, puede aplicarse la regla de L’Hˆopital, puesto que se reduce a uno de los tipos anteriores. A = lim x→a f(x)g(x)
  • 38. 5.8. REGLA DE L’H ˆOPITAL. C´ALCULO DE L´IMITES INDETERMINADOS 33 Tomando logaritmos neperianos en ambos miembros, se tiene: ln A = lim x→a (g(x) · ln f(x)) de donde: lim x→a f(x)g(x) = eln A Ejemplos: (1) lim x→0 x − sen x x3 = 0 0 L’H = lim x→0 1 − cos x 3x2 = 0 0 L’H = lim x→0 sen x 6x = 0 0 L’H = lim x→0 cos x 6 = 1 6 (2) A = lim x→0 xx ⇒ ln A = lim x→0 (x · ln x)(= 0 · ∞) ln A = lim x→0 (x · ln x) = lim x→0 ln x 1 x = ∞ ∞ L’H = lim x→0 1 x − 1 x2 = lim x→0 (−x) = 0 Por tanto, A=e0 =1.
  • 39. 34 TEMA 5. PROPIEDADES DE LAS FUNCIONES DERIVABLES T5 Ejercicios y problemas T5.1 Estudia la continuidad y derivabilidad de la funci´on f(x) = |x − 1| en el intervalo [−2, 2]. T5.2 Dada la funci´on definida por f(x) = x2 sen 1 x si x = 0 0 si x = 0 estudia su continuidad y derivabilidad. T5.3 Estudia la continuidad y derivabilidad de la funci´on f(x) = 2 si x < 0 x − 2 si x ∈ [0, 4] x2 − 8 si x > 4 T5.4 Calcula la derivada de la siguiente funci´on e interpreta el resultado. f(x) = arctg 1 + x 1 − x − arctg x T5.5 Dada la funci´on f(x) = |x2 − 4|, confirma si se verifican las hip´otesis del Teorema de Rolle en [−3, 3]. T5.6 ¿Es aplicable el Teorema de Rolle a la funci´on f(x) = x + 2 si 1 ≤ x < 3 7 − x si 3 ≤ x ≤ 5? T5.7 Halla el punto c al que se refiere el teorema del valor medio para la funci´on f(x) = x2 −x+3 en el intervalo [2, 5]. T5.8 Indica si las funciones f y g verifican las hip´otesis del Teorema del valor medio y, en caso afirmativo, encuentra los puntos c cuya existencia asegura el teorema: f : [0, 1] −→ IR g : [0, π] −→ IR x −→ x(x − 2) x −→ 2x + sen x T5.9 Dadas las funciones f(x) = x2 − 1 y g(x) = x + 2 que cumplen las condiciones del Teorema de Cauchy en [0, 4], halla el punto c al que se refiere el teorema. T5.10 Dada la funci´on f(x) = (x − 1)(x − 2)(x − 3)(x − 4), halla tres intervalos tales que cada uno de ellos contenga una ra´ız diferente de la ecuaci´on f (x) = 0. T5.11 Si el t´ermino independiente de un polinomio en x es igual a 3 y el valor que toma ese polinomio para x = 2 es 3, prueba que su derivada se anula para alg´un valor de x; razona a qu´e intervalo pertenece ese valor. T5.12 Demuestra que la ecuaci´on x3 + 6x2 + 15x − 23 = 0 no puede tener m´as de una ra´ız real. T5.13 Demuestra que la ecuaci´on x18 − 5x + 3 = 0 no puede tener m´as de dos ra´ıces reales. T5.14 Comprueba, utilizando los teoremas de Bolzano y Rolle, que la curva y = x5 − 5x − 1 tiene ex´actamente tres puntos de intersecci´on con el eje OX. T5.15 Halla un intervalo no superior a 1 8 en el cual se anule la funci´on definida por f(x) = x3 + 2x − 1 x (x = 0) ¿En cu´antos puntos corta su gr´afica al eje de abscisas?
