1. Subconjunto propio[editar]
Es obvio que cada elemento de un conjunto A es un elemento de A (es una afirmación
tautológica). Por tanto se tiene el siguiente teorema:
Todo conjunto A es subconjunto de sí mismo.
Así, dados dos conjuntos A ⊆ B, cabe la posibilidad de que sean iguales, A = B.
Por otro lado, es posible también que A contenga algunos pero no todos los elementos
de B:
Sea A un subconjunto de B tal que A ≠ B. Entonces se dice que A es un
subconjunto propio de B, y se denota por A ⊊ B.
(A su vez, se dice que B es un superconjunto propio de A, B ⊋ A)
Es obvio que todos los ejemplos de subconjunto mostrados arriba son de hecho
subconjuntos propios.
También se utiliza la notación A ⊂ B y B ⊃ A, pero según el autor esto puede denotar
subconjunto, A ⊆ B y B ⊇ A; o subconjunto propio, A ⊊ B y B ⊋ A.1
Conjunto potencia[editar]
Artículo principal: Conjunto potencia
La totalidad de los subconjuntos de un conjunto dado A constituye el llamado conjunto
potencia o conjunto partes de A:
El conjunto potencia de A es el conjunto formado por todos los subconjuntos de

2. A:
Cuando el conjunto A tiene un número finito de elementos, por ejemplo |A| = n, el
conjunto potencia también es finito y tiene 2n elementos.
Ejemplo. Dado el conjunto A = {a, b}, su conjunto potencia es:
Propiedades[editar]
El conjunto vacío, denotado como ∅, es subconjunto de cualquier conjunto.
Esto es debido a que «todo elemento de ∅ lo es de A» significa lo mismo que «∅ no
tiene ningún elemento que no esté en A», y esto es cierto sea cual sea A ya que ∅ no
tiene elementos.
Si cada elemento de un conjunto A lo es de otro conjunto B, y cada elemento de B a su
vez lo es de otro conjunto C, entoces cada miembro de A pertenece también a C, o sea:
Dados tres conjuntos A, B y C, si A es subconjunto de B y B es subconjunto de C,
entonces A es subconjunto de C.
Además, si dos conjuntos son subconjuntos el uno del otro, entonces todos los
miembros de uno lo son del otro y viceversa. Entonces, ambos conjuntos poseen los
mismos elementos, y los conjuntos quedan definidos únicamente por sus elementos,
luego:
Si A es subconjunto de B y B es subconjunto de A , entonces A = B.
Propiedades avanzadas[editar]

3. La relación de inclusión tiene las mismas propiedades que la relación de orden no
estricto: es reflexiva (A ⊆ A); transitiva (A ⊆ B y B ⊆ C implican A ⊆ C); y
antisimétrica (A ⊆ B y B ⊆ A implican A = B).
Aquí vamos a mostrarte como obtener los datos de tu conexión y de tu red.
Hay ciertos parámetros de configuración que muchas veces es necesario saber para
realizar ciertas tareas, como la apertura de puertos o el montaje de servidores.
¿Qué es una IP? Una dirección IP es un código de 4 octetos, separados por puntos, que
pueden tener valores entre 0 y 255 (Ejemplo: 127.0.0.1). Se utiliza para identificar un
host (equipo o servidor) en una red, ya sea local o extensa.
Hay que distinguir entre IP Privada o IP De red, e IP pública o de Internet.
-La IP privada, es la que tiene un ordenador o dispositivo de red dentro de ésta, es decir,
el código para localizarlo dentro de una red de área local.

