dasd

1. Especialidad: PNFSCA
Docente: Ing. Silvana Romero
Contenido: Técnica de Agrupación de Datos
Para los siguientes Sueldos semanales en Bs F de un grupo de
trabajadores informales determinar las Medidas de tendencia Central
( Moda, Mediana y Promedio)y las Medidas de Dispersión (Desviación
Estándar, Varianza y Coeficiente de Variación) para datos Agrupados
250 250 300 300 300 350 350 400
400 400 450 500 500 500 600
Para agrupar Datos en categorías se debe establecer el Rango(R)
R= Valor máximo - Valor mínimo
R= 600-250
R= 350
Determinar el Numero de clases o categorías deseadas ( NCD):
NCD= 1+ 3.33*log(n)
NCD= 1+3.33*log(15)
NCD= 1+3.33*(1.176)
NCD= 1+3.916 NCD= 4.916
NCD  5 (Siempre aproximar a un entero)
Encontrar el intervalo de clase:
NCD
R
Ic 
5
350

Ic Por lo tanto el intervalo de clase es 70
Formar categorías:
Cada categoría posee un límite inferior y un límite superior, las formulas
utilizadas para cada límite de la primera categoría son:
Limite inferior= Menor valor de la serie
Limite superior= Limite inferior + (Ic-1) porque los datos originales son enteros
Si los datos originales poseen un decimales la formula para determinar el limite
superior de la primera categoría se ajusta a :
Limite superior= Limite inferior + (Ic-0,1)
Si los datos originales poseen dos decimales la formula para determinar el limite
superior de la primera categoría se ajusta a :
Limite superior= Limite inferior + (Ic-0,01) y así sucesivamente si son tres o mas
decimales
Recuerde aproximar al
número de decimales de
datos originales, en este
caso los datos originales
son enteros

2. Así para crear la Primera categoría los cálculos son
Limite inferior= 250
Limite superior= 250 + (70-1)
Limite superior= 319
Las demás categorías se pueden formar aplicando la formula anterior tantas
veces como categorías deseadas se deben crear. Otra forma de crear las demás
categorías es sumando el intervalo de clase ( Ic ) a cada Limite inferior y
Limite superior en forma sucesiva, hasta formar las 5 clases o categorías deseadas
Hasta que las categorías contengan todos los valores o datos (Ver valor
máximo de la serie)
Los límites inferiores de las demás categorías se forman de la siguiente manera:
Limite inferior de la Categoría 2 = Limite inferior categoría 1 + Ic
Limite inferior de la Categoría 2 = 250 + 70
Limite inferior de la Categoría 3 = 320 + 70
Limite inferior de la Categoría 4 = 390 + 70
Limite inferior de la Categoría 5 = 450 + 70
Los límites superiores de las demás categorías se forman de la siguiente
manera:
Limite superior de la Categoría 2 = Limite superior categoría 1 + Ic
Limite superior de la Categoría 2 = 319+ 70
Limite superior de la Categoría 3 = 389 + 70
Limite superior de la Categoría 4 = 459 + 70
Limite superior de la Categoría 5 = 529 + 70; este limite superior da 599 el cual no
incluye al valor máximo de los datos por lo que se debe adicionar una categoría mas
que tendrá como limite inferior 600 y el límite superior será 669
Con el método anterior las 15 observaciones se agrupan en las siguientes categorías
Para el caso de las Medidas de Tendencia Central (Promedio o Media,
Mediana y Moda) para datos agrupados las formulas son:
Media Aritmética o Promedio Aritmético:
X =
n
Mc
Fs
n
i

1
*
(1)
Categorías o Xi
Linferior L superior
Fs Fa
1)250 ≤ X ≤ 319 5 5
2)320 ≤ X ≤ 389 2 7
3)390 ≤ X ≤ 459 4 11
4)460 ≤ X ≤ 529 3 14
5)530 ≤ X ≤ 599 0 14
6)600 ≤ X ≤ 669 1 15
n= 15

3. De donde:
Fs= Frecuencia simple
Mc: Marca de clase, que es la suma de los limites inferiores y superiores de
cada categoría. La Mc se determina para cada una de las categorías y luego
las Fs de cada categoría se multiplica por c/u de las marca de clase para
finalmente obtener la sumatoria solicitada en la formula (1)
2
LimInf
LimSup
Mc