  • 40. T5. EJERCICIOS Y PROBLEMAS 35 T5.16 Sea f(x) = x2 − 1 y g(x) = x − 1. ¿Por qu´e lim x→1 f(x) g(x) = 2? T5.17 Calcula los siguientes l´ımites: 1. lim x→1 x5 − 1 x3 − 1 2. lim x→2 x3 − 3x − 2 x2 − 4 3. lim x→0 (1 − cos x) sen x x2 4. lim x→0 x cos x − sen x x3 5. lim x→0 x − sen x cos x − 1 6. lim x→0 ex − e−x − 2x x − sen x 7. lim x→1 sen(x − 1) x2 − 3x + 2 8. lim x→0 ex − esen x x3 9. lim x→0 x ln(1 + x) 1 − cos x 10. lim x→0 (2 − x)ex − x − 2 x2 11. lim x→+∞ x2 + x + 1 x2 − x 12. lim x→2 (x − 2)(x + 1) 2x2 − 2x − 4 13. lim x→0+ x · ln x 14. lim x→0 x arcsen x sen x cos x 15. lim x→1 x3 − 3x + 2 x4 − 2x2 + 1 16. lim x→0 1 − cos x (ex − 1)2 17. lim x→+∞ 2x + 3 2x − 1 x 18. lim x→0 1 ln(1 + x) − 1 x 19. lim x→+∞ cos 1 x x 20. lim x→0 cotg x − 1 x
  • 41. Tema 6 Aplicaciones de las derivadas 6.1 Funciones crecientes y decrecientes Una funci´on f es estrictamente creciente en un intervalo si para dos valores cuales- quiera del mismo x e y, se cumple: x < y =⇒ f(x) < f(y) Esta relaci´on puede expresarse tambi´en en funci´on de la tasa de variaci´on media: f(y) − f(x) y − x > 0 (tasa de variaci´on media positiva) Una funci´on f es creciente en un intervalo si para dos valores cualesquiera del mismo x e y, se cumple: x < y ⇒ f(x) ≤ f(y) o tambi´en: f(y) − f(x) y − x ≥ 0 (tasa de variaci´on media positiva o nula). Si tomamos x = a y se verifican las relaciones anteriores en un entorno sim´etrico del mismo, se dice que la funci´on es creciente en dicho punto. Una funci´on f es estrictamente decreciente en un intervalo si para dos valores cua- lesquiera del mismo x e y, se cumple: x < y ⇒ f(x) > f(y) o tambi´en: f(y) − f(x) y − x < 0 (tasa de variaci´on media negativa) Una funci´on f es decreciente en un intervalo si para dos valores cualesquiera del mismo x e y, se cumple: x < y ⇒ f(x) ≥ f(y) o tambi´en: f(y) − f(x) y − x ≤ 0 (tasa de variaci´on media negativa o nula). Si tomamos x = a y se verifican las relaciones anteriores en un entorno sim´etrico del mismo, se dice que la funci´on es decreciente en dicho punto. 6.2 Intervalos de monoton´ıa en funciones derivables Estudiar la monoton´ıa de una funci´on es hallar los intervalos en los que es s´olo creciente o s´olo decreciente. De la tasa de variaci´on media que aparece en la definici´on de monoton´ıa se pasa, tomando l´ımite, a la derivada: f (x) = lim y→x f(y) − f(x) y − x 36
  • 42. 6.3. M´AXIMOS Y M´INIMOS 37 Criterio 1: Derivada primera • Si f > 0 en un intervalo, la funci´on es estrictamente creciente en ese intervalo. • Si f < 0 en un intervalo, la funci´on es estrictamente decreciente en ese intervalo. Criterio 2: Crecimiento en un punto Sea x = a un punto donde se anula la primera derivada; se supone adem´as que existe la derivada de orden 2n + 1 (impar) en un entorno de dicho punto y que f (a) = f (a) = ... = f(2n (a) = 0. • Si f(2n+1 (a) > 0 ⇒ f es estrictamente creciente en x = a. • Si f(2n+1 (a) < 0 ⇒ f es estrictamente decreciente en x = a. 6.3 M´aximos y m´ınimos La funci´on f tiene en x = a un m´aximo relativo si existe un entorno de a, (a−h, a+h), tal que para todo x del intervalo (x − h, x + h) se tiene: f(x) ≤ f(a). La funci´on f tiene en x = a un m´ınimo relativo si existe un entorno de a, (a−h, a+h), tal que para todo x del intervalo (x − h, x + h) se tiene: f(x) ≥ f(a). Los puntos m´aximos o m´ınimos relativos se llaman tambi´en puntos cr´ıticos, estacio- narios o singulares. Teorema Si una funci´on tiene m´aximos o m´ınimos relativos y es derivable en ellos, entonces su derivada se anula en esos puntos. Demostraci´on La demostraci´on la hicimos en el tema anterior, ya que la tangente en los puntos cr´ıticos es paralela al eje de abscisas y, por tanto, su pendiente es cero. Este teorema nos permite hallar los puntos candidatos a ser m´aximo o m´ınimo. Estos puntos son las soluciones de la ecuaci´on f (x) = 0. Obtenidos estos puntos, los siguientes criterios precisan si en ellos existe m´aximo, m´ınimo o ninguna de las dos cosas. Criterio 1: Variaci´on de la funci´on en el entorno del punto Si sustituimos en la funci´on x por a−h y a+h para un valor h suficientemente peque˜no y se verifica: • f(a + h) ≤ f(a) f(a − h) ≤ f(a) ⇒ f tiene un m´aximo relativo en x = a. • f(a + h) ≥ f(a) f(a − h) ≥ f(a) ⇒ f tiene un m´ınimo relativo en x = a.
  • 43. 38 TEMA 6. APLICACIONES DE LAS DERIVADAS Criterio 2: Variaci´on del signo de la primera derivada en el entorno del punto • Si a la izquierda de x = a es f > 0 (funci´on creciente) y a la derecha es f < 0 (funci´on decreciente), entonces la funci´on alcanza un m´aximo relativo en x = a. • Si a la izquierda de x = a es f < 0 (funci´on decreciente) y a la derecha es f > 0 (funci´on creciente), entonces la funci´on alcanza un m´ınimo relativo en x = a. Criterio 3: Valor de la derivada segunda en el punto • Si f (a) > 0 ⇒ f tiene un m´ınimo relativo en x = a. • Si f (a) < 0 ⇒ f tiene un m´aximo relativo en x = a. Criterio 4: Anulaci´on de sucesivas derivadas en el punto Sea x = a un punto donde puede existir un m´aximo o un m´ınimo relativo; se supone que existe derivada 2n (par) en un entorno de dicho punto y adem´as que: f (a) = f (a) = ... = f(2n−1 (a) = 0. • Si f(2n (a) > 0 ⇒ f tiene un m´ınimo relativo en x = a. • Si f(2n (a) < 0 ⇒ f tiene un m´aximo relativo en x = a. 6.4 Problemas sobre m´aximos y m´ınimos El c´alculo de m´aximos y m´ınimos por derivadas permite resolver de una manera sencilla y r´apida muchos problemas que aparecen en Matem´aticas y en otras disciplinas cient´ıficas en los que se trata de optimizar una funci´on. Para resolverlos, seguiremos el esquema general siguiente: (1) Mediante los datos del problema se construye la funci´on que hay que maximizar o minimizar; la mayor´ıa de las veces en funci´on de dos o m´as variables. (2) Si la funci´on tiene m´as de una variable hay que relacionar las variables mediante ecua- ciones para conseguir expresar la funci´on inicial planteada en el punto (1) utilizando una sola variable. (3) Se hallan los m´aximos y m´ınimos de esta funci´on. (4) Se interpretan los resultados obtenidos y se rechazan aquellos que por la naturaleza del problema no sean posibles. EJEMPLO: Calcular las dimensiones del rect´angulo de mayor ´area cuyo per´ımetro sea de 40 metros. (1) Inc´ognitas: x largo, y ancho. Funci´on a optimizar: S(x, y) = xy. (2) P : 2x + 2y = 40 ⇒ x + y = 20 ⇒ y = 20 − x luego S = xy ⇒ S(x) = x(20 − x). (3) S (x) = 20 − 2x = 0 ⇔ x = 10 ⇒ y = 10. (4) Es un cuadrado de 10 metros de lado.
  • 44. 6.5. CONCAVIDAD Y CONVEXIDAD 39 6.5 Concavidad y convexidad Una funci´on definida en un intervalo es convexa si “mira” hacia la parte positiva del eje de ordenadas y, es c´oncava, si “mira” hacia la parte negativa del eje de ordenadas. Si la funci´on es convexa, la gr´afica de la funci´on queda encima de la recta tangente en cada uno de los puntos y si la funci´on es c´oncava, la gr´afica de la funci´on queda debajo de la recta tangente en cada uno de los puntos. Criterio 1: Derivada primera Sea f una funci´on definida en el intervalo I. • Si f es creciente en el intervalo I, la funci´on f es convexa en I. • Si f es decreciente en el intervalo I, la funci´on f es c´oncava en I. Criterio 2: Derivada segunda • Si f > 0 en el intervalo I, la funci´on f es convexa en I. • Si f < 0 en el intervalo I, la funci´on f es c´oncava en I. Criterio 3: Anulaci´on de sucesivas derivadas Sea x = a un punto donde la funci´on puede ser convexa o c´oncava; se supone que existe derivada de orden 2n (par) en un entorno de x = a, y adem´as que f (a) = 0 y f (a) = ... = f(2n−1 (a) = 0. • Si f(2n (a) > 0, entonces la funci´on es convexa en x = a. • Si f(2n (a) < 0, entonces la funci´on es c´oncava en x = a. 6.6 Puntos de inflexi´on Una funci´on f tiene un punto de inflexi´on en x = a si la funci´on pasa de convexa a c´oncava o de c´oncava a convexa en ese punto. Si la funci´on pasa de convexa a c´oncava, diremos que x = a es un punto de inflexi´on convexo-c´oncavo. Si la funci´on pasa de c´oncava a convexa, diremos que x = a es un punto de inflexi´on c´oncavo-convexo. Si una funci´on tiene puntos de inflexi´on, entonces su derivada segunda se anula en esos puntos. Este resultado nos permite calcular los puntos de la gr´afica f que pueden ser de inflexi´on. Las abscisas de estos puntos son las ra´ıces de la ecuaci´on f (x) = 0. Criterio 1: Signo de la derivada segunda en el entorno del punto • Si a la izquierda de x = a es f > 0 (f convexa) y a la derecha de x = a es f < 0 (f c´oncava), entonces x = a es un punto de inflexi´on convexo-c´oncavo. • Si a la izquierda de x = a es f < 0 (f c´oncava) y a la derecha de x = a es f > 0 (f convexa), entonces x = a es un punto de inflexi´on c´oncavo-convexo.
  • 45. 40 TEMA 6. APLICACIONES DE LAS DERIVADAS Criterio 2: Valor de la derivada tercera en el punto • Si f (a) > 0, f tiene en x = a un punto de inflexi´on c´oncavo-convexo. • Si f (a) < 0, f tiene en x = a un punto de inflexi´on convexo-c´oncavo. Criterio 3: Anulaci´on de derivadas sucesivas Sea x = a un punto donde puede existir un punto de inflexi´on; se supone que existe derivada de orden 2n + 1 (impar) en un entorno de x = a, y adem´as que f (a) = 0 y f (a) = ... = f(2n (a) = 0. • Si f(2n+1 (a) > 0, f tiene en x = a un punto de inflexi´on c´oncavo-convexo. • Si f(2n+1 (a) < 0, f tiene en x = a un punto de inflexi´on convexo-c´oncavo.
  • 46. T6. EJERCICIOS Y PROBLEMAS 41 T6 Ejercicios y problemas T6.1 Halla los intervalos de monoton´ıa de la funci´on f(x) = x7 . ¿C´omo es la funci´on en el punto x = 0? Estudia la monoton´ıa en este punto directamente por medio de la funci´on, es decir, sin utilizar la derivada. T6.2 Halla los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la funci´on f(x) = x8 . ¿C´omo es la funci´on en el punto x = 0? Estudia la monoton´ıa en x = 0 directamente por medio de la funci´on f. T6.3 Halla los intervalos de crecimiento y decrecimiento de las funciones: (1) f(x) = x + 5 − 2 sen x (2) f(x) = sen x + cos x T6.4 Halla los intervalos de crecimiento y decrecimiento de las funciones: (1) f(x) = x3 − 3x2 + 1 (2) f(x) = x3 − 6x2 + 9x − 8 T6.5 Estudia para qu´e valores de x est´a definida la funci´on f(x) = ln((x − 1)(x − 2)) y en qu´e valores es creciente o decreciente. T6.6 Estudia los m´aximos y m´ınimos de la funci´on f(x) = (x3 − 4x2 + 7x − 6)ex T6.7 Determina el m´aximo y el m´ınimo de la funci´on f(x) = x5 + x + 1 en el intervalo [0, 2]. T6.8 Determina el par´ametro a para que el m´ınimo de la funci´on y = x2 + 2x + a sea igual a 8. T6.9 Obt´en los par´ametros a y b para que la funci´on y = x2 + ax + b alcance un m´ınimo en el punto P(−1, 2). T6.10 La curva dada por y = x2 +ax+b pasa por el punto P(−2, 1) y alcanza un extremo relativo en x = −3. Halla a y b. T6.11 La funci´on f(x) = x3 + px2 + q tiene un valor m´ınimo relativo igual a 3 en x = 2. Halla los valores de los par´ametros p y q. T6.12 Halla a, b, c y d en la funci´on f(x) = ax3 + bx2 + cx + d para que tenga un m´aximo en el punto M(0, 4) y un m´ınimo en el punto M (2, 0). T6.13 Dada la funci´on f(x) = ax3 + bx2 + cx + d, halla el valor de a, b, c y d para que tenga un m´aximo en el punto M(−2, 21) y un m´ınimo en el punto M (−1, 6). T6.14 Halla b, c y d en la funci´on f(x) = x3 + bx2 + cx + d para que tenga un m´aximo en x = −4, un m´ınimo para x = 0 y tome el valor 1 para x = 1. T6.15 Calcula los par´ametros a, b, c y d para que la funci´on f(x) = ax3 + bx2 + cx + d tenga un m´aximo relativo igual a 11 en x = −1, un m´ınimo relativo igual a -97 en x = 5 y tome el valor -17 para x = 1. T6.16 Halla dos n´umeros cuya suma es 20, sabiendo que su producto es m´aximo. Razona el m´etodo utilizado. T6.17 Halla dos n´umeros cuya suma es 18, sabiendo que el producto de uno por el cuadrado del otro ha de ser m´aximo. T6.18 Determina dos n´umeros cuya suma sea 24 y tales que el producto de uno por el cubo del otro sea m´aximo. T6.19 Halla las dimensiones de un campo rectangular de 3600 m2 de superficie para poderlo cercar mediante una valla de longitud m´ınima. T6.20 Se quiere vallar un campo rectangular que est´a junto a un camino. Si la valla del lado del camino cuesta 8 /m y la de los otros 1 /m, halla el ´area del mayor campo que puede cercarse con 2 880 .