4. -La IP pública, es aquella que tiene un ordenador o red, para establecer comunicación
entre sí y una red de área extensa (WAN – Internet). Esta IP se denomina pública, ya
que cuando se establece conexión con otro host, se envía esta dirección como parámetro
para que pueda contestar.
¿Pueden ser la IP pública y la privada iguales? En caso de ser un único ordenador que
no pertenezca a una red y conectarse a través de un módem o un router en monopuesto,
las dos IP´s sí son iguales, ya que la información de red se obtiene directamente del
dispositivo que proporciona la conexión.
En caso de tener un router en multipuesto, o una red, estas IP´s difieren.
¿Cómo averiguar cual es mi IP pública?
Muy sencillo, solo hace falta que hagas clic Aqui. Si tu ISP utiliza algún tipo de proxy-caché
también aparecerá su IP.
Otros métodos de saber tu IP pública son, sobre un cliente de IRC como por ejemplo
mIRC,
según conectas a un servidor, te muestra tu Local Host y tu IP:
[09:35] Local host: B-252-46-ADSL.red.retevision.es (62.175.46.252)
Desde mIRC, también podemos usar el comando //say $ip para que nos la muestre
(Siempre en una ventana de status, ya que si lo haces sobre un canal, mostrará tu IP en
ese canal)
En las opciones de mIRC, en el apartado conexión – local info, también aparece tu
dirección IP pública cuando estás conectado a algún servidor.
¿Cómo obtener mi IP privada?
De una manera también muy sencilla. En los casos anteriormente descritos (No
estar en red y tener módem, o router en monopuesto) la IP pública y la privada son la
misma. En caso contrario, estos son algunos modos de averiguarla:
Mediante MS-Dos: Abre una ventana de ms-dos (Inicio – ejecutar – cmd) y ejecuta el
siguiente comando: ipconfig /all
Con este comando obtenemos bastante información, el nombre de nuestro host, la IP
privada, la dirección de la puerta de enlace (La IP privada de nuestro router), los

5. servidores DNS, y la dirección física de nuestra tarjeta de red (MAC)
¿Se puede tener más de una IP privada en un solo ordenador?
Si tienes más de una tarjeta de red en el mismo ordenador, sea ethernet o wireless, cada
tarjeta de red puede tener una dirección IP distinta configurada. Si tuviesen las dos la
misma IP privada y estuviesen habilitadas al mismo tiempo, se producirían errores
importantes.
¿Se puede configurar la IP privada? Si, de hecho es lo más recomendable, ya que así las
operaciones como apertura de puertos son más fiables. También puedes dejar que tu
router se encargue de enviar automáticamente una IP privada y unas DNS a los equipos.
En la configuración de las tarjetas de red, podemos configurar estos parámetros ->
Inicio – Configuración – Conexiones de red -> Y botón derecho-propiedades en la
tarjeta que queremos configurar. (Podrán aparecer conexión de área local -> ethernet o
conexiones de red inalámbricas -> wireless

6. Seleccionamos la opción Protocolo Internet (TCP/IP), aparecerá la siguiente ventana
Si marcamos el campo Obtener una dirección IP automáticamente y el servidor DHCP
del router está activado, la IP privada se obtendrá de forma automática, al igual que la
máscara de subred y los DNS. De esta forma no siempre se tendrá la misma IP privada.
Configuración manual
Si lo configuramos de forma manual, deberá ser de la siguiente forma:
Si la IP privada del router (Puerta de enlace) es, por ejemplo, la que aparece en la
imagen (192.168.0.1) las direcciones IP de red deben de estar dentro de ese rango, es
decir, los tres primeros octetos tienen que ser iguales, pudiendo variar el último entre 2
y 255.
La máscara de subred ha de ser siempre 255.255.255.0, y la puerta de enlace, la IP
Privada del router.
Las direcciones DNS son las direcciones IP de los servidores de nombres de dominio
que vayamos a utilizar. Son proporcionadas por tu proveedor de servicios de Internet.
Se puede saber de qué servidor DNS estamos obteniendo los nombres de dominio.
Para saberlo, simplemente hay que ejecutar desde una ventana de ms-dos (Inicio –
ejecutar – cmd) e introducir este comando: nslookup

7. Este comando resulta muy útil, ya que si no encontrase ningún servidor al ejecutarse, no
se podría navegar aun disponiendo de conexión a Internet para servicios como
Messenger, correo electrónico, IRC, etc.
También sirve para conocer el servidor DNS principal que utilizamos, cuando está
configurado en obtener las direcciones DNS automáticamente.