Para aplicar esta formula se utiliza la agrupación anterior conocida como Tabla
de Distribución de frecuencias, la cual permite calcular La Moda, La Mediana ,
el Promedio y Realizar el Histograma
Categorías o Xi
Linferior L superior
Fs Fa
1)250 ≤ X ≤ 319 5 5
2)320 ≤ X ≤ 389 2 7
3)390 ≤ X ≤ 459 4 11
4)460 ≤ X ≤ 529 3 14
5)530 ≤ X ≤ 599 0 14
6)600 ≤ X ≤ 669 1 15
n= 15
Categorías o Xi
Linferior L superior
Frecuencia
simple
Frecuencia
Acumulada
Marca de clase o Punto
medio(Mc)
2
LimInf
LimSup
Mc


Mc*Fs
1)250 ≤ X ≤ 319 5 5
2
319
250 

Mc ; 284.5 284,5*5 = 1422.5
2)320 ≤ X ≤ 389 2 7 354.5 354.5*2 = 709
3)390 ≤ X ≤ 459 4 11 424.5 1698
4)460 ≤ X ≤ 529 3 14 494.5 1483.5
5)530 ≤ X ≤ 599 0 14 564.5 0
6)600 ≤ X ≤ 669 1 15 634.5 634.5
Suma
5947.5
X =
15
5
.
5947

X 396.5 Bs F
Interpretación: Por lo tanto la Media o Promedio es 396.5
Bs F es decir, el sueldo promedio de los sujetos
evaluados es en promedio 396.5 Bs F.

4. La formula para determinar la Mediana para datos Agrupados es

Md xIc
ianal
FsClaseMed
dianal
AnteriorMe
Facum
n
al
LimInf














.
2
Re (2)
De donde:
Ic=Intervalo de Clase
Facum: Frecuencia acumulada anterior a la categoría medianal

Md
al
LimInf Re Limite inferior real de la categoría medianal
2
Re
eMedianal
LimInfClas
edianal
riorClaseM
LimSupAnte
al
LimInf


Para aplicar la formula se debe determinar en cual de las categorías es la
categoría medianal lo cual se obtiene se obtiene con la expresión
2
n
 siendo
“n” el numero de observaciones, el resultado de
2
n
se busca en la frecuencia
acumulada y la categoría que lo contenga será la clase medianal, donde se
aplicara la formula 2)
Según el ejercicio propuesto, la categoría Medianal se consigue con la
expresión
2
n
 por lo tanto
2
15

posición
n
5
.
7
2
 Es decir la posición 8 se ubica en la frecuencia acumulada, la
categoría 3 contiene 11 observaciones acumuladas es decir dicha categoría
contiene la observación 8 o octava posición, y es aquí en la categoría 3 donde
se aplica la formula 2)
El límite inferior real de la categoría medianal es:
2
390
389
Re


Md
al
LimInf Por lo tanto 5
.
389
Re 
al
LimInf
Sustituyendo en la formula 2

5. 
Md 70
4
7
5
.
7
5
.
389 x





 
 De donde 
Md 398.3 Bs F
Moda
Para el caso de la Moda se debe ubicar la categoría Modal, la cual se obtiene
buscando la Fs más alta y la categoría que la contenga será la clase modal,
donde se aplicará la formula (3).
xIc
d
d
d
al
LimInf
Mo 








2
1
1
Re (3)
De donde:
Ic=Intervalo de Clase
l
rClaseModa
FsPosterio
al
FsClaseMod
d
ClaseModal
FsAnterior
al
FsClaseMod
d




2
1
2
Re
eModal
LimInfClas
odal
riorClaseM
LimSupAnte
al
LimInf


Categorías o Xi
Linferior L superior
Frecuencia
simple
Frecuencia
Acumulada
1)250 ≤ X ≤ 319 5 5
2)320 ≤ X ≤ 389 2 7
3)390 ≤ X ≤ 459 4 11
4)460 ≤ X ≤ 529 3 14
5)530 ≤ X ≤ 599 0 14
6)600 ≤ X ≤ 669 1 15
Según los datos del sueldo la categoría 1 es que posee mayor frecuencia
simple, por lo tanto allí se aplicara la formula (3)
Moda
Buscando los valores de d1 y d2 en la categoría 1 para sustituirlo en la formula
3)
Interpretación:
El sueldo del 50% de los
sujetos evaluados es
inferior a 398.3 Bs F