  • 47. 42 TEMA 6. APLICACIONES DE LAS DERIVADAS T6.21 Un jardinero ha de construir un parterre en forma de sector circular con per´ımetro de 20 m. ¿Cu´al ser´a el radio que da el parterre de ´area m´axima? ¿Cu´al ser´a la amplitud en radianes del sector? T6.22 Los barriles que se utilizan para almacenar petr´oleo tienen forma cil´ındrica y una capacidad de 160 litros. Halla las dimensiones del cilindro para que la chapa empleada en su construcci´on sea m´ınima. T6.23 De todos los tri´angulos is´osceles de 12 cm de per´ımetro, hallar las dimensiones de los lados del que tenga ´area m´axima. T6.24 Entre todos los rect´angulos inscritos en una circunferencia de radio 12 cm, calcula las dimensiones del que tenga ´area m´axima. Razona el proceso. T6.25 Divide un segmento de 60 cm en dos partes, con la propiedad de que la suma de las ´areas de los tri´angulos equil´ateros construidos sobre ellas sea m´ınima. T6.26 Determina la distancia m´ınima del origen a la curva xy = 1. T6.27 Halla los puntos de la curva y2 = 6x cuya distancia al punto P(4, 0) sea m´ınima. T6.28 Halla los puntos de la curva y2 = 4x cuya distancia al punto P(4, 0) sea m´ınima. T6.29 Entre todos los cilindros rectos de volumen fijo V , halla el de menor superficie. T6.30 Una hoja de papel debe contener 18 cm2 de texto impreso. Los m´argenes superior e inferior deben tener 2 cm cada uno y los laterales 1 cm. Calcula las dimensiones de la hoja para que el gasto de papel sea m´ınimo. T6.31 Calcula los intervalos de concavidad y convexidad de la curva y = x4 − 6x3 + 12x2 − 5x + 1. T6.32 Halla la ecuaci´on de la recta tangente a la curva y = x3 − 6x2 + 16x − 11 en su punto de inflexi´on. T6.33 Calcula la ecuaci´on de la recta tangente a la curva y = 2x3 −6x2 +4 en su punto de inflexi´on. T6.34 Calcula los m´aximos, m´ınimos y puntos de inflexi´on de la funci´on f(x) = 3 sen x − sen(3x) en el intervalo [0, 2π]. T6.35 Halla b, c y d en la funci´on f(x) = x3 + bx2 + cx + d para que tenga un punto de inflexi´on de abscisa x = 3, pase por el punto P(1, 0) y alcance un m´ınimo en x = 1. T6.36 Determina los par´ametros a, b, c y d para que la funci´on f(x) = ax3 + bx2 + cx + d tenga un punto de inflexi´on en P(−2, 6) con tangente en ´el paralela a la recta 8x + y + 10 = 0, y tome adem´as el valor -2 para x = 0. T6.37 Halla a, b, c y d en la funci´on f(x) = ax3 + bx2 + cx + d para que pase por el punto P(−1, 1) y tenga un punto de inflexi´on con tangente horizontal en Q(0, −2). T6.38 ¿Qu´e valores deben tomar a, b, c y d para que f(x) = ax3 + bx2 + cx + d tenga un punto cr´ıtico en P(1, 3) y un punto de inflexi´on con tangente de ecuaci´on y = 2x en el origen?
  • 48. Tema 7 Integrales indefinidas 7.1 Primitiva. Integral indefinida Sean f y F dos funciones reales definidas en un mismo dominio. La funci´on F es una primitiva de f si F tiene por derivada a f. F es primitiva de f ⇐⇒ F = f La operaci´on que permite obtener una primitiva F a partir de una funci´on f recibe el nombre de integraci´on. Si existe la funci´on F se dice que f es integrable. Si F es una primitiva de f y C un n´umero real cualquiera, la funci´on F + C es tambi´en una primitiva de f. Por ejemplo F1(x) = x2 , F2(x) = x2 + 5, F3(x) = x2 − 3, . . . son todas primitivas de la funci´on f(x) = 2x, ya que F1(x) = F2(x) = F3(x) = . . . = f(x). Si el dominio de una funci´on es un intervalo, entonces el conjunto de las primitivas de f se representa por {F + C/C ∈ IR}. El conjunto de las primitivas de una funci´on se llama integral indefinida, y al n´umero real C constante de integraci´on. f(x)dx = F(x) + C El s´ımbolo se lee “integral de f(x) con respecto a x”; dx nos indica la variable con respecto a la cual integramos. 7.2 Propiedades lineales de la integraci´on Las siguientes propiedades de la integral indefinida son consecuencia inmediata de la deriva- ci´on. Suponemos que todas las funciones utilizadas son integrables y definidas en el mismo intervalo. - Integral de la suma o diferencia La integral de la suma (diferencia) de dos funciones es igual a la suma (diferencia) de las integrales de las funciones. (f ± g)(x)dx = f(x)dx ± g(x)dx - Integral del producto de un n´umero real por una funci´on La integral del producto de un n´umero real por una funci´on es igual al n´umero por la integral de la funci´on. af(x)dx = a f(x)dx Esta relaci´on permite introducir constantes dentro del signo de integraci´on o sacarlas fuera seg´un convenga. 43
  • 49. 44 TEMA 7. INTEGRALES INDEFINIDAS La utilizaci´on de estas dos propiedades constituye el m´etodo de descomposici´on. Conviene descomponer lo m´as posible el integrando aplicando la propiedad distributiva, sustituyendo la expresi´on de la funci´on por otra equivalente, sumando o restando una cantidad o multi- plicando y dividiendo por un mismo n´umero. (af ± bg)(x)dx = a f(x)dx ± b g(x)dx 7.3 Integrales inmediatas de funciones elementales Tipo Simples Compuestas Potenciales (n = −1) xn dx = xn+1 n + 1 fn · f dx = fn+1 n + 1 Logar´ıtmicas 1 x dx = ln |x| f f dx = ln |f| Exponenciales ex dx = ex ef · f dx = ef ax dx = ax ln a af · f dx = af ln a sen x dx = − cos x sen f · f dx = − cos f cos x dx = sen x cos f · f dx = sen f Trigonom´etricas sec2 x dx (1 + tg2 x) dx 1 cos2 x dx    = tg x sec2 f · f dx (1 + tg2 f) · f dx f cos2 f dx    = tg f − cosec2 x dx −(1 + cotg2 x) dx − 1 sen2 x dx    = cotg x − cosec2 f · f dx −(1 + cotg2 f) · f dx − f sen2 f dx    = cotg f Inversas 1 √ 1 − x2 dx = arcsen x − arccos x f 1 − f2 dx = arcsen f − arccos f de 1 1 + x2 dx = arctg x − arccotg x f 1 + f2 dx = arctg f − arccotg f Trigonom´etricas 1 a2 + x2 dx = 1 a arctg x a f a2 + f2 dx = 1 a arctg f a
  • 50. 7.4. M´ETODOS DE INTEGRACI ´ON 45 7.4 M´etodos de integraci´on 7.4.1 Integral de un producto o m´etodo de integraci´on por partes Sean u y v dos funciones derivables. La derivada del producto es d(u · v) = u · dv + v · du integrando ambos miembros u · v = u · dv + v · du despejando u · dv = u · v − v · du F´ormula f´acil de recordar por la regla mnemot´ecnica “un d´ıa v´ı una vieja vestida de uniforme” Ejemplo: x ex dx = x ex − ex dx = x ex − ex = (x − 1)ex u = x du = dx dv = ex dx v = ex Como se ve, hay que derivar la funci´on u e integrar la funci´on dv, por lo que hay que elegir dv de manera que sea f´acilmente integrable. Algunas veces, como ocurr´ıa con la regla de L’Hˆopital, hay que repetir el proceso en la parte v du. Tambi´en puede ocurrir que al cabo de una o dos integraciones sucesivas se obtenga en el segundo miembro de la igualdad una integral que coincida con la de partida, es decir, con la del primer miembro. En esta situaci´on, basta despejar la integral para obtener una primitiva. Ejemplo: ex cos x dx = ex sen x − ex sen x dx u = ex du = ex dx dv = cos x dx v = sen x Ahora hago por separado ex sen x dx ex sen x dx = ex (− cos x) − − cos xex dx = −ex cos x + ex cos x dx u = ex du = ex dx dv = sen x dx v = − cos x Volviendo a la expresi´on anterior ex cos x dx = ex sen x − ex sen x dx = ex sen x − (−ex cos x + ex cos x dx) = ex sen x + ex cos x − ex cos x dx
  • 51. 46 TEMA 7. INTEGRALES INDEFINIDAS De donde ex cos x dx + ex cos x dx = ex sen x + ex cos x =⇒ 2 ex cos x dx = ex sen x + ex cos x Es decir ex cos x dx = ex sen x + ex cos x 2 7.4.2 Integral de la funci´on compuesta o m´etodo de sustituci´on Es un m´etodo consecuencia de la derivaci´on de la funci´on compuesta. Como su mismo nombre indica, se trata de sustituir la variable x por otra variable t, o lo que es lo mismo, definir una funci´on g tal que x = g(t), y transformar el integrando en otro m´as sencillo. (f◦ g) (x) = f (g(x)) · g (x) Integrando f(g(t)) dt = f (g(t)) · g (t) dt Para terminar el proceso se halla la integral en t y se deshace el cambio. Ejemplos: 2x(x2 + 5)25 dx = 2x t25 dt 2x = t25 dt = t26 26 + C = (x2 + 5)26 26 + C (x2 + 5) = t 2x dx = dt dx = dt 2x 1 x √ x − 1 dx = 2t (t2 + 1) · t dt = 2 1 t2 + 1 dt = 2 arctg t = 2 arctg √ x − 1 + C t2 = x − 1 x = t2 + 1 dx = 2t dt 7.5 Integraci´on de funciones racionales Las funciones racionales son de la forma f(x) = p(x) q(x) , donde p(x) y q(x) son polinomios. - M´etodo directo Algunas funciones racionales se pueden integrar comprobando si pertenecen a la forma compuesta de alguna integral inmediata (ver cuadro)
  • 52. 7.5. INTEGRACI ´ON DE FUNCIONES RACIONALES 47 Potencial (n = −1) fn · f dx = fn+1 n + 1 Neperiana f f dx = ln |f| Arco tangente f a2 + f2 dx = 1 a arctg f a Neperiano - arco tangente denominador irreducible, M = 0 Mx + N ax2 + bx + c dx = neperiano + arco tangente Ejemplos: 2x + 1 (x2 + x + 1)3 dx = (x2 + x + 1)−3 (2x + 1) dx = (x2 + x + 1)−2 − 2 x3 + 1 x4 + 4x + 7 dx = 1 4 4x3 + 4 x4 + 4x + 7 dx = 1 4 ln |x4 + 4x + 7| 2x 1 + x4 dx = 2x 1 + (x2)2 dx = arctg x2 - M´etodo de descomposici´on en fracciones simples Cuando no es posible utilizar el m´etodo anterior, las funciones racionales se transfor- man en sumas de fracciones llamadas simples, que tienen por denominador potencias de polinomios de primer grado o bien de segundo grado pero irreducibles. Adem´as supondremos que el grado del numerador es menor que el del denominador, pues en caso contrario, dividiendo se obtiene: p(x) = q(x) · c(x) + r(x) es decir, p(x) q(x) = c(x) + r(x) q(x) Ejemplo: x3 x2 + 1 dx = x − x x2 + 1 dx = x dx − x x2 + 1 dx, que son conocidas. El proceso a seguir consta de tres pasos
  • 53. 48 TEMA 7. INTEGRALES INDEFINIDAS (1) Descomposici´on del denominador en factores Todo polinomio se puede descomponer en un producto de factores lineales y cuadr´aticos irreducibles. Pueden aparecer - Factores lineales simples (x − 2), (x + 1) . . . - Factores lineales dobles, triples ... (x − 2)2 , (x + 1)3 . . . - Factores cuadr´aticos irreducibles simples (x2 + 2), (x2 + x + 1) . . . - Factores cuadr´aticos irreducibles dobles, triples ... (x2 +2)2 , (x2 +x+1)3 . . . (2) Descomposici´on de la funci´on en factores simples p(x) q(x) = A x − a + B x − b + C x − c + . . . (factores lineales) + P (x − p)2 + Q x − p + . . . (factor lineal doble) + Mx + N ax2 + bx + c + . . . (factor cuadr´atico) La determinaci´on de las constantes A, B, C . . ., P, Q . . ., M y N se hace por el m´etodo de los coeficientes indeterminados o dando valores num´ericos sencillos. Ejemplo: 3x − 5 x3 − x2 − x + 1 dx x3 − x2 − x + 1 = (x + 1)(x − 1)2 3x − 5 x3 − x2 − x + 1 = A x + 1 + B (x − 1)2 + C x − 1 3x − 5 = A(x − 1)2 + B(x + 1) + C(x + 1)(x − 1) Para x = 1 =⇒ 8 = 2B =⇒ B = 4 Para x = −1 =⇒ 2 = 4A =⇒ A = 1 2 Para x = 0 =⇒ 5 = A + B − C =⇒ C = −1 2 (3) Integraci´on de los sumandos Siguiendo con el ejemplo anterior 3x − 5 x3 − x2 − x + 1 dx = 1 2 1 x + 1 dx + 4 1 (x − 1)2 dx − 1 2 1 x − 1 dx = 1 2 ln |x + 1| − 4 x − 1 − 1 2 ln |x − 1| + C
  • 54. T7. EJERCICIOS Y PROBLEMAS 49 T7 Ejercicios y problemas T7.1 Determina la funci´on F para la que F (x) = 1 x3 + x y F(3) = 1. T7.2 Hallar la funci´on G tal que G (x) = 6x + 1, G(0) = 1 y G(1) = 0. T7.3 Encontrar la funci´on G para la que G (x) = 2x y adem´as G(0) = 0, G(1) = − 1 4 , G(2) = 2 3 . T7.4 Halla la ecuaci´on de la curva que pasa por los puntos P(0, 3) y Q(−1, 4) sabiendo que su derivada segunda es y = 6x − 2. T7.5 Calcula las siguientes integrales potenciales: 1. 1 x2 dx 2. x5 6 dx 3. x2/3 dx 4. 1 x2/3 dx 5. x2 · x3 dx 6. x · x2/3 dx 7. x3 x2 dx 8. x2/3 x1/3 dx 9. √ x 3 √ x dx 10. 3 √ x2 dx 11. (x2 )3 dx 12. √ x x dx 13. x √ x dx 14. 3 √ x x dx 15. √ x 3 √ x 4 √ x dx T7.6 Calcula las siguientes integrales de funciones potenciales compuestas: 1. (x + 1)2 dx 2. (7x + 5)2 dx 3. (x2 + 1) · 2x dx 4. (x3 + 1) · 3x2 dx 5. (x2 + 3) · x dx 6. x2 · (x3 + 2) dx 7. (2x + 1)−3 dx 8. x2 · (x3 + 1)−7 dx 9. 1 (2x + 1)2 dx 10. 2x + 1 (x2 + x + 1)2 dx 11. 1 x2 + 2x + 1 dx 12. 1 x3 + 3x2 + 3x + 1 dx 13. x 1 + x2 dx 14. x 1 − x2 dx 15. (x + 1)(x2 + 2x + 5)6 dx 16. x2 (x3 + 1)4 dx 17. 1 √ 3x + 1 dx 18. (16x + 1)(8x2 + x − 5) dx 19. √ x + 1 x + 1 dx 20. x √ x2 + 1 x2 + 1 dx 21. sen2 x cos x dx
  • 55. 50 TEMA 7. INTEGRALES INDEFINIDAS 22. cos2 x sen x dx 23. arctg x 1 + x2 dx 24. cos x sen2 x dx 25. ln2 x x dx 26. 1 x ln2 x dx 27. ln x x dx 28. arcsen2 x √ 1 − x2 dx 29. 1 √ 1 − x2 arcsen2 x dx 30. arctg(x/2) 4 + x2 dx T7.7 Calcula las siguientes integrales tipo logar´ıtmico: 1. 4x−1 dx 2. 1 x − 1 dx 3. 1 3x + 5 dx 4. 1 ax + b dx 5. x2 x3 + 2 dx 6. 2x2 6x3 + 1 dx 7. 2x + 1 x2 + x + 1 dx 8. x − 1 3x2 − 6x + 5 dx 9. ex 1 + ex dx 10. sen x − cos x sen x + cos x dx 11. 1 x ln x dx 12. 1 (1 + x2) arctg x dx 13. 1 √ 1 − x2 arcsen x dx 14. sec2 x 1 + tg x dx 15. cos √ x √ x sen √ x dx T7.8 Calcula las siguientes integrales tipo exponencial: 1. e−x dx 2. e2x dx 3. e−2x dx 4. e2x+1 dx 5. e−2x+1 dx 6. ex2 +22 x dx 7. e−x2 x dx 8. ex3 +1 x2 dx 9. ex2 +x+1 (2x + 1) dx 10. esen x cos x dx 11. eln x · 1 x dx 12. etg x sec2 x dx 13. earctg x 1 + x2 dx 14. earcsen x √ 1 − x2 dx 15. 12x dx 16. (6x )2 dx 17. 7x 5x dx 18. 5x · 9x dx T7.9 Calcula las siguientes integrales tipo seno: 1. cos(−2x) dx 2. 1 3 cos x dx 3. cos x 3 dx 4. cos(x + 1) dx 5. cos(2x + 5) dx 6. cos(−x + 1) dx 7. 3 cos(2x + 6) dx 8. x cos x2 dx 9. 2x cos(x2 + 255) dx 10. x cos(3x2 + 7) dx 11. x cos(−3x2 − 5) dx 12. 7x2 cos(4x3 + 25) dx
  • 56. T7. EJERCICIOS Y PROBLEMAS 51 13. cos √ x 2 √ x dx 14. cos √ x √ x dx 15. cos ln x x dx 16. cos ln x 2x dx 17. cos(tg x) cos2 x dx 18. cos(arctg x) 1 + x2 dx T7.10 Calcula las siguientes integrales tipo coseno: 1. sen(−2x) dx 2. 1 3 sen x dx 3. sen x 3 dx 4. sen(x + 5) dx 5. sen(2x + 5) dx 6. sen(x + 8) dx 7. 3 sen(2x + 6) dx 8. x sen x2 dx 9. 2x sen(x2 + 2) dx 10. x sen(3x2 + 7) dx 11. x sen(−3x2 − 5) dx 12. 7x2 sen(4x3 + 25) dx 13. sen √ x √ x dx 14. sen √ x 2 √ x dx 15. sen(tg x) cos2 x dx T7.11 Calcula las siguientes integrales tipo arco tangente: 1. 1 1 + (x + 1)2 dx 2. 1 1 + (3x + 27)2 dx 3. x3 1 + x8 dx 4. ex 1 + e2x dx 5. sec2 x 1 + tg2 x dx 6. ax 1 + a2x dx 7. 2x 1 + 4x dx 8. 3x 1 + 9x dx 9. 1 √ x(1 + x) dx 10. 1 x(1 + ln2 x) dx 11. 3x + 27 1 + (3x + 27)4 dx 12. 1 x2 + 2x + 2 dx 13. 1 3 + x2 dx 14. 1 4x2 + 4x + 2 dx 15. 1 4x2 + 4x + 4 dx T7.12 Calcula las siguientes integrales tipo neperiano-arco tangente: 1. x + 1 25 + x2 dx 2. x − 1 x2 + 2x + 2 dx 3. x x2 + 2x + 17 dx 4. x + 1 x2 + x + 1 dx T7.13 Calcula por partes las siguientes integrales: 1. x2 ex dx 2. x sen x dx 3. x2 sen x dx 4. x ln x dx 5. x2 ln x dx 6. ln2 x dx 7. ln(x + 1) dx 8. arccos x dx 9. x2 cos x dx
  • 57. 52 TEMA 7. INTEGRALES INDEFINIDAS T7.14 Integra las siguientes funciones racionales: 1. 1 x2 − 5x + 6 dx 2. 2x + 1 x2 − 5x + 6 dx 3. 1 + 2x 1 + x2 dx 4. 1 + x 1 − x dx 5. x2 + x + 1 x + 1 dx 6. x2 + 1 x − 1 dx 7. 2x + 1 x2 + x − 6 dx 8. x + 2 x2 − x − 6 dx 9. x2 − 6x + 7 (x + 1)(x − 2)(x − 3) dx 10. 2x2 − 8x − 1 2x2 − 7x + 3 dx T7.15 Calcula las siguientes integrales trigonom´etricas haciendo cambios o transformando los in- tegrandos: 1. cos5 x dx 2. sen5 x dx 3. sen x + tg x cos x dx 4. sen2 x cos3 x dx T7.16 Calcula por el m´etodo m´as adecuado las integrales siguientes: 1. 1 (x − 1)2 dx 2. x − 1 3x2 − 6x + 5 dx 3. (x − 1)ex dx 4. (x2 − 2x − 3) ln x dx 5. 1 x2 − 1 dx 6. x + 5 x2 + x − 2 dx 7. 6x + 8 x2 + 2x + 5 dx 8. x3 + 1 x2 − 5x + 4 dx 9. sec3 x dx 10. 1 + sen2 x sen x cos x dx 11. cos x 1 − cos x dx 12. sen2 (3x) cos(3x) dx 13. x2 sen 3x dx 14. x arctg x dx 15. x2 e3x dx 16. x − 3 x2 + 49 dx 17. x4 − 3x2 − 3x − 2 x3 − x2 − 2x dx 18. x ln(1 + x) dx 19. (ln x)3 x dx 20. sen(ln x) dx 21. 1 √ x2 − 2 dx 22. 1 x(ln3 x − 2 ln2 x − ln x + 2) dx 23. x[ln(1 + x2 ) − e−x ] dx