6. 3
2
5
5
0
5
2
2
2
1
1
1












d
d
l
rClaseModa
FsPosterio
al
FsClaseMod
d
d
d
ClaseModal
FsAnterior
al
FsClaseMod
d
Observe que la Frecuencia simple Fs de la categoría Modal anterior a la
categoría modal es cero (0) porque no existe frecuencia simple anterior, y
en esa categoría imaginaria anterior los limites inferiores y superiores
serian 180 y 249 respectivamente ( lo cual se obtiene al restar el Intervalo
de clase a cada uno de los limites inferiores y superiores de la categoría
1, para poder así determinar el limite real de dicha categoria
xIc
d
d
d
al
LimInf
Mo 








2
1
1
Re  70
3
5
5
5
.
249 x
Mo 








BsF
Mo 3
.
293
1 
Determinación de la Desviación Estándar para los Datos Agrupados
La Formula utilizada es (4)
De donde
Mc es la marca de clase de cada categoría
= Promedio para datos Agrupados determinado con la formula (1)
Fs Frecuencia simple
n = numero de observaciones
Para aplicar esta formula se utiliza la agrupación anterior conocida como Tabla
de Distribución de frecuencias, la cual facilitar los cálculos
Interpretación: El sueldo de mayor
ocurrencia es 293.3 Bs F

7. Categorías o Xi
Linferior L superior
Fs Fa
Mc Mc- (Mc- )2
(Mc- )2
s
1)250 ≤ X ≤ 319 5 5 284.5 -112 12544 62720
2)320 ≤ X ≤ 389 2 7 354.5 -42 1764 3528
3)390 ≤ X ≤ 459 4 11 424.5 28 784 3136
4)460 ≤ X ≤ 529 3 14 494.5 98 9604 28812
5)530 ≤ X ≤ 599 0 14 564.5 168 28224 0
6)600 ≤ X ≤ 669 1 15 634.5 238 56644 56644
n= 15 Suma 154840
Sustituyendo en la formula (4) tenemos
De donde s = 105.17 Bs F
Así la varianza es
S2
=11060 BsF2
El coeficiente de Variación seria:
de donde por lo tanto el valor de
Cv= 26.52%
Interpretación: La dispersión o la
variabilidad del sueldo en relación
al promedio es de 105.17 Bs F
Interpretación: La dispersión o la
variabilidad al cuadrado del
sueldo en relación al promedio es
de 11060 Bs F2
Interpretación: La dispersión relativa o la variabilidad relativa del sueldo
es 26.52%, por lo tanto el sueldo percibido por los trabajadores
informales es heterogéneo o muy variable ( por ser mayor al 25%) es
decir el estadístico que describe el sueldo de dichos trabajadores no es
el promedio sino es la Mediana=398.3 Bs F.

8. Para presentar los datos en forma grafica se usa un histograma
Para poder representar los datos en un histograma nos basamos en la tabla de
distribución de frecuencias que proviene de la agrupación de los datos.
En el eje de las abcisas o las “x” se colocan las categorías ( con los limites
reales si los datos son continuos) y en el eje de las ordenadas o “y” se
colocan las frecuencias simples o porcentajes, en este caso se usaron las
Frecuencias simples obtenidas de la tabla de frecuencia. Y se elevaron
rectángulos del ancho de cada categoría y la altura del mismo la define la
frecuencia simple de cada clase o categoría.
Histograma: Sueldo en Bs F
280 350 420 490 560 630 700
Categorías
0
1
2
3
4
5
No.
de
observaciones.
El grafico deja ver que aproximadamente el valor central de los valores es
396.5 Bs F y que la mayoría de los sueldos están concentrados hacia los
valores mas bajos de la serie.

X 396.5 Bs